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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 2. Probabilidad

Módulo 4 Unidad 2. Probabilidad

IMPORTANTE

Excepto donde el contenido así lo especifique, esta obra está bajo una Licencia de Creative Commons

Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.

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Semana 6 Distribuciones de probabilidad discretas y continuas Variable aleatoria A continuaciĂłn te mostramos un ejemplo de variable aleatoria. El esquema general que vamos a seguir es el siguiente: đ?œ€: experimento Ί: espacio muestral, el conjunto de los resultados posibles del experimento đ?‘‹: variable aleatoria (v.a), una caracterĂ­stica del espacio muestral

El siguiente video explica lo que es una variable aleatoria

FisicayMates (2014) Variable aleatorias discretas y continuas| EstadĂ­stica UNED [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=n0T_HcJ7oak

Ejemplo đ?œ€: se lanza un dado dos veces Ί = { 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 , 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , (6,6)} đ?‘‹: la suma de los resultados en el primer y el segundo lanzamiento. đ?‘‹ 1,1

=2

đ?‘‹ 1,2

=3

đ?‘‹ 1,3

=4

đ?‘‹ 1,4

=5

đ?‘‹ 1,5

=6

đ?‘‹ 1,6

=7

đ?‘‹ 2,1

=3

đ?‘‹ 2,2

=4

đ?‘‹ 2,3

=5

đ?‘‹ 2,4

=6

đ?‘‹ 2,5

=7

đ?‘‹ 2,6

=8

đ?‘‹ 3,1

=4

đ?‘‹ 3,2

=5

đ?‘‹ 3,3

=6

đ?‘‹ 3,4

=7

đ?‘‹ 3,5

=8

đ?‘‹ 3,6

=9

đ?‘‹ 4,1

=5

đ?‘‹ 4,2

=6

đ?‘‹ 4,3

=7

đ?‘‹ 4,4

=8

đ?‘‹ 4,5

=9

đ?‘‹ 4,6

= 10

đ?‘‹ 5,1

=6

đ?‘‹ 5,2

=7

đ?‘‹ 5,3

=8

đ?‘‹ 5,4

=9

đ?‘‹ 5,5

= 10

đ?‘‹ 5,6

= 11

đ?‘‹ 6,1

=7

đ?‘‹ 6,2

=8

đ?‘‹ 6,3

=9

đ?‘‹ 6,4

= 10

đ?‘‹ 6,5

= 11

đ?‘‹ 6,6

= 12

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A continuación escribimos la función de probabilidad de la variable aleatoria 1 2 3 P �=2 = P �=3 = P �=4 = 36 36 36 4 6 5 P �=5 = P �=7 = P �=6 = 36 36 36 4 3 5 P �=9 = P � = 10 = P �=8 = 36 36 36 2 1 P � = 11 = P � = 12 = 36 36 A continuación escribimos la función de distribución de la variable aleatoria. 1 3 P �<2 =0 P 2≤�<3 = P 3≤�<4 = 36 36 6 10 15 P 4≤�<5 = P 5≤�<6 = P 6≤�<7 = 36 36 36 21 26 30 P 7≤�<8 = P 8≤�<9 = P 9 ≤ � < 10 = 36 36 36 33 35 P 12 ≤ � = 1 P 10 ≤ � < 11 = P 11 ≤ � < 12 = 36 36

El siguiente video explica la funciĂłn de probabilidad y la funciĂłn de distribuciĂłn de una variable aleatoria discreta

FisicayMates (2014) Variable Aleatorias Discretas| FunciĂłn de probabilidad y de distribuciĂłn [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=naEqsDvkIXs

Distribuciones de probabilidad discretas Denotamos por đ?‘“ đ?‘Ľ a una funciĂłn de probabilidad que tambiĂŠn se le conoce como funciĂłn masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, la cual satisface que, para cada valor x: 1. đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ 0 2. ;đ?‘“ đ?‘Ľ = 1 3. đ?‘ƒ đ?‘‹ = đ?‘Ľ = đ?‘“(đ?‘Ľ) UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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Sea X una variable aleatoria discreta, la funciĂłn de distribuciĂłn acumulativa đ??š(đ?‘Ľ) con distribuciĂłn de probabilidad đ?‘“(đ?‘Ľ) es đ??š đ?‘Ľ =đ?‘ƒ đ?‘‹â‰¤đ?‘Ľ =

đ?‘“ đ?‘Ś , đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž − ∞ < đ?‘Ľ < ∞. EF;

Un ensayo de Bernoulli, consiste de un experimento en el que se tienen solamente dos resultados posibles: ĂŠxito y fracaso. La probabilidad de obtener un ĂŠxito la denotamos por đ?‘? y la probabilidad de obtener un fracaso la denotamos por đ?‘ž = 1 − đ?‘?. Ejemplo. Consideremos el experimento que consiste en lanzar una moneda, en el cual los posibles resultados son ĂĄguila o sol. Si decimos que obtener un ĂĄguila corresponde a un ĂŠxito y obtener H

un sol un fracaso, podemos decir que en una moneda balanceada đ?‘? = đ?‘ž = . I

Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado balanceado. Si decimos que obtener un lanzamiento menor o igual que 2 como ĂŠxito y mayor o igual que 3 como fracaso, entonces đ?‘? =

H J

I

yđ?‘ž= . J

Consideremos que llevamos a cabo n ensayos de Bernoulli los cuales son independientes. Sea la variable aleatoria đ?‘‹ el nĂşmero de ĂŠxitos obtenidos. Entonces se dice que la variable aleatoria đ?‘‹ tiene distribuciĂłn binomial, y tiene funciĂłn de probabilidad K ; đ?‘? (1 − đ?‘?)KL; con đ?‘Ľ = 0,1, ‌ , đ?‘›. ; Ejemplo. Una urna contiene 10 pelotas, 2 negras y 8 rojas. Se escoge una pelota al azar con reemplazamiento y se repite el experimento 10 veces. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de obtener 3 negras? 10 0.2J (0.8)O = 0.20. 3

Consideremos que contamos con una urna con 10 pelotas, de las cuales 3 son negras, 2 verdes, 4 rojas y 1 azul. Se escoge una pelota al azar, se anota su color y despuĂŠs se regresa a la urna. Esto se repite 20 veces. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de obtener 5 negras, 5 verdes, 5 rojas y 5 azules? La distribuciĂłn que describe a esta variable aleatoria se conoce como multinomial. 20! 3 Q 2 Q 4 Q 1 Q = 0.93Ă—10LJ . 5! 5! 5! 5! 10 10 10 10 UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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Consideremos el siguiente experimento. Contamos con una urna que contiene N pelotas, de las cuales n son de color blanco y N-n son de color negro. Se seleccionan k al azar y x representa el nĂşmero de pelotas blancas. La variable aleatoria tiene una distribuciĂłn de probabilidad hipergeomĂŠtrica K ;

SLK TL; S T

en donde 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘˜.

Ejemplo. Una caja contiene 100 fusibles de los cuales 10 son defectuosos. Se escogen al azar 20. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que 5 de ellos sean defectuosos? 10 90 5 15 = 0.02. 100 20

Consideremos ahora que efectuamos đ?‘Ľ ensayos independientes de Bernoulli, de tal manera que obtenemos đ?‘Ľ − 1 fracasos exactamente en los primeros đ?‘Ľ − 1 ensayos y obtenemos un ĂŠxito en el ensayo nĂşmero đ?‘Ľ. La variable aleatoria tiene distribuciĂłn geomĂŠtrica Una variable aleatoria đ?‘‹ tiene una distribuciĂłn de Poisson si tiene funciĂłn de densidad VW ;!

� LV con � = 1,2,3, ‌

Ejemplo. Se sabe que el nĂşmero de personas que entran a un banco por hora tiene una distribuciĂłn de Poisson, en donde el nĂşmero de personas que entran en promedio por hora es 5. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que entren 2 personas en una hora? Esto es 5I LQ đ?‘’ = 0.08. 2!

Distribuciones de probabilidad continuas La funciĂłn de densidad de probabilidad đ?‘“(đ?‘Ľ) de una variable aleatoria continua X, la cual satisface que, si para cada valor đ?‘Ľ ∈ â„?: 1. đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ 0 \ 2. L\ đ?‘“ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 1 3. đ?‘ƒ đ?‘Ž < đ?‘‹ < đ?‘? =

^ đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ _

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Sea X una variable aleatoria continua, la funciĂłn de distribuciĂłn acumulativa đ??š(đ?‘Ľ) con distribuciĂłn de probabilidad đ?‘“(đ?‘Ľ) es ;

đ??š đ?‘Ľ =đ?‘ƒ đ?‘‹â‰¤đ?‘Ľ =

đ?‘“ đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś , đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž − ∞ < đ?‘Ľ < ∞. L\

En esta secciĂłn necesitamos retomar algunos conceptos de cĂĄlculo elemental del mĂłdulo 3 CĂĄlculo y elementos de anĂĄlisis asĂ­ como funciones. Primeramente se muestran las grĂĄficas de algunas funciones.

Para đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ la grĂĄfica correspondiente es

Para đ?‘” đ?‘Ľ = đ?‘Ľ I la grĂĄfica correspondiente es

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b

Para â„Ž đ?‘Ľ = đ?‘’ L; la grĂĄfica correspondiente es

Para ser mĂĄs especĂ­ficos tenemos que indicar el dominio de la funciĂłn, es decir se debe expresar en la siguiente forma: Por ejemplo sea đ?‘“: â„? → â„?, definida por đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ, Por ejemplo sea đ?‘—: [−2,2] → â„?, definida por đ?‘— đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ.

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Las funciones đ?‘“ y đ?‘— no son las mismas. No tienen el mismo dominio de definiciĂłn. Estamos familiarizado con las funciones trigonomĂŠtricas, por decir đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ľ). Vamos a graficar đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ľ) en donde el argumento đ?‘Ľ viene dado en radianes.

Nuevamente es necesario expresar el dominio de la funciĂłn, tenemos que escribir đ?‘“: â„? → â„?, con đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ .

Definamos đ?‘˜: â„? → â„? mediante la regla đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ľ) , cuando đ?‘Ľ ≠0 đ?‘˜ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 1 , cuando đ?‘Ľ = 0

Observa como se hace una distinciĂłn cuando đ?‘Ľ = 0. Si intentas evaluar directamente te vas a dar cuenta que se presenta una dificultad al poner đ?‘˜(0). Por eso es necesario ser precisos en la definiciĂłn. La grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘˜ se muestra a continuaciĂłn.

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Definamos đ?‘™: â„? → â„? mediante la regla |đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ | , cuando đ?‘Ľ ≠0 đ?‘™ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 1 , cuando đ?‘Ľ = 0

Notar que se hace Ênfasis en el valor que toma la función para � = 0, se utiliza un círculo cerrado para indicar el valor � 0 = 1 y un círculo abierto para hacer Ênfasis que � 0 ≠0. Consideremos a continuación una función escalonada con un solo escalón. Definamos a la función � � : � → �, mediante la regla 1, cuando 0≤� ≤ 1 � � = . 0, en otro caso.

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La grĂĄfica correspondiente es

Una función de densidad �: � → � es una función no negativa tal que

\ đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ =1. L\

Las funciones de densidad se utilizan para calcular probabilidades en el siguiente sentido. Si đ?‘‹ tiene funciĂłn de densidad đ?‘“ entonces ^

P đ?‘Žâ‰¤đ?‘‹â‰¤đ?‘? =

đ?‘“ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ. _

Entonces đ?‘‹ tiene funciĂłn de distribuciĂłn đ??š: â„? → 0,1 , definida por ;

đ??š đ?‘Ľ =

đ?‘“ đ?‘ đ?‘‘đ?‘ . L\

Vamos a revisar 3 ejemplos. 1. La distribución uniforme continua. Se dice que una variable aleatoria � tene distribución uniforme continua si tiene función de densidad �, donde � � : � → �, se define mediante la regla H

đ?‘“ đ?‘Ľ =

, cuando a≤đ?‘Ľ ≤ đ?‘?

. 0, en otro caso. NĂłtese que para el ejemplo concreto a=1 y b=2. En efecto, la funciĂłn es nonegativa y claramente el ĂĄrea bajo la curva, o sea la integral, es 1. El ĂĄrea de la regiĂłn sombreada es 1. đ?‘“ es una funciĂłn de densidad. UNADM | DCEIT | EM | EMPE

^L_

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2. Se dice que una varible aleatoria đ?‘‹ tiene distribuciĂłn exponencial si su funciĂłn de densidad đ?‘“: â„? → â„?, viene dada por đ?œ†đ?‘’ LV; , cuando đ?‘Ľ ≼ 0 đ?‘“ đ?‘Ľ = 0, cuando x<0. En efecto đ?‘“ es una funciĂłn de densidad, ya que es no negativa y el ĂĄrea bajo la curva es 1. En la figura que se muestra a continuaciĂłn el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada es 0.9817 (P 0 ≤ đ?‘‹ ≤ 4 = 0.9817), se aprecia tambiĂŠn que la mayor candtidad de ĂĄrea se concentra cerca del 0. Para la grĂĄfica tenemos el valor particular đ?œ† = 1.

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3. Se dice que una variable aleatoria đ?‘‹ tiene distribuciĂłn normal con media đ?œ‡ y desviaciĂłn estĂĄndar đ?œŽ si tiene funciĂłn de densidad đ?‘“: â„? → â„?, dada por H ;L{ b 1 L đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘’ I | . đ?œŽ 2đ?œ‹ En efecto la funciĂłn es positiva y el ĂĄrea bajo la curva es 1. En particular se muestra la grĂĄfica para đ?œ‡ = 0 y đ?œŽ = 1. El ĂĄrea de la regiĂłn sombreada a cuatro dĂ­gitos decimales es 0.6827.

El ĂĄrea de la regiĂłn sombreada a cuatro dĂ­gitos decimales es 0.9545.

Finalmente el ĂĄrea sombreada a cuatro dĂ­gitos es 0.9973

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Esto significa que si una variable aleatoria đ?‘‹ se distribuye normalmente entonces al menos el 68.27% de los datos se encuentran a una desviaciĂłn estĂĄndar de la media, al menos 95.45% de los datos se encuentran a dos desviaciones estĂĄndar de la media y al menos el 99.75% de los datos se encuentran a tres desviaciones estĂĄndar de la media.

Cålculo de probabilidades y funciones de distribución Como se comentó anteriormente las funciones de densidad nos sirven para calcular probabilidades. Ejemplo: Si una variable aleatoria � tiene distribución continua uniforme �: � → �, dada por 1 , � � = si 0 ≤ � ≤ 2 2 0, en otro caso Calcular P 0.73 ≤ � . Esto es, P 0.73 ≤ � =

\ đ?‘“ L\

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đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ =

I H �� •.OJ I

H

= ∗ 2 − 0.73 = 0.635. I

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