Índice Introducción…………………………………………………………….………..…..2 1.- Conceptos de Educación y Deserción……………………………………….....…….3 1.1.- Educación básica…………………………………………………….…..……3 1.2.- Media Superior ……………………………………………………….…..…...3 1.3.- Deserción escolar…………………………………………………….….……4 1.4.- Causas de deserción escolar en el nivel medio superior…………...…….4 2.- Deserción escolar en el nivel medio superior………………………………...………7 2.1.- A nivel mundial…………...……………………………………………………7 2.2.- A nivel Nación………………………….………………………………………8 2.3.- A nivel D. F………………………………..…………………………………...9 2.4.- En el IEMS……………………………………………………………………10 3.- Conceptos de Estadística y Probabilidad………………………...…...…………….11 3.1.- Estadística…………………………………..………………………………..11 3.2.- Probabilidad…………….…………………..………………………………..12 4.- Ajuste de curvas…………….….……………………………………………………..15 4.1.- Fundamentos de Ajuste de curvas……...…………………………………16 4.2.- Mínimos cuadrados………………………………...…………………..……17 4.3.- Ajuste lineal………………………………………………..…………………18 4.4.- Ajuste polinomial………………………………………………..…………...19 4.5.- Ajuste 4to grado………………...……………………………………………21 5.- Análisis de Datos…………………………………………………………………...….22 5.1.- Aplicación de probabilidad y estadística sobre datos al modelo lineal...22 5.2.- Aplicación de ajuste polinomial 4to grado…...……………………………26 Conclusiones……………………………………………………………………………….31 Bibliografía………………………………………………………………………………….32
1
Introducción. El título del proyecto de certificación es “Análisis de la deserción escolar a nivel medio superior en la delegación Gustavo A. Madero desde un enfoque Probabilístico y Estadístico”, No obstante, el tema se circunscribe a los datos generados dentro del Instituto de Educación Media Superior del D.F plantel Belisario Domínguez (GAM I) con el objetivo de predecir la deserción escolar para la generación 2011-2015 puesto que no fue posible obtener la información a nivel delegacional porque las autoridades resguardan esos datos de manera confidencial. El presente trabajo de investigación es un análisis de la educación escolar, que, en general, constituye la construcción de las capacidades de los individuos por medio de un método ordenado, no obstante a su vez esta educación se desenvuelve dentro de un contexto y condiciones específicos de tiempo y espacio, donde los alumnos se desarrollarán para poder aportar bienestar a su sociedad, extendiendo y aportando los medios científicos, tecnológicos, humanísticos y artísticos. En este proceso de educación se presenta la problemática, de que en algún punto se deja inconcluso este poseso por parte del alumno, la cual llamaremos deserción; este asunto se ha estado desenvolviéndose principalmente en el nivel medio superior, ya que este periodo se caracteriza por el desarrollo de la adolescencia, y, durante esta etapa los individuos presentan muchos cambios tanto físicos como psicológicos y además de que el entorno donde se desarrolla puede ser un factor determinante que influya en la educación, pudiendo generar deserción. El propósito de esta investigación es hacer predicciones de cómo evoluciona este fenómeno, específicamente a nivel medio superior, utilizando modelos matemáticos para sustentar tales predicciones. El objetivo central de este proyecto es la aplicación práctica de Probabilidad y Estadística además de los modelos matemáticos para desarrollarlo, además se espera hacer un aporte con la investigación con el fin de que se considere como argumento y poder atender la problemática de deserción escolar. En México, dentro de la Ley General de Educación se regulan las normativas por las cuales se rige la educación impartida por el Estado- Federación, desde los primeros artículos quedan implantados dictámenes muy puntuales con respecto a la educación básica de la cual se específica tanto el derecho como la obligación de los ciudadanos correspondiente al tema educativo (artículos 2º,3º, 4º, 9º, por mencionar algunos). 1
1
Congreso de los Estados Unidos Mexicanos. Diario oficial de la Federación, Ley General de Educación, última actualización DOF 19-12-2014
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1.- Conceptos de Educación y Deserción. 1.1.- Educación básica. La educación básica recibe ese nombre no porque sea menos importante de todos los demás niveles, sino al contrario, porque representa la educación esencial y fundamental que se sirve para adquirir cualquier otra preparación en la vida del individuo, representa el aprendizaje de los elementos necesarios para poder desenvolverse en la sociedad y dentro de su cultura, es la educación obligatoria que han de recibir todos los ciudadanos La educación básica comprende en México lo que se llama la educación obligatoria, Prescolar, Primaria, Secundaria y Bachillerato o Medio Superior. Como ya se ha mencionado recibir la educación básica es un derecho y obligación que se tiene que cumplir, es un tipo de participación ciudadana de la cual la población se tiene que comprometer a concluir 1.2.- Media Superior El presente trabajo se enfocará en el nivel medio superior. También se le puede entender como la educación secundaria o media, enseñanza media, bachillerato o estudios medios, es el nombre de la última etapa en la educación obligatoria, posterior a la enseñanza primaria básica. En algunos países hispanohablantes se denomina educación preparatoria o bachillerato a los últimos cursos de la educación secundaria. Tiene como objetivo capacitar al alumno para poder iniciar estudios de educación superior. La educación media superior, bachillerato o preparatoria en el Sistema Educativo Nacional (SEN) según el artículo 37 de la Ley General de Educación (LGE) señala que: «El tipo medio-superior comprende el nivel de bachillerato, los demás niveles equivalentes a éste, así como la educación profesional que no requiere bachillerato o sus equivalentes. Se organizará, bajo el principio de respeto a la diversidad, a través de un sistema que establezca un marco curricular común a nivel nacional y la revalidación y reconocimiento de estudios entre las opciones que ofrece este tipo educativo.»2. La Educación Media Superior en el Sistema Educativo Nacional es impartida por instituciones educativas públicas y privadas, comprendiendo tres tipos: bachillerato general, bachillerato especializado o tecnológico, y el terminal o profesional medio, ofreciéndose los dos primeros en modalidad escolarizada y abierta, teniendo como objetivos preparar al alumno para que pueda acceder a la escuela superior o insertarse en el mercado laboral con una preparación de tipo técnico. 3
2
Congreso de los Estados Unidos Mexicanos. Diario oficial de la Federación, Ley General de Educación, última actualización DOF 19-12-2014 3 http://www.curriculobasica.sep.gob.mx/
3
1.3.- Deserción escolar La palabra deserción o desertar según la real academia española se refiere a «la acción de desamparar o abandonar las obligaciones o los ideales que se tenían interpuestos»4, cuando se hace alusión a lo escolar implica lo relacionado con lo concerniente al estudiante con respecto a la escuela. Por lo tanto la expresión de “deserción escolar” es el abandono del alumno del proceso educativo quedando fuera del sistema sin concluir una certificación. La deserción escolar genera una fuerza de trabajo menos competente de la cual no se puede aprovechar los beneficios de productividad y su efecto en el crecimiento económico en los sectores públicos y privados, para los gobiernos esto implica mayores gastos para financiar programas sociales dado a los sectores que no logran generar recursos propios, por lo tanto, una mayor matricula y graduación es un indicador de capital humano y a la vez de desarrollo y bienestar para la población. 1.4.- Causas de deserción escolar en el nivel medio superior La educación Media Superior se caracteriza principalmente porque se desarrolla en la etapa de la adolescencia de las personas. La adolescencia tiene una importancia crítica en el desarrollo de los individuos y de las sociedades. Es una etapa formativa que prepara a los jóvenes para la vida. Se percibía a la adolescencia como una etapa del desarrollo en la que no sólo se presentaban cambios físicos y psicológicos, sino también se incrementaba la tendencia de cometer conductas de riesgo, actualmente, se ha identificado que dichos cambios se encuentran enmarcados y fusionados con las características socioculturales de los contextos en los que los jóvenes se desarrollan, de tal forma que los problemas identificados con esta etapa no pueden atribuirse sólo a sus características personales, sino a la participación e interacción de una compleja red de dimensiones sociales y culturales. En el caso de niños y adolescentes, el precio de la deserción escolar es advertido cuando el ocio, la sustracción de los ambientes controlados por la disciplina y la indefinición de objetivos productivos, inciden en la construcción de entornos inseguros, propios para la generación de climas de violencia y la comisión de actos delictivos.
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Real Academia Española, Diccionario de la Real Academia Española, vigésima segunda edición, tomo 4,5, España, ESPOSA (2001)
4
En estas circunstancias, es importante que padres, maestros y sociedad en general, consideren la concepción del origen y consecuencias de los cambios que sufren los adolescentes, hoy día se advierte en este sector de la población mexicana una mayor dependencia con el entorno.5
Cambios emocionales provocados por la necesidad de buscar afecto complementario al que la familia ofrece; por tal motivo, en esta etapa de la vida se hacen los mejores amigos y surge el primer enamoramiento, otorgando a la relación con los pares y con la pareja, una importancia determinante del comportamiento adolescente.
Cambios físicos –frecuentemente iniciados más prematuramente por las mujeres– que marcan sensibles diferencias en el desarrollo y en las formas de respuesta a los estímulos ambientales y sociales.
Cambios sexuales, originados por adaptaciones fisiológicas, que redundan en el incremento por el interés sexual.
Cambios intelectuales que hacen surgir intereses novedosos y el planteamiento de nuevas preguntas (¿Quién soy? ¿Para qué nací? ¿Cuál es el objetivo de vivir?), que sólo pueden responderse a partir de una conducta exploratoria, de la búsqueda de la novedad y el descubrimiento del mundo adulto, que a pesar de poder volverse en contra, permitirá entender mejor la forma de ser propia y la de los demás.
Las condiciones de vida actuales acentúan peligrosamente algunos rasgos de la conducta adolescente ya que incrementan la oferta de espacios para explorar el ambiente extra-familiar, el cual se ha diversificado enormemente en cantidad y en poder de fascinación. La adolescencia siempre fue un período durante el cual los miembros jóvenes de la familia, descubrían las imperfecciones de sus padres y del mundo en general, por lo que buscaban desprenderse del mundo de la infancia (en especial de los padres), desarrollar un guion de vida propio, sustentado en el familiar pero a la vez diferente y único, y comenzar a interactuar con otros pares y adultos que no necesariamente compartían los mismos valores y códigos. También, se caracterizaba predominantemente por ser una etapa de exploración, que permitía probar lo desconocido, alejarse de la seguridad de “lo familiar”, de comprobar si las alertas de los padres eran justificadas o simplemente el resultado de su deseo de mantenerlos junto a ellos; sin embargo, las conductas exploratorias 5
Dirección General de Prevención del Delito y Participación Ciudadana, Deserción escolar y conductas de riesgo en adolescentes, Junio 2011. Pag.4.
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se convierten cada día más, en conductas de riesgo o que relacionan la intranquilidad social con el comportamiento adolescente vulnerable y la consecuente construcción de una identidad. En este contexto, la adolescencia se encuentra actualmente asociada a la presencia de riesgos como consumo de tóxicos, SIDA y otras enfermedades de transmisión sexual, embarazo precoz o indeseado, depresión, accidentes e incluso la muerte; pero también con el concepto de circuitos de riesgo, que permiten identificar la presencia de conductas adicionadas, complementarias y crecientes en peligrosidad, lo que incrementa la vulnerabilidad. Diferentes autores coinciden en expresar que el abandono temprano de la escuela, la incorporación temprana al empleo y el consecuente desempeño en trabajos marginales, incrementa la vulnerabilidad psicosocial de los adolescentes.
6
2.- Deserción escolar en el nivel medio superior. 2.1.-A nivel mundial. El Banco Mundial compila datos sobre los insumos, participación, eficiencia y resultados del sector. La información sobre el tema es recolectada por el Instituto de Estadística de la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) a partir de respuestas oficiales a encuestas y de informes provistos por las autoridades sectoriales en cada país.6 Tasa bruta de matrícula, enseñanza secundaria, todos los programas, total. Corresponde al número total de estudiantes matriculados en educación secundaria, independientemente de su edad, expresado como porcentaje de la población total en edad oficial de cursar la secundaria. La TBM puede ser superior a 100% debido a la inclusión de estudiantes mayores y menores a la edad oficial ya sea por repetir grados o por un ingreso precoz o tardío a dicho nivel de enseñanza. Inscripción escolar, nivel secundario (% bruto)7
México.
6
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
79
80
82
83
83
84
84
86
http://datos.bancomundial.org/tema/educacion
7
El Índice de datos es un listado de los conjuntos de datos disponibles del Banco Mundial, tales como: bases de datos, tablas pre formateadas, informes y otros materiales. 7
2.2.- A nivel Nación. Los datos presentados se refieren al esquema general – Educación escolarizada– del Sistema Educativo Nacional, además, comprenden los servicios por sostenimiento: público (federal, estatal y autónomo) y privado.8
Tasa de absorción por nivel educativo (%). Ciclo Profesional Bachillerato escolar técnico. 2000/2001 12.3 81
Índice de abandono escolar (%). Ciclo escolar. 2000/2001
Profesional Bachillerato. técnico. 24.8 16.5
2001/2002
11.8
84.6
2001/2002
25.4
15.8
2002/2003
11.5
84
2002/2003
25.3
16.4
2003/2004
11.1
85.4
2003/2004
24.7
16.8
2004/2005
10.9
85.1
2004/2005
26
16.1
2005/2006
10.4
84.9
2005/2006
23.9
15.7
2006/2007
10
85.6
2006/2007
24.6
15.5
2007/2008
9.9
85.5
2007/2008
24.5
15.5
2008/2009
9.9
86.9
2008/2009
23.6
15.1
2009/2010
9.5
86.9
2009/2010
23.2
14.1
2010/2011
9.7
87
2010/2011
22.7
14.2
2011/2012
9.4
90.1
2011/2012
21.9
14.4
2012/2013
9.3
91.6
2012/2013
19.5
13.8
2013/2014
1.9
103.7
2013/2014E 22.3
12.9
8
SEP. Sistema Nacional de Información Estadística Educativa. Indicadores y Pronósticos Educativos - Serie Histórica. http://www.snie.sep.gob.mx/serie_historica.html (Consulta: 20 de marzo de 2015).
8
2.3.- A nivel D. F.
Matrícula escolar en educación media superior por entidad federativa según sexo. Entidad federativa.
Profesional técnico. Bachillerato. Total. Hombres. Mujeres. Total. Hombres. Mujeres.
Estados Unidos Mexicanos. 79499 31862
47637
4602837 2306577
2296260
689
456346
223408
Distrito Federal. 1427
738
232938
Índice de abandono escolar por entidad federativa (%). Entidad federativa. Estados Unidos Mexicanos.
Distrito Federal.
Profesional técnico. Bachillerato. 22.3
12.9
20.3
12.1
Los datos presentados se refieren al esquema general –Escolarizado– del Sistema Educativo Nacional, además, comprenden los servicios por sostenimiento: público (federal, estatal y autónomo) y privado. El nivel Profesional técnico excluye la información del Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica (CONALEP), dicha información se incluye en el nivel Bachillerato como Profesional técnico bachiller (CONALEP). Las cifras corresponden a inicio de cursos.9
9
SEP. Sistema Interactivo de Consulta de Estadística Educativa. http://planeacion.sep.gob.mx/principalescifras/ (Consulta: 20 de marzo de 2015).
9
2.4.- En el IEMS. Para el análisis del trabajo se utilizaron datos del sistema escolarizado del plantel IEMS Belisario Domínguez de la delegación Gustavo A. Madero. Desde la primera generación del 2001 hasta 2010, considerando que los alumnos pueden obtener su certificación en un periodo de cuatro años y medio antes de convertirse en estudiantes independientes10.
Generación.
Núm. Inscritos.
Núm. Desertados.
%Porcentaje de desertados.
2001
155
115
74.19
% Núm. De Porcentaje egresados. de egresados. 40 25.8
2002
258
199
77.13
59
22.86
2003
148
103
69.59
45
30.4
2004
358
234
65.36
124
34.63
2005
351
245
69.8
109
31.05
2006
357
229
64.14
128
35.85
2007
349
235
67.33
114
32.66
2008
362
248
68.5
114
31.49
2009
366
257
70.21
109
29.78
2010
360
274
76.11
86
23.88
2139
70.236%
928
29.84%
Total de 3064 alumnos.
10
Instituto de Educación Media Superior del DF, Sistema General de Información Educativa http://sgie.iems.edu.mx/
10
3.- Conceptos de estadística y probabilidad. 3.1.- Estadística. La palabra estadística proviene del vocablo latín statisticus (“estado, condición, relativo al estado”) utilizado en la Edad Media para denotar un estado político, es decir, para describir verbalmente fenómenos y características relacionados al estado; utilizados en inventarios y censos, con el objetivo de cobrar impuestos. Pero no fue hasta el siglo XVIII que comenzó a desarrollarse la estadística teórica con el propósito de establecer orden en el uso de métodos para la recopilación de información desarrollando nuevos métodos formalizándose la estadística. Actualmente la estadística se define en la RAE como «Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos naturales e industriales, del tráfico o de cualquier otra manifestación de las sociedades humanas.» O «Rama de la matemática que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades.»11 Pero se puede entender mejor la estadística como la ciencia que brinda los instrumentos (métodos y técnicas) para recopilar, organizar, presentar, analizar e interpretar información que apoye en la toma de decisiones en cualquier ámbito. Dado a que la estadística se concibe como una ciencia, esta cuenta con un conjunto de términos de los cuales hay que tener conocimiento y comprensión para poder interpretar la información que aporte dicha práctica, con el fin de establecer un marco de referencias hay que comprender algunos términos básicos que permitirán entender la argumentación en el presente trabajo. 12 Datos: valores o características que pueden ser observados contados o medidos. Variable: una característica o atributo que puede adquirir distintos valores. Población o Universo: el conjunto finito o infinito de individuos u objetos los cuales presentan características comunes. Muestra: un subconjunto o una parte representativa de una población. Muestreo: método o técnica por la cual se elige unos o varios elementos que compondrán una o varias muestras de la población. Experimento: es la operación que consiste en observar los resultados en ciertas condiciones. Parámetro: una medida que se calcula para describir una característica de la población. 11
Real Academia Española, Diccionario de la Real Academia Española, vigésima segunda edición, tomo 4,5, España, ESPOSA (2001) 12 Gutiérrez Benegas A. Probabilidad y Estadística. Primera edición (2012) Mc Graw Hill. Pág. 4.
11
Estadístico: s una medida que se calcula para describir una característica de la muestra; dicho con otras palabras, es la estimación de un parámetro. Como todo procedimiento científico, el estudio estadístico de una población debe de tener muy claro que es lo que se quiere analizar para que se tenga consideración de los datos que se tienen que recolectar dado que dicha información se puede adquirir de diversas fuentes clasificándose en primarias y secundarias: Primaras: mediante cuestionarios.
observaciones,
experimentos,
encuestas
o
Secundarios: bases de datos ya existentes; por ejemplo, la del INEGI o BANXICO
Generalmente la estadística se puede clasificar en dos ramas según se haga el estudio sobre todos los elementos de una población o solo sobre un conjunto de ella; diferenciándose en: Estadística descriptiva: Donde se realiza el estudio sobre la población completa, observando una característica de la misma y calculando unos parámetros que den información global de toda la población. Estadística inferencial: Se realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población llamado muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda la población. 3.2.-Probabilidad El término de probabilidad es un concepto muy vago que se usa en la vida cotidiana, es fundada en que hay buenas razones para creer que un hecho se verificara o sucederá en un evento futuro, sin dejar de lado que es un evento que sigue dependiendo del azar. El conocimiento o predicción del futuro ayuda en la toma de decisiones; por ello es importante el estudiar la aplicación de la probabilidad y de cómo medirla lo mismo que se empleara para hacer inferencias.13 Básicamente la probabilidad es en valor que se puede dar entre cero y uno, que mide la posibilidad de que cierto resultado al que llamaremos evento, pueda ocurrir. Dado a que la probabilidad también se puede concebir como una ciencia matemática, hay algunos conceptos básicos que ayudan a su comprensión: Experimento: consiste en observar los resultados en ciertas condiciones. Evento: es el conjunto de uno o más resultados de un experimento. Se puede hablar de un evento simple, que es el resultado de un espacio
13
Gutiérrez Benegas A. Probabilidad y Estadística. Primera edición (2012) Mc Graw Hill. Pág. 74.
12
muestral con una sola caracterĂstica; tambiĂŠn estĂĄ el evento conjunto, que es un resultado del espacio muestral pero con mĂĄs de una caracterĂstica.  Espacio muestral (Ί): conjunto de todos los posibles eventos o resultados que puedan ocurrir.  Punto muestral: cada uno de los elementos del espacio.
La probabilidad se puede percibir desde dos perspectivas o enfoques en los que se puede asignas como objetivo o subjetivo:  Objetivo: se basa en fundamentos matemĂĄticos (teĂłricos) para determinar la probabilidad del evento El en enfoque objetivo se divide a su vez en probabilidad clĂĄsica y probabilidad empĂrica. ClĂĄsica: se basa en la idea de que los resultados de un experimento son igualmente posibles, calculĂĄndose de la siguiente manera:
đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘?đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘™đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘˘đ?‘› đ?‘’đ?‘Łđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ =
đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œđ?‘ đ?‘“đ?‘Žđ?‘Łđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘
EmpĂrico: se basa principalmente en frecuencias relativas, esto es, el nĂşmero de veces que ocurrieron cientos eventos en el pasado, calculĂĄndose:
đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘?đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘™đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘˘đ?‘› đ?‘’đ?‘Łđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ =
đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Łđ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘œđ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘–Ăł đ?‘’đ?‘› đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘œđ?‘?đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘
 Subjetivo: basado en experiencias o conocimientos del investigador.
13
Variable aleatoria. Una variable aleatoria es una medio para describir los resultados del espacio muestral mediante la asignación de valores. En el caso de una variable aleatoria continua, los valores numéricos provienen de un intervalo continuo, es decir, no son valores específicos, sino que pueden ser cualquier valor entre dos números, 𝑎 y 𝑏 .14 Distribución normal. En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
14
Gutiérrez Benegas A. Probabilidad y Estadística. Primera edición (2012) Mc Graw Hill. Pág. 173.
14
4.- Ajuste de curvas. 4.1.- Fundamentos de Ajuste de curvas. En la ciencia y la ingenierĂa se da, a menudo, el caso de que un experimento produce un conjunto de datos (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), (đ?‘Ľ3 , đ?‘Ś3 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ), siendo los valores (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› )distintos entre sĂ y N es el total de datos observados. Uno de los objetivos es poder encontrar una fĂłrmula đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) que relacione a las variables. En el caso prĂĄctico no es posible encontrar esta funciĂłn đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) y que satisfaga exactamente todas las relaciones15: đ?‘Ś1 = đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) đ?‘Ś2 = đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) . . đ?‘Śđ?‘ = đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘ ) Por lo general, uno estĂĄ dispuesto a aceptar un "error" (y este error dependerĂĄ de cada observaciĂłn) đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ ) = đ?‘Śđ?‘˜ + đ?‘’đ?‘˜ Donde đ?‘’đ?‘˜ es el error de mediciĂłn observado en el dato. La pregunta que uno se hace es ÂżcĂłmo poder encontrar "la mejor aproximaciĂłn" que pase de los puntos? Para responder esta pregunta, hay que considerar los errores (tambiĂŠn llamados desviaciones) y estĂĄn dados como la diferencia del valor estimado por el modelo đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ ) menos el valor observado đ?‘Śđ?‘˜
15
MarĂn Salguero Rafael. MatemĂĄticas Preuniversitarias “Probabilidad y EstadĂsticaâ€? VersiĂłn 2. 2014 PĂĄg. 4.
15
Existen "normas" que se usan comúnmente para poder cuantificar la distancia que hay entre los valores estimados y los valores observados.
Como no se puede hacer que todos los errores sean cero (ese sería nuestro modelo ideal), ni tampoco se puede hacer que cada uno sea lo más pequeño posible, se tiene que hacer una combinación razonable de ellos tan pequeña como sea posible.16 Una opción muy utilizada en la literatura es la de minimizar la suma de los errores de los errores al cuadrado. Es decir, usar el método llamado mínimos cuadrados. 4.2.- Mínimos cuadrados. El principal objetivo de múltiples investigaciones estadísticas es efectuar predicciones, de preferencia basándose en ecuaciones matemáticas. El análisis numérico por medio de Mínimos cuadrados es una técnica de optimización matemática en la que dados un conjunto de puntos que incluyen una variable independiente y una dependiente se busca la función continua que mejor se aproxime a los datos, de acuerdo con criterio de minimizar el error cuadrático, a esto se le conoce como “mejor ajuste” en el sentido de mínimos cuadrados Cuando se busca la recta que se aproxime a todos los puntos, siempre se cometerán errores, lo que se pretende es minimizar lo más que se pueda estos 16
Marín Salguero Rafael. Matemáticas Preuniversitarias “Probabilidad y Estadística” Versión 2. 2014. Pág. 5
16
errores. Como no se puede hacer que todos los errores sean cero se hace una combinación razonable de ellos tan pequeña como sea posible. Minimizar los errores es difícil dado que las distancias se miden usando valores absolutos. Lo que técnicamente es más fácil, es manejar la suma de los cuadrados de los errores. Algunas formas de ajustar curvas son:
d) Polinomial e) Trigonométrico El caso más usado en la práctica es poder ajustar funciones polinomiales, ya que en este caso los parámetros serán funciones lineales fáciles de estimar. El modelo a ajustar está dado por:
Y la función R2 (la suma de los errores al cuadrado) está dada por:
La validez de la aplicación del método de mínimos cuadrados para el ajuste de curvas descansa sobre tres suposiciones sobre los errores: 1.-Independencia: requiere que los errores sean independientes unos de otros. 2.-Normalidad: requiere que los errores se distribuyan normalmente en cada valor de la variable independiente. 3.-Homoscedasticidad: requiere que la varianza de los errores sea constante; es decir requiere que tengan igual varianza. De las suposiciones anteriores podemos deducir en términos probabilísticos que el error generado se comporta como una variable aleatoria con distribución Normal con parámetros (0, sigma) Para el desarrollo del presente trabajo se utilizaron los métodos de los modelos lineales y polinomial de 4to grado.
17
4.3.- Ajuste lineal. Para entender el principio de mĂnimos cuadrados hay que considerar el planteamiento de una igualdad por medio de una ecuaciĂłn lineal, donde se pueden ver involucradas una o mĂĄs variables a la primera potencia, ademĂĄs de no contar con productos entre las variables; es decir que solamente se involucran sumas y restas de las variables a la primera potencia. Una forma comĂşn de ecuaciones lineales de dos variables considerĂĄndola en un sistema cartesiano es la ecuaciĂłn de una recta:
đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘?
đ?‘š=
đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1
DĂłnde m representa la pendiente de la recta dado dos puntos y el valor de b determina el punto donde la recta corta el eje Y (la ordenada al origen). Frecuentemente, en la prĂĄctica se disponen con mĂĄs de dos puntos dentro del sistema cartesiano, donde no todos los puntos estĂĄn dentro de una recta, pero hipotĂŠticamente todos los puntos estĂĄn cercanos a una. Donde se dan đ?‘› parejas de puntos. (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), (đ?‘Ľ3 , đ?‘Ś3 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) La recta que minimiza la suma de los cuadrados de los errores se le llama recta de regresiĂłn, recta de mĂnimos cuadrados o recta de mejor ajuste. Para plantar este problema de manera formal, consideramos đ?‘› parejas de observaciones (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) en las cuales suponemos que la regresiĂłn es lineal (esto es la ecuaciĂłn de la recta) que en algĂşn sentido dĂŠ el mejor ajuste. Existen varias formas de interpretar la palabra “mejorâ€?, y el significado que le daremos puede explicarse de la siguiente manera. La recta que mejor se ajusta a los puntos (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), (đ?‘Ľ3 , đ?‘Ś3 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) tiene la forma: đ?‘ŚĚ‚ = đ?‘š Ě‚ đ?‘Ľ + đ?‘?Ě‚ Donde đ?‘š y đ?‘? son constantes, entonces Ô?đ?‘– , el error al predecir el valor de đ?‘Ś correspondiente a la đ?‘Ľ , dada es: Ô?đ?‘– = đ?‘Śđ?‘– − đ?‘ŚĚ‚đ?‘– 18
Y queremos determinar đ?‘š, đ?‘? de tal manera que estos errores sean, en cierto modo lo mĂĄs pequeĂąo posible. En general, una “yâ€? observada diferirĂĄ de esta media; la diferencia la denotaremos por Îľ: đ?‘ŚĚ‚ = đ?‘š Ě‚ đ?‘Ľ + đ?‘?Ě‚ + Ô? AsĂ, Ô? es el valor de una variable aleatoria y siempre podemos elegir đ?‘? tal que la media de distribuciĂłn de esta variable aleatoria sea igual a cero.17
Donde las constantes đ?‘š Ě‚ (1) y đ?‘?Ě‚ (2) estĂĄn dadas por:
đ?‘š Ě‚=
đ?‘›(∑ đ?‘Ľđ?‘Ś)−(∑ đ?‘Ľ)(∑ đ?‘Ś) đ?‘›(∑ đ?‘Ľ 2 )−(∑ đ?‘Ľ)2
∑ đ?‘Śâˆ’đ?‘š Ě‚ (∑ đ?‘Ľ) đ?‘?Ě‚ = đ?‘›
(1)
(2)
4.4.- Ajuste polinomial. Este caso polinomial ya ha sido muy trabajado en la literatura estadĂstica, y se pueden construir sistemas de ecuaciones fĂĄciles de resolver para encontrar estos parĂĄmetros đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š : Este sistema de ecuaciones lineales se conocen como las "ecuaciones normales" y estĂĄn dadas por18:
17
Miller. I, Freud. J, Johnson. R. Probabilidad y estadĂstica para ingenieros. Cuarta ediciĂłn, PRENTICE-HALL ISPANOAMEICANA 1992. PĂĄg.329. 18 MarĂn Salguero Rafael. MatemĂĄticas Preuniversitarias “Probabilidad y EstadĂsticaâ€? VersiĂłn 2. 2014. PĂĄg. 7
19
O en tĂŠrminos matriciales đ?‘‹đ?‘Ž = đ?‘Ś este sistema de ecuaciones queda como:
Este sistema de ecuaciones lineales simultĂĄneas se puede resolver fĂĄcilmente usando la famosa regla de Cramer (para polinomios lineales y cuadrĂĄticos) y el mĂŠtodo de eliminaciĂłn Gaussiana (para polinomios al menos tercer grado) .Los coeficientes de la matriz los podemos encontrar si acomodamos los datos como si estuviĂŠramos trabajando en una hoja de cĂĄlculo19.
Y en este caso es necesario recurrir a la computadora para poder resolver "de manera sencilla" este sistema de ecuaciones. En este trabajo se utilizaron los sistemas algebraicos especializados de computaciĂłn WĂłlfram Alpha desde www.wolframalpha.com y QtOctave versiĂłn .8.2. AdemĂĄs de la hoja de cĂĄlculo de Windows 8, Microsoft Excel 2010.
19
MarĂn Salguero Rafael. MatemĂĄticas Preuniversitarias “Probabilidad y EstadĂsticaâ€? VersiĂłn 2. 2014. PĂĄg. 8
20
4.5.- Ajuste 4to grado. La construcciรณn de la tabla fundamental para el caso polinomial 4to grado estรก dado por:
(3)
(4)
Y las ecuaciones normales estรกn dadas por el siguiente sistema de 5 variables y 5 ecuaciones:
(5)
21
5.- Análisis de Datos. 5.1.- Aplicación de probabilidad y estadística sobre datos al modelo lineal.
Generación . 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Total de alumnos.
Datos de plantel IEMS Belisario Domínguez. Núm. Núm. Núm. De % Porcentaje Inscritos Dados de egresados de desertados. . baja. . 155 115 74.19 40 258 199 77.13 59 148 103 69.59 45 358 234 65.36 124 351 245 69.8 109 357 229 64.14 128 349 235 67.33 114 362 248 68.5 114 366 257 70.21 109 360 274 76.11 86 3064
2139
70.23%
% Porcentaje de egresados. 25.8 22.86 30.4 34.63 31.05 35.85 32.66 31.49 29.78 23.88
928
29.84%
Para el presente trabajo de análisis se consideró hacer la predicción a partir del porcentaje de desertados con respecto a generación, se consideró hasta la generación 2010 tomando en cuenta que los alumnos pueden obtener su certificación en modalidad escolarizada en un periodo de cuatro años y medio antes de pasar a ser alumnos independientes. Para el procedimiento de la construcción de la tabla fundamental del modelo lineal se ordenaron los datos del siguiente modo con hoja de cálculo: Análisis Completo.
Sumas.
y (% x (Núm. de Porcentaje generación) de desertados.) 1 74.19 2 77.13 3 69.59 4 65.36 5 69.8 6 64.14 7 67.33 8 68.5 9 70.21 10 76.11 55 702.36 22
xy
x^2
74.19 154.26 208.77 261.44 349 384.84 471.31 548 631.89 761.1 3844.8
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385
Para estimar la recta de mejor ajuste sobre los puntos en la gráfica de dispersión se calculó a m como pendiente de la recta y b como la ordenada al origen y graficando como en (1), (2). m b -0.22036364 71.448
Se calcularon dos predicciones a partir de las variables aleatorias calculadas con un programa de cómputo especializado, donde se hace una estimación considerándose panoramas en los mejores y peores casos, valorando la desviación estándar con hoja de cálculo: x y^(mejor ajuste) y 1 71.2276364 74.19 2 71.0072727 77.13 3 70.7869091 69.59 4 70.5665455 65.36 5 70.3461818 69.8 6 70.1258182 64.14 7 69.9054545 67.33 8 69.6850909 68.5 9 69.4647273 70.21 10 69.2443636 76.11 11 69.024 68.572671 11 69.024 75.37689
Errores=y-y^ 2.962363636 6.122727273 -1.196909091 -5.206545455 -0.546181818 -5.985818182 -2.575454545 -1.185090909 0.745272727 6.865636364 -0.451329 6.35289 -1.42109E-14
Varianza Desviación estándar. 18.5180255 4.30325754
23
Durante la elaboraciรณn del proyecto se considerรณ otro ajuste discriminando las primeras tres generaciones, dado que en el nรบmero de inscripciรณn no presentaba la misma tendencia con respecto a las demรกs, que se ajustan a partir de la cuarta generaciรณn en adelante. Se desarrollรณ un modelo con el mismo procedimiento, ajustรกndolo sin los primeros datos desarrollรกndose otro comportamiento: Anรกlisis sin primeros datos.
Sumas.
x Y (generaciรณn) (porcentaje de deserciรณn) 1 65.36 2 69.8 3 64.14 4 67.33 5 68.5 6 70.21 7 76.11 28 481.45
xy
x^2
65.36 139.6 192.42 269.32 342.5 421.26 532.77 1963.23
1 4 9 16 25 36 49 140
Estimรกndose para este ajuste usando (1), (2). m b 1.33678571 63.4314286
24
Graficando el segundo ajuste:
La recta y las predicciones para este modelo sin considerar los primeros datos presentaron un pron贸stico no muy distinto al ajuste completo: x y^ (mejor ajuste) y 1 64.7682143 65.36 2 66.105 69.8 3 67.4417857 64.14 4 68.7785714 67.33 5 70.1153571 68.5 6 71.4521429 70.21 7 72.7889286 76.11 8 74.1257143 74.2064729 8 74.1257143 78.8339243
Errores=y-y^ 0.591785714 3.695 -3.301785714 -1.448571429 -1.615357143 -1.242142857 3.321071429 0.0807586 4.70821 -1.42109E-14
varianza desviaci贸n est谩ndar 7.03086607 2.65157803
25
5.2.- Aplicación de ajuste polinomial 4to grado. Para hacer la comprobación de los resultados y procedimientos de los modelos lineales en el proyecto se utilizó el programa de cómputo; pero este también sirvió para rebelar mejores ajustes no lineales con márgenes de error menores. Para el ajuste completo:
Sin considerar los primeros datos:
26
Los mejores ajustes con menores parรกmetros de errores para ambos casos considerando diez y siete puntos resulto ser el modelo polinomial de 4to grado. En el despliegue del procedimiento usando hoja de cรกlculo para todos los puntos con el mejor modelo se considerรณ para la tabla fundamental usando (3), (4).
A
x X^2 X^3 X^4 X^5 X^6 X^7 X^8 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 3 9 27 81 243 729 2187 6561 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 Sumas. 55 385 3025 25333 220825 1978405 18080425 167731333 B
x y 1 74.19 2 77.13 3 69.59 4 65.36 5 69.8 6 64.14 7 67.33 8 68.5 9 70.21 10 76.11 Sumas. 55 702.36
xy 74.19 154.26 208.77 261.44 349 384.84 471.31 548 631.89 761.1 3844.8
x^2y x^3y x^4y 74.19 74.19 74.19 308.52 617.04 1234.08 626.31 1878.93 5636.79 1045.76 4183.04 16732.16 1745 8725 43625 2309.04 13854.24 83125.44 3299.17 23094.19 161659.33 4384 35072 280576 5687.01 51183.09 460647.81 7611 76110 761100 27090 214791.72 1814410.8
27
Para este modelo, la construcción de la matriz se desarrolló con el programa QtOctave para realizar (5):
Aplicando probabilidad y estadística, para la mejor predicción: Mejor ajuste y(x)=-0.0108712x^4+0.282391x^3-1.99165x^2+2.66236x+74.3883 x y^ y Errores= y-y^ 1 75.3305298 74.19 -1.1405298 2 73.8316088 77.13 3.2983912 3 71.1945198 69.59 -1.6045198 4 68.4613368 65.36 -3.1013368 5 66.413225 69.8 3.386775 6 65.5704408 64.14 -1.4304408 7 66.1923318 67.33 1.1376682 8 68.2773368 68.5 0.2226632 9 71.5629858 70.21 -1.3529858 10 75.5259 76.11 0.5841 11 79.3817918 79.2514228 -0.130369 11 79.3817918 86.7559218 7.37413 -0.0002154 Varianza. Desviación estándar. 4.60055372 2.144890141
28
Grafica de mejor ajuste completo:
La construcciĂłn de la tabla fundamental para el modelo de siete puntos de desarrollo de la siguiente manera como en (3), (4): A
x X^2 X^3 X^4 X^5 X^6 X^7 X^8 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 3 9 27 81 243 729 2187 6561 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 Sumas 28 140 784 4676 29008 184820 1200304 7907396 B
y xy 65.36 65.36 69.8 139.6 64.14 192.42 67.33 269.32 68.5 342.5 70.21 421.26 76.11 532.77 Sumas 481.45 1963.23
x^2y x^3y x^4y 65.36 65.36 65.36 279.2 558.4 1116.8 577.26 1731.78 5195.34 1077.28 4309.12 17236.48 1712.5 8562.5 42812.5 2527.56 15165.36 90992.16 3729.39 26105.73 182740.11 9968.55 56498.25 340158.75
El sistema de ecuaciones se ordena en tĂŠrminos matriciales y desarrollĂĄndola con el programa especializado para desarrollar con formula (5):
29
Desarrollando con hoja de c谩lculo la predicci贸n para este modelo: Mejor ajuste y(x)= -0.0721212x^4+1.32005x^3-7.74917x^2+17.2679x+55.0214 x y^ (mejor ajuste) y Errores= y-y^ 1 65.7880588 65.36 -0.4280588 2 67.9669808 69.8 1.8330192 3 66.8821028 64.14 -2.7421028 4 66.1264528 67.33 1.2035472 5 67.56215 68.5 0.93785 6 71.3204048 70.21 -1.1104048 7 75.8015188 76.11 0.3084812 8 77.6748848 77.6560762 -0.0188086 8 77.6748848 81.0707748 3.39589 0.0023312 Varianza Desviaci贸n est谩ndar 2.45309478 1.566235863 Graficando el modelo:
30
Conclusiones. Como resultado de la investigación probabilística y estadística presentada a partir del fenómeno de deserción escolar dentro de la población estudiantil del IEMS plantel Belisario Domínguez que se expone en el proyecto, se hicieron predicciones a partir de distintos modelos matemáticos de cómo evoluciona el comportamiento del fenómeno. En un primer análisis (modelo lineal) se observa que la deserción presentaría un comportamiento decreciente en los pronósticos más favorables, pero en el más desfavorable la deserción va en aumento. En el desarrollo del proyecto se consideró descartar algunos datos ya que no tenían las mismas características a pesar de pertenecer a la misma población, cuando se excluyeron los datos el nuevo modelo lineal generó menor error y rebeló que sin importar el modelo o las consideraciones de la predicción, la deserción va en aumento. Durante el proyecto se utilizaron programas de cómputo especializados para hacer comprobaciones de los procedimientos empleados, el programa de cómputo ayudó a proponer un mejor modelo (modelo polinomial) que presentaba un margen de error aún menor al primer modelo. A lo largo de la construcción del análisis se obtuvo que el mejor modelo matemático fue el modelo polinomial de grado 4 en el que se descartaron los datos referentes a las tres primeras generaciones porque se acercó más a los datos reales y por lo tanto permite una predicción con un menor margen de error. No obstante, en todos casos, se observa una tendencia de crecimiento de deserción, aun considerando las posibilidades más optimistas. El objetivo esperado de un análisis a partir de Probabilidad y Estadística es hacer predicciones, y con base a esas predicciones advertir mejores decisiones; para el caso de este proyecto con respecto a los resultados, fundamentar la problemática con este tipo análisis puede ser un primer paso para empezar a tomar medidas para atender la problemática y reflexionar la importancia a corto y largo plazo de cómo puede afectar a la deserción a la población estudiantil.
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Bibliografía. 1.- Congreso de los Estados Unidos Mexicanos. Diario oficial de la Federación, Ley General de Educación, última actualización DOF 19-12-2014. 2.-Real Academia Española, Diccionario de la Real Academia Española, vigésima segunda edición, tomo 4,5, España, ESPOSA (2001). 3.-Gutiérrez Benegas A. Probabilidad y Estadística. Primera edición (2012) Mc Graw Hill. 4.-Marín Salguero Rafael. Estadística” Versión 2. 2014
Matemáticas
Preuniversitarias
“Probabilidad
y
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