Bienvenido docente. En este documento encontrarás información importante para la ejecución de cada una de las actividades correspondientes al módulo 5; en el cual, como ya sabrás, se han desarrollado temas elementales de Álgebra lineal, los cuales han sido divididos en tres unidades para su estudio. En la primera unidad se describe la teoría respecto a los sistemas de ecuaciones lineales, en donde se han propuesto cuatro actividades nombradas de la siguiente manera:
Actividad 1. Sistemas de ecuaciones: método gráfico Actividad 2. Investigación sobre matrices Actividad 3. Operaciones elementales entre renglones de matrices Actividad 4. Sistemas de ecuaciones: método de Gauss
En la segunda unidad se han desarrollado los temas elementales acerca de las matrices y determinantes, en los cuales se proponen tres actividades llamadas
Actividad 5. Operaciones entre matrices Actividad 6. Determinantes y sistemas homogéneos Actividad 7. Valores y Vectores característicos
Por último, en la tercera unidad se describen los principales temas respecto a los espacios vectoriales. En donde se proponen cuatro actividades para ser desarrolladas cada una por semana, estas actividades la hemos llamado de la siguiente manera
Actividad 8. Espacios vectoriales Actividad 9. Acerca de las Combinaciones lineales Actividad 10. Dos Lemas importantes Actividad11. Base y dimensión
Como observarás, en total son once actividades que tienen el propósito de proporcionar al estudiante los instrumentos necesarios que le permitan adquirir los conceptos e ideas matemáticas acerca del álgebra lineal. Los dos instrumentos que se pueden presentar en cada una de las actividades son: lista de temas a investigar y lista de problemas matemáticos. La lista de temas a investigar corresponde a una investigación que debe realizar el estudiante, sugerimos proporcionarle una lista de temas los cuales pueden ser matemáticos, de carácter histórico, de utilización de algún software, de ejemplos a la resolución de problemas y ejercicios, etc. Se sugiere que al inicio del estudio de los temas de cada semana se le proporcione al estudiante la lista con los temas a investigar, así como también, los elementos que debe contemplar para la elaboración de su documento. Esto último es importante debido a que su evaluación dependerá de los elementos con los que cuente su documento; algunos de estos pueden ser los siguientes:
Debe contener los temas completos acerca del contenido matemático sugerido
Las ideas desarrolladas en su documento deben estar comunicadas en orden Presenta buena ortografía en su redacción Se expresan ideas y relaciones matemáticas utilizando la terminología y notación apropiadas Se muestran ejemplos para los cuales el estudiante comprueba la veracidad de sus resultados El escrito presenta referencias confiables y estas son citadas correctamente El estudiante sistematiza y resume sus conclusiones del trabajo
Para realizar su investigación el estudiante puede recurrir a todo tipo de recurso que le sea accesible. Una vez escrito su documento, el alumno lo tendrá que subir como archivo de tarea a la plataforma dentro de las fechas programadas Respecto a la lista de problemas que se le entregará al estudiante, sugerimos tomar en consideración los planteados en este documento, así como también revisar las referencias bibliográficas proporcionadas al final de los documentos correspondientes a la Planeación Didáctica y al desarrollo de cada una de las unidades de estudio, en donde se pueden considerar algunos problemas propuestos por los autores de los libros de texto para el desarrollo de cada actividad, y de esta manera enriquecer el conjunto de problemas a resolver por el estudiante. Cabe mencionar, que estos problemas pueden contar con más de un inciso dependiendo del propósito que se pretenda alcanzar. Por ejemplo, se pueden considerar de seis a ocho incisos para un problema que tenga como propósito el adquirir destrezas en los cálculos; si embargo, si el objetivo del problema es que el estudiante comprenda una idea matemática sobre la deducción de un resultado, basta con un solo enunciado. A continuación, proporcionamos algunas sugerencias que se deben considerar para la aplicación de cada actividad, las cuales giran en torno a los siguientes puntos: 1. Si en la actividad se requiere realizar una investigación, entonces se indican los principales elementos (características del documento) y temas que debe contener la lista de temas a investigar que se le proporcionará al estudiante. 2. Se muestran algunos ejemplos de los problemas que se deben plantear en la lista de problemas que se le proporcionará al estudiante, con base en los temas que son considerados en cada una de las semanas de estudio. 3. La solución a ciertos problemas que se plantean como ejemplos respecto a cada una de las actividades, ejemplificando el procedimiento adecuado que conlleva a resolverlos. Recuerda que el objetivo principal del módulo es que el estudiante adquiera los conocimientos elementales acerca del Álgebra lineal, de aquí que la mayoría de los ejemplos descritos en el desarrollo de las unidades así como los propuestos en este documento sean problemas matemáticos, los cuales en general, deben propiciar en el estudiante un mejor entendimiento de los conceptos e ideas matemáticas en estudio. Por esta razón, para la mayoría de las actividades que se proponen en las unidades se sugiere que sean Actividades Individuales que se subirán a la plataforma como Archivo de Tarea, respetando los tiempos designados para ello.
Por lo escrito en el pĂĄrrafo anterior, observarĂĄs que las actividades tienen similares estructuras, esto es, sĂłlo se considera la lista de problemas, por lo que creemos que la implementaciĂłn de cada actividad no debe resultar complicada. A continuaciĂłn describiremos los elementos principales que conforman cada actividad.
Actividad 1. Sistemas de ecuaciones: mĂŠtodo grĂĄfico Esta actividad tiene la finalidad de que el alumno pueda interpretar y encontrar el conjunto soluciĂłn de un sistema de ecuaciones con dos y tres incĂłgnitas. Algunos ejercicios pueden ser convenientes conforme se avanza en el estudio del contenido de la unidad. Por ejemplo, los ejercicios: Ejercicio: ÂżCuĂĄles serĂan las posibles interpretaciones grĂĄficas para el caso en que en un sistema 3x2 no tenga soluciĂłn (no solamente estĂĄ el caso en el que las tres rectas son paralelas)? Ejercicio: Graficar en sistemas de ejes coordenados diferentes cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y encontrar si el sistema tiene o no tiene soluciĂłn. a) −3đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 12 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 6. b) 1 đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś =8 2 −5đ?‘Ľ − 10đ?‘Ś = 2. c) 1 đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 10 4 3đ?‘Ľ + 12đ?‘Ś = 7. d) đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś =3 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 8 −2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 5, son ejercicios para ir reafirmando los elementos al inicio de la unidad 1. AsĂ mismo un ejercicio como
Ejercicio: Graficar los planos correspondientes a cada una de las ecuaciones y determinar el conjunto de soluciones para cada sistema. a) −đ?‘Ľ + đ?‘Ś − đ?‘§ = 5. b) đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś − 4đ?‘§ = 12 3đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 6. c) −2đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś + đ?‘§ = 11 1 11 + đ?‘Ś − 4đ?‘§ = − 4.
1 đ?‘Ľ 2
puede funcionar muy bien antes de pasar a la actividad. Dentro de la actividad se tiene la intenciĂłn de resumir y reafirmar todos los elementos trabajados antes, asĂ la actividad 1, con ayuda del software Geogebra puede quedar: A) Se tienen los siguientes sistemas de ecuaciones con 2 incĂłgnitas i) −3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 12 5đ?‘Ľ − 7đ?‘Ś = 13. ii) đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś =3 11 17 đ?‘Ľâˆ’ đ?‘Ś=0 2 2 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 8 −2đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 5. 1. Ingresar a la pĂĄgina de Geogebra: https://www.geogebra.org/ y descarga la versiĂłn mĂĄs reciente de este software. NecesitarĂĄs Java (https://www.java.com/es/download/ ) en tu mĂĄquina. Una vez descargado: Para cada sistema: 2. Escribir, una por una, (en el panel de entrada) las ecuaciones del sistema y dar Enter. Observar que cada ecuaciĂłn se representa por una lĂnea recta en la pantalla del software. 3. Elige de la barra de menĂş el botĂłn Texto (ABC) e inserta el texto de cada ecuaciĂłn en la pantalla. 4. Cambia la textura y el color de cada lĂnea a tu gusto con el botĂłn Propiedades, dando clic derecho en cada lĂnea. 5. Identifica la soluciĂłn del sistema (punto en comĂşn de las rectas) con la opciĂłn PuntoIntersecciĂłn. 6. Comprueba que las coordenadas del punto anterior cumplen ambas ecuaciones.
B) Se tiene los siguientes sistemas de ecuaciones con 3 incĂłgnitas i) 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś + đ?‘§ = −1 −đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 3đ?‘§ = −6 3đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 11 ii) −2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś + đ?‘§ = −1 −đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 3đ?‘§ = 6 1. Ingresar a la aplicaciĂłn en lĂnea de Geogebra: http://web.geogebra.org/app/#3d Para cada sistema en el panel de entrada: 2. Escribir, una por una, las ecuaciones del sistema y dar Enter. Observar que cada ecuaciĂłn se representa por un plano en la pantalla de la aplicaciĂłn. 3. Elige de la barra de menĂş el botĂłn Texto (ABC) e inserta el texto de cada ecuaciĂłn en la pantalla. 4. Cambia la textura y el color de cada plano a tu gusto con el botĂłn Propiedades, dando clic derecho en cada plano. 5. Identifica la soluciĂłn del sistema (lĂnea o punto en comĂşn de los planos) con el botĂłn IntersecciĂłn de dos superficies. Elige por parejas los tres planos e identifica que por cada pareja, la intersecciĂłn es una lĂnea. 6. Deshabilita las grĂĄficas de los planos desactivando cada una de las ecuaciones (esquina superior izquierda de la pantalla). 7. Encuentra el punto de intersecciĂłn de las lĂneas (por parejas tambiĂŠn) que quedaron en la pantalla con el botĂłn Punto-IntersecciĂłn del menĂş de herramientas. 6. Comprueba que las coordenadas del punto anterior cumplen todas las ecuaciones. Actividad 2. InvestigaciĂłn sobre matrices PrĂĄcticamente como su nombre lo dice, el trabajo es elaborar un documento con lo mĂĄs relevante sobre el origen del concepto matriz y tambiĂŠn lo relativo al ĂĄlgebra lineal y sus inicios. Los elementos a considerar simplemente pueden ser similares a los de un ensayo a los de un resumen o incluso un formato libre. Es importante asegurarse de que el trabajo sea original del alumno. Se puede apoyar de un foro donde cada alumno aporte los datos mĂĄs relevantes que haya encontrado.
Actividad 3. Operaciones elementales entre renglones de matrices Igualmente que en la actividad 1, es importante que dentro del avance del contenido, y antes de esta actividad se planteen algunas preguntas o algunos ejercicios para ir reafirmando los conceptos o los procedimientos. La actividad puede resumir lo anterior como se propone enseguida: A) Considera el sistema de ecuaciones lineales del principio de esta secciĂłn đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś+đ?‘§ = 2 đ?‘Ľ+đ?‘Ś+đ?‘§ = 0 đ?‘Ľ + 2đ?‘§ = 3 đ?‘Ś + đ?‘§ = 5. 1. Escribe en tu cuaderno (o si lo prefieres en algĂşn editor cientĂfico: por ejemplo ShareLatex es una pĂĄgina donde puedes editar en lĂnea https://es.sharelatex.com/) la matriz ampliada de este sistema. 2. Suma -1 veces el primer renglĂłn al segundo renglĂłn. 3. Suma -1 veces el primer renglĂłn al tercero. Escribe la matriz resultado de estas dos operaciones. 4. Suma -1 veces el tercer renglĂłn de la matriz resultado anterior al cuarto renglĂłn. Escribe la matriz resultante. 5. Observa el cuarto renglĂłn. Escribe la correspondencia de este renglĂłn con el sistema de ecuaciones original. ÂżQuĂŠ puedes concluir de esto? B) Considera tambiĂŠn el sistema siguiente visto en esta secciĂłn, del cual ya tenemos la terna 94 26 158 ordenada (45 , 9 , 135) como una soluciĂłn. 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 3đ?‘§ = 4 4đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś − 6đ?‘§ = 10 đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 6đ?‘§ = 12. 1. Escribe igualmente la matriz ampliada respectiva. 2. Suma -1 veces el renglĂłn uno con 3 veces el renglĂłn 3. Sustituye este resultado por el renglĂłn tres. Escribe la matriz resultado. 3. Suma -4 veces el renglĂłn uno con 3 veces el renglĂłn 2. Sustituye este resultado por el renglĂłn dos. Escribe la matriz resultado. 4. Suma -5 veces el renglĂłn dos con 17 veces el renglĂłn tres. Sustituye este resultado por el renglĂłn tres. Escribe la matriz resultado. NOTA: las operaciones de multiplicaciĂłn y adiciĂłn entre renglones siempre se realizan sobre la matriz resultado actual.
5. Escribe la respectiva ecuaciĂłn equivalente al tercer renglĂłn de la Ăşltima matriz. ÂżCuĂĄnto debe valer de aquĂ la variable đ?‘§? 6. Sustituye este valor en la ecuaciĂłn que representa al segundo renglĂłn de esta Ăşltima matriz y obtĂŠn el valor de la incĂłgnita đ?‘Ś. AsĂ mismo, sustituye estos dos valores en la primera ecuaciĂłn para obtener el valor de la incĂłgnita đ?‘Ľ. Si has realizado correctamente todas las operaciones intermedias entre los valores de los renglones asociados en cada uno de los pasos anteriores, entonces habrĂĄs llegado a la misma terna ordenada del ejemplo, es decir, has obtenido la soluciĂłn del sistema de ecuaciones, mediante la aplicaciĂłn de operaciones elementales entre renglones. En caso de no coincidir, revisa nuevamente tus operaciones. C) Realiza un procedimiento similar al del inciso anterior para encontrar la soluciĂłn al sistema −đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 3đ?‘§ = −2 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś + đ?‘§ = −5 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 6đ?‘§ = −8. Actividad 4. Sistemas de ecuaciones: mĂŠtodo de Gauss La unidad 1 termina con esta actividad, asĂ es que para reafirmar los procedimientos y conceptos estudiados en este apartado, es importante que quede claro el objetivo: aplicar el mĂŠtodo de Gauss a sistemas de ecuaciones lineales con dos o mĂĄs incĂłgnitas. Los ejemplos del contenido para esta actividad son muy representativos de lo que el alumno deberĂa poder realizar, asĂ es que varios de estos ejercicios serĂan necesarios. Queda a consideraciĂłn del docente la elecciĂłn de una lista de ejercicios similares a los de la unidad. Sin embargo, se recomienda que en los sistemas se procure que haya de los tres tipos para el conjunto soluciĂłn: hay una Ăşnica soluciĂłn, hay una infinidad de soluciones y no hay soluciĂłn. Actividad 5. Operaciones entre matrices Similar a la actividad 4, es importante que el alumno pueda ser competente en realizar operaciones entre matrices. Por ello se recomienda que se elija una lista de ejercicios similares a los tratados en el contenido, o por ejemplo Dadas las matrices A, B y C siguientes, obtener, en caso de ser posible, los resultados para a) b) c) d) e) f)
A + 2B 3A – C A – BC ABC A2 Etc.
1 2 4 2 2 2 5 2 4 đ??´ = [−1 2 3], đ??ľ = [−1 −2 3], đ??ś = [ 1 2 3] −2 1 1 −2 −1 1 −2 7 9 Como es de esperarse, todas estas operaciones entre A, B y C pueden realizarse, pero si se modifica ligeramente la cantidad de renglones o de columnas de alguna matriz, entonces mĂĄs de alguna de las opciones podrĂa no realizarse, en este caso se debe solicitar al estudiante la razĂłn por la cual no es posible realizar tal o cual operaciĂłn.
Actividad 6. Determinantes y sistemas homogĂŠneos En general estas primeras actividades estĂĄn encaminadas a formar habilidades sobre procedimientos bĂĄsicos referentes a matrices. Esta habilidad es importante para entrar de lleno a la unidad 3, que como se percibirĂĄ, suele ser un poco mĂĄs teĂłrica y, en este sentido, para poder entender lo que ahĂ veremos serĂĄ necesario dominar las tĂŠcnicas utilizadas en las unidades 1 y 2. De esta manera, nuevamente se deja a consideraciĂłn del docente la elecciĂłn de una lista de ejercicios en los que el alumno pueda reafirmar los procedimientos analizados en este apartado sobre determinantes y sistemas de ecuaciones lineales homogĂŠneos. No estĂĄ por demĂĄs la recomendaciĂłn de encargar determinantes de matrices de orden 4. Incluso es buena prĂĄctica intentar obtener determinantes de orden 5 y, ya si el docente tambiĂŠn lo sugiere, esbozar el procedimiento para un determinante de matrices de orden 6 como la siguiente. đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 đ?‘Ž31 đ??´= đ?‘Ž 41 đ?‘Ž51 [đ?‘Ž61
đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 đ?‘Ž32 đ?‘Ž42 đ?‘Ž52 đ?‘Ž62
đ?‘Ž13 đ?‘Ž23 đ?‘Ž33 đ?‘Ž43 đ?‘Ž53 đ?‘Ž63
đ?‘Ž14 đ?‘Ž24 đ?‘Ž34 đ?‘Ž44 đ?‘Ž54 đ?‘Ž64
đ?‘Ž15 đ?‘Ž25 đ?‘Ž35 đ?‘Ž45 đ?‘Ž55 đ?‘Ž65
đ?‘Ž16 đ?‘Ž26 đ?‘Ž36 đ?‘Ž46 . đ?‘Ž56 đ?‘Ž66 ]
Es importante recalcar que si en un renglĂłn o en una columna de la matriz existe uno o mĂĄs ceros, entonces es recomendable utilizar ese renglĂłn o esa columna a fin de simplificar o de reducir la cantidad de operaciones a resolver. Sin embargo, el aumento en el orden de un determinante, cuando se trata de resolver un sistema de ecuaciones, obliga a cambiar de mĂŠtodo. Esto tambiĂŠn hay que cuidar que el alumno lo tenga claro. La obtenciĂłn de matrices inversas es un procedimiento necesario para aplicar resultados en la siguiente unidad, por ello, una lista de matrices con y sin inversa, tambiĂŠn es necesaria para entregar por parte del alumno. Los ejercicios quedan a consideraciĂłn del docente. Actividad 7. Valores y Vectores caracterĂsticos
Para terminar la unidad 2, esta actividad 7 recapitula algunos conceptos de la unidad 1, como son los sistemas 2x2 y los sistemas 3x3. TambiĂŠn recapitula el concepto de determinante, de manera que para reafirmar los procedimientos para la obtenciĂłn de valores y vectores caracterĂsticos, asĂ como de ecuaciones caracterĂsticas, es necesaria una lista de matrices, la cual se deja a consideraciĂłn del docente. En el contenido se analizĂł en mayor medida cada uno de estos conceptos en sistemas 2x2 y la mayorĂa de los ejemplos son de estos sistemas, sin embargo consideramos que el sustento de los procedimientos puede aplicarse sin problemas a sistemas 3x3 o incluso đ?‘› Ă— đ?‘›. De esta manera un buen ejercicio serĂa dejar al estudiante una explicaciĂłn para la obtenciĂłn de valores y vectores caracterĂsticos de un sistema general de đ?’? Ă— đ?’?. Actividad 8. Espacios vectoriales En esta primera actividad de la unidad tres, el estudiante aplicarĂĄ el concepto de espacio vectorial en â„?đ?‘› en diversas situaciones que le ayuden a entender algunas cuestiones teĂłricas sobre los sistemas de ecuaciones lineales. TambiĂŠn, debe aplicar las nociones elementales sobre los espacios vectoriales en la resoluciĂłn de problemas matemĂĄticos. Para lograr lo antes descrito, el estudiante realizarĂĄ la siguiente tarea: 
Resolver problemas matemĂĄticos sobre los temas estudiados en la semana 1.
Respecto a los problemas matemĂĄticos se sugiere proporcionar al estudiante una lista de problemas que debe resolver, todos ellos referentes a los temas desarrollados en la primera semana. Esta lista puede ser entregada al inicio del estudio del tema, o tambiĂŠn se le puede entregar al estudiante por bloques de problemas, donde cada uno de estos bloques contendrĂĄ los problemas respecto al subtema una vez concluido su estudio. El nĂşmero de problemas sugeridos son entre 10 y 15, y deben ser ejercicios tipo a los que se a continuaciĂłn se plantean. Los ejercicios pueden estar agrupados por temas, como aquĂ se presentan: El espacio vectorial â„?đ?’?: A. Verifica cada una de las propiedades de la ProposiciĂłn 1. B. El conjunto de ternas reales (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) con las operaciones i. ii.
(�1 , �1 , �1 ) + (�2 , �2 , �2 ) = (�1 + �2 , �1 + �2 , �1 + �2 ) �(�, �, �) = (��, �, �).
ÂżCumple las 7 propiedades de la ProposiciĂłn 1? El espacio Vectorial Abstracto C. Sean đ?‘˘ ⃗ y đ?‘Ł vectores de un espacio vectorial V, prueba que existe un vector đ?‘¤ ⃗⃗ ∈ V tal que đ?‘˘ ⃗ +đ?‘Ł =đ?‘¤ ⃗⃗ . D. Para los siguientes incisos, determina en quĂŠ casos se tiene un espacio vectorial.
a) El conjunto de matrices 2 Ă— 2 de la forma [
đ?‘Ž 1
1 ] đ?‘?
con las operaciones usuales. b) El conjunto de funciones reales definidas en [0,1] que satisfacen đ?‘“(0) + đ?‘“(1) = 0. E. Prueba que el conjunto de polinomios de grado menor o igual a đ?‘› con coeficientes reales denotado por Pn (đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 + â‹Ż + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž0 , es un espacio vectorial. F. Sea â„?∞ el conjunto de todas las sucesiones (infinitas) đ?‘Ľ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , ‌ ) de nĂşmeros reales. Si đ?‘Ľ = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , ‌ ) y đ?‘Ś = (đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , đ?‘Ś3 , ‌ ) son dos elementos de â„?∞ la sucesiĂłn suma đ?‘Ľ + đ?‘Ś estĂĄ dada por đ?‘Ľ + đ?‘Ś = (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ś1 , đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 , đ?‘Ľ3 + đ?‘Ś3 , ‌ ). AdemĂĄs si đ?›ź es un real cualquiera la sucesiĂłn đ?›źđ?‘Ľ estĂĄ definida como đ?›źđ?‘Ľ = (đ?›źđ?‘Ľ1 , đ?›źđ?‘Ľ2 , đ?›źđ?‘Ľ3 , ‌ ). Muestra que el conjunto â„?∞ junto con estas operaciones constituye un espacio vectorial. G. Denotemos por â„?+ el conjunto de reales positivos. Definamos en â„?+ las operaciones đ?‘Ľâ¨ đ?‘Ś = đ?‘Ľđ?‘Ś đ?›ź ∙ đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?›ź En este caso los vectores son nĂşmeros reales positivos y la suma vectorial estĂĄ definida en tĂŠrminos del producto de reales, para evitar ambigĂźedades hemos usado el sĂmbolo ⊕ para la “suma vectorialâ€? e introducido un punto en la “multiplicaciĂłn por escalaresâ€?. Probar que estas operaciones hacen de â„?+ un espacio vectorial. Subespacios Vectoriales H. Menciona cuĂĄles de los siguientes conjuntos son subespacios de â„?3 a) Todos los vectores de la forma (đ?‘Ľ, 0,0). b) Todos los vectores de la forma (x,1,1). c) Todos los vectores (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) tales que đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2đ?‘§ .
I.
Sea W el subconjunto de â„?3 constituido por las ternas (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) que satisfacen la condiciĂłn đ?‘Ľ+đ?‘Śâˆ’đ?‘§ = 0 Probar que W es un subespacio vectorial.
J. ÂżEs el espacio vectorial â„?+ del ejercicio G un subespacio del espacio vectorial â„?1 = â„?? Argumenta tu respuesta. K. Sea W el conjunto de ternas (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) que satisfacen la condiciĂłn 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 0 , đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 0 . Prueba que W es un subespacio de â„?3 . L. Sea W el conjunto de vectores (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 ) en â„?4 tales que đ?‘Ľ1 = đ?‘Ľ3 , es decir, W es el conjunto de vectores en â„?4 de la forma (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ4 ). Prueba que W es un subespacio vectorial de â„?4 . A continuaciĂłn damos soluciĂłn al ejercicio propuesto K. El estudiante debe tener claro que para mostrar que W es un subespacio de â„?3 , debe verificar que W es cerrado bajo la suma y multiplicaciĂłn por escalares. Verifiquemos primero que W es cerrado bajo la suma. Tomemos dos elementos de W, digamos đ?‘¤ ⃗⃗ 1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ) y đ?‘¤ ⃗⃗ 2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ) para los cuales se satisfacen las siguientes relaciones 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ś1 + đ?‘§1 = 0 , đ?‘Ľ1 − đ?‘Ś1 + 2đ?‘§1 = 0 , y 2đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 + đ?‘§2 = 0 , đ?‘Ľ2 − đ?‘Ś2 + 2đ?‘§2 = 0 . de las cuales se obtiene 2(đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ) + (đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 ) + (đ?‘§1 + đ?‘§2 ) = 0 (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ) − (đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 ) + 2(đ?‘§1 + đ?‘§2 ) = 0 es decir, cada elemento đ?‘¤ ⃗⃗ 1 y đ?‘¤ ⃗⃗ 2 de W satisface las relaciones 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 0 , đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 0 . las cuales, tambiĂŠn se satisfacen por la suma đ?‘¤ ⃗⃗ 1 + đ?‘¤ ⃗⃗ 2 . Esto significa que el vector đ?‘¤ ⃗⃗ 1 + đ?‘¤ ⃗⃗ 2 = (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 , đ?‘§1 + đ?‘§2 )
es un elemento de W (es cerrado bajo la suma). De forma similar, si đ?‘¤ ⃗⃗ 1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ) es un elemento de W y đ?›ź ∈ â„? se tiene 2(đ?›źđ?‘Ľ1 ) + (đ?›źđ?‘Ś1 ) + (đ?›źđ?‘§1 ) = 0 (đ?›źđ?‘Ľ1 ) − (đ?›źđ?‘Ś1 ) + 2(đ?›źđ?‘§1 ) = 0 esto significa que el vector (đ?›źđ?‘Ľ1 , đ?›źđ?‘Ś1 , đ?›źđ?‘§1 ) ∈ W, es decir, đ?›ź(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ) ∈ W (es cerrado bajo la multiplicacion por escalares). Por lo cual, como W es cerrado bajo la suma y multiplicaciĂłn por escalares, entonces concluimos que W es un subespacio vectorial de â„?3 . Es importante que el estudiante relacione temas de unidades anteriores, con el problema que se acaba de resolver. Por ejemplo, se le pude cuestionar respecto a la interpretaciĂłn geomĂŠtrica del subespacio vectorial W; a lo que el estudiante puede recurrir a la soluciĂłn de los sistemas de ecuaciones lineales. En este caso, la interpretaciĂłn geomĂŠtrica es la intersecciĂłn de los planos dados por cada una de las ecuaciones: 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 0 , đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2đ?‘§ = 0. Una vez escrito su documento con las soluciones a todos los problemas planteados, el alumno lo tendrĂĄ que subir como archivo de tarea a la plataforma dentro de las fechas programadas Actividad 9. Acerca de las Combinaciones lineales En esta actividad el estudiante debe aplicar los conceptos de independencia y dependencia lineal en situaciones matemĂĄticas que involucran combinaciones lineales y espacios generados por un conjunto de vectores. Para lograr lo antes descrito, el estudiante realizarĂĄ principalmente la tarea de: 
Resolver problemas matemĂĄticos sobre el contenido desarrollado en la semana 2.
Se sugiere proporcionar al estudiante una lista de problemas que debe resolver, todos ellos referentes a los temas desarrollados en la segunda semana. Esta lista puede ser entregada al inicio del estudio del tema, o tambiĂŠn se le puede entregar al estudiante por bloques de problemas, donde cada uno de estos bloques contendrĂĄ los problemas respecto al subtema una vez concluido su estudio. El nĂşmero de problemas sugeridos son entre 10 y 15, y deben ser ejercicios tipo a los que se a continuaciĂłn se plantean.
Combinaciones Lineales A. Sean đ?‘˘ ⃗ = (2, −1,3, −4,1) y đ?‘Ł = (−1,5,2, −3,1), calcula a) đ?‘˘ ⃗ +đ?‘Ł b) đ?‘˘ ⃗ −đ?‘Ł c) 2đ?‘˘ ⃗ − 5đ?‘Ł B. Expresa los siguientes vectores como combinaciones lineales de
đ?‘˘ ⃗ = (2,1,4), đ?‘Ł = (1, −1,3), đ?‘¤ ⃗⃗ = (3,2,5) a) (5,9,5) b) (2,0,6) c) (0,0,0) C. Averigua si el vector đ?‘¤ ⃗⃗ = (3, 1, −2) es combinaciĂłn lineal de los vectores đ?‘˘ ⃗ = (2, 1, −2) y đ?‘Ł = (−3, 2, 4). D. Demuestra que en el espacio vectorial P4 [đ?‘Ľ] el polinomio đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = 6đ?‘Ľ 4 + 4đ?‘Ľ 2 + 1 es una combinaciĂłn lineal de los polinomios đ?‘?(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ − 1, đ?‘ž(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 4 − 2đ?‘Ľ 2 + 2 , đ?‘ (đ?‘Ľ) = −đ?‘Ľ 4 + 15đ?‘Ľ 3 − 5đ?‘Ľ . E. Averigua si el vector đ?‘¤ ⃗⃗ = (4, 6, 1) es combinaciĂłn lineal de los vectores đ?‘Ł1 = (1, 5, −2), đ?‘Ł2 = (4, −7, −8) y đ?‘Ł3 = (2, 1, −4). F. Encuentra un vector đ?‘Ł en â„?3 tal que 3đ?‘Ł + (2,1,5) = (5,7, −7). Espacios generados G. En cada inciso averigua si los vectores dados generan â„?3 a) đ?‘˘ ⃗ = (1,1,1), đ?‘Ł = (2,2,0), đ?‘¤ ⃗⃗ = (3,0,0) b) đ?‘˘ ⃗ = (2, −1,3), đ?‘Ł = (4,2,1), đ?‘¤ ⃗⃗ = (8, −1,8) c) đ?‘˘ ⃗ = (1,3,3), đ?‘Ł = (1,3,4), đ?‘¤ ⃗⃗ = (1,4,3), đ?‘Ľ = (6,2,1) H. Describe el espacio generado por el conjunto formado por el Ăşnico vector đ?‘Ł = (3,1). ÂżCuĂĄl es su interpretaciĂłn geomĂŠtrica? I.
Describe el espacio generado por el conjunto formado por el Ăşnico vector đ?‘Ł = (2, 1, 3). ÂżCuĂĄl es su interpretaciĂłn geomĂŠtrica?
J. Encuentra una ecuaciĂłn de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ = 0 para el plano generado por los vectores đ?‘˘ ⃗ 1 = (1,1, −2) y đ?‘˘ ⃗ 2 = (1,0, −1). K. Sean los vectores en â„?4 đ?‘˘ ⃗ 1 = (2,4,3,4) , đ?‘˘ ⃗ 2 = (2,0,1,4) , đ?‘˘ ⃗ 3 = (1, −1,2,6).
Verifica que estos vectores generan el espacio V = {(đ?‘¤, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) | đ?‘¤ − đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ = 0} . L. Prueba que el hiperplano V = {(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ) | đ?‘Ž1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = 0} con đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› nĂşmeros reales, es un subespacio de â„?đ?‘› . Dependencia e Independencia Lineal M. Prueba que los vectores đ?‘Ł1 = (4, −1, 2) , đ?‘Ł2 = (2, 3, 5) , đ?‘Ł3 = (1, −1, 1) , son linealmente independientes. N. Demuestra que los vectores đ?‘Ł1 = (3, 5, 1) , đ?‘Ł2 = (−6, 16, 5) , đ?‘Ł3 = (−4,2, 1) , son linealmente dependientes. O. Indica cuĂĄl de los siguientes conjuntos de vectores en â„?3 es linealmente independiente y cuĂĄl es linealmente dependiente. đ?‘Ł1 = (3, −2, 1) đ?‘Ł2 = (2, −1, −1) đ?‘Ł3 = (−3, 1, 4)
đ?‘˘ ⃗ 1 = (−1, 4, −2) đ?‘˘ ⃗ 2 = (4, 2, 1) đ?‘˘ ⃗ 3 = (−2, 1, 1)
P. ÂżEs el siguiente conjunto de vectores de â„?5 linealmente independiente? Argumenta tu respuesta. đ?‘Ł1 = (1,0,1,0,1) đ?‘Ł2 = (1,1,1,1,1) đ?‘Ł3 = (1,1,0,0,1) đ?‘Ł4 = (0,0,0,0,0) đ?‘Ł5 = (1,0,1,1,1) Q. Muestra que si đ?‘˘ ⃗ 1, đ?‘˘ ⃗2 yđ?‘˘ ⃗ 3 son vectores linealmente independientes, entonces đ?‘Ł1 = đ?‘˘ ⃗1+đ?‘˘ ⃗2
đ?‘Ł2 = đ?‘˘ ⃗1+đ?‘˘ ⃗3 đ?‘Ł3 = đ?‘˘ ⃗2+đ?‘˘ ⃗3 son linealmente independientes. R. Prueba que dos vectores đ?‘Ł1 ≠0 y đ?‘Ł2 ≠0 son linealmente dependientes si y solamente si existen escalares đ?›ź y đ?›˝ ambos no cero tales que đ?›źđ?‘Ł1 + đ?›˝đ?‘Ł2 = ⃗0. S. Sean đ?‘˘ ⃗1 yđ?‘˘ ⃗ 2 vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V y sean đ?‘Ł1 = đ?‘Žđ?‘˘ ⃗ 1 + đ?‘?đ?‘˘ ⃗2 đ?‘Ł2 = đ?‘?đ?‘˘ ⃗ 1 + đ?‘‘đ?‘˘ ⃗2 Menciona quĂŠ condiciones deben satisfacer los coeficientes đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? y đ?‘‘ para que los vectores đ?‘Ł1 y đ?‘Ł2 sean linealmente independientes. A continuaciĂłn resolvemos el ejercicio K, indicando el procedimiento adecuado que conlleva a su soluciĂłn, asĂ como los conceptos en uso que el estudiante debe emplear. En el ejercicio K se debe mostrar que los vectores dados đ?‘˘ ⃗ 1 = (2,4,3,4) , đ?‘˘ ⃗ 2 = (2,0,1,4) , đ?‘˘ ⃗ 3 = (1, −1,2,6) generan el espacio V = {(đ?‘¤, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) | đ?‘¤ − đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ = 0}. En este caso, se hace uso de la definiciĂłn de espacio generado V, el cual se forma por todas las combinaciones lineales posibles de đ?‘˘ ⃗ 1, đ?‘˘ ⃗ 2, đ?‘˘ ⃗ 3 , esto es V = â„’{đ?‘˘ ⃗ 1, đ?‘˘ ⃗ 2, đ?‘˘ ⃗ 3 } = {đ?‘Žđ?‘˘ ⃗ 1 + đ?‘?đ?‘˘ ⃗ 2 + đ?‘?đ?‘˘ ⃗ 3 | đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ â„?} = {(2đ?‘Ž + 2đ?‘? + đ?‘?, 4đ?‘Ž − đ?‘?, 3đ?‘Ž + đ?‘? + 2đ?‘?, 4đ?‘Ž + 4đ?‘? + 6đ?‘?) | đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ â„?} . Este espacio coincide con el siguiente V = {(đ?‘¤, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) | đ?‘¤, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ ∈ â„?} . Veamos quĂŠ condiciones beben de satisfacer đ?‘¤, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ para que la cuaterna (đ?‘¤, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) genere los elementos de V. Es decir, deseamos averiguar para quĂŠ valores de đ?‘¤, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ existen escalares đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘? tales que 2đ?‘Ž + 2đ?‘? + đ?‘? = đ?‘¤ 4đ?‘Ž − đ?‘?=đ?‘Ľ 3đ?‘Ž + đ?‘? + 2đ?‘? = đ?‘Ś 4đ?‘Ž + 4đ?‘? + 6đ?‘? = đ?‘§ Aplicando el mĂŠtodo de Gauss al sistema anterior obtenemos el sistema equivalente al original: 2đ?‘Ž + 2đ?‘? + đ?‘? = đ?‘¤ ,
−4đ?‘? − 3đ?‘? = đ?‘Ľ − 2đ?‘¤ , 2đ?‘¤ − đ?‘Ľ 3 2đ?‘? = +đ?‘Śâˆ’ đ?‘¤, 2 2 đ?‘§ − 2đ?‘¤ 2đ?‘? = . 2 El estudiante debe observar que este sistema tiene soluciĂłn si y solamente si los dos Ăşltimos renglones son idĂŠnticos, es decir si se satisface la siguiente igualdad: 2đ?‘¤ − đ?‘Ľ 3 đ?‘§ − 2đ?‘¤ +đ?‘Śâˆ’ đ?‘¤ = , 2 2 2 la cual puede escribirse como đ?‘¤ − đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ = 0 . De esta manera, obtenemos que V es igual al espacio V = {(đ?‘¤, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) | đ?‘¤ − đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ = 0}. Se puede aprovechar la soluciĂłn del ejercicio anterior para cuestionar al estudiante sobre otros temas de estudio. Por ejemplo, se le puede cuestionar si este subespacio de â„?4 es un hiperplano de â„?4 , lo que en su momento le serĂĄ de ayuda para generalizar este resultado. Por Ăşltimo, una vez escrito su documento con las soluciones a cada problema planteado, el alumno lo tendrĂĄ que subir como archivo de tarea a la plataforma dentro de las fechas programadas Actividad 10. Dos lemas importantes En esta actividad el estudiante resolverĂĄ problemas y ejercicios respecto a dos Lemas importantes. El primero es sobre el hecho de que no puede haber mĂĄs vectores linealmente independientes al nĂşmero de vectores que generan un espacio vectorial. El segundo gira en torno al resultado: si se tiene un conjunto de vectores linealmente independiente del espacio generado entonces pueden reemplazar a un mismo conjunto de vectores que generan el espacio de manera que se siga generando el mismo espacio. Este Ăşltimo conocido como lema de reemplazo. El estudiante aplicarĂĄ estos dos resultados en situaciones matemĂĄticas que involucran combinaciones lineales y espacios generados por un conjunto de vectores. Para lograr lo antes descrito, el estudiante realizarĂĄ la siguiente tarea: 
Resolver problemas matemĂĄticos sobre el contenido desarrollado en la semana 3.
Respecto a la lista de problemas matemĂĄticos se sugiere proporcionar al estudiante problemas referentes a los temas desarrollados en la tercera semana. Esta lista puede ser entregada al inicio del estudio del tema, o tambiĂŠn se le puede entregar al estudiante por bloques de problemas, donde cada uno de estos bloques contendrĂĄ los problemas respecto al subtema una
vez concluido su estudio. El nĂşmero de problemas sugeridos son entre 10 y 15, y deben ser ejercicios tipo a los que se a continuaciĂłn se plantean. Los ejercicios pueden estar agrupados por temas, como aquĂ se presentan: Dos Lemas. Importantes. Lema de reemplazo. A. Demuestra que si đ?‘¤ ⃗⃗ es un vector cualquiera del espacio generado por â„’(đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) entonces el espacio generado por đ?‘¤ ⃗⃗ , đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› coincide con el espacio generado por đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› . Sugerencia: prueba que se cumple la siguiente igualdad â„’(đ?‘¤ ⃗⃗ , đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) = â„’(đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) . B. Demuestra el Lema de reemplazo. Sugerencia: emplea el resultado del Lema 1 y el resultado del ejercicio anterior. C. Considera los vectores đ?‘˘ ⃗ 1 = (1,0, −1) đ?‘˘ ⃗ 2 = (1,1,0)
đ?‘Ł1 = (0,1,1) đ?‘Ł2 = (2,1, −1)
đ?‘¤ ⃗⃗ 1 = (2,1, −1) đ?‘¤ ⃗⃗ 2 = (1, −1,0)
Prueba que â„’(đ?‘˘ ⃗ 1, đ?‘˘ ⃗ 2 ) = â„’(đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 ) pero que â„’(đ?‘˘ ⃗ 1, đ?‘˘ ⃗ 2 ) ≠ℒ(đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘¤ ⃗⃗ 2 ). D. Determina los valores de đ?‘˜ para los cuales los vectores đ?‘Ł1 = (3, −đ?‘˜, −1,0) đ?‘Ł2 = (−1,2, −đ?‘˜, −1) đ?‘Ł3 = (0, −1,3, −đ?‘˜) generan un espacio de dimensiĂłn 2. E. Muestra que si đ?‘˘ ⃗ 1 = (1, −1,2) đ?‘˘ ⃗ 2 = (2,1, −3) đ?‘˘ ⃗ 3 = (1, −2, −5)
đ?‘Ł1 = (1,3, −7) đ?‘Ł2 = (2, −1,0) đ?‘Ł3 = (3, −1, −1) đ?‘Ł4 = (4, −3,2)
entonces â„’(đ?‘˘ ⃗ 1, đ?‘˘ ⃗ 2, đ?‘˘ ⃗ 3 ) = â„’(đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 , đ?‘Ł4 ). Los ejemplos que desarrollamos a continuaciĂłn, por su importancia en el desarrollo del contenido matemĂĄtico, son las pruebas de ambos Lemas: Lema 1 y Lema de reemplazo. De la unidad tres, rescatamos la redacciĂłn del Lema 1: Un conjunto de vectores đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› todos diferentes del vector cero es linealmente dependiente si y solamente si existe un Ăndice 2 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› tal que i.
đ?‘Łđ?‘– = đ?›ź1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?›źđ?‘–−1 đ?‘Łđ?‘–−1
ii.
đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘–−1 son linealmente independientes.
DemostraciĂłn. Probaremos primero la parte correspondiente al “sĂłlo siâ€?. En este caso, la hipĂłtesis es que los vectores đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› son linealmente dependientes y diferentes de cero, probaremos que existe un Ăndice 2 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› tal que se satisfacen (i) y (ii). Consideremos los primeros dos vectores đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 . Si son linealmente dependientes, entonces existen escalares đ?›ź1 y đ?›ź2 ambos diferentes de cero tales que đ?›ź1 đ?‘Ł1 + đ?›ź2 đ?‘Ł2 = 0. De esta igualdad se obtiene đ?‘Ł2 = −
�1 � = �1 �1 , �2 1
que corresponde al inciso (i). El inciso (ii) se sigue del hecho de que el conjunto formado Ăşnicamente por el vector đ?‘Ł1 es linealmente independiente ya que đ?‘Ł1 ≠0. Si los vectores đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 fueran linealmente independientes entonces agragamos un tercer vector, obteniendo đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 . Si este conjunto es linealmente dependiente, entonces existen escalares đ?›ź1 , đ?›ź2 y đ?›ź3 no todos cero tales que đ?›ź1 đ?‘Ł1 + đ?›ź2 đ?‘Ł2 + đ?›ź3 đ?‘Ł3 = 0. Se puede afirmar que đ?›ź3 ≠0, pues en caso contrario se tendrĂa que đ?›ź1 đ?‘Ł1 + đ?›ź2 đ?‘Ł2 = 0; pero siendo đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 linealmente independientes necesariamente se deberĂa tener que đ?›ź1 = đ?›ź2 = 0. Lo antes escrito es imposible pues los tres escalares no pueden ser simultĂĄneamente igual a cero. Se tiene entonces que đ?›ź3 ≠0, lo cual permite despejar đ?‘Ł3 obteniendo đ?‘Ł3 = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + đ?‘Ž2 đ?‘Ł2 , obteniendo la parte (i). La segunda parte (ii) se sigue inmediatamente de la suposiciĂłn de que đ?‘Ł1 y đ?‘Ł2 son linealmente independientes. Si los vectores đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 fueran linealmente independientes entonces se considera el conjunto agregando el cuarto vector đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , đ?‘Ł3 , đ?‘Ł4 y nuevamente se consideran las dos posibilidades sobre su independencia y dependencia lineal. Continuando con este proceso hemos de llegar a obtener un Ăndice 2 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› con la propiedad de que los vectores đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘– son linealmente dependientes lo cual nos permitirĂĄ escribir đ?‘Ł1 = đ?‘Ž1 đ?‘Ł1 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘–−1 đ?‘Łđ?‘–−1 , obteniendo asĂ las partes (i) y (ii). La prueba del “siâ€? de la preposiciĂłn resulta trivial, pues si existe un Ăndice 2 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› que cumple la condiciĂłn (i) obviamente el conjunto đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› es linealmente dependiente. De igual manera, rescatamos la redacciĂłn del Lema de reemplazo de la unidad tres: Sean đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› vectores de un espacio vectorial V y đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘¤ ⃗⃗ 2 , ‌ , đ?‘¤ ⃗⃗ đ?‘˜ vectores linealmente independientes del espacio generado â„’(đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ), entonces
i.
đ?‘˜â‰¤đ?‘›
ii.
Existen đ?‘˜ vectores del conjunto {đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› }, digamos đ?‘Łđ?‘™1 , đ?‘Łđ?‘™2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘™đ?‘˜ tales que đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘¤ ⃗⃗ 2 , ‌ , đ?‘¤ ⃗⃗ đ?‘˜ junto con los restantes vectores đ?‘Łđ?‘– generan el mismo espacio â„’(đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ).
DemostraciĂłn. Antes de iniciar con la demostraciĂłn, es importante que el estudiante haya resuelto y entendido el resultado del ejercicio A, pues nos serĂĄ Ăştil en la demostraciĂłn, que a continuaciĂłn realizamos. Puesto que đ?‘¤ ⃗⃗ 1 es un elemento de â„’(đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ), los vectores đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› son linealmente dependientes. Por lo tanto del Lema 1 se sigue que existe 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› tal que đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘–−1 son linealmente independientes y đ?‘Łđ?‘– se puede escribir como combinaciĂłn lineal de ellos. Luego se puede eliminar đ?‘Łđ?‘– obteniendo â„’(đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘–−1 , đ?‘Łđ?‘–+1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) = â„’(đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) = â„’(đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) Hemos entonces reemplazado el vector đ?‘Łđ?‘– por el vector đ?‘¤ ⃗⃗ 1 . Nuevamente, puesto que đ?‘¤ ⃗⃗ 2 es un elemento de â„’(đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) = â„’(đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘–−1 , đ?‘Łđ?‘–+1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) se tiene que â„’(đ?‘¤ ⃗⃗ 2 , đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘–−1 , đ?‘Łđ?‘–+1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) = â„’(đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘–−1 , đ?‘Łđ?‘–+1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› ) y đ?‘¤ ⃗⃗ 2 , đ?‘¤ ⃗⃗ 1 , đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘–−1 , đ?‘Łđ?‘–+1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘› son linealmente dependientes. Por lo tanto del Lema 1 existe un Ăndice đ?‘— (distinto de đ?‘–) de manera que đ?‘Łđ?‘— es combinaciĂłn lineal de los anteriores siendo ĂŠstos Ăşltimos linealmente independientes. Podemos eliminar đ?‘Łđ?‘— quedando al final sustituido por đ?‘¤ ⃗⃗ 2 . Continuando con este proceso podemos incorporar todas las đ?‘¤ ⃗⃗ ’s pues se deben de agotar primero tales vectores. Esto prueba que đ?‘˜ ≤ đ?‘›, asĂ como la parte (ii). Por Ăşltimo, una vez escrito su documento, el alumno lo tendrĂĄ que subir como archivo de tarea a la plataforma dentro de las fechas programadas Actividad 11. Base y dimensiĂłn En esta actividad el estudiante debe aplicar los conceptos de base y dimensiĂłn de un espacio vectorial en situaciones que requieren cambio de coordenadas. Para lograr lo antes descrito, el estudiante realizarĂĄ la tarea: 
Resolver problemas matemĂĄticos sobre el contenido desarrollado en la semana 4.
Se sugiere proporcionar al estudiante una lista de problemas que debe resolver, todos ellos referentes a los temas desarrollados en la cuarta semana. Esta lista puede ser entregada al inicio del estudio del tema, o tambiĂŠn se le puede entregar al estudiante por bloques de problemas, donde cada uno de estos bloques contendrĂĄ los problemas respecto al subtema una vez concluido su estudio. El nĂşmero de problemas sugeridos son entre 10 y 15, y deben ser ejercicios tipo a los que se a continuaciĂłn se plantean. Volvemos a sugerir que los ejercicios pueden estar agrupados por temas, como a continuaciĂłn se presentan: Base y dimensiĂłn de un espacio vectorial A. Muestra que las matrices 2 Ă— 2 constituyen un espacio vectorial de dimensiĂłn finita. B. Prueba que los siguientes vectores en â„?đ?‘› đ?‘˘ ⃗ 1 = (1,0,0,0, ‌ ,0) đ?‘˘ ⃗ 2 = (1,1,0,0, ‌ ,0) đ?‘˘ ⃗ 3 = (1,1,1,0, ‌ ,0) â‹Ž đ?‘˘ ⃗ đ?‘› = (1,1,1,1, ‌ ,1) constituyen una base de â„?đ?‘› . C. Prueba que los polinomios p1 (đ?‘Ľ) = 1, p2 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ, p3 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 , y p4 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 , constituyen una base de P3 [đ?‘Ľ]. D. Demuestra que los polinomios q1 (đ?‘Ľ) = 1, q 2 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ − 1, q3 (đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ − 1)2 , y q4 (đ?‘Ľ) = (đ?‘Ľ − 1)3 , constituyen una base de P3 [đ?‘Ľ]. E. Usando el lema de reemplazo demuestra el Teorema 1, el Teorema 2 y la ProposiciĂłn 3. F. Prueba que el conjunto de vectores de â„?3 đ?‘˘ ⃗ 1 = (3,2, −1) đ?‘˘ ⃗ 2 = (4,5,3) đ?‘˘ ⃗ 3 = (1, −1,6) đ?‘˘ ⃗ 4 = (−2,3,0) son linealmente dependientes. G. Da una base de â„?3 que incluya a los vectores đ?‘Ł1 = (1,2,1), Coordenadas. H. Prueba el Teorema 3 y su recĂproco.
đ?‘Ł2 = (0,0,4) .
I.
Para â„?n , la base đ?‘’1 = (1,0,0, ‌ ,0) đ?‘’2 = (0,1,0, ‌ ,0) â‹Ž đ?‘’đ?‘› = (0,0,0, ‌ ,1) se denomina base canĂłnica. Dar otra base especĂfica.
J. Verifica que los vectores �1 = (1,1,1, ‌ ,1) �2 = (0,1,1, ‌ ,1) ⋎ �� = (0,0,0, ‌ ,1) constituyen una base � de �n . A continuación damos solución a este ejercicio J, en donde hacemos mención a los conceptos empleados en la obtención de la solución correcta. Para verificar que los vectores �1 , �2 , ‌ , �� constituyen una base � de �n se hace lo siguiente. Tomemos un vector � arbitrario de �n , vamos a calcular sus coordenadas � = (�1 , �2 , ‌ , �� ) respecto a la base �. La matriz cambio de base de la base canónica a la base � es 1 0 A = (1 1 ⋎ ⋎ 1 1
â‹Ż0 â‹Ż 0) â‹Ž â‹Ż1
La matriz cambio de coordenadas serĂĄ A−1 , entonces si (đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , ‌ , đ?‘Śđ?‘› ) es el vector coordenado de đ?‘Ł respecto la base đ?’° đ?‘Ś1 đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ 2 [ â‹Ž ] = A−1 [ â‹Ž ] đ?‘Śđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› el estudiante debe observar que para hallar las coordenadas đ?‘Ś1 , đ?‘Ś2 , ‌ , đ?‘Śđ?‘› se debe calcular la inversa de la matriz A. No obstante, estas coordenadas pueden hallarse tambiĂŠn escribiendo la igualdad anterior de la siguiente manera đ?‘Ś1 đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ2 A[ â‹Ž ] = [ â‹Ž ] đ?‘Śđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› Lo cual, se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones
đ?‘Ś1 đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 + đ?‘Ś3
= đ?‘Ľ1 = đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ3 â‹Ž đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 + đ?‘Ś3 + â‹Ż + đ?‘Śđ?‘› = đ?‘Ľđ?‘› cuya soluciĂłn del sistema estĂĄ dada por las relaciones đ?‘Ś1 = đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 đ?‘Ś3 = đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ2 â‹Ž đ?‘Śđ?‘› = đ?‘Ľđ?‘› − đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 Las cuales son las coordenadas deseadas. Podemos entonces escribir đ?‘Ł = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ) = đ?‘Ľ1 đ?‘’1 + đ?‘Ľ2 đ?‘’2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› đ?‘’đ?‘› = đ?‘Ľ1 đ?‘Ł1 + (đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )đ?‘Ł2 + â‹Ż + (đ?‘Ľđ?‘› − đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 )đ?‘Łđ?‘› . El alumno debe percatarse que indirectamente se ha calculado la inversa de la matriz A. Esto es, de la Ăşltima relaciĂłn se obtiene
A−1
1 −1 = 0 ⋎ [ 0
0 1 −1 0
0 â‹Ż 0 â‹Ż 1 â‹Ż 0
0 0 0
0 0 0
â‹Ż −1 1]
Concluimos esta actividad, comentĂĄndote que el alumno debe subir su documento como archivo de tarea a la plataforma dentro de las fechas programadas Observaciones finales Concluimos este documento mencionĂĄndote la importancia de que el estudiante entienda todos los problemas resueltos en el desarrollo de las tres unidades, para los cuales serĂĄn importantes tus observaciones y sugerencias durante la resoluciĂłn de cada uno de ellos; esto con el propĂłsito de que el estudiante obtenga la soluciĂłn correcta para cada uno de los problemas de tarea. TambiĂŠn te sugerimos programar un foro (el cual no se considera en la evaluaciĂłn) donde se discuta el proceso de soluciĂłn para cada uno de los problemas, asĂ como las soluciones obtenidas y algunas observaciones que consideres pertinentes mencionar en la discusiĂłn. Estos foros pueden ser programados una vez concluido el estudio de un subtema y tendrĂĄn como principal objetivo el propiciar una reflexiĂłn acerca de los contenidos matemĂĄticos puestos en juego en cada problema.
Te invitamos a desarrollar cada una de estas actividades teniendo en mente el propรณsito que persigue cada una de ellas, no olvidando el proponer los problemas adecuados, los cuales, te volvemos a mencionar, pueden ser obtenidos de los libros de texto mencionados en la lista de referencias al final del documento respecto a cada unidad.