Dedução das componentes tangencial (a T ) e normal (a N ) da aceleração Produto escalar Considere-se os vetores u e v, sendo u = ux ex + uy ey v = vx ex + vy ey O produto escalar de u e v ( u v ) é dado por
u v = ux × vx + uy × vy
ou Ou seja,
u v = u . v . cos θ
ux × vx + uy × vy = u . v . cos θ
menor ângulo entre u e v
Relembrar que... v=
dr ⇒ v = dt
dr dt
⇒ v =
dr dt
⇒v=
ds dt
B A F
AB ≠ AB
∆s ≠ ∆r AF = AF
ds = dr
Seja u um versor (vetor unitário) u u = u × u cos 0 = 1 u u =1 derivando
d u u = d 1 ⇔ d u . u + u. d u = 0 ⇔ 2 u. d u = 0
du =0 ⇔ u. d u = 0 →
ou u du
Conclusão: havendo um vetor d u ≠ 0 é, de certeza, perpendicular a u .
Aceleração média ( a m )
É a variação da velocidade por intervalo de tempo .
am = Aceleração (instantânea)
a=
dv dt
∆v ∆t
T (tangente à trajetória )
v
y
trajetória
referencial fixo
x
d vx dt
ex +
Referencial móvel
N
v = vx ex + vy ey a=
referencial móvel
d vy dt
v = v. eT d v. eT d eT dv = a= eT + v. dt dt dt
ey
a = ax ex + ay ey
Notar que:
∆ s = R. ∆ θ d eT
=
dt
d eT
×
ds
ds dt
(com θ em radianos)
v d eT ds
=
. eN =
dθ . eN Rd θ
d eT Rd θ
. eN
Consideremos o versor eT em dois pontos A e B de uma trajetória (movimento de A para B) .
e
1 = eN R
d eT dt
=
T
B
B
v e R N
∆θ
v = v. eT a=
d v. eT dt
=
d eT dv eT + v. dt dt
∆ eT = eT
−e B
eT −e
T
eT
A
T
=e A
T
A
+ −e B
T
A
B
∆ eT
A
Da figura anterior decorre que: 2
a=
dv v eT + e dt R N aT
aN
∆ eT
∆θ sin 2
=
2
⇔ sin
∆ eT
∆θ 2
=
∆ eT 2
Como para ângulos pequenos sin α = α, vem: d eT dθ = ⇒ d θ = d eT 2
2