Matem ti by PDLM

Modalidad Semiescolar del Sistema de Bachillerato del Gobierno del D. F.

1) a2 – ab = = a(a – . . . )

anxn + … + a2x2 + a1x + a0 bsys + … + b2y2 + b1y + b0

2) (a + b)2 = = (a + b)( . . . ) =

2x3 + x2 – 3x + 1

3) a2 – b2 = = (a + b)( . . . ) =

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ecuación y Función Cuadrática

Productos Notables

Matemáticas Autor: Gabriel Silva Ramírez

3y4 + 2y2 + y – 4

Secciones Cónicas

Álgebra

Matemáticas 3 Material de apoyo para el estudio de la modalidad SemiEscolar del SBGDF  Instituto de Educación Media Superior

¿Para qué estudiar matemáticas ?

El programa de Matemáticas que te ofrecemos es diferente a los que se aplican en la mayoría de las demás preparatorias, sean éstas del modelo tradicional o el CCH, pues difiere en el contenido, modo y forma de enseñar y su proceso de evaluación. El programa está concebido de modo tal que construyas la Matemática; descubras, inventes, propongas y discutas los contenidos, y de esta manera modeles para ti un método de razonamiento y de análisis, desarrollando tu creatividad, a la vez que aprendas a explicar tus procesos de pensamiento y argumentes tus conclusiones.

El curso consta de seis objetivos principales:

Matemáticas III Sistemas de Ecuaciones Lineales Ecuación y Función Cuadrática Secciones Cónicas

Álgebra

1. 2. 3. 4.

Sistemas de ecuaciones lineales (4) Ecuación y función cuadrática (4) Secciones cónicas (4) Álgebra (2)

Cada objetivo está compuesto de varios temas, el número en paréntesis indica la cantidad de éstos. En total son 14.

¿Cómo se integran los módulos? Este curso te ofrece en su inicio una propuesta geométrica y una idea de la disposición y las propiedades algebraicas del comportamiento de las rectas, que podemos dibujar en una hoja de papel sin rayas y posteriormente sobre el plano cartesiano.

Más adelante, se te presenta la ecuación cuadrática, su tabulación para dibujarla en el plano cartesiano y sus propiedades geométricas y algebraicas, así como este mismo análisis de la función cuadrática.

Seguimos con las secciones cónicas, conocerás su definición, construcción, deducción y desarrollo con la idea de encontrar su ecuación o sus elementos. Finalmente, se expone el manejo de polinomios, términos algebraicos de amplio uso en las Matemáticas.

Integración de los los temas La primera sección de la página es la portada. Contiene el título del objetivo y del tema. Después de la portada vienen: un resumen, que explica brevemente cómo se desarrollará el tema; un índice, que ubica la página en donde se encuentra cada tema, así como las secciones importantes mencionadas en el módulo; un esquema instructivo que intenta ser un modelo el cual indica el contenido del módulo, a veces en el orden de la presentación y otras no; una introducción en la que se inicia el tema y que no siempre condensa el contenido del módulo; y algunos ejercicios intercalados en distintas partes del documento. Dentro de los textos hallarás algunas definiciones importantes vistas o mencionadas en el módulo. Es conveniente investigar más acerca de tales definiciones.

ÍNDICE

Sistemas de

1.1

Interpretación geométrica y análisis para

1.2 1.3 1.4

determinar su solución Métodos de solución Sistemas de ecuaciones con más de dos incógnitas Ubicación de intervalos y regiones definidas por desigualdades

ecuaciones lineales

Ecuaciones y

Funciones Cuadrática

Productos

2.1

Concepto de ecuación cuadrática

2.2 2.3 2.4

Análisis gráfico de la ecuación y función cuadrática Ecuación general y sus raíces Ubicación de Intervalos y regiones definidas por desigualdades

3.1

Factorización y completez de productos notables.

4.1

Definición, construcción y ecuaciones canónica y general

6 20 50 72

98 111 130 149 162

notables

Secciones

cónicas 4.2 4.3

4.4

Álgebra

4.1

(circunferencia y parábola). Definición, construcción y ecuaciones canónica y general (elipse e hipérbola). Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo, factorización y elementos. Transformación de una en otra (circunferencia y parábola). Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo, factorización y elementos. Transformación de una en otra (elipse e hipérbola).

181

Cocientes compuestos por polinomios.

244

193

212

229

Matemáticas 3

1: Sistemas de ecuaciones lineales 1.1: Interpretación geométrica y análisis para determinar su solución

Objetivo y =

– 3

2x – y + z = -1 x + 3y –z= 2 x–y +z= 1

El estudiante comprenderá e incorporará a su acervo geométrico la imagen, concepción y tratamiento de un par de líneas rectas; primero en una hoja de papel cualquiera en blanco y después en el plano cartesiano.

2 5x x – y + 2y = 3 = 7

∆x ∆

0 Y

Presentación Comenzamos con provisión de material. Se nos da una hoja de papel en blanco, un lápiz; bueno dos, y una regla.

la regla

la hoja A continuación se nos hace un pedido: que tracemos en ella una línea recta A.

cta

y los lápices

Ahora, se nos solicita el trazo de una segunda recta en nuestra hoja.

¿De cuántas maneras diferentes podemos trazar esta segunda recta con respecto a la primera?

Tenemos ya trazada la recta A, entonces nos imaginamos la segunda recta y dónde trazarla, llamémosla B. Lo que pensamos a continuación es si trazamos esta segunda recta de forma tal que intersecte (corte) o no a la recta A, luego nos decidimos a trazarla.

¿Qué quiere decir el que dos rectas tengan un punto de intersección? Veamos cuántas formas hay de cada una de nuestras opciones; si intersecta o no intersecta. Primero hagámoslo con una recta que intersecte a nuestra recta A.

Re cta Opción 1a.

La segunda recta, llamémosla B1, intersecta a la recta A en la hoja.

ct Re

Re cta

a B1

1b. La segunda recta, la que llamaremos B2, intersecta a la recta A fuera de la hoja.

Rec ta

Re cta

90°

La segunda recta, que llamaremos C, intersecta a la recta A en ángulo de 90° (la recta C es perpendicular a la recta A).

Re ct a

1c.

Re c ta

1d.

Re cta

La segunda recta, la que llamaremos D, intersecta a la recta A en todos sus puntos, es la misma recta A pero con otro nombre.

Ahora hagámoslo con una recta que no intersecte, ni dentro ni fuera de la hoja, a la recta A.

Re c ta

Opción 2. La segunda recta, que llamaremos E, no intersecta a la recta A y mantiene con ella una misma distancia (la recta E es paralela a la recta A).

Re cta

ct Re

a B1

90° Re ct a

D Trazadas todas estas líneas sobre la misma hoja, observamos que hay entre ellas características o propiedades que debemos tomar en cuenta. Estas son:

Re ct a

Rec ta

Re cta

Considerando la recta A como nuestra postura original, tenemos que,

1. Las rectas B1, B2 y C, la intersectan en un solo punto, ya sea dentro o fuera de la hoja, 2. La recta D, la intersecta en todos sus puntos, o sea es la misma recta, y 3. La recta E, no la intersecta ni dentro ni fuera de la hoja, es paralela a la recta A.

Veamos ahora quĂŠ sucede cuando estas rectas las trazamos sobre el plano cartesiano.

Eje Y

Eje X

Haciendo abstracciĂłn de la hoja y trazando la recta A, tenemos:

Eje Y

Re c

Para encontrar la ecuaciĂłn de la recta A, es necesario que tengamos localizados dos puntos de ella sobre el plano.

ta A

Eje X

Eje Y

Re c

Con dos puntos, calculamos la pendiente de la recta A y después, con esta pendiente y uno de los dos puntos construimos la ecuación de la recta A.

ta A

( –5, 5)

Eje X

( 7, –3)

–3–5 7 – (– 5)

–8 12

(x + 5)

(y – 5)

–2

–2 3

– 2 (x + 5) = 3 (y – 5) – 2x – 10 = 3y – 15 – 2x – 3y = – 15 + 10

;

La ecuación de A es: 2x + 3y = 5 .

Eje Y Ahora, tracemos una recta B, que intersecte a la recta A.

Re c

ta A

Igual que con la recta A, localicemos, sobre el plano, dos puntos por los que atraviesa esta recta.

( 8, 1)

Eje X

Y encontremos su ecuación. ( 2, –2)

cta Re mB

1 – (– 2) 8–2

3 6

1 2

;

(x – 8)

x – 8 = 2 (y – 1) x – 8 = 2y – 2 x – 2y = – 2 + 8

;

La ecuación de B es: x – 2y = 6.

(y – 1)

Como observamos, las rectas A y B se intersectan. O sea, tienen un punto de intersección. Hagamos una tabulación de cada una de las rectas. Recta A x

y = (5 –2x)/3

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

(5 –2(–4))/3 (5 –2(–3))/3 (5 –2(–2))/3 (5 –2(–1))/3 (5 –2(–0))/3 (5 –2(1))/3 (5 –2(2))/3 (5 –2(3))/3 (5 –2(4))/3 (5 –2(5))/3 (5 –2(6))/3

Recta B y = x/2 – 3 = = = = = = = = = = =

13/3 11/3 9/3 7/3 5/3 1 1/3 –1/3 –1 –5/3 –7/3

= = = = =

4 3 3 2 1

1/3 2/3

(–4)/2 – 3 (–3)/2 – 3 (–2)/2 – 3 (–1)/2 – 3 (0)/2 – 3 (1)/2 – 3 (2)/2 – 3 (3)/2 – 3 (4)/2 – 3 (5)/2 – 3 (6)/2 – 3

1/3 2/3

= =

1/3 – 1/3

= =

–1 2/3 –2 1/3

= = = = = = = = = = =

–5 –9/2 –4 –7/2 –3 –5/2 –2 –3/2 –1 –1/2 0

–4 1/2

–3 1/2

–2 1/2

–1 1/2

– 1/2

El resultado de nuestra tabulación en el plano es así:

Eje Y Además, en ella vemos que para el valor x = 4, ambas rectas, según su ecuación, asignan el valor y = –1. En nuestro dibujo vemos también que las rectas A y B se intersectan en el punto (4, –1), como una buena aproximación.

Re cta A

Eje X

Sobre la región sombreada en azul pálido, se encuentran los puntos resultado de la tabulación.

ta B c e R

Hagamos más, sustituyamos las coordenadas del punto que en la tabulación encontramos en ambas rectas, sus valores numéricos (4, –1) en el plano, y desarrollemos las ecuaciones de cada una de las dos rectas para saber si satisface las condiciones de ambas rectas.

Recta A

Recta B

Punto de intersección

2x + 3y = 5 ,

x – 2y = 6 ,

(4, –1).

(4) – 2(–1) = 4 + 2 = 6 .

Satisface ambas condiciones.

Sustituyendo: 2(4) + 3(–1) = 8 – 3 = 5 ,

Tracemos ahora, una recta C, perpendicular a la recta A.

Eje Y Como en los ejercicios anteriores, localicemos sobre el plano al menos un punto de esta recta.

Re cta

( 5, 7)

( 3, 4)

¿Cómo encontramos su ecuación?

90° O

Eje X

Re cta

Contamos con dos caminos para encontrar la ecuación de la recta C:

Uno. Sabemos el valor de la pendiente de la recta A; entonces buscamos el valor inverso y de signo contrario al de la pendiente de A y con este valor y localizando un punto por el que atraviese la recta C, construimos su ecuación.

Dos. Si tenemos localizados dos puntos por los que atraviesa la recta C, procedemos como en los ejercicios anteriores.

¿Cuál camino tomamos? Pues tomemos ambos, uno primero y otro después, y comparemos las ecuaciones que resulten. Sabemos que serán la misma, pero nos habremos ejercitado por dos caminos diferentes la búsqueda y hallazgo de la ecuación de una recta y así:

–2 3

3 2

, entonces mC =

, por ser A y B perpendiculares,

Camino Uno: 3

(x – 3)

(y – 4)

;

3 (x – 3)

3x – 9 = La ecuación de la recta C es: Camino Dos:

3x – 2y = 7–4 5–3

3 2

;

2 (y – 4) 2y – 8 1 3 2

(x – 5)

(y – 7)

3 (x – 5) = 2 (y – 7) 3x – 15 = 2y – 14 3x – 2y = 1

;

La ecuación de C es: 3x – 2y = 1.

Teniendo la ecuación de la recta C construida, veamos que nos dice la tabulación: Recta A

Recta C

y = (5 –2x)/3

y = (3x –1)/2

–2 –1 0 1 2 3 4

(5 –2(–2))/3 (5 –2(–1))/3 (5 –2(–0))/3 (5 –2(1))/3 (5 –2(2))/3 (5 –2(3))/3 (5 –2(4))/3

= = = = = = =

9/3 7/3 5/3 1 1/3 –1/3 –1

= = = = =

3 2 1/3 1 2/3

(–6 –1)/2 (–3 –1)/2 (0 –1)/2 (3 –1)/2 (6 –1)/2 (9 –1)/2 (12 –1)/2

1/3 – 1/3

= = = = = = =

–7/2 –4/2 – 1/2 2/2 5/2 8/2 11/2

= =

–3 1/2 –2

= = = =

1 2 1/2 4 5 1/2

Eje Y Este es el resultado de nuestra tabulación. Y como nos damos cuenta el punto (1, 1), se encuentra en ambas rectas; por lo que es el punto de intersección.

Re cta

La región sombreada en azul pálido contiene los puntos, resultado de la tabulación.

90°

Eje X

Re cta

Confirmemos entonces, que satisface ambas ecuaciones.

Recta A

Recta C

Punto de intersección

2x + 3y = 5 ,

3x – 2y = 1,

(1, 1).

3(1) – 2(1) = 3 – 2 = 1.

Satisface ambas condiciones.

Sustituyendo: 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5 ,

Eje Y La siguiente recta que consideraremos es la recta D, trazada encima de la recta A.

Re c

Si la recta D, tiene la misma pendiente que la recta A, al construir la ecuación de la recta D, con cualquier punto que localicemos de ella, obtendremos la misma ecuación que ya exhibimos para la recta A.

ta A

Eje X

Re ct a

Recta A: 2x + 3y = 5 , Recta D: 2x + 3y = 5 ,

Recta A con pendiente mA y punto (– 2, 3) –2 3

(x + 2)

– 2 (x + 2) =

Recta D con pendiente mD y punto (2, 1/3) –2 3

(y – 3)

3 (y – 3)

(x – 2)

(y – 1/3)

– 2 (x – 2) =

3 (y – 1/3)

– 2x – 4 =

3y – 9

– 2x + 4 =

3y – 1

– 2x – 3y =

4–9

– 2x – 3y =

–4 –1

2x + 3y =

En efecto, al construir la ecuación de la recta D con la misma pendiente que la recta A y un punto cualquiera, localizado sobre ella (la recta D), desarrollamos la misma ecuación que la ofrecida para la recta A. Eje Y

Re cta

En el caso de la tabulación correspondiente para las rectas A y D, se obtendrían los mismos puntos, puesto que se calcularían a partir de la misma ecuación para ambas rectas. Aquí también, en la región sombreada en azul pálido, se encuentran los puntos que resultarían de la tabulación.

Eje X

Cualquier punto sobre una de las rectas será un punto, y el mismo por cierto, sobre la otra y por lo tanto satisface ambas ecuaciones.

Re cta

Por último, tracemos una recta E, que no intersecte a la recta A, que sea paralela a la recta A. Localicemos un punto sobre ella (la recta E).

Eje Y

Re c

La recta E es una recta tal que teniendo la misma pendiente que la recta A, no tiene con ella ni un sólo punto en común.

Re cta

ta A

E Eje X

(–1, 2)

¿Cómo confeccionamos su ecuación?

Tenemos la pendiente de la recta E, misma pendiente que A, y tenemos el punto ( – 1, – 2 ), entonces procedamos.

Pendiente A y E:

mA,E

–2 3

, entonces

;

–2 3 (x + 1)

(y + 2)

– 2 (x + 1) = 3 (y + 2)

– 2x – 2 = 3y + 6

;

– 2x – 3y = 6 + 2

2x + 3y = – 8

;

La ecuación de E es: 2x + 3y = – 8.

Hemos revisado, dada una primera recta, las distintas posibilidades de trazo para una segunda. Lo hicimos tanto en hojas de papel en blanco como en el plano cartesiano. Y mientras en la hoja de papel sólo exploramos el comportamiento de las rectas según se intersectarán o no, caracterizado el plano cartesiano en la hoja de papel, tuvimos más herramientas para su desarrollo, por ejemplo, las coordenadas de algunos puntos, la inclinación de las rectas y las ecuaciones de las rectas de manera que estas herramientas nos permitieron un mejor acercamiento al desarrollo, construcción y conceptualización de las rectas.

Este es el resumen de las rectas trazadas en el plano cartesiano y que se utilizaron para desarrollar los ejercicios.

Re cta Re c ta

Re cta

Eje Y

90°

Eje X

B cta e R

Re c

Recordemos ahora la pregunta que se nos hizo: ¿qué quiere decir el que dos rectas tengan un punto de intersección? Respuesta: que el punto de intersección pertenece a ambas rectas. Los valores numéricos de las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, determinadas por su posición en el plano cartesiano, satisfacen la ecuación de cada una de las rectas. El plano nos provee de elementos simples para la caracterización de las rectas, estos son: la posición de los puntos en el plano y la inclinación de la recta en el plano (la pendiente de la recta en el plano). De esta forma la conducta de las rectas y sus puntos se resumen de la siguiente forma: primero por sus puntos y luego por su inclinación;

Por la posición de los puntos:

1. Si dos rectas tienen sólo un punto en común, las rectas se intersectan, 2. Si dos rectas tienen más de un punto en común, las rectas son la misma y 3. Si dos rectas no tienen ni un punto en común, las rectas son paralelas. Por la inclinación de las rectas (sus pendientes): 1. Dadas dos rectas, si sus pendiente son diferentes, estas se intersectan y 2. Dadas dos rectas, si sus pendientes son iguales, estas son la misma o son paralelas.

Ejercicios 1. Encuentra la ecuación o las ecuaciones de las rectas cuyos puntos tienen el mismo valor en su ordenada (valor en y): • • • •

rectas paralelas al eje X o bien, rectas perpendiculares al eje Y. dibuja algunas restas de estas en el plano y ¿cómo resultaría la tabulación de estas rectas?

2. Encuentra la ecuación o las ecuaciones de las rectas cuyos puntos tienen el mismo valor en su abscisa (valor en x): • • • •

rectas paralelas al eje Y o bien, rectas perpendiculares al eje X. dibuja algunas restas de estas en el plano y ¿cómo resultaría la tabulación de estas rectas?

Matemáticas 3

x + by = p cx + dy = q x = p - by c(p - by) + dy = q

1: Sistemas de Ecuaciones Lineales

a b p c d q

1.2 : Métodos de solución

Objetivo El estudiante aprenderá algunos métodos de solución para sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de rectas en el plano cartesiano.

Y 2x – y 5x + 2y = 3 =7 y=– 3...

Presentación Se nos propone el siguiente acertijo: Ejemplo 1. La edad de Pedro es el doble de la de Manuel y la suma de ambas edades es 48. ¿Cuántos años tiene Pedro y cuántos Manuel? Identificando las edades de Pedro y Manuel con las iniciales de sus nombres, tenemos las siguientes expresiones o ecuaciones entre sus edades, en lo que nos dice el texto: (1) La edad de Pedro es el doble de la de Manuel; p = 2m (¿quién es mayor?), (2) La suma de ambas edades es 48; p + m = 48. Tenemos entonces dos ecuaciones, ambas rectas, relacionadas entre sí y que nos dan la correspondencia entre las edades de Pedro y Manuel. Al arreglo de ecuaciones bajo este esquema, afectadas una con la otra, se le llama Sistema de Ecuaciones. Para resolver este sistema debemos encontrar la forma de “inyectar” una recta en la otra, esto quiere decir que la recta “inyectada” tendrá las condiciones de la recta “receptora”, condiciones que sólo cumple el punto de intersección por encontrarse en ambas rectas. Procedamos a buscar la solución de este ejercicio. En el texto del ejercicio, la edad de Pedro (p) se menciona como “el doble” de la de Manuel (m), o sea que p “es dos veces m” lo que escribimos como: (1) p = 2m; y la suma de sus edades como: (2) p + m = 48.

Entonces (1)

p = 2m ,

sustituimos en (2)

(2m) + m = 48 ,

de aquí, lo que nos da

3m = 48 , m = 16

p = 2(16) = 32 .

Respuesta: Pedro tiene 32 años y Manuel 16. ¿Podemos tabular y graficar las ecuaciones de estas rectas? Sí, ¿cómo?, de la siguiente manera: Tabulación. Recta (1)

Recta (2)

m = p/2

m = 48 – p

0 10 20 30 40 50 60

0/2 10/2 20/2 30/2 40/2 50/2 60/2

= = = = = = =

0 5 10 15 20 25 30

48 – 0 48 – 10 48 – 20 48 – 30 48 – 40 48 – 50 48 – 60

= = = = = = =

48 38 28 18 8 –2 –12

Sombreamos los desarrollos que se acercan más a los valores que nos arrojó el proceso algebraico para la edad de Pedro: entre 30 y 40 años; y para la edad de Manuel siguiendo la ecuación (1): entre 15 y 20 años y siguiendo la ecuación (2): entre 18 y 8 años.

Gráfica En la búsqueda de solución sobre el dibujo del plano, en este ejercicio, observamos lo siguiente:

Edad de Manuel M 48

) (2 ón 8 ci = 4 ua m Ec + p

45 42 39 36

•

las edades son positivas pues no se cuantifica la gestación.

•

se hizo un cambio de escala para que la intersección de las rectas se realizara en un punto accesible (en nuestra hoja).

•

las coordenadas del punto de intersección, son aproximadas.

•

en la gráfica, tenemos que los valores más cercanos son: para la edad de Pedro entre 30 y 33 años; y para la edad de Manuel entre 15 y 18 años.

(1) ión c a u Ec p = 2m

30 27 24 21 18 15 12

Edad de Pedro

9 6 3

9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51

La accesibilidad del punto de intersección, en el trazado de rectas que representarán nuestras ecuaciones, y la aproximación a las coordenadas de ese punto, nos aconsejan buscar métodos aritméticos o algebraicos para resolver los sistemas de ecuaciones que construimos como modelo de cualquier ejercicio que se nos plantee. Para que lo propuesto en el párrafo anterior sea más claro, supongamos el siguiente acertijo: Ejemplo 2. Semejante al anterior y cambiando sólo algunos datos. La edad de un elefante del zoológico es el doble de la de una tortuga del mismo parque y la suma de ambas edades es 160. ¿Cuántos años tiene el elefante y cuántos la tortuga?

Identificamos las edades del elefante y la tortuga por las iniciales de sus nombres, tenemos las siguientes relaciones, entre las edades, en lo que nos dice este último texto: (1) La edad del elefante es el doble de la edad de la tortuga; e = 2t (¿quién es mayor?), (2) La suma de ambas edades es 160; e + t = 240. Para hacer más clara la necesidad de un método aritmético o algebraico, y por tanto consistente, desarrollemos en este ejercicio, primero la tabulación y la gráfica y después, apliquemos el procedimiento desplegado en el ejercicio anterior para obtener las edades de este par de animales (coordenadas del punto de intersección de nuestras rectas). Tabulación Recta (1) e

t = e/2

0 30 60 90 120 150 180

0/2 30/2 60/2 90/2 120/2 150/2 180/2

Recta (2) t = 240 – e = = = = = = =

0 15 30 45 60 75 90

240 – 0 240 – 30 240 – 60 240 – 90 240 – 120 240 – 150 240 – 180

= = = = = = =

240 210 180 150 120 90 60

Para este ejercicio, sombreamos los desarrollos que se aproximan más a los valores que cumplen las condiciones propuestas. Operando en las ecuaciones, los valores de mejor aproximación son: Ecuación (1)

Ecuación (2)

Elefante

Tortuga

e = 2t

e + t = 240

150

75 90

150 = 2(75) 150 ≠ 2(90)

150 + 75 = 225 150 + 90 = 240

180

90 60

180 = 2(90) 180 ≠ 2(60)

180 + 90 = 270 180 + 60 = 240

Gráfica

Las posibles parejas que obtenemos mediante la tabulación no satisfacen, de modo simultaneo, las condiciones del ejercicio.

A esta gráfica le hacemos las siguientes observaciones:

Edad de la tortuga T

•

las edades, también aquí son positivas, por la misma razón.

•

un cambio de escala, más amplio, para que el punto de intersección sea accesible.

•

las coordenadas del punto de intersección, son aproximadas.

•

en la gráfica, tenemos que los valores más cercanos son: para la edad del elefante entre 150 y 165 años; y para la edad de la tortuga entre 75 y 90 años.

240

) (2 ón 0 ci 2 4 ua t = Ec + e

225 210 195 180 165

(1) ión c a t u Ec e = 2

150 135 120 105 90 75 60

Edad del elefante

45 30 15

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255

Volviendo a las primeras ecuaciones construidas sobre las condiciones del ejercicio, tenemos que en la ecuación (1) la e (edad del elefante) aparece despejada, de manera que si el valor de e (=2t) lo sustituimos en la ecuación (2), obtenemos: (1) sustituimos en (2)

e = 2t (2t) + t = 240 ,

de aquí, lo que nos da

3t = 240 , t = 80

e = 2(80) = 160 .

Respuesta: el elefante tiene 160 años y la tortuga 80. Nos damos cuenta que los métodos de tabulación y gráfico son métodos de aproximación. Con ellos nos acercamos a los valores de la solución. Habrá casos en los que en la tabulación tengamos la suerte de calcular las ecuaciones en los valores solución. En el método gráfico, un dibujo muy afortunado nos ofrecerá una intersección sobre el punto solución. Tengamos en cuenta que estos casos serán los menos, de manera que nuestro gran apoyo para encontrar la solución de cualquier acertijo es un método aritmético o algebraico, con él no habrá ejercicio que se nos resista. Ejemplo 3. En el mercado, el kilogramo de maíz cuesta $2 y el de azúcar $4. ¿Cuántos kilogramos se compraron de cada mercancía?, sabiendo que el total de kilos, sumados el maíz y el azúcar, fue de 3 y se pagó por ellos $7. Ecuaciones: kilos pago

(1) (2)

m+ a =3, 2m + 4a = 7 ,

Como en los ejercicios anteriores, una de las mercancías aparece, en alguna de las ecuaciones, en

singular. En (1) ambas, de modo que procedemos a despejar una de ellas y la sustituiremos en (2) buscando la solución, por ejemplo el maíz.

despejando m (1) ,

m =

sustituimos en (2) ,

2(3 – a) + 4a =

6 – 2a + 4a =

$2 1Kg aíz M

1Kg car Azu

3–a

¿Maíz

2a =

7–6

2a =

a =

1/2 ,

¿Azúc ar?

aplicamos en (1)

7 Kilos

m = 3 – 1/2 m = 2 1/2.

De manera que se compraron 2 ½ kilos de maíz y 1/2 kilo de azúcar. La gráfica del par de ecuaciones construido y desarrollado, es esta: Como en las gráficas anteriores, hacemos algunas observaciones:

aquí, el cambio de escala nos permite un mejor acercamiento al punto de intersección,

•

los precios de las mercancías son positivas (por obvias razones),

Azúcar

•

Eje Y

•

las coordenadas del punto de intersección, siguen siendo aproximadas. en la gráfica, tenemos que los valores más cercanos son: para la cantidad de maíz en kilogramos entre 2 y 3; y para la cantidad de kilogramos de azúcar entre 1 y 2.

+4 a=

Maíz

Eje X

y las coordenadas del punto de intersección, con un buen dibujo y después del resultado algebraico, son:

(1/2, 2 1/2).

Ejemplo 4. Si 2 bolsas de galletas y 3 bolsas de dulces pesan 7 kilogramos; y 4 bolsas de dulces

pesan 7 kilogramos más 2 bolsas de galletas. ¿Cuánto pesa cada bolsa de galletas y cuánto la de dulces? Ecuaciones:

Reacomodando,

(1) 2g + 3d = 7 (1) 2g + 3d = 7 (2) 4d = 7 + 2g (2) –2g + 4d = 7 En el planteamiento de este ejercicio, aparecen 2 bolsas de galletas en el inicio, sumadas a las bolsas de dulces, y después, sumadas a los kilogramos. De manera que igualando las ecuaciones propuestas a los kilogramos que se mencionan, en ambas ecuaciones tenemos que el número de bolsas de galletas es el mismo pero con diferente signo. Así, podemos sumar (1) a (2), suprimiendo las bolsas de galletas y dejando bolsas de dulces y kilogramos. (1) 2g + 3d = 7 (2) –2g + 4d = 7 sumando (1) + (2) ,

0 + 7d = 14 d = 14/7 d=2,

aplicando en (1)

2g = 7 – 3d 2g = 7 – 3(2) 2g = 7 – 6 2g = 1

g = 1/2. Respuesta: Cada bolsa de galletas pesa 1/2 kilogramo y la de dulces 2 kilogramos. La gráfica de estas ecuaciones, es la siguiente (aproximadamente):

D (1)

Algunas observaciones: •

cambio de escala para un mejor acercamiento al punto de intersección.

•

las coordenadas del punto de intersección, siguen siendo aproximadas.

•

en la gráfica, tenemos: para el peso de las bolsas de galletas entre 1 y 2; y para el de los dulces, tomar como bueno el 2.

•

las coordenadas del punto de intersección, con un buen dibujo y el resultado algebraico, son: ( 1/2 , 2).

4 d=

(2)

–2g

7 d= +4

–4

–3

–2

–1

Ejemplo 5. Se compran, en una papelería, 3 cuadernos y 2 agendas y se paga por todo ello $13. Más tarde se compran, en la misma papelería, 5 agendas y 3 cuadernos y se paga $19. ¿Cuál es el precio de un cuaderno y cuál el de una agenda? Ecuaciones:

Reacomodando,

(1) 3c + 2a = 13 (2) 5a + 3c = 19

(1) (2)

3c + 2a = 13 3c + 5a = 19

En este ejercicio, aparecen 3 cuadernos en cada compra. De modo que restando una ecuación a la otra, de manera indistinta, eliminaríamos los cuadernos. (1) x –1,

restando (2) a (1),

(1’) – (3c + 2a = 13) (2) 3c + 5a = 19 (1’) (2)

sumando (1’) + (2) ,

(1) (2)

3c + 2a = 13 3c + 5a = 19 0 – 3a = –6 a = 6/3

–3c – 2a = –13 3c + 5a = 19 0 + 3a = 6

a=2,

a = 6/3 a=2,

aplicando en (1)

3c = 13 – 2a 3c = 13 – 2(2) 3c = 13 – 4

+ = $13

3c = 9

= $19

c = 9/3 c=3.

Respuesta: Cada cuaderno costó $3 y cada agenda $2. Dibuja la gráfica de las ecuaciones de este ejercicio (5) y haz las observaciones que consideres pertinentes.

Ejemplo 6. Llenando 5 contenedores pequeños y 4 grandes obtenemos 13 litros. Si llenamos 4 contenedores grandes y 15 pequeños, 15 litros. ¿Cuál es la capacidad de cada uno de los tamaños de contenedor?

Ecuaciones: (1) 5p + 4g = 13 (2) 15p + 4g = 15 En este ejemplo, 4 contenedores grandes aparecen en las dos ecuaciones. De modo que si restamos una a la otra, de manera indistinta, eliminaremos los contenedores grandes. (1) x –1,

restando (2) a (1),

(1’) – (5p + 4g = 13) (2) 15p + 4g = 15 (1’) (2)

sumando (1’) + (2) ,

(1) 5p + 4g = 13 (2) 15p + 4g = 15 –10p + 0 = –2 p = 2/10

–5p – 4g = –13 15p + 4g = 15 10p + 0 = 2

p = 1/5 ,

p = 2/10 p = 1/5 ,

aplicando en (1)

4g = 13 – 5p 4g = 13 – 5(1/5)

4g = 13 – 1 4g = 12

= 13 litros

g = 12/4 = 15 litros

g=3.

Respondemos que: La capacidad de un contenedor grande es de 3 litros y el de uno pequeño de 1/5 de litro. Dibuja la gráfica de las ecuaciones que se produjeron para este ejercicio (6) y haz tus observaciones. Ejemplo 7. En un almacén de harina se tienen sólo dos pesas de diferente tara. Si a un cliente se le empacaron 53 kilogramos habiendo puesto en la balanza 9 pesas grandes y 4 pequeñas; y a otro cliente se le empacaron 29 kilogramos habiendo puesto en la balanza 5 pesas grandes y 2 pequeñas. ¿Cuál es la tara de cada una de las pesas? Ecuaciones: (1) 9g + 4p = 53 (2) 5g + 2p = 29 Multiplicamos por –2 la ecuación (2), con ello duplicamos la ecuación a la vez que la multiplicamos por –1, y después sumamos ambas ecuaciones:

(1) 9g + 4p = 53 (2’) –10g – 4p = –58

(1) x –2, sumando (1) + (2’) ,

–g + 0 = –5 g=5,

aplicando en (1)

4p = 53 – 9g 4p = 53 – 9(5) 4p = 53 + 45

4 pesas p n hari

4p = 8

9 pesas g

p = 8/4 p=2. 2 pesas p 4 pesas g

harina

Respondemos que las pesas tienen las siguientes taras: la grande, 5 kilogramos; la pequeña 2 kilogramos. Desarrolla la tabulación de las dos ecuaciones del ejercicio (8) y dibuja sus gráficas, añadiendo las observaciones que consideres pertinentes.

Ejemplo 8. Los pequeños de preprimaria están aprendiendo aritmética y para ello cuentan con tablitas de diferentes longitudes, en centímetros, para los números del 1 al 12 y un tablero de aritmética donde asientan las tablillas. A cada longitud y número le corresponde un color determinado. Resulta que han construido dos expresiones con tablitas de dos longitudes distintas. Las expresiones son las siguientes: primera expresión; 3 tablitas rojas midieron lo mismo que 5 unidades del tablero y 2 tablitas azules; segunda expresión; 5 tablitas azules tuvieron la misma medida que 4 unidades del tablero y 2 tablitas rojas. ¿Cuánto miden las tablitas rojas y cuánto las azules? Ecuaciones

Reacomodando,

(1) (2)

(1) 3r – 2a = 5 (2) –2r + 5a = 4

3r = 5 + 2a 5a = 4 + 2r

Para que podamos sumar ambas expresiones o ecuaciones y con ello suprimir alguna de las incógnitas (ya sea la “r” o la “a”) multiplicamos por 2 (duplicamos) la ecuación (1) y por 3 (triplicamos) la ecuación (2), con esto, los coeficientes de la “r” serán iguales (en valor) y de signo contrario y así podremos sumar ambas ecuaciones y suprimir las “r”, hagámoslo:

(1) x 2, (2) x 3,

(1’) 6r – 4a = 10 (2’) –6r + 15a = 12

sumando (1’) + (2’) ,

0 + 11a = 22 a = 22/11 a=2,

aplicando en (1)

3r = 5 + 2a 3r = 5 + 2(2) 3r = 5 + 4

de Tablero a Aritmétic

1 2 3

4 5

s itas Roja Tres tabl es

r = 9/3 1

2 3 4

blitas Az Cinco ta

(2) Expresión 2r 5a = 4 +

3r = 9

Dos Azul

(1) Expresión 2a 3r = 5 +

r=3.

ules

s Dos Roja

Nuestra respuesta: las tablitas azules representan al número 2 y miden 2cm., mientras que las tablitas rojas representan al número 3 y miden 3cm.

Ejemplo 9. En una papelería un cliente compró 2 bolígrafos y 7 cuadernos y pagó en total $71. Otro cliente compró 5 bolígrafos y 3 cuadernos y su pago fue de $47. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo y cuál el de un cuaderno? Si en ambas ecuaciones despejamos la “b”, obtenemos Ecuaciones: (1)

2b + 7c = 71

b =

71 – 7c 2

(2)

5b + 3c = 47

b =

47 – 3c 5

comparémoslas

71 – 7c 2

47 – 3c 5

5 ( 71 – 7c) =

, hemos igualado ambas ecuaciones en “b”,

2 ( 47 – 3c)

355 – 35c =

94 – 6c

– 35c + 6c =

94 – 355

– 29c =

, eliminemos los denominadores, , desarrollemos,

– 261

c =

261/29

c =

aplicando en (1)

2b = 71 – 7c 2b = 71 – 7(9) 2b = 71 – 63 2b = 8 b = 8/2 b=4.

Respuesta: el precio de un bolígrafo es $4 y el de un cuaderno $9.

Desarrolla la tabulación de las dos ecuaciones del ejercicio (9), dibuja sus gráficas y añade las observaciones que consideres pertinentes. Ejemplo 10. Para celebrar la primavera, Marcela compró 2 kilos de manzanas y 6 de peras y pagó por todo $55. Al llegar a casa se enteró que su mamá había comprado 8 kilos de peras y 3 de manzanas, pagando por ellos $76. ¿Cuánto les costó el kilo de manzanas y cuánto el de peras? Ecuaciones:

Si en ambas ecuaciones despejamos la “b”, obtenemos

(1)

2m + 6p = 55

p =

55 – 2m 6

(2)

8p + 3m = 76

p =

76 – 3m 8

comparémoslas

55 – 2m 6

8 ( 55 – 2m) = 440 – 16m =

, hemos igualado ambas ecuaciones en “b”, 76 – 3m 8

6 ( 76 – 3m)

, eliminemos los denominadores, , desarrollemos,

456 – 18m

– 16m + 18m = 456 – 440 2m =

6k, pera 2k, mza

m =

16/2

M =

aplicando en (1)

6p = 55 – 2m 6p = 55 – 2(8)

$55

6p = 55 – 16 6p = 39 8k, pera 3k, mza $76

p = 39/6 p = 6 3/6 . p = 6 1/2 .

Respuesta: el kilo de manzanas costó $8.00 y el de peras $6.50.

Desarrolla la tabulación de las dos ecuaciones del ejercicio que acabamos de resolver, dibuja sus gráficas y añade las observaciones pertinentes.

Ejemplo 11. En un teatro, 15 boletos para adulto y 8 para infante cuestan $2,740; y 5 boletos para adulto y 4 para infante cuestan $1,020. ¿Cuál es el precio de un boleto para adulto y cuál el de uno para infante? Ecuaciones (1) (2)

15a + 8i = 2740 5a + 4i = 1020

Para resolver este ejercicio, utilizaremos un método llamado “por determinantes” o “método de Cramer”.

La construcción y desarrollo de un determinante es sobre “matrices” –arreglos rectangulares de números dispuestos en columnas y renglones– de la siguiente forma: a) Por columna, anotaremos los valores de los coeficientes de una misma incógnita o los valores de los términos constantes, según sea el caso y b) Las operaciones para obtener el valor del determinante son las siguientes: x

Supongamos que los coeficientes para las x’s y las y’s son: a, b, c, d.

a c

b d

= (a x d) – (c x b) = ad – cb = valor del determinante = ∆ (letra griega D).

•

El producto de los números que se encuentran, en la esquina superior izquierda y en la esquina inferior derecha, es POSITIVO, o sea, se anota con el signo resultante del producto de los signos que posean tales números.

•

El producto de los números que se encuentran, en la esquina inferior izquierda y en la esquina superior derecha, es NEGATIVO, o sea, se anota con el signo contrario al resultante del producto de los signos que posean tales números.

En nuestro ejercicio, con los coeficientes de las incógnitas (a’s e i’s), formaremos el determinante del sistema:

las operaciones son las siguientes:

15 5

8 4

= (15 x 4) – (5 x 8) = 60 – 40 = 20 = ∆.

ii)

Sustituyendo los coeficientes de la incógnita “a” por los términos constantes, y los coeficientes de la incógnita “i” formaremos el determinante de la “a”:

las operaciones:

2740 1020

8 4

= (2740 x 4) – (1020 x 8) = 10960 – 8160 = 2800 = ∆a.

iii) Con los coeficientes de la incógnita “a” y sustituyendo los coeficientes de la incógnita “i” por los de los términos constantes formaremos el determinante de la “i”: a

15 5

2740 1020

las operaciones:

= (15 x 1020) – (5 x 2740) = 15300 – 13700 = 1600 = ∆i.

Finalmente, para obtener los valores de “a” e “i”, dividimos sus respectivos determinantes por el determinante del sistema. Esto es:

∆a

∆

2800 20

= 140.

∆i ∆

1600 20

= 80.

Y nuestra respuesta es: el precio del boleto para infante es de $80 y para adulto de $140.

Ejemplo 12. Los pequeños de preprimaria han construido otras dos expresiones con tablitas de dos longitudes distintas, son las siguientes: primera, 2 tablitas amarillas y 5 tablitas verdes midieron 13 unidades del tablero; segunda, 3 tablitas amarillas tuvieron la misma medida que 8 unidades del tablero y 4 tablitas verdes. ¿Cuánto miden las tablitas amarillas y cuánto las verdes?

Ecuaciones

Reacomodando,

(1) 2a + 5v = 13 (2) 3a = 8 + 4v

(1) (2)

2a + 5v = 13 3a – 4v = 8

i) Determinante del sistema: a

2 3

5 –4

las operaciones:

= (2 x –4) – (3 x 5) = –8 – 15 = –23 = ∆ .

ii) Determinante de la “a”: k

13 8

5 –4

operaciones:

= (13 x –4) – (8 x 5) = –52 – 40 = –92 = ∆a.

iii) Determinante de la “v”: a

operaciones:

2 3

13 8

= (2 x 8) – (3 x 13) = 16 – 39 = –23 = ∆v.

Para obtener los valores de “a” y “v”:

∆a ∆

Tablero de Aritmética

–92 –23

= 4.

11 12 8 9 10 5 6 7 4 3 1 2

∆i ∆

–23 –23

= 1.

La respuesta es: las tablitas amarillas representan al número 4 y miden 4cm., mientras que las tablitas verdes representan al número 1 y miden 1cm.

des y cinco Ver illas ar m A as Dos tablill

(1) Expresión 13 = 2a + 5v 7 8 4 5 6 1 2 3

as Tres tablit

Amarillas es Cuatro Verd

(2) Expresión v 4 3a = 8 +

Ejemplo 13. ¿Cuántos cm3 de solución salina al 5% y cuántas de solución al 20% se deben mezclar para obtener 60 cm3 de solución salina al 15%?

Ecuaciones cm3 de solución requeridos % de salinidad de la solución requerida

(1) x + y = 60 (2) 0.05x + 0.20y = 60 x 0.15

(2) 0.05x + 0.20y = 9

Multiplicando (2) por 100, tenemos: (1) x + y = 60 (2) 5x + 20y = 900

Resolveremos este ejercicio mediante otro método, el “Método de Gauss”.

Para este método, necesitamos construir una “matriz” –recuerda, arreglo rectangular de números dispuestos en columnas y renglones–, con los coeficientes de las variables y los términos constantes. La configuración y operación de esta matriz es de la siguiente forma:

a) Por columna, anotaremos los valores de los coeficientes de una misma incógnita así como los valores de los términos constantes y b) Las operaciones para obtener el resultado del sistema son las de suma, resta, multiplicación y división según se necesiten.

Construyamos la matriz de nuestro ejemplo. x

1 5

1 20

60 900

Por el método de Gauss, se debe transformar la matriz que se construye de coeficientes y términos constantes del ejercicio en una matriz que tenga sólo ceros “0” abajo de la “diagonal principal” de la matriz transformada. • •

la diagonal principal señalada con una flecha azul abajo de esta diagonal, el 5 que debemos transformar en 0.

¿Cómo hacerlo? ¿ cm 3

5% ? ¿c

En la matriz transformada:

1) escribiremos el primer renglón de la matriz del ejercicio,

60cm3 al 15%

En una matriz de transición:

2) multiplicamos el primer renglón por 5, 3) restamos el segundo renglón al primero (o multiplicamos x –1 y sumamos), 4) ese resultado lo escribiremos como el segundo renglón de la matriz transformada, 5) despejada la segunda variable, encontramos su valor y 6) aplicamos ese valor en (1) o en (2) y obtenemos el valor de la primera variable. Comenzamos por el paso 2)

el paso 3)

ahora paso 1) paso 4)

y paso 5)

5 –5

5 –20

300 –900

–15

–600

1 0

1 –15

60 –600

–15y =

–600

y =

600/15

y =

40 ,

Matriz de “transición” cambio de signo para aplicar

Matriz transformada

aplicando en (1)

x + 40 = 60 x = 60 – 40 x = 20.

Respuesta: deben mezclarse 20cm3 de solución salina al 5% y 40cm3 de solución al 20%, así se obtendrán 60 cm3 de solución salina al 15%. A través de los ejercicios que hemos resuelto, hicimos uso de varios métodos o desarrollos para obtener las soluciones. Estos métodos están relacionados entre sí, de manera que todos obedecen las mismas reglas de operación del álgebra. Por el momento nos basta con saber que son afines, nos brindan varias vías de desarrollo –mientras más herramientas sepamos usar, mejores marcas tendremos– para resolver los ejercicios cuya solución se encuentra a través de Sistemas de Ecuaciones Lineales. Resolvimos ejercicios mediante los siguientes métodos (abreviados o superabreviados): Nombre

Proceso, después de acomodar las variables en una misma columna.

1. Sustitución

Alguna de las variables está en singular; sustituirla en la otra.

2. Suma o Resta

• •

La misma variable tiene, en ambas ecuaciones del sistema, el mismo coeficiente ya sea con el mismo signo, restar una a la otra; o con signos contrarios, entonces sumar una a la otra. Si se desea igualar los coeficientes de la misma variable: Multiplicar el coeficiente de esa variable en la primera ecuación, por la segunda ecuación y Multiplicar el coeficiente de esa misma variable en la segunda ecuación, por la primera ecuación. Esto nos asegura que la misma variable tiene ahora, en ambas ecuaciones, coeficientes iguales, salvo tal vez el signo.

3. Igualación

Despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar las resultantes.

4. Determinantes o de Cramer

Se obtienen los determinantes, del sistema y los determinantes de las dos variables. Para obtener los valores de las variables, solución del sistema: dividimos cada uno de los determinantes de las variables por el determinante del sistema.

5. De Gauss

Se transforma la matriz del ejercicio, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre sus renglones, de modo que abajo de la diagonal principal sólo se tenga el valor “0”.

Para convencernos que por cualquiera de estos métodos obtendremos el mismo resultado al aplicarlos sobre un Sistema de Ecuaciones Lineales, resolvamos un ejercicio utilizando todos estos métodos.

Ejemplo 14. En un almacén de granos, Vicente compra 1 saco de maíz y 3 sacos de trigo que juntos, los cuatro sacos, pesan 6 kilos; Gerardo compra 5 sacos de maíz que pesan lo mismo que 13 kilos, puestos en pesas, más 2 sacos de trigo. ¿Cuántos kilos pesa cada saco de maíz y cuánto cada saco de trigo? Ecuaciones:

(1)

m + 3t = 6

(2)

5m = 13 + 2t

Dibujos:

6k 6k 1k

1. Método de Sustitución de (1) sustituimos en (2)

m = 6 – 3t 5(6 – 3t) = 13 +2t ,

30 – 15t = 13 + 2t – 15t – 2t = 13 – 30 – 17t = – 17 t = 17/17 t = 1 , en (1)

m = 6 – 3(1) m=6–3 m=3.

Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo.

2. Método de Suma o Resta Ecuaciones:

(1) (2)

m + 3t = 6 5m = 13 + 2t

(1) m + 3t = 6 (2) 5m – 2t = 13

, x2 , x3

(1’) 2m + 6t = 12 (2’) 15m – 6t = 39 sumamos,

17m + 0 = 51 m = 51/17 m = 3 , en (1)

3 + 3t = 6 3t = 6 – 3 3t = 3 t = 3/3 t=1.

Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo. Llevamos dos. 3. Método de Igualación Ecuaciones:

(1)

(2)

m + 3t = 6

5m = 13 + 2t

(1)

6–m 3

(2)

5m – 13 2

2 (6 – m) =

3 (5 – 13)

12 – 2m =

15m – 39

– 2m – 15m =

– 39 – 12

– 17m =

– 51

m =

51/17

m =

en (1)

3 + 3t = 6 3t = 6 – 3 3t = 3 t = 3/3

t = 1. Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo. Y llevamos tres. 4. Método de Determinantes Ecuaciones:

(1) (2)

m + 3t = 6 5m = 13 + 2t

(1) m + 3t = 6 (2) 5m – 2t = 13

i) Determinante del sistema:

1 5

3 –2

las operaciones:

= (1 x –2) – (5 x 3) = –2 – 15 = –17 = ∆ .

ii) Determinante del “maíz”: k

6 13

3 –2

operaciones:

= (6 x –2) – (13 x 3) = –12 – 39 = –51 = ∆m.

iii) Determinante del “trigo”: m

operaciones:

1 5

6 13

= (1 x 13) – (5 x 6) = 13 – 30 = –17 = ∆t.

Para obtener los valores del “maíz” y del “trigo”:

maíz =

∆m ∆

–51 –17

= 3.

trigo

∆t ∆

–17 –17

= 1.

Respuesta: el saco de maíz pesa 3 kilos y el de trigo 1 kilo. Completamos cuatro.

5. Método de Gauss Ecuaciones:

(1) (2)

1 5

3 –2

6 13

m + 3t = 6 5m = 13 + 2t

(1) m + 3t = 6 (2) 5m – 2t = 13

Matriz de “transición”:

multiplicar x 5 multiplicar x –1 y sumar o sólo restar (2)

1 0

3 17

6 17

15 2

30 –13

transformada

Matriz transformada evaluamos t en (2) transformada

aplicando en (1)

5 –5

17t

17/17

m+3=6 m=6–3 m = 3.

Respuesta: el saco de trigo pesa 1 kilo y el de maíz 3 kilos. Cumplimos con los cinco y en todos y cada uno de ellos obtuvimos la misma respuesta. ¿Qué sucede con estos métodos cuando se enfrentan a un sistema de rectas paralelas entre sí o que el sistema esté compuesto por la misma recta? Respuestas: •

Cualquiera que haya sido el método escogido y habiendo sido cuidadoso en su aplicación, los resultados del sistema podrían parecernos “extraños” y tendríamos la sensación de haber cometido algún error en el desarrollo de las operaciones.

•

A través del análisis de esas “extrañezas” en los resultados, sabremos cómo son entre sí las rectas que componen el sistema.

Resolvamos un ejemplo en el que el sistema esté formado por un par de rectas paralelas entre sí y utilizando las mismas dos rectas paralelas resolvamos por los “cinco” métodos.

Ejemplo 15. Sean las rectas: (1) x – 2y = 6

(2) 2x – 4y = 2

Eje Y m1,2 = 1

Esta es la gráfica de las líneas rectas, de este ejercicio, sobre el Plano Cartesiano.

)

a (2 ect

cta

( 1)

Eje X

1. Método de Sustitución de (1)

x = 2y + 6

sustituimos en (2)

2(2y + 6) – 4y = 2 ,

4y + 12 – 4y = 2 4y – 4y = 2 – 12 ¿ 0 = – 10 ? Esta “extrañeza”, “0 igual a un valor distinto de 0”, nos dice que el sistema es de dos rectas paralelas.

2. Método de Suma o Resta (1) (2)

x – 2y = 6 2x – 4y = 2

(1) 2x – 4y = 12 (2) – 2x + 4y = –2

sumamos,

¿0 + 0 = 10?

, x2 , x –1

Misma “extrañeza”, “0 igual a un valor distinto de 0”, misma conclusión: dos rectas paralelas. 3. Método de Igualación (1)

x – 2y = 6

(1)

–6+x 2

(2)

2x – 4y = 2

(2)

– 2 + 2x 4

4 (– 6 + x) =

2 (– 2 + 2x)

– 24 + 4x =

– 4 + 4x

4x – 4x =

– 4 + 24

¿0 =

24?

Misma “extrañeza”, “0 igual a un valor distinto de 0”, misma conclusión: dos rectas paralelas. 4. Método de Determinantes (1) (2)

x – 2y = 6 2x – 4y = 2

i) Determinante del sistema x

1 2

–2 –4

= (1 x –4) – (2 x –2) = –4 – (–4) = –4 + 4 = 0 = ∆ .

ii) Determinante de la “x” k

6 2

–2 –4

= (6 x –4) – (2 x –2) = –24 – (–4) = –24 + 4 = –20 = ∆x.

iii) Determinante de la “y” x

1 2

6 2

= (1 x 2) – (2 x 6) = 2 – 12 = –10 = ∆y.

Valores de la “x” y de la “y”:

∆x ∆

–20 0

indeterminado,

y =

∆y ∆

–10 0

indeterminado.

Notemos que los numeradores son distintos de “0”.

5. Método de Gauss (1) (2) x

1 2

–2 –4

6 2

x – 2y = 6 2x – 4y = 2 Matriz de “transición”

multiplicar x 2 multiplicar x –1 y sumar o sólo restar (2)

1 0

–2 0

6 10

transformada

Matriz transformada ¿Cómo evaluamos?

¿0

2 –2

–4 4

12 –2

10 ?

Misma “extrañeza”, “0 igual a un valor distinto de 0”, misma conclusión: dos rectas paralelas.

Ahora resolvamos un sistema formado por un par de rectas que están una sobre otra o la misma recta en dos presentaciones o paralelas entre sí y con “un punto” en común. Utilizaremos, como en el ejercicio anterior, las mismas dos rectas y resolveremos por los “cinco” métodos.

Ejemplo 16. Sean las rectas:

(1) 3x – y = –3

(2) 9x – 3y = –9

Eje Y

(1 )

m1,2 = 3

Rec ta

Graficadas sobre el Plano Cartesiano, así se presenta el dibujo de las ecuaciones de las rectas de este ejercicio.

Eje X

Rec ta

(2)

1. Método de Sustitución de (1)

y = 3 + 3x ,

sustituimos en (2)

9x – 3 (3 + 3x) = –9 ;

9x – 9 – 9x = –9 9x – 9x = –9 + 9 ¿0 = 0?

Esta otra “extrañeza”, “0 igual a 0”, nos dice que el sistema es de dos rectas una sobre otra o sea, la misma recta.

2. Método de Suma o Resta (1) (2)

3x – y = –3 9x – 3y = –9 sumamos,

(1) 9x – 3y = –9 (2) – 9x + 3y = 9

, x3 , x –1

¿0 + 0 = 0? Misma “extrañeza” que la de renglones arriba, “0 igual a 0”, misma conclusión: la misma recta o dos rectas una sobre otra.

3. Método de Igualación

(1)

3x – y = –3

(1)

–3 + y 3

(2)

9x – 3y = –9

(2)

–9 + 3y 9

9 (–3 + y) =

3 (–9 + 3y)

– 27 + 9y =

– 27 + 9y

9y – 9y =

– 27 + 27

¿0 =

Misma, esta que es nuestra segunda “extrañeza”, “0 igual a 0”, misma conclusión: la misma recta o dos rectas una sobre otra.

4. Método de Determinantes (1) (2)

3x – y = –3 9x – 3y = –9

i) Determinante del sistema x

3 9

–1 –3

= (3 x –3) – (9 x –1) = –9 – (–9) = –9 + 9 = 0 = ∆.

ii) Determinante de la “x” k

–3 –9

–1 –3

= (–3 x –3) – (–9 x –1) = 9 – (9) = 9 – 9 = 0 = ∆x.

iii) Determinante de la “y” x

3 9

–3 –9

= (3 x –9) – (9 x –3) = –27 – (–27) = –27 + 27 = 0 = ∆y.

Valores de la “x” y de la “y”: 0 0 ∆x ∆y indeterminado, indeterminado. x = = = y = 0 0 ∆ ∆ Notemos que en este ejercicio los numeradores y los denominadores son iguales a “0”.

5. Método de Gauss (1) 3x – y = –3 (2) 9x – 3y = –9 x

3 9

–1 –3

–3 –9

Matriz de transición:

multiplicar x 3 multiplicar x –1 y sumar o sólo restar (2)

3 0

–1 0

–3 0

transformada

Matriz transformada ¿Cómo evaluamos?

¿0

9 –9

–3 3

–9 9

Misma última “extrañeza”, “0 igual a 0”, misma conclusión: la misma recta o dos rectas una sobre otra. Tenemos, después de todos estos ejercicios, forma y manera de responder que tipo de sistema de dos líneas rectas es el que se presenta, utilizando para resolverlo cualquiera de los métodos aquí desarrollados. Hagamos un resumen. Método

Rectas que se intersectan

Rectas paralelas Obtenemos la “extrañeza UNO (1)”

1. Sustitución 2. Suma o Resta 3. Igualación 4. Determinantes o de Cramer 5. de Gauss

Las variables tienen valores racionales y razonables

Rectas una sobre otra Obtenemos la “extrañeza DOS (2)”

1.a) “0 igual a un valor 2.a) “0 igual a 0” distinto de 0” 1.a) 2.a) 1.a) 2.a) 1.b) “un valor distinto de 0 2.b) “0 dividido entre 0” dividido entre 0” 1.a) 2.a)

Ejercicios 1. Jorge compró en el expendio “El Gran Cafeto” 3 kilos de café y 5 kilos de azúcar en $290.00 y Aurora compró allí mismo, 4 kilos de café y 9 kilos de azúcar en $410.00. ¿Cuánto cuesta en “El Gran Cafeto” el kilo de café y cuánto el de azúcar? 2. Un ganadero compró 5 carneros y 7 caballos en $20,000; más tarde, a los mismos precios, adquirió 3 carneros y 2 caballos en $7,600. ¿Cuánto pagó por cada carnero y cuánto por cada caballo? 3. Se tienen $4,750 en 69 billetes de $50 y $100. ¿Cuántos billetes son de $50 y cuántos de $100? 4. En un teatro hay 700 personas entre niños y adultos. Cada niño pagó $15 y cada adulto $40 por entrada. La recaudación es de $18000. ¿Cuántos niños y cuántos adultos hay en el cine? 5. El ancho de una sala tomado 6 veces, excede al doble de la longitud de la sala en 18m. Si la longitud de la sala se toma 5 veces, excede en 21m. al cuádruplo de la sala. ¿Cuáles son las medidas de la sala? 6. ¿Cuántos cm3 de cada una da dos soluciones de alcohol, una al 8% y otra al 15%, se deben mezclar para obtener 100cm3 de solución al 12,2%? 7. El kilo de galleta simple cuesta $10 y el kilo de galleta con relleno $25. ¿Cuántos kilos de cada tipo de galleta se necesitan para que 9 kilos tengan un precio de $20 por kilo? 8. Hallar dos ángulos complementarios tales que uno sea cuádruplo del otro. 9. Obtener dos ángulos suplementarios tales que uno sea triple del otro. 10. Los ángulos interiores de un triángulo guardan entre sí las siguientes relaciones: el ángulo B es el triple de A y el ángulo C es el doble de A. ¿Cuánto mide cada ángulo? 11. El largo de un rectángulo es el doble de su ancho y su perímetro es igual a 72cm. ¿Cuánto mide de largo y cuánto de ancho? 12. El perímetro de un triángulo es de 27cm; si el lado A es 2m mayor que el lado B, y el lado C es 5m menor que el lado B. ¿Cuánto mide cada uno de los lados? 13. El largo de un rectángulo es 8m mayor que el triple del ancho, el perímetro es igual a 88m ¿Cuánto mide de largo y cuánto de ancho? 14. Obtener tres números naturales consecutivos tales que su suma sea 66.

15. Hallar tres números pares consecutivos tales que su suma sea 78. 16. El ángulo interior B de un triángulo es 10° men or que el doble del ángulo A, y el ángulo C es 15° menor que el ángulo B. ¿Cuánto mide cada ángulo? 17. Obtener dos ángulos suplementarios tales que uno mida 15° menos que la mitad del otro. 18. El ancho de un rectángulo es 6cm mayor que la tercera parte del largo. ¿Cuáles son las medidas de su ancho y largo si su perímetro es 92cm? 19. El perímetro de un triángulo es de 29m. Si el lado A es 10m menor que el triple del lado B, y el lado C es la mitad del lado A, ¿cuánto mide cada uno de los lados? 20. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos suplementarios A y B, si B es 10° mayor que la mitad del triple de A?

Matemáticas 3 ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r a b c p d e f q g h i r

1: Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. 3: Sistemas de ecuaciones con más de dos incógnitas

Objetivo El estudiante aprenderá algunos métodos de solución para sistemas de ecuaciones lineales en espacios de tres y más dimensiones.

2x – y + z = -1 x + 3y x–y –z=2 +z= 1

∆ x ∆

X Y

Presentación En el proceso de solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, podemos utilizar varios métodos, según se vaya presentando la oportunidad o se nos facilite conforme lo vayamos resolviendo. Comenzamos. Ejemplo 1. Rebeca y Beatriz, cuentan con tablitas de diferentes longitudes, en centímetros, para los números del 1 al 12 y un “Tablero de Aritmética” donde asientan las tablitas. A cada longitud y número, le corresponde un color determinado. Resulta que han construido tres expresiones con tablitas de tres longitudes distintas. Las expresiones son las siguientes: Primera expresión; 1 tablita verde una azul y una roja, alcanzaron hasta 6 unidades en el tablero, Segunda expresión; 1 tablita verde y 2 rojas, equivalen a 5 unidades del tablero más 1 tablita azul, Tercera expresión; 1 tablita verde y 10 unidades midieron lo mismo que 1 tablita azul y 3 rojas. ¿Cuánto miden las tablitas verdes, las azules y las rojas? Para identificar los colores de las tablitas, convertimos: verdes = x, azules = y, rojas = z. Ecuaciones: x+y+ z =6 x + 2z = 5 + y x + 10 = y + 3z

Representación utilizando el “Tablero de Aritmética”.

) s ió n (1 E x p re z = 6 + x+ y

) s ió n (2 E x p re y =5+ x + 2z 5

9 10

) s ió n (3 E x p re y + 3 z = 0 1 + x

acomodamos el sistema;

(1) (2) (3)

x+y+ z =6 x – y + 2z = 5 x – y – 3z = –10

luego, despejamos la x en la ecuación (1) :

x=6–y–z

sustituimos en: (2) (6 – y – z) – y + 2z = 5 (3) (6 – y – z) – y – 3z = –10

; ; (2) (3)

– y – y – z + 2z = 5 – 6 – y – y – z – 3z = – 10 – 6 – 2y + z = – 1 – 2y – 4z = – 16

multiplicamos (3’) x –1 ,

– 2y + z = – 1 2y + 4z = 16

suma

0 + 5z = 15 z = 15/5 z=3.

aplicamos en (1) y (2): x + y + (3) = 6 x – y + 2(3) = 5

; ;

x+y=6–3 x–y=5–6

(1) (2)

x+y=3 x–y=–1

sumamos (1) y (2) ,

2x + 0 = 2 x = 2/2 x=1.

aplicamos en (1) (1) + y + (3) = 6 y=6–1–3 y = 2.

Respuesta: las tablitas verdes representan al 1, las azules al 2 y las rojas al 3.

Ejemplo 2. Si se juntan los dulces que hay en las bolsas de Rebeca, Beatriz y Omar, serían 12 dulces; Si se duplican los dulces de Rebeca y se juntan con los dulces de Omar, serían 7 más los dulces de Beatriz y; Si se juntan los de Rebeca con el doble de los dulces de Beatriz, serían 6 más los de Omar. ¿Cuántos dulces tiene en su bolsa cada uno? Ecuaciones: (identificaremos a Rebeca = x, Beatriz = y, Omar = z) x + y + z = 12

x + 2y = 6 + z 2x + z = 7 + y

x x z

acomodamos el sistema;

(1) x + y + z = 12 (2) 2x – y + z = 7 (3) x + 2y – z = 6

ahora, despejamos la x en la ecuación (1) :

x = 12 – y – z

sustituimos en: (2) 2(12 – y – z) – y + z = 7 (3) (12 – y – z) + 2y – z = 6

; ;

(2) (3)

– 2y – 2z – y + z = 7 – 24 – y + 2y – z – z = 6 – 12

– 3y – z = – 17

y – 2z = – 6

despejamos la y en la ecuación (3) sustituimos en (2)

– 3( – 6 + 2z) – z = – 17 18 – 6z – z = – 17 – 7z = – 35 z = 35/7 z = 5.

, y = – 6 + 2z

aplicamos en (1) y (2): x + y + (5) = 12 2x – y + (5) = 7

; ;

x + y = 12 – 5 2x – y = 7 – 5 x+y=7 2x – y = 2

(1) (2) sumamos ,

3x + 0 = 9 x = 9/3 x = 3.

aplicamos en (1) (3) + y + (5) = 12 y = 12 – 3 – 5 y = 4.

Respuesta: Rebeca tiene 3 dulces en su bolsa, Beatriz 4 y Omar 5.

Ejemplo 3. En un lago para la navegación de pequeñas embarcaciones a control remoto, un aficionado realizó tres recorridos. En el primero dio con su velero 3 vueltas al primer circuito, 1 vuelta al segundo y 2 vueltas al tercero, y empleó en total 2 horas; en el segundo, dio 6 vueltas al primero y 4 vueltas al tercero y empleó, 3 horas y 4 vueltas al segundo y; en el tercero, dio 3 vueltas al primero y 4 vueltas al tercero y empleó, 2 vueltas al segundo y una hora. ¿Qué tiempo empleó en una sola vuelta en cada uno de los circuitos? acomodamos:

Ecuaciones: (1° circuito = x, 2° = y, 3° = z) 3x + y + 2z = 2 6x + 4y = 3 + 4z 3x + 4z = 2y + 1 restamos (3) tanto a (1) como a (2)

multiplicamos –2(3) y restamos

(4) (5)

3y – 2z = 1 8y – 12z = 1

3x + y + 2z = 2 6x + 4y – 4z = 3 3x – 2y + 4z = 1

(1) (2) (3)

3x + y + 2z = 2 –3x + 2y – 4z = –1

(4)

0 + 3y – 2z = 1

(2) –2(3)

6x + 4y – 4z = 3 –6x + 4y – 8z = –2

(5)

0 + 8y – 12z = 1

por determinantes tenemos:

i) determinante del sistema:

(1) –(3)

3 8

–2 –12

= (3 x –12) – (8 x –2) = –36 + 16 = –20 = ∆ .

ii) determinante de la “y”:

iii) determinante de la “z”:

1 1

–2 –12

3 8

1 1

= (1 x –12) – (1 x –2) = –12 + 2 = –10 = ∆y.

= (3 x 1) – (8 x 1) = 3 – 8 = –5 = ∆z.

Finalmente, dividimos los determinantes de “y” y “z” por el determinante del sistema:

y =

∆y ∆

–10 –20

aplicamos en (1):

1 2

z =

∆z ∆

–5 –20

1 4

3x + (1/2) + 2(1/4) = 2 3x + (1/2) + (1/2) = 2 3x + 1 = 2 3x = 2 – 1 3x = 1 x = 1/3.

Respuesta: empleó 20 minutos en dar la vuelta al primer circuito; 30 minutos en el segundo y 15 minutos en el tercero. Recordemos que las medidas buscadas están dadas en horas.

Ejemplo 4 (o acertijo). Si al doble de la edad de Amalia se suma la edad de Berenice, se obtiene la edad de Carmen aumentada en 32 años. Si al tercio de la edad de Berenice se suma el doble de la de Carmen, se obtiene la de Amalia aumentada en 9 años. El tercio de la suma de las edades de Amalia y Berenice, es un año menos que la edad de Carmen. ¿Qué edades tiene Amalia, Berenice y Carmen?

acomodamos:

Ecuaciones: (Amalia = x, Berenice = y, Carmen = z) 2x + y = z + 32 y/3 + 2z = x + 9 (x + y)/3 = z – 1

(1) (2) (3)

2x + y – z = 32 –x + y/3 + 2z = 9 x/3 + y/3 – z = –1

Vamos a resolver este sistema por el método de determinantes. ¿Cómo lo resolveremos por determinantes? De la siguiente manera: Supongamos el siguiente sistema:

a1x + b1y + c1z = k1 a2x + b2y + c2z = k2 a3x + b3y + c3z = k3

Los determinantes de este sistema los construimos así: i) Determinante del sistema: x

a1 a2 a3 a1 a2

b1 b2 b3 b1 b2

c1 c2 c3 c1 c2

Repetimos los coeficientes de los dos primeros renglones. Esto hará más fácil la comprensión y operación de los coeficientes.

Las operaciones son:

= a1 x b2 x c3 + a2 x b3 x c1 + a3 x b1 x c2 +

Los coeficientes del sistema (ya acomodados, para el caso en que no lo estuvieran a la presentación del ejercicio).

– ( a2 x b1 x c3 + a1 x b3 x c2 + a3 x b2 x c1 )

•

Los productos de los números que se indican con las flechas azules son POSITIVOS. Se anotan con el signo resultante del producto de los signos que posean tales números.

•

Los productos de los números que se indican con las flechas rojas son NEGATIVOS. Se anotan con el signo contrario al resultante del producto de los signos que posean tales números.

Determinantes de las variables del sistema: ii) Para el de la “x”, se sustituyen los valores de las constantes del sistema por los coeficientes de la “x”. Las operaciones se realizan de manera análoga a la descrita líneas arriba en el “determinante del sistema”. iii) Para el de la “y”, se sustituyen los valores de las constantes del sistema por los coeficientes de la “y”. Las operaciones, como en los determinantes anteriores. iv) Para el de la “z”, se sustituyen los valores de las constantes del sistema por los coeficientes de la “z”. Las operaciones, igual que en los anteriores. v) Para obtener, finalmente, los valores de x, y, z: Dividimos el valor del determinante de cada variable por el valor del determinante del sistema.

∆x

∆

∆y ∆

∆z ∆

i) determinante del sistema: x

–1

1/3

–1

1/3

= ( 2 x 1/3 x –1 ) + ( –1 x 1/3 x –1 ) + ( 1/3 x 1 x 2 ) + – ( ( –1 x 1 x –1 ) + ( 2 x 1/3 x 2 ) + ( 1/3 x 1/3 x –1 ) ) =

= –2/3 + 1/3 + 2/3 – ( 1 + 4/3 – 1/9 ) = 1/3 – ( 20/9 ) = –17/9

ii) determinante de la “x”: k

–1

1/3

–1

1/3

–1

1/3

= ( 32 x 1/3 x –1 ) + ( 9 x 1/3 x –1 ) + (–1 x 1 x 2 ) + – ( ( 9 x 1 x –1 ) + ( 32 x 1/3 x 2 ) + (–1 x 1/3 x –1 ) ) =

= –32/3 – 3 – 2 – (–9 + 64/3 + 1/3 ) = –47/3 – ( 38/3 ) = –85/3

iii) determinante de al “y”: x

–1

1/3

–1

= ( 2 x 9 x –1 ) + ( –1 x –1 x –1) + ( 1/3 x 32 x 2 ) + – ( ( –1 x 32 x –1 ) + ( 2 x –1 x 2 ) + ( 1/3 x 9 x –1 ) ) =

= –18 –1 + 64/3 – ( 32 – 4 – 3 ) = 7/3 – ( 25 ) = –68/3

iv) determinante de la “z”: x

–1

1/3

–1

1/3

= ( 2 x 1/3 x –1 ) + ( –1 x 1/3 x 32 ) + ( 1/3 x 1 x 9 ) + – ( ( –1 x 1 x –1 ) + ( 2 x 1/3 x 9 ) + ( 1/3 x 1/3 x 32 ) ) =

= –2/3 – 32/3 + 3 – ( 1 + 6 + 32/9 ) = –25/3 – ( 95/9 ) = –170/9

v) los valores de “x”, “y”, “z”:

∆x ∆ ∆y ∆ ∆z ∆

–85/3 –17/9 –68/3 –17/9 –170/9 –17/9

85 x 9 17 x 3 68 x 9 17 x 3 170 x 9 17 x 9

5x3

15 .

4x3

12 .

10 x 1

10 .

Respuesta: Amalia tiene 15 años, Berenice 12 y Carmen 10.

Ejemplo 5.

Hallar los valores de las variables

(1)

que satisfacen el siguiente sistema:

(2) 3x – 2y + z = 5 (3) 4x + y – 3z = –26

x + 4y + 5z = 11

Resolvamos este sistema por el método de Gauss. Recordemos: abajo de la diagonal principal sólo valores “0”. Matriz de coeficientes X y z k Matrices de transición (1)

(2)

–2

x –1

–3

–1

–5

(3)

–3

– 26

(1)

(2)

(3)

–3

– 26

x –1

–4

–1

(1)

(2)

: 14

(3)

x –1

– 15

– 23

– 70

(2)

x 15

(3)

x –1

– 15

– 23

– 70

(1)

(2)

(3)

–8

– 40

(2)

(3)

8z =

z =

40/8

z =

14y + 14(5) = 28 14y = 28 – 70 = –42 y = – 42/14 y = –3

(1)

x + 4(–3) + 5(5) = 11 x = 11 +12 – 25 x = –2

Respuesta. los valores que satisfacen el sistema son:

x = –2 ,

y = –3 ,

z = 5.

Ejemplo 6. Hallar los valores de las variables que satisfacen el siguiente sistema de 4x4: Por medio del método de suma y resta, compararemos la ecuación (1) con las demás. x + y + z + u = 10

(1)

2x + 2y + 2z + 2u = 20

(2) 2x – y + 3z – 4u = 9 (3) 3x + 2y – z + 5u = 13

(2)

x –1

–2x + y – 3z + 4u = –9

suma (5)

3y – z + 6u = 11

(1)

3x + 3y + 3z + 3u = 30

(3)

x –1

–3x – 2y + z – 5u = –13

suma (6)

y + 4z – 2u = 17

(1)

(4)

x – 3y + 2z – 4u = –3

x + y + z + u = 10

(1) (4)

x –1 suma (7)

–x + 3y – 2z + 4u = 3 4y – z + 5u = 13

Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones. Comparemos entonces, como líneas arriba, la ecuación (5) con las demás. (5) 3y – z + 6u = 11 (6) y + 4z – 2u = 17

3y – z + 6u = 11

(5) x –3

–3y – 12z + 6u = –51

suma (8)

– 13z + 12u = –40

(5)

12y – 4z + 24u = 44

(7)

x –3

–12y + 3z – 15u = –39

(6)

(7) 4y – z + 5u = 13

suma (9)

– z + 9u

= 5

Hemos reducido a un sistema de dos ecuaciones. Comparemos ahora las ecuaciones (8) y (9). (8) –13z + 12u = –40 (9) – z + 9u = 5

(8)

x –1

13z – 12u = 40

(9)

x 13

–13z + 117u = 65

Suma

105u = 105 u = 105/105 u = 1

(9) – z + 9(1) = 5

(5)

3y – (4) + 6(1) = 11

–z=5–9=–4

3y = 11 + 4 – 6 = 9

z=4

y = 9/3 y=3

(1)

x + (3) + (4) + (1) = 10 x = 10 – 3 – 4 – 1 x=2

Respuesta: los valores que satisfacen el sistema son:

Ejemplo 7.

x=2,

y=3,

z=4,

Hallar los valores de las variables

(1)

x + y + z +u = 4

que satisfacen el siguiente sistema

(2)

x + 2y + 3z – u = –1

de 4 ecuaciones y 4 variables:

(3) 3x + 4y + 2z + u = –5 (4) x + 4y + 3z – u = –7

u = 1.

Resolvamos nuestro ejercicio por el método de Gauss. Paso 1. Comparemos la ecuación (1) con las demás, de esta manera obtendremos 0’s en la columna de las x’s en las ecuaciones (2), (3) y (4).

Paso 2. Repetimos el paso 1, comparando ahora con la ecuación (2) y así sucesivamente hasta comparar la ecuación (n–1) con la (n) para la última variable.

Matriz de coeficientes y z u k

(1)

(2)

–1

(3)

–5

(4)

–1

–7

(1)

(2)

–1

–2

(3)

–5

(4)

–1

–7

(1)

(2)

–1

–2

(3)

–1

(4)

–1

–7

(1)

(2)

–1

–2

(3)

–1

(4)

–3

–2

(1)

(2)

–1

–2

(3)

–3

–12

(4)

–3

–2

(1)

(2)

–1

–2

(3)

–3

–12

(4)

–4

Matrices de transición 1

x –1

–1

–2

–3

x –1

–3

–4

–2

–1

–4

–3

–1

–2

x –1

–1

–2

–17

x –3

–6

–15

–3

–2

–12

–48

–12

x –1

(1)

(2)

–1

–2

(3)

–3

–12

(4)

–12

–60

(4)

–12u = –60 u = 60/12

(3)

–3z = –12

u=5

z = 12/3 z=4

(2)

– y – 2(4) + 2(5) = 5 – y = 5 + 8 – 10 y = –3

(1)

x + (–3) + (4) + (5) = 4 x–3+4+5=4 x+6=4 x = –2

Respuesta: los valores que satisfacen el sistema son:

Ejemplo 8.

x = –2 ,

y = –3 ,

z=4,

Hallar los valores de las variables

(1)

2x – 3y + z + 4u =

que satisfacen el siguiente sistema

(2)

3x + y – 5z – 3u = –10

de 4 ecuaciones y 4 variables:

(3)

6x + 2y – z + u = –3

(4)

x + 5y + 4z – 3u = –6

u = 5.

¿Qué les parece si resolvemos este ejercicio por el método de determinantes? Determinante del sistema 2 3 6 1

–3 1 2 5

1 –5 –1 4

4 –3 1 –3

Ahora construimos 4 más pequeños de la siguiente forma: a)

Tomamos los coeficientes del primer renglón y les asociamos la matriz que forman los coeficientes que no están ni en ese renglón ni en esa columna y Alternamos los signos de esos coeficientes del primer renglón (+, –, +, –, +,…).

1 2 5 1 2

–5 –1 4 –5 –1

–3 1 –3 –3 1

3 6 1 3 6

–5 –1 4 –5 –1

–3 1 –3 –3 1

3 6 1 3 6

1 2 5 1 2

–3 1 –3 –3 1

–4

3 6 1 3 6

2 ( 3 – 24 – 25 – ( 30 + 4 + 15 ) )

+ 3 ( 9 – 72 – 5 – ( 90 + 12 + 3 ) )

2 ( –46 –49 )

+ 3 ( –68 –105 )

2 ( –95 )

+ 3 ( –173 )

–190

1 2 5 1 2

–519

+ 1 ( –18 – 90 + 1 – ( –18 + 15 – 6 ) )

–4 ( 24 – 150 – 1 – ( 24 – 15 – 10 ) )

+ 1 ( –107 + 9 )

–4 ( –127 + 1 )

+ 1 ( –98 )

–4 ( –126 )

–98

+504

∆

= – 190 – 519 – 98 + 504

∆

= –303 Determinante de la “x” 0 –10 –3 –6

–3 1 2 5

1 –5 –1 4

4 –3 1 –3

construimos los 4 más pequeños:

–5 –1 4 –5 –1

1 2 5 1 2

–5 –1 4 –5 –1

–3 1 –3 –3 1

–10 –3 –6 –10 –3

–5 –1 4 –5 –1

–3 1 –3 –3 1

–10 +1 –3 –6 –10 –3

1 2 5 1 2

–3 1 –3 –3 1

–10 –4 –3 –6 –10 –3

1 2 5 1 2

–5 –1 4 –5 –1

+ 3 (–30 + 36 + 30 – (–45 – 40 – 18 ) ) + 3 ( 36 + 103 ) + 3 ( 139 ) +417

+ 1 ( 60 + 45 – 6 – ( 9 – 50 + 36 ) )

–4 ( –80 + 75 + 6 – ( –12 + 50 + 60 ) )

+ 1 ( 99 + 5 )

–4 ( 1 – 98 )

+ 1 ( 104 )

–4 ( –97 )

+104

+388

∆x

= 0 + 417 + 104 + 388

∆x

= 909 Determinante de la “y”

2 3 6 1

0 –10 –3 –6

–10 –3 –6 –10 –3

–5 –1 4 –5 –1

1 –5 –1 4 –3 1 –3 –3 1

4 –3 1 –3

Construimos los. . . 3 6 1 3 6

–5 –1 4 –5 –1

–3 1 –3 –3 1

3 6 1 3 6

–10 –3 –6 –10 –3

–3 1 –3 –3 1

–4

3 6 1 3 6

–10 –3 –6 –10 –3

–5 –1 4 –5 –1

2 ( –30 + 36 + 30 – ( –45 – 40 – 18 ) )

2 ( 36 + 103 ) 2 ( 139 ) 278

+ 1 ( 27 + 108 – 10 – ( 180 – 18 + 9 ) )

–4 ( –36 + 180 + 10 – ( –240 + 18 + 15 ) )

+ 1 ( 125 – 171 )

–4 ( 154 + 207 )

+ 1 (– 46 )

–4 ( 361 )

–46

–1444

∆y

= 278 + 0 – 46 – 1444

∆y

= –1212 Determinante de la “z” 2 3 6 1

1 2 5 1 2

–3 1 2 5 –10 –3 –6 –10 –3

0 –10 –3 –6 –3 1 –3 –3 1

4 –3 1 –3

Construimos los... 3 6 1 3 6

–10 –3 –6 –10 –3

–3 1 –3 –3 1

3 6 1 3 6

1 2 5 1 2

–3 1 –3 –3 1

–4

3 6 1 3 6

1 2 5 1 2

2 (9 + 36 – 50 – (60 – 6 + 45 ) )

+ 3 ( 27 + 108 – 10 – (180 – 18 + 9 ) )

2 (–5 – 99 )

+ 3 ( 125 – 171 )

2 (–104 )

+ 3 (–46 )

–208

–138

–4 ( –36 – 300 – 3 – (–36 – 45 – 20 ) )

–10 –3 –6 –10 –3

–4 ( –339 + 101 ) –4 (–238 ) 952 ∆z

= –208 – 138 + 0 + 952

∆z

= 606 Determinante de la “u”

2 3 6 1

–3 1 2 5 1 2 5 1 2

1 –5 –1 4 –5 –1 4 –5 –1

–10 –3 –6 –10 –3

0 –10 –3 –6

Construimos los...

3 6 1 3 6

–5 –1 4 –5 –1

–10 –3 –6 –10 –3

3 6 1 3 6

1 2 5 1 2

–10 –3 –6 –10 –3

–0

3 6 1 3 6

1 2 5 1 2

2 (6 – 80 + 75 – (60 – 12 + 50 ) )

+ 3 (18 – 240 + 15 – (180 – 36 + 10 ) )

2 (1 – 98 )

+ 3 (–207 – 154 )

2 (–97 )

+ 3 (–361 )

–194

–1083

+ 1 (–36 – 300 – 3 – (–36 – 45 – 20 ) )

–0

+ 1 (–339 + 101 ) + 1 (– 238 ) –238 ∆u

= –194 – 1083 – 238 + 0

∆u

= –1515

–5 –1 4 –5 –1

Para terminar, ofrecemos el valor de las variables con que se resuelve el sistema, dividiendo los valores correspondientes de los determinantes entre el determinante del sistema.

∆x ∆

∆z ∆

909 –303 606 –303

= –3 ,

∆y ∆

= –2 ,

∆u ∆

–12012 –303 –1515 –303

=4,

= 5.

Resolver un sistema de cuatro ecuaciones lineales es laborioso pero aplicándolo encontramos la respuesta buscada. Ejemplo 9.

Hallar los valores de las variables

(1) 2x – 3y + 3z – u = 9 (2) 3x – 4y + 7z + 2u = 2

que satisfacen el siguiente sistema:

(3)

x – 2y + 3z + u = –1

(4) 5x + 2y – 4z – 3u = –6 ¿Y si este ejercicio lo resolvemos con una mezcla de los métodos que conocemos? ¿Se podrá?

¡Intentémoslo! Lo más que puede suceder es que lo resolvamos y bien ¿o no?

Primera parte. Método de Gauss.

Matriz de coeficientes y z u

Matrices de transición

(1)

–3

–1

–9

–3

(2)

–4

x –2

–6

–14

–4

(3)

–2

–1

(4)

–4

–3

–6

(1)

–3

–1

–3

–1

(2)

–1

–5

–7

(3)

–2

–1

–2

–6

–2

(4)

–4

–3

–6

x –2

(1)

–3

–1

(2)

–1

–5

–7

(3)

–3

(4)

–4

–3

–6

(1)

–3

–1

–15

–5

x –2

–10

–4

y tenemos las siguientes ecuaciones: y + 5z + 7u = –23 (5)

(2)

–1

–5

–7

(3)

–3

(6)

y – 3z – 3u = 11

(4)

–19

(7)

– 19y + 23z + u = 57

Segunda parte. Método de Sustitución. (5) Despejamos “y”

y = –23 – 5z – 7u

y sustituimos en (6) y (7)

(6)

y – 3z – 3u = 11 ,

–23 – 5z – 7u – 3z – 3u = 11 – 8z – 10u = 11 + 23 – 8z – 10u = 34

simplificamos : –2

(7)

–19y + 23z + u = 57 ,

(8)

4z + 5u = –17

–19(–23 – 5z – 7u) + 23z + u = 57 437 + 95z + 133u + 23z + u = 57 118z + 134u = 57 – 437 118z + 134u = –380

simplificamos : 2

(9)

59z + 67u = –190

Hemos reducido nuestro sistema de 4x4

(8)

4z + 5u = –17

a uno de 2x2.

(9)

59z + 67u = –190

Tercera parte. Método de Suma y Resta. (8)

X 59

4z + 5u = –17

(9)

X–4

59z + 67u = –190

236z + 295u = –1003 –236z – 268u =

760

27u = –243 u = –243/27 (8)

4z + 5(–9) = –17

u =–9

4z – 45 = –17 4z = –17 + 45 4z = 28 z = 28/4 z= 7

(6)

y – 3(7) – 3(–9) = 11 y – 21 + 27 = 11 y + 6 = 11 y = 11 – 6

(1)

2x – 3(5) + 3(7) – (–9) = 9

y=5

2x – 15 + 21 +9 = 9 2x + 15 = 9 2x = 9 – 15 2x = – 6 x = – 6/2 x = – 3. Respuesta: los valores que satisfacen el sistema son:

x = –3 ,

y=5,

z=7,

u = –9.

Los métodos que hemos empleado en todo este camino son amigables, intercambiables, laboriosos, son una herramienta consistente y consecuente para aplicar en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, tengan las incógnitas, o variables que tengan. ¿Qué método se prefiere? Según cómo esté estructurado el sistema o queramos experimentar con uno u otro método o la mezcla de ellos.

Ejercicios

1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. La suma del ángulo mayor y el mediano es 135°, y la suma del mediano y el menor es 110. ¿ Cuál es la medida de cada ángulo? 2. Si 5 kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles cuestan $118; 4 de azúcar, 5 de café y 3 de frijoles cuestan $145; y 2 de azúcar 1 de café y 2 de frijoles cuestan $46. Hallar el precio por kilogramo de cada mercancía. 3. El ángulo mayor de un triángulo excede al menor en 35° y el menor excede en 20° a la diferencia entre el mayor y el mediano. Hallar la medida de cada ángulo. 4.

x + y + z = 11 x – y + 3z = 13 2x + 2y – z = 7

x + y + z =6 2x + y – z = –1 x + 2y + 3z = –6

2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4

4x – y + z = 4 2y – z + 2x = 2 6x + 3z – 2y = 12

x + 4y + 5z = 11 3x – 2y + z = 5 4x + y – 3z = –26

7x + 10y + 4z = –2 5y – 2y + 6x = 38 3x + y – z = 21

10.

4x + 7y + 54z = –2 6x + 3y + 7z = 6 x – y + 9z = –21

11.

3x – 5y + 2z = –22 2x – y + 6z = 32 8x + 3y – 5z = –33

12.

x + y + z = 11 x + 2y = 6 2x + 3y = 6

13.

3x – 2y = –1 4y + z = –28 x + 2y + 3z = –43

14.

x + y + z + u = 10 2x – y – 2z + 2u = 2 x – 2y + 3z – u = 2 x + 2y – 4z + 2u = 1

15.

x – 2y + z + 3u = –3 3x + y – 4z – 2u = 7 2x + 2y – z – u = 1 x + 4y + 2z – 5u = 12

16.

x + y – z = –4 4x + 3y + 2z – u = 9 2x – y – 4z + u = –1 x + 2y + 3z + 2u = –1

17.

x + 2y + z = –4 2x + 3y + 4z = –2 3x + y + z + u = 4 6x + 3y – z + u = 3

18.

3x + 2y = –2 x + y + u = –3 3x – 2y – u = –7 4x + 5y + 6z + 3u = 11

19.

2x – 3z – u = 2 3y – 2z – 5u = 3 4y – 3u = 2 x – 3y + 3u = 0

Matemáticas 3 Fuera

ntr o

1: Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. 4: Ubicación de intervalos y regiones definidas por desigualdades

Objetivo: Y

El estudiante localizará puntos e intervalos, secciones en el caso de rectas y regiones en el caso del plano, con características particulares. X

Presentación Desigualdades en una recta numérica. Los ángulos, uno de los elementos de la geometría, tienen su propia clasificación, la cual se estableció de acuerdo a la longitud del arco que abarcan sus lados sobre una circunferencia, asentando su vértice en el centro de esa misma circunferencia. Y así tenemos que: a) ángulo agudo el que es mayor a cero grados y menor que uno recto. b) ángulo obtuso el que es mayor que uno recto y menor que dos rectos (o ángulo llano; de lados colineales). c) ángulo entrante el que es mayor que dos rectos y menor que cuatro rectos (o perígono; haciendo girar uno de sus lados hasta empatarlo con el otro). ¿Cómo podemos representar estas tres propuestas en una sola? i) Sobre una recta graduada en medidas angulares, así: perígono

ángulo agudo

0°

ángulo obtuso 90°

ángulo entrante 180°

360°

ii) En una circunferencia:

0° 360°

90° 180°

0°

En matemáticas, el símbolo “<”, es un “pequeño ángulo” que nos compara dos cantidades; siendo la menor la que escribimos del lado del vértice y la mayor del lado abierto del ángulo. Este símbolo, también se escribe al revés “>”, pero de cualquiera de las dos formas se anotará la cantidad menor del lado del vértice y la mayor del lado de la abertura del ángulo. Lo leemos como: menor que - si anunciamos primero la cantidad que se encuentre del lado del vértice del símbolo–o bien,mayor que si anunciamos primero la cantidad que se encuentre del lado de la abertura del ángulo-.

Recordando que, ángulo recto = 90°, ángulo llano = 180° y perígono = 360°. Escribimos las tres propuestas como sigue:

iii)

0° < ángulo agudo < 90° < ángulo obtuso < 180° < ángulo entrante < 360°

Algo más sobre ángulos.

1. Dos o más ángulos son complementarios si, teniendo el mismo vértice y siendo adyacentes dos a dos, la suma de sus medidas es un ángulo recto. Ejemplo 1. Sean A, B y C ángulos complementarios, ¿cuánto medirá cada uno de ellos? Como son complementarios sabemos que A + B + C = ángulo recto = 90° entonces:

las medidas de A, B y C se encuentran entre 0° y 90 °, o sea 0° ≤ A ≤ 90° , 0° ≤ B ≤ 90° , 0° ≤ C ≤ 90°

90°

90° H

90° U T S R Q P

G F

0°

El símbolo “≤”, también nos compara dos cantidades aunque a diferencia del “<”, en donde hay siempre una cantidad menor y una mayor, en este caso la cantidad menor puede igualar a la mayor. Y al igual que con el símbolo “<”, la cantidad mayor la escribimos del lado abierto del ángulo. Este símbolo también se escribe al revés “≥”. De cualquiera de las dos formas se anotará la cantidad mayor del lado de la abertura del ángulo.

2. Dos o más ángulos son suplementarios si, teniendo el mismo vértice y siendo adyacentes dos a dos, la suma de sus medidas es dos rectos (o ángulo llano; de lados colineales).

Ejemplo 2. Sean D, E y F ángulos suplementarios, ¿cuánto medirá cada uno de ellos? Como son suplementarios sabemos que D + E + F = ángulo llano = 180° y tenemos:

las medidas de D, E y F se encuentran entre 0° y 18 0°, o sea 0° ≤ D ≤ 180° , 0° ≤ E ≤ 180° , 0° ≤ F ≤ 180°

K K

180°

0°

180°

B D

J H

0°

180°

0°

3. Dos o más ángulos son conjugados si, teniendo el mismo vértice y siendo adyacentes dos a dos, la suma de sus medidas es un perígono.

Ejemplo 3. Sean G, H y J ángulos conjugados, ¿cuánto medirá cada uno de ellos? Como son conjugados sabemos que G + H + J = perígono = 360° y así:

las medidas de G, H y J se encuentran entre 0° y 36 0°, o sea 0° ≤ G ≤ 360° , 0° ≤ H ≤ 360° , 0° ≤ K ≤ 360°

M S

0° 360°

N P

0° 360°

Ejercicios 1. Hallar el complemento de los ángulos:

a) A = 35° c) M = 1° 30’

b) G = 78° d) D = 45° , E = 10°

2. Hallar el suplemento de los ángulos:

a) B = 112° c) H = 120° 45’

b) F = 91° d) J = 60° , K = 60°

3. Hallar el conjugado de los ángulos:

a) C = 180° c) L = 270° 15’

b) E = 135° d) N = 108° , P = 116°

En medicina la temperatura de un ser humano se considera normal si se encuentra en el rango de los 36.5°C y los 37.4°C. Esto es, en condiciones de rep oso.

Grados Celsius 35

35.5

36.5 ≤ tn ≤ 37.4

38.5

95.9 96.8 97.7 ≤ tn ≤ 99.3 100.4 101.3 102.2 103.1 104 104.9 Grados Fahrenheit

39.5

40.5

Y como estos hay muchos conceptos que se han modelado, con ellos podemos ilustrar el uso de los símbolos “< y ≤”. Por ejemplo: •

El punto de ebullición o de congelación del agua (estos puntos varían de acuerdo a la altura sobre el nivel del mar en que la registremos).

•

La variación de la temperatura del medio ambiente durante un día, un mes, etc.

¿Cómo se opera con estos símbolos (“< y ≤”)?

Al símbolo “<” se le llama de desigualdad estricta; todos los valores escritos del lado del vértice del pequeño ángulo son siempre menores que los valores escritos del lado abierto del pequeño ángulo. Al símbolo “≤” se le llama de desigualdad no estricta; los valores escritos del lado del vértice del pequeño ángulo son menores que los valores escritos del lado abierto del pequeño ángulo, pero alguno de los valores escrito del lado del vértice del pequeño ángulo es igual al valor escrito del lado abierto del pequeño ángulo.

Volviendo a la pregunta resolvamos el siguiente ejemplo:

Si la temperatura normal del cuerpo humano varía entre 36.5°C y 37.4°C ¿cómo es la conversión a °F?

En las medidas presentadas en el termómetro, ¿cómo se realizó la comparación, paridad o analogía entre los grados Celsius y los Fahrenheit?

Sabemos que el 0°C equivale al 32°F y que ambas esc alas coinciden en –40° C y F,

entonces

0°C = 32°F –40°C = –40°F 40°C ,

72°F

Observamos que, mientras el termómetro recorrió 40° en la escala C, en la escala F recorrió 72°.

°C , ( 72/40) °F °C , ( 9/5) °F

Esta es la proporción entre °C y °F. Para completar paridad entre las dos escalas

ó bien (5/9) °C , °F

ahora, para convertir °C a °F, tenemos que sumar 32 ° a la proporción de °C, pues el 0° de la escala en °C co incide

con el 32°F. °F = (°C

(9/5)) + 32

Con esta ecuación convertimos los °C en °F, pero la escala que conocemos es la escala en °C por lo que despeja remos los °F.

°F – 32 = (9/5) °C (5/9) (°F – 32) = °C

Y tenemos los dos camino s de conversión.

Volvamos a la búsqueda de la respuesta a la pregunta del cambio de escalas en la temperatura normal del cuerpo humano (rango de temperatura). 36.5°C

≤

temperatura normal

≤

37.4°C

≤

37.4 (9/5) °F + 32

sustituimos °C 36.5 (9/5) °F + 32

≤

rango desarrollamos

65.7°F + 32

≤

rango

≤

67.3°F + 32

97.7°F

≤

rango

≤

99.3°F

Respuesta: el rango 36.5 a 37.4 en °C equivale al r ango 97.7 a 99.3 en °F. Ejemplo 4. Durante un día en una ciudad costera, la temperatura en grados Fahrenheit varió entre 77°F y 86°F. ¿Cuál fue el rango de temperatura en g rados Celsius para ese día en esa ciudad? 77°F

≤

temperatura en la cuidad

≤

86°F

≤

86 [(5/9) (°C – 32)]

sustituimos °F 77 [(5/9) (°C – 32)]

≤

rango desarrollamos

42.7°C – 17.7

≤

rango

≤

47.7°C – 17.7

25°C

≤

rango

≤

30°C

Respuesta: el rango fue de 25°C a 30°C. Se nos propone el siguiente Ejemplo 5. El costo de una llamada telefónica es de ¢15 por minuto. ¿Cuántos minutos puede hablar por teléfono una persona y que el costo de su llamada sea menor a $2.00? Minutos

Costo por minuto

Total

Costo total

1 m

¢15 ¢15

1 x ¢15 m x ¢15

¢15 menor a $2.00

m x ¢15

menor a ¢200

unificar unidades ¢15m < ¢200 m < ¢200 / ¢15 m < 200/15 m < 13 5/15 m < 13 1/3

cancelamos ¢

Respuesta: como la compañía telefónica cobra la fracción de minuto como minuto completo, con las condiciones del ejercicio, una persona puede hablar por teléfono hasta 13 minutos. Hemos trabajado las desigualdades, de manera intuitiva, como lo habíamos hecho con la igualdad, expongamos entonces sus propiedades formales. i) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o se resta una misma cantidad, la desigualdad se conserva. Ejemplos: sumar y restar c

a < b

a+ c < b+c

;

a–c < b–c

’’ y

x < 6

x+ y < 6+y

;

x–y < 6–y

’’ 2

w < –3

w + 2 < –3 + 2 w + 2 < –1

;

w – 2 < –3 – 2 w – 2 < –5

’’ m

5 < h

5+m < h+m

;

5–m < h–m

’’ 1

8 < k

8+ 1 < k+1 9 < k+1

;

8– 1 < k–1 7 < k–1

’’ 3

4 < 9

4+ 3 < 9+3 7 < 12

;

4– 3 < 9–3 1 < 6

’’ 5

–8 < 0

–8 + 5 < 0 + 5

;

–8 – 5 < 0 – 5

–3 < 5 Damos aquí algunas interpretaciones gráficas: Sobre el reflejo de la recta numérica. i. 1) a menor que b; (o < a < b), sumar y restar d. a b

a+d < b+d

a–d < b–d

i. 2) –h menor que –k; (–h < –k < 0), sumar y restar m. –h –k

–h + m < –k + m

–h – m < –k – m

Podemos también imaginarnos el crecimiento (c) de árboles y su poda (–c).

–13 < –5

i. 3) El árbol g es más alto que el m; (g > m > 0), sumar y restar c. g > m > 0

g+c > m+c

g–c> m–c

O la magnitud del calado de un buque. i. 4) El calado del buque v es mayor (es de mayor profundidad) que el del w; (v < w). Sumar y restar p.

–v < –w < 0

–v + p < –w + p

–v – p < –w – p

Al sumar o restar cualquier cantidad a los términos de una desigualdad, la desigualdad se conserva y la diferencia entre los términos permanece igual; o sea, la diferencia en la desigualdad también se conserva. i. 4. bis).

ii)

Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una misma cantidad positiva, la desigualdad se conserva.

Ejemplos: multiplicar y dividir por c

a < b

ax c < bxc ac < bc

;

a/c < b/c

’’ y

x < 6

xx y < 6xy xy < 6y

;

x/y < 6/y

’’ 2

w < –3

w x 2 < –3 x 2 2w < –6

;

w / 2 < –3 / 2

’’ m

5 < h

5xm < hxm 5m < hm

;

5/m < h/m

’’ 2

8 < k

8x 2 < kx2 16 < 2k

;

8/2 < k/2 4 < k/2

’’ 3

4 < 9

4x 3 < 9x3 12 < 27

;

4/3 < 9/3 4/3 < 3

’’ 3

–8 < 0

–8 x 3 < 0 x 3

;

–8 / 3 < 0 / 3

–24 < 0

–8 / 3 < 0

Nuevamente sobre el reflejo de la recta numérica. ii. 1) a menor que b; (0 < a < b). a b

axd < bxd

a/d < b/d

ii. 2) –h menor que –k; (–h < –k < 0). –h –k

–h x m < –k x m

–h / m < –k / m

Al multiplicar o dividir por cualquier cantidad positiva a los términos de una desigualdad, la desigualdad se conserva y la diferencia entre los términos se multiplica o divide según corresponda la operación; o sea, la diferencia en la desigualdad también se multiplica o se divide.

ii. 1. bis).

iii)

Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte.

Para esta propiedad, veremos primero las interpretaciones gráficas. iii. 1) a menor que b; (0 < a < b). a b

a x –d > b x –d

–ad > –bd

a / –d > b / –d

–a / d > –b / d iii. 2) –h menor que –k; (–h < –k < 0). –h –k

–h x –m > –k x –m

hm > km

–h / –m > –k / –m

h/m > k/m

Al multiplicar o dividir por cualquier cantidad negativa a los términos de una desigualdad, la desigualdad se conserva y la diferencia entre los términos se multiplica o divide, según corresponda la operación aunque esto cambie el sentido de la desigualdad; o sea, la diferencia en la desigualdad también se multiplica o se divide.

iii. 1. bis).

Los ejemplos los desarrollaremos en sentido inverso a los anteriores. Ejemplos:

4 < 9

4 x –3 > 9 x –3 –12 > –27

;

4 / –3 > 9 / –3 –4 / 3 > –3

–8 < 0

–8 x –3 > 0 x –3 24 > 0

;

–8 / –3 > 0 / –3 –8 / 3 > 0

8 < k

8 x –2 > k x –2 –16 > –2k

;

8 / –2 > k / –2 –4 > –k / 2

5 < h

5 x –m > h x –m –5m > –hm

;

5 / –m > h / –m –5 / m > –h / m

w < –3

w x –2 > –3 x –2 –2w > 6

;

w / –2 > –3 / –2 –w / 2 > 3 / 2

x < 6

x x –y > 6 x –y –xy > 6y

;

x / –y > 6 / –y –x / y > –6 / y

a < b

a x –c > b x –c –ac > –bc

;

a / –c > b / –c –a / c > –b / c

Resolvamos algunos ejemplos numéricos, poniendo en práctica el álgebra de las operaciones básicas y las propiedades de las desigualdades analizadas líneas arriba.

Ejemplo 6. ¿Qué valor de x satisface la ecuación?:

2x – 3 + 3 > x + 5 + 3 2x > x +8 2x – x > x – x +8 x>8

sumamos 3 en ambos lados de la desigualdad desarrollamos restamos x ’’ desarrollamos

Ejemplo 7. Hallar el valor de a que satisface: sumamos 12 ’’ desarrollamos restamos 3a ’’ desarrollamos dividimos entre 2 ’’ desarrollamos

2x – 3 > x + 5

5a – 12 > 3a –4

5a – 12 + 12 > 3a –4 + 12 5a > 3a + 8 5a – 3a > 3a – 3a + 8 2a > 8 2a/2 > 8/2 a>4.

Ejemplo 8. Hallar el valor de k que satisface:

–2k – 3 > 5

sumamos 3 ’’ desarrollamos multiplicamos por (–1) ’’, se invierte la desigualdad

–2k – 3 + 3 > 7 + 3 –2k > 10 –2k(–1) < 10(–1)

2k < –10 2k/2 < –10/2 k < –5 .

desarrollamos dividimos entre 2 ’’ desarrollamos

Otra vía de solución del ejercicio 5 es: sumamos 2k y no se invierte la desigualdad desarrollamos restamos 7 ’’ desarrollamos dividimos entre 2 ’’ desarrollamos

–2k – 3 > 7 –2k + 2k – 3 > 7 + 2k – 3 > 7 + 2k – 3 – 7 > 7 – 7 + 2k –10 > 2k –10/2 > 2k/2 –5 > k .

Nota. En esta vía, “le dimos la vuelta”, en realidad esto nos permite otra forma de acceso a la multiplicación por (–1), haciendo uso de propiedades algebraicas permitidas.

Ejemplo 9. Hallar el valor de z que satisface: desarrollamos restamos 9z ’’ desarrollamos sumamos 7 ’’ desarrollamos

9z + 15 9z – 9z + 15 ≤ 15 15 + 7 22 22

Ejemplo 10. Hallar el valor de b que satisface: restamos 4 ’’ desarrollamos dividimos entre 3 ’’ desarrollamos

3(3z + 5) ≤ 10z – 7 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

10z – 7 10z – 9z – 7 z–7 z–7+7 z.

–2 < 3b + 4 ≤ 7

–2 – 4 < 3b + 4 – 4 ≤ 7 – 4 –6 < 3b ≤ 3 –6/3 < 3b/3 ≤ 3/3 –2 < b ≤ 1 .

Graficamos este resultado.

-2 < b

-4

-3

-2

-1

Ejemplo 11. Hallar el valor de y que satisface: restamos 5 ’’ desarrollamos dividimos entre 2 ’’ desarrollamos

1 ≤ 2y + 5 ≤ 9

1 – 5 ≤ 2y + 5 – 5 ≤ 9 – 5 –4 ≤ 2y ≤ 4 –4/2 ≤ 2y/2 ≤ 4/2 –2 ≤ y ≤ 2 .

Ejemplo 12. Hallar el valor de c que satisface:

–18 < –2c – 7 < 0

sumamos 7 ’’ desarrollamos dividimos entre (–2) ’’, se invierte la desigualdad desarrollamos

–18 + 7 < –2c – 7 + 7 < 0 + 7 –11 < –2c < 7 –11/(–2) > –2c/(–2) > 7/(–2) 11/2 > c > –7/2.

Ejemplo 13. Hallar el valor de a que satisface:

–5 + 2a ≤ a – 3 ≤ –2 + 2a

sumamos 3 ’’ desarrollamos restamos 2a ’’ desarrollamos multiplicamos por (–1) ’’, se invierte la desigualdad

–5 + 3 + 2a ≤ a – 3 + 3 ≤ –2 + 3 + 2a –2 + 2a ≤ a ≤ 1 + 2a –2 + 2a – 2a ≤ a – 2a ≤ 1 + 2a – 2a –2 ≤ – a ≤ 1 –2(–1) ≥ –a(–1) ≥ 1(–1)

2 ≥ a ≥ –1.

desarrollamos ¿Cómo resolveríamos por la otra vía? sumamos 3 ’’ desarrollamos restamos 2a ’’ desarrollamos partimos la desigualdad en dos desigualdades

–5 + 2a ≤ a – 3 ≤ –2 + 2a –5 + 3 + 2a ≤ a – 3 + 3 ≤ –2 + 3 + 2a –2 + 2a ≤ a ≤ 1 + 2a –2 + 2a – 2a ≤ a – 2a ≤ 1 + 2a – 2a –2 ≤ – a ≤ 1 –2 ≤ – a –2 + a ≤ – a + a

en ambos lados de las desigualdades sumamos a

–a ≤ 1 – a +a ≤ 1 + a 0 ≤ 1+a

–2 + a ≤ 0 –2 + 2 + a ≤ 0 + 2

desarrollamos sumamos 2 ’’ restamos 1 ’’ desarrollamos desarrollamos y así lucen estos resultados en una sola expresión:

0 –1 ≤ 1 –1 + a a ≤ 2 –1 ≤ a –1 ≤ a ≤ 2

Nota. La posibilidad de partir una desigualdad, nos servirá para hacer nuestros procesos de solución más flexibles, además de proporcionarnos otra u otras vías o caminos de acceso a la solución de ejercicios.

Ejemplo 14.

–5 + 3x ≥ 2x – 3 > 2 + x

Hallar el valor de x que satisface:

tenemos x’s con diferentes coeficientes en todos los términos, entonces partimos la desigualdad en dos desigualdades –5 + 3x a) restamos 2x ’’ –5 + 3x – 2x –5 + x desarrollamos sumamos 5 ’’ –5 + 5 + x x desarrollamos b) restamos x ’’ desarrollamos sumamos 3 ’’ desarrollamos

≥ ≥ ≥ ≥ ≥

2x – 3 2x – 2x – 3 –3 –3+5 2 2x – 3 2x – x – 3 x–3 x–3+3 x

> > > > >

2+x 2+x–x 2 2+3 5

¿A partir de qué valor se cumple la doble desigualdad?, pues los valores para los que se cumplen las dos desigualdades son valores positivos.

Si graficamos estos resultados,

5 < x 2

-3

-2

-1

vemos que ambos rangos se intersectan a partir del 5 pero ¿ qué sucede al aplicar algún valor entre el 2 y el 5 en la doble desigualdad? Por ejemplo, en 3.

–5 + 3(3) ≥ 2(3) – 3 > 2 + (3) –5 + 9 ≥ 6 – 3 > 2 + 3 4 ≥ 3 > 5

esta segunda parte de la desigualdad NO se cumple. ¿Y qué sucede con 4 y con 5?

–5 + 3(4) ≥ 2(4) – 3 > 2 + (4) –5 + 12 ≥ 8 – 3 > 2 + 4 7 ≥ 5 > 6

No se cumple.

–5 + 3(5) ≥ 2(5) – 3 > 2 + (5) –5 + 15 ≥ 10 – 3 > 2 + 5 10 ≥ 7 > 7

Tampoco se cumple, pero con este resultado nos damos cuenta que a partir de valores mayores a 5 se cumplirá la doble desigualdad. Apliquemos en 6 y en 9.

–5 + 3(6) ≥ 2(6) – 3 > 2 + (6) –5 + 18 ≥ 12 – 3 > 2 + 6 13 ≥ 9 > 8

Se cumple.

–5 + 3(9) ≥ 2(9) – 3 > 2 + (9) –5 + 27 ≥ 18 – 3 > 2 + 9 22 ≥ 15 > 11

Se cumple.

Los valores que cumplen la doble desigualdad son los mayores a 5, entonces el rango de solución es para 5 < x. Ejemplo 15. Hallar el valor de z que satisface:

|z–5| < 7

quitamos las || del valor absoluto sumamos 5 ’’ desarrollamos

Ejemplo 16. Hallar el valor de a que satisface:

–7 < z – 5 < 7 –7 + 5 < z – 5 + 5 < 7 + 5 –2 < z < 12

| 3a + 2 | < 10

quitamos las || del valor absoluto restamos 2 ’’ desarrollamos dividimos entre 3 ’’ desarrollamos

Ejemplo 17. Hallar el valor de x que satisface:

–10 < 3a + 2 < 10 –10 –2 < 3a + 2 –2 < 10 –2 –12 < 3a < 8 –12/3 < 3a/3 < 8/3 –4 < a < 8/3

|x+4| > 9

para quitar las || del valor absoluto debemos de partir la doble desigualdad, pero invertimos el sentido de la desigualdad y cambiamos el signo del valor que no está entre | |

x+4 > 9 x + 4 < –9

En ambos lados de las desigualdades restamos 4 desarrollamos

x+4–4 > –9–4 x+4–4 < –9–4 x > 5 x < – 13

La interpretación geométrica de este resultado es el siguiente:

x < –13

5 < x

-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x+2 x+8

x–2 x+3

(x + 2) (x + 3) (x + 8) x+8

(x – 2) (x + 8) (x + 3) x+3

Ejemplo 18. Hallar el valor de x que satisface:

multiplicamos por (x + 8) y (x + 3) ’’;

restamos x2 ’’

(x + 2) (x + 3) x2 + 5x + 6 x2 – x2 + 5x + 6 5x + 6

> > > >

(x – 2) (x + 8) x2 + 6x – 16 x2 – x2 + 6x – 16 6x – 16

5x – 5x + 6 6 6 + 16 22

> > > >

6x – 5x – 16 x – 16 x – 16 + 16 x

restamos 5x ’’ sumamos 16 ’’

Ejercicio 19.

Grafica sobre una recta numérica los resultados de los ejercicios 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10,12, 13 y 15. Dibújalos con base en las gráficas de los ejercicios 11 y 14.

Ejercicios 1.

La suma de un entero más tres veces este entero menos 5, está entre 34 y 54. Encuentra todos los posibles pares de enteros que satisfagan esta expresión.

Para obtener una calificación B+ en álgebra, un estudiante debe aprobar un examen con promedio mínimo de 86% y un máximo de 90%. Sí las calificaciones de sus tres primeros exámenes fueron 85%, 86% y 93%, ¿qué calificación, en su cuarta prueba, le garantizará una B +?

De acuerdo al ejercicio anterior, ¿qué calificación en la cuarta prueba le garantizará una B+, si este examen cuenta el doble que cada uno de los demás?

Si x satisface la expresión: 7/4 < x < 9/4, ¿cuáles son los valores posibles para y, si: y = 4x – 8?

5. Durante cierto periodo de tiempo, en la ciudad de Puebla la temperatura en grados Celsius varió entre 15° y 32°. ¿Cuál fue el intervalo en grados F ahrenheit para este periodo, sabiendo que F° = 9/5 C° + 32?

6. Una máquina está programada para producir placas metálicas rectangulares, cuya longitud es dos veces y una mitad mayor que su ancho. Cuando el ancho es igual a 2cm., el diseño de la máquina garantiza que la tolerancia del producto sea de un décimo. Esto es: 19/10 < w < 21/10. a) ¿cuál es la tolerancia para la longitud? b) encuentra el intervalo de valores de la superficie. 7.

En una tienda hay dos empleados de tiempo parcial, a los cuales se les paga en conjunto un total semanal de $150 a $180. Si uno de ellos gana $15 más que el otro, ¿cuáles son los sueldos posibles para cada uno de ellos?

8. Una tienda tiene tres empleados, a los cuales se les paga un total de $210 a $252. Dos de ellos ganan lo mismo y el tercero gana $12 menos que los otros. Encuentra los sueldos posibles de estos empleados. 9. Un supermercado tiene 20 empleados los cuales ganan un total de $1544 a $1984, semanales. Doce de ellos ganan $22 más que los otros ocho. Encuentra los sueldos de estos empleados. 10.

Un servicio de entregas acepta paquetes sólo si la suma de su longitud y su perímetro transversal no es mayor que 110 pulgadas. También pide que cada dimensión tenga un mínimo de 2 pulgadas. a) si la longitud es igual a 42 pulgadas, ¿cuáles son los valores permitidos para el perímetro? b) si la longitud es igual a 42 pulgadas y el ancho es de 18 pulgadas, ¿cuáles son los valores permitidos para la altura?

Desigualdades lineales en un Plano Cartesiano. Una desigualdad lineal en “x - y”, la conforman todas las parejas ordenadas (x, y) que cumplen con dicha desigualdad. Graficando estas desigualdades en el Plano Cartesiano, descubrimos la región del plano y las parejas ordenadas que cumple la desigualdad.

Las desigualdades lineales son de la forma: Ax + By

< ≤ = > ≥

C ; la igualdad aunque no sea una desigualdad, su nombre lo indica, nos será de gran utilidad.

en donde A, B y C son números racionales. Nota. Si A o B son 0 (cero), entonces la desigualdad se considera sobre la recta numérica.

Ejemplo 20. Hallar las parejas ordenadas que satisfacen:

3x – 2y < 2

La búsqueda del conjunto de las parejas ordenadas que cumplen con la desigualdad, se facilitará si tomando los coeficientes y las variables de la desigualdad tal y como se expresan y construimos y graficamos la recta correspondiente, esto es: Graficamos la ecuación 3x – 2y = 2. Nótese que difiere de la desigualdad sólo en el signo (razón obvia). Y obtenemos el siguiente dibujo:

Eje Y Esta recta, nos divide el plano en dos regiones; una es la que se desarrolla hacia esquina superior izquierda y la otra hacia la esquina inferior derecha.

3x – 2y = 2 ¿Cuál de estas dos, será la que cumple con la desigualdad?

Eje X

Calculemos la expresión de la desigualdad en una pareja que no se encuentre sobre la recta, por ejemplo, el origen, así sabremos a qué región pertenece y por tanto cuál es la región que cumple con la desigualdad. 3x – 2y < 2

, sustituyendo

3(0) – 2(0) = 0 < 2

, el origen es una pareja ordenada que cumple con la desigualdad.

Las parejas ordenadas que cumplen con la desigualdad son aquellas que se encuentran en la misma región en que se encuentra el origen.

Eje Y

Si sombreamos esa región, nuestro dibujo toma la forma siguiente:

3x –

Recordemos que la desigualdad es estricta, por lo que los puntos de la recta no pertenecen al conjunto de parejas ordenadas que cumplen con la desigualdad, y por lo tanto a la región por ella definida (aquí en color morado).

Eje X

Eje Y Ejemplo 21.

Hallar las parejas ordenadas que satisfacen: 2x + y ≥ 0

2x + y = 0 Graficando la recta 2x + y = 0, obtenemos el siguiente dibujo: Calculamos la desigualdad en el punto (1, 1),

2x + y ≥ 0, sustituyendo 2(1) + (1) = 2 + 1 = 3 ≥ 0.

Eje X

Como el punto (1,1) cumple con la desigualdad, pertenece a los puntos de la región de los que cumplen con ella (región verde).

Eje Y

+ 2x y =

La desigualdad no es estricta, por lo que los puntos de la recta sí pertenecen al conjunto de parejas ordenada que satisfacen la desigualdad.

Ejemplo 22. Hallar las parejas ordenadas que satisfacen:

(1) (2)

Eje X

x+y ≤ 1 2x – y > 2

Eje Y

Esta es la gráfica de las rectas: (1’) x + y = 1 y (2’) 2x – y = 2.

2x – y = 2 x+y = 1

Calculemos ambas ecuaciones con los valores del origen.

0 (1)

x + y = (0) + (0) = 0 ≤ 1

(2) 2x – y = 2(0) – (0) = 0 > 2

Eje X

Estas son las regiones correspondientes de los puntos que cumplen con las desigualdades: Eje Y

–y

Eje Y

+ 1 0

Eje X

De manera que la región que satisface las dos desigualdades simultáneamente, es la región de intersección de las regiones de cada una de las desigualdades.

–y

Eje Y

+ 1

Eje X

x+y

2x – y > 2

Ejercicios

1. Grafica las siguientes desigualdades en el Plano Cartesiano: a)

2x + 3y > 6

x+y≤4

–2 < x ≤ 3

–1 ≥ y ó 2 < y

3x – 5y < 6

2y – x ≥ 3

y + 4x > –1

4x ≤ 7y

2>y>9

2. Grafica y encuentra la región las siguientes desigualdades en el Plano: a)

3x – y > 2 2x + y < 3

x –y≥2 2x – y ≤ 1

3x + 2y > 6 x + 3y ≤ 2

x+y<2 x+y≤1

3x + y ≤ 1 –x + 2y ≥ 1

2y + x < 3 4y + 2x < 8

2x – y > 4 y≤0 x≤0

x +y≤4 2x + y ≤ 6

3x + 4y ≤ 24 x + 2y ≤ 10

Matemáticas 3

2: Ecuación y Función Cuadrática 2. 1: Concepto de ecuación cuadrática

Objetivo: Superficie l

El estudiante podrá construir ecuaciones cuadráticas como modelo de ejercicios.

l2 8

l A r Superficie πr2

64 d ( t ) = ½g t 2 + A

Presentación La expresión cuadrática más sencilla que conocemos es la “fórmula para encontrar la superficie de un cuadrado”, o deberíamos decir de manera correcta: la superficie de un rectángulo con lados de igual medida, porque decir: cuadrilátero de ángulos rectos y lados de igual medida, sería acaso más ingenioso. La aplicación de esa fórmula es así:

7cm

Se nos da la medida del lado y lo que hacemos es multiplicar esa medida por sí misma.

Cuadrado

Ejemplo 1. ¿Cuál es la superficie de un rectángulo con lados de igual medida si esos lados miden 7cm?

7cm Superficie del rectángulo con lados de igual medida

= lado2 , entonces sustituimos (7cm)2 = (7cm)(7cm) = = 49cm2.

Ejemplo 2. De una de estas figuras cuyos lados miden 4m., encuentra su perímetro. ¿Su perímetro? Sí. ¿Esperabas que pidiera la superficie? Bueno, también lo haré pero primero encuentra el perímetro. Perímetro de esas figuras

= 4 x lado , sustituyendo, 4 x lado = 4 x 4m = 16m

Y ahora sí, cuál es la superficie de tal figura geométrica: Superficie de la figura del ejercicio 2

= (4m)2 = (4m) (4m) = 16m2 .

El que en el ejercicio 2 se pidiera primero el perímetro fue para comparar sus unidades resultantes con las unidades resultantes al obtener la superficie. Para obtener el perímetro, se multiplicó la medida de uno de sus lados por el número de lados que tiene la figura. Fijémonos que de estas dos expresiones sólo la medida del lado tiene unidades, la otra, es el número de veces que habrá de tomarse para obtener el perímetro y éste fue de 16m, sólo m, esto es, metros lineales, metros en una sola dimensión. En el caso de la superficie se multiplicó la medida de uno de sus lados por la medida de otro de sus lados (perpendiculares entre sí) y aquí, las dos medidas tiene unidades y la obtención de la superficie dio por resultado 16m2, metros cuadrados, metros en dos dimensiones. Nota. De la figura geométrica construida como cuadrilátero de ángulos rectos y lados de igual medida, se obtiene la superficie multiplicando la medida de uno de sus lados por otro que sea perpendicular a éste. Considerando la operación aritmética, sería multiplicar la medida de uno de sus lados por sí misma, o dicho de otra forma, elevar al “cuadrado” la medida de uno de sus lados. A esa figura geométrica se le llama comúnmente “cuadrado”. De manera que la figura y la búsqueda de su superficie tienen el mismo nombre “cuadrado”. Investiga sobre este pequeño asunto en algún libro que ofrezca uno o varios temas sobre números figurados. Ejemplo 3. Ahora se nos plantea la operación contraria o sea, encontrar la medida del lado de un “cuadrado” que tiene por superficie 64cm2.

Este es el dibujo del ejercicio. Debemos encontrar una medida que multiplicada por sí misma o elevada al “cuadrado” nos dé 64cm2.

64cm2

Las unidades son cm. ¿Cómo encontramos el número que al “cuadrado” es 64? A ese número se le llamará “la raíz cuadrada de 64”.

Los babilonios inventaron un método que, dado un número, encontrara otro que elevado al cuadrado (o sea, su raíz cuadrada) diera como resultado ese número dado. He aquí el método babilónico.

Paso 1. Dividir el 64 por mitad. 64 2

= 32

, promediar el 2 y el 32

2 + 32 2

34 2

= 17

17 + 3.76 2

20.76 2

= 10.38

Paso 2. Dividir el 64 entre el promedio (17).

64 17

= 3.76

, promediar el 17 y el 3.76

Repitiendo estas operaciones hasta que el promedio y la división del 64 entre ese promedio sean iguales, ese número será la raíz cuadrada del 64. Paso 3. Dividir el 64 entre el nuevo promedio. 64 10.38

= 6.16

, promediar el 10.38 y el 6.16

10.38 + 6.16 2

16.54 2

= 8.27

8.27 + 7.73 2

16.00 2

= 8

Paso 4. Dividir el 64 entre el nuevo promedio. 64 8.27

= 7.73

, promediar el 8.27 y el 7.73

Paso 5. Dividir el 64 entre el nuevo promedio. 64 8

= 8

, son iguales el promedio y la división del 64 entre el promedio.

Una representación geométrica es la siguiente: 1 x 64 2 x 32 3.76 x 17

6.16 x 10.38

7.73 x 8.27

8x8

Respuesta: La raíz cuadrada de 64 es 8.

100

Ejemplo 4. Encontrar la medida del lado de un “cuadrado” que tiene por superficie 169cm2. Paso 1. Dividir el 169 por mitad. 169 2

= 84.5

, promediar 2 y 84.5

2 + 84.5 2

86.5 2

= 43.25

Paso 2 y subsecuentes. 169 43.25

= 3.9

, promediar 43.25 y 3.9

43.25 + 3.9 2

47.15 2

= 23.57

169 23.57

= 7.17

, promediar 23.57 y 7.17

23.57 + 7.17 2

30.74 2

= 15.37

169 15.37

= 10.99

, promediar 15.37 y 10.99

15.37 + 10.99 2

26.36 2

= 13.18

169 13.18

= 12.82

, promediar 13.18 y 12.82

13.18 + 12.82 2

26.00 2

= 13

, son iguales el promedio y la división del 169 entre el promedio.

169 13

Aquí su representación geométrica: 1 x 169 2 x 84.5 3.9 x 43.25 7.17 x 23.57 10.99 x 15.37

12.82 x 13.18

13 x 13

Respuesta: la raíz cuadrada de 169 es 13. Otra expresión en la que aparece un asunto cuadrático, es la “fórmula para encontrar la superficie de un círculo”. La aplicación de la fórmula es así: Si se nos da la medida del radio, aplicamos la fórmula de manera directa; si la medida del diámetro, obtenemos el radio y aplicamos la fórmula; si la medida del perímetro, despejamos y obtenemos el radio y aplicamos la fórmula.

101

Ejemplo 5. ¿Cuál es la superficie de un círculo con radio igual a 5cm?

Superficie del círculo

= πr2 , sustituimos

πr2

= π(5cm)2 = = π(5cm)(5cm) = = π25cm2 = = 3.1416 x 25cm2 = = 78.54cm2 .

Ejercicios 1. La superficie de un cuadrado mide 225m2, encuentra la medida de su lado. 2. El triple de la superficie de un cuadrado mide 588m2, cuál es la medida de su lado. 3. Si el diámetro de la pista de un circo mide 14m, encuentra su superficie, perímetro y radio. 4. Si el perímetro de un círculo es 33cm, encuentra su superficie, diámetro y radio. 5. Si la superficie de un círculo es 453cm2, encuentra su perímetro, diámetro y radio.

Ejemplo 6. ¿Cuáles son las medidas del radio, el diámetro y el perímetro de un círculo cuya superficie es 254.5cm2?

Superficie del círculo = πr2 = 254.5cm2 dividiendo entre π = 254.5cm2 / π =

254.5cm2

= 254.5cm2 / 3.1416 = r2 = 81cm2 = raíz cuadrada de 81 y de cm2 = 9cm. Respuesta:

radio = 9cm diámetro = 2r = 2 x 9cm = 18cm perímetro = πd = 3.1416 x 18cm = 56.55cm

102

Ejemplo 7. ¿Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo que tiene de altura 3m y de base 4m?

¿ 3m

Como la base, la altura y la diagonal que las une, forman un triángulo rectángulo recurrimos al Teorema de Pitágoras.

(base)2 + (altura)2 = (diagonal)2 sustituimos,

(4m)2 + (3m)2 = (diagonal)2

(4m)(4m) + (3m)(3m) = diagonal

16m2 + 9m2 = diagonal2 25m2 = diagonal2

extraemos raíz cuadrada en ambos términos,

5m = diagonal.

Siguiendo con los rectángulos.

Ejemplo 8. ¿Cuál es el valor de x en el rectángulo que tiene 8m de altura y 15m de base?

También aquí, tenemos un triángulo rectángulo, entonces recurrimos al Teorema de Pitágoras.

15m (base)2 + (altura)2 = (diagonal)2 sustituimos,

omitimos las unidades

(15)2 + (8)2 = (2x)2 (15)(15) + (8)(8) = (2x)(2x) 225 + 64 = 4x2 289 = 4x2

extraemos raíz cuadrada en ambos términos,

17 = 2x 17/2 = x 8.5 = x

103

Ejemplo 9. ¿Cuál es el valor de h en el rectángulo que tiene 26m de diagonal y 24m de base?

26m

Tenemos un triángulo rectángulo, recurramos al Teorema de Pitágoras.

24m (base)2 + (altura)2 = (diagonal)2 (24m)2 + (h)2 = (26)2

sustituimos,

(24m)(24m) + h2 = (26m)(26m) 576m2 + h2 = 676m2 h2 = 676m2 – 576m2 h2 = 100m2

extraemos raíz cuadrada en ambos términos,

h = 10m .

La base es a la altura como la altura es a la diferencia de la base y la altura. Esto es:

base altura

b a

a b–a

1 φ

φ 1–φ

Ejemplo 10. ¿Cuál es la razón, en valor numérico, de la base entre la altura del rectángulo si sabemos que se cumple la siguiente proporción?

altura base – altura

haciendo de la base nuestra unidad de medida y considerando la proporción para φ, rescribimos ; 1 x (1 – φ) = φ x φ 1 – φ = φ2

y tenemos la ecuación

φ2 + φ – 1 = 0

¿Cómo resolver esta ecuación?

104

Ejemplo 11. ¿Cuáles son las medidas de la base y la altura del rectángulo que tiene superficie 40m2, sabiendo que la base excede en 3m a la altura?

Superficie = 40m2

x+3

(x)(x + 3) = 40 x2 + 3x = 40 x2 + 3x – 40 = 0, ¿y cómo resolver esta otra?

Galileo Galilei e Isaac Newton descubrieron, por método experimental y matemático respectivamente, que un cuerpo al ser soltado desde una altura A experimenta un cambio en su posición de acuerdo a la siguiente expresión: d ( t ) = ½ g t2 + A

Ejemplo 12. Si la altura de un edificio, desde el que se suelta un objeto (una esfera verde), es de 100m. ¿En cuánto tiempo el objeto hará contacto con el suelo?

Tenemos la altura del edificio desde donde se dejará caer el objeto y sabemos que la aceleración de la gravedad es de –9.8m/seg2. Entonces tabulemos la ecuación:

tiempo (seg.)

ecuación ½ g t2 + A

d(t)

distancia recorrida

½ (–9.8m/seg2)(0seg)2 + 100m

= 0m + 100m

= 100m

½ (–9.8m/seg2)(1seg)2 + 100m

= –4.9m + 100m

= 95.1m

4.90m

½ (–9.8m/seg2)(2seg)2 + 100m

= –19.6m + 100m

= 80.4m

14.70m

½ (–9.8m/seg2)(3seg)2 + 100m

= –44.1m + 100m

= 55.9m

24.50m

½ (–9.8m/seg2)(4seg)2 + 100m

= –78.4m + 100m

= 21.6m

34.30m

½ (–9.8m/seg2)(5seg)2 + 100m

= –122.5m + 100m

= –22.5m

44.10m

Respuesta: el objeto hace contacto con el suelo después de los 4 segundos y antes de los 5.

105

Una representación gráfica de la ecuación tabulada, sería ésta:

seg 0; 100m seg 1; 95.1m

To rre

seg 2; 80.4m

In c li na da

seg 3; 55.9m

seg 4; 21.6m

seg 5; –22.5m

Analizando la tabla y la gráfica de la ecuación, observamos lo siguiente:

1. Conforme transcurre el tiempo, propuesto aquí en segundos, la distancia que recorre el objeto entre un segundo y otro es cada vez mayor. 2. Entre el segundo 4 y el 5, habría de recorrer 44.10m. Aunque esto no es posible porque el subsuelo no permite que el objeto siga su “caída libre”. 3. La posición del objeto depende entonces del tiempo transcurrido. 4. La pregunta que habíamos planteado. ¿En cuánto tiempo, el objeto, hará contacto con el suelo?, ¿cómo la resolveríamos?

106

El objeto llegará al suelo cuando d (t) = 0, entonces la ecuación por resolver es: –½ ( 9. 8) t 2 + 100 = 0 – 4.9 t2 + 100 = 0 4.9 t2 = 100 t2 = 100/4.9 t2 = 20.41 t =

20.41

t = 4.517 Respuesta: el objeto hace contacto con el suelo en 4.517 segundos.

10) φ2 + φ – 1 = 0 11) x2 + 3x – 40 = 0 ,

Los ejemplos 10 y 11; nos arrojaron ecuaciones cuadráticas que resolveremos haciendo uso de un resultado de los productos notables.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,

Nos referimos al cuadrado de un binomio.

a la expresión a la derecha del signo igual, se le llama trinomio cuadrado perfecto.

Analicemos cómo está compuesta la expresión completa. primera parte: (a + b)2

a = primer término del binomio b = segundo término del binomio

segunda parte: a2 + 2ab + b2

107

a2 = primer término del trinomio = al cuadrado del primer término del binomio 2ab = segundo término del trinomio = el doble producto del primero por el segundo términos del binomio b2 = tercer término del trinomio = al cuadrado del segundo término del binomio.

Apliquemos esto, primero a la ecuación del ejemplo 11. x2 + 3x – 40 = 0

como 40 no es el cuadrado de número racional, entonces añadimos 40 en ambos lados de la igualdad

x2 + 3x = 40 x2 = a2 3x = 2ab no tenemos b2

en esta expresión tenemos:

pero vamos desarrollando y sustituyendo; de

x2 = a2 ; x = a 3x = 2xb 3 = 2b 3/2 = b

Y tenemos nuestro binomio completo, veamos: (x + 3/2)2

= al cuadrado del primer término + el doble producto del primero por el segundo + el cuadrado del segundo término

x2 2(3/2)x = 3x (3/2)2 = 9/4

En nuestra ecuación, el 40 no equivale al cuadrado de 3/2, entonces hacemos lo siguiente: x2 + 3x = 40 x2 + 3x + 9/4 = 40 + 9/4 (x + 3/2)2 = 169/4 x + 3/2 = 13/2

añadimos también, 9/4 en ambos lados de la igualdad con lo que, la primera parte de la igualdad resulta en un trinomio cuadrado perfecto extraemos ahora, raíz cuadrada en ambos lados y desarrollamos

x = 13/2 – 3/2 x = 10/2 x = 5

medida de la altura.

Y nuestra respuesta al ejemplo 11 es la siguiente: la base mide 8m. y la altura 5m.

108

La ecuación construida en el ejemplo 10, cuenta con las mismas características que la del ejercicio 10, entonces procedamos por el mismo camino para resolverla. φ2 + φ – 1 = 0 φ2 + φ = 1

2 φ2 = a φ = 2ab no tenemos b2

identificamos:

desarrollando y sustituyendo; de

φ2 + φ = 1

(φ + 1/2)2 = 5/4

φ =

= = = =

a2 ; φ = a 2φb 2b b

añadimos 1/4 en ambos lados de la igualdad

φ2 + φ + 1/4 = 1 + 1/4

φ + 1/2 =

φ2 φ 1 1/2

5 /2

y así, la primera parte de la igualdad resulta en un trinomio cuadrado perfecto extraemos raíz cuadrada en ambos lados y desarrollamos

5 /2 – 1/2

φ =( 5

–1 )/2

φ = (2.236 – 1)/2 φ = 1.236/2 φ = 0.618

razón de la altura a la base.

Y la respuesta al ejemplo 10 es: la altura es 0.618 de la base.

La proporción que se menciona en el ejercicio 10 también se expresa como: dados dos segmentos de distinta longitud, si el segmento mayor es al menor como el menor es a la diferencia de ellos, entonces se dice que los segmentos están en “Proporción Áurea”. Los griegos descubrieron que esta proporción se cumple en un sinnúmero de elementos de la naturaleza. Tal vez fue fijándose en la estructura de todos esos elementos y concibiendo su reproducción a través de un modelo como construyeron la proporción áurea. De las ecuaciones cuadráticas construidas en los ejercicios anteriores, algunas no tuvieron término lineal de la incógnita, pero algunas otras si contaron con todos los términos que corresponden a una ecuación cuadrática completa. Presentaron la forma: ax2 + bx + c = 0.

109

Haciendo un cuadro comparativo entre las ecuaciones que hemos construido para resolver los ejercicios y la ecuación cuadrática completa que presentamos renglones arriba, obtenemos lo siguiente: Ecuación Ejemplo

a x2 + unidades2

b x + unidades

1 lado2

–

1 lado2

–

1 lado2

–

1 lado2

–

169

2 π r

–

78.54

2 π r

–

254.5

1 diag2

–

4 x2

–

289

1 h2

–

10.

1 φ2

1 φ

–

11.

1 x2

3 x

–

12.

½ g t2

100

Ejercicios 1. Encontrar la superficie y el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 31m. 2. Encontrar la superficie y el perímetro de un cuadrado cuyas diagonales miden 50m. 3. Si la superficie de un círculo mide 345m2, encuentra su radio, diámetro y perímetro. 4. Si la superficie de un círculo es 563cm2, encuentra su radio, diámetro y perímetro. 5. Un cubo tiene como medida de sus aristas 7cm. Encontrar la longitud total de sus aristas, la superficie total de sus caras y su volumen (esta última medida no es cuadrática pero es de fácil acceso).

110

Matemáticas 3

y = ax + c

-1 0 2

a(-1) + c

2: Ecuaciones y Funciones Cuadráticas 2. 2: Análisis gráfico de la ecuación y la función cuadrática

Objetivo: El estudiante aprenderá a construir y graficar funciones cuadráticas y a resolver cualquier ecuación que provenga de estas funciones.

x y = x2 + 1 -4 15 -2 5 0 . . . 3

Presentación Tenemos los siguientes ejercicios como resultado del desarrollo del tema anterior, cuyo planteamiento para solución, nos presenta ejemplos de ecuaciones cuadráticas: 1. ¿Cuál es la superficie de un rectángulo de lados iguales con medida 7cm? R: Superficie = Lado2 = (7cm)2 = (7cm)(7cm) = 49cm2. 2. ¿Cuál es la superficie de un rectángulo de lados iguales con medida 4m? R: Superficie = Lado2 = (4m)2 = (4m)(4m) = 16m2. 3. ¿Qué número elevado al “cuadrado” es 64? n=

= 8. R: n = 8.

4. Hallar el lado de un “cuadrado” que tiene por superficie 169cm2. Lado =

169cm2

. R: lado = 13cm.

5. ¿Cuál es la superficie de un círculo con radio igual a 5cm? πr2 = 78.54cm2. R: Superficie = πr2 = 78.54cm2. 6. Cuáles son las medidas del radio, el diámetro y el perímetro de un círculo cuya superficie es 254.5cm2.

111

radio2 = superficie / π = 254.5cm2 / π = 81cm2. diámetro = 2 x radio = 2 x 9cm = 18cm. perímetro = πd = 3.1416 x 18cm = 56.55cm. R: radio = 9cm, diámetro = 18cm, perímetro = 56.55cm.

7. Cuál es la medida de la diagonal del rectángulo que tiene de altura 3m y de base 4m. d2 = altura2 + base2 = (3m)2 + (4m)2 = 9m2 + 16m2 = 25m2. d = R: diagonal = 5m.

25m2

8. Cuál es el valor de la diagonal en el rectángulo que tiene 8m de altura y 15m de base. d2 = altura2 + base2 = (8m)2 + (15m)2 = 64m2 + 225m2 = 289m2. diagonal =

289m2

. R: diagonal = 17m.

9. Cuál es el valor de h en el rectángulo que tiene 26m de diagonal y 24m de base. altura2 = diagonal2 – base2 = (26m)2 – (24m)2 = 676m2 – 576m2 = 100m2. altura =

100m2

. R: altura = 10m.

10. Si un rectángulo tiene de base 1 unidad y la proporción entre su base y su altura está dada por la expresión: φ2 + φ – 1 = 0; en donde φ representa la altura. ¿Cuál es la medida de su altura? Ecuación: φ2 + φ – 1 = 0 añadimos 1/4 en ambos lados

φ2 + φ = 1 φ2 + φ + 1/4 = 1 + 1/4 (φ + 1/2)2 = 1 + 1/4

extraemos raíz; ambos lados

4/4 + 1/4 = 5/4

(φ + 1/2)2 = 5/4 φ + 1/2 =

5/4

;

5/4 = =

5 / 4

5 /2 = 2.236/2

2.236/2 – 1/2 = = (2.236 – 1)/2 = φ = 0.618 R: altura = 0.618u.

112

= 1.236/2

11. Cuáles son las medidas de la base y la altura del rectángulo que tiene superficie 40m2, sabiendo que la base excede en 3m a la altura? (prescindiremos de las unidades m2) Superficie = a x (a + 3) = 40 añadimos 9/4 en ambos lados

a2 + 3a = 40

a2 + 3a + 9/4 = 40 + 9/4 (a + 3/2)2 = 40 + 9/4

160/4 + 9/4 = 169/4

;

13/2 – 3/2 = 10/2

(a + 3/2)2 = 169/4

extraemos raíz; ambos lados

a + 3/2 = 13/2 a = 5. R: Las medidas son: base 8m y altura 5m.

12. Si la altura de un edificio, desde el que se suelta un objeto, es de 100m. ¿En cuánto tiempo, el objeto, hará contacto con el suelo? La expresión que nos describe el cambio de posición de un cuerpo al ser soltado desde una altura de 100m es la siguiente: d ( t ) = ½ g t 2 + 100 , en donde d es la altura a la que el objeto se encuentra del suelo y ésta depende del tiempo transcurrido desde el momento en que se soltó el objeto. Sabemos que la aceleración de la gravedad es de –9.8m/seg2. Entonces la expresión del cambio de posición (o cambio de altura) del objeto es la siguiente: –½ ( 9. 8) t 2 + 100 = 0

altura =

– 4.9 t2 + 100 = 0 4.9 t2 = 100 t2 = 100/4.9 t2 = 20.41 t =

20.41

t = 4.517 R: El objeto hace contacto con el suelo en 4.517 segundos.

Si nos fijamos en el tipo de ecuación de los ejemplos 1 y 2, en los que se trata de encontrar la medida de la superficie de un cuadrado, dada la medida de la longitud de sus lados, el proceso que se realiza es el mismo, esto es:

113

Medida de sus lados

Operación

Área

Método

7cm 4m

(7cm) (7cm) (4m) (4m)

49cm2 16m2

Lado2 Lado2

Nos damos cuenta que el método para encontrar la respuesta es uniforme, pues basta con saber cuál es la medida de los lados del cuadrado para obtener su área.

Tenemos entonces que el área de un cuadrado está en relación directa con la medida de la longitud de sus lados. Relación que podemos expresar como: Área = lado2. Y esta relación la podemos tabular y graficar en el plano cartesiano.

Eje Y

Esta es una forma: consideremos la longitud de los lados del cuadrado como x, y su área como y:

Tabulación Lado = x

Área = y = x2

1 2 3 4 5 6 7 8

12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 81

Gráfica

Eje X

Ahora, nos fijamos en el tipo de ecuación de los ejemplos 3 y 4. En el ejemplo 3 se busca la raíz cuadrada de un número y en el 4, se trata de encontrar la medida de la longitud de los lados de un cuadrado dada la medida de su superficie, o sea la raíz cuadrada del valor del área del cuadrado. Haciendo un cuadro, tenemos: Número / Área

Operación

Raíz cuadrada

Método

numero

114

169cm

169

13m

área

En estos ejemplos, también el método para encontrar el resultado es uniforme, basta con saber cuál es el área para obtener, según el caso, la raíz cuadrada o la medida de sus lados.

Tenemos entonces que la medida de la longitud de los lados de un cuadrado, está en relación directa con su área. Relación que expresamos de la siguiente manera:

Lado = Área . Y esta relación la tabulamos y graficamos en el plano cartesiano. Esta es una forma: consideremos el área del cuadrado como x, y la longitud de sus lados como y:

Tabulación Área = x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Lado = y = 11/2 = 1 21/2 = 1.414 31/2 = 1.732 41/2 = 2 51/2 = 2.236 61/2 = 2.449 71/2 = 2.646 81/2 = 2.828 91/2 = 3

= x1/2 Gráfica

Eje Y

4 3 2 1

Eje X

9 10 11 12 13 14 15 16

Nota. Recordemos que al extraer la raíz cuadrada de un número que debe ser positivo, exhibíamos dos números como las raíces del número original, dicho de otra forma, exhibíamos dos números como las raíces del número aquel del que se nos había pedido extraer la raíz cuadrada. De estas dos raíces una era positiva y la otra negativa.

Ejemplos:

115

42 = 4 x 4 = 16 ; (–4)2 = (–4) (–4) = 16

112 = 11 x 11 = 121 ; (–11)2 = (–11) (–11) = 121

a2 = a x a = a2 ; (–a)2 = (–a) (–a) = a2

72 = 7 x 7 = 49 ; (–7)2 = (–7) (–7) = 49

(1/2)2 = (1/2) x (1/2) = 1/4 ; (–1/2)2 = (–1/2) (–1/2) = 1/4 (xy)2 = (xy) x (xy) = x2y2 ; (–xy)2 = (–xy) (–xy) = x2y2 Tomando en cuenta el que todo número positivo tiene dos raíces, una positiva y otra negativa, la tabulación y la gráfica de las raíces cuadradas de los números positivos toman la siguiente forma: Tabulación Número Positivo 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Raíz Positiva

Raíz Negativa

11/2 = 1 21/2 = 1.414 31/2 = 1.732 41/2 = 2 51/2 = 2.236 61/2 = 2.449 71/2 = 2.646 81/2 = 2.828 91/2 = 3

11/2 = –1 21/2 = –1.414 31/2 = –1.732 41/2 = –2 51/2 = –2.236 61/2 = –2.449 71/2 = –2.646 81/2 = –2.828 91/2 = –3

o ambas raíces entre llaves 11/2 = { 1, –1} 21/2 = { 1.414, –1.414} 31/2 = { 1.732, –1.732} 41/2 = { 2, –2} 51/2 = { 2.236, –2.236} 61/2 = { 2.449, –2.449} 71/2 = { 2.646, –2.646} 81/2 = { 2.828, –2.828} 91/2 = { 3, –3}

Gráfica

Eje Y 4 3 2 1 O

Eje X

-1 -2 -3 -4

Si bien, todo número positivo tiene dos raíces, una positiva y otra negativa, en la búsqueda de la longitud de los lados de un cuadrado, la medida no tiene sentido si proponemos una longitud negativa, por ejemplo: la longitud del lado de un cuadrado que tiene 25m2 de superficie, es –5m ¿Qué quiere decir esto?

116

En matemáticas, es importante la consideración de las raíces tanto positivas como negativas. Se hace significativo en el desarrollo de los procesos para encontrar elementos de solución de las ecuaciones y funciones cuadráticas. Por cierto, si el cuadrado de cualquier número racional, sea positivo o negativo, es siempre un valor positivo, podemos completar la tabla y la gráfica de la relación de los ejemplos 1 y 2; éstas son las exposiciones correspondientes:

Eje Y Tabulación Número Positivo

Cuadrado de Número Positivo

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12 = 1 x 1 = 1 22 = 2 x 2 = 4 32 = 3 x 3 = 9 42 = 4 x 4 = 16 52 = 5 x 5 = 25 62 = 6 x 6 = 36 72 = 7 x 7 = 49 82 = 8 x 8 = 64 92 = 9 x 9 = 81

Eje X

-4 -3 -2 -1

Número Negativo

Cuadrado de Número Negativo (–1)2 = (–1) x (–1) = 1 (–2)2 = (–2) x (–2) = 4 (–3)2 = (–3) x (–3) = 9 (–4)2 = (–4) x (–4) = 16 (–5)2 = (–5) x (–5) = 25 (–6)2 = (–6) x (–6) = 36 (–7)2 = (–7) x (–7) = 49 (–8)2 = (–8) x (–8) = 64 (–9)2 = (–9) x (–9) = 81

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

A estas dos relaciones, la que a todo número le asocia su cuadrado y la que a todo número positivo le asocia sus dos raíces, se les llama funciones.

Una función es: • •

Una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Una receta que asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto.

Las funciones que se estudian en matemáticas, son aquellas que dados dos conjuntos:

117

• •

Relacionan cada elemento de un conjunto con un elemento del otro, y las que Relacionan varios elementos de un conjunto con un elemento del otro.

Y se denotan de la siguiente manera: f(x) = y , en donde, con respecto al plano cartesiano, x es un elemento de X y y lo es de Y. Para representar la gráfica de la función f(x) consideramos (x, f(x)) – o (x, y), ya que estamos identificando a y = f(x) – como el par ordenado que forman, como primer elemento el valor x sobre el Eje X y como segundo elemento el valor f(x) [o y] sobre el Eje Y que la función le asocia al valor x.

Examinemos bajo estos conceptos el ejemplo 13. Encontrar la superficie del “cuadrado” que tiene como medida de sus lados 4mm. ¿Cómo identificamos la función y cómo la ecuación?

La función es: f(x) = y Los pares ordenados son: (x, f(x)) Las gráficas: (x, x2)

y la ecuación: f(4) = y (4, f(4)) = (4, 42) = (4, 16) (4, 16)

Eje Y

f(x) = x2

Eje X

118

Dados dos conjuntos, una regla de correspondencia entre ellos y considerando que el producto de tal aplicación arroja parejas ordenadas en donde el primer elemento es aquel sobre el que se aplica la regla y el segundo, es el resultado de la aplicación de la regla al primer elemento de la pareja, tenemos las siguientes observaciones: •

La función es la regla de correspondencia general, aplicada en todos los elementos de uno de los dos conjuntos y

•

La ecuación es la regla de correspondencia particular, aplicada en un solo elemento de uno de los conjuntos.

Examinemos ahora el ejemplo 14, que dice: ¿cuál es la superficie de un círculo con radio igual a 2cm? (la misma estructura del ejemplo 5) La función y la ecuación son: Función Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Radio del círculo

Superficie del círculo

y g(x) πx2

Eje Y

Ecuación Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Parejas ordenadas

Radio del círculo

Superficie del círculo

(x, y) (x, g(x)) (x, πx2)

2cm

y g(2) π22 π4 12.57

Pareja ordenada (2, y) (2, g(2)) (2, π22) (2, 4π) (2, 12.57)

Eje Y

12.57

g(x) = πx2

Eje X

119

Ejemplo 15. Hacer las gráficas de la función g’(x) = x2/5, y de la ecuación g’(7). FUNCIÓN

ECUACIÓN

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Parejas ordenadas

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Pareja ordenada

y g’(x) x2/5

(x, y) (x, g’(x)) (x, x2/5)

y g’(7) (7)2/5 49/5 9 4/5

(7, y) (7, g’(2)) (7, (7)2/5) (7, 49/5) (7, 9 4/5)

Eje Y

9 4/5

g’(x) = x2/5

Eje X

Nota. Se cambió el tamaño de la cuadrícula para una mejor apreciación. ¿Qué similitudes y qué diferencias tienen los tres últimos pares de gráficas? Respuesta: Similitudes en las gráficas de las funciones f(x) = x2, g(x) = πx2 y g’(x) = x2/5: • Inician en el origen • Son ecuaciones cuadráticas

120

Diferencias: • • • • • •

g(x) es la más angosta que f(x) al “crecer” la x g’(x) la más ancha que f(x) al “crecer” la x g(x) tiene un factor de multiplicación (π) g’(x) tiene un factor de división (1/5) g(x) “crece” más rápidamente que f(x) conforme “crece” la x g’(x) “crece” más lentamente que f(x) conforme “crece” la x

Ejemplo 16. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado que tiene 25m2 de superficie? La función y la ecuación son: Nota. El símbolo de extracción de la raíz cuadrada de cualquier expresión es:

FUNCIÓN

x1/2.

ECUACIÓN

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Superficie del cuadrado

Lado del cuadrado

Parejas ordenadas

y h(x) x1/2

(x, y) (x, h(x)) (x, x1/2)

x ó

Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

Superficie del cuadrado

Lado del cuadrado

25m2

y h(25) 251/2 5

Pareja ordenada (25, y) (25, h(2)) (25, 251/2) (25, 5)

Eje Y

h(x) = x1/2

Eje X

121

Eje Y

Eje X

Ejemplo 17. ¿Cuál es la medida del radio de un círculo cuya superficie es 28.27cm2 (misma estructura del ejemplo 6) La función y la ecuación son:

La función: Los pares ordenados son:

k(x) = y (x, k(x)) (x, (x/π)1/2)

y la ecuación:

Las gráficas:

k(28.27) = y (28.27, k(28.27)) = = (28.27, (28.27/π)1/2) = = (28.27, (9)1/2) = = (28.27, 3)

Eje Y

k(x) = (x/π)1/2

Eje X

122

Eje Y

Eje X

28.27

Ejemplo 18. Hacer las gráficas de la función k’(x) = 2x1/2, y de la ecuación k’(16).

función Elemento del primer conjunto

Elemento del segundo conjunto

y k’(x) 2x1/2

ecuación Parejas ordenadas

Elemento del primer conjunto

(x, y) (x, k’(x)) (x, 2x1/2)

Elemento del segundo conjunto y k’(16) 2(16)1/2 2(4) 8

Pareja ordenada

(16, y) (16, k’(16)) (16, 2(16)1/2) (16, 2(4)) (16, 8)

Eje Y

k’(x) = 2x1/2

Eje X

123

Eje Y 8

Eje X

¿Qué similitudes y qué diferencias tienen los tres últimos pares de gráficas?

Respuesta: Similitudes en las gráficas de las funciones h(x) = x1/2, k(x) = (x/π)1/2 y k’(x) = 2x1/2. • Inician en el origen • Son ecuaciones de radicación cuadrática Diferencias: • k(x) es más angosta que h(x) al “crecer” la x • k’(x) es más ancha que h(x) al “crecer” la x • k(x) tiene un factor de división (π) • k’(x) tiene un factor de multiplicación (2) • k(x) “crece” menos que h(x) conforme “crece” la x • k’(x) “crece” más que h(x) conforme “crece” la x

Ejemplo 19.a. Un terreno cuadrado cuyos lados miden 6m colinda con otro que mide 12m2 ¿Cuántos m2 se tienen juntando los dos terrenos?

La función es: Los pares ordenados son:

f(x) = y (x, f(x)) (x, x2+12)

y la ecuación:

f(6) = y (6, f(6)) = (6, 62+12) = = (6, 36+12) = = (6, 48) Ejemplo 19.b. A un terreno cuadrado cuyos lados miden 6m se le quita una porción que mide 12m2 ¿Cuántos m2 se tienen después de la operación? La función es: Los pares ordenados son:

g(x) = y (x, g(x)) (x, x2–12)

y la ecuación:

124

g(6) = y (6, f(6)) = (6, 62–12) = = (6, 36–12) = = (6, 24)

Grรกficas

Eje Y

f(x) = x2+12

Eje X

g(x) = x2-12

Eje X

-12 x

125

Ejemplo 20. Desde una altura de 50m se deja caer un objeto. ¿En cuánto tiempo hace contacto con el suelo?

La expresión que nos describe el cambio de posición de un cuerpo al ser soltado desde cualquier altura es la siguiente: d ( t ) = ½ g t2 + h , Sabemos que la aceleración de la gravedad es de –9.8m/seg2. Entonces la expresión del cambio de posición (o cambio de altura) del objeto es la siguiente: La función es: Los pares ordenados:

d(t) = y (t, d(t)) (t, –1/2gt2+50)

y la ecuación:

Gráficas

d(3.2) = y (3.2, f(3.2)) = = (3.2, –1/2(9.8 x (3.2)2) + 50 = = (3.2, –1/2(9.8 x 10.2) + 50 = = (3.2, –1/2(100) + 50 = = (3.2, –50 + 50) = = (3.2, 0) =

Eje Y

d(t) = 1/2gt2+50

Eje X

3.2

Nota. Se cambió la escala del eje X (eje de t).

126

En el dibujo de las gráficas se han considerado sólo los valores positivos, tanto en las funciones que señalan elevar al cuadrado los valores sobre los que se aplica, como en las que señalan la extracción de la raíz cuadrada. Las gráficas “completas”, esto es: aplicadas sobre cualquier valor positivo o negativo de las funciones, las que elevan al cuadrado como las que extraen raíz cuadrada, son semejantes a las dibujadas para x2 y x1/2.

Nota: las gráficas de las funciones son las que se pueden “completar”, no así los valores de las ecuaciones. ¿Qué quiere decir el buscar la superficie de un cuadrado que tiene por lado –9m; o dada la superficie de un círculo, presentar como resultado que su radio mida –3cm?

Eje Y En esta gráfica, la aplicación de la relación que eleva al cuadrado todo valor racional, ofrece el mismo resultado sobre racionales que son inversos aditivos.

Esta relación es del tipo de las que interesan a la matemática; relación que asocia a varios elementos del primer conjunto con uno del segundo.

Entonces f(x) = x2, es una función. 4

Eje X

-4 -3 -2 -1

127

Eje Y 4 3 2 1 O

Eje X

-1 -2 -3 -4

En esta otra gráfica, la aplicación de la relación que extrae la raíz cuadrada a los valores racionales positivos, ofrece dos resultados que son inversos aditivos.

Esta relación es del tipo de las que no interesan a la matemática; relación que asocia a un sólo elemento del primer conjunto varios del segundo.

128

Entonces g(x) = x1/2, NO es una función.

Ejercicios Los incisos a, son las funciones o relaciones que hay que graficar (para lo que se sugiere tabular la función o relación) y los incisos b, el valor en particular que hay que desarrollar (este es uno solo de los valores que se pueden tabular).

1. a. b.

f(x) = x2 + 3 f(5)

2. a. b.

g(x) = x2 – 5 g(–2)

3. a. b.

h(x) = –x2 h(4)

4. a. b.

k(x) = 3x2 k(3)

5. a. b.

f(x) = –x2 + 2 f(–4)

6. a. b.

g(x) = 5x2 – 12 g(–2)

7. a. b.

h(x) = ½ x 2 h(7)

8. a. b.

k(x) = 1/8 x2 k(3)

9. a. b.

h(x) = 3/10 x2 + 1 h(6)

10. a. b.

k(x) = –3x2 k(3)

11. a. b.

f(x) = x1/2 – 2 f(8)

12. a. b.

g(x) = x1/2 + 4 g(9)

13. a. b.

h(x) = –x1/2 h(25)

14. a. b.

k(x) = 5x1/2 k(4)

15. a. b.

f(x) = –x1/2 + 5 f(9)

16. a. b.

g(x) = 3x1/2 – 3 g(16)

17. a. b.

h(x) = ½ x 1/2 h(4)

18. a. b.

k(x) = 1/4 x1/2 k(5)

19. a. b.

h(x) = 1/5 x1/2 + 5 h(8)

20. a. b.

k(x) = –3x1/2 k(9)

129

Matemáticas 3

2: Ecuaciones y Funciones Cuadráticas

(2a)2 = 4a2 (3a)2 = 9a2

2. 3: Ecuación general y sus raíces

(4a)2 = 16a2

Objetivo El estudiante aprenderá el significado del cambio de valor en los coeficientes de una función cuadrática.

-a

Presentación Una función cuadrática en una variable es aquella en que la variable tiene entre los elementos que la componen, uno en el que se encuentra elevada al cuadrado (o elevada a la segunda potencia) y ésta es la de mayor exponente. Esto es: f1(x) =

g1(x) =

3x2

h1(x) =

1/2 x2

k1(x) =

1/9 x2

p1(x) =

– 1/4 x2

q1(x) =

– 2/5 x2

f2(x) =

– x2 + 2

g2(x) =

x2 + 3

h2(x) =

x2 – 6

k2(x) =

– 5x2 + 4

f3(x) =

x2 + 3x

g3(x) =

– x2 + 4x

h3(x) =

3x2 + x

k3(x) =

2x2 – 3x

f4(x) =

x2 + x + 1

g4(x) =

1/2 x2 – 2x – 1

h4(x) =

– 1/3 x2 + 3x + 2

k4(x) =

4x2 – 6x – 3

130

Como podemos darnos cuenta en estas funciones, todas tienen algún término en donde la variable “x” tiene exponente 2 o está elevado a la potencia 2. o bien poseen un término al cuadrado, lo que convierte a cada una de estas funciones en una función cuadrática.

Comenzamos por analizar estas funciones preguntándonos: ¿cómo son sus gráficas? a) Las seis primeras, desde f1 hasta q1, se componen sólo del término en donde aparece la variable al cuadrado; lo que las define como funciones cuadráticas. Para que su revisión se haga con más claridad, se te pide resolver antes los siguientes:

Ejercicios Graficar las funciones o relaciones: 1.

f(x) = 5x2

g(x) = 2x2

h(x) = 7/3 x2

k(x) = 2/3 x2

p(x) = 1/4 x2

q(x) = 2/5 x2

t(x) = – 3/5 x2

u(x) = – 3/8 x2

v(x) = – 1/5 x2

10.

w(x) = – 3x2

11.

v(x) = – 4x2

12.

w(x) = – 5/2 x2

a.1) De las cuatro primeras (f1 – k1), así es su gráfica:

Eje Y f1(x) =

g1(x) = 3x2

Con las gráficas de estas funciones y las que dibujaste, date cuenta de que: 2

a.1.1) Si el coeficiente de x es mayor a 1, su gráfica se encuentra “por dentro” de f1(x). Esto quiere decir que “crece” más rápidamente que f1(x).

k1(x) = 1/3 x2

h1(x) = 1/2 x2

a.1.2) Si el coeficiente de x2 es menor a 1 y mayor a 0, su gráfica se encuentra “por fuera” de f1(x). Esto quiere decir que “crece” más lentamente que f1(x).

Eje X

-4 -3 -2 -1

131

1 2 3 4

a.2) De las dos siguientes (p1 – q1), estas son sus gráficas:

Eje Y -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 O

Hemos dibujado la gráfica de F1(x) = –x2 para que nos sirva de referencia. De estas gráficas y las que dibujaste:

Eje X

a.2.1) Si el coeficiente de x2 es menor a 0 y mayor a –1, su gráfica se encuentra “por fuera” de F1(x). Esto quiere decir que “decrece” más lentamente que F1(x).

q1(x) = - 2/15 x2

a.2.2) Si el coeficiente de x2 es menor a –1, su gráfica se encuentra “por dentro” de F1(x). Esto quiere decir que “decrece” más rápidamente que F1(x). p1(x) = -1/4 x2

F1(x) = -x2

a.3) Si el coeficiente de x2 es positivo, la gráfica “abre hacia arriba” y si es negativo, “abre hacia abajo”. b) Las cuatro siguientes, desde f2 hasta k2, tienen el término en donde aparece la variable al cuadrado y el término constante.

Ejercicios Graficar los siguientes ejercicios: Los que aparecen con número par tendrán en el término al cuadrado los mismos coeficientes que en la serie anterior, así tendrás un mejor acercamiento. 1.

f(x) = 6x2 + 1

g(x) = 2x2 + 4

h(x) = 5/3 x2 – 4

k(x) = 2/3 x2 + 7

p(x) = 7/2 x2 – 6

q(x) = 2/5 x2 – 1

t(x) = – 2/7 x2 + 5

u(x) = – 3/8 x2 + 2

v(x) = – 3/10 x2 + 2

10.

w(x) = – 3x2 – 3

11.

v(x) = – 5x2 – 2

12.

w(x) = – 5/2 x2 + 3

132

b.1) de las funciones f2 y k2, éstas son sus gráficas:

b.2) gráficas de las funciones g2 y h2:

Toma en cuenta las que dibujaste: Después del angostamiento o ensanchamiento de la gráfica por el coeficiente de x2, el término constante desplaza la gráfica hacia arriba, si es positivo, o hacia abajo, si es negativo.

Eje Y

Eje Y g2(x) = x2 + 3

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 O

Eje X

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

f2(x) = -x2 + 2

h2(x) = x2 - 6 k2(x) = -5x2 + 4

c) Las cuatro siguientes, desde f3 hasta k3, tienen el término en donde aparece la variable al cuadrado y el término en donde aparece la variable de modo lineal.

Ejercicios Graficar los siguientes ejercicios: Los que aparecen con número impar tendrán en el término al cuadrado los mismos coeficientes que en la primera serie. 1.

f(x) = 5x2 + x

g(x) = x2 – 3x

h(x) = 7/3 x2 + 2x

k(x) = 1/2 x2 + 4x

p(x) = 1/4 x2 – x

q(x) = 1/5 x2 + x

t(x) = – 3/5 x2 + 3x

u(x) = – 1/4 x2 – x

v(x) = – 1/5 x2 – 3x

10.

w(x) = – 1x2 – x

11.

v(x) = – 4x2 + 5x

12.

w(x) = – 5/2 x2 + 2x

133

c.1) de las funciones f3, h3 y k3, estas son sus gráficas:

c.2) gráfica de la función g3:

Junto con las que dibujaste: Después que el coeficiente de x2, angostó o ensanchó la gráfica, el término lineal desplaza la gráfica hacia arriba, hacia abajo, hacia derecha o hacia izquierda.

Eje Y

h3(x) = 3x2 + x

k3(x) = 2x2 - 3x

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 O

f3(x) = x2 + 3x

g3(x) = -x2 + 4x

-4 -3 -2 -1

Eje X

1 2 3 4

Eje X

d) Finalmente, las cuatro últimas, desde f4 hasta k4, son funciones cuadráticas completas, pues tienen los términos en donde aparece la variable al cuadrado, lineal y el término constante.

Ejercicios Graficar los siguientes ejercicios: Algunos de estos ejercicios, con número impar o par, tendrán en el término al cuadrado los mismos coeficientes que en las series anteriores. 1.

f(x) = 5x2 + x – 4

g(x) = 1/4 x2 – 3x + 2

h(x) = 5/2 x2 + 4x – 3

k(x) = 1/2 x2 + 4x + 3

p(x) = 1/4 x2 – x + 7

q(x) = 1/6 x2 + x – 6

t(x) = – 5x2 + 4x – 3

u(x) = – 1/4 x2 – x + 9

v(x) = – 1/5 x2 – 3x + 12

10.

w(x) = – 1x2 – x + 11

11.

v(x) = – x2 + 3x – 2

12.

w(x) =

134

–

5/2 x2 + 2x – 1

d.1) Estas son las gráficas de las funciones f4, g4 y k4,:

d.2) Aquí la gráfica de la función h4:

Más las que dibujaste: Después que el coeficiente de x2, angostó o ensanchó la gráfica, el término lineal la desplazó hacia arriba, hacia abajo, hacia derecha o hacia izquierda y el término constante la desplazó arriba o hacia abajo, este es nuestro dibujo.

Eje Y f4(x) = x2 + x + 1

g4(x) = 1/2 x2 - 2x - 1 O

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

Eje X Eje Y

k4(x) = 4x2 - 6x - 3

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 O

Eje X

h 4 (x) = -1 / 3 x2 + 3x + 2

135

Como te habrás dado cuenta hubo gráficas:

que atravesaron el eje X,

otras sólo hicieron contacto con el eje X en un punto

y otras ni lo atravesaron ni lo tocaron.

Eje Y

Eje X

¿Qué quiere decir cada uno de estos resultados?

Al tabular una función lo que hacíamos era encontrar el estimado que la función le asigna a un valor determinado, o aplicar y desarrollar las operaciones que señala la función en un valor determinado. En los ejemplos y ejercicios desarrollados ¿cómo han sido los estimados y el dibujo de las gráficas correspondientes de las funciones en los valores calculados? Pongamos nuestra atención en los dos primeros dibujos y en las tabulaciones que nos llevaron a gráficas como éstas. Desde luego, también atenderemos al tercer dibujo. 1.1) Si atraviesa el eje X, quiere decir que la función le asigna el estimado 0 (cero) a algún par de valores de x. 1.2) Si atraviesa el eje X, quiere decir que la función asigna estimados positivos y negativos a valores x sobre los que se aplica. 2.1) Si sólo hace contacto con el eje X en un punto, quiere decir que la función le asigna el estimado 0 (cero) a un solo valor de x.

136

2.2) Si sólo hace contacto con el eje X en un punto, quiere decir que la función asigna estimados NO negativos o NO positivos a valores x sobre los que se aplica, según se desplace “hacia arriba” o “hacia abajo” respectivamente. 3)

De no atravesar ni hacer contacto con el eje X, quiere decir que la función asigna estimados positivos o negativos a valores x sobre los que se aplica, según se desplace “hacia arriba” o “hacia abajo” respectivamente.

Eje Y

f5(x) positiva p5(x) sólo positiva

h5(x) no negativa

g5(x) positiva O

Eje X

f5(x) negativa g5(x) negativa

k5(x) no positiva q5(x) sólo negativa

Si en alguna tabulación encontramos que para algún valor de x, la función le asigna el estimado 0 (cero), aseguramos que la gráfica atraviesa o hace contacto con el eje X. Esto lo escribimos como f(x) = 0, Es una ecuación; el estimado 0 (cero) de la función en algún valor de x.

¿A qué valor de x la función le esta asignando el estimado 0 (cero)? Ejemplo 1.

La función

buscamos en dónde entonces

f(x) = x2 – 4

f(x) = x2 – 4 f(x) = x2 – 4 = 0

¿Para qué valor de x su estimado vale 0? ; x2 – 4 = 0

es un producto notable,

f(x) = x2 – 4 = (x – 2) (x + 2) = 0

y esto no da

x–2=0

;x=2

x+2=0

;x=–2,

atraviesa el eje X en los valores 2 y –2.

137

o sea, la función

Gráfica de f(x) = x2 – 4

A los valores de x que la función les asocia el estimado 0 (cero) se les llama raíces de la ecuación (f(x) = 0).

Eje Y

De otra manera, dada f(x), los valores de x que cumplen con la ecuación f(x) = 0, son las raíces de la ecuación y se les llamará raíces x1 y x2. Entonces –2 y 2 son las raíces de la ecuación x2 – 4 = 0.

f(x) = x2 - 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

Eje X

Ejemplo 2.

Sea la función g(x) = – x2 + 6x – 9.

Su gráfica

Eje Y Nos interesa saber en dónde g(x) = – x2 + 6x – 9 = 0 -2 -1

producto notable – x + 6x – 9 = 0 – (x2 – 6x + 9) = 0

g(x) = -x2 + 6x - 9

factorizamos – (x – 3) (x – 3) = 0 tenemos que

x–3=0

1 2 3 4 5 6 O

; x = 3, dos veces

La función g(x) “toca” al eje X en el valor x = 3. Resulta que 3 es la “raíz doble” de la ecuación – x2 + 6x – 9 = 0.

138

Eje X

h(x) = x2 + 2x – 5

Ejemplo 3.

h(x) = x2 + 2x – 5 = 0

¿En dónde?

Este NO es un producto notable.

En el dibujo de su gráfica, observamos que las “posibles raíces” serán valores próximos a –31/2 y 11/2, aunque al aplicar h(x) en esos valores no obtenemos el estimado 0 (cero).

Eje Y

Vamos a abordar otro camino. Tomemos la ecuación x2 + 2x – 5 = 0

sumamos 5 unidades

x2 + 2x = 5

en la primera parte de la igualdad completamos el cuadrado sumando 1 unidad

x2 + 2x +1 = 5 + 1

desarrollamos

(x + 1)2 = 6

h(x) = x2 + 2x - 5

extraemos raíz

-4 -3 -2 -1

x+1=±

1 2 3 4

Eje X

x + 1 = ± 2.45

;

x1 = –1 + 2.45 = 1.45 x2 = –1 – 2.45 = –3.45

Por el camino seguido en este último ejemplo, vamos a instrumentar un método para calcular las raíces de una ecuación cuadrática completa que nos facilite tal proceso. Ax2 + Bx + C = 0

Sea la ecuación x2

B A

+ x2

B A

x B A

( x

C A

restamos

B A

–C A

completamos el cuadrado en la primera parte

B 2A

–C A

+ (

–C A

+ (

dividimos entre A ambas partes

B2 4A2

+ B 2A

B 2A

= ±

B 2A

= ±

B 2A

B2 4A2

– 4AC + B2 4A2

C A

en ambas partes

desarrollamos

factorizamos

extraemos raíz

– 4AC + B2 4A2 B2 – 4AC 2A

139

restamos

B 2A

Fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática

B 2A

= –

B2 – 4AC 2A

–B +

B2 – 4AC 2A

–B –

B2 – 4AC 2A

y para cada raíz:

De modo que, si se nos presenta un ejercicio en el que su modelo esté expresado por una ecuación cuadrática completa: Ax2 + Bx + C = 0 , sabemos como encontrar sus raíces. x1

–B +

B2 – 4AC 2A

h(x) = x2 + 2x – 5

Volvamos al ejemplo 3.

–B –

B2 – 4AC 2A

sustituyendo para x1 y x2

– 2 + 22 – 4(1x (–5)) 2(1)

– 2 – 22 – 4(1x (–5)) 2(1)

– 2 + 4 + 20 2

– 2 – 4 + 20 2

– 2 + 24 2

– 2 – 24 2

– 2 + 4.9 2

– 2 – 4.9 2

1.45

–3.45

2.9 2

–6.9 2

Las diferentes formas de resolver una o varias ecuaciones de alguna función cuadrática, nos plantea la siguiente pregunta: ¿se puede construir una función a partir de sus raíces?

Buena pregunta. Pensando sin apremio, contestamos con un rotundo ¡SÍ! ¿Cómo hacerlo? Otra buena pregunta. Igual respuesta: ¡SÍ!

140

Aquí está el desarrollo: Ejemplo 4. Los valores –3 y 2, son las raíces de una ecuación que pertenece a una función cuadrática. Encuentra la ecuación, la función y la gráfica correspondientes.

Nos falta un dato. ¿Cuál? Piensa, piensa. . . ¿Hacia dónde abre la función?

¿Verdad que nos faltaba saber esto? Nos dicen que hacia arriba; entonces, comenzamos:

4.1) La ecuación.

4.2) La función. f(x) = x2 + x – 6

Raíces: –3 y 2 Entonces: x = –3 x= 2

4.3) La gráfica.

Eje Y

Armamos el producto (x + 3) (x – 2) = 0

Desarrollamos x2 – 2x + 3x – 6 = 0

f(x) = x2 + x - 6

x2 + x – 6 = 0

Eje X

-4 -3 -2 -1

141

1 2 3 4

Ejemplo 5. Las raíces de una ecuación son los valores 1 y 5, ecuación que pertenece a una función cuadrática que abre hacia abajo. Se pide hallar la ecuación, la función y la gráfica correspondientes.

En este ejemplo tenemos todo lo que se necesita: las raíces y la dirección en que abre la función, pero ¿cómo acomodar estos datos para que la función abra hacia abajo? 5.1) La ecuación. Raíces: 1 y 5

5.2) La función.

5.3) La gráfica.

g(x) = –x2 + 6x – 5

Eje Y

Entonces: x = 1 y x= 5 Armamos el producto (x – 1) (x – 5) = 0

-2 -1

1 2 3 4 5 6 O

Eje X

Desarrollamos x2 – 5x – x + 5 = 0 x2 – 6x + 5 = 0

g(x) = -x2 + 6x - 5

Como abre hacia abajo (–1) (x2 – 6x + 5 = 0) –x2 + 6x – 5 = 0 Ejemplo 6. Encontrar las raíces de la ecuación 2x2 – 6x – 8 = 0. También mostrar la función cuadrática, por supuesto, y dibujar la gráfica correspondiente.

6.1) La ecuación. 2x2 – 6x – 8 = 0

6.2) La función. h(x) = 2x2 – 6x – 8

6.3) La gráfica. Eje Y

Factorizamos 2(x2 – 3x – 4) = 0. Lo que se encuentra entre paréntesis, es un producto notable; lo factorizamos

-2 -1

1 2 3 4 5 6 O

2(x + 1) (x – 4) = 0 x + 1 = 0 ; x = –1 x–4=0; x= 4 Las raíces son –1 y 4 h(x) = 2x 2 - 6x - 8

142

Eje X

Ejemplo 7. Encontrar las raíces de la ecuación x2 + 3x + 3 = 0. También mostrar la función cuadrática y dibujar la gráfica correspondiente.

7.1) La ecuación. x2 + 3x + 3 = 0

7.2) La función.

7.3) La gráfica.

Eje Y

k(x) = x2 + 3x + 3

No es un producto notable. Utilizamos la fórmula general x1,2

– 3 ± 32 – 4x1x3 2x1 k(x) = x2 + 3x + 3

x1,2

– 3 ± 9 – 12 2

x1,2

–3 ± – 3 2

No tenemos raíz para –3; de modo que la ecuación NO tiene raíces.

Eje X

-5 -4 -3 -2 -1

1 2

La gráfica de la función NO atraviesa el eje X.

La fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, expresada líneas arriba, ¿nos servirá para ecuaciones cuadráticas no completas? Veamos. 1) La ecuación es completa, la fórmula es:

x1,2

– B ± B2 – 4xAxC 2xA

2) La ecuación es Ax2 + Bx, la fórmula es:

x1,2

– B ± B2 2xA

–B+B 2A

0 2A

–B–B 2A

– 2B 2A

x1,2

– B ± B2 – 4xAxC 2xA

x1,2

3) La ecuación es Ax2 + C, la fórmula es:

143

– 4xAxC 2xA

– AxC A – AxC A –

–B±B 2A

– AxC A

–B A

± 2 – AxC 2xA

Ejemplo 8. Encontrar las raíces de la ecuación 2x2 – 32 = 0. También mostrar la función cuadrática y dibujar la gráfica correspondiente.

8.1) La ecuación.

8.2) La función.

2x2 – 32 = 0 x1,2

x1,2

8.3) La gráfica.

Eje Y

f(x) = 2x2 – 32

– 4x2x(–32) 2x2 –0 ±

256 4 O

± 16 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

Eje X

Raíces x1 = 4

x2 = –4

f(x) = 2x2 - 32

Se cambió la escala en el eje Y. Ejemplo 9. Encontrar las raíces de la ecuación x2/2 + 3x = 0. También mostrar la función, cuadrática por supuesto, y dibujar la gráfica correspondiente.

9.1) La ecuación.

9.2) La función. 9.3) La gráfica.

x2/2 + 3x = 0

g(x) = x2/2 + 3x

Eje Y

Multiplicamos por 2 x2 + 6x = 0 Sustituimos X1,2

–6 ± 6 2x1 g(x) = x2/2 + 3x

Raíces

Eje X

0 2

– 12 2

-5 -4 -3 -2 -1

= –6

144

1 2

Te habrás dado cuenta, a través de las gráficas de las funciones, que en cada una de ellas hay un valor “x0” al que la función le asocia un estimado mínimo o máximo, según abra la gráfica de la función hacia arriba o hacia abajo respectivamente. Partiendo de este valor “x0”, si se toman dos valores, uno menor y otro mayor que él, que disten de “x0”el mismo número de unidades, la función les asociará el mismo estimado. ¿Cómo es esto geométricamente?

Eje Y

Eje Y Si cortamos sobre la línea roja (que pasa por los puntos x0 y f(x0)),

Eje X

Obtenemos las dos ramas de la función, a partir de f(x0) y ambas ascendentes.

f(x0)

Eje X

f(x0)

Eje Y

Eje Y En el ejemplo anterior f(x0), es un estimado mínimo, mientras que en este,

x0 k(x0)

Eje X f(x0) es uno máximo, para la función.

145

Eje X

Ejercicio. Dibuja los demás casos posibles de gráficas de funciones cuadráticas. Ejemplo 10. Encuentra en la función x2 – 2x – 3, sus raíces, si la hay, el valor de x para el que el estimado de la función es mínimo y dibuja su gráfica.

10.1) La gráfica

10.2) Tabulamos f(x)

f(x) = x2 - 2x - 3 O

-4 -3 -2 -1

f(x) = x2 – 2x – 3

Eje Y

1 2 3 4

Eje X

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

21 12 5 0 –3 –4 –3 0 5 12 21

Raíces x1, x2 f(x) mínimo

Mismos estimados para valores de “x” diferentes.

f(x0)

Ejemplo 11. Encuentra en la función – x2 – 2x – 3, sus raíces, si la hay, el valor de x para el que el estimado de la función es máximo y dibuja su gráfica.

11.1) La gráfica

11.2) Tabulamos g(x) x

Eje Y

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 O

Eje X

g(x 0) g(x) = -x2 - 2x - 3

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

146

g(x) = – x2 – 2x – 3 –27 –18 –11 –6 –3 –2 –3 –6 –11 –18 –27

No tiene raíces

g(x) máximo

Para valores de “x” diferentes, mismos estimados.

Ejercicios Dadas las siguientes ecuaciones, encuentra sus raíces, si las hay, y genera las funciones correspondientes (si dibujas sus gráficas te será más fácil).

x2 – 5x + 4 = 0

x2 – 8x + 15 = 0

2x2 – 2x – 24 = 0

– 3x2 – 18x – 15 = 0

x2 – 3x – 10 = 0

53x2 + 10x – 15 = 0

x2 + 3x – 7 = 0

2x2 – 5x + 3 = 0

– 3x2 + 6x + 8 = 0

10)

– 7x2 – 5x + 2 = 0

11)

3x2 + 4x + 8 = 0

12)

x2 – 3x + 7 = 0

13)

5x2 – 2x – 9 = 0

14)

– 8x2 + 3x – 1 = 0

Ejercicios Dadas las siguientes raíces, encuentra sus ecuaciones y genera las funciones de cada una de ellas (dos en cada caso; claro que sí, “dos”; dibujando sus gráficas te será más fácil).

x1 = –1 , x2 = 6

x1 = 0 , x2 = 3

x1 = –2 , x2 = –2

x1 = –4 , x2 = 0

x1 = 3 , x2 = 7

x1 = –0 , x2 = 0

x1 = –5 , x2 = –1

x1 = –11 , x2 = –3

x1 = –3 , x2 = 8

10)

x1 = 6 , x2 = 13

11)

x1 = 1 , x2 = 6

12)

x1 = –2 , x2 = –1

13)

x1 = 2 , x2 = 9

14)

x1 = –1/2 , x2 = 3

147

Ejercicios Dadas las siguientes funciones, encuentra las raíces, si las hay, de la ecuación igualada a 0 (cero) y dibuja sus gráficas.

f(x) = 3x2 + 2x – 1

g(x) = x2 – 2x – 3

h(x) = x2 – 2x + 1

k(x) = 2x2 + 3x + 4

f(x) = 5x2 + 30x + 45

g(x) = –3x2 – 12x + 15

h(x) = –2x2 + 14x – 20

k(x) = x2 + 4x + 3

f(x) = –x2 – 9

10)

g(x) = 4x2 – 3x

11)

h(x) = –x2 + 4x

12)

k(x) = 3x2 – 27

13)

f(x) = – x2 – 2x – 2

14)

g(x) = x2 + x + 1

148

Matemáticas 3

Fuera arriba Dentro arriba

2: Ecuaciones y Funciones Cuadráticas

Dentro abajo

2. 4: Ubicación de intervalos y regiones definidas por desigualdades

Fuera abajo

Objetivo El estudiante localizará puntos, intervalos, secciones y regiones en el caso del plano, con características algebraicas y geométricas particulares.

Presentación Si en una hoja de papel dibujamos una línea recta, distinguimos dos regiones:

Una “arriba” de la recta y otra “abajo” de la recta (no se vale girar la hoja).

Si dibujamos una parábola. . .

149

Tendríamos también dos regiones: Una “dentro” de la parábola y otra “fuera” de la parábola (aquí no importa si giramos la hoja).

Si ahora dibujamos una línea recta y una parábola, de forma que se intersecten, ¿cuántas regiones resultan determinadas?

Una aquí, otra allá, una más. . .

¿Cuántas serán?

150

Mmm. . . ¡Cuatro!, ni una menos ni una más.

Contémoslas: Una; “arriba” de la recta y “dentro” de la parábola. Dos; “arriba” de la recta y “fuera” de la parábola. Tres; “abajo” de la recta y “dentro” de la parábola. Cuatro; “abajo” de la recta y “fuera” de la parábola.

Si esta figura la transportamos al plano cartesiano, nos encontraríamos con más de cuatro regiones. Aquí dibujamos un posible ejercicio:

En este dibujo tenemos más de cuatro regiones. Esto se debe a los rangos de la x y la y, y si estos están dentro o fuera de la parábola y arriba o abajo de la recta. A saber, o mejor dicho a ver: Primer cuadrante, cuatro regiones.

X Segundo, tres regiones. Tercero, cuatro y Cuarto, dos.

151

Ejercicio 1. Describe las características de cada una de las regiones en cada uno de los cuadrantes e ilumínalas en diferente color.

Ejemplo: a) Dentro de la parábola, arriba de la recta y con x y y positivas. b) Dentro de la parábola, abajo de la recta y con x y y positivas. Continúa tú. Con otras disposiciones de recta y parábola, se tendrán dibujos con otras distribuciones de regiones.

Ejercicio 2. Dibuja en el plano cartesiano con una recta y una parábola, que tengan una disposición como la del ejemplo:

a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores, b) una distribución que presente el número mínimo de regiones y c) una distribución que presente el número máximo de regiones. Hagamos un descanso en el camino y reflexionemos sobre los dibujos presentados. Lo que nos interesa de haber llevado este dibujo al plano cartesiano es saber en qué punto o puntos se intersectan la recta y la parábola. Más adelante, nos dedicaremos a los intervalos de las regiones del dibujo. Ejemplo 1. Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección entre la recta x – y = 1 y la parábola x2 + 2x – 4y = 19.

Despejamos

x=y+1;

(y + 1)2 + 2(y + 1) – 4y =

y2 + 2y + 1 + 2y + 2 – 4y =

y2 + 4y – 4y + 3 =

y2 =

19 – 3 = 16

y =

± 4 , sustituyendo

x =

4+1=5 y

x =

–4 + 1 = –3

La recta y la parábola se intersectan en

(5, 4) y (–3 , –4)

–

Este es el dibujo de la recta y la parábola. Las regiones, como te podrás dar cuenta, se describirían de manera laboriosa.

152

Ejemplo 4. Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección, si los hay, entre las siguientes dos parábolas: x2 – 4x – 4y = 8, x2 + 6x + y + 2 = 0.

y = – x2 – 6x – 2 ;

Despejamos

x2 – 4x – 4(– x2 – 6x – 2) =

x2 – 4x + 4x2 + 24x + 8 =

5x2 + 20x =

5x (x + 4) =

Este es nuestro dibujo

5x = 0 ó x=0 ,

x+4=0 x = –4

Apliquemos ambos valores en una de las parábolas para obtener los valores correspondientes a las y’s,

(0)2 – 4(0) – 4y = 8

(–4)2 – 4(–4) – 4y = 8

– 4y = 8

16 + 16 – 4y = 8

y = –2

32 – 4y = 8 – 4y = 8 – 32 – 4y = – 24 y=6

Las parábolas se intersectan en los puntos (0, –2) y (–4, 6)

Ejercicio 3. Dibuja en el plano cartesiano dos parábolas y define:

a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores, b) una distribución que presente el número mínimo de regiones, c) una distribución que presente el número máximo de regiones y d) las diferentes regiones en que dividen el plano.

153

Ejemplo 1 de parábolas.

a) dentro de ambas parábolas. b) dentro de la parábola azul y fuera de la parábola naranja. c) fuera de ambas parábolas. d) …

Y Ejemplo 2 de parábolas (sobre el plano).

a) fuera de la parábola azul, dentro de la parábola naranja, con x positiva y y negativa.

b) fuera de la parábola naranja, dentro de la parábola azul, con x positiva y y negativa. c) …

154

Ejemplo 5. Encontrar los puntos de intersección entre la recta x – 2y + 40 = 0 y la circunferencia x2 + y2 + 8x – 6y = 200.

Despejamos

(2y – 40)2 + y2 + 8(2y – 40) – 6y =

200

4y2 – 160y + 1600 + y2 + 16y – 320 – 6y =

200

4y2 + y2 – 160y – 6y + 16y + 1600 – 320 =

200

5y2 – 150y + 1280 =

200

x = 2y – 40 ;

5y2 – 150y =

200 – 1280

5y2 – 150y =

– 1080

y2 – 30y = y2 – 30y + 225 = (y – 15)2 =

y – 15 =

y =

– 216 – 216 + 225 9 ±3 ± 3 +15

y1 =

3 + 15

y2 =

–3 + 15

y1 =

y2 =

x1 =

2y1 – 40

x2 =

2y2 – 40

x1 =

2(18) – 40

x2 =

2(12) – 40

x1 =

36 – 40

x2 =

24 – 40

x1 =

–4

x2 =

– 16

La escala de nuestro dibujo es 2x1.

Los puntos de intersección tienen coordenadas: P1(–4, 18) y P2(–16, 12)

Ejercicio 4) Encuentra los elementos de la circunferencia del ejemplo 5.

155

Ejemplo 6. Encuentra los puntos de intersección de la circunferencia cuyos elementos son: C1(4, 6) y r1 = 5 con la circunferencia de elementos C2(–1, –4) y r2 = 10.

Desarrollamos la ecuación canónica de cada una de las circunferencias, (x – 4)2 + (y – 6)2 =

(x + 1)2 + (y + 4)2 =

102

x2 – 8x + 16 + y2 – 12y + 36 =

x2 + 2x + 1 + y2 + 8y + 16 =

100

x2 + y2 – 8x – 12y =

x2 + y2 + 2x + 8y =

– 27

restamos la primera a la segunda,

10x + 20y =

esta ecuación es una recta

x + 2y =

110

dividimos entre 10,

despejamos;

x =

11 – 2y

Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones generales, (11 – 2y)2 + y2 + 2(11 – 2y) + 8y =

121 – 44y + 4y2 + y2 + 22 – 4y + 8y =

5y2 – 40y + 143 =

5y2 – 40y =

– 60

dividimos entre 5,

y2 – 8y =

– 12

completamos el cuadrado,

y2 – 8y + 16 = (y – 4)2 =

– 12 + 16 4

y–4 =

±2

y–4 =

±2

y tenemos

x1 =

11 – 2(y1)

= 11 – 2(y2)

x1 =

11 – 2(6)

= 11 – 2(2)

x1 =

11 – 12 = – 1

= 11 – 4 = 7

y1 =

2+4=6 y

y2 =

–2+4=2

Los puntos en que se intersectan estas circunferencias son: P1(–1, 6) y P2(7, 2).

156

Los dibujos que se generan durante el desarrollo del ejercicio son los siguientes: Las regiones en azul tenue nos dan la idea de la localizaciรณn de los puntos de intersecciรณn.

Esta es la recta que se genera al realizar la resta entre las ecuaciones generales.

Trazamos los dos dibujos anteriores en el mismo plano.

Finalmente, marcamos los puntos de intersecciรณn.

157

Ejercicios

1. Define las regiones de este dibujo. 2. Dibuja en el plano cartesiano dos circunferencias y define: a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores, b) una distribución que presente el número mínimo de regiones, c) una distribución que presente el número máximo de regiones y d) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

2. Encuentra los puntos de intersección de las siguientes circunferencias: a) C1 (8, –2) y r1 = 5 y C2 (14, 1) y r2 = 10. b) C1 (12, 2) y r1 = 10 y C2 (22, 7) y r2 = 5. b) x2 + y2 + 2x – 4y = 20; x2 + y2 – 10y = 0. c) x2 + y2 + 4x + 14y = 47; x2 + y2 – 16x + 4y + 43 = 0. d) x2 + y2 – 10x – 6y = 15; x2 + y2 – 10x – 6y = – 18. * Se te sugiere hacer dibujos conforme vas desarrollando los ejercicios.

Ejemplo 6. Encuentra los puntos de intersección de la circunferencia cuyos elementos son: C (9, 1) y r2 = 74 con la elipse de elementos C(9, 1), a = 10 y b = 7 y con eje mayor paralelo al eje X.

Desarrollando la ecuación canónica de cada una de estas secciones cónicas, obtenemos: Circunferencia x2 + y2 – 18x – 2y =

Elipse 49x2 + 100y2 – 882x– 200y =

–8

158

831

Nos damos cuenta que el cálculo de las coordenadas de los puntos de intersección es un proceso laborioso, de manera que por el momento sólo vamos a dibujar estas secciones cónicas lo más aproximado que podamos. Aquí el dibujo: En la elipse,

a = 10, b = 7; c2 = a2 – b2 B1(9, 8)

c2 = 102 – 72 c2 = 100 – 49 = 51 c = 7.1 Focos: F1 = (9 – c, 1), F2 = (9 + c, 1)

V2(19, 1)

V1(-1, 1)

F1(1.9, 1)

C (9, 1)

F2(16.1, 1)

F1 = (9 – 7.1, 1), F2 = (9 + 7.1, 1) F1 = (1.9, 1), F2 = (16.1, 1). B2(9, -6)

Vértices: V1 = (9 – a, 1), V2 = (9 + a, 1) V1 = (9 – 10, 1), V2 = (9 + 10, 1) V1 = (–1, 1), V2 = (19, 1). extremos del eje menor:

En la circunferencia,

B1 = (9, 1 – b) , B2 = (9, 1 + b)

el mismo centro (9, 1) y el radio, raiz de 74;

B1 = (9, 1 – 7) , B2 = (9, 1 + 7)

r2 = 74 , r = 8.4

B1 = (9, 1 – 6) , B2 = (9, 8).

P1(2, 6)

P2(16, 6)

Este es el dibujo del ejemplo: Y de acuerdo al dibujo, hemos escrito las coordenadas de los puntos en que se intersectan la circunferencia y la elipse.

Averigüemos si en verdad estos puntos pertenecen a ambas secciones cónicas.

P4(2, -4)

159

P3(16, -4)

Sustituyamos las coordenadas de alguno de ellos en ambas ecuaciones generales:

Circunferencia x2 + y2 – 18x – 2y =

Elipse 49x2 + 100y2 – 882x– 200y =

–8

831

Tomemos P1(2, 6) (2)2 + (6)2 – 18(2) – 2(6) =

¿– 8?

49(2)2 + 100(6)2 – 882(2) – 200(6) =

¿831?

4 + 36 – 36 – 12 =

¿– 8?

49(4) + 100(36) – 1764 – 1200 =

¿831?

196 + 3600 – 2964 =

¿831?

3796 – 2964 =

¿831?

832 =

¿831?

40 – 48 =

–8

Si es un punto de la circunferencia.

Tenemos una buena aproximación con el dibujo.

Hagámoslo ahora en las ecuaciones canónicas de cada una de estas secciones cónicas.

(2 – 9)2 + (6 – 1)2 =

¿74?

(2 – 9)2 102

(– 7)2 + (5)2 =

¿74?

(– 7)2 100

(5)2 49

¿1?

49 100

25 49

¿1?

49 + 25 =

Sí está en la circunferencia.

(6 – 1)2 = 72

¿1?

Tenemos aquí también una buena aproximación. Poco menos de un medio + poco más de un medio

160

Ejercicios

1. Define las regiones de este dibujo. 2. Dibuja en el plano cartesiano una circunferencia y una elipse y define: a) distribuciones diferentes a la expuesta en los dibujos anteriores, b) una distribución que presente el número mínimo de regiones, c) una distribución que presente el número máximo de regiones y d) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

3. Define las regiones de este dibujo. 4. Dibuja en el plano cartesiano una elipse y una hipérbola y define: a) distribuciones diferentes a la expuesta en este dibujo, b) una distribución que presente el número mínimo de regiones, c) una distribución que presente el número máximo de regiones y d) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

5. Dibuja en el plano cartesiano una elipse y una recta y define: a) una distribución que presente el número mínimo de regiones, b) una distribución que presente el número máximo de regiones y c) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

6. Dibuja en el plano cartesiano una circunferencia y una hipérbola y define: a) una distribución que presente el número mínimo de regiones, b) una distribución que presente el número máximo de regiones y c) dibujadas en el plano cartesiano, las diferentes regiones en que se dividen.

161

Matemáticas 3

1) a2 – ab = = a(a – . . . ) 2) (a + b)2 = = (a + b)( . . . ) =

3: Productos Notables 3. 1: Factorización y completez de productos notables

3) a2 – b2 = = (a + b)( . . . ) =

Objetivo El estudiante aprenderá a factorizar, cuando sea posible, un trinomio en dos binomios y a proponer, en su caso, el término que haga falta en un binomio para completar un trinomio cuadrado perfecto y factorizarlo en un binomio al cuadrado o en dos binomios.

2 1

5 6

Presentación Un trinomio, es la suma de tres monomios. Ejemplos: a)

2a + b – 3c trinomio de grado 1 (uno)

5xy + 2yz + zx trinomio de grado 2 (dos)

–8x2 + 3x – 7 trinomio de grado 2 (dos)

4a3 – 3a2b + b2 trinomio de grado 3 (tres)

p4 + 7p2q + 12q2 trinomio de grado 4 (cuatro)

7mn – 3n2 + m2 trinomio de grado 2 (dos)

162

Dado un trinomio, ¿cómo encontramos sus factores binomiales y los términos en ellos? Ejemplo 1. Dado el trinomio a2 + 2a + 1, encontrar sus factores binomiales. Desarrollemos el cuadrado del binomio (x + y): (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(1) (2) (3)

x2 = a2 2xy = 2a y2 = 1

, comparemos cada término de este trinomio con los términos del que se nos dio. , extraemos raíz en ambos términos, x = a; sustituimos en (2) , 2(a)y = 2a, dividimos ambos términos entre 2a, y = 1, , extraemos raíz en ambos términos, y = 1.

Y la factorización del trinomio es así: a2 + 2a + 1 = (a + 1) (a + 1) = (a + 1)2.

x2 xy

Una interpretación geométrica de la comparación de los trinomios es ésta:

Ejemplo 2. Encontrar los factores binomiales del trinomio 4p2 + 4pq + q2. Haciendo la comparación análoga a la anterior, tenemos: x2 (1) (2) 2xy (3) y2

= 4p2 = 4pq = q2

, extraemos raíz, x = 2p; sustituimos en (2) , 2(2p)y = 4pq, dividimos entre 4p, y = q, , extraemos raíz, y = q. ¡Atención! En los ejemplos 1 y 2, fue suficiente la comparación del segundo término (2) para encontrar la equivalencia de los terceros términos (3).

Y el trinomio se factoriza así: 4p2 + 4pq + q2 = (2p + q) (2p + q) = (2p + q)2.

163

4p 2

2p q

Una interpretación geométrica es la siguiente:

Ejemplo 3. Encontrar los factores binomiales del trinomio 9m2 + 24mn + 16n2. Comparamos: (1) (2) (3)

x2 2xy y2

= 9m2 = 24mn = 16n2

, extraemos raíz, x = 3m; sustituimos en (2) , 2(3m)y = 24mn, dividimos entre 6m, y = 4n, , extraemos raíz, y = 4n.

Factorizamos: 9m2 + 24mn + 16n2 = (3m + 4n) (3m + 4n) = (3m + 4n)2. Ejercicio. Dibuja una interpretación geométrica del ejemplo 3. Ejemplo 4. Encontrar los factores binomiales del trinomio b2 + 6b + ¡Nos hace falta un término!, pues

no es un monomio. Mmm…

De cualquier manera intentémoslo. ¿Serán suficientes las herramientas que tenemos? Apliquémoslas y veamos lo que resulta. Comparemos: (1) (2) (3)

x2 = b2 2xy = 6b y2 =

, extraemos raíz, x = b; sustituimos en (2) , 2(b)y = 6b, dividimos entre 2b, y = 3, , de (2), y2 = 9; que al extraer raíz nos da y = 3. De manera que

= 9 y al extraer raíz tenemos,

Esto se cumple, ya que

Factorizamos:

b2 + 6b +

= (b +

) (b +

) =

= (b + 3) (b + 3) = (b +

164

)2 = (b + 3)2.

= 3.

¿Cómo sería la interpretación geométrica de este acertijo (bueno lo habíamos llamado Ejemplo 4)?

Así:

Ejemplo 5. Encontrar los factores binomiales del trinomio 4c2 + 16cd + Ya sabemos que sí se puede pero ¿de veras será un trinomio? Comencemos. (1) (2) (3)

x2 = 4c2 2xy = 16cd y2 =

, extraemos raíz, x = 2c; sustituimos en (2) , 2(2c)y = 16cd, dividimos entre 4c, y = 4d, , de (2), y2 = 16d2; que al extraer raíz nos da y = 4d. = 16d2, al extraer raíz,

Y sí Ya que

Factorizamos: 4c2 + 16cd +

= (2c +

= 4d.

) (2c +

) = )2 = (2c + 4d)2 .

= (2c + 4d) (2c + 4d) = = (2c +

4c 2

8c d

4c 2

8c d

16 d2

8c d

Una interpretación geométrica sería ésta:

165

Ejemplo 6. Encontrar los factores binomiales del trinomio 9w2 +

+ 25z2.

Otra vez falta un término. Mmm… ¿lo intentamos? ¡Vamos!

, de (1) y (2) tenemos 2(3w)(5z) = 30wz,

) (2c +

) =

= (2c + 4d)(2c + 4d) = (2c +

9w 2

Y una interpretación geométrica es:

)2 = (2c + 4d)2.

+ 25z2 = (2c +

= 15wz.

Ejemplo 7. Encontrar los factores binomiales del trinomio a2 –

Factorizamos: 9w2 +

= 30wz, al dividir entre 2,

Y sí

15 w

2xy =

, extraemos raíz, x = 3w, , al extraer raíz nos da y = 5z.

(3)

x2 = 9w2 y2 = 25z2

9w 2

(1) (2)

+ 9 b2.

Sabemos que sí se puede pero ¡cuidado! con el signo del segundo término. (1)

x2 = a2

, extraemos raíz, x = a,

(2)

y2 = 9b2

, al extraer raíz y = 3b.

(3)

2xy = –

, de (1) y (2) tenemos 2(a)(3b) = 6ab, ¿y el signo?, tomando en cuenta el signo 2xy = –6ab, lo que nos dice que: x = –a ó y = –3b. Desarrollemos ambos binomios, (a – 3b)2 y (–a + 3b)2 (a – 3b)2 = a2 – 6ab + 9b2 Y sí –

;

= –6ab, al dividir entre 2, –

166

(–a + 3b)2 = a2 – 6ab + 9b2 = –3ab.

La interpretación geométrica de la diferencia de un binomio al cuadrado es laboriosa. Aquí exponemos una forma de este desarrollo:

Dibujamos el cuadrado del primer término.

Trazamos en él, dos rectas paralelas a dos lados, que sean perpendiculares entre sí, cuya distancia a esos lados sea el valor de la longitud del segundo término.

a 3b

3ab -

a 3b

3ab -

Quitando la superficie 3ab de a2 por uno de los lados (por el lado de la base); a2 – 3ab

Y quitando la superficie 3ab de a2 por el otro de los lados (lado de la altura); a2 – 3ab

167

-3 ab

-3

a2 -3 ab

Si levantamos una de las superficies 3ab, la porción que se sale del cuadrado original (a2) equivale a la de intersección de las superficies 3ab. Entonces añadamos a la superficie original (a2) el equivalente a esa intersección.

Resulta que estamos quitando dos veces una porción comprendida en las superficies 3ab (la intersección en la esquina inferior derecha de este dibujo). Comparemos el quitar dos veces con hacer dos veces negativo un número.

¿Cuál es la extensión de la superficie de la intersección?

Como sus lados tienen la medida del segundo término, la superficie que se añade es 9b2.

168

Ejemplo 8. Encontrar los factores binomiales del trinomio 4g2 –

+ 49h2.

¡Cuidado con el signo del segundo término! (1) (2) (3)

x2 = 4g2 y2 = 49h2

, extraemos raíz, x = 2g, , al extraer raíz y = 7h.

2xy = –

, de (1) y (2) tenemos 2(2g)(7h) = 28gh, con el signo –28gh Entonces, los posibles binomios son: (2g – 7h)2 ó (7h – 2g)2

Y (como todos ¿sabemos? sí –

= 28gh, al dividir entre 2, –

= 14gh.

14gh

Como la interpretación geométrica es similar a la anterior, la presentamos en versión corta:

Hasta este último ejemplo, se ha considerado sólo la raíz positiva al radicalizar cualquier expresión, en los ejemplos siguientes haremos algunas consideraciones sobre ellas.

Ejemplo 9. Encontrar los factores binomiales de esta diferencia de cuadrados x2 – y2. (1)

(2)

–y2

, extraemos raíz, x, , extraemos raíz

–y2

. A esta expresión no podemos extraerle raíz

cuadrada, pero a y2 , sí. Hagámoslo y después analizaremos el signo. (2’)

, extraemos raíz, y. ¿Por qué el signo?

Si construimos los factores binomiales con las raíces que hemos obtenido tenemos que: (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2. Factorización cuyo desarrollo es diferente al que se pide en el ejemplo.

169

Entonces analicemos el signo. El cuadrado de todo número natural, entero o racional, es siempre positivo. Número • Natural • Entero • Racional Su cuadrado:

–4

3/2

–7/x

–cd

w/9

(5)2

(–4)2

(a)2

(3/2)2

(–7/x)2

(–cd)2

(w/9)2

9/4

49/x2

c2d2

w2/81

El producto de todo número entero o racional por su inverso aditivo, es siempre negativo e igual en valor absoluto al de sus cuadrados. Número • Natural • Entero • Racional

Su inverso aditivo:

–4

3/2

–7/x

–cd

w/9

–5

–a

–3/2

7/x

–w/9

(5)(–5)

(–4)(4)

(a)(–a)

(3/2)(– 3/2)

(–7/x)(7/x)

(–cd)(cd)

(w/9)(–w/9)

–25

–16

–a2

–9/4

–49/x2

–c2d2

–w2/81

Su producto:

Volviendo a nuestro ejemplo, la construcción de los factores binomiales se hará considerando, para el segundo término de cada binomio, lo siguiente:

los inversos aditivos o bien, las dos raíces

(x + y) (x – y) = x2 – xy + xy – y2 = x2 – y2 , y2

y –y

A estos binomios se les llama conjugados.

Se dice que dos binomios son binomios conjugados, si el primer término de ambos es igual y el segundo de cada uno de ellos sólo difiere en el signo.

170

La diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados, esto es:

x2 – y2 = (x + y) (x – y).

Una interpretación geométrica del producto de binomios conjugados es la siguiente:

Dibujamos el cuadrado del primer término.

Aumentamos a ese cuadrado, por uno de sus lados, y en toda su longitud, la longitud del segundo término.

a a-b

b b

a-b

Trazamos una paralela al lado más largo de la nueva figura, cuya distancia a ese lado sea el valor de la longitud del segundo término.

Recortamos sobre la última recta trazada.

171

a-b

Recortamos las figuras de diferente color; una representa a(a – b) y la otra b(a – b). Reacomodamos la figura b(a – b) rotándola 90° en el extremo superior y colindante con la figura restante.

Esto es lo que nos queda después del recorte.

a2 b b

-b2

Estamos devolviendo parte de la figura original (el cuadrado).

De manera que lo que le sustrajimos al cuadrado original es el equivalente a una superficie igual al cuadrado del segundo término.

Ejemplo 10. Encontrar los factores binomiales de esta diferencia de cuadrados 25g2 – 4h2. (1)

25g2

, extraemos raíz, 5g,

(2)

–4h2

, extraemos “las raíces”

los binomios conjugados son:

4h2

= 2h = – 2h, con estas raíces

(5g + 2h) (5g – 2h); (5g + 2h) (5g – 2h) = 25g2 – 10gh + 10gh – 4h2 = 25g2 – 4h2.

172

Con este ejemplo, ofrecemos la versión corta:

5g – 2h

5g 5g

Medimos y trazamos,

cortamos,

-4h2

rearmamos y

25g2

calculamos.

Ejemplo 11. Encontrar los factores binomiales del trinomio m2 + 5m + 6. (1) (2)

x2 = m 2 2xy = 5m

(3)

y2 = 6

, extraemos raíz, x = m; sustituimos en (2) , 2(m)y = 5m, dividimos entre 2m, y = 5/2, , extraemos raíz, y =

. No es un número racional.

Con estos resultados, sabemos que el trinomio no se factoriza en un binomio al cuadrado ni en binomios conjugados; para estos últimos necesitamos un binomio, ¿entonces qué es esto? Recordemos cómo es el desarrollo de un binomio al cuadrado; utilizaremos m como primer término y como segundos términos a1,2, (haciendo una distinción entre ellos): (m + a)2 = (m + a1)(m + a2) = m(m + a2) + a1(m + a2) = = m2 + ma2 + a1m + a1a2 = m2 + m(a1 + a2) + a1a2 .

173

Comparemos los términos del ejemplo con los del desarrollo que hicimos:

m2 5m = m(a1 + a2) 6 = a1a2

(1) (2) (3)

, este término lo tratamos igual que en los anteriores ejemplos, las ecuaciones (2) y (3) nos dicen que para los segundos términos de los factores binomiales, necesitamos dos números que sumados entre sí, den como resultado 5 [(a1 + a2) = 5] y multiplicados entre sí, den 6 [(a1a2) = 6]. Que el producto a1a2 > 0, quiere decir que ambos tienen el mismo signo; o sea, ambos positivos o ambos negativos.

Busquemos parejas de números enteros que cumplan con estas condiciones; las que debemos considerar en primera instancia son aquellas cuyo producto es 6. Parejas

Producto: a1a2

Suma: a1+ a2

Resultado

1, –1 , 2, –2 ,

1 x 6 (–1) x (–6) 2 x 3 (–2) x (–3)

1 + 6 = 7 (–1) + (–6) = –7 2 + 3 = 5 (–2) + (–3) = –5

X X X

6 –6 3 –3

= = = =

6 6 6 6

Son todas; tenemos ganadora y tenemos que el trinomio se factoriza en estos binomios:

(m + 2) (m + 3); (m + 2) (m + 3) = m2 + 3m + 2m + 6 = m2 + 5m + 6.

¿Tendrá este trinomio o su factorización en binomios una interpretación geométrica? Desde luego, aquí ofrecemos una.

174

? m

La respuesta

m ?

+ 2

La búsqueda

Ejemplo 12. Encontrar los factores binomiales del trinomio w2 + 3w – 18. Como 18 no es el cuadrado de un número racional, procederemos de modo similar al del ejemplo anterior: (w + p)(w – q) = w2 – wq + wp – pq = w2 + w(p – q) – pq. Y tenemos: w2 3w = w(p – q) –18 = –pq

(1) (2) (3)

, lo tratamos como en los anteriores ejemplos, necesitamos para los segundos términos de los factores binomiales dos números que sumados entre sí, den como resultado 3 [(p – q) = 3] y multiplicados entre sí, den –18 [(–pq) = –18]. Si el producto – pq < 0, entonces tienen diferente signo.

Busquemos parejas de números enteros cuyo producto sea – 18 y sumen 3. Parejas

Producto: –pq

Suma: p – q

Resultado

1 , –18 –1 , 18 2 , –9 –2 , 9 3 , –6 –3 , 6

1 x (–18) = –18 (–1) x 18 = –18 2 x (–18) = –18 (–2) x 18 = –18 3 x (–18) = –18 (–3) x 18 = –18

1 – 18 –1 + 18 2– 9 –2 + 9 3– 6 –3 + 6

X X X X X

= = = = = =

–17 17 –7 7 –3 3

Son todas; tenemos ganadora y tenemos que el trinomio se factoriza en

Esta es una interpretación geométrica del desarrollo de la factorización del trinomio.

-w

w - q

(w + 6) (w – 3); (w + 6) (w – 3) = w2 – 3w + 6w – 18 = w2 + 3w –18.

-1

Medimos y trazamos, 6w

estos binomios:

cortamos,

175

8 -1

-3

rearmamos y calculamos.

-1

w -3

Ejemplo 13. Encontrar los factores binomiales del trinomio “natural” 3p2 + 14p + 8. Como ni 3 ni 8 tienen raíces racionales, vamos a desarrollar el producto de los siguientes binomios: (ax + by), (cx + dy). ax cx

+ by + dy

acx2 + cbxy adxy + bdy2

cb ad

acx2 + (cb + ad) xy + bdy2

;

(cb + ad)

productos cruzados

suma de productos cruzados.

Compararemos ahora con el trinomio del ejemplo: (1)

acx2 = (ad + bc)xy =

3p2 14p

, pero 3 no tiene raíces racionales y

(2) bdy2 =

8 tampoco tiene raíces racionales.

(3)

Busquemos parejas de números cuyos productos sean 3 y 8 respectivamente; como ambos productos son positivos, los números que compongan tales productos de parejas también lo serán. Parejas (a, c) 1, –1 ,

Producto: ac = 3 3 –3

1 x 3 = 3 (–1) x (–3) = 3

176

Parejas (b, d)

1, –1 , 2, –2 ,

Producto: bd = 8

8 –8 4 –4

1 x 8 = 8 (–1) x (–8) = 8 2 x 4 = 8 (–2) x (–4) = 8 Suma de productos cruzados: ad + cb

Resultado

(1x8) + (3x1) = 8 + 3 = 11 (1x2) + (3x4) = 2 + 12 = 14

ad = 1x2 La factorización es: (ap + b) (cp + d),

Sustituyendo: (1p + 4) (3p + 2).

bc = 4x3

El trinomio se factoriza en los binomios: (p + 4) y (3p + 2); (p + 4) (3p + 2) = 3p2 + 2p + 12p + 8 = 3p2 + 14p + 8.

Esta es una interpretación geométrica del trinomio:

ax 2

acx + (cb + ad) xy + bdy

y2 bd

12 8

3p 2p

Y esta, la del trinomio del ejercicio: 3p2 + 14p + 8.

177

Ejemplo 14. Encontrar los factores binomiales del trinomio “natural” 6z2 + 27z – 15. Busquemos parejas cuyos productos sean 6 y –15, respectivamente. Para 6 de igual signo, y para – 15 de signo alternados. Parejas (a, c) 1, –1 , 2, –2 ,

Producto: ac = 6

6 –6 3 –3

1 x 6 = 6 (–1) x (–6) = 6 2 x 3 = 6 (–2) x (–3) = 6

Parejas (b, d)

Producto: bd = –15

1, –1 , 3, –3 ,

-15 15 –5 5

1 x (–15) (–1) x 15 3 x (–5) (–3) x 15

= = = =

–15 –15 –15 –15 Suma de productos cruzados: ad + cb

Resultado

(1x(–15)) + (6x1) = –15 + 6 = –9 (2x(–15)) + (3x1) = –30 + 3 = –27 (2x15) + (3x(–1)) = 30 – 3 = 27

X X

ad = 2x(–15) La factorización es: (az + b) (cz + d),

Sustituyendo: (2z – 1) (3z + 15).

bc = 1x3 El trinomio se factoriza en los binomios: (2z – 1) y (3z + 15); (2z – 1) (3z + 15) = 6z2 + 30z – 3z – 15 = 6z2 + 27z – 15. 2z

30 -1

z 30

178

z -3

+ 3z

Una interpretación geométrica del desarrollo del trinomio es ésta (versión corta):

-1

Hagamos un cuadro sinóptico con las diferentes formas de factorizar un trinomio: Signos de los coeficientes de los términos del trinomio

ax2

bxy

cy2

Primero

Segundo

Tercero

Factorización

Trinomios cuadrados perfectos +

( gx + hy ) ( gx + hy )

( px + qy )2

–

(– gx – hy ) (– gx – hy )

( px + qy )2

Trinomios con un término al cuadrado +

( gx + ky ) ( gx + my )

–

( gx + py ) ( gx – qy )

–

( gx + py ) ( gx – sy )

–

( gx + uy ) ( gx – uy )

Trinomios “comunes” +

( gx + hy ) ( kx + my )

–

( gx + hy ) ( kx – my )

–

( gx + hy ) ( kx – my )

179

Ejercicios 1. Compara y anota en un cuadro sinóptico, los términos de los 14 ejemplos resueltos en el desarrollo del tema. Factoriza las siguientes expresiones; trinomios y diferencias de cuadrados: 2.

a2 + 6a + 9

b2 – 8b + 16

4d2 + 12d + 9

h2 + 4b + 4

g2 + 7gk + 6k2

9p2 – 30p + 25

x2 – x – 12

q2 – 10q + 16

10.

y2 – 18y + 81

11.

z2 – 7zw + 12w2

12.

c2 – 12c + 32

13.

k2 + 2k – 15

14.

m2 + 8m + 12

15.

s2 + s – 12

16.

2w2 + w – 3

17.

3v2 – v – 4

18.

2b2 + 9v + 10

19.

8a2 – 2a – 3

20.

4a2 + 28a + 49

21.

64p2 – 167pq + 1q2

22.

c2 – 4

23.

b2 – 16c2

24.

25u2 – 36w2

25.

121w2 – 169x2

26.

225z2 – 1

27.

x4 – y4

180

Matemáticas 3

4: Secciones Cónicas 4. 1: Definición, construcción y ecuaciones canónica y general (circunferencia y parábola)

Objetivo El estudiante sabrá por qué a las figuras a estudiar en este tema se les llama secciones cónicas. Aprenderá cuáles son sus características, definición, elementos, deducción y como construirlas.

P C

P r

F d

Presentación Se llama sección cónica al lugar geométrico descrito por un punto que se mueve en el plano de tal manera que la razón de su distancia a un punto fijo, llamado foco, entre su distancia a una recta dada fija, llamada directriz, es siempre igual a una constante positiva. La razón de estas distancias se llama excentricidad de la cónica. A las figuras geométricas como la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola se les llama secciones cónicas porque se extraen de cortes, en diferentes inclinaciones, a un par de conos circulares encontrados por sus vértices y que tienen el mismo eje. Comenzaremos por construir la estructura de los dos conos circulares.

181

Conos encontrados sobre su eje Si ahora atravesamos estos conos con hojas cuya inclinación sea perpendicular al eje de los conos, ¿qué figuras obtenemos?

Imagínate viéndolos desde el eje.

¡Circunferencias! Desde luego, circunferencias concéntricas en donde el eje, al que vemos sólo como un punto, es el centro de ellas.

¿Cómo se define la Circunferencia?

Circunferencia. Es el lugar geométrico de los puntos que guardan la misma distancia a un punto fijo en el mismo plano. Al punto fijo se le llama centro de la circunferencia y a la distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se le llama radio de la circunferencia.

182

La circunferencia posee puntos y líneas de importancia para su cálculo y dibujo, mencionamos e ilustramos algunos de ellos: C es el centro de la circunferencia. El trazo con línea verde, es la circunferencia.

La distancia de C a cualquier punto P de la circunferencia es el radio de la circunferencia.

r S2

El segmento comprendido entre los puntos D1 y D2 y que atraviesa el centro, es el diámetro. La línea que toca en un solo punto a la circunferencia, continuándose en cualquiera de sus dos direcciones, es la tangente y el punto de contacto es el punto T de tangencia. La línea que corta a la circunferencia en dos puntos sin atravesar por el centro es una secante. El segmento de una secante comprendido dentro de la circunferencia S1S2 es una cuerda y la sección de circunferencia comprendida entre S1 y S2 es un arco. Comúnmente se considera como arco la sección de circunferencia más corta comprendida entre los puntos S1 y S2.

Si esto lo consideramos en el plano cartesiano y asentamos el centro de la circunferencia en el origen, lo que obtenemos es lo siguiente:

P (x, y)

d (P, O) = r

0 x2 + y2

elevando al cuadrado ambos términos, x2 + y2 = r2

183

Ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen. Cuando la circunferencia tiene centro fuera del origen, ésta es la ecuación:

d (P, C) = r (x – h)2 + (y – k)2

P (x, y)

elevando al cuadrado,

C (h, k) (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Ecuación canónica de la circunferencia. ¿Cómo se dibuja una circunferencia en una hoja de papel? Implementos: hoja de papel, lápiz, cordel y compás. Proceso: 1.a. Toma la hoja de papel, de preferencia sin rayas para que sea mejor la apreciación, 2.a. Sobre la hoja marca, más o menos centrado, un punto haciendo una pequeña cruz, 3.a. Ata el lápiz con el cordel y deslizando el cordel entre los dedos una porción adecuada, apoya los dedos sobre el punto marcado en la hoja, 4.a.Toma el lápiz, estira el cordel y dibuja la circunferencia en derredor de los dedos que permanecen fijos y … 5.a. Haz dibujado una circunferencia. O bien, con los mismos implementos: 1. b. Igual que 1.a, 2. b. Igual que 2.a, 3. b. Separa los brazos del compás en una abertura adecuada, apoya la aguja sobre el punto marcado en la hoja. 4. b. Haz girar el compás apoyando el extremo de la tiza y dibuja la circunferencia en derredor del punto fijo. 5. b. Haz dibujado una circunferencia.

184

¿Cómo se dibuja una circunferencia en un plano cartesiano?

Las mismas consideraciones que para dibujarla sobre una hoja de papel, pero asentando la aguja del compás en las coordenadas que se nos dan como el centro. Separa los brazos del compás la longitud que se te da como el radio y finalmente dibuja la circunferencia.

Este es el resultado de cortar uno de los conos con una sola hoja perpendicular al eje de los dos conos.

Volvamos a la ecuación canónica y desarrollémosla.

(x – h)2 + (y – k)2 = r2 x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 =

x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 =

x2 + y2 + Dx + Ey + F =

, haciendo

Esta es la ecuación general de la circunferencia.

185

– 2h = – 2k = h2 + k 2 – r2 =

D E F

Ejercicios Encontrar la ecuación general de las circunferencias y trazar sus gráficas.

Centro en el origen y radio 4

Centro en el origen r =

r = 7 y centro en el origen

Centro en el origen y pasa por P (3, 4)

Centro en el origen y pasa por P (5, 0)

Su diámetro es P (1, 1), Q (–1,–1)

Pasa por U (2, 1/3) y centro en el origen

r = 4/7 y centro en el origen

Centro C (0, 0) y pasa por V (–5, 5)

10.

Pasa por W (5/2, 8/3) y centro C (0, 0)

11.

Centro en (3, –2) y radio 12

12.

Centro en (–4, –3) y radio 7

13.

Centro en (4, –5) y pasa por el origen

14.

Centro en (5, 2) y tangente al eje X

15.

Centro en (a, b) y radio 6

16.

Radio 3/4 y centro (1, 3)

17.

Los puntos (–1, 1), (7, 7) son diámetro

18.

Centro en (0, 0) y tangente a x = 3

19.

Centro (4, –5) y pasa por (0, –2)

20.

Centro (0, 3) y tangente al eje X

Con otro par de conos, aunque sólo atravesaremos uno a la vez como en la circunferencia, y con hojas cuya inclinación sea paralela a cualquier recta que se desplace sobre las caras con curvatura de ambos conos, ¿qué figuras obtenemos?

Imagínate viendo el corte desde el eje.

186

¡Una Parábola!

Separamos el corte para mejor apreciación.

Parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una recta fija es igual a la distancia a un punto fijo en el mismo plano y fuera de la recta. A la recta fija se le llama directriz y al punto fijo se le llama foco de la parábola. La parábola ostenta puntos y líneas de importancia para su cálculo y dibujo, mencionemos e ilustramos algunos de ellos: F es el foco de la parábola.

La recta R1 es la directriz. La recta R2 que atraviesa el foco y es perpendicular a la directriz, es el eje de la parábola.

F L1

El punto A, es el punto de intersección del eje y la directriz.

L2 V R1 A

El punto V, punto medio del segmento AF, pertenece a la parábola y es el vértice de la parábola. La distancia FV que es igual a la VA (FV = VA), por definición, es la distancia paramétrica (p).

El segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola se llama cuerda; en particular, una cuerda que atraviesa el foco se llama cuerda focal.

187

La cuerda focal L1L2 perpendicular al eje se denomina lado recto de la parábola y es igual a 4p (L1L2 = 4p). Parábola a)

En el plano cartesiano, asentando el vértice de la parábola en el origen y directriz paralela al eje X.

Y P (x, y) F (0, p)

d (P, F) = D (P, R1) x2 + (y – p)2

=y+p

y = -p elevando al cuadrado ambos términos, x2 + y2 – 2yp + p2 = y2 + 2yp + p2 restando en ambos términos y2 y p2, tenemos que es la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen y directriz paralela al eje X.

x2 = 4yp

¿Cómo es el desarrollo si el vértice de la parábola está en el origen y directriz es paralela al eje Y?

Y P (x, y)

Parábola. b) Este sería nuestro esquema y este nuestro desarrollo: d (P, F) = D (P, R1)

X F (p, 0)

x = -p

(x – p)2 + y2

=x+p

elevando al cuadrado x2 – 2xp + p2 + y2 = x2 + 2xp + p2 y2 = 4xp

Esta es la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen y directriz paralela al eje Y.

188

Es común encontrarse con parábolas cuya directriz es paralela a alguno de los ejes coordenados pero su vértice fuera del origen. Entonces “trasladamos” los ejes coordenados de modo que el nuevo origen O’ coincida con V (h, k) y la ecuación de la parábola estará en referencia a los “nuevos” ejes coordenados X’ Y’ y tendrá la forma: Parábola a’) Directriz paralela al eje X. x’2 = 4y’p

Las “nuevas”coordenadas del foco serán: F (h, yf).

La transformación de coordenadas estará dada por

0’

V (h, k)

x = x’ + h , y = y’ + k x’ = x – h , y’ = y – k ; (x – h)2 = 4p (y – k)

Y’

X’ X

y la ecuación toma la forma Ecuación canónica de la parábola con V (h, k) y eje paralelo al eje Y.

Parábola. b’) directriz paralela al eje Y.

Y’

y’2 = 4x’p

Las “nuevas”coordenadas del foco

0’

V (h, k)

F (xf, k)

X’

La transformación de coordenadas es la misma que en el inciso a)

y la ecuación toma la forma (y – k)2 = 4p (x – h)

Ecuación canónica de la parábola con C (h, k) y eje paralelo al eje X.

189

Este es el resultado de cortar uno de los conos con una sola hoja paralela a las caras curvas de los dos conos.

Manteniendo la inclinación de la hoja, paralela a las caras curvas, podría esta hoja “cortar” o hacer contacto con ambos conos. Discútelo en clase o con tus compañeros al trabajar en grupo. Igual que con la circunferencia desarrollemos las ecuaciones canónicas de la parábola. P. a’) Ecuación canónica de la parábola con C (h, k) y eje paralelo al eje X

P. b’) Ecuación canónica de la parábola con C (h, k) y eje paralelo al eje Y

(x – h)2 =

4p (y – k)

(y – k)2 =

4p (x – h)

x2 – 2hx + h2 =

4py – 4pk

y2 – 2ky + k2 =

4px – 4ph

x2 – 2hx – 4py + h2 + 4pk =

y2 – 4px – 2ky + k2 + 4ph =

haciendo

– 2h = – 4p = h2 + 4pk =

D E F

haciendo

– 4p = – 2k = k2 + 4ph =

D E F

x2 + Dx + Ey + F =

y2 + Dx + Ey + F =

Y estas son las ecuaciones generales de la parábola.

190

Aquí tenemos otro cono cortado por una hoja y que nos arroja una parábola.

Ejercicios Hallar la ecuación general de las parábolas, las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y del eje, la longitud del lado recto, según haga falta, y trazar sus gráficas. 1.

Vértice en el origen y directriz y = –3

Vértice (0, 0) y directriz x = –5

Foco (0, 5) y directriz y = –5

Directriz y = 2 y foco (0, –2)

Vértice (0, 0) y foco (4, 0)

Foco (0, 3) y vértice en el origen

Vértice (0, 0) y foco (–6, 0)

Vértice (0, 0) y directriz y = –1

Vértice (0, 0), parámetro 2 y directriz y = –3 11. Vértice (4, 0) directriz y = –2

10.

Directriz x = 7 vértice en el origen

12.

13.

Foco (3, 2) y directriz y = –4

14.

Vértice (6, 2), parámetro 1/2 y directriz paralela al eje X Directriz x = –1 y foco (3, 5)

15.

Vértice (3, 3) y foco (3, 1)

16.

Foco (4, –3) y directriz y = 1

17.

Vértice (a, b) directriz x = 5

18.

Vértice (3, 4) y foco (3, 2)

19.

Vértice (–2, 3), parámetro 2

20.

Directriz = 3 foco (3, 2)

191

Hagamos un resumen de las ecuaciones, canónicas y generales, que hemos desarrollado:

Ecuaciones Canónicas

Ecuaciones Generales

Circunferencia x2 + y2 =

(x – h)2 + (y – k)2 =

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Parábola x2

= 4yp

= 4xp

(x – h)2

= 4p (y – k)

(y – k)2 =

4p (x – h)

192

x2 + Dx + Ey + F

= 0

y2 + Dx + Ey + F

= 0

Matemáticas 3

4: Secciones Cónicas 4. 2: Definición, construcción y ecuaciones canónica y general (elipse e hipérbola)

Objetivo El estudiante sabrá cuál es la definición de la elipse e hipérbola. Aprenderá también cuáles son sus características, elementos, deducción y como construirlas.

F1 F1

C F2

P P

Presentación Como ya sabemos, se le llama sección cónica al lugar geométrico descrito por un punto que se mueve en el plano de tal manera que la razón de su distancia a un punto fijo, llamado foco, entre su distancia a una recta dada fija, llamada directriz, es siempre igual a una constante positiva. La razón de estas distancias se llama excentricidad de la cónica. A las figuras geométricas como la elipse e hipérbola se les llama secciones cónicas porque se extraen de cortes, en diferentes inclinaciones, a un par de conos circulares encontrados por sus vértices y que tienen el mismo eje.

193

Construyamos la estructura de los dos conos circulares. Conos encontrados sobre su eje

Ahora atravesaremos este par de conos con hojas cuya inclinación no sea perpendicular al eje ni paralela al eje o a las caras curvas de los conos, ¿Qué figuras obtenemos?

Imagínate viendo estas hojas desde el eje.

¡Elipses!, desde luego. El eje coincide, los puntos en rojo son los focos de la elipse amarilla y los morados son los focos de la elipse anaranjada.

Focos de la elipse amarilla Eje coincidente

Focos de la elipse anaranjada

194

¿Cómo se define la Elipse? Elipse. Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano es igual a una constante, siempre mayor que la distancia entre los puntos fijos. A los puntos fijos se les llama focos de la elipse. La elipse tiene puntos y líneas de importancia para su cálculo y construcción, aquí mencionamos e ilustramos algunos de ellos: F1 y F2 son los focos de la elipse.

La recta R1 que atraviesa los focos es el eje focal.

B1 El eje focal corta a la elipse en los puntos V1 y V2 llamados vértices. El segmento del eje focal comprendido entre los vértices se llama eje mayor.

L1 b V1 F1

a c

V2 F2

El punto C sobre el eje focal, punto medio entre focos y entre vértices, se llama centro.

La recta R2 que pasa por C y es perpendicular al eje focal es el eje normal. El eje normal corta a la elipse en los puntos B1 y B2 y el segmento comprendido entre ellos se llama eje menor. El segmento comprendido entre cualesquiera dos puntos de la elipse se llama cuerda y si atraviesa alguno de los focos se llama cuerda focal. La cuerda L1L2, perpendicular al eje focal y que atraviesa un foco se llama lado recto. El triángulo que forman los puntos C, F2 y B1 es un triángulo rectángulo y por lo tanto las distancias entre ellos cumplen con el teorema de Pitágoras (a2 = b2 + c2). Si los puntos B1 y B2, extremos del eje menor, pertenecen a la elipse, la suma de sus distancias, cada uno por separado, a los focos es igual a 2a, por el triángulo de Pitágoras formado con los puntos C, F2 y B1 o B2, o los puntos C, F1 y B1 o B2, de la elipse, y tenemos:

195

La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es entonces 2a. La distancia entre los vértices V1 y V2, de la elipse, es también igual a 2a.

Elipse a)

Sobre el plano cartesiano, con centro en el origen y eje mayor el eje X.

P (x, y) d (P, F1) + d (P, F2) = 2a

b de la fórmula para la distancia entre dos puntos

F1(-c, 0) d (P, F1) =

(x + c)2 + y2

d (P, F2) =

(x – c)2 + y2

(x + c)2 + y2

a c

F2(c, 0)

= 2a

restamos el segundo radical en ambos términos (x – c)2 + y2

= 2a –

(x – c)2 + y2

= 4a2 – 4a

(x + c)2 + y2

+ (x + c)2 + y2

x2 – 2cx + c2 + y2

= 4a2 – 4a

(x + c)2 + y2

+ x2 + 2cx + c2 + y2

– 4cx

= 4a2 – 4a

(x + c)2 + y2

= – a2 + a

(x + c)2 + y2

cx + a2

= a

(x + c)2 + y2

, y esta expresión la elevamos al cuadrado

= a2 (x2 + 2cx + c2 + y2)

c2x2 + 2a2cx + a4

= a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a2x2 + a2c2 + a2y2

dividimos entre –4 toda la expresión

elevamos nuevamente al cuadrado

c2x2 + 2a2cx + a4

c2x2 + a4

simplificando

restamos 2a2cx

reacomodando obtenemos

196

a2x2 – c2x2 + a2y2

a4 – a2c2

(a2 – c2)x2 + a2y2

a2 (a2 – c2)

factorizando del triángulo de Pitágoras dentro de la elipse

a2 = b2 + c2 ; b2 = a2 – c2 sustituyendo b2x2 + a2y2 x2 a2

= a2b2 dividiendo entre a2b2

y2 b2

Y esta es la ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje X.

= 1

Elipse b) Ahora con centro en el origen y eje mayor el eje Y.

d (P, F1) + d (P, F2) = 2a

F1(0, c) P (x, y)

C c

d (P, F1) =

x2 + (y – c)2

d (P, F2) =

x2 + (y + c)2

a x2 + (y – c)2

F2(0, -c)

x2 + (y + c)2

= 2a

restamos el segundo radical en ambos términos

x2 + (y – c)2

= 2a –

x2 + (y – c)2

= 4a2 – 4a

x2 + (y + c)2

+ x2 + (y + c)2

x2 + y2 – 2cy + c2

= 4a2 – 4a

x2 + (y + c)2

+ x2 + y2 + 2cy + c2

– 4cy

= 4a2 – 4a

x2 + (y + c)2

= – a2 + a

x2 + (y + c)2

elevamos al cuadrado

simplificando dividimos entre –4 la expresión

cy + a2 elevamos al cuadrado c2y2 + 2a2cy + a4 c2y2 + 2a2cy + a4

= a

x2 + (y + c)2

= a2 (x2 + y2 + 2cy + c2) = a2x2 + a2y2 + 2a2cy + a2c2

197

restamos 2a2cy reacomodando

c2y2 + a4

= a2x2 + a2y2 + a2c2

a2x2 – c2y2 + a2y2

a4 – a2c2

a2x2 + (a – c)2y2

a2 (a2 – c2)

factorizando

a2 = b2 + c2 ; b2 = a2 – c2

del triángulo de Pitágoras a2x2 + b2y2

sustituyendo dividiendo entre a2b2

Elipse a’)

x2 b2

y2 a2

= a2b2 Ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje Y.

= 1

Sobre el plano, con centro fuera del origen y eje mayor paralelo al eje X.

Al igual que con la parábola con vértice fuera del origen, “trasladamos” los ejes coordenados de modo que el nuevo origen O’ coincida con C (h, k) y la ecuación de la elipse estará en referencia a los “nuevos” ejes coordenados X’ Y’.

Y’

0’

C (h,k)

X’ X

La transformación de coordenadas estará dada por x = x’ + h, y = y’ + k x’ = x – h , y’ = y – k

y la ecuación canónica con centro en O’

(x – h)2 a2

x’2 a2

(y – k)2 b2

y’2 b2

= 1

198

toma la forma

Ecuación canónica de la elipse con eje mayor paralelo al eje X.

Elipse b’)

Y’

Sobre el plano, con centro fuera del origen y eje mayor paralelo al eje Y.

La misma transformación de coordenadas que líneas arriba y la ecuación canónica con centro en O’

0’

C (h, k)

X’ X x’2 b2

y’2 a2

= 1

(y – k)2 a2

= 1

toma la forma

F2 (x – h)2 b2

Ecuación canónica de la elipse con eje mayor paralelo al eje Y.

Esta es la imagen de uno de los conos cortado por una hoja en un ángulo que no sea perpendicular al eje ni paralelo al eje o a la cara curva del cono.

Desarrollemos ahora las ecuaciones canónicas de la elipse.

Ecuaciones canónicas de la elipse con: Elipse a’) Centro, C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje X (x – h)2 (y – k)2 + = 1 multiplicamos por a2b2 a2 b2

199

b2(x – h)2 + b2(x2 – 2xh + h2) + b2x2 – 2b2xh + b2h2 +

a2(y – k)2

= a2b2

a2(y2 – 2yk + k2)

= a2b2

a2y2 – 2a2yk + a2k2

= a2b2

b2x2 + a2y2 – 2b2xh – 2a2yk + b2h2 + a2k2 – a2b2 b2 a2 – 2b2h – 2a2k b2h2 + a2k2 – a2b2 haciendo

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F

= 0 = = = = =

A C D E F

= 0

Ecuación general de la elipse.

Elipse b’) Centro, C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje Y (y – k)2 (x – h)2 + = 1 multiplicamos por a2b2 2 2 b a a2(x – h)2 + a2(x2 – 2xh + h2) + a2x2 – 2a2xh + a2h2 +

b2(y – k)2

= a2b2

b2(y2 – 2yk + k2)

= a2b2

b2y2 – 2b2yk + b2k2

= a2b2

a2x2 + b2y2 – 2a2xh – 2b2yk + a2h2 + b2k2 – a2b2 a2 b2 – 2a2h – 2b2k 2 2 2 2 a h + b k – a2b2 haciendo

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F

= 0 = = = = =

= 0

Ecuación general de la elipse.

200

A C D E F

Fíjate que no son las mismas variables que el caso anterior.

El cono cortado en donde las caras de las secciones son dos elipses.

Ejercicios Encontrar la ecuación general de las siguientes elipses, las coordenadas de los vértices, focos, extremos del eje mayor y eje menor, las ecuaciones de los ejes, según haga falta y trazar las gráficas. Los ejercicios con número non, tienen eje mayor sobre o paralelo al eje X, mientras que los números pares lo tienen sobre el eje Y. Los ejercicios 1 a 10, tienen centro en el origen (C = (0, 0)); los ejercicios 11 a 16, centro fuera del origen.

Eje mayor 10 y eje menor 6

Eje mayor 7 y eje menor 2

D(F1,F2) = 30 y eje menor 16

Eje mayor 50 y D(F1,F2) = 48

Eje mayor 14 y eje menor 5

D(F1,F2) = 12 y eje menor 8

D(C, F1) = 8 y eje menor 8

Eje mayor 30 y eje menor 18

D(C, F1) = 8 y D(C, V1) = 12

10.

D(C, V1) = 11 y eje menor 9

11.

C(5, 3), V(7, 3) y extremo del eje menor B(5, 2)

12.

C(5, 4), V(5, –4) y extremo del eje menor B(2, 4)

13.

F( –7, 5), V(9, 5) y eje mayor 20

14.

C(1, –1), V(–2, –1) y F( 3, –1)

15.

C(2, –3), eje mayor 9, eje menor // eje X y su longitud 4

16.

C(–3, –2), a = 7, b = 2 y su eje mayor // eje Y

201

Al último par de conos lo atravesaremos cuya inclinación sea paralela al eje de ambos conos, ¿qué figura obtenemos? ¡Hipérbola!, una rama en cada cono.

Ésta sería la vista que tendríamos si la imaginamos desde el eje.

Pero no es tan ilustrativa, así es que la imaginaremos en una vista lateral.

¿Cómo se define la hipérbola? Hipérbola. Es el lugar geométrico de los puntos de tal forma que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano es igual a una constante, siempre positiva y menor que la distancia entre los puntos fijos. A los puntos fijos se les llama Focos de la hipérbola.

202

La hipérbola, al igual que las figuras anteriores, tiene puntos y líneas de importancia para su cálculo y construcción, aquí mencionamos e ilustramos algunos de ellos: F1 y F2 son los focos de la hipérbola. La recta R1 que atraviesa los focos es el eje focal.

El eje focal corta a la elipse en los puntos V1 y V2 llamados vértices.

El segmento del eje focal comprendido entre los vértices se llama también eje transverso.

b c V1 F1

El punto C sobre el eje transverso, punto medio entre focos y entre vértices, se llama centro.

F2 V2

La recta R2 que pasa por C y es perpendicular al eje focal es el eje normal. El eje normal no corta a la hipérbola aunque la porción de este eje comprendida entre los puntos B1 y B2 se llama eje conjugado. El segmento comprendido entre cualesquiera dos puntos de la elipse se llama cuerda. Estos puntos pueden ser de la misma rama o de ambas ramas; si la cuerda atraviesa alguno de los focos se llama cuerda focal. La cuerda L1L2, perpendicular al eje focal y que atraviesa un foco se llama lado recto. Teniendo la hipérbola dos focos, tendrá también dos lados rectos. El triángulo que forman los puntos C, V2 y B1 es un triángulo rectángulo y por lo tanto las distancias entre ellos cumplen con el teorema de Pitágoras (c2 = a2 + b2). Los puntos B1 y B2, extremos del eje conjugado, NO pertenecen a la elipse. La diferencia de las distancias, en valor absoluto, de los vértices V1 y V2, cada uno por separado, a los focos, es igual a 2a; por el triángulo de Pitágoras formado con los puntos C, V2 y B1 o B2, o los puntos C, V1 y B1 o B2, de la elipse, y así: El valor absoluto se la diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola a los focos es entonces 2a.

203

Hipérbola. a) sobre el plano cartesiano, con centro en el origen y eje focal el eje X.

Y P (x, y)

d (P, F1) – d (P, F2) = 2a de la fórmula para la distancia entre dos puntos d (P, F1) =

(x + c)2 + y2

d (P, F2) =

(x – c)2 + y2

–

c F 2 (c, 0)

F 1 ( - c, 0)

(x + c)2 + y2

= 2a

restamos el segundo radical en ambos términos (x – c)2 + y2

= 2a +

(x – c)2 + y2

= 4a2 + 4a

(x + c)2 + y2

+ (x + c)2 + y2

x2 – 2cx + c2 + y2

= 4a2 + 4a

(x + c)2 + y2

+ x2 + 2cx + c2 + y2

– 4cx

= 4a2 + 4a

(x + c)2 + y2

cx cx + a2

(x + c)2 + y2

= – a2 – a = –a

, elevamos al cuadrado

dividimos entre –4 toda la expresión

(x + c)2 + y2

elevamos nuevamente al cuadrado

c2x2 + 2a2cx + a4

= a2 (x2 + 2cx + c2 + y2)

c2x2 + 2a2cx + a4

= a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2

c2x2 + a4

simplificando

= a2x2 + a2c2 + a2y2

restamos 2a2cx

reacomodando obtenemos

– a2x2 + c2x2 – a2y2

– a4 + a2c2

factorizando

(c2 – a2)x2 – a2y2

a2 (c2 – a2)

del triángulo de Pitágoras dentro de la hipérbola

c2 = a2 + b2 ; b2 = c2 – a2 sustituyendo

204

b2x2 + a2y2

x2 a2

–

= a2b2 dividiendo entre a2b2

y2 b2

Y esta es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen y eje focal el eje X.

= 1

Hipérbola. b)

F1(0, c)

c b

ahora con centro en el origen y eje focal el eje Y.

d (P, F1) – d (P, F2) = 2a

d (P, F1) =

x2 + (y – c)2

d (P, F2) =

x2 + (y + c)2

P (x, y) x2 + (y – c)2

F2(0, -c)

–

x2 + (y + c)2

= 2a

restamos el segundo radical en ambos términos

x2 + (y – c)2

= 2a +

x2 + (y – c)2

= 4a2 + 4a

x2 + (y + c)2

+ x2 + (y + c)2

x2 + y2 – 2cy + c2

= 4a2 + 4a

x2 + (y + c)2

+ x2 + y2 + 2cy + c2

= 4a2 + 4a

x2 + (y + c)2

elevamos al cuadrado

simplificando

– 4cy

dividimos entre –4 la expresión

cy + a2 elevamos al cuadrado c2y2 + 2a2cy + a4 c2y2 + 2a2cy + a4 restamos 2a2cy

c2y2 + a4

x2 + (y + c)2

= – a2 – a = –a

x2 + (y + c)2

= a2 (x2 + y2 + 2cy + c2) = a2x2 + a2y2 + 2a2cy + a2c2 = a2x2 + a2y2 + a2c2

205

reacomodando

– a2x2 + c2y2 – a2y2

– a4 + a2c2

– a2x2 + (c – a)2y2

a2 (c2 – a2)

factorizando

c2 = a2 + b2 ; b2 = c2 – a2 sustituyendo

del triángulo de Pitágoras sustituyendo cambiando el orden dividiendo entre a2b2

Hipérbola a’)

– a2x2 + b2y2

= a2b2

b2y2 – a2x2

= a2b2

y2 a2

x2 b2

–

Ecuación canónica de la elipse con centro en el origen y eje focal el eje Y.

= 1

Y’

ahora con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje Y.

Al igual que hicimos con la parábola y la elipse con vértice fuera del origen, “trasladamos” los ejes coordenados de modo que el nuevo origen O’ coincida con C (h, k) y la ecuación de la hipérbola estará en referencia a los “nuevos” ejes coordenados X’ Y’.

b c F1

0’ C (h, k) a 0

X’ X

La transformación de coordenadas estará dada por x = x’ + h , y = y’ + k x’ = x – h , y’ = y – k y la ecuación canónica con centro en O’ (x – h)2 a2

–

x’2 a2

(y – k)2 b2

–

y’2 b2

= 1

toma la forma

Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje X.

= 1

206

Este es el resultado del corte que hicimos a los dos conos.

H. b’) Sobre el plano, con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje Y.

Y’

La misma transformación de coordenadas que hemos hecho anteriormente

0 c a b 0’ C (h, k)

y la ecuación canónica con centro en O’

y’2 a2

–

x’2 b2

= 1

toma la forma

(y – k)2 a2

–

(x – h)2 b2

= 1

Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal paralelo al eje Y.

207

X’

Desarrollemos ahora las ecuaciones canónicas de la hipérbola. Ecuaciones canónicas de la hipérbola con: H. a’) Centro, C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje X. (x – h)2 a2

–

(y – k)2 b2

b2(x – h)2 – b2(x2 – 2xh + h2) – b2x2 – 2b2xh + b2h2 –

multiplicamos por a2b2

= 1 a2(y – k)2

= a2b2

a2(y2 – 2yk + k2)

= a2b2

a2y2 + 2a2yk – a2k2

= a2b2

b2x2 – a2y2 – 2b2xh + 2a2yk + b2h2 – a2k2 – a2b2

= 0

b2 – a2

= A = C

– 2b2h 2a2k b2h2 – a2k2 – a2b2

= D = E = F

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F

= 0

haciendo

Ecuación general de la hipérbola.

H. b’) Centro, C (h, k), fuera del origen y eje paralelo al eje Y (y – k)2 a2

–

(x – h)2 b2

b2(y – k)2 – b2(y2 – 2yk + k2) – b2y2 – 2b2yk + b2k2 –

= 1

multiplicamos por a2b2

a2(x – h)2

= a2b2

a2(x2 – 2xh + h2)

= a2b2

a2x2 + 2a2xh – a2h2

= a2b2

– a2x2 + b2y2 + 2a2xh – 2b2yk – a2h2 + b2k2 – a2b2

208

= 0

– a2 b2 2a2h – 2b2k 2 2 2 2 – a h + b k – a2b2 haciendo

= = = = =

A C D E F

, no son las mismas

variables que el caso anterior. Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F

= 0

Ecuación general de la hipérbola.

Si además de hacer el corte volteamos las secciones pequeñas de los conos, esto es lo que obtenemos:

Ejercicios Encontrar la ecuación general de las siguientes hipérbolas, las coordenadas de los vértices, focos, extremos del eje conjugado, la distancia focal, la distancia del eje transverso, la distancia del eje conjugado, las ecuaciones de las asíntotas, según haga falta y trazar las gráficas. Los ejercicios con número non, tienen eje de la hipérbola sobre o paralelo al eje X, mientras que los números pares lo tienen sobre o paralelo al eje Y. Los ejercicios 1 a 10, tienen centro en el origen (C = (0, 0)); los ejercicios 11 a 16, centro fuera del origen.

209

Eje conjugado 13 y eje transverso 5

Eje conjugado 8 y eje transverso 3

D(V1,V2) = 27 y eje conjugado 15

Eje conjugado 37 y D(V1,V2) = 31

Eje transverso 15 y eje conjugado 7

D(V1,V2) = 14 y eje transverso 5

D(C, V1) = 7 y eje transverso 10

Eje conjugado 23 y eje transverso 17

D(C, F1) = 9 y D(C, V1) = 14

10.

D(C, V1) = 3 y eje conjugado 7

12.

C(5, 4), V(5, –4) y extremo del eje conjugado B(2, 4) C(1, –1), V(–2, –1) y F( 3, –1)

11. 13.

C(5, 3), V(7, 3) y extremo del eje conjugado B(5, 2) F( –7, 5), V(9, 5) y eje transverso 20

15.

C(2, –3), eje conjugado 9, eje transverso // eje X y su longitud 4

16.

C(–3, –2), a = 7, b = 2 y su eje transverso // eje Y

14.

Para cerrar los temas de las secciones cónicas, hagamos un resumen de las ecuaciones, canónicas y generales que hemos desarrollado en este tema y el anterior: Ecuaciones Canónicas

Ecuaciones Generales

Circunferencia x2 + y2 =

(x – h)2 + (y – k)2 =

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Parábola x2

= 4yp

= 4xp

(x – h)2

= 4p (y – k)

(y – k)2 =

4p (x – h)

210

x2 + Dx + Ey + F

= 0

y2 + Dx + Ey + F

= 0

Elipse x2 a2

y2 B2

= 1

x2 b2

y2 A2

= 1

(x – h)2 a2

(y – k)2 b2

= 1

(x – h)2 b2

(y – k)2 a2

= 1

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F =

Hipérbola x2 a2

–

y2 b2

= 1

y2 a2

–

x2 b2

= 1

(x – h)2 a2

–

(y – k)2 b2

= 1

(y – k)2 a2

–

(x – h)2 b2

= 1

211

Matemáticas 3 4: Secciones Cónicas 4. 3: Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo, factorización y elementos. Transformación de una en otra (circunferencia y parábola) Objetivo El estudiante aprenderá a desarrollar, dados los elementos de una sección cónica, la ecuación canónica en ecuación general de cónicas, así como teniendo una ecuación general de cónicas, encontrar la sección de que se trata, su ecuación canónica y sus elementos a partir de ésta.

Presentación Comenzaremos por transformar una ecuación canónica de una circunferencia, dados sus elementos, en su propia ecuación general con el siguiente Ejemplo 1. Circunferencia con centro en (3, –1) y radio 5. Hallar su ecuación general.

212

Ecuación canónica de la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 =

Dibujo en el plano cartesiano

Eje Y sustitución y desarrollo (x – 3)2 + (y + 1)2 =

x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1 =

x2 + y2 – 6x + 2y + 10 =

o x2 + y2 – 6x + 2y – 15 =

Eje X

C (3, -1)

Ecuación general

El dibujo es fácil si contamos con el centro y el radio, pero dada la circunferencia en su ecuación general ¿podríamos dibujarla sin recurrir a la obtención de sus elementos (centro y radio)?

Vayamos por partes, tenemos aquí dos preguntas:

¿Cómo dibujarla sin hacer uso de sus elementos? ¿Cómo encontrar sus elementos? La respuesta a la primera pregunta es: Despejando “y”, que desarrollaremos de la ecuación general del ejemplo 1. x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = y2 + 2y = completamos el trinomio factorizamos

y2 + 2y + 1 = (y + 1)2 =

extraemos raíz

y+1 = y =

Ahora tabulamos.

213

0 – x2 + 6x + 15 – x2 + 6x + 15 + 1 – x2 + 6x + 16 ±

– x2 + 6x + 16

–1±

– x2 + 6x + 16

Para cada valor de x tendremos dos estimados en y. x

y1 (rama positiva) –1+

– x2 + 6x + 16

–2

–1 + (–(–2)2 + 6(–2) + 16)1/2

–1 + (–4 –12 + 16)1/2

–1 + (0)1/2

–1 + 0

–1.0

–1

–1 + (–(–1)2 + 6(–1) + 16)1/2

–1 + (–1 –6 + 16)1/2

–1 + (9)1/2

–1 + 3

2.0

–1 + (–(0)2 + 6(0) + 16)1/2

–1 + (0 + 0 + 16)1/2

–1 + (16)1/2

–1 + 4

3.0

–1 + (–(1)2 + 6(1) + 16)1/2

–1 + (–1 + 6 + 16)1/2

–1 + (21)1/2

2 3

1/2

–1 + (–(2) + 6(2) + 16) –1 + (–(3) + 6(3) + 16)

–1 + (–4 –12 + 16)

1/2

–1 + (–4 –12 + 16)

1/2

–1 + (–4 –12 + 16)

1/2

–1 + 4.6

3.6

–1 + (0)

1/2

–1 + 4.9

3.9

–1 + (0)

1/2

–1 + 5

4.0

–1 + (0)

1/2

–1 + 4.9

3.9

–1 + (–(4) + 6(4) + 16)

–1 + (–(5)2 + 6(5) + 16)1/2

–1 + (–4 –12 + 16)1/2

–1 + (0)1/2

–1 + 4.6

3.6

–1 + (–(6)2 + 6(6) + 16)1/2

–1 + (–4 –12 + 16)1/2

–1 + (0)1/2

–1 + 4

3.0

–1 + (–(7)2 + 6(7) + 16)1/2

–1 + (–4 –12 + 16)1/2

–1 + (0)1/2

–1 + 3

2.0

1/2

–1 + 0

–1.0

–1 + (–(8) + 6(8) + 16)

1/2

–1 + (–4 –12 + 16)

–1 + (0)

y2 (rama negativa) –1–

– x2 + 6x + 16

–2

–1 – (–(–2)2 + 6(–2) + 16)1/2

–1 – (–4 –12 + 16)1/2

–1 – (0)1/2

–1 – 0

–1.0

–1

–1 – (–(–1)2 + 6(–1) + 16)1/2

–1 – (–1 –6 + 16)1/2

–1 – (9)1/2

1/2

–1 – (–(0) + 6(0) + 16)

–1 – (0 + 0 + 16)

1/2

–4.0

–1 – (16)

–1 – 4

–5.0

–1 – (21)

1/2

–1 – 4.6

–5.6

–1 – (–(1) + 6(1) + 16)

–1 – (–(2)2 + 6(2) + 16)1/2

–1 – (–4 –12 + 16)1/2

–1 – (0)1/2

–1 – 4.9

–5.9

–1 – (–(3)2 + 6(3) + 16)1/2

–1 – (–4 –12 + 16)1/2

–1 – (0)1/2

–1 – 5

–6.0

–1 – (–(4)2 + 6(4) + 16)1/2

–1 – (–4 –12 + 16)1/2

–1 – (0)1/2

–1 – 4.9

–5.9

–1 – (–(5)2 + 6(5) + 16)1/2

–1 – (–4 –12 + 16)1/2

–1 – (0)1/2

–1 – 4.6

–5.6

–1 – (–4 –12 + 16)

1/2

–1 – (0)

1/2

–1 – 4

–5.0

–1 – (–4 –12 + 16)

1/2

–1 – (0)

1/2

–1 – 3

–4.0

–1 – (–4 –12 + 16)

1/2

–1 – (0)

1/2

–1 – 0

–1.0

6 7 8

1/2

–1 – (–(6) + 6(6) + 16) –1 – (–(7) + 6(7) + 16) –1 – (–(8) + 6(8) + 16)

–1 – (–1 + 6 + 16)

1/2

–1 – 3

1/2

Nota. Si bien es cierto que el camino de la tabulación, de la ecuación general, es laborioso, para encontrar puntos por los que atraviesa la circunferencia y poder dibujarla, ese mismo camino nos da los valores de x y de y que se corresponden.

214

La respuesta a la segunda pregunta la daremos resolviendo el (general) x2 + y2 – 4x – 10y – 20 = 0. Encontrar sus elementos.

Ejemplo 2. Dada la ecuación

x2 + y2 – 4x – 10y – 20 = x2 – 4x + y2 – 10y =

reacomodamos completamos los trinomios

x2 – 4x + 4 + y2 – 10y + 25 = (x – 2)2 + (y – 5)2 =

factorizamos

0 20 20 + 4 + 25 49

Con este resultado tenemos sus elementos: centro en (2, 5) y radio 7.

Eje Y

Es más fácil dibujar la circunferencia teniendo sus elementos que tabulando su ecuación.

C (2, 5)

Eje X o

Ejemplo 3. La circunferencia con ecuación x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0, es tangente a otra circunferencia que tiene centro C2(6, 7). El punto de tangencia de estas circunferencias se halla en el primer cuadrante. Encuentra la ecuación general de la segunda ecuación. 1. Encontrar los elementos de la primera circunferencia, 2. Encontrar la distancia entre los centros de ambas circunferencias, 3. Obtener el radio de la segunda circunferencia, restando a la distancia entre sus centros la longitud del radio de la primera circunferencia, 4. Desarrollar la ecuación canónica de la segunda circunferencia para obtener su ecuación general.

215

Si vas dibujando las condiciones, te será más fácil entender el ejemplo. x2 + y2 + 4x – 2y – 20 =

x2 + 4x + y2 – 2y =

reacomodamos completamos los trinomios

x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 =

factorizamos

(x + 2)2 + (y – 1)2 =

elementos

C1(–2, 1) y r = 5

20 + 4 + 1 25

(C1,C2)2

(8)2 + (6)2 =

(C1,C2)2

100 =

(C1,C2)2

10 =

(C1,C2)

radio de C2 =

(C1,C2) – radio de C1

radio de C2 =

10 – 5

radio de C2 =

(x – 6)2 + (y – 7)2 =

x2 – 12x + 36 + y2 – 14y + 49 =

x2 + y2 – 12x – 14y + 85 – 25 =

x2 + y2 – 12x – 14y + 60 =

4. Ecuación canónica de C2

Ecuación general de C2

(6 – (–2))2 + (7 – 1)2 =

extraemos raíz

desarrollo

¿Por qué se nos dice que el punto de tangencia está en el primer cuadrante? ¿Acaso se tendría otro resultado?

Discútelo en clase con tu profesor y con tus compañeros.

216

Ejemplo 4. Encontrar la ecuación general, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres siguientes puntos: A(–25, 9), B(–21, 17), C(6, 26). ¿Qué hacemos?, no es que sea difícil. Necesitamos decidir qué hacer primero.

Comencemos por dibujar lo que nos dice el ejemplo, ¿en dónde están los puntos? Como los valores de las coordenadas son “grandes” requerimos una cuadrícula muy pequeña. Hagamos un dibujo aproximado considerando la cuadrícula de 5 x 5 unidades.

Eje Y C (6, 26)

B (-21, 17)

A (-25, 9)

Como los puntos que componen la circunferencia deben de cumplir con estar en la ecuación. Sustituyamos las coordenadas de los puntos en la ecuación canónica y veamos qué nos ofrece tal desarrollo.

Punto A

Punto B

Punto C

(–25 – h)2 + (9 – k)2 =

625 + 50h + h2 + 81 – 18k + k2 =

50h – 18k + h2 + k2 – r2 =

– 625 – 81

50h – 18k + h2 + k2 – r2 =

– 706

(–21 – h)2 + (17 – k)2 =

441 + 42h + h2 + 289 – 34k + k2 =

42h – 34k + h2 + k2 – r2 =

– 441 – 289

42h – 34k + h2 + k2 – r2 =

– 730

(6 – h)2 + (26 – k)2 =

36 – 12h + h2 + 676 – 52k + k2 =

– 12h – 52k + h2 + k2 – r2 =

– 36 – 676

– 12h – 52k + h2 + k2 – r2 =

– 712

217

Eje X

En los tres desarrollos encontramos la expresión: h2 + k2 – r2, sustituyámosla por R. De esta manera nuestras ecuaciones toman las formas siguientes, además de formar un sistema de tres ecuaciones rectilíneas simultáneas.

50h – 18k + R = – 706

Punto A

;

despejamos R y la sustituimos en las ecuaciones de los puntos B y C,

R = – 706 – 50h + 18k 42h – 34k + R = – 730

Punto B

42h – 34k – 706 – 50h + 18k = – 730 – 8h – 16k = – 24 , dividiendo entre –8 (1) h + 2k = 3

Punto C

– 12h – 52k + R = – 712

– 12h – 52k – 706 – 50h + 18k = – 712 – 62h – 34k = – 6 , dividiendo entre –2 (2) 31h + 17k = 3

Ahora tenemos sólo dos ecuaciones ;

despejamos (1) h = 3 – 2k (2) 31(3 – 2k) + 17k = 3

sustituimos

93 – 62k + 17k = 3 – 45k = 3 – 93 = – 90 k = 90/45 = 2. Sustituyendo ahora el valor de k en (1) ;

h + 2(2) = 3 h+4=3 h=3–4 h=–1

Tenemos las coordenadas del centro de la circunferencia en el punto C (–1, 2), nos falta encontrar el radio. En la expresión h2 + k2 – r2, que sustituimos por R, encontraremos el valor del radio. Pero antes debemos encontrar el valor de R. y esto lo haremos de la siguiente forma:

218

R = – 706 – 50h + 18k

, sustituyamos los valores par h y k

R = – 706 – 50(–1) + 18(2) R = – 706 + 50 + 36 R = – 706 + 86 R = – 620

, finalmente sustituimos en

R = h2 + k2 – r2 r2 = h2 + k2 – R r2 = (–1)2 + (2)2 – (–620)

;

r2 = 1 + 4 + 620 r2 = 625 r = ±25

Y de este resultado tomamos el radio positivo, pues no se ha encontrado, hasta la fecha, una circunferencia cuyo radio sea negativo.

Con centro y radio ya determinados, desarrollemos la ecuación canónica que nos dará la ecuación general de tal circunferencia. Centro (–1, 2), radio = 25 (x + 1)2 + (y – 2)2 = 252

Y teniendo el centro y el radio, así luce nuestro ejemplo.

x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 625

EjeY

x2 + y2 + 2x – 4y + 1 + 4 = 625 x2 + y2 + 2x – 4y + 5 = 625 x2 + y2 + 2x – 4y + 5 – 625 = 0 Centro ( - 1, 2)

x2 + y2 + 2x – 4y – 620 = 0

Ecuación general, o bien

x2 + y2 + 2x – 4y = 620

219

Eje X

Ejemplo 5. ¿Cómo encontrar el centro de una circunferencia, con regla y compás, dados tres puntos en una hoja lisa de papel?

1. Abrimos el compás un poco más de lo que consideremos como la mitad de la distancia entre los puntos A y B.

B C

2. Apoyamos la aguja del compás en el punto A y trazamos un arco de circunferencia.

3. Hacemos lo mismo desde el punto B, con la misma abertura desde luego. 4. Por los puntos en que se intersectan los dos arcos, trazamos la recta R1.

R2 5. Repetimos lo que hemos hecho, ahora desde los puntos B y C:

a) La abertura del compás. b) Arco desde B. c) Arco desde C. d) Recta R2 por los puntos de intersección de los arcos.

220

El dibujo completo tiene esta forma: R2

Y decimos entonces que el punto de intersección O de las rectas R1 y R2, es el centro de la circunferencia. ¿Por qué?

Para responder de manera satisfactoria a esta propuesta, vamos a prescindir de los cuatro arcos y

6. A trazar dos rectas:

a) La que atraviesa por A y B. b) La que atraviesa por B y C.

R2 R1

En este dibujo tenemos lo siguiente:

T C

7. El punto P es el punto medio entre los puntos A y B. 8. Cualesquiera dos triángulos que se construyan con vértices APr1 y BPr1, donde r1 es cualquier punto sobre la recta R1, por semejanza de triángulos, serán iguales. En particular nos interesan las longitudes AO y BO.

B T

9. El punto T es el punto medio entre los puntos B y C.

10. También aquí, los triángulos que se construyan con vértices BTr2 y CTr2, donde r2 es cualquier punto sobre la recta R2, por semejanza de triángulos, serán iguales. En particular, las longitudes BO y CO.

221

11. Ahora tenemos que:

AO = BO y BO = CO

Por lo tanto, AO = BO = CO y podemos trazar nuestro círculo con centro en O y longitud cualquiera de las tres AO, BO, CO, al cabo que son la misma.

B C

Todo el ejemplo 5 se puede trasladar al plano cartesiano. Todos los pasos, del 1 al 11 son factibles de realizarse con puntos con coordenadas definidas, para encontrar las coordenadas del origen y de allí exponer su ecuación canónica y su ecuación general.

Ejemplo 6. Encontrar la ecuación canónica, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres siguientes puntos: A(–13, 5), B(2, 14), C(10, 12).

Eje Y

Dibujemos, siempre es bueno dibujar, los puntos del ejemplo en el plano cartesiano.

En este caso consideraremos la cuadrícula de 2 x 2 unidades.

Sustituyamos, para este ejemplo, las coordenadas de los puntos en la ecuación general y veamos que nos ofrece este desarrollo.

222

Punto A

(–13)2 + (5)2 – 13D + 5E + F =

169 + 25 – 13D + 5E + F =

194 – 13D + 5E + F =

– 13D + 5E + F = Punto B

(2)2 + (14)2 + 2D + 14E + F =

4 + 196 + 2D + 14E + F =

200 + 2D + 14E + F =

2D + 14E + F = Punto C

– 194

– 200

(10)2 + (12)2 + 10D + 12E + F =

100 + 144 + 10D + 12E + F =

244 + 10D + 12E + F =

10D + 12E + F =

– 244

Tenemos, como en el ejemplo 4, un sistema de tres ecuaciones rectilíneas simultáneas. Punto A

– 13D + 5E + F = – 194

;

Despejamos F = 13D – 5E – 194

Punto B

2D + 14E + F = – 200

2D + 14E + 13D – 5E – 194 = – 200 (1) 15D + 9E = – 6 ; dividiendo entre 3, (1)

Punto C

10D + 12E + F = – 244

5D + 3E = – 2

10D + 12E + 13D – 5E – 194 = – 244 (2) 23D + 7E = – 50

Hagamos lo siguiente ;

(1) x 7 y (2) x –3 (1*)

35D + 21E = – 14

(2*) – 69D – 21E = 150 Sumamos

– 34D + 0 = 136 D = 136/–34 D=–4

223

Sustituimos D en (1) ;

5 (–4) + 3E = – 2 5 (–4) + 3E = – 2 – 20 + 3E = – 2 3E = – 2 + 20 = 18 E = 18/3 E=6

Sustituimos D y E en F

F = 13(–4) – 5(6) – 194 F = – 52 – 30 – 194 F = – 276

Y la ecuación

x2 + y2 + Dx + Ey + F =

se convierte en

x2 + y2 – 4x + 6y – 276 =

completando cuadrados

x2 + y2 – 4x + 6y =

276

x2 – 4x + y2 + 6y =

276

x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = (x – 2)2 + (y + 3)2 =

La circunferencia tiene centro en (2, –3) y

276 + 4 + 9 289

;

289

= 17

radio 17.

Eje Y

Entonces la circunferencia pedida, tiene: Ecuación general x2 – 4x + y2 + 6y = 276,

o centro en ((2, –3)

Centro (2, -3)

y radio 17.

Aquí su dibujo:

224

Eje X

Ejercicios 1. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(–4, 5). Encuentra la ecuación general de la circunferencia. 2.

La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 – 6x + 8y = 11. Determina cuáles puntos son interiores y cuáles exteriores: A (2, –5) D (8 , 2) G (6 , –4)

B (–1 , –1) E (–2 , –8) H (–3 , 1)

C (2 , –9) F (4 , –10) J (–3 , –4)

3. Obtén la ecuación general de la circunferencia con radio 5 cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x +7y + 9 = 0. 4. Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto (7, –7) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x – 9y – 10 = 0, 2x – 5y + 2 = 0. 5. La ecuación de una circunferencia es (x – 4)2 + (y – 3)2 = 20. Presenta la ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3, 3). Dos soluciones. Ahora transformemos la ecuación canónica de una parábola, dados sus elementos, en su ecuación general correspondiente con el siguiente Ejemplo 7. Parábola con vértice en (1, 3), directriz paralela al eje X y parámetro igual a 2. 1. Si la directriz es paralela al eje X, la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. 2. Si además el parámetro es positivo, la parábola abre hacia arriba. Ecuación canónica de la parábola (x – h)2 =

Dibujo en el plano cartesiano 4p (y – k)

Eje Y

sustitución y desarrollo (x – 1)2 =

4(2)(y – 3)

x2 – 2x + 1 =

8(y – 3)

x2 – 2x + 1 =

8y – 24

x2 – 2x – 8y + 25 =

Lado recto = 4p = 8 F (1, 5) V (1, 3) Directriz

Ecuación general Directriz y = 1.

225

Eje X

Al igual que en la circunferencia, el dibujo es fácil si contamos con el vértice, el foco y el parámetro (tomando en cuenta su signo), pero ¿podríamos dibujar su ecuación general sin recurrir a la obtención de sus elementos (vértice, foco y parámetro)? Aquí también tenemos las dos preguntas: ¿Cómo dibujarla sin hacer uso de sus elementos?; y ¿Cómo encontrar sus elementos? La respuesta a la primera pregunta es: despejando “y”, que al igual que en la circunferencia es laborioso. Dejamos el ejercicio para ti. La respuesta a la segunda pregunta la daremos resolviendo el Ejemplo 8. Dada la ecuación (general) y2 – 4x – 10y + 13 = 0. Encontrar sus elementos. y2 – 4x – 10y + 13 = y2 – 10y =

reacomodamos

y2 – 10y + 25 =

completamos el trinomio

factorizamos

0 4x – 13 4x – 13 + 25

(y – 5)2 =

4x + 12

(y – 5)2 =

4(x + 3)

Y tenemos sus elementos: Vértice en (–3, 5) y parámetro 1 (4p = 4; positivo). Entonces abre hacia la derecha.

Directriz V (-3, 5) F (-2, 5) Lado recto = 4p = 4

Eje Y

Eje X o

226

Ejemplo 9. Encuentra los elementos de la parábola y2 + 12x – 6y – 15 = 0. y2 + 12x – 6y – 15 =

y2 – 6y =

reacomodamos

– 12x + 15

y2 – 6y + 9 =

completamos el trinomio

factorizamos

– 12x + 15 + 9

(y – 3)2 =

– 12x + 24

(y – 3)2 =

–12(x – 2)

Los elementos de la parábola son: Vértice en (2, 3), parámetro –3 (4p = –12; negativo), la parábola abre hacia la izquierda y la ecuación de la directriz es x = 5.

Lado recto = 4p = -12 F (-1, 3)

Si la tabulamos y la dibujamos en el plano cartesiano, esto es lo que obtendríamos:

V (2, 3)

Directriz

Eje Y

Eje X

Ejemplo 10. Si los elementos de una parábola son: F (–2, 5), parámetro = –1 y directriz paralela al eje X. Encontrar sus ecuaciones canónica y general. 1. Siendo el parámetro negativo y la directriz paralela al eje X, abre hacia abajo, 2. El foco está entre el vértice y el eje X y sus coordenadas sólo cambian en el valor de y, tantas unidades como señala el parámetro, 3. La directriz se encuentra, con respecto al vértice, del otro lado del foco y su ecuación está definida por el valor y del vértice “aumentado” en el valor del parámetro.

227

Entonces: 2. Si F(–2, 5), V(– 2, 5 + 1) = V(– 2, 6), 3. directriz = y = 6 – (–1); y = 7. Ecuación canónica de la parábola (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 = 2

x + 4x + 4 = x2 + 4x + 4y + 4 – 24 =

Dibujo en el plano cartesiano

4(–1) (y – 6) –4 (y – 6)

E je Y D ire ctriz

p ará m etro = -1 V (-2 , 6 ) F (-2, 5)

–4 y + 24 0

0 2

x + 4x + 4y – 20 =

La do re cto = 4p = -4

E je X

Ejercicios 1. Una parábola que tiene vértice es el origen y cuyo eje coincide con el eje Y, pasa por el punto (4, –2). Encuentra su ecuación general, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz, la longitud de su lado recto y dibuja su gráfica. En los siguientes ejercicios, presenta las coordenadas de foco, del vértice, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y su gráfica: 3. x2 = 12y 2. y2 = 12x 4. x2 + 2y = 0 5. y2 + 8x = 0 6. Busca, encuentra y expón un procedimiento para obtener puntos de una parábola haciendo uso de regla no graduada y compás si se conocen: a) el foco y la directriz b) el foco y el vértice c) el vértice y la directriz. En los siguientes ejercicios, presenta las coordenadas de foco, del vértice, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y su gráfica: 7. y2 + 4x + 2y + 9 = 0 8. x2 – 6x + 5y – 11 = 0 2 9. x + 4x + 12y – 8 = 0 10. y2 – 2x + 2x + 3 = 0

228

Matemáticas 3 4: Secciones Cónicas 4. 4: Ecuación canónica y ecuación general; desarrollo, factorización y elementos. Transformación de una en otra (elipse e hipérbola). Objetivo El estudiante aprenderá a desarrollar, dados los elementos de una sección cónica, la ecuación canónica en ecuación general de cónicas, así como teniendo una ecuación general de cónicas, encontrar la sección de que se trata, su ecuación canónica y sus elementos a partir de ésta.

Presentación Toca el turno de desarrollo a la elipse. Vayamos a su encuentro.

Ejemplo 1. El centro de una elipse es el punto (3, –1), la longitud del semieje mayor a = 5 y paralelo al eje X, la del semieje menor b =3. Encontrar su ecuación general, las coordenadas de sus focos y de sus vértices.

229

Ecuación canónica de la elipse con eje mayor // eje X (x – 3)2 52

(y + 1)2 32

Dibujo en el plano cartesiano

a = 5, b = 3; c2 = a2 – b2 c2 = 52 – 32 c2 = 25 – 9 = 16 c = 4.

a c

Focos:

C (3, -1)

F1 = (3 – c, –1), F2 = (3 + c, –1) F1 = (3 – 4, –1), F2 = (3 + 4, –1) F1 = (–1, –1), F2 = (7, –1). Vértices: V1 = (3 – a, –1), V2 = (3 + a, –1) V1 = (3 – 5, –1), V2 = (3 + 5, –1) V1 = (–2, –1), V2 = (8, –1). Ecuación canónica. Primer paso: 32 (x – 3)2

52 (y + 1)2

32 x 52

9 (x – 3)2

25 (y + 1)2

9 x 25

9 (x2 – 6x + 9)

25 (y2 + 2y + 1)

225

9x2 – 54x + 81

25y2 + 50y + 25

225

9x2 + 25y2 – 54x + 50y + 81 + 25

225

9x2 + 25y2 – 54x + 50y + 106

225

9x2 + 25y2 – 54x + 50y + 106 – 225

Ecuación general: 9x2 + 25y2 – 54x + 50y – 119

230

Ejemplo 2. Una elipse tiene centro en el punto (–4, 7), longitud del eje mayor 26, del eje menor 10 y el centro tiene la misma abscisa que los focos. Hallar su ecuación general, las coordenadas de sus focos y de sus vértices y las ecuaciones de sus ejes. Si el centro y los focos tienen la misma abscisa, el eje mayor // al eje Y. entonces: Dibujo en el plano cartesiano

Ecuación canónica de la elipse con eje mayor // eje Y

(y – 7)2 132

(x + 4)2 52

Semieje mayor = a = 13 Semieje menor = b = 5

c2 = a2 – b2 ; c2 = 132 – 52

c2 = 169 – 25 = 144

c = 12

C (-4, 7)

Focos: F1 = (–4, 7 + c), F2 = (–4, 7 – c)

F1 = (–4, 7 + 12), F2 = (–4, 7 – 12) F1 = (–4, 19), F2 = (–4, –5) Vértices:

Escala 2 x 1 V1 = (–4, 7 + a), V2 = (–4, 7 – a) V1 = (–4, 7 + 13), V2 = (–4, 7 – 13) V1 = (–4, 20), V2 = (–4, –6) Ecuación canónica. Primer paso:

52 (y – 7)2

132 (x + 4)2

132 x 52

25 (y – 7)2

169 (x + 4)2

169 x 25

25 (y2 – 14y + 49)

169 (x2 + 8x + 16)

4225

169x2 + 1352x + 2704

4225

169x2 + 25y2 + 1352x – 350y + 1225 + 2704

4225

169x2 + 25y2 + 1352x – 350y + 3929

4225

169x2 + 25y2 + 1352x – 350y + 3929 – 4225

25y2 – 350y + 1225

231

169x2 + 25y2 + 1352x – 350y – 296

Ecuación general:

Ecuación del eje mayor, x = –4; ecuación del eje menor, y = 7. Ahora partamos de la ecuación general de una elipse para encontrar sus elementos.

Ejemplo 3. Sea x2 + 4y2 + 2x – 12y + 6 = 0, la ecuación de una elipse. Encontrar sus elementos. x2 + 4y2 + 2x – 12y + 6

Ecuación general:

x2 + 2x + 4y2 – 12y =

Eje mayor:

–6

x2 + 2x

4 (y2 – 3y)

–6

x2 + 2x + 1

4 (y2 – 3y + 9/4)

–6+1+9

(x + 1)2

4 (y – 3/2)2

(x + 1)2 4

Ecuación canónica:

(y – 3/2)2 1

longitud 2a = 4 ; a = 2 // eje X ecuación y = 3/2

Eje menor:

, centro en (–1, 3/2)

longitud 2b = 2 ; b = 1 // eje Y ecuación y = –1

c2 = a2 – b2 ; c2 = 22 – 12 c2 = 4 – 1 = 3 c=

Focos:

F1 = (–1 – c, 3/2) , F2 = (–1 + c, 3/2) F1 = (–1 –

3 , 3/2), F2 = (–1 + 3

Vértices:

, 3/2)

C (-1, 3/2)

V1 = (–1 – a, 3/2), V2 = (–1 + a, 3/2) V1 = (–1 – 2, 3/2), V2 = (–1 + 2, 3/2)

V1 = (– 3, 3/2), V2 = (1, 3/2).

232

Extremos del eje menor: B1 = (–1, 3/2 + b), B2 = (–1, 3/2 – b) B1 = (–1, 3/2 + 1), B2 = (–1, 3/2 – 1) B1 = (– 1, 5/2), B2 = (–1, 1/2).

Ejemplo 4. Sea 9x2 + 4y2 – 8y – 32 = 0, la ecuación de una elipse. Encontrar sus elementos. 9x2 + 4y2 – 8y – 32

Ecuación general:

Ecuación canónica:

Eje mayor:

9x2 + 4y2 – 8y =

9x2

4 (y2 – 2y)

9 (x + 0)2

4 (y2 –2y + 1)

32 + 0 + 4

9 (x + 0)2

4 (y – 1)2

(x + 0)2 4

longitud 2a = 6 ; a = 3 // eje Y ecuación x = 0

(y – 1)2 9 Eje menor:

c2 = a2 – b2 ; c2 = 32 – 22

, Centro en (0, 1)

longitud 2b = 4 ; b = 2 // eje X ecuación y = 1

c2 = 9 – 4 = 5

V2 c=

Focos: F1 = (0, 1 – c), F2 = (0, 1 + c) F1 = (0, 1 –

), F2 = (0, 1 +

B1 Vértices:

C (0, 1)

V1 = (0, 1 – a), V2 = (0, 1 + a)

O V1 = (0, 1 – 3), V2 = (0, 1 + 3) V1 = (0, – 2), V2 = (0, 4).

F1 V1

233

Extremos del eje menor: B1 = (0 – b, 1), B2 = (0 + b, 1) B1 = (0 – 2, 1), B2 = (0 + 2, 1) B1 = (–2, 1), B2 = (2, 1).

Ejercicios Construye las ecuaciones canónica y general de las siguientes elipses, según cada ejercicio, así como encuentra las coordenadas de su centro, focos, vértices y extremos de sus ejes menores y las ecuaciones de sus dos ejes. 1. 3.

Eje mayor // eje Y, centro en (–3, 2), eje 2. mayor 8 y eje menor 6. Centro en (1, 5), V(10, 5) y B(1, 9) 4.

Centro en (4, 1), foco (9, 1) y extremo de eje menor B(4, 4). Centro en (4, 2), V(4, –7) y B(8, 2)

5. Encontrar los elementos de la siguiente elipse 4x2 + 25y2 + 8x + 50y + 10 = 0. 6. Encontrar los elementos de la siguiente elipse 16x2 + 4y2 – 8 y – 32 = 0.

Ahora, toca el turno de desarrollo a la hipérbola. Última de las secciones cónicas. Ejemplo 5. Sea el punto (2, 3), el centro de una hipérbola, la longitud del semieje transverso a = 5 y paralelo al eje X, la del semieje conjugado b =3. Encontrar su ecuación general, las coordenadas de sus focos y de sus vértices. Ecuación canónica de la hipérbola con eje transverso // eje X (x – 2) 52

–

(y – 3) 32

Dibujo en el plano cartesiano

c2 = 52 + 32

a eje transverso

c2 = 25 + 9 = 34 c=

eje conjugado

a = 5, b = 3 ; c2 = a2 + b2

34 .

234

Focos: F1 = (2 – c, 3), F2 = (2 + c, 3) F1 = (2 –

34 , 3), F2 = (2 +

34 ,

3).

Vértices: V1 = (2 – a, 3), V2 = (2 + a, 3)

V1 = (2 – 5, 3), V2 = (2 + 5, 3) V1 = (–3, 3), V2 = (7, 3).

V1 F1

Extremos del eje conjugado: B1 = (2, 3 + b), B2 = (2, 3 – b) B1 = (2, 3 + 3), B2 = (2, 3 – 3) B1 = (2, 6), B2 = (2, 0).

Ecuación canónica. Primer paso: 32 (x – 2)2

–

52 (y – 3)2

32 x 52

9 (x – 2)2

–

25 (y – 3)2

9 x 25

9 (x2 – 4x + 4)

–

25 (y2 – 6y + 9)

225

9x2 – 36x + 36

–

25y2 + 150y – 225

225

9x2 – 25y2 – 36x + 150y + 36 – 225

225

9x2 – 25y2 – 36x + 150y – 189

225

9x2 – 25y2 – 36x + 150y – 189 – 225

Ecuación general: 9x2 – 25y2 – 36x + 150y – 414

Nota “amplia” o divagación geométrica. La hipérbola es la única sección cónica que se desarrolla en dos conos. El corte que se hace en ellos es manteniendo la hoja (o imaginando el corte con un plano rígido) en un plano paralelo al eje de los dos conos.

235

Presentamos algunas figuras de estos cortes para mostrar una de las caracterĂsticas de las hipĂŠrbolas.

Vista desde el eje

Primer corte

Vista vertical

Vista lateral

Sobre esta vista lateral haremos algunas consideraciones.

236

Antes vamos a fijar nuestra atención en: los lados rectos de los conos

la traza de la hipérbola

Si ahora sólo atendemos a los lados rectos de los conos y a la traza de la hipérbola nuestro dibujo tomo la siguiente forma:

Consideración 1. La figura se nos salió de la hoja. Consideración 2. La traza de la hipérbola, al alejarse del punto de contacto de los dos conos (punto de intersección de las rectas formadas por los lados de los conos), se acerca más y más a las rectas formadas por los lados de los conos. Consideración 3. Las rectas formadas por los lados de los conos, se llaman asíntotas.

237

Estas asĂntotas, aparecen en el corte de los dos conos, si dicho corte lo hacemos en el eje comĂşn de los conos. Veamos como:

Vista desde el eje

Segundo corte

Vista vertical

Vista lateral

238

¿Cómo trazar las asíntotas de una hipérbola? Supongamos que después de tabularla con algunos valores para x o para y, la dibujamos en el plano cartesiano. Lo que obtenemos es el siguiente dibujo:

La longitud b es la longitud del semieje conjugado y la longitud a, la del semieje transverso (distancia entre el centro de la hipérbola y cualquiera de los dos vértices).

c a

“Llevamos” la longitud del eje conjugado (2b) hasta uno de los vértices, corriéndolo hacia la derecha en nuestro dibujo, y haciendo coincidir el punto medio de esa longitud con el vértice seleccionado.

b C

a b P2

Los extremos de esa longitud, medida como se propone líneas arriba, serán los puntos P1 y P2.

239

Si ahora trazamos dos rectas: a) Una que pase por los puntos definidos por C (el centro de la hipérbola) y P1 y b) Otra que pase por los puntos definidos por C y P2. Estas rectas serán las asíntotas.

¿Cuál es la expresión algebraica de las asíntotas? Para contestar esto, partamos de la ecuación canónica de la hipérbola con eje transverso (o eje focal) paralelo al eje X. Después hagamos lo necesario para la hipérbola con eje transverso paralelo al eje Y. (x – h)2 a2

–

(y – k)2 b2

Cuando la x, o la y, es demasiado grande la apreciación de la diferencia se pierde. De manera que consideremos que se nos convierte en 0 (cero). Entonces tenemos:

(x – h)2 a2

–

(y – k)2 b2

y despejando

extraemos raíz

(x – h)2 =

(x – h) = ±

a2 b2

(y – k)2

a b

(y – k).

Ahora desarrollamos la hipérbola con eje transverso paralelo al eje Y. (y – k)2 a2

–

(x – h)2 b2

(y – k)2 a2

–

(x – h)2 b2

La misma consideración para la diferencia y tenemos:

despejando

extraemos raíz

240

(y – k)2 =

(y – k) = ±

A2 B2

(x – h)2

a b

(x – h).

Fíjate en el cociente ± a/b; a) en el primer desarrollo está multiplicando a (x – h), mientras que b) en el segundo, multiplica a (y – k). El dibujo de la hipérbola con eje transverso paralelo al eje Y es el siguiente:

c b

Ejemplo 6. Dada la ecuación 25x2 – 144y2 – 250x – 576y = 3551. Encontrar sus elementos. 25x2 – 250x – 144y2 – 576y =

3551

factorizamos

25 (x2 – 10x) – 144 (y2 + 4y)

3551

completamos cuadrados

25 (x2 – 10x + 25) – 144 (y2 + 4y + 4)

3551 + 625 – 576

simplificamos

25 (x – 5)2 – 144 (y + 2)2

3600

reordenamos la ecuación

dividimos entre 3600

(x – 5)2 144

–

(y + 2)2 25

ecuación canónica

(x – 5)2 122

–

(y + 2)2 52

241

Elementos:

eje transverso 2a = 24 ,

eje conjugado 2b = 10 .

centro (5, –2)

vértices (–7, –2) (17, –2)

focos (–8, –2) (18, –2)

extremos del eje conjugado (5, 3) (5, –2)

asíntotas

(x – h) = ±

a b

(y – k)

sustituimos

(x – 5) = ±

12 5

(y + 2)

5 (x – 5) =

12 (y + 2)

5 (x – 5) =

– 12 (y + 2)

5x – 25 =

12y + 24

5x – 25 =

– 12y – 24

asíntota 1)

5x – 12y =

asíntota 2)

5x + 12y

El dibujo del ejemplo es el siguiente:

Y 5x

+ 1 2y = 1

1 5x –

242

9 = 4 y 2

Ejercicios Construye las ecuaciones canónicas y general de las siguientes hipérbolas, según cada ejercicio, así como encuentra las coordenadas de su centro, focos, vértices y extremos de sus ejes conjugados, las ecuaciones de sus dos ejes y las ecuaciones de sus asíntotas. 1. Eje focal // eje X, centro en (–1, 3), semieje focal (o transverso) 4 y semieje conjugado 3. 2. Centro en (3, –1), foco (3, 11) y extremo de eje conjugado B(8, –1). 3. Centro en (1, 5), V(10, 5) y B(1, 9) 4. Centro en (4, 2), V(4, –7) y B(8, 2) 5. Encontrar los elementos de la siguiente hipérbola 4x2 – 25y2 + 8x + 50y + 10 = 0. 6. Encontrar los elementos de la siguiente hipérbola – 16x2 + 4y2 – 8 y – 32 = 0.

243

Matemáticas 3 anxn + … + a2x2 + a1x + a0 bsys + … + b2y2 + b1y + b0

5: Álgebra

2x3 + x2 – 3x + 1

5. 1: Cocientes compuestos por polinomios

3y4 + 2y2 + y – 4

Objetivo El estudiante aprenderá las operaciones ( +, – , x,: ) entre cocientes formados por polinomios.

cmxm + … + c2x2 + c1x + c0

cmxm + … + c2x2 + c1x + c0 esys + … + e2y2 + e1y + e0

esys + … + e2y2 + e1y + e0

– x

dpxp + … + d2x2 + d1x + d0 gqyq + … + g2y2 + g1y + g0

Presentación Comenzaremos por recordar y ejercitar la factorización de un cociente de números enteros. El factorizar cocientes compuestos por polinomios, obedece las mismas reglas que la realización de esta operación con números racionales. De manera que, recordemos cómo se factoriza un cociente de enteros (con denominador distinto de cero; eso es un racional), para aplicar esas mismas reglas a los cocientes compuestos por polinomios. Factorizaremos los siguientes racionales: factorizamos Ejemplo 1.

18 27

cancelamos

2x3x3 3x 3x3

Ejemplo 2.

2 3

244

15 105

3x5 3x5x7

1 7

Ejemplo 3.

6825 9555

3 x 5 x 5 x 7 x 13 3 x 5 x 7 x 7 x 13

factorizamos

5 7

. Pasamos a los monomios,

cancelamos

Ejemplo 4.

6x 9

3 x 2x 3x3

Ejemplo 6.

12y 8

2 x 2 x 3y 2x2x2

9b3c 3b3c2

Ejemplo 7.

3y 2

15a2 9a

Ejemplo 5.

2x 3

5a x 3a 3 x 3a

5a 3

3b3c x 3 3b3c2

3 c

Ahora, hagámoslo sobre cocientes compuestos o construidos por polinomios, factorizamos

cancelamos

Ejemplo 8.

8b3 – 4b2 4b2

4b2 (2b – 1) 4b2

Ejemplo 9.

9z4 + 12z3 15z2

3z2 (3z2 + 4z) 5 x 3z2

Ejemplo 10.

6x3 + 8x2 2x2

2x2 (3x + 4) 2x2

Ejemplo 11.

9a4b3 – 12 a3b2 3a2b

Ejemplo 12.

9h2 – 15h 6h

3h (3h – 5) 2 x 3h

Ejemplo 13.

15x4y3 – 5x3y2 + 20x2y 5x2y

Ejemplo 14.

2a2 – 5a + 3 a–1

Ejemplo 15.

12a2 + 25ab + 12b2 4a + 3b

Ejemplo 16.

3z2 + 4z 5 3x + 4

3a2b (3 a2b2 – 4 ab) 3a2b

2b – 1

3 a2b2 – 4 ab

3h – 5 2

5x2y ( 3x2y2 – 1xy + 4 ) 5x2y

( a – 1 )( 2a – 3 ) a–1

2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4 2a2 + 3ab – 3b2

245

3x2y2 - 1xy + 4

3a + 4b

2a – 3

(4a + 3b )( 3a + 4b ) 4a + 3b

factorizar este cociente no es fácil.

Tenemos la opción de trabajarlo como una división de polinomios, hagámoslo: a2 – ab + b2 2a2 + 3ab – 3b2

2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4 – 2a4 – 3a3b + 3a2b2 0

– 2a3b – a2b2 + 6ab3 2a3b + 3a2b2 – 3ab3 0

+ 2a2b2 + 3ab3 – 3b4 – 2a2b2 – 3ab3 + 3b4 0

+ 0

Resulta que el polinomio: 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4, tiene como factores al polinomio; 2a2 + 3ab – 3b2, y al polinomio; a2 – ab + b2. Dejando 0 (cero) como residuo. Volviendo entonces al cociente (ejemplo 16), escribimos: 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4 2a2 + 3ab – 3b2 y obtenemos

a2 – ab + b2

( 2a2 + 3ab – 3b2 ) (a2 – ab + b2 ) 2a2 + 3ab – 3b2

Cancelar así, es muy fácil, ¿o no?

Ejercicios 1.

8a4 : 2a3

27x5y2 : –9x3y2

45c4d5e3 : –9c4d2e3

–42h6k4m2 : –7h3k2m

( 9b5 – 6b3 ) : 3b2

( –24a6 – 16a4 ) : –4a3

( 6x4y3 – 4x3y4 + 2xy5 ) : 2xy3

( 12a12b6 – 8a8b4 – 4a4b2 ) : 4a4b2

( 3y2 – 10xy + 3x2 ) : ( 3y – x )

10.

( 6w3 – 13w2 + 8w – 3 ) : ( 2w – 3 )

11.

( 5t3 + 23t2u + 14tu2 + 8u3 ) : ( t + 4u )

246

12.

( 2a3 + 3a2 – 5a – 6 ) : ( 2a2 – a – 3 )

13.

( 6y3 – 11y2z + 7yz2 – 6z3 ) : ( 3y2 – yz + 2z2 )

14.

( 4c4 + c3 – 4c2 + 6c – 3 ) : ( c2 + c – 1 )

15.

( 2a4 + a3b – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4 ) : ( 2a2 + 3ab – 3b2 )

De las cuatro operaciones básicas, es la multiplicación de cocientes con polinomios la que presenta más facilidad para su explicación, enseñanza, aprendizaje, trato y manejo, es por eso que comenzaremos nuestra exposición con ella. Los cocientes con polinomios obedecen las mismas reglas de operación que las de los números racionales, ejemplifiquemos entonces la multiplicación.

Multiplicación de cocientes con polinomios. ¿Cómo se realiza en los racionales?, a b

de esta forma:

Ejemplo 17.

2x + 1 2x – 4 =

Ejemplo 18.

2 (4x + 2) 2 (x2 – x – 2)

a a+b

4 x+1

c d

axc bxd

(2x + 1) x (4) (2x – 4) x (x + 1)

8x + 4 2x – 2x – 4

4x + 2 x2 – x – 2

a+b a–b

a x (a + b) (a + b) x (a – b)

nos damos cuenta que a + b, aparecerá en el numerador y en el denominador del producto, de manera que hacemos lo siguiente: a a–b

, en lugar del camino un poco más largo, a2 + ab a2 – b2

247

a (a + b) (a + b) (a – b)

a a–b

3x2y4z3 5a2b3

Ejemplo 19.

10ab4 5xy6z

( 3x2y4z3 ) x ( 10ab4 ) (5a2b3 ) x ( 5xy6z )

factorizamos 4 2 4 3

cancelamos 3

30ab x y z 25a2b3xy6z

5ab xy z x 6bxz 5ab3xy4z x 5ay2

6bxz2 5ay2

Ahora nos haremos cargo de la división de cocientes con polinomios. División de cocientes con polinomios. ¿Recordamos cómo se realiza en los racionales? a b

claro que sí:

Ejemplo 20.

2x + 3 2x – 4 =

2 (2x2 + x – 3) 2 (3x – 6) 4c3d4e2 3p2q4r

Ejemplo 21.

3 2x – 2

axd bxc

(2x + 3) x (2x – 2) (2x – 4) x (3)

5cd3 6p3q5r2

( 4c3d4e2 ) x ( 6p3q5r2 ) (3p2q4r) x ( 5cd3 )

factorizamos 3 4 2 3 5 2

Ejemplo 22.

2x + y 2x + 4y

el camino largo sería,

2x + y 4x + 2y

3cd p q r x 8c de pqr 3cd3p2q4r x 5

(2x + y) x (4x + 2y) (2x + 4y) x (2x + y)

8c2de2pqr 5

Observamos que 2x + y, aparecerá en el numerador y en el denominador del producto, entonces hacemos lo siguiente: 4x + 2y 2x + 4y

(2x + y) x (4x + 2y) (2x + 4y) x (2x + y)

2 x (2x + y) 2 x (x + 2y)

8x2 + 8xy + 2y2 4x2 + 10xy + 4y2

2x + y x + 2y factorizamos

cancelamos =

(4x + 2y) (2x + y) (2x + 4y) (2y + y)

cancelamos 3 2 4

24c d e p q r 15cd3p2q4r

4x2 + 2x – 6 6x – 12

2x2 + x – 3 3x – 6

c d

4x + 2y 2x + 4y

248

2 x (2x + y) 2 x (x + 2y)

2x + y x + 2y

Algo más sobre la multiplicación y la división de cocientes con polinomios. Las proporciones se rigen por la siguiente propiedad:

como

A C

B D

es a es a

, que también escribimos de esta forma:

A B

como números racionales,

C D

A : B :: C : D

AxD=BxC

, que cumplen con:

Esta propiedad nos servirá para resolver ejercicios como el siguiente: Encontrar el polinomio que cumple con la siguiente proporción:

Ejemplo 23.

5a – 2b 4a – b

C –4a + b

(5a – 2b) (–4a + b) 4a – b

(5a – 2b) (–4a + b) = (4a – b) (C)

;

= C

factorizamos 2

–20a + 13ab – 2b 4a – b

Ejemplo 24.

x–2 2x + 1 D =

(4a – b) (–5a + 2b) 4a – b

3x2 – 6x D

cancelamos –5a + 2b

(x – 2) (D) = (2x + 1) (3x2 – 6x)

;

(2x + 1) (3x2 – 6x) (x – 2) factorizamos

6x – 9x – 6x (x – 2)

cancelamos 2

(x – 2) (6x + 3x) (x – 2)

249

6x2 + 3x

Ejercicios Ejercicio 1.

2x – 5y x – 3y

5xy – 2x2 D

Ejercicio 2.

x2 – 4 x2 – x – 2

Ejercicio 3.

6a2b2 B

18a3b4 15ab2

Ejercicio 4.

A 2a b – 8ab2

Ejercicio 5.

A 2 a – b2

a+b b2 – a2

Ejercicio 6.

32x2y3z4 48x5y4z5

Ejercicio 7.

x–2 3x + 4

5x – 2 –2x + 1

Ejercicio 8.

–3k – 2 7k – 1

–k + 4 –3k + 2

Ejercicio 9.

4a – b 3a – 4b

5b –3a – 2b

Ejercicio 10.

7m – 2 3m + 4

5m + 4 –5m + 3

Ejercicio 11.

2z + 3 z–2

3z + 1 4z – 5

Ejercicio 12

4w – 3u 3w + 5u

–5w + 2u 4w – 2u

Ejercicio 13.

–2b + 2 5b – 2

2b – 2 –5b + 2

Ejercicio 14.

3h – 1 5h + 3

3h + 1 4h – 3

Ejercicio 15.

5t + 3 6t – 3

7t + 1 8t – 2

Ejercicio 16

x–1 3x + 2

2x + 3 4x + 5

Ejercicio 17.

6 – 5g –4 + 3g

3g + 4 7g – 3

Ejercicio 18.

6 – 6d 5 – 1d

10 – 2d 5 – 5d

Ejercicio 19.

9x + 2y 7y + 5x

4x – 11y 7x + 6 y

Ejercicio 20.

7 – 4b 9 + 7b

2 + 8b 5 – 6b

Finalmente, ejercitaremos la suma y la resta de cocientes con racionales. Suma y resta de cocientes de polinomios. Recordemos como se realiza

la suma y resta en los racionales

C x+1

a b

250

c d

ad ± bc bd

2p + 5q p – 4q C 3x3yz

El caso en que el denominador de cada uno de los cocientes sea igual, toma la forma: a b

c b

ab ± bc b2

b(a±c) b2

a±c b

Analicemos los siguientes ejemplos: a) Cocientes con igual denominador. El mínimo común múltiplo es ese denominador. Ejemplo 23.

–2x + 1 x–3

2a2 a+b =

2b2 a+b

–

2 (a2 – b2) a+b

( –2x + 1 ) + ( x + 2 ) x–3

–2x + 1 + x + 2 x–3

Ejemplo 24.

x+2 x–3

–x + 3 x–3

(2a2) – (2b2) a+b

2 (a + b) (a – b) a+b

–(x–3) (x–3) =

–1

2a2 – 2b2 a+b

2 (a – b)

2a – 2b

b) Cocientes con denominadores diferentes pero que la búsqueda del mínimo común múltiplo (MCM) de ellos, presenta cierta facilidad: Ejemplo 25.

1 6x

3 4c =

1 3y

–

3x + 2y 12xy

2y + 4x – 3x – 2y 12xy

Ejemplo 26.

–

2 3d

9d – 8c + 2c + 6d 12cd

x 12xy

c + 3d 6cd =

2y + 4x – ( 3x + 2y) 12xy

1 12y

9d – 8c + 2 ( c + 3d) 12cd

– 6c + 15d 12cd

3 (– 2c + 5d ) 3 x 4cd

– 2c + 5d 4cd

c) Cocientes de polinomios en donde la búsqueda del mínimo común múltiplo (MCM) de ellos, es más elaborada. He aquí algunos ejercicios:

Ejemplo 27.

x+3

2x – 1

( 2x + 3 ) ( x + 3 ) + (–2x + 1 ) ( 2x – 1 )

251

–2x + 1

2x + 3

(–2x + 1 ) ( 2x + 3 )

( 2x2 + 9x + 9 ) + ( –4x2 + 4x – 1 ) –4x2 – 4x + 3

2x2 – 13x – 8 4x2 + 4x – 3

Ejemplo 28.

4w – 1 2w – 2 =

Ejemplo 29.

2w + 3 2w + 2

2a + 3 –2a + 1

–

3a – 2 a–1

2a + 3 –2a + 1

( 2a2 + a – 3 ) + ( 6a2 – 7a + 2 ) –2a2 + 3a – 1

–

2w + 3 6w – 3

( 24w2 + 12w – 12 ) + (–6w2 – 15w – 9 ) 18w2 + 9w – 9 =

–2w – 3 6w – 3

6w2 – w – 7 6w2 + 3w – 3

252

8a2 – 6a – 1 –2a2 + 3a – 1

4w + 4 3w + 3

–3a + 2 a–1 =

( 6w – 3 ) ( 4w + 4 ) + (3w + 3 ) (–2w – 3 ) ( 3w + 3 ) ( 6w – 3 )

3 x ( 6w2 – w – 7 ) 3 x ( 6w2 + 3w – 3 )

3w2 + 2w – 2 w2 – 1

( a – 1 ) ( 2a + 3 ) + (–2a + 1 ) (–3a + 2 ) (–2a + 1 ) ( a – 1 )

4w + 4 3w + 3

12w2 + 8w – 8 4w2 – 4

Ejemplo 30.

( 2w + 2 ) ( 4w – 1 ) + ( 2w – 2 ) ( 2w + 3 ) ( 2w – 2 ) ( 2w + 2 )

( 8w2 + 6w – 2 ) + ( 4w2 + 2w – 6 ) 4w2 – 4 4 ( 3w2 + 2w – 2 ) 4 ( w2 – 1 )

–2x2 + 13x + 8 –4x2 – 4x + 3

18w2 – 3w – 21 18w2 + 9w – 9

Ejemplo 31.

2 xy

–

3x + 1 x2z

x+y 2yz4

2xz4 – 3xyz2 – 2x2yz4 + ( x3 + x2y ) 2x2yz4

x3 + x2y – 2x2yz4 – 3xyz2 + 2xz4 2x2yz4

x2 + xy – 2xyz4 – 3yz2 + 2z4 2xyz4

x ( x2 + xy – 2xyz4 – 3yz2 + 2z4 ) 2x2yz4

Ejercicios 1.

4a + 1 2a

2a – 1 2a

3g + 2 4g

3g – 1 6g

3x + 7 x–4

–

5x – 2 3x

2a + 3b 4a – 5b

–

3a 2xy

5b 2xy

4a – 3b 2a + 1 –

c 2xy

3b – 2 –2b + 5

4b – 2 3x – 3

2h – 3 –h + 2

5h + 1 2h – 4

6z + 4 2z – 1

–

3z + 2 4z – 2

3p – 1 2p + 2

–

6p + 1 4p + 4

10.

1 3pq

4 3pq

253

–

6 3pq

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Gobierno del Distrito Federal Secretaría de Educación Instituto de Educación Media Superior Material de Apoyo al estudio de la Modalidad Semiescolar Matemáticas 3 Autor: Gabriel Silva Ramírez.

Corrección de estilo: René Chargoy Guajardo

México, D.F. Julio de 2009

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