Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4° Semestre Fase 1. Formación matemática Módulo 8 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 1. Series y transformada de Fourier
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Recuerda: El docente en línea estará pendiente de tus dudas y te apoyará en lo que requieras.
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Dudas y comentarios
Logro Expresa dudas, comentarios o sugerencias con respeto, claridad y precisión. Reflexión • ¿Qué dificultades tienes para realizar tus actividades? • ¿Te han surgido dudas respecto a algún tema de este módulo? Descripción Este foro estará disponible en el transcurso del módulo 8, antes de participar lee con atención lo siguiente: 1. Revisa el programa de estudios del módulo. 2. Expresa tus ideas con respeto. 3. Comenta tus ideas con claridad y precisión. 4. Revisa si hay alguna duda similar a la tuya, para saber si fue resuelta por algún compañero(a) o el docente. 5. Para facilitar la participación en el foro, el docente creará líneas de discusión: • • • •
Dudas técnicas Dudas de los temas de cada unidad 1 Dudas de actividades de aprendizaje de cada unidad de aprendizaje Comentarios y propuestas
Evidencia de desempeño Participación en el foro según las dudas que surjan sin ponderación ni penalización. Herramienta del aula virtual Foro de dudas
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Para cada actividad, se ha diseñado una escala de evaluación, que te ayudará a autoevaluarte antes de enviar tu actividad al docente, así mismo servirá para que el profesor te asigne el puntaje en cada tarea. Estas escalas las encontrarás en un documento denominado Evaluación del aprendizaje, ubicado en cada módulo de actividades por unidad, ejemplo:
Revisa lo necesario y si tienes duda coméntalo con el docente cuanto antes, para evitar retrasos al final del módulo.
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE SEMANA 2
Actividad 1. Coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica
Introducción Esta actividad te permitirá desarrollar habilidades para calcular coeficientes de la serie de Fourier. Logro Argumenta el desarrollo en serie de Fourier trigonométrica de una función periódica continua. Reflexión ¿Qué diferencias observas en la serie de Fourier cuando la función tiene simetría (par o impar) o no la tiene? Secuencia de la actividad La actividad que a continuación realizarás, se desarrolla en tres fases, en la primera obtendrás las fórmulas para calcular los coeficientes de la serie de Fourier, en la segunda se te proporciona una lista de funciones para que obtengas la serie de Fourier en cada caso; en la tercera y última fase, graficarás algunas sumas parciales de la serie de Fourier para analizar el comportamiento de la serie a medida que los términos de la suma parcial aumentan.
1. Con base en la investigación bibliográfica realizada y la consulta de los materiales que se indican en el apartado de “Recursos de apoyo al aprendizaje”, aplica las propiedades de ortogonalidad de la función seno y coseno para demostrar las fórmulas de los coeficientes de las series de Fourier.
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Es importante indicar que puedes calcular los coeficientes en cualquier intervalo de longitud T, según convenga.
2. Tu docente te brindará una serie de funciones periódicas a través del espacio de Planeación docente.
a) Identifica el periodo de cada señal y grafica como mínimo dos periodos de la función. b) Calcula los coeficientes de la serie según corresponda. c) Expresa la serie de Fourier resultante. 3. En cada una de las series de Fourier obtenidas realiza lo siguiente: a) Grafica los primeros dos armónicos de cada una de las series; es decir, la suma parcial de cada serie efectuando la suma. b) Incrementa el valor del límite superior de cada serie y comparar para cada caso la gráfica obtenida en el inciso a) con las obtenidas en este inciso. Usa algún software de prueba que te permita graficar series, por ejemplo, la versión de prueba del paquete Derive, disponible en http://www.mediafire.com/download/amcar828vcoc6on/derive+6.exe
La información de este software también la encontrarás disponible en los “recursos de apoyo al aprendizaje”. Una vez obtenidas las gráficas, expórtalas en formato .jpg y guárdalas en tu computadora.
4. Una vez que hayas terminado tu actividad, guarda tus desarrollos y gráficas en un archivo de texto con la siguiente nomenclatura 04_em_08_emedpt_U1_A1_nombre_apellidopaterno, envíalo a tu docente en línea a través de la plataforma y espera su retroalimentación.
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Recursos de apoyo al aprendizaje
Opción 1: PassItEDU. Cálculo- series de Fourier (1/2) [Archivo de video]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=ixJmZG1zmJ8
Opción 2: PassItEDU. Cálculo- series de Fourier (2/2) [Archivo de video]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=lHfLn957fmY
Opción 3: Navi Oirad. Series de Fourier en Derive 6. [Archivo de video]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=gBLLzhgkyFc
Software Derive. [Versión de prueba]. Disponible en: http://www.mediafire.com/download/amcar828vcoc6on/derive+6.exe
Evidencia de producto o de desempeño Resolución de ejercicios mediante el uso de funciones para la obtención de la serie de Fourier trigonométrica. Explicación del desarrollo en serie de Fourier trigonométrica de una función periódica continua.
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Evaluación La evaluación de esta actividad se realizará a partir de la tarea enviada, donde se evidencia tu conocimiento y habilidades en torno al cálculo de series y trasformadas de Fourier en forma trigonométrica. Para esta actividad será muy importante la evaluación de las siguientes competencias transversales: •
Investiga las fuentes de consulta en la web
•
Utiliza aplicaciones tecnológicas
•
Consulta material de apoyo en otro idioma
•
Es responsable de la autenticidad de los productos y el desempeño durante su proceso de aprendizaje.
Herramienta del aula virtual Tarea
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier SEMANA 3
Actividad 2. Serie de Fourier en forma exponencial
IntroducciĂłn
Esta actividad se desarrolla en dos fases, en la primera obtendrĂĄs la serie de Fourier compleja de las funciones periĂłdicas analizadas en la actividad 1 y en una segunda fase, graficarĂĄs algunas sumas parciales de la serie de Fourier exponencial. Una funciĂłn periĂłdica darĂĄ como resultado un coeficiente đ?‘?" puramente real, esto concuerda con el hecho de que en la forma trigonomĂŠtrica de la serie de Fourier, la serie estĂĄ compuesta Ăşnicamente por tĂŠrminos cosenos y al ver la relaciĂłn entre los coeficientes trigonomĂŠtricos y exponenciales, la parte imaginaria vale cero. đ?‘?" =
đ?‘Ž" − đ?‘–đ?‘?" 2
De forma similar, una funciĂłn periĂłdica impar tendrĂĄ un coeficiente puramente imaginario, puesto que el Ăşnico coeficiente que se tiene en la serie de Fourier trigonomĂŠtrica es el coeficiente đ?‘?" . Una funciĂłn que no es par ni impar, darĂĄ como resultado un coeficiente đ?‘?" complejo, ya que los coeficientes đ?‘Ž" y đ?‘?" de la serie de Fourier trigonomĂŠtrica no se anulan. Por otra parte, si no se toman los lĂmites simĂŠtricos en la suma que define la Serie de Fourier Exponencial, no es posible relacionar la suma parcial resultante con alguna suma parcial de la Serie de Fourier TrigonomĂŠtrica. Logro Compara la serie de Fourier exponencial con la forma trigonomĂŠtrica.
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Reflexión
¿Qué relación matemática existe entre la serie de Fourier trigonométrica con la forma exponencial? Secuencia de la actividad 1. Realiza la consulta de los materiales que se indican en el apartado de “Recursos de apoyo al aprendizaje”. 2. Retoma los ejemplos de las funciones periódicas analizadas en la actividad número 1, calcula para estos casos los coeficientes mencionados por el docente y expresa su correspondiente serie de Fourier exponencial. 3. Grafica algunas sumas parciales de cada una de las series de Fourier complejas, para ello se te plantearon en el espacio de Planeación del docente algunos casos, indica lo que observas en cada uno de ellos. 4. Una vez que hayas terminado tu actividad, guarda tus desarrollos y gráficas en un archivo de texto con la siguiente nomenclatura 04_em_08_emedpt_U1_A2_nombre_apellidopaterno, envíalo a tu docente en línea a través de la plataforma y espera su retroalimentación. Recursos de apoyo al aprendizaje
Opción 1: José Pablo Alvarado Montoya (2012). Lección16: Series de Fourier [Archivo de video]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=YYOTC_TlLxU
Opción 2: José Pablo Alvarado Montoya (2012). Lección17: Ejemplos Series de Fourier. [Archivo de video]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=B3_P5dXMxmA
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Evidencia de producto o de desempeño Resolución de ejercicios mediante el uso de funciones para la obtención de la serie de Fourier en forma exponencial. Evaluación La evaluación de esta actividad se realizará a partir de la tarea enviada donde se evidencia tu conocimiento y habilidades en torno al cálculo de series y trasformadas de Fourier en forma exponencial.
Para esta actividad será muy importante la evaluación de las siguientes competencias transversales: 5. Investiga las fuentes de consulta en la web 6. Utiliza aplicaciones tecnológicas 7. Consulta material de apoyo en otro idioma 8. Es responsable de la autenticidad de los productos y el desempeño durante su proceso de aprendizaje. Para llevar a cabo la evaluación de la tarea enviada se utilizará una rúbrica. Herramienta del aula virtual Tarea
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Actividad 3. CĂĄlculo de algunas transformadas de Fourier directas
IntroducciĂłn La transformada de Fourier actĂşa entre dos dominios, uno de ellos el dominio del tiempo ∆* en el cual vive la funciĂłn
f (t ) ,
el otro es el dominio de la frecuencia ∆+ donde vive la funciĂłn transformada
đ??š(đ?œ”), tal como se indica en el siguiente diagrama.
Figura 2. Dominios de la transformada de Fourier
En otro orden de ideas, la transformaciĂłn de Fourier la podemos ver como una acciĂłn que lleva un objeto en el dominio del tiempo a otro objeto en el dominio de las frecuencias, donde tales objetos son funciones con ciertas caracterĂsticas, observamos tambiĂŠn que la acciĂłn esta mediada por un proceso, que lo reconocemos como el proceso de integraciĂłn. Ahora bien, la acciĂłn actĂşa sobre un objeto que lo hemos identificado como una funciĂłn y mediante un proceso de integraciĂłn se obtiene otro objeto (en otro dominio) que tambiĂŠn es una funciĂłn, a tales acciones se les conoce como operadores o funcionales. Estos operadores actĂşan de funciones a funciones. Logro Calcula transformadas de Fourier directa por medio de la definiciĂłn de dicha transformada.
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Reflexión ¿Qué dificultades observaste en el cálculo de la integral impropia que define la transformada de Fourier directa? Secuencia de la actividad 1. Realiza la consulta de los materiales que se indican en el apartado de “Recursos de apoyo al aprendizaje”. 2. Calcula mediante la definición y propiedades, la transformada de Fourier de las funciones que tu docente te indique. 3. Grafica cada una de las series de Fourier directas obtenidas e indica lo que observas en cada caso. 4. Una vez que hayas terminado tu actividad, guarda tus desarrollos y gráficas en un archivo de texto con la siguiente nomenclatura 04_em_08_emedpt_U1_A3_nombre_apellidopaterno, envíalo a tu docente en línea a través de la plataforma y espera su retroalimentación. Recursos de apoyo al aprendizaje
Opción 1: José Pablo Alvarado Montoya (2012). Lección19. Transformada de Fourier [Archivo de video]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=DDiEXBKQsLM
Opción 2: José Pablo Alvarado Montoya (2012). Lección18: Propiedades de las series de Fourier [Archivo de video]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=AAvvIQOSSfc
Evidencia de producto o de desempeño Resolución de ejercicios mediante el uso de funciones para la obtención de la serie de Fourier directa. UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Evaluación
La evaluación de esta actividad se realizará a partir de la tarea enviada, donde se evidencia tu conocimiento y habilidades en torno al cálculo de series y trasformadas de Fourier directas. Para esta actividad será muy importante la evaluación de las siguientes competencias transversales: 5. Investiga las fuentes de consulta en la web 6. Utiliza aplicaciones tecnológicas 7. Consulta material de apoyo en otro idioma 8. Es responsable de la autenticidad de los productos y el desempeño durante su proceso de aprendizaje. Herramienta del aula virtual Tarea UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier SEMANA 4
Actividad 4. Cálculo de algunas transformadas de Fourier inversas
Introducción En esta actividad calcularás la transformada de Fourier inversa de algunas funciones básicas. Logro Calcular transformadas de Fourier inversa a través de las propiedades y teoremas de Fourier. Reflexión ¿Qué características observas al usar las propiedades y teoremas en el proceso inverso de la transformada de Fourier? Secuencia de la actividad 1. Realiza la consulta del material que se indican en el apartado de “Recursos de apoyo al aprendizaje”. 2. Calcula las transformadas inversas de Fourier que tu profesor te indique. 3. Una vez que hayas terminado tu actividad, guarda tus desarrollos y gráficas en un archivo de texto con la siguiente nomenclatura 04_em_08_emedpt_U1_A4_nombre_apellidopaterno, envíalo a tu docente en línea a través de la plataforma y espera su retroalimentación.
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Unidad 1. Series y transformada de Fourier
Recursos de apoyo al aprendizaje
Opción 1: Universidad Politécnica de Valencia (2013). Transf. De Fourier de tiempo continuo. Transformada inversa. [Archivo de video]. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=lXB-nNwQSYw
Evidencia de producto o de desempeño Solución de ejercicios, sobre el cálculo de transformadas inversas de Fourier. Evaluación La evaluación de esta actividad se realizará a partir de la tarea enviada, donde se evidencia tu conocimiento y habilidades en torno a las transformadas inversas de Fourier. Para esta actividad será muy importante la evaluación de las siguientes competencias transversales: 4. Investiga las fuentes de consulta en la web 5. Utiliza aplicaciones tecnológicas 6. Consulta material de apoyo en otro idioma 7. Es responsable de la autenticidad de los productos y el desempeño durante su proceso de aprendizaje. Herramienta del aula virtual Tarea
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