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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4 Semestre Fase 2. Formación en educación matemática Módulo 8 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 3. Resolución de ecuaciones diferenciales parciales

Unidad 3. ResoluciĂłn de ecuaciones diferenciales parciales

Semana 8. Ecuaciones diferenciales parciales Las ecuaciones diferenciales parciales, al igual que las ecuaciones diferenciales ordinarias, se clasifican como lineales o no lineales. De manear anåloga a una ecuación diferencial ordinaria, la variable dependiente y sus derivadas parciales en una ecuación diferencial parcial lineal estån elevas sólo a la primera potencia. Centraremos nuestra atención en ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden. Ecuación diferencial lineal parcial Si se establece que � denota la variable dependiente, y � y � denotan las variables independientes, entonces la forma general de una ecuación diferencial parcial, lineal, de segundo orden se expresa mediante:

đ??´

đ?œ•&đ?‘˘ đ?œ•&đ?‘˘ đ?œ•&đ?‘˘ đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘˘ + đ??ľ + đ??ś + đ??ˇ + đ??¸ + đ??šđ?‘˘ = đ??ş đ?œ•đ?‘Ľ & đ?œ•đ?‘Ľđ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś & đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś

donde los coeficientes đ??´, đ??ľ, đ??ś, ‌ , đ??ş son funciones de đ?‘Ľ y đ?‘Ś. Cuando đ??ş đ?‘Ľ, đ?‘Ś = 0, se dice que la anterior es homogĂŠnea; de lo contrario, es no homogĂŠnea. Por ejemplo las ecuaciones lineales đ?œ•&đ?‘˘ đ?œ•&đ?‘˘ + =0 đ?œ•đ?‘Ľ & đ?œ•đ?‘Ś & y đ?œ•&đ?‘˘ đ?œ•&đ?‘˘ − = đ?‘Ľđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ & đ?œ•đ?‘Ś & son homogĂŠneas y no homogĂŠneas, respectivamente. UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

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Unidad 3. Resolución de ecuaciones diferenciales parciales

Solución de una ecuación diferencial parcial Una solución de una ecuación diferencial parcial, es una función 𝑢 𝑥, 𝑦 de dos variables independientes que posee las derivadas parciales que aparecen en la ecuación y que satisface la ecuación en alguna región del plano 𝑥𝑦. No se intenta examinar procedimientos para hallar soluciones generales de ecuaciones diferenciales parciales. Con frecuencia, no sólo resulta difícil obtener una solución general de una ecuación diferencial parcial de segundo orden, sino que normalmente una solución general no es del todo útil en las aplicaciones. Así, la atención se centra en hallar soluciones particulares de algunas de las ecuaciones diferenciales parciales más importantes, es decir, ecuaciones que aparecen en muchas aplicaciones. Separación de variables Aunque hay varios métodos que se pueden probar para hallar soluciones particulares de una ecuación diferencial parcial, centraremos nuestra atención en el método de separación de variables. En éste método se busca una solución particular de la forma de un producto de una función de 𝑥 y una función de 𝑦. 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 Con esta suposición a veces es posible reducir una ecuación diferencial parcial lineal en dos variables a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Para este fin se observa que 56 57

= 𝑋 8 𝑌,

56 59

= 𝑋𝑌 8 ,

5: 6 57 :

= 𝑋 88 𝑌,

5: 6 59 :

= 𝑋𝑌 88

donde las primeras denotan la diferenciación ordinaria.

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Unidad 3. ResoluciĂłn de ecuaciones diferenciales parciales

Ejemplo

Determina las soluciones producto de

5: 6 57 :

=4

56 59

.

Si se sustituye đ?‘˘ đ?‘Ľ, đ?‘Ś = đ?‘‹ đ?‘Ľ đ?‘Œ đ?‘Ś en la ecuaciĂłn diferencial parcial, se obtiene đ?‘‹ 88 đ?‘Œ = 4đ?‘‹đ?‘Œ 8 DespuĂŠs de dividir ambos lados entre 4đ?‘‹đ?‘Œ, se han separado las variables: đ?‘‹ 88 đ?‘Œ 8 = 4đ?‘‹ đ?‘Œ Puesto que el lado izquierdo de la Ăşltima ecuaciĂłn es independiente de đ?‘Ś al igual que el lado derecho, que es independiente de đ?‘Ľ, se concluye que ambos lados de la ecuaciĂłn son independientes de đ?‘Ľ y đ?‘Ś. En otras palabras, cada lado de la ecuaciĂłn debe ser una constante. En la prĂĄctica es conveniente escribir esta constante de separaciĂłn real como – đ?œ† (usar đ?œ† llevarĂ­a a la misma soluciĂłn). De las dos igualdades đ?‘‹ 88 đ?‘Œ 8 = = −đ?œ† 4đ?‘‹ đ?‘Œ Se obtienen las dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales đ?‘‹ 88 + 4đ?œ†đ?‘‹ = 0 y đ?‘Œ 8 + đ?œ†đ?‘Œ = 0

(i)

Se consideran tres casos, cuando: đ?œ† = 0, đ?œ† = −đ?›ź & < 0 y đ?œ† = đ?›ź & > 0, donde đ?›ź > 0. Caso 1. UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

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Unidad 3. ResoluciĂłn de ecuaciones diferenciales parciales

Si đ?œ† = 0, entonces las dos ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores son đ?‘‹ 88 = 0 y đ?‘Œ 8 = 0. Al resolver cada ecuaciĂłn (por ejemplo, por integraciĂłn), se encuentra que đ?‘‹ = đ?‘?B + đ?‘?& đ?‘Ľ y đ?‘Œ = đ?‘?C . AsĂ­, una soluciĂłn producto particular de la ecuaciĂłn diferencial parcial es đ?‘˘ = đ?‘‹đ?‘Œ = đ?‘?B + đ?‘?& đ?‘Ľ đ?‘?C = đ??´B + đ??ľB đ?‘Ľ, donde đ?‘?B đ?‘?C y đ?‘?& đ?‘?C se sustituyeron por đ??´B y đ??ľB , respectivamente. Caso 2. Si đ?œ† = −đ?›ź & , entonces las ecuaciones diferenciales ordinarias (i) son đ?‘‹ 88 − 4đ?›ź & đ?‘‹ = 0 y đ?‘Œ 8 − :

đ?›ź & đ?‘Œ = 0. De sus soluciones generales: đ?‘‹ = đ?‘?D cosh 2đ?›źđ?‘Ľ + đ?‘?J senh 2đ?›źđ?‘Ľ y đ?‘Œ = đ?‘?M đ?‘’ O 9 , se obtiene otra soluciĂłn producto particular de la ecuaciĂłn diferencial parcial: đ?‘˘ = đ?‘‹đ?‘Œ = đ?‘?D cosh 2đ?›źđ?‘Ľ + đ?‘?J senh 2đ?›źđ?‘Ľ đ?‘?M đ?‘’ O

:9

o đ?‘˘ = đ??´& đ?‘’ O

:9

cosh 2đ?›źđ?‘Ľ + đ??ľ& đ?‘’ O

:9

senh 2��

donde đ??´& = đ?‘?D đ?‘?M y đ??ľ& = đ?‘?J đ?‘?M . Caso 3. Si đ?œ† = đ?›ź & , entonces las ecuaciones diferenciales đ?‘‹ 88 + 4đ?›ź & đ?‘‹ = 0 y đ?‘Œ 8 + đ?›ź & đ?‘Œ = 0 soluciones generales particular: đ?‘˘ = đ??´C đ?‘’ RO

đ?‘‹ = đ?‘?B cos 2đ?›źđ?‘Ľ + đ?‘?P sen 2đ?›źđ?‘Ľ :9

cos 2đ?›źđ?‘Ľ + đ??ľC đ?‘’ RO

:9

y sus

:

y đ?‘Œ = đ?‘?Q đ?‘’ RO 9 . Producen otra soluciĂłn

sen 2đ?›źđ?‘Ľ, donde đ??´C = đ?‘?S đ?‘?Q y đ??ľC = đ?‘?P đ?‘?Q .

Principio de superposiciĂłn Si đ?‘˘B , đ?‘˘& , ‌ , đ?‘˘T son soluciones de una ecuaciĂłn diferencial parcial lineal homogĂŠnea, entonces la combinaciĂłn lineal đ?‘˘ = đ?‘?B đ?‘˘B + đ?‘?& đ?‘˘& + â‹Ż + đ?‘?T đ?‘˘T , donde las đ?‘?V , đ?‘– = 1, 2, ‌ son constantes. Si se tiene un conjunto infinito đ?‘˘B , đ?‘˘& , ‌ de soluciones de una combinaciĂłn lineal homogĂŠnea, se puede construir aĂşn otra soluciĂłn đ?‘˘ al formar la serie infinita

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Unidad 3. ResoluciĂłn de ecuaciones diferenciales parciales

Z

�=

đ?‘?T đ?‘˘T T[B

donde las đ?‘?V , đ?‘– = 1, 2, ‌ son constantes. ClasificaciĂłn de ecuaciones diferenciales parciales Se dice que la ecuaciĂłn diferencial parcial, lineal, de segundo orden đ?œ•&đ?‘˘ đ?œ•&đ?‘˘ đ?œ•&đ?‘˘ đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘˘ đ??´ & +đ??ľ +đ??ś &+đ??ˇ +đ??¸ + đ??šđ?‘˘ = 0 đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľđ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś donde đ??´, đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ, đ??¸ đ?‘Ś đ??š son constantes reales, es hiperbĂłlica si đ??ľ& − 4đ??´đ??ś > 0 parabĂłlica si đ??ľ& − 4đ??´đ??ś = 0 elĂ­ptica si đ??ľ& − 4đ??´đ??ś < 0 Antes de comenzar con la primera actividad de esta unidad, te recomendamos ahondar sobre: 1. Ecuaciones diferenciales parciales. 2. MĂŠtodo de separaciĂłn de varibles.

Muy bien, has concluido el estudio de la semana 8.

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