El geoplano, el tangram y las fracciones PRﾃ，TICA 3. El geoplano, el tangram y las fracciones
Utilizando el geoplano como herramienta, explica el concepto de fracciﾃｳn y el de equivalencia entre fracciones. Realiza la misma actividad utilizando el tangram.
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El geoplano, el tangram y las fracciones
El geoplano y las fracciones 2
El geoplano, el tangram y las fracciones
¿Qué es el geoplano? El geoplano, inventado por el matemático italiano Caleb Gattegno, es un cuadrado de madera, plástico u otro material rígido, dividido en cuadrados más pequeños, en cuyos vértices se insertan unos clavos o puntas que sobresalen de la plancha. En él podemos formar diferentes figuras geométricas, utilizando gomas elásticas y así comprobar las relaciones entre ellas, las equivalencias, proporcionalidad... Es fácil construir un geoplano. Incluso, podemos dibujarlo nosotros mismos utilizando una simple hoja de papel y un lápiz.
El geoplano y las fracciones Imaginemos que tenemos esta figura representada en el geoplano:
¿Qué fracción representa? Este geoplano está dividido en 64 cuadraditos, de los cuáles, la figura marcada en rojo ocupa 18. Si tenemos en cuenta que el denominador de la fracción pondremos el número de partes en las que se divide un todo y en el numerador, la cantidad de p
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partes que cogemos de ese todo, diremos que la fracción que ocupa la figura coloreada es de 18/64. Observarás que tanto numerador como denominador son divisibles por 2, lo que quiere decir que es una fracción reducible. Dividiendo numerador y denominador por el mismo número, el 2 en este caso, obtendremos
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/32, que ya no puede reducirse
más, pues 9 y 32 no tienen divisores comunes.
Fracciones equivalentes en el geoplano Observa ahora estos dos geoplanos y las figuras que hay dibujadas en ellos:
Aparentemente, las dos figuras representan dos fracciones distintas, puesto que sus formas son diferentes. Sin embargo ambas figuras representan la fracción
22
/64.
¡Puedes contar los cuadros sombreados para comprobarlo! Como en el caso anterior, la fracción
22
/64 es simplificable, pues numerador y
denominador son divisibles por 2. Así, nos quedaría la fracción
11
/32, que ya es
irreducible, pues 11 y 32 no tienen divisores comunes. Recuerda: Una fracción es simplificable cuando numerador y denominador son divisibles por el mismo número. Una fracción es irreducible cuando numerador y denominador no tienen divisores comunes.
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El geoplano, el tangram y las fracciones Observa ahora atentamente estos dos geoplanos:
¿Representan la misma fracción? A primera vista, puede parecer que no, pero fijémonos más atentamente. En el primer geoplano, hay dos figuras dibujadas. Ambas representan 18/64, por lo si sumamos ambas, obtendremos
36
/64.
En el segundo geoplano hay dibujada una figura que representa 36/64 del total, por lo que ambos geoplanos son iguales, a lo que la fracción que los representa se refiere. Ahora observemos estos dos geoplanos:
¿Son iguales las figuras? ¿Representan la misma fracción?
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El geoplano, el tangram y las fracciones La respuesta a la primera pregunta es fácil: ambas figuras son iguales. Pero la respuesta a la segunda pregunta parece más complicada. Veamos la respuesta. En la primera figura, el geoplano está dividido en 64 cuadraditos iguales. La figura dibujada ocupa 20 cuadraditos, con lo que la fracción que representa a la primera figura es
20
/64 .
En la segunda figura, el geoplano está dividido en 16 cuadrados iguales, de los cuales, la figura coloreada ocupa 5. Por tanto, la fracción que representa a este dibujo es 5/16.
El tamaño del geoplano es el mismo en ambos casos. Lo único que varía es la cantidad de “trozos” en los que hemos divido el geoplano. En el primer caso, han sido 64 los trozos en los que hemos partido el geoplano, mientras que en el segundo, han sido 16, es decir, cuatro veces menos (si dividimos 64 entre 4, nos da 16). Por tanto, el denominador de la segunda fracción es 4 veces menor que el denominador de la primera fracción. En cuanto a los denominadores, en el primer dibujo, la parte coloreada representa 20 cuadritos de los 64 en que está dividido el geoplano. En el caso del segundo dibujo, son 5 los cuadritos coloreados. Si nos fijamos, veremos que, al igual que ocurre con el denominador, el numerador de la segunda fracción es 4 veces menor que el numerador de la primera fracción. 6
El geoplano, el tangram y las fracciones En casos como este, en el que dos fracciones representan la misma cantidad de un todo, decimos que se trata de fracciones equivalentes. Recuerda: Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de un todo. Tanto el numerador como el denominador de una de ellas se halla multiplicado o dividido por el mismo n煤mero para obtener la otra.
Ejercicios de aplicaci贸n 1. De los siguientes geoplanos, indica cuales representan fracciones equivalentes:
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2. ¿Cuál es la fracción que representa la parte coloreada en cada geoplano?
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El tangram y las fracciones
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¿De dónde viene el tangram?
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El origen del tangram es incierto. Cuenta la leyenda que un sirviente chino llevaba un mosaico de cerámica, muy frágil, que pertenecía al emperador, de la dinastía Tang. Tropezó y cayó al suelo, rompiendo el mosaico en siete trozos. Mientras intentaba recomponerlo y devolverle su forma cuadrada original, compuso cientos de figuras: un perro, un monje, una taza... El emperador, que estaba observando, perdonó al sirviente su torpeza, a cambio de que construyera una réplica en madera de las siete piezas en las que se había roto el mosaico, para que sus hijos jugasen. Otras versiones – quizá más acertadas – indican que el juego fue una adaptación realizada a finales del siglo XVIII en Inglaterra de un antiquísimo juego chino llamado
“Chi Chiao Pan”, que significa “juego de la sabiduría”. En cualquier caso, a partir del s. XIX, el juego alcanzó una gran popularidad en Europa y América, publicándose cientos de libros que explicaban sus reglas y siendo el favorito de personajes tan ilustres como Napoleón, quien se volvió un verdadero experto en el “rompecabezas chino” durante su confinamiento en la isla de Santa Elena.
¿Qué es el tangram? El tangram es un rompecabezas, compuesto por siete piezas de formas poligonales, que pueden acoplarse para construir distintas formas. Las piezas que componen el tangram son:
Dos triángulos grandes.
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El geoplano, el tangram y las fracciones Un triángulo mediano.
Dos triángulos pequeños.
Un cuadrado.
Un paralelogramo.
Las piezas del tangram, si se ordenan en la forma adecuada, pueden componer un cuadrado.
Podemos diseñar figuras geométricas, componer figuras dadas previamente o diseñar figuras libremente, usando nuestra imaginación.
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El tangram y las fracciones
Como ya hemos dicho, con el tangram se puede formar un cuadrado. Para el estudio de las fracciones, vamos a considerar que ese cuadrado es igual a la unidad.
=1 Cada una de las piezas que compone el cuadrado, sería una parte de esa unidad, de modo que: Si dividimos el cuadrado en cuatro partes iguales, obtendremos: El cuadrado, que era una unidad, ha quedado dividido en cuatro partes iguales, de modo que cada una de esas partes es ¼ del cuadrado. Por lo tanto cada uno de los triángulos grandes del tangram tiene un área igual a ¼ del área total del cuadrado. Veamos ahora qué ocurre con el resto de las figuras. Si nos fijamos en la porción que nos queda en la parte inferior del cuadrado, veremos que tenemos una figura similar a esta: Esta parte de la figura equivale a ¼ del total, pero dentro de ella, aún podemos seguir encontrando porciones:
Descomponiendo el cuadrado como dos triángulos (iguales a los que encontramos en la imagen), nos quedaría lo siguiente:
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El geoplano, el tangram y las fracciones La figura queda dividida en 4 partes iguales, de modo que cada una de ellas es ¼ de esta figura. Como esta figura era ¼ del total, cada una de las partes que lo componen será 1/16 del total de la figura, ya que
Recordemos que para multiplicar fracciones, el denominador es igual a la multiplicación de los denominadores y el numerador es igual a la multiplicación de los numeradores. De lo anterior podemos deducir varias cosas: -
El cuadrado está formado por dos triángulos de área 1/16 cada uno. Por lo tanto, el cuadrado tendrá un área de 2/16 , o lo que es lo mismo, 1/8. .
-
El triángulo naranja que forma esta imagen es en realidad la mitad del triángulo naranja que forma el cuadrado del tangram; por tanto, el área del triángulo naranja será 2 x 1/16, o lo que es lo mismo, 1/8.
Por último, nos queda esta parte del cuadrado: El triángulo amarillo es igual que el triángulo rosa, por lo que será también 1/16 del total. Antes hemos visto que el triángulo naranja, equivalente a este (la otra mitad de la figura entera) era 1/16 del total. Por tanto, teniendo en cuenta lo anterior, podemos concluir que el paralelogramo será 1/8 del total del área del cuadrado que forman todas las piezas del tangram. Si además tenemos en cuenta que el paralelogramo está formado por dos triángulos de dimensiones semejantes a los triángulos rasa y amarillo, ambos de área 1/16 del total, comprobamos que el área del paralelogramo es 1/8 del área del cuadrado grande. 13
El geoplano, el tangram y las fracciones
Recapitulando:
El tangram y la equivalencia entre fracciones Hemos visto que algunas de las figuras del tangram pueden componer otras mรกs grandes. Veamos algunos ejemplos:
1
/8
=
1 1
/16
/16 14
En términos de fracciones equivalentes, esto quiere decir que
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o lo que es lo mismo
Estas dos fracciones son equivalentes, puesto que expresan la misma parte de un total.
Ejercicios de aplicación 1. Fabrica tu propio tangram. Para ello, imprime el siguiente dibujo y recorta cada una de las piezas.
A continuación, intenta componer alguna de estas figuras:
2. Inventa tú ahora alguna figura y dibújala. Recuerda que debes utilizar todas las piezas para componerla.
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3. Observa las siguientes figuras:
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a) ¿Podrías decir qué fracción del cuadrado que forman todas las piezas del tangram representan cada una de ellas? b) Las anteriores figuras se pueden formar con otras más pequeñas. ¿Sabes decir cuáles? ¿Qué equivalencia de fracciones representaría esa igualdad?
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