Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4° Semestre Fase 1. Formación matemática Módulo 8 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier
Unidad 1. Series y Transformadas de Fourier
Semana 4 Transformada de Fourier inversa Como se indicĂł anteriormente, la transformada de Fourier inversa estĂĄ dada por â„ą "#
1 đ??š(đ?œ”) = đ?‘“ đ?‘Ą = 2đ?œ‹
.
đ??š đ?œ” đ?‘’ 012 dđ?œ” ".
Salvo algunas limitaciones, la transformada inversa de Fourier nos permite recuperar a la funciĂłn original đ?‘“ đ?‘Ą . Como se puede ver en la definiciĂłn, el lado derecho de la expresiĂłn es de hecho una integral de tipo complejo, por lo que esta definiciĂłn se utiliza muy pocas veces en el cĂĄlculo de las transformadas inversas, es muy comĂşn utilizar la transformada directa y sus correlaciones con la transformada inversa (que aparece en los formularios ya conocidos). Analicemos un ejemplo: Sea la siguiente transformada directa de Fourier đ?‘’ 45"61 0 đ??š đ?œ” = 3− 5−đ?œ” đ?‘– calculemos su transformada inversa
â„ą "#
đ?‘’ 45"61 0 3− 5−đ?œ” đ?‘–
La cual se puede escribir como
â„ą "#
đ?‘’ 45"61 0 đ?‘’ "6 1"; 0 = â„ą "# 3− 5−đ?œ” đ?‘– 3+ đ?œ”−5 đ?‘– = â„ą "#
1 đ?‘’ "6 1"; 0 3+ đ?œ”−5 đ?‘–
Para determinar esta transformada hacemos uso de los teoremas de desplazamiento en el tiempo y en la frecuencia, esto es â„ą đ?‘“ đ?‘Ą − đ?‘Ą5 UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT
= đ??š đ?œ” đ?‘’ "012= 2
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y â„ą đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘’ 01= 2 = đ??š đ?œ” − đ?œ”5 Entonces â„ą đ?‘“ đ?‘Ą − đ?‘Ą5 đ?‘’ 01= 2 = â„ą đ?‘“ đ?‘Ą − đ?‘Ą5 = đ??š đ?œ” − đ?œ”5 đ?‘’ "0
1→ 1"1=
1"1= 2=
Por lo tanto â„ą "# đ??š đ?œ” − đ?œ”5 đ?‘’ "0
1"1= 2=
= đ?‘“ đ?‘Ą − đ?‘Ą5 đ?‘’ 01= 2
de donde
â„ą "#
đ?‘’ 45"61 0 1 = â„ą "# đ?‘’ "6 1"; 0 3− 5−đ?œ” đ?‘– 3+ đ?œ”−5 đ?‘– = đ?‘’ "? 2"6 đ?‘˘ đ?‘Ą − 4 đ?‘’ 0;2 = đ?‘“(đ?‘Ą)
Para comenzar con la actividad final de esta unidad relacionada con la transformada de Fourier, te recomendamos realizar una revisiĂłn bibliogrĂĄfica acerca de los siguientes contenidos: 1. Integrales impropias 2. Propiedades de la funciĂłn delta de Dirac Es momento de elaborar las actividades de aprendizaje de esta semana.
Cierre de la unidad En esta unidad se enlistan los temas analizados sobre la teorĂa de Fourier 1. Series de Fourier trigonomĂŠtricas 2. Series de Fourier exponenciales UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT
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3. Integral de Fourier 4. Transformada de Fourier
Estos elementos teóricos, crean una teoría que hoy en día tiene una amplia gama de aplicaciones, es fundamental un manejo adecuado de los conceptos matemáticos para poder resolver problemas de aplicación en las diferentes áreas que la utilizan. Esta unidad te da las bases para que puedas iniciar el estudio sobre la teoría de Fourier y te proporciona los elementos necesarios para continuar con su estudio. A grandes rasgos, las bases matemáticas adquiridas en los primeros módulos son indispensables para una buena comprensión de estos temas. En la siguiente unidad de este módulo, aprenderás otra herramienta matemática llamada transformada de Laplace, la cual también tiene una amplia utilidad para el análisis de funciones continuas, con ciertas especificaciones. No olvides que en las primeras dos unidades te proporcionaremos los elementos teóricos necesarios para resolver ecuaciones diferenciales parciales.
Fuentes de consulta Básica [1] Boyce, W. & DiPrima, R. (2001). “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems”. USA: Jhon Wiley & Sons. Disponible en http://www.dcc.ufrj.br/~vitormaia/down/Boyce,DiPrima.ElementaryDifferentialEquations.pdf
Complementaria [1] Cañada, A. (1991). “Una perspectiva histórica de las series de Fourier: de las ecuaciones de ondas y del calor a los operadores compactos y autoadjuntos”. España, Granada. Disponible en https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Historia_series_Fourier_Canada.pdf [2] Alaminos, J. (). “Apuntes de cálculo avanzado”. Granada, España. Cap. 7 UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT
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Disponible en https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Calculo_avanzado_Caminos.pdf [3] Pérez, J. (2006). “Ecuaciones diferenciales, series de Fourier, transformada de Fourier y Laplace”. Granada, España. Cap. 3 Disponible en http://www.ugr.es/~fjperez/textos/eedd_laplace_fourier.pdf [4] Luna, E. (2009). “Matemáticas Avanzadas”. México. Disponible en http://www.dcb.unam.mx/users/ericklr/matavan.pdf
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