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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 3. Inferencia estadística

Módulo 4 Unidad 3. Inferencia estadística

IMPORTANTE

Excepto donde el contenido así lo especifique, esta obra está bajo una Licencia de Creative Commons

Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.

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MĂłdulo 4 Unidad 3. Inferencia estadĂ­stica

Semana 10 Las siguientes dos distribuciones se encuentran relacionadas con la varianza muestral đ?‘† " . La distribuciĂłn đ?œ’ " se utiliza para estimar la varianza poblacional đ?œŽ " ; asĂ­ que en esta secciĂłn hablamos acerca de la distribuciĂłn del estadĂ­stico

đ?‘› − 1 đ?‘†"

đ?œŽ"

en vez de solamente considerar

đ?‘† ". DistribuciĂłn đ??Œđ?&#x;? “chi-cuadradaâ€? Si đ?‘† " es la varianza de una muestra aleatoria de tamaĂąo đ?‘› que se toma de una poblaciĂłn normal que tiene la varianza đ?œŽ " , entonces el estadĂ­stico đ?‘› − 1 đ?‘†" đ?œ’ = = đ?œŽ"

-

"

,./

đ?‘‹, − đ?‘‹ đ?œŽ"

"

tiene una distribuciĂłn chi cuadrada con đ?œˆ = đ?‘› − 1 grados de libertad. Ejemplo 1 Supongamos que tomamos una muestra de tamaĂąo 10 para una poblaciĂłn normal. Calcular el valor đ?œ’1" tal que P đ?œ’1" < đ?œ’ " = 0.95. Podemos utilizar el software GeoGebra para el cĂĄlculo de probabilidades. En GeoGebra 4 primero seleccionamos Probability Calculator (CĂĄlculos de Probabilidad).

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En GeoGebra 5 cambiamos la vista a Cálculo de Probabilidades.

Para la ventana emergente, seleccionamos la ditribución Chi Cuadrado (Chi-Squared) y en grados de libertad df (degrees of freedom) seleccionamos 9 porque la muestra es de tamaño 10.

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Seleccionamos calcular la probabilidad por el lado derecho e introducimos la probabilidad dada que es 0.95 para obtener 3.3251. Ejemplo 2 Se toma una muestra de tamaĂąo 10 para una poblaciĂłn normal. Calcular P đ?œ’ " < 5 . Ocupando nuevamente el software GeoGebra obtenemos lo siguiente

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Es decir la probabilidad buscada es 0.1657. Ejemplo 3 Un fabricante de lĂĄmparas asegura que su producto durarĂĄ 4 aĂąos con desviaciĂłn estĂĄndar de 1 aĂąo. Se toman 4 lĂĄmparas y tienen las siguientes duraciones: 2.3, 3, 4,2 y 4.5 aĂąos. ÂżCĂłmo podremos comprobar que la desviaciĂłn estĂĄndar es de un aĂąo? Primero se calcula la varianza đ?‘‹ = 3.5 đ?‘† " = 1.03 Y por lo tanto đ?œ’" = 3 ∗

/.;< /

= 3.09.

La variable aleatoria tiene una distribuciĂłn Chi-cuadrada con 4 grados de libertad y lo que vamos hacer es identificar si el valor 3.09 es atĂ­pico o no. Decidimos que si el valor no pertenece al 95% de la poblaciĂłn entonces el valor es atĂ­pico. La elecciĂłn del 95% es comĂşn. Deseamos escoger un intervalo que precisamente contenga el 95% de los valores y si el valor 3.09 cae fuera de este intervalo entonces serĂĄ un valor atĂ­pico, esto es, pertenece al 5%. UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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A continuación se agrega la imagen del cálculo correspondiente al 2.5% de la población a la derecha de la media que es 4.

A continuación se agrega la imagen del cálculo correspondiente al 2.5% de la población a la izquierda de la media que es 4.

A continuación se agrega la imagen del cálculo correspondiente al intervalo que contiene el 95% de la población

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Como el 95% de los datos se encuentran entre 0.4844 y 11.1433, y 3.09 se encuentra en ese intervalo el resultado se considera razonable. Cuando no se conoce đ?œ‡ y se considera la distribuciĂłn de -

,./

đ?‘‹, − đ?‘‹ đ?œŽ"

"

Hay 1 grado menos de libertad. En la muestra aleatoria de la distribuciĂłn normal hay n grados de libertad o partes de informaciĂłn independiente. Cuando los datos se utilizan para calcular la media, hay un grado menos de libertad en la informaciĂłn que se utiliza para estimar đ?œŽ " . A menudo una estimaciĂłn de đ?œŽ debe ser proporcionada por la misma informaciĂłn muestral que produce el promedio muestral đ?‘Ľ. En este enlace se muestra la distribuciĂłn chi cuadrada, asĂ­ como sus aplicaciones.

KhanAcademyEspanol (2015) DistribuciĂłn chi cuadrado[Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=9Gg_hieE2w8

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DistribuciĂłn đ?‘­. Finalmente mostramos como se usa la distribuciĂłn đ??š para comparar las varianzas muestrales; esto es, dada una muestra 1 de tamaĂąo đ?‘›/ con varianza đ?‘†/" y dada una muestra 2 de tamaĂąo đ?‘›" con varianza đ?‘†" una forma de comparar las dos varianza muestrales es considerando el cociente đ?‘†/"

ABC

, �""

pero mejor aĂşn se considera el estadĂ­stico

DBC

ACC

.

DCC

Sean đ?‘ˆ y đ?‘‰ dos variables aleatorias independientes que tienen distribuciones chi cuadrada con đ?œˆ/ y đ?œˆ" grados de libertad, respectivamente. Entonces, la distribuciĂłn de la variable aleatoria đ??š = G/IB J/IC

esta dada por la función de densidad Γ ℎ � =

đ?œˆ/ + đ?œˆ" đ?œˆ/ IB /" IB đ?‘“ " 2 đ?œˆ" đ?œˆ đ?œˆ đ?œˆ đ?‘“ Γ / Γ( " ) 1+ / 2 2 đ?œˆ

Q/

(IB SIC)/C

, đ?‘“ > 0

"

0. đ?‘“ ≤ 0. Ésta se conoce como la distribuciĂłn F con đ?œˆ/ y đ?œˆ" grados de libertad. Ejemplo 1 Se tiene una poblaciĂłn A y una poblaciĂłn B, se toma una muestra de cada una de las poblaciones y se obtienen los siguientes resultados: PoblaciĂłn A PoblaciĂłn B

17.1

18.2

15.0

13.9

14.5

14.6

18.3

19.1

12.3

12.4

13.6

11.9

12.1

11.8

11.3

11.4

12.2

13.4

Vamos a utilizar los datos anteriores para comparar las varianzas poblacionales asumiendo en primer lugar que estas son iguales. Calculemos un valor đ?‘“1 tal que P đ?‘“ > đ?‘“1 = 0.01. Se escribe tambiĂŠn como P đ?‘“ > đ?‘“;.;/ = 0.01. Por medio de GeoGebra obtenemos que đ?‘“;.;/ = 6.72. Tenemos entonces para nuestro caso đ?‘›/ = 8 con đ?‘†/" = 4.24 y đ?‘›" = 10 con đ?‘†"" = 0.58, y ademĂĄs đ?œŽ" = đ?œŽ/ . Chequemos que con estos datos, el cociente que se describe a continuaciĂłn satisface que es mayor que 6.72 đ?‘†/" đ?œŽ/" P > 6.72 = 0.01. đ?‘†"" đ?œŽ""

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Se cumple que 7.31 > 6.72, es decir 𝑆/" 𝑆""

𝜎/"

=

4.24 = 7.31. 0.58

𝜎"" Por lo tanto la suposición de que las varianzas poblacionales son iguales es aceptable. Ejemplo 2 Para dos poblaciones diferentes, ambas con distribución normal, se toma una muestra de cada una de tamaño 25. ABC

Calcular un valor 𝑓1 tal que P

ACC

DBC

> 𝑓1

= 0.05.

DCC

Esto es, consideramos la distribución 𝐹 con 𝜈/ = 24 grados de libertad y 𝜈" = 24 grados de libertad. Checamos con la tabla o software y se obtiene 𝑓1 = 1.98. ABC

Calcular un valor 𝑓1 tal que P ABC

Utilizamos la relación P ABC

P

ACC

DBC

ACC

ACC

DBC

DBC

< 𝑓1

= 0.05.

DCC ABC

< 𝑓1

=1−P

DCC

ACC

DBC

> 𝑓1 . Quiere decir que necesitamos

DCC

> 𝑓1 =0.95.

DCC

Después utilizamos la relación 𝑓/Q;.;[ 19,19 =

/ \].]^ (/_,/_)

=

/ /._`

= 0.51.

Vamos a asumir que las varianzas poblacionales son iguales 𝜎/" = 𝜎"" . La varianza muestral de la primera muestra es 𝑆/" = 3.42 y para la segunda se tiene 𝑆"" = 4.75. Si el valor 𝐹 cae dentro del intervalo encontrado, una persona no contaría con pruebas que refuten tal afirmación: que efectivamente las varianzas poblacionales son iguales. En caso contrario contaría con pruebas que refuten tal afirmación. Para el valor concreto 𝐹=

3.42 = 0.72, 4.75

no contamos con información suficiente que refute dicha afirmación. Intuitivamente estamos indicando que la probabilidad de que 𝐹 caiga en este intervalo es 0.1.

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El enlace que aparece a continuación describe algunas deducciones de las propiedades de la distribución 𝐹 así como algunos cálculos explícitos con esta distribución.

Luis Rincón (2015) 0625 Distribución 𝐹[Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=jThY_l7AlnI

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