Introducción al álgebra superior Información general de la asignatura Universidad Abierta y a Distancia de México
Licenciatura en Matemáticas
Primer semestre
Información general de la asignatura
Introducción al algebra superior
Clave de asignatura 05141106/06141106
Ciencias exactas, ingenierías y tecnológicas
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Índice
a. Datos de identificación ............................................................................................... 3 Presentación de la asignatura ........................................................................................ 3 Competencias a desarrollar ............................................................................................ 5 Propósitos ...................................................................................................................... 6 Metodología de trabajo................................................................................................... 6 Evaluación ..................................................................................................................... 7 Fuentes de consulta ....................................................................................................... 8
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Datos de identificación Programa educativo Nombre de la asignatura: Clave de asignatura: Semestre Horas de estudio:
Licenciatura en Matemáticas Introducción al álgebra superior 05141106/06091106 Primero 90 hrs.
Presentación de la asignatura El estudio del Álgebra Superior proporciona los fundamentos para una sólida formación analítica y lógica de quien pretende iniciarse en la carrera de Matemáticas. Su importancia que radica en su naturaleza formativa- es tal que te permitirá entender y analizar otros conceptos de Álgebra lineal, Introducción al pensamiento matemático, Geometría analítica, Cálculo diferencial, Cálculo integral, ciencias con las cuales está íntimamente relacionada. En este curso se abordarán temas como teoría de conjuntos, funciones y relaciones, combinatoria y permutaciones, así como temas de espacios vectoriales. El álgebra está más cerca de nuestra vida cotidiana de lo que creemos y lo usamos frecuentemente. Siendo uno de los pilares de las matemáticas, su estudio te permitirá desarrollar mejor tus tareas en cualquier ámbito profesional en el que te desarrolles. La asignatura se encuentra en el primer semestre de la licenciatura en Matemáticas, y sirve como herramienta para otras asignaturas en semestres posteriores tales como. Algebra lineal I y II, Geometría, Ecuaciones diferenciales, cálculo de varias variables I y II Esta asignatura te permite analizar y tomar decisiones sobre situaciones específicas, las cual en el ámbito profesional es muy importante, dado que te brinda la posibilidad de resolver problemas de diferentes contextos. Esta asignatura, te presenta en cada unidad un planteamiento, el que deberás resolver de acuerdo a los lineamientos de tu docente en línea, te dará los recursos y con la ayuda de las actividades de cada unidad podrás resolverlo sin tantas complicaciones. En la unidad 1, se te planteará una problemática dentro de una Universidad, el cual mediante una encuesta, determinarás el tipo de música que agrada a cierto tipo de estudiante. Ciencias exactas, ingenierías y tecnológicas
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La unidad 2, se toma como escenario nuevamente la Universidad, se toma datos abstractos los cuales deberás realizar la demostración de cada elemento presentado en el problema. En la unidad 3, retomando la Universidad, se eligen libros diferentes de la biblioteca y se pretende ordenarlos de tal manera que queden categorizados como lo presenta el problema. Por último en la unidad 4 se regresa a los problemas abstractos, donde se realizan demostraciones por parte del estudiante sobre espacios vectoriales. A continuación se muestra el diagrama por el cual se rige la asignatura en cada una de las unidades.
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Introducción al álgebra superior Información general de la asignatura Competencia general
Utilizar los conceptos básicos de las estructuras algebraicas para resolver problemas de distintas áreas del conocimiento, a través de conjuntos, relaciones, funciones y espacios vectoriales.
Competencias específicas Unidad 1 Aplicar los conceptos elementales de la Teoría de Conjuntos para resolver problemas matemáticos de manera analítica, utilizando las operaciones de conjuntos, funciones y relaciones. Unidad 2 Aplicar las leyes de los números para demostrar sus propiedades, utilizando la inducción matemática y sus teoremas. Unidad 3 Utilizar el principio de las permutaciones y combinaciones para resolver correctamente situaciones o casos de conteo, aplicando convenientemente estos conceptos. Unidad 4 Utilizar los conceptos de independencia lineal, base, dimensión y subespacio, para resolver problemas en espacios de dimensiones, mediante las propiedades de los espacios vectoriales.
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Introducción al álgebra superior Información general de la asignatura Propósitos Al finalizar serás capaz de: Utilizar los conceptos de teoría de conjuntos como parte del lenguaje básico de la matemática. Realizar demostraciones elementales utilizando el método de inducción matemática o propiedades de los diferentes sistemas numéricos. Resolver problemas aplicando el concepto de divisibilidad. Aplicar los conceptos de conteo tanto a problemas de la vida diaria así como a problemas generados a partir de los conceptos de conjuntos. Manejar el concepto abstracto de vector. Identificar las condiciones necesarias para que un conjunto de vectores pueda generar un espacio vectorial
Metodología de trabajo A partir de preguntas tales como listar nombres de países y características particulares como idioma, región, etc. se llega a conceptos intuitivos de conjuntos relacionando palabras tales como continente como conjunto o subcontinente como subconjunto, etc., a partir de esta experiencia se construye una noción intuitiva de conjuntos y mediante ejemplos y utilización de conectivos lógicos “y”, “o” se construyen las definiciones de las operaciones de conjuntos. Se define de manera intuitiva par ordenado para ser utilizado en la construcción del concepto de producto cartesiano, se dan ejemplos particulares de productos cartesianos, que llevan al concepto de relación y finalmente se define el concepto de función como un caso particular de relación. Definimos los conceptos de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad a partir de ejemplos. Utilizando la biyectividad se define la cardinalidad y el concepto de infinitud. Se resuelven problemas de aplicación de los conceptos anteriores. Se hará la lectura del capítulo 3 del libro “Historia de las matemáticas” de Ian Stewart, como motivación para introducir el concepto de número como idea originada de la mente del hombre. Se presenta de una manera axiomática la caracterización de los números naturales y sus operaciones. Se presenta la inducción matemática como un método para demostrar ciertas afirmaciones que contengan alguna variable “n” natural, se aplica
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Introducción al álgebra superior Información general de la asignatura el método para demostrar identidades. Se presenta el principio de buen orden sin demostración y se aplica a ejemplos. Se da la definición de división y a partir del algoritmo de la división se obtiene la definición de divisibilidad. A partir de ejemplos se obtienen los criterios de divisibilidad para números pequeños, se definen los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo, utilizando el algoritmo de la división se define el concepto de congruencia y se enuncian sus propiedades básicas que se usarán para resolución de problemas. Mediante preguntas concretas, se identificarán vectores en la vida real tales como listas de nombres, campos de google,…etc. Se introduce el concepto de producto cartesiano de n conjuntos para definir una n-dada ordenada. Se identificarán puntos en el espacio como elementos de R(n), se hará un recuerdo de las operaciones con números reales (vistas en calculo diferencial) y se introducirán operaciones con vectores mediante representaciones gráficas hasta llegar a la definición formal de suma de vectores y producto de un escalar por un vector. Se introducirán otros ejemplos como polinomios y funciones, para definir el concepto de combinación lineal que llevará a la definición de independencia lineal, se observará mediante ejemplos que existe un número máximo de elementos linealmente independientes al que se llamará dimensión y en este momento se introducirá el concepto de conjunto generador del espacio vectorial al que se le denominará base. Al final se propondrá una lista de problemas de aplicación. A partir de ejemplos sacados de la física, se abstraerán ciertas expresiones que se identificarán como polinomios Se presentará la definición de polinomio como una expresión en una indeterminada y se definirán sus operaciones de suma y producto. Se presentará un problema que llevará a resolverlo utilizando el principio del producto y otro para introducir el principio de la suma.
Evaluación En el marco de la UnAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el (la) alumno(a) interactúa con los diversos componentes educativos del aula virtual, por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo. Por lo anterior, para acreditar la asignatura se espera la participación responsable y activa del estudiante contando con el acompañamiento y comunicación estrecha con su facilitador quien a través de la retroalimentación permanente, podrá evaluar de manera objetiva su desempeño. Para lograrlo es necesaria la recolección de evidencias que reflejen el logro de las competencias por parte de los (las) alumnos(as). En este contexto, la evaluación forma parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje
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Introducción al álgebra superior Información general de la asignatura significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, así como la participación en foros y demás actividades programadas en cada una de las unidades y conforme a las indicaciones dadas. Las rúbricas establecidas para cada actividad contienen los criterios y lineamientos para realizarlas, por lo que es importante que el estudiante la revise antes de elaborarlas. En lo que se refiere a la asignación a cargo del facilitador, éste hará uso de instrumentos y técnicas de evaluación previa planificación, que permitirán retroalimentar y reforzar de manera pertinente a los estudiantes de acuerdo al avance y características del grupo enriqueciendo su proceso formativo.
A continuación se presenta el esquema general de evaluación.
ESQUEMA DE EVALUACIÓN Evaluación continua E-portafolio 50% Examen CALIFICACIÓN FINAL
Interacciones individuales y colaborativas
10%
Tareas Evidencias Autorreflexiones Examen final
30% 40% 10% 10% 100%
Fuentes de consulta González G. F. J. (2004). Apuntes de Matemática Discreta. Cádiz: Universidad de Cádiz. Bravo Mójica, A., Rincón Mejía, H., Rincón Orta, C. Álgebra Superior. México: Las prensas de Ciencias. Grossman Stanley I., (1988). Álgebra Lineal, México, Grupo Editorial Iberoamérica.
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