A continuaciĂłn estudiarĂĄs algunas de las aplicaciones mĂĄs comunes de la integral doble, las cuales se aplican en diferentes ingenierĂas, arquitectura y la fĂsica. Teorema 5: Si f(x, y) = 1, entonces el ĂĄrea de la regiĂłn R se calcula por la integral đ??´(đ?‘…) = âˆŹđ?‘… 1dA Teorema 6: Si f(x, y) ≼ 0 sobre una regiĂłn R, entonces su volumen se calcula como: V = âˆŹ f(x, y)dA R
Ejemplo: Calcula el ĂĄrea de f(x, y) = 1 sobre la regiĂłn encerrada entre las parĂĄbolas y = 1 + x 2 y y = 2x 2 .
SoluciĂłn: Antes de escribir la integral que debes resolver para el ĂĄrea, es necesario que obtengas los lĂmites de integraciĂłn que se forman al intersectarse las parĂĄbolas. Supongamos que se trata de una regiĂłn tipo I, entonces đ?œ™1 (đ?‘Ľ) = y = 2x 2 y đ?œ™2 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ś = 1 + x 2 . Esto puede afirmarse porque al graficar ambas parĂĄbolas 2x 2 estĂĄ por debajo de 1 + x 2 como se muestra en la Imagen 9.
Imagen 9 Fuente: ElaboraciĂłn propia con el uso de Maple17
Ejemplo: CuĂĄl es el volumen de la funciĂłn đ?‘§ = đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 que se encuentra acotado la regiĂłn đ?‘… = {0 ≤ x ≤ √3 y 0 ≤ y ≤
√3−x2 }. 2
SoluciĂłn: Primero verifica que f(x, y) = đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 ≼ 0 para que puedas aplicar la formula V = âˆŹR f(x, y)dA, en este caso para cualquier pareja (x, y) ∈ â„?2 la funciĂłn es positiva Ya que el ejemplo te proporciona los lĂmites de integraciĂłn, entonces aplica la formula V = âˆŹR f(x, y)dA. Escribe la integral y resuĂŠlvela. √3
√3−x2 2
âˆŤ [âˆŤ 0
√3
x 2 + 4y 2 dy]dx = âˆŤ
0
0
2
√3−x √3 1 4 (3 − x 2 )3/2 (x 2 y + y 3 ) │0 2 dx = âˆŤ 3 3 0
Para resolver la integral proponemos el cambio de variable x = √3senu y dx = √3cosudu, 1
1
x
entonces 3 (3 − x 2 )3/2 = 3 (3 − (√3senu)2 ) = 3√3cos 2 (đ?‘˘3/2 ) y u = sen−1 ( 3), du = √
u≤
cosu √3
con 0 ≤
đ?œ‹ 2 đ?œ‹ 2
đ?œ‹
2
âˆŤ 3√3đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘˘ 0
3/2
đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘˘ 2 9 ) đ?‘‘đ?‘˘ = âˆŤ 3(cosu)cos2 (u3/2 )du = Ď€ )( 16 √3 0
MĂĄs adelante podrĂĄs utilizar un mĂŠtodo con coordenadas polares, el cual te facilitarĂĄ calcular integrales con menos pasos. DefiniciĂłn: Las coordenadas (xĚ…, yĚ…) del centro de masa de una regiĂłn plana sobre R, cuya funciĂłn de densidad es Ď (x, y). Se calcula por las integrales de la forma. xĚ… =
My m
=
1 âˆŹ xĎ (x, y)dA; m D
yĚ… =
Mx m
=
1 âˆŹ yĎ (x, y)dA m D
y m = âˆŹD Ď (x, y)dA
Ejemplo: ÂżCuĂĄl es el centro de masa (xĚ…, yĚ…) de una lĂĄmina plana triangular con vĂŠrtices (0,0), (1,0) y (1,1), cuya funciĂłn de densidad es Ď (x, y) = x + 4y? SoluciĂłn: Aplica la definiciĂłn de centro de masa para regiones planas. Ya que la regiĂłn es un triĂĄngulo, puedes suponer que se trata de una regiĂłn tipo I, despuĂŠs calcula todas las integrales que necesitas para obtener el centro de masa.
1
1
1
1
m = âˆŤ [âˆŤ x + 4y dy]dx = âˆŤ (xy + 2y 2 )│1x dx = âˆŤ −3x 2 + x + 2dy = 0
x 1
0 1
0 1
Mx = âˆŤ âˆŤ [y(x + 4y)dy]dx = âˆŤ ( 0
x 1
0 1
3 2
1 đ?‘Ľđ?‘Ś 2 4đ?‘Ś 3 1 1 9 + ) │x dx = âˆŤ (3x + 8 − 11x 3 )dx = 2 3 8 0 6
1
1
My = âˆŤ âˆŤ [x(x + 4y)dy]dx = âˆŤ x(xy + 2y 2 )│1x dy = âˆŤ x(x + 2 − 3x 2 )dy = = 0
x
0
Ahora calcula los valores de: xĚ… =
0 My m
=
7 18
; yĚ… =
Mx m
7 12
3 4
7 3 18 4
= = en la coordenada (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = ( , ) y esta
es el centro de masa que buscabas. DefiniciĂłn: El momento de inercia de una superficie đ?‘… plana de masa, alrededor de los ejes x, y y el origen se definen por las integrales: đ??źđ?‘Ľ = âˆŹđ?‘… đ?‘Ś 2 đ?œŒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ??´; đ??źđ?‘Ś = âˆŹđ?‘… đ?‘Ľ 2 đ?œŒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ??´; đ??ź0 = âˆŹđ?‘…(đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 )đ?œŒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ??´ Ejemplo: Encuentra el momento de inercia sobre el eje đ?‘Ľ, de la regiĂłn plana acotada por la parĂĄbola đ?‘Ś 2 = 2 − đ?‘Ľ y las rectas đ?‘Ľ = 0 e đ?‘Ś = 0, la funciĂłn densidad es đ?œŒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 2đ?‘Ľđ?‘Ś + 1. SoluciĂłn: Primero debes identificar los lĂmites de integraciĂłn para sustituirlos en la fĂłrmula đ??źđ?‘Ľ = âˆŹđ?‘… đ?‘Ś 2 đ?œŒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ??´ para obtener el momento de inercia sobre el eje x. Grafica la regiĂłn đ?‘Ś 2 = 2 − đ?‘Ľ, đ?‘Ľ = 0 y đ?‘Ś = 0 en el plano xy. La Imagen 10 muestra la regiĂłn del ejemplo, supongamos que es del tipo I, entonces y = Ď•1 (x) = 0 y y = Ď•2 (x) = √2 − x y son los lĂmites para la variable y. Aunque en la grĂĄfica es claro que 0 ≤ x ≤ 2, analĂticamente lo que se hace es plantear y resolver el sistema, cuya soluciĂłn son los puntos de intersecciĂłn son los lĂmites para la variable x. Escribe los datos en la integral đ??źđ?‘Ľ y resuelve. 2
√2−đ?‘Ľ
âˆŤ [âˆŤ 0
2
đ?‘Ś 2 (2đ?‘Ľđ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ś]đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ
0
0 2
=âˆŤ 0 2
Por lo tanto đ??źđ?‘Ľ = 3
đ?‘Ľđ?‘Ś 4 √2−đ?‘Ľ │ = 2 0
1 2 đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 2)2 đ?‘‘đ?‘Ľ = 2 3
Imagen 10 Fuente: ElaboraciĂłn propia con el uso de Maple17
Definición: Sea R una región tal que f: R → � es continua, entonces el valor medio de f sobre R se define como:
[f]m =
âˆŹ f(x, y)dA 1 (âˆŹ f(x, y)dA) = R âˆŹR dA âˆŹR dA R
Las aplicaciones del valor medio Ejemplo: Sea f(x, y) = y 3 + x 2 + xy + 1 continua sobre đ?‘… = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)| − 1 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1, −1 ≤ đ?‘Ś ≤ 1}, calcula el valor medio de f. SoluciĂłn: Antes de aplicar la fĂłrmula del valor medio, primero calcula cada uno de sus elementos. 1
1
1
1 x3 x2y 8 16 + + xy 3 + x│1−1 = âˆŤ 2y 3 + dy = 2 3 3 −1 3 −1
âˆŤ âˆŤ y 3 + x 2 + xy + 1 dxdy = âˆŤ −1 −1 1
1
1
x3 x2y + + xy 3 + x│1−1 3 2 −1
âˆŤ âˆŤ dxdy = âˆŤ −1 −1
Aplica la definiciĂłn y sustituye los valores que obtuviste, la respuesta es: 16 âˆŹR f(x, y)dA 4 [f]m = = 3 = 4 3 âˆŹR dA DefiniciĂłn: Sea T: R∗ ⊆ â„?2 → â„?2 de clase C1 , que define a x = x(u, v) y y = y(u, v). El determinante jacobiano de T se define como: ∂x ∂x ∂(x, y) DT(u, v) = = | ∂u ∂v | ∂y ∂y ∂(u, v) ∂u ∂v Teorema 7: Sean R∗ R regiones del tipo I, II Ăł II y T: R∗ → R transformaciĂłn de clase C1 tal que T(R∗ ) = R es inyectiva. Entonces para cualquier funciĂłn integrable đ?‘“: đ?‘… → â„? se cumple: ∂x ∂x ∂u ∂v | dudv âˆŹ f(x, y)dxdy = âˆŹ f(x(u, v), y(u, v)) | ∂y ∂y R R∗ ∂u ∂v
Ejemplo: Sea f(x, y) = xy y la región R formada por los puntos (0,0), (1,2), (2,2) y (3,4). Calcula la integral de f sobre R, aplicando el cambio de variable u = y − x y v = y − 2x. Solución: Primero debes identificar los puntos en el plano xy y unirlos para determinar qué tipo de región es R.
Imagen 11 Fuente: Elaboración propia con el uso de Maple17 La Imagen 11 muestra los puntos (0,0), (1,2), (2,2),(3,4) y las rectas que se forman1 son: y = 2x, y = x, y = x + 1 y y = 2(x + 1) Despeja las variables x y y en términos de u y v para obtener los nuevos puntos que nos darán la nueva región de integración x = v−u y = 2u − v Después resuelve para el punto (0,0) 0=v−u 0 = 2u − v La solución es (0,0), por lo tanto (0,0) → (0,0) Para (1,2) el sistema es: 1=v−u 2 = 2u − v
1
Para obtener las ecuaciones de las rectas utiliza los métodos que aprendiste en el módulo 2.
Cuya solución es (1,0), entonces (1,2) → (1,0)
Para (1,2) el sistema es: 1=v−u 2 = 2u − v La soluciĂłn es (1,0), entonces (1,2) → (1,0) Y para (3,4) el sistema es: 3=v−u 4 = 2u − v La soluciĂłn es (1, −2), entonces (3,4) → (1, −2) La Imagen 12 muestra la nueva regiĂłn R∗ despuĂŠs del cambio de variable, donde 0 ≤ u ≤ 2 y 0 ≤ v ≤ −2.
Imagen 12 Fuente: ElaboraciĂłn propia con el uso de Maple17
Calcula DT(u, v), para despuĂŠs calcular la integral aplicando el teorema 7. ∂x ∂x 1 −1 DT(u, v) = | ∂u ∂v | = | |=1 ∂y ∂y 2 −1 ∂u ∂v 0
1
âˆŹ đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ âˆŤ (v − u)(2u − v)(1)dudv = 7 đ?‘…
−2 0
Teorema 8: Sea f(x, y) funciĂłn continua sobre alguna regiĂłn. Caso 1: Si R = [Îą, β] Ă— [a, b], tal que a ≤ r ≤ b y Îą ≤ θ ≤ β, con 0 ≤ β − Îą ≤ 2Ď€, entonces se cumple que: β
b
âˆŹ f(x, y)dA = âˆŤ âˆŤ f(rcosθ, rsenθ)rdrdθ R
Îą
a
Caso 2: Para R = [ι, β] × [g1 (θ), g 2 (θ)], con ι ≤ θ ≤ β y g1 (θ) ≤ r ≤ g 2 (θ) y para toda pareja ordenada (r, θ), entonces se cumple que:
đ?›˝
đ?‘”2 (đ?œƒ)
âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ??´ = âˆŤ âˆŤ đ??ˇ
�
đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘‘đ?œƒ
đ?‘”1 (đ?œƒ)
Los resultados anteriores se conocen como el cambio de variable en forma polar. Ejemplo: Encuentra el volumen que se encuentra acotado por el paraboloide z = 4 − x 2 − y 2 y el plano z = 0, aplicando el cambio de variable en forma polar. SoluciĂłn: Escribe el cambio de variable a coordenadas polares y calcula el determinante jacobiano. x = rcos θ , y = rsen θ; TD(R) =
∂(x,y) ∂(r,θ) β
=r
b
DespuĂŠs aplica el caso 1 del teorema 9 en âˆŹR f(x, y)dA = âˆŤÎą âˆŤa f(rcosθ, rsenθ)rdrdθ Para z = 0 se tiene que 4 − x 2 − y 2 = 0 es en el cĂrculo de radio 2. Es decir, el volumen que buscas se encuentra entre el cĂrculo x 2 + y 2 ≤ 4 y el paraboloide 4 − x 2 − y 2 . En coordenadas polares 4 − x 2 − y 2 = 4 − r 2 (cos2 θ + sen2 θ) = 4 − r 2 . Los lĂmites de integraciĂłn son 0 ≤ đ?‘&#x; ≤ 2 porque va del plano z = 0 hasta el radio del cĂrculo y 0 ≤ θ ≤ 2Ď€ recorre una vuelta al plano. 2Ď€
2
2Ď€
âˆŤ [âˆŤ (4 − r 2 )rdr]dθ = âˆŤ 0
0
0
2r 2 −
2Ď€ r4 2 │0 = âˆŤ 4dθ = 8Ď€ 4 0
La grĂĄfica de la Imagen 13 es el paraboloide 4 − x 2 − y 2 acotado por el plano z = 0
Imagen 13 Fuente: ElaboraciĂłn propia con el uso de Maple17
Los siguientes enlaces contienen teoría y ejercicios resueltos de aplicaciones de las integrales dobles y triples. Opción 1: Cisneros, G. (2010) 3. Aplicaciones de las integrales múltiples. Recuperado de: http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/Aplicaciones.pdf Opción 2: Cisneros, G. (2010) 4.Cambio de variable en las integrales múltiples. Recuperado de: http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/CV.pdf
Ciencia para Nes (2011). Centroide, centro de masas y centro de gravedad[Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=Z3MIA6-r_Nc