Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Módulo 2. Geometría euclidiana y geometría analítica Unidad 4. Secciones cónicas TEMA: La parábola
Universidad Abierta y a Distancia de México
UNIDAD 4
La parábola Una parábola se define como el conjunto de puntos P(x,y) del plano tales que la distancia a un punto fijo, llamado foco, y a una recta llamada directriz es igual, es decir, son los puntos que equidistan de un punto y una recta fijos.
Parábola con su directriz, vértice y foco Imagen obtenida de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuacion_parabola2.html
En la parábola podemos definir el vértice de la misma, representado por V(h,k), como el punto medio entre la directriz y el foco. La distancia p como la distancia del vértice al foco o a la directriz, recordemos que es la misma, es la distancia mínima que existe entre cualquier punto de la parábola y el foco o la directriz y es llamada parámetro de la parábola. A partir de estas dos definiciones podemos comenzar a deducir las ecuaciones de la parábola. Además de estas propiedades la parábola tiene asociado un segmento que une dos de sus puntos, este segmento es perpendicular al eje de la parábola y pasa por el foco de la misma, tiene una longitud igual a 4p y es llamado lado Recto. La ecuación de una parábola depende de la posición relativa entre la directriz y el foco, de tal manera que la directriz puede ser vertical y el foco estar a la izquierda o derecha de ella o la directriz ser horizontal y el foco estar por encima o debajo de la directriz. Deduciremos una de las ecuaciones de la parábola, aquella para la cual la directriz es horizontal y el foco está por encima de la directriz, como en la figura anterior. El vértice es V(h,k) con lo cual el foco es F(h,k+p) y la directriz tiene ecuación . Las distancias de un punto P(x,y) al foco y a la directriz son UNADM | DCEIT | EM | EMGEGA
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UNIDAD 4
, ,
con lo cual, al igualar estas distancias, obtenemos la ecuación
elevamos al cuadrado ambos miembros
desarrollamos los cuadrados
Simplificamos términos y despejamos
para obtener la ecuación .
Esta última es llamada ecuación ordinaria o canónica de la parábola y en ella podemos observar que se utilizan las coordenadas del vértice y el parámetro p de la parábola. Como decíamos, la ecuación de una parábola depende de la posición relativa entre la directriz y el foco, además es usual decir que la parábola abre hacia alguna dirección, es decir, hacia arriba, abajo, izquierda o derecha, cada una de las cuales tiene una forma de la ecuación ordinaria, como podemos ver en la tabla siguiente.
UNADM | DCEIT | EM | EMGEGA
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Abre hacia
Ecuaci贸n
Gr谩fica
Arriba (vertical positiva)
Abajo (vertical negativa)
Derecha (horizontal positiva)
Izquierda (horizontal negativa)
UNADM | DCEIT | EM | EMGEGA
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UNIDAD 4
Al desarrollar cualquiera de las ecuaciones de la parábola obtenemos la ecuación general correspondiente Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0 donde A es distinta de C y alguna de ellas es cero, es decir, la ecuación general de una parábola es Ax 2 Dx Ey F 0 en el caso de parábolas verticales y Cy 2 Dx Ey F 0 en el caso de parábolas horizontales. Una vez que identificamos las diferentes ecuaciones de una parábola y las relaciones entre sus elementos, podemos resolver problemas de geometría analítica que impliquen el uso de alguna de las ecuaciones de la parábola. Por ejemplo, calculamos la ecuación de la parábola con foco en F(1,3) y directriz . Para ello podemos ver que la distancia entre el foco y la directriz es de 2, con lo cual y entonces . Además, el punto medio entre el foco y la directriz es el vértice V(1,4) y por la posición del foco respecto a la directriz podemos ver que se trata de una parábola que abre hacia la izquierda, es decir, tiene ecuación
La cual al sustituir los valores de las coordenadas del vértice y el valor de p obtenemos la ecuación
y al desarrollar la misma obtenemos la ecuación general
Ahora observa el siguiente video, para reforzar lo aprendido sobre la parábola.
math2me (2010) Ecuación parábola dado su vértice, foco o directriz URL https://www.youtube.com/watch?v=61uCLqDJGMg
UNADM | DCEIT | EM | EMGEGA
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