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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4° Semestre Fase 2. Formación matemática Módulo 08 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 2. Transformada de Laplace

Unidad 2. Transformada de Laplace Semana 6. Transformada Inversa de Laplace La transformada inversa de Laplace es la integral de Bromwich, la cual es una integral compleja dada por: đ?‘“ đ?‘Ą = â„’ %& đ??š(đ?‘ ) =

1 2đ?œ‹đ?‘–

đ?‘’ 01 đ??š đ?‘ đ?‘‘đ?‘ 34

Donde đ??żđ?‘… es un segmento rectilĂ­neo vertical desde đ?‘ = đ?›ž − đ?‘–đ?‘… hasta đ?‘ = đ?›ž + đ?‘–đ?‘… y đ?›ž es positiva y suficientemente grande de modo que todas las singularidades de đ??š(đ?‘ ) estĂŠn a la izquierda del segmento.

g +iR Singularidades de F (s )

g -iR

Formalmente la transformada inversa de Laplace de đ??š(đ?‘ ) se define mediante la siguiente relaciĂłn: đ?‘“ đ?‘Ą = â„’ %& đ??š(đ?‘ ) =

1 lim 2đ?œ‹đ?‘– 3→>

đ??š đ?‘ đ?‘’ 01 đ?‘‘đ?‘ 43

Se observa que esta integral es compleja (en el sentido de que se puede resolver usando el teorema del Residuo de Cauchy). Para obtener la transformada inversa de una funciĂłn F (s ) esta integral no se realiza (Ăşnicamente se indica). La teorĂ­a de funciones de una variable compleja no serĂĄ usada aquĂ­ al efectuar la transformaciĂłn inversa de Laplace. Afortunadamente, podemos determinar la transformada inversa de Laplace mediante un conocimiento del ĂĄlgebra de las fracciones parciales. UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

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Unidad 2. Transformada de Laplace

Entonces para obtener la transformada inversa de una funciĂłn đ??š(đ?‘ ) es necesario presentarla en una forma mĂĄs simple a travĂŠs de procesos algebraicos y el uso de las tablas de transformadas de Laplace, veamos algunos ejemplos.

1. Sea đ??š đ?‘ =

& 0?

, calcular su transformada inversa de Laplace, esto es: 1 đ?‘ @

â„’ %& recordemos que â„’ đ?‘Ą A =

A! 0 CDE

, entonces â„’ đ?‘Ą F =

F! 0?

&

, es decir:

0?

=â„’

1G F

Por lo tanto, aplicando el operador de la transformada inversa en ambos lados, se tiene que â„’ %&

2. Sea đ??š đ?‘ =

F 0

−

& F 0?

1 đ?‘ĄF %& = â„’ â„’ đ?‘ @ 2

=

đ?‘ĄF 2

, calcular su transformada inversa de Laplacer, es decir

â„’

2 1 − đ?‘ đ?‘ @

%&

F

Desarrollando el binomio, se tiene 2 1 − đ?‘ đ?‘ @

F

=

4 4 1 − I+ J F đ?‘ đ?‘ đ?‘

Entonces por linealidad de la transformada inversa se tiene

â„’ %&

2 1 − đ?‘ đ?‘ @

F

= â„’ %&

4 4 1 − â„’ %& I + â„’ %& J F đ?‘ đ?‘ đ?‘

Por lo tanto UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

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Unidad 2. Transformada de Laplace â„’ %&

3. Sea đ??š đ?‘ =

& 0 G N@0

2 1 − đ?‘ đ?‘ @

F

2 đ?‘ĄL = 4đ?‘Ą − đ?‘Ą @ + 3 120

, calcular su transformada inversa de Laplace, ĂŠsto es calcular

â„’ %&

1 + 3đ?‘

đ?‘ F

Para determinar la transformada inversa de Laplace de este tipo de funciones racionales, es necesario hacer una serie de desarrollos algebraicos sobre la funciĂłn đ??š(đ?‘ ) y reconocer por medio de las tablas de transformadas la funciĂłn adecuada, estos desarrollos algebraicos deben conducir a expresiones mĂĄs simples para đ??š(đ?‘ ) y para esto es necesario los desarrollos en fracciones parciales de la funciĂłn racional đ??š(đ?‘ ), comĂşnmente este tipo de funciones se expresan como el cociente de dos polinomios (en este caso de la variable đ?‘ ), entonces dirigiremos nuestra atenciĂłn a una fracciĂłn algebraica racional general de la forma siguiente: đ??š đ?‘ =

đ??´(đ?‘ ) đ?‘ŽS đ?‘ S + đ?‘ŽS%& đ?‘ S%& + â‹Ż + đ?‘ŽF đ?‘ F + đ?‘Ž& đ?‘ & + đ?‘ŽU = đ??ľ(đ?‘ ) đ?‘?A đ?‘ A + đ?‘?A%& đ?‘ A%& + â‹Ż + đ?‘?F đ?‘ F + đ?‘?& đ?‘ & + đ?‘?U

Donde los coeficientes đ?‘Ž y đ?‘? son todos constantes reales, y đ?‘š y đ?‘› son enteros positivos, otra restricciĂłn debe ser impuesta sobre los valores relativos de đ?‘š y đ?‘› . Esto es, requerimos đ?‘š < đ?‘›. Cuando esta condiciĂłn es satisfecha, decimos que

Z(0) [(0)

es una fracción propia. Si � ≼ �, entonces

tenemos una fracciĂłn impropia.

Cuando đ??š đ?‘ =

Z(0) [(0)

, es una fracciĂłn racional propia, podemos distinguir dos situaciones

diferentes, a saber, cuando las raĂ­ces de la ecuaciĂłn đ??ľ đ?‘ = 0 son todas distintas y cuando đ??ľ đ?‘ = 0 tiene raĂ­ces mĂşltiples. Discutiremos estas dos situaciones separadamente. I. đ?‘š < đ?‘›, las raĂ­ces de đ??ľ đ?‘ = 0 todas distintas.

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Unidad 2. Transformada de Laplace Si đ??ľ đ?‘ es un polinomio de grado đ?‘› en la variable đ?‘ , y si đ?‘ & , đ?‘ F , đ?‘ @ , ‌ , đ?‘ A son sus raĂ­ces, entonces đ??ľ đ?‘ puede ser factorizado de la siguiente forma: A

đ??ľ đ?‘ = đ?‘?A đ?‘ − đ?‘ & đ?‘ − đ?‘ F â‹Ż đ?‘ − đ?‘ _ â‹Ż đ?‘ − đ?‘ A = đ?‘?A

đ?‘ − đ?‘ _ _`&

entonces đ??´(đ?‘ ) đ??´(đ?‘ ) = đ??ľ(đ?‘ ) đ?‘?A đ?‘ − đ?‘ & đ?‘ − đ?‘ F â‹Ż đ?‘ − đ?‘ _ â‹Ż đ?‘ − đ?‘ A La cual se puede expresar como una suma de đ?‘› fracciones parciales simples, cada una teniendo uno de los factores de đ??ľ(đ?‘ ) como su denominador: đ??´(đ?‘ ) 1 = đ??ľ(đ?‘ ) đ?‘?A

đ??ž& đ??žF đ??ž_ đ??žA + + â‹Ż+ + â‹Ż+ đ?‘ − đ?‘ & đ?‘ − đ?‘ F đ?‘ − đ?‘ _ đ?‘ − đ?‘ A

Los numeradores de las fracciones parciales đ??ž& , đ??žF , â‹Ż , đ??ž_ , â‹Ż , đ??žA , son constantes las cuales tienen que determinarse. Para determinar la constante tĂ­pica đ??ž_ multiplicamos ambos lados de la ecuaciĂłn anterior por el factor đ?‘ − đ?‘ _ , esto es:

đ?‘ − đ?‘ _

đ??´(đ?‘ ) 1 đ?‘ − đ?‘ _ đ?‘ − đ?‘ _ đ?‘ − đ?‘ _ đ?‘ − đ?‘ _ = đ??ž& + đ??žF + â‹Ż + đ??ž_ + â‹Ż + đ??žA đ??ľ(đ?‘ ) đ?‘?A đ?‘ − đ?‘ & đ?‘ − đ?‘ F đ?‘ − đ?‘ _ đ?‘ − đ?‘ A

Y se tiene

đ?‘ − đ?‘ _

đ??´(đ?‘ ) 1 đ?‘ − đ?‘ _ đ?‘ − đ?‘ _ đ?‘ − đ?‘ _ = đ??ž& + đ??žF + â‹Ż + đ??ž_ + â‹Ż + đ??žA đ??ľ(đ?‘ ) đ?‘?A đ?‘ − đ?‘ & đ?‘ − đ?‘ F đ?‘ − đ?‘ A

El lado izquierdo de la ecuaciĂłn anterior es igual que el lado derecho con el factor UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

0%0b 0%0G

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Unidad 2. Transformada de Laplace

por lo que para el ejemplo đ?‘ F

1 1 đ??´ đ??ľ = = + + 3đ?‘ đ?‘ đ?‘ + 3 đ?‘ đ?‘ +3

entonces 1 = đ??´ đ?‘ + 3 + đ??ľđ?‘ es decir 1 = đ??´đ?‘ + 3đ??´ + đ??ľđ?‘ = đ?‘ đ??´ + đ??ľ + 3đ??´ Esto Ăşltimo lo podemos escribir de la forma 0đ?‘ + 1 = đ?‘ đ??´ + đ??ľ + 3đ??´ Igualando coeficientes se tiene

đ??´ + đ??ľ = 0 y 3đ??´ = 1, de donde đ??´ =

& @

y đ??ľ=−

& @

asĂ­ 1 1 1 1 1 1 3 = − 3 = − F đ?‘ + 3đ?‘ đ?‘ đ?‘ +3 3 đ?‘ đ?‘ +3 por lo tanto se tiene que

â„’ %&

1 1 1 1 %& = â„’ − đ?‘ F + 3đ?‘ 3 đ?‘ đ?‘ +3

1 1 1 1 = â„’ %& − = đ?‘˘ đ?‘Ą − đ?‘’ %@1 3 đ?‘ đ?‘ +3 3

Antes de iniciar con la segunda actividad que tiene que ver con el cĂĄlculo de las series de Fourier exponencial, te recomendamos realizar una investigaciĂłn acerca de los siguientes contenidos: 1. Fracciones parciales. 2. Propiedades y teoremas de Laplace.

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Unidad 2. Transformada de Laplace

Fuentes de consulta Bรกsica [1] Boyce, W. y DiPrima, R. (2001). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. USA: Jhon Wiley & Sons. Cap. 6 Disponible en http://www.dcc.ufrj.br/~vitormaia/down/Boyce,DiPrima.ElementaryDifferentialEquations .pdf Complementaria [2] Cรกnovas, J. (2012). Apuntes de transformadas y ecuaciones. Disponible en http://www.dmae.upct.es/~jose/ampmat/ecuaytran.pdf [3] Aranda, V. y Gruenberg, V. (s/f ). Apuntes transformada de Laplace. Chile. Disponible en: http://nelson.net63.net/mat023/pdfmat023/Apunte_Laplace_V4.pdf [4] Sacerdoti, J. (2005). Transformada de Laplace. Argentina. Disponible en: http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/La00.pdf

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