01 em empma guia del docente

Page 1

       

Con el propĂłsito de fortalecer el proceso de enseĂąanza y aprendizaje de los estudiantes, a continuaciĂłn dejamos algunas sugerencias para la implementaciĂłn de las actividades; las cuales, en suma abordan los temas desarrollados en las tres unidades del MĂłdulo 1. Pensamiento matemĂĄtico y ĂĄlgebra. Las recomendaciones que se mencionan en este documento, giran en torno a los siguientes puntos: 1. Se indican los principales elementos que debe contener la investigaciĂłn realizada por el estudiante; misma que le servirĂĄ de apoyo en la resoluciĂłn de los problemas propuestos. 2. Se muestran algunos ejemplos de los problemas que se deben plantear en cada actividad, con base en los temas que son considerados para cada una de ellas. Cabe mencionar, que estos problemas pueden contar con mĂĄs de un inciso dependiendo del propĂłsito que se pretenda alcanzar. Por ejemplo, se pueden considerar varios incisos para un problema que tenga como propĂłsito el adquirir destrezas en los cĂĄlculos, como es el caso de simplificar una expresiĂłn algebraica de nĂşmeros complejos, en el caso de la unidad II; sin embargo, si el objetivo del problema es que el estudiante comprenda una idea matemĂĄtica sobre la deducciĂłn de un resultado fundamental, entonces puede ser suficiente con un inciso. Por ejemplo la prueba de que đ?’›đ?&#x;? â‹… đ?’›đ?&#x;? = đ?’›đ?&#x;? â‹… đ?’›đ?&#x;? , para dos nĂşmeros complejos dados y sus conjugados.

3. Las soluciones a los problemas que se plantean como ejemplos respecto a cada una de las actividades, ejemplificando el procedimiento adecuado que conlleva a resolverlos. Recuerda que los objetivos principal por unidad son: Unidad I: resolver situaciones concretas a partir del planteamiento de ecuaciones. Unidad II: adquirir los conocimientos elementales acerca de la teoría de ecuaciones. Unidad III: desarrollar el pensamiento matemático ligado a problemas de inexistencia de solución. De aquí que la mayoría de los problemas propuestos en el desarrollo del módulo sean problemas matemáticos, los cuales en general, deben propiciar en el estudiante un mejor entendimiento de los conceptos e ideas matemáticas en estudio. Por esta razón, para las actividades que se proponen, se sugiere que sean Actividades Individuales que se subirán a la plataforma como Archivo de Tarea, respetando los tiempos designados para ello. Por lo escrito en el párrafo anterior, observarás que en general las actividades tienen la misma estructura, así como elementos similares tanto para la investigación a realizar como para el planteamiento de los problemas matemáticos a resolver, por lo que consideramos que la implementación de cada actividad no debe resultar complicada. Respecto a los problemas matemáticos que se deben plantear, sugerimos tomar en consideración los planteados en el desarrollo del contenido de la unidad, así como también revisar las referencias bibliográficas proporcionadas al final del documento (en relación al contenido matemático de dicha unidad), en donde se pueden considerar algunos problemas propuestos por los autores de los libros de texto para el desarrollo de cada actividad, y de esta manera enriquecer el conjunto de problemas a resolver por el estudiante. A continuación se describen los elementos principales por unidad que conforman cada actividad.

Es importante mencionar al estudiante que los propĂłsitos de esta actividades son, primero que pueda presentarse con los demĂĄs compaĂąeros para conocer mĂĄs sobre las distintas caracterĂ­sticas de su grupo y, segundo, que pueda simbolizar y resolver dos o mĂĄs problemas similares a los vistos en estos primeros temas. Las tareas principales del estudiante son dos: 1. Elaborar una investigaciĂłn sobre lo que es un problema algebraico y sobre las estrategias mĂĄs comunes que existen para simbolizar dichos problemas. 2. Resolver situaciones de contexto real y matemĂĄtico similares a los planteados en el documento de la unidad. Para realizar su investigaciĂłn el estudiante puede recurrir a todo tipo de recurso que le sea accesible. Una vez escrito su documento, el alumno lo tendrĂĄ que subir como archivo de tarea a la plataforma dentro de las fechas programadas. Respecto a los problemas matemĂĄticos se sugiere proporcionar al estudiante una lista de problemas que debe resolver y, por ser la actividad 1, puede elegir dos de esta lista. Para la actividad 2, pueden ser mĂĄs de dos. Esta lista puede ser entregada al inicio del estudio del tema, o tambiĂŠn se le puede entregar al estudiante por bloques de problemas, donde cada uno de estos bloques contendrĂĄ los problemas respecto al subtema una vez concluido su estudio. Por ejemplo, un problema puede ser el siguiente: Ejemplo: Cierta actividad laboral puede realizarla un ingeniero experimentado en un total de 3.5 horas, mientras que un practicante puede ejecutarla en un total de 5 horas. Si ambos personas, un ingeniero experimentado y un practicante se ayudan para realizar la misma actividad, Âżen cuĂĄnto tiempo la completarĂ­an? Una forma de soluciĂłn de esta situaciĂłn es la siguiente. Sea đ?’™ el tiempo en horas en que entre las dos personas terminan el trabajo.

Como el ingeniero realiza por hora los dos en una hora realizan

đ?&#x;‘đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;Ž

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;‘đ?&#x;“

đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?&#x;Ž partes del trabajo y el practicante đ?&#x;“, entonces entre đ?&#x;‘.đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;•

+ đ?&#x;“ = đ?&#x;‘đ?&#x;“ del trabajo.

Luego, la ecuaciĂłn que simboliza el problema es đ?&#x;?đ?&#x;• đ?&#x;‘đ?&#x;“

đ?’™ = đ?&#x;?,

donde el nĂşmero 1 indica el entero que representa el trabajo completo. De esta manera, la soluciĂłn estĂĄ dada por đ?&#x;‘đ?&#x;“

đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;• = đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;“đ?&#x;–đ?&#x;– horas. Por Ăşltimo, te recordamos que puedes plantear los problemas con base en los avances que tenga el grupo de estudiantes, asĂ­ como elegir el nĂşmero de problemas que consideres adecuados y los alcances de cada uno de ellos. De la misma manera, te invitamos a que revises los formatos de evaluaciĂłn que te permitirĂĄn tener los criterios que se consideran evaluar, no olvidando crear tu carpeta de evidencias.

El propósito principal de esta actividad es que el alumno pueda simbolizar y resolver situaciones tanto de contexto real como matemåtico, con la ayuda de las ecuaciones cuadråticas y los sistemas de ecuaciones de dos variables con dos incógnitas. Otra de las tareas del alumno es que elabore una investigación respecto de las ecuaciones cuadråticas y los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. En esta investigación puede solicitarse que por ejemplo analice:    

El mĂŠtodo de completar cuadrados para resolver una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. La fĂłrmula general de segundo grado. El mĂŠtodo de sustituciĂłn para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas. El sistema puede ser lineal o no, en cuyo caso serĂ­a de segundo grado. La importancia de realizar un borrador de la soluciĂłn a los distintos problemas, utilizando para ello el mĂŠtodo de ensayo y error.

Igualmente que en las anteriores actividades, respecto a las situaciones concretas, se sugiere proporcionar al estudiante una lista de problemas que debe resolver, todos ellos referentes al tema en cuestiĂłn (una lista por cada actividad). Esta lista puede ser entregada al inicio del estudio del tema, o tambiĂŠn se le puede entregar al estudiante por bloques de problemas,

donde cada uno de estos bloques contendrĂĄ los problemas respecto al subtema una vez concluido su estudio. El nĂşmero de problemas sugeridos es entre 10 y 15. Por ejemplo, un problema puede ser el siguiente: Ejemplo: Se han de construir secciones de tuberĂ­a cilĂ­ndrica a partir de lĂĄminas rectangulares con ĂĄrea de 20 m2 ÂżEs posible construir un tubo con capacidad de 20 m3? La lĂĄmina y el tubo tienen la misma altura. Ver la figura siguiente.

20 m2

Una forma de proceder es la siguiente: Sea đ?’™ la base de la lĂĄmina y sea đ?’š la altura. Se tiene entonces una primera ecuaciĂłn đ?’™đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž. Como el tubo proviene de la lĂĄmina, entonces podemos ver que el perĂ­metro de la base de este tubo es igual la longitud de la base de la lĂĄmina, es decir, đ?&#x;?đ??…đ?’“ = đ?’™, donde đ?’“ es el radio de esta đ?’™ base circular. Con esto tenemos que đ?’“ = đ?&#x;?đ??…. Como el volumen de este tubo se calcula entonces por la ecuaciĂłn đ??…đ?’“đ?&#x;? đ?’š y se sabe que el volumen debe ser de 20 m3, entonces se tiene la segunda ecuaciĂłn: đ??…đ?’“đ?&#x;? đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž. Ahora bien, si đ?’™ đ?’“ = đ?&#x;?đ??…, entonces se tiene el siguiente sistema de ecuaciones con dos incĂłgnitas. đ?’™đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;Ž {đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’™ đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;’đ??… La soluciĂłn de este sistema, mediante el mĂŠtodo de sustituciĂłn es como se muestra enseguida. De la primera ecuaciĂłn despejamos đ?’š, entonces đ?’š =

đ?&#x;?đ?&#x;Ž . đ?’™

ecuaciĂłn y entonces tenemos đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’™ ( ) = đ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;’đ??… đ?’™

Este valor lo sustituimos en la segunda

Simplificando encontramos que đ?’™ = đ?&#x;’đ??…. Sustituyendo para encontrar el valor de đ?’š, tenemos que đ?&#x;“

đ?’š = đ??…. De la misma manera encontramos que el valor de đ?’“ es đ?’“ = đ?&#x;?. El procedimiento anterior demuestra que sĂ­ es posible construir dichos tubos con las caracterĂ­sticas solicitadas. El alumno debe poder llegar a la soluciĂłn o acercarse a ella mediante distintos mĂŠtodos, incluso mediante procedimientos lĂłgicos o por ensayo y error, pero aquĂ­ el docente debe resaltar la importancia de poder plantearlos algebraicamente, pues no todos se resuelven por tanteo.

Es importante mencionar al estudiante que el propósito de esta actividad es adquirir los conocimientos elementales acerca de los números complejos, para lo cual el estudiante realizarå principalmente dos tareas: 1. Elaborar una investigación de los temas elementales acerca de los números complejos, entre los cuales se sugieren los siguientes:         

Lo mĂĄs relevante acontecido en el desarrollo de los nĂşmeros complejos Operaciones entre nĂşmeros complejos y sus propiedades InterpretaciĂłn geomĂŠtrica de los nĂşmeros complejos y sus operaciones RepresentaciĂłn trigonomĂŠtrica de los nĂşmeros complejos FĂłrmula de Euler FĂłrmula de De Moivre CĂĄlculo de la đ?’?-ĂŠsima potencia de un nĂşmero complejo CĂĄlculo de la raĂ­z đ?’?-ĂŠsima de un nĂşmero complejo RaĂ­ces de la unidad

2. Resolver problemas matemĂĄticos como los planteados en el desarrollo del contenido matemĂĄtico. Para la investigaciĂłn, se sugiere que al inicio del estudio de esta unidad se le proporcione al estudiante una lista con los temas a investigar, asĂ­ como tambiĂŠn, los elementos que debe contemplar para la elaboraciĂłn de su documento. Esto Ăşltimo es importante debido a que su

evaluación dependerå de los elementos con los que cuente su documento; algunos de estos pueden ser los siguientes:       

Debe contener los temas completos acerca del contenido matemĂĄtico sugerido Las ideas desarrolladas en su documento deben estar comunicadas en orden Presenta buena ortografĂ­a en su redacciĂłn Se expresan ideas y relaciones matemĂĄticas utilizando la terminologĂ­a y notaciĂłn apropiadas Se muestran ejemplos para los cuales el estudiante comprueba la veracidad de sus resultados El escrito presenta referencias confiables y son citadas correctamente El estudiante sistematiza y resume sus conclusiones del trabajo.

Para realizar su investigación el estudiante puede recurrir a todo tipo de recurso que le sea accesible. Una vez escrito su documento, el alumno lo tendrå que subir como archivo de tarea a la plataforma dentro de las fechas programadas. Respecto a los problemas matemåticos se sugiere proporcionar al estudiante una lista de problemas que debe resolver, todos ellos referentes al tema de los números complejos. Esta lista puede ser entregada al inicio del estudio del tema, o tambiÊn se le puede entregar al estudiante por bloques de problemas, donde cada uno de estos bloques contendrå los problemas respecto al subtema una vez concluido su estudio. El número de problemas sugeridos son entre 10 y 15, y deben ser ejercicios similares a los que se plantean al estudiante en el desarrollo del contenido matemåtico de esta unidad II. Por ejemplo, un problema puede ser el siguiente: Ejemplo: Realiza la suma de las raíces �1 , �2 y �3 obtenidas al calcular las raíces cúbicas del número 1

complejo � = � 8 . Observa que el problema pide calcular la suma de las raíces y no sólo el cålculo de las mismas, esto debido a que en la evaluación final algunos de los problemas tienen una redacción similar. Lo anterior es útil principalmente cuando se le pide la tarea de encontrar las soluciones de un polinomio cuya respuesta se debe elegir de una lista de opciones (opción múltiple), puesto que así evitamos que el estudiante sustituya en la ecuación misma, cada uno de los incisos. TambiÊn sugerimos que el estudiante enviÊ evidencia del proceso de solución para cada uno de los problemas propuestos, principalmente para los de la evaluación final. La solución del ejemplo es la siguiente. Solución.

Es importante que el estudiante entienda el problema a resolver, esto es, se debe hallar un número complejo � que satisfaga la ecuación 1 �3 = � , 8 la cual, puede ser escrita de forma equivalente como 1

1 3 � = (� ) . 8 1 8

Para resolver este problema, se escribe el nĂşmero complejo đ?‘§ = đ?‘– en su forma trigonomĂŠtrica đ?‘&#x;(cos đ?œƒ + đ?‘– sin đ?œƒ), obteniendo 1 1 đ?œ‹ đ?œ‹ = (cos + đ?‘– sin ) . 8 8 2 2

đ?‘– De esta expresiĂłn đ?œƒ =

đ?œ‹ 2

1

y đ?‘&#x; = 8; y las tres raĂ­ces cĂşbicas se obtienen de la fĂłrmula:

đ?‘¤đ?‘˜+1

3

1

đ?œ‹

= √8 (cos 2

+2đ?‘˜đ?œ‹ 3

+ đ?‘– sin

đ?œ‹ +2đ?‘˜đ?œ‹ 2

3

),

para đ?‘˜ = 0, 1, 2.

De esta manera, para đ?‘˜ = 0 la primera raĂ­z cĂşbica đ?‘¤1 es 1 đ?œ‹ đ?œ‹ 1 √3 đ?‘¤1 = (cos + đ?‘– sin ) = +đ?‘– . 2 6 6 4 4 Para đ?‘˜ = 1 la segunda raĂ­z cĂşbica đ?‘¤2 es 1 5đ?œ‹ 5đ?œ‹ 1 √3 đ?‘¤2 = (cos + đ?‘– sin ) = − +đ?‘– . 2 6 6 4 4 Para đ?‘˜ = 2 la tercer raĂ­z cĂşbica đ?‘¤3 es 1 9đ?œ‹ 9đ?œ‹ 1 đ?‘¤3 = (cos + đ?‘– sin ) = −đ?‘– . 2 6 6 2 Finalmente la suma de las tres raĂ­ces se obtiene al sumar los valores de đ?‘¤1 , đ?‘¤2 y đ?‘¤3 obteniendo đ?‘¤1 + đ?‘¤2 + đ?‘¤3 = (

1 1 1 √3 √3 + đ?‘– ) + (− + đ?‘– ) + (−đ?‘– ) = 0 . 4 4 4 4 2

Un aspecto importante a considerar en los problemas que se propongan en esta actividad es la formulaciĂłn de preguntas que propicien en el estudiante una reflexiĂłn respecto al contenido

matemĂĄtico que se estĂĄ poniendo en juego en la resoluciĂłn del problema en cuestiĂłn. Por ejemplo, para el ejemplo anterior una pregunta puede ser la siguiente ÂżCuĂĄl es su interpretaciĂłn geomĂŠtrica de las raĂ­ces cĂşbicas halladas? En este caso el alumno deberĂĄ crear un diagrama que muestre las tres raĂ­ces cĂşbicas del đ?&#x;?

nĂşmero đ?’Š đ?&#x;– en el plano complejo. Para esto, se debe entender que cada una de las raĂ­ces divide đ?&#x;?

a la circunferencia de radio igual a đ?&#x;? en tres partes iguales, cada una con un ĂĄngulo central de đ?&#x;?đ??… đ?&#x;‘

(120Âş), partiendo de la primer raĂ­z obtenida đ?’˜đ?&#x;? =

√đ?&#x;‘ + đ?&#x;’

đ?&#x;?

đ?’Š đ?&#x;’ . Lo escrito antes se visualiza en la

siguiente figura.

Figura creada por el autor. De esta manera, el ejercicio puede plantearse de la siguiente manera: đ?&#x;?

Usando la interpretaciĂłn geomĂŠtrica calcula las raĂ­ces cĂşbicas de đ?’Š đ?&#x;–. Por Ăşltimo, a ti docente te recordamos que tĂş puedes plantear los problemas con base en los avances que tenga el grupo de estudiantes, asĂ­ como elegir el nĂşmero de problemas que consideres adecuados y los alcances de cada uno de ellos. De la misma manera, te invitamos a que revises los formatos de evaluaciĂłn que te permitirĂĄn tener los criterios que se consideran evaluar, no olvidando crear tu carpeta de evidencias.

El propósito de esta actividad es que el estudiante use los procedimientos adecuados para obtener las raíces de un polinomio y que además pueda resolver ecuaciones polinomiales, principalmente las de grado tres y cuatro. Para lograr este objetivo, el estudiante realizará principalmente dos tareas: 1. Elaborar una investigación de los temas elementales acerca de los polinomios y de ecuaciones polinomiales, entre los cuales se sugieren los siguientes      

La deducción de las fórmulas para el cálculo algebraico de la raíz cuadrada de un número complejo Las características de los polinomios, por ejemplo, notación, grado de un polinomio, igualdad de polinomios, valor numérico, etc. Ejemplos de las operaciones algebraicas de polinomios con coeficientes reales. La prueba del algoritmo de la división sintética Algunos ejemplos acerca de las raíces de polinomios Algunos ejemplos respecto a la obtención de las raíces enteras y raíces racionales de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros.

2. Resolver problemas matemáticos tipo como se sugieren en el desarrollo del contenido matemático. Para la investigación, se sugiere que al inicio del estudio de este segundo tema de la unidad II, se le proporcione al estudiante una lista con los temas a investigar, así como también, los elementos que debe contemplar para la elaboración de su documento. Esto último es importante debido a que su evaluación dependerá de los elementos con los que cuente su documento; algunos de estos pueden ser los siguientes:       

Debe contener los temas completos acerca del contenido matemático sugerido Las ideas desarrolladas en su escrito deben estar comunicadas en orden Presenta buena ortografía en su redacción Se expresan ideas y relaciones matemáticas utilizando la terminología y notación apropiadas Se muestran ejemplos para los cuales el estudiante comprueba la veracidad de sus resultados El escrito presenta referencias confiables y son citadas correctamente El estudiante sistematiza y resume sus conclusiones del trabajo.

Para realizar su investigaciĂłn el estudiante puede recurrir a todo tipo de recurso que le sea accesible. Una vez escrito su documento, el alumno lo tendrĂĄ que subir como archivo de tarea a la plataforma dentro de las fechas programadas. Respecto a los problemas matemĂĄticos se sugiere proporcionar al estudiante una lista de problemas que debe resolver, todos ellos referentes al tema de EcuaciĂłn cuadrĂĄtica con coeficientes complejos y Polinomios de una variable y raĂ­ces de ecuaciones polinomiales. Esta lista puede ser entregada al inicio del estudio del tema, o tambiĂŠn se le puede entregar al estudiante por bloques de problemas, donde cada uno de estos bloques contendrĂĄ los problemas respecto al subtema una vez concluido su estudio. El nĂşmero de problemas sugeridos son entre 10 y 15, y deben ser ejercicios similares a los que se plantean al estudiante en el desarrollo del contenido matemĂĄtico de esta unidad. Por ejemplo, un problema puede ser el siguiente: Ejemplo: Halla las raĂ­ces de la ecuaciĂłn đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’Š = đ?&#x;Ž. Para resolver este problema, es importante que el estudiante se percate que la ecuaciĂłn a resolver es de segundo grado y tiene coeficientes complejos; por lo cual, deben emplearse las fĂłrmulas para las raĂ­ces de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica đ?’‚đ?’™đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ = đ?&#x;Ž con coeficientes complejos:

đ?‘Ľ1 =

−đ?‘? + √đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? , 2đ?‘Ž

đ?‘Ľ2 =

−đ?‘? − √đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? . 2đ?‘Ž

SoluciĂłn: De la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica con coeficientes complejos dada en su forma general đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0, se tiene para nuestro caso que đ?‘Ž = 1, đ?‘? = 0 y đ?‘? = 2đ?‘–. Al sustituir estos valores en las expresiones anteriores, se obtiene đ?‘Ľ1 =

√−8đ?‘– √4(−2đ?‘–) = = √−2đ?‘– , 2 2

đ?‘Ľ2 =

−√−8đ?‘– −√4(−2đ?‘–) = = −√−2đ?‘– . 2 2

Es importante que el estudiante se percate que para hallar el valor de la raĂ­ces đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 , es necesario calcular la raĂ­z cuadrada del nĂşmero complejo −2đ?‘–. Esto lo podemos realizar mediante la fĂłrmula: √đ?›ź 2 +đ?›˝ 2 +đ?›ź 2

đ?‘¤ = √đ?›ź + đ?‘–đ?›˝ = Âą ( √

− đ?‘–√

√đ?›ź 2 +đ?›˝ 2 −đ?›ź 2

) para đ?›˝ < 0 ,

De esta manera đ?›ź = 0 y đ?›˝ = −2, por lo cual, al sustituir en la fĂłrmula anterior se obtiene

√(−2)2 √(−2)2 đ?‘¤ = √−2đ?‘– = Âą ( √ − đ?‘–√ ), 2 2 realizando las operaciones indicadas se llega al siguiente resultado đ?‘¤ = Âą( 1 − đ?‘– ) . Por lo tanto las raĂ­ces de la ecuaciĂłn estĂĄn dadas por đ?‘Ľ1 = √−2đ?‘– = 1 − đ?‘–,

đ?‘Ľ2 = −√−2đ?‘– = −1 + đ?‘– .

El estudiante debe comprender la importancia del estudio de este tema, la cual se da a partir de que ahora se permiten que los coeficientes de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica sean complejos, lo que sin duda, le serĂĄ de utilidad en el estudio de temas de mĂłdulos mĂĄs avanzados. Un problema acerca de la obtenciĂłn de las raĂ­ces de un polinomio es el siguiente. Ejemplo: Sabiendo que dos raĂ­ces del polinomio đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 5 + 5đ?‘Ľ 4 + 8đ?‘Ľ 3 + 8đ?‘Ľ 2 + 7đ?‘Ľ + 3, son -3 y -1. Halla sus raĂ­ces restantes y escribe el polinomio en su forma factorizada. SoluciĂłn Dado que se conocen dos raĂ­ces de đ?‘“(đ?‘Ľ), realizamos el algoritmo de la divisiĂłn sintĂŠtica para đ?‘Ľ = −3: 1

1

5

8

8

7

3

-3

-6

-6

-6

-3

2

2

2

1

0

-3

De donde obtenemos el cociente đ?‘„(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ + 1. Como đ?‘“(đ?‘Ľ) satisface đ?‘„(đ?‘Ľ) =

đ?‘“(đ?‘Ľ) =0, đ?‘Ľ+3

para hallar las raĂ­ces restantes tomaremos la ecuaciĂłn reducida đ?‘„(đ?‘Ľ) = 0, la cual tiene como raĂ­z al nĂşmero -1. Realizando el algoritmo de la divisiĂłn sintĂŠtica para esta segunda raĂ­z, obtenemos 1

2

2

2

1

-1

1

-1

-1

-1

-1

1

1

1

0

Obteniendo el cociente đ?‘…(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 1. Nuevamente, como đ?‘“(đ?‘Ľ) satisface la ecuaciĂłn reducida dos veces: đ?‘…(đ?‘Ľ) =

đ?‘“(đ?‘Ľ) =0, (đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ + 3)

entonces para hallar las raĂ­ces restantes tomaremos esta ecuaciĂłn. Como la ecuaciĂłn reducida đ?‘…(đ?‘Ľ) = 0 tiene coeficientes enteros, para hallar sus raĂ­ces enteras recurriremos al siguiente resultado: Si đ?‘Ľ1 es una raĂ­z entera de la ecuaciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0, entonces đ?‘Ľ1 debe ser un divisor del tĂŠrmino constante đ?‘Ž0 . Para nuestro caso los Ăşnicos posibles valores a ser una raĂ­z entera son 1 y -1. Probemos con 1, para esto realizamos nuevamente el algoritmo de la divisiĂłn sintĂŠtica 1

1

1

1

1

-1

0

-1

0

1

0

-1

Obteniendo como residuo cero; por lo tanto -1 es otra raíz del polinomio �(�) (de hecho es una raíz de multiplicidad 2). Luego el cociente obtenido es �(�) = � 2 + 1. Nuevamente, las raíces restantes pueden ser halladas mediante la ecuación reducida tres veces �(�) =

đ?‘“(đ?‘Ľ) =0, (đ?‘Ľ + 1)2 (đ?‘Ľ + 3)

pero es fĂĄcil ver que đ?‘†(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + 1 tiene como raĂ­ces a los nĂşmeros đ?‘– y −đ?‘–. Por lo tanto đ?‘“(đ?‘Ľ) se factoriza como đ?‘“(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ + 1)2 (đ?‘Ľ + 3)(đ?‘Ľ + đ?‘–)(đ?‘Ľ − đ?‘–). La soluciĂłn del ejemplo antes desarrollado contiene el uso de varios resultados respecto al tema de Polinomios de una variable y raĂ­ces de ecuaciones polinomiales, algunos de ellos son el Teorema del residuo, DivisiĂłn sintĂŠtica, Teorema del Factor, y Los criterios para la obtenciĂłn de las raĂ­ces enteras de una ecuaciĂłn con coeficientes enteros. De igual forma, algunos de los problemas que debe resolver el estudiante, deben ser de este tipo, es decir, se deben plantear problemas en cuyo proceso de soluciĂłn se aborden mĂĄs de un subtema. Por ejemplo, las relaciones de Vieta, las cuales son fĂłrmulas que relacionan las raĂ­ces

con los coeficientes de una ecuaciĂłn polinomial y que son descritas con detalle en el subtema FĂłrmulas de Vieta (Viète) en la Unidad II; permiten conocer algunos resultados respecto a las raĂ­ces del polinomio del ejemplo anterior, los cuales pueden ser corroborados una vez que se ha dado soluciĂłn al problema. Una pregunta que se puede plantear al respecto es la siguiente: ÂżCuĂĄl es el producto de las raĂ­ces del polinomio đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 5 + 5đ?‘Ľ 4 + 8đ?‘Ľ 3 + 8đ?‘Ľ 2 + 7đ?‘Ľ + 3 ? Cuya respuesta es el negativo del tĂŠrmino independiente, esto es, -3. Esto debido a que la Ăşltima fĂłrmula de Vieta nos indica que el producto de las raĂ­ces de un polinomio de grado đ?‘› es đ?‘Ž igual a la potencia đ?‘›-ĂŠsima de -1 por el tĂŠrmino independiente 0 , es decir đ?‘Žđ?‘›

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 â‹Ż đ?‘Ľđ?‘› = (−1)đ?‘›

đ?‘Ž0 . đ?‘Žđ?‘›

Lo cual, para el polinomio del ejemplo resuelto, se puede fĂĄcilmente corroborar que se cumple el resultado: đ?‘Ľ1 ∙ đ?‘Ľ2 ∙ đ?‘Ľ3 ∙ đ?‘Ľ4 ∙ đ?‘Ľ5 = (−1)(−1)(−3)(−đ?‘–)(đ?‘–) = −3 . TambiĂŠn se puede hacer referencia a ciertos problemas resueltos en la actividad anterior, para los cuales se planteen preguntas que se puedan responder mediante uno o mĂĄs resultados de esta secciĂłn. Por ejemplo, para el problema del cĂĄlculo de las raĂ­ces cĂşbicas del nĂşmero đ?’› = đ?&#x;?

đ?’Š đ?&#x;–, se puede realizar la siguiente pregunta: đ?&#x;? đ?&#x;–

ÂżPor quĂŠ la suma de las tres raĂ­ces cĂşbicas de đ?’Š da como resultado cero? Cuya respuesta correcta requiere que el estudiante haya comprendido el significado del problema de hallar las raĂ­ces cĂşbicas de un nĂşmero complejo. Esto es, se debe recalcar al đ?&#x;?

estudiante que la suma de las tres raĂ­ces cubicas del nĂşmero complejo đ?’Š đ?&#x;– es igual a cero debido a que se estĂĄ resolviendo la ecuaciĂłn cĂşbica descrita al inicio de la soluciĂłn del problema; y por lo tanto el resultado de la suma estĂĄ indicada por la fĂłrmula de Vieta: đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ = − donde −

đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? đ?’‚đ?’?

đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? , đ?’‚đ?’?

es el coeficiente del tĂŠrmino cuadrĂĄtico de la ecuaciĂłn cĂşbica, que en este caso es

igual a cero, por lo cual đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž . De esta manera, el resultado puede generalizarse al plantearle al estudiante la pregunta

ÂżCuĂĄl es el resultado de sumar las đ?’?-ĂŠsimas raĂ­ces de un nĂşmero complejo đ?’› ? Argumenta tu respuesta. Por supuesto que pueden plantearse algunas otras preguntas, lo que aquĂ­ se mostrĂł, es la forma en cĂłmo pueden relacionarse varios de los temas estudiados en la unidad II.

El objetivo de esta actividad es que el estudiante tenga conocimiento de las fórmulas de Cardano, mismas que usarå en la resolución de ecuaciones cúbicas. TambiÊn, dependiendo del avance alcanzado en el estudio de los temas de esta segunda unidad, es opcional el estudio de las fórmulas de Ferrari; las cuales, le permitirån al estudiante resolver de forma algebraica las ecuaciones de cuarto grado. Para lograr este objetivo, el estudiante realizarå principalmente dos tareas: 1. Elaborar una investigación de los temas elementales acerca de las fórmulas de Cardano, entre los cuales se sugieren los siguientes   

Breve reseĂąa de la vida y aportaciones a la ciencia del matemĂĄtico italiano Girolamo Cardano (1501-1576) El anĂĄlisis respecto a la naturaleza de las raĂ­ces de una ecuaciĂłn cĂşbica, el cual se desarrolla a partir del valor del discriminante ∆= đ?&#x;’đ?’‘đ?&#x;‘ + đ?&#x;?đ?&#x;•đ?’’đ?&#x;? Ejemplos del cĂĄlculo de las raĂ­ces de ecuaciones cĂşbicas para cada uno de los casos descritos en el inciso anterior.

Respecto al tema de las ecuaciones de Ferrari (opcional), se sugieren los siguientes puntos a investigar   

Breve reseĂąa de la vida y aportaciones a la ciencia del matemĂĄtico italiano Ludovico Ferrari (1522-1565) El anĂĄlisis respecto a la naturaleza de las raĂ­ces de una ecuaciĂłn de grado cuatro. Ejemplos del cĂĄlculo de las raĂ­ces de ecuaciones de grado cuatro.

2. Resolver problemas matemĂĄticos tipo como se sugieren en el desarrollo del contenido matemĂĄtico.

Para la investigación, se sugiere que al inicio del estudio de este último tema de la unidad II, se le proporcione al estudiante una lista con los temas a investigar, así como tambiÊn, los elementos que debe contemplar para la elaboración de su documento. Esto último es importante debido a que su evaluación dependerå de los elementos con los que cuente su documento; algunos de estos pueden ser los siguientes:       

Debe contener los temas completos acerca del contenido matemĂĄtico sugerido Las ideas desarrolladas en su documento deben estar comunicadas en orden Presenta buena ortografĂ­a en su redacciĂłn Se expresan ideas y relaciones matemĂĄticas utilizando la terminologĂ­a y notaciĂłn apropiadas Se muestran ejemplos para los cuales el estudiante comprueba la veracidad de sus resultados El escrito presenta referencias confiables y son citadas correctamente El estudiante sistematiza y resume sus conclusiones del trabajo.

Para realizar su investigaciĂłn el estudiante puede recurrir a todo tipo de recurso que le sea accesible. Una vez escrito su documento, el alumno lo tendrĂĄ que subir como archivo de tarea a la plataforma dentro de las fechas programadas. Respecto a los problemas matemĂĄticos se sugiere proporcionar al estudiante una lista de problemas que debe resolver, todos ellos referentes al tema de ResoluciĂłn de ecuaciones cĂşbicas por radicales. Esta lista puede ser entregada al inicio del estudio del tema, o tambiĂŠn se le puede entregar al estudiante por bloques de problemas, donde cada uno de estos bloques contendrĂĄ los problemas respecto al subtema una vez concluido su estudio. El nĂşmero de problemas sugeridos son entre 5 y 10, y deben ser ejercicios similares a los que se plantean al estudiante en el desarrollo del contenido matemĂĄtico de esta unidad. Por ejemplo, un problema puede ser el siguiente: Ejemplo: Usando las fĂłrmulas de Cardano resuelve la ecuaciĂłn cĂşbica đ?‘Ľ 3 − 4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 12 = 0. SoluciĂłn. Considerando la ecuaciĂłn cĂşbica dada en su forma general: đ?‘Ľ 3 + đ?‘?đ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘‘ = 0, observamos que para la ecuaciĂłn cĂşbica đ?‘Ľ 3 − 4đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 12 = 0 del problema planteado, se tiene que đ?‘? = −4, đ?‘? = 3 y đ?‘‘ = −12. Con estos valores calculamos el valor de đ?‘? y de đ?‘ž que nos

permitirĂĄ obtener la ecuaciĂłn cĂşbica reducida đ?‘Ś 3 + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘ž = 0 (la cual se obtiene de forma đ?‘?

“directaâ€? mediante el cambio de variable đ?‘Ľ = đ?‘Ś − 3 ). Esto es đ?‘?=đ?‘?−

(−4)2 đ?‘?2 7 =3− =− , 3 3 3

y đ?‘ž=đ?‘‘−

(−4)(3) 2(−4)3 đ?‘?đ?‘? 2đ?‘? 3 344 + = −12 − + =− . 3 27 3 27 27

De esta manera, la ecuaciĂłn cĂşbica reducida es 7 344 đ?‘Ś3 − đ?‘Ś − =0. 3 27 Es importante que el estudiante comprenda que una vez halladas las raĂ­ces đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , e đ?‘Ś3 de la ecuaciĂłn cĂşbica reducida, se obtienen las soluciones de la ecuaciĂłn cĂşbica inicial a partir de las siguientes ecuaciones: đ?‘Ľ1 = đ?‘Ś1 −

đ?‘? , 3

đ?‘Ľ2 = đ?‘Ś2 −

đ?‘? , 3

đ?‘? đ?‘Ľ3 = đ?‘Ś3 − , 3

donde en este caso, đ?‘? = −4. Para resolver la ecuaciĂłn cĂşbica reducida se emplean las fĂłrmulas de Cardano, para ello primero se calcula el valor del determinante ∆= 4đ?‘?3 + 27đ?‘ž2 , que nos permitirĂĄ conocer la naturaleza de las raĂ­ces de esta ecuaciĂłn. De esta manera, dado que Δ = 4332 > 0, entonces la ecuaciĂłn cĂşbica reducida tiene una raĂ­z real đ?‘Ś1 , y dos raĂ­ces imaginarias conjugadas đ?‘Ś2 , đ?‘Ś3 ; las cuales estĂĄn dadas por las fĂłrmulas đ?‘Ś1 = đ??´ + đ??ľ , đ?‘Ś2 = đ?œ”đ??´ + đ?œ”2 đ??ľ , đ?‘Ś2 = đ?œ”2 đ??´ + đ?œ”đ??ľ , donde 3

đ?‘ž Δ đ??´ = √− + √ , 2 108 y 3 đ?‘ž Δ đ??ľ = √− − √ . 2 108

Sustituyendo el valor de � y de Δ, y realizando los cålculos indicados se obtiene que 7

đ??´=3

y

1

đ??ľ =3.

De esta manera đ?‘Ś1 = đ??´ + đ??ľ =

7 1 8 + = , 3 3 3

1 1 7 1 1 1 4 đ?‘Ś2 = đ?œ”đ??´ + đ?œ”2 đ??ľ = (− + đ?‘–√3) + (− − đ?‘–√3) = − + đ?‘–√3 , 2 2 3 2 2 3 3 1 1 7 1 1 1 4 đ?‘Ś2 = đ?œ”2 đ??´ + đ?œ”đ??ľ = (− − đ?‘–√3) + (− + đ?‘–√3) = − − đ?‘–√3 . 2 2 3 2 2 3 3 Finalmente las tres raĂ­ces de la ecuaciĂłn cĂşbica son 4 8 4 = + =4, 3 3 3 4 4 4 đ?‘Ľ2 = đ?‘Ś2 + = − + đ?‘–√3 + = đ?‘–√3, 3 3 3 4 4 4 đ?‘Ľ3 = đ?‘Ś3 + = − − đ?‘–√3 + = −đ?‘–√3 . 3 3 3 đ?‘Ľ1 = đ?‘Ś1 +

Por supuesto que en el ejemplo se han omitido los cĂĄlculos aritmĂŠticos, no obstante es importante recalcar que el estudiante debe realizar cada uno de las operaciones indicadas en el desarrollo de la soluciĂłn del problema. Otro problema respecto a la resoluciĂłn de ecuaciones cĂşbicas por radicales es el siguiente: Ejemplo: ÂżCuĂĄntas raĂ­ces reales tiene la ecuaciĂłn 2đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ − 2 = 0 ? SoluciĂłn. Para responder la pregunta, se requiere que el estudiante tenga una mayor comprensiĂłn respecto a la deducciĂłn de las fĂłrmulas de Cardano, puesto que, para saber el nĂşmero de raĂ­ces reales de una ecuaciĂłn cĂşbica es suficiente con calcular el valor del determinante Δ = 4đ?‘?3 + 27đ?‘ž 2 , el cual dependiendo de su valor, nos indicarĂĄ el nĂşmero de raĂ­ces reales. Calculamos el determinante Δ, para esto reescribimos la ecuaciĂłn cĂşbica de la siguiente manera đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ − 1 = 0 ,

obtenida al dividir toda la ecuaciĂłn por el coeficiente lĂ­der. De aquĂ­ đ?‘? = 1, đ?‘? = −2 y đ?‘‘ = −1. Con estos valores calculamos el valor de đ?‘? y de đ?‘ž de la siguiente manera: đ?‘?=đ?‘?−

đ?‘?2 12 10 = −3 − =− , 3 3 3

y đ?‘ž=đ?‘‘−

(1)(−2) 2(1)3 đ?‘?đ?‘? 2đ?‘? 3 7 + = −1 − + =− . 3 27 3 27 27

Calculando Δ = 4đ?‘?3 + 27đ?‘ž2 = 4 (−

10 3 7 2 439 ) + 27 (− ) = − . 3 27 3

Finalmente, como Δ < 0 entonces las tres raĂ­ces de la ecuaciĂłn cĂşbica reducida son reales y en consecuencia lo son tambiĂŠn las tres raĂ­ces de la ecuaciĂłn cĂşbica general. Por lo tanto la ecuaciĂłn 2đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ − 2 = 0 tiene tres raĂ­ces reales.

Unidad III.

Finalmente, el propĂłsito de esta actividad es que el alumno pueda analizar la posibilidad o la imposibilidad de construir ciertos polĂ­gonos regulares, mediante el uso de la regla y el compĂĄs. Esto, a travĂŠs de la simbolizaciĂłn del problema de construcciĂłn de dichos polĂ­gonos y luego utilizando la teorĂ­a de soluciĂłn de ecuaciones mediante nĂşmeros construibles, tal y como se ha visto en esta unidad III. Se sugiere dejar el anĂĄlisis de algunos polĂ­gonos regulares, por ejemplo el pentĂĄgono, el octĂĄgono, el decĂĄgono, el dodecĂĄgono, etc. En particular, para esta unidad se recomienda que el alumno investigue sobre a fĂłrmula de los nĂşmeros primos de Fermat y la relaciĂłn encontrada por Gauss con ĂŠsta fĂłrmula y los polĂ­gonos regulares construibles. Esta investigaciĂłn puede tener los mismos elementos que las investigaciones anteriores para poder ser evaluada de la misma manera.

Concluimos este documento mencionándote la importancia de que el estudiante resuelva todos los problemas y ejercicios de repaso indicados en el desarrollo de las distintas unidades, para los cuales serán importantes tus observaciones y sugerencias durante la resolución de cada uno de ellos; esto con el propósito de que el estudiante llegue a la solución correcta. También te sugerimos programar un foro (el cual no se considera en la evaluación) donde se discuta el proceso para encontrar solución para cada uno de los problemas, así como las soluciones obtenidas y algunas observaciones que consideres pertinentes mencionar en la discusión. Estos foros pueden ser programados una vez concluido el estudio de un subtema y tendrán como principal objetivo el propiciar una reflexión acerca de los contenidos matemáticos puestos en juego en cada problema. ¡Te deseamos mucho éxito en este curso!

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.