Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4° Semestre Fase 1. Formación matemática Módulo 8 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier
Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier
Semana 3 Transformada de Fourier directa Hasta ahora, el tipo de funciones a las que se le han aplicado la teorĂa de Fourier presentan un comportamiento periĂłdico. Un anĂĄlisis al respecto de aquellas seĂąales que no presentan esta caracterĂstica, nos conducen a un nuevo problema, el cual es resuelto con la transformada de Fourier. Partiendo de la serie de Fourier compleja, es posible efectuar un anĂĄlisis (cuando se hace tender el periodo a infinito) que nos conduce a la integral de Fourier, la cual es el vĂnculo entre la serie y la transforma de Fourier. Esta integral puede ser definida de la siguiente manera:
1 đ?‘“ đ?‘Ą = 2đ?œ‹
0
0
đ?‘“ đ?œ? đ?‘’ ,-./ đ?‘‘đ?œ? đ?‘’ -.2 dđ?œ” ,0
, para toda đ?‘Ą ∈ â„?
,0
Si hacemos 0
đ?‘“ đ?œ? đ?‘’ ,-./ đ?‘‘đ?œ?
đ??š đ?œ” = ,0
La integral de Fourier queda como 1 đ?‘“ đ?‘Ą = 2đ?œ‹
0
đ??š đ?œ” đ?‘’ -.2 dđ?œ” ,0
De estas relaciones se tienen las siguientes definiciones 0
đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘’ ,-.2 đ?‘‘đ?‘Ą
â„ą đ?‘“(đ?‘Ą) = đ??š đ?œ” = ,0
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â„ą ,9
1 đ??š(đ?œ”) = đ?‘“ đ?‘Ą = 2đ?œ‹
0
đ??š đ?œ” đ?‘’ -.2 dđ?œ” ,0
đ??š đ?œ” se conoce como la transformada de Fourier de đ?‘“ đ?‘Ą
y la operaciĂłn de integraciĂłn se
simboliza por â„ą. AnĂĄlogamente đ?‘“ đ?‘Ą se denomina transformada inversa de Fourier de đ??š(đ?œ”) y â„ą ,9 es el sĂmbolo que se utiliza para indicar la operaciĂłn inversa. Cabe destacar que el tipo de integral que se encuentra inmersa en la definiciĂłn de la transformada de Fourier, es de tipo impropia, pues sus lĂmites son infinitos. Para resolver este tipo integrales se debe justificar mediante lĂmites. En matemĂĄticas es frecuente que para resolver un problema que es complejo en ciertos contextos se modifique en otro problema, de modo que el nuevo problema sea accesible de resolver y se pueda regresar al problema original con una soluciĂłn. Este es el propĂłsito de las transformaciones integrales (Laplace, Fourier, entre otras) cuando ellas se aplican a las ecuaciones diferenciales y sistemas. En esta Ăşltima parte de la unidad 1, analizaremos esta poderosa herramienta (transformada de Fourier), la cual tiene una amplia gama de aplicaciones en campos como sistemas lineales, Ăłptica, teorĂa de probabilidad, fĂsica cuĂĄntica, antenas y anĂĄlisis de seĂąales entre otros.
Fuentes de consulta BĂĄsica [1] Boyce, W. & DiPrima, R. (2001). “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problemsâ€?. USA: Jhon Wiley & Sons. Disponible en http://www.dcc.ufrj.br/~vitormaia/down/Boyce,DiPrima.ElementaryDifferentialEquations.pdf
Complementaria [1] CaĂąada, A. (1991). “Una perspectiva histĂłrica de las series de Fourier: de las ecuaciones de ondas y del calor a los operadores compactos y autoadjuntosâ€?. EspaĂąa, Granada. UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT
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Disponible en https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Historia_series_Fourier_Canada.pdf [2] Alaminos, J. (). “Apuntes de cálculo avanzado”. Granada, España. Cap. 7 Disponible en https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Calculo_avanzado_Caminos.pdf [3] Pérez, J. (2006). “Ecuaciones diferenciales, series de Fourier, transformada de Fourier y Laplace”. Granada, España. Cap. 3 Disponible en http://www.ugr.es/~fjperez/textos/eedd_laplace_fourier.pdf [4] Luna, E. (2009). “Matemáticas Avanzadas”. México. Disponible en http://www.dcb.unam.mx/users/ericklr/matavan.pdf
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