y′ = f(x, y) y(x): ℝ → ℝ
x
y ′ = −x 2 2y ′′ + y − 2x = 0 y ′′′ = −yx 2
y
y′ = f(x, y) y′′ = f(x, y, y′) y (𝑛) = f(x, y, y ′ , … y (𝑛−1) )
dy dt
= f(t, y)
F(x, y, y ′ ) = 0
𝑦𝑦 ′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑒 𝑥 = 0 (𝑦′)4 − (𝑥 + 1)𝑦 ′ = 0 (2𝑥 − 𝑦)𝑦 ′ + 5 = 𝑥
y ′ = f(x, y)
y(x)
y´
y(x)
y′ = x2 y=
x3 3
+c
y
c∈ℝ y′
y=
x3 3
+c
y = x2
x
c y′ = x2 c = −20,0,20 {y =
x3 3
− 20,
x3 x3 , 3 3
+ 20, }
y′
S=
y′ = x2
c∈ℝ y′
y = (x0 ) = y0
y ′ x − 2x 2 = 0
y(1) = 0
y ′ x − 2x 2 = 0 y ′ = 2x
y ′ = 2x y = x 2 + c y = x2 + c c
y(1) = 0
𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 y = x2 + c c = y − x2 𝑦0 = 0 c = (0) − (1)2 = −1
𝑥0 = 1 y′
c = −1
y = x2 − 1
y = x2 − 1
y ′ = 2x
y(1) = 0
y = x2 − 1 = 0
y = (1)2 − 1 = 0
𝑥0 = 1
y(x)
F(x, y)
y ′ = f(x, y) [a, b] × [c, d] ⊆ ℝ2 y(x)
R
(x, y) ∈ R = a≤x≤b
c≤y≤d
y0 = y(x0 )
I
I⊆R
f
I⊆ℝ
y ′ = f(x) I
1 y
y ′ = xsen ( )
y(0) = 0 f(x, y) =
1
xsen (y) y′
dy dx
dy dx
= g(x)f(y)
x
=
g(x) f(y)
f(y) ≠ 0
y
dy
y′ = dx = g(x)f(y) 1 dy f(y)
= g(x)dx
dy dx
=
g(x) f(y)
f(y)dy = g(x)dx
1
∫ f(y) dy = ∫ g(x)dx
∫ f(y)dy = ∫ g(x)dx
y y′ = xy
y′ = g(x)f(y)
y(0) = 4
dy = xdx y
∫ y dy = ∫ xdx log y = 2 x 2 + c 1
1
1 2
y(x) = 𝑒 2x 𝑒 c c1 = 𝑒c
y(0) = 4
1 2
y(0) = 𝑒 2x c1 = 𝑒 (0) c1 = 4 c1 = 4
1 2
y(x) = 4𝑒 2x 1 2
y(x) = 4𝑒 2x
dy dx dy dx
y(x) dy dx
y(x0 ) = y0
(x0 , y0 )
x0 ) = f(x0 , y0 )
= f(x, y)
x ∈ y(x)
(x0 , y0 )
f(x0 , y0 )
f(x𝑖 , y𝑗 ) dy dx
(x𝑖 , y𝑗 )
i, j = 1, … n ∈
ℝ
dy dx
= f(x)y
dy dx
= f(x, y)
x
y
x y
x0
y0
f(x0 , y0 )
x1
y1
f(x1 , y1 )
⋮
⋮
⋮
xn
yn
f(xn , yn )
dy dx
= f(x0 , y0 )
xy
dy dx
dy dx
dy dx
dy dx
x
= −y
(−1,1) (1, −1) (−1, −1)
dy dx
x
= −y
(0,1) (1,0) (1,1)
𝐱
𝐲
𝐱 𝐲 𝐝𝐲 𝐝𝐱
0
1
0
1
0
No existe
1
1
1
1
−1
1
xy
dy dx
=−
x y
y(x) = −√c1 − x 2 c1
y(0) = 1 y(x) = √1 − x 2
dy dx
y(x) = k√1 − x 2
k∈ℝ
Imagen 4: Familia de soluciones
Imagen 5: Familia de soluciones y(x) = k√1 − x 2
y(x) = −√c1 − x 2
para valores de k = −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4
para diferentes valores de c1
Fuente: Elaboración propia con Maple 17
Fuente: Elaboración propia con Maple 17
dy dx
Sánchez, V. (2010.) Elementos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Recuperado de: http://www.mat.ucm.es/~victorms/Elementos_de_Ecuaciones_Diferenciales_ Ordinarias.pdf
Canals, I. Muñoz, M. Pérez, R. Prado, C. Santiago, A. & Ulín C. (2014) Elementos de ecuaciones diferenciales ordinarias: UAM. Recuperado de: http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Ecuaciones.php