Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 2. Probabilidad
Módulo 4 Unidad 2. Probabilidad
IMPORTANTE
Excepto donde el contenido así lo especifique, esta obra está bajo una Licencia de Creative Commons
Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.
UNADM | DCEIT | EM | EMPE
2
MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad
Semana 5 Probabilidad condicional, eventos independientes y teorema de Bayes Probabilidad condicional Para facilitar el cĂĄlculo de probabilidades a continuaciĂłn se introduce la probabilidad condicional. En ocasiones para calcular probabilidades se facilitan los cĂĄlculos al obtener probabilidad condicional. El uso de la probabilidad condicional supone que disponemos de mayor informaciĂłn. La probabilidad condicional se define por P đ??´đ??ľ =
%('∊)) P())
, con đ??ľ ≠∅.
Dos eventos se dicen independientes si P đ??´âˆŠđ??ľ =P đ??´ P đ??ľ . Con esta definiciĂłn se tiene que P đ??´ đ??ľ = P(đ??´) y P đ??ľ đ??´ = P đ??ľ cuando los eventos đ??´ y đ??ľ son independientes. Podemos denotar la regla de la multiplicaciĂłn P đ??´ đ??ľ P(đ??ľ) = đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ) Teorema de la probabilidad total
2.1. Teorema de la probabilidad total. Elaborado por el autor. Para los conjuntos đ??´/ , đ??´1 , đ??ľ ⊆ Ί se tiene que đ?‘ƒ đ??ľ = P(đ??ľ|đ??´/ )P(đ??´/ ) + P(đ??ľ|đ??´1 )P(đ??´1 )
UNADM | DCEIT | EM | EMPE
3
MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad
Teorema de Bayes Si para los conjuntos đ??´/ , đ??´1 , đ??ľ ⊆ Ί se cumple đ??´/ âˆŞ đ??´1 = Ί, đ??´/ ∊ đ??´1 = đ?œ™ entonces podemos escribir P(đ??´/ ∊ đ??ľ) P(đ??ľ|đ??´/ )P(đ??´/ ) P(đ??ľ|đ??´/ )P(đ??´/ ) P(đ??ľ|đ??´/ )P(đ??´/ ) P đ??´/ đ??ľ = = = = . P(đ??ľ) P(đ??ľ ∊ Ί) P đ??ľ ∊ A/ + P(đ??ľ ∊ đ??´1 ) P(đ??ľ|đ??´/ )P(đ??´/ ) + P(đ??ľ|đ??´1 )P(đ??´1 ) El teorema de Bayes es la razĂłn de la regla de la multiplicaciĂłn y el teorema de la probabilidad total. En los siguientes recursos web se muestran ejemplos desarrollados con mucho detalle, observa con atenciĂłn y si tienes duda consulta al docente en lĂnea.
CapĂtulo 3:Probabilidad condicional e independencia-Ci‌ [Archivo de
PDF] Disponible en: www.cimat.mx/~jortega/MaterialDidactico/EPyE09/Cap3.pdf
Probabilidad condicional e independencia.pdf [Archivo de PDF]
Disponible en: http://www.dcb.unam.mx/users/isabelpaj/web/asignaturas/archivos/probay est/Probabilidad%20Condicional%20e%20Independencia.pdf.
Ejemplo 1. Se lanza un dado dos veces. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un tres, dado que el primer lanzamiento fue un cinco? đ??´: el primer lanzamiento es un cinco đ??ľ: el segundo lanzamiento es un tres P đ??´đ??ľ =
UNADM | DCEIT | EM | EMPE
P '∊) P )
=
K LM K M
=
N ON
=
/ N
≈ 0.17.
4
MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad
La probabilidad anterior es pequeĂąa.
2. Una caja contiene 3 bolas de color rojo, 4 de color verde y 5 de color azul. Se toma una bola con reemplazamiento y despuĂŠs se toma una segunda bola.
ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que la segunda extracciĂłn sea una bola azul dado que la primera fue una verde? đ??´: la segunda extracciĂłn es una bola azul đ??ľ: la primer extracciĂłn es una bola verde 5 ≈ 0.42. 12 Eso sucede debido a que A y B son independientes. Una cantidad nada despreciable. đ?‘ƒ đ??´đ??ľ =đ?‘ƒ đ??´ =
3. La caja 1 contiene 6 bolas rojas y 4 bolas azules. La caja 2 contiene 4 bolas rojas y 5 bolas azules. Se toma una bola de la caja 2, sin observar su color, y se coloca en la caja 1. DespuĂŠs se toma una bola de la caja 1. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que sea roja? đ?‘ƒ đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘Ž = đ?‘ƒ đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘Ž ∊ đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œ đ?‘˘đ?‘› đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘Ž + đ?‘ƒ đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘Ž ∊ đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œ đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘§đ?‘˘đ?‘™ = đ?‘ƒ(đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘Ž đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œ đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘Ž đ?‘ƒ đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œ đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘Ž 7 4 6 5 28 + 30 58 + đ?‘ƒ đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘—đ?‘Ž đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œ đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘§đ?‘˘đ?‘™ đ?‘ƒ đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œ đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘§đ?‘˘đ?‘™ = â‹… + â‹… = = 11 9 11 9 99 99 ≈ 0.59.
Los ejercicios en donde se utiliza la extracciĂłn de bolas son muy significativos y nos ayudan a apreciar mejor los conceptos. Estos conceptos despuĂŠs se pueden extrapolar o aplicar en otras situaciones. En el siguiente video se muestran ejercicios de este tipo.
Fikima Aula Virtual (2015) Probabilidad condicionada: extracciĂłn de bolas con y sin reemplazamiento [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=0fwFray6N4I
UNADM | DCEIT | EM | EMPE
5
MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad
4. Suponga que una prueba para detectar diabetes tiene las siguientes caracterĂsticas: El 80% de los casos en que se aplica a personas afectadas por diabetes es positiva, en el 7% de los casos en que se aplica a personas que no padecen la enfermedad, el resultado es positivo. Los resultados de un laboratorio muestran que 5% de la poblaciĂłn padece diabetes. ÂżCalcula la probabilidad que al haber aplicado la prueba a una persona elegida al azar de la poblaciĂłn, padezca diabetes si el resultado fue positivo?. SoluciĂłn: Primero hay que definir los eventos. D:â€?Padece diabetesâ€? S:â€?El resultado de la prueba es positivoâ€? Datos del problema đ?‘ƒ đ?‘† đ??ˇ = 0.80, đ?‘ƒ đ?‘† đ??ˇ m = 0.07, đ?‘ƒ đ??ˇ = 0.05 đ?‘ƒ đ??ˇ đ?‘† =? De lo anterior se tiene que đ?‘ƒ đ??ˇ o = 0.95 đ?‘ƒ đ??ˇđ?‘† =
đ?‘ƒ đ?‘† đ??ˇ đ?‘ƒ(đ??ˇ) (0.80)(0.05) = = 0.376 o o đ?‘ƒ đ?‘† đ??ˇ đ?‘ƒ đ??ˇ + đ?‘ƒ đ?‘† đ??ˇ đ?‘ƒ(đ??ˇ ) 0.80 0.05 + (0.07)(0.95)
En el siguiente enlace se muestran ejemplos en los que se explica con detalle el Teorema de Bayes.
disenonaval (2012) Probabilidad Total y Teorema de Bayes- David Tamayo Mamani [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=VEz7kU1uUvA
UNADM | DCEIT | EM | EMPE
6