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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4 Semestre Fase 2. Formación en educación matemática Módulo 8 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 3. Resolución de ecuaciones diferenciales parciales

Unidad 3. ResoluciĂłn de ecuaciones diferenciales parciales

Semana 9. EcuaciĂłn de calor Las ecuaciones diferenciales parciales bĂĄsicas de la conducciĂłn del calor, la propagaciĂłn de ondas y la teorĂ­a del potencial, estĂĄn asociadas con tres tipos distintos de fenĂłmenos fĂ­sicos: proceso de difusiĂłn, procesos oscilatorios y procesos independientes del tiempo o estables; como consecuencia, tienen importancia fundamental en muchas ramas de la fĂ­sica y tambiĂŠn desde el punto de vista matemĂĄtico. Las ecuaciones diferenciales parciales cuya teorĂ­a estĂĄ mejor desarrollada y cuyas aplicaciones son mĂĄs significativas y variadas son las ecuaciones lineales de segundo orden. Durante los dos Ăşltimos siglos se han desarrollado varios mĂŠtodos para resolver las ecuaciones diferenciales parciales. El mĂŠtodo de separaciĂłn de variables es el mĂŠtodo sistemĂĄtico mĂĄs antiguo, y fue usado por D’Alembert, Daniel Bernoulli y Euler hacia 1750 en sus investigaciones sobre ondas y vibraciones. Desde entonces, se le ha referido y generalizado de modo considerable, y sigue siendo un mĂŠtodo de gran importancia y uso frecuente en la actualidad. Se analizarĂĄ primero la deducciĂłn de conducciĂłn del calor y posteriormente la deducciĂłn de la ecuaciĂłn de onda. En el caso de la conducciĂłn del calor se ha demostrado que si dos placas paralelas de la misma ĂĄrea đ??´ y diferentes temperaturas constantes đ?‘‡# y đ?‘‡$ , respectivamente, estĂĄn separadas por una pequeĂąa distancia đ?‘‘, pasa una cantidad de calor por unidad de tiempo de la placa mĂĄs caliente a la menos caliente. AdemĂĄs, con un alto grado de aproximaciĂłn, esta cantidad de calor es proporcional al ĂĄrea đ??´, o la diferencia de temperaturas đ?‘‡$ − đ?‘‡# e inversamente proporcional a la distancia de separaciĂłn đ?‘‘. Por tanto,

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Cantidad de calor por unidad de tiempo = đ?‘˜đ??´ đ?‘‡$ − đ?‘‡# /đ?‘‘ En donde el factor de proporcionalidad positivo đ?‘˜ se llama conductividad tĂŠrmica y depende sĂłlo del material existente entre las dos placas. La ley fĂ­sica expresa en la ecuaciĂłn anterior se conoce como ley de Newton del enfriamiento. A continuaciĂłn, considĂŠrese una barra recta de secciĂłn transversal uniforme y de material homogĂŠneo, orientada de modo que el eje đ?‘Ľ quede a lo largo del eje de la barra, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3. ConducciĂłn del calor en un elemento de una barra

Desígnese � = 0 y � = � los extremos de la barra. Se supondrå que los lados de la barra estån perfectamente aislados, de modo que a travÊs de ellos no pasa el calor. TambiÊn se supondrå que la temperatura � sólo depende de la posición axial � y del tiempo �, y no de las coordenadas laterales � y �. En otras palabras, se supone que la temperatura permanece constante sobre cualquier sección transversal de la barra. Esta suposición suele ser satisfactoria cuando las dimensiones laterales de la barra son pequeùas en comparación con su longitud. La ecuación diferencial que rige la temperatura en la barra es una expresión de un equilibrio físico fundamental: la razón a la que el calor fluye hacia cualquier porción de la barra es igual a la razón

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a la que el calor es absorbido en esa porciĂłn de la barra. Los tĂŠrminos de la ecuaciĂłn se llaman tĂŠrminos se llaman tĂŠrmino de flujo y tĂŠrmino de absorciĂłn, respectivamente. Se calcularĂĄ primero el tĂŠrmino de flujo. ConsidĂŠrese un elemento de la barra que se encuentra entre las secciones transversales đ?‘Ľ = đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ = đ?‘Ľ1 + ∆đ?‘Ľ, en donde đ?‘Ľ1 es arbitraria y ∆đ?‘Ľ es pequeĂąo. La razĂłn instantĂĄnea de transferencia de calor đ??ť đ?‘Ľ1 , đ?‘Ą de izquierda a derecha, a travĂŠs de la secciĂłn transversal đ?‘Ľ = đ?‘Ľ1 , se da por

đ??ť đ?‘Ľ1 , đ?‘Ą = − lim đ?‘˜đ??´ 9→1

đ?‘˘ đ?‘Ľ1 + đ?‘‘ 2 , đ?‘Ą − đ?‘˘ đ?‘Ľ1 − đ?‘‘ 2 , đ?‘Ą = −đ?‘˜đ??´đ?‘˘< đ?‘Ľ1 , đ?‘Ą đ?‘‘

El signo menos aparece en esta ecuaciĂłn porque hay un flujo positivo de calor de izquierda a derecha sĂłlo si la temperatura es mayor a la izquierda de đ?‘Ľ = đ?‘Ľ1 que a la derecha; en este caso đ?‘˘< đ?‘Ľ1 , đ?‘Ą es negativa. De manera semejante, la razĂłn a la que pasa calor de izquierda a derecha, a travĂŠs de la secciĂłn transversal đ?‘Ľ = đ?‘Ľ1 + Δđ?‘Ľ, se da por đ??ť đ?‘Ľ1 + Δđ?‘Ľ, đ?‘Ą = −đ?‘˜đ??´đ?‘˘< đ?‘Ľ1 + Δđ?‘Ľ, đ?‘Ą Por lo tanto la razĂłn neta a la que fluye el calor hacia el segmento de la barra entre đ?‘Ľ = đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ = đ?‘Ľ1 + Δđ?‘Ľ, se expresa por đ?‘„ = đ??ť đ?‘Ľ1 , đ?‘Ą − đ??ť đ?‘Ľ1 + Δđ?‘Ľ, đ?‘Ą = đ?‘˜đ??´ đ?‘˘< đ?‘Ľ1 + Δđ?‘Ľ, đ?‘Ą − đ?‘˘< đ?‘Ľ1 , đ?‘Ą Y la cantidad de calor que entra en este elemento de barra en el tiempo Δđ?‘Ą es đ?‘„ Δđ?‘Ą = đ?‘˜đ??´ đ?‘˘< đ?‘Ľ1 + Δđ?‘Ľ, đ?‘Ą − đ?‘˘< đ?‘Ľ1 , đ?‘Ą Δđ?‘Ą Calculando ahora el tĂŠrmino de absorciĂłn. El cambio promedio en la temperatura, ∆đ?‘˘, en el intervalo de tiempo ∆đ?‘Ą, es proporcional a la cantidad de calor đ?‘„ ∆đ?‘Ą que se introduce e inversamente proporcional a la masa ∆đ?‘š del elemento. Por tanto ∆đ?‘˘ = UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

1 đ?‘„∆đ?‘Ą đ?‘„∆đ?‘Ą = đ?‘ ∆đ?‘š đ?‘ đ?œŒđ??´âˆ†đ?‘Ľ 4

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En donde la constante de proporcionalidad đ?‘ se conoce como calor especĂ­fico del material de la barra y đ?œŒ es su densidad. La dependencia de la densidad y del calor especĂ­fico con respecto a la temperatura es relativamente pequeĂąa, por lo que se desprecia, por esta razĂłn đ?œŒ y đ?‘ se consideran constantes. El cambio promedio en la temperatura, ∆đ?‘˘, en el elemento de barra que se estĂĄ considerando es el cambio real en la temperatura en algĂşn punto intermedio đ?‘Ľ = đ?‘Ľ1 + đ?œƒ ∆đ?‘Ľ, en donde 0 < đ?œƒ < 1. Por lo tanto, la ecuaciĂłn anterior puede escribirse como đ?‘˘ đ?‘Ľ1 + đ?œƒ ∆đ?‘Ľ, đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą − đ?‘˘ đ?‘Ľ1 + đ?œƒ ∆đ?‘Ľ, đ?‘Ą =

đ?‘„ ∆đ?‘Ą đ?‘ đ?œŒđ??´âˆ†đ?‘Ľ

o como đ?‘„∆đ?‘Ą = đ?‘˘ đ?‘Ľ1 + đ?œƒ ∆đ?‘Ľ, đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą − đ?‘˘ đ?‘Ľ1 + đ?œƒ ∆đ?‘Ľ, đ?‘Ą đ?‘ đ?œŒđ??´âˆ†đ?‘Ľ Para balancear los tĂŠrminos de flujo y de absorciĂłn, se igualan las dos expresiones para đ?‘„ ∆đ?‘Ą đ?‘˜đ??´ đ?‘˘< đ?‘Ľ1 + Δđ?‘Ľ, đ?‘Ą − đ?‘˘< đ?‘Ľ1 , đ?‘Ą ∆đ?‘Ą = đ?‘ đ?œŒđ??´ đ?‘˘ đ?‘Ľ1 + đ?œƒ ∆đ?‘Ľ, đ?‘Ą + ∆đ?‘Ą − đ?‘˘ đ?‘Ľ1 + đ?œƒ ∆đ?‘Ľ, đ?‘Ą ∆đ?‘Ľ Al dividir la ecuaciĂłn anterior entre ∆đ?‘Ľ ∆đ?‘Ą y hacer ∆đ?‘Ľ → 0 y ∆đ?‘Ą → 0, se obtiene la ecuaciĂłn de conducciĂłn de calor đ?›ź $ đ?‘˘<< = đ?‘˘G donde la cantidad đ?›ź $ estĂĄ definida como đ?›ź $ = đ?‘˜ đ?œŒđ?‘ Ahora, si en vez de una barra unidimensional, se considera un cuerpo con mĂĄs de una dimensiĂłn espacial significativa, entonces la temperatura es funciĂłn de dos o tres coordenadas espaciales en vez de serlo solamente de đ?‘Ľ. Pueden aplicarse consideraciones semejantes para deducir la ecuaciĂłn de conducciĂłn del calor en dos dimensiones đ?›ź $ đ?‘˘<< + đ?‘˘HH = đ?‘˘G o en tres dimensiones UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

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� $ �<< + �HH + �II = �G Antes de comenzar con la siguiente actividad de aprendizaje, te recomendamos ahondar sobre los siguientes temas: 1. Solución de problemas de valor en la frontera. 2. Soluciones no triviales de problemas con valores en la frontera

Fuentes de consulta BĂĄsica [1] Boyce, W. & DiPrima, R. (2001). “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problemsâ€?. USA: Jhon Wiley & Sons. Cap. 6 Disponible en http://www.dcc.ufrj.br/~vitormaia/down/Boyce,DiPrima.ElementaryDifferentialEquations .pdf Complementaria [1] Denniz, G. & Michael, C. (2006). “Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la fronteraâ€?. MĂŠxico: Thomson. Sexta ediciĂłn. [2] Isabel, C. (2011). Ecuaciones direnciales. MĂŠxico. Pearson. 5ta ediciĂłn. [3] Murray, S. (1991). Transformadas de Laplace. MĂŠxico. Mc Graw Hill.

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