Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 3er Semestre Fase 1. Módulo 6 Aplicaciones de la estadística Unidad 2. Pruebas de hipótesis.
Módulo 6 Unidad 2. Pruebas de hipótesis
Unidad 2. Pruebas de hipótesis
Semana 6 Pruebas de hipótesis para una población con distribución normal: caso de una muestra pequeña ( ) Población distribuida aproximadamente normal y conocida. Si la distribución de la población es normal o aproximadamente normal y se conoce prueba sigue siendo
, el estadístico de
. El procedimiento a seguir es el mismo que en la sección anterior.
Población distribuida aproximadamente normal y
desconocida
En una situación con estas características se utiliza el estadístico t de Student (ya se explicó en la unidad anterior las características de este estadístico así como la utilización de las tablas).
con n-1 grados de libertad y utilizando
como un estimador de
.
Los pasos para realizar pruebas de hipótesis como se discutió anteriormente se siguen aplicando para muestras pequeñas excepto que se utiliza un estadístico t en vez de un estadístico z. Para calcular el valor P para las pruebas en donde la distribución t está involucrada y tomando la hipótesis nula H0:
y t0 el valor del estadístico de prueba, entonces se cumple lo siguiente:
Hipótesis alterna
Valor P
H A:
Probabilidad por encima de probabilidad
H A:
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Criterio de rechazo
por
debajo
y
o
de
Probabilidad por arriba de t0
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Módulo 6 Unidad 2. Pruebas de hipótesis Probabilidad por debajo de
H A: Donde
es la distribución aumulada evaluada en
con gl=n-1.
Ejercicio resuelto 4. Diámetro de arandelas En el pasado una máquina producía arandelas con un diámetro de 1.3 cm. Para determinar si la máquina está funcionando correctamente, se toma una muestra de 10 arandelas que tienen un diámetro de 1.35 cm con una desviación estándar de 0.08 cm. Realizar una prueba de hipótesis utilizando un nível de significancia de 0.05 y 0.01. 1. El parámetro de interés es el diámetro promedio de las arandelas. 2. La hipótesis nula es H0:
cm.
3. La hipótesis alterna es HA:
cm.
La prueba es de dos colas ya que no interesa si la media es menor o mayor a 1.3 cm, sólo importa si es diferente a 1.3 cm. 4. El estadístico de prueba es 5. Para una significancia α=0.05, el criterio de rechazo es cuando el estadístico t se encuentra fuera del intervalo formado por los valores críticos
y
(estos valores se
obtuvieron para 10-1=9 grados de libertad y α=0.025). Para una significancia α=0.01, el criterio de rechazo es cuando el estadístico t se encuentra fuera del intervalo formado por los valores críticos
y
(también corresponden a los
valores de la tabla t para 9 grados de libertad y α=0.005) 6. Se calcula el estadístico de prueba: Para un nivel de significancia de 0.05, como
entonces se rechaza la hipótesis nula.
Para un nivel de significancia de 0.01, como
se acepta H0.
Como se puede rechazar H0 con un nivel de significancia de 0.05 y no de 0.01 se dice que el resultado de la muestra es estadísticamente significante.
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Módulo 6 Unidad 2. Pruebas de hipótesis
Figura 1. Regiones de aceptación y de rechazo para
para el ejercicio resuelto 4.
Pruebas de hipótesis para la diferencias de medias Caso de muestras pequeñas donde se conocen las varianzas Sean
y
y
las medias muestrales de muestras pequeñas (n<30) con tamaños
poblaciones con medias
y
y desviaciones estándar
y
y
escogidas de
respectivamente.
Si la población tiene una distribución aproximadamente normal, la diferencia de medias de muestras se distribuye aproximadamente en forma normal, y por lo tanto puede emplearse el estadístico
donde
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Módulo 6 Unidad 2. Pruebas de hipótesis
Ejemplo resuelto 5 (obtenido del libro Douglas C. Montgomery
Intervalos de confianza para la diferencia de medias varianza conocida Teoría sobre intervalos de confianza para la diferencia de medias varianza conocida. Obtenido de Douglas C. Montgomery, George C. Runger. (5ta ed. 2011). Applied Statistics and Probability for Engeineers. USA: Wiley&Sons. Caso de muestras pequeñas donde no se conocen las varianzas Suponer que las muestras con medias
y
y
provienen de poblaciones con distribuciones normales o
aproximadamente normales, se puede considerar que la distribución de la diferencia de medias sigue aproximadamente una distribución t de Student. Se distinguen dos casos.
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Módulo 6 Unidad 2. Pruebas de hipótesis
Caso I: El estadístico de prueba es
con
la varianza ponderada de
y
calculada como
como se trata de la distribución t, los grados de libertad se calculan como:
.
Ejercicio resuelto 6. Coeficientes de inteligencia Los coeficientes de inteligencia de 16 estudiantes de un área de la ciudad arrojaron un promedio de 107 con una desviación estándar de 10. Los coeficientes de 14 estudiantes de otra área de la ciudad arrojaron un resultado de 112 con una desviación estándar de 8. ¿Existe una diferencia significativa entre los dos grupos con una significancia de 0.05 o 0.01? 1. El parámetro de interés es la diferencia entre las medias de las muestras. 2. La hipótesis nula es H0:
que no existe diferencia entre los grupos
3. La hipótesis alterna es HA:
que existe una diferencia significativa entre los grupos.
4. El estadístico de prueba es
5. Para una significancia α=0.05, el criterio de rechazo es cuando el estadístico t se encuentra fuera del intervalo formado por los valores críticos
y
(estos valores se
obtuvieron para 16+14-2=28 grados de libertad y α=0.025). Para una significancia α=0.01, el criterio de rechazo es cuando el estadístico t se encuentra fuera del intervalo formado por los valores críticos
y
(también corresponden a los
valores de la tabla t para 28 grados de libertad y α=0.005).
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Módulo 6 Unidad 2. Pruebas de hipótesis
6. Se calcula el estadístico de prueba:
7. Para un nivel de significancia de 0.05, como
entonces se acepta la hipótesis
nula. Para un nivel de significancia de 0.01, como
se acepta H0.
Se concluye que no existe diferencia entre los dos grupos.
Caso II: Se deja para investigar.
Muestas apareadas Los métodos que se han empleado hasta ahora son para poblaciones independientes. Sin embargo hay ocasiones en las que las observaciones de dos poblaciones se colectan en pares. Cada observación se toma bajo ciertas condiciones iguales pero estas condiciones pueden cambiar de un par a otro. En este caso se trata de muestras dependientes.
Sean
un conjunto de n pares de observaciones en donde se asume que
la media y la varianza de la población representada por población representada por como varianza
son
y
son
y
, y la media y la varianza de la
. Se definen las diferencias entre cada par de observaciones
. Las . Si se quiere probar la hipótesis
tienen una distribución normal con media
y
contra la hipótesis
se
utiliza el estadístico
donde
es el promedio de la muestra de las n diferencias D1, D2,…,Dn y SD es la desviación estándar de
esas diferencias.
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Mรณdulo 6 Unidad 2. Pruebas de hipรณtesis
A continuaciรณn se encuentra un ejemplo de cรณmo resolver un problema con este tipo de muestras. Prueba de Hipรณtesis de muestras pareadas Educatina 2014 https://www.youtube.com/channel/UCvYgy9xNtl7jeJAdzppgK8g
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