IV
NÚMEROS FRACCIONARIOS.
4.1 ¿Qué es una fracción? 4.2 Fracciones equivalentes. Definición. Reconocimiento. Obtención. 4.3 Simplificación de fracciones. 4.4 Comparación de fracciones. 4.5 Operaciones con fracciones. Suma y resta de fracciones. Producto de fracciones. Cociente de fracciones. Operaciones combinadas. Prioridad de operaciones. Ficha o cuadro resumen. Recuerda.
Aprenderemos a:
.
Conocer el concepto de fracción. Comprender, reconocer y obtener fracciones equivalentes. Simplificar y amplificar fracciones. Trabajar con las operaciones básicas con fracciones. Aplicar la prioridad de operaciones con fracciones
Unidad 1: Números.
39
4.1 ¿ QUE ES UNA FRACCIÓN ? Una fracción se puede entender bajo tres puntos de vista.
1º PUNTO:
Como una representación de la unidad, de la cual la dividiremos en varias partes iguales, de las cuales tomaremos algunas.
Por ejemplo: XXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXX
La unidad la dividimos en 5 partes, de las cuales tomamos 2. Su representación en forma de fracción será 2/5.
Por ejemplo: De 4 partes tomamos 1.
2º PUNTO:
1/4
Como un operador. La fracción opera sobre la unidad y lo transforma. De manera que se multiplica por el numerador y el resultado lo dividimos por el denominador.
3 3 ⋅ 40 de 40 = = 30 4 4 3 3 ⋅ 34 de 34 = = 51 2 2
Unidad 1: Números.
40
3º PUNTO:
Como una representación de la división o cociente entre dos números. La fracción se representa mediante la notación:
A B
A es el numerador de la fracción B es el denominador de la fracción ( B ≠ 0)
A
B
Por ejemplo:
Fracción 3/4
Cociente 3:4
Número 0,75
1/2
1:2
0,5
8/5
8:5
1,6
-6/3
-6 : 3
-2
La fracción 3/4 representa el cociente de 3 entre 4, obteniéndose como resultado 0,75. La fracción 1/2 indica el cociente de 1 entre 2, obteniéndose como resultado 0,5. La fracción 8/5 será el cociente entre 8 y5, cuyo resultado es el número 1,6. -6/3, nos lleva a obtener el número 2, al dividir -6 entre 3.
48. Completa el siguiente cuadro: Fracción 1/5
Cociente
Número
3:8 0,4
25/100 -3,7
16 : 4
Unidad 1: Números.
41
S 49. Calcula: A:
1 de 600 12
B:
5 de 90 6
C:
4 de 450 3
Las fracciones se pueden clasificar en :
•
Fracciones propias : son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.
•
Fracciones impropias : son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador.
Cuando una fracción impropia, el numerador sea múltiplo del denominador, dicha fracción nos conducirá a un número entero, y tendremos una fracción aparente.
Ejemplos de fracciones propias:
1 3 7 11 , , , 5 4 8 23
Ejemplos de fracciones impropias:
8 23 7 10 , , , 7 4 5 2
Ejemplos de fracciones aparentes:
12 = 4, 3
10 =5, 2
− 45 = −9 5
S 50. Entre las siguientes fracciones diferéncialas entre fracciones propias y fracciones impropias. ¿ Existe alguna fracción que sea aparente ? ¿Cuál ?
5 12 22 1 224 7 0 15 , , , , , , , 9 3 3 3 301 1 4 7
Unidad 1: Números.
42
4.2 FRACCIONES EQUIVALENTES. DEFINICIÓN: Dos o más fracciones se dicen equivalentes cuando nos conduzcan a un mismo valor numérico.
Por ejemplo: Fracción 5/2
Cociente 5:2
Número 2,5
10/4
10 : 4
2,5
25/10
25:10
2,5
Como puede observarse en la tabla adjunta las tres fracciones que aparecen nos llevan al mismo valor numérico que es 2,5; con lo cual las fracciones 5/2, 10/4 y 25/10 se considerarán equivalentes.
RECONOCIMIENTO: Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, se debe verificar que:
a c = b d
a.d=b.c
Algunos ejemplos demostrativos serían:
Unidad 1: Números.
5 10 = 2 4
5 . 4 =10 . 2
luego 5/2 y 10/4 serían fracciones equivalentes.
1 3 = 4 12
1 . 12 = 3 . 4
1/4 será equivalente a 3/12.
43
S 51. Compara las siguientes fracciones y comenta si existen algunas iguales o equivalentes. A:
12 4 , 15 5
B:
1 3 8 , , 4 5 32
C:
29 15 3 , , 7 5 1
D:
−3 6 , 4 −8
E:
3 18 , 2 12
F:
−7 1 , − 21 3
OBTENCIÓN: Para obtener fracciones equivalentes, acudiremos a la propiedad fundamental de las fracciones:
Cuando se multiplican o dividen los dos términos de una fracción, por un mismo número, se obtendrá una fracción equivalente, esto es, la fracción no variara su valor numérico
Obtengamos fracciones equivalentes por ejemplo a 3/5
3 3.2 6 6.3 18 18 ÷ 2 9 = = = = = = 5 5.2 10 10.3 30 30 ÷ 2 15 3/5
6/10
18/30
9/15
Serán todas fracciones equivalentes, pues todas ellas nos conducen al mismo valor numérico: 0,6
Mencionar por último que el número de fracciones equivalentes o iguales que se podrán obtener a partir de una dada son infinitas.
52. Calcula tres fracciones equivalentes a : 21 = 14 −7 C: = 5
A:
Unidad 1: Números.
2 = 3 20 D: = 15
B:
44
S 53. Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones, justificando la respuesta. A:
3 9 , 4 12
B:
7 14 , 2 6
C:
27 9 , 6 2
D:
− 48 12 , 8 −2
S 54. Busca una fracción equivalente a 3/10 cuyo numerador sea 6. S 55. Busca una fracción equivalente a 15/ 2 cuyo denominador sea -6. S 56. Calcula el valor de x en las siguientes expresiones: A:
3 9 = 4 x
B:
x 14 = 3 6
4.3 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. La simplificación de fracciones es el proceso por el cual obtenemos la fracción equivalente, cuyos términos son los menores que podemos encontrar.
Vamos a simplificar algunas fracciones, por ejemplo:
36 36 ÷ 2 18 18 ÷ 3 6 = = = = 30 30 ÷ 2 15 15 ÷ 3 5
5/6 no podemos seguir simplificándola.
9 9÷3 3 = = 12 12 ÷ 3 4
3/4 no podemos seguir simplificando.
Como observamos, para simplificar una fracción bastará con dividir numerador y denominador por un mismo número, hasta conseguir una fracción que no se puede simplificar más. A esta fracción se le denomina fracción irreducible.
S 57. Simplifica las siguientes fracciones, hasta obtener la fracción irreducible. A:
− 35 40
Unidad 1: Números.
B:
120 18
C:
34 22
D:
3 −7
E:
69 45
45
Cuando simplifiquemos una fracción, tendremos en cuenta:
1º Para obtener la fracción irreducible, bastará dividir el numerador y el denominador por su máximo común divisor ( m.c.d. ).
2º Cuando tanto el numerador como el denominador sean primos entre sí, la fracción no se podrá simplificar, y dicha fracción será irreducible.
Ejemplo: Transforma las siguientes fracciones utilizando el m.c.d.
30 75 Divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Divisores de 75 = 1, 3, 5, 15, 25, 75. m.c.d. ( 30, 75 ) = 15
30 30 ÷ 15 2 = = 75 75 ÷ 15 5
72 54 Divisores de 72 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36, 72. Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. m.c.d.( 72, 54 ) = 18
72 72 ÷ 18 4 = = 54 54 ÷ 18 3
Algunos ejemplos de fracciones irreducibles son:
Unidad 1: Números.
3 1 11 7 13 − 19 , , , , , 2 5 3 5 11 7
46
4.4 COMPARACIÓN DE FRACCIONES. Antes de comparar fracciones ( decir cuales son mayores ), recordar también que una fracción puede ser negativa, siempre y cuando tengamos:
−a a a = =− b −b b Lógicamente toda fracción negativa es más pequeña que una fracción positiva.
Cuando el numerador de una fracción es cero, dicha fracción representa al número cero.
0 0 = =0 b −b
Para compara fracciones vamos a distinguir dos situaciones:
1º SITUACIÓN: si las fracciones a comparar poseen igual denominador. •
En este caso las fracciones serán mayores conforme mayor sean los numeradores.
Ejemplo:
3 1 8 −7 0 −5 , , , , , si las ordenamos de forma decreciente, obtendríamos: 4 4 4 4 4 4 8 3 1 0 −5 −7 > > > > > 4 4 4 4 4 4
2ª SITUACIÓN: si las fracciones a comparar poseen diferente denominador. •
En este caso podemos hacerlo de dos formas: 1ªforma: obteniendo el valor numérico de cada una de las fracciones. 2ªforma: reduciendo las fracciones a común denominador ( m.c.m. ). lo que haremos será sustituir cada fracción por una equivalente, de manera que todas las fracciones a comparar tengan el mismo denominador, que será el m.c.m. de los denominadores, y como numeradores se obtendrá el resultado de dividir el nuevo denominador entre el antiguo multiplicando por el numerador.
Unidad 1: Números.
47
Ejemplo: Ordenamos las siguientes fracciones en orden creciente.
6 1 −6 0 2 , , , , 5 4 4 2 3 1º forma: Obteniendo el valor numérico de cada una de las fracciones 6/5 1/4 -6/4 0/2 2/3
= = = = =
6:5 1:4 -6 : 4 0:2 2:3
= = = = =
1,2 0,25 -1,5 0 0,66
6 2 1 0 −6 > > > > tendríamos la siguiente ordenación: 5 3 4 2 4 1,2 > 0,66 > 0,25 > 0 > −1,5 2ºforma: reduciendo las fracciones a un común denominador. Calculemos el m.c.m. de los denominadores
2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18... 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32... 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.. 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40... m.c.m.(2, 3, 4, 5, )= 60
6 1 0 −6 2 , , , , 5 4 2 4 3 72 15 0 − 90 40 , , , , 60 60 60 60 60 Donde ya podríamos ordenar las fracciones atendiendo al criterio de que tienen igual denominador.
72 40 15 0 − 90 > > > > 60 60 60 60 60 6 2 1 0 −6 > > > > 5 3 4 2 4
que referido a fracciones iniciales
S 58. Compara las siguientes fracciones, ordenándolas de menor a mayor. 7 −4 5 −6 1 2 , , , , , 3 3 3 3 3 3
S 59. Compara las siguientes fracciones, transformándolas en números decimales: 7 3 6 5 1 , , , , 10 5 6 3 5
60. Reduce a común denominador las fracciones del ejercicio anterior y ordénalas en orden
creciente.
Unidad 1: Números.
48
4.5 OPERACIONES CON FRACCIONES. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES. Distinguiremos dos posibles situaciones:
1ºCASO: Cuando las fracciones que se suman y/o restan poseen igual denominador: En este caso dejaremos el mismo denominador sumando y/o restando los numeradores.
Por ejemplo:
3 9 7 3−9+7 1 − + = = 4 4 4 4 4 7 2 6 7+2−6 3 + − = = 5 5 5 5 5
2º CASO: Cuando las fracciones que se suman y/o se restan poseen diferente denominador: En este caso deberemos reducirlos a común denominador, y cuando tengan igual denominador, actuaremos como en el primer caso. Veamos algunos ejemplos:
3 1 6 5 6 + 5 11 + = + = = 5 2 10 10 10 10 1 9 2 3 9 8 3−9+8 2 1 − + = − + = = = 4 12 3 12 12 12 12 12 6 Puede ocurrir que cuando sumemos y/o restemos fracciones aparezcan números enteros; en este caso el denominador de estos números enteros será la unidad. Así actuaremos, según los ejemplos:
2 3 2 15 2 17 = + = + = 5 1 5 5 5 5 1 1 1 5 1 3 75 5 73 +5− = + − = + − = 5 3 5 1 3 15 15 15 15
3+
S 61. Resuelve las operaciones: A:
3 1 9 7 2 + − − + = 4 4 4 4 4
B:
3 1 3 + − = 5 2 10
Unidad 1: Números.
49
C:
2 1 6 +4− + = 3 5 5
D: 1 −
4 1 + − + 6 + 3 5
3 = 4
E:
6 1 7 5 − + − = 4 3 2 6
F:
1 −5 2 4 + − 5 + − 8 + = 4 3 3 3
G:
4 3 2 −3 +1− + + +4= 7 7 3 3
H: 4 −
1 1 3 7 + 2 − − 5 + − = 3 5 8 3
PRODUCTO DE FRACCIONES. Cuando se multiplican dos fracciones, como resultado se obtiene otra nueva fracción, que tendrá como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.
a c a.c • = b d b.d
Luego según hemos mencionado, resolvamos los ejemplos siguientes:
7 1 7 ⋅1 7 • = = 3 2 3⋅ 2 6 1 4 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 28 14 • • = = = 3 5 2 3 ⋅ 5 ⋅ 2 30 15 Cuando al multiplicar dos fracciones, intervienen números enteros, el denominador del número será la unidad.
4 3 4 3 ⋅ 4 12 = • = = 5 1 5 1⋅ 5 5 3 − 5 3 − 5 ⋅ 3 − 15 − 5⋅ = • = = 2 1 2 1⋅ 2 2
3⋅
Unidad 1: Números.
50
S 62. Resuelve: 3 4 1 • • = 5 3 2 −4 5 B: • = 7 2 7 C: 8 ⋅ = 3 − 3 3 D: 7 ⋅ ⋅ = 2 7
A:
Dos fracciones se llaman inversas, cuando al realizar su producto se obtiene la unidad.
a b a.b • = =1 b a b.a Por ejemplo: 2/7 6/4
su fracción inversa su fracción inversa
7/2 4/6
S 63. De los 30000 votantes a unas elecciones 1/5 so votantes del partido verde ¿ Cuantos votantes tiene ese partido? De ellos 3/4 tienen menos de 25 años ¿ Qué cantidad representan ?
COCIENTE DE FRACCIONES. Para dividir dos fracciones, lo que hacemos es multiplicar el dividendo entre el inverso del divisor, o lo que es lo mismo, multiplico el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda para obtener el numerador, y para obtener el denominador multiplicaremos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda ( términos cruzados ).
a c a d a⋅d ÷ = • = b d b c b⋅c
Unidad 1: Números.
51
Ejemplo:
3 1 3 5 3 ⋅ 5 15 ÷ = • = = 4 5 4 1 4 ⋅1 4 1 −2 1⋅ 5 5 ÷ = = 3 5 − 2⋅3 − 6 5 7 5 7 ⋅ 3 21 7÷ = ÷ = = 3 1 3 5 ⋅1 5
S 64. Realiza las siguientes divisiones: 4 5 ÷ = 3 8 −5 7 B: ÷ = 6 4 7 C: ÷ 6 = 8 3 4 1 D: ÷ ÷ = − 10 6 3 3 E: − 5 ÷ = 8 A:
OPERACIONES COMBINADAS ( PRIORIDAD DE OPERACIONES ). Ya vimos en el apartado de números enteros, como podían aparecer combinadas o mezcladas las operaciones de suma, resta, producto y cociente. El criterio para resolver estos casos, era primero realizar productos y cocientes, y por último sumas y restas. Este mismo criterio lo seguiremos aplicando con los números fraccionarios. Este orden de prioridad tan solo se verá alterado en el caso que apareciesen paréntesis o corchetes, en cuyo caso, se comenzará por los paréntesis más interiores; y en el caso que también aparezcan mezcladas las operaciones aplicaremos la prioridad ya mencionada.
En definitiva en el trabajo con fracciones, el orden de prioridad o de realización de las operaciones será el mismo que el ya estudiado en los números enteros.
ORDEN DE PRIORIDAD
1º Paréntesis y corchetes. 2º Productos y cocientes. 3º Sumas y restas.
Unidad 1: Números.
52
Veamos algunos ejemplos:
1 2 1 6 1 2 6 1 1 6 3 2 36 3 + 2 − 36 − 31 + • − = + − = + − = + − = = 4 3 4 2 4 12 2 4 6 2 12 12 12 12 12
3 1 1 1 3 25 1 3 113 36 − 113 − 77 1 3 − 2 + ÷ 3 − = − 2 + − = − − = − = = 5 4 12 5 5 12 5 5 60 60 60 5 5
65. Calcula el resultado de las siguientes operaciones: A:
3 1 ÷4+ = 6 3
B:
6 6 1 − • = 5 5 2
C:
1 7 8 1 + ÷ − = 4 8 3 6
D:
1 2 1 ÷ − 6 + • 9 = 5 3 6
E:
2 1 6 9 3 − 3 • 4 + 2 =
F:
1 6 1 7 ÷ 2 + • − 3 3 ÷ = 4 5 4 3 4 1 7 7 + • 5 − 6 + − = 3 4 5 5
G: −
Unidad 1: Números.
53
FICHA O CUADRO RESUMEN.
RECUERDA.
•
Una fracción puede ser una representación de la unidad, que puede actuar sobre un número como un operador, y que además nos representa un cociente o razón entre dos números.
•
Fracciones equivalentes son aquellas que nos llevan aun mismo valor numérico. De forma que para obtener una fracción equivalente a una dada, bastará con multiplicar o dividir numerador y denominador por un mismo número. Siendo a/b equivalente c/d cuando se verifique a . d = b . c
•
Simplificar fracciones consiste en buscar fracciones equivalentes a la fracción inicial de forma que sus términos sean los menores posibles. Aquella fracción que no se pueda simplificar más será la llamada fracción irreducible.
•
Para poder sumar o restar fracciones es necesario que las fracciones posean el mismo denominador. Si no poseen el mismo denominador, habrá que buscar fracciones equivalentes a las dadas que si posean el mismo denominador (esto se conseguirá calculando el m.c.m. de los denominadores de las fracciones con las cuales se opera ).
•
Para multiplicar dos fracciones utilizaremos la siguiente regla:
a c a⋅c • = b d b⋅d •
Si dividimos dos fracciones usaremos el siguiente criterio:
a c a⋅d ÷ = b d b⋅c •
En el caso que aparezcan combinadas las operaciones básicas, seguiremos el criterio de la prioridad de operaciones, que nos facilita operar con ellas según la secuencia: 1º
Paréntesis y corchetes.
2º
Productos y cocientes.
3º
Sumas y restas.
Unidad 1: Números.
54