5 prueba didactica algebra ici fes ar

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN SECRETARÍA ACADÉMICA COMISIÓN DICTAMINADORA DEL ÁREA DE LAS CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS Prueba Didáctica del Tema V Sucesiones y Series, acorde al Programa Académico de Álgebra para Licenciatura en Ingeniería Civil. QUE SUSTENTA: PEDRO DANIEL LARA MALDONADO EN LA QUINTA PRUEBA RELATIVA AL CONCURSO DE OPOSICIÓN PARA INGRESO COMO: Profesor de Asignatura “A” Definitivo. CELEBRADO EN EL: MUNICIPIO DE NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, A 15 DE NOVIEMBRE DEL 2017.

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ÍNDICE PÁGINA 1. Introducción ………...…………………………………………………………………4 2. Desarrollo del Tema……………………………………………………………………5 2.1. Sucesión……………………………………………………………………………………….5 2.1.1. Concepto… 2.1.2. Definición… 2.1.3. Clasificación... 2.1.3.1. Sucesión Finita. 2.1.3.1.1. Concepto 2.1.3.2. Sucesión Infinita. 2.1.3.2.1. Concepto 2.1.3.2.2. Definición 2.1.3.2.3. Propiedades 2.1.3.2.4. Tipos 2.1.3.2.4.1. Definición de Sucesión Infinita Divergente 2.1.3.2.4.2. Definición de Sucesión Infinita Convergente 2.1.3.2.4.3. Definición de Sucesión Infinita Monótona 2.1.3.2.4.4. Definición de Sucesión Infinita Acotada 2.1.4. Ejemplos… 2.2. Serie………………………………………………….............................................................11 2.2.1. Concepto… 2.2.2. Definición… 2.2.3. Clasificación... 2.2.3.1. Serie Finita. 2.2.3.1.1. Concepto 2.2.3.2. Serie Infinita. 2.2.3.2.1. Concepto 2.2.3.2.2. Definición

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2.2.3.2.3. ClasificaciĂłn 2.2.3.2.3.1. DefiniciĂłn de Serie Infinita Divergente 2.2.3.2.3.2. DefiniciĂłn de Serie Infinita Convergente 2.2.3.2.3. Tipos 2.2.3.2.3.1. Serie Infinita GeomĂŠtrica 2.2.3.2.3.2. Serie Infinita ArmĂłnica 2.2.3.2.3.3. Serie Infinita HiperarmĂłnica o Serie Infinita đ?’‘ 2.2.3.2.3.4. Serie Infinita de TĂŠrminos Positivos 2.2.3.2.3.4.1. DefiniciĂłn 2.2.3.2.3.4.2. Criterios 2.2.3.2.3.4.2.1. Criterio de ComparaciĂłn 2.2.3.2.3.4.2.2. Criterio del Cociente o de D´Alembert 2.2.3.2.3.5. Serie Infinita de Signos Alternados 2.2.3.2.3.5.1. DefiniciĂłn 2.2.3.2.3.5.2. Criterios 2.2.3.2.3.5.2.1. Criterio de Leibnitz 2.2.3.2.3.5.2.2. Criterio de la Convergencia 2.2.3.2.3.5.2.2.1. Absoluta 2.2.3.2.3.5.2.2.2. Condicional 2.2.3.2.3.6. Serie Infinita de Potencias. 2.2.3.2.3.6.1. DefiniciĂłn 2.2.3.2.3.6.2. Elemento del Intervalo de Convergencia 2.2.3.2.3.6.3. ClasificaciĂłn 2.2.3.2.3.6.3.1. Serie de Taylor 2.2.3.2.3.6.3.2. Serie de MacLaurin 2.2.4. Ejemplos 3. Conclusiones‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌......................19 4. Referencias BibliogrĂĄficas‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌....20

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1. Introducción. La presente Prueba Didáctica del Tema V Sucesiones y Series, que pertenece al contenido programático de la asignatura Álgebra del Plan de Estudios Vigente en Ingeniería Civil (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), su: a) Objetivo: Es establecer los conceptos de Sucesión, Serie para determinar su Carácter Analítico y así representar funciones por medio del Desarrollo en Series de Potencias (Arcila, 1976). b) Propósito: Es que, al terminar esta Temática, la y el Estudiante debe poder: 1. Explicar el Concepto de: Sucesión Infinita y Límite para una Sucesión. 2. Calcular el Límite de una Sucesión y Determinar si una Sucesión es Monótona o Acotada. 3. Definir el Concepto de Serie. 4. Aplicarle la Prueba de Divergencia a una Serie. 5. Explicar el Concepto de Convergencia de una Serie. 6. Calcular el Valor de una Serie a partir del Término General de la Sucesión de Sumas Parciales. 7. Demostrar que la Condición Necesaria para la Convergencia de una Serie no es suficiente. 8. Identificar si la Serie es Geométrica o no lo es. 9. Determinar si una Serie Geométrica es Convergente o Divergente. 10. Calcular el Valor de una Serie Geométrica Convergente. 11. Identificar si una Serie es Hiperarmónica o no lo es. 12. Determinar si una Serie Hiperarmónica es Convergente o Divergente. 13. Determinar si una Serie de Términos Positivos es Convergente o Divergente, empleando las Propiedades de Series y el Criterio de Comparación. 14. Aplicar en una Serie de Términos Positivos el Criterio del Cociente para analizar su convergencia. 15. Aplicar en una Serie de Signos Alternados el Criterio de Leibnitz para analizar su convergencia. 16. Determinar si una Serie de Signos Alternados es absolutamente o condicionalmente convergente. 17. Definir el concepto de Series de Potencias, para poder Determinar su Intervalo de Convergencia. 18. Obtener el desarrollo en Serie de Taylor en su entorno de un punto dado para una Función. 4

2. Desarrollo del Tema. 2.1. SucesiĂłn. 2.1.1. Concepto. Una SucesiĂłn es toda Lista Ordenada de Elementos, que pueden coincidir entre sĂ­ (Rivera, 2007). 2.1.2. DefiniciĂłn. La SucesiĂłn es una ColecciĂłn de Correspondencia que se le Asocia a los Elementos para cada NĂşmero Natural â„• en un Valor Perteneciente al Sistema de NĂşmeros Reales â„? (Contreras, 2008). 2.1.3. ClasificaciĂłn. La SucesiĂłn se Clasifica en: Finita e Infinita (Montes de Oca, 2002). 2.1.3.1. SucesiĂłn Finita 2.1.3.1.1. Concepto. Una SucesiĂłn Finita es aquella que Consta de un Ăšltimo Elemento NumĂŠrico o TĂŠrmino Algebraico (Montes de Oca, 2002). Ejemplos: đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;“, đ?&#x;’đ?&#x;“, đ?&#x;–đ?&#x;Ž. đ?&#x;?,

đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;” , đ?&#x;‘ , đ?&#x;’ , đ?&#x;“. đ?&#x;? đ?&#x;?đ?’† đ?&#x;‘đ?’† đ?&#x;’đ?’† đ?&#x;“đ?’†

2.1.3.2. SucesiĂłn Infinita 2.1.3.2.1. Concepto. Una SucesiĂłn Infinita es aquella que No Tiene un Ăšltimo Elemento NumĂŠrico o TĂŠrmino Algebraico (Montes de Oca, 2002). Ejemplo: đ?&#x;?

,

đ?&#x;–

√đ?&#x;? √đ?&#x;’

,‌,

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ √đ?&#x;?đ?&#x;Ž

,‌

2.1.3.2.2. DefiniciĂłn. La SucesiĂłn Infinita se define mediante una NotaciĂłn de Elementos con SubĂ­ndices para el: Primer TĂŠrmino en đ?‘Ž1 , Segundo TĂŠrmino en đ?‘Ž2 , hasta llegar a Involucrar su TĂŠrmino General o EnĂŠsimo TĂŠrmino en đ?‘Žđ?‘› ; lo mencionado, Corresponde Representar esta Forma, por medio del Sistema: đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› , ‌ y esto puede Interpretarse, como {đ?‘Žđ?‘› }∞ đ?‘›=1 (Montes de Oca, 2002).

5

2.1.3.2.3. Propiedades. ∞ Para Calcular el LĂ­mite de las Sucesiones {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? y {đ?’ƒđ?’? }đ?’?=đ?&#x;? y siendo đ?’„, đ?’… sus Constantes podemos hacer Uso de las Propiedades BĂĄsicas que se Enuncian a ContinuaciĂłn (Calvo, 1975):

i) lim đ?‘? = đ?‘? đ?‘›â†’∞

ii) lim

đ?‘?

đ?‘›â†’∞ đ?‘›đ?‘‘

=0

iii) lim đ?‘?(đ?‘Žđ?‘› ) = đ?‘? lim đ?‘Žđ?‘› đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

iv) lim (đ?‘Žđ?‘› Âą đ?‘?đ?‘› ) = lim đ?‘Žđ?‘› Âą lim đ?‘?đ?‘› đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

v) lim (đ?‘Žđ?‘› đ?‘?đ?‘› ) = lim đ?‘Žđ?‘› . lim đ?‘?đ?‘› đ?‘›â†’∞

vi) lim

đ?‘›â†’∞

đ?‘Žđ?‘›

đ?‘›â†’∞ đ?‘?đ?‘›

đ?‘›â†’∞

lim đ?‘Žđ?‘›

= đ?‘›â†’∞ , si lim đ?‘?đ?‘› ≠0 lim đ?‘? đ?‘›â†’∞ đ?‘›

đ?‘›â†’∞

2.1.3.2.4. Tipos. Los Tipos de las Sucesiones Infinitas son: Divergente, Convergente, MonĂłtona y Acotada (Montes de Oca, 2002). 2.1.3.2.4.1. DefiniciĂłn de SucesiĂłn Infinita Divergente. Una SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? es Divergente cuĂĄndo no tiene un lĂ­mite definido (Rivera, 2007), es decir que el: lim đ?‘Žđ?‘› = ∞ o lim đ?‘Žđ?‘› = ∄ (Contreras, 2008). đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

2.1.3.2.4.2. DefiniciĂłn de SucesiĂłn Infinita Convergente. La SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? es Convergente cuĂĄndo tiene un LĂ­mite đ??ż ∈ â„?, es decir que el: lim đ?‘Žđ?‘› = đ??ż (Calvo, 1975). đ?‘›â†’∞

2.1.3.2.4.3. DefiniciĂłn de SucesiĂłn Infinita MonĂłtona (GarcĂ­a y ColomĂŠ, 1983). Una SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? ∈ â„? se le llama MonĂłtona, cuĂĄndo es: i) DECRECIENTE si đ?‘Žđ?‘› ≼ đ?‘Žđ?‘›+1 , ∀ đ?‘› ∈ â„• o ii) CRECIENTE si đ?‘Žđ?‘› ≤ đ?‘Žđ?‘›+1 , ∀ đ?‘› ∈ â„• 2.1.3.2.4.4. DefiniciĂłn de SucesiĂłn Infinita Acotada (Montes de Oca, 2002). Una SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? es Acotada si tiene definida una COTA INFERIOR en đ?‘˜ = đ?‘Ž1 ∈ â„? y una COTA SUPERIOR en el lim đ?‘Žđ?‘› = đ??ž ∈ â„? tal que đ?‘˜ ≤ đ?‘Žđ?‘› ≤ đ??ž, ∀ đ?‘› ∈ â„• đ?‘›â†’∞

2.1.4. Ejemplos. 6

1.Determinar si la Siguiente SucesiĂłn đ?’‚đ?’? = {

đ?’?đ?&#x;? +đ?&#x;? đ?’?

∞

}

es Convergente o Divergente

đ?’?=đ?&#x;?

(Barrera, 2005). Para determinar si esta SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? : Es Convergente cuĂĄndo su lim đ?‘Žđ?‘› = đ??ż ∈ â„? đ?‘›â†’∞

Es Divergente cuĂĄndo su lim đ?‘Žđ?‘› = ∞ o lim đ?‘Žđ?‘› = ∄ đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

En este caso, se aplica las Propiedades BĂĄsicas para las Sucesiones Infinitas: đ?‘›2 + 1 Puesto que el tĂŠrmino mayor es đ?‘›2 , se divide este en la SucesiĂłn {đ?‘Žđ?‘› }∞ đ?‘›=1 đ?‘›â†’∞ đ?‘›

lim đ?‘Žđ?‘› = lim

đ?‘›â†’∞

đ?‘›2 1 lim đ?‘Žđ?‘› đ?‘›2 + 1 đ?‘Žđ?‘› đ?‘›â†’∞ 2+ 2 đ?‘™đ?‘–đ?‘š = lim đ?‘› đ?‘› đ?‘› Por la Propiedad vi) lim = , si lim đ?‘?đ?‘› ≠0 đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘?đ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘› lim đ?‘?đ?‘› 2 đ?‘›â†’∞ đ?‘›

1 đ?‘›2 1 lim 1 + 2 đ?‘? 2 + đ?‘›2 đ?‘›â†’∞ đ?‘› đ?‘› lim = Por la Propiedad ii) lim đ?‘‘ = 0, para el Denominador. đ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘› 1 lim đ?‘›2 đ?‘›â†’∞ đ?‘› lim 1 +

đ?‘›â†’∞

1 đ?‘›2

1 đ?‘›â†’∞ đ?‘›

lim 1 +

=

lim

lim 1 +

đ?‘›â†’∞

0

đ?‘›â†’∞

0

1 đ?‘›2

Por la Propiedad iv), en lim {đ?‘Žđ?‘› + đ?‘?đ?‘› ) = lim đ?‘Žđ?‘› + lim đ?‘?đ?‘› , para el Numerador đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

1 1 lim 1 + lim 2 đ?‘›2 = đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘› Por la Propiedad i) lim đ?‘? = đ?‘? y ii) para el Numerador. đ?‘›â†’∞ 0 1 1+0 1 đ?‘›â†’∞ đ?‘› 2 = = =∞

lim 1 + lim

đ?‘›â†’∞

0

0

0

Es decir: đ?‘›2 + 1 =∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘›

lim �� = ���

đ?‘›â†’∞

Por lo tanto, Identificamos que la SucesiĂłn Infinita es Divergente. 2. Determinar si la Siguiente SucesiĂłn đ?’‚đ?’? = {

đ?’?+đ?&#x;? ∞

}

đ?&#x;‘đ?’? đ?’?=đ?&#x;?

es Convergente o Divergente

(GarcĂ­a y ColomĂŠ, 1983). Para determinar si esta SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? : Es Convergente cuĂĄndo su lim đ?‘Žđ?‘› = đ??ż ∈ â„? đ?‘›â†’∞

Es Divergente cuĂĄndo su lim đ?‘Žđ?‘› = ∞ o lim đ?‘Žđ?‘› = ∄ đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

En este caso, se aplica las Propiedades BĂĄsicas para las Sucesiones Infinitas: 7

đ?‘›+1 Puesto que el tĂŠrmino mayor es đ?‘›, se divide este en la SucesiĂłn {đ?‘Žđ?‘› }∞ đ?‘›=1 đ?‘›â†’∞ 3đ?‘›

lim đ?‘Žđ?‘› = lim

đ?‘›â†’∞

đ?‘› 1 1 lim đ?‘Žđ?‘› +đ?‘› 1+đ?‘› đ?‘›+1 đ?‘Žđ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘› đ?‘™đ?‘–đ?‘š = lim = lim Por la Propiedad vi) lim = , si lim đ?‘? ≠0 đ?‘›â†’∞ 3đ?‘› đ?‘›â†’∞ 3 đ?‘›â†’∞ đ?‘?đ?‘› đ?‘›â†’∞ 3đ?‘› lim đ?‘?đ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘› đ?‘™đ?‘–đ?‘š

lim 1 +

1 đ?‘›

lim 3

= đ?‘›â†’∞ lim 3

3

đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

1 lim 1 + đ?‘›

1 1+đ?‘›

lim 1 +

=

đ?‘›â†’∞

lim 1 +

đ?‘›â†’∞

3

1 đ?‘›

1 đ?‘›

đ?‘›â†’∞

Por la Propiedad iv), en lim {đ?‘Žđ?‘› + đ?‘?đ?‘› ) = lim đ?‘Žđ?‘› + lim đ?‘?đ?‘› , para el Numerador

3

đ?‘›â†’∞

Por la Propiedad i) lim đ?‘? = đ?‘?, para el Denominador

đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

1 đ?‘› đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

lim 1 + lim

= đ?‘›â†’∞

3

đ?‘›â†’∞

đ?‘? = 0 para el Numerador đ?‘›â†’∞ đ?‘› đ?‘‘

Por la Propiedad i) y ii) lim 1 đ?‘› đ?‘›â†’∞

lim 1 + lim

đ?‘›â†’∞

=

3

1+0 1 = 3 3

Es decir: đ?‘›+1 1 = đ?‘›â†’∞ 3đ?‘› 3

lim �� = ���

đ?‘›â†’∞

1

Por lo tanto, la SucesiĂłn Infinita es Convergente al Valor đ??ż = 3 = 0.33 ∈ â„?. ∞

đ?&#x;“đ?’?

3. Demostrar que la SucesiĂłn đ?’‚đ?’? = {đ?&#x;?+đ?&#x;“đ?&#x;?đ?’? }

đ?’?=đ?&#x;?

es MonĂłtona Decreciente (Montes de

Oca, 2002). Para demostrar si esta SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? ∈ â„? es MonĂłtona Decreciente, se debe cumplir su desigualdad đ?‘Žđ?‘› ≼ đ?‘Žđ?‘›+1 , ∀ đ?‘› ∈ â„•. Entonces se debe definir los tĂŠrminos en: đ?‘Žđ?‘› =

đ?&#x;“đ?’? đ?&#x;?+đ?&#x;“đ?&#x;?đ?’?

y đ?‘Žđ?‘›+1 =

đ?&#x;“(đ?’?+đ?&#x;?) đ?&#x;?+đ?&#x;“đ?&#x;?(đ?’?+đ?&#x;?)

đ?&#x;“đ?’?+đ?&#x;?

đ?&#x;“đ?’?+đ?&#x;?

= đ?&#x;?+đ?&#x;“đ?&#x;?đ?’?+đ?&#x;? →∴ đ?‘Žđ?‘›+1 = đ?&#x;?+đ?&#x;“đ?&#x;?đ?’?+đ?&#x;?

Esto implica sustituir los tĂŠrminos de đ?‘Žđ?‘› y đ?‘Žđ?‘›+1 en la desigualdad que demuestre ser una SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? MonĂłtona Decreciente, es decir: đ?‘Žđ?‘› ≼ đ?‘Žđ?‘›+1

5� 5�+1 → ≼ 1 + 52� 1 + 52�+2

→ 5đ?‘› (1 + 52đ?‘›+2 ) ≼ 5đ?‘›+1 (1 + 52đ?‘› ) → 5đ?‘› (1 + 52đ?‘›+2 ) ≼ 5đ?‘›+1 + 5đ?‘›+1(+2đ?‘›) → 5đ?‘› (1 + 52đ?‘›+2 ) ≼ 5đ?‘›+1 + 53đ?‘›+1 → 5đ?‘› (1 + 52đ?‘›+2 ) ≼ 5đ?‘› ∙ 5 + 5đ?‘› ∙ 52đ?‘›+1

8

→ 5� (1 + 52�+2 ) ≼ 5� (5 + 52�+1 ) →

5� (1 + 52�+2 ) 5� (5 + 52�+1 ) ≼ 5� 5�

→ 1 + 52đ?‘›+2 ≼ 5 + 52đ?‘›+1 → 52đ?‘›+2 − 52đ?‘›+1 ≼ 5 − 1 → 52đ?‘›+1 ∙ 5 − 52đ?‘›+1 ∙ 1 ≼ 4 → 52đ?‘›+1 (5 − 1) ≼ 4 → 52đ?‘›+1 (4) ≼ 4 →

52�+1 (4) 4 ≼ 4 4

→ 52đ?‘›+1 ≼ 1 → 52đ?‘› ∙ 5 ≼ 1 52đ?‘› ∙ 5 1 1 → ≼ →∴ 52đ?‘› ≼ 5 5 5 Luego, se debe corroborar su desigualdad, mediante la evaluaciĂłn para su primer tĂŠrmino, quĂŠ define crucialmente su SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? MonĂłtona Decreciente en đ?‘› = 1: 52(1) ≼

1 → 52 ≼ 0.2 → 25 ≼ 0.2 5

Esta desigualdad es vĂĄlida y por lo tanto esta SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? Si es MonĂłtona Decreciente. ∞

đ?’?

4. Demostrar que la SucesiĂłn đ?’‚đ?’? = {đ?&#x;?đ?’?+đ?&#x;?}

đ?’?=đ?&#x;?

es MonĂłtona Creciente (Montes de Oca,

2002). Para demostrar si esta SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? ∈ â„? es MonĂłtona Creciente, se debe cumplir su desigualdad: đ?‘Žđ?‘› ≤ đ?‘Žđ?‘›+1 , ∀ đ?‘› ∈ â„• Entonces se debe definir los tĂŠrminos en: đ?‘Žđ?‘› =

đ?’? đ?&#x;?đ?’?+đ?&#x;?

(đ?’?+đ?&#x;?)

y đ?‘Žđ?‘›+1 =

đ?&#x;?(đ?’?+đ?&#x;?)+đ?&#x;?

(đ?’?+đ?&#x;?)

đ?’?+đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?’?+đ?&#x;?+đ?&#x;? →∴ đ?‘Žđ?‘›+1 = đ?&#x;?đ?’?+đ?&#x;‘

Esto implica sustituir los tĂŠrminos de đ?‘Žđ?‘› y đ?‘Žđ?‘›+1 en la desigualdad que demuestre ser una SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? MonĂłtona Creciente, es decir: đ?‘Žđ?‘› ≤ đ?‘Žđ?‘›+1 →

� �+1 ≤ 2� + 1 2� + 3

→ đ?‘›(2đ?‘› + 3) ≤ đ?‘› + 1(2đ?‘› + 1) → 2đ?‘›2 + 3đ?‘› ≤ 2đ?‘›2 + 2đ?‘› + đ?‘› + 1 → 2đ?‘›2 + 3đ?‘› ≤ 2đ?‘›2 + 3đ?‘› + 1 → 2đ?‘›2 + 3đ?‘› − 2đ?‘›2 − 3đ?‘› ≤ 1 →∴ 0 ≤ 1 Esta desigualdad es vĂĄlida y por lo tanto esta SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? Si es MonĂłtona Creciente đ?&#x;‘đ?’?đ?&#x;?

5. Demostrar que la SucesiĂłn đ?’‚đ?’? = {

đ?&#x;?

∞

}

đ?’?=đ?&#x;?

es Acotada (Andrade, 2011).

Para demostrar si esta SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? es Acotada, debe tener definida una: 9

a) COTA INFERIOR en đ?‘˜ = đ?‘Ž1 ∈ â„?, en este caso đ?‘˜ = đ?‘Ž1 =

3(1)2 2

=

3(1) 2

3

= 2 = 1.5 ∈ �

Con esto decimos, que Si tiene COTA INFERIOR en đ?‘˜ = 1.5 b) COTA SUPERIOR en el lim đ?‘Žđ?‘› = đ??ž ∈ â„? en este caso, su: đ?‘›â†’∞

2

3đ?‘› 3đ?‘›2 2 đ??ž = lim = lim đ?‘› đ?‘›â†’∞ 2 đ?‘›â†’∞ 2 đ?‘›2

đ??ž=

3đ?‘›2 2 lim đ?‘›2 đ?‘›â†’∞ đ?‘›2

Puesto que el tĂŠrmino mayor es đ?‘›2 , se divide este en la SucesiĂłn {đ?‘Žđ?‘› }∞ đ?‘›=1

lim đ?‘Žđ?‘› 3 đ?‘Žđ?‘› đ?‘›â†’∞ Por la Propiedad vi) lim = , si lim đ?‘? ≠0 đ?‘›â†’∞ 2 đ?‘›â†’∞ đ?‘?đ?‘› lim đ?‘?đ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘›2

= lim

lim 3 3 đ?‘? = n→∞ Por la Propiedad i) lim đ?‘? = đ?‘? y ii) lim đ?‘‘ = 0 2 đ?‘›â†’∞ 2 đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘› lim đ?‘›2 n→∞ đ?‘›2

đ??ž = lim

lim 3

đ??ž=

n→∞

=

2 đ?‘› n→∞ 2 lim

3 =∞ ∉� 0

Con esto decimos, que No tiene COTA SUPERIOR en đ??ž Por lo tanto, la SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? No es Acotada. đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;• ∞

6. Demostrar que la SucesiĂłn đ?’‚đ?’? = {đ?&#x;‘đ?’?+đ?&#x;?}

đ?’?=đ?&#x;?

es Acotada (Montes de Oca, 2002).

Para demostrar si esta SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? es Acotada, debe tener definida una: 2(1)−7

2−7

a) COTA INFERIOR en đ?‘˜ = đ?‘Ž1 ∈ â„?, en este caso đ?‘˜ = đ?‘Ž1 = 3(1)+2 = 3+2 =

−5 5

= −1 ∈ �

Con esto decimos, que Si tiene COTA INFERIOR en đ?‘˜ = −1. b) COTA SUPERIOR en el lim đ?‘Žđ?‘› = đ??ž ∈ â„?, en este caso, su: đ?‘›â†’∞

2đ?‘› 7 − 2đ?‘› − 7 đ?‘› Puesto que el tĂŠrmino mayor es đ?‘›, se divide este en la SucesiĂłn {đ?‘Ž }∞ đ??ž = lim = lim đ?‘› đ?‘› đ?‘›=1 2 đ?‘›â†’∞ 3đ?‘› + 2 đ?‘›â†’∞ 3đ?‘› + đ?‘› đ?‘›

2đ?‘› 7 7 lim đ?‘Žđ?‘› −đ?‘› 2−đ?‘› đ?‘Žđ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘› đ??ž = lim = lim Por la Propiedad vi) lim = , si lim đ?‘? ≠0 2 đ?‘›â†’∞ 2 đ?‘›â†’∞ 3đ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘?đ?‘› lim đ?‘?đ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘› + 3+ đ?‘›â†’∞ đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ??ž = lim

đ?‘›â†’∞

7 2−đ?‘› 3+

2 đ?‘›

=

7 lim 2 − đ?‘›

n→∞

lim 3 +

n→∞

2 đ?‘›

Por la Propiedad iv), lim {đ?‘Žđ?‘› Âą đ?‘?đ?‘› ) = lim đ?‘Žđ?‘› Âą lim đ?‘?đ?‘› đ?‘›â†’∞

10

đ?‘›â†’∞

đ?‘›â†’∞

7 lim 2 − đ?‘›

7 lim 2 − lim đ?‘› đ?‘? đ?‘›â†’∞ đ??ž = n→∞ = đ?‘›â†’∞ Por la Propiedad i) lim đ?‘? = đ?‘? y ii) lim đ?‘‘ = 0 2 2 đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘› lim 3 + lim 3 + lim đ?‘› đ?‘›â†’∞ n→∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘› 7 lim 2 − lim đ?‘› 2 − 0 2 đ?‘›â†’∞ đ??ž = đ?‘›â†’∞ = = = 0.66 ∈ â„? 2 lim 3 + lim đ?‘› 3 + 0 3 đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞

Con esto decimos, que Si tiene COTA SUPERIOR en đ??ž = 0.66 c) Tal que la COTA INFERIOR Y SUPERIOR se considere en đ?‘˜ ≤ đ?‘Žđ?‘› ≤ đ??ž, ∀ đ?‘› ∈ â„•, para 2đ?‘›âˆ’7 este caso, es −1 ≤ 3đ?‘›+2 ≤ 0.66, ∀ đ?‘› ∈ â„• y esto quiere decir que la desigualdad si cumple. Por lo tanto, la SucesiĂłn {đ?’‚đ?’? }∞ đ?’?=đ?&#x;? Si es Acotada.

2.2. Serie 2.2.1. Concepto Una Serie es la suma de tĂŠrminos o elementos (GarcĂ­a y ColomĂŠ, 1983). 2.2.2. DefiniciĂłn Se le llama Serie a la suma de los tĂŠrminos de una sucesiĂłn (Delgado, 2007). 2.2.3. ClasificaciĂłn La Serie se Clasifica en: Finita e Infinita (Montes de Oca, 2002). 2.2.3.1. Serie Finita. 2.2.3.1.1. Concepto Una Serie Finita es una expresiĂłn que se caracteriza por tener una suma determinada (Montes de Oca, 2002). Ejemplo: đ?’‚đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;Ž 2.2.3.2. Serie Infinita. 2.2.3.2.1. Concepto Una Serie Infinita es una expresiĂłn que se caracteriza por tener una suma parcial (Montes de Oca, 2002). Ejemplo: đ?’‚đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? + â‹Ż đ?’‚đ?’? + â‹Ż

11

2.2.3.2.2. DefiniciĂłn Es una representaciĂłn de la forma (Calvo, 1975): ∞

đ?’‚đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? + â‹Ż đ?’‚đ?’? + â‹Ż = ∑ đ?’‚đ?’? đ?’?=đ?&#x;?

2.2.3.2.3. ClasificaciĂłn La ClasificaciĂłn de las Series Infinitas son: Divergente y Convergente (Montes de Oca, 2002). 2.2.3.2.3.1. DefiniciĂłn de Serie Infinita Divergente Cuando el: đ?’?đ?’Šđ?’Ž đ?’‚đ?’? ≠đ?&#x;Ž o đ?’?đ?’Šđ?’Ž đ?’‚đ?’? = ∞ o đ?’?đ?’Šđ?’Ž đ?’‚đ?’? = ∄ (Montes de Oca, 2002).

đ?’?→∞

đ?’?→∞

đ?’?→∞

2.2.3.2.3.2. DefiniciĂłn de Serie Infinita Convergente Cuando el: đ?’?đ?’Šđ?’Ž đ?’‚đ?’? = đ?&#x;Ž (Montes de Oca, 2002).

đ?’?→∞

2.2.3.2.3. Tipos La Tipos de las Series Infinitas son: GeomĂŠtrica, ArmĂłnica, HiperarmĂłnica, de TĂŠrminos Positivos, de Signos Alternados y de Potencias (Montes de Oca, 2002). 2.2.3.2.3.1. Serie Infinita GeomĂŠtrica (Montes de Oca, 2002). Cuando se representa su suma como: ∞

∑ đ?’‚đ?’“đ?’?−đ?&#x;? = đ?’‚ + đ?’‚đ?’“ + đ?’‚đ?’“đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’“đ?’?−đ?&#x;? + â‹Ż đ?’?=đ?&#x;?

con đ?’‚ ≠đ?&#x;Ž, entonces: i). DIVERGE si |đ?’“| ≼ đ?&#x;? đ?’‚

đ?’?−đ?&#x;? ii). CONVERGE si |đ?’“| < đ?&#x;? tal quĂŠ exista un valor para ∑∞ = đ?&#x;?−đ?’“ ∈ â„? đ?’?=đ?&#x;? đ?’‚đ?’“

2.2.3.2.3.2. Serie Infinita ArmĂłnica (Montes de Oca, 2002) Cuando es divergente y se representa su suma, como: ∞

∑ đ?’?=đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? = đ?&#x;? + + + â‹Ż+ + â‹Ż đ?’? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’?

2.2.3.2.3.3. Serie Infinita HiperarmĂłnica o Serie Infinita đ?’‘ (Montes de Oca, 2002).

12

Cuando se representa su suma, como: ∞

∑ đ?’?=đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? = đ?’‘ + đ?’‘ + đ?’‘‌+ đ?’‘ + â‹Ż đ?’‘ đ?’? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’?

Donde đ?’‘ es una constante dada, entonces: i)

DIVERGE si đ?’‘ ≤ đ?&#x;?

ii)

CONVERGE si y solo si đ?’‘ > đ?&#x;?

2.2.3.2.3.4. Serie Infinita de TĂŠrminos Positivos (Montes de Oca, 2002). 2.2.3.2.3.4.1. DefiniciĂłn Cuando se representa su suma, como: ∞

∑(đ?&#x;?)đ?’?+đ?&#x;? đ?’‚đ?’? = đ?’‚đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’? + â‹Ż đ?’?=đ?&#x;?

2.2.3.2.3.4.2. Criterios Los Criterios de las Series Infinitas de TĂŠrminos Positivos son: de ComparaciĂłn y del Cociente (Montes de Oca, 2002). 2.2.3.2.3.4.2.1. Criterio de ComparaciĂłn (GarcĂ­a y ColomĂŠ, 1983). i) Diverge si đ?’‚đ?’?+đ?&#x;? ≼ đ?’‚đ?’? ii) Converge si đ?’‚đ?’?+đ?&#x;? ≤ đ?’‚đ?’? 2.2.3.2.3.4.2.2. Criterio del Cociente o de D´Alembert (Calvo, 1975). Cuando se encuentra: đ?’‚đ?’?+đ?&#x;? =đ?‘ł đ?’?→∞ đ?’‚đ?’? đ??Ľđ??˘đ??Ś

Entonces: i) Si đ?‘ł > đ?&#x;? o đ?‘ł = ∞ o đ?‘ł = ∄→∴Diverge ii) Si đ?‘ł < đ?&#x;? →∴ Converge ii) Si đ?‘ł = đ?&#x;? no se concluye nada 2.2.3.2.3.5. Serie Infinita de Signos Alternados (Montes de Oca, 2002). 2.2.3.2.3.5.1. DefiniciĂłn Cuando se representa su suma, como:

13

∞

∑(−đ?&#x;?)đ?’?+đ?&#x;? đ?’‚đ?’? = đ?’‚đ?&#x;? − đ?’‚đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;‘ − đ?’‚đ?&#x;’ + â‹Ż đ?’?=đ?&#x;?

2.2.3.2.3.5.2. Criterios Los Criterios de las Series Infinitas de Signos Alternados son: de Leibnitz y de la Convergencia Absoluta y Condicional (Montes de Oca, 2002). 2.2.3.2.3.5.2.1. Criterio de Leibnitz (GarcĂ­a y ColomĂŠ, 1983). Para đ?’‚đ?’? ≼ đ?&#x;Ž, ∀đ?‘› ∈ â„•: i) Si đ?’‚đ?’? > đ?’‚đ?’?+đ?&#x;? y ii) Si đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’‚đ?’? = đ?&#x;Ž đ?’?→∞

Entonces la serie es convergente. 2.2.3.2.3.5.2.2. Criterio de la Convergencia (Calvo, 1975). 2.2.3.2.3.5.2.2.1. Absoluta Cuando su: đ?’?+đ?&#x;? i) ∑∞ đ?’‚đ?’? converge đ?’?=đ?&#x;?(−đ?&#x;?) đ?’?+đ?&#x;? ii) |∑∞ đ?’‚đ?’? | converge đ?’?=đ?&#x;?(−đ?&#x;?)

2.2.3.2.3.5.2.2.2. Condicional Cuando su đ?’?+đ?&#x;? i) ∑∞ đ?’‚đ?’? converge đ?’?=đ?&#x;?(−đ?&#x;?) đ?’?+đ?&#x;? ii) |∑∞ đ?’‚đ?’? | diverge đ?’?=đ?&#x;?(−đ?&#x;?)

2.2.3.2.3.6. Serie Infinita de Potencias. 2.2.3.2.3.6.1. DefiniciĂłn (Montes de Oca, 2002) Cuando se representa su suma, en: i) La Variable đ?’™: ∞

∑ đ?’‚đ?’? đ?’™đ?’? = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’? đ?’™đ?’? + â‹Ż đ?’?=đ?&#x;Ž

14

ii) En el Entorno đ?’‚: ∞

∑ đ?’‚đ?’? (đ?’™ − đ?’‚)đ?’? = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? (đ?’™ − đ?’‚) + đ?’‚đ?&#x;? (đ?’™ − đ?’‚)đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’? (đ?’™ − đ?’‚)đ?’? + â‹Ż đ?’?=đ?&#x;Ž

2.2.3.2.3.6.2. Elemento del Intervalo de Convergencia (Montes de Oca, 2002). Se determina mediante el criterio: lim |

đ?’?→∞

đ?’‚đ?’?+đ?&#x;? |<đ?&#x;? đ?’‚đ?’?

2.2.3.2.3.6.3. ClasificaciĂłn La ClasificaciĂłn de las Series Infinitas de Potencias son: de FunciĂłn Taylor y de FunciĂłn MacLaurin (Montes de Oca, 2002). 2.2.3.2.3.6.3.1. Serie de Taylor (Montes de Oca, 2002). Definida por: ∞

∞ đ?’?

đ?’‡(đ?’™) = ∑ đ?’‚đ?’? (đ?’™ − đ?’‚) = ∑ đ?’‡(đ?’?) (đ?’‚) đ?’?=đ?&#x;Ž

đ?’?=đ?&#x;Ž

(đ?’™ − đ?’‚)đ?’? đ?’?!

Es decir: đ?’‡(đ?’™) = đ?’‡(đ?’‚) + đ?’‡´(đ?’‚) ∙ (đ?’™ − đ?’‚) + đ?’‡´´(đ?’‚) ∙

(đ?’™ − đ?’‚)đ?&#x;? (đ?’™ − đ?’‚)đ?’? + â‹Ż + đ?’‡(đ?’?) (đ?’‚) ∙ +â‹Ż đ?&#x;?! đ?’?!

2.2.3.2.3.6.3.2. Serie de MacLaurin (Montes de Oca, 2002). Definida por: ∞

∞ đ?’?

đ?’‡(đ?’™) = ∑ đ?’‚đ?’? đ?’™ = ∑ đ?’‡(đ?’?) (đ?&#x;Ž) đ?’?=đ?&#x;Ž

đ?’?=đ?&#x;Ž

đ?’™đ?’? đ?’?!

Es decir: đ?’‡(đ?’™) = đ?’‡(đ?&#x;Ž) + đ?’‡´(đ?&#x;Ž) ∙ đ?’™ + đ?’‡´´(đ?&#x;Ž) ∙

đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?’? + â‹Ż + đ?’‡(đ?’?) (đ?&#x;Ž) ∙ +â‹Ż đ?&#x;?! đ?’?!

2.2.4. Ejemplos. đ?&#x;?

1. Determinar el carĂĄcter de la serie ∑∞ đ?’?=đ?&#x;? đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? , utilizando la definiciĂłn de una serie infinita geomĂŠtrica (Montes de Oca, 2002). La serie se puede reescribir como:

15

∞

∑ đ?’?=đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;?

∞

đ?&#x;? đ?’?−đ?&#x;? = ∑đ?&#x;?ྏ ŕľ° đ?&#x;? đ?’?=đ?&#x;?

1

đ?’?−đ?&#x;? Se observa que es una serie geomĂŠtrica de la forma ∑∞ , donde đ?‘Ž = 1 y đ?‘&#x; = 2. đ?’?=đ?&#x;? đ?’‚đ?’“ 1

1

Notamos que el valor de |2| < 1 → 2 < 1 → 0.5 < 1, entonces se dice que la serie converge, tal que exista un valor para: đ?‘Ž 1 1 = = =2∈â„? 1−đ?‘&#x; 1−1 1 2 2 đ?&#x;’

2. Determinar el carĂĄcter de la serie ∑∞ đ?’?=đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?’?−đ?&#x;? , utilizando la definiciĂłn de una serie infinita geomĂŠtrica (Barrera, 2005). La serie se puede reescribir como: ∞

∑ đ?’?=đ?&#x;?

đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?’?−đ?&#x;?

∞

đ?&#x;? đ?’?−đ?&#x;? = ∑đ?&#x;’ྏ ŕľ° đ?&#x;‘ đ?’?=đ?&#x;?

1

đ?’?−đ?&#x;? Se observa que es una serie geomĂŠtrica de la forma ∑∞ , donde đ?‘Ž = 4 y đ?‘&#x; = 3. đ?’?=đ?&#x;? đ?’‚đ?’“ 1

1

Notamos que el valor de |3| < 1 → 3 < 1 → 0.33 < 1, entonces se dice que la serie converge, tal que exista un valor para: đ?‘Ž 4 4 12 = = = =6∈â„? 1−đ?‘&#x; 1−1 2 2 3 3 3. Determinar el intervalo de convergencia de la serie ∑∞ đ?’?=đ?&#x;Ž

đ?’?đ?’™đ?’? đ?&#x;“đ?’?

(Montes de Oca, 2002).

Se utiliza el criterio de: lim |

đ?’?→∞

đ?’‚đ?’?+đ?&#x;? |<đ?&#x;? đ?’‚đ?’?

Entonces, se define a: đ?‘Žđ?‘› =

�� � 5�

đ?‘Žđ?‘›+1 =

(đ?‘› + 1)đ?‘Ľ (đ?‘›+1) 5(đ?‘›+1)

Por lo tanto, se evalĂşa en el criterio: (đ?‘› + 1)đ?‘Ľ (đ?‘›+1) (đ?‘› + 1)đ?‘Ľ đ?‘›+1 (5đ?‘› ) (đ?‘› + 1)đ?‘Ľ đ?‘› ∙ đ?‘Ľ(5đ?‘› ) 5(đ?‘›+1) lim ተ ተ < 1 → lim ቤ ቤ < 1 → lim ቤ ቤ<1 đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ 5đ?‘›+1 (đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘› ) 5đ?‘› ∙ 5(đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘› ) 5đ?‘›

16

→ lim ቤ đ?‘›â†’∞

(đ?‘› + 1) ∙ đ?‘Ľ đ?‘›+1 1 ቤ < 1 → |đ?‘Ľ| lim | | < 1 → |đ?‘Ľ| ྏ ŕľ° < 1 đ?‘›â†’∞ 5đ?‘› 5đ?‘› 5

1 |đ?‘Ľ| 1 1 → |đ?‘Ľ| < 1 → 5 < → |đ?‘Ľ| < 5 ↔ −đ?&#x;“ < đ?’™ < đ?&#x;“ 1 1 5 5 5 La desigualdad |đ?‘Ľ| < 5 equivale a la propiedad de −5 < đ?‘Ľ < 5, que es el intervalo de convergencia para esta serie de Potencias. 4. Determinar el intervalo de convergencia de la serie ∑∞ đ?’?=đ?&#x;Ž

đ?’™đ?’? đ?’?

(Montes de Oca, 2002).

Se utiliza el criterio de: lim |

đ?’?→∞

đ?’‚đ?’?+đ?&#x;? |<đ?&#x;? đ?’‚đ?’?

Entonces, se define a: đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›

đ?‘Žđ?‘›+1

đ?‘Ľ đ?‘›+1 = đ?‘›+1

Por lo tanto, se evalĂşa en el criterio: đ?‘Ľ (đ?‘›+1) đ?‘Ľ đ?‘›+1 (đ?‘›) đ?‘Ľ đ?‘› ∙ đ?‘Ľ(đ?‘›) đ?‘› + 1 lim ተ đ?‘› ተ < 1 → lim ቤ ቤ < 1 → lim ቤ ቤ<1 đ?‘Ľ đ?‘›â†’∞ đ?‘›â†’∞ đ?‘› + 1(đ?‘Ľ đ?‘› ) đ?‘›â†’∞ đ?‘› + 1(đ?‘Ľ đ?‘› ) đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› đ?‘› → lim | | < 1 → |đ?‘Ľ| lim | | < 1 → |đ?‘Ľ|(1) < 1 đ?‘›â†’∞ đ?‘› + 1 đ?‘›â†’∞ đ?‘› + 1 → |đ?‘Ľ| < 1 ↔ −đ?&#x;? < đ?’™ < đ?&#x;? La desigualdad |đ?‘Ľ| < 1 equivale a la propiedad de −1 < đ?‘Ľ < 1, que es el intervalo de convergencia para esta serie de Potencias. 5. Obtener los primeros cuatro tĂŠrminos de la serie de Taylor de la funciĂłn đ?’‡(đ?’™) = đ?’„đ?’?đ?’”đ?’™ đ??… en un entorno de đ?’‚ = đ?&#x;‘ (Arcila, 1976). Se identifica la DefiniciĂłn de la Serie de Taylor: đ?’‡(đ?’™) = đ?’‡(đ?’‚) + đ?’‡´(đ?’‚) ∙ (đ?’™ − đ?’‚) + đ?’‡´´(đ?’‚) ∙

(đ?’™ − đ?’‚)đ?&#x;? (đ?’™ − đ?’‚)đ?’? + â‹Ż + đ?’‡(đ?’?) (đ?’‚) ∙ +â‹Ż đ?&#x;?! đ?’?!

En este caso, se solicita los primeros cuatro tĂŠrminos de la serie, entonces, queda encontrar a: đ?’‡(đ?’™) = đ?’‡(đ?’‚) + đ?’‡´(đ?’‚) ∙ (đ?’™ − đ?’‚) + đ?’‡´´(đ?’‚) ∙

17

(đ?’™ − đ?’‚)đ?&#x;? (đ?’™ − đ?’‚)đ?&#x;‘ + đ?’‡´´´(đ?’‚) ∙ +â‹Ż đ?&#x;?! đ?&#x;‘!

Luego, se encuentra las derivadas requeridas para đ?‘“(đ?‘Ľ): đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ → đ?‘“´(đ?‘Ľ) = −đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ľ → đ?‘“´´(đ?‘Ľ) = −đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ → đ?‘“´´´(đ?‘Ľ) = đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ľ DespuĂŠs se evalĂşa el entorno para la funciĂłn y sus derivadas: đ?œ‹ đ?œ‹ 1 đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ → đ?‘“(đ?‘Ž) = đ?‘“ ቀ በ= cos ቀ በ= cos 60° = 3 3 2 đ?œ‹ đ?œ‹ √3 đ?‘“´(đ?‘Ľ) = −đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ľ → đ?‘“´(đ?‘Ž) = đ?‘“´ ቀ በ= − sen ቀ በ= −sen 60° = − 3 3 2 đ?œ‹ đ?œ‹ 1 đ?‘“´´(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ → đ?‘“´´(đ?‘Ž) = đ?‘“´´ ቀ በ= − cos ቀ በ= − cos 60° = − 3 3 2 đ?œ‹ đ?œ‹ √3 đ?‘“´´´(đ?‘Ľ) = đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ľ → đ?‘“´´´(đ?‘Ž) = đ?‘“´´´ ቀ በ= sen ቀ በ= sen 60° = 3 3 2 Finalmente, evaluando los tĂŠrminos respectivos para la Serie de Taylor que se estĂĄ solicitando: (đ?‘Ľ − đ?‘Ž)2 (đ?‘Ľ − đ?‘Ž)3 đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘Ž) + đ?‘“´(đ?‘Ž) ∙ (đ?‘Ľ − đ?‘Ž) + đ?‘“´´(đ?‘Ž) ∙ + đ?‘“´´´(đ?‘Ž) ∙ +â‹Ż 2! 3! đ?œ‹ 2 đ?œ‹ 3 1 đ?œ‹ 1 ቀđ?‘Ľ − 3 በ√3 √3 (đ?‘Ľ − 3) đ?‘“(đ?‘Ľ) = + ቆ− ቇ ∙ ቀđ?‘Ľ − በ+ ྏ− ŕľ° ∙ +ቆ ቇ∙ +â‹Ż 2 2 3 2 2! 2 3! đ?œ‹ 2 đ?œ‹ 3 ቀđ?‘Ľ − በ(đ?‘Ľ − 1 √3 đ?œ‹ 1 √3 3 + 3) + â‹Ż đ?‘“(đ?‘Ľ) = − ∙ ቀđ?‘Ľ − በ− ∙ ∙ 2 2 3 2 2! 2 3! đ?œ‹ 2 đ?œ‹ 3 1 √3 đ?œ‹ 1 ቀđ?‘Ľ − 3 በ√3 (đ?‘Ľ − 3 ) đ?‘“(đ?‘Ľ) = − ∙ ቀđ?‘Ľ − በ− ∙ + ∙ +â‹Ż 2 2 3 2 2 2 6 đ??… đ??… đ?&#x;? đ??… √đ?&#x;‘(đ?’™ − đ?&#x;‘ )đ?&#x;‘ đ?&#x;? √đ?&#x;‘ ቀđ?’™ − đ?&#x;‘ በቀđ?’™ − đ?&#x;‘ በđ?’‡(đ?’™) = − − + +â‹Ż đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;? 6. Desarrollar en Serie de MacLaurin, los primeros cinco tĂŠrminos para la funciĂłn đ?’‡(đ?’™) = đ?‘°đ?’?(đ?’™ + đ?&#x;?) (Arcila, 1976). Se identifica la DefiniciĂłn de la Serie de MacLaurin: đ?’‡(đ?’™) = đ?’‡(đ?&#x;Ž) + đ?’‡´(đ?&#x;Ž) ∙ đ?’™ + đ?’‡´´(đ?&#x;Ž) ∙

đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?’? + â‹Ż + đ?’‡(đ?’?) (đ?&#x;Ž) ∙ +â‹Ż đ?&#x;?! đ?’?!

En este caso, se solicita los primeros cinco tĂŠrminos de la serie, entonces, queda encontrar a: đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;’ đ?‘°đ?‘˝ (đ?&#x;Ž) đ?’‡(đ?’™) = đ?’‡(đ?&#x;Ž) + đ?’‡´(đ?&#x;Ž) ∙ đ?’™ + đ?’‡´´(đ?&#x;Ž) ∙ + đ?’‡´´´(đ?&#x;Ž) ∙ + đ?’‡ ∙ +â‹Ż đ?&#x;?! đ?&#x;‘! đ?&#x;’! Luego, se encuentra las derivadas requeridas para đ?‘“(đ?‘Ľ):

18

1 1 2 → đ?‘“´´(đ?‘Ľ) = − → đ?‘“´´´(đ?‘Ľ) = 2 (đ?‘Ľ + 1) (đ?‘Ľ + 1)3 đ?‘Ľ+1 6 → đ?‘“ đ??źđ?‘‰ (đ?‘Ľ) = − (đ?‘Ľ + 1)4

đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ??źđ?‘›(đ?‘Ľ + 1) → đ?‘“´(đ?‘Ľ) =

DespuĂŠs se evalĂşa el entorno para la funciĂłn y sus derivadas: đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ??źđ?‘›(đ?‘Ľ + 1) → đ?‘“(0) = In(0 + 1) = In 1 = 0 1 1 1 đ?‘“´(đ?‘Ľ) = → đ?‘“´(0) = = =1 đ?‘Ľ+1 0+1 1 1 1 1 1 đ?‘“´´(đ?‘Ľ) = − → đ?‘“´´(0) = − =− = − = −1 2 2 2 (đ?‘Ľ + 1) (0 + 1) (1) 1 2 2 2 2 đ?‘“´´´(đ?‘Ľ) = → đ?‘“´´(0) = = = =2 (đ?‘Ľ + 1)3 (0 + 1)3 (1)3 1 6 6 6 6 đ??źđ?‘‰ (0) đ?‘“ đ??źđ?‘‰ (đ?‘Ľ) = − → đ?‘“ = − = − = − = −6 (đ?‘Ľ + 1)4 (0 + 1)4 (1)4 1 Finalmente, evaluando los tĂŠrminos respectivos para la Serie de MacLaurin que se estĂĄ solicitando: đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(0) + đ?‘“´(0) ∙ đ?‘Ľ + đ?‘“´´(0) ∙ đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0 + 1 ∙ đ?‘Ľ + (−1) ∙ đ?‘“(đ?‘Ľ) = 1 ∙ đ?‘Ľ + (−1) ∙ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ −

đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ4 + đ?‘“´´´(0) ∙ + đ?‘“ đ??źđ?‘‰ (0) ∙ + â‹Ż 2! 3! 4!

đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ4 + 2 ∙ + (−6) ∙ + â‹Ż 2! 3! 4!

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3. Conclusiones. Los conceptos principales y secundarios, fue: 1) Establecer una Correspondencia BiunĂ­voca entre los NĂşmeros Reales y los TĂŠrminos que pueden ser Objetos de cualquier Cantidad, Tipo o Naturaleza (Delgado, 2006). 2) Desarrollar los Conceptos MatemĂĄticos que permitan calcular el valor exacto de sumas, o por lo menos saber si existe tal valor (Calvo, 1975). 3) Proporcionar la Idea Intuitiva, Consecutiva y Ordenada que puede presentar los Datos o Eventos que Introduce el Estudio de FenĂłmenos en las Ciencias Ingenieriles (Montes de Oca, 2002).

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