V 𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 V = ℒ(𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 ) . P3 [𝑥]
𝑥
P3 [𝑥] = ℒ(p1 (𝑥), p2 (𝑥), p3 (𝑥), p4 (𝑥)) , p1 (𝑥) = 1, p2 (𝑥) = 𝑥, p3 (𝑥) = 𝑥 2 ,
P[𝑥]
p4 (𝑥) = 𝑥 3 .
𝑥
V 𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 V 𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 ℝ𝑛
ℒ(𝑒⃗1 , 𝑒⃗2 , … , 𝑒⃗𝑛 ) 𝑒⃗1 = (1,0,0, … ,0,0) 𝑒⃗2 = (0,1,0, … ,0,0) ⋮ 𝑒⃗𝑛 = (0,0,0, … ,0,1)
ℝ𝑛
ℝ𝑛
𝑥⃗ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑥1 𝑒⃗1 + 𝑥2 𝑒⃗1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑒⃗𝑛 .
𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ⃗⃗ , 𝛼1 𝑒⃗1 + 𝛼2 𝑒⃗1 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑒⃗𝑛 = 0
𝛼1 𝑒⃗1 + 𝛼2 𝑒⃗1 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑒⃗𝑛 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) = ⃗0⃗ , 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0
P3 [𝑥] V V
{𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , … , 𝑢 ⃗⃗𝑛 }
V {𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑚 }
V
𝑛=𝑚 V V
V 𝐝𝐢𝐦 𝐕 V V 𝑘
𝑘 V
dim V = 𝑤 ⃗⃗⃗1 , 𝑤 ⃗⃗⃗2 , … , 𝑤 ⃗⃗⃗𝑘
V
𝑘 𝑘 V
V 𝑘+1
𝑘
V
𝑢 ⃗⃗1 = (𝑎11 , 𝑎21 , … , 𝑎𝑚1 ) 𝑢 ⃗⃗2 = (𝑎12 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑚2 ) ⋮ 𝑢 ⃗⃗𝑛 = (𝑎1𝑛 , 𝑎2𝑛 , … , 𝑎𝑚𝑛 ) ℝm
𝑛
dim ℝm = 𝑚
𝑛>𝑚
𝑛>𝑚
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛
⃗⃗ , 𝑥1 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑥2 𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑢 ⃗⃗𝑛 = 0
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0 ⋮ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0 𝑛>𝑚
V
𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 V = ℒ(𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 ).
V
𝑣⃗
V ⃗⃗ = 𝑥1 𝑣⃗1 + 𝑥2 𝑣⃗2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑣⃗𝑛 , v 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )
{𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 }
⃗⃗ v ⃗⃗ v
𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 ℒ(𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 ) ℒ(𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 )
𝑥1 𝑣⃗1 + 𝑥2 𝑣⃗2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑣⃗𝑛 {𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 }
ℝ4 𝑢 ⃗⃗1 = (2, −1,3,1) 𝑢 ⃗⃗2 = (1,1,4,2) 𝑢 ⃗⃗3 = (3, −3,2,0) ℒ(𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 )
𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3
ℒ(𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 )
𝑣⃗
𝑣⃗ = 𝑥𝑢 ⃗⃗1 + 𝑦𝑢 ⃗⃗2 + 𝑧𝑢 ⃗⃗3 . 𝑥, 𝑦,
𝑧
𝑣⃗
𝑥 = 1, 𝑦 = 2
𝑧 = −1
𝑣⃗ = 𝑥𝑢 ⃗⃗1 + 𝑦𝑢 ⃗⃗2 + 𝑧𝑢 ⃗⃗3 = (2, −1,3,1) + 2(1,1,4,2) − (3, −3,2,0) = (1,4,9,5). 𝑥, 𝑦, 𝑥 = 3, 𝑦 = 1
𝑧 = −2
𝑧
𝑣⃗ = 𝑥𝑢 ⃗⃗1 + 𝑦𝑢 ⃗⃗2 + 𝑧𝑢 ⃗⃗3 = 3(2, −1,3,1) + (1,1,4,2) − 2(3, −3,2,0) = (1,4,9,5). 𝑣⃗
𝑣⃗ = (5 − 2𝜆)𝑢 ⃗⃗1 + 𝜆𝑢 ⃗⃗2 + (𝜆 − 3)𝑢 ⃗⃗3 , 𝜆
ℝ4 𝑢 ⃗⃗1 = (2,4,3,4) 𝑢 ⃗⃗2 = (2,0,1,4) 𝑢 ⃗⃗3 = (1, −1,2,6)
𝑣⃗
ℒ(𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 ) ℒ(𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 )
𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3
𝑣⃗
𝑣⃗ = 𝑥1 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑥2 𝑢 ⃗⃗2 + 𝑥3 𝑢 ⃗⃗3 = 𝑦1 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑦2 𝑢 ⃗⃗2 + 𝑦3 𝑢 ⃗⃗3 ,
𝑣⃗ (𝑥1 − 𝑦1 )𝑢 ⃗⃗1 + (𝑥2 − 𝑦2 )𝑢 ⃗⃗2 + (𝑥3 − 𝑦3 )𝑢 ⃗⃗3 = 0 , 𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 𝑥1 − 𝑦1 = 0, 𝑥1 = 𝑦1 = 𝑥2 = 𝑦2 = 𝑥3 = 0
𝑥2 − 𝑦2 = 0 , 𝑣⃗
𝑥3 − 𝑦3 = 0 ,
ℒ(𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 ) 𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛
𝑣⃗ 𝑥2 𝑣⃗2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑣⃗𝑛
V V
𝑥1 𝑣⃗1 +
𝑛
𝒰 = {𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , … , 𝑢 ⃗⃗𝑛 }
𝒱 = {𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , … , 𝑣⃗𝑛 }
𝑣⃗1 = 𝑎11 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑎21 𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑛1 𝑢 ⃗⃗𝑛 𝑣⃗2 = 𝑎12 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑎22 𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 𝑢 ⃗⃗𝑛 ⋮ 𝑣⃗𝑛 = 𝑎1𝑛 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑎2𝑛 𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑢 ⃗⃗𝑛
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎11 𝑎21 ⋯ 𝑎𝑛1 T 𝑎 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑎 𝑎22 ⋯ 𝑎𝑛2 A = ( 21 ) = ( 12 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝒰
𝒱
𝑣⃗1 𝑢 ⃗⃗1 𝑣⃗2 𝑢 ⃗⃗2 ( ) = A( ) ⋮ ⋮ 𝑣⃗𝑛 𝑢 ⃗⃗𝑛 𝑣⃗
V 𝑣⃗ = 𝛼1 𝑢 ⃗⃗1 + 𝛼2 𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑢 ⃗⃗𝑛 = 𝛽1 𝑣⃗1 + 𝛽2 𝑣⃗2 + ⋯ + 𝛽𝑛 𝑣⃗𝑛 ,
𝒰 = {𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 } {𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , 𝑣⃗3 }
(𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) (𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑛 )
𝑣⃗ = 𝛽1 𝑣⃗1 + 𝛽2 𝑣⃗2 + ⋯ + 𝛽𝑛 𝑣⃗𝑛
𝒱=
𝑣⃗𝑖
𝑢 ⃗⃗𝑖
𝑣⃗ = 𝛽1 (𝑎11 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑎21 𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑛1 𝑢 ⃗⃗𝑛 ) + 𝛽2 (𝑎12 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑎22 𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 𝑢 ⃗⃗𝑛 ) + ⋯ + 𝛽𝑛 (𝑎1𝑛 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑎2𝑛 𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑢 ⃗⃗𝑛 ) = (𝑎11 𝛽1 + 𝑎12 𝛽2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝛽𝑛 )𝑢 ⃗⃗1 + (𝑎21 𝛽1 + 𝑎22 𝛽2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝛽𝑛 )𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + (𝑎𝑛1 𝛽1 + 𝑎𝑛2 𝛽2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝛽𝑛 )𝑢 ⃗⃗𝑛 𝑣⃗
𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , … , 𝑢 ⃗⃗𝑛 𝑣⃗ = 𝛼1 𝑢 ⃗⃗1 + 𝛼2 𝑢 ⃗⃗2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑢 ⃗⃗𝑛
𝛼1 = 𝑎11 𝛽1 + 𝑎12 𝛽2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝛽𝑛 𝛼2 = 𝑎21 𝛽1 + 𝑎22 𝛽2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝛽𝑛 ⋮
𝛼𝑛 = 𝑎𝑛1 𝛽1 + 𝑎𝑛2 𝛽2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝛽𝑛
𝛽1 𝛼1 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝛼2 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝛽2 ( )=( )( ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝛼𝑛 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝛽𝑛 𝛽1 𝛼1 𝛼2 𝛽2 ( ) = A( ) ⋮ ⋮ 𝛼𝑛 𝛽𝑛 A
𝒰
𝒱
𝒰 𝒱
𝒱 𝒰
−1
A
I
𝛽1 𝛽1 𝛼1 𝛼2 𝛽2 𝛽2 −1 ( ) = A A( ) = I( ) ⋮ ⋮ ⋮ 𝛼𝑛 𝛽𝑛 𝛽𝑛
A
𝛽1 𝛼1 𝛽2 −1 𝛼2 ( )=A ( ). ⋮ ⋮ 𝛼𝑛 𝛽𝑛 A−1 −1
A
ℝ3 𝒰 = {𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 } 𝑢 ⃗⃗1 = (4, −1,2) 𝑢 ⃗⃗2 = (2,3,5) 𝑢 ⃗⃗3 = (1, −1,1) 𝒱 = {𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , 𝑣⃗3 }
𝑣⃗1 = (9, −9,5) 𝑣⃗2 = (5,3,6) 𝑣⃗3 = (8, −7,1) ℝ3
𝒰 = {𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 } 𝑢 ⃗⃗𝑗 ℝ3
𝑣⃗𝑖 𝒱 = {𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , 𝑣⃗3 }
𝑢 ⃗⃗𝑗
𝑣⃗𝑖
𝑣⃗1 = 3𝑢 ⃗⃗1 − 2𝑢 ⃗⃗2 + 𝑢 ⃗⃗3 , 𝑣⃗2 = 𝑢 ⃗⃗1 + 𝑢 ⃗⃗2 − 𝑢 ⃗⃗3 , 𝑣⃗3 = 2𝑢 ⃗⃗1 − 𝑢 ⃗⃗2 + 2𝑢 ⃗⃗3 .
3 −2 1 Ρ = (1 1 −1) 2 −1 2
{𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 }
𝒱 = {𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 , 𝑣⃗3 } P
P
3 1 2 P𝑇 = A = (−2 1 −1) 1 −1 2
𝒰 = {𝑢 ⃗⃗1 , 𝑢 ⃗⃗2 , 𝑢 ⃗⃗3 } 𝒰 𝒱
𝒰= 𝒱
đ?‘Łâƒ— (đ?›ź1 , đ?›ź2 , đ?›ź3 ) (đ?›˝1 , đ?›˝2 , đ?›˝3 )
â„?3 đ?’° = {đ?‘˘ ⃗⃗1 , đ?‘˘ ⃗⃗2 , đ?‘˘ ⃗⃗3 } đ?’ą = {đ?‘Łâƒ—1 , đ?‘Łâƒ—2 , đ?‘Łâƒ—3 }
đ?‘Łâƒ— = đ?›˝1 đ?‘Łâƒ—1 + đ?›˝2 đ?‘Łâƒ—2 + đ?›˝3 đ?‘Łâƒ—3 đ?‘Łâƒ—đ?‘–
đ?‘˘ ⃗⃗đ?‘–
đ?‘Łâƒ— = đ?›˝1 (3đ?‘˘ ⃗⃗1 − 2đ?‘˘ ⃗⃗2 + đ?‘˘ ⃗⃗3 ) + đ?›˝2 ( đ?‘˘ ⃗⃗1 + đ?‘˘ ⃗⃗2 − đ?‘˘ ⃗⃗3 ) + đ?›˝3 (2đ?‘˘ ⃗⃗1 − đ?‘˘ ⃗⃗2 + 2đ?‘˘ ⃗⃗3 ) (3đ?›˝ )đ?‘˘ (−2đ?›˝ )đ?‘˘ = ⃗⃗3 1 + đ?›˝2 + 2đ?›˝3 ⃗⃗1 + 1 + đ?›˝2 − đ?›˝3 ⃗⃗2 + (đ?›˝1 − đ?›˝2 + 2đ?›˝3 )đ?‘˘ đ?‘Łâƒ—
đ?‘˘ ⃗⃗1 , đ?‘˘ ⃗⃗2 , đ?‘˘ ⃗⃗3 đ?‘Łâƒ— = đ?›ź1 đ?‘˘ ⃗⃗1 + đ?›ź2 đ?‘˘ ⃗⃗2 + đ?›ź3 đ?‘˘ ⃗⃗3
đ?›ź1 = 3đ?›˝1 + đ?›˝2 + 2đ?›˝3 đ?›ź2 = −2đ?›˝1 + đ?›˝2 − đ?›˝3 đ?›ź3 = đ?›˝1 − đ?›˝2 + 2đ?›˝3
đ?›ź1 3 1 2 đ?›˝1 (đ?›ź2 ) = (−2 1 −1) (đ?›˝2 ) đ?›ź3 1 −1 2 đ?›˝3 đ?›˝1 = A (đ?›˝2 ) đ?›˝3 đ?’°
đ?’ą
đ?’° đ?’ą
đ?’ą đ?’°
A
đ?›ź1 đ?›˝1 −1 đ?›ź (đ?›˝2 ) = A ( 2 ) . đ?›ź3 đ?›˝3 Muy bien, has terminado la revisiĂłn del material de estudio de las tres unidades de aprendizaje de este mĂłdulo, ÂżTienes alguna duda? Contacta al docente o plantea tus dudas colectivas en el foro destinado para dicho fin.