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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4 Semestre Fase 2. Formación en educación matemática Módulo 8 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 3. Resolución de ecuaciones diferenciales parciales

Unidad 3. Resolución de ecuaciones diferenciales parciales

Semana 10. Ecuación de onda Una segunda ecuación diferencial parcial que se presenta a menudo en matemáticas aplicadas es la ecuación de onda. La solución de esta ecuación fue uno de los problemas matemáticos importantes de mediados del siglo XVIII. La ecuación de onda fue deducida y estudiada por primera vez por D’Alembert en 1746. Tambien llamó la tención de Euler (1748), Daniel Bernoulli (1753) y Lagrange (1759). La ecuación de onda fue resuelta de varias maneras y los méritos de estas soluciones sí como las relaciones entre ellas, fueron discutidas, algunas veces acaloradamente, en una serie de documentos a lo largo de más de 25 años. Los puntos en disputa se refirieron a la naturaleza de una función y a las clases de funciones que es posible representar por series trigonométricas. Estas ecuaciones no fueron resueltas hasta el siglo XIX. Alguna forma de esta ecuación, o una generalización de ella, surge casi inevitablemente en cualuier análisis matemático de los fenómenos que comprenden la propagación de ondas en un medio continuo. Por ejemplo, los estudios de las ondas acústicas, ondas en el agua y ondas electromagnéticas, todos se basan en esta ecuación. Quizá la situación más fácil de visualizar ocurre en la investigación de las vibraciones mecánicas. Deduzcamos pues, la ecuación de onda en una dimensión espacial, bajo este enfoque. Supongamos que una cuerda elásticade longitud 𝑙 se tensa con firmesa entre dos soportes fijos al mismo nivel horizontal de modo que el eje 𝑥 quede a lo largo de la cuerda con puntos extremos ubicados en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑙, como se muestra en la siguiente figura:

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Unidad 3. ResoluciĂłn de ecuaciones diferenciales parciales

Figura 5. Cuerda elĂĄstica bajo tracciĂłn

Se puede imaginar que la cuerda elĂĄstica es una cuerda de violĂ­n, un tirante o quizĂĄ un cable de energĂ­a elĂŠctrica. Si la cuerda se pone en movimiento en algĂşn instante inicial đ?‘Ą = 0 (al jalarla por ejemplo) y apartir de entonces no se le perturba, vibrarĂĄ libremente en un plano vertical siempre que se desprecien los efectos de amortiguamiento, como la resistencia del aire. Para determinar la ecuaciĂłn diferencial que rige este movimiento, se considerarĂĄn las fuerzas que actĂşan sobre un pequeĂąo elemento de la cuerda, de longitud ∆đ?‘Ľ, que se encuentre entre los puntos đ?‘Ľ y đ?‘Ľ + ∆đ?‘Ľ, como se indica en la siguiente figura

Figura 6. Elemento de la cuerda desplazada

Se supone que el movimiento de la cuerda es pequeĂąo y que, como consecuencia, cada punto de la misma se mueve Ăşnicamente en una lĂ­nea vertical. El desplazamiento vertical del punto đ?‘Ľ en el instante đ?‘Ą se denota por đ?‘˘ đ?‘Ľ, đ?‘Ą . ConsidĂŠrese que la tensiĂłn en la cuerda, que siempre actĂşa en direcciĂłn tangencial, se denota por đ?‘‡ đ?‘Ľ, đ?‘Ą y la masa por unidad de longitud de cierda por đ?œŒ. La ley de Newton, segĂşn se aplica al elemento ∆đ?‘Ľ de la cuerda, afirma que la fuerza neta externa, debida a la tensiĂłn en los extremos del elemento, debe ser igual al producto de la masa del elemento y la aceleraciĂłn de su centro de masa. Como no hay aceleraciĂłn horizontal, las componentes horizontales deben satisfacer đ?‘‡ đ?‘Ľ + ∆đ?‘Ľ, đ?‘Ą cos đ?œƒ + ∆đ?œƒ − đ?‘‡ đ?‘Ľ, đ?‘Ą cos đ?œƒ = 0 Si por đ??ť se denota la componente horizontal de la tensiĂłn, como se muestra en la siguiente figura

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Unidad 3. ResoluciĂłn de ecuaciones diferenciales parciales

Figura 7. Resolución de la tensión � en componentes

Entonces la ecuaciĂłn anterior indica que đ??ť es independiente de đ?‘Ľ. Por otra parte, las componentes verticales satisfacen đ?‘‡ đ?‘Ľ + ∆đ?‘Ľ, đ?‘Ą sen đ?œƒ + ∆đ?œƒ − đ?‘‡ đ?‘Ľ, đ?‘Ą sen đ?œƒ = đ?œŒ ∆đ?‘Ľ đ?‘˘55 đ?‘Ľ, đ?‘Ą en donde đ?‘Ľ es la coordenada del centro de masa del elemento de la cuerda que se estĂĄ considerando. Resulta evidente que đ?‘Ľ estĂĄ en el intervalo đ?‘Ľ < đ?‘Ľ < ∆đ?‘Ľ. Se supone que el peso de la cuerda, que actĂşa verticalmente hacia abajo, es despreciable, por lo que se ha omitido en la ecuaciĂłn anterior. Si la componente vertical de đ?‘‡ se denota por đ?‘‰, entonces esta ecuaciĂłn puede escribirse como đ?‘‰ đ?‘Ľ + ∆đ?‘Ľ, đ?‘Ą − đ?‘‰ đ?‘Ľ, đ?‘Ą = đ?œŒ đ?‘˘55 đ?‘Ľ, đ?‘Ą ∆đ?‘Ľ Si se pasa al lĂ­mite cuando ∆đ?‘Ľ → 0, da đ?‘‰9 đ?‘Ľ, đ?‘Ą = đ?œŒ đ?‘˘55 đ?‘Ľ, đ?‘Ą para expresar la ecuaciĂłn anterior por completo en tĂŠrminos de đ?‘˘ se observa que đ?‘‰ đ?‘Ľ, đ?‘Ą = đ??ť đ?‘Ą tan đ?œƒ = đ??ť đ?‘Ą đ?‘˘9 đ?‘Ľ, đ?‘Ą por lo que dicha ecuaciĂłn queda como đ??ťđ?‘˘9

9

= đ?œŒ đ?‘˘55

o bien, en virtud de que đ??ť es independiente de đ?‘Ľ đ??ťđ?‘˘99 = đ?œŒđ?‘˘55

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Unidad 3. Resolución de ecuaciones diferenciales parciales

Para movimientos pequeños de la cuerda es permisible sustituir 𝐻 = 𝑇 cos 𝜃 por 𝑇. Entonces la ecuación anterior toma su forma acostumbrada 𝑎= 𝑢99 = 𝑢55 en donde 𝑎= = 𝑇/𝜌 Además, se supondrá que 𝑎= es constante, aunque esto no se requiere en la deducción, incluso para movimientos pequeños. Dicha ecuación, expresada en su forma tradicional, se llama ecuación de onda para una dimensión espacial. Dado que 𝑇 tiene la dimensión de fuerza y 𝜌 la de masa/longitud, se concluye que la constante 𝑎 tiene la dimensión de velocidad. Es posible identificar 𝑎 como la velocidad con la que una pequeña perturbación (onda) se desplaza a lo largo de la cuerda. Según la ecuación de onda, la velocidad de la onda 𝑎 varía directamente con la tensión en la cuerda, pero inversamente con la densidad del material de ésta. Para un sistema vibrante con más de una coordenada espacial significativa, puede ser necesario considerar la ecuación de onda en dos dimensiones 𝑎= 𝑢99 + 𝑢?? = 𝑢55 o en tres dimensiones 𝑎= 𝑢99 + 𝑢?? + 𝑢@@ = 𝑢55 Antes de iniciar con la segunda actividad que tiene que ver con el cálculo de las series de Fourier exponencial, te recomendamos realizar una investigación acerca de los siguientes contenidos: 1. Método de separación de variables. 2. Condiciones iniciales 3. Condiciones límite 4. Problemas de valores en la frontera.

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Unidad 3. Resolución de ecuaciones diferenciales parciales

Cierre de la unidad En esta unidad, analizamos problemas físícos que son caracterizados por medio de ecuaciones diferenciales parciales. Se propuso el uso de la herramienta matemática previamente analizada (transformadas) para resolverlos, por lo que se pudo conjugar la teoría con la práctica en un vrebe recorrido por lo que es esta disciplina. Esperamos que haya sido de tu agrado y rinda frutos el esfuerzo y dedicación que pusiste a lo largo de este módulo, te encomiamos y animamos a que sigas tu preparación con los siguientes módulos y trates de conectar estos conocimientos con los nuevos que adquirirás en el resto de la carrera. ¡En hora buena! Fuentes de consulta Básica [1] Boyce, W. & DiPrima, R. (2001). “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems”. USA: Jhon Wiley & Sons. Cap. 6 Disponible en http://www.dcc.ufrj.br/~vitormaia/down/Boyce,DiPrima.ElementaryDifferentialEquations .pdf Complementaria [1] Denniz, G. & Michael, C. (2006). “Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera”. México: Thomson. Sexta edición. [2] Isabel, C. (2011). Ecuaciones direnciales. México. Pearson. 5ta edición. [3] Murray, S. (1991). Transformadas de Laplace. México. Mc Graw Hill.

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