λ λ
λ λ λ
𝐸 (λ) = 12,740 ∗
6 9,940 16,800 −6∗ = = 𝟏. 𝟔𝟖 10,000 10,000 10,000
4
𝐸 (𝑋) = ∑ 𝑋𝑖 ∗ 𝑓 (𝑥𝑖) 𝑖=0
= (0.03) + (1.025) + (2.025) + (3.01) + (4.01) = 𝟏. 𝟒𝟓 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸 (𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋))2
4
𝐸
(𝑋 2 )
= ∑ 𝑋 2 ∗ 𝑓 (𝑋𝑖 2 ) 𝑖=0 4
= ∑ 𝑥𝑖 2 ∗ 𝑓(𝑥𝑖) = (02 . 03) + (12 . 025) + (22 . 025) 𝑖=0
+ (32 . 01) + (42 . 01) = 𝟑. 𝟕𝟓
𝑽𝒂𝒓 (𝑿) = 𝟑. 𝟕𝟓 − 𝟏. 𝟒𝟓𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟒𝟕𝟓
2 −2𝑥 1 −𝑥 1 − 𝑒 3 − 𝑒 3 , 𝑠𝑖 𝑥 > 0} 𝑓 (𝑥) = { 3 3 0, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
𝑓 (𝑥) = 𝐹´(𝑥) =
λ
4 −2𝑥/3 1 −𝑥/3 𝑑𝐹 (𝑥) + 𝑒 , 𝑠𝑖 𝑥 > 0 = [9 𝑒 9 𝑑𝑥 0, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
≌
λ
𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒇(𝒙)
𝑹𝑿
(𝒂, 𝒃) ⊂ ℝ
𝑬(𝑿 + 𝒀) = 𝑬(𝑿) + 𝑬(𝒀).
𝑹𝑿
𝑹𝑿 = {𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … , 𝒙𝒏 }
𝒙
𝟎≤ 𝑭(𝒙) ≤ 𝟏.
𝐸(𝑋) = ∞
∫−∞ 𝑥 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥.
→
𝑓𝑋 (𝑥)
⊂ℝ
ЁЭР╣(ЁЭСе)
→
⊂ℝ ⋂
∈
⊂ℝ ⋂ℝ ⊂ℝ 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑃(𝑋 ≠ 𝑥𝑖 ) para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘, … 𝑓(𝑥𝑖 ) = { 1 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊 ) 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒌, … 𝒇(𝒙𝒊 ) = { 𝟎 𝐞𝐧 𝐨𝐭𝐫𝐨 𝐜𝐚𝐬𝐨. 𝑃(𝐴) para 𝑛, … 𝑓(𝑥𝑖 ) = { 1 en otro caso. 𝑃(𝐴⋃𝐵) para 𝑛, … 𝑓(𝑥𝑖 ) = { 0 en otro caso.
𝑅𝑋 (𝑎, 𝑏) ⊂ ℝ
𝑃(𝑋 ≠ 𝑥𝑖 ) para 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘, … 𝑓(𝑥𝑖 ) = { 1 ⋂
⊂ℝ
𝑃(𝐴⋃𝐵) para 𝑛, … 𝑓(𝑥𝑖 ) = { 0 en otro caso.
𝑅𝑋 𝑅𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 }
a) 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 1 b) 𝐸(𝑋 − 𝑌) ≠ 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑌). c) 𝐸(𝑌) = 𝐸(𝑋)⋂𝐸(𝑌). d) 𝑬(𝑿 + 𝒀) = 𝑬(𝑿) + 𝑬(𝒀).
𝑓𝑋 (𝑥) ∞
𝑬(𝑿) = ∫−∞ 𝒙 𝒇𝑿 (𝒙)𝒅𝒙. 𝐸(𝐴 − 𝐵) = (𝑥)𝑑𝑥. ∞
𝐸(𝑋𝑌) = ∫−1 𝑥 𝑓𝑋 . ∞
𝐸(𝐴⋂𝐵) = ∫−∞ 𝐴𝐵 𝑑𝑥. 𝐹(𝑥)
𝑥
2≤
𝐹(𝑥) ≤ 2. 𝑥
𝐹(𝑥) ≤ 0. 𝒙
𝟏.
𝟎 ≤ 𝑭(𝒙) ≤
ЁЭСе
тЙд ЁЭР╣(ЁЭСе)
𝑋 (𝑎, 𝑏)
𝑋~U(𝑎, 𝑏)
1
𝐴𝐵 = {𝑏−𝑎 si 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝟏
𝟎
𝐬𝐢 𝒙 ∈ (𝒂, 𝒃), 𝐞𝐧 𝐨𝐭𝐫𝐨 𝐜𝐚𝐬𝐨.
0
𝑋+𝐵 en otro caso.
𝒇(𝒙) = {
𝑓(𝑥) = {
𝒃−𝒂
𝑓(𝑥) = {𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝑓(1) = 𝑃(𝑋 + 1) = 0 𝒇(𝟏) = 𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝒑 𝑓(0) = 𝑃(𝐴) = 𝑝
𝒇(𝟎) = 𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝟏 − 𝒑
𝑓(0) = 𝑃(𝐴) = 1
𝑓(0) = 𝑃(𝑋 + 2) = 𝑝
𝑓(𝑋 = (𝐴 + 𝐵) = 1
𝜆>0
𝑓(𝑥) = 2 + 5𝑥 𝑓(𝐴) = {𝜆𝑒
−𝜆𝑥
𝑓(𝐴) = { 50
𝐴+𝐵 en otro caso.
−𝝀𝒙 𝐬𝐢 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒇(𝒙) = { 𝝀𝒆 𝟎 𝐞𝐧 𝐨𝐭𝐫𝐨 𝐜𝐚𝐬𝐨.
𝑋~Exp(𝜆)
𝜆 = (𝐸|𝑥)−1 = 𝑓𝑥 (𝑋) =
𝟏𝟎
𝑷 (𝒙 ≺ 𝟏𝟎) = ∫ 𝟎
1
1 22 −𝑥
∗ 𝑒 22 22
≻
𝟏 −𝒙 −𝒙 𝟏𝟎 ∗ 𝒆 ⁄𝟐𝟐 ∅𝒙 = −𝒆 ⁄𝟐𝟐 [ = 𝟏 − 𝒆 −𝟓⁄𝟏𝟏 𝟎 𝟐𝟐
𝟔𝟎
𝑷 (𝟑𝟎 ≺ 𝒙 ⪯ 𝟔𝟎) = ∫ 𝟑𝟎
𝟏 −𝒙 −𝟑𝟎 −𝟏𝟓 ∗ 𝒆 ⁄𝟐𝟐 ∅𝒙 = −𝒆 ⁄𝟏𝟏 + 𝒆 ⁄𝟏𝟏 𝟐𝟐
𝑷 (𝒙 > 𝒕)
⧝
∫ 𝒕
𝟏 −𝒙 −𝒙 ⧝ ∗ 𝒆 ⁄𝟐𝟐 ∅𝒙 = −𝒆 ⁄𝟐𝟐 [ = 𝒆 −𝒕⁄𝟐𝟐 = 𝟎. 𝟏 𝒕 𝟐𝟐 ≌
σ
σ
µ𝒙 = 𝑬 (𝑿) = ∑ 𝑿𝒊 𝒇 (𝑿𝒊) = 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
= 𝟐 (𝟔) + 𝟒 (𝟔) + 𝟔 (𝟔) + 𝟖 (𝟔) + 𝟏𝟎 (𝟔) + 𝟏𝟐 (𝟔) =
𝟒𝟐 𝟔
=𝟕
𝑬 (𝑿𝟐 ) = ∑ 𝑿𝒊𝟐 𝒇 (𝑿𝒊) = 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
= 𝟒 (𝟔) + 𝟏𝟔 (𝟔) + 𝟑𝟔 (𝟔) + 𝟔𝟒 (𝟔) + 𝟏𝟎𝟎 (𝟔) + 𝟏𝟒𝟒 (𝟔) =
𝝈𝟐 = 𝒗𝒂𝒓 (𝑿) = 𝑬(𝑿𝟐 ) − µ𝒙𝟐 = 𝟔𝟎. 𝟕 − (𝟕𝟐 ) = 𝟏𝟏. 𝟕 𝝈𝒙 = √𝒗𝒂𝒓 (𝑿) = √𝟏𝟏. 𝟕 = 𝟑. 𝟒
𝟑𝟓𝟒 𝟔
= 𝟔𝟎. 𝟕
𝒇(𝒙) = −𝝀𝒙 𝐬𝐢 𝒙 ≥ 𝟎, { 𝝀𝒆 𝟎 𝐞𝐧 𝐨𝐭𝐫𝐨 𝐜𝐚𝐬𝐨.
𝒇(𝒙) = 𝟏
{
𝑋
𝒃−𝒂
𝟎
𝐬𝐢 𝒙 ∈ (𝒂, 𝒃), 𝐞𝐧 𝐨𝐭𝐫𝐨 𝐜𝐚𝐬𝐨.
(𝑎, 𝑏) 𝑋~U(𝑎, 𝑏)
𝑓(1) = 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑝 𝑓(0) = 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 𝑝.
𝜆>0 𝑋~Exp(𝜆)