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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 2. Probabilidad

Módulo 4 Unidad 2. Probabilidad

IMPORTANTE

Excepto donde el contenido así lo especifique, esta obra está bajo una Licencia de Creative Commons

Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.

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MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad

Semana 7 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria En los ejercicios anteriores hemos identificado la funciĂłn de distribuciĂłn que describe el problema y nos condujo al cĂĄlculo de probabilidades. Una vez que identificamos la funciĂłn de distribuciĂłn vamos a proceder a calcular el valor esperado de la variable. El valor esperado de una variable aleatoria discreta se define como

) %*+ đ?‘Ľ% P(đ?‘‹

đ??¸ đ?‘‹ =

= đ?‘Ľ% ) .

Ejemplo. Considere la siguiente variable aleatoria

đ?‘‹ P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ)

0 4 12

1 5 12

Su valor esperado es đ??¸ đ?‘‹ = 0 ∙

2 34

+1∙

6 34

+2∙

2 1 12 3 34

+3∙

4 34

=

38 34

3 2 12

= 1.08.

El valor esperado de una variable aleatoria continua se define como )

đ??¸ đ?‘‹ =

đ?‘ĽP(đ?‘‹ = đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ . <)

TambiĂŠn se suele encontrar las notaciones đ?œ‡ = đ?œ‡> = đ??¸ đ?‘‹ . Ejemplo: 3

Sea đ?‘“ đ?‘Ś =

� 8 , cuando 0 ≤ � ≤ 2

2

0, cuando y=0.

Se tiene que 4

4

đ??¸ đ?‘Œ =

đ?‘ŚP đ?‘Œ = đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś = +

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+

1 đ?‘Ś đ?‘Ś 8 đ?‘‘đ?‘Ś = 4

4

+

1 2 11 6 2 1 6 1 6 1 6 8 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘Ś = 2 − 0 = 2 = 0 20 4 45 20 20 5

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A continuaciĂłn agregamos un enlace en el que se describe el concepto del valor esperado tanto discreto y continuo. AdemĂĄs se muestra el cĂĄlculo del valor esperado por medio de algunos ejemplos.

Mary Salm (2013)Valor esperado [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=K9m5P92ICHE

En el siguiente enlace se muestran algunas propiedades del valor esperado y su demostraciĂłn.

Luis RincĂłn(2013)0625 Esperanza: propiedades [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=0kowS0mEOcU

La varianza de una variable aleatoria discreta se define como )

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ = đ??¸ đ?‘‹ − đ?œ‡

4

(đ?‘Ľ% -Âľ)4 P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ% )

= %*+

La varianza de una variable aleatoria continua se define como đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ = đ??¸ đ?‘‹ − đ?œ‡

4

)

=

(đ?‘Ľ − đ?œ‡)4 P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ .

<)

TambiĂŠn se utiliza la siguiente notaciĂłn đ?œŽ 4 = đ?œŽ>4 = đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ .

Ejemplo: De los ejemplos anteriores calcularemos su varianza.

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đ?‘‹=x f(x)=P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ) đ?‘Ľđ?‘“(đ?‘Ľ)

0 4 12 0

đ?‘Ľ 4 đ?‘“(đ?‘Ľ)

0

1 5 12 5 12 5 12

2 1 12 2 12 4 12

3 2 12 6 12 9 12

Total 1 13 12 18 12

Podemos observar que đ?‘Ľđ?‘“ đ?‘Ľ = 1.083 y que đ??¸ đ?‘‹ 4 =

đ?œ‡=đ??¸ đ?‘‹ =

đ?‘Ľ 4 đ?‘“ đ?‘Ľ = 1.5

por lo tanto, la variancia es: đ?œŽ 4 = đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ = đ??¸ đ?‘‹ 4 − đ?œ‡ 4 = 1.5 − (1.083)4 = 0.327 y la desviaciĂłn estĂĄndar: đ?œŽ = 0.571 Ejemplo: 3

Sea đ?‘“ đ?‘Ś =

2

� 8 , cuando 0 ≤ � ≤ 2 0, cuando y=0.

Se tiene que đ??¸ đ?‘Œ = đ??¸ đ?‘Œ4 =

4

4

đ?‘Ś 4 P đ?‘Œ = đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś =

+

+

1 đ?‘Ś 4 đ?‘Ś 8 đ?‘‘đ?‘Ś = 4

4

+

8 5

1 6 11 X 2 1 X 1 X 1 X 8 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘Ś = 2 − 0 = 2 = 0 24 4 46 24 24 3

Por lo tanto, la varianza es: 4

đ?œŽ = đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘‹ = đ??¸ đ?‘‹

4

8 8 −đ?œ‡ = − 3 5 4

4

=

8 75

y la desviaciĂłn estĂĄndar: đ?œŽ = 0.3266

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El siguiente enlace corresponde a un video en el que se enuncia la definiciĂłn de la varianza. AdemĂĄs se calcula la varianza a travĂŠs de ejemplos.

Luis RincĂłn(2013)0625 Varianza: definiciĂłn [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=YiHzJgg0OB8

A continuaciĂłn aparece un enlace de un viedeo en el que se enuncian las propiedades de la varianza y se demuestran. NĂłtese en este caso la diferencia entre las demostraciones y la resoluciĂłn de ejercicios. Las demostraciones nos muestran un poco de la deducciĂłn de las propiedades, i.e., nos aportan formaciĂłn en cuanto a la teorĂ­a.

Luis RincĂłn(2013)0625 Varianza: propiedades [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=I6Gcr5BUJt4

La siguiente table, es un resĂşmen de las funciones de distribuciĂłn mĂĄs importantes. Aparece tambiĂŠn el valor esperado y la varianza correspondiente. En futuros ejercicios se te va a pedir que identifiques el tipo de distribuciĂłn que modela el problema y puedes remitirte a esta tabla para utilizar la ecuaciĂłn correspondiente asĂ­ como hacer uso del correspondiente valor esperado y varianza. DistribuciĂłn Binomial HipergeomĂŠtrica

Binomial Negativa

EcuaciĂłn đ?‘› [ ]<[ đ?‘? đ?‘ž , đ?‘Ľ = 0,1,2, , ‌ . , đ?‘›. đ?‘Ľ

_ [

`<_ ]<[ ` ]

en donde 0 ≤ � ≤ �.

đ?‘Ś − 1 d e<d đ?‘? đ?‘ž , đ?‘&#x;−1 đ?‘Ś = đ?‘&#x;, đ?‘&#x; + 1, đ?‘&#x; + 22, ‌, 0≤đ?‘?≤1

đ?‘ƒ đ?‘Ś =

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Valor Esperado đ?œ‡ = đ?‘›đ?‘? đ?œ‡=

đ?‘›đ?‘˜ đ?‘

đ?œ‡=

đ?‘&#x; đ?‘?

Varianza đ?œŽ 4 = đ?‘›đ?‘?đ?‘ž đ?œŽ4 =

đ?‘ −đ?‘› đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘› 1− đ?‘ −1 đ?‘ đ?‘

đ?œŽ4 =

đ?‘&#x;(1 − đ?‘?) đ?‘?4

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1 đ?‘? đ?œ‡=đ?œ†

đ?‘?đ?‘ž [<3 , con x=1,2,3,‌

GeomĂŠtrica

fg

Poisson

[!

đ?œ‡=

đ?‘’ <f

1−đ?‘? đ?‘?4 đ?œŽ4 = đ?œ†

đ?œŽ4 =

con � = 1,2,3, ‌ Exponencial

Uniforme

Normal

Gamma

đ?‘“ đ?‘Ľ =

đ?œ†đ?‘’ <f[ , cuando đ?‘Ľ ≼ 0 0, cuando x<0.

3

đ?‘“ đ?‘Ľ =

m<n

0, en otro caso.

đ?‘“ đ?‘Ľ =

1 đ?œŽ 2đ?œ‹ <

đ?‘’

<

.

3 [<u w 4 v .

[

đ?‘Ľ x<3 đ?‘’ y đ?‘“ đ?‘Ľ = βx Γ đ?›ź , 0≤ đ?‘Ľ < ∞ 0, en otro caso.

„

[

đ?‘Ľ (4)<3 đ?‘’ <4 , 0≤ đ?‘Ľ < ∞ đ?‘“ đ?‘Ľ = 2 „4 Γ đ?œ? 2 0, en otro caso. ) Γ đ?›ź = + đ?‘Ľ x<3 đ?‘’ <[ đ?‘‘đ?‘Ľ .

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đ?œ‡=

1 đ?œ†

đ?‘?+đ?‘Ž 2

đ?œŽ4 =

đ?œŽ4 =

1 đ?œ†4

(đ?‘? − đ?‘Ž)4 12

đ?œ‡

đ?œŽ4

đ?œ‡ = đ?›źđ?›˝

đ?œŽ 4 = đ?›źđ?›˝ 4

đ?œ‡=đ?œ?

đ?œŽ 4 = 2đ?œ?

) x<3 <[ đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ľ . +

Γ đ?›ź = đ?œ’4 (đ??˝đ?‘– − đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž)

, cuando a≤đ?‘Ľ ≤ đ?‘?

đ?œ‡=

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