Adaptación al nuevo formato de entrega PT2
Archivo anexo
Elaboración de la justificación del proyecto de investigación
1.2 Justificación
El CEDART “Ignacio Mariano de las casas” que es una institución educativa de nivel básico y media superior tiene como característica especial, además de las materias académicas de la currículo general de este tipo de escuelas, cuenta también con asignaturas artísticas como son música, artes plásticas, danza, literatura y teatro, es por esto que es necesario justificar el adecuado rendimiento de dichas actividades artísticas, ya que los estudiantes buscas una especialización además del simple bachillerato, por lo cual en los planes y programas de estudio se tiene la obligación de la actualización curricular, la medición de los resultados tanto académicos como artísticos, misma que debe de ir de la mano de los planes y programas básicos de este nivel.
Este ciclo escolar la SEP llevan a cabo las primeras pruebas piloto de los nuevos planes y programas de estudio, entre ellos, el de la educación media superior, para ello se buscó la colaboración de maestros y pedagogos especializados de cada plantel para la reforma de dichos planes, incluyendo los de especialidades artísticas, utilizando únicamente la experiencia de cada docente e investigadas/os y sin tomar en cuenta los datos estadísticos reales del aprovechamiento escolar obtenido en la historia de cada una de las instituciones.
El uso de herramientas matemáticas que muestren a futuro los esfuerzos realizados por las entidades académicas y les permitan acceder a la realización de adecuaciones que
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promuevan una mejora en la calidad que hoy por hoy imparten los llevará al logro de los máximos objetivos académicos, por ello una herramienta que ayude a las predicciones de dichos rendimientos representan acciones de vital importancia para la promoción de la calidad académica de cualquier institución.
Este trabajo busca establecer mediante herramientas matemáticas los datos reales del aprovechamientos tomando como muestra las últimas cinco generaciones, que nos llevaran a la obtención de los datos duros de la realidad del rendimiento escolar tanto en las materias académicas, artísticas y la compilación de ambas, proporcionando las herramientas adecuadas para la correcta implementación de los planes y programas de estudio.
Esta información abrirá una ventana para poder dirigir a los alumnos de mejor aprovechamiento para la obtención de becas y/o intercambios con instituciones ya sea nacionales o internacionales mostrando de manera real el nivel que la institución maneja.
De la misma manera esta información servirá para seleccionar al personal docente mejor desempeño garantizando con esto que el CEDART “Ignacio Mariano de las Casas” se convierta y conserve un nivel de alta calidad académica y su prestigio.
A manera de instituciones escolares la SEP solicita anualmente el llenado del formato 911, el cual contiene la información estadística del plantel para ser incluido a los planteles del municipio y estatales a su vez de estados formando así la base de datos estadísticos de todas las escuelas del país, en esta investigación se generan dichos datos además de pronosticar los siguientes años generando una estadística presuntiva para la institución.
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En este trabajo por medio de las cadenas de Márkov se pronosticará el desempeño a largo plazo el desempeño de la institución educativa, con esto se justifica la supervivencia de esta y la inversión que se necesita para su funcionamiento, de la misma forma demuestra el nivel académico que se tiene y desde ese pronóstico se podrá planear los cambios necesarios para lograr la excelencia académica.
En cuanto al personal docente se podrá predecir cual es la relación del desempeño de acuerdo con el nivel académico que ostenta el maestro en el presente y las oportunidades de profesionalizarse mediante programas de capacitación para poder alcanzar la excelencia académica.
Las herramientas matemáticas han sido utilizadas para el pronóstico de diferentes fenómenos como son los naturales, con respecto al clima o la probabilidad de lluvia de acuerdo a ciertos parámetros, financieramente hablando podemos predecir como es que se moverán ciertas divisas de acuerdo a como ha estado fluctuando en los últimos periodos de tiempo o de acuerdo a cambios políticos o sociales, por ello la utilización de las matemáticas representa la herramienta clave en el pronóstico de eventos de cualquier índole.
Las herramientas matemáticas estocásticas, aquellas cuyo comportamiento no es determinista, es decir, es un proceso que depende sólo del estado anterior, por ello su utilización nos permite pronosticar los fenómenos a partir de estados iniciales, en esta investigación se utilizaron las cadenas de Márkov que representan modelos simplificados creados para la toma de decisiones.
Los modelos de Márkov se han utilizado con éxito en los problemas donde se pretende generar pronósticos a partir de un evento inicial, esto es, las acciones iniciales determinan
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la acción inmediata a seguir o el que se le llama el siguiente estado, además de la forma en que se deberán de tomar los siguientes valores, entonces con cada valor obtenido generamos una cadena de valores que nos permite llegar a cualquier valor futuro arbitrariamente lejano.
Elaboración de capítulo 4 Metodología
CAPÍTULO 4 Metodología
En esta parte se hace un análisis de los que constituye la fundamentación metodológica de la investigación que abarca los temas relacionados con la investigación cuantitativa, así como la metodología empleada y el diseño de la investigación
4.1 Investigación cuantitativa.
La presente investigación se realizó de tipo cuantitativa de abstracción aplicada ya que se buscó la solución a un problema práctico de un grupo de estudiantes, en este caso una institución pública de educación básica del nivel secundaria y bachillerato situado en la ciudad de Querétaro. De forma deductiva ya que partió de una premisa inicial para llegar a una conclusión general del problema. A manera correlacional debido a que partimos de hechos establecidos con una relación causa efecto para la solución de una problemática. Tratando de establecer una generalización fundamental ya que se realizó a una pequeña muestra para generalizar el fenómeno. Buscando un estudio de naturaleza descriptivocausal, debido a que se buscó visualizar a través de una amplitud de datos numéricos la relación causativa entre las variables independientes y dependiente. Se menciona una técnica conjunta para correlacionar los resultados y determinar una conclusión. Finalmente,
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con la metodología cuantitativa, se llevaron a cabo mediciones sistemáticas de los eventos, así como un análisis estadístico resultante.
4.2 Diseño de la investigación
El diagrama que ilustra el diseño metodológico que dirige la realización de este estudio fue:
G1 X1 01
4.3 Participantes
La población está constituida por 150 alumnos que cursan la educación básica en el nivel medio superior de la institución donde se llevó a cabo la investigación, todos ellos cursaron un ciclo escolar competo, esto es, cumplieron con los 6 semestres de nivel bachillerato y obtuvieron una calificación aprobatoria final del ciclo escolar.
La evaluación final está conformada por tres exámenes parciales a lo largo de cada uno de los semestres, cuyo promedio, de ser aprobatorio, representará el rendimiento escolar por asignatura y del semestre correspondiente para el estudiante, en caso de que no llegara a aprobar alguno de las evaluaciones parciales tiene derecho a presentar un remedial al final del semestre, mismo que se promediará con las 3 calificaciones parciales.
Dado que algunos estudiantes no aprueban las asignaturas con el proceso remedial tendrán 2 oportunidades de exámenes extraordinarios, en caso de que no después de estos su rendimiento no sea aprobatorio, se deberá de recursar la materia pertinente, sólo en caso de que no apruebe en el recursamiento, el estudiante será dado de baja definitiva del plantel.
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4.4 Procedimiento de recolección de datos
Para la investigación se tomaron en cuenta cinco generaciones (2015-2018, 2016-2019, 2017-2020, 2018-2021 y 2019-2022) estos datos fueron suministrados por la secretaria académica de la institución objeto de estudio de manera confidencial es formatos PDF y copias de registros de calificaciones.
La recopilación de datos se llevó a cabo dentro de los meses de septiembre del 2022 a enero de 2023.
4.5 Criterios de exclusión
Los criterios de exclusión se realizarán cuando:
• El estudiante no haya terminado los 6 semestres continuos representativos del nivel media superior.
• El estudiante no se haya dado de baja antes de cursar los 6 semestres representativos del nivel media superior.
• El estudiante no haya realizado un cambio de institución en alguno de los 6 semestres representativos del nivel media superior.
• El estudiante suspenda sus estudios parcial o total por enfermedad o gravidez.
• El estudiante presente deficiencias cognitivas para el aprendizaje.
• Otras que se presenten en el proceso de investigación.
4.6 Procesamientos de datos
Para la investigación se capturo en la aplicación de hoja de datos Excel cada una de las calificaciones de las asignaturas del alumno por semestre cursado, incluyendo las
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evaluaciones correspondientes a los exámenes extraordinarios, resumiendo así en un archivo todo su historial académico.
Se realizo una separación especial para cada uno de los específicos que imparte la institución, esto es, danza, teatro, artes plásticas, música y literatura, estas para generar una distinción de aprovechamiento entre las asignaturas académicas y artísticas, así como el aprovechamiento general de cada uno de ellos.
Una vez recopilados los datos de cada una de las cinco generaciones se gestionó un archivo que compilaba la información de cada una de estas para llevar a cabo el acumulado total de calificaciones que representan el rendimiento escolar de las generaciones.
Se generó por separado el tratamiento de datos para la generación del modelo matemático estocástico para cada una de las caminatas, sus grafos representativos y sus matrices de transición, los cuales fueron procesados por medio de la aplicación de POM QM para Windows, donde se obtuvo cada uno de los vectores de probabilidad estacionarios.
4.7 Planteamiento del modelo estocástico
Para el planteamiento del modelo estocástico se utilizó la compilación de la información obtenida de la institución, dado que se calculó el promedio por semestre y por generación, se puede entonces definir la variable aleatoria que representará al promedio obtenido por la generación, en este caso ��, a partir de aquí se realizó la caminata y el grafo correspondiente para la generación de la matriz de transición.
Dado que el proceso nos llevará a un pronóstico a través del tiempo, este nos indicará el comportamiento del rendimiento escolar de los alumnos y por medio de las propiedades de los procesos Markovianos, establecer un pronóstico futuro que contenga las propiedades especificas del estudio y nos permita entender el fenómeno estudiado.
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4.8 Confiabilidad del modelo
El modelo matemático obtenido a partir de las calificaciones de los estudiantes de cada una de las cinco generaciones nos permitirá validar la confiabilidad general del modelo de investigación analizado, lo que aportará la veracidad del fenómeno observado.
4.9 Variables de estudio
Dentro de las variables de estudio utilizadas en esta investigación tenemos que para cada una de las caminatas generadas podemos observar que:
Dado que cada una de las caminatas realizadas contenían diferentes datos, esto es, datos de toda una generación por medio de semestres o datos de las cinco generaciones, estas variables cambiaron dependiendo de cada uno de los estudios realizados, pero todos ellos representan un proceso estocástico con espacios de estados discretos.
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Universidad Abierta y a Distancia de México Coordinación Académica y de Investigación
División de Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
Licenciatura en Matemáticas
PROYECTO TERMINAL INFORME GENERAL DE RESULTADOS
Universidad Abierta y a Distancia de México
Rectora
Lilian Kravzov Appel
Coordinadora Académico y de Investigación
Edgar Alcantar Corchado
Dirección de Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
Dolores Alejandra Vásquez Carbajal
Responsable del Programa Educativo
Carlos Alberto Serrato Hernández
Docente en línea
Mónica Zaima Víquez Cano
Autor del proyecto
Mercedes Rodríguez Robles
IMPORTANTE
Excepto donde el contenido así lo especifique, esta obra está bajo una Licencia de Creative Commons
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Material desarrollado y/o recopilado con fines educativos por académicos externos a la Institución, perteneciente a la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México (UnADM) Ciudad de México, 2022.
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DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA
Proyecto terminal II
Uso del modelo estocástico de Cadenas
Markovianas para la predicción de rendimiento estudiantil del CEDART “Ignacio Mariano de las
Casas”
Organización:
CEDART “Ignacio Mariano de las Casas”
Mercedes Rodríguez Robles
ES1821016580
Nivel educativo: Licenciatura en Matemáticas
Asesor externo:
Lic. Matemáticas Pedro Daniel Lara Maldonado
Periodo de realización:
Mes año de inicio: julio 2022
Mes año final: febrero 2023
Santiago de Querétaro, Qro. Febrero 2023
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OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS UNADM | DCEIT | PT1 ÍNDICE ÍNDICE....................................................................................................................4 RESUMEN ..............................................................................................................7 CAPÍTULO 1 Introducción.......................................................................................8 1.1 Planteamiento del problema .................................................................................................... 9 1.2 Justificación............................................................................................................................. 12 1.3 Objetivos 15 1.3.1 General............................................................................................................................. 15 1.3.2 Específicos 15 CAPÍTULO 2 Marco Investigativo.......................................................................... 16 2.1 Rendimiento Escolar 16 2.2 Institución de la investigación................................................................................................. 17 2.2.1 Prueba Planea 18 2.2.2 Resultados planea de rendimiento escolar...................................................................... 26 CAPÍTULO 3 Marco Teórico.................................................................................. 27 3.1 Cadenas de Markov................................................................................................................. 27 3.1.1 Antecedentes 27 3.1.2 Definición ......................................................................................................................... 28 3.1.3 Desarrollo de las cadenas de Markov .............................................................................. 29 3.1.4 Clasificación de estados de las cadenas de Markov 34 3.1.5 Teoría de grafos................................................................................................................ 36 3.1.6 Software de Aplicación 41 CAPÍTULO 4 Metodología 42 4.1 Investigación cuantitativa. 42 4.2 Diseño de la investigación................................................................................................... 42 4.3 Participantes 43 4.4 Procedimiento de recolección de datos.............................................................................. 43 4.5 Criterios de exclusión .......................................................................................................... 44 4.6 Procesamientos de datos 44 4.7 Planteamiento del modelo estocástico............................................................................... 45
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS UNADM | DCEIT | PT1 4.8 Confiabilidad del modelo .................................................................................................... 45 4.9 Variables de estudio............................................................................................................ 45 CAPITULO 5 Desarrollo 47 CAPITULO 6 Conclusiones 53 Referencias 54 Anexos .................................................................................................................. 56 Anexo 1. Lista de Ilustraciones...................................................................................................... 56 Anexo 2. Lista de tablas 56 Anexo 3. Lista de Gráficas ............................................................................................................. 56
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RESUMEN
El propósito de esta investigación fue generar predicciones acerca del rendimiento escolar de alumnos de nivel media superior, específicamente bachillerato a una institución de tipo público, CEDART “Ignacio Mariano de las Casas”, mediante el uso de modelos estocásticos, en este caso, cadenas de Márkov, para la generación de un modelo matemático del fenómeno presentado y la creación de este para su uso posterior para pronosticar y con este, la toma de decisiones.
Palabras Clave: Desempeño Estudiantil; Proceso Estocástico; Cadenas de Márkov; Optimización
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CAPÍTULO 1 Introducción
Podemos decir que el rendimiento escolar es el valor numérico que se le da al estudiante tras haber cursado un ciclo escolar, donde se considera que se refleja la cantidad de conocimientos adquiridos en contra punto de los que le fueron impartidos, partiendo de aquí podríamos ver este rendimiento como un cúmulo de conocimientos, pero la realidad nos muestra que no siempre es así.
Desde la perspectiva de género sabemos que este rendimiento no siempre va relacionado con el aprovechamiento, se ha observado que este nivel es más fácil de obtenerlo por el género masculino y se presiona más al femenino, prueba de esto es cuando los estudiantes egresan del nivel básico y se integran laboralmente donde se ve la preferencia al género masculino, no importando el recinto donde son contratados, mostrando gran diferencia en salarios y niveles jerárquicos de responsabilidades.
Desde el punto de vista de las instituciones, el rendimiento escolar cataloga a las mismas y posiciona en niveles altos o bajos a los estudiantes egresados, pruebas como enlace, que miden el rendimiento escolar, pueden acabar con la reputación de una institución o ponerla como una entre las mejores, aunque esa no sea su realidad.
La predicción del rendimiento escolar, por tanto, toma una gran importancia en nuestros tiempos; a razón de que permite medir el nivel de aprovechamiento en los alumnos lo cual redundará en mejores profesionistas y por ende un mejor avance de nuestro país.
En esta investigación se realiza una predicción matemática mediante las teorías de los procesos estocásticos de las cadenas de Márkov, mostrando con él el rendimiento escolar a futuro para el análisis y comprensión del fenómeno a corto, mediano y largo plazo,
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teniendo como principal objetivo un pronóstico donde muestre la realidad del desempeño escolar.
La investigación se llevó a cabo en el CEDART1 “Ignacio Mariano de las Casas” ubicado en la ciudad de Querétaro que depende del INBAL2 y a su vez de la USEBEQ3 y la SEP4 ubicado en circuito plan vida # 116, col Centro sur, en la ciudad de Santiago de Querétaro, Qro.
1.1 Planteamiento del problema
El artículo tercero de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos indica que:
“Toda persona tiene derecho a la educación. El Estado -Federación, Estados, Ciudad de México y Municipios- impartirá y garantizará la educación inicial, preescolar, primaria, secundaria, media superior y superior. La educación inicial, preescolar, primaria y secundaria; conforman la educación básica; ésta y la media superior serán obligatorias, la educación superior lo será en términos de la fracción X del presente artículo. La educación inicial es un derecho de la niñez y será responsabilidad del Estado concientizar sobre su importancia”. (Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, s.f.)
Además, “Los planes y programas de estudio tendrán perspectiva de género y una orientación integral, por lo que se incluirá el conocimiento de las ciencias y humanidades: la enseñanza de las matemáticas, la lecto-escritura, la literacidad, la historia, la geografía, el civismo, la filosofía, la tecnología, la innovación, las lenguas indígenas de nuestro país, las
Pl1 Centro de Educación Artística, institución del INBAL como modelo educativo integral de formación de secundaria y bachillerato general con el estudio de asignaturas provenientes de cuatro áreas artísticas, música, danza, artes plásticas, literatura y teatro.
2Instituto Nacional de las Bellas Artes y Literatura.
3 Unidas de Servicios para la educación básica del estado de Querétaro.
4 Secretaria de Educación Pública.
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lenguas extranjeras, la educación física, el deporte, las artes, en especial la música, la promoción de estilos de vida saludables, la educación sexual y reproductiva y el cuidado al medio ambiente, entre otras”. (Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, s.f.)
De la misma forma indica que: “Será de excelencia, entendida como el mejoramiento integral constante que promueve el máximo logro de aprendizaje de los educandos, para el desarrollo de su pensamiento crítico y el fortalecimiento de los lazos entre escuela y comunidad” (Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, s.f.)
En el inciso IX indica que:
“Para contribuir al cumplimiento de los objetivos de este artículo, se crea el Sistema Nacional de Mejora Continua de la Educación, que será coordinado por un organismo público descentralizado, con autonomía técnica, operativa, presupuestaria, de decisión y de gestión, con personalidad jurídica y patrimonio propios, no sectorizado, al que le corresponderá:
a) Realizar estudios, investigaciones especializadas y evaluaciones diagnósticas, formativas e integrales del Sistema Educativo Nacional;
b) Determinar indicadores de resultados de la mejora continua de la educación;
c) Establecer los criterios que deben cumplir las instancias evaluadoras para los procesos valorativos, cualitativos, continuos y formativos de la mejora continua de la educación;
d) Emitir lineamientos relacionados con el desarrollo del magisterio, el desempeño escolar, los resultados de aprendizaje; así como de la mejora de las escuelas, organización y profesionalización de la gestión escolar;
e) Proponer mecanismos de coordinación entre las autoridades educativas federal y de las entidades federativas para la atención de las necesidades de las personas en la materia;
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f) Sugerir elementos que contribuyan a la mejora de los objetivos de la educación inicial, de los planes y programas de estudio de educación básica y media superior, así como para la educación inclusiva y de adultos, y
g) Generar y difundir información que contribuya a la mejora continua del Sistema Educativo Nacional.” (Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, s.f.)
Con base en esta última parte expresada del artículo 3ro de la Constitución se establece la importancia de un grupo de indicadores que aporten los resultados de mejora continua en la educación, mismos que deberán ser medidos bajo especificas características, pero realmente no hay instrumentos que recolecten como tal este rendimiento, se usa para ello normalmente las calificaciones u otros indicadores que asientan las distintas instituciones a los diferentes estudiantes dependiendo de los niveles académicos en que se encuentren.
Ciertamente las evaluaciones emitidas al final de los ciclos escolares describen de manera ambigua, en algunos casos, el desempeño de los estudiantes, pero eso no implica que este rendimiento, expresado por un número, carezca de importancia, ya que cataloga al estudiante, a un determinado nivel de conocimientos.
Este nivel de conocimiento muestra a las instituciones, de manera poco clara, como se han impartido los conocimientos y por ende, la calidad académica que esta tiene, misma que será reflejada en sus estudiantes como un promedio de los conocimientos que obtendrán los alumnos al finalizar cualquiera de los ciclos escolares, por ello motivo de reflexión y búsqueda de mejora continua, como lo indica el artículo 3ro de la Constitución, para lograr cada vez un desempeño más adecuado en los alumnos y que este se vea reflejado en un estilo de vida acorde a las condiciones económicas y sociales en que este se desenvuelve.
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La toma de decisiones que se deben de llevar a cabo para la mejora del rendimiento escolar no deja de ser un evento que implique riesgos, no se puede predecir el futuro de ninguna forma, pero si podemos hacer uso de las diferentes herramientas matemáticas que se tienen al alcance para logran un adecuado y asertivo cambio, estas nos permiten pronosticar y reducir los riesgos de la optimización.
1.2 Justificación
El CEDART “Ignacio Mariano de las casas” que es una institución educativa de nivel básico y media superior tiene como característica especial, además de las materias académicas de la currículo general de este tipo de escuelas, cuenta también con asignaturas artísticas como son música, artes plásticas, danza, literatura y teatro, es por esto que es necesario justificar el adecuado rendimiento de dichas actividades artísticas, ya que los estudiantes buscas una especialización además del simple bachillerato, por lo cual en los planes y programas de estudio se tiene la obligación de la actualización curricular, la medición de los resultados tanto académicos como artísticos, misma que debe de ir de la mano de los planes y programas básicos de este nivel.
Este ciclo escolar la SEP llevan a cabo las primeras pruebas piloto de los nuevos planes y programas de estudio, entre ellos, el de la educación media superior, para ello se buscó la colaboración de maestros y pedagogos especializados de cada plantel para la reforma de dichos planes, incluyendo los de especialidades artísticas, utilizando únicamente la experiencia de cada docente e investigadas/os y sin tomar en cuenta los datos estadísticos reales del aprovechamiento escolar obtenido en la historia de cada una de las instituciones.
El uso de herramientas matemáticas que muestren a futuro los esfuerzos realizados por las entidades académicas y les permitan acceder a la realización de adecuaciones que
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promuevan una mejora en la calidad que hoy por hoy imparten los llevará al logro de los máximos objetivos académicos, por ello una herramienta que ayude a las predicciones de dichos rendimientos representan acciones de vital importancia para la promoción de la calidad académica de cualquier institución.
Este trabajo busca establecer mediante herramientas matemáticas los datos reales del aprovechamiento; tomando como muestra las últimas cinco generaciones, que nos llevaran a la obtención de los datos duros de la realidad del rendimiento escolar tanto en las materias académicas, artísticas y la compilación de ambas, proporcionando las herramientas adecuadas para la correcta implementación de los planes y programas de estudio.
Esta información abrirá una ventana para poder dirigir a los alumnos de mejor aprovechamiento para la obtención de becas y/o intercambios con instituciones ya sea nacionales o internacionales mostrando de manera real el nivel que la institución maneja.
De la misma manera esta información servirá para seleccionar al personal docente mejor desempeño garantizando con esto que el CEDART “Ignacio Mariano de las Casas” se convierta y conserve un nivel de alta calidad académica y su prestigio.
A manera de instituciones escolares la SEP solicita anualmente el llenado del formato 911, el cual contiene la información estadística del plantel para ser incluido a los planteles del municipio y estatales a su vez de estados formando así la base de datos estadísticos de todas las escuelas del país, en esta investigación se generan dichos datos además de pronosticar los siguientes años generando una estadística presuntiva para la institución.
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En este trabajo por medio de las cadenas de Márkov se pronosticará el desempeño a largo plazo el desempeño de la institución educativa, con esto se justifica la supervivencia de esta y la inversión que se necesita para su funcionamiento, de la misma forma demuestra el nivel académico que se tiene y desde ese pronóstico se podrá planear los cambios necesarios para lograr la excelencia académica.
En cuanto al personal docente se podrá predecir cual es la relación del desempeño de acuerdo con el nivel académico que ostenta el maestro en el presente y las oportunidades de profesionalizarse mediante programas de capacitación para poder alcanzar la excelencia académica.
Las herramientas matemáticas han sido utilizadas para el pronóstico de diferentes fenómenos como son los naturales, con respecto al clima o la probabilidad de lluvia de acuerdo a ciertos parámetros, financieramente hablando podemos predecir como es que se moverán ciertas divisas de acuerdo a como ha estado fluctuando en los últimos periodos de tiempo o de acuerdo a cambios políticos o sociales, por ello la utilización de las matemáticas representa la herramienta clave en el pronóstico de eventos de cualquier índole.
Las herramientas matemáticas estocásticas, aquellas cuyo comportamiento no es determinista, es decir, es un proceso que depende sólo del estado anterior, por ello su utilización nos permite pronosticar los fenómenos a partir de estados iniciales, en esta investigación se utilizaron las cadenas de Márkov que representan modelos simplificados creados para la toma de decisiones.
Los modelos de Márkov se han utilizado con éxito en los problemas donde se pretende generar pronósticos a partir de un evento inicial, esto es, las acciones iniciales determinan
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la acción inmediata a seguir o el que se le llama el siguiente estado, además de la forma en que se deberán de tomar los siguientes valores, entonces con cada valor obtenido generamos una cadena de valores que nos permite llegar a cualquier valor futuro arbitrariamente lejano.
1.3 Objetivos
1.3.1 General
Planteamiento de un modelo estocástico de cadenas de Márkov para predecir el rendimiento estudiantil institucional del CEDART “Ignacio Mariano de las Casas”, Querétaro.
1.3.2 Específicos
• Analizar las causas que llevan a cabo en la medición del rendimiento escolar de los estudiantes del CEDART “Ignacio Mariano de las Casas”.
• Creación de la cadena de Márkov que represente el rendimiento escolar de los estudiantes del CEDART “Ignacio Mariano de las Casas”.
• Analizar las asignaturas que implican cambios radicales en el rendimiento escolar de los estudiantes del CEDART “Ignacio Mariano de las Casas”.
• Creación de la cadena de Márkov que represente el rendimiento escolar por asignaturas de los estudiantes del CEDART “Ignacio Mariano de las Casas”.
• Comparación de los niveles de rendimiento escolar con otras instituciones de igual índole.
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CAPÍTULO 2 Marco Investigativo
Para la presente investigación fue necesario la recopilación de información que nos llevó a establecer los parámetros de las definiciones, los conceptos y los datos necesarios que ya están disponibles para la descripción del tema a tratar.
2.1 Rendimiento Escolar
Una de las dimensiones más importantes en la educación es el rendimiento académico, pero también es una de las más complejas ya que se trata de evaluar los conocimientos y revisar los factores buenos y malos que llevaron al dicho logro, por tanto, demuestra el éxito o fracaso del proceso educativo del estudiante.
El rendimiento escolar puede ser expresado como aquel número que se le da al estudiante, bajo los números de 5 al 10, donde 5 es reprobado y del 6 al 10 representa la aprobación, para establecer el dominio de los saberes, este puede ser de un bloque del curso o simplemente del curso completo, en esta investigación al referirnos al rendimiento escolar tomaremos aquellos valores que obtuvo el estudiante al finalizar el curso escolar.
Definamos de manera más clara el concepto de “Rendimiento escolar”, varios autores hablan de este como:
“Nivel de conocimientos demostrado en un área o materia comparado con la norma de edad y nivel académico” (Jimenez, 2000).
“Para Joaquín Cano, el rendimiento escolar es una dimensión del rendimiento académico y es un índice de valoración de la calidad global de la educación.” (Morales Sánchez, Morales Sánchez, & Holguín Quiñones, ISSN 2007-1957).
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“Antonio González define al rendimiento escolar como la verificación de la adquisición del conjunto de valores, actitudes, conductas y conocimientos señalados como deseables por los actores sociales autorizados” (Morales Sánchez, Morales Sánchez, & Holguín Quiñones, ISSN 2007-1957).
Para esta investigación definiremos el rendimiento escolar como “el nivel de conocimientos demostrado en un área o materia al final de su ciclo escolar donde se evaluó tanto el desempeño académico como de valores, actitudes y conductas del estudiante”.
2.2 Institución de la investigación
La institución donde se llevó a cabo la investigación de nombre Centro de Educación Artística “Ignacio Mariano de las Casas”, CEDART, es una dependencia de la Secretaría de Cultura/INBA/Subdirección General de Educación e Investigación Artísticas (SGEIA) cuya oferta educativa es de secundaria y bachillerato de Artes y Humanidades, con domicilio en circuito. Plan Vida 116, Colonia Centro Sur, C.P. 07690, Querétaro, Querétaro, Tels.: 442 153 19 70 al 79.
Cuenta con una población estudiantil de 300 estudiantes que incluyen los dos niveles, básico y media superior, siendo de importancia su enfoque cultural ya que permite maneja la especialidad de Arte y Humanidades con talleres de: Danza folclórica, contemporánea y clásica, Música, Literatura, Teatro y Artes plásticas, otorgando la documentación al término de Certificado.
Este modelo educativo integra la formación del bachillerato general con el estudio de asignaturas provenientes de cinco áreas artísticas. Por su carácter propedéutico, proporciona las bases y los conocimientos necesarios para continuar estudios de nivel superior, tanto en el campo de las artes como en las ciencias y las humanidades. El propósito de este bachillerato no es formar artistas. No obstante, a partir de la integración de saberes de la danza, la música, el teatro, literatura y las artes plásticas, contribuye en el desarrollo
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de habilidades cognitivas, afectivas, sociales y expresivas que redundan en una auténtica formación integral de sus egresados.
El ingreso a este modelo educativo implica conciencia de que los estudios artísticos son rigurosos y que requieren de una mayor certidumbre vocacional y total disposición para cursarlos en armonía con el resto de las asignaturas del bachillerato. Por el mismo motivo, el proceso de admisión busca comprobar estas condiciones en los aspirantes a efecto de que se cumplan las expectativas institucionales y personales.
2.2.1 Prueba PLANEA
La Secretaría de Educación Pública en coordinación con la Comisión Nacional para la Mejora Continua de la Educación y las autoridades educativas de las entidades federativas, aplica la prueba Planea en Educación Media Superior a estudiantes del último grado en poco más de 18,000 escuelas de Educación Media Superior del país de carácter público, federal y estatal, en los planteles particulares con Reconocimiento de Validez Oficial de Estudios (REVOE) otorgado por la SEP o por las entidades federativas, así como en las instituciones autónomas y en sus escuelas particulares incorporadas.
Esta prueba tiene el propósito de conocer en qué medida el estudiantado logra dominar un conjunto de aprendizajes esenciales al término de la Educación Media Superior, en dos campos de formación: Lenguaje y Comunicación y Matemáticas.
PLANEA5, agrupa los resultados obtenidos por los estudiantes en cuatro niveles de logro los cuales informan acerca de los aprendizajes clave que deben ser adquiridos por el estudiantado y en qué medida se han apropiado de ellos. Es importante señalar que estos niveles van del I al IV en orden progresivo, es decir, el nivel más bajo es el I y el más alto es
5 El Plan Nacional para la Evaluación de los Aprendizajes
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el IV. Además, son acumulativos, ya que los estudiantes que se ubican en el nivel II cuentan con los aprendizajes del nivel previo (NI) y así sucesivamente.
A continuación, se presenta la descripción genérica de los niveles de logro:
Nivel I: El estudiantado que se ubica en este nivel tiene un conocimiento insuficiente de los aprendizajes clave incluidos en los referentes curriculares. Esto refleja mayores dificultades para continuar con su trayectoria académica.
Nivel II: El estudiantado que se ubica en este nivel tiene un conocimiento elemental de los aprendizajes clave incluidos en los referentes curriculares.
Nivel III: El estudiantado que se ubica en este nivel tiene un conocimiento satisfactorio de los aprendizajes clave incluidos en los referentes curriculares.
Nivel IV: El estudiantado que se ubica en este nivel tiene un conocimiento sobresaliente de los aprendizajes clave incluidos en los referentes curriculares.
PLANEA Educación Media Superior está diseñada para ofrecer a padres y madres de familia, al estudiantado, al profesorado, la dirección, autoridades educativas y sociedad en general, información específica sobre el logro académico de las escuelas y, utilizada adecuadamente, constituye un potente instrumento que puede contribuir a mejorar la calidad de la educación.
2.2.1.1 Características de la prueba PLANEA
→ Es una prueba objetiva y estandarizada.
→ Está alineada al Marco Curricular Común, en particular a los campos de formación asociados con las competencias de Lenguaje y Comunicación y Matemáticas.
→ Está conformada por 100 reactivos de opción múltiple, 50 que evalúan Lenguaje y Comunicación y 50 de Matemáticas.
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→ Es una prueba de referencia criterial o un test que NO está diseñada para derivar conclusiones al respecto del desempeño de las escuelas o las y los docentes.
→ Sus resultados NO deben tener consecuencias académicas o de otro tipo para el estudiantado, el profesorado o sus escuelas.
→ Es una prueba de diagnóstico, NO es una prueba de selección para el ingreso a instituciones de Educación Superior.
→ Ofrece información pertinente y oportuna a las escuelas y al profesorado, contribuyendo así al desarrollo de directrices para la mejora del sistema.
2.2.1.2 Resultados PLANEA 2015
Los resultados obtenidos por el CEDART en la prueba Planea en el 2015
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Lenguaje y Comunicación I II III IV % de alumnos de la escuela en cada nivel de logro 7.5% 10.0% 37.5% 45.0% Porcentaje de alumnos de escuelas parecidas en cada nivel de logro S/R S/R S/R S/R Porcentaje de alumnos en todas las escuelas de México en cada nivel de logro 23.1% 20.2% 34.7% 21.9%
TABLA 1: PLANEA 2015: LENGUAJE Y COMUNICACIÓN, CREACIÓN PROPIA
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Matemáticas I II III IV % de alumnos de la escuela en cada nivel de logro 7.3% 43.9% 39% 9.8% Porcentaje de alumnos de escuelas parecidas en cada nivel de logro S/R S/R S/R S/R Porcentaje de alumnos en todas las escuelas de México en cada nivel de logro 46.3% 36.9% 14.0% 2.8% T
0 10 20 30 40 50 IIIIIIIV 2015
Porcentajes de logro por nivel CedartSimilarNacional
GRAFICA 1: PLANEA 2015: LENGUAJE Y COMUNICACIÓN, CREACIÓN PROPIA
ABLA 2: PLANEA 2015: MATEMÁTICAS, CREACIÓN PROPIA
Lenguaje y comunicación
2.2.1.3 Resultados PLANEA 2016
Los resultados obtenidos por el CEDART en la prueba Planea en el 2016
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GRAFICA 2: PLANEA 2015 MATEMÁTICAS, CREACIÓN PROPIA
Lenguaje y Comunicación I II III IV % de alumnos de la escuela en cada nivel de logro 2.7% 10.8% 37.8% 48.6% Porcentaje de alumnos de escuelas parecidas en cada nivel de logro 2.7% 10.8% 37.8% 48.6% Porcentaje de alumnos en todas las escuelas de México en cada nivel de logro 18.1% 21.8% 36.5% 23.6%
0 10 20 30 40 50 IIIIIIIV
de logro
CedartSimilarNacional
TABLA 3: PLANEA 2016: LENGUAJE Y COMUNICACIÓN, CREACIÓN PROPIA
2015 Matemáticas Porcentaje
por nivel
2016 Lenguaje y comunicación
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Matemáticas I II III IV % de alumnos de la escuela en cada nivel de logro 5.3% 39.5% 47.4% 7.9% Porcentaje de alumnos de escuelas parecidas en cada nivel de logro 5.3% 39.5% 47.4% 7.9% Porcentaje de alumnos en todas las escuelas de México en cada nivel de logro 32.6% 42.1% 21.0% 4.4% T
0 10 20 30 40 50 60 IIIIIIIV
GRAFICA 3: PLANEA 2016: LENGUAJE Y COMUNICACIÓN, CREACIÓN PROPIA
ABLA 4: PLANEA 2016: MATEMÁTICAS, CREACIÓN PROPIA
Porcentajes de logro por nivel CedartSimilarNacional
2016 Matemáticas
2.2.1.4 Resultados PLANEA 2017
Los resultados obtenidos por el CEDART en la prueba Planea en el 2017
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GRAFICA 4: PLANEA 2016: MATEMÁTICAS, CREACIÓN PROPIA
Lenguaje y Comunicación I II III IV % de alumnos de la escuela en cada nivel de logro 5.9% 0.0% 44.1% 50.0% Porcentaje de alumnos de escuelas parecidas en cada nivel de logro 22.9% 29.9% 35.4% 11.8% Porcentaje de alumnos en todas las escuelas de México en cada nivel de logro 33.9% 28.1% 28.7% 9.2%
0 10 20 30 40 50 IIIIIIIV
T
ABLA 5: PLANEA 2017: LENGUAJE Y COMUNICACIÓN, CREACIÓN PROPIA
CedartSimilarNacional
Porcentaje de logro por nivel
2017 Lenguaje y comunicación
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Matemáticas I II III IV % de alumnos de la escuela en cada nivel de logro 21.4% 25.0% 25.0% 28.6% Porcentaje de alumnos de escuelas parecidas en cada nivel de logro 48.6% 31.8% 14.2% 5.3% Porcentaje de alumnos en todas las escuelas de México en cada nivel de logro 66.2% 23.3% 8.0% 2.5%
0 10 20 30 40 50 60 IIIIIIIV
GRAFICA 5: PLANEA 2017: LENGUAJE Y COMUNICACIÓN, CREACIÓN PROPIA
TABLA 6: PLANEA 2017: MATEMÁTICAS, CREACIÓN PROPIA
Porcentajes de logro por nivel CedartSimilarNacional
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Resultados
GRAFICA 6: PLANEA 2017: MATEMÁTICAS, CREACIÓN PROPIA
2.2.2
PLANEA de rendimiento escolar
0 10 20 30 40 50 60 70 IIIIIIIV 2017 Matemáticas Porcentaje de logro por nivel CedartSimilarNacional 0 10 20 30 40 50 60
GRAFICA 7: PLANEA LENGUAJE Y COMUNICACIÓN, CREACIÓN PROPIA
Comunicación IIIIIIIV
Cedart2015NacionalCedart2016NacionalCedart2017Nacional
Lenguaje y
CAPÍTULO 3 Marco Teórico
En esta sección se describen detalladamente las herramientas matemáticas que nos ayudarán a la obtención de las predicciones a partir de los datos obtenidos, las teorías que se llevarán a cabo mediante el proceso, así como el software de aplicación que se utilizará para los cálculos matemáticos, además de los trabajos realizados con anterioridad por distintos autores para la obtención de esta información.
3.1 Cadenas de Márkov
3.1.1 Antecedentes
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GRAFICA 8: PLANEA MATEMÁTICAS, CREACIÓN PROPIA
0 10 20 30 40 50 60 70 Cedart2015NacionalCedart2016NacionalCedart2017Nacional Matemáticas IIIIIIIV
Las cadenas de Márkov fueron introducidas por el matemático ruso Andrei Márkov (1856‐1922) alrededor de 1905, con el objetivo de crear un modelo probabilístico parara analizar la frecuencia con la que aparecen las vocales en poemas y textos literarios. Las cadenas de Márkov pueden aplicarse a una amplia gama de fenómenos científicos y sociales.
Andrei Márkov fue alumno de la universidad de San Petersburgo, discípulo de Chebyshev como Liapunov, después de su doctorado en 1886 accedió como adjunto a la Academia de Ciencias de San Petersburgo, a propuesta del propio Chebyshev.
En 1989, cuando Chebyshev dejó la universidad, le sustituyó en los cursos de teoría de probabilidad. En 1925 Andrei Márkov dejó definitivamente la universidad. Aparte de su perfil académico, Andrei Márkov fue un activista político oponiéndose a los privilegios de la nobleza zarista, llegando a rechazar las condecoraciones del zar en protesta por decisiones políticas relacionadas con la Academia de Ciencias.
Andrei Márkov influyó sobre diversos campos de las matemáticas, sobresaliendo con la teoría de la probabilidad. En 1887 completó la prueba que permitía generalizar el teorema central del límite que ya había avanzado Chebyshev, aunque su aportación más conocida se encuentra en los procesos estocásticos, elaborando un instrumento matemático que actualmente se conoce como cadena de Márkov, instrumento que, hoy en día, se consideran una herramienta esencial en disciplinas como la economía, la ingeniería, la investigación de operaciones y muchas otras.
3.1.2 Definición
Un proceso estocástico o proceso aleatorio ���� es un concepto matemático que se utiliza para usar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias o estocásticas que varían en función de otra variable, generalmente
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el tiempo. Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituyen un proceso estocástico.
En teoría de la probabilidad, una Cadena de Márkov en tiempo discreto (CMTD) es un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un suceso depende solamente del suceso inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria se conoce como propiedad de Márkov (recibe el nombre del matemático ruso Andrei Márkov, que introdujo en 1907).
Definimos entonces a una cadena de Márkov como:
“Sea ���� una variable aleatoria que caracteriza el estado del sistema en puntos discretos en el tiempo ��= 1,2… . La familia de variables aleatorias {����} forma un proceso estocástico con una cantidad finita o infinita de estados.” (Taha, 2012)
ILUSTRACIÓN 1: EJEMPLO DE CADENA DE MÁRKOV, CREACIÓN PROPIA
3.1.3 Desarrollo de las cadenas de Márkov
Una Cadena de Márkov es una secuencia (��1,��2,��3,…..����) de variables aleatorias, el dominio de estas variables es el llamado Espacio Estado. El valor ���� es el estado del proceso en el tiempo ��.
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La distribución de la probabilidad condicionada de ����+1 en estados pasados es una función de ���� por sí sola, siendo ���� el estado del proceso en el instante i‐ésimo.
Si |��|<∞ se dice que la Cadena de Markov es finita, en caso contrario se dice que es infinita.
3.1.3.1 Cadena homogénea y no homogénea
Una Cadena de Márkov se dice homogénea si la probabilidad de ir del estado �� al estado �� en un paso no depende del tiempo en el que se encuentra la cadena: Cadena homogénea:
Si para alguna pareja de estados y para algún tiempo �� la propiedad mencionada no se cumple se dice que la Cadena de Markov es no homogénea.
3.1.3.2 Probabilidad y matriz de transición
Si una Cadena de Márkov está en el estado ��−é��������, hay una probabilidad ������de pasar al próximo estado ��−é��������, a esta probabilidad ������ se la llama probabilidad de Transición.
La probabilidad ������ de pasar del estado �� al estado �� en un paso se llama probabilidad de transición de �� a
Las probabilidades de transición conforman la matriz de transición P, que es con rigor una matriz (finita) sólo para cadenas de Márkov finitas, aunque también se conserva el nombre y la notación para cadenas de Márkov infinitas.
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��[����+�� =����+��|���� =����,����−�� =����−��,…���� =����,���� =����]=��[����+�� =����+��|���� =����]
cualesquiera ��≥0��{����+1,��1,��2,….,����}∈��
Para
��[���� =��|����−�� =��]=��[���� =��|���� =��] para todo nodo ∀��,��.
: ������ =��������[����+�� =��|���� =��]
��
Cada fila de la matriz de transición debe sumar 1 por las propiedades básicas de probabilidad.
El modelo para redes se puede considerar una cadena de Márkov donde �� son los vértices del grafo dirigido y ������ es el inverso del número de aristas salientes desde �� cuando hay una arista de �� a �� y cero en otro caso.
La matriz de transición en un solo paso, dada una cadena de Márkov con �� estados posibles ��=(��1,��2,…,����) y probabilidades de transición estacionarias, viene dada por la expresión:
3.1.3.3 Matriz de transición
El Vector distribución es un vector fila no negativo con una entrada para cada estado del sistema.
Vector probabilidad es un vector ��=(��1,��2,…,����) con entradas no negativas, de forma que se agregan hasta llegar a 1. Las entradas pueden representar las probabilidades de encontrar un sistema en cada uno de los estados.
El vector de distribución ��=(��1,��2,…,����) y la matriz de transición P determinan la probabilidad para el estado de la cadena en el segundo instante de tiempo, dicha probabilidad viene dada por el vector (����).
Distribución después del 1 paso: ����
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∑������ = ��∈�� ∑��[��1 =��|��0 =1]= ��∈�� ��[��1 ∈��|��0 =��]
���������� =��[����+1 =����|���� =����]⇒��=(��11 ��12 ⋯��1�� ��21 ��22 ⋯��2�� ⋮ ����1 ⋮ ����2 ⋯ ⋯ ⋮ ������)
���� ≥0����������=1,2,…,�� ∑��
�� =1 �� ��=1
Distribución después del 2 paso: (����) ∙�� = ����2
Distribución después del 3 paso: (����2) ∙�� = ����3
Y así sucesivamente llegamos a Distribución después del n paso: (������−1) ∙�� = ����
Una notación conveniente para representar las probabilidades de transición de �� pasos es la matriz de transición de �� pasos:
La probabilidad de transición en una fila y columna dadas es la transición del estado en esa fila al estado en la columna. Cuando �� = 1 el superíndice �� no se escribe y se hace referencia a ésta como una matriz de transición.
Las probabilidades de transición en �� pasos son las probabilidades de transición del estado �� al estado �� en �� pasos, denotándose como:
Las cadenas de Márkov que se analizan tienen las propiedades:
• Un número finito de estados.
• Probabilidades de transición estacionarias.
3.1.3.4 Vector de Probabilidad Estacionario
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��
���� =(��11 �� ��12 �� ⋯��1�� �� ��21 �� ��22 �� ⋯��2�� �� ⋮ ����1 �� ⋮ ����2 �� ⋯ ⋯ ⋮ ������ �� )
������ �� =(���� =��|��0 =��)=��(����+�� =��|���� =��) �������������������� ������ 1 =������
Un vector de probabilidad �� ya sea finito o infinito numerable se dice estacionario para una cadena de Márkov en tiempo discreto (CMTD) si cualquier transición de acuerdo con la matriz �� verifica:
Al vector de probabilidad estacionario �� también se le denomina distribución estacionaria o distribución de equilibrio.
Cuando la cadena de Márkov se va aproximando de estado en estado hacia un estado de equilibrio se le llama estado estable, que se determina por
Un vector de probabilidades
De una cadena de Márkov en tiempo discreto se le llama límite si:
El vector de probabilidades de �� de una cadena de Márkov es tiempo discreto se dice el único vector de probabilidades en equilibrio de la cadena sí ���� ������ convergen
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���� =∑���������� ∞ ��=0 ������������≥0 ��������á�� ∑���� =1 ∞ ��=0 ���������� ���� �������������������������������������������������������������������������������������������� ���� = 1 ���� ����������������������������������������������������������������������������������������
���� =�� ∑���� =1 ∞ ��=0
��0 =(��0 0,��1 0,…,���� 0 ,…)
��̃=lim ��→∞ ���� =lim ��→∞ ��0���� =��0 lim ��→∞ ���� =��0�� ̃
independientemente de la distribución ��0, cada probabilidad es mayor estrictamente que cero.
3.1.4 Clasificación de estados de las cadenas de Márkov
Estado alcanzable:
Dados dos estados �� y ��, una trayectoria de �� a �� es una secuencia de transiciones que comienza en �� y termina en ��, tal que cada transición en la secuencia tiene una probabilidad positiva de ocurrir. Un estado �� es alcanzable desde el estado �� si hay una trayectoria que conduzca de �� a ��.
Estados que se comunican:
Se dice que dos estados �� y �� se comunican si �� es alcanzable desde ��, y de igual manera �� es alcanzable desde ��.
Conjunto cerrado:
Un conjunto de estados �� de una Cadena de Markov es cerrado si ningún estado fuera de �� es alcanzable desde algún estado en ��
Estado absorbente:
Es un estado en el que ������ =1������ =0. Siempre que se entra en un estado absorbente, no se sale de él; un estado absorbente es un conjunto cerrado que contiene sólo un estado.
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ILUSTRACIÓN 2 EJEMPLO: EL ESTADO 3 ES ABSORBENTE. CREACIÓN PROPIA. TOMADO DE IMÁGENES WIKIPEDIA
Estado transitorio:
Un estado �� es transitorio si existe un estado �� que es alcanzable desde ��, pero el estado �� no es alcanzable desde el estado ��.
ILUSTRACIÓN 3 EJEMPLO: EL ESTADO 2 ES TRANSITORIO. CREACIÓN PROPIA. TOMADO DE IMÁGENES WIKIPEDIA
Estado recurrente:
Es un estado que no es transitorio.
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Estado periódico:
Un estado �� es periódico con periodo ��>1 si �� es el número más pequeño tal que las trayectorias que conducen al estado �� de regreso al estado �� tienen una longitud que es un múltiplo de �� . Si un estado recurrente no es periódico, se conoce como aperiódico (Winston, 2008).
3.1.5 Teoría de grafos
Un grafo es una estructura matemática que consta de vértices y aristas que conectan estos vértices; En términos elementales podríamos definir un grafo como un conjunto de puntos (llamados elementos, vértices, nudos o nodos) con líneas que unen pares de vértice de ellas; en algunos libros se usa red como sinónimo de grafo. (Álvarez Núñez & Parra Muñoz, 2013)
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ILUSTRACIÓN 4 EJEMPLO: LOS ESTADOS 1, 2 Y 3 SON RECURRENTES. CREACIÓN PROPIA. TOMADO DE IMÁGENES WIKIPEDIA
ILUSTRACIÓN 5 EJEMPLO: CADENA DE PERÍODO 3. CREACIÓN PROPIA. TOMADO DE IMÁGENES WIKIPEDIA
3.1.5.1 Definición
Un grafo es una abstracción matemática que designaremos por ��=(��,��)
Donde
�� es el conjunto de vértices o puntos ����,��≠∅ y
�� es el conjunto de líneas que unen dos puntos de ��;
�� puede ser vacío (∅), llamado conjunto de las aristas que están relacionadas mediante la aplicación ��
A cualquier arista de un grafo se le puede asociar una pareja de vértices de este. Si ������ son dos vértices de un grafo y la arista a está asociada con este par, escribiremos ��=����
Un grafo se representa mediante un diagrama en el cual a cada vértice le corresponde un punto y si dos vértices son adyacentes se unen sus puntos correspondientes mediante una línea.
Ejemplo:
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��={��1,��2,��3,…,��9} ��={(��1��2),(��2��4),(��3��7),(��6��8),(��7��6),(��7��8),(��3��1),(��7��4),(��9��9)}= ��={��1,��2,��3,…,��9} ��:��→��������������1 →���� ������������������������������������������������é����������1������é������������ ���������������� ��:(��1)= ��1 →��2 ��:(��5)= ∅ ��:(��9)= ��9 →��9 =��9 ��:(��7)= {��7 →��6,��7 →��4,��7 →��8}={��5,��6,��7 }
Entonces el grafo sería:
En el diagrama geométrico los nudos o vértices estarán indicados por pequeños círculos y las conexiones mediante arcos, líneas o rectas, los cuales pueden tener dirección o no, de donde se generan dos clasificaciones de grafos: Los dirigidos y los no dirigidos, donde llamaremos arco a la relación de dirección que existe entre 2 nodos.
3.1.5.2 Grafos no Dirigidos
Los grafos no dirigidos es propiamente aquel grafo que no considera dirección, esto es, las aristas no tienen sentido, luego la relación existente es simétrica.
3.1.5.3 Grafos Dirigidos
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ILUSTRACIÓN 6: EJEMPLO DE GRAFO, TOMADO DE: (ÁLVAREZ NÚÑEZ & PARRA MUÑOZ, 2013)
ILUSTRACIÓN 7: GRAFO NO DIRIGIDO, TOMADO DE: (ÁLVAREZ NÚÑEZ & PARRA MUÑOZ, 2013)
Grafo dirigido es aquel grafo en el cual la relación existente entre los elementos considera su dirección, Se puede recalcar que si ��=(��,��) es un dígrafo, o grafo dirigido, entonces la relación
T, en general no es simétrica; es decir (����)≠(����)∀��,�� ∈��
3.1.5.4 Camino
Es una ruta que se debe seguir para llegar de un punto a otro. Lo representaremos por
), sabiendo que entre un punto y otro puede haber más de un camino.
Ejemplo: si trazamos el camino de ��(��1��4) este pasa por los puntos ��(��1,��2,��3,��4) entonces
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ILUSTRACIÓN 8: GRAFO DIRIGIDO, TOMADO DE: (ÁLVAREZ NÚÑEZ & PARRA MUÑOZ, 2013)
��(��������
��(��1��4)=��(��1,��2,��3,��4)
ILUSTRACIÓN 9: EJEMPLO DE CAMINO, TOMADO DE: (ÁLVAREZ NÚÑEZ & PARRA MUÑOZ, 2013)
3.1.5.5 Vértices Adyacentes
Se dice que dos vértices son adyacentes si están conectados por una arista o por un arco.
Ejemplo: los vértices ��1��4 son adyacentes, los vértices ��4��3 no lo son
ILUSTRACIÓN 10: VÉRTICES ADYACENTES, TOMADO DE: (CIENCIAS.MEDELLIN.UNAL.EDU.CO, S.F.)
3.1.5.6 Matriz de Adyacencia
Sea �� un grupo cuyo conjunto de vértices es ��={��1,��2,…����}, llamaremos matriz de adyacencia del grafo �� a la matriz ��=(������) de ��-filas y ��-columnas, donde
Ejemplo: Utilizando el grafo:
ILUSTRACIÓN 11: GRAFO EJEMPLO MATRIZ DE ADYACENCIA, TOMADO DE: (CIENCIAS.MEDELLIN.UNAL.EDU.CO, S.F.)
Su matriz de adyacencia está dada por
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������ ={ 1�������� ������ �������������������������� 0�������� ������ ������������������������������
Donde, todos los ceros de la matriz A significan que no hay ningún camino entre los vértices correspondientes; todos los unos de la matriz A significan que existe un camino entre los vértices correspondientes.
3.1.6 Software de Aplicación
Para la realización de los procesos de cálculo de las matrices se utilizará el software POM QM para Windows que es un programa para la gestión de producción/operaciones, métodos cuantitativos, ciencia de la gestión e investigación de operaciones; mismo que al ser una herramienta de software libren nos permite utilizarlo sin necesidad de pago; de igual forma para la generación de grafos se utilizará la aplicación DIA que de la misma forma es software libre.
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS UNADM | DCEIT | PT1 ��=[01 10 00 00 0 1 1 0 0 0 1 0]
CAPÍTULO 4 Metodología
En esta parte se hace un análisis de los que constituye la fundamentación metodológica de la investigación que abarca los temas relacionados con la investigación cuantitativa, así como la metodología empleada y el diseño de la investigación
4.1 Investigación cuantitativa.
La presente investigación se realizó de tipo cuantitativa de abstracción aplicada ya que se buscó la solución a un problema práctico de un grupo de estudiantes, en este caso una institución pública de educación básica del nivel secundaria y bachillerato situado en la ciudad de Querétaro. De forma deductiva ya que partió de una premisa inicial para llegar a una conclusión general del problema. A manera correlacional debido a que partimos de hechos establecidos con una relación causa efecto para la solución de una problemática.
Tratando de establecer una generalización fundamental ya que se realizó a una pequeña muestra para generalizar el fenómeno. Buscando un estudio de naturaleza descriptivocausal, debido a que se buscó visualizar a través de una amplitud de datos numéricos la relación causativa entre las variables independientes y dependiente. Se menciona una técnica conjunta para correlacionar los resultados y determinar una conclusión. Finalmente, con la metodología cuantitativa, se llevaron a cabo mediciones sistemáticas de los eventos, así como un análisis estadístico resultante.
4.2 Diseño de la investigación
El diagrama que ilustra el diseño metodológico que dirige la realización de este estudio fue:
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4.3 Participantes
La población está constituida por 150 alumnos que cursan la educación básica en el nivel medio superior de la institución donde se llevó a cabo la investigación, todos ellos cursaron un ciclo escolar competo, esto es, cumplieron con los 6 semestres de nivel bachillerato y obtuvieron una calificación aprobatoria final del ciclo escolar.
La evaluación final está conformada por tres exámenes parciales a lo largo de cada uno de los semestres, cuyo promedio, de ser aprobatorio, representará el rendimiento escolar por asignatura y del semestre correspondiente para el estudiante, en caso de que no llegara a aprobar alguno de las evaluaciones parciales tiene derecho a presentar un remedial al final del semestre, mismo que se promediará con las 3 calificaciones parciales.
Dado que algunos estudiantes no aprueban las asignaturas con el proceso remedial tendrán 2 oportunidades de exámenes extraordinarios, en caso de que no después de estos su rendimiento no sea aprobatorio, se deberá de recursar la materia pertinente, sólo en caso de que no apruebe en el recursamiento, el estudiante será dado de baja definitiva del plantel.
4.4 Procedimiento de recolección de datos
Para la investigación se tomaron en cuenta cinco generaciones (2015-2018, 2016-2019, 2017-2020, 2018-2021 y 2019-2022) estos datos fueron suministrados por la secretaria académica de la institución objeto de estudio de manera confidencial es formatos PDF y copias de registros de calificaciones.
La recopilación de datos se llevó a cabo dentro de los meses de septiembre del 2022 a enero de 2023.
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G1 X1 01
4.5 Criterios de exclusión
Los criterios de exclusión se realizarán cuando:
• El estudiante no haya terminado los 6 semestres continuos representativos del nivel media superior.
• El estudiante no se haya dado de baja antes de cursar los 6 semestres representativos del nivel media superior.
• El estudiante no haya realizado un cambio de institución en alguno de los 6 semestres representativos del nivel media superior.
• El estudiante suspenda sus estudios parcial o total por enfermedad o gravidez.
• El estudiante presente deficiencias cognitivas para el aprendizaje.
• Otras que se presenten en el proceso de investigación.
4.6 Procesamientos de datos
Para la investigación se capturo en la aplicación de hoja de datos Excel cada una de las calificaciones de las asignaturas del alumno por semestre cursado, incluyendo las evaluaciones correspondientes a los exámenes extraordinarios, resumiendo así en un archivo todo su historial académico.
Se realizo una separación especial para cada uno de los específicos que imparte la institución, esto es, danza, teatro, artes plásticas, música y literatura, estas para generar una distinción de aprovechamiento entre las asignaturas académicas y artísticas, así como el aprovechamiento general de cada uno de ellos.
Una vez recopilados los datos de cada una de las cinco generaciones se gestionó un archivo que compilaba la información de cada una de estas para llevar a cabo el acumulado total de calificaciones que representan el rendimiento escolar de las generaciones.
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Se generó por separado el tratamiento de datos para la generación del modelo matemático estocástico para cada una de las caminatas, sus grafos representativos y sus matrices de transición, los cuales fueron procesados por medio de la aplicación de POM QM para Windows, donde se obtuvo cada uno de los vectores de probabilidad estacionarios.
4.7 Planteamiento del modelo estocástico
Para el planteamiento del modelo estocástico se utilizó la compilación de la información obtenida de la institución, dado que se calculó el promedio por semestre y por generación, se puede entonces definir la variable aleatoria que representará al promedio obtenido por la generación, en este caso �� , a partir de aquí se realizó la caminata y el grafo correspondiente para la generación de la matriz de transición.
Dado que el proceso nos llevará a un pronóstico a través del tiempo, este nos indicará el comportamiento del rendimiento escolar de los alumnos y por medio de las propiedades de los procesos Markovianos, establecer un pronóstico futuro que contenga las propiedades especificas del estudio y nos permita entender el fenómeno estudiado.
4.8 Confiabilidad del modelo
El modelo matemático obtenido a partir de las calificaciones de los estudiantes de cada una de las cinco generaciones nos permitirá validar la confiabilidad general del modelo de investigación analizado, lo que aportará la veracidad del fenómeno observado.
4.9 Variables de estudio
Dentro de las variables de estudio utilizadas en esta investigación tenemos que para cada una de las caminatas generadas podemos observar que:
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Dado que cada una de las caminatas realizadas contenían diferentes datos, esto es, datos de toda una generación por medio de semestres o datos de las cinco generaciones, estas variables cambiaron dependiendo de cada uno de los estudios realizados, pero todos ellos representan un proceso estocástico con espacios de estados discretos.
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS UNADM | DCEIT | PT1 ����:�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ��:������������������������������,���������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������ó�� ��:�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������
CAPITULO 5 Desarrollo
En este capitulo describiremos el desarrollo que se llevo a cabo para el procesamiento y limpieza de datos, en análisis para la formación de las hojas de calculo y sus procesos matemáticos para la obtención de la información con la cual se implementaron los modelos matemáticos.
Una vez que se obtenida la información se establecieron los modelos matemáticos estocásticos por medio del uso de las cadenas de Markov, que se utilizaron para llevar a cabo los pronósticos del fenómeno que se investigó y las variantes que durante este proceso se observaron importantes para la observación a fondo de este.
5.1 Generación 2015-2018
Esta generación consto de 50 estudiantes, fue necesario eliminar a uno ya que se dio de baja, por lo tanto, consta de 49 alumnos, los cuales se distribuyeron de la siguiente forma:
TABLA 7: DISTRIBUCIÓN DE ESPECÍFICOS DE LA GENERACIÓN 2015-2018, CREACIÓN PROPIA
Los promedios obtenidos por semestre de la generación después de extraordinarios son:
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Especifico # de estudiantes Danza 7 Teatro 18 Artes Plásticas 6 Música 11 Literatura 7 Excluidos 1 Total 49
Semestre Rendimiento Primero 8.6 Segundo 8.6 Tercero 9.0 Cuarto 8.8
TABLA 8: RENDIMIENTO ESCOLAR POR SEMESTRE, GENERACIÓN 2015-2018, CREACIÓN PROPIA
Establecemos la variable como:
����:������������������������2015−2018
��={8.6,8.8,8.9,9.0,9.2}
Estos datos nos representan un proceso estocástico con espacios discretos. La caminata que representan las generaciones es:
ILUSTRACIÓN 12: CAMINATA DE GENERACIÓN 2015-2018, CREACIÓN PROPIA
ILUSTRACIÓN 13: GRAFO DE GENERACIÓN 2015-2018, CREACIÓN PROPIA
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS UNADM | DCEIT | PT1 Quinto 9.2 Sexto 8.9 Promedio de la generación 8.8
��=������������������
��������������,������������,������������,����������}
��={��������������,��������������
Con la tabla procedemos a la construcción de la matriz de transición, que está dada por:
Dado que tenemos un vector de distribución inicial y una matriz de transición de un sistema de Márkov, entonces la vector de distribución que representa el paso 1 es el producto ����, donde la suma de las probabilidades es 1
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��= [ 0.50 00.50 00 0 0 1 0.2 0 0 0.2 1 0 0.2 0 1 0.2 0 0 0.2 0 0 ]
��=[0.2,0.2,0.2,0.2,0.2] Distribución después del 1 paso: ���� ���� =[0.2,0.2,0.2,0.2,0.2]∗ [ 0.50 00.50 00 0 0 1 0.2 0 0 0.2 1 0 0.2 0 1 0.2 0 0 0.2 0 0 ] ���� = [0.14,0.24,0.24,0.14,0.24] Distribución después del 2 paso: (����) ∙�� = ����2 ����2 =[0.14,0.24,0.24,0.14,0.24]∗ [ 0.50 00.50 00 0 0 1 0.2 0 0 0.2 1 0 0.2 0 1 0.2 0 0 0.2 0 0 ] 2 ����2 = [0.118,0.188,0.288,0.118,0.288] 8.6 8.8 8.9 9.0 9.2 8.6 0.5 0 0 0.5 0 8.8 0 0 0 0 1 8.9 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 9.0 0 1 0 0 0 9.2 0 0 1 0 0
TABLA 9: PASOS DE LA CAMINATA DE GENERACIÓN 2015-2018, CREACIÓN PROPIA
Y así sucesivamente llegamos a Distribución después del
Después de ser procesado en POM QM obtenemos que con n=15 obtenemos el vector estacionario: ILUSTRACIÓN 14: PROCESO DE OBTENCIÓN DE VECTOR ESTACIONARIO EN POM QM DE LA
5.2 Generación 2016-2017
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(������−1) ∙�� = ������ ������ =[0.2,0.2,0.2,0.2,0.2]∗ [ 0.50 00.50 00 0 0 1 0.2 0 0 0.2 1 0 0.2 0 1 0.2 0 0 0.2 0 0 ] �� ������ =
n paso:
[0.1250,0.1875,0.3125,0.1250,0.2500]
2015-2018 ��∞ =[0.1250,0.1875,0.3125,0.1250,0.2500]
la matriz a largo plazo del rendimiento académico de la generación 2015-2016 es ��∞ = [ 0.12500.1875 0.3125 0.1250 0.2500 0.12500.1875 0.3125 0.1250 0.2500 0.1250 0.1250 0.1250 0.1875 0.1875 0.1875 0.3125 0.3125 0.3125 0.1250 0.1250 0.1250 0.2500 0.2500 0.2500]
GENERACIÓN
Donde
Esta generación consto de 50 estudiantes, fue necesario eliminar a 7 ya que se dio de baja, por lo tanto, consta de 43 alumnos, los cuales se distribuyeron de la siguiente forma:
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18
13 Artes Plásticas 3 Música 5 Literatura 4 Excluidos 7 Total 43
Especifico # de estudiantes Danza
Teatro
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CAPITULO 6 Conclusiones
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Referencias
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OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS UNADM | DCEIT | PT1 Anexos Anexo 1. Lista de Ilustraciones Ilustración 1: Ejemplo de Cadena de Markov, creación propia 29 Ilustración 2 Ejemplo: El estado 3 es absorbente. Creación propia. Tomado de imágenes Wikipedia ........................................................................................................................................................... 35 Ilustración 3 Ejemplo: El estado 2 es transitorio. Creación propia. Tomado de imágenes Wikipedia ........................................................................................................................................................... 35 Ilustración 4 Ejemplo: Los estados 1, 2 y 3 son recurrentes. Creación propia. Tomado de imágenes Wikipedia 36 Ilustración 5 Ejemplo: Cadena de período 3. Creación propia. Tomado de imágenes Wikipedia.... 36 Ilustración 6: Ejemplo de Grafo, Tomado de: (Álvarez Núñez & Parra Muñoz, 2013)..................... 38 Ilustración 7: Grafo no Dirigido, tomado de: (ÁLVAREZ NÚÑEZ & PARRA MUÑOZ, 2013) 38 Ilustración 8: Grafo dirigido, tomado de: (ÁLVAREZ NÚÑEZ & PARRA MUÑOZ, 2013) 39 Ilustración 9: Ejemplo de camino, Tomado de: (ÁLVAREZ NÚÑEZ & PARRA MUÑOZ, 2013)........... 39 Ilustración 10: Vértices adyacentes, Tomado de: (ciencias.medellin.unal.edu.co, s.f.) 40 Ilustración 11: Grafo ejemplo matriz de adyacencia, Tomado de: (ciencias.medellin.unal.edu.co, s.f.)..................................................................................................................................................... 40 Ilustración 12: Caminata de generación 2015-2018, creación propia .............................................. 48 Ilustración 13: Grafo de generación 2015-2018, creación propia 48 Ilustración 14: Proceso de obtención de vector estacionario en POM QM de la generación 2015-2018 ......................................................................................................................................... 50 Anexo 2. Lista de tablas Tabla 1: PLANEA 2015: Lenguaje y Comunicación, creación propia 20 Tabla 2: PLANEA 2015: Matemáticas, creación propia..................................................................... 21 Tabla 3: PLANEA 2016: Lenguaje y Comunicación, creación propia ................................................. 22 Tabla 4: PLANEA 2016: Matemáticas, creación propia 23 Tabla 5: PLANEA 2017: Lenguaje y Comunicación, creación propia 24 Tabla 6: PLANEA 2017: Matemáticas, creación propia..................................................................... 25 Tabla 7: Distribución de específicos de la generación 2015-2018, creación propia 47 Tabla 8: Rendimiento escolar por semestre, generación 2015-2018, creación propia 48 Tabla 9: Pasos de la caminata de generación 2015-2018, creación propia...................................... 49 Anexo 3. Lista de Gráficas Grafica 1: PLANEA 2015: Lenguaje y Comunicación, creación propia .............................................. 21 Grafica 2: PLANEA 2015 Matemáticas, creación propia 22
OCTAVO SEMESTRE | LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS UNADM | DCEIT | PT1 Grafica 3: PLANEA 2016: Lenguaje y Comunicación, creación propia .............................................. 23 Grafica 4: PLANEA 2016: Matemáticas, creación propia 24 Grafica 5: PLANEA 2017: Lenguaje y Comunicación, creación propia .............................................. 25 Grafica 6: PLANEA 2017: Matemáticas, creación propia ................................................................. 26 Grafica 7: PLANEA Lenguaje y Comunicación, creación propia 26 Grafica 8: PLANEA Matemáticas, creación propia 27
