Mecânica v é sempre tangente à trajetória e tem o sentido do NOTAS: Ter em atenção que a velocidade ⃗ movimento. Δv a = ⃗ , isto é, há Lembrar que a aceleração é uma variação de velocidade por unidade de tempo ⃗ Δt v varia em valor ou direção ou sentido. aceleração sempre que ⃗
Movimento uniformemente variado Leis:
{
1 x =x 0+v 0 . t+ . a.t 2 → lei das posições ; 2 v=v 0+a.t → lei das velocidades
NOTA: Todas as parcelas podem ser ± , para a "escolha" do sinal, num esquema... 1. Colocar o eixo Ox, assinalando a origem e o sentido positivo; ⃗ Resultante ), as parcelas cujos vetores têm v0 e ⃗ a (ou F 2. Representar os vetores ⃗ o mesmo sentido que o eixo Ox têm sinal "+" e, as que têm sentidos opostos, sinal "-"; 3. Com as leis (as duas...) resolver o exercício. (Ver exemplo 1)
2ª Lei de Newton (ou lei fundamental da dinâmica) NOTA: As parcelas podem ser ± , para a "escolha" do sinal, num esquema... 1. Colocar o eixo Ox, tangente à trajetória e Oy, perpendicular à trajetória, positivo no sentido do centro da curva (caso exista); ⃗ e ⃗ ⃗ Resultante ), as parcelas cujos vetores têm o a (ou F 2. Representar os vetores F mesmo sentido que os eixos "+" e, as que têm sentidos opostos, sinal "-". ⃗ Resultante=m.⃗a ⇔ F ⃗ 1+ F ⃗ 2+ F ⃗ 3+...+ F ⃗ n =m. ⃗ F a ⇒
{
F 1x +F 2x +F 3x +...+F nx=m.a , para F 1y+F 2y +F 3y+...+F ny =0
trajetórias retilíneas. ou ⃗ 1+ F ⃗ 2+ F ⃗ 3+...+ F ⃗ n =m. ⃗ ⃗ Resultante=m.⃗a ⇔ F a ⇒ F 2
representa a aceleração centrípeta sendo a c = movimento circular e uniforme.
{
F 1x +F 2x +F 3x +...+F nx =0 , onde a c F 1y +F 2y +F 3y +...+F ny=m.a c
v , ( v → velocidade ; r → raio de curvatura ) para r
(Ver exemplos 2 e 3) Energia
WF
Resultante
=Δ E c → Lei da variação da energia cinética,
⃗ e d⃗ =W F +W F +...+W F , sendo W F =F.d.cos(α) , onde α é o ângulo entre F onde W F (deslocamento). Resultante
1
2
N
Demonstra-se que W F =−Δ E p , sendo por isso a F⃗G (peso ou força gravítica) uma força conservativa. G
Definições: • • • (Ver exemplo 4)
Energia potencial gravítica ( E p ) → E p =m.g.h 1 2 Energia cinética ( E c ) → E c = m.v 2. Energia mecânica ( E mec ) → E mec =E p+E c
Exemplo 1 Um automóvel movimenta-se retilineamente, a 20 m/s, quando o condutor observa um obstáculo e trava. Sabendo que o módulo da aceleração do veículo é 4 m/s2, calcula: a) o tempo de duração da travagem; b) a distância percorrida até parar; c) a distância percorrida em metade do tempo da travagem; d) o valor da velocidade em metade do tempo da travagem. Resolução Começa-se por indicar as leis do movimento do automóvel, que são do tipo 1 x= x 0+v 0 . t+ . a.t 2 2 v=v 0+a.t Colocam-se, nas equações anteriores, os valores de x 0 , v 0 e a , atendendo ao sinal das parcelas (por isso é melhor esquematizar a situação, representando os vetores v⃗0 a) e ⃗
{
neste referencial, e atendendo ao sentido das "setas" vem: x 0=0 ; v 0=20 e a=−4 . Substituindo nas equações obtemos as leis do movimento do carro.
{
1 x=0+20.t− ×4. t 2 . Está-se agora em condições de responder às questões. 2 v =20−4. t a) No instante em que para, v=0 m/s. Substituindo na lei das velocidades, 20 vem: 0=20−4. t ⇔t= ⇔t=5 s . 4 b) Substituindo t pelo tempo de travagem, na lei das posições, ficamos a saber a posição em que para, que, neste caso, coincide com a distância percorrida. 1 x=0+20×5− ×4×52 ⇔ x=50 m . 2 c) Se o tempo de travagem é 5 s, metade é 2,5 s. A distância percorrida é dada a partir da lei das posições, substituindo o t por 2,5. 1 x=0+20×2,5− ×4×2,52 ⇔ x=37,5 m . 2 d) Substitui-se t por 2,5, na lei das velocidades.
v=20−4×2,5 ⇔v=10 m/s . Exemplo 2
⃗ de 50 N, que faz um ângulo de 37º O bloco da figura (15 kg) está sujeito a uma força F com a horizontal, e a um atrito de 5N. Calcula os valores de: a) aceleração; b) força normal exercida pelo solo; c) força resultante.
Resolução Começa-se por representar, num esquema, todas as forças que atuam no bloco.
. ⃗ F Verifica-se que tem as duas componentes (x e y) diferentes de zero. Descobremse esses valores recorrendo às funções trigonométricas.
da figura decorre que F cos (37)= x ⇔ F x = F.cos(37 º )⇔ F x =50×cos(37º )⇔ F x =39,9 N . F
da figura decorre que F sin(37)= y ⇔ F y =F.sin (37 º ) ⇔ F y =50×sin(37 º )⇔ F y =30,1 N . F Está-se agora em condições de aplicar a 2ª lei de Newton (atendendo a ± e a que a trajetória é retilínea): F G =m.g ⃗ Resultante =m. ⃗ F a ⇒
{
F x −F a=m.a ⇔ R N −F G+ F y =0
{
a=2,33 m s−2 . R N =119,9 N a) a=2,33 m s−2 . b) R N =119,9 N .
{
39,9−5=15. a ⇔ R N =15×10−30,1
c) F R=m.a ⇔ F R =15×2,33⇔ F R=35,0 N . Exemplo 3 Um motociclista descreve uma circunferência vertical num globo da morte de 4 m de raio. Que força é exercida sobre o globo no ponto mais alto da trajetória, se a velocidade da moto é, aí, de 20 m/s? A massa total (motocicleta + moto) é de 100 kg e g = 10 m/s2. Resolução Começa-se por representar, num esquema, todas as forças que atuam no motociclista.
Está-se agora em condições de aplicar a 2ª lei de Newton (atendendo a ± e a que o movimento é circular e uniforme): ⃗ Resultante =m. a F ⃗ ⇒ R N =100×
2
não há forças em x ⇒ R +m.g=m. v N r RN +F G =m.ac
{
⇔
20 2 −100×10 ⇔ R N =9000 N . 4
⃗ R N é a força que o globo exerce no motociclista, mas devido à lei da ação - reação, a força que o motociclista exerce no globo tem a mesma intensidade, ou seja, 9000 N.
Exemplo 4 O bloco (4 kg) da figura é empurrado por uma força de 4N, sendo o atrito de 2N
Sabendo que Resolução
AB=3 m calcula a energia cinética do bloco em B.
Começa-se por representar, num esquema, todas as forças que atuam no bloco.
Calcula-se o trabalho realizado por cada uma das forças ( W =F.d.cos (α) ): W F =F G . d.cos (90 º )⇔W F =0 J W R =R N . d.cos (90 º )⇔W R =0 J W F =F a . d.cos( 180º )⇔ W F =2×3. cos (180º)⇔ W F =−6 J W F =F.d.cos(37 º )⇔W F =4×3 . cos(37º )⇔W F =9,6 J G
G
N
a
N
a
a
Aplica-se a lei W F Resultante =Δ E c WF =Δ E c ⇔0+0−6+9,6=E c −E c E c =3,6 J . Resultante
B
B
A
⇔3,6=E c −0 ⇔ B