Anteproyecto pelm1 2 by PDLM

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR (S.E.S.)

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO

(U.N.A.D.M.)

DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENÍERIA Y TECNOLOGÍA (D.C.E.I.T.)

“Análisis de la Deserción Escolar en el Instituto de Educación Media Superior del D.F. mediante el ajuste de curvas por mínimos cuadrados." REPORTE DEL ANTEPROYECTO TERMINAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

PRESENTA EL ALUMNO SUSTENTANTE: C. Pedro Daniel Lara Maldonado CONTANDO CON LOS DIRECTORES ASESORES SIGUIENTES: ASESOR INTERNO: Lic. en Act. y Mtro. en Tec. para el Apr. Carlos Quiroz Lima ASESOR EXTERNO: Lic. en Mat. Beatriz Carrasco Torres

Elaborado en: México, Distrito Federal, D.F. ,2015

CONTENIDO Presentación

•

Descripción breve de lo que se va a realizar, en donde se contemple

•

Problema o necesidades por atender

•

Línea o temática de estudio en la que se inscribe el proyecto

•

Delimitación del alcance del proyecto

Resumen

II.

Que explique los: •

Motivos

•

Metodología

•

Resultados esperados

Debe incluir tres palabras clave, y su extensión no debe exceder las 200 palabras. III.

Diagnostico

En donde se identifica de manera general el problema que se enfrenta y que se abordará con el proyecto a realizar. El problema debe formularse en términos de necesidad. La formulación del diagnóstico en este documento deberá ser operativa y estar construida de manera clara, abordando procesos y no datos aislados o sueltos. Es decir describir cual es la situación actual donde se realiza el proyecto y de manera muy general el problema que van a dar respuesta (mínimo 3 cuartillas) IV.

Planteamiento del problema

Con base del diagnóstico, identificar o enfocar el problema central que se pretende atender, sus relaciones y posibles causas y relación con otros problemas. Es decir explicar y describir detalladamente porque es necesario dar respuesta a tal problema a través de sus orígenes, causa y consecuencias, así como las

variables a utilizar es decir cuantitativas o cualitativas a utilizar (mínimo 5 cuartillas) V.

Justificación

Se resalta la Importancia del problema a resolver, y se explica porque esta alternativa resulta ser la más recomendable respecto a otras situaciones problemáticas que requieren atención. Es importante considerar que el proyecto se enmarque en alguno de los siguientes ámbitos: 

Institucional: a partir del Plan Nacional de Desarrollo, del plan estatal y el Plan Institucional o de la entidad, siendo este último el marco normativo mínimo que deberá incluirse, lo cual permitirá la identificación de su contribución.



Social: se refiere a los beneficios económicos, organizativos, políticos, etc., de la comunidad en general.

En este apartado se argumentara que existe una necesidad y que existe un problema que puede ser solucionado; asimismo, se señala cómo el proyecto contribuirá a satisfacer esa necesidad y a resolver el problema. Es decir explicar porque es necesario dar respuesta a tal problema, cuales son los beneficios obtenidos, a quien benefician los resultados, que provecho y alcance tienen los resultados obtenidos, etc.(mínimo 2 cuartillas) VI.

Objetivos, metas

Se debe cuidar que se expresen en verbos operativos. Los objetivos y metas son logros que se quieren alcanzar con la ejecución del proyecto por lo que deben ser claros, factibles y pertinentes. Se deben plantear con claridad y precisión como respuesta sobre lo que se pretende alcanzar. Las metas se establecen en términos cuantitativos, tienen que ser alcanzables en función de la duración del proyecto, y deberá ser posible su medición de manera objetiva a través de •

Un objetivo general: Que es el título de su proyecto con el verbo en infinitivo

•

Pregunta de investigación: Esta se obtiene al convertir el objetivo general en pregunta, de esta pregunta sacan el problema y desarrollan el planteamiento del problema

•

Varios objetivos particulares: Que son las acciones que ayudaran a realizar el objetivo general

•

VII.

Las metas que pretenden obtener.

Fundamentación del Marco Teórico

Se incluye el bosquejo del contenido teórico que gira alrededor del problema. Se señalan enfoques realizados por otros autores por medio de investigaciones de la problemática o de otros proyectos que abordaron temas similares y conceptos, siempre obtenidos de fuentes fidedignas. VIII.

Cronograma

Indica la temporalidad del proyecto e incluye las acciones articuladas de cómo se va a llevar el proyecto, además de su tiempo de ejecución. IX.

Recursos

Se describen de manera general, pero muy clara, los recursos que se necesitan para llevar a cabo cada una de las acciones planteadas. Deberán estimarse recursos humanos, tecnológicos y materiales necesarios para su desarrollo, dependiendo de las características. Aquí se describe detalladamente las acciones que se llevaran a cabo para elaborar el proyecto de los sujetos participantes (características y selección), los instrumentos y procedimientos a emplear. Se definen las estrategias y el posible análisis de los resultados señalando los medios utilizados, como por ejemplo, software para análisis de datos, etc. Aquí se detalla la Herramienta Matemática que ayudara a resolver el problema o necesidad de la entidad. Es importante tener en cuenta que en esta asignatura, Proyecto Terminal I el alumno deberá entregar el protocolo del proyecto definitivo, ya que en esta

asignatura siguiente, Proyecto Terminal II, deberá instrumentarlo en la entidad, sistematizar resultados y elaborar el reporte final de su proyecto terminal).

Referencias bibliográficas

Se describe las citas, referencias y notas aclaratorias para dar cuenta de las fuentes de consultadas en las que se apoya, deberán apegarse al estilo APA (American Pshycological Association). En esta sección se pone los libros de textos científicos consultados donde sustenta este proyecto que se está realizando.

XI.

Referencias serigráficas.

Se ponen en esta sección los artículos de revista, las publicaciones de algunas tesis y tesinas de otras instituciones de educación media superior y superior que fueron consultadas para este proyecto.

XII.

Referencias cibergráficas

En esta sección se ponen algunas publicaciones y noticias sacadas del internet que sirven de apoyo para sustentar este trabajo de proyecto de titulación para esta licenciatura en Matemáticas.

Presentación

Descripción breve de lo que se va a realizar y en donde se contemple En la instancia gubernamental de la Secretaría de Educación del Gobierno del Distrito Federal SEDU DF en la dependencia del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal IEMS DF que se ubica en Av. La Corona No. 436, Col. La Palma, C.P.:07160, en la delegación Gustavo A. Madero GAM . PREGUNTA DE INVESTIGACION ¿Cuáles son los factores dependientes de la Institución Educativa que conducen a la deserción escolar en los estudiantes en cada plantel de la dependencia del Instituto de Educación Media Superior del Gobierno del Distrito Federal?

El problema o las necesidades por atender La deserción escolar en la educación media superior en este instituto de esta entidad federativa, es un grave problema para el desarrollo poblacional del Distrito Federal, a razón de que implica una conducta de riesgo entre sus habitantes, esto implica gastos presupuestales; que esto trae como consecuencia pérdidas económicas a nivel local respecto a las oportunidades de trabajo y esto realmente afecta a nivel familiar, en los ingresos salariales que sustenta una mejor calidad de vida para los parientes e individual, es decir en la superación personal de tener mejores oportunidades en el quehacer cotidiano. En esta dependencia del IEMS DF, por parte de la Subdirección de Coordinación nos proporcionan los siguientes datos generacionales de sus alumnos y alumnas en sus respectivas modalidades que ofrecen en esta dependencia que es: •

La Modalidad Escolarizada: desde que se fundó esta institución por parte del Gobierno del Distrito Federal en la administración del Lic. Andrés Manuel López Obrador que dio inicio en el año 2001 hasta este año 2015.

•

La Modalidad SemiEscolarizada: desde que se instituyo y se aprobó en esta dependencia por parte del Gobierno de la Ciudad de México en la administración del Lic. Marcelo Ebrard que dio inicio en el año 2007 hasta este año 2015 Esta necesidad por atender en esta dependencia local se hará

respectivamente en los siguientes ámbitos que se mencionaran a continuación (este es el último estudio que se ha realizado en el Distrito Federal o Ciudad de México, en cada una de los planteles delegaciones que la conforman en esta capital mexicana): •

Estudiantes inscritos por Ciclo Escolar en la Modalidad Escolarizada

DELEGACIÓN Gustavo A. Madero Iztapalapa Xochimilco Miguel Hidalgo Milpa Alta Iztacalco Tlalpan Álvaro Obregón Magdalena Contreras Iztapalapa Iztapalapa Iztapalapa Tláhuac Venustiano Carranza Cuajimalpa Azcapotzalco Tlalpan Coyoacán Gustavo A. Madero Álvaro Obregón

•

PLANTEL 2001-2002 2002-2003 2003-2004 2004-2005 2005-2006 2006-2007 2007-2008 2008-20092009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 2013-2014 2014-2015TOTAL Belisario Domínguez 150 257 148 358 350 354 349 358 361 353 354 357 343 353 4445 Benito Juárez 151 355 247 346 345 350 342 343 357 382 361 360 354 356 4649 Benardino de Sahagún 154 208 249 354 329 342 375 351 357 391 359 351 369 351 4540 Carmen Serdán 148 162 154 312 286 360 335 345 356 335 340 346 321 319 4119 Emiliano Zapata 154 138 154 296 348 353 357 350 341 367 351 352 311 348 4218 Felipe Carrillo Puerto 153 140 192 360 339 342 341 353 358 373 360 355 344 415 4425 Gral. Franciso J. Múgica 145 350 245 372 352 351 347 353 357 387 357 366 349 375 4706 Gral. Lázaro Cardenas del Río 152 350 199 377 346 340 353 350 359 354 361 351 373 405 4670 Ignacio Manuel Altamirano 144 134 155 359 344 350 349 353 351 374 361 359 348 401 4382 Iztapalapa 1* 850 235 213 364 342 324 345 356 349 355 353 342 330 381 5139 Iztapalapa 3** 153 240 222 313 298 1226 Iztapalapa 4**** 290 187 169 150 796 Jose Ma. Morelos Pavón 149 349 250 349 344 350 351 349 343 381 355 358 375 407 4710 José Revueltas Sánchez *** 157 181 76 103 178 106 165 178 1144 Josefa Ortiz de Domínguez 142 160 258 360 348 326 365 356 355 358 357 368 329 387 4469 Melchor Ocampo 135 85 180 369 341 359 363 346 346 352 331 352 341 390 4290 Otilio Montaño 145 272 256 359 362 348 348 347 353 380 361 361 359 379 4630 Ricardo Flores Magón 141 309 250 341 332 337 344 357 356 383 365 363 376 367 4621 Salvador Allende 149 215 251 371 335 352 341 356 354 368 351 352 328 416 4539 Vasco de Quiroga 240 164 152 152 708 TOTAL 3062 3719 3401 5647 5443 5538 5762 5804 5729 6149 6625 6372 6349 6826 76426

Estudiantes inscritos por Ciclo Escolar en la Modalidad Semiescolarizada

PLANTEL 2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 2011-2012 2012-2013 2013-2014 2014-2015 TOTAL Belisario Domínguez 206 213 60 62 120 119 126 150 1056 Benito Juárez 231 218 176 59 119 114 143 136 1196 Benardino de Sahagún 249 188 85 60 120 120 118 100 1040 Carmen Serdán 170 118 67 47 41 52 66 67 628 Emiliano Zapata 80 104 50 61 47 62 88 101 593 Felipe Carrillo Puerto 154 236 53 60 118 114 109 111 955 Gral. Franciso J. Múgica 238 181 157 64 121 121 108 124 1114 Gral. Lázaro Cardenas del Río 125 127 71 62 76 71 102 63 696 Ignacio Manuel Altamirano 317 121 85 62 121 121 145 183 1155 Iztapalapa 1* 165 200 109 62 93 60 102 117 908 Iztapalapa 3** 0 Iztapalapa 4**** 0 Jose Ma. Morelos Pavón 209 210 128 60 118 115 108 113 1061 José Revueltas Sánchez *** 0 Josefa Ortiz de Domínguez 52 177 57 61 54 48 97 75 621 Melchor Ocampo 145 103 103 60 58 42 72 57 640 Otilio Montaño 116 185 149 60 99 126 105 69 909 Ricardo Flores Magón 428 152 151 60 119 119 159 181 1369 Salvador Allende 308 122 52 56 117 113 117 116 1001 Vasco de Quiroga 0 TOTAL 3193 2655 1553 956 1540 1517 1765 1763 14942

OBSERVACION Estos planteles no imparten la modalidad semiescolar.

•

El porcentaje de estudiantes egresados en sus dos modalidades por ciclo escolar en cada plantel

PLANTEL PORCENTAJE % EGRESADOS ESCOLAR PORCENTAJE % EGRESADOS SEMIESCOLAR PORCENTAJE % TOTAL EGRESADOS Belisario Domínguez (G.A.M.1.) 28.46 26.54 28.15 Benito Juárez (Iztap.2.) 28.21 21.48 26.94 Benardino de Sahagún (Xoch.) 33.09 21.17 30.98 Carmen Serdán (M.H.) 22.71 10.3 21.16 Emiliano Zapata (M.A.) 26.12 29.7 26.48 Felipe Carrillo Puerto 31.15 23.54 29.88 Gral. Franciso J. Múgica (Tlal.1.) 24.96 17.12 23.54 Gral. Lázaro Cardenas del Río (A.O.1.) 19.24 22.03 19.58 Ignacio Manuel Altamirano (M.C.) 28.85 34.1 29.82 Iztapalapa 1* (Iztap.1.) 23.33 25.83 23.67 Iztapalapa 3** (Iztap.2.) 12.2 12.2 Iztapalapa 4**** (Iztap.4.) 25.37 25.37 Jose Ma. Morelos Pavón 29.12 26.9 28.73 José Revueltas Sánchez *** (V.C.) 23.85 23.85 Josefa Ortiz de Domínguez 19.16 14.48 18.66 Melchor Ocampo 23.55 18.4 22.9 Otilio Montaño (Tlal.2.) 26.98 14.69 25.03 Ricardo Flores Magón 22.36 19.14 21.68 Salvador Allende (G.A.M.2.) 29.04 20.31 27.57 Vasco de Quiroga (A.O.2.) 15.35 15.35 TOTAL 25.77 21.87 25.17

OBSERVACION Estos planteles no impárten la modalidad semiescolar. •

El número de estudiantes que desertaron (que se dieron de baja) por ciclo escolar en sus dos modalidades por plantel

Año Ingreso

Obsevacion 2001 BAJA POR EL IEMS 2002 BAJA POR EL IEMS 2003 BAJA POR EL IEMS 2004 BAJA POR EL IEMS 2005 BAJA POR EL IEMS 2006 BAJA POR EL IEMS 2007 BAJA POR EL IEMS 2008 BAJA POR EL IEMS 2009 BAJA POR EL IEMS 2010 BAJA POR EL IEMS 2011 BAJA POR EL IEMS 2012 BAJA POR EL IEMS 2013 BAJA POR EL IEMS 2014 BAJA POR EL IEMS

A.O.1. A.O.2. Azcapotzalco Coyoacán Cuajimalpa G.A.M.1. G.A.M.2. Iztacalco Iztap.1. Iztap.2. Iztap.3. Iztap.4. M.C. M.H. M.A. Tláhuac Tlal.1. Tlal.2. V.C. Xoch. 8 17 7 7 17 2 4 13 2 17 23 8 7 9 5 12 6 2 19 4 49 14 16 21 6 40 56 11 16 6 23 35 12 12 20 20 70 18 9 39 22 25 65 22 13 20 30 26 13 21 59 77 127 49 56 78 35 65 93 69 48 47 53 108 48 73 112 84 98 97 81 96 73 78 115 69 90 78 73 54 81 87 112 61 102 94 67 64 60 12 104 96 95 93 73 58 98 82 61 87 126 99 84 53 69 104 101 82 107 60 87 54 107 27 113 48 84 74 66 68 46 53 88 80 90 127 59 86 26 113 25 81 43 25 45 53 46 58 80 80 55 89 4 35 39 61 69 42 85 85 65 19 114 74 12 61 56 21

Aquí vemos que el número de alumnos y alumnas que desertaron en este instituto de educación media superior del Distrito Federal a partir del 2003 hasta al 2010 va en aumento. Aunque el Distrito Federal (DF) es una de “Las entidades que tienen una mejor condición socioeconómica y cultural”, según el Índice de Estatus Económico, Social y Cultural (ESCS) generado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) (Amador, 2008), podemos encontrar que las Preparatorias del Gobierno del Distrito Federal (GDF) tienen muy pocos alumnos egresados, lo cual es un asunto que “tiene que analizarse y valorarse con cuidado y con honestidad”, como dice Manuel Pérez Rocha (2014). Por lo que en este presente trabajo se utilizará el método de mínimos cuadrados, que este es adecuado cuando la variable de respuesta sólo tiene dos resultados posibles, llamados, en forma genérica, “éxito” y “fracaso” y se representan por

y 1 .

El método de los mínimos cuadrados es uno de los muchos métodos estadísticos que se utilizan para estimar el valor de uno o más parámetros desconocidos en un modelo probabilístico Además, este presente trabajo busca encontrar las variables más importantes que inciden en la deserción escolar, así como proveer de resultados para que, de ser necesario, se puedan realizar políticas públicas para reducir la deserción. La línea o temática de estudio en la que se inscribe el proyecto En la etapa de la Deserción Escolar en el Nivel Medio Superior en el Distrito Federal en todos los planteles que lo conforman. En el subsistema del Área de Matemáticas en el Análisis Estadístico y Probabilístico. La Delimitación del alcance del proyecto ¿En qué va a consistir el Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar en el Nivel Medio Superior en el Distrito Federal en todos los planteles que lo conforman? En utilizar el principio del método de mínimos cuadrados mediante el ajuste de curvas basado en un método de estimación que a veces se utiliza en forma preliminar que consiste en utilizar el diagrama de dispersión para dibujar la recta, que mejor parezca representar la tendencia de datos. Es evidente que las distancias intervienen en el método; el usar cuadrados de distancias en lugar de valores absolutos resulta práctico desde el punto de vista del cálculo y de la teoría. Este método analítico, cuya técnica empleada es para obtener la ecuación de regresión, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores verdaderos o valores observados de pronosticados o valores estimados de Min ∑ (Y −Y ´ )

; es decir

y los valores

Considerando que en este principio del método de mínimos cuadrados mediante al ajuste de curvas se basara en el análisis de la regresión que cuya técnica es empleada para desarrollar la ecuación dada anteriormente y con esto dar las estimaciones; esto quiere decir que se usa para estimar valores de una variable a partir de otra con la cual está relacionada estadísticamente. Esto es que minimicen la suma de cuadrados de las longitudes de los segmentos de las líneas verticales que unen los datos observados con la recta estimada en la gráfica de dispersión. La técnica de mínimos cuadrados es un ejemplo clásico de manejo de datos. La entrada consiste en un conjunto de puntos y la salida es un modelo que, con un número relativamente reducido de parámetros, se ajusta a los datos tanto como sea posible. Por lo general, la razón para utilizar mínimos cuadrados es reemplazar los datos problemáticos con un modelo convincente. Después, el modelo suele utilizarse para predecir señales o con fines de clasificación. La idea del método es dar un estimador de la media, encontrando el valor “más cercano” a los datos. II.

Resumen

Motivos El Método de Mínimos Cuadrados puede proporcionar resultados aceptables, sobre todo si la tendencia de los datos es muy marcada, esto hace preferible el método, a razón del uso de la distancia vertical (en lugar de la distancia más corta). El Método de Mínimos Cuadrados se necesita en este caso porque es un procedimiento matemático para determinar la recta de regresión muestral de ajuste a los datos muéstrales. El Método de Mínimos Cuadrados consiste en encontrar una función analítica sencilla que represente el comportamiento general de los datos, aunque la curva propuesta no pase por todos y cada uno de los puntos en cuestión. Este modelo de ajuste de curvas por mínimos cuadrados se puede aplicar en este caso:

•

Para saber cuál es el contexto actual en el que se encuentra el nivel de cada respectivo plantel en el Distrito Federal.

•

Para tomar medidas preventivas en el sentido de predecir la deserción escolar y dar alternativas factibles de cambio en esta entidad federativa del Distrito Federal, en este nivel educativo de la media superior.

Metodología La probabilidad es un modelo matemático para estudiar la regularidad estadística de los fenómenos aleatorios. Los fenómenos al estudiarse muchas veces en condiciones constantes presentan sus diferentes modalidades en frecuencias relativas o proporciones muy estables, a esto se le llama regularidad estadística. A estos fenómenos se les llama aleatorios porque son aquellos donde no es posible hacer predicciones del estado final. Sin embargo no hay modelos matemáticos que liguen las propiedades del fenómeno en forma exacta. No hay modelos matemáticos que liguen las propiedades del fenómeno en forma exacta. Por lo que entonces se puede caracterizar la aleatoriedad mediante la regularidad estadística para: a) Hacer predicciones sujetas a error: Donde predeciremos la deserción

escolar de los estudiantes en el IEMS del D.F. y consideraremos también el número de alumnos desertores en este Instituto de Educación Media Superior en el D.F. b)

Comparar la modalidad de fenómenos aleatorios.

Por lo que entonces decimos que el Método de Mínimos Cuadrados se basará y se relacionara con los modelos siguientes que son: el Modelo teórico que este es considerado para este análisis como: “Logit bivariado” y el Modelo de Regresión. Modelo Teórico

Para analizar la probabilidad de deserción escolar se considera un modelo “logit bivariado”. La variable dependiente toma los valores de Y =0

desertor y

Y =1 cuando es

cuando no lo es. Para este análisis se puede plantear la

siguiente ecuación sobre deserción escolar:

P i=E ( Y =1∨ X i )=

1 − (α + βX )

1+e

…(1)

Donde el subíndice representa al alumno individuo como

i=1,. .. , n y

un vector de variables explicativas que contiene las diferentes características económicas, sociales y culturales del adolescente tanto del desertor como del no desertor. La ecuación P i=

…(1) también se puede escribir como:

1 et = …(2) 1+e−t 1+ et i

Donde se define para La ecuación

…(2)

t i=α + β X

se le conoce como la función de distribución logística. Tal

como lo plantea Gujarati (2005: 595), es sencillo demostrar que si la variable se encuentra en un valor de oscilará entre X

,ni en alfa

y 1 . α

−Y

hasta +Y , entonces la variable

Dado que el modelo no es lineal, ni en el vector

, ni en beta

β , decimos entonces no se puede ocupar el

procedimiento de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), aunque este problema puede resolverse linealizándose.

, es la probabilidad de ser desertor que esta dada por la ecuación (1−P i ) , es la probabilidad de no desertar, esto es

anterior, entonces 1−P i=

1 … (3) 1+e t i

Que se puede reescribir de la siguiente forma: t Pi 1+e = =et …(4) −t 1−P i 1+ e i

Ahora

Pi (1−P i )

es el coeficiente de probabilidades de desertar. Si se toma el

logaritmo natural de la ecuación

…(4) , se puede obtener un resultado

importante que definira crucialmente este proyecto: Li =¿

Pi =t i=α + βX …( 5) 1−P i

( )

Lo que permite encontrar que no solo el vector de las

es lineal sino

también lineal en los parámetros.

Modelo de Regresión En los casos de análisis de regresión se admite que la relación poblacional promedio entre la variable dependiente (denotada usualmente por la letra la variable independiente (denotada por la letra

x ) es lineal.

y )y

Puesto que deseamos determinar el valor medio de μy∙x

x , tendremos interés en la esperanza valores

para un valor dado

para un valor dado de

que representa “la media de los

x .”

Para escribir una ecuación que represente la relación poblacional lineal entre x

y la media de loa valores de

necesitamos conocer su pendiente se usa la letra griega

y su intersección con

(beta) para denotar la pendiente y la y

denotar la intersección con el eje x

llamada recta de regresión poblacional

se denota mediante el símbolo

. El valor medio de μ y∙x

. Generalmente α

(alfa) para

para un valor dado

Así la recta de regresión poblacional puede escribirse de la forma siguiente: Recta de regresión poblacional: La diferencia entre

μ y ∙ x =α + βx …(1)

μy∙x

, depende de la precisión con que el modelo de

regresión describa la situación del mundo real y de la precisión con que se midan las variables

y .

Además mencionemos que otra diferencia entre

μ y∙x

es el elemento

imprevisible en el análisis de regresión. Esta diferencia suele llamarse error aleatorio y se denota por

εi

Esto es ε i = y i− μ y ∙ x

y i= μ y ∙ x +ε i …(2)

Usando la fórmula Poblacional.

…( 2)

para describir el llamado Módelo de Regresión

Este modelo consta de todos los términos cuya suma es igual a y i= μ y ∙ x +ε i

Sustituyendo

en …(1) obtenemos y i=α+ β x i + ε i …( 3)

El modelo de regresión poblacional

La única forma de determinar la naturaleza de tal relación (poblacional) es hacer uso de datos tomados en el pasado (información muestral). Si se puede determinarse que existen determinados factores que estuvieron relacionadas con las situaciones en el pasado, entonces esta información puede ser útil para separar a los postulantes potencialmente exitosos de que aquellos que parecen tener menos posibilidades. De aquí consideremos la forma que esta recta muestral está relacionada con la recta de regresión poblacional dada en

…(1) en:

•

El valor muestral de

es nuestra mejor estimación de

α .

•

El valor muestral de

es nuestra mejor estimación de

β.

a ,b

Con los valores de y ; denotado por

μy∙x

poblacional

y con un valor dado de

x , se produce un valor de

̂y , el cual constituye nuestro mejor estimador del valor

, es decir tiene la forma

̂y =a +bx …(4) A estas variables puede agregárseles el subíndice

para indicar que se trata

de valores específicos. Así, si

es un valor especifico de

(que es la mejor estimación de

μ y∙x

x , la ecuación que se para hallar

para este valor de

x ) es

̂ y i=a+b x i

Luego definimos un término de error que este caso es la diferencia entre el valor de predicción

̂ yi

y el valor real

̂ yi

Para denotar a nuestro mejor estimador del valor poblacional el símbolo

εi

utilizaremos

En el análisis de la regresión los valores

se llaman usualmente residuos,

ya que representan lo que “se deja”, o queda inexplicado; después de usar el valor ̂ yi

para estimar el valor real

Esto es Residuo:

e i= y i −̂ yi

o bien

Si utilizamos el estimador

y i= ̂ y i +e i

̂ y i= y i −e i

…(4) obtenemos el

en la formula

Modelo de Regresión Muestral: Tiene la forma

y i=a+b x i+ ε i …(5)

Ahora que hemos especificado estos modelos de regresión muestral y poblacional necesitamos de un procedimiento para determinar los valores de y b

que constituyen las “mejores” estimaciones de

β . El

procedimiento para hallar tales estimaciones se llama Método de los Mínimos Cuadrados. Estimación de

por el Método de Mínimos Cuadrados.

Entonces para determinar la recta de regresión muestral de mejor ajuste consiste en representar los datos en un diagrama de dispersión. Esta gráfica de diagrama de dispersión además de permitirnos precisar objetivamente si puede trazarse una recta adecuada, para describir los datos, nos puede servir también para hacer una estimación aproximada de

β .

Resultados esperados La dificultad para establecer tal procedimiento del Método de los Mínimos Cuadrados está en determinar el criterio para definir el “mejor ajuste”.

Pero, sin embargo para hallar la recta de mejor ajuste, determinaremos los valores de

y b

que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos.

Este procedimiento se conoce como el Método de los Mínimos Cuadrados, puesto e i= ̂ yi − yi

que los residuos están representados por

dicho esto se define de la

manera siguiente: Estimación por el Método de Mínimos Cuadrados: n

i=1

i =1

Minimizar ∑ e 2i =∑ ( yi −̂ y i )2 …(6)

La recta de regresión muestral determinada minimizando

∑ e 2i

se llama recta

de regresión mínimo-cuadrática. Esta ecuación debe satisfacer la condición de minimizar la suma de las

desviaciones o residuos

e ¿ ¿ ) del comportamiento de cada par de datos discretos, ¿

con respecto al modelo propuesto, elevadas al cuadrado, es decir: n

∑ e 2i =0 i=1

Puesto que

̂ y i=a+b x i

entonces se debe minimizar:

∑ e 2i =∑ ( y i− ̂y i ) 2 Equivale a minimizar n

∑ [ y i −( a +b x i ) ]

i=1

Esto quiere decir que mediante la minimización de n

∑ ( Y i−Ŷi )2 i=1

Se obtienen buenas representaciones de la relación entre

y Y .

Teniendo en cuenta todo lo mencionado con anterioridad se hará la prueba de realizar un ajuste a los datos presentados por medio de un modelo respectivo que se definirá como: •

Modelo lineal

•

Modelo cuadrático

•

Modelo Polinomial

•

Modelo Exponencial

Después de esto tomaremos el mejor ajuste para el análisis de datos de la deserción escolar en esta dependencia del IEMS-DF. Este análisis se describirá para las predicciones generacionales a través del cálculo del error; que este error sea lo más exacto posible, es decir un error mínimo para encontrar el mejor ajuste para los datos presentados e inferir que acciones se debe llevar a cabo para cada situación respectiva en sus modalidades de estudios. III.

Diagnostico

Este presente trabajo de investigación es un análisis de la educación escolar, que, en general, constituye la construcción de las capacidades de los individuos por medio de un método ordenado, no obstante a su vez esta educación se desenvuelve dentro de un contexto y condiciones específicos de tiempo y espacio, donde los alumnos se desarrollarán para poder aportar bienestar a su sociedad, extendiendo y aportando los medios científicos, tecnológicos, humanísticos y artísticos. En este proceso de educación se presenta la problemática, de que en algún punto se deja inconcluso este poseso por parte del alumno, la cual llamaremos deserción; este asunto se ha estado desenvolviéndose principalmente en el nivel medio superior, ya que este periodo se caracteriza por el desarrollo de la adolescencia, y, durante esta etapa los individuos presentan muchos cambios tanto físicos como psicológicos y además de que el entorno donde se desarrolla puede ser un factor determinante que influya en la educación, pudiendo generar deserción.

El propósito de esta investigación es hacer predicciones de cómo evoluciona este fenómeno de la deserción poblacional de los alumnos y alumnas , específicamente a nivel medio superior, utilizando modelos matemáticos para sustentar tales predicciones, que en este caso se ocupara el Método de Ajuste de curvas por mínimos cuadrados. Willms y Echols (citados por Dale, 2004), mencionan que “el desempeño de las escuelas es condicionado por las categorías de alumnos que las frecuentan”, y si observamos que en el Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal (IEMS-DF) atienden a una población marginada, podemos decir que su avance académico está siendo pausado por sus condiciones económicas, sociales y culturales, lo cual se reflejado en el bajo nivel de egreso que tiene la institución. Juan Carlos Amador Hernández (2008), menciona que “El desempeño de los estudiantes varía en función de diversos factores que van desde los individuales (aspectos psicológicos, motivación, hábitos de estudio), los del entorno inmediato de los estudiantes (escuela, condiciones socioeconómicas y culturales de las familias) o los del contexto de un país, entidad o modalidad”, y advierte que “Un factor de especial relevancia es la condición socioeconómica y cultural de las familias de los estudiantes”. Al respecto, Manuel Pérez Rocha (2014), señala que en México, el sistema escolar opera en un contexto sociocultural miserable, caracterizado por la frivolidad y la falta de valores intelectuales, civiles, éticos y estéticos, lo que determina en gran medida los malos resultados de la educación formal. A pesar de la existencia de la autoexclusión educativa, Mara Robles (citada por Hernández, 2013), señaló que, al menos en el DF, los 46 mil jóvenes en edad de cursar el bachillerato que no están en la escuela, no se deben a “la falta de lugares en las instituciones que brindan esta educación sino que la mayoría de los jóvenes sólo quieren estar en los bachilleratos de la UNAM y el IPN”. aunque muchos jóvenes que terminaron de estudiar la secundaria y realizaron el examen único de ingreso al bachillerato, también se registran en el sorteo para ingresar a las Preparatorias del GDF nada más “por si las moscas”, es decir, por si no se quedan en el bachillerato que ellos quieren, y para probar su suerte: “Quién quita y

pega”, tal como lo dijo Doña Raquel, madre de Wendy Araceli, una de las aspirantes a ingresar al IEMS-DF durante el primer sorteo que se realizó, la cual desafortunadamente no salió seleccionada (Sanders, 2001). Por ello, Mara Robles dijo que “se buscará que el Instituto de Educación Media Superior a cargo de las 20 preparatorias del GDF sea más atractivo para los jóvenes capitalinos”, de manera que “estas preparatorias sean más conocidas y los chichos aspiren a entrar a ellas”.

IV.

Planteamiento del problema (La problemática)

La deserción escolar a nivel medio superior es un tema poco explorado, por lo que la producción en publicaciones aún es escasa, con el fin de ubicarnos en el contexto de dicho tema, se ofrece una síntesis del panorama de lo que se ha producido en México en un área tan general, vasta y de gran actualidad. El término deserción se define regularmente como el abandono de cursos o en el plantel de bachillerato general al que se ha inscrito el estudiante, dejando de asistir a clases y de cumplir con las obligaciones establecidas previamente, lo cual tiene efectos sobre los índices de eficiencia terminal. En México la educación hasta el nivel medio superior (bachillerato, preparatoria general o técnica) está establecida como derecho constitucional en la Ley General de Educación del Distrito Federal. Es una prioridad, esto porque es un derecho que sus estudiantes reciban una educación obligatoria. Sin embargo los problemas comienzan cuando los jóvenes estudian e inician el nivel medio superior en la capital mexicana, ´por lo que brevemente reseñaré tres problemas donde los estudiantes enfrentan o enfrentarán en este nivel educativo: •

En primer lugar, en el DF hay un grave problema de deserción escolar en el bachillerato.

•

En segundo lugar, la educación media superior, en calidad y cobertura, está sesgada en el sector público para jóvenes de mayores ingresos.

•

En tercer lugar, la desigualdad en el ingreso a la educación media superior define en gran medida el acceso y calidad de educación superior al que puede acceder un joven en la ciudad. Abatir estos problemas es necesario para que los jóvenes de la ciudad puedan tener mejores prospectos de ingreso en un futuro.

La palabra deserción o desertar según la real academia española se refiere a «la acción de desamparar o abandonar las obligaciones o los ideales que se tenían interpuestos», cuando se hace alusión a lo escolar implica lo relacionado con lo concerniente al estudiante con respecto a la escuela. Por lo tanto la expresión de “deserción escolar” es el abandono del alumno del proceso educativo quedando fuera del sistema sin concluir una certificación. La deserción escolar genera una fuerza de trabajo menos competente de la cual no se puede aprovechar los beneficios de productividad y su efecto en el crecimiento económico en los sectores públicos y privados, para los gobiernos esto implica mayores gastos para financiar programas sociales dado a los sectores que no logran generar recursos propios. Causas de deserción escolar en el nivel medio superior Para la Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior (ANUIES), la deserción a nivel medio superior es entendida como “una forma de abandono de los estudios”, que adopta distintos comportamientos y que afecta a los estudiantes en la continuidad de sus trayectorias escolares; estos comportamientos se caracterizan por: 1) Abandono o suspensión voluntaria y definitiva de los estudios y del sistema de

educación media superior por parte del alumno. 2) Salida de alumnos debido a deficiencias académicas, consecuente y bajo

rendimiento escolar. 3) Cambio de plantel (el alumno continua en otra institución pero se incorpora a

otra cohorte generacional o de institución educativa). 4) Baja de los alumnos que alteran el orden y la disciplina institucional.

Generalmente obstaculiza el ingreso a otra escuela o institución educativa.

Se ha detectado que la deserción responde a una multiplicidad de factores que afectan a los estudiantes, principalmente durante el primer año posterior a su ingreso al bachillerato. Entre ellos se encuentran: •

Las condiciones económicas desfavorables del estudiante.

•

El deficiente nivel cultural de la familia a la que pertenece.

•

Las expectativas del estudiante respecto de la importancia de la educación.

•

La incompatibilidad del tiempo dedicado al trabajo y a los estudios.

•

La responsabilidad que implica el matrimonio.

•

Las características personales del estudiante, por ejemplo, la falta de actitud de logro.

•

El poco interés por los estudios en general, por la preparatoria y la Institución.

•

Las características académicas previas del estudiante, como el bajo promedio obtenido en la educación secundaria, el cual reflejan la insuficiencia de los conocimientos y habilidades con que egresan los estudiantes, en relación con los requeridos para mantener las exigencias académicas del nivel medio superior.

•

La deficiente orientación vocacional recibida antes de ingresar al tipo de bachillerato que pretende cursar respecto a sus intereses personales, lo cual provoca que los alumnos se inscriban en cualquier bachillerato, sin sustentar su decisión en una sólida información sobre la misma. Existen diversas explicaciones y clasificaciones de las causas de la deserción que se agrupan de la siguiente manera: •

Causas de origen social y familiar: desarticulación y/o disfuncionalidad familiar, desadaptación al medio por el origen sociocultural del que provienen, estudiantes que trabajan, problemas psicosociales y estudiantes casados y/o de paternidad o maternidad prematuras.

•

Causas de origen psicológico: desubicación en propósitos de vida e inadecuada opción vocacional.

•

Causas económicas: escasez de recursos y desempleo de los padres.

•

Causas atribuibles al rendimiento escolar: perfiles de ingreso inadecuados y falta de hábitos de estudio.

•

Causas físicas: problemas de salud y alimentación inadecuada

Según la ANUIES, las Instituciones de Educación Media Superior “no han detectado con suficiente precisión los periodos críticos en la trayectoria escolar preuniversitaria, en los cuales las interacciones entre la institución y los alumnos pueden influir en la deserción”. Al respecto, Tinto (1992) señala tres periodos esenciales en la explicación del fenómeno de la deserción: •

Primer periodo crítico: Se presenta en la transición entre la secundaria y el nivel medio superior y se caracteriza por el paso de un ambiente conocido a un mundo en apariencia impersonal, lo que implica serios problemas de ajuste para los estudiantes.

•

Segundo periodo crítico: Ocurre durante el proceso de admisión, cuando el estudiante se crea expectativas equivocadas sobre las instituciones y las condiciones de la vida estudiantil; al no satisfacerse, pueden conducir a decepciones tempranas y, por consiguiente, a la deserción.

•

Tercer periodo crítico: Se origina cuando el estudiante no logra un adecuado rendimiento académico en las asignaturas del plan de estudios y la Institución no le proporciona las herramientas necesarias para superar las deficiencias académicas.

Para Gustavo Nigenda la deserción es la “ausencia definitiva de los estudios sin haber concluido en su totalidad el plan de estudios de la educación media superior respectiva, esto por razones de carácter personal, institucional o social. Algunos de los motivos del abandono son: problemas familiares, hábitos de estudio, condiciones económicas, inadecuada orientación vocacional, baja motivación, estado civil o debido a la falta de dedicación a la escuela por motivos laborales”.

En una investigación realizada en 1982, Javier Osorio Jiménez, de la Universidad Autónoma Metropolitana, señala respecto a los factores que inciden en la deserción, algunos aspectos que limitan la capacidad de retención institucional: •

La existencia de diferencias importantes entre los conocimientos con que egresan los estudiantes de secundaria y el mínimo de aptitudes necesario para los estudios de la educación media superior.

•

La escasa atención a las ciencias básicas, las matemáticas y las metodologías de investigación en la educación secundaria y sus diversas repercusiones. Entre ellas, una elección de tipo de bachillerato que no incluya materias consideradas difíciles el ingreso al nivel medio superior sin aptitudes para el razonamiento lógico y las erróneas percepciones sobre la investigación científica.

En el Instituto de Educación Media Superior del D.F. el fenómeno de la deserción está identificado por estados o categorías que han sido asignadas para ubicar aquellos sujetos que suspendieron los estudios en alguna etapa de la vida preuniversitaria, pero se desconoce con precisión cuáles son las causas de la suspensión de los estudios de esta población identificada. Por lo que la educación Media Superior se caracteriza principalmente porque se desarrolla en la etapa de la adolescencia de las personas. La adolescencia tiene una importancia crítica en el desarrollo de los individuos y de las sociedades. Es una etapa formativa que prepara a los jóvenes para la vida. Se percibía a la adolescencia como una etapa del desarrollo en la que no sólo se presentaban cambios físicos y psicológicos, sino también se incrementaba la tendencia de cometer conductas de riesgo, actualmente, se ha identificado que dichos cambios se encuentran enmarcados y fusionados con las características socioculturales de los contextos en los que los jóvenes se desarrollan, de tal forma que los problemas identificados con esta etapa no pueden atribuirse sólo a sus características personales, sino a la participación e interacción de una compleja red de dimensiones sociales y culturales.

En el caso los adolescentes, en el precio de la deserción escolar son advertidos cuando el ocio, la sustracción de los ambientes controlados por la disciplina y la indefinición de objetivos productivos, inciden en la construcción de entornos inseguros, propios para la generación de climas de violencia y la comisión de actos delictivos. En estas circunstancias, es importante que padres, maestros y sociedad en general, consideren la concepción del origen y consecuencias de los cambios que sufren los adolescentes, hoy día se advierte en este sector de la población mexicana una mayor dependencia con el entorno. •

Cambios emocionales: provocados por la necesidad de buscar afecto complementario al que la familia ofrece; por tal motivo, en esta etapa de la vida se hacen los mejores amigos y surge el primer enamoramiento, otorgando a la relación con los pares y con la pareja, una importancia determinante del comportamiento adolescente.

•

Cambios físicos –frecuentemente iniciados más prematuramente por las mujeres– que marcan sensibles diferencias en el desarrollo y en las formas de respuesta a los estímulos ambientales y sociales.

•

Cambios sexuales, originados por adaptaciones fisiológicas, que redundan en el incremento por el interés sexual.

•

Cambios intelectuales_ que hacen surgir intereses novedosos y el planteamiento de nuevas preguntas (¿Quién soy? ¿Para qué nací? ¿Cuál es el objetivo de vivir?), que sólo pueden responderse a partir de una conducta exploratoria, de la búsqueda de la novedad y el descubrimiento del mundo adulto, que a pesar de poder volverse en contra, permitirá entender mejor la forma de ser propia y la de los demás. Las condiciones de vida actuales acentúan peligrosamente algunos rasgos de

la conducta adolescente ya que incrementan la oferta de espacios para explorar el ambiente extra-familiar, el cual se ha diversificado enormemente en cantidad y en poder de fascinación. La adolescencia siempre fue un período durante el cual los miembros jóvenes de la familia, descubrían las imperfecciones de sus padres y del mundo en

general, por lo que buscaban desprenderse del mundo de la infancia (en especial de los padres), desarrollar un guion de vida propio, sustentado en el familiar pero a la vez diferente y único, y comenzar a interactuar con otros pares y adultos que no necesariamente compartían los mismos valores y códigos. También, se caracterizaba predominantemente por ser una etapa de exploración, que permitía probar lo desconocido, alejarse de la seguridad de “lo familiar”, de comprobar si las alertas de los padres eran justificadas o simplemente el resultado de su deseo de mantenerlos junto a ellos; sin embargo, las conductas exploratorias se convierten cada día más, en conductas de riesgo o que relacionan la intranquilidad social con el comportamiento adolescente vulnerable y la consecuente construcción de una identidad. En este contexto, la adolescencia se encuentra actualmente asociada a la presencia de riesgos como consumo de tóxicos, SIDA y otras enfermedades de transmisión sexual, embarazo precoz o indeseado, depresión, accidentes e incluso la muerte; pero también con el concepto de circuitos de riesgo, que permiten identificar la presencia de conductas adicionadas, complementarias y crecientes en peligrosidad, lo que incrementa la vulnerabilidad. Diferentes autores coinciden en expresar que el abandono temprano de la escuela, la incorporación temprana al empleo y el consecuente desempeño en trabajos marginales, incrementa la vulnerabilidad psicosocial de los adolescentes, esto es totalmente cierto en nuestra entidad federativa del Distrito Federal a estudiar en este presente trabajo. Cuando Guadalupe Lucio Gómez Maqueo era la Directora General del IEMS-DF, advirtió que muchos de los jóvenes que ingresaban a las Preparatorias del GDF “no eran recién egresados de la secundaria, lo que tiene un peso importante, porque implica que el estudiante retome una serie de instrumentos, así como el hábito de estudio”, además de que “Un 50 por ciento proviene también de familias cuyo ingreso es de dos salarios mínimos que si bien no tiene que ver con habilidades de los estudiantes, sí impactan en su desempeño por cuestiones de capital cultural en su entorno” (Hernández, 2006). Dichas situaciones, sin duda, impactan negativamente en el desempeño y el avance académico de los

estudiantes y pueden explicar, en parte, la razón por la que el Sistema de Bachillerato del GDF presenta una mayor deserción escolar, así como una menor eficiencia terminal. En el “Informe Final” del Centro de Investigación Educativa y Actualización de Profesores A. C. (2011), sobre la “Estrategia para el aprovechamiento y mejora del modelo educativo del bachillerato del IEMS”, se menciona que los estudiantes de las Preparatorias del GDF “demuestran un paupérrimo capital cultural” y que existe una “gran deserción de los alumnos: El 50% en los primeros dos semestres y por lo menos otro 20% entre el tercero y el sexto semestre”, además de que se afirma que “una de las causas de la deserción tan grande el primer semestre es el choque de la cultura (costumbres, vestimenta, vocabulario, higiene) de los alumnos con la de maestros y administrativos”, por lo que proponen la realización de “un programa intenso de redacción durante el primer semestre para elevar el nivel cultural de los alumnos e incrementar su autoestima. Esto más un esfuerzo deliberado de todo el mundo por ser amables y comprensivos con los alumnos”. Héctor G. Riveros y Emma Jiménez Cisneros (1998), mencionan que “La gran deserción observada en el primer año del nivel medio superior, indica que un porcentaje alto de estudiantes considera cambiar de vocación personal o incorporarse al mercado laboral ”, lo cual coincide con lo señalado por Roberto Rodríguez (2001), quien asegura que la deserción del total de estudiantes de bachillerato en el D.F. esta “relacionada con la incorporación temprana a la fuerza laboral”, y en el mismo sentido, Juventino Rodríguez Ramos, cuando era el Director General del IEMS-DF, afirmaba que “entre las causas de la deserción escolar está en la necesidad que tienen los jóvenes por contribuir a los ingresos familiares” (Archundia, 2007). Otro de los aspectos que puede afectar indirectamente la permanencia de los estudiantes en el IEMS-DF, es la falta de presupuesto para las Preparatorias del GDF, ya que, como señala Francisco Miranda, en los últimos años “han sufrido recorte presupuestal y en cuanto a su infraestructura hay unas que son ‘de mucho orgullo’, mientras otras están inconclusas”, (Hernández, Mirtha. 2013), lo cual

puede estar incrementando los índices de deserción escolar, al menos en los planteles que se encuentran todavía inconclusos. La deserción escolar “no es sólo un fracaso del estudiante, sino de su familia, de la institución educativa a la que está inscrito y de la sociedad en su conjunto”, tal como lo señalaron diversos expertos durante la tercera Conferencia Latinoamericana sobre el Abandono en la Educación Superior (Olivares, 2013:38), y si consideramos lo que menciona Lucía Monroy Cazorla respecto a que “si bien en las instituciones de educación superior existe un importante problema de deserción, éste es aún más grave en el nivel medio superior”, podríamos añadir que dicho problema es todavía mayor en las Preparatorias del GDF que en los demás bachilleratos del país y “Tal situación, además de plantear enormes retos en el uso de recursos, está minando la efectividad del proyecto”, según lo reportado por EVALUA DF (2012). Entonces decimos que el análisis que se propone establece como variable dependiente es la tasa de deserción de las escuelas y las características de la escuela, docentes y directores es considerada como variables independientes Variable dependiente. La variable deserción corresponde a la variable respuesta, es decir, aquella en la que las variables independientes se correlacionan de forma directa o indirecta. La variable de deserción es construida a partir de la fórmula que emplea la Secretaria de Educación Pública (SEP) para obtener la tasa de abandono a partir de una diferencia de matrículas: D T n=M T n−E Gn− ( M T n+1− N I 1+(n+1) ) Dónde: DT =¿ Deserción Total

MT =¿ Matrícula Total

N I 1 =Nuevo Ingreso a primer grado

EG=¿ Egresados n=¿ Ciclo escolar ( 2001−02,2002−03, … , 2014−15 ) . n+ 1=¿ Ciclo escolar subsecuente Esta fórmula sirve para contabilizar la deserción en el Distrito Federal que esta se concibe en forma trasversal, por lo que no permite saber quiénes se retiraron por completo de la educación formal, o aquellos que sólo cambiaron de plantel o los que decidieron optar por otra modalidad pero que se mantienen en el sistema educativo. A partir de la definición de deserción en términos de reportar un estado y no un evento, el cálculo de la misma se entiende como una diferencia de matrículas, lo cual, cuando se calcula a nivel de centro escolar genera dificultades debido a que el resultado del cálculo -a partir de esta fórmula-puede presentar números negativos, quebrantando el sentido lógico del término, ya que el valor mínimo de la deserción es cero y no algún número negativo. Por lo que en este respectivo análisis que presentaremos en este trabajo mediante el ajuste de curvas por mínimos cuadrados se utilizaran tres variables que se definen en este caso como cuantitativas que estas son a considerar como: •

Variable cuantitativa dependiente ( Y ): Que esto define la deserción de los alumnos y alumnas de cada plantel que conforma el IEMS-DF.

•

Variable cuantitativa independiente ( X ): Que esto define las generaciones de alumnos que han pasado en cada plantel que conforma el IEMS-DF.

•

Variable aleatoria (

): Que esto define para la aleatoriedad para la

tendencia del error de los datos que se presentan.

Justificación

Actualmente, según el análisis realizado por el IEMS-DF en el 2013, de las últimas tres generaciones de las Preparatorias del GDF, al término del primer ciclo escolar, la permanencia de los estudiantes disminuye un 25.3%, quedando únicamente el 74.7% de los estudiantes, lo cual coincide con el promedio de deserción que se tiene a nivel nacional durante “la transición del primero al segundo grado” de bachillerato (Amador, 2008). “La deserción en la educación media superior se presenta sobre todo en el segundo semestre y que los hombres abandonan más que las mujeres” (Olivares, 2013), y Héctor G. Riveros, junto con Julieta Fierro (s/f), mencionan que “la alta deserción observada en el primer año del nivel medio superior y superior, sugiere que este primer año es el que está actuando como un segundo filtro de selección”, por ello consideran que “es mejor incrementar la capacidad del primer año reconociendo su función como medio de selección, o establecer un curso semestral, trimestral o mensual, como filtro de selección.” La autoexclusión de los estudiantes fue considerada por José de Jesús Bazán Levy, cuando era Director General del IEMS-DF, como una “epidemia” o “una enfermedad que hace que haya una deserción importante”, la cual, según él, “es cercana al 20 por ciento en el primer año y del 30 por ciento, en el segundo”, y dicha situación se debe a que quienes ingresan a las Preparatorias del GDF sienten “que los conocimientos exigidos rebasan totalmente sus capacidades”, por lo que “se hacen a un lado, se excluyen por razones académicas” (Hernández, 2010)..

Sin embargo, las recientes autoridades del IEMS-DF han señalado que al menos en las Preparatorias del GDF eso ya no es así, porque del 25.3% de estudiantes que desertan al término del primer ciclo escolar, el 14.24% de ellos causa baja de manera formal, para irse a estudiar a otra institución educativa. En palabras de Freyja Doridé Puebla López, ex Directora General del IEMS-DF, se puede decir que “muchos chicos entran, se inscriben con nosotros y el próximo año vuelven a aplicar examen para la prepa de la UNAM, para el colegio de Bachilleres, para el CCH de la UNAM y se van” (Montes, 2013), mientras que “El otro 10.54% se ubica en el rubro de autoexclusión; es decir, estudiantes activos que ya no se inscriben al siguiente ciclo escolar por su bajo avance académico en la mayoría de las asignaturas” (IEMS-DF, 2013). VI.

Objetivos, metas

OBJETIVO GENERAL: Determinar un modelo estadístico llamado el “Ajuste de curvas por mínimos cuadrados” que considere información sobre el perfil de la trayectoria escolar y evaluación del estudiante en los planteles de estas escuelas de nivel medio superior, el cual permita determinar la probabilidad de que un alumno deserte en este instituto. El estudio tiene como propósito en identificar las causas que provocan que los estudiantes abandonen la Educación Media Superior durante el primer periodo de la Preparatoria. Asimismo, se pretende conocer su situación académica y trayectoria escolar, para facilitar el diseño de estrategias institucionales orientadas a fomentar la permanencia y la conclusión exitosa de los estudios de bachillerato. El objetivo central de este proyecto es la aplicación práctica de la Probabilidad y Estadística que sustenta el análisis de los métodos numéricos que se basan de los modelos matemáticos para desarrollarlo que en esta situación ocuparemos el método de ajuste de curvas por mínimos cuadrados ,con esto se espera hacer un aporte con la investigación cuyo fin se considere como argumento para poder atender la problemática de la deserción escolar y que las autoridades competentes gubernamentales hagan acciones y medidas preventivas con este

análisis estadístico y les sirva en proponer la viabilidad de crear estrategias de atención en incrementar el egreso de sus estudiantes para que tengan una mejor calidad de vida laboral y profesional en esta ciudad de México. Los objetivos principales del estudio son: I) Explorar la incidencia de los factores escolares en el tema de deserción en media superior, e II) Identificar en qué medida existe relación entre los factores escolares y las tasas de deserción en las escuelas de este nivel educativo El objetivo esperado de un análisis a partir de la Probabilidad y Estadística con ayuda de la fundamentación del análisis de los métodos numéricos es hacer predicciones, y con base a esas predicciones advertir mejores decisiones; para el caso de este proyecto con respecto a los resultados, fundamentar la problemática con este tipo análisis puede ser un primer paso para empezar a tomar medidas para atender la problemática y reflexionar la importancia a corto y largo plazo de cómo puede afectar a la deserción a la población estudiantil. Los objetivos de esta investigación son: I.

Explorar la incidencia de los factores escolares en el tema de deserción en educación media superior en el Distrito Federal e

II.

Identificar en qué medida existe relación entre los factores escolares y las tasas de deserción en las escuelas de este nivel educativo

OBJETIVOS ESPECIFICOS Y OBJETIVOS PARTICULARES: OBJETIVOS ESPECIFICOS Determinar la magnitud que adquiere la deserción y la tendencia que ha seguido a lo largo del tiempo, identificar los principales factores que están asociados a la misma e identificar estrategias y medidas que desde la institución puedan instrumentarse para reducir su incidencia. También se busca clasificar, debido a la complejidad de las causas que se identifiquen y a sus combinaciones, los fenómenos en dos categorías interpretativas: a) Las que caben dentro de la esfera de influencia del Instituto de Educación

Media Superior

b) Y las que escapan a su control.

OBJETIVOS PARTICULARES •

Identificar qué factores del perfil del estudiante presenta mayor influencia para que abandone el bachillerato general.

•

Determinar un modelo estadístico llamado el “Ajuste de curvas por mínimos cuadrados” con mayor bondad de ajuste que determina la probabilidad de que un alumno pueda evitar en abandonar el bachillerato general y buscar una alternativa para mejorar su calidad de vida.

•

Determinar un modelo para cada plantel que permita al alumno conocer de forma particular la probabilidad que tiene para que no caiga en la deserción y asegure su egreso de acuerdo al contexto situacional del plantel que elige en su formación académica.

Estos resultados beneficiaría al: •

Gobierno del Distrito Federal en su mayor ingreso presupuestal en vivienda, empleo y desarrollo educacional y profesional.

•

A la institución de Educación Media Superior del Distrito Federal en que tenga mayor cantidad de egresados y con esto sus egresados gocen y tengan el beneficio de una educación superior asegurada de pase directo a la Universidad Autónoma de la Ciudad de México UACM y con esto tengan mayores oportunidades laborales en esta entidad federativa

•

A la planta docente en que mejoren la calidad educativa para sus estudiantes de esta dependencia de educación media superior y sea innovadora para entidad federativa.

•

A sus estudiantes para encuentren una mejor calidad de vida en esta entidad federativa y sean útiles y productivos para el desarrollo sustentable de la capital mexicana.

METAS: Considerando que uno de los principales retos que tiene la institución es que “los jóvenes estudiantes consideren al IEMS como su primera opción educativa y

no como la última”, la ex Directora General de las Preparatorias del GDF consideraba que para lograrlo primero debíamos “salir a que nos conozcan por cosas buenas y por cosas positivas, porque ya somos conocidos, pero ahora por cosas buenas y por cosas positivas, y la otra, fortalecer el trabajo del instituto, que la gente sepa lo que hacemos, que la gente nos vea como opción de investigación, de proyecto” (Montes, 2013). De manera similar, algunos estudiantes egresados del IEMS-DF, como Martha Marlene López (citada por Hernández y Durán, 2004), han considerado que en el caso de las Preparatorias del GDF “hace falta que la gente confíe en ellas, porque se piensa que son chafas, y no es así”, ya que muchos jóvenes que han sido rechazados del IEMS-DF por falta de lugares para ellos, quieren que los dejen estudiar en las Preparatorias del GDF porque consideran que tienen un buen sistema educativo (González, 2002), además de que los alumnos del IEMS-DF que abandonaron o interrumpieron sus estudios “tienen buena opinión del IEMS y consideran que su paso por este sistema les ha ayudado mucho en su vida o a realizar otro tipo de actividades” (Centro de Investigación Educativa y Actualización de Profesores A. C., 2011). Sin embargo, se debe revisar la problemática que generan los horarios desfasados de los estudiantes irregulares o rezagados del IEMS-DF, los cuales pueden llegar a contener muchas horas libres entre una asignatura y otra, lo que genera un desgaste en ellos, además de que da pie para que centren su tiempo en actividades que no están relacionadas “en términos estrictos con lo académico”, como socializar entre pares y tener un noviazgo, mientras están en la escuela (Sánchez e Ybarra, 2008). En ese sentido, es indudable que “la Secretaría de Educación del DF y en específico las autoridades del IEMS, tienen la obligación de proponer y crear un plan específico para mejorar su plan educativo y en consecuencia sus índices de egreso”, tal como lo señaló Priscila Vera (citada por El Zócalo DF, 2013), aunque también es cierto que “La sociedad no puede esperar que las instituciones educativas contrarresten solas los efectos perniciosos que se generan en el contexto social y cultural en el cual dichas instituciones están inmersas” (IEMS-DF,

2002). Se necesita de la participación de todos, además de la identificación clara y precisa de las diferentes causas que generan dicha problemática, para poder implementar las soluciones más adecuadas para la misma. El Gobierno del Distrito Federal, debe coordinar una política común para cambiar los problemas de calidad, deserción y cobertura en educación media superior. También se debe incluir a los municipios y gobierno del Estado de México que se encuentran en la Zona Metropolitana. No basta con un solo examen para coordinar la respuesta del gobierno, se requiere rediseñar los mecanismos de ingreso y ampliar los programas sociales de becas, pues la desigualdad explica en gran medida la deserción escolar. En primer lugar, se debería reconsiderar que únicamente los puntajes definan quienes ingresan o no a cada nivel. Por ejemplo podrían considerarse ponderadores según condición socioeconómica para que se cierren las brechas entre quienes tienen menores ingresos y acceso a educación pública, sobre todo si queremos combatir el rezago educativo. Esto implica dar opciones de movilidad social a jóvenes de menores ingresos y tener capital humano capaz de desarrollar la economía de la ciudad. En segundo lugar, a reservar de conocer nuevos datos de deserción, debería pensarse en ampliar las becas para aquellos que tienen mayor riesgo de desertar del sistema educativo. Deben considerarse otros factores de deserción como embarazos no deseados o desinterés. En tercer lugar, es urgente revisar la calidad del bachillerato en el Distrito Federal, todos los jóvenes deberían tener la posibilidad de un bachillerato de calidad, y no sólo aquellos quienes tienen mayor capital cultural e ingresos para responder mejor a los exámenes. Una opción podría ser asignar también a jóvenes de menores ingresos a las escuelas más cercanas que tengan mejores puntajes para permitirles mayor movilidad, o en otro caso subsidiar sus opciones de transporte público y mejorándolo. Por lo tanto, una mayor matricula y graduación es un indicador de capital humano y a la vez de desarrollo y bienestar para la población de esta entidad federativa de la Ciudad de México.

Al investigar sobre este problema, consideramos que los resultados obtenidos contribuirán a enriquecer los conocimientos en el campo de la Administración Educativa, particularmente en los aspectos de: organización y planeación institucional, organización académica, administración del personal docente y del rendimiento escolar. La Secretaría de Educación Pública, por medio de la Subsecretaría de Educación Media Superior, otorga al sistema de bachillerato general público elevados subsidios anuales, que en el caso del Distrito Federal ascienden a aproximadamente 31 mil pesos por alumno al año (datos del ciclo escolar 2001 2015). Dada la baja eficiencia terminal y elevada deserción escolar, es obvio que se están desperdiciando recursos públicos. Si se estudiara mejor el problema de la deserción y se tomaran las medidas adecuadas para su disminución desde cada escuela, contribuiríamos a evitar esa pérdida de recursos. El éxito escolar y la formación completa de los egresados son un aspecto fundamental de la misión social del Instituto de Educación Media Superior. Además, disminuyendo la deserción el prestigio de esta escuela en particular mejoraría, ya que el público en general suele asociar la deserción con la eficiencia de la planta docente, entre otros factores. Evitando el abandono de los estudios el individuo no solamente mejoraría su calidad de vida en el futuro, sino que también esto propiciaría una elevación de la autoestima, al verse a sí mismo como capaz de concluir un proyecto que él inició. Respecto al personal docente, el conocer las causas de la deserción escolar en la institución de educación media superior del D.F., ayudaría a combatir en el ámbito dependiente del maestro y así mejoraría el desempeño docente de cada plantel educativo que conforma el IEMS DF. Estos resultados principales nos conducen en señalar que: en la figura del director hay i)una mayor satisfacción de estabilidad laboral que esto se asocia con menores índices de abandono, mientras que para el cuerpo docente ii) un mayor desarrollo profesional -asistencia a cursos sobre los contenidos de las materias que imparten; y iii) mayor desarrollo personal -hábito de lectura de temas

de interés personal-constituyen factores que reducen la tasa de deserción en el alumnado.

VII.

Fundamentación del Marco Teórico

Ajuste de curvas. En la ciencia, se da a menudo, el caso de la realización de encuesta con frecuencia que produce una cantidad de datos. Para interpretar los datos, podemos recurrir a los métodos gráficos que definen un conjunto de datos

( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , … ,( x n , y n) , siendo las abscisas x k distintas entre sí; esto quiere decir, que esta situación en este caso de la realización de encuesta con frecuencia puede producir una tabla numérica de la siguiente forma: X

…

Y de esta, se pueden ubicar

n+ 1

puntos en una gráfica.

Entonces para ubicar en una gráfica, el análisis de regresión consiste en definir la variable independiente dependiente

que ayuda a explicar (estimar) la variable

Y , siempre que exista un relación lineal entre ellas, además que

ambas variables deben ser cuantitativas. Tomando en consideración, que uno de los objetivos de esta introducción del cálculo numérico es la determinación de la fórmula

y= f ( x ) que relacione las

variables. Con esto definimos, en que se tiene un conjunto arbitrariamente espaciado de n+ 1 puntos dados definido como

(x k , f k ) .

En el caso práctico no es posible encontrar esta función

y= f ( x )

y que

satisfaga exactamente todas las relaciones: y 1= f (x 1) y 2= f ( x 2) . . . y n= f ( x n) Por lo general, uno está dispuesto a aceptar un "error" (y este error dependerá de cada observación) que se define de la manera siguiente: f ( x k ) = y k +e k

Donde

es el error de medición observado en el dato. La pregunta que uno

se hace es ¿cómo poder encontrar "la mejor aproximación" que pase de los puntos? Para responder esta pregunta, hay que considerar los errores (también llamado como las desviaciones) y están dados como la diferencia del valor estimado por el modelo

f ( xk )

menos el valor observado

Errores de Medición e k = f ( x k ) − y k para 1≤ k ≤ n Error =Valor Estimado−Valor Obervado

Que esto gráficamente se representa de la siguiente manera:

, es decir:

Por lo que entonces se desea seleccionar de una clase de funciones, la que la minimice, es decir

d 2 , la suma de los cuadrados de las diferencias de los

valores. Entonces definamos que d 2 ( p , f )=

√∑ ( p − f k

2 2 ) → d 22 ( p , f )=∑ ( pk − f k )

Por lo que decimos entonces que la medida de la distancia distancia euclidiana entre Escribimos p ( xk )= pk

que se denomina

f .

p ( x ) para un candidato de la función de aproximación y de manera que deseamos minimizar:

E=∑ ( pk − f k ) 2 k=0

Que se denomina la medida de bondad de ajuste o el error. Este enfoque se conoce como: “mínimos cuadrados” o “error cuadrático mínimo” La función

p ( x ) no necesita coincidir con alguno de los valores dados, da un

ajuste razonable a la tabla “en promedio”.

Permitimos varios valores

asociados con el mismo valor

que varias mediciones en alguna Esto implica que los

en el caso de

arrojen resultados diferentes. E

de la sumatoria

no necesitan ser distintos.

Este caso se define como una suma ponderada para el error

E , sería más

adecuada. También podríamos incluir pesos si algunos de los

fueran menos confiables

que otros o si en especial conviniera un ajuste cerca de ciertos puntos. Consideremos que, aun cuando algunos

puedan repetirse, no todos los

pueden ser el mismo; debemos tener al menos dos abscisas diferentes. Seleccionamos la forma de cualquiera de los El grado

p ( x ) con base en expectativas teóricas y/o

n+ 1 puntos sugeridos.

del polinomio

p ( x ) puede establecerse con antelación por algún

resultado teórico, alguna expectativa o por la aplicación que se le pretenda dar al polinomio. Existen "normas" que se usan comúnmente para poder cuantificar la distancia que hay entre los valores estimados y los valores observados de la siguiente manera: Error Máximo

E ∞ ( f )= máx { f ( x k )− y k } 1≤ k ≤ n n

Error Medio

1 E 1 ( f )= ∑ ∣ f ( x k ) − y k∣ n k =1

Error Cuadrático Medio

E 2 ( f )=

√

2 1 f ( x k ) − y k∣ ∑ ∣ n k =1

Como no se puede hacer que todos los errores sean cero (ese sería nuestro modelo ideal), ni tampoco se puede hacer que cada uno sea lo más pequeño

posible, se tiene que hacer una combinación razonable de ellos tan pequeña como sea posible En la mayoría de los casos el grado será uno, y esto se denomina “la línea recta que mejor se ajusta” o la “línea de mínimos cuadrados” para una tabla. Una opción muy utilizada en la literatura es la de minimizar la suma de los errores de los errores al cuadrado. Es decir, usar el método llamado mínimos cuadrados. Es decir esto se puede demostrar estadísticamente que la mejor línea recta a través de una serie de puntos experimentales es la línea para la cual la suma de los cuadrados de las desviaciones(los residuales) de los puntos de la línea es mínima. Esto se le conoce como método de los mínimos cuadrados. Mínimos cuadrados. El principal objetivo de múltiples investigaciones estadísticas es efectuar predicciones, de preferencia basándose en ecuaciones matemáticas. El análisis numérico por medio de Mínimos cuadrados es una técnica de optimización matemática en la que dados un conjunto de puntos que incluyen una variable independiente y una dependiente se busca la función continua que mejor se aproxime a los datos, de acuerdo con criterio de minimizar el error cuadrático, a esto se le conoce como “mejor ajuste” en el sentido de mínimos cuadrados Cuando se busca la recta que se aproxime a todos los puntos, siempre se cometerán errores, lo que se pretende es minimizar lo más que se pueda estos errores. Como no se puede hacer que todos los errores sean cero se hace una combinación razonable de ellos tan pequeña como sea posible. Minimizar los errores es difícil dado que las distancias se miden usando valores absolutos. Lo que técnicamente es más fácil, es manejar la suma de los cuadrados de los errores. Por lo que el método de mínimos cuadrados consiste en encontrar una función analítica sencilla que represente el comportamiento general de los datos, aunque la curva propuesta no pase por todos y cada uno de los puntos en cuestión.

Decimos con esto que debemos definir una ecuación que debe satisface la condición de minimizar la suma de las desviaciones

( d i ) del comportamiento de

cada par de datos discretos, con respecto al modelo propuesto, elevadas al cuadrado, es decir: n

∑ ( d i )2 =0 i=1

Por lo que Algunas formas de ajustar curvas son: f ( x ; a 0 , a 1 ) =a 0 +a 1 x

a) Modelo lineal

f ( x ; a 0 , a 1 , a 2) =a 0 + a1 x +a 2 x 2

b) Modelo cuadrático

c) Modelo exponencial

f ( x ; a 0 , a 1 , a 2) =a 0 e a

x+a 2

d) Polinomial e) Trigonométrico El caso más usado en la práctica es poder ajustar funciones polinomiales, ya que en este caso los parámetros serán funciones lineales fáciles de estimar. El modelo a ajustar está dado por: f ( x ; a 1 , a 2 ,… , a m )=a 0 +a 1 x+ a 2 x 2+…+ a m x m

Y por lo tanto la función

(la suma de los errores al cuadrado) está dada

por la siguiente ecuación: n

[

R =∑ y k −( a 0 +a 1 x+ a 2 x 2+…+ a m x m ) 2

k=1

]

La validez de la aplicación del método de mínimos cuadrados para el ajuste de curvas descansa sobre tres suposiciones sobre los errores que son la: 1.-Independencia: requiere que los errores sean independientes unos de otros. 2.-Normalidad: requiere que los errores se distribuyan normalmente en cada valor de la variable independiente.

3.-Homoscedasticidad: requiere que la varianza de los errores sea constante; es decir requiere que tengan igual varianza. De las suposiciones anteriores podemos deducir en términos probabilísticos que el error generado se comporta como una variable aleatoria con distribución Normal con parámetros

(0, sigma)

Normal (0, σ ) .

es decir

Para el desarrollo del presente trabajo se utilizaran los métodos de los modelos lineales y polinomial de cuarto grado. Ajuste del modelo lineal. Para entender el principio de mínimos cuadrados hay que considerar el planteamiento de una igualdad por medio de una ecuación lineal, donde se pueden ver involucradas una o más variables a la primera potencia, además de no contar con productos entre las variables; es decir que solamente se involucran sumas y restas de las variables a la primera potencia. Una forma común de ecuaciones lineales de dos variables considerándola en un sistema cartesiano es la ecuación de una recta: y=mx+b

Dónde: m=

y 2− y 1 x 2− x 1

Esta m representa la pendiente de la recta dado dos puntos y el valor de b determina el punto donde la recta corta el eje

(la ordenada al origen).

Frecuentemente, en la práctica se disponen con más de dos puntos dentro del sistema cartesiano, donde no todos los puntos están dentro de una recta, pero hipotéticamente todos los puntos están cercanos a una. Donde se dan

parejas de puntos.

( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y3 ) , … ,( x n , y n ) La recta que minimiza la suma de los cuadrados de los errores se le llama recta de regresión, recta de mínimos cuadrados o recta de mejor ajuste.

Para plantear este problema de manera formal, consideramos observaciones

( x n , y n)

parejas de

en las cuales suponemos que la regresión es lineal (esto

es la ecuación de la recta) que en algún sentido dé el mejor ajuste. Existen varias formas de interpretar la palabra “mejor”, y el significado que le daremos puede explicarse de la siguiente manera. La recta que mejor se ajusta a los puntos

( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y3 ) , … ,( x n , y n )

tiene la forma: ̂y =̂ m x + b̂ Donde y

y b

son constantes, entonces

correspondiente a la

εi

, el error al predecir el valor de

, dada es:

ε i = y i− ̂y i

Y queremos determinar

m ,b

de tal manera que estos errores sean, en cierto

modo lo más pequeño posible. En general, una “y” observada diferirá de esta media; la diferencia la denotaremos por

ε :

̂ ε ̂y =̂ m x + b+ Así, ε

es el valor de una variable aleatoria y siempre podemos elegir

tal

que la media de distribución de esta variable aleatoria sea igual a cero. ̂ en …(1) y b̂ en …(2) están dadas por: Donde las constantes m m ̂=

n ( ∑ x y ) −( ∑ x )( ∑ y ) 2

n ( ∑ x 2 ) −( ∑ x ) ̂ ∑ b=

… (1)

y −̂ m(∑ x) …(2) n

Mediante la minimización de n

∑ ( y i −̂y i )2 i=1

Se obtiene buenas representaciones de la relación entre

tal como se

muestra la figura 1c) evitándose situaciones como las mostradas en la figura 1a) a 1b)

Figura 1

_________________________________________________________________ Chapra Steven C. y Canale Raymond P. (2011). Métodos numéricos para ingenieros. (6ta. Edición) México, D.F.: Editorial McGraw-Hill Interamericana Regresión Lineal Recordemos que una aproximación por mínimos cuadrados consiste en ajustar a una línea recta un conjunto de datos discretos

( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,… , ( x n , y n ) Por lo que se inicia en considerar una ecuación de una línea recta a la cual se le agrega el error producido entre el comportamiento de los datos y el modelo propuesto de esta forma se tiene: y=a 0 + a1 x + E …(1)

Dónde: a 0=¿ Es la ordenada al origen

a 1=¿ Es la pendiente E=¿ El error entre el modelo y los datos experimentales

De esta forma decimos que: E= y−a 0−a1 x Al aplicar el criterio de que el “mejor” ajuste se cumple cuando se puede minimizar la suma de los cuadrados de los residuos

, es decir el error

entre el modelo y los datos experimentales, se tiene que: n

Sr =∑ ( y 1−a 0−a 1 x i )2 …(2) i=1

Este criterio tiene la ventaja de proporcionar una línea única para un conjunto de datos. Para determinar los valores de

que minimizan la ecuación

…(2)

se deriva la ecuación con respecto a cada uno de los coeficientes ∂ Sr =−2 ∑ ( y i−a0 −a 1 x i )=0 ∂ a0 … .(3) ∂ Sr =−2 ∑ [ ( y 1−a0 −a 1 xi ) x i ]=0 ∂ a1 Al igualar ambas derivadas a cero, se genera un mínimo para la suma de los cuadrados de los residuos

de la siguiente forma:

−2 ∑ ( y i −a 0−a1 x i ) =0=∑ yi −∑ a 0 −∑ a 1 x i …( 4) −2 ∑ [ ( y 1−a 0 −a 1 xi ) xi ]=0=∑ y i x i−∑ a 0 xi −∑ a 1 x 2i … (5) De la ecuación

…(4) se obtiene

∑ y i =n a 0 +a 1 ∑ x i …(6)

…(5) se obtiene

De la ecuación

∑ y i x i=a 0 ∑ x i+ a 1 ∑ ( x i )2 … .(7) Al resolver en forma simultanea las ecuaciones los valores de a 1=

n ∑ xi y i−∑ x i y1 n ∑ x 2i −( ∑ x i )

…(6) y …(7) se obtiene

mediante las siguientes ecuaciones:

…(8)

a o= ́y −a 1 ́x …(9) Cuantificación del error en la Regresión Lineal Recordemos que la suma de los cuadrados de los residuos se define como n

Sr =∑ ( y i −a 0−a 1 x i ) 2 …(10) i=1

Donde los residuos representan el cuadrado de la distancia vertical entre los datos y la línea recta. La dispersión de los puntos alrededor de la recta es la magnitud similar a lo largo del rango de datos, la regresión con mínimos cuadrados proporciona la mejor aproximación para

y b

, a esto se le conoce como principio de

probabilidad máxima dentro de la estadística. Para comparar la eficiencia del ajuste se determina la suma de los cuadrados alrededor de la media para la variable independiente

( y) , la cual se denomina

como la suma total de los cuadrados: n

St=∑ ( y i− ́y )2 …(11) i =1

Esta es la cantidad de dispersión en la variable independiente antes de la regresión. Después de llevar a cabo la regresión lineal se puede calcular que es la suma de los cuadrados de los residuos alrededor de la línea de

Sr ,

regresión, la cual presenta la dispersión que existe después de la regresión. La diferencia entre las dos cantidades

St−Sr

son en que cuantifica la mejora en la

reducción del error al utilizar línea recta. Esta diferencia se normaliza al error total y se obtiene: St−Sr …(12) St St−Sr r= …(13) St r 2=

√

En donde

es el coeficiente de correlación y

r 2 es el coeficiente de

terminación. Para un ajuste perfecto, la suma de los cuadrados de los residuos

debe

ser igual a cero y el coeficiente de determinación debe ser igual a uno. Aplicaciones de la regresión lineal La regresión lineal proporciona técnicas para ajustar datos discretos a una línea recta, sin embargo, la relación entre la variable dependiente y la independiente no siempre es lineal. Así que, para proponer un modelo que represente el conjunto de datos discretos, lo primero que se debe hacer es graficarlos en la forma

y , de esta

manera es posible decidir si es correcto o no aplicar el ajuste lineal. Cuando al graficar el conjunto de datos discretos, se observa que el comportamiento no es lineal, es posible proponer ciertos modelos no lineales, que mediante cierto tratamiento matemático pueden adquirir un comportamiento lineal, como son los casos que se presentan a continuación. Modelo del ajuste exponencial Cuando al graficar un conjunto de datos discretos, se observa que el comportamiento no es lineal, tal como se muestra en esta figura 2, es posible proponer un modelo exponencial, el cual mediante tratamiento matemático puede transformarse en un modelo lineal, tal como se muestra en la figura 3

y=a 0 e

a1 x

Figura 2 Modelo Exponencial

Figura 3 Modelo Exponencial Linealizado. __________________________________________________________________ Quintana Hernández Pedro Alberto, Villalobos Oliver Eloísa Bernardett y Cornejo Serrano María del Carmen (2005) Métodos Numéricos con Aplicaciones en Excel. México, Guanajuato: Instituto Tecnológico de Celaya, Guanajuato; Editorial Reverté. Por lo que el modelo exponencial se representa mediante la ecuación: y=a 0 e

a1 x

…(a)

La ecuación

…(a ) tiene un comportamiento no lineal el cual puede ser

linealizado mediante la aplicación de logaritmos naturales en ambos lados de la ecuación, de lo cual resulta: ¿ y=¿ a 0 +a 1 x ∈e=¿ a 0 +a 1 x …( b)

La ecuación pendiente es

…(b) a1

representa la ecuación de una línea recta en la que la

y la ordenada al origen es

¿ a0

Ecuación elevada a una potencia Cuando al graficar un conjunto de datos discretos, se observa que el comportamiento no es lineal, tal como se muestra en la figura 4, es posible proponer un modelo de ecuación elevada a una potencia, la cual mediante tratamiento matemático puede transformarse en un modelo lineal, tal como se muestra en la figura 5

Figura 4 Ecuación elevada a una potencia y=a 0 x

Figura 5 Modelo linealizado. Por lo que la ecuación elevada a una potencia se representa mediante la ecuación: a1

y=a 0 x …( c)

Al aplicar logaritmo base 10 en ambos lados de la ecuación

…(c ) se obtiene

el siguiente modelo linealizado: Iog y=log a0 + a 1 log x …(d ) La ecuación pendiente es

…(d ) a1

representa la ecuación de una línea recta en la que la

y la ordenada al origen es

log a 0

Ecuación de promedio de crecimiento de saturación Cuando al graficar un conjunto de datos discretos de observa que el comportamiento no es lineal tal como se muestra en la figura 6, es posible proponer una ecuación que caracteriza el crecimiento de la población en condiciones limitantes, la cual mediante simple reordenación puede transformarse en un modelo lineal, tal como se muestra en la figura 7

Figura 6 Ecuación de promedio de crecimiento de saturación

Figura 7 Modelo Linealizado. La ecuación que caracteriza el crecimiento de la población bajo condiciones limitantes es la siguiente: y=a 0

Al reordenar la ecuación y a1 + yx=a 0 x y ( a1 + x ) =a 0 x a 1+ x 1 = a 0 x y …( f ) a1 1 x = + y a0 x a0 x 1 a1 1 1 = + y a0 x a0

x …(e ) a 1+ x

…(e ) resulta:

La ecuación

…( f ) representa la ecuación de una línea recta en la que la a1 a0

pendiente es

1 a0 .

y la ordenada al origen es

Ajuste polinomial. Por lo que aquí se generaliza por medio de aproximar ahora un conjunto de m

{( x i , y i ) }i =1

datos

n< m−1

con un polinomio algebraico de grado

mediante el

procedimiento de mínimos cuadrados. Sea definido el polinomio como: n i

P n ( x i )=a n x +a n−1 x

n−1 i

+…+a 1 x i+ a 0=∑ a j x ij j =0

Para disminuir al mínimo el error de mínimos cuadrados, es necesario a 0 , a1 ,… , a n

seleccionar las constantes

de tal manera que las parciales con

respecto a cada una de ellas sea cero. Así para cada m

j : m

E 2=∑ [ yi −P ( x i ) ] =∑ y −2 ∑ a j i =1

i=1

2 i

j=0

(∑ ) ∑ ∑ (∑ ) i=1

j i

yi x +

j=0 k=0

a j ak

i=1

x ij +k

∂E =−2 ∑ y i x ij + 2 ∑ a k ∑ x ij+ k ∂a j i=1 k=0 i =1 Esto nos da

n+ 1 ecuaciones normales en las

n+ 1 incognitas

que decimos que: n

k=0

i=1

∑ a k ∑ x ij +k =∑ y i x ij Para cada

j=0,1, … , n

por lo

Por lo que conviene escribir las ecuaciones como sigue: m

( ) (∑ ) ∑

∑ x 0i +a 1

∑ x1i +a 2

∑ xi2 +…+ a n

∑ x ni =∑ yi x 0i

i=1

( ) ( ) ( ) ( ∑ ) (∑ ) ( ∑ )

i =1

x i + a1

i=1

x 2i + a 2

i=1

x 3i + …+a n

i=1

i =1

x n+1 = i

i=1

y i x 1i

. . . m

(∑ ) ( ∑ ) ( ∑ ) ( ∑ ) ∑ i =1

n i

x + a1

i=1

n+ 1 i

+a 2

i =1

n+ 2 i

…+a n

i =1

2n i

i=1

y i x ni

Estas ecuaciones normales tienen solución única siempre y cuando las

sean distintas. Suavizamiento de datos Algunas veces, cuando los datos son recolectados, hay fluctuaciones estadísticas, errores aleatorios, estimaciones visuales al tomar lecturas, etc., que provocan que los números se ajusten a una curva teórica exactamente. En tal caso, la función apropiada de mínimos cuadrados (probablemente un polinomio de grado

n ) puede deducirse con los valores de la función deducida

reemplazando los datos cuando la medida de bondad de ajuste de

sea

suficientemente pequeña, a esto se le denomina “suavizamiento de datos.” En este caso polinomial ya ha sido muy trabajado en los textos científicos de estadística y de los métodos numéricos, y estos se pueden construir sistemas de ecuaciones fáciles de resolver para encontrar estos parámetros

a 1 , a 2 ,… , a n

Este sistema de ecuaciones lineales se conocen como las "ecuaciones normales" y están dadas ahora por la aplicación del “suavizamiento de datos” que queda de la manera siguiente:

(∑ ) (∑ ) (∑ ) a 0 n+a 1

xi +…+ a m

i=1

i =1

x i + a1

i =1

(∑ ) ∑ (∑ ) ∑ m i

x =

i=1

x 2i +…+ a m

i =1

i=1

x m+1 = i

i=1

xi y i

. . . n

( ) ( ∑ x mi + a 1 i =1

)

∑ x mi +1 +…+ a m i=1

(

)

=∑ x im y i ∑ x 2m i i=1

i=1

O también se puede expresar en términos matriciales

X a= y

por lo que

este sistema de ecuaciones queda como: Ecuaciones normales ajuste polinomial de grado

[

∑ xi ∑ x 2i

][ ] [ ]

m a0 … ∑ xi m+1 ∑ xi … ∑ xi a1 = ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ m m +1 … 2m x a ∑ i ∑ xi m ∑ xi

∑ yi ∑ x i yi

⋮ ∑ x mi yi

Este sistema de ecuaciones lineales simultáneas se puede resolver fácilmente usando la famosa regla de Cramer (para polinomios lineales y cuadráticos) y el método de eliminación Gaussiana (para polinomios al menos tercer grado). Los coeficientes de la matriz los podemos encontrar si acomodamos los datos como si estuviéramos trabajando en una hoja de cálculo de la siguiente manera:

Ajuste de cuarto grado. La construcciรณn de la tabla fundamental para el caso polinomial 4to grado estรก dado por:

Y las ecuaciones normales estรกn dadas por el siguiente sistema de 5 variables y 5 ecuaciones:

VIII.

IX.

Cronograma

Recursos

Y en este caso es necesario recurrir al ordenador para poder resolver "de manera sencilla" este sistema de ecuaciones. En este trabajo se utilizarán los sistemas algebraicos especializados en cómputo científico que son: •

Wólfram Alpha desde: www.wolframalpha.com

•

QtOctave versión .8.2 desde: http://octave-online.net/

•

Además de la hoja de cálculo de Microsoft Excel 2010 del sistema operativo Windows 7.

Referencias bibliográficas (artículos de libros de textos científicos) •

Box George E., Hunter J. Stuart, Hunter William G. (2008) Estadística para investigadores: Diseño, Innovación y Descubrimiento. (Segunda Edición) España, Barcelona, Ed. Reverté.

•

Box George E., Hunter William G., Hunter J, Stuart (1999) Estadística para investigadores: Introducción al diseño de experimentos, Análisis de Datos y Construcción de Modelos. (Primera Edición) España, Barcelona, Ed. Reverté.

•

Chapra Steven C. y Canale Raymond P. (2011). Métodos numéricos para ingenieros. (6ta. Edición) México, D.F.: Editorial McGraw-Hill Interamericana.

•

Dukkipati Rao V. (2010) Numerical Methods (First Edition) U.S.A. Ed. New Age International Limited Publishers.

•

Gujarati, Damodar (2003) Basic Econometrics, (Second Edition) Ed. McGraw-Hill, U.S.A., New York.

•

Gutiérrez Banegas Ana. (2012). Probabilidad y estadística: Un Enfoque por competencias. México D.F.: Editorial McGraw-Hill Interamericana.

•

Harnett Donald L., Murphy James L., (1987) Introducción al Análisis Estadístico. México D.F.: Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, S.A.

•

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