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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 3. Inferencia estadística

Módulo 4 Unidad 3. Inferencia estadística

IMPORTANTE

Excepto donde el contenido así lo especifique, esta obra está bajo una Licencia de Creative Commons

Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.

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MĂłdulo 4 Unidad 3. Inferencia estadĂ­stica

Semana 9 Distribuciones de muestreo En la unidad anterior se consideraron distribuciones de diferentes variables aleatorias. Al final de dicha unidad se considerĂł el valor esperado y la varianza. La media y varianza de una poblaciĂłn son dos parĂĄmetros muy importantes. A continuaciĂłn se menciona el muestreo de distribuciones o poblaciones, esto para estudiar la media de la muestra y la varianza de la muestra con la intenciĂłn de tomar decisiones respecto a parĂĄmetros poblacionales desconocidos. Hacemos la distinciĂłn importante entre poblaciones y muestras. La totalidad de las observaciones se llama poblaciĂłn y el tamaĂąo de la poblaciĂłn corresponde al nĂşmero de observaciones. Si por ejemplo en una ciudad hay 10 000 habitantes de los cuales nos interesa su edad, entonces el tamaĂąo de la poblaciĂłn es 10 000. Si por ejemplo tenemos una producciĂłn de 3 000 tornillos de los cuales medimos su longitud, entonces el tamaĂąo de la poblaciĂłn es 3 000. Las anteriores son ejemplos de poblaciones finitas pero en ocasiones el tamaĂąo de la poblaciĂłn es tan grade que se pueden considerar infinitas. Cada observaciĂłn de una poblaciĂłn es una variable aleatoria đ?‘‹ con alguna distribuciĂłn de probabilidad đ?‘“(đ?‘Ľ). No podemos estudiar a una poblaciĂłn completa por lo que debemos escoger muestras de dicha poblaciĂłn que sean representativas y hacer inferencias acerca de đ?‘“(đ?‘Ľ), pero lo mĂĄs importante hacer inferencias de đ?œ‡ y đ?œŽ ( . Los estadĂ­sticos se emplean para hacer inferencias respecto a parĂĄmetros poblacionales desconocidos. Deduciremos su distribuciĂłn de probabilidad a la que llamaremos distribuciĂłn muestral del estadĂ­stico. Desde el punto de vista prĂĄctico, la distribuciĂłn muestral de un estadĂ­stico proporciona un modelo teĂłrico del histograma de frecuencias relativas de los valores posibles del estadĂ­stico que se observarĂ­an en un muestreo repetido. Las observaciones se realizan n veces y tenemos variables aleatorias đ?‘‹) , đ?‘‹( , ‌ , đ?‘‹, con valores numĂŠricos đ?‘Ľ) , đ?‘Ľ( , ‌ , đ?‘Ľ, todas con la misma distribuciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ). Las variables đ?‘‹) , đ?‘‹( , ‌ , đ?‘‹, son independientes y tienen una distribuciĂłn comĂşn. Por lo tanto la distribuciĂłn de probabilidad conjunta es đ?‘“ đ?‘Ľ) , đ?‘Ľ( , ‌ đ?‘Ľ, = đ?‘“ đ?‘Ľ) đ?‘“ đ?‘Ľ( â‹Ż đ?‘“ đ?‘Ľ, . En la presente secciĂłn vamos a considerar que la variable aleatoria tiene distribuciĂłn normal o tomando como justificaciĂłn el teorema del lĂ­mite central podemos tomar muestras mayores a treinta que de acuerdo a varios autores, es suficiente para aplicar el teorema del lĂ­mite central y por lo tanto la media muestral tendrĂĄ distribuciĂłn normal. A continuaciĂłn, vamos a mencionar tres distribuciones de probabilidad relacionadas con la distribuciĂłn normal, estas son: la distribuciĂłn UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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đ?‘Ą, la distribuciĂłn đ?œ’ ( y la distribuciĂłn đ??š. Se introducen las anteriores con el fin de estimar los parĂĄmetros poblacionales, para comparar dos medias muestrales y para comparar dos varianzas muestrales. En los ejemplos que continĂşan es posible que se conozca o no đ?œ‡, que se conozca o no đ?œŽ ( . Es posible que se conozca la distribuciĂłn de la variable o no, pero cuando se conoce dicha distribuciĂłn esta serĂĄ normal.

Media, mediana y moda muestrales Si tenemos �) , �( , ‌ , �, variables aleatorias entonces la media muestral es �=

) ,

, 23) đ?‘‹2 .

Podemos estimar la media de la poblaciĂłn đ?œ‡ mediante đ?‘‹. La mediana muestral đ?‘Ľ,4) (

đ?‘Ľ= 1 , đ?‘ đ?‘– đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ľ, + đ?‘Ľ,4) , đ?‘ đ?‘– đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; 2 ( (

La moda de la muestra es el valor que se repite con mayor frecuencia en la muestra Medidas de variabilidad de una muestra La varianza muestral � ( =

) ,B)

, 23)

đ?‘‹2 − đ?‘‹ ( .

DesviaciĂłn estĂĄndar muestral đ?‘† = đ?‘† (. Si el valor đ?‘‹DĂĄF denota el valor mĂĄs grande y đ?‘‹DĂ­, el mĂĄs pequeĂąo entonces el rango de la muestra estĂĄ dado por đ?‘… = đ?‘‹DĂĄF − đ?‘‹DĂ­, . DistribuciĂłn normal La distribuciĂłn de probabilidad de un estadĂ­stico se denomina distribuciĂłn muestral. Suponga que de una poblaciĂłn normal con media đ?œ‡ y varianza đ?œŽ ( se toma una muestra aleatoria de đ?‘› observaciones. Cada observaciĂłn đ?‘‹2 tendrĂĄ entonces la misma distribuciĂłn normal. Entonces la variable đ?‘‹ tendrĂĄ distribuciĂłn normal con media UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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)

đ?œ‡I = (đ?œ‡ + â‹Ż + đ?œ‡) ,

y varianza đ?œŽI( =

) ,J

đ?œŽ( + â‹Ż + đ?œŽ( =

KJ ,

.

Para el cĂĄlculo de probabilidades para la distribuciĂłn normal podemos hacer uso de tablas, software como GeoGebra

o la aplicaciĂłn Probability Distributions

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Ejemplo 1 (Ubicar la media muestral con respecto a la media poblacional, no se conoce la distribución de la variable aleatoria) Se tiene una media 𝜇 = 10 y varianza 𝜎 ( = 9. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral este entre 9.5 y 11, en una muestra de 36? Primer caso, no se conoce la distribución de la población, se conoce la media y la varianza. La muestra es mayor de 30 y podemos usar el teorema del límite central. La pregunta queda expresada en el siguiente cálculo de probabilidades P 9.5 < 𝑋 < 11 . Aclaramos primero que 𝜇I = 𝜇 = 10 y 𝜎I =

K ,

=

R S

= 0.5.

Con la aplicación Probability Distributions obtenemos P 𝑋 < 11 = 0.97725.

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Nuevamente con la aplicaciĂłn Probability Distribution calculamos P đ?‘‹ < 9.5 = 0.15866

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Luego calculamos la diferencia P 9.5 < đ?‘‹ < 11 = 0.97725 − 0.15866 = 0.81859. La probabilidad anterior se reescribe de la siguiente forma

P

9.5 − 10 3/ 36

<

đ?‘‹ − 10

<

3/ 36

11 − 10 3/ 36

= P −1 < đ?‘? < 2

Lo que estamos haciendo es normalizar la variable, ahora la media de la variable đ?‘? es 0 y la desviaciĂłn estĂĄndar es 1. Ya sea que utilicemos la aplicaciĂłn anterior o que hagamos uso de tablas obtendrĂ­amos la siguiente diferencia P −1 < đ?‘? < 2 = 0.97725 − 0.15866 = 0.81859. Ejemplo 2 (Ubicar la media muestral con respecto a la media poblacional, no se conoce la distribuciĂłn de la variable aleatoria) La poblaciĂłn tiene una media poblacional desconocida y varianza đ?œŽ ( = 0.02. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que la media muestral no diste mĂĄs de 2 de la media poblacional para una muestra de tamaĂąo 49?

Escribimos primero lo que se desea calcular P đ?‘‹ − đ?œ‡ < 0.02 . Podemos anticipar que no serĂĄ necesario conocer el valor explĂ­cito de la media đ?œ‡. Lo anterior se puede reescribir como P

đ?‘‹âˆ’đ?œ‡ đ?œŽ/ đ?‘›

<

0.02 = P đ?‘? < 1.4 . 1/7

Utilizando la aplicaciĂłn Probability distribution obtenemos

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Basta con escribir P đ?‘? < 1.4 = 1 − 0.16151 = 0.83849. Si en ejemplo anterior en lugar de tener una muestra de 49 tomamos una muestra mĂĄs grande siendo đ?‘› = 81, la probabilidad que se pide es P đ?‘? < 1.8 = 0.9641 − 0.0359 = 0.9282. Si ahora tomamos una muestra mĂĄs pequeĂąa, digamos đ?‘› = 36, entonces la probabilidad que se pide es P(|Z|<1.2)=0.8849-0.1151=0.7698. Como conclusiĂłn de lo anterior podemos notar que en cuanto mayor sea el tamaĂąo de la muestra aumenta la probabilidad de que la media muestral se encuentre en el intervalo que se pide. Ejemplo 3 Una mĂĄquina se ajusta para que la media de su producciĂłn sea đ?œ‡ = 100 y con desviaciĂłn estĂĄdar đ?œŽ = 5. Para calibrarla se toma una muestra de tamaĂąo 40 y si la media muestral cae dentro del intervalo (đ?œ‡ − 2đ?œŽ, đ?œ‡ + 2đ?œŽ) entonces se piensa que la mĂĄquina opera correctamente, de lo contrario se ajusta. Tomando una muestra de tamaĂąo 40 se obtiene una media muestral de 92, Âżes necesario un ajuste? El intervalo del que se habla tiene el valor concreto de (100 −10,100+10)=(90,110). Por lo tanto no necesita un ajuste. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que la media muestral caiga en este intervalo? UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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La probabilidad que se pide es P 90 < đ?‘‹ < 110 . Equivalentemente esto se puede escribir como

P

90 − đ?œ‡ đ?œŽ/ đ?‘›

<

đ?‘‹âˆ’đ?œ‡ đ?œŽ/ đ?‘›

<

110 − đ?œ‡ đ?œŽ/ đ?‘›

= 0.9999

Esto significa que es casi seguro que la media caiga en este intervalo.Se reitera que este caso la maquina no necesita ajuste. Ejemplo 4 Una variable discreta tiene la siguiente distribuciĂłn de probabilidad 2 3 4 5 đ?‘Ľ 1 14 3 5 P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ) 25 25 25 25

6 2 25

Calculemos en primer lugar la media đ?œ‡ y varianza đ?œŽ ( . Se tiene 1 5 14 3 2 100 Eđ?‘‹ =2 +3 +4 +5 +6 = = 4. 25 25 25 25 25 25 Para la varianza se tiene 1 5 14 3 2 420 đ?œŽ ( = E đ?‘‹ ( − đ??¸ đ?‘‹ ( = 2( + 3( + 4( + 5( + 6( = − 4( = 0.8. 25 25 25 25 25 25 Ahora vamos a calcular la media muestral đ?œ‡I y la varianza muestral đ?œŽI( para una muestra de tamaĂąo 36. Esto es đ?œ‡I = 4 y đ?œŽI( =

`.a

= 0.13.

RS

Finalmente calcularemos la probabilidad de que la media muestral sea menor que 3.85. Esto es P đ?‘‹ < 3.85 = P

đ?‘‹âˆ’4 đ?œŽ/ đ?‘›

<

3.85 − 4 đ?œŽ/ đ?‘›

= P đ?‘? < −1.13 = 0.1292.

Hay un 12.92% de que la media sea menor que 3.85. A continuaciĂłn se agrega un enlace en el que se utiliza el teorema del lĂ­mite central para dar una descripciĂłn de la distribuciĂłn de medias muestrales.

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baronumaes (2012) BioestadĂ­stica: Teorema del lĂ­mite central [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=xZmFqLHIFJk

A continuaciĂłn tomamos otro estadĂ­stico la diferencia de medias muestrales. Diferencia de medias muestrales Consideramos dos poblaciones y tomamos al azar muestras independientes de cada una con tamaĂąos đ?‘›) y đ?‘›( y varianzas đ?œŽ)( y đ?œŽ(( , respectivamente. Entonces la variable đ?‘‹) − đ?‘‹( en donde đ?‘‹) y đ?‘‹( son medias muestrales, tiene una distribuciĂłn aproximadamente normal, con media y varianzas dadas por đ?œ‡Ib BIJ = đ?œ‡) − đ?œ‡( yđ?œŽI(b BIJ =

KbJ ,b

+

KJJ ,J

.

Nuevamente, de acuerdo a varios autores si el tamaĂąo de las muestras es mayor que 30 y las distribuciones no estĂĄn tan alejadas de la normal entonces la aproximaciĂłn normal es buena. Ejemplo 1 La poblaciĂłn A tiene media 60 y desviaciĂłn estĂĄndar 25 y la poblaciĂłn B tiene media 70 y desviaciĂłn estĂĄndar 30. Se toma una muestra de tamaĂąo 30 de la primera poblaciĂłn y una muestra de tamaĂąo 33 de la segunda. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales sea menor que 10? Lo que se pide se puede escribir como P đ?‘‹) − đ?‘‹( < 10 . A continuaciĂłn se describe un procedimiento algebraico. P đ?‘‹) − đ?‘‹( < 10 = P −10 < đ?‘‹) − đ?‘‹( < 10

=P

−10 − đ?œ‡) − đ?œ‡( đ?œŽ)( đ?œŽ(( + đ?‘›) đ?‘›(

<

(đ?‘‹) − đ?‘‹( ) − đ?œ‡) − đ?œ‡(

<

đ?œŽ)( đ?œŽ(( + đ?‘›) đ?‘›(

10 − đ?œ‡) − đ?œ‡( đ?œŽ)( đ?œŽ(( + đ?‘›) đ?‘›(

= P 0 < đ?‘? < 2.88 = 0.4980. Notemos aquĂ­ que se ha pedido una diferencia de 10 y la probabilidad es del 49.80% que corresponde casi al 50%. La probabilidad obtenida equivale a lo que se obtendrĂ­a al lazar una moneda balanceada. Esto es que aproximadamente el 50% de las veces las medias distarĂĄn menos de 10 y el otro 50% de las veces distarĂĄn mĂĄs de 10 al tomar diferentes muestras de las UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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dos poblaciones. Al reducir la distancia de 10 a 5, entonces obtendrĂ­amos esta diferencia con menor frecuencia, al tomar muestras sucesivas de las dos poblaciones. DistribuciĂłn đ?’•. Un estadĂ­stico natural para a considerar para tratar con las inferencias sobre đ?œ‡ es đ?‘‡=

đ?‘‹âˆ’đ?œ‡ đ?‘†/ đ?‘›

.

Sea đ?‘? una variable aleatoria normal estĂĄndar y V una variable aleatoria chi cuadrada con đ?œˆ grados de libertad. Si Z y V son independientes, entonces la distribuciĂłn de la variable aleatoria T, donde đ?‘? đ?‘‡= , đ?‘‰/đ?œˆ viene dada por la funciĂłn de densidad đ?œˆ+1 B(j4))/( Γ đ?‘Ą( 2 â„Ž đ?‘Ą = 1+ . đ?œˆ đ?œˆ Γ đ?œ‹đ?œˆ 2 Ésta se conoce como la distribuciĂłn t con đ?œˆ grados de libertad. Sean đ?‘‹) , đ?‘‹( , ‌ , đ?‘‹, variables aleatorias independientes normales con media đ?œ‡ y desviaciĂłn estĂĄndar đ?œŽ. Sea đ?‘‹= Entonces la variable aleatoria

) ,

FBk l/ ,

, 23) đ?‘‹2

y �( =

) ,B)

, 23)

đ?‘‹2 − đ?‘‹ ( .

tiene una distribuciĂłn đ?‘Ą con đ?œˆ = đ?‘› − 1 grados de libertad.

La grĂĄfica de la distribuciĂłn de đ?‘‡ es parecida a la de đ?‘? pero la de đ?‘‡ es mĂĄs variable ya que depende de las fluctuaciones de dos cantidades, đ?‘‹ y đ?‘† ( . TambiĂŠn hay deferencia en que la distribuciĂłn đ?‘‡ tambiĂŠn depende del tamaĂąo de la muestra. La distribuciĂłn đ?‘‡ y la ditribuciĂłn đ?‘? serĂĄn iguales cuando đ?‘› → ∞.

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En azul para đ?œˆ =1, en verde para đ?œˆ = 5, en amarillo para đ?œˆ = 10 y en rojo cuando đ?œˆ → ∞. La grafica en rojo coincide con la distribuciĂłn normal estĂĄndar. El valor đ?‘Ą por arriba del cual se encuentra un ĂĄrea igual a đ?›ź por lo general se representa por đ?‘Ąp . Para calcular el ĂĄrea bajo la curva utilizamos tablas. Por ejemplo, para encontrar el valor đ?‘Ą para el cual el ĂĄrea bajo la curva es .8 con 5 grados de libertad tenemos đ?‘Ąp = −0.559.. Ejemplo 1 La resistencia a la tensiĂłn de cierto alambre tiene una distribuciĂłn normal con media đ?œ‡ y varianza đ?œŽ ( desconocidas. Se eligen aleatoriamente 6 trozos de cable de un rollo grande y se miden la resistencia a la tensiĂłn đ?‘‹2 en el trozo đ?‘– = 1,2,3, ‌ ,6. La media de la poblaciĂłn đ?œ‡ y la varianza đ?œŽ ( se pueden estimar mediante đ?‘‹ y đ?‘† ( , respectivamente. Como đ?œŽI( =

KJ ,

, se infiere que

đ?œŽI( se puede estimar mediante đ?‘† ( /đ?‘›. Calcule la probabilidad aproximada de que la diferencia entre đ?‘‹ y la verdadera media poblacional đ?œ‡ sea menor que 2đ?‘†/ đ?‘›. đ?‘ƒ −

2� �

≤ đ?‘‹âˆ’đ?œ‡ ≤

2�

= đ?‘ƒ −2 ≤ đ?‘›

đ?‘‹âˆ’đ?œ‡ ≤2 đ?‘†

đ?‘› đ?‘ƒ(−2 ≤ đ?‘‡ ≤ 2) đ?‘ƒ −2.015 ≤ đ?‘‡ ≤ 2.015 = 0.90.

Esto es que al tomar muestras sucesivas de la poblaciĂłn, el 90% de las veces la media de la muestra se ubicarĂĄ en el intervalo indicado. En este enlace se habla acerca de la distribuciĂłn t de Student, su uso en el cĂĄlculo de probabilidades, mediante el uso de tablas o software. UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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EstadĂ­stica y otros bichos (2012) DistribuciĂłn đ?‘Ą de Student [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=8SOnX2AutQo

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