Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4° Semestre Fase 2. Formación matemática Módulo 08 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 2. Transformada de Laplace
Unidad 2. Transformada de Laplace
Unidad 2. Transformada de Laplace Introducción En 1728 Euler comenzó a considerar ecuaciones de segundo orden, que mediante un cambio de variable las reduce a ecuaciones de primer orden, en el cambio de variable que Euler usa aparece un factor exponencial, este trabajo es históricamente significativo porque inicia el estudio sistemático de las ecuaciones de segundo orden y además porque Euler introduce la función exponencial y en su desarrollo para resolver la ecuación diferencial aparece una transformación integral. El método de Laplace fue denominado por todos los autores que antecedieron a Poincaré método de Laplace, método de integrales particulares o método de integrales definidas. Poincaré usó la palabra transformación por primera ocasión en (Poincaré, 1884), donde escribió por equivocación “transformación de Bessel” en lugar de “transformación de Laplace”. Cometió el mismo error en su artículo de 1885, sin embargo, en una nota de pie en la página final lo corrigió comentando que la transformada de Bessel fue trabajada por Laplace. G. Boole y H. Poincaré atribuyeron a Laplace el establecimiento de la transformada que porta su nombre. Este reconocimiento y la promoción que hizo S. Pincherle a la transformada en diversas conferencias, aseguraron que el nombre de Laplace estuviera unido a la misma. En 1769 y 1782 aparecieron las primeras formas de la transformada, las cuales evolucionaron a las representaciones de Petzval de la transformada de Laplace mediante derivadas fraccionales empleadas en 1853 y 1859, posteriormente a la transformada de Laplace compleja descubierta por Poincaré en 1880, y a la versión moderna de la transformada de Laplace que presentó Bateman en 1910, y por último en su intento por justificar los métodos operacionales de Heaviside, Carson en 1922 redescubrió la transformada de Laplace.
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Unidad 2. Transformada de Laplace Los métodos de la transformada de Laplace tienen un papel clave en el enfoque moderno al análisis y diseño en los sistemas de ingeniería, la transformada de Laplace es una técnica de gran alcance para analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo, tales como circuitos eléctricos, osciladores armónicos, dispositivos ópticos y sistemas mecánicos entre otros. Dada una descripción matemática simple o funcional de una entrada o salida en un sistema, la transformada de Laplace proporciona una descripción funcional alternativa que simplifica a menudo el proceso de analizar el comportamiento del sistema, o en sintetizar un nuevo sistema basado en un conjunto de especificaciones. En los sistemas físicos reales la transformada de Laplace es interpretada a menudo como una transformación desde el punto de vista del dominio-tiempo, en el cual las entradas y salidas se entienden como funciones del tiempo, o desde el punto de vista dominio-frecuencia, donde las mismas entradas y salidas son vistas como funciones de la frecuencia angular compleja, o radianes por unidad de tiempo. Esta transformación no sólo proporciona una forma fundamental diferente de entender el comportamiento del sistema, sino también reduce drásticamente la complejidad de cálculos matemáticos requeridos en el análisis del sistema.
Competencia específica Usar la transformada de Laplace para transformar ecuaciones diferenciales definidas en el dominio del tiempo “t”, en expresiones algebraicas en el dominio de la frecuencia “s”, a partir del estudio de sus propiedades y teoremas.
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Unidad 2. Transformada de Laplace
Desarrollo por semana Semana 5. Transformada directa de Laplace Consideremos una variable real đ?‘Ľ, y se desea cambiar a otra variable tambiĂŠn real, sea esta đ?‘Ś, para esto es necesario aplicarle a đ?‘Ľ cierta acciĂłn que permita el cambio, simbĂłlicamente se puede expresar de la siguiente forma: đ?‘Ľ
đ?‘Ś
En este ejemplo la acciĂłn estĂĄ bien determinada, el proceso y las herramientas dependen del campo donde se definen estos elementos y de sus estructuras algebraicas. AsĂ, la acciĂłn que se le aplica a đ?‘Ľ para obtener đ?‘Ś comĂşnmente se indica como đ?‘“ , esto es đ?’š se obtiene mediante una acciĂłn aplicada a đ?‘Ľ
lo cual se indica como đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ).
AsĂ tambiĂŠn cuando se tiene una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) y se quiere obtener otra funciĂłn sea esta đ?‘“ ( (đ?‘Ľ), es decir: đ?‘“(đ?‘Ľ)
đ?‘“ ( (đ?‘Ľ)
es conocido que para obtener đ?‘“ ( (đ?‘Ľ) se aplica a đ?‘“(đ?‘Ľ) una acciĂłn determinada por un proceso de lĂmite, esto es: đ?‘“ đ?‘Ľ + â„Ž − đ?‘“(đ?‘Ľ) , siempre y cuando el limite exista ,→. â„Ž
đ?‘“ ( đ?‘Ľ = lim
De manera similar, una integral definida, tal como
E đ??ž F
đ?‘ , đ?‘Ą đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą transforma una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą)
en una funciĂłn de la variable đ?‘ . Nos interesan en particular las transformadas integrales de este Ăşltimo tipo, donde el intervalo de integraciĂłn es el intervalo no acotado [0, ∞).
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Unidad 2. Transformada de Laplace Si �(�) estå definida para � ≼ 0, entonces la integral impropia
K đ??ž .
đ?‘ , đ?‘Ą đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą estĂĄ definida como
un lĂmite, esto es: K đ??ž .
E đ??ž E→K .
đ?‘ , đ?‘Ą đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = lim
đ?‘ , đ?‘Ą đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą
Si existe el lĂmite, se dice que la integral existe o es convergente; si no hay lĂmite, la integral no existe y se afirma que es divergente o que no converge. Este lĂmite, en general, existe sĂłlo para ciertos valores de la variable đ?‘ . La elecciĂłn đ??ž đ?‘ , đ?‘Ą = đ?‘’ MNO produce una transformada integral especialmente importante, que podemos escribirla de la siguiente forma: E
K
đ?‘’ MNO đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = lim
E→K
.
đ?‘’ MNO đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą .
Este proceso de integraciĂłn simbolizado con la letra â„’ que aplicado a la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą) se produce una funciĂłn de la variable đ?‘ la cual denotamos como đ??š(đ?‘ ) y se conoce como la transformada de đ?‘“(đ?‘Ą), esto lo podemos indicar de la forma siguiente: â„’ đ?‘“(đ?‘Ą)
đ??š(đ?‘ )
desde el punto de vista de una aplicaciĂłn lo expresamos como: đ??š đ?‘ = â„’ đ?‘“(đ?‘Ą) Donde â„’ queda identificada por la siguiente expresiĂłn: K
( )đ?‘’ MNO đ?‘‘đ?‘Ą
ℒ→ .
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Unidad 2. Transformada de Laplace Esta expresiĂłn es conocida como operador de transformaciĂłn integral de Laplace, que aplicado a una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą) produce la funciĂłn transformada đ??š(đ?‘ ), y se tiene entonces la siguiente expresiĂłn: đ??š đ?‘ = â„’ đ?‘“(đ?‘Ą) =
K đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘’ MNO đ?‘‘đ?‘Ą .
que se conoce como la definiciĂłn de la transformada de Laplace de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą). En esta expresiĂłn, đ?‘“(đ?‘Ą) es el objeto (funciĂłn) a ser transformado y đ??š(đ?‘ ) la funciĂłn que se obtiene mediante el proceso de integraciĂłn aplicado a đ?‘“(đ?‘Ą), es asĂ que la funciĂłn đ??š(đ?‘ ) se le conoce como la transformada de Laplace de đ?‘“(đ?‘Ą). Se puede decir que una correspondencia es establecida entre đ?‘“(đ?‘Ą) y đ??š(đ?‘ ) por medio de la integral de Laplace. Esta correspondencia puede interpretarse como una transformaciĂłn la cual transforma la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą) en la funciĂłn đ??š(đ?‘ ). En este sentido, llamamos a la correspondencia la transformaciĂłn de Laplace, la cual es expresada como ya indicamos, por el sĂmbolo â„’. Esto es, la transformaciĂłn â„’, cuando actĂşa sobre la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą), produce la funciĂłn đ??š(đ?‘ ) la transformada de Laplace de đ?‘“(đ?‘Ą). La representaciĂłn â„’ đ?‘“(đ?‘Ą) = đ??š đ?‘ puede ser interpretada como la notaciĂłn de una funciĂłn, đ?œ‘ đ?‘Ľ = đ?‘Ś, la cual indica: con el argumento đ?‘Ľ relacionamos el valor de đ?‘Ś por medio de la funciĂłn đ?œ‘. Usando terminologĂa moderna, â„’ puede ser llamada un operador que produce la funciĂłn đ??š(đ?‘ ) cuando actĂşa sobre la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą). Este operador â„’ tiene las siguientes propiedades: Es “aditivoâ€? (o “distributivoâ€?), esto es: â„’ đ?‘“S + đ?‘“T = â„’ đ?‘“S + â„’ đ?‘“T
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Unidad 2. Transformada de Laplace Es “homogĂŠneoâ€?, es decir: â„’ đ?›źđ?‘“ = đ?›źâ„’ đ?‘“ , đ?›ź una constante arbitraria por lo tanto, es “linealâ€? en el siguiente sentido: â„’ đ?›źS đ?‘“S + đ?›źT đ?‘“T = đ?›źS â„’ đ?‘“S + đ?›źT â„’ đ?‘“T , đ?›źS y đ?›źT constantes arbitrarias. La operaciĂłn indicada por â„’ es la de integraciĂłn, por lo tanto â„’ se clasifica como un operador integral, y llamamos la â„’ - transformaciĂłn como una transformaciĂłn integral. Una correspondencia puede interpretarse como un mapeo. Esto es, considere la correspondencia, o transformaciĂłn, realizada por un aparato como una cĂĄmara fotogrĂĄfica la cual produce una imagen de la original. De esta interpretaciĂłn se origina la terminologĂa: funciĂłn original para đ?‘“(đ?‘Ą), y funciĂłn imagen para đ??š(đ?‘ ). En matemĂĄticas modernas, un acercamiento sugestivo resulta de considerar la totalidad de objetos especĂficos como un conjunto de puntos en algĂşn espacio abstracto. En este sentido, uno define como el espacio original (funciones) la totalidad de todas las funciones
f (t ) para las cuales la integral de Laplace converge en algĂşn punto, estas son las funciones originales. Similarmente, uno define como el espacio imagen (funciones), la totalidad de todas las funciones que pueden ocurrir como funciones imagen de la â„’-transformaciĂłn, esta idea se ilustra a continuaciĂłn: â„’ Espacio de funciones originales
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Espacio de funciones imagen
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Unidad 2. Transformada de Laplace La integral de Laplace de alguna función converge en un semiplano derecho, probando que ella converge en algún punto. En este caso, una función 𝐹(𝑠) es definida por la integral de Laplace: K
𝑓(𝑡)𝑒 MNO 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑠) .
La transformada de Laplace 𝐹(𝑠) típicamente existe para todo número complejo tal que 𝑅𝑒 𝑠 > 𝑎, donde 𝑎 es una constante real la cual depende del comportamiento del crecimiento de 𝑓(𝑡). El subconjunto de valores de 𝑠 para los cuales la transformada de Laplace existe es llamado la región de convergencia o el dominio de convergencia. Antes de iniciar con la primera actividad que tiene que ver con el cálculo de la transformada de Laplace de algunas funciones básicas. Te recomendamos realizar una investigación acerca de los siguientes conceptos: 1. Resolución de integrales impropias. 2. Funciones racionales. 3. Números complejos. 4. Señales Causales. 5. Identidades de Euler para el seno y el coseno. 6. Función por partes. 7. Propiedades de la integral definida (aditividad). 8. Función delta de Dirac y función escalón unitario.
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Fuentes de consulta Bรกsica [1] Boyce, W. y DiPrima, R. (2001). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. USA: Jhon Wiley & Sons. Cap. 6 Disponible en http://www.dcc.ufrj.br/~vitormaia/down/Boyce,DiPrima.ElementaryDifferentialEquations .pdf Complementaria [2] Cรกnovas, J. (2012). Apuntes de transformadas y ecuaciones. Disponible en http://www.dmae.upct.es/~jose/ampmat/ecuaytran.pdf [3] Aranda, V. y Gruenberg, V. (s/f ). Apuntes transformada de Laplace. Chile. Disponible en: http://nelson.net63.net/mat023/pdfmat023/Apunte_Laplace_V4.pdf [4] Sacerdoti, J. (2005). Transformada de Laplace. Argentina. Disponible en: http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/La00.pdf
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