f: R ⊆ ℝn → ℝ n=2
r: [a, b] ⊆ ℝ → ℝ2
f(x, y) C1
t → f(x(t), y(t))
[a, b]
r
b
∫f(x, y)ds = ∫ f(r(t))‖r´(t)‖dt r
a b
= ∫ f(x(t), y(t))√(x′(t))2 + y′(t)2 dt a
Cuando
f(x, y) ≥ 0
la
integral
representa el área de una trayectoria plana.
Imagen 14: Interpretación geométrica de la integral de una trayectoria plana, de una función escalar
Caso 2: Sea f(x, y) una función a lo largo de la trayectoria r: [a, b] ⊆ ℝ → ℝ3 tal que r es de clase C1 , cuya función compuesta t → f(x(t), y(t), z(t)) es continua sobre [a, b]. Entonces se define la integral: b
b
∫f(x, y, z)ds = ∫ f(r(t))‖r´(t)‖dt = ∫ f(x(t), y(t), z(t))√(x′(t))2 + y′(t)2 + z′(t)2 dt r
a
a
Fuente: Marsden, J. E. (2011). Cálculo vectorial. México D.F. Pearson.
r = r1 âˆŞ r2 + â‹Ż +âˆŞ rm
C1
ri
âˆŤf(x, y)ds = âˆŤ f(x, y)ds + âˆŤ f(x, y)ds + â‹Ż + âˆŤ f(x, y)ds r
r1
r2
rm
âˆŤf(x, y, z)ds = âˆŤ f(x, y, z)ds + âˆŤ f(x, y, z)ds + â‹Ż + âˆŤ f(x, y, z)ds r
r1
r2
âˆŤđ?‘&#x; đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘ 2
rm
đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 2 + đ?‘Ś
đ?‘&#x;
2
đ?‘Ľ +đ?‘Ś =4
đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą; đ?‘Ś = đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą đ?‘Ą f(x(t), y(t))√(x′(t))2 + y′(t)2
[0 , đ?œ‹]
f(x(t), y(t)) = 2 + đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą
√(x′(t))2 + y′(t)2 = √(−sent)2 + (cost)2
√đ?‘ đ?‘’đ?‘›2 + đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 = 1 đ?œ‹
âˆŤ (2 + sent)(1)dt = (2t − cost)│đ?œ‹0 = 2(đ?œ‹ + 1) 0
đ??ś1
r(t) = x(t)i + y(t)j
đ?‘Ą ∈ [đ?‘Ž, đ?‘?]
đ?‘Ľ(đ?‘Ą)
đ?‘Ś(đ?‘Ą) f(x, y) x âˆŤr f(x, y)dx = âˆŤr f(x(t), y(t))x ′ (đ?‘Ą) dt y âˆŤr f(x, y)dy = âˆŤr f(x(t), y(t))y ′ (đ?‘Ą) dt âˆŤr 3y 2 dx + 2xdy (0,2)
−3 ≤ đ?‘Ś ≤ 2
x(t) = 4 − đ?‘Ś 2
(−5, −3)
𝑑𝑥 𝑑𝑦
= −2𝑦
𝑑𝑦 =
−2𝑦𝑑𝑦 2
2
∫ 3y 2 dx + 2xdy = ∫ 3y 2 (−2y) + (4 − y 2 )dy −3
−3 2
∫ [−6y 3 + 4 − y 2 ]dy = −3
C1
ρ(x, y) r(t): [a, b] → ℝ2
C1
m = ∫r ρ(x, y)ds (x̅, y̅) Ix
x̅ = ∫r xρ(x, y)ds Iy
y̅ = ∫r yρ(x, y)ds
Ix ∫r y 2 ρ(x, y)ds
Iy = ∫r x 2 ρ(x, y)ds
x ρ(x, y) = 2(1 − y)
635 6
La Imagen 17 muestra la forma del alarme del ejemplo, para calcular la masa y el centro de masa, utiliza la parametrizaciĂłn x = cost, Ď€ y = sent y dy = dt con 0 ≤ t ≤ 2 porque se trata de un cuarto del cĂrculo unitario. DespuĂŠs calcula la masa: Ď€
m = âˆŤr Ď (x, y)ds = âˆŤ02 2(1 − sent)dt = Ď€ − 2 Y finalmente las coordenadas del centro de masa: Ď€ 2
yĚ… = âˆŤ 2sent(1 − sent)dt = 2 − 0
Imagen 17 Fuente: ElaboraciĂłn propia con el uso de Maple17
Ď€ 2
xĚ… = âˆŤ 2cost(1 − sent)dt = 1 0
Y el centro de masa estå en la coordenada π 2
(xĚ…, yĚ…) = (1, 2 − )
F
�2 (x, y) ∈ R ⊆ �
2
F(x, y)
Ď€ 2
F R
F(x, y) = f1 (x, y)đ??˘ + f2 (x, y)đ??Ł
(x, y, z) ∈ R v ⊆ �
â„?3 F(x, y, z)
3
F Rv
F(x, y, z) = f1 (x, y, z)đ??˘ + f2 (x, y, z)đ??Ł + f3 (x, y, z)đ??¤ F(x, y)
F(x, y, z)
C1
F(x, y) = f1 (x, y)i + f2 (x, y)j r(t): [đ?‘Ž, đ?‘?] → â„?2 C1
[a, b]
b
r(t) = (x(t), y(t))
b
âˆŤF ∙ ds = âˆŤ F(r(t)) ∙ r′(t)dt = âˆŤ F(x(t), y(t)) ∙ (x′(t), y′(t))dt r
a
a
F(x, y, z) = f1 (x, y)i + f2 (x, y)j + f3 (x, y)k C1 r(t): [đ?‘Ž, đ?‘?] → â„?3 C1 (x(t), y(t), z(t))
b
[a, b]
r(t) =
b
âˆŤF ∙ ds = âˆŤ F(r(t)) ∙ r′(t)dt = âˆŤ F(x(t), y(t), y(t)) ∙ (x′(t), y′(t), z′(t))dt r
a
a
W = âˆŤrF ∙ dr
de una trayectoria, que se define para F(x, y) = f1 (x, y)i + f2 (x, y)j + f3 (x, y) como: b
b
âˆŤF ∙ ds = âˆŤ f1 dx + f2 dy + f3 dz = âˆŤ (f1 (x(t)) r
a
a
dx dy dz + f2 y(t) + f3 y(t) ) dt dt dt dt
Imagen 18: InterpretaciĂłn geomĂŠtrica de la integral de lĂnea de una funciĂłn vectorial
.
Ejemplo: Calcule el trabajo generado por la fuerza F(x, y) = 2xyđ??˘ + yđ??Ł, cuando se aplica sobre đ?œ‹ una partĂcula que se mueve a lo largo de la trayectoria r(t) = costđ??˘ + sentđ??Ł, con 0 ≤ đ?‘Ą ≤ 2 . SoluciĂłn: Utiliza la integral âˆŤrF ∙ dr, primero calcula F(r(t)) = (2sentcost, sent) y r ′ (t) = (−sent, cost). DespuĂŠs sustituye lo que obtuviste en la definiciĂłn W = âˆŤrF ∙ dr y resuĂŠlvela. Ď€ 2
Ď€ 2
âˆŤ (2sentcost, sent) ∙ (−sent, cost)dt = âˆŤ (−2sen2 tcost − sentcost)dt = 0
0
sen2 t 2cos 3 t Ď€2 7 + │0 = − 2 2 6
Ejemplo: Calcule la integral de lĂnea F(x, y) = 2xđ??˘ + yđ??Ł + zđ??¤ = (2x, y, z) a lo largo de la trayectoria r(t) = sentđ??˘ + costđ??Ł + tđ??¤, con 0 ≤ đ?‘Ą ≤ đ?œ‹. SoluciĂłn: Utiliza la integral âˆŤrF ∙ dr, primero calcula F(r(t)) = (2sent, cost, t) y r ′ (t) = (2cost, −sent, 1). DespuĂŠs sustituye lo que obtuviste en la definiciĂłn W = âˆŤrF ∙ dr y resuĂŠlvela. đ?œ‹ đ?œ‹ 8 Ď€2 âˆŤ (2sent, cost, t) ∙ (2cost, −sent, 1)dt = âˆŤ (4sentcos 2 t − sentcost + t)dt = + 3 2 0 0
Ejemplo: Calcula la integral de lĂnea âˆŤr 3xdx + xy + 2dz, si r(t) = (t 2 , t, 1), con 0 ≤ đ?‘Ą ≤ 1.
SoluciĂłn: Como la integral de lĂnea estĂĄ dada en forma diferencial, entonces calcula la derivada de la trayectoria. Sea r ′ (t) = dx dy dz
( dt , dt , dt ) = (2t, 1,0), entonces al aplicarlo en b
dx
dy
dz
âˆŤa (f1 dt + f2 dt + f3 dt ) dt tenemos que: 1
1
âˆŤ (3đ?‘Ą 2 )(2t) + [(đ?‘Ą 2 )(t)](1) + 2(0)dt = âˆŤ 7 đ?‘Ą 3 = 0
0
7 4
La imagen 18 muestra la grĂĄfica de la trayectoria r(t) = (t 2 , t, 1).
h: [a, b] → [c, d]
Imagen 19: InterpretaciĂłn geomĂŠtrica de la integral de lĂnea de una funciĂłn vectorial Fuente: ElaboraciĂłn propia con el uso de Maple17
C1
C1 p(t) = r(h(t))
â„? r
3
r: [c, d] → �3 p = (r ∘ h): [a, b] → �3
(r ∘ h)(a) = r(c)
(r ∘ h)(b) = r(d)
r
(r ∘ h)(a) = r(d)
(r ∘ h)(b) = r(c)
r
đ??ś
1
đ??š p =: [a, b] → â„?3
C1 r
r: [a, b] → p
∫ Fds = ∫Fds p
p
r
r ∫ Fds = − ∫Fds p
r
− ∫rFds
∫rFds = y 2 dx + xdy
r
(−5, −3) (0,2) x = 5t − 5 y = 5t − 3 0≤t≤1 ∫rFds 1 ∫0 y 2 dx +
xdy =
1 ∫0 (5t −
r(t) = (5t − 5, 5t − 3) dx = 5𝑑𝑡
3)2 (5dt) + (5t − 5)(5dt) =
1 ∫0 [5((5t −
r(t) = (−5t, 2 − 5t) (0,2)
dy = 5dt 5
3)2 + (5t − 5))]dt = − 6
0≤t≤1 (−5, −3)
r′(t) = (−5dt, −5dt) 1
1
1
∫ y 2 dx + xdy = ∫ [(−5t)2 (5dt) + (2 − 5t)(5dt)] dt = ∫ [5(25𝑡 2 + (2 − 5t))]dt = 0
0
0
5 6
∫p Fds = − ∫rFds
r: [a, b] → ℝ3
f: ℝ3 → ℝ C1
C1
∫∇f ∙ ds = f(r(b)) − f(r(a)) r
2
∫r 2x 2 ydx + 3 x 3 dy
r(t) = (t, 2t)
1 2
∇f = 2x 2 ydx + 3 x 3 dy f(x, y) =
2 3 x y 3
f(x, y)
0≤t≤
dx
dy
r´(t) = ( dt = 1, dt = 2)
dx = dt
dx =
2tdt 1 1 2 2 16 3 4 ∫ 2x 2 ydx + x 3 dy = ∫ 2t 2 (2t)dt + t 3 2dt = ∫ t = 3 3 3 r 0 0 3 2
2
4
f(r(1)) − f(r(0)) = (1)3 (2(1)) − (0)3 (2(0)) = 3 3 3 2
4
∫r 2x 2 ydx + 3 x 3 dy = f(r(1)) − f(r(0)) = 3