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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4° Semestre Fase 1. Formación matemática Módulo 8 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier IntroducciĂłn Uno de los problemas del que se ocuparon los matemĂĄticos del siglo XVIII es el que se conoce con el nombre del “problema de la cuerda vibranteâ€?. Este problema puede describirse de la siguiente manera: Supongamos que una cuerda flexible se estira hasta quedar tensa y que sus extremos se fijan, por conveniencia, en los puntos (0, 0) y (đ?œ‹, 0) del eje de las abcisas, entonces se tira de la cuerda hasta que ĂŠsta adopte la forma de una curva dada por la ecuaciĂłn đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) y se suelta. La cuestiĂłn es: ÂżCuĂĄl es el movimiento descrito por la cuerda, si los desplazamientos de ĂŠsta se hallan siempre en un mismo plano y el vector del desplazamiento es perpendicular, en cualquier momento, al eje de las abscisas? En otras palabras, si el movimiento es descrito por una funciĂłn đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą), donde đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) representa el desplazamiento vertical de la cuerda, en la coordenada đ?‘Ľ (0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?œ‹) y el tiempo đ?‘Ą (đ?‘Ą ≼ 0), el problema consiste en obtener đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) a partir de đ?‘“(đ?‘Ľ). El primer matemĂĄtico que elaborĂł un modelo apropiado para el anterior problema fue Jean Rond d’Alembert, ĂŠl demostrĂł que la funciĂłn đ?‘˘ debe satisfacer las siguientes condiciones: đ?œ• 0 đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) đ?œ• 0 đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = , 0 < đ?‘Ľ < đ?œ‹ , đ?‘Ą > 0 đ?œ•đ?‘Ą 0 đ?œ•đ?‘Ľ 0 đ?‘˘ đ?‘Ľ, 0 = đ?‘“ đ?‘Ľ , 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?œ‹ đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ, 0) = 0 , 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?œ‹ đ?œ•đ?‘Ą đ?‘˘ 0, đ?‘Ą = đ?‘˘ đ?œ‹, đ?‘Ą = 0, đ?‘Ą ≼ 0 La primera condiciĂłn es una ecuaciĂłn en derivadas parciales de segundo orden, conocida como “ecuaciĂłn de ondasâ€?, la segunda condiciĂłn representa la posiciĂłn inicial de la cuerda, mientras que la tercera significa que la velocidad inicial de la misma es cero y la Ăşltima condiciĂłn indica que para cualquier tiempo, la cuerda se mantiene fina en sus extremos. Por su parte d’Alembert, demostrĂł que la soluciĂłn a la ecuaciĂłn: UNADM | DCEIT | EM | EDPT

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Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

đ?œ• 0 đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) đ?œ• 0 đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ?œ•đ?‘Ą 0 đ?œ•đ?‘Ľ 0 es đ?‘˘ đ?‘Ľ, đ?‘Ą =

1 đ?‘“ đ?‘Ľ + đ?‘Ą + đ?‘“(đ?‘Ľ − đ?‘Ą) 2

donde đ?‘“ es una extensiĂłn de la funciĂłn đ?‘“. La interpretaciĂłn fĂ­sica de la soluciĂłn dada por 7

d’Alembert es muy interesante ya que la función � � + � representa una solución de la 0

ecuaciĂłn de ondas que se desplaza hacia la izquierda con velocidad 1. AnĂĄlogamente, la funciĂłn 7 0

đ?‘“ đ?‘Ľ − đ?‘Ą representa otra soluciĂłn de dicha ecuaciĂłn que se desplaza hacia la derecha con

velocidad 1. La soluciĂłn propuesta por d’Alembert tambiĂŠn fue demostrada por Euler, quiĂŠn diferĂ­a de d’Alembert en el tipo de funciones iniciales que podĂ­an considerarse. Otra forma de obtener dicha soluciĂłn fue propuesta por Daniel Bernouilli. Este Ăşltimo se basĂł en la superposiciĂłn de ondas mĂĄs sencillas de la forma: đ?‘˘8 đ?‘Ľ, đ?‘Ą = sen đ?‘›đ?‘Ľ cos đ?‘›đ?‘Ą , ∀ đ?‘› ∈ N Para cada tiempo đ?‘Ą fijo, la anterior funciĂłn es un mĂşltiplo de la funciĂłn đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘›đ?‘Ľ que se anula exactamente en đ?‘› − 1 puntos del intervalo (0, đ?œ‹). De forma tal que si pudiĂŠramos observar la vibraciĂłn de la cuerda correspondiente a las ondas đ?‘˘8 tendrĂ­amos đ?‘› − 1 puntos, llamados nodos, en los que la cuerda se mantendrĂ­a fija en el eje de las abcisas, igual que en los extremos del intervalo [0, đ?œ‹]. Por otra parte, como el sonido que emite una cuerda vibrante es, por lo regular, una superposiciĂłn de armĂłnicos, Bernouilli afirmĂł que cualquier sonido que produjese la vibraciĂłn de la cuerda deberĂ­a ser una superposiciĂłn de tonos puros, por lo que la soluciĂłn de la ecuaciĂłn F G H(I,J) FJ G

=

F G H(I,J) FI G

, podĂ­a representarse como: L

� �, � =

�8 sen �� cos(��) 8M7

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AĂąos mĂĄs tarde, Joseph Fourier retomĂł las ideas de Bernouilli. Fourier considerĂł una varilla delgada de longitud dada, por ejemplo đ?œ‹, cuyos extremos se mantienen a 0° centĂ­grados y cuya superficie lateral estĂĄ aislada. Si la distribuciĂłn inicial de temperatura en la varilla viene dada por una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ), suponiendo que la temperatura de la varilla en cada secciĂłn transversal de la misma es constante, ÂżcuĂĄl serĂĄ la temperatura de cualquier punto đ?‘Ľ de la varilla en el tiempo t? Fourier demostrĂł que si đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) representa la temperatura en la secciĂłn đ?‘Ľ y en el tiempo đ?‘Ą, entonces la funciĂłn đ?‘˘ debe satisfacer las siguientes condiciones: đ?œ• 0 đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = , 0 < đ?‘Ľ < đ?œ‹ , 0 < đ?‘Ą < đ?‘‡. đ?œ•đ?‘Ľ 0 đ?œ•đ?‘Ą đ?‘˘ 0, đ?‘Ą = đ?‘˘ đ?œ‹, đ?‘Ą = 0, 0 ≤ đ?‘Ą ≤ đ?‘‡ đ?‘˘ đ?‘Ľ, 0 = đ?‘“ đ?‘Ľ , 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?œ‹ La primera condiciĂłn es una ecuaciĂłn en derivadas parciales de segundo orden, conocida como “ecuaciĂłn del calorâ€?, la segunda condiciĂłn implica que en los extremos de la varilla, la temperatura se mantiene a 0° centĂ­grados en cualquier tiempo, mientras que la Ăşltima condiciĂłn representa la distribuciĂłn inicial de temperatura en la varilla considerada. Fourier indicĂł que la soluciĂłn a la ecuaciĂłn del calor tenĂ­a la forma: L G

�8 � Q8 J sen(��)

� �, � = 8M7

Donde đ?‘Ž8 eran los coeficientes de la serie, para los cuales Fourier tambiĂŠn indicĂł la forma de obtenerlos. Las ideas de Fourier, dieron pie a que otros matemĂĄticos se interesaran en el tema, tal es el caso de Dirichlet y Riemann, quienes trataron de formalizar lo que hoy se conoce como series de Fourier.

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Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

Podemos decir que la teorĂ­a de las series de Fourier es una de las herramientas mĂĄs Ăştiles en la ciencia, pues estĂĄn siempre presentes en todos aquellos procesos naturales de tipo oscilatorio, de difusiĂłn o de naturaleza periĂłdica. Su aplicaciĂłn es tan amplia que enumerarlas serĂ­a muy extenso, sĂłlo por dar algunos ejemplos los mĂŠtodos de Fourier son empleados para estudiar el ciclo de las manchas solares, predicciĂłn de mareas, fĂ­sica de plasmas, fĂ­sica de semiconductores, acĂşstica, sismografĂ­a, oceanografĂ­a, comunicaciones, anĂĄlisis quĂ­micos, estudios del ritmo cardiaco, estudios de rayos X, etc.

Competencia especĂ­fica Calcula series y transformadas de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales a travĂŠs del anĂĄlisis de funciones definidas en el tiempo continuo.

Desarrollo por semana Semana 1. Serie de Fourier trigonomĂŠtrica Antes de comenzar con el estudio de las series de Fourier, es necesario analizar ciertas propiedades de las funciones trigonomĂŠtricas sen

RSI T

y đ?‘?đ?‘œđ?‘

RSI T

, por ejemplo su carĂĄcter periĂłdico.

Función periódica Se dice que una función es periódica con periodo � > 0 si el dominio de � contiene a � + � siempre que contenga a � y si: � � + � = �(�) Para todo valor de �. Si � es un periodo de �, entonces 2� tambiÊn es un periodo, como de hecho lo es cualquier múltiplo entero de � (observa la figura 1.). El valor mås pequeùo de � para el cual se cumple la expresión anterior se llama periodo fundamental de �. Es así que una constante puede concebirse como una función periódica de periodo arbitrario, pero no con periodo fundamental, UNADM | DCEIT | EM | EDPT

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Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

para cualquier funciĂłn periĂłdica no constante, el periodo fundamental se define de manera Ăşnica y todos los demĂĄs periodos son mĂşltiplos de ĂŠste. En particular, las funciones sen

RSI T

y cos

RSI T

,

0T

� = 1,2,3, ‌ son periódicas con periodo fundamental � = , esto se debe a que el sen � y cos � R

tienen periodo fundamental 2π, lo que implica que el sen �� y cos �� tienen periodo fundamental 0\ ]

. Si se elige đ?œ† =

R\ T

, el periodo T de sen

RSI T

y cos

RSI T

se expresa por � =

0ST RS

=

0T R

Figura 1. FunciĂłn periĂłdica

Ahora bien, como se indicĂł anteriormente, la soluciĂłn de la ecuaciĂłn del calor presenta la forma: L G

�8 � Q8 J sen(��)

� �, � = 8M7

A hora, consideraremos una serie de la forma: đ?‘Ž` + 2

L

đ?‘Ž8 cos 8M7

đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ľ + đ?‘?8 sen đ?‘™ đ?‘™

Conocida como serie de Fourier. Supongamos que dicha serie es convergente y su suma es đ?‘“(đ?‘Ľ), es decir: đ?‘Ž` đ?‘“ đ?‘Ľ = + 2 UNADM | DCEIT | EM | EDPT

L

đ?‘Ž8 cos 8M7

đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ľ + đ?‘?R sen đ?‘™ đ?‘™ 6

Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

Los coeficientes đ?‘Ž` , đ?‘Ž8 y đ?‘?8 pueden obtenerse de la siguiente manera: para obtener el coeficiente đ?‘Ž` , basta con integrar la serie anterior tĂŠrmino a tĂŠrmino con respecto a đ?‘Ľ desde −đ?‘™ hasta đ?‘™. Obteniendo asĂ­ 1 đ?‘Ž` = đ?‘™ Si ahora multiplicamos la serie por cos

RSI T

T

đ?‘“ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ QT

, en donde đ?‘š es un entero positivo fijo (đ?‘š > 0) e

integrar con respecto a đ?‘Ľ desde −đ?‘™ hasta đ?‘™ , obtendremos:

1 đ?‘Ž8 = đ?‘™

T

đ?‘“ đ?‘Ľ cos QT

đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ , đ?‘› = 1,2,3, ‌ đ?‘™

Observa que el coeficiente đ?‘Ž` puede obtenerse de la expresiĂłn general de đ?‘Ž8 , con solo evaluar en 7

đ?‘› = 0. RazĂłn por la cual, en la serie que se estĂĄ analizando, el tĂŠrmino đ?‘Ž` es multiplicado por . 0

De forma semejante es posible obtener el coeficiente đ?‘?8 , si multiplicamos la serie por sen

RSI T

,e

integrar con respecto a đ?‘Ľ desde −đ?‘™ hasta đ?‘™ , obtendremos:

1 đ?‘?8 = đ?‘™

T

đ?‘“ đ?‘Ľ sen QT

đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ , đ?‘› = 1,2,3, ‌ đ?‘™

Nota: Es importante hacer notar que la variable independiente en la funciĂłn periĂłdica puede estar representada por la variable đ?‘Ľ, đ?‘Ą, etc. A continuaciĂłn, se enuncia un teorema que da condiciones suficientes, pero no necesarias, para la convergencia de la serie de Fourier.

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Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

Teorema Supóngase que � y � d son continuas por partes1 sobre el intervalo – � ≤ � ≤ �. Ademås, supóngase que � estå definida fuera del intervalo – � ≤ � < �, de modo que es periódica con periodo 2�. Entonces � tiene una serie de Fourier �` � � = + 2

L

đ?‘Ž8 cos 8M7

đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ą đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ą + đ?‘?8 sen đ?‘™ đ?‘™

cuyos coeficientes vienen dados por las ecuaciones

1 đ?‘Ž8 = đ?‘™

T

đ?‘“ đ?‘Ą cos QT

1 đ?‘?8 = đ?‘™

T

đ?‘“ đ?‘Ą sen QT

đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą ; đ?‘› = 0, 1, 2, ‌ đ?‘™ đ?‘›đ?œ‹đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą ; đ?‘› = 1, 2, ‌ đ?‘™

La serie de Fourier converge a đ?‘“ đ?‘Ą en todos los puntos en los que đ?‘“ es continua y a đ?‘“ đ?‘Ą+ +đ?‘“ đ?‘Ąâˆ’

2 en todos los puntos en los que đ?‘“ es discontinua.

Cabe destacar que no es esencial que la funciĂłn estĂŠ definida en los puntos de particiĂłn đ?‘Ľ7 , ya que si đ?‘“ d es seccionalmente continua, es evidente que đ?‘“ d no existe en aquellos puntos en los que la propia đ?‘“ es discontinua. Tampoco es esencial que el intervalo sea cerrado, tambiĂŠn puede ser abierto o abierto en un extremo y cerrado en el otro. Antes de iniciar con la primera actividad que tiene que ver con el cĂĄlculo de las series de Fourier, realizar la revisiĂłn bibliogrĂĄfica acerca de los siguientes contenidos: 1. Ortogonalidad de la funciĂłn seno y coseno 1

Una funciĂłn đ?‘“ es continua por partes sobre un intervalo đ?‘Ž ≤ đ?‘Ą ≤ đ?‘?, si se puede partir el intervalo mediante un nĂşmero finito de puntos đ?‘Ž = đ?‘Ą` < đ?‘Ą7 < â‹Ż < đ?‘Ą8 = đ?‘? de modo que đ?‘“ sea continua en cada subintervalo abierto đ?‘ĄhQ7 < đ?‘Ą < đ?‘Ąh y đ?‘“ tenga limites laterales en cada punto đ?‘Ąh

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Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

2. Primer y segundo teorema fundamental del cĂĄlculo 3. MĂŠtodos de integraciĂłn (integral iterada) 4. Paridad de funciones, propiedades 5. Ley de los exponentes 6. Identidades trigonomĂŠtricas

Series de Fourier en forma exponencial Una alternativa a la forma trigonomĂŠtrica de la serie de Fourier, es la forma compleja o exponencial. Como resultado de las propiedades de la funciĂłn exponencial, esta forma es matemĂĄticamente mĂĄs fĂĄcil de manipular. En la prĂĄctica es ampliamente usada por los ingenieros, de manera particular en trabajos relacionados con el anĂĄlisis de seĂąales y provee una transiciĂłn mĂĄs suave de la consideraciĂłn de la serie de Fourier para el tratamiento con seĂąales periĂłdicas a la consideraciĂłn de la transformada de Fourier para el tratamiento de seĂąales no periĂłdicas. Si partimos de la serie de Fourier trigonomĂŠtrica de una funciĂłn periĂłdica đ?‘“ đ?‘Ą continua o continua i i

por piezas en el intervalo − , , la cual estĂĄ definida como: 0 0

đ?‘Ž` đ?‘“ đ?‘Ą = + 2

donde đ?œ”` =

L

đ?‘Ž8 cos đ?‘›đ?œ”` đ?‘Ą + đ?‘?8 sen đ?‘›đ?œ”` đ?‘Ą 8M7

0S i

y si expresamos el seno y el coseno en tĂŠrminos de los exponenciales

cos đ?‘›đ?œ”` đ?‘Ą =

đ?‘’ h8kl J + đ?‘’ Qh8kl J 2

sen đ?‘›đ?œ”` đ?‘Ą =

đ?‘’ h8kl J − đ?‘’ Qh8kl J 2đ?‘–

y

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Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

obtendremos, mediante una serie de pasos, la forma exponencial: L

đ?‘?8 ∙ đ?‘’ h8kl J

đ?‘“ đ?‘Ą = đ?‘?` + QL 8o`

El coeficiente đ?‘?8 se puede evaluar en tĂŠrminos de đ?‘Ž8 y đ?‘?8 , los cuales ya conocemos i

đ?‘Ž8 − đ?‘–đ?‘?8 1 2 đ?‘?8 = = 2 2đ?‘‡ 1 = 2đ?‘™

i

đ?‘“ đ?‘Ą cos đ?‘›đ?œ”` đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą − đ?‘– ` T

đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘’ Qh

` 8\J T

1 đ?‘“ đ?‘Ą sen đ?‘›đ?œ”` đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‡

p

đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘’ Qh8kl J đ?‘‘đ?‘Ą `

đ?‘‘đ?‘Ą , para đ?‘› = Âą1, Âą2, â‹Ż

QT

AsĂ­ mismo, el coeficiente đ?‘?` se puede obtener de la relaciĂłn đ?‘?` =

đ?‘Ž` 1 2 đ?‘?` = = ∙ 2 2 đ?‘‡

i

`

1 � � �� = �

i

`

ul 0

1 đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = 2đ?‘™

, es decir

T

đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą QT

Observemos que el coeficiente đ?‘?` tambiĂŠn queda expresado en la fĂłrmula del coeficiente đ?‘?8 si đ?‘› = 0. Por lo que podemos reescribir la serie de la siguiente manera L

đ?‘“ đ?‘Ą = đ?‘?` +

L

đ?‘?8 ∙ đ?‘’ QL 8o`

h8kl J

đ?‘?8 ∙ đ?‘’ h8kl J

= QL

con

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Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

đ?‘?8 =

i 0

1 �

đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘’ Qh8kl J đ?‘‘đ?‘Ą ; para đ?‘› = 0, Âą1, Âą2, â‹Ż Q

i 0

Antes de iniciar con la segunda actividad que tiene que ver con el cĂĄlculo de las series de Fourier exponencial, te recomendamos realizar una revisiĂłn bibliogrĂĄfica acerca de los siguientes contenidos: 1. Identidades de Euler para las funciones seno y coseno 2. Exponenciales complejos Es momento de elaborar las actividades de aprendizaje de esta semana.

Fuentes de consulta BĂĄsica [1] Boyce, W. & DiPrima, R. (2001). “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problemsâ€?. USA: Jhon Wiley & Sons. Disponible en http://www.dcc.ufrj.br/~vitormaia/down/Boyce,DiPrima.ElementaryDifferentialEquations.pdf

Complementaria [1] CaĂąada, A. (1991). “Una perspectiva histĂłrica de las series de Fourier: de las ecuaciones de ondas y del calor a los operadores compactos y autoadjuntosâ€?. EspaĂąa, Granada. Disponible en https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Historia_series_Fourier_Canada.pdf [2] Alaminos, J. (). “Apuntes de cĂĄlculo avanzadoâ€?. Granada, EspaĂąa. Cap. 7 Disponible en https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Calculo_avanzado_Caminos.pdf [3] PĂŠrez, J. (2006). “Ecuaciones diferenciales, series de Fourier, transformada de Fourier y Laplaceâ€?. Granada, EspaĂąa. Cap. 3 Disponible en UNADM | DCEIT | EM | EDPT

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Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier

http://www.ugr.es/~fjperez/textos/eedd_laplace_fourier.pdf [4] Luna, E. (2009). “Matemáticas Avanzadas”. México. Disponible en http://www.dcb.unam.mx/users/ericklr/matavan.pdf

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