Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 2. Probabilidad
Módulo 4 Unidad 2. Probabilidad
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Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.
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Semana 3 TĂŠcnicas de conteo: permutaciones y combinaciones Las tĂŠcnicas de conteo nos sirven para obtener el nĂşmero total de resultados de un experimento, por ejemplo, si queremos saber cuĂĄntos boletos de loterĂa se emiten para un sorteo. Principio multiplicativo. Si un proceso se puede efectuar en la etapa 1 de đ?‘›" formas diferentes, en la etapa 2 de đ?‘›# formas diferentes, asĂ sucesivamente hasta que en la etapa k se puede efectuar de đ?‘›$ etapas diferentes, entonces el evento se puede efectuar de đ?‘›" â‹… đ?‘›# â‹Ż đ?‘›$ formas diferentes. Ejemplo: Para el almuerzo podemos escoger entre jugo o fruta, entre cafĂŠ o tĂŠ y entre chilaquiles con huevo, bistec o pollo entonces las formas diferentes en que podemos formar un desayuno son 2 â‹… 2 â‹… 3 = 12 formas diferentes. En el siguiente video se explica el principio fundamental del conteo: el principio multiplicativo.
Math2me (2010) Principio multiplicativo [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=XSPWWIGjA4k
Principio aditivo Si un proceso se puede efectuar de diversas formas donde la primera forma se puede llevar a cabo de �" , la segunda de �# y la última de �$ maneras, entonces este proceso se puede efectuar de �" + �# + ‌ . +�$ formas diferentes. Ejemplo: Si vamos a comprar un automóvil de la marca V, N y H, cuando se vamos hacer la compra observamos que la marca V se presenta en dos tipos diferentes austera o de lujo, en cuatro colores diferentes rojo, azul, negro y blanco y puede ser eståndar o automåtico, mientras que la marca N se presenta en forma austera en color rojo, azul, verde, amarillo, negro, blanco, morado y naranja y puede ser eståndar o automåtico y el automóvil de la marca H se presenta de forma austera o de lujo, en dos colores diferentes blanco o rojo y puede ser eståndar. ¿Cuåntas maneras tenemos para comprar el automóvil? Para la marca V tenemos 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 16 formas UNADM | DCEIT | EM | EMPE
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Para la marca N se tiene 1 â‹… 8 â‹… 2 = 16 formas Para la marca H obtenemos 2 â‹… 2 â‹… 1 = 4 formas En total tenemos đ?‘‰ + đ?‘ + đ??ť = 16 + 16 + 4 = 36 maneras de comprar el automĂłvil. Los siguientes enlaces nos proporcionan ejemplos resueltos de los principios multiplicativo y aditivo.
Francisco espaĂąahttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2015) principio aditivo- tĂŠcnicas de conteo [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=L_q7laguCnk
MateMovilhttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2015) Principio de la adiciĂłn y MultiplicaciĂłn [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=0oN5B0EXUcw En este video se explica los dos principios y podrĂĄs observar ejemplos de cada uno, ademĂĄs de guiarte a manera de introducciĂłn a la notaciĂłn factorial.
Pedro Castrohttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2014) Principio Aditivo, Principio Multiplicativo y Num. Factorial [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=wRJ1_NQr23g Permutaciones. Si ordenamos en fila una cantidad n de objetos, al cambiar el orden de estos estamos haciendo una permutaciĂłn. El nĂşmero total de ordenaciones diferentes o dicho de otra forma el nĂşmero total de permutaciones diferentes se denota por đ?‘›!. Introducimos el factorial de un nĂşmero đ?‘›! = đ?‘› â‹… đ?‘› − 1 â‹Ż 2 â‹… 1. Como ejemplo 4! = 4 â‹… 3 â‹… 2 â‹… 1 = 24 o por ejemplo 6! = 6 â‹… 5 â‹… 4 â‹… 3 â‹… 2 â‹… 1 = 720. UNADM | DCEIT | EM | EMPE
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La forma en que podemos permutar n objetos diferentes son đ?‘›!.
Ejemplo Si queremos colocar 4 libros en un estante entonces los podemos ordenar de 4! = 24 formas diferentes. Si tenemos 5 videos hay 5! = 120 formas diferentes en que podemos verlos. El nĂşmero de permutaciones de r objetos tomados de n se escribe đ?‘›đ?‘ƒđ?‘&#x; y es igual a đ?‘›đ?‘ƒđ?‘&#x; =
;! (;=>)!
−= đ?‘› â‹… đ?‘› − 1 â‹Ż (đ?‘› − đ?‘&#x; + 1).
Para las permutaciones nos importa el orden.
Ejemplo 7đ?‘ƒ4 = 7 â‹… 6 â‹… 5 â‹… 4 = 840 o tambiĂŠn 9đ?‘ƒ2 = 9 â‹… 8 = 72. Si tenemos una caja con 20 bolĂgrafos y queremos probar 4 de ellos en orden, entonces esto lo podemos efectuar de 20đ?‘ƒ4 = 116 280 formas diferentes. Se tiene una caja con 10 celulares distintos y vamos a probar 3 de ellos en orden, entonces esto se puede efectuar de 10đ?‘ƒ3 = 720 formas distintas. En estos enlaces hay ejemplos resueltos de permutaciones.
Educatinahttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2012) PermutacionesProbabilidad (Khan Academy)-Educatina [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=_m3Fjngw4hE
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Educatinahttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2012) Permutaciones con repeticiĂłn-Probabilidad y estadĂstica-Educatina [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=vysxB-DOmIE
Combinaciones. Supongamos que inicialmente contamos con đ?‘› objetos y de estos queremos tomar đ?‘&#x;, Âżde cuĂĄntas formas se puede hacer esto? Se acostumbra decir “đ?‘&#x; objetos tomados de đ?‘›â€?. El nĂşmero de combinaciones de r objetos tomados de n se escribe đ?‘›đ??śđ?‘&#x; y es igual a Suđ?‘›đ??śđ?‘&#x; =
đ?‘› = >! đ?‘&#x;
;! ;=> !
.
En las combinaciones no importa el orden. Ejemplo 8đ??ś4 =
C! D!D!
= 70 o tambiĂŠn 5đ??ś2 =
E! #!F!
= 10.
En una mesa circular se sientan 10 personas, Âżde cuĂĄntas formas pueden hacerlo? Dejando fija a una persona esto puede suceder de 9! Formas diferentes. Se quiere formar un comitĂŠ de 3 personas escogidas de 10 personas, Âżde cuĂĄntas formas se puede hacer esto? "G! 10 = = 120 formas diferentes F!H! 3 Juan, SofĂa, Ezequiel, Norma, Arturo y Karla forman parte de un proyecto y tienen que escoger a tres de ellos para que puedan llevar a cabo una presentaciĂłn. ÂżDe cuĂĄntas formas pueden escoger a las tres personas? I! 6 = = 20 formas diferentes F!F! 3 ÂżDe cuĂĄntas formas pueden escoger a las tres personas, si solamente puede ir un hombre? 3 3â‹… = 9 formas diferentes 2 ÂżDe cuĂĄntas formas pueden escoger a las tres personas, si solamente pueden ir mujeres? De 1 forma ÂżDe cuĂĄntas formas pueden escoger a las tres personas, si Karla no puede participar?
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5 formas diferentes. 3 Este enlace nos proporciona ejemplos resueltos de combinaciones.
COMBINACIONES [Archivo PDF] Disponible en: www.fic.umich.mx/~lcastro/combinaciones.pdf
En este enlace se explica la diferencia entre permutaciones y combinaciones y nos muestran algunos ejemplos.
Julioprofenet http://profe-alexz.blogspot.mx/ (2012) Diferencia entre Permutaciones y Combinaciones [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=DhOeAPRXGxM
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