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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 2. Probabilidad


Módulo 4 Unidad 2. Probabilidad

IMPORTANTE

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Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.

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Semana 3 TĂŠcnicas de conteo: permutaciones y combinaciones Las tĂŠcnicas de conteo nos sirven para obtener el nĂşmero total de resultados de un experimento, por ejemplo, si queremos saber cuĂĄntos boletos de loterĂ­a se emiten para un sorteo. Principio multiplicativo. Si un proceso se puede efectuar en la etapa 1 de đ?‘›" formas diferentes, en la etapa 2 de đ?‘›# formas diferentes, asĂ­ sucesivamente hasta que en la etapa k se puede efectuar de đ?‘›$ etapas diferentes, entonces el evento se puede efectuar de đ?‘›" â‹… đ?‘›# â‹Ż đ?‘›$ formas diferentes. Ejemplo: Para el almuerzo podemos escoger entre jugo o fruta, entre cafĂŠ o tĂŠ y entre chilaquiles con huevo, bistec o pollo entonces las formas diferentes en que podemos formar un desayuno son 2 â‹… 2 â‹… 3 = 12 formas diferentes. En el siguiente video se explica el principio fundamental del conteo: el principio multiplicativo.

Math2me (2010) Principio multiplicativo [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=XSPWWIGjA4k

Principio aditivo Si un proceso se puede efectuar de diversas formas donde la primera forma se puede llevar a cabo de �" , la segunda de �# y la última de �$ maneras, entonces este proceso se puede efectuar de �" + �# + ‌ . +�$ formas diferentes. Ejemplo: Si vamos a comprar un automóvil de la marca V, N y H, cuando se vamos hacer la compra observamos que la marca V se presenta en dos tipos diferentes austera o de lujo, en cuatro colores diferentes rojo, azul, negro y blanco y puede ser eståndar o automåtico, mientras que la marca N se presenta en forma austera en color rojo, azul, verde, amarillo, negro, blanco, morado y naranja y puede ser eståndar o automåtico y el automóvil de la marca H se presenta de forma austera o de lujo, en dos colores diferentes blanco o rojo y puede ser eståndar. ¿Cuåntas maneras tenemos para comprar el automóvil? Para la marca V tenemos 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 16 formas UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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Para la marca N se tiene 1 â‹… 8 â‹… 2 = 16 formas Para la marca H obtenemos 2 â‹… 2 â‹… 1 = 4 formas En total tenemos đ?‘‰ + đ?‘ + đ??ť = 16 + 16 + 4 = 36 maneras de comprar el automĂłvil. Los siguientes enlaces nos proporcionan ejemplos resueltos de los principios multiplicativo y aditivo.

Francisco espaĂąahttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2015) principio aditivo- tĂŠcnicas de conteo [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=L_q7laguCnk

MateMovilhttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2015) Principio de la adiciĂłn y MultiplicaciĂłn [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=0oN5B0EXUcw En este video se explica los dos principios y podrĂĄs observar ejemplos de cada uno, ademĂĄs de guiarte a manera de introducciĂłn a la notaciĂłn factorial.

Pedro Castrohttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2014) Principio Aditivo, Principio Multiplicativo y Num. Factorial [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=wRJ1_NQr23g Permutaciones. Si ordenamos en fila una cantidad n de objetos, al cambiar el orden de estos estamos haciendo una permutaciĂłn. El nĂşmero total de ordenaciones diferentes o dicho de otra forma el nĂşmero total de permutaciones diferentes se denota por đ?‘›!. Introducimos el factorial de un nĂşmero đ?‘›! = đ?‘› â‹… đ?‘› − 1 â‹Ż 2 â‹… 1. Como ejemplo 4! = 4 â‹… 3 â‹… 2 â‹… 1 = 24 o por ejemplo 6! = 6 â‹… 5 â‹… 4 â‹… 3 â‹… 2 â‹… 1 = 720. UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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La forma en que podemos permutar n objetos diferentes son đ?‘›!.

Ejemplo Si queremos colocar 4 libros en un estante entonces los podemos ordenar de 4! = 24 formas diferentes. Si tenemos 5 videos hay 5! = 120 formas diferentes en que podemos verlos. El nĂşmero de permutaciones de r objetos tomados de n se escribe đ?‘›đ?‘ƒđ?‘&#x; y es igual a đ?‘›đ?‘ƒđ?‘&#x; =

;! (;=>)!

−= đ?‘› â‹… đ?‘› − 1 â‹Ż (đ?‘› − đ?‘&#x; + 1).

Para las permutaciones nos importa el orden.

Ejemplo 7đ?‘ƒ4 = 7 â‹… 6 â‹… 5 â‹… 4 = 840 o tambiĂŠn 9đ?‘ƒ2 = 9 â‹… 8 = 72. Si tenemos una caja con 20 bolĂ­grafos y queremos probar 4 de ellos en orden, entonces esto lo podemos efectuar de 20đ?‘ƒ4 = 116 280 formas diferentes. Se tiene una caja con 10 celulares distintos y vamos a probar 3 de ellos en orden, entonces esto se puede efectuar de 10đ?‘ƒ3 = 720 formas distintas. En estos enlaces hay ejemplos resueltos de permutaciones.

Educatinahttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2012) PermutacionesProbabilidad (Khan Academy)-Educatina [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=_m3Fjngw4hE

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Educatinahttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2012) Permutaciones con repeticiĂłn-Probabilidad y estadĂ­stica-Educatina [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=vysxB-DOmIE

Combinaciones. Supongamos que inicialmente contamos con đ?‘› objetos y de estos queremos tomar đ?‘&#x;, Âżde cuĂĄntas formas se puede hacer esto? Se acostumbra decir “đ?‘&#x; objetos tomados de đ?‘›â€?. El nĂşmero de combinaciones de r objetos tomados de n se escribe đ?‘›đ??śđ?‘&#x; y es igual a Suđ?‘›đ??śđ?‘&#x; =

đ?‘› = >! đ?‘&#x;

;! ;=> !

.

En las combinaciones no importa el orden. Ejemplo 8đ??ś4 =

C! D!D!

= 70 o tambiĂŠn 5đ??ś2 =

E! #!F!

= 10.

En una mesa circular se sientan 10 personas, Âżde cuĂĄntas formas pueden hacerlo? Dejando fija a una persona esto puede suceder de 9! Formas diferentes. Se quiere formar un comitĂŠ de 3 personas escogidas de 10 personas, Âżde cuĂĄntas formas se puede hacer esto? "G! 10 = = 120 formas diferentes F!H! 3 Juan, SofĂ­a, Ezequiel, Norma, Arturo y Karla forman parte de un proyecto y tienen que escoger a tres de ellos para que puedan llevar a cabo una presentaciĂłn. ÂżDe cuĂĄntas formas pueden escoger a las tres personas? I! 6 = = 20 formas diferentes F!F! 3 ÂżDe cuĂĄntas formas pueden escoger a las tres personas, si solamente puede ir un hombre? 3 3â‹… = 9 formas diferentes 2 ÂżDe cuĂĄntas formas pueden escoger a las tres personas, si solamente pueden ir mujeres? De 1 forma ÂżDe cuĂĄntas formas pueden escoger a las tres personas, si Karla no puede participar?

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5 formas diferentes. 3 Este enlace nos proporciona ejemplos resueltos de combinaciones.

COMBINACIONES [Archivo PDF] Disponible en: www.fic.umich.mx/~lcastro/combinaciones.pdf

En este enlace se explica la diferencia entre permutaciones y combinaciones y nos muestran algunos ejemplos.

Julioprofenet http://profe-alexz.blogspot.mx/ (2012) Diferencia entre Permutaciones y Combinaciones [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=DhOeAPRXGxM

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