Successioni e serie convergenti

Versione provvisoria

Patrizio Gravano

Successioni e serie. L’ipotesi di un criterio di convergenza per successioni e serie a termini positivi.

Aprile 2021

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Premessa. - Essendomi ripromesso di rivedere la teoria e le applicazioni delle sezioni di Dedekind ben presto la mia attenzione, in un periodo nel quale sono stato ampiamente impegnato e i momenti da dedicare alla questione sono risultati, per conseguenza, alquanto limitati, è stata monopolizzata da un argomento alquanto noto, quale la convergenza a limite finito di certe successioni di numeri reali e, successivamente, dalla questione della convergenza a un numero reale l di alcune serie infinite, dette, appunto, convergenti.

E’ preliminarmente noto che una successione infinitesima per n → + ∞ converge ad un limite finito l e si scrive: 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 È altrettanto noto che una successione reale può avere un limite finito diverso da 0 e si scrive: 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝑙 con l ∈ ℝ In tali casi si dice che la successione è convergente.

Una

successione infinitesima è convergente e 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0

si

ha:

Tale conclusione non è vera in generale per le serie infinite.

Il fatto cioè che sia vero che 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 (𝑙 ∈ ℝ, essendo ℝ l’insieme dei numeri reali) non implica che la serie infinita ∑+∞ 𝑖=1 𝑎𝑖 (tale che 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0) converga ad un valore finito.

Quando si studiano le serie infinite la condizione di convergenza della successione al valore 0 (sia cioè infinitesima) è, a sua volta, condizione necessaria ma non 2

sufficiente affinchè la serie infinita che si ottiene da essa sia convergente ad un limite finito.

Scopo di questo elaborato è introdurre l’ipotesi di un criterio di convergenza per le successioni reali e per le serie finite a partire dalla loro rappresentazione nel piano cartesiano: la logica rappresentativa nei due casi è simile seppure sia necessario ricordare le specifiche differenze, quale quella ricordata in questa premessa.

Successione reale. – Una successione numerica reale è un’applicazione che fa corrispondere ad ogni numero naturale n un numero reale 𝑎𝑛 secondo una data legge di corrispondenza.

Formalmente si scrive 𝑓

f : ℕ → ℝ ⃓ n ∈ ℕ → 𝑎𝑛 ⎸𝑎𝑛 ∈ ℝ .

Le coppie (n, 𝑎𝑛 ) sono rappresentabili nel piano cartesiano.

Affermare che

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝑙 con l ∈ ℝ equivale ad effermare 1

l’esistenza di un 𝜀 tale che 𝜀 ∈ (0 , 𝑛 ) con n arbitrariamente grande per il quale sia verificata la diseguaglianza contente ⎸.⎸seguente: ⎸𝑎𝑛 − 𝑙 ⎸ < 𝜀 , o, equivalentemente che: - 𝜀 < 𝑎𝑛 − 𝑙 < 𝜀.

Quando, per contro, ∄ l ⎸ l ∈ ℝ per il quale sia ⎸𝑎𝑛 − 𝑙 ⎸ < 𝜀 allora se tale condizione non è verificata ∀ 𝑛 > 𝑛 0 si dice che la successione diverge all’infinito oppure che non converge (successione costante o successione oscillante).

Nell’ambito delle successioni sono di grande rilevanza le successioni strettamente monotone che possono essere strettamente crescenti o strettamente decrescenti.

Una successione reale è strettamente crescente se è verificata ∀𝑛 la seguente relazione d’ordine stretto 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 .

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Una successione reale è strettamente decrescente se è verificata la seguente relazione d’ordine stretto 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 ∀𝑛.

Esistono due distinte modalità di rappresentazione delle successioni reali. La prima semplice rappresentazione è data sulla retta orientata.

Nel seguente esempio è dato il caso di una successione monotona crescente il cui limite finito è il numero reale l. Si tratta di una successione convergente a termini tutti positivi

punto limite

0

𝑎1

𝑎2

𝑎3

𝑎4

l

In questo caso i vari 𝑎𝑖 saranno sempre più ravvicinati ma per quanto grande possa essere n (atteso che ℕ è illimitato superiormente) gli 𝑎𝑖 saranno sempre più prossimi al punto l ma non si confonderanno mai con esso.

Ovviamente è sempre pensabile una successione decrescente i cui 𝑏𝑖 si avvicinino ad l da destra.

In genere, ovviamente, distinte successioni convergenti possono avere limiti finiti diversi.

Va precisato che una successione limitata si caratterizza per l’unicità del limite. In termini se esiste un limite finito per una data successione questo è unico. La dimostrazione è immediata per reductio ad absurdum.

Una successione limitata il cui limite è l = 0 successione infinitesima.

è detta

Esiste una seconda modalità di rappresentazione delle successioni utilizzando il seguente piano nel quale sull’asse delle x sono posti i valori di N (dominio della successione) e sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori f(n) = 𝑎𝑛 .

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Il grafico seguente individua per punti (coppie (n, 𝑎𝑛 )) una successione decrescente (strettamente) nel definito piano coordinato.

Il limite l della successione considerata è reso manifesto dalla semiretta orizzontale y = 𝑙 essendo sufficiente limitarsi al I quadrante cartesiano. 𝑎𝑛

l

n

In questo caso la successione converge ad l ≠ 0 dall’alto.

Intuitivamente tutti i punti della successione (essi sono infiniti) si trovano, in questo caso, nel semipiano superiore non contenente la semiretta y = l. È il caso di ricordare che una successione reale contiene un numero infinito di termini atteso che l’insieme ℕ dei numeri naturali è illimitato superiormente.

Serie infinita. - Distinta dalla nozione di successione reale è la nozione di serie (o somma) infinita di termini costituenti una successione reale.

Il formalismo matematico che le caratterizza è alquanto semplice.

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Una serie infinita viene correntemente sintetizzata con il seguente formalismo: ∑+∞ 𝑛=1 𝑎𝑖 Essa definisce la somma degli infiniti termini di una data successione {𝑎𝑖 } .

Vengono, peraltro, anche definite le somme finite parziali di 𝑛 0termini di una successione reale {𝑎𝑖} come segue: 𝑛

0 𝑠𝑛0 = ∑𝑖=1 𝑎𝑖

.

Ad esempio 𝑠3 = ∑3𝑖=1 𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 .

E’ già stato ricordato che se {𝑎𝑖 } è una successione convergente al limite l = 0 non necessariamente la serie ∑+∞ 𝑛=1 𝑎𝑖 è convergente. In altri termini {𝑎𝑖 } infinitesima è una ∑+∞ condizione necessaria e sufficiente affinchè 𝑛=1 𝑎𝑖 sia convergente ad un limite finito.

Esiste un esempio paradigmatico di questa situazione.

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Si consideri ad esempio la successione {𝑎𝑛 = 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ}. Tale successione è convergente ed è immediato dimostrare che 1 1 lim = 0+ . Ma è parimenti noto che ∑+∞ 𝑛=1 non è convergente 𝑛→+∞ 𝑛

𝑛

ad un limite finito, bensì, come è stato dimostrato, è divergente.

I criteri che consentono di verificare se una successione o una serie infinita sono convergenti o meno ampiamente noti e riportati dalla manualistica con dovizia di particolari.

Tra i testi a cui ci si può ricondurre per un loro ripasso è citabile Soardi, Analisi matematica, Citta’Studi edizioni, Milano, 2010 (capp. 4 e 5).

Approccio naive alla teoria delle successioni e delle serie. – Premesso che questo appunto non intende ricostruire la 6

consolidata teoria della convergenza delle successioni di numeri reali e delle serie infinite è necessario precisare che si intende introdurre un approccio (forse poco rigoroso, ma, penso, intuitivo !) della condizione di convergenza per le successioni e per le serie infinite.

Caso delle successioni di numeri reali.

All’uopo si considera, in primis, il caso della convergenza delle successioni reali considerando un piano coordinato nel quale sull’asse delle x è posto n (i punti 1, 2, ….., k, …. , n ) e ponendo sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori che per comodità sono indicati con il formalismo 𝑦𝑖 con i intero assoluto.

Per l’esattezza e con riferimento alle successioni considerate si ammette che {i} = ℕ − {0} . Ciò è tanto necessario quando si 1

operi su grandezze quali (𝑛)𝑘 con k intero.

La convergenza della successione è riferita al comportamento asintotico quando n → +∞ . Esistono casi più complessi di quelli riferiti alla monotonia, come il grafico seguente evidenzia. In esso peraltro per ragioni visive è stata tolta la restrizione del dominio che caratterizza le successioni.

l

𝑛0 7

Per comodità la successione è stata costruita come una funzione. Da una funzione f(x) per ottenere una successione occorre ed è sufficiente considerare i punti (n, f(n)), restringendo quindi il dominio da ℝ a ℕ.

Questa sintesi non ha l’intento di costituire una alternativa alle teorie correnti (pretesa assurda !) ma si limita ad una osservazione basica, comune alle successioni e alle serie infinite, che viene in primis riferita alle successioni di numeri La rappresentazione dei punti di una successione su una retta è più immediatamente riferibile al formalismo seguente che deve intendersi riferito al caso di una successione convergente ad un limite finito.

Una successione di numeri reali converge ad un limite finito se esiste un 𝑛 0 ≥ 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) tale che ∀ k ≥ 𝑛 0 risulti verificata la condizione: ⎸𝑎𝑘+2 − 𝑎𝑘+1 ⎸ < ⎸𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 ⎸ > 0 .

Da questa ultima condizione si ottiene: 𝜀1 ≡ ⎸𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 ⎸………

𝜀5 ≡ ⎸𝑎𝑘+5 − 𝑎𝑘+4 ⎸………

Ad una successione convergente ad un limite finito può essere associata una successione {𝜀𝑗 } dove {j}= {𝑘, 𝑘 + 1, … … … }.

L’aver considerato i moduli ⎸.⎸assicura che tale argomentazione è vera anche quando la successione tande ad un limite finito l < 0 .

Si consideri, ad esempio, la successione {𝑎𝑛 =

𝑛+1 𝑛

}.

Tale successione converge al limite finito 1 quando n → +∞ .

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Infatti, lim

𝑛+1

𝑛→+∞ 𝑛

= lim

𝑛

𝑛→+∞ 𝑛

+ lim

1

𝑛→+∞ 𝑛

= lim 1 + lim 𝑛→+∞

1

𝑛→+∞ 𝑛

=1 +0 = 1.

Con riferimento a tale successione si ha: ⎸𝑎𝑛+2 − 𝑎𝑛+1 ⎸ < ⎸𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 ⎸ (𝑛+2 )+1

⎸

𝑛+2

−

(𝑛+1 )+1 𝑛+1

(𝑛+3)(𝑛+1)

⎸(𝑛+2)(𝑛+1) ⎸ < ⎸

⎸ < ⎸

(𝑛+1 )+1 𝑛+1

𝑛 (𝑛+2 )− (𝑛+1) 2 𝑛(𝑛+1)

−

𝑛+1 𝑛

⎸

⎸

Sviluppando i calcoli e semplificando si ha: ⎸−

1 (𝑛+2 )(𝑛+1 )

1 (𝑛+2 )(𝑛+1 ) 1 𝑛+2

<

1 𝑛

<

⎸ < ⎸−

1 𝑛(𝑛+1)

⎸

1 𝑛(𝑛+1)

vera ∀ n intero in quanto (n+1)(n+2) > 𝑛(𝑛 + 1)

I termini della successione {𝜀𝑗 }

sono 𝜀1 =

1 𝑛(𝑛+1)

1 𝑛+2 )(𝑛+1 )

e 𝜀2 = (

etc..

Ragionando nel finito (per n dato, anche se arbitrariamente grande) si evidenzia 𝜀1 > 𝜀2 > ⋯ . . > 𝜀𝑘 > 𝜀𝑘+1 > ⋯ … .

1

1

Atteso che i termini 𝜀1 = 𝑛(𝑛+1) e 𝜀2 = (𝑛+2)(𝑛+1) sono ricavati dalla successione {𝑎𝑛 } tali valori possono essere sempre considerati al variare di n nell’insieme dei numeri naturali ℕ risultando sempre verificata la condizione 𝜀2 < 𝜀1 .

Questa argomentazione sembra alquanto ragionevole per le successioni strettamente nonotone, o meglio per quelle di esse convergenti a un limite finito l. Essa va valutata complessivamente.

In altri termini, l’iter argomentativo è il seguente:

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▪ data la {𝑎𝑛 } ottenuti i valori 𝜀2 < 𝜀1 si può affermare la convergenza al limite finito di {𝑎𝑛 }.

E’ possibile immaginare successioni particolari quali la seguente: 𝑛2 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 { 𝑏𝑗 = {1 } 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 𝑛 1

Dalla convergenza di {𝑛} è possibile desumere la convergenza di {𝑏𝑗 } ?

Caso delle serie convergenti di numeri reali.

E’ nota la nozione di serie infinita generata a partire da una successione {𝑎𝑛 } intesa come ∑+∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 .

La serie infinita converge a un limite finito l ∈ (−∞, +∞) se è verificata la condizione lim ∑+∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 = 𝑙 . 𝑛→+∞

Viene solitamente definita la somma k-esima dei primi termini della successione {𝑎𝑛 } definita nel modo che segue: ∑𝑘𝑛=1 𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ . . +𝑎𝑘 = 𝑠𝑘 Come già detto, una successione convergente e infinitesima cioè tale che lim 𝑎𝑛 = 0 non conduce necessariamente al poter 𝑛→+∞

affermare che in generale lim ∑+∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 = 𝑙 . 𝑛→+∞

È evidente che la rappresentazione grafica in due dimensioni (posto sull’asse delle x il valore n, e sull’asse delle y il valore della somma parziale 𝑠𝑛 al variare di n in ℕ ) è particolarmente utile a rappresentare anche l’eventuale convergenza della serie e cioè veridicità della scrittura lim ∑+∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 = 𝑙 . 𝑛→+∞

Con riferimento al caso dello studio della convergenza delle serie infinite si deve ipotizzare che una serie reale converge

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ad un limite finito se esiste un 𝑛 0 ≥ 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) tale che ∀ k ≥ 𝑛 0 risulti verificata la condizione: ⎸𝑠𝑘+2 − 𝑠𝑘+1 ⎸ < ⎸𝑠𝑘+1 − 𝑠𝑘 ⎸ > 0 .

Da questa ultima condizione si ottiene: 𝜀1 ≡ ⎸𝑠𝑘+1 − 𝑠𝑘 ⎸………

𝜀5 ≡ ⎸𝑠𝑘+5 − 𝑠𝑘+4⎸………

Ad una serie convergente ad un limite finito può essere associata una successione {𝜀𝑗 } dove {j}= {𝑘, 𝑘 + 1, … … … }.

1

È notorio che la serie ∑+∞ 𝑖=1 𝑛 è divergente e come tale non ammette un limite finito.

Infatti, è facile constatare, a parte la laboriosità dei calcoli 1

constatare che per la serie ∑+∞ 𝑖=1 𝑛 non è verificata la condizione ⎸𝑠𝑘+2 − 𝑠𝑘+1 ⎸ < ⎸𝑠𝑘+1 − 𝑠𝑘 ⎸ Infatti risulterebbe che: 11

3

3

⎸6 −2 ⎸ < ⎸2−1 ⎸ 7

1

⎸− 6 ⎸ < ⎸ − 2 ⎸ 7 6

<

1 2

Tale relazione d’ordine è assurda.

Nota di chiusura – Questo testo costituisce una mera ipotesi di lavoro ed è ancora oggetto di riflessioni personali, aperte a eventuali lettori, in relazione alle ipotesi ivi formulate.

Patrizio Gravano

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NOTA LEGALE

Questo elaborato è stato redatto senza alcuno scopo di lucro.

Ne è consentita la diffusione per usi legittimi con qualsiasi mezzo a condizione che vengano citati l’autore e il soggetto diffusore del testo.

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