Matemati by PDLM

MatemĂĄticas Autor: Gabriel Silva RamĂrez

Matemáticas 2 Curso para el Bachillerato Semiescolar del Distrito Federal Instituto de Educación Media Superior

¿Para que estudiar matemáticas? El curso de matemáticas 2 está concebido de modo tal que tú, como estudiante, construyas la matemática; descubras, inventes, propongas y discutas los contenidos y de esta manera modeles pata ti un método de razonamiento y de análisis, desarrollando tu creatividad a la vez que aprendas a explicar tus procesos de pensamiento y argumentes tus conclusiones. Este curso comienza ofreciéndote una concepción y una idea de la construcción geométrica, propiedades algebraicas, equivalencia y manejo en las operaciones básicas de los números racionales a través de dibujos, cuando es posible, para mejor comprensión, comparación y juego entre ellos. Más adelante, se presenta la aplicación de los números racionales en modelos de razones de elementos de un conjunto con el conjunto mismo y proporciones al comparar dos o más razones. Tiene también geometría, en la que se compararán ángulos y lados de triángulos, principalmente, así como también se presentan construcciones con regla y compás. Sigue el curso con la introducción del Plano Cartesiano (o Plano de Coordenadas o Plano XY) en el que se buscará la localización y caracterización de puntos y el curso termina con el tema del álgebra: construcción y manejo de términos algebraicos. Los temas están integrados de la siguiente manera: Cada objetivo esta compuesto de varios temas, el número en paréntesis indica la cantidad de éstos, siendo en total 33. Matemáticas II

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Números Racionales (5) Razones y Proporciones (4) Semejanza Geométrica (7) Construcciones con Regla y Compás (4) El Plano Cartesiano y La Recta (8) Álgebra (5)

Números Racionales Razones y Proporciones Construcciones con Regla y Compás

¿Cómo están integrados los módulos?

Semejanza Geométrica El Plano Cartesiano y La Recta

Álgebra

En cada módulo encontrarás el objetivo, después se te presentará brevemente las actividades de aprendizaje que se van a abordar en el mismo, así como un Esquema instructivo que te indica la relación de los temas que se abordarán en el módulo para que puedas tener una idea rápida de lo que encontrarás más adelante. Asimismo, en el material aparece un glosario con algunas definiciones importantes vistas o mencionadas en el módulo, sin embargo es conveniente que investigues más acerca de tales definiciones en otras fuentes. Frecuentemente aparecerán direcciones de sitios interesantes encontrados en la red denominadas Ligas Externas, así como ejercicios intercalados en distintas partes del documento. Esperamos que te ayuden a aprender y a despertar tu interés y curiosidad con temas matemáticos o cercanos a esta rama. Por último se proporcionan los datos y direcciones de las figuras utilizadas a lo largo del texto. 3

ÍNDICE 1 Números racionales

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Concepto Operaciones Propiedades Representación geométrica Representación decimal

05 18 39 48 58

2 Razones y proporciones

2.1 2.2 2.3 2.4

Concepto Proporción directa y proporción inversa Regla de tres Porcentaje

69 79 84 88

3 Semejanza geométrica

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Semejanza Ángulos en la circunferencia Teoremas de Tales de Mileto Teoremas de Pitágoras de Samos Trigonometría Identidades trigonométricas Ley de los senos y ley de los cosenos

93 101 117 121 145 165 169

4 Construcciones con regla y compás

4.1 4.2 4.3 4.4

División de un segmento en una razón dada Los números naturales y la recta numérica Operaciones con segmentos Dibujos a escala

183 191 198 214

5 El Plano Cartesiano 5.1 Localización de puntos y La Recta 5.2 Distancia entre dos puntos 5.3 Punto medio de un segmento 5.4 División de un segmento en una razón dada 5.5 Ecuación de la circunferencia 5.6 Pendiente de una recta 5.7 Paralelismo y perpendicularidad 5.8 Distancia de un punto a una recta 5.9 La recta en el plano cartesiano

225 232 237 247 257 269 287 300 307

6 Álgebra

322 343 350 358 369

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Exponentes enteros Términos semejantes Polinomios Operaciones con polinomios Productos notables 4

Matemáticas 2

Objetivo 1: Números Racionales Tema 1. 1: Concepto de Número Racional

En este tema descubrirás la importancia y aplicación de los números naturales y su extensión en la solución de ejercicios en los que se desee representar partes o fracciones de una unidad o de un todo. Esto te posibilitará la apropiación, en su haber numérico, de un conjunto que le permitirá enfrentar, plantear, desarrollar, procesar y presentar una gama más amplia de soluciones.

OBJETIVO 1 El estudiante conocerá y utilizará los números racionales; esto le posibilitará desarrollar procesos más amplios en la solución de ejercicios.

Vamos a jugar con los números y la geometría, aplicando estas dos partes de las matemáticas a lo que llamamos Números Racionales. La esencia de los números racionales se encuentra en poder dividir la unidad (que para hacerlo más sencillo utilizaremos figuras geométricas tales como cuadrados y círculos) en una determinada cantidad de partes o fracciones y tomar de allí las que sean necesarias. Para lo cual comenzaremos por dibujar un cuadrado.

Ejemplo 1. Cada cuadrado representa una unidad y de acuerdo a las divisiones que tienen y a los colores, contestaremos las siguientes preguntas: 1. En cuántas partes está dividido cada cuadrado, 2. Cuántas partes, del total en que están divididos cada cuadrado, son azul fuerte, 3. Cuántas partes, del total, son azul claro, 4. Cuántas partes, del total, son azules sin importar el tono.

Cuadrados Ejemplo 1.

1 de 3

2 de 6

3 de 9

podemos escribirlo como

1 3

2 6

3 9

y entonces, 3.

1 de 3

1 3

2 de 6

2 6

3 de 9

3 9

2 de 3

2 3

4 de 6

4 6

6 de 9

6 9

Con estos resultados hagamos otro ejercicio. Donde leemos

También podemos leer

En la respuesta 2,

1 de 3 2 de 6

en razón 1 a 3 en razón 2 a 6

En la respuesta 3,

3 de 9

en razón 3 a 9

Y en la respuesta 4,

2 de 3 o 4 de 6

en razón 2 a 3 o en razón 4 a 6

Ahora bien, si tomamos las superficies por las que nos preguntaron y las relacionamos con los valores numéricos que las representan en los cuadrados, tenemos que: En 2.

1 3

2 6

3 9

las superficies azul fuerte de los cuadrados

1 3

2 6

3 9

las superficies azul claro de los cuadrados

2 3

4 6

6 9

las superficies azules de los cuadrados

Tres notas importantes sobre el desarrollo geométrico y numérico que hemos hecho. 1. En el primer grupo de respuestas, 1 a 4, hemos expuesto en cuántas partes se divide cada uno de los cuadrados (3, 6 y 9), o sea cuántas fracciones componen a cada uno de ellos y de estas fracciones la cantidad de ellas que son de algún color. 2. En los dos grupos de respuestas, hemos escrito las partes o fracciones del total de los cuadrados como razones entre números enteros. El poder expresarlos como razón de dos números enteros, es lo que nos permite llamarlos Números Racionales. 3. Las fracciones o números racionales, están formados por un denominador; el número que se anota debajo de la pequeña línea horizontal y que nos dice en cuántas partes debe dividirse la unidad, y un numerador; el número que se anota arriba de la pequeña línea horizontal y que nos indica cuántas partes se deben de tomar.

Ejemplo 2. Tenemos otro grupo de cuadrados, divididos de forma diferente. Respondamos, como en el ejercicio anterior, las preguntas que se nos hacen. 1. En cuántas partes está dividido cada cuadrado, 2. Cuántas partes, del total en que están divididos cada cuadrado, son gris oscuro, 3. Cuántas partes, del total, son gris medio o gris claro, 4. Cuántas partes, del total, son grises sin importar el tono, 5. Cuántas partes, no son gris oscuro ni gris claro.

Cuadrados Ejemplo 2.

1 de 4

1 4

2 de 8

2 8

4 de 16

4 16

2 de 4

2 4

4 de 8

4 8

8 de 16

8 16

3 de 4

3 4

6 de 8

6 8

12 de 16

12 16

2 de 4

2 4

4 de 8

4 8

8 de 16

8 16

Y la relación numérica de las superficies nos queda como: En 2.

1 4

2 8

4 16

las superficies gris oscuro de los cuadrados

2 4

4 8

8 16

las superficies gris medio o gris claro de los cuadrados

3 4

6 8

12 16

las superficies grises de los cuadrados

2 4

4 8

8 16

las superficies gris claro o blancas de los cuadrados (cambiamos por las otras dos)

Ahora, volvamos al ejercicio 1. Al comparar las superficies que se nos pidieron, según haya sido la pregunta, obtuvimos de la parte numérica los siguientes resultados: 1 3

Tenemos las respuestas a la pregunta 2,

2 6

3 9

Multiplicando por “1” ¿Cómo entender que estas expresiones, representan la misma superficie? Tomemos las dos primeras expresiones, que ahora llamamos también números racionales. 1 3

2 6

, qué le “falta” al 1 para ser 2 y qué le “falta” al 3 para ser 6.

Si al 1 lo multiplicamos por 2 y al 3, también lo multiplicamos por 2, nos dan como resultado: 2 y 6 respectivamente. Entonces ya sabemos qué hacer y cómo explicarnos la equivalencia de los dos números racionales. En claro. 1 3

x x

2 2

2 6

, la razón 1 a 3, que multiplicamos, cada uno de ellos, por 2, también

la estamos multiplicando por 2 entre 2, o sea que la estamos multiplicando por “1”. Y sabemos que todo número multiplicado por 1 no sufre cambio, entonces podemos afirmar que estos racionales son equivalentes. El “1” por el que estamos multiplicando, es un 1 muy particular, ya veremos por qué. Tomemos ahora las respuestas a la pregunta 4,

2 3

4 6

6 9

Nos fijamos en el primero y en el último racional. 2 3

6 9

, qué le falta al 2 para ser 6 y qué le falta al 3 para ser 9.

Multiplicarlos por 3. 2 3

x x

3 3

6 9

, y la razón 2 a 3, multiplicada por “1”, dispuesto como

3 3

, es

equivalente a la razón 6 a 9. Resulta entonces que, podemos construir tantos racionales equivalentes a una razón dada (o racional dado) como “1’s” multipliquemos por ella.

Por ejemplo: 2 3

2 3

x x

4 4

8 12

2 3

x x

5 5

10 15

2 3

x X

6 6

12 18

etc.

La razón 2 a 3, la hemos multiplicado por “1’s”, escritos de varias formas y de esta manera lo que construimos es una secuencia de racionales equivalentes. Con este modo de desarrollo, podemos construir, dado un racional, una secuencia de racionales equivalentes a él. Ejemplos: 2 3

8 = 12

10 15

12 18

= 14 21

16 24

18 = 27

2 3

x x

m m

2m 3m

, etc.

1 5

2 = 10

3 15

4 20

5 25

6 30

7 = 35

1 5

x x

n n

1n 5n

, etc.

4 7

8 = 14

12 21

16 28

= 20 35

24 42

28 = 49

4 7

x x

p p

4p 7p

, etc.

Ejercicios Convierte los racionales que se te dan en racionales equivalentes según se indica. Y para los 5 (cinco) primeros ejercicios desarrolla la secuencia de racionales equivalentes. 1.

3 4

= ¿? 12

11 13

= ¿? 91

4 11

20 ¿?

6 9

= ¿? 45

8 15

32 ¿?

5 6

15 ¿?

2 7

8 ¿?

12 19

= ¿? 95

7 10

= ¿? 60

10.

3 5

= ¿? 35

11.

9 23

63 ¿?

12.

14 18

42 ¿?

13.

7 11

56 ¿?

15 21

14.

75 ¿?

15.

31 42

93 ¿?

Convierte en racionales equivalentes según se indica. 16.

4 7

fracción con denominador 14,

21.

7 4

racional con denominador 24,

17.

3 8

racional con denominador 24,

22.

11 12

racional con numerador 121,

18.

5 7

racional con denominador 28,

23.

13 15

fracción con numerador 52,

19.

1 4

razón con 16 partes como total,

24.

0 6

racional con denominador 18,

20.

3 5

racional con numerador 27,

25.

2 9

razón con 12 partes del total.

Hemos construido secuencias de racionales, fracciones o razones equivalentes. Pero las hemos construido desarrollando racionales, fracciones o razones con números mayores o más grandes. La pregunta es, ¿si al aparecer racionales, fracciones o razones en el proceso de solución de ejercicios, estos se pueden construir con números menores o más pequeños?

Dividiendo entre “1” Acertijo. ¿Qué cantidad de los cuadrados que se muestran, es de color diferente al blanco?

¿Se podrá pasar de aquí

En el primer cuadrado se tienen

8 12

para

acá?

o sea 8 partes de un total de 12 o razón de 8 a 12.

2 3

En el segundo cuadrado es

2 partes de un total de 3 o razón de 2 a 3.

Pero en ambos, lo que está coloreado es de igual superficie. Entonces, ¿será que esos racionales son equivalentes? 8 12

2 3

, qué “sobra” al 8 para ser 2 y qué le “sobra” al 12 para ser 3.

Dividirlos por 4. 8 12

: :

4 4

2 3

, y la razón 8 a 12, dividida por “1”, dispuesto como

4 4

, es

equivalente a la razón 2 a 3. Al igual que hiciéramos al desarrollar racionales equivalentes, armando racionales con números mayores o más grandes, multiplicando por “1”, según necesitáramos. Ahora, construiremos racionales equivalentes pero con números menores y esto lo hacemos dividiendo por “1’s”. Desde luego que estos “1’s” por los que estaremos dividiendo, serán “1’s” muy particular (como los anteriores), ya lo veremos. ¡Tenemos otro acertijo! En los cuadrados que están dibujados a continuación, ¿cuánto mide en ellos la superficie que no toma en cuenta los 4 cuadros en tono más fuerte?

¿Cómo será el paso de aquí

para

acá?

Primer cuadrado, racional

12 16

o sea 12 partes de un total de 16 o razón de 12 a 16.

Segundo cuadrado,

3 4

3 partes de un total de 4 o razón de 3 a 4.

Pero en ambos, lo que está coloreado es de igual superficie. Entonces, ¿será que esos racionales son equivalentes? 12 16

3 4

, qué le sobra al 12 para ser 3 y qué le sobra al 16 para ser 4.

Dividirlos por 4. 12 16

: :

4 4

3 4

, y la razón 12 a 16, dividida por “1”, dispuesto como

4 4

, es

equivalente a la razón 3 a 4. En este caso parece que tenemos otro racional equivalente con números más pequeños que los originales 12 y 16 pero más grandes que el 3 y el 4. O sea, que habría un racional equivalente intermedio entre los dos que ya hemos analizado. Si al primer cuadrado le quitamos las líneas; una: la que está entre la que divide las franjas por el medio y la que lo limita por arriba y; dos: la que se encuentra entre la que parte las listas por el medio y la que lo limita por abajo. O bien, al segundo cuadrado le dibujamos una línea que parta por el medio a las cuatro franjas o listas. Y obtenemos:

Este es el dibujo que resulta al se-

-guir las indicaciones.

Ahora hay que compararla con los

otros racionales.

12 16

: :

2 2

6 8

: :

2 2

3 4

en efecto, si hubo un racional intermedio.

Ejercicios Convierte los racionales que se te dan en racionales equivalentes según se indica. Además, busca si en alguno encuentras un racional intermedio que se encuentre entre el que se te da y el que tienes que construir o uno más pequeño que el que se pide que construyas.

6 15

= ¿? 5

12 33

= ¿? 11

11.

14 21

2 ¿?

28 32

= ¿? 8

36 48

3 ¿?

12.

15 18

5 ¿?

8 10

4 ¿?

51 54

= ¿? 18

13.

8 20

= ¿? 5

30 35

= ¿? 7

54 99

6 ¿?

14.

72 96

9 ¿?

42 56

3 ¿?

10.

6 10

3 ¿?

15.

2 6

1 ¿?

Convierte en racionales equivalentes según se indica. Busca si en algún ejercicio hay un racional intermedio entre el que se te da y el que tienes que construir o uno más pequeño que el que se pide que construyas. 16.

6 8

racional con denominador 4,

21.

24 40

fracción con denominador 5,

17.

12 21

razón con denominador 7,

22.

18 22

racional con numerador 9,

18.

15 24

racional con numerador 5,

23.

52 65

fracción con numerador 4,

19.

25 30

razón con 6 partes como total,

24.

18 27

razón con denominador 3,

20.

8 12

racional con numerador 2,

25.

6 10

racional con 3 partes del total.

Extensión y simplificación de racionales Hacemos dos señalamientos importantes: 1. Dado un racional, se puede construir la secuencia de racionales equivalentes con valores numéricos, numerador y denominador, más grandes, multiplicando de forma sucesiva al racional en cuestión por los “1’s”, como lo hicimos líneas arriba. Esos “1’s” particulares. La secuencia así construida es infinita, como lo son los “1’s” que propusimos. A este desarrollo le llamaremos extensión de racionales. Para construir esta secuencia, no es necesario que el racional original esté escrito con los valores numéricos más pequeños posibles. 15

2. Dado un racional, si éste se puede construir con valores numéricos, numerador y denominador, más pequeños de los que posee, la secuencia de racionales equivalentes desarrollada mediante la división, de forma sucesiva, del racional en cuestión por los “1’s”, arriba construidos, resulta ser una secuencia a lo más finita. A este desarrollo le llamaremos simplificación de racionales. Ejemplos: Secuencias ascendentes de racionales equivalentes o extensión de racionales. 4 7

8 = 14

12 21

16 28

= 20 35

24 42

28 = 49

4 7

x x

m m

4m 7m

, etc.

3 5

6 = 10

9 15

12 20

= 15 25

18 30

21 = 35

3 5

x x

n n

3n 5n

, etc.

Secuencias descendentes de racionales equivalentes o simplificación de racionales. 60 96

= 30 = 48

15 24

5 8

42 66

= 21 = 33

7 11

39 49

, no hay racionales equivalentes con valores más pequeños,

y no hay más racionales equivalentes con valores más pequeños,

y no más racionales equivalentes con valores más pequeños,

Por último. Fíjate en cualquier pareja de racionales equivalente a través de todo este viaje. O en los ejercicios que puedas inventar o proponerte de manera simultánea entre tus compañeros. En todos los racionales equivalentes, tomados por pares, se cumple que el par de productos del numerador de uno de ellos por el denominador del otro son iguales. 1.

4 5

8 10

, 4 x 10 = 5 x 8

7 9

14 18

, 7 x 18 = 9 x 14

6 9

2 3

, 6x3=9x2

5 11

15 33

, 5 x 33 = 11 x 15

24 32

3 4

, 24 x 4 = 32 x 3

2 7

12 42

, 2 x 42 = 7 x 12

1 5

5 25

, 1 x 25 = 5 x 5

34 42

17 21

, 34 x 21 = 42 x 17

4 12

16 48

, 4 x 48 = 12 x 16

10.

4 12

1 3

, 4 x 3 = 12 x 1

Esto nos sirve para saber si los racionales equivalentes que hemos propuesto, están bien construidos y además para encontrar el cuarto número que nos hace falta en las razones que guardan estos arreglos numéricos.

Ejercicios Revisa si los racionales que se te dan son realmente equivalentes. En los ejercicios que encuentres que no se cumpla esto, busca el número con que sí se cumple la equivalencia. 1.

3 5

6 10

10 12

50 60

11.

2 5

13 30

8 16

1 2

9 45

3 15

12.

6 9

18 27

7 12

35 60

11 16

65 96

13.

8 13

24 39

12 13

38 39

3 7

39 91

14.

2 3

84 126

4 6

20 30

10.

4 9

28 63

15.

1 3

5 15

Más ejercicios

3 4

= ¿? 12

11 13

= ¿? 91

4 11

20 ¿?

6 9

= ¿? 45

8 15

32 ¿?

5 6

15 ¿?

6 15

= ¿? 5

12 33

= ¿? 11

14 21

2 ¿?

10.

28 32

= ¿? 8

11.

36 48

3 ¿?

12.

15 18

5 ¿?

13.

25 30

razón con 6 partes como total,

14.

18 27

razón con denominador 3,

15.

8 12

racional con numerador 2,

16.

6 10

racional con 3 partes del total.

Glosario

Denominador. Número que se anota debajo de la línea horizontal que representa a un racional y que nos dice en cuántas partes debe dividirse la unidad. Numerador. Número que se anota arriba de la pequeña línea horizontal que representa a un racional y que nos indica cuántas partes, en las que se dividió el racional, se deben de tomar.

Matemáticas 2

Objetivo 1: Números Racionales Tema 1. 2: Operaciones con los Números Racionales

El estudiante consolidará el manejo de las operaciones básicas con números racionales

Propósito:

Empezaremos por saber cómo se realizan las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), en el conjunto de los números racionales. Y la primera será la operación suma. ¿Cómo sumar dos números racionales?

Ejemplo 1.

1 4

2 4

¿? ¿?

, reproduzcamos esto dibujando cuadrados.

Vamos a presentar la suma, en cuadrados y de dos formas:

1 4

2 4

3 4

1 4

2 4

3 4

Entonces, podemos responder que la suma de

1 4

2 4

3 4

Otra suma. 1 3

Ejemplo 2.

2 3

1 3

3 3

, que tal si utilizamos cuadrados.

2 3

3 3

En estos ejemplos, tenemos dos racionales con el mismo denominador (recordemos que el denominador nos indica en cuรกntas partes debemos partir la unidad), entonces sรณlo sumamos los numeradores (el numerador nos indica cuรกntas partes debemos de tomar de la particiรณn que hicimos de la unidad), puesto que sumamos partes de las mismas dimensiones. Mรกs ejemplos. 3.

2 4

3 4

5 4

2 7

4 7

6 7

3 5

1 5

4 5

5 12

7 12

12 12

Intenta reproducir estas sumas dibujando cuadrados y partiéndolos según lo necesites.

Ejercicios 1.

1 3

4 3

2 7

3 7

5 8

2 8

5 9

2 9

5 4

1 4

3 2

5 2

7 10

1 10

7 12

1 12

4 11

5 11

10.

4 15

7 15

Haz los dibujos correspondientes. Tenemos el siguiente ejemplo: 3 5

3 5

3 10

¿? ¿?

, ¿podríamos representarlo en cuadrados?

3 10

El dilema aquí, es que estos racionales no tienen el mismo denominador, ¿y entonces qué hacer? Bueno, lo que podemos hacer es cortar las cintas del primer cuadrado por la mitad ¿podemos hacer esto? Si, de la siguiente manera. 3 5

x x

2 2

6 10

, al cortar las cintas, tenemos el doble de ellas pero de menores dimensiones (construimos un racional equivalente). Ahora tenemos el mismo denominador en ambos racionales. 21

6 10

3 10

9 10

Esta forma de sumar racionales, tiene otro esquema más simple. Es el siguiente: 3 5

3 10

a. Tomamos como denominador el mínimo común múltiplo (m.c.m) de 5 y 10: ese es el 10, que será el Denominador Común.

6+3 10

9 10

b. Dividimos el denominador común entre el primer denominador, esto es: 10 : 5 = 2 . c. Ese resultado lo multiplicamos por el primer numerador: 2 x 3 = 6 . d. Dividimos el denominador común entre el segundo denominador: 10 : 10 = 1 . e. Ese resultado lo multiplicamos por el segundo numerador: 1 x 3 = 3 . f.

Y ahora, sumamos los números que anotamos en el nuevo numerador: 6 + 3 = 9 .

Ahora este ejemplo,

2 7

+ 7 = 21

6+7 21

13 21

Otros ejemplos:

3 4

+ 1 6

9+2 12

11 12

5 9

+ 2 = 27

15 + 2 27

17 27

2 3

+ 3 8

16 + 9 24

25 24

, habiendo procedido de igual forma que en el ejercicio anterior.

Nos proponen el siguiente ejercicio: 1 3

5 6

3 4

4 + 10 + 9 12

23 12

, buscar el m.c.m de 3, 6 y 4, y procediendo como lo hicimos líneas arriba.

Otros ejercicios:

3 4

+ 1 6

9+2 12

11 12

5 9

+ 2 = 27

15 + 2 27

17 27

2 3

+ 3 8

16 + 9 24

25 24

Líneas arriba, convertimos un racional en otro que le era equivalente para que fuera más fácil operar con él. Pero cuando aparecen en el mismo número un entero y un racional (en algunos textos los hallarás como números mixtos), ¿cómo los operamos? Ejemplo 7.

1 3

2 3

Lo que haremos para que su operación sea más fácil, es convertir el entero en un racional equivalente de acuerdo al denominador del número en que se encuentra. Esto es así: multiplicamos el entero por el denominador y ese producto lo sumamos al numerador y a esta suma la escribimos como en nuevo numerador. Ejemplos.

1 3

7 3

3 5

8 5

2 7

23 7

1 4

9 4

2 9

20 9

5 6

29 6

3 4

7 4

3 8

27 8

1 2

11 2

10.

3 11

14 11

Ejercicios 1.

1 5

3 7

5 7

3 4

8 9

7 8

5 8

6 9

1 3

10.

2 5

11.

2 3

12.

5 12

13.

1 4

14.

1 7

9 8

Y ahora, ¿cómo operar con racionales “mixtos”? Ejemplos. 1.

3 5

1 5

8 5

1 5

9 5

= 1

1 3

2 3

7 3

2 3

9 3

= 3

1 2

3 2

1 2

4 2

= 2

3 4

+ 2

1 4

3 4

9 4

12 4

4 5

= 3

12 24 153

10 48 14

1 6

+ 3

5 6

3 7

5 14

17 7

5 14

34 + 5 14

39 14

= 2

11 14

1 5

3 4

16 5

3 4

64 + 15 20

79 20

= 3

19 20

7 6

23 6

30 6

= 5

Los racionales al igual que los enteros, se les puede sumar y restar. Además, como pueden ser positivos y negativos, también en los racionales debemos estar muy atentos a aquello de los “signos”, los “terribles signos”. ¡Atención! Ejercicios. 4 5

Ejemplo 8.

2 5

¿? ¿?

4 5

, dibujemos cuadrados.

2 5

Si al primer cuadrado le sustraemos dos cintas, pongamos por caso las dos más claras, nos quedaremos con las dos más oscuras. Ejemplos: 1.

–

3. 4.

–

3 5

–

1 5

3–1 5

2 5

, como puedes constatar, el tratamiento es igual tomando en cuenta el signo de cada racional.

3 7

1 2

–6+7 14

1 14

, aquí obtuvimos el m.c.m de 7 y 2.

5 6

–

7 9

15 – 14 18

1 18

12 15

2 5

– 12 + 6 15

–6 15

1 4

5 8

2 3

6 + 15 + 16 24

37 24

3 5

7 10

–

3 4

12 + 14 – 15 20

11 20

2 7

–

5 14

6 21

12 – 15 + 12 42

9 24

3 8

7 8

–

5 24

–

9 12

21 – 5 – 18 24

–2 24

–1 12

, aquí obtuvimos el m.c.m de 4, 8 y 3.

, simplificando.

Hasta ahora, hemos operado la suma y resta de racionales. Lo que veremos a continuación es, la suma y resta de racionales con signo, poniendo mayor atención a la hora de restar racionales con signo negativo. Ejemplo 9.

4 5

–

–2 5

4 5

Ejemplo 10.

7 8

–3 8

7–3 8

Ejemplo 11.

–1 4

–

–3 4

–1 4

2 5 = 3 4

4+2 5

= 4 8

1 2

–1 + 3 4

6 5

, simplificando. =

2 4

1 2

Recuerda que el denominador común (la partición común que se hace de la unidad), es el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejercicios 1.

4 5

–

1 5

–3 4

1 2

3 7

–

4 7

2 5

–

–3 10

–6 11

3 11

4 3

–

7 6

5 9

–

2 3

–5 11

2 11

5 8

–

9 16

10.

3 13

–

–5 26

11.

2 3

5 6

–

1 12

12.

5 6

–

1 90

4 15

13.

3 4

–

5 8

7 12

14.

5 42

7 84

–

1 6

15.

7 12

5 9

–

4 24

16.

11 26

9 91

–

3 14

17.

11 15

–

7 30

3 10

18.

1 2

3 5

–

1 6

19.

6 9

15 25

–

8 15

20.

3 5

–

2 3

4 9

Un señalamiento muy importante. El error de ponerle a un número racional el signo contrario al que le corresponde, provoca varios errores: uno, introducimos en el ejercicio el doble del valor del número en cuestión (de - 8/9 a 8/9, hay 16/9 unidades; de 20/23 a –20/23, hay 40/23 unidades y esto cambia totalmente la secuencia del ejercicio); dos, con este cambio, hemos aumentado o disminuido, según el caso, los valores del ejercicio; y tres (por el momento), con cambio de signos y cambio de valores, quien sabe qué ejercicio estaremos resolviendo porque el que nos propusieron originalmente desde luego que no. Así es que, pongamos mucha atención en los signos de los racionales que aparecen en nuestros ejercicios, ya sea como datos ya en el proceso ya finalmente en el resultado. La suma es añadir, agregar, juntar, etc. La resta es sustraer, disminuir, quitar, etc. La multiplicación es, … es, … ¿es … multiplicar? Pues sí, pero ¿qué es multiplicar? En las operaciones de suma y resta dentro de los racionales, la unidad con que hemos trabajado y con base en la que construimos este modo de operar no varió, fue siempre un cuadrado. Cuadrado al que dividíamos en varias partes según el ejercicio nos lo pidiera. En la multiplicación (y más adelante veremos que también en la división, pero no adelantemos vísperas) será diferente. La multiplicación entre números racionales, lleva consigo un cambio de unidades, una “nueva unidad” o “nuevo patrón”, tanto las que sirven de apoyo como las que desea tomar. Esto es simple. Veamos el siguiente caso:

Ejercicio. Se desea tomar la mitad de una madia hoja de papel. Hagamos un dibujo. Tomamos la media Hoja azul claro

De esa media hoja, tomamos la mitad

Nuestro resultado es la sección azul fuerte.

La sección azul fuerte, ¿a cuánto equivale de la hoja original? Media hoja. Esta es nuestra, “nueva unidad”

1 2

, la mitad de esa media hoja

1 2

Todo hace pensar que la multiplicación numérica, se realiza

1 2

1 4

, la cuarta parte de la hoja 1 2

1 2

1 4

O sea que, en la multiplicación de dos números racionales, el resultado está dado por: 1. El producto de los numeradores, de los dos racionales, es el numerador final y 2. El producto de los denominadores, de los racionales, es el denominador final. 3. Si el racional resultado se puede simplificar, hacerlo. Otro ejercicio. Dividir media rebanada de sandía en tres partes.

Media rebanada, “nueva unidad”

1 2

1 3

, la tercera parte de esa media rebanada 28

1 2

, la sexta parte de la rebanada completa

1 6

En este último ejercicio, ¿podríamos cambiar las condiciones? O sea, teniendo un tercio de rebanada, partirla por mitad.

Un tercio de rebanada, “nuevo patrón”

1 3

1 2

, la mitad de ese tercio de rebanada

1 3

1 6

, la sexta parte de la rebanada completa

Si multiplicamos como partimos primero la rebanada, tenemos que

1 2

1 3

1 6

Pero si multiplicamos como partimos después, tenemos

1 3

1 2

1 6

Otro ejercicio más. Dividir dos tercios de hoja en cuatro tercios.

Dos tercios de hoja

2 3

Ejemplos. 1.

, tres cuartas partes de esos dos tercios 3 4

1 5

3 4

2 3

, seis doceavas partes de la hoja completa

3 20

6 12

, simplificando (de la hoja completa)

2 9

5 7

10 63

1 2

2 5

3 7

6 35

2 3

4 5

8 15

5 8

1 7

5 56

1 4

9 11

9 44

¿Cómo resolveremos la multiplicación cuando intervengan en ella racionales mixtos? Pues con ingenio, para eso contamos con nuestra creatividad. Vamos planteándonos unos Ejemplos:

2 3

3 4

8 3

3 4

24 12

4 5

3 7

19 5

31 7

589 35

29 35

1 2

2 5

1 2

27 5

27 10

7 10

3 8

5 8

59 8

53 8

589 64

55 64

3 11

1 2

14 11

1 2

14 22

7 11

-1

1 2

3 5

= -2 2

13 5

- 26 10

-2

6 10

4 7

-3

1 3

18 7

- 10 2

- 180 14

-12

12 14

1 2

2 3

Ahora un ejemplo con números “mixtos”:

1 2

2 3

, conversión a racionales 30

5 2

2 3

Dividiendo por mitades,

5 2

TenĂamos

5 2

2 3

, dividimos las rebanadas en terceras partes (denominador del segundo racional)

que convertido a sextos nos da el racional equivalente

15 6

Redistribuir las sextas partes en tres arreglos que tengan el mismo nĂşmero de rebanadas, 5 2

2 3

, 3 arreglos con 5 partes cada uno

Y de este dibujo sĂłlo tomamos las dos primeras rebanadas (numerador del segundo racional)

2 3

Otro reacomodo y tenemos,

Y para terminar,

Haciendo el ejemplo completo, esto se desarrolla asĂ: 2

1 2

2 3

5 2

2 3

10 6

4 6

El mismo ejemplo pero con los racionales ordenados de otra forma. 2 3

1 2

, conversiĂłn a racionales

2 3

5 2

2 3

Dividiendo en tercios,

2 3

TenĂamos

2 3

5 2

, dividimos los tercios en mitades (denominador del segundo racional)

que convertido a sextos nos da el racional equivalente

4 6

Redistribuir las sextas partes en dos arreglos que tengan el mismo nĂşmero de rebanadas, 2 3

5 2

, 2 arreglos con 2 partes cada uno

Y de uno de estos dibujos tomamos cinco (numerador del segundo racional)

5 2

Reacomodando tenemos,

Y finalmente, igual que en la primera descripciรณn del ejemplo, obtenemos:

Desarrollando el ejemplo completo: 2 3

1 2

2 3

5 2

10 6

4 6

2 3

Ejercicios 1.

1 2

2 3

8 9

3 5

1 4

2 5

5 6

3 4

4 9

1 3

5 7

2 7

3 11

-7

2 9

2 3

1 6

-3

4 5

10.

5 9

-4

1 3

Finalmente llegamos a la división. Recuerda que habrá un cambio de unidad, como lo habíamos adelantado en la multiplicación. Igual que en la multiplicación, será una “nueva unidad” o “un “nuevo patrón”. Ejercicio. Se desea dividir la mitad de un pliego de papel cartulina entre la cuarta parte de un pliego completo. La operación a realizar, se escribe así,

1 2

1 4

, ¿cómo realizarla?

Recuerda cómo se dibuja el escenario cuando se divide utilizando la “casita”, “galera”, “ángulo”, y no se si hay algún otro nombre, en fin, etc. (por si lo hay).

Dibujando la galera y escribiendo los números, tenemos

Ahora recuerda qué quiere decir este arreglo:

1 4

1 2

¿Cuántas veces cabe el un cuarto en un medio?, o bien, ¿Cuántas cuartas partes se pueden hacer con una mitad? Pregunta: ¿Cuál es la “nueva unidad”?, dibujemos el ejercicio y luego contestamos. Dos dibujos: el primero con un pliego de cartulina y el segundo con una rebanada de sandía.

1 2

Hay dos maneras de obtener el resultado de

1 4

Primera: ya que la división es la operación inversa a la multiplicación, multipliquemos los racionales pero invirtiendo el segundo de ellos, ¿qué, qué,… ?, fácil otra vez. 1 2

1 4

1 2

4 1

4 2

, simplificando =

Segunda: de no desear la inversión de la operación ni la del segundo racional, que es nuestra “nueva unidad” (no tomen en cuenta esto último), bueno, nuestro patrón, multipliquemos cruzado y crucemos también los resultados, esto es, 1 2

1 4

1x4 2x1

4 2

, y simplificando =

Ejercicio. Se desea cubrir la mitad de un pliego de papel cartulina con la tercera parte de otro pliego. Escribiendo nuestros racionales y operándolos,

La tercera parte de un pliego

1 3

, la mitad de otro pliego

1 2

1 3

1 2

1x2 1x3

, con el tercio hay que cubrir (dividirlo entre) la mitad

2 3

1 3

1 2

2 3

Nuestro resultado es, la sección de pliego en azul fuerte, en el dibujo de la extrema derecha. El resultado nos dice que los dos tercios equivalen a esa cantidad de superficie de la mitad del segundo pliego, que es lo que se nos pidió cubrir. Pregunta avanzada, bueno para el reto de imaginación. ¿Y qué relación hay entre estos racionales y la unidad original?, o sea, el pliego completo. Veamos esto por partes: 1. La mitad del segundo pliego fue dividida en tres tercios, de su superficie, por las líneas punteadas en el dibujo central, de los cuales dos fueron cubiertos por el primer pliego, en azul fuerte en el dibujo de la extrema derecha. 2. Si esa mitad tiene tres tercios, la otra mitad también, entonces serán seis cintas las que componen la unidad original, o las cintas que componen el pliego completo. Este número lo obtenemos de la multiplicación de los denominadores de los dos números racionales. 3. Ahora bien, con respecto al pliego completo, las cintas en azul fuerte, representan sólo un tercio ¿?, es claro en el dibujo de la extrema derecha, contémoslas, ¿o no? 37

Utilizando como unidades originales cuadrados o circunferencias, haz ejercicios representando con dibujos los racionales que sumes, restes, multiplique y dividas. Te divertirás muchísimo y también, y sobre todo, te aclararás muchísimo la forma en que operan los números racionales. Entonces, ¿cuál es la unidad? Tomemos, de manera convencional, el segundo racional en tanto que es el que debemos rebasar o llenar o cuánto de él podemos cubrir. Repito, sólo por convención, nos servirá en adelante.

Ejercicios 1.

1 2

1 3

11 52

7 26

1 3

1 2

8 27

1 9

1 4

1 3

3 7

1 14

1 8

3 5

12 31

13 31

2 3

1 2

10.

Más ejercicios

3 7

7 11

–5

1 3

3 7

17 6

24 5

6 5

7 9

9. 11. 13. 15.

5 7 2 3 8 4

21. 23.

3 4 – 1 3 3 5

17. 19.

2 7

3 2

+ 2 3 – x

10. 5

5 6

12. 14.

2 3

16.

3 5

5 – 11

18.

9 3

20.

8 9 4 7

3 6

22.

1 4

7 2

24.

2 5

1 2

4 3

2 5

5 8

4 5

3 5

12 = 22 – x

3 2 5

4 5

9 5

3 5

3 8

= :

1 4

Matemáticas 2

Objetivo 1: Números Racionales

(

)

Tema 1. 3: Propiedades de los Números Racionales

El estudiante asimilará la profundidad de las propiedades algebraicas de los números racionales

Propósito:

Sean a/b y c/d dos Números Racionales

En este tema aprenderás las propiedades algebraicas de los números racionales, propiedades que te permitirán desarrollar procesos estratégicos que le faciliten el uso y aplicación de estas propiedades.

entonces . . . a/b + c/d es un

a/b x c/d es un

Número Racional

Vamos a internarnos en las operaciones básicas. ¿Cómo es el comportamiento de los números racionales en la operación de suma? La primera característica o propiedad que tienen, es: Si tomamos dos números racionales cualesquiera y los sumamos, el resultado de la suma de también un número racional. Ejemplos:

1 3

2 3

1 4

8+3 12

3 5

1 2

6+5 10

1 6

1 a

a+6 6a

1 7

3 4

= 4 + 21 = 28

25 28

11 12

2 5

2 3

= 6 + 10 = 15

16 15

11 10

4 9

1 2

8+9 18

17 18

b 9

2 c

= cb + 18 9c

Segunda: Tenemos dos números racionales y los sumamos, sin importar cuál de ellos tomemos primero para sumarlo con el segundo, el resultado de la suma es el mismo. 3 – 3 Ejemplos:

1 2

2 3

3+4 6

7 6

2 3

–

1 2

4–3 6

1 6

4 5

3 4

16 + 15 20

31 20

3 4

4 5

15 + 16 20

31 20

2 7

–

1 3

6–7 21

–1 21

1 3

2 7

7+6 21

13 21

3 5

1 a

3a + 5 5a

1 a

3 5

5 + 3a 5a

Tercera: El cero “0”, sumado a cualquier número racional, lo deja igual. No lo altera. Ejemplos:

0 +

3 4

2 7

3 8

–6 11

0 +

3 8

–4 d

Cuarta: Todo número racional tiene un inverso aditivo (el mismo valor numérico pero con signo diferente), que al sumarlos nos dan como resultado el “0” cero. Ejemplos:

3 7

–3 7

3–3 7

= 0

–2 5

2 5

–2+2 5

= 0

–4 9

4 9

–4+4 9

= 0

1 23

–1 23

1–1 23

= 0

e 5

–e 5

e–e 5

= 0

7 4

–7 4

7–7 4

= 0

Quinta: Tenemos tres números racionales y los sumamos, sumaremos primero dos de ellos y al resultado de esta suma le sumaremos el tercero. Pues el resultado es el mismo, no importando cuáles dos tomemos primero para sumar, a este resultado, el tercer racional. Utilizaremos paréntesis para aclarar cuáles son los dos primeros racionales que estamos agrupando para sumar y posteriormente incluir en la suma el tercero, entonces nuestro esquema toma la forma siguiente: 41

Ejemplos:

( 1 4 1 4 ( 3 7 3 7 ( 1 6 1 6 ( 1 2 1 2

1 6

) +

+ (

1 6

5 21

) +

1 3 1 3

= ) =

3 = 14

3+2 12

1 3

5 12

1 3

5+4 12

9 12

1 4

1+2 6

1 4

3 6

3+6 12

9 12

3 14

14 21

3 14

= 28 + 9 = 42

37 42

+ 10 + 9 = 42

3 7

19 42

= 18 + 19 = 42

37 42

7 24

2 3

= 7 + 16 = 24

23 24

+ 3 + 16 = 24

1 6

19 24

= 4 + 19 = 24

23 24

7 6

2 b

9+5 21

5 + 3 ) = 21 14

3 7

1 8

) +

4+3 24

+ (

1 8

2 3

) +

+ (

2 3

+ (

2 3 2 3

) = 2 b

2 b

= ) =

1 6

3+4 6 1 2

2 3

2 b

+ 2b + 6 = 3b

3b + 4b + 12 6b

7b + 12 6b =

7b + 12 6b

En donde, las literales que hemos empleado son enteros distintos de “0”. Estas cuatro propiedades que hemos ejemplificado para los números racionales, bajo la operación de suma, se escriben y señalan de manera concisa y formal como: 1. Si

a b

c d

son racionales, entonces

a b

c d

a b

c d

también lo es.

Propiedad de cerradura. 2. Si

a b

c d

son racionales, entonces

a b

+ 0 = 0 +

a b

c d

Propiedad conmutativa. 3. El cero sumado a cualquier racional

a b

es tal que

Propiedad, del neutro aditivo,

a b

4. Para todo racional

se tiene

–a b

a b

tal que

–a b

a–a b

= 0

Propiedad del inverso aditivo. 5. Si

a b

(

a b

c d

e f

y c d

son racionales, entonces )

e f

a b

c d

(

e f

)

Propiedad asociativa. Ahora, veamos las características de los números racionales con respecto a la operación de multiplicación. Primera característica: Tomamos dos números racionales cualesquiera y los multiplicamos, el resultado de la multiplicación de ellos es también un número racional. Ejemplos:

4 5

2 3

8 15

3 7

1 4

3 28

1 2

3 4

3 8

2 5

2 9

4 45

2 a

3 7

6 7a

c 3

4 d

4c 3d

Segunda: Tenemos dos números racionales y los multiplicamos, sin importar cuál de ellos tomemos primero para multiplicarlo por el segundo, el resultado de la multiplicación es el mismo. Ejemplos:

1 3

4 7

4 21

4 7

1 3

4 21

5 6

7 9

35 54

7 9

5 6

35 54

1 a

2 5

2 5a

2 5

1 a

2 5a

Tercera: Al multiplicar el 1 por cualquier número racional, ese número racional queda igual. Esto es, no sufre alteración alguna.

Ejemplos:

1 x

3 7

4 11

5 6

7 12

1 x

–2 9

3 b

Cuarta: Tenemos tres números racionales y los multiplicamos, el resultado será el mismo no importa cuáles dos de ellos multipliquemos primero y al resultado de esta multiplicación la multipliquemos por el tercero. Igual que en la suma, usamos paréntesis para dejar en claro cómo estamos agrupando los números racionales para multiplicarlos de manera parcial. Y así: Ejemplos:

( 2 3 2 3 (

3 5

3 5 ( 1 6 1 6

1 4

) x

x (

1 4

2 7

) x

x (

2 7

3 4

) x

x (

3 4

Quinta: todo número racional

3 5 3 5 1 4 1 4 2 a 2 a a b

2 12

3 5

6 60

1 10

) =

2 3

3 20

6 60

1 10

6 35

1 4

6 140

3 70

) =

3 5

2 28

6 140

3 70

3 24

2 a

6 24a

1 4a

) =

1 6

6 4a

6 24a

6 4a

tiene un inverso multiplicativo

b a

tal que

al multiplicarse ambos, el producto es igual a “1”. Ejemplos:

4 7

7 4

28 28

= 1

3 8

8 3

24 24

= 1

3 11

11 3

33 33

= 1

–9 5

5 –9

–45 –45

= 1

2 b

b 2

2b 2b

–b 3

= 1

3 –b

–3b –3b

= 1

Sexta: Tenemos tres números racionales de modo tal que el primero de ellos, multiplica a la suma de los otros dos. Obtendremos el mismo resultado si a la multiplicación del primero por el primero de los que componen la suma le sumamos la multiplicación del primero por el segundo de los que componen la suma. Ejemplos:

( 2 3

1 4

) x

3 5

8+3 12

( 2 3

1 4

) x

3 5

6 15

3 20

( 4 9

1 3

) x

5 6

4+3 9

( 4 9

1 3

) x

5 6

20 54

5 18

( 3 7

–4 5

) x

1 2

15 - 28 35

( 3 7

–4 5

) x

1 2

3 14

3 5

–4 10

= 5 6

11 12

24 + 9 60 7 9

= 1 2 =

5 6

15 – 28 70

35 54

= 35 54

–13 35

33 60

= 33 60

20 + 15 54 =

3 5

1 2

–13 70

Donde las literales de los ejercicios anteriores, son números enteros diferentes de cero. Las cinco primeras propiedades de los números racionales, bajo la operación de multiplicación, se escriben y señalan de manera concisa y formal como: 1. Si

a b

c d

son racionales, entonces

a b

c d

a b

c d

también lo es.

Propiedad de cerradura. 2. Si

a b

c d

son racionales, entonces

c d

a b

x 1

Propiedad conmutativa. a b

3. El “1” multiplicado por cualquier racional

es tal que

a b

Propiedad, del neutro multiplicativo. 4. Si

a b

(

a b

c d

e f

y c d

son racionales, entonces )

e f

a b

c d

(

e f

)

Propiedad asociativa. a b

5. Para todo racional

b a

se tiene

a b

tal que

b a

ab ab

= 1

Propiedad del inverso multiplicativo. 6. Si

a b

c d

e f

(

a b

c d

)

e f

(

a b

c d

)

e f

son racionales, entonces ae bf ad + bc bd

+ x

ce df

ade + bce bdf

e f

ade + bde bdf

Propiedad distributiva de la multiplicaciĂłn con respecto a la suma. Y ahora,

Ejercicios 1. Escribe las siguientes sumas de manera diferente y resuĂŠlvelas. 1 4

2 5

3 8

5 12

7 2

4 9

3 5

7 8

4 7

3 9

7 11

1 2

5 8

2 3

5 6

3 7

-6 10

7 5

4 5

5 6

4 a

–3 7

b 2

–c 5

2. Escribe las siguientes sumas de tres modos diferentes, utilizando las propiedades descritas arriba y los paréntesis para agrupar dos racionales, y resuélvelas. 2 3

3 4

5 12

3 5

1 3

7 9

4 5

5 6

4 15

–2 3

4 9

11 12

5 8

1 4

1 6

4 7

–3 4

1 2

3. Encuentra los inversos aditivos de los siguientes números racionales. 2 13

= 0

14 5

= 0

–9 7

= 0

–3 5

= 0

7 12

= 0

4 b

= 0

5 a

= 0

32 51

= 0

21 16

= 0

4. Escribe las siguientes multiplicaciones de tres modos diferentes, utilizando las propiedades descritas arriba y los paréntesis para agrupar dos cifras, y resuélvelas. 1 2

2 5

3 4

5 6

6 7

7 8

3 7

2 3

5 2

5 7

6 5

2 3

4 5

2 7

7 8

7 9

1 3

7 12

5. Encuentra los inversos multiplicativos de los siguientes números racionales. 2 7

= 1

13 9

= 1

–2 5

= 1

4 9

= 1

–6 11

= 1

3 a

= 1

3 8

= 1

56 71

= 1

–b 5

= 1

6. Escribe las siguientes operaciones de dos formas diferentes y resuélvelas. (

3 7

4 5

) x

1 2

3 4

x (

6 7

3 2

) =

(

5 2

1 3

) x

2 3

5 6

x (

3 4

1 8

) =

(

3 7

4 5

) x

1 2

3 4

x (

6 7

3 2

) =

(

1 2

1 3

) x

1 4

4 9

x (

5 12

3 4

) =

Matemáticas 2

Objetivo 1: Números Racionales Tema 1. 4: Representación geométrica de los Números Racionales

Propósito:

El estudiante comprenderá la geometría sobre la que discurren los números racionales

En este tema el estudiante consolidará su apreciación de los números racionales al vincularlos con la geometría. Esto a través del desarrollo y construcción de racionales equivalentes sobre la partición de la recta numérica, en particular el desarrollo de particiones mediante el cociente de dos enteros y cuya representación se encuentre en el espacio que corresponde a la unidad en la recta numérica.

Números Naturales

Números Racionales

Números Enteros

Al desarrollar particiones en la unidad, el espacio comprendido entre el 0 y el 1 en la recta numérica, aunque prácticamente se está desarrollando entre cualesquiera dos enteros. De manera que lo que se construya para la unidad, se podrá extender o generalizar para cualquier espacio de la recta numérica. Para hacerlo más sencillo utilizaremos figuras geométricas tales como líneas rectas, cuadrados, círculos, en fin lo que sea necesario. Dibujemos una línea recta y en ella marquemos el segmento 0 - 1 (cero al uno). De las construcciones geométricas simples, sabemos como dividir un segmento en dos partes iguales. Será sencillo el dividir, a su vez, cada una de estas dos partes en dos partes iguales y así sucesivamente.

0 2

1 2

0 4

1 4

0 8

0 16

1 8

1 16

2 16

2 4

2 8

3 16

4 14

2 2

3 8

5 16

6 16

3 4

4 8

7 16

8 16

5 8

9 16

4 4

6 8

10 16

11 16

12 16

7 8

13 16

14 16

8 8

15 16

16 16

Los números racionales se representan como el cociente de dos enteros, así lo hicimos en la construcción del ejercicio anterior. Entonces, dividamos ahora el segmento 0 – 1, en tres partes iguales y después dividámoslos por mitades. Antes de realizar el desarrollo que hemos propuesto, dividiendo primero en tercios y luego por mitades, comparemos la última división en mitades con la de tercios. 0

0 16

1 16

2 16

3 16

4 14

5 16

6 16

7 16

8 16

9 16

10 16

11 16

0 3

12 16

13 16

14 16

15 16

16 16

1 3

2 3 50

3 3

Nos damos cuenta que la división en tercios no coincide con la de las dieciseisavas partes. Vemos que el primer tercio se ubica entre las cinco y seis dieciseisavas partes y el segundo tercio, entre las diez y once dieciseisavas partes. De esta construcción intuimos que se pueden “perseguir” los tercios, siguiendo con las divisiones sucesivas por mitades del segmento 0 – 1. Por el momento, aceptemos la división del segmento 0 – 1, en terceras partes y desarrollemos lo que nos propusimos líneas arriba. 0

0 3

1 3

0 6

0 12

1 6

1 12

2 3

2 6

2 12

3 12

4 12

3 6

5 12

3 3

4 6

6 12

7 12

8 12

5 6

9 12

6 6

10 12

11 12

12 12

Habíamos pedido que el segmento 0 – 1, fuera dividido en tres partes iguales. Siguiendo la misma idea, cada una de esas partes dividámosla por terceras partes. He aquí el resultado: 0

0 3

0 9

1 3

1 9

2 9

3 9

2 3

4 9

5 9

6 9

3 3

7 9

8 9

9 9

Procediendo de esta manera, dividiendo siempre por mitades, podemos “perseguir” cualquier número racional. Construyamos entonces, a partir de otras particiones concediendo, por el momento, que estas son factibles de hacerse. Por ejemplo, dividamos primero en quintas partes y después en terceras partes. 0

0 5

0 15

1 5

1 15

2 15

3 15

2 5

4 15

5 15

3 5

6 15

7 15

8 15

4 5

9 15

10 15

11 15

12 15

5 5

13 15

14 15

15 15

Cómo ya te habrás dado cuenta, los racionales que se encuentran sobre la misma línea vertical, en cada uno de los ejercicios, de las varias particiones que se han hecho del segmento 0 – 1, son racionales equivalentes. Otra cualidad (característica o propiedad) de los números racionales cuya esencia se refleja en las construcciones que hemos desarrollado, es su densidad. Este atributo, la densidad, nos permite dividir el segmento 0 – 1 en un número infinito de partes, ya sea dividiendo de manera sucesiva por mitades, terceras, quintas y demás partes. O sea, que el segmento 0-1, podemos dividirlo en múltiples partes y tan pequeñas como sea necesario. Otro ejercicio, dividamos el segmento 0 – 1, en séptimas partes y después en mitades. 0

0 7

0 14

1 7

1 14

2 14

2 7

3 14

4 14

3 7

5 14

6 14

4 7

7 14

8 14

5 7

9 14

10 14

6 7

11 14

12 14

7 7

13 14

14 14

Ahora volvamos a la persecución del un tercio mediante particiones sucesivas de mitades. Dibujemos en la parte superior de nuestro esquema los tercios que se encuentran en la unidad y después dividamos, por mitades, sólo una pequeña parte del esquema: 0 3

1 3

2 3

3 3

0 2

1 2

0 4

1 4

0 8

0 16

1 8

1 16

2 16

2 4

2 8

3 16

4 14

2 2

3 8

5 16

6 16

3 4

4 8

7 16

8 16

5 8

9 16

4 4

6 8

10 16

11 16

12 16

7 8

13 16

14 16

8 8

15 16

16 16

11 32

10 32

0 3

1 3

2 3

3 3

10 32

En nuestro dibujo vemos que la ubicación del primer tercio es:

1 3

11 32

Por otro lado, si vamos sumando las particiones que tenemos en nuestro dibujo, obtenemos: Las mitades sucesivas que NO tomamos,

1 2

1 8

1 32

Las mitades sucesivas que SI tomamos,

1 4

1 16

1 64

21 64

1 3

Y de esta forma nos aproximamos al primer tercio mediante mitades sucesivas. Hemos estado utilizando en el desarrollo de los ejercicios, dos propiedades muy importantes de los números racionales, estas son: primera; los racionales equivalentes y segunda; la densidad. Estas propiedades nos permiten comparar dos racionales entre sí para determinar cuál de los dos es el mayor y cuál es el menor (racionales equivalentes) y encontrar un racional entre dos cualesquiera (densidad). Veamos algunos ejemplos de comparación. ¿Cuál es mayor?

2 3

3 4

5 7

9 14

3 5

4 7

8 17

25 51

3 5

7 12

4 9

5 11

Tomamos los tres primeros: a.

2 3

3 4

5 7

9 14

3 5

4 7

Recordemos que para encontrar racionales equivalentes necesitamos el mínimo común múltiplo de los denominadores y de esta manera, tenemos: a. m.c.m =

b. m.c.m =

c. m.c.m =

Entonces: 2 3

x4 x4

3 4

8 12

8 12 2 3

x3 x3

5 7

x2 x2

9 14

9 12

10 14

9 12

10 14

3 4

x1 x1

3 5

x7 x7

4 7

9 14

21 35

20 35

9 14

21 35

20 35

5 7

9 14

3 5

4 7

3 5

7 12

4 9

5 11

x5 x5

Ahora, los tres siguientes: 8 17

m.c.m =

25 51

m.c.m =

24 51

25 51

36 60

35 60

44 99

45 99

24 51

25 51

36 60

35 60

44 99

45 99

8 17

25 51

3 5

7 12

4 9

5 11

Ahora, ejemplos de densidad. Encontrar un racional que se encuentre entre las siguientes parejas:

14 18

5 6

11 18

15 18

11 18

13 18

5 6

11 18

3 5

4 5

7 10

11 15

13 25

21 35

8 13

30 49

7 15

14 31

12 18

3 5

4 5

6 10

8 10

7 10

11 15

21 30

22 30

42 60

44 60

43 60 d.

15 25

21 35

105 175

8 13

30 49

392 637

390 637

391 637

Son equivalentes.

7 15

14 31

217 465

210 465

216 465

215 465

214 465

213 465

212 465

211 465

Ejercicios Sugerencia: Procura localizar los racionales de estos ejercicios en hojas con cuadrícula. Reduce a su más simple expresión los siguientes racionales. Utiliza para ello, simplificar por mitades, terceras partes, quintas, séptimas, etc. Recuerda el desarrollo o la descomposición en factores primos de los números naturales. 1.

54 108

84 126

99 165

28 36

162 189

121 143

72 324

98 147

98 105

10.

1598 1786

11.

286 1859

12.

4235 25410

13.

252 441

14.

2002 5005

15.

411 685

16.

623 979

17.

1212 1515

18.

1503 2338

19.

1470 4200

20.

2016 3584

Escribe de mayor a menor los racionales que aparecen a continuación. 21.

5 9

2 3

6 11

22.

3 5

5 7

7 10

23.

7 3

9 5

21 17

24.

11 15

5 8

7 11

25.

17 12

14 9

11 15

26.

6 5

23 20

9 8

Escribe de mayor a menor, en cada grupo, los racionales que aquí aparecen y da las razones de tu respuesta. 27.

11 17

8 17

14 17

5 17

28.

11 23

17 23

13 23

15 23

29.

19 14

19 15

19 13

19 12

30.

31 12

31 17

31 22

31 25

Construye, encuentra y exhibe al menos un racional intermedio en cada pareja de racionales que aparecen en los siguientes acertijos. 31.

3 4

7 8

32.

5 9

8 15

33.

3 7

6 13

34.

3 8

8 17

35.

9 11

16 19

36.

18 7

23 9

37.

7 6

15 13

38.

11 4

35 12

39.

1 2

1 3

40.

2 5

3 7

41.

18 21

25 29

42.

7 12

5 9

43.

11 19

7 6

44.

3 7

9 21

45.

7 9

19 21

46. Si una llave vierte 8 ¼ litros de agua por minuto, ¿cuánto tiempo empleará en llenar un depósito de 90 ¾ de capacidad? 47. Una llave vierte 3 ¾ litros por minuto y otra llave vierte 2 1/5 litros por minuto, ¿en cuánto tiempo llenarán un depósito de 59 ½ litros de capacidad? 48. Si 10 obreros realizan 14

2/11

de obra en una hora, ¿cuántos metros realiza cada obrero?

49. Jorge perdió 1/5 de su dinero, prestó 1/8, ¿cuánto le quedó? 50. Se reparten $18 eran?

2/5

entre varias personas y a cada una tocó $3

51. Un niño emplea ¼ del día en estudiar; del día le queda libre?

1/6

17/25,

¡cuántas personas

en hacer ejercicio y 1/9 en divertirse, ¿qué parte

52. Rodrigo tiene $6 3/5, ¿cuánto necesita para tener $ 8 1/6? 53. A María le deben ¾ de $88. Si le pagan los

2/11,

¿cuánto le deben ahora?

54. En una escuela hay 324 alumnos, los 7/18 son damas, ¿cuántos varones hay? 55. Luis tenía $25 y gastó

6/5,

¿cuánto dinero gastó?

57. Claudia debía $183, pagó $42 58. Pedro tenía $40, gastó

3/8,

2/7,

¿cuánto le falta por pagar?

¿cuánto le quedó?

59. Un trabajador emplea 6 horas en realizar 1 metro de una obra, ¿cuánto tiempo empleará en hacer 14 2/3 metros? y ¿cuánto tiempo para 18 5/33 de la misma obra? 60. Un hombre recorre 10 Km. en la 1ª hora; 9 2/7 en la 2ª; 8 3/14 en la 3ª y 6 1/16 en la 4ª, ¿cuántos Km. ha recorrido en las cuatro horas? 61. Un hombre camina 4 ½ Km. el lunes; 8 2/3 el martes; 10 el miércoles y 2 5/8 el jueves, ¿cuántos Km. ha caminado en los cuatro días?

Respuestas a los ejercicios de simplificación. 1.

1 2

2 3

3 5

7 9

6 7

11 13

2 9

2 3

14 15

10.

17 19

11.

2 13

12.

1 6

13.

4 7

14.

2 5

15.

3 5

16.

7 11

17.

4 5

18.

9 14

19.

7 20

20.

9 16

27 20 1+

Matemáticas 2

1.35

Objetivo 1: Números Racionales

3 5 + 10 100

Propósito:

Tema 1. 5: Representación decimal de los Números Racionales

El estudiante operará con los números racionales, escribiéndolos como cociente de números enteros o en su desarrollo decimal

Al concluir este tema, el estudiante sabrá que los racionales tienen otra representación. Además, sabrá como transportar cifras o valores numéricos de una representación a otra. Claro está que ampliará y solidificará su conocimiento sobre el conjunto de los números racionales.

3 = 0.375 8

1.25 = 1

0.375 8

3 000 60 40 0

5 25 125 25 = = = 4 100 100 20

La representación decimal de los números racionales está basada en la división de números naturales y en la estructura posicional del Sistema Métrico Decimal. Comencemos por un ejemplo.

1 4

Cómo representar este cociente en decimales.

Hagamos la división que se indica, 1 entre 4, al modo tradicional. 0.25 4 10 20 0

; 1 (una unidad) entre 4, no se puede; aquí recurrimos al sistema métrico decimal primero escribiendo un “0” en el lugar del cociente y un punto decimal enseguida de él; luego convertimos ese 1 en 10 décimas. Esto lo hacemos escribiendo un “0” después del 1; dividimos 10 entre 4 y si el residuo es distinto de 0, le escribimos un cero más, convirtiendo este residuo en centésimas, y así sucesivamente hasta que tengamos residuo igual a 0.

Esto quiere decir que

1 4

Más ejemplos.

3 10

5 8

7 20

2 5

1 2

1 3

0.3 10 3 0 0

= 0.25 , representaciones, ambas, del mismo valor numérico.

3 = 0.3 10 d.

5 8

0.4 5 20 0

2 5

0.625 8 50 20 40 0

0.35 20 7 0 1 00 0 7 = 0.35 20

= 0.625 0.5 2 10 0

1 2

= 0.4

0.333 3 10 10 10 1 1 3

= 0. 5

= 0.333… ¿?

Que curioso, en los primeros cinco ejercicios hay una división que finalmente arroja residuo cero pero en el sexto no es así, ¿qué quiere decir esto? En los primeros cinco ejercicios, los racionales, como cociente de dos enteros con denominador distinto de cero, tuvieron forma decimal finita no así en el último. Pero en este último ejercicio, se repiten el cociente y el residuo… ¿qué significa esto? Porque al igual que los ejercicios anteriores, también lo escribimos como cociente de dos enteros. Desarrollemos otros ejercicios, algo sacaremos en claro. Otros ejemplos.

5 6

3 7

4 11

15 33

7 27

16 37

0.833 6 50 20 20 2

5 6 j.

3 7

= 0.833…

0.4545 33 15 0 1 80 150 180 15

0.4285714 7 30 20 60 40 50 10 30

15 = 0.4545… 33

4 = 0.3636… 11

= 0.42857142…

0.259259 27 7 0 1 60 250 70 160 250 70 7 = 0.259259… 27

0.3636 11 4 0 70 40 70 4

0.43243 37 16 0 1 20 90 160 120 9

16 = 0.432432… 37

En estos ejemplos, al igual que en el último del bloque anterior, los residuos no arrojan un cero, pero podemos ver que los números después del punto decimal se repiten, unas veces sólo un número, otras dos números, otras más de dos números y otras repiten un número o dos o más, después de alguno o algunos que no se repiten. Los números que se repiten lo hacen en el mismo orden de aparición, de manera periódica. Y este es el nombre que reciben esos números que se repiten “periodo decimal”.

Observemos nuestros ejemplos: En f, tenemos; 0.333… , el 3 se repite y el cociente también. El periodo es 3. En g; 0.833… , se repite a partir del 3 así como el cociente. El periodo es 3, después del 8. En h; 0.42857142… , se repite la secuencia 428571, así como los residuos correspondientes. El periodo es 428571. 61

En i; 0.3636… , se repiten, de manera alterna, el 3 y el 6. El periodo es 36. En j; 0.4545… , se repiten estos números. El periodo es 45. En k; 0.259259… , la secuencia 259 es el periodo. Y en l; 0.432432… , es el periodo. En todos estos ejemplos, los números escogidos partieron de su escritura como cociente de dos enteros, con la advertencia del caso (aquello del cero), y al cambiar su escritura a decimal sucedió que: 1. Algunos racionales se escribieron de forma decimal finita y 2. Algunos racionales se escribieron en forma decimal periódica. Resumiendo. Todo número racional, cociente de dos enteros, tiene desarrollo decimal finito o periódico.

Ejercicios Convierte estos números racionales en su desarrollo decimal, indicando el grupo que conforma el periodo, en los casos que así se muestren. 1.

1 2

2 3

3 5

7 9

6 7

11 13

2 9

1 3

14 15

10.

17 19

11.

2 13

12.

1 6

13.

4 7

14.

2 5

15.

1 5

16.

7 11

17.

4 5

18.

9 14

19.

7 20

20.

9 16

Hemos convertido números racionales presentados como cocientes de dos enteros, en su desarrollo decimal. Surge entonces una pregunta ¿se podrá convertir un número de su desarrollo decimal a cociente de dos enteros? 62

Como es costumbre, desarrollaremos algunos ejercicios. a.

0.75

0.375

0.55

0.54

0.05

0.024

0.5625

0.666…

Desarrollemos y sumemos los decimales de acuerdo al lugar, y nombre, que ocupa cada número en la notación posicional. Al final de las operaciones habrá que simplificar. a.

0.75 , 7 10

70 + 5 100

75 100

15 20

3 4

tres décimas, siete centésimas y cinco milésimas. 7 100

5 = 300 + 70 + 5 = 1000 1000

375 1000

75 200

15 40

6 250

3 125

3 8

5 100

50 + 5 100

55 100

11 20

4 100

50 + 4 100

54 100

27 50

cinco centésimas. =

0.5625 , 5 10

cinco décimas y cuatro centésimas.

0.024 , 2 100

0.05 , 5 100

5 100

cinco décimas y cinco centésimas.

0.54 , 5 10

0.55 , 5 10

0.375 , 3 10

siete décimas y cinco centésimas.

1 20 dos centésimas y cuatro milésimas. 4 = 1000

20 + 4 1000

24 = 1000

12 500

cinco décimas, seis centésimas, dos milésimas y cinco diez milésimas. 6 100

2 + 1000

5 10000

5000 + 600 + 20 + 5 10000

5625 10000

1125 2000

0.666… ,

6 10

225 400

45 80

9 16

seis décimas, seis centésimas, seis milésimas y así seguiríamos. 6 100

6 + 1000

6 10000

6 100000

+ …

Haciendo uso de la construcción de racionales equivalentes y de multiplicar dos cifras por el mismo factor y con la ayuda del álgebra, desarrollemos las siguientes expresiones: Fíjate en algo muy importante: El periodo está compuesto por un solo número (el 6). Sea

x = 0.666… 10 x = 6.666…

9x=6 x =

multiplicando ambos términos de la igualdad por 10, tenemos fíjate que después del punto decimal ambas expresiones coinciden. Ahora, si a esta expresión, restamos la anterior, obtenemos y ahora dividimos ambos términos por 9

6 9

simplificando

2 3

0.666… =

. O sea

2 3

Ves que no es difícil, si acaso es laborioso y eso sí, ingenioso y creativo. Y ya picados, pues más ejemplos. i.

0.6363…

m. 0.8333…

0.1818…

0.518518…

0.594594…

0.31818…

0.68181…

0.4259259…

i. En este ejercicio, el periodo lo componen dos números (el 6 y el 3). x = 0.6363… 100 x = 63.6363…

99 x = 63 x =

multiplicando ambos términos de la igualdad por 100, tenemos al igual que en el ejercicio anterior, después del punto decimal ambas expresiones coinciden. Como líneas arriba, si a esta expresión, restamos la anterior, obtenemos y dividimos ambos términos por 99

63 99

simplificando

21 33 64

7 11

= 0.636363…

j. El periodo es de dos números (el 1 y el 8). x = 0.1818… 100 x = 18.1818…

99 x = 18 x =

multiplicando ambos términos de la igualdad por 100, tenemos por la misma razón que el ejercicio anterior. Y ahora, si a esta expresión, restamos la anterior, tenemos y dividiendo ambos términos por 99

18 99

simplificando

6 33

2 11

= 0.1818…

k. Periodo de tres números (5, 1 y 8). x = 0.518518…

multiplicando ambos términos de la igualdad por 1000, tenemos

1000 x = 518.518518… y así tendremos el mismo desarrollo decimal en ambas expresiones. A esta expresión, restamos la anterior 999 x = 518 x =

518 999

ahora dividimos ambos términos por 999 simplificando

14 27

= = 0.518518…

l. Periodo de tres números (5, 9 y 4). x = 0.594594…

multiplicando ambos términos de la igualdad por 1000, tenemos

1000 x = 594.594594… igual que en el ejercicio anterior. Entonces, a esta expresión restamos la anterior y obtenemos 999 x = 594 x =

594 999

dividiendo ambos términos por 999 simplificando

198 333

66 111

22 37

= 0.594594…

m. Periodo de un solo número (el 3), después de una cifra (el 8). x = 0.8333… 10 x = 8.333…

multiplicando ambos términos de la igualdad por 10, tenemos para tener, después del punto decimal, el número que se repite (el que forma el periodo). Luego, si a esta expresión la multiplicamos por 10, obtenemos

100 x = 83.333…

y de esta manera tendremos el mismo desarrollo decimal en ambas expresiones; si ahora, a esta expresión restamos la anterior

90 x = 75 x =

que dividiendo ambos términos por 90 75 90

simplificando

15 18

5 6

0.8333…

n. Periodo de dos números (el 1 y el 8), después de una cifra (el 3). x = 0.31818…

multiplicando ambos términos de la igualdad por 10, tenemos

10 x = 3.1818…

misma razón que en el ejercicio anterior; y si a esta expresión la multiplicamos por 100, obtenemos

1000 x = 318.1818…

para que el desarrollo decimal coincida y entonces, a esta expresión restamos la anterior

990 x = 315 x =

dividiendo ambos términos por 990

315 990

simplificando

63 198

21 66

7 22

= 0.31818…

o. Periodo de dos números (el 8 y el 1), después de una cifra (el 6). x = 0.68181…

multiplicando ambos términos de la igualdad por 10, tenemos

10 x = 6.8181…

por el mismo razonamiento que en el ejercicio anterior. Y a esta expresión la multiplicamos por 100

1000 x = 681.8181…

también aquí, utilizamos lo hecho en el ejercicio anterior. A esta expresión restamos la anterior

990 x = 675 x =

675 990

y ahora dividimos ambos términos por 990 y simplificando

135 198

45 66

15 22

= 0.68181…

p. Periodo de tres números (2, 5 y 9), después de una cifra (el 4). x = 0.4259259… 10 x = 4.259259…

multiplicando ambos términos de la igualdad por 10, tenemos igual que líneas arriba: dejar después del punto decimal sólo el periodo y a esta expresión la multiplicamos por 1000

10000 x = 4259.259…

9990 x = 4255 x =

4255 9990

misma razón que en los anteriores ejercicios. Y a esta expresión restamos la anterior y ahora dividimos ambos términos por 9990 y simplificando

851 = 1998

23 54

= 0.4259259…

Como te habrás dado cuenta, hay números de desarrollo decimal de todos colores y sabores. Queremos decir, que sus periodos están compuestos por uno, dos o más dígitos y que estos pueden comenzar después de uno (aquí sólo desarrollamos ejercicios así), dos o más dígitos que no forman parte del periodo. En los ejemplos anteriores, la estrategia fue: 1. Multiplicar por una potencia de 10 de tal manera que el periodo comenzara inmediatamente después del punto decimal. 2. Multiplicar de nueva cuenta por una potencia de 10, desde luego mayor a la del inciso anterior, de modo que de nueva cuenta, tuviéramos, después del punto decimal el periodo del número en cuestión (lo que podríamos llamar la segunda aparición del periodo). 3. Realizar el desarrollo algebraico con cuidado y 4. Simplificar, de ser necesario, el racional obtenido como cociente de dos enteros. Los racionales (ya sea como cociente de dos enteros o en su desarrollo decimal), el saber construirlos, conocer sus propiedades, el cómo se operan y el desarrollo de las habilidades de manejo, intuición, ingenio y creatividad, nos darán una herramienta poderosa para procesar y resolver cualquier acertijo, ejercicio o modelo que se nos proponga. Sabiendo que ésta es una maquinaria tan útil, démonos a la tarea de aplicarla.

Ejercicios Transforma estos números en desarrollo decimal a cociente de dos enteros. Recuerda que el ejercicio estará resuelto, de manera total, hasta simplificar el cociente. 1.

1.25

0.125

0.3636…

0.5625

0.2666…

0.65

0.378378…

0.92

1.95

10.

1.1875

11.

0.740740…

12. 1.777…

13. 1.22

14.

0.432432…

15.

0.72

16. 0.4

17. 0.29090…

18.

1.3

19.

2.125

20. 0.370370…

Resultados de los ejercicios de conversión decimal a cociente. 1.

5 4

1 8

4 11

9 16

4 15

13 20

14 37

23 25

39 20

10.

19 16

11.

20 27

12.

16 9

13.

61 50

14.

16 37

15.

18 25

16.

2 5

17.

16 55

18.

13 10

19.

17 8

20.

19 27

21. Pedro tiene $5.64, Juan tiene $2.37 más que Pedro y Enrique tiene $1.15 más que Juan, ¿cuánto tienen entre los tres? 22. Un hombre se compra un traje, una camisa, un par de zapatos y una billetera. Ésta última le ha costado $37.50; la camisa le ha costado el doble de lo que le costó la billetera; el par de zapatos $17.80 más que la camisa, y el traje 5 veces lo que la billetera. ¿Cuánto le ha costado todo? 23. Se adquiere un libro por $45.00; un par de libretas por $20.00 menos que el libro; una pluma por la mitad de lo que costaron el libro y las libretas. ¿Cuánto sobrará al comprador después de hacer estos pagos, si tenía $158.30? 24. Un comerciante hace un pedido de 3000 Kg. de mercancía y se lo envían en cuatro partidas. En la primera le mandan 714.75 Kg.; en la segunda 400 Kg. más que en la primera; en la tercera, tanto como en las dos anteriores y en la cuarta lo restante. ¿Cuántos Kg. le enviaron en la última partida? 25. En un camión se llevan cinco fardos de mercancía. El primero pesa 62.675 kgs.; el segundo 8 kgs. menos que el primero; el tercero 6.104 kgs. más que los dos anteriores juntos, y el cuarto tanto como los tres anteriores.¿Cuál es el peso del quinto fardo si el peso total de las mercancías es 960.34 kgs.? 26. Se reparte una herencia entre tres personas. A la primera le corresponden $1245.67; a la segunda, tres veces lo que a la primera más $56.89; a la tercera, $76.97 menos que la suma de lo de las otras dos. Si además, se han realizado gastos por $301.73, ¿a cuánto ascendía la herencia? 68

27. La estatura de una persona es 1.85 m. y la altura de una torre es 26 veces la estatura de la persona menos 1.009 m. Hallar la altura de la torre. 28. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 897.002 kgs. El primer depósito contiene 18.132 kgs. menos que el segundo; el segundo, 43.016 kgs. más que el tercero, y el tercero, 78.15 kgs. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito. 29. Un rodillo de piedra tiene 6.34 pies de circunferencia. Sobre una cancha de tennis, el rodillo da 24.75 vueltas. ¿Cuál es la longitud de la cancha de tennis? 30. El vino de un tonel pesa 1962 kgs. Si cada litro de vino pesa 0.981 kgs., ¿cuántos litros de vino contiene el tonel? 31. Un tonel lleno de vino pesa 614 kgs. Si el litro de vino pesa 0.98 kgs. y el peso del tonel es 75 kgs., ¿cuántos litros contiene el tonel? 32. Un kilogramo de una mercancía cuesta $1300.00 y un kilogramo de otra, cuesta $32.50. ¿Cuántos kilogramos de la segunda se podrían comprar con un kilogramo de la primera? 33. Se compran 21 metros de cinta por $7.35. ¿Cuánto importarían 18 metros de cinta? 34. Tengo 14 kgs. de una mercancía y me ofrecen comprarla pagándome $9.40 por kg.; pero desisto de la venta y más tarde entrego mi provisión por $84.14. Con estos precios, ¿cuánto gané o perdí en la venta? 35. Se compran 4 docenas de sombreros a $390 cada sombrero. Si se reciben 13 por 12, ¿a qué precio real se obtuvo cada sombrero?

Matemáticas 2

Objetivo 2: Razones y Proporciones

Tema 2. 1: Concepto de Razón y Proporción

OBJETIVO 2 En este tema el estudiante sabrá comparar cantidades por medio de dos métodos: el geométrico y el de las operaciones con racionales. ejercicios.

Comencemos con: Ejemplo 1. La comparación de objetos que podemos dibujar y cuantificar.

En este dibujo, cuántas secciones, tomadas del total, son azules.

En este otro, cuántas, tomadas del total, son azules.

En razón de 3 a 4 ó 3 de 4

En razón de 12 a 16 ó 12 de 16

Razón, es la comparación de dos cantidades. Como tenemos en el dibujo. En nuestro ejemplo: 3 (azules) de 4 (en total); o 12 (azules) de 16 (en total). En números racionales

3 4

En racionales

12 16

3 4

Qué relación hay entre

12 16

, pues la de ser racionales equivalentes.

Proporción, es la equivalencia, por comparación, entre dos razones. De nuestro ejemplo: 3 es a 4 como 12 es a 16. Fíjate como, al aumentar el número de secciones (por partición), aumenta también el número de secciones que cumple con la propiedad de ser azules. Otro ejemplo 2.

Azul Azul

Cuántos triángulos, del total de esta figura, tienen los colores primarios.

Y cuántos en esta figura.

La razón es de 3 a 5 ó 3 de 5 En números racionales

3 5

Qué relación hay entre

Aquí es de 9 a 15 ó 9 de 15 En racionales

9 15

, la misma que en el ejemplo anterior.

Cómo transitar de uno a otro: expandiendo o simplificando, según el caso. Expandiendo,

3x3 5x3

9 15

; simplificando,

9:3 15 : 3

3 5

En este ejemplo también, al aumentar el número de triángulos (partiendo los originales), aumenta en número de triángulos de colores primarios. La escritura de estos números como razones de una proporción es: 3 es a 4 como

también se escribe

12 es a 16

como

Pregunta: 4 es a 7 como qué número es a 42. Escribamos nuestras razones como una proporción. Sólo en una forma. 4 es a 7 como

¿cómo encontrar esa “A”?

A es a 42

Si como dijimos líneas arriba, son racionales equivalentes, entonces debe cumplirse que: 4 7

A 42

, sea igual a

, busquemos entonces esa A.

Por qué número hay que multiplicar al 7 para obtener 42. Respuesta: Por 6, y así

4 7

4x6 7x6

24 42

, o sea A = 24.

Si este ejemplo lo disponemos en vertical, como la primera escritura del anterior, lucirá así: 4

como

4 A

, de donde

7 42

, e igual que en la primera

parte de este ejemplo, buscamos un número que multiplicado por 7 nos dé 42.

4 A

7 42

7 x 6 = 42, entonces 4 x 6 y tenemos

4 4x6

4 24

O sea que, podemos expresar las razones de una proporción de forma horizontal o vertical; siempre y cuando escribamos en el mismo renglón las cantidades que forman la misma razón de la proporción; o bien, escribamos en la misma columna las cantidades que forman la misma razón de la proporción. Ejemplo 3. Si 4 libros cuestan $80, ¿cuánto costarán 10 libros?

Una observación. En las líneas que anteceden a este ejemplo, dice que escribamos las cantidades de una misma razón, en el mismo renglón o en la misma columna sin exigirnos cuál de ellos debemos escribir primero. Entonces, si en una proporción, sus razones las podemos escribir en renglones o columnas y alternadas en el orden, tenemos varias formas de presentarlas. Apliquemos esto en el siguiente ejercicio. Escribimos las razones de la proporción en horizontal: a. Alternando los renglones de las razones. 1.

b. Alternando las columnas de las razones.

es a a

80 B

como

4 10

es a a

B 80

como

10 4

como

80 B

es a a

4 10

como

B 80

es a a

10 4

como

10 B

es a a

4 80

como

B 10

es a a

80 4

Ahora, las razones las escribimos en vertical: 5.

es a a

10 B

como

4 80

es a a

B 10

como

80 4

Estas razones nos producen las siguientes parejas de racionales equivalentes: 1.

4 10

80 B

4 10

10 4

B 80

B = 80

10 4

4 80

10 B

4 80

80 4

B 10

B = 10

80 4

La forma de obtener el valor numérico de B, es: En los ejercicios 1, 2, 3, y 4, del ejemplo 3, encontrar un número que multiplicado por 4 nos dé 80 y entonces, aplicarlo al 10. Tal número es 20, de modo que B = 10 x 20 = 200. Y en los ejercicios 5, 6, 7 y 8, un número que multiplicado por 4 nos dé 10 y aplicarlo al 80. El número que cumple con esa condición es

5 2

5 x 80 2

400 2

5 2

(o bien, 2.5), y aplicado al 80 nos da

= 200.

Respuesta: $200. La forma coloquial de escribir las razones de una proporción es la siguiente: si tenemos que a es a b como c es a d, entonces ;

a : b :: c : d

, a y d, reciben el nombre de extremos y mientras que b y c, el de medios.

Las razones de una proporción, son equivalentes cuando el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Ejemplificado en los ejercicios anteriores, desprendidos del ejemplo3, resulta que: el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Como, además, podemos alternarlos, o sea cambiar de posición los dos extremos por los dos medios y viceversa, tenemos que esta razón se puede escribir de 8 formas diferentes (como ya lo hicimos). Para buscar el cuarto número, que nos permita tener las cuatro cifras de la proporción (o sea, el cuarto proporcional), atacamos el ejercicio con el procedimiento de la construcción de racionales equivalentes. Entonces, ya tenemos cómo obtener la cifra que nos hace falta. Ejemplo 4. Si 6 refrescos familiares cuestan $51, cuánto costarán 9 refrescos familiares.

como

6 9

es a a

51 R

, y como racionales

6 51

9 R

sabemos que

6 x R = 51 x 9

, entonces

51 x 9 6

459 6

76.5

Respuesta: 9 refrescos familiares cuestan $ 76.50. Ejemplo 5. Dos números están en razón de 3 a 5. Si el mayor es 655, ¿cuál es el menor?

como si

3 N

es a es a

3 x 655 = 5 x N

5 655

3 5

, y como racionales

, entonces

3 x 655 5

1965 5

N 655 =

393

Respuesta: El número menor de esta razón es 393. Ejemplo 6. Un edificio A tiene 20m. de altura y proyecta una sombra de 25m. El edificio B que está al lado tiene una altura de 14m., ¿de qué longitud es la sombra que proyecta el edificio B sobre el suelo?

como si

20 14

es a es a

20 x S = 25 x 14

25 S

, como racionales

, entonces

25 x 14 20

20 25 =

350 20

14 S =

17.5

Respuesta: La longitud de la sombra del edificio B es 17.5m. En los ejemplos que hemos desarrollado, resulta que al aumentar las cantidades de la primera razón, aumentan también las cantidades de la segunda razón; si llevamos más libros, aumentará la cuenta; si compramos más refrescos, pagaremos más; si la sombra de un edificio aumenta, también aumenta la sombra de los edificios cercanos a él. En fin, el aumento en una de las razones de la proporción genera un aumento en la otra razón. Volvamos al ejemplo de los libros (ejemplo 3) pero ahora con un pequeño cambio. Los libros deben ser encuadernados por especialistas. Ahora bien, se tienen que encuadernar un número fijo de libros. Si este trabajo lo realizan 3 especialistas, emplean en ello 240 horas. En el trabajo de encuadernar una cantidad igual de libros, ¿cuántas horas emplearán 6 especialistas? Entonces, tenemos las siguientes razones: 75

3 6

como

es a es a

240 E

PERO a diferencia de los ejercicios anteriores,

si aumentamos el número de encuadernadores DISMINUIRÁ en tiempo en que se realice dicha tarea. ¿Cómo resolver este enigma? A ver, a ver, … si con 3 encuadernadores obtenemos el trabajo en 240 horas, teniendo 6 encuadernadores para realizar el trabajo … ¿en cuánto se reducirá el tiempo de encuadernación de los libros?

= Trabajo para 3 encuadernadores

Trabajo para 6 encuadernadores

Tenemos el doble de encuadernadores y el número de libros es el mismo, entonces debe reducirse el tiempo a la mitad. Esto sería 120 horas de trabajo, ¿será cierto? De nuestras razones: como

3 6

es a es a

240 E

cómo deberíamos proceder para obtener el

resultado de 120 horas, que suena consecuente; El trabajo es el mismo pero ahora se cuenta con el doble de encuadernadores. Si

3 x 240 = 6 x E

, entonces

3 x 240 6

720 6

120

Operando nuestras razones obtuvimos un resultado que nos parece aceptable, aunque no procedimos como en los primeros ejercicios; identificando los medios y los extremos. Mientras que en los primeros ejemplos nuestras operaciones, dada la proporción, fueron: a : b :: c : d

a x d = b x c , el producto de los extremos igual al producto de los medios.

En este último ejemplo, resulta que hay un cambio en nuestras operaciones: a : b :: c : d

a x b = c x d , el producto de las cantidades de la primera razón es igual al producto de las cantidades de la segunda razón.

¿Por qué este cambio? Porque en los primeros ejemplos, dada la primera razón, las cantidades de la segunda razón, ambas aumentaban o ambas disminuían y en nuestro último ejemplo, dada la primera razón, las cantidades de la segunda razón si una aumenta la otra disminuye y viceversa. O sea, en los ejemplos primeros, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Mientras que en el último ejemplo, el producto de las cantidades de la primera razón es igual al producto de las cantidades de la segunda razón. Ejemplo 7 para ambos casos. 7. a. Un carpintero elabora 3 puertas en un día de trabajo, ¿cuántas puertas elaborarán 4 carpinteros en un día de trabajo?

...

1 carpintero 3 puertas

1 4

es a es a

3 P

4 carpinteros ¿cuántas puertas?

1 : 3 :: 4 : P , 1 x P = 3 x 4 , P = 12. El producto de extremos igual al producto de medios.

R: Los 4 carpinteros, elaborarán 12 puertas en un día de trabajo. 7. b. Un carpintero elabora un cierto número de puertas en 6 días de trabajo, ¿en cuántos días de trabajo elaborarán ese mismo número de puertas 3 carpinteros? 1 3

es a es a

6 P

1 : 6 :: 3 : P , 1 x 6 = 3 x P , P =

6 3

= 2.

El producto de las cantidades de la primera razón igual al producto de las cantidades de la segunda razón. R: Los 3 carpinteros, elaborarán las puertas en 2 días de trabajo. 77

1 carpintero 6 días de trabajo

3 carpinteros ¿cuántos días de trabajo?

Otros ejemplos para ilustrar las proporciones. Ejemplo 8. a. Una fábrica de refrescos tiene una producción de 21600 refrescos con 8 máquinas. Si quiere aumentar su producción en 8100 refrescos, ¿cuántas máquinas debe adquirir? 21600 8100 M = M =

es a es a

8 M

8 X 8100 21600 27 9

21600 : 8 :: 8100 : M , 64800 21600

= 9 3

648 216

21600 x M = 8 x 8100 , 324 108

162 54

81 27

R: La fábrica debe adquirir 3 máquinas. 8. 2. Una fábrica de refrescos tiene 11 máquinas que producen, cada una de ellas, 2430 refrescos en un tiempo determinado. Si se está dando mantenimiento a 2 de esas máquinas y se quiere que en ese mismo tiempo la producción no disminuya, ¿cuántos refrescos debe producir cada máquina que continúa trabajando? 11 9 R =

es a es a

2430 R

11 X 2430 9

11 : 2430 :: 9 : R , =

26730 9

8910 3

11 x 2430 = 9 x R , =

R: Cada máquina debe producir ahora 2970 refrescos. 78

2970

Resumiendo: I. Dos Razones están en Proporción Directa o son Directamente Proporcionales, si una es expansión o simplificación de la otra. II. Dos Razones están en Proporción Inversa o son Inversamente Proporcionales; si al aumentar alguna de las cantidades que la componen, la otra cantidad disminuye o viceversa.

Ejercicios 1. En un cuestionario, la proporción de aciertos y el total de preguntas es de 8 a 10. Si una persona obtuvo 48 aciertos: 1. a. ¿Cuántas preguntas contiene el cuestionario? 1. b. ¿Cuántas respuestas incorrectas tuvo? 2. En un plantel de bachillerato, la proporción de varones a señoritas es de 4 a 5. Si el plantel tiene una matrícula de 1080 estudiantes (o sea, la suma de varones y señoritas), ¿cuántos varones hay en el plantel? y ¿cuántas señoritas? 3. La estancia de una casa tiene forma rectangular. Si la razón entre el largo y ancho de la estancia es de 7 a 4 y su perímetro es 33 m., ¿cuál es su superficie? 4. En una alberca con medidas olímpicas, sus medidas de ancho y largo están en razón de 8 a 25. Si el perímetro de la alberca es de 132 m., ¿cuál es la superficie de la lona que se utiliza para cubrirla? 5. Si 9 jardineros, podan los árboles de una sección del Bosque de Chapultepec en 14 días, ¿en cuántos días realizarán ese mismo trabajo 21 jardineros? 6. En una panificadora, 6 panaderos elaboran una cierta cantidad de pasteles en 10 horas de trabajo. Si es necesario que esa cantidad de pasteles sean elaborados en 4 horas: 6. a. ¿Cuántos pasteleros se necesitan? 6. b. ¿Cuántos pasteleros se aumentaron para elaborar los pasteles en 4 horas? 79

Matemáticas 2

Objetivo 2: Razones y Proporciones Tema 2. 2: Proporción Directa y Proporción Inversa

Propósito:

El estudiante identificará cuándo dos razones forman una proporción directa o una inversa.

En este tema el estudiante identificará, utilizando su ingenio, cuándo las razones que componen una proporción, están en proporción directa (o son directamente proporcionales) o en proporción inversa (o son inversamente proporcionales). El encontrar el elemento faltante de una proporción, lo hará con base en las propiedades de operación de los números racionales. Ejemplos de proporciones. 1. Se compraron 7 latas de pintura industrial, pagándose por ellas $140.00. 1. a. ¿Cuánto costarán 11 latas de la misma pintura? 1. b. Con $80.00, ¿cuántas lata se pueden comprar? Antes de comenzar nuestro proceso para obtener el resultado, hagámonos dos preguntas: 1. a. Si se aumenta el número de latas de pintura, ¿qué sucede con la cuenta? Respuesta: La cuenta también aumenta; las razones están en proporción directa. 1. b. Si la cuenta disminuye, ¿qué sucede con el número de latas de pintura? Respuesta: El número de latas de pintura también disminuye; las razones están en proporción directa. 80

Entonces, utilizaremos la propiedad que nos dice que en una proporciรณn directa el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Resolviendo 1. a. 7 11 L

es a es a =

140 L

140 X 11 7

7 : 140 :: 11 : L , =

1540 7

7 x L = 140 x 11 ,

220 .

R. 1. a: Las 11 latas de pintura cuestan $220.00. Resolviendo 1. b. 7 P P =

es a es a

140 80

7 X 80 140

7 : 140 :: P : 80 ,

560 140

7 x 80 = 140 x P ,

280 70

140 35

28 7

4 .

R. 1. b: Con $80.00, se compran 4 latas de pintura. Estos resultados, y muchos otros, podemos obtenerlos construyendo una tabla:

Aumenta

Proporciรณn Directa

240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140

Aumenta

130 12

120

110

100

Disminuye

Caja

6 5 4

Disminuye

80 70 60 50 40

Latas

Pesos

Esta tabla tiene dos escalas: Latas y Pesos. Observamos que si aumentamos una de ellas, aumentará la otra de manera consecuente; y si disminuimos una de ellas, lo mismo sucederá con la otra. Ejemplo. 2. Se desea pintar una barda. Si se contratan 5 pintores, estos emplearían 144 horas en pintar la barda. 2. a. ¿Cuántas horas emplearían 2 pintores en pintar una barda de iguales dimensiones? 2. b. Si es necesario pintar una barda de iguales dimensiones en 72 horas, ¿cuántos pintores se necesitan para hacerlo? Otra vez se sugiere que antes de comenzar nuestro proceso para la obtención del resultado, nos hagámonos dos preguntas: 2. a. Si se disminuye el número de pintores, ¿qué sucede con las horas de pintar? Respuesta: Las horas de pintar aumentan; las razones están en proporción inversa. 2. b. Si las horas de pintar disminuyen, ¿qué sucede con el número de pintores? Respuesta: El número de pintores aumenta; las razones están en proporción inversa. Entonces, utilizaremos la propiedad que nos dice que en una proporción inversa el producto de las cantidades de una razón es igual al producto de las cantidades de la otra razón. Resolviendo 2. a. 5 2 H =

es a es a

144 H

5 X 144 2

5 : 144 :: 2 : H , =

720 2

5 x 144 = 2 x H ,

360 .

R. 2. a: Los 2 pintores emplearían 360 horas en pintar una barda de iguales dimensiones. Resolviendo 2. b. 5 B B =

es a es a

144 72

5 X 144 72

5 : 144 :: B : 72 , =

720 72

5 x 144 = B x 72 ,

10 .

R. 2. b: Se necesitan 10 pintores para pintar una barda de iguales dimensiones en 72 horas. 82

En una tabla, estos resultados podemos obtenerlos así: Primero adecuamos nuestra tabla.

Aumenta

Disminuye

1 2 3 4 5 6

Pintores

Horas

60.0

65.5

60.0

Disminuye

65.5

72.0 80.0

72.0

90.0

80.0

102.9

144.0

120.0

240.0

180.0

720.0 3 2

.0 720 .0 6 3 0 .0 240 .0 180 .0 144 .0 120 .9 102 90.0

8 7 6 5 4

Aumenta

12 11

7 8 12 11 10 9

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

60.0

Barda

720.0

65.5

Aumenta

Disminuye

72.0

180.0

80.0

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

144.0

90.0

120.0

102.9

Disminuye

Aumenta

Barda

102.9

120.0

360.0

144.0

240.0

Aumenta

90.0

180.0

80.0

240.0

72.0

360.0

65.5

720.0

60.0

Disminuye

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

360.0

Proporción Inversa

Pintores

Horas

Estas tablas tienen, ambas, dos escalas: Pintores y Horas. Observamos que es necesario INVERTIR una de ellas, de manera que si aumenta una la otra disminuya o viceversa; si disminuimos una de ellas, la otra aumenta. Escojamos una de las dos, ya adecuada, y dibujemos nuestro ejercicio. Aumenta

Proporción Inversa

720.0 360.0 240.0 180.0 144.0

102.9

1 2

90.0

3 4

Disminuye

120.0

5 6 7

Aumenta

Barda

8 9

80.0 72.0 65.5

10 60.0

11 12

Pintores

Horas

Como podemos apreciar, es muy importante hacernos la pregunta de qué pasa si se aumenta o disminuye una de las cantidades de la razón propuesta. De esta manera sabremos si con esa razón se genera una proporción directa o una proporción inversa. 83

Ejercicios 1. En el puerto de Hamburgo atraca un buque con un cargamento de grandes latas de aceite. Si con 4 grúas se descargan 180 latas: 1. a.¿Cuántas latas se podrán descargar con 7 grúas? (Construye una tabla en la que aparezca la proporción de descarga desde 1 hasta 10 grúas). 1. b ¿Cuántas grúas se necesitan para descargar 135 latas? 2. Con 5 grúas, se descargan las latas, un cierto número, como destino el puerto de Hamburgo en 600 horas de trabajo. 2. a ¿Cuántas horas de trabajo serán necesarias para descargar ese mismo número de latas si se trabaja con sólo 3 grúas? 2. b. Si se desea realizar la descarga del mismo número de latas en 375 horas, ¿cuántas grúas serán necesarias?

PeMex

PeMex PeMex

PeMex

PeM ex

PeMex

PeM ex

3. Un automóvil recorre 120 kilómetros con 15 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros recorrerá con 20 litros más? 4. Un camión recorre 216 kilómetros con 18 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesita para recorrer 300 kilómetros? 5. Un motor trabaja dando 36 revoluciones en 3 segundos. ¿Cuántas revoluciones dará ese motor en 1 minuto? 6. A la velocidad de 30 Km. por hora un automóvil emplea 8 ¼ horas en ir de una ciudad a otra. Si el regreso lo hace al triple de velocidad: 6. a. ¿Cuánto tiempo empleará? 6. b. ¿Cuánto tiempo menos empleó en el regreso de acuerdo al tiempo de ida? 7. Una pieza de tela tiene 32.32 metros de largo y 75 centímetros de ancho. ¿Cuál será la longitud de otra pieza, de la misma superficie, cuyo ancho es de 80 centímetros? 84

Matemáticas 2

Objetivo 2: Razones y Proporciones Tema 2. 3: Regla de Tres directa e inversa

Propósito:

El estudiante aplicará la regla de tres para resolver acertijos y ejercicios cotidianos.

El estudiante utilizará el método de La Regla de Tres, como ha utilizado el de las proporciones, para resolver ejercicios en los que dados tres datos (o cantidades) y su relación, tendrá que encontrar el cuarto dato que hace de la relación, de estos cuatro datos, una proporción ya sea directa o inversa. El nombre de esta regla, está dado porque lo que se exhibe son tres datos (o cantidades) de una proporción y hay que encontrar el cuarto dato.



Racionales   ¿?

Ejemplos para internarnos en La Regla de Tres. 1. En la compra de 5 cuadernos, pagamos $60.00, ¿cuánto nos costarán 7 cuadernos? Si

5 7

cuadernos cuestan cuadernos,

$60 ¿cuánto costarán?

5 libros cuestan $60.00

, dos formas de resolverlo.

7 libros ¿cuánto cuestan? 85

1. a. Obtenemos el precio de 1 cuaderno,

$60.00 5

= $12.00

y si queremos 7,

multiplicamos x 7 , $ 12.00 x 7 = $84.00 . Entonces 7 cuadernos cuestan $84.00.

1 libro cuesta $12.00

1. b.

5 7

es a es a

$60.00 L

5 x L = 7 x $60.00 ;

7 x $60.00 5

Estamos utilizando el mismo procedimiento que empleamos para encontrar la cantidad que hace falta en una proporción directa o en dos razones directamente proporcionales. L=

$420.00 5

= $84.00.

Y tenemos que, 7 cuadernos cuestan $84.00.

2. Para construir y barnizar un librero, 4 carpinteros emplean 12 jornadas de trabajo, ¿en cuántas jornadas podrían construirlo y barnizarlo 7 carpinteros?

2. a.

4 9

carpinteros carpinteros

4 1

emplean 12 jornadas en construir y barnizar un librero ¿cuántas jornadas emplearán? Dos formas de resolverlo.

carpinteros carpintero

entonces, 1 carpintero

emplean 12 jornadas, empleará 4 veces más jornadas,

empleará 4 x 12 jornadas = 48 jornadas.

Y 9 carpinteros emplearán la novena parte de lo que emplea 1 solo carpintero. 48 jornadas 9

Entonces

2. b.

4 9

es a es a

12 jornadas T

48 jornadas 9

= 5 jornadas más

1 3

de jornada.

4 x 12 jornadas = 9 x T ; T =

= 5 jornadas más

1 3

4 x 12 jornadas 9

de jornada.

En este ejercicio se ha utilizado el mismo procedimiento que el empleado para encontrar la cantidad que hace falta en una proporción inversa o en dos razones inversamente proporcionales. Ejercicio. 3. En un dibujo a escala, la sala de la casa tiene las siguientes dimensiones: 5 cm. de largo por 4 cm. de ancho. Si en la construcción, la sala tendrá de largo 8 m. ¿Cuál es la superficie de la sala?, porque se desea que el piso sea de duela, que cuesta $250.00 en m 2. ¿Cuánto costará la duela de la sala? 3.

5 cm. 4 cm.

es a es a

8 m., como A

32 cm x m 5 cm

51.20 m x m

5 cm x A = 4 cm x 8 m ;

= 6.40 m.

4 cm x 8 m 5 cm

Superficie de la sala = 8 m x 6.40 m

= 51.20 m2.

Y ahora el costo de la duela.

1 m2 51.20m2 D=

es a es a

$250.00, como D

51.20 m2 x $250.00 1 m2

1 m2 x D = 51.20 m2 x $250.00 ;

= $12800.00

Como observamos en este ejercicio, la regla de tres nos sirve para resolver ejercicios en los que podemos aplicarla dos veces. Y en el caso de otros ejercicios que lo requieran, una tercera y cuarta vez, si es necesario. Como dice El Abuelo: La Regla de Tres, es una herramienta, que bien aplicada, tiene un gran poder en la solución de una infinidad de acertijos y ejercicios que la vida nos presenta.

Ejercicios 1. Si un reloj se atrasa 4 minutos cada 10 horas. ¿Cuántos segundos se atrasa en 5 horas? 2. Según la escala de un mapa, 5 cm. representan 60 km. Si en el mapa en cuestión, dos ciudades están separadas por 12 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas? 3. El recorrido de una ciudad a otra se realiza en automóvil y se emplea un tiempo de 8 horas y ¼ a una velocidad de 30 kms. por hora. ¿Cuánto tiempo empleará en el regreso si el recorrido se desea hacerlo al triple de la velocidad de la ida? 4. Una cierta obra es realizada por 9 hombres en 5 días. ¿Cuántos hombres MÁS se necesitan para realizarla en un solo día? y ¿cuántos hombres MENOS para realizarla en 15 días? 5. Dos socios compran un terreno. El primero paga por 5/11 del terreno $6000. ¿Cuánto tiene que pagar el otro socio? 6. Una pieza de tela tiene 32 m. de largo y 75 cm. de ancho. ¿Cuál será la longitud de otra pieza, de la misma superficie, cuyo ancho es de 80 cm? 7. una guarnición de 1300 hombres tiene víveres para 4 meses. Si se quiere que los víveres duren para 10 días más, ¿cuántos hombres habrá que DISMINUIR de la guarnición?

Matemáticas 2 37.5%

Objetivo 2: Razones y Proporciones 20%

Propósito:

Tema 2. 4: Porcentaje

El estudiante medirá el crecimiento o la disminución de un objeto en el que se necesita tal estudio como medida consigo mismo.

En este tema el estudiante aprenderá a comparar cualquier objeto consigo 100% mismo cuando éste aumente o disminuya en alguna de sus Razones y atribuciones, considerando que el Proporciones objeto original de la comparación tiene un valor 100 (cien) unidades y aplicará los métodos de razones y proporciones y de regla de tres para la obtención de las cantidades de aumento o disminución resultado de dicha comparación.

Racionales

Escuchamos por la radio al locutor que da la siguiente información sobre precios: 1. Los combustibles han aumentado en un 3 por ciento. 2. El transporte foráneo ofrece un descuento del 4 por ciento en temporada de vacaciones. 3. En la tienda “El Buque”, ofrecen artículos básicos con diversos porcentajes de descuento. ¿Qué nos dicen estas noticias?: R. 1. Que los precios de los combustibles aumentaron comparándolos con sus precios anteriores. Además, nos ofrece la cantidad que resulta de esa comparación. R. 2. La disminución, por comparación, en el precio del transporte foráneo y la cantidad de esa comparación. R. 3. Los artículos básicos tienen descuentos diversos con respecto a sus precios regulares. 89

Estos aumentos o disminuciones (3 por ciento, 4 por ciento y diversos porcentajes), comparan contra 100 (cien) unidades. Entonces desarrollemos uno o más esquemas en donde este concepto se aprecie lo más claro posible. Y esto es posible a través de:

Ejercicio 1. Los combustibles: La lata de 50 litros de gasolina costaba $300.00, ¿cuánto representa el 3 por ciento de aumento? y ¿cuál es el precio actual de la lata? Desmenuzando las condiciones del ejercicio tenemos que: por cada $100.00, se han aumentado $3.00, entonces construimos una tabla que nos aclara esto. Precio anterior de Lata de gasolina $300

Desglosado por centenas

Aumento por cada $100.00

$100.00 $100.00 $100.00

$3.00 $3.00 $3.00

Precio actual de Lata de gasolina

Aumento total por lata

$309.00

$9.00

Si este ejercicio lo resolvemos como una proporción o una regla de tres, toma la forma: Si

$300.00 A A=

es es $900.00 100

100 3 = $9.00.

$300.00 x 3 = A x 100 ;

$300.00 x 3 100

El aumento en una lata es de $9.00.

R. 1. El precio actual es, el precio anterior más el aumento. O sea, $300.00 + 9.00 = $309.00.

Ejercicio 2. El transporte foráneo: El pasaje a Zacatecas tiene un precio regular de $450.00, ¿a cuánto equivale el 4 por ciento de descuento? y ¿cuánto cuesta el pasaje en vacaciones? Precio regular del pasaje a Zacatecas $450

Desglosado por centenas

Descuento por cada $100.00

$100.00 $100.00 $100.00 $100.00

$4.00 $4.00 $4.00 $4.00

$ 50.00 (la mitad de $100.00)

$2.00 (la mitad de $4.00)

Precio, en vacaciones, del pasaje a Zacatecas

Descuento total en el precio del pasaje

$432.00

$18.00

$450.00 D D=

es es

100 4

$1800.00 = $18.00. 100

$450.00 x 4 = D x 100 ;

$450.00 x 4 100

El descuento en el precio del pasaje es de $18.00.

R. 2. El precio del transporte a Zacatecas, en vacaciones, es el precio regular menos el descuento; lo que nos da, $450.00 - $18.00 = $432.00. Tres Notas. Primera. Cuando se nos pide que encontremos la solución de una proporción o una regla de tres (ya sean directas o inversas), se nos dan, en el texto del ejercicio, tres valores y la relación que guardan entre ellos de manera que busquemos el valor de la cuarta cifra que completa la proporción. Ahora bien, cuando se nos pide resolver un ejercicio de porcentajes, sólo encontramos dos valores y se nos pide que con ellos busquemos el que hace falta. ¿Cómo es que con dos valores obtenemos la solución? La respuesta es fácil: al tener en el texto el concepto de porcentaje, uno de los valores dado aunque esté un poco “escondido” (ni tanto la palabra porcentaje nos dice que se está comparando contra cien unidades) es el 100 (cien) de modo que teniendo dos valores y un tercero “escondido” resolvemos cualquier ejercicio. Segunda. Si para la solución de ejercicios de porcentaje es conducente utilizar los métodos empleados en la solución de las proporciones o la regla de tres (ya sean directas o inversas), apliquémoslos en los diferentes tipos de ejercicios que involucran porcentajes. Tercera. Cuando se habla de porcentajes, se escribe el símbolo “%” después del número que nos dice la cantidad que se aumentará o disminuirá por cada cien unidades. Este símbolo es la deformación de la abreviatura de la palabra “cento” (en italiano y pronunciándolo “chento”) utilizada por los mercaderes venecianos en sus acciones mercantiles. En los documentos que se acordaba algún porcentaje, se escribía el número y a continuación la palabra “cento”, después, el número y la abreviatura “cto” que se deformó hasta llegar al símbolo “%”. Desde la abreviatura hasta el símbolo: cto = = = =% Ejercicio 3. Un almacén de aparatos de sonido ofrece, por aniversario, un equipo con un 20% de descuento en $4800.00. ¿Cuál es el precio regular del equipo de sonido? 91

Una primera consideración: si el equipo se ofrece con un 20% de descuento, quiere decir que lo que se está pagando es el 80% del precio regular, de modo que tenemos, Si

80% 100%

es es

$4800.00 E

100% x $4800.00 80%

80% x E = 100% x $4800.00 $480000.00 80

= $6000.00

R. 3. El precio regular del equipo de sonido es de $6000.00. Ejercicio 4. Un juego de maletas de viaje, costaba $3200.00 y ahora cuesta $3392.00. ¿En qué porcentaje se ha aumentado el precio? Si

$3200.00 $3392.00

es es

100% M

$3392.00 x 100% $3200

$3200 x M = $3392.00 x 100% 339200.00% 3200

= 106%

Si $3200.00 es el 100% y $3392.00 es el 106%, la diferencia de porcentajes es: 6. R. 4. El juego de maletas se ha aumentado en un 6%. Ejercicio 5. Pedro tenía $800, gastó el 20% y prestó a Luis el 15% del resto, cuánto le queda. Tenía

$800.00 G G=

que es que es $800.00 x 20% 100%

100% 20%

G x 100% = $800.00 x 20% $16000.00 100

= $160

Después de gastar, Pedro tiene $800.00 - $160.00 = $640.00. Presta

15% 100% L=

a de 15% x $640.00 100%

L $640.00

L x 100% = 15% x $6400.00 $9600.00 100

Prestó a Luis $96. Le quedan $640.00 - $96.00. R. 5. Pedro tiene ahora $544.00.

= $96

Ejercicios 1. Una persona compra 90 libros. Si vende el 60% de los libros, cuántos le han quedado. 2. De un terreno de 50 hectáreas, se vende el 16% a una persona y el 14% a otra, cuántas hectáreas se vendieron. 3. Luis tenía 30 lápices. Dio a su hermano Juan el 30%, a su primo Jorge el 20% y a su amigo Mario el 10% con cuántos lápices se quedó Luis. 4. Un hombre reparte $200,000.00 entre sus tres hijos. Al mayor le entrega el 35%, al de en medio el 40% y al menor el resto. ¿Cuánto correspondió a cada uno? 5. De una finca de 40 hectáreas, se siembra el 50% de perales, el 25% de manzanos y el 20% de limoneros, en el remanente se construye una casa. ¿Cuántas hectáreas se sembraron de perales, cuántas de manzanos, cuántas de limoneros y sobre cuántas se construirá la casa? 6. De una finca de 40 hectáreas, se siembra el 50% de perales, el 25% de manzanos y del resto el 20% de limoneros y en el remanente se construye una casa. ¿Cuántas hectáreas se sembraron de perales, cuántas de manzanos, cuántas de limoneros y sobre cuántas se construirá la casa? 7. De una finca de 40 hectáreas, se siembra el 50% de perales, del resto el 25% de manzanos y del nuevo resto el 20% de limoneros y en el remanente se construye una casa. ¿Cuántas hectáreas se sembraron de perales, cuántas de manzanos, cuántas de limoneros y sobre cuántas se construirá la casa? 8. Un granjero vende el 63% de sus gallinas y se queda con 74 gallinas, ¿cuántas gallinas tenía originalmente? 9. Un cuenta habiente debe $6400.00 a la casa comercial “El Buque”. Si realiza un pago de $800.00 ¿Qué porcentaje (%) de la deuda pagó? 10. Gasté en la compra de camisas y pantalones $520.00 y me quedé con el 35% del dinero con que salí de casa, qué cantidad de dinero llevaba al salir de casa.

Matemáticas 2

Objetivo 3: Geometría Tema 3. 1: Semejanza

Propósito:

El estudiante aprenderá lo que es el concepto de semejanza en matemáticas y comprenderá su importancia en la geometría y en la construcción de nuevos espacios en el desarrollo de sus habilidades perceptora, imaginativa y creadora.

Comenzamos: ¿Qué es la semejanza? El diccionario nos dice que es calidad de semejante, parecido. El parecido entre dos objetos. En matemáticas y en particular en geometría, se dice que dos figuras son semejantes cuando los ángulos que se corresponden son iguales y sus lados proporcionales; y dos cuerpos son semejantes cuando sus caras son afines o concordantes y en ellas los ángulos que se corresponden son iguales y sus lados proporcionales, dando así caras y volúmenes proporcionales. El símbolo de semejanza es “ ~ ”. Para significar que nos referimos a un triángulo, escribimos el símbolo “ ∆ ” seguido de las letras con que se han llamado sus ángulos (o vértices). Ejemplo: ∆ABC, que leemos como “el triángulo ABC”. Semejanza entre triángulos. 1. Carácter de semejanza entre triángulos. a) Todo triángulo es semejante a sí mismo. b) Si un triángulo es semejante a otro, ese otro es semejante al primero. c) Si dos triángulos son semejantes a un tercero, estos dos son semejantes entre sí. 94

Si tenemos los siguientes triángulos semejantes:

B’’ B B’ A’

A’’ C’

C’’

Las condiciones de semejanza de los incisos a, b, c, se establecen del siguiente modo: de a) ∆ABC ~ ∆ABC

∆A’B’C’ ~ ∆A’B’C’

∆ABC ~ ∆A’B’C’

∆A’B’C’ ~ ∆ABC

∆A’’B’’C’’ ~ ∆A’’B’’C’’

de b)

∆A’B’C’ ~ ∆A’’B’’C’’ ∆ABC ~ ∆A’’B’’C’’

∆A’’B’’C’’ ~ ∆A’B’C’ ∆A’’B’’C’’ ~ ∆ABC

de c) ∆ABC ~ ∆A’’B’’C’’

∆A’B’C’ ~ ∆A’’B’’C’’

∆ABC ~ ∆A’B’C’

∆A’’B’’C’’ ~ ∆A’B’C’ ∆A’’B’’C’’ ~ ∆ABC

∆A’B’C’ ~ ∆ABC ∆A’B’C’ ~ ∆A’’B’’C’’

∆A’’B’’C’’ ~ ∆ABC

2. Razón de semejanza entre triángulos. Es la razón entre lados correspondientes.

C’ C

A’

B’

B Y así tenemos: AB A’B’

BC B’C’

CA C’A’

En adelante utilizaremos también, los símbolos siguientes. i) Para hacer mención de un ángulo, será así: ángulo A =

ii) Para indicar que dos rectas son paralelas: M es paralela a N = M║N. Teorema de existencia de triángulos semejantes. Dado el ∆ABC, toda paralela a cualquiera de sus lados forma con los otros dos lados un triángulo semejante al ∆ABC.

A 3. En los ∆ABC y ∆ALM, BC║LM.

M Probar ∆ABC ~ ∆ALM.

C 4. En los ∆ABC y ∆APQ,

BC║PQ. Probar ∆ABC ~ ∆APQ.

3. Tomamos ∆ABC y ∆ALM, BC║LM. Trazamos MN║AB y tenemos ∆MNC.

En los ∆ABC y ∆ALM con BC║LM. A= B= C=

AL AB

A L M

Común, Correspondientes, Correspondientes.

= AM AC

= BN BC

= LM

, entonces,

= AM AC

= LM BC

C Pero

AL AB Por lo tanto:

Si los ∆ABC y ∆ALM tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales, entonces ∆ALM ~ ∆ABC.

4. Ahora, tomamos ∆ABC y ∆APQ, BC║PQ. Trazamos CR║AP y tenemos ∆CRQ.

A En los ∆ABC y ∆APQ con BC║PQ. A= B= C=

A P Q AP AB

Común, Correspondientes, Correspondientes. =

Pero

PQ PR

, y así,

AQ AC

Q AP AB

Por lo tanto:

AQ AC

PQ BC

Si los ∆ABC y ∆APQ tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales, ∆APQ ~ ∆ABC.

¿Cuándo, dos triángulos son semejantes? Ejercicios. Utilizando el carácter de semejanza entre triángulos, la razón de semejanza entre triángulos y el teorema de existencia de triángulos semejantes, prueba los siguientes tres casos de semejanza entre triángulos. Caso 1. Cuando tienen dos ángulos respectivamente iguales. A

A’ V

Y X

B’

C’ Z

C W

Caso 2. Cuando tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo formado por estos lados. a

m’

n’

a’ m b’

Ejemplo intermedio. Encontraremos el valor de las incógnitas, considerando que los triángulos que se muestran son semejantes. 20 m

¿ 2a ? 3 8m

¿b?

13 m 98

¿a?

Comparando los lados correspondientes, tenemos: a 13

20 8

2a 3

2 x 32.5 3

b 21.66

;

8 20

20 x 13 8

a = = ;

65 3 b =

260 8

= 2a 3

; 173.28 20

;

a = 32.5 m.

= 21.66 m. 8.66 8

;

b = 8.66 m.

Caso 3. Cuando tienen sus tres lados proporcionales. ∆’s ~’s relaciona sus lados

u v

a’

b’

c’

Ejercicio. 5. Considerando que los triángulos que se muestran son semejantes, encontraremos el valor de las incógnitas. 7 cm

¿n?

¿m? 9 cm

10 cm 15 cm 99

A Ejercicio. 6. Prueba que los ∆ABC y ∆LMN son semejantes, sabiendo

C N que N es el punto medio de AB, L el punto medio de BC y M el punto medio de CA.

Ejercicio. 7. Encuentra la altura del faro, considerando que son semejantes los triángulos formados, uno por: la boya (extrema izquierda), la quilla del velero y la banderola en lo alto del mástil del velero y el otro por: la boya, el pie de tierra sobre el que está el faro y el puesto de observación del faro.

¿?

9m 56 m

100

Ejercicios 1. Unos campistas quieren saber qué anchura tiene el río al lado del cual sentaron su campamento. Con las medidas del dibujo encuentra el ancho del río.

21 m

2. Con las alturas de los edificios del dibujo y la distancia de uno de ellos al parque, encuentra la distancia entre los edificios.

17.5 m

27.5 m

¿ ? 82.5 m

ligas externas http://www.mundoradiocontrol.net/index.php?main_page=product_info&cPath=95_1 00&products_id=668 http://locuraviajes.com/blog/castillo-neuschwanstein/

101

Matemáticas 2

Objetivo 3: Geometría Tema 3. 2: La Medida de los Ángulos en la Circunferencia

Propósito:

El estudiante aprenderá la construcción y comparación de ángulos en una circunferencia y desarrollará su habilidad y destreza para resolver acertijos y ejercicios que lo demanden.

Comenzamos. Para ello necesitamos recordar algunas definiciones:

V = Centro Centro

1. Ángulo Central. Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

V Centro

Centro V

2. Ángulo Inscrito. Ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son secantes. 3. Ángulo Semi-Inscrito. Ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, uno de sus lados es tangente, a la circunferencia, y el otro es una secante. 4. Ángulo Ex-Inscrito. Ángulo adyacente a uno inscrito. 5. Ángulo Interior. Ángulo cuyo vértice es un punto interior a la circunferencia. 6. Ángulo Exterior. Ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia. 7. Secante. Recta que corta a la circunferencia en dos puntos. 8. Cuerda. Es la longitud entre los puntos de corte de una secante.

102

Ángulos:

P R

O A

Q Central

Ángulos:

Inscrito

Y Semi – Inscrito

Ex – Inscrito

E F

B Interior

Exterior

103

Rectas: R N O

O Q

Secante

Cuerda

Teorema. La medida de cualquier ángulo central, es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados (o arco correspondiente). Y así tenemos, del dibujo muestra: AOB =

Teorema. La medida de cualquier ángulo inscrito, es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados (o arco correspondiente). Los ángulos inscritos presentan tres posiciones diferentes:

Primer Caso. El centro se encuentra sobre uno de los lados del ángulo. C

B Mostrar que

ABC =

CA 2

Trazamos el radio auxiliar OA.

ABC inscrito y O está sobre BC. 104

El ∆ABO es isósceles, entonces A=

B por oponerse a lados iguales,

A+

AOC por ser exterior,

B+

AOC ; 2

CA 2

AOC,

Segundo Caso. El centro se encuentra en el interior del ángulo. M C

C A

B Mostrar que

ABC =

CA 2

. Trazamos el diámetro auxiliar BM.

ABC inscrito y O dentro del ángulo.

Los B=

MBA y MBA +

CBM, pero

MA 2

MBA =

105

CBM, son como el caso1,

CM 2

CA 2

MA 2

CBM =

CM 2 CA 2

Tercer Caso. El centro se encuentra en el exterior del ángulo. C

B Mostrar que

B ABC =

CA 2

Trazamos el diámetro auxiliar BM.

ABC inscrito y O fuera del ángulo.

Los B=

MBA y

MBC, son como el caso1,

MBA -

MBC, pero

MA 2

MBA =

MA 2

CA 2

y MC 2

MBC =

MC 2 CA 2

Y así concluimos que la medida de cualquier ángulo inscrito, es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados (o arco correspondiente).

106

B A S

R P Q La medida de

Caso

APB =

AQB =

ARB =

ASB =

AB.

Extraordinario.

Todo ángulo inscrito cuyos lados comprenden semicircunferencia, es un ángulo recto (ver el Tercer Teorema de Tales de Mileto).

S A

O B

P La medida del APB =

AB =

BSA =

BA = 180°, entonces

BRA =

BQA =

AB 2

107

BA 2

180° 2

= 90°.

una

Teorema. La medida de cualquier ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados (o arco correspondiente). Los ángulos semi-inscritos también presentan tres posiciones diferentes:

Primer Caso. El centro se encuentra sobre uno de los lados.

A B

C Mostrar que

ABC =

CB 2

Trazamos la recta auxiliar BM ║ AB.

ABC semi-inscrito y O está sobre BC.

La tangente MA es ┴ BC en el punto B, entonces

B = 90° y

CB = 180°

por ser CB una semicircunferencia. Concluimos que

ABC =

CB 2

Segundo Caso. El centro se encuentra en el interior del ángulo. 108

Mostrar que

ABC =

CB 2

Trazamos el diรกmetro auxiliar BM.

ABC inscrito y O dentro del รกngulo.

Los B=

MBA y MBA +

ABC,

CBM, pero

MB 2

MBA =

109

CBM, componen

CM 2

CB 2

MB 2

CBM =

CM 2 CB 2

Tercer Caso. El centro se encuentra en el exterior del ángulo. A

C M

Mostrar que

ABC =

CB 2

Trazamos el diámetro auxiliar BM.

ABC inscrito y O fuera del ángulo.

MBA MB 2

MBA =

MBC, pero

MB 2

MC 2

MBC =

MC 2 CB 2

Concluimos, después de estos tres casos, que la medida de todo ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados (o arco correspondiente).

Teorema. La medida de cualquier ángulo ex-inscrito es igual a la mitad de la suma de las medidas de los arcos que subtienden: uno, el vértice y el extremo de la prolongación del lado externo y dos, el vértice y el extremo del lado interno.

Este es el ángulo ex-inscrito. 110

A B

C BM

em C = o de l lado interno B

ón aci g n lo pro

o lad del

oe lad

A rno e t x

ar c o,

de l v ér tic e

En este dibujo, esclarecemos los elementos que nos menciona el teorema.

mo tre x e

longación AB = a pro l e d

intern

tic e

extr

lado

o BC

vé r

Por cierto, también nos aclaramos los arcos correspondientes.

ar c

111

l de , o

ABC ex-inscrito,

mostrar que

CB + 2

ABC =

Trazamos la prolongación de AB, BM, y la cuerda auxiliar CM, formándose ∆BMC. ABC =

BMC +

BCM, pero

Sustituyendo y sumando,

BMC =

CB 2

BCM =

BM 2

ABC =

CB 2

BM 2

CB +

BM 2

Teorema. La medida de cualquier ángulo interior, es igual a la mitad de la suma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones.

C B

O E

DAC interior.

E D

Mostrar que

Trazamos la cuerda auxiliar BC.

EB +

DAC =

CD 2

DAC =

DBC +

DBC =

CD 2

112

CD 2

ECB, y

EB 2

ECB =

EB 2 EB + 2

Teorema. La medida de cualquier รกngulo exterior, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados.

ACE exterior.

Mostrar que

Trazamos la cuerda auxiliar EB.

EA -

ACE =

2 ABE =

ACE +

CEB,

ACE =

ABE -

CEB,

ABE =

EA 2

BD 2

CBE =

BD 2 EA 2

Relaciรณn entre cualesquiera dos cuerdas de una circunferencia.

Teorema. Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan, el producto de los dos segmentos determinados de una cuerda es igual al producto de los dos segmentos determinados de la otra cuerda.

113

A gm se t en o

in rm te de o ad

AM y MB son los segmentos determinados de la cuerda AB.

nt o me

t en

seg

gm se

seg

nt o me

do ina erm t e d

do ina rm ete

o in rm te de

CM y MD son los segmentos determinados de la cuerda CD.

o ad B M

A D

C B

Cuerdas AB y CD, M punto de corte, mostrar que AM x MB = CM x MD. Trazamos las cuerdas auxiliares AD y CB, formándose los ∆DMA y ∆BMC. A=

B, entonces ∆DMA ~ ∆BMC y estableciendo la proporción entre lados

homólogos, tenemos:

AM CM

MD MB

;

AM x MB = CM x MD.

Relación entre cualesquiera dos secantes, a una circunferencia, que se cortan. 114

Teorema. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.

seg

men to

exte

rior

O C

M segmento exterior DM

O C

Mostrar que AM x BM = CM x DM. Trazamos las cuerdas auxiliares AD y CB, formándose los ∆DMA y ∆BMC. M común y

homólogos, tenemos:

C, entonces ∆DMA ~ ∆BMC y estableciendo la proporción entre lados AM CM

DM BM

;

115

AM x BM = CM x DM.

Ejercicios B

1. Con ayuda del dibujo 1, encuentra los ángulos que se te piden: A

AOB = 74°;

AQB = ¿?

AOB = 125°;

AQB =¿?

AQB = 56°;

AOB =¿? Q

Dibujo ejercicio 1. R S

2. Ayudándote del dibujo 2, encuentra los ángulos que se te piden: O

QR = 80°;

ROS = 95°;

ROS = ¿?,

ORS = ¿?

QR = ¿?,

ORS = ¿?

Dibujo ejercicio 2. C

3. Con el dibujo 3, encuentra los ángulos que se te piden:

M A

CD = 40° y

AB = 90°;

AB = 105° y

CD = 63°;

CMD =¿?

CMD = 50° y

CD = 60°;

AB =¿?

CMD = ¿?

Dibujo ejercicio 3.

116

4. Con el dibujo de enfrente (No. 4), encuentra los ángulos que se te piden:

HD = 95° y

EG = 35°;

GFE = ¿?

F G

HD = 105° y

EG = 27°;

GFE = 50° y

HD = 135°;

GFE =¿? EG =¿?

Dibujo ejercicio 4.

5. Con el dibujo correspondiente (para no decir que es el 5), encuentra las longitudes que se te piden: A

a. AM = 9, MB = 5 y CM = 4; MD = ¿? b. MB = 6, CM = 12 y MD = 4; AM = ¿?

c. AM = 14, AB = 21 y CM = 11; MD = ¿? C

Dibujo ejercicio 5. 6. Con el dibujo siguiente (No. 6), encuentra las longitudes que se te piden: a. PT = 15, QT = 4 y ST = 5; RT = ¿? b. PT = 23, RT = 19 y ST = 9; QT = ¿?

P Q

O S

c. QT = 3.5, RT = 7 y RS = 4; PT = ¿? Dibujo ejercicio 6.

117

Matemáticas 2

Objetivo 3: Geometría Tema 3. 3: Los Teoremas de Tales de Mileto

El estudiante conocerá y aprenderá las propiedades de los Teoremas de Tales de Mileto y las aplicará, según su criterio, en el proceso de encontrar solución a ejercicios propuestos.

Propósito:

Tales de Mileto, nos ofrece el vínculo entre sistemas de rectas paralelas y segmentos proporcionales por medio de la construcción geométrica. De modo que, acerquémonos a Tales, viajemos a Mileto y reconstruyamos sus Teoremas.

El Primer Teorema de Tales, nos dice: Si dos rectas concurrentes son cortadas por dos o más rectas paralelas, los segmentos correspondientes, de cada sistema de paralelas, guardan la misma proporción.

A B

Debemos mostrar que se cumplen las proporciones:

A’ B’

C’

D’

118

AB BC

A’B’ B’C’

BC CD

B’C’ C’D’

A’

Trazamos desde los puntos A’, B’ y D’, rectas paralelas a AB, BC y CD. B

B’

Entonces: 1. ABPA’, es un paralelogramo e igual lo son BCQB’ y CDRC’.

2. ∆A’PB’ ~ ∆B’QC’ ~ C’RD’.

C’

D’

Por la semejanza de los triángulos, tenemos que: A’P B’Q

A’B’ B’C’

pero

AB = A’P

BC = B’Q , entonces

AB BC

A’B’ B’C’

B’Q C’R

B’C’ C’D’

pero

BC = B’Q

CD = C’R , entonces

BC CD

B’C’ C’D’

Apoyándonos en este Primer Teorema de Tales, tenemos el siguiente Teorema: Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales. A

Trazamos MN ║ PQ y aplicamos el teorema anterior (Primer Teorema de Tales).

PQ ║ BC y AP : PB :: AQ : QC

119

El Segundo Teorema de Tales, nos dice: Si dos rectas concurrentes son cortadas por otras dos rectas y los segmentos correspondientes son proporcionales, entonces el segundo par de rectas son paralelas entre sí.

Sabemos que: RA AB

RC CD

Debemos mostrar que AC ║ BD.

Si AC ║ BD (AC no es paralela a BD), trazamos AC’ ║ BD y RA AB

RC’ C’D

pero tenemos

RA AB

RC CD

así que

RC CD

C C’

RC’ C’D

, entonces D

C = C’ y AC ║ BD

El Tercer Teorema de Tales, nos dice: Todo triángulo construido sobre una semicircunferencia es un triángulo rectángulo.

Q P R

O 120

Los ∆ABP, ∆ABQ y ∆ABR son triángulos rectángulos porque la medida del arco que subtienden los P, Qy R, es igual a una semicircunferencia, o sea 180° y como son ángulos inscritos, miden la mitad del arco que subtienden, entonces: P, Q y R = 90°.

Ejercicios 1. Si AB ║ED y EB = 35 m., EC = 11 m., CD = 14 m., ED = 20 m. Mostrar que ∆ABC ~ ∆EDC y encontrar: AB, AC y la constante de proporcionalidad entre los lados homólogos.

E C

D D

Si BC ║ DE y AC = 3 cm., EC = 2 cm., CB = 4 cm., BD = 5 cm.

Mostrar que ∆ABC ~ ∆EDA y encontrar: AB, AC y la constante de proporcionalidad entre los lados homólogos.

3. Si ∆ABC es un triángulo rectángulo, BP es la altura, AB = 4 m. y AC = 5 m.

C P

Mostrar que ∆ABC ~ ∆ABP y ∆BCP y encontrar: BC, AP, CP, BP y la constante de proporcionalidad entre los lados homólogos de los ∆ABC ~ ∆ABP y ∆ABC ~ ∆BCP.

121

Matemáticas 2

Objetivo 3: Geometría Tema 3. 4: Los Teoremas de Pitágoras de Samos

Propósito:

El estudiante conocerá las propiedades de los Teoremas de Pitágoras de Samos y las aplicará en el proceso de encontrar la solución de ejercicios que así lo requieran.

Comenzaremos por buscar en nuestros recuerdos, alguna pared tapiada o enladrillada con mosaicos de diseño geométrico, esos mosaicos brillantes con los que se pueden hacer figuras simples y finalizaremos con la revisión de Tres Teoremas de Pitágoras.

A2 a

C2 A2

Ejemplo: Mosaicos simples.

Este mosaico tiene la misma medida por sus cuatro lados y está compuesto por dos triángulos rectángulos.

En este otro mosaico, la medida horizontal es del doble de la medida vertical (claro está que si lo giramos 90° la comparación se invierte) y también, está compuesto por dos triángulos rectángulos. 122

Cateto

Ejemplificamos lo dicho renglones arriba con un mosaico en el que la razón de su lado largo entre su lado corto es una vez y media.

Hi po ten

us a

Cateto

Nota. En un triángulo rectángulo, los lados que componen el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto a dicho ángulo se llama hipotenusa.

Cateto Con los dos primeros tipos de mosaico vamos a tapiar nuestra hoja y vamos a ofrecer una

primera “muestra geométrica” del cumplimiento del Primer Teorema de Pitágoras. El Teorema nos dice: En todo triángulo rectángulo la suma de las superficies de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual a la superficie del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Hoja tapiada con el primer mosaico mostrando: a) figuras simples y b) trazo del triángulo rectángulo con los cuadrados construidos sobre sus lados (catetos e hipotenusa).

Ahora, los mosaicos de nuestro interés, aparecen en color un poco más intenso y los demás en color un poco más claro.

Y en esta hoja enladrillada con nuestro mosaico, aparecerá el triángulo rectángulo que nos interesa.

123

Finalmente, contemos el número de mosaicos que componen los cuadrados construidos sobre los dos catetos y comparemos con el número de mosaicos que componen el cuadrado construido sobre la hipotenusa. En este último conteo habrá que contar las mitades que quedan dentro del cuadrado que se construyó sobre la hipotenusa, ¡alerta!

46 1

124

La suma de los mosaicos que componen las superficies de los cuadrados construidos sobre los catetos, es el mismo número de mosaicos que componen la superficie del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Ahora, vamos a desarrollar una segunda “muestra geométrica” del cumplimiento del teorema de Pitágoras. Pero lo haremos con el segundo mosaico. Desde luego, tendrá similitud con la primera “muestra geométrica”. Procediendo de igual manera que en el ejercicio anterior y obviando algún paso, tenemos: Trazo del triángulo rectángulo con las superficies de los cuadrados construidos sobre sus lados (catetos e hipotenusa).

Los mosaicos de nuestro interés, aparecen con un poco más de color y los demás con un poco menos. El triángulo, en rojo.

La superficie del cuadrado construido sobre la hipotenusa, presenta una ligera dificultad para el conteo de los mosaicos de manera que vamos a separarla y a reacomodar algunos mosaicos para que nuestra “muestra geométrica” presente una forma más fácil de apreciarse.

125

Separamos el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Quitamos la pedacerĂa de mosaicos.

Este es el contorno de los mosaicos completos.

Si acomodamos, en sentido vertical, mosaicos o mitades de mosaicos en los huecos, obtenemos:

En donde podemos ver que acomodarĂamos algunos mosaicos completos.

126

Estos serían los mosaicos que tendríamos que partir por mitad para acomodarlos en nuestro cuadrado.

Y de esta forma es más fácil contar los mosaicos. 35 34

1 36

33 32 31

28 40

Y ahora sí, en nuestro primer tapiado con este mosaico, tenemos la siguiente figura y el modo de contar los mosaicos de los catetos y de la hipotenusa para compararlos. 35 1 36

37 38 39 40

34 33 32 31

28 29 1

127

Desde luego que en este arreglo, tenemos que compensar, en los mosaicos de pedacería, las secciones que apareamos bajo una misma llave, ejemplo: mosaicos apareados con la llave 31; el mosaico que se encuentra abajo carece de la sección que aparece en gris muy claro (extrema derecha), esta sección la aporta la sección azul fuerte del mosaico de arriba (extrema izquierda) y así tenemos un mosaico “completo” para efectos del conteo. Vamos a desarrollar una tercera “muestra geométrica” del cumplimiento del teorema de Pitágoras. b

En estas dos figuras, notarás que los lados de los dos cuadrados grandes miden: a + b.

a c b c

En esta primera figura, los ángulos rectos de los triángulos en blanco coinciden con los ángulos rectos del cuadrado grande y sus hipotenusas forman un cuadrado central de lado: c.

c2 c b c a

a b

b c

128

En esta segunda figura, embonamos los triángulos rectángulos de manera que formen dos rectángulos y los insertamos en vértices opuestos del cuadrado grande, uno en vertical y el otro en horizontal y que sus vértices que no están sobre el cuadrado grande estén haciendo contacto. Las superficies restantes son dos cuadrados; uno de ellos con lados de medida a, y el otro con lados de medida b.

Una cuarta “muestra geométrica”, del cumplimiento del teorema de Pitágoras. Verteremos el contenido de los cuadrados construidos sobre los catetos en el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Comenzamos con los catetos llenos y la hipotenusa vacía.

Prolongamos las líneas de los lados de los cuadrados construidos sobre los catetos. La longitud de la hipotenusa es igual a la longitud de las diagonales de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Por ser paralelogramos con bases y alturas iguales, sus superficies son también iguales (colores correspondientes).

129

Vertiendo este contenido en el cuadrado construido sobre la hipotenusa, sólo nos resta reacomodar el triángulo que sobresale.

Reacomodado el triángulo en el hueco que había quedado en el cuadrado de la hipotenusa, tenemos:

Los cuadrados de los catetos vertidos en el de la hipotenusa.

Hemos llenado el cuadrado de la hipotenusa con los cuadrados de los catetos.

130

Los cuadrados de los catetos vacíos mientras que en el de la hipotenusa lleno.

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Hagamos una quinta “muestra geométrica” del cumplimiento del teorema de Pitágoras, pero con un triángulo rectángulo en el que sus catetos sean diferentes. Vertimos el contenido de los cuadrados de los catetos en el cuadrado de la hipotenusa.

Comenzamos con los catetos llenos y la hipotenusa vacía.

131

Prolongamos las líneas de los lados de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Paralelogramos con base y altura iguales, superficies iguales (mismos colores).

Vertiendo este contenido en el cuadrado de la hipotenusa, sólo nos resta reacomodar el triángulo que sobresale.

Reacomodado el triángulo en el hueco que había quedado en el cuadrado de la hipotenusa, tenemos:

132

Logramos verter los cuadrados de los catetos en el de la hipotenusa.

Hemos llenado el cuadrado de la hipotenusa con los de los catetos.

De nuevo, los cuadrados de los catetos vacĂos y el de la hipotenusa lleno.

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

133

Retomando el Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo la suma de las superficies de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual a la superficie del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Ya construimos “muestras geométricas” del Teorema de Pitágoras, ahora haremos una demostración algebraica. Para lo cual es necesario escribirlo en lenguaje algebraico.

c Cuadrado de la Hipotenusa

a2 + b2 = c2

134

o rad ad eto Cu l Cat de

el d o ad o r ad tet u C Ca

Para esta demostración, separaremos el triángulo y trazaremos una línea (h) de ayuda que desde el vértice del ángulo recto sea perpendicular y haga pie (P) en el lado opuesto (la hipotenusa).

Aquí nuestra figura.

b Los triángulos:

ABC, ACP y BCP,

A resultan ser semejantes y tenemos las proporciones siguientes:

Catetos largos sobre hipotenusas h a

AP b

Catetos cortos sobre hipotenusas

b c

PB a

;

b2 c

h b

Razones del ∆PBC

A c

Tomamos ahora, AP b

b c

PB a

a c

;

a2 c

Sumando AP más PB, b2 c

AP + PB =

Entonces,

a2 + b2 c

a2 c

a 2 + b2 c

, con lo que

;

pero

AP + PB

a2 + b2

= c .

El Segundo Teorema de Pitágoras nos dice: La superficie del cuadrado construido sobre uno de los catetos, es igual a la superficie del rectángulo cuyos lados son: uno, la proyección de este cateto sobre la hipotenusa y el otro, la hipotenusa misma.

135

En este triángulo, tomemos el cateto “a” y comparemos la superficie de su cuadrado con la superficie del producto de su proyección sobre la hipotenusa “PB” y la hipotenusa “c”.

b h A

Superficie del cateto “a” y longitudes de su proyección sobre la hipotenusa “PB” y la hipotenusa “c”

∆ABC ~ ∆APC ; ∆APC ~ ∆CDE, ∆ABC ~ ∆CDE y CD =CB, entonces ∆ABC = ∆CDE y AB = CE.

E D G

Proyección del cateto “a” en la hipotenusa “c”

Hipotenusa “c”

F C

136

CBGE es un paralelogramo que tiene por longitud de su base CE, que es la misma longitud de la hipotenusa de ∆ABC, y por altura PB. Procediendo como lo hiciéramos en las “muestras geométricas” cuarta y quinta, vamos vertiendo la superficie del cuadrado del cateto dentro de la superficie formada por su proyección sobre la hipotenusa y la hipotenusa misma.

E D G F E C

D G

F C

137

Finalmente, reacomodando el ∆CPB, hemos acabado nuestro cometido.

E D G F C

c’ PB x c’

Ahora desarrollemos el sustento algebraico Razones de los ∆ABC y ∆PBC. Catetos largos sobre hipotenusas. a c

PB a

;

a2 = PB x c

138

Con lo que concluimos que la superficie del cuadrado construido sobre uno de los catetos, es igual a la superficie del rectángulo formada por la proyección de este cateto sobre la hipotenusa y la hipotenusa misma. El Tercer Teorema de Pitágoras, nos dice: La superficie del cuadrado que tiene por lado la longitud de la altura, es igual a la superficie del rectángulo cuyos lados son las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

h P

TP x PB

Daremos aquí una “muestra geométrica” del cumplimiento de este teorema:

139

Verteremos el contenido del cuadrado construido sobre la altura con pie en la hipotenusa, en el rectángulo construido con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Trazamos dos líneas paralelas al cateto BC; una que toque el pie de altura sobre la hipotenusa y la otra que toque el vértice del cuadrado construido sobre la altura que se encuentra sobre la continuación de la hipotenusa.

h P

Q S

P T

C Por semejanza de triángulos y sistemas de líneas paralelas, los triángulos SPT, PQS y PTR son iguales.

Q S

P T

140

Vertemos el triángulo PQS, de h2, en el triángulo PTR, de TPxPB.

Trazamos otra línea paralela a las anteriores desde el vértice extremo (U) de h2 hasta el vértice extremo (X) de TPxPB.

Q S

W A

P R

Por semejanza de triángulos y sistemas de líneas paralelas, las superficies de los paralelogramos PVUQ y PRXW son iguales.

V W P X

R C

Vertemos el paralelogramo PVUQ, de h2, en el PRXW, de TPxPB.

Q S

W A

P T

141

Por semejanza de triángulos y sistemas de líneas paralelas, los triángulos UVC y WCB son iguales.

P T

el resultado final es este:

Finalmente vertemos el triángulo UVC, de h2, en el triángulo WCB, de TPxPB.

AP x PB

El desarrollo algebraico es el siguiente: Razones de los ∆APC y ∆CPB. Catetos largos sobre catetos cortos. h AP

PB h

;

h2 = AP x PB

De esta manera, hemos probado que la superficie del cuadrado construido sobre la altura del triángulo, es igual a la superficie del rectángulo formada por las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Así terminamos con el desarrollo y demostración de Los Teoremas de Pitágoras de Samos. 142

Ejercicio. 1. Una escalera está asentada sobre el piso de la calle a 2 m. de distancia de la pared de la casa. La escalera alcanza una ventana que se encuentra a 3 m. del piso de la calle, cuánto mide la escalera.

Tenemos los dos catetos, procedamos: Si por el teorema de Pitágoras, a2 + b2 = c2 , entonces ¿? 3m 2m

32 + 22 = c2 ; 9 + 4 = c2 ; 13 = c2 ; c = la escalera mide

13 ,

13 m. = 3.6 m.

Ejercicio. 2. La carpa de un circo tiene 25 m. de tendido y 15 m. desde el pie del tendido hasta donde hace pie perpendicular la parte más alta de la carpa. ¿Qué altura alcanza la carpa? Tenemos la hipotenusa y un cateto, entonces:

152 + a2 = 252 ; 225 + a2 = 625 ; ¿?

a2 = 625 - 225 ; a2 = 400 ; a =

400

15 m

altura de la carpa = 20 m.

Ejercicio. 3. (Pon a trabajar tu imaginación) Un trapecio tiene las siguientes medidas: de sus bases paralelas, una mide 50 cm. y la otra 106 cm. y su altura es de 45 cm. ¿Cuál es la medida de su lado inclinado? Sugerencia:

¿?

50 cm

45 cm

106 cm

143

Ejercicio. 4. Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya diagonal mide 14 cm.

Tenemos la hipotenusa, entonces: a2 + a2 = 142 ; 2a2 = 196 ; a2 = 98 ; a=

14 cm

; el lado del cuadrado = 9.89 cm.

Ejercicios 1. Encuentra la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos dados los catetos b y c: a. Cateto b = 3 m. y cateto c = 4 m. c. Cateto b = 8 cm. y cateto c = 15 cm. e. Cateto b = 12 km. y cateto c = 5 km.

b. Cateto b = 24 cm. y cateto c = 7 cm. d. Cateto b = 20 mm. y cateto c = 21 mm. f. El cateto b es ¾ del cateto c y juntos suman 3.5 cm.

2. Encuentra la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos isósceles dada la longitud de los catetos: a. c.

Catetos = 4 m. Catetos = 15 km.

b. d.

Catetos = 15 cm. Catetos = 21m.

3. Hallar la altura de un triángulo equilátero que tiene una longitud de lado igual a: a. c.

L = 12 cm. L = 10 m.

b. d.

L = 7 mm. L = 6.5 km.

4. Hallar la diagonal de un cuadrado que tiene una longitud de lado igual a: a. c.

L = 2 km. L = 5 mm.

b. d.

L = 9 cm. L = 13 m.

5. Hallar las longitudes de los lados de los siguientes triángulos rectángulos: a. b.

Las longitudes de sus lados son números pares y estos son consecutivos. Las longitudes de sus lados son números pares y sus diferencias son de 4 unidades.

144

6. Del triángulo rectángulo aquí dibujado, dados algunos valores en cada inciso, encuentra los valores que se te piden: a. b. c. d. e.

x c a h

Si x = 4 , y = 9 . Encontrar h. Si c = 5 , a = 3 , b = 4 . Encontrar h. Si c = 10 , a = 6 . Encontrar x. Si c = 10 , b = 8 . Encontrar y. Si a = 3 , b = 4 , x = 2 . Encontrar y.

7. Del cubo que tenemos aquí: Encontrar las diagonales d y D. a. b.

Si a = 5 . Si a = 8 .

Encontrar el lado a y la diagonal D. d

c. d.

Si d = 9 . Si d = 2.5 cm.

8. Del prisma aquí dibujado: Encontrar las diagonales w, x, y, z. y

e. f. g.

Si a = 5 , b = 7 , c = 8 . Si a = 6 , b = 11 , c = 15 . Si a = 2 , b = 13 , c = 17 .

Nota. Las diagonales w, x, y, unen vértices opuestos sobre las caras del prisma mientras que la diagonal z, une vértices opuestos formados por tres caras del prisma.

145

Matemáticas 2 c

Objetivo 3: Geometría

b a , c , b b a c Propósito:

Tema 3. 5: La Trigonometría

El estudiante aprenderá las relaciones trigonométricas y las aplicará en la solución de ejercicios y acertijos.

Trigonometría.

¿Qué quiere decir trigonometría? Si tomamos la palabra por partes, nos damos cuenta que es la rama de la geometría que estudia las razones en que se encuentran los lados de un triángulo (tri = tres; gono = lados; metría = medida), así como las relaciones entre estas razones. Sabiendo lo que esta rama de la geometría estudia, vayamos a escudriñar las razones que se obtienen al comparar los lados de un triángulo rectángulo. Primero, recordemos los nombres de los diferentes componentes de un triángulo rectángulo y luego haber qué podemos aclararnos de esos nombres:

El diccionario nos dice: Cateto. Sección vertical de un cuerpo y que es factible de medirse. Hipotenusa. Tensor que une dos puntos.

án re gu ct lo o

En este triángulo, el segmento BC es el cateto, el AC la hipotenusa y el AB, ¿quién es el AB? Por el momento llamémosle el “piso”.

cateto

a us n ote p i h

B 146

Si consideramos las posibilidades de construcción de triángulos rectángulos, este triángulo podría cambiar su posición, su inclinación o su estructura. Y así, tenemos C C

hi po te nu sa A

cateto

a us n ote p i h

cateto

hip ote n

us a

… mientras el cateto disminuye, el “piso” aumenta. Ahora, giremos el triángulo sobre el punto B y …

hipotenusa

o tet ca

o B

cateto

tet ca

cateto

hip ote nu sa

…¡oh sorpresa! el cateto se convierte en el “piso” del triángulo y el “piso” se convierte en el cateto.

147

hip ote nu sa

Otra conversión, giremos el triángulo sobre el cateto BC,

Bueno… la conversión central, es el triángulo visto de perfil y en la conversión final hasta las letras giraron.

Pregunta: ¿Cómo podemos transformar esas letras y leerlas de manera normal?

Volvamos a los triángulos rectángulos. Tenemos que el cateto y el “piso”, según la conversión, aumentan o disminuyen su longitud o “intercambian” sus posiciones. Pero un cateto no puede dejar de serlo sólo por haber cambiado de posición y a fin de cuentas, un triángulo rectángulo no necesita estar apoyado sobre su “piso” para que lo analicemos. De manera que, generalizando, decimos: un triángulo rectángulo está formado por dos catetos y una hipotenusa. Los catetos son los lados del ángulo recto del triángulo y la hipotenusa es el lado que se opone al ángulo recto uniendo los extremos de estos lados. La forma que engloba todas las construcciones posibles de triángulos rectángulos, salvo por su magnitud, es la que propuso y dejo para la posteridad Tales de Mileto. Recordemos su Tercer Teorema.

148

Tercer Teorema de Tales de Mileto. Todo triángulo construido sobre una semicircunferencia es un triángulo rectángulo.

E D F C

A Recordemos también que ACB =

ADB =

AEB =

AB = 180° porque subtiende una semicircunferencia, entonces AFB = 90° =

AMB, donde M representa cualquier punto sobre la semicircunferencia.

Entonces, catetos e hipotensas más largos o más cortos, triángulos, rectángulos desde luego, más o menos inclinados o girados, estos son los componentes del triángulo rectángulo.

¿Cuáles ángulos?, los que están en los extremos de los catetos. Claro, los extremos que no se tocan, pues el ángulo que forman es precisamente el ángulo recto.

lo ángu

án re gu ct lo o

Y esto lo haremos desde los ángulos.

A cateto

149

cateto

a us n e ot hip

án gu lo

De modo que ahora, sólo nos resta diferenciar entre los dos catetos.

Entonces, Considerando los componentes del triángulo rectángulo desde el B

lo A ángu

hip

án

hip

a us

n ote

cateto adyacente

cateto opuesto

a us n ote

gu lo

Considerando los componentes del triángulo rectángulo desde el A

cateto opuesto

cateto adyacente

Bueno, después de este preámbulo de construcciones, giros y transformaciones de triángulos rectángulos, pasemos a la exhibición de las relaciones que se desprenden de todo triángulo rectángulo: ¡¡Fíjate, ponte atento, abre los ojos, haz, haz, … bueno, haz todo lo posible por darte cuenta!! En el dibujo anterior, el triángulo es el mismo aunque tenga otro color, la hipotenusa también es la misma (… y yo diría siempre es la mismísima), pero el apellido de los catetos ha cambiado dependiendo desde donde los estemos considerando, el A o el B. En esta columna escribiremos las relaciones del A

lo A ángu

a us

hip

n ote

án

cateto opuesto

sa nu e t o hip

gu lo

en esta las del

cateto opuesto

Seno

cateto opuesto (al hipotenusa

150

Seno

cateto opuesto (al hipotenusa

Y su inversa, hipotenusa cateto opuesto (al

, A)

Cosecante

hipotenusa cateto opuesto (al

a us

hip

án g

n ote

lo A ángu

cateto adyacente

sa nu e t o hip

ulo

Cosecante

cateto adyacente

Coseno

cateto adyacente (al hipotenusa

A) , Coseno

cateto adyacente (al hipotenusa

hipotenusa cateto adyacente (al

, Secante

hipotenusa cateto adyacente (al

Su inversa, A=

cateto opuesto

cateto adyacente

Tangente

A =

cateto adyacente

cateto opuesto

lo A ángu

án gu lo

Secante

cateto opuesto (al A) , Tangente cateto adyacente (al A)

B =

cateto opuesto (al B) cateto adyacente (al B)

Y también su inversa, Cotangente

A = cateto adyacente (al A) , Cotangente cateto opuesto (al A)

151

B = cateto adyacente (al B) cateto opuesto (al B)

Abreviando y sustituyendo las mayúsculas, la escritura de estas relaciones nos queda así: sen

A =

cateto opuesto hipotenusa

, sen

B =

cateto opuesto hipotenusa

csc

A =

hipotenusa cateto opuesto

, csc

B =

hipotenusa cateto opuesto

cos

A =

cateto adyacente hipotenusa

, cos

B =

cateto adyacente hipotenusa

sec

A =

hipotenusa cateto adyacente

, sec

B =

hipotenusa cateto adyacente

tan

A =

cateto opuesto cateto adyacente

, tan

B =

cateto opuesto cateto adyacente

cot

A =

cateto adyacente cateto opuesto

, cot

B =

cateto adyacente cateto opuesto

El desarrollo de las razones inversas, lo haremos para las del A, dejando que tú lo hagas para las del B. Tomando en cuenta que si una razón es inversa de otra, esta otra es, a su vez, inversa de la primera. Entonces, csc

A =

1 sen A

1 cateto opuesto hipotenusa

hipotenusa cateto opuesto

sec

A =

1 cos A

1 cateto adyacente hipotenusa

hipotenusa cateto adyacente

cot

A =

1 cateto opuesto cateto adyacente

cateto adyacente cateto opuesto

tan

Nota. Será suficiente, para la solución de ejercicios, con las tres primeras razones; seno, coseno y tangente.

152

Un primer ejercicio. Si la tangente de un ángulo también está dada por la relación del seno entre el coseno, del mismo ángulo, ¿cómo llegamos a la expresión “cateto opuesto sobre cateto adyacente”. ¿Qué hacemos para caminar de una a otra expresión? … pues hagamos lo que tenemos que hacer. tan

tan

A =

sen cos

A A

sen

cos

, tan cateto opuesto , hipotenusa = tan cateto adyacente hipotenusa

B =

sen cos

A A

sen

cos

y cateto opuesto hipotenusa = cateto adyacente hipotenusa

producto de extremos igual al producto de medios, =

cateto opuesto x hipotenusa cateto adyacente x hipotenusa

Y simplificando, obtenemos (lo que necesitamos, ¡claro!): tan

A =

cateto opuesto cateto adyacente

, tan

B =

cateto opuesto cateto adyacente

Veamos ahora, como nos ayuda esta herramienta en la solución de ejercicios.

Ejercicio 1. Un edificio proyecta una sombra de 32 m. sobre el piso. Si el ángulo de observación es igual a 30°, ¿cuál es la altura del edificio? ¿Cómo encontrar la altura del edificio? Contamos con un cateto y con el ángulo desde el observador.

En este triángulo y desde el observador, esa razón es cateto opuesto sobre cateto adyacente, o sea la tangente del ángulo desde el observador.

¿altura?

Necesitamos una razón que nos relacione la altura con el “piso”. sombra

observador

30° 32 m

153

La pregunta ahora es, ¿cómo obtener la tangente de 30°? Si nos fijamos en el otro ángulo del triángulo, nos damos cuenta que mide 60° (el ángulo desde lo alto del edificio hacia el observador). El ángulo desde el observador mide 30° que es la mitad del otro ángulo. De manera que construyendo un triángulo que tenga dos ángulos de 60° el tercero sólo puede medir 60°, igual que los dos primeros, estamos construyendo un triángulo equilátero. Tomemos como medida del lado 2 unidades, de modo que al trazar la altura desde uno de los vértices, tenemos dos triángulos rectángulos en los que uno de sus ángulos mide 30°, entonces sólo nos falta saber cuanto mide la altura para construir el valor que necesitamos; la tangente de un ángulo de 30°.

60° 30°

30°

60°

Sabemos que 12 + h2 = 22 , desarrollando 1 + h2 = 4 , h 2 = 4 – 1 = 3 , h=

, h = 1.732 .

Y tenemos la medida de los tres lados del triángulo: hipotenusa = 2, cateto “piso” = 1 y cateto “altura” = 1.732. tan

30° =

cateto opuesto cateto adyacente

1 1.732

0.57735

Y aplicando esto en la primera parte de nuestro ejercicio, tenemos: 154

tan

altura de edificio longitud de su sombra

30° =

Despejando,

a 32 m

= 0.57735 .

a = 0.57735 x 32 m = 18.475 m., es la altura del edificio.

En este ejercicio se hizo uso de un triángulo auxiliar que, con un pequeño arreglo, cumplió una de las condiciones que señalaba el ejercicio y que nos permitió saber el valor de la razón trigonométrica que nos permitió construir la proporción mediante la cual encontramos el resultado. Estamos hablando del triángulo equilátero, de la bisección de uno de sus ángulos (cualquiera de ellos, son iguales los tres), de los valores que propusimos para las longitudes de sus lados, esto último apoyándonos en el teorema de Pitágoras y el valor de la tangente en semejantes condiciones. Hay algo más. Nos basamos en la construcción de una proporción para buscar el resultado, encontrar la altura del edificio. De manera que estamos considerando que entre triángulos semejantes, la razón que se expresa mediante la tangente es la misma. ¿Será esto cierto? Desarrollemos un proceso que nos aclare tal consideración.

Si BC ║ DE ║ FG ║ PQ, entonces

G ∆ABC ~ ∆ADE ~ ∆AFG ~ ∆APQ

y las proporciones son:

∆ABC ~ ∆ADE BC DE

AB AD

∆ADE ~ ∆AFG ,

DE FG

155

AD AF

P ∆AFG ~ ∆APQ

FG PQ

AF AP

En estas proporciones, estamos comparando lados homólogos. Si ahora intercambiamos, en cada proporción, los valores de los medios, estaremos comparando, desde el A, el cateto opuesto y el adyacente del mismo triángulo (que es lo que nos interesa) y así tenemos: BC AB

DE AD

Y el valor de la tangente es igual para ángulos iguales;

BC AB

DE AD

FG AF

DE AD

FG AF

PQ AP

O sea, el valor de la tangente de un ángulo, es siempre el mismo sin importar la longitud de los catetos. ¿Las otras razones trigonométricas nos ofrecerán esta misma condición? Liguemos las proporciones para el valor del seno del

P y veamos que sucede,

Como en el triángulo anterior, QR ║ ST ║ UV║ YZ, entonces

∆PQR ~ ∆PST ~ ∆PUV ~ ∆PYZ

y las proporciones serán:

T R

∆PQR ~ ∆PST QR ST

PR PT

∆PST ~ ∆PUV ,

ST UV

PT PV

∆PUV ~ ∆PYZ ,

UV YZ

PV PZ

Al igual que en la tangente, comparamos lados homólogos. Intercambiando, en cada proporción, los valores de los medios, compararemos, desde el A, el cateto opuesto y la hipotenusa del mismo triángulo y así tenemos: 156

QR PR

ST PT

Y el valor del seno es igual para ángulos iguales;

QR PR

ST PT

UV PV

ST PT

UV PV

Construyendo las proporciones para el valor del coseno del

UV PV

YZ PZ

L, veamos como se portan,

Como en los triángulos anteriores, MN ║ OP ║ AB║ CD,

∆LMN ~ ∆LOP ~ ∆LAB~ ∆LCD y las proporciones son:

B ∆LMN ~ ∆LOP

LN LP

LM LO

∆LOP ~ ∆LAB ,

LP LB

LO LA

∆LAB ~ ∆LCD ,

LB LD

LA LC

Estamos comparando lados homólogos. Intercambiando, en cada proporción, los valores de los medios, compararemos, desde el L, el cateto adyacente y la hipotenusa del mismo triángulo y nuestras razones toman la siguiente forma: LN LM

LP LO

157

LB LA

LD LC

Y el valor del coseno es igual para ángulos iguales;

LN LM

LP LO

LB LA

LD LC

Concluimos entonces que los valores de las razones trigonométricas son invariables con respecto a la medida de los lados del triángulo rectángulo y que sólo dependen de la medida del ángulo que forman estos lados.

Ejercicio 2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 m. y 15 m. encontrar los valores de las razones trigonométricas del

Primero, calcularemos la medida de la hipotenusa, utilizando el Teorema de Pitágoras. c2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 , c=

289

, c = 17 , hipotenusa = 17 m.

15 m sen A =

8 17

= 0.4706

cos A =

15 17

= 0.8823

8 15

tan A =

= 0.5333 .

En los siguientes triángulos rectángulos, expresa las tres razones trigonométricas del ángulo que se te pide y encuentra su valor:

5 T

48 52

12 13

9 W

C 40

7 sen T = cos T = tan T =

sen C = cos C = tan C =

sen W = cos W = tan W = 158

sen K = cos K = tan K =

En estos triángulos rectángulos, expresa las razones trigonométricas del ángulo con arco y ayudado del Teorema de Pitágoras encuentra su valor:

v 70

T 24

t 113

P 56 S u sen S = cos S = tan S =

sen A = cos A = tan A =

sen F = cos F = tan F =

sen P = cos P = tan P =

c b

h F

s f

g u

r p P q

sen S = cos S = tan S =

sen A = cos A = tan A =

sen F = cos F = tan F = 159

sen P = cos P = tan P =

Nota. Para saber cuál es el valor de cualquier razón trigonométrica, dado un ángulo, hay tablas que son de fácil manejo y consulta.

Ejercicio 3. Se ha roto uno de los cables que sostienen la torre de radiotransmisión. Si la longitud del pie de la torre a la zapata que ancla el cable es de 85 m. y desde este punto al sitio de la torre en donde se sujeta el cable, el ángulo es de 40°, cómo encontrar la medida del cable que hay que sustituir. Hagamos un dibujo con los datos del ejercicio,

es ar ir titu

torre

ble ca 40 °

85 m

Ahora, buscamos la razón trigonométrica que relacione, desde el ángulo conocido (40°), a los lados que lo componen; en este caso al cateto adyacente con la hipotenusa. Esa razón es el coseno, entonces busquemos en las tablas cuál es el valor del coseno para 40°. cos 40° =

cateto adyacente hipotenusa

despejando, cable =

85 0.766

85 cable

= 110.97 .

160

0.766 =

85 cable

Se necesitarán un poco más de 110.97 m. para sustituir el cable y fijarlo en sus extremos.

Ejercicio 4. Se tiene el proyecto de construir un puente para unir dos poblaciones. Los datos son los siguientes: Desde un observador “C”, a la población “B” hay 155 m. y el ángulo que media entre esta población y la “A” es de 28°. ¿Cuánto debe medir el puente entre “A” y “B”?

Población “A”

28° C 155 m

Población “B”

Buscamos la razón que desde el ángulo C, relaciona los dos catetos; la tangente. En las tablas encontramos que: tan 28°= 0.5317 ;

despejando, AB =

155 x 0.5317

tan =

AB BC

AB 155

82.42 . Es necesario que el puente tenga un poco más de 82.42 m. para que al excavar en tierra firme, a cada lado del río, en verdad una las dos poblaciones.

Ejercicio 5. Sobre una carretera, en dos puntos que distan 75 m., la diferencia de sus alturas es de 3.5 m. Calcular el ángulo que la carretera forma con la horizontal.

3.5 m

75 m A ¿?

Razón que desde el ángulo A, relaciona el cateto opuesto y la hipotenusa; el seno. sen A =

cateto opuesto hipotenusa

3.5 75

= 0.4666 .

161

Ahora, busquemos en las tablas a qué abertura de ángulo corresponde el valor encontrado. sen A =

0.466

si A = 3° .

Ejercicio 6. Encontrar la superficie de un octágono regular que se encuentra inscrito en una circunferencia de 9 cm. de radio. Dibujando las condiciones del ejercicio, tenemos,

m 9c

9 cm

io = rad

45°

45° 22° 30’

Para encontrar la superficie, necesitamos saber los valores de la altura del triángulo (apotema en los polígonos regulares) y de la base (lado del triángulo isósceles). apotema = CA

apotema

BC = CD lado = BD = BC + CD = 2 x BC hipotenusa = 9 cm B

A = 22° 30’ , sen A = 0.3827,

lado

cos A = 0.9239.

162

sen A

BC = sen A x 9 = 0.3827 x 9 = 3.4443

CA hipotenusa

;

cos A =

CA 9

Superficie

perímetro x apotema 2

Superficie

8 x 6.8886 x 8.3151 2

BC hipotenusa

BC 9

;

lado = BD = 2 x 3.4443 = 6.8886 . CA = cosn A x 9 = 0.9229 x 9 = 8.3151 .

8 x lado x apotema 2 458.235 2

= 229.117

8 x BD x CA 2

Superficie del octágono = 229.117 cm2 . Otra Nota. Para resolver los ejercicios que tienes a continuación, ayúdate de papel y lápiz. Dibuja las condiciones del ejercicio que estés resolviendo y busca las razones en los triángulos rectángulos que se forman o que construyas.

Ejercicios 1. Una escalera de 9m. está apoyada contra una pared. ¿Qué altura alcanza si al apoyarla sobre ésta forma con el suelo un ángulo de 72º ? 2. Se inscribe un decágono regular en una circunferencia de 5m. de radio. Calcúlese la longitud del lado de dicho polígono. 3. ¿Cuál es la longitud del radio de la circunferencia circunscrita a un heptágono regular de 2m. de lado? 4. Se necesita conocer la distancia norte-sur (NS) de un terreno cercado. Para eso se trazan las rectas desde un punto O, ON y OS y se mide el ángulo NOS, que resulta ser de 38º. ¿Cuál es la distancia NS, si de O a N hay 300m. y la recta NS es perpendicular a OS? 5. Un obrero tiene una escalera de 12m. ¿Qué ángulo debe hacerle formar con el suelo, si sobre una pared quiere alcanzar una altura de 9m? 6. La luz de un puente forma un arco de 66º, correspondiente a una cuerda de 34m. Calcúlese la longitud del radio de dicho arco. 163

7. El ángulo en la base de un triángulo isósceles es de 34º, y la altura mide 15m. Calcúlese la longitud de cada uno de los lados iguales. 8. Supuesta la tierra esférica y el radio ecuatorial de 6378km, calcular la distancia BC del plano del trópico de Cáncer al plano del ecuador, sabiendo que los trópicos están a 23º 27' del ecuador. 9. ¿Cuánto mide, según los datos del problema anterior, el radio DC de cada uno de los trópicos, y cuál es la longitud de la circunferencia correspondiente? 10. ¿Cuánto es, en kilómetros, la distancia de un arco comprendido entre dos puntos situados sobre el paralelo 49º, si la diferencia de longitudes es de 15º ? 11. ¿Cuántos kilómetros hay que recorrer sobre el paralelo 40º para que el arco correspondiente sea de 10º ? 12. El pie de una escalera de 10m., apoyada contra la pared, queda a 3m. de ésta. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo? 13. Una cuerda subtiende un arco de 48º. ¿Cuál es la longitud de su flecha si el radio es de 5cm? 14. ¿Cuál es la longitud de la apotema y el área de un eneágono regular inscrito en una circunferencia de 24cm. de radio? 15. ¿Cuál es la longitud de la apotema y el área de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de 24cm. de radio? 16. La base de un triángulo isósceles mide 4cm., y cada uno de los lados iguales es de 5cm. Calcular la medida de los ángulos de la base. 17. Para obtener la longitud de una huerta AB, se han medido, desde un punto C, el ángulo CAB, que es de 33º, y la distancia AC = 276m. Tomando en cuenta que AB es perpendicular a CB, ¿qué longitud tiene la huerta? 18. Un barco, navegando desde P hacia el noreste, ha llegado al punto A, distante 250 millas marítimas de P. Supuesta plana la superficie de las aguas, ¿a qué distancia AB se halla de la dirección norte-sur del punto de partida? 19. Calcular el ángulo en la base de un triángulo isósceles, sabiendo que dicha base mide 36m. y la altura es de 14.28m. 20. Calcular el lado de un dodecágono regular circunscrito a una circunferencia de 3cm. de radio. 21. Calcular el radio de la circunferencia circunscrita a un pentedecágono regular de 4cm. de lado. 22. Un árbol de 17m. de altura, proyecta una sombra de 25m. ¿A qué altura angular se halla el Sol sobre el horizonte del lugar? 164

23. ¿Bajo qué ángulo se ve un árbol de 12m. de alto a 43m de distancia? 24. ¿Qué ángulo forma la visual al Sol sobre el horizonte de un lugar en el momento en que la longitud de la sombra proyectada de un edificio es el doble de su altura? 25. Calcúlese el apotema de un octágono regular de 40cm. de lado. 26. La base de un triángulo isósceles mide 54mm. y el ángulo opuesto es de 84º. ¿Cuánto mide la altura? 27. ¿Cuál es el radio de la circunferencia inscrita en un pentedecágono regular de 1cm. de lado? 28. Un barco B está al oeste de un faro F. Después de haber recorrido hacia el sur una distancia BS de 250 millas marítimas, el faro se ve desde el barco en la dirección nortenoreste. ¿A qué distancia BF estaba el barco del faro en el momento de la partida? 29. La altura de un triángulo isósceles es de 6cm., y uno de los ángulos iguales mide 35º. ¿Cuál es la superficie del triángulo? 30. Un hexágono regular tiene 5cm. de lado, y el lado de un eneágono regular mide 3cm. ¿Cuál de los dos polígonos tiene mayor superficie? 31. Calcular la superficie de un pentágono regular de 6.8cm. de lado. 32. La base menor de un trapecio mide 22cm. y la altura es de 15cm. ¿Cuál es la superficie del trapecio, si es rectángulo y el ángulo agudo es de 58º ? 33. En un terreno rectangular se ha medido la base AB que es de 34m. La diagonal AC forma con la base un ángulo de 29º. ¿Qué superficie tiene el rectángulo? 34. Uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 42m, y forma con la base un ángulo de 42º. ¿Cuál es la superficie de ese triángulo? 35. El fondo de un aposento tiene forma pentagonal dispuesto de la manera siguiente: sobre el lado mayor de un rectángulo, cuyas dimensiones son 4 por 4.5m., está montado un triángulo isósceles en el que los ángulos iguales, que son los que están pegados al rectángulo, miden 28º. ¿Cuánto costará el enjarre, si se paga a razón de $1.50 el metro cuadrado?

165

Matemáticas 2

b Objetivo 3: Geometría

a sen (a + b) cos (a + b)

Tema 3. 6: Identidades Trigonométricas

El estudiante extenderá su conocimiento de las razones trigonométricas, comprenderá su utilidad cuando se desea aplicarlas sobre ángulos adyacentes.

Propósito:

Jugando con la trigonometría, que tal si buscamos cuál es la expresión que resulta en las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente, de la suma de dos ángulos adyacentes. Seno y coseno de la suma de dos ángulos. Sean los ángulos adyacentes, a y b. R

Para ayudarnos, trazaremos algunas líneas auxiliares: desde el lado OR, una perpendicular a OP y otra a OQ. Q

R b O

a P

Con los trazos auxiliares observamos:

T ∆OST ~ ∆RQT (haz tú la justificación). Tracemos desde Q una perpendicular a OP y otra a RS. Ahora nuestro dibujo es:

b O

166

a S

Ahora nuestro dibujo es:

De este dibujo tenemos: ∆OST ~ ∆OPQ (tú haces la justificación) y

∆RQT ~ ∆RUQ (también, te toca la justificación).

Finalmente ∆OPQ ~ ∆RUQ.

U Q

(¿por qué son semejantes?)

b a O S

sen ( a + b ) =

SR OR

sen SOR =

cos ( a + b ) =

P OS OR

cos SOR =

Pero tenemos que SU = PQ, entonces SR = SU + UR = PQ + UR y sen ( a + b ) =

SR OR

PQ + RU OR

cos ( a + b ) =

OS OR

OP – SP OR

Desarrollaremos primero el seno de la suma de dos ángulos, adyacentes por supuesto. De los ∆OPQ, ∆RQU y ∆OQR (rectángulos), tomemos las razones que necesitamos: del ∆OPQ ,

sen a =

PQ OQ

;

PQ = OQ sen a

cos b =

OQ OR

;

OQ = OR cos b

167

PQ = OR sen a cos b

del ∆RUQ ,

cos a =

RU QR

;

RU = QR cos a

del ∆OQR ,

sen b =

QR OR

;

QR = OR sen b

;

y tenemos,

PQ =

PQ + RU OR

sen ( a + b ) =

RU = OR cos a sen b

OR sen a cos b + OR cos a sen b OR

OR ( sen a cos b + cos a sen b ) OR

Mostrando que:

OR sen a cos b

RU = OR cos a sen b

= sen a cos b + cos a sen b

sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b

Y para el coseno de la suma de dos ángulos adyacentes desarrollamos: del ∆OPQ ,

cos a =

OP OQ

;

OP = OQ cos a

OP = OR cos a cos b

del ∆RUQ ,

sen a =

UQ QR

;

UQ = QR sen a

UQ = OR sen a sen b ,

pero UQ = SP t entonces tenemos que OP = cos ( a + b ) =

De modo que:

OR cos a cos b OP – SP OR

SP = OR sen a sen b

OR cos a cos b – OR sen a sen b OR

OR ( cos a cos b – sen a sen b ) OR cos ( a + b ) =

, =

= cos a cos b – sen a sen b

cos a cos b – sen a sen b

Para la tangente de la suma de dos ángulos adyacentes, utilizaremos la razón dada por:

168

tan a =

sen a cos a

, que en la razón de la suma, escribimos como sen ( a + b ) cos ( a + b )

tan ( a + b ) =

sen a cos b + cos a sen b cos a cos b – sen a sen b

dividimos cada uno de los términos de nuestro cociente por cos a cos b, sen a cos b cos a cos b cos a cos b cos a cos b

Y tenemos que:

+ –

cos a sen b cos a cos b sen a sen b cos a cos b

tan ( a + b ) =

sen a cos a

–

sen b cos b sen a cos a

= sen b cos b

tan a + tan b 1 – tan a tan b

Ejercicios 1. Apoyándote en los desarrollos anteriores, encuentra los valores de las razones trigonométricas que se te dan a continuación: 1.1. sen ( a + a ) ,

1.4. sen ( a – b ) ,

1.2. cos ( a + a ) ,

1.5. cos ( a – b ) ,

1.3. tan ( a + a ) ,

1.6. tan ( a – b ) .

2. Desarrollando la parte algebraica y consultando en tablas trigonométricas, encuentra los valores para las siguientes expresiones: 2.1. sen ( 90° – a ) ; en donde

( 90° – a ), es el ángulo complementario de a.

2.2. cos ( 90° – a ) , 2.3. tan ( 90° – a ) , 2.4. sen ( 180° – a ) ; en donde

( 180° – a ), es el ángulo suplementario de a.

2.5. cos ( 180° – a ) , 2.6.

tan ( 180° – a ) .

169

Matemáticas 2 C

a A

Objetivo 3: Geometría

B c

Tema 3. 7: Ley de los senos y Ley de los cosenos

El estudiante aprenderá algunas de las propiedades de las razones trigonométricas de modo ampliado y las aplicará a cualquier triángulo.

Propósito:

Continuando con nuestro estudio sobre trigonometría, extenderemos el uso de las razones trigonométricas a cualquier tipo de triángulo, ayudados de nuestro ingenio y de todos los dibujos que hagan falta.

Ley de los Senos. En todo triángulo, los lados son proporcionales, de manera directa, a los senos de los ángulos opuestos a ellos. C

Esto quiere decir que en ∆ABC: a sen A

b sen B

c sen C

B c

170

Primer Caso. Los ángulos son agudos. C

El ∆ABC es un triángulo acutángulo (por tener sus tres ángulos agudos). b

Trazamos desde C una perpendicular a AB,

y entonces, los ∆AHC y ∆HBC son triángulos rectángulos.

B c

Los ∆AHC y ∆HBC, tienen un lado común: CH; escribámoslo desde cada uno de ellos.

del ∆HBC ,

sen B =

CH a

;

CH = a x sen B

del ∆AHC ,

sen A =

CH b

;

CH = b x sen A

;

y obtenemos (1)

a sen A

b sen B

a x sen B = b x sen A ,

Ahora trazamos desde B una perpendicular a AC

y los ∆ABK y ∆CKB son triángulos rectángulos.

B c

Los ∆ABK y ∆CKB, tienen un lado común: BK; procedamos como lo hicimos arriba. 171

del ∆ABK ,

sen A =

BK c

;

BK = c x sen A

del ∆CKB ,

sen C =

BK a

;

BK = a x sen C

;

a sen A

y obtenemos (2)

c sen C

a sen A

De las igualdades (1) y (2),

c x sen A = a x sen C

b sen B

c sen C

Segundo Caso. El triángulo es obtusángulo.

El ∆ABC es un triángulo obtusángulo (por tener un ángulo obtuso).

a b

Trazamos desde C una perpendicular a AB,

B A

y los ∆HBC y ∆HAC son triángulos rectángulos.

a b

A’

A B c

del ∆HBC ,

sen B =

HC a

;

HC = a x sen B

172

De las identidades trigonométricas, tenemos: sen A =

sen ( 180° - A’ ) = sen 180° cos A’ + cos 180° sen A’

sen 180° = 0 del ∆HAC ,

cos 180° = 1 .

sen A =

y obtenemos (3)

HC b

a sen A

Entonces ;

sen ( 180° - A’ ) = sen A .

HC = b x sen A

b sen B

y de las tablas:

;

a x sen B = b x sen A

Ahora trazamos desde B una perpendicular a AC C

y los ∆ABK y ∆CKB son triángulos rectángulos.

a b

B A

Para el sen A, aplicamos el mismo desarrollo que en el punto anterior. K

del ∆ABK ,

sen A =

KB c

;

KB = c x sen A

del ∆CKB ,

sen C =

KB a

;

KB = a x sen C

;

y obtenemos (4)

a sen A

De las igualdades (3) y (4),

c sen C

c x sen A = a x sen C

a sen A

173

b sen B

c sen C

Ejercicio 1. Con los siguientes datos de un triángulo: A = 30°, B = 45° y c = 20 m. se nos pide encontrar el valor del Sabemos que

A+

B+

C, los lados a y b y la superficie.

C = 180°, entonces

C = 180° – (

A+

B)=

= 180° – ( 30° + 45° ) = 180° – 75°, C = 105°, ángulo obtuso. Nuestro triángulo es obtusángulo. Un dibujo aproximado es el siguiente:

Utilizando la ley de los senos:

h A = 30°

a sen 30°

b sen 45°

20 sen 105°

a 0.5000

b 0.7071

20 0.9659

B = 45° c = 20 m

Tomamos las razones de a y de c, con los valores correspondientes, a 0.5000

20 0.9659

;

0.5000 x 20 0.9659

10 0.9659

= 10.35.

Para encontrar el valor de b podemos comparar la razón de b con su seno con cualquiera de las otras dos razones, a o c sobre sus senos correspondientes, hagámoslo con la de c. b 0.7071

20 0.9659

;

0.7071 x 20 0.9659

14.142 0.9659

= 14.64.

Ahora calculemos h para encontrar la superficie del triángulo, sen 45° = Superficie =

h a

;

1 (cxh) 2

h =

sen 45° x a

= 1 ( 20 x 7.32 ) 2

174

= 0.7071 x 10.35 = 10 x 7.32

= 7.32.

= 73.20.

Resultados.

Dados.

Se encontraron:

A = 30°, B = 45° y c = 20 m.

C = 105°, a = 10.35 m, b = 14.64 m y S = 73.20 m2.

Ejercicio 2. Se desea calcular la anchura de un río, para lo cual se tomaron las medidas siguientes: la distancia entre dos puestos de observación A y B, ambos del mismo lado del río, es de 80 m., el ángulo desde el puesto A a un punto C del otro lado del río es 38° y desde el puesto B, al punto C es de 49°. En todo triángulo

A+

B+

C = 180°, entonces

C = 180° – (

A+

B)=

= 180° – ( 38° + 49° ) = 180° – 87°, =

C = 93°, ángulo obtuso.

Dibujo aproximado.

Hemos encontrado el

93°

38° H

c = 80 m

c sen C

60.376 0.9986

Ahora, calculemos la longitud de cualquiera de los lados faltantes del ∆ABC y después, con la perpendicular desde C buscaremos la distancia HC.

49°

b sen B

;

b 0.7547

80 0.9986

;

= 60.46

Ahora, del ∆AHC, buscamos sen A para encontrar la distancia HC.

175

0.7547 x 80 0.9986

sen A

Resultados.

HC b

;

HC 60.46

0.6157 =

;

0.6157 x 60.46

= 37.23

Dados.

Se encontraron:

A = 38°, B = 49° y c = 80 m.

C = 97°, b = 60.46 m (medida auxiliar intermedia) y HC = 37.23 m., anchura del río.

Ahora veremos una aplicación de la ley de los senos. Líneas arriba, hemos visto que la razón de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto es constante. Sabemos que todo triángulo puede inscribirse en una circunferencia entonces, ¿habrá alguna relación entre senos de ángulos y medidas de la circunferencia? La razón de un lado al seno del ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

Esta proposición la escribimos así:

O a sen A

b sen B

c sen C

= Diámetro.

Ahora nos preguntamos, ¿será cierta?

Trazamos, desde C, un diámetro (CQ que pasa por el origen O) y desde el otro extremo (Q), otra cuerda a B.

b O

A Con estos trazos, el ∆QBC es un triángulo rectángulo, entonces

c B Q 176

QC sen QBC

a sen CQB

; pero QC =

Diámetro,

QBC = 90°, por tanto (o por tablas) sen QBC = 1, CQB = QC sen QBC

Diámetro 1

a sen A

Y por lo tanto, se cumple que:

CAB =

A, a sen A

; Diámetro =

b sen B

c sen C

= Diámetro.

Ejercicio 3. Encontrar la superficie del círculo en que está inscrito el triángulo ABC, dados los siguientes valores del triángulo: C = 180° – ( A +

B = 39° y c = 12.5 cm.

B ) = 180° – ( 76° + 39° ) = 180° – 115° = 65°,

c sen C

entonces,

A = 76°,

12.5 0.9063

= diámetro del círculo.

= 13.79.

Recordemos que el diámetro es igual a dos veces el radio y así tenemos 2r = 13.79. Superficie =

r2 = 3.1416 x (13.79)2 = 3.1416 x 190.23 = 597.61.

Superficie del círculo = 597.61 cm2.

Ley de los Cosenos. En todo triángulo, el coseno de de cada uno de los ángulos es igual a: la suma de los cuadrados de los lados que lo forman, menos el cuadrado del lado opuesto y todo esto, dividido por el doble del producto de los lados que lo forman. Esto en ∆ABC:

cos A =

b 2 + c2 – a 2 2bc

cos B =

a 2 + c2 – b 2 2ac

cos C =

a2 + b2 – c2 2ab

B c 177

Primer Caso. Los ángulos son agudos.

El ∆ABC es un triángulo acutángulo.

b e

Trazamos desde C una perpendicular a AB, y entonces, los ∆AHC y ∆HBC son triángulos rectángulos.

B H

Entonces, por el teorema de Pitágoras:

g2 + e2 = a2

f 2 + e 2 = b2 .

Estas dos igualdades las restamos término a término y obtenemos: g2 – f2 = a2 – b2 , factorizamos y ( g + f ) ( g – f ) = a 2 – b2 ; tenemos que (1) g + f = c ; c ( g – f ) = a 2 – b2 ;

Sustituyendo, obtenemos: dividiendo ambos términos por c, (2)

a2 – b2 c

g – f =

Sumando (1) y (2) resulta, 2g = c

a2 – b2 c

a 2 + c2 – b 2 c

;

g =

a 2 + c2 – b 2 2c

a2 – b2 c

b 2 + c2 – a 2 c

;

f =

b 2 + c2 – a 2 2c

y restando (2) a (1), 2f = c

Volviendo a los triángulos rectángulos, tenemos las siguientes razones: 178

cos A

cos B

f b

g a

b 2 + c2 – a 2 2c b

a 2 + c2 – b 2 2c a

b 2 + c2 – a 2 2bc

a 2 + c2 – b 2 2ac

Ahora trazamos desde A una perpendicular a BC

b p

y los ∆AKC y ∆ABK son triángulos rectángulos.

B c

q2 + p2 = c2

Por el teorema de Pitágoras:

r2 + p 2 = b 2 .

Estas dos igualdades las restamos término a término y obtenemos: q2 – r2 = c2 – b2 , factorizamos y ( q + r ) ( q – r ) = c2 - b 2 ; tenemos que (3) q + r = a ; a ( q – r ) = c2 - b 2 ;

Sustituyendo, obtenemos:

dividiendo ambos términos por a, (4)

c2 – b2 a

q – r =

Y restando (4) a (3), 2r = a –

c2 – b2 a

a2 + b2 – c2 a

179

;

r =

a2 + b2 – c2 2a

Volviendo al triángulo ∆AKC, tenemos la razón que faltaba:

cos C

r b

a2 + b2 – c2 2a b

a2 + b2 – c2 2ab

Y se cumple que,

cos A =

b 2 + c2 – a 2 2bc

;

cos B

a2 + c2 – b2 2ac

;

cos C

a2 + b2 – c2 2ab

Segundo Caso. El triángulo es obtusángulo.

El ∆ABC es un triángulo obtusángulo. b a

Trazamos desde C una perpendicular a AB, A

b a

y los ∆AHC y ∆BHC son triángulos rectángulos.

B p

180

p2 + m 2 = b 2

Entonces, por el teorema de Pitágoras:

n 2 + m 2 = a2 .

Estas dos igualdades las restamos término a término y obtenemos: p2 – n2 = b2 – a2 , factorizamos y ( p + n ) ( p – n ) = b 2 – a2 ; tenemos que, p = c + n ; (5) p – n = c , c ( p + n ) = b2 – a2 ;

Sustituyendo, obtenemos: dividiendo ambos términos por c, (6)

p + n =

b2 – a2 c

Sumando (5) y (6) resulta, 2p =

b 2 – a2 c

b 2 + c2 – a 2 c

;

p =

b 2 + c2 – a 2 2c

b 2 – a2 c

b2 – a2 – c2 c

;

n =

b2 – a2 – c2 2c

y restando (5) a (6), 2n = – c +

Volviendo al triángulo rectángulo, tenemos las siguientes razones:

p b

b 2 + c2 – a 2 2c b

cos A

cos B

= cos ( 180° – B’ )

; donde

b 2 + c2 – a 2 2bc

B + B’ = 180° .

De las identidades y las tablas trigonométricas, tenemos lo siguiente: sen 0° = 0 , sen 180° = 0 ;

cos 0° = 1 , cos 180° = -1 , entonces

cos (0° – B’ ) = cos (– B’ ) = cos 0° cos B’ – sen 0° sen B’

= – cos B’ .

cos B = cos ( 180° – B’ )

= – cos B’ .

= cos 180° cos B’ – sen 180° sen B’

181

cos B

– cos B’

–n a

– ( b2 – a2 – c2 ) 2c a

a 2 + c2 – b 2 2ac

Ahora trazamos desde A una perpendicular a BC,

y los ∆AKB y ∆AKC son triángulos rectángulos.

b a

q K q2 + s2 = b2

Por el teorema de Pitágoras:

q2 + r2 = c2 .

Estas dos igualdades las restamos término a término y obtenemos: s2 – r2 = b2 – c2 , factorizamos y ( s + r ) ( s – r ) = b2 – c2 ; tenemos que, s = r + a ; (7) s – r = a , Sustituyendo, obtenemos: dividiendo ambos términos por a, (8)

a ( s + r ) = b2 – c2 ; s + r =

Sumando (7) y (8) resulta,

182

b2 – c2 A

2s =

b2 – c2 a

a2 + b2 – c2 a

;

s =

a2 + b2 – c2 2a

Que en el triángulo rectángulo, nos da la siguiente razón:

cos C

s b

a2 + b2 – c2 2a b

a2 + b2 – c2 2ab

Y ahora sí, para todo triángulo, se cumple que:

cos A =

b 2 + c2 – a 2 2bc

;

cos B

a2 + c2 – b2 2ac

;

cos C

a2 + b2 – c2 2ab

Ejercicios En los triángulos ABC siguientes: 1. Dados

B = 38°,

C = 77° y lado a = 12.3 cm. Encontrar

A = 54°,

C = 28° y lado b = 25.3 m. Encontrar

A = 36°,

B = 44° y lado c = 35 m. Encontrar

A = 11°,

B = 47° y lado a = 50.2 cm. Encontrar

A = 80°,

B = 3° y lado b = 81 m. Encontrar

A, lados b y c y la superficie.

B, lados a y c y la superficie. C, lados a y b y la superficie. C, lados b y c y la superficie.

C, lados a y c y la superficie.

En los siguientes triángulos ABC inscritos: 6. Dados A = 10°, circunscrito.

B = 47° y lado a = 50.4 cm. Encontrar

C, y el radio del círculo

B = 95°,

C = 25° y lado a = 85 m. Encontrar

A, y el diámetro del círculo circunscrito.

A = 54°,

C = 28° y lado b = 25 m. Encontrar

B, y la superficie del círculo circunscrito.

183

Matemáticas 2

Objetivo 4: Construcciones con regla y compás Tema 4. 1: División de un segmento en una razón dada

Propósito:

El estudiante aprenderá a construir, con regla y compás, segmentos de cualquier medida así como a seccionarlos en cuantas partes sea necesario.

El tema que trataremos ahora, es un tema de ingenio, intuición, percepción, instinto, habilidad, creatividad, de alegría, madurez y muchas otras destrezas. Reunidas todas ellas por la razón, se confabulan para ofrecernos un espacio de diversión y esparcimiento. Aquí confluyen las enseñanzas de temas básicos como son: el doblado y cortado de papel (tema aprendido en nuestra niñez), contar utilizando los números naturales (esto es fácil, ¿o no?), el juego con regla y compás para construcciones geométricas (trazado de rectas paralelas, perpendiculares o cualquier otra), razones entre cantidades numéricas y proporciones entre estas (regla de tres) y semejanza entre figuras geométricas. Todo esto. Sí, todo esto y más, tu aplicación, tu creatividad y tu alegría por aprehender. Se nos entrega un cuaderno tamaño profesional de hojas blancas y en blanco, una regla no graduada, un compás y se nos señala una silla y una mesa de trabajo para realizar nuestras asignaciones. Se nos pide trazar un segmento de recta en una hoja de nuestro cuaderno. Entonces, nos damos cuenta que necesitamos un lápiz. Bueno, lo sacamos de nuestra mochila, nos cercioramos que tiene buena punta, y trazamos el segmento.

184

Realizado esto, se nos pide que dividamos el segmento en 3 (tres) partes iguales. Buscamos en nuestra mochila el fólder donde tenemos unas hojas de papel albanene. Sacamos una hoja, dibujamos en ella un rectángulo y lo recortamos. Hoja de papel albanene con rectángulo dibujado.

Rectángulo recortado.

Ahora, al rectángulo de papel albanene le hacemos el siguiente arreglo: Lo doblamos por mitad sobre el lado largo;

doblamos otra vez y

una vez más. Al desdoblarlo, nos muestra 8 (ocho) secciones de iguales dimensiones.

185

Escribimos en la primera, en el extremo superior izquierdo, una “o” para que sea nuestro origen y después, en cada una de ellas y comenzando nuevamente por la primero, en el extremo superior derecho los números del 1 al 8. Volviendo al segmento de nuestro ejercicio, hacemos lo siguiente: 1. Acoplamos la plantilla de papel albanene de modo que coincidan el vértice que tiene la “o” de la plantilla y el extremo A del segmento.

2. Giramos nuestra plantilla hasta hacer coincidir la línea inmediata a la derecha del 3 (tres) con el extremo B del segmento.

Centrando nuestra atención en el ∆AB”3” y aumentando un poco su tamaño, tenemos que:

los ∆’s AB”3”, An”2” y Am”1” son semejantes y las longitudes de a, b y c son iguales.

n 186

De manera que, haciendo del segmento AB la unidad de medida de longitud, aplicando el Teorema de Tales y por las proporciones de las longitudes de los lados de los triángulos resulta que las secciones “o”m, mn y n”1” son iguales y entonces:

El segmento AB, que hemos transformado en el “01” (o sea la unidad de longitud), lo hemos dividido en tres partes iguales.

2 3

1 3

Por el Teorema de Tales, es suficiente abarcar el segmento que se desea dividir con tres espacios de nuestra plantilla.

Se nos pide ahora, que ese mismo segmento lo dividamos en 7 (siete) partes iguales.

Nos damos cuenta, del dibujo en el que acoplamos y giramos, que con esta plantilla no es posible resolver nuestro ejercicio, ¿qué hacer entonces?

187

ÂżQue tal si hacemos un doblez mĂĄs a nuestra plantilla? o 1

9 10 11 12 13 14 15 16

Numeramos las 16 (diecisĂŠis) secciones, que son desde luego de iguales dimensiones, y repetimos los pasos del ejercicio anterior.

1. Acoplamos y 2. Giramos. 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

o 1

10 11 12 13 14 15 16

Haciendo el acercamiento correspondiente, como en el ejercicio anterior, observamos que:

188

los ∆’s AB”7”, Au”6”, At”5”, As”4”, Ar”3”, Aq”2” y Ap”1” son semejantes,

y las longitudes de a, b, c, d, e, f y g son iguales.

Además, de las consideraciones del teorema de Tales y las proporciones y longitudes de las secciones a, b, c, d, e, f y g, concluimos que: el segmento lo hemos dividido en 7 (siete) partes iguales.

6 5 4 3 2 1

1 7

2 7

3 7

4 7

5 7

6 7

Como te das cuenta, con este proceso se puede dividir cualquier segmento en el número de partes que se desee. Basta con tener o construir la plantilla adecuada. Bueno, pero ¿acaso sería conveniente generalizar el método para aplicarlo sin la necesidad de las plantillas? ¿Qué necesitaríamos? Primero nos preguntaremos ¿qué tenemos a través de las plantillas? a. Triángulos semejantes todos ellos con un ángulo común (el ángulo en “o”), por consiguiente los lados que lo forman son comunes, b. Estos triángulos tienen también, el otro lado (el que no se encuentra sobre los lados del ángulo común), que es correspondiente entre ellos, sobre líneas paralelas, y c. Los ángulos de los vértices de las secciones de las plantillas, son rectos. Estas tres consideraciones las podemos reproducir sobre cualquier segmento. Es más, la última, la c, no es tan necesaria, recuerda que la construcción de triángulos semejantes es, para cualquier triángulo. Teniendo estos puntos en cuenta, cómo dividiríamos un segmento AB, cualquiera, en un número determinado de partes, por ejemplo en p sobre q partes (p/q). A

189

nto

Dado el segmento AB, hacemos pasar una línea recta auxiliar por el extremo A (o punto A),

a xili u a

o rp

el Ad

me eg

tre ex

lín A

p-1

Renombramos al segmento AB como “0q” y con una cierta abertura del compás (fija), marcamos sobre la recta auxiliar y con centro en el “0” y en los subsecuentes cortes del compás tantos cortes como el número p.

. . .

p-1

. . .

Trazamos una recta que una el corte p sobre la línea auxiliar y el extremo q (antes B) del segmento y después, 2

0 p-1

p q

. . .

Construimos las paralelas a “pq” desde los cortes, que hicimos con el compás, sobre la línea auxiliar hasta el segmento “0q”.

1 q

3 2 q

3 q

190

4 q

5 q

. . .

p-1 q

p q

La longitud entre dos particiones consecutivas es igual a 1/q, de manera que puestos en sucesión equivaldrán, desde el “0” hasta “q” a las divisiones señaladas en la última construcción.

Ejercicios

1. Si tienes un hilo que mide el ancho de tus manos puesta juntas, ¿Cómo puedes dividirlo en 3 (tres) parte iguales con la ayuda de una hoja de cuaderno rayado? 2. Divide un segmento que tenga de longitud lo largo de tu mano en 7 (siete) partes iguales. Con la misma hoja de cuaderno. 3. Con plantilla o regla y compás, como tú prefieras, y sobre una hoja blanca, divide un segmento que tenga de longitud la medida de tus zapatos (colocándolo sobre la hoja y haciendo las marcas del talón y la punta) en: a. 5 (cinco) partes,

b. 9 (nueve) partes,

d. 2 (dos) partes (dos métodos),

e. 6 (seis) partes.

191

c. 11 (once) partes,

Matemáticas 2 6

7/3

2/5 - 5/3

1 11 15

-1

Objetivo 4: Construcciones con regla y compás

Tema 4. 2: Representación de números en la recta

El estudiante construirá sobre una recta, y con regla y compás, cualquier conjunto de números, Naturales, Enteros o Racionales. Con esto tendrá una comprensión más amplia de la sucesión y orden de los números, cualquiera que sea el conjunto de números que se trate.

Propósito:

Comencemos nuestra construcción: Tracemos una línea recta; luego fijemos un punto en ella y levantemos una pequeña perpendicular, esa 1 2 -2 -1 0 marca será nuestro origen o “0” (cero) y lo escribiremos sobre ella; después separando los extremos de nuestro compás, abrámoslo en una medida prudente y haciendo centro en el “cero” tracemos un arco de circunferencia que corte a la recta sobre el lado derecho del “cero” sobre ese punto de intersección, levantemos una pequeña perpendicular. La distancia que media entre la marca del “cero” y esta otra, será nuestra “unidad de longitud” y por lo tanto escribiremos sobre ella el “1”. Procediendo de esta manera, haciendo centro en los subsecuentes cortes hacia la derecha e izquierda del “cero”, tendremos una recta con marcas homogéneas en la que podremos describir el comportamiento de cualquiera de los conjuntos numéricos que conocemos.

...

-3 -2

-1

... B

192

Ahora, apliquemos la estructura de esta construcción a la construcción del conjunto de los Números Naturales sobre una línea recta. Siguiendo el proceso anterior, hasta ir cortando sólo hacia el lado derecho de la línea recta, podemos seguir dos caminos (será fácil darnos cuenta que cualquiera es bueno);

...

1. Consideramos la recta, con sus cortes, a partir del “uno” (la distancia del “0” al “1” nos sirvió para construir la ubicación de los números sobre la recta) y hacia la derecha, y

... B

entonces tenemos: 1

...

2. Renumerando los cortes iniciando por el “1” sobre el “cero” y continuando hacia la derecha.

...

Ahora, construyamos, sobre la línea recta, los Números Enteros.

193

Aquí, basta con repetir nuestra primera construcción

...

-3 -2

-1

...

y trazar las pequeñas marcas sobre la recta.

-m

...

-3 -2

-1

...

Finalmente, construyamos sobre una línea recta los Números Racionales. Partiendo de la recta en donde construimos la estructura de los Números Enteros,

-m

...

-3 -2

-1

...

nos acercamos con una potente lupa para tener “más espacio” en donde acomodar los racionales que corresponden entre uno y otro número entero.

-m

...

-3

-2

194

...

Con este visor e imaginando que podemos agrandar nuestra figura aún más – baste recordar como dividimos un segmento en un número determinado de partes iguales – , partamos el segmento “cero uno” en 10 (diez) partes iguales. El dividir cada uno de estos segmentos en 10 (diez) partes iguales, nos permitirá entender fácilmente la escritura del Sistema Métrico Decimal. Y así tenemos,

Con una línea auxiliar, cortando en ella diez arcos de circunferencia y trazando las paralelas a la línea trazada desde el último corte hasta el “1”, obtenemos lo siguiente:

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Repitiendo esto en cada uno de los segmentos entre dos números, hemos dividido nuestra recta numérica en segmentos de 1/10 (un décimo) de unidad de longitud. Si ahora, dividimos cada uno de estos pequeños segmentos en 10 (diez) partes cada uno, habremos dividido nuestra recta en segmentos de 1/100 (un centésimo) de unidad de longitud. Y se vería así:

1 10

2 10

3 10

0.1

0.2

0.3

5 10

6 10

0.5

0.6

195

8 10

9 10

0.8

0.9

Nuestro segmento y su línea auxiliar,

6 10

5 10

y nuestros subsegmentos se verían así:

5 10

0.5

1 100

2 100

3 100

4 100

5 100

6 100

7 100

8 100

9 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

6 10

0.6

Siguiendo este procedimiento, aumentando y aumentando nuestros segmentos con la ayuda de lupas cada vez más potentes, construimos los subsegmentos con longitud igual a cualquier submúltiplo de 10 (diez) que necesitemos.

5 10

1 100

2 100

3 100

0.01

0.02

5 100

6 100

7 100

8 100

9 100

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

6 10

0.03

De esta forma, podemos construir cualquier número racional siempre y cuando esté constituido por fragmentos que sean cantidades de submúltiplos de 10 (diez). Ejemplos: 1)

3. 85 Tres enteros, ocho décimos, cinco centésimos.

65. 07

Sesenta y cinco enteros, siete centésimos.

196

6.104 Seis enteros, un décimo, cuatro milésimos.

Ahora, la pregunta es: ¿Cómo encontraremos números racionales cuya fracción NO esté dada en cantidades de submúltiplos de 10 (diez). Por ejemplo:

a) 2/3 (dos tercios) ,

b) 4/7 (cuatro séptimos) y

c) 1/4 (un cuarto) .

Respuesta: Procediendo como hicimos al dividir la longitud de una unidad (longitud entre dos enteros consecutivos) en 10 (diez) partes iguales; Aquí lo haremos en 3, 7 y 4 partes. a) Primer ejemplo para la longitud 2/3 (dos tercios): a. 1. Trazamos la línea auxiliar desde el “0” y sobre ella hacemos tres cortes de arco, de la misma medida, con el compás, a. 2. Unimos, mediante una línea recta, el tercer corte con el extremo que tiene el número “1”, 3

a. 3. Trazamos las paralelas a esta recta desde los cortes de arco sobre la línea 0 auxiliar,

2 1

1 2 3

1 3

3 3

a. 4. En donde corten al segmento “01”, serán 1/3, 2/3 y 3/3 (este último será otra forma de escribir la unidad) respectivamente y a. 5. Terminamos este ejercicio tomamos el valor 2/3. b) Segundo ejemplo, longitud 4/7 (cuatro séptimos): b. 1. Trazamos la línea auxiliar y sobre ella hacemos siete cortes de arco con el compás, estos cortes serán de la misma medida, b. 2. Unimos, mediante una línea recta, el séptimo corte con el extremo que tiene el número “1”,

7 6 5

b. 3. Trazamos las paralelas desde los cortes de arco hechos sobre la línea auxiliar,

4 3

1 7

197

1 2 7

3 7

4 7

5 7

6 7

7 7

b. 4. En donde corten al segmento “01”, serán 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 y 7/7 (este último será, como en el ejercicio anterior, otra forma de escribir la unidad) respectivamente y b. 5. Finalizamos tomando el valor 4/7. c) Último ejemplo . . . en las siguientes líneas, longitud 1/4 (un cuatro): c. 1. Trazamos la línea auxiliar y sobre ella hacemos cuatro cortes de arco, de la misma medida, con el compás, c. 2. Unimos, mediante una línea recta, el cuarto corte con el extremo que tiene el número “1”, 4 3

c. 3. Trazamos las paralelas desde los cortes de arco sobre la línea auxiliar, 0

2 1

1 1 4

2 4

3 4

4 4

c. 4. En donde corten al segmento “01”, serán 1/4, 2/4, 3/4 y 4/4(este último será, como los ejercicios anteriores, otra forma de escribir la unidad) respectivamente y c. 5. Finalmente tomamos el valor 4/7 y hemos resuelto los tres ejercicios.

Ejercicios 1. Dividir un segmento en: a) Cinco partes.

b) Ocho particiones.

c) Once subsegmentos.

b) Novenos.

c) Duodécimos.

2. Dividir la Unidad en: a) Cuartos.

198

Matemáticas 2 Objetivo 4: Construcciones con regla y compás Tema 4. 3: Operaciones ( +, –, ×, : ) con regla y compás

Propósito:

El estudiante aprenderá a construir, con regla y compás, segmentos de cualquier medida así como a seccionarlos en cuantas partes sea necesario.

En este espacio, vamos a construir con regla y compás, o sea, tendremos una representación geométrica de, las operaciones básicas. Comenzaremos por la suma de dos segmentos.

Nota. Las partes extremas de las hojas del compás las llamaremos, para diferenciarlas, del siguiente modo: la que apoyamos para que sea el centro de circunferencias (o arcos de circunferencia), Punta; y la que traza las circunferencias (o arcos de circunferencia), Lápiz. Ahora sí, para la suma de dos segmentos: a. Trazamos una recta y en ella escogemos un punto como origen, b. Tomamos el compás y abriéndolo, con una abertura discreta, marcamos con la punta, apoyados en el origen, un arco sobre la recta. Esa será nuestra unidad de longitud, c. Marcamos, con esa misma abertura y apoyándonos en los cortes de arco, los subsecuentes arcos sobre la recta en ambos lados del origen y

199

d. Numeremos los cortes de arco a partir del origen, que será el “cero”; hacia la derecha con el 1, 2, 3 y sucesores y hacia la izquierda con el -1, -2, -3 y sucesores, también.

-m

...

-3 -2

-1 0

...

Nos preguntan ¿cómo sumar las longitudes 3 y 4, – 2 y 5, – 3 y – 5?, o visto de otro modo, ¿cuál es la representación geométrica de la suma de estas parejas de números?

Sumar: 3 y 4 . Sobre nuestra recta numérica (o geométrica), hacemos lo siguiente: 1. Abrimos el compás, de la punta al lápiz, tanto como “3” unidades de longitud, 2. Apoyamos la punta del compás en el “0” y trazamos sobre la recta, y hacia ellado que hemos designado como positivo, un pequeño arco, 3. Levantamos el compás y ahora lo abrimos, una longitud de “4” unidades, 4. Apoyamos la punta en el corte de arco, a la recta, que habíamos hecho con “3” unidades y trazamos otro pequeño arco sobre la recta y hacia el lado positivo, alejándolo del “0”, 5. Esta segunda marca, señalará el resultado de nuestra suma. Número en color Marrón.

-m

...

-3

-2

-1

...

Pregunta: Qué sucede si queremos sumar 4 + 3 .

Mmm … mmm … pues seguimos el mismo procedimiento pero primero trazamos el arco de longitud “4” y luego el de longitud “3”.

200

De esta manera:

-m

...

-3

-2

-1

...

Como podemos darnos cuenta, cosa que ya sabíamos, el resultado es el mismo. Sumar: – 2 y 5 . Mismo procedimiento PERO debemos estar alerta pues los números tienen distinto signo. Entonces, si las longitudes positivas las consideramos hacia la derecha (igual que la puesta de los números a los cortes de arco), las negativas serán hacia la izquierda (igual que los números sobre los cortes). Primero marcamos la longitud “2” hacia el lado negativo y apoyados en ese corte y con longitud “5” hacemos la segunda marca hacia el lado positivo.

-m

...

-3

-2

-1

...

El resultado de nuestra suma es el número en color Marrón. Si nos preguntamos por la conmutatividad: 5 + (– 2) .

-m

...

-3

-2

-1

Basta con permutar los pasos del procedimiento. Marcar primero la longitud “5” hacia el lado positivo y a partir de esta, la longitud “2” hacia el lado negativo.

201

Sumar: – 3 y – 5 . Procediendo de igual modo, tomando en cuenta que los dos números son negativos, llegaremos a buen resultado, hagámoslo. Primero longitud “3” hacia la izquierda por ser negativa y luego, apoyándonos en este corte, longitud “5” también hacia el mismo lado y por la misma razón.

-m

...

-9

-8 -7 -6 -5

-4 -3 -2

-1 0

...

Y si trazamos primero el – 5, pues aquí está. Resultado en Marrón.

-m

...

-9

-8 -7 -6 -5

-4 -3 -2

-1

Pasemos ahora, a la operación de resta o sustracción. ¿Cómo restar 2 al 6, – 3 al 2, 1 al – 3 y – 5 al – 4?, y comenzamos. Restar 2 al 6, o sea: 6 – 2 . El método ya lo conocemos, pero ahora hay que considerar que el restar quiere decir que la longitud que ha de sustraerse se cambie de dirección. Esto es, si es positiva al restarse se asumirá como negativa y si es negativa, como positiva. Y así, 6 – 2 , resultado en Marrón. -m

...

-1

...

Operemos 2 – 3 , resultado en Marrón.

-m

...

-3

-2

-1

202

...

Ahora, – 3 – 1 , en Marrón el resultado. -m

...

-5

-4 -3 -2 -1

...

Última resta, – 4 – 5 , en Marrón también.

-m

...

-5

-4 -3

-2

-1

Toca el turno a la multiplicación y lo haremos con los productos: 4 x 3, – 2 x 7 y – 2 x (– 4) . Para la multiplicación de longitudes, tomamos una de ellas y la reproducimos, sobre la recta y partiendo del “0”, “tantas veces como” indica, o nos dice, el otro factor. Multiplicar 4 x 3 . Abrimos el compás 4 unidades y la copiamos 3 veces. Marrón el resultado. -m

. . . -1

10 11 12 13 . . . n

Si tomamos la abertura de 3 unidades y la reproducimos 4 veces, obtenemos, -m

. . . -1

con el mismo resultado y en Marrón.

203

10 11 12 13 . . . n

Multiplicar – 2 x 7 y 7 x (– 2) . Tomamos – 2 tantas como 7 veces y ya está. -m

. . . -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8

-7 -6

-5 -4

-3

-2 -1

... n

Abrimos el compás 7 unidades de longitud y al considerar el signo del otro factor (-2), cambiamos la dirección de la longitud 7 y la tomamos 2 veces.

-m

. . . -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8

-7 -6

-5 -4

-3

-2 -1

... n

Dos multiplicaciones más: – 2 x (– 4) y – 4 x (– 2) . Ambos números tienen signo negativo, entonces tomamos cualquiera de ellos, abrimos el compás la longitud correspondiente y al considerar el segundo factor cambiamos el sentido de la primera longitud y la reproducimos el número de “veces” que nos dice el segundo factor. Aquí tenemos las dos construcciones y los dos resultados, en Marrón por supuesto. Multipliquemos: – 2 x (– 4) .

-m

. . . -1

10 11 12 13 . . . n

Y ahora, – 4 x (– 2) . -m

. . . -1

Y finalmente llegamos a la división de segmentos.

204

Dividiremos: 3 : 4, – 2 : 5, 4 : – 2 y – 5 : – 2 . Primera división: 3 : 4 . 1. Sobre la recta que tiene asentadas las longitudes (que llamaremos recta de las longitudes), según el número de unidades, marcamos la longitud 3 (tres); 2. Sobre una recta auxiliar que pase por el “0” trazamos 4 (cuatro) arcos de igual longitud. 3. Trazamos una recta desde el último corte de arco hasta el punto de longitud 3 (tres). 4. Trazamos líneas paralelas a ésta desde cada uno de los cortes de arco sobre la línea auxiliar y que corten a la recta de las longitudes. Aunque sólo es necesaria la paralela construida sobre el primer corte para obtener el resultado. 4 Nuestro dibujo tiene esta forma:

6 4

3 4

9 4

12 4

El resultado está encerrado en una Elipse Roja. Segunda división: – 2 : 5 . 5

Mismo procedimiento que el ejemplo anterior aunque desarrollado hacia el lado negativo por tener una de los factores con ese signo. Encontrarás el resultado dentro de una Elipse Roja.

4 3 2 1

-10 5

-2

-8 5

-4 5

-6 5

-1

205

-2 5

Tercera división: 4 : (– 3) . Mismos argumentos que el ejemplo anterior. Mismo color de la Elipse con el resultado. 3

-12 3

-4

-8 3

-3

-4 3

-2

-1

Cuarta división: – 5 : (– 2) . Como en la multiplicación, al ser los dos factores de signo negativo; tomamos la longitud a dividir hacia el lado negativo y al tomar el signo del divisor lo cambiamos hacia el lado positivo. Resultado: Elipse Roja.

5 2

10 2

He dejado para el final la multiplicación y la división de segmentos con longitud racional, convencido de la siguiente apreciación: por la comprensión de las operaciones básicas de números enteros con regla y compás, resulte más fácil a la intuición el comprender el desarrollo de estas operaciones. 206

3 4

Multipliquemos dos números racionales:

2 5

. El método es el siguiente:

1. Sobre la recta de las longitudes, marcamos la longitud 3/4 (tres cuartos); dividiendo la unidad en 4 (cuatro), según indica el denominador del multiplicando, y tomando el corte 3 (tres) del numerador del mismo término. 2. Sobre una recta auxiliar que pase por el “0” trazamos 5 5 (cinco) arcos de igual longitud, 4 nos lo indica el denominador 3 del multiplicador; los 2/5 (dos 2 quintos). 1 1 20

2 20

1 10

3 20

4 20

5 20

2 10

6 20

3 10

1 4

7 20

8 20

4 10

9 20

10 20

5 10

11 20

12 20

6 10

13 20

14 20

15 20

8 10

7 10

2 4

16 20

17 20

18 20

19 20

9 10

3 4

3. Trazamos una recta desde el último corte de arco hasta el punto de longitud 3/4 (tres cuartos).

4. Trazamos líneas paralelas a ésta desde cada uno de los cortes de arco sobre la línea auxiliar y que corten a la recta de las longitudes. En esta construcción sólo es necesaria la paralela construida sobre el número de corte que indica el numerador del multiplicador (el 2) para obtener el resultado. Resultado encerrado en Elipse Azul. Algunas consideraciones sobre este resultado geométrico: a. Sobre la recta de las longitudes, marcamos las divisiones en cuartas partes; lo dice el denominador del primer término o multiplicando (1/4, 2/4, 3/4 y la unidad) y tomamos 3 (tres) de ellas, numerador del mismo término. b. Luego, tuvimos que dividir cada una de estas cuartas partes, en quintas partes; atendiendo al denominador del segundo término o multiplicador. c. Si dividimos en cuartas partes y después éstas las subdividimos en quintas partes, obtenemos vigésimas partes (4 x 5). Que es lo que tenemos en nuestro dibujo. d. El resultado obtenido, como en este ejercicio, es factible de simplificación. 207

Multipliquemos ahora:

7 6

2 3

. Aplicamos el método del ejemplo anterior, es así:

1. Sobre la recta, marcamos la longitud 7/6 (siete sextos); dividiendo la unidad en 6 (seis), según indica el denominador del multiplicando, y tomando el corte 7 (siete) – un sexto más allá 2 del punto marcado como “1” -, según el numerador 1 del mismo término.

1 18

2 18

3 18

1 9

4 18

2 9

1 6

5 18

6 18

7 18

8 18

3 9

9 18

4 9

2 6

10 18

5 9

3 6

11 18

12 18

6 9

4 6

13 18

14 18

15 18

7 9

16 18

17 18

19 18

20 18

21 18

8 9

5 6

7 6

2. Sobre una recta auxiliar que pase por el “0” trazamos 3 (tres) arcos de igual longitud, nos lo indica el denominador del multiplicador (el 2/3 (dos tercios). 3. Trazamos una recta desde el último corte de arco hasta el punto de longitud 7/6 (siete sextos). 4. Trazamos líneas paralelas a ésta desde cada uno de los cortes de arco sobre la línea auxiliar y que corten a la recta de las longitudes. Es necesaria sólo la paralela construida sobre el número de corte que indica el numerador del multiplicador (el 2) para obtener el resultado. El resultado, enmarcado en una Elipse Azul. Consideraciones sobre el resultado de este ejemplo. Serán como las del ejemplo anterior. a. Sobre la recta, marcamos las divisiones en sextas partes; lo dice el denominador del multiplicando (1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6, la unidad y 7/6) y tomamos 7 (siete) de ellas, numerador del mismo término. b. Luego, dividimos cada una de estas sextas partes, en terceras partes; atendiendo al denominador del multiplicador. 208

c. Dividimos en sextas partes y después éstas las subdividimos en terceras partes, obtenemos dieciochoavas partes (6 x 3). Que tenemos en nuestro dibujo. d. El resultado no es factible de simplificación. Hagamos una división en donde dividendo y divisor sean números racionales: 2 5

Propongamos los siguientes números:

3 4

. El método que seguiremos es este:

1. Dibujamos dos rectas paralelas, sistema primario en posición horizontal, en ambas marcamos con la misma abertura del compás las unidades de longitud. Empatamos el “0” de ambas. 2. Sobre una de ellas, de preferencia la que dibujamos arriba, dividimos la unidad en el número que indica el denominador del dividendo; por caso 5 (cinco). 3. Sobre la otra recta, la que dibujamos abajo, dividimos la unidad en el número que indica el denominador del divisor; por caso 4 (cuatro). 4. Trazamos una línea que una “0” con “0” de ambas paralelas del sistema primario y posteriormente una paralela a ésta, la que unió los “0’s”, desde la marca del dividendo, 2/5 (dos quintos), hasta la otra paralela del sistema. 5. Y desarrollamos una partición en la paralela de abajo del sistema primario para saber a qué racional o entero corresponde esta división. 1 5

1 15

2 15

3 15

4 15

2 5

5 15

1 4

6 15

7 15

8 15

3 5

9 15

10 15

11 15

2 4

12 15

4 5

13 15

14 15

15 15

3 4

209

16 15

17 15

18 15

19 15

20 15

21 15

22 15

Resultado dentro de Elipses Rojas; la de números azules se escribió con números más grandes para facilitar su lectura. Consideraciones sobre el resultado de este ejemplo. a. Sobre la recta de abajo del sistema primario, marcamos las divisiones en cuartas partes; lo dice el denominador del divisor (1/4, 2/4, 3/4 y la unidad) y tomamos 3 (tres) de ellas, numerador del mismo término. b. El valor 3/4 (tres cuartos), será nuestro “nuevo patrón” o “nueva unidad”. Esto es fácil de considerar puesto que se trata del racional por el que se va a dividir el otro racional. c. Luego, dividimos cada una de estas cuartas partes, en quintas partes; atendiendo al denominador del dividendo. Nota Importantísima. Fíjate como en esta subdivisión, sobre la paralela de abajo del sistema primario, la sucesión de racionales identifica “su unidad” con el “nuevo patrón”; en este ejercicio: (15/15 con 3/4).

d. Si el “nuevo patrón” consta de 3 (tres) divisiones, numerador del divisor, y después éstas las subdividimos en quintas partes, obtenemos quinceavas partes (3 x 5). Que tenemos en nuestro dibujo como las subdivisiones sobre la paralela de abajo del sistema primario. e. El resultado aquí obtenido, no es factible de simplificación. Propongamos los siguientes números:

4 5

2 3

. Procedimiento: ejercicio anterior.

1. Sistema de paralelas primario en posición horizontal y la misma abertura del compás para las unidades de longitud. Empatamos el “0” de ambas. 2. Sobre la que dibujamos arriba, dividimos la unidad en el número que indica el denominador del dividendo; por caso 5 (cinco). 3. Sobre la otra recta, la que dibujamos abajo, dividimos la unidad en el número que indica el denominador del divisor; por caso 3 (tres). 4. Trazamos una línea que una “0” con “0” del sistema primario y luego, una paralela a ésta desde la marca del dividendo, 4/5 (cuatro quintos), hasta la otra paralela del sistema. 210

5. Y desarrollamos una partición en la paralela de abajo del sistema primario para saber a qué racional o entero corresponde esta división. Así nuestro dibujo: En Elipses Rojas el resultado y sus simplificaciones.

1 5

1 10

2 10

1 5

3 10

2 5

4 10

5 10

2 5

6 10

3 5

7 10

8 10

4 5

1 3

9 10

4 5

10 10

11 10

12 10

5 5

2 3

6 5

1 5

13 10

14 10

15 10

7 5

Consideraciones sobre este ejemplo. a. Sobre la recta de abajo del sistema primario, marcamos las divisiones en terceras partes; lo dice el denominador del divisor (1/3, 2/3 y la unidad) y tomamos 2 (dos) de ellas, numerador del mismo término. b. El valor 2/3 (dos tercios), será nuestro “nuevo patrón” o “nueva unidad”. Es el racional por el que se va a dividir el otro racional. c. Luego, dividimos cada una de estas terceras partes, en quintas partes; atendiendo al denominador del dividendo. Nota Importantísima (equivalente a la del ejemplo anterior). Fíjate como en esta subdivisión, sobre la paralela de abajo del sistema primario, la sucesión de racionales identifica “su unidad” con el “nuevo patrón”; en este ejercicio: (10/10 con 2/3).

211

d. Si el “nuevo patrón” consta de 2 (dos) divisiones, numerador del divisor, y después éstas las subdividimos en quintas partes, obtenemos décimas partes (2 x 5). Que tenemos en nuestro dibujo como las subdivisiones sobre la paralela de abajo del sistema primario. e. El resultado aquí obtenido, es factible de simplificación en tanto extraer los enteros. 5 3

Ejemplo con los siguientes números:

1 4

. Procedimiento: igual a los anteriores.

1. Sistema primario en posición horizontal y la misma abertura del compás para las unidades de longitud. Empatamos el “0” de ambas. 2. Sobre la que dibujamos arriba, dividimos la unidad en el número que indica el denominador del dividendo; por caso 3 (tres). 3. Sobre la otra recta, la que dibujamos abajo, dividimos la unidad en el número que indica el denominador del divisor; por caso 4 (cuatro). 4. Trazamos una línea que una “0” con “0” del sistema primario y después, una paralela a ésta desde la marca del dividendo, 5/3 (cinco tercios), hasta la otra paralela del sistema. 5. Y desarrollamos una partición en la paralela de abajo del sistema primario para saber a qué racional o entero corresponde esta división.

1 3

2 3

3 3

1 4

4 3

2 3

5 3

6 3

2 4

7 3

8 3

4 3

9 3

10 3

11 3

3 4

12 3

13 3

14 3

15 3

5 4

16 3

5 3

17 3

18 3

19 3

20 3

6 4

7 4 6

212

21 3

2 3

22 3

Consideraciones sobre este último ejemplo. a. Sobre la recta de abajo del sistema primario, marcamos las divisiones en cuartas partes; lo dice el denominador del divisor (1/4, 2/4, 3/4 la unidad, 5/4, 6/4 y 7/4) y tomamos 1 (una) de ellas, numerador del mismo término. b. El valor 1/4 (un cuarto), será nuestro “nuevo patrón” o “nueva unidad”. Es el racional por el que se va a dividir el otro racional. c. Luego, dividimos cada una de estas cuartas partes, en terceras partes; atendiendo al denominador del dividendo. Nota Importantísima (como en los dos ejemplos anteriores). Fíjate como en esta subdivisión, sobre la paralela de abajo del sistema primario, la sucesión de racionales identifica “su unidad” con el “nuevo patrón”; en este ejercicio: (3/3 con 1/4).

d. Si el “nuevo patrón” consta de 1 (una) división, numerador del divisor, y después éstas las subdividimos en terceras partes, obtenemos terceras partes (1 x 3). Que tenemos en nuestro dibujo como las subdivisiones sobre la paralela de abajo del sistema primario. e. El resultado aquí obtenido, es factible de simplificación para extraer enteros.

Ejercicios 1. Sumar:

a) 3 + 7

b) 2 + 6

c) – 5 + 8

d) – 4 + 9

e) 5 + (– 11)

f) 1 + 2 + (– 5)

g) – 3 + (– 3)

h) – 6 + (– 7)

i) 5 + (– 6) + 3

2 3

4 3

3 4

213

–1 ) 3

4 5

1 2

2. Restar:

a) 5 – 9

b) 7 – 4

c) – 3 – 10

d) – 7 – 2

e) 4 – (– 12)

f) 3 – (– 4) – 7

g) – 8 – (– 9)

h) – 4 – (– 1)

i) 2 – (– 2) – (– 1)

5 4

3. Multiplicar:

8 3

2 5

–

3 2

–( –1 ) 3

a) 3 x 5

b) 7 x 2

c) – 1 x 6

d) – 4 x 5

e) 3 x (– 7)

f) 9 x (– 4) x 7

g) – 3 x (– 3)

h) – 5 x (– 7)

i) 5 x (– 3) x (– 1)

2 5

4. Dividir:

7 5

–

3 7

7 4

4 3

a) 6 : 5

b) 8 : 3

c) – 7 : 4

d) – 5 : 8

e) 3 : (– 11)

f) 4 : (– 15)

g) – 6 : (– 7)

h) – 12 : (– 17)

i) 5 : (– 4)

4 9

1 3

5 7

214

5 7

4 3

1 ) –3

–2 ) 3

Matemáticas 2

Objetivo 4: Construcciones con regla y compás Tema 4. 4: Dibujos a Escala

Propósito:

El estudiante aplicará sus habilidades, de construcción geométrica, en la reproducción de esquemas, mapas o dibujos en general en escalas diferentes.

En este tema aprenderás cómo construir esquemas, mapas o dibujos en escalas diferentes.

Hay que reproducir el siguiente dibujo de tal manera que obtengamos un dibujo de dimensiones iguales a una mitad del original. Para poder reducirlo, trazamos sobre la hoja, una cuadrícula cercana a nuestro objetivo,

215

En otra hoja, reproducimos la misma cuadrícula aumentando el número de líneas que, dividiendo la cuadrícula original por mitades, sean necesarias para tener el mismo número de “renglones” y “columnas” que el original.

Y entonces, reproducimos el “foco”.

Observaciones: Dibujo original

Reproducción

Tenemos 5 (cinco) columnas y 7 (siete) renglones en la cuadrícula con que enmarcamos al “foco”.

Las mismas columnas y renglones y una cuadrícula de menor tamaño.

El espacio entre líneas es uniforme.

También en esta cuadrícula.

La reducción propuesta, se efectuó en las dos dimensiones del dibujo, que fue lo que se nos pidió. Los trazos propios del “foco” se hicieron a mano, tomando en cuenta su asiento en cada uno de los cuadrados de nuestra “plantilla cuadriculada”. Ahora bien, aplicando este método, sólo el método, podemos reproducir cualquier dibujo, aunque no sea una replica aumentada o disminuida del original. ¿Cómo?

216

De esta manera: Trazando líneas por la mitad de los espacios verticales.

Trazando líneas por la mitad de los espacios horizontales.

Hemos reproducido el dibujo de un foco reduciéndolo a la mitad en sus dimensiones pero podemos hacerlo en cualquiera otra razón de sus dimensiones ya sea menor, como es el caso o mayor si es lo que se desea, y aún más, como hicimos en los últimos dibujos, en razones distintas para sus dimensiones. Ahora hagamos una reproducción aumentando el tamaño de una figura. Tomemos un árbol. Tracemos una cuadrícula que lo envuelva,

217

Rayemos una cuadrícula mayor, propongamos al doble en ambas dimensiones. Y dibujemos en ella el árbol.

En este ejercicio, al igual que en el anterior, también podemos cambiar, ya sea aumentando o disminuyendo, sólo una de las dimensiones, según lo que se pida o desee.

Por ejemplo: Mas ancho

Mas alto

218

Esta manera de realizar dibujos a escala, es la más sencilla. Basta con aumentar o reducir la longitud de los cuadrados y transportar la imagen que se desea cambiar de tamaño o escala. Veamos ahora otra forma, un poco más laboriosa. Debemos de escalar el siguiente dibujo pero se nos pide que lo hagamos a una medida que sea una y media veces más grande. O sea, lo que en el dibujo original tiene medida 1 (uno) en la copia a escala será 1.5 (uno y media) veces más grande. Primero señalamos los vértices con letras.

L E K

D F

Luego, medimos la magnitud de los ángulos de la figura y si lo deseamos, para mayor seguridad, trazamos y medimos algunas longitudes entre vértices. B

L E K

D F

Y comenzamos trazando un primer segmento de la figura que sea 1.5 (una y media) veces más grande que el correspondiente de la figura original. En el extremo que deseemos continuar, trazamos el ángulo correspondiente y el lado reciente del ángulo, lo extendemos hasta que sea 1.5 veces su correspondiente del original.

219

En puntos como los E, F y L del dibujo, puedes optar por la medición del ángulo fuera del cuerpo de la figura (trazado en rojo) por ser éstos, ángulos agudos.

Y así sucesivamente, lado y ángulo, lado y ángulo, hasta terminar.

Entonces habremos dibujado la figura que se nos dio en una talla una y media veces más grande que la original. B

E K

Si te has dado cuenta, en el cambio de escala de este dibujo, lo que aplicaste fue la semejanza de triángulos; transportación de ángulos y lados proporcionales. 220

O sea, que los triángulos es la herramienta en que tiene su base el dibujo a escala. Podemos desarrollar diferentes escalas en un mismo dibujo, por ejemplo: en este mapa de México, tenemos que lo que se encuentra en el recuadro en rojo ha sido aumentado para una mejor apreciación.

2 2

Habrá dibujos a escala que necesitan mayor grado de laboriosidad, porque en ellos se desea plasmar diferentes escalas en las distintas direcciones, según sea nuestro interés. Un ejemplo en el que intervienen varias escalas es el dibujo de Mapas. Ya sea que se utilicen para la navegación, la comparación de horarios, latitudes o superficies, etc. A estos dibujos en que se adoptan varias escalas se les llama proyecciones. Dibujemos, paso a paso, el cambio del planisferio con los husos horarios con forma rectangular, en un planisferio con una vista más esférica.

221

Trazamos una elipse con sus arcos de polo a polo, los que serán, más o menos, los husos horarios y otra en la que sus arcos serán los paralelos, ambas juegos de arcos sobre nuestro globo terráqueo. En esta transformación no estamos trazando rectas y ángulos pero nos permitirá aproximarnos a lo que deseamos, una vista más esférica para mejor comprensión.

Si ahora los conjugamos y sobre ellos vamos dibujando el perfil de la tierra firme del planeta, lo que obtenemos es lo siguiente:

Y aclarando los arcos nuestro producto final es:

222

Para terminar con el tema de los dibujos a escala, dibujaremos dos imágenes de la esfera terrestre vistas desde ángulos cercanos a los Polos Geográficos. Comenzando por el Polo Sur, dibujemos la esfera terrestre con un círculo en color marrón. Después tracemos círculos y elipses para que unos sean los paralelos y otros los meridianos, según lo definamos. Paralelos

Meridianos

Polo Norte

Ahora, los conjugamos y dibujamos, con mucho cuidado, las tierras firmes, continentes e islas, y los mares.

223

Si ademรกs, borramos los trazos que han quedado por fuera de la esfera terrestre, el resultado final es el siguiente:

Sรณlo nos resta hacer algo similar con el Polo Sur. Paralelos

Meridianos

Polo Sur

224

Conjugándolos dibujando, como hiciéramos con el Polo anterior, las tierras firmes, continentes e islas, y los mares.

Borrando los trazos que nos han quedado por fuera de la esfera terrestre, obtenemos el siguiente resultado:

Ejercicios 1. Levanta el plano tu casa, un plano por cada planta, tomando en cuenta hacia donde se encuentra la dirección Norte. Escoge una escala tal, que marcarás en el plano y, que quepa en una hoja tamaño carta o cuaderno profesional y de preferencia de hojas blancas y sin rayado. 225

Matemáticas 2

Geometría Y

Objetivo 5: Plano Cartesiano y Ecuación de la Recta

Tema 5. 1: Representación de Puntos

Álgebra

El estudiante asentará y vinculará las construcciones geométricas de los segmentos y sus características y propiedades, al Plano Cartesiano. Integrará las ideas geométricas con el álgebra a través de la Geometría Analítica.

Propósito:

Plano Cartesiano P1

Y P1 (x1, y1) P2 (x2, y2)

Una de las aplicaciones de la recta numerada, con números enteros, es la determinación de Los Husos Horarios1 sobre El Planisferio; éste es, la representación de la corteza de nuestro planeta en un plano.

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Huso. Parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos mitades de círculo máximo de diámetro común. Huso Horario. Cada una de las partes ideales de la superficie terrestre imaginada para la definición y la unificación del tiempo legal en el interior de los diversos estados. 226

Modificaciones a la recta numérica y aplicación para Los Husos Horarios sobre El Planisferio: 0m

1 am

2 am

3 am

4 am

5 am

6 am

7 am

8 am

9 am

10 am 11 am

12 m

1 pm

2 pm

3 pm

4 pm

5 pm

6 pm

7 pm

8 pm

9 pm

10 pm 11 pm

Estando frente al Planisferio, nos preguntamos por la localización de algún país, ¿Cómo podemos localizarlo con facilidad? Tenemos su ubicación por cuanto a los husos horarios se refiere. Esto es, logramos situarlo en la franja correspondiente desde el “0 m” a la extrema izquierda hasta el “0 m” a la extrema derecha, ahora ¿qué hacemos para ubicarlo en la parte “alta” o en la parte “baja” de esa franja? Para resolverlo tracemos una línea perpendicular a la línea que dio origen a la propuesta del tiempo y por cierto ¿qué tal si la llamamos “Línea del Tiempo” (aunque aquí sólo lo apliquemos en El Planisferio”)? Nuestra localidad tendrá ahora dos direcciones como referencia; la primera en sentido izquierda derecha y la segunda de arriba abajo. Ahora las referencias son: Izquierda Derecha, de la A a la M y Arriba Abajo, del 1 al 8 (e incluyamos el 9, aunque no está en el dibujo, para incluir la Antártica).

227

Tenemos ahora una forma de localizar cualquier Ciudad o cualquier punto del globo terráqueo, aunque el modo de dar esta localización es al revés de cómo la hemos motivado, esto es: Para encontrar alguna Ciudad, se nos dan, primero la latitud y luego la longitud. La Latitud nos dice que tan alejada está esa Ciudad del Ecuador, y La Longitud, que tan alejada está del Meridiano de Greenwich (Londres, Inglaterra).

Tomamos una esfera sólida, marcamos en ella dos puntos que serán nuestros Polos y dibujamos dos líneas, de la menor distancia, de un polo al otro.

228

Cortamos la esfera sobre esas líneas hasta la línea central que une los dos polos y extraemos el corte. Es como un gajo de una naranja o un limón o cualquier otro cítrico, ¿verdad? Pues la cara externa, que además es curva, tiene forma de “huso”.

Por eso al sistema horario del planeta se le llama Husos Horarios. Representemos el globo terráqueo con sus husos horarios desde cada uno de los polos. Mapas realizados por Frederick de Wit, publicados en 1680.

1 am 2 am

11 pm 10 pm 0m 9 pm 8 pm

11 am 12 m 10 am 1 pm 9 am 2 pm 8 am

7 pm

3 am

6 pm

4 am

3 pm

7 am

5 pm

5 am

4 pm

6 am

4 pm

6 am

5 pm

5 am

3 pm

7 am

6 pm

4 am

7 pm

3 am

2 pm 8 am 9 am 1 pm 10 am 11 am 12 m

2 am 1 am

Hemisferio Norte

8 pm 9 pm 0 m 11 pm 10 pm

Hemisferio sur

Dejemos por ahora la forma de nuestro planeta y las configuraciones que de ella se han hecho para estudiarla y describirla con más detalle.

...

Volviendo al Planisferio, tenemos una forma de localizar cualquier sitio teniendo sus dos referencias; una horizontal y la otra vertical, perpendiculares entre sí.

-2

-1

...

-2

-3

-p

...

-1

0 -m

229

...

En la geometría, necesitamos un método para escribir y diferenciar los puntos y las figuras que construimos con ellos. Esto se realiza sobre una superficie plana que llamamos “plano Cartesiano”. Este nombre se debe a que fue Rene Descartes, matemático y filósofo francés, quien lo desarrollo y dio a conocer, esto en el siglo XVII. En este plano, así como hicimos sobre el Planisferio, hay que distinguir cuál de las dos posiciones tomamos primero. Por convención se escribe primero la posición sobre la recta que discurre de izquierda a derecha y después la posición sobre la recta que discurre de arriba abajo. Las posiciones forman entonces un par ordenado; primero la posición horizontal y después la posición vertical. A las dos rectas que conforman tal sistema se les llama Ejes Coordenados; dando al horizontal el nombre de “Eje de las Abscisas” o “Eje de las X’s” y al vertical “Eje de las Ordenadas” o “Eje de las Y’s”.

...

-3

-2

-1

...

-3

-2

-1

...

El punto en que se intersectan estas dos rectas (o ejes), es el “Origen de Coordenadas” u “Origen del Plano”. Que resulta ser el “0” de ambas rectas o para ambos ejes. El orden en que se tomarán y escribirán estas dos direcciones es: 1. Primero, el valor horizontal, abscisa o sobre el Eje de las X´s , 2. Segundo, el valor vertical, ordenada o sobre el Eje de las Y´s. 230

Todo punto sobre el plano está determinado por un par de valores ordenados en el que el primer valor corresponde al de las abscisas y el segundo, al de las ordenadas. Estos valores se toman a partir del origen del plano. O sea, los puntos en el Plano estarán dados por ( x , y ) tales que x, la abscisa, está en el eje de las X´s y y, la ordenada, en el eje de las Y´s. Por último, estos dos ejes nos dividen al plano en cuadrantes, en los que los signos para las abscisas y las ordenadas aparecerán de la siguiente forma: Cuadrante

Abscisa

Ordenada

Uno (I):

Positiva

Dos (II):

Negativa

Positiva

Tres (III):

Negativa

Cuatro (IV):

Positiva

Negativa

Ejercicios 1. Localiza los siguientes puntos en el Plano Cartesiano (los primero 10 (diez) ya están): A (3, 5)

B (3, –2)

C (–4, 0)

D (–2, –1)

E (–3, 3)

F (1, –4)

G (5, –1)

H (7, –3)

J (–5, 6)

K (–1, –3)

Estos 15 (quince) tendrás que localizarlos y señalarlos en el Plano. L (4, 9)

M (–7, –11)

N (3, –8)

O (–6, 7)

P (–5, –4)

Q (–8, 13)

R (–1, –10)

S (–4, 9)

T (7, –12)

U (–3, 8)

V (0, 5)

W (0, –3)

X (6, –5)

Y (–7, –3)

Z (7, 0)

231

Este es una imagen del Plano con sus Cuadrantes (aquí en diferentes colores).

Eje Y

Cuadrante Dos (–,+)

Cuadrante Uno (+,+)

J A E

Eje X

D B

K F

Cuadrante Tres (–,–)

Cuadrante Cuatro (+,–)

2. Dar la localización (su Latitud y Longitud) de las siguientes Ciudades en el Planisferio: Cd. de México

El Cairo

Madrid

Santa Fe de Bogotá

Londres

Moscú

Nairobi

Atenas

Roma

París

Nueva Deli

Canberra

Minsk

Bagdad

Estocolmo

232

Matemáticas 2 r

Objetivo 5: Plano Cartesiano y Ecuación de la Recta

q p2 + q2 = r 2

Tema 5. 2: Distancia entre dos Puntos

El estudiante aprenderá a obtener el valor numérico entre cualesquiera dos puntos que se localicen en el Plano Cartesiano.

Propósito:

D (AB) = D (BA) F

D (CD) = D (DC)

x D (EF) = D (FE) E

Se nos pide localizar, en el Plano Cartesiano, los puntos:

Y A (7, 4) ,

B (–2, 8) ,

C (6, –3) y

D (–5, –5)

B (–2, 8)

A (7,4)

Además, encontrar la distancia desde el origen (o punto (0,0)) a cada uno de éstos. Localización de los puntos A, B, C y D:

D (6,–3) D (–5,–5) 233

Atendiendo sólo al O (origen) y al punto A, y aumentando el tamaño (la escala) del Plano Cartesiano, nos encontramos con lo siguiente: Tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos son:

Uno, el segmento con extremos en el origen y el valor de la abscisa del punto A y Dos, el segmento con extremos en el valor de la abscisa del punto A y, levantada en ese punto una perpendicular, el valor de la ordenada del punto A.

A nto u p al O ) e d sa cia tenu n a o t p Dis (hi

Valor de la ordenada del punto A (cateto)

Valor de la Abscisa del punto A (cateto)

Y la hipotenusa que es precisamente la distancia que andamos buscando. Tomando en cuenta el desarrollo de esta construcción, podemos aplicar el teorema de Pitágoras que relaciona las longitudes de los catetos con la longitud de la hipotenusa y así obtener el valor de la distancia del origen al punto A. El Teorema nos dice: En todo triángulo rectángulo la suma de las superficies de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual a la superficie del cuadrado construido sobre la hipotenusa. En este caso aplicaríamos el resultado del teorema de la manera siguiente (atendiendo a la posición de nuestro dibujo): Hipotenusa al cuadrado

= Cateto horizontal al cuadrado

Cateto vertical al cuadrado.

(distancia OA)2

(abscisa del punto A)2

(ordenada del punto A)2

(distancia OA)2

(distancia OA)

72 + 4 2

49 + 16

234

(distancia OA)

8.06225775…

Procediendo de igual manera para el punto B, tenemos: (distancia OB)2 =

(abscisa del punto B)2

(ordenada del punto B)2

(distancia OB)2 =

(–2)2

= 82

(distancia OB)

(–2)2 + 82

4 + 64

(distancia OB)

= 8.24621125

Dibuja y encuentra el valor de las distancias al origen de los puntos C y D.

Y Para todo punto P (x, y) en el Plano Cartesiano, la distancia entre él y el Origen se obtiene como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la abscisa la ordenada. Que traducido al lenguaje algebraico es:

P (x1, y1) Q (x2, y3)

(distancia OP)2

= (abscisa del punto P)2

(distancia OP)2

(distancia OP)

x2 + y2

+ (ordenada del punto P)2 y2

R (x3, y3)

235

Ahora, cómo encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera en el Plano Cartesiano. Por ejemplo: entre los puntos A y D.

A (7, 4)

D (–5, –5)

Diferencia entre los valores de las ordenadas de A y D, 4 – (–5) = 4 + 5 = 9 Diferencia entre los valores de las abscisas de A y D, 7 – (–5) = 7 + 5 = 12 DA2

122 + 92

225

144 + 81

= 225

= 15

Qué hubiera sucedido, al buscar las diferencias, si en lugar de tomar primero los valores del punto A, hubiéramos tomado los del punto D. Pues hagámoslo y avistemos el resultado. AD2

((–5) – 7)2

225

((–5) – 4)2

(–12)2 + (–9)2

144 + 81

= 225

= 15 .

Esto quiere decir que no importa el orden en que tomemos los puntos para buscar la distancia entre ellos, ésta será siempre la misma. Entonces, dados pos puntos cualesquiera P0=(x0, y0) y P1=(x1, y1), la distancia entre ellos la encontramos mediante la operación siguiente:

P0P1

( x1 – x0 )2 + ( y1 – y0 )2

236

Otro ejercicio. Sean M=(–7,3) y N=(4,–2), puntos en el Plano. ¿Qué distancia hay entre ellos? MN2 = (4 – (–7))2 + (–2 – 3)2 = MN

146

(4 + 7)2 + (–5)2

= (11)2 + (–5)2

121 + 25

= 12.083046 .

Ejercicios 1. En un Plano Cartesiano; A (–5, 3) , B (–2, –8) , D (1, 7) , E (0, –4) y b) Calcula la distancia de cada uno de ellos al Origen y c) Las distancias entre cualesquiera dos de ellos.

C (9, –6) , F (–11, 0) .

a) Localiza los siguientes puntos:

2. Localiza en el Plano, dibuja, mide los ángulos y calcula el perímetro y la superficie de los siguientes triángulos dados por los puntos: a) P (–1, –3) , Q (–1, 5) y R (5, 5) b) U (–3, –1) , V (7, –1) y W (2, 4) c) A (1, –4) , B (7, 2) y C (–4, 2) Y

3. De los puntos que están señalados en el siguiente Plano:

P (x1, y1) S (x4, y4)

a) Encuentra sus coordenadas, b) Calcula la distancia de cada uno de ellos al Origen y c) Las distancias entre el punto Q y cualquiera de los demás.

A (–3, 4) , P ( 0, 5) , E (–3, 2) ,

R (x3, y3)

4. Localiza en el Plano, dibuja y calcula el perímetro y la superficie de los siguientes cuadrángulos dados por los puntos: a) b) c)

U (x6, y6) Q (x2, y3)

V (x7, y7) T (x5, y5)

D (–3, –3) , Q (–3, –2) , M (0, –5) ,

G (6, –3) y R (8, 5) y N (5, –5) y

237

K (6, 4) S (6, –2) T (8, 2)

Matemáticas 2 Identificamos

Objetivo 5: Plano Cartesiano y Ecuación de la Recta

Doblamos

Señalamos

Tema 5. 3: Punto Medio de un Segmento

El estudiante aplicará sus conocimientos y habilidades desarrolladas en la construcción con regla y compás en la división algebraica de segmentos.

Propósito:

Y Pm (AB) = ½ (xa+xb, ya+yb)

Pm (AB)

x B C

Ejemplo 1. Se desea encontrar el punto medio del segmento de recta AD (o dividir un segmento de recta por mitad) cuyos extremos son los puntos: A (7,6) y B (–5, –4). Dibujemos sobre una hoja de papel, las condiciones del ejemplo: Y

A (7, 6)

Necesitamos calcular la distancia entre los extremos del segmento tanto en las abscisas como en las ordenadas, después tomar la mitad de cada una de estas distancias y luego sumarlas al extremo D o restarlas al extremo A.

B (–5, –4)

238

Manos a la obra, para obtener las distancias deseadas, en este caso la distancia DA, a los valores del segundo punto (punto A) le sustraemos los valores del primer punto 6 – (–4) = 10 Y (punto D), esto es: al valor de la abscisa del segundo punto le sustraemos el valor de la A (7, 6) abscisa del primer punto y al valor de la ordenada del segundo punto le sustraemos el valor de la abscisa del primer punto. 0

7 – (– 5) = 12

B (–5, –4)

Las mitades de esos valores: En X, es 6 y en Y, es 5, entonces el Punto Medio (Pm) será: B+

1 2

(12,10) = (–5,–4) + (6,5) = (1,1)

A – 1 (12,10) = (7,6) – (6,5) = (1,1) 2

Si esto lo dibujamos en nuestro plano, obtendremos lo siguiente: Y

A (7, 6)

B + 1 (12,10) = (–5,–4) + (6,5) = (1,1) 2

PM (1, 1)

0 + 5 unidades

B (–5, –4)

+ 6 unidades 239

A–

1 2

A (7, 6)

(12,10) = (7,6) – (6,5) = (1,1)

–5 unidades

PM (1, 1)

0 – 6 unidades

B (–5, –4)

Ejemplo 2. Calcular el punto medio del segmento cuyos extremos son: Q (–4, 7) y R (6, 3).

Y Q (–4, 7)

Procediendo como en el ejercicio anterior, tenemos que: R (6, 3)

La distancia entre los valores de las abscisas de los puntos extremos del segmento es, 6 – (–4) = 10 y la distancia entre los valores de las ordenadas, es, 3 – 7 = – 4.

Nota. Mientras que en Geometría Elemental, las razones se consideran sin signo (positivas siempre) en Geometría Analítica, es necesario la consideración del signo puesto que estamos tratando con segmentos rectilíneos dirigidos. 240

La medición de las distancias, tanto sobre el Eje X como sobre el Eje Y será:

Q (–4, 7) –4 unidades

La mitad sobre el Eje X es de 5 unidades y la mitad sobre el Eje Y es de – 2 unidades de modo que, el Pm del segmento determinado por QR será:

R (6, 3)

Q+

1 2

(10,–4) = (–4,7) + (5,–2) = (1,5)

R–

1 2

(10,–4) = (6,3) + (5,–2) = (1,5)

5 unidades

En este dibujo se han iluminado en azul las unidades que se añadieron al punto Q y en rojo las que se sustrajeron al punto R. El añadido y la sustracción hay que considerarlas como operaciones algebraicas.

10 unidades

–5 unidades

– 2 unidades

Q (–4, 7)

PM (1, 5) 2 unidades R (6, 3)

241

Veamos qué pasa con el álgebra para encontrar el punto medio de un segmento determinado por los puntos A (xa, ya) y B (xb, yb), ayudándonos con un dibujo sobre el Plano Cartesiano:

B ( xb , yb )

A ( xa , ya )

Si tomamos la dirección A hacia B, nuestro razonamiento es: Pm(AB) =

A+ 1 2

dis(AB) = (xa,ya) + 1 dis(xa,ya),(xb,yb) = 2

= (xa,ya) + 1 (xb–xa , yb–ya) = 2 = (

2xa + xb–xa 2

Y el Punto Medio de AB =

(xa +

xb–xa , y + a 2

2ya + yb–ya x + xb )= ( a 2 2

Pm(AB) =

(

xa + xb 2

yb–ya ) = 2 ya + yb 2

ya + yb 2

)

Si ahora cambiamos la dirección y la tomamos de B hacia A, nuestro razonamiento es: Pm(BA) =

B– 1 2

dis(BA) = (xb,yb) – 1 dis(xb,yb),(xa,ya) = 2

242

= (xb,yb) – 1 (xa–xb , ya–yb) = 2 = (

2xb + xa–xb 2

Y el Punto Medio de AB =

(xb +

xa–xb , y + b 2

2yb + ya–yb ) = ( xb + xa 2 2

Pm(BA) =

(

xb + xa 2

ya–yb ) = 2 yb + ya 2

yb + ya 2

)

O sea, que no importa la dirección en la que busquemos el punto medio de un segmento, sus coordenadas las calcularemos tomando la mitad de la suma de los valores de las abscisas, para su coordenada en X, y la mitad de la suma de los valores de las ordenadas, para su coordenada en Y. Ejemplo 3. Encontrar el punto medio del segmento determinado por: C (–4, 7) y D (8, –1). Como en el ejercicio anterior, una imagen, aunque sea aproximada, de los datos que se nos proporcionan nos ayudará en la búsqueda de la solución. Aquí está nuestro dibujo en el Plano.

Y C (–4, 7)

Pm(CD) =

Pm(DC) =

( 8 + (–4) , 2 (

4 2

( –4+8 2 (

4 2

6 2 ,

6 2

–1 + 7 2 ) =

( 2 , 3 ) . O bien,

7 –1 2 ) =

) =

D (8, –1)

(2,3).

243

Y C (–4, 7)

Ya sea que busquemos el Punto Medio en la dirección CD o DC, lo encontraremos en el mismo sitio.

PM (2, 3)

0 D (8, –1)

Y C (–4, 7)

Y plasmando en nuestro dibujo el Pm (2, 3) del segmento CD:

PM (2, 3)

0 D (8, –1)

244

Ejemplo 4. Un segmento AB tiene uno de sus extremos el punto de coordenadas A (–4, –2) y punto medio, Pm (1, 2), encontrar las coordenadas del otro extremo.

Dibujemos nuestros datos para que nos sea más claro qué tenemos y que debemos buscar, calcular y finalmente encontrar. Con los puntos que nos dan: A (–4, –2) y Pm (1, 2) y proponemos B (xb, yb), trazamos una línea recta que pase por los puntos A y Pm , el otro extremo del segmento estará sobre esta recta,

B (xb, yb)

Pm (1, 2)

0 A (–4, –2)

distancia entre las ordenadas de los puntos 2 –(–2) = 4 distancia entre las abscisas de los puntos 1 –(–4) = 5

El extremo B se encontrará a igual distancia del punto medio entre él y el extremo A, en ambas direcciones. De modo que, si al punto medio le añadimos esas distancias, llegaremos al punto B; esas coordenadas las encontramos así: Extremo B = Pm + (distancia en X de APm , distancia en Y APm ) = (1, 2) + (5, 4) = B = (1+5, 2+4) = (6, 6) .

245

B (6, 6)

Y nuestro ejemplo ha terminado con el dibujo siguiente:

Pm (1, 2)

A (–4, –2)

Ejercicios

En el plano cartesiano que se localiza a continuación, y con los puntos en él señalados: 1. Encuentra las coordenadas (abscisa y ordenada) de cada uno de los puntos. 2. Siguiendo el orden alfabético, encuentra los puntos medios de los segmentos generados por las letras consecutivas y añade el segmento que une a la primera con la última.

Nota. Si deseas encontrar más puntos medios, hazlo te ayudará a ejercitar tu habilidad.

246

Por ejemplo: de los puntos localizados en el plano cartesiano, genera los segmentos de uno de los puntos a todos los demás y encuentra los valores de los puntos medios de esos segmentos.

3. Ahora encuentra, con los puntos del ejercicio anterior, los extremos faltantes de los segmentos que tienen:

S (x4, y4) P (x1, y1)

a. Extremo P y punto medio Q Q (x2, y3)

U (x6, y6)

b. Extremo Q y punto medio P c. Extremo R y punto medio S

d. Extremo U y punto medio T e. Extremo S y punto medio W

W (x8, y8)

f. Extremo V y punto medio R R (x3, y3)

g. Extremo W y punto medio T

T (x5, y5) V (x7, y7)

h. Extremo Q y punto medio V

4. Los vértices de un triángulo son los puntos: A (3, 8), B (2, –1) y C (6, –1). Si D, E y F son los puntos medios de BC, AC y AB respectivamente, encuentra las longitudes de las medianas. 5. Los puntos medios de los lados de un triángulo tienen las coordenadas: (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo.

247

Matemáticas 2 B

A 2

Objetivo 5: Plano Cartesiano y Ecuación de la Recta

5 ... ...

Tema 5. 4: División de un segmento en una razón dada

El estudiante aprenderá, a través de la aplicación de los teoremas de semejanza, la forma de dividir un segmento en el plano cartesiano en cualquier razón que se le pida y desarrollará su habilidad para encontrar los elementos que hagan falta en ejercicios afines.

Propósito:

D (AB) =r n D (AB)

D (AB) = rn

xA xB

Comenzaremos con un ejemplo. Ejemplo 1. Se desea dividir en tres partes iguales el segmento que tiene como extremos los puntos: A (–2, –4) y B (7, 8).

248

Y B (7, 8)

Si buscamos los puntos que trisectan al segmento, llamémoslos P1 y P2, en la dirección AB, tendremos que: P1, se encontrará a un tercio de la distancia AB, tomada en ese sentido y P2, se encontrará a dos tercios de la distancia AB en el mismo sentido. Entonces,

P1 = A + 1 Distancia(AB) = 3

A (–2, –4)

= (–2, –4) + 1 (7–(–2),8–(–4)) = (–2, –4) + 1 (9, 12) = (–2, –4) + (3, 4) = (1,0) 3 3

P2 = A + 2 Distancia(AB) = (–2, –4) + 2 (7–(–2),8–(–4)) = (–2, –4) + 2 (9, 12) = 3 3 3 = (–2, –4) + (6, 8) =

(4, 4) .

Si lo recorremos en la dirección BA, tendremos que: P3, se encontrará a un tercio de la distancia BA, tomada en ese sentido y P4, se encontrará a dos tercios de la distancia BA en el mismo sentido. Y los puntos serán: P3 = B – 1 Distancia(BA) = (7, 8) – 1 (–2 –7, –4 –8) = (7, 8) – 3 3

1 (–9, –12) = 3

= (7, 8) + (–3, –4) = (7 –3, 8 –4) = (4,4) y P4 = B – 2 Distancia(BA) = (7, 8) – 2 (–2 –7, –4 –8) = (7, 8) – 3 3 = (7, 8) + (–6, –8) = (7 –6, 8 –8) = (1, 0) .

249

2 (–9, –12) = 3

Y B (7, 8)

De modo que llegamos a los mismos puntos si tomamos las subdivisiones del segmento y desarrollamos las operaciones con atención.

P3 (4, 4) P2 (4, 4)

P4 (1, 0) 0

P1 (1, 0)

Es fácil darse cuenta que coinciden los puntos P1 con P4 y P2 con P3, de manera que es suficiente con recorrer la distancia que media entre los puntos AB, sólo en un sentido.

A (–2, –4)

¿Cómo podríamos generalizar el dividir un segmento en una razón dada?

Y Respuesta: Recurriendo a la semejanza de triángulos. Veamos:

P2 (x2, y2)

Dado el segmento determinado por los puntos P1 y P2, en qué razón divide el punto P a ese segmento.

B P (x, y) B1 P1 (x1, y1)

Desde los puntos P1, P y P2, trazamos líneas paralelas entre sí, P1A1, PA y P2A2, que intercepten al Eje de la X´s.

0 A1

Trazamos también las paralelas P1B1, PB y P2B2, que intercepten al Eje de las Y´s. 250

Las coordenadas de los pies de las perpendiculares trazadas a los Ejes X y Y, son: A1 (x1, 0) , A (x, 0) , A2 (x2, 0) , B1 (0, y1) , B (0, y) y B2 (0, y2). P1 P P P2

Y la semejanza nos permite escribir

A1 A A A2

P1 P P P2

= B1 B B B2

Por otro lado, tenemos que: A1 A = x – x1 , A A2 = x2 – x x – x1 x2 – x

B1 B = y – y1 , B B2 = y2 – y y – y1 y2 – y

= r ; debemos despejar x,

= r ; también despejar y,

x – x1 = r ( x2 – x ) ,

y – y1 = r ( y2 – y ) ,

x – x1 = r x2 – r x ,

y – y1 = r y2 – r y ,

x + r x = r x2 + x1 ,

y + r y = r y2 + y1 ,

x ( 1 + r ) = r x2 + x1 ,

y ( 1 + r ) = r y2 + y1 ,

x =

r x2 + x1 1+r

, r≠–1,

r y2 + y1 1+r

y =

, r≠–1.

De las fórmulas obtenidas para las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada, es sencillo mostrar que si la razón r = 1, el punto buscado, es el Punto Medio del segmento. Exhibamos que así es. Sean: A (xa , ya) , B (xb, yb) y r = 1, sustituyendo en las fórmulas, x =

1 xb + xa 1+1

xb + xa 2

Y el Punto de coordenadas ( x, y) =

1 yb + ya 1+1

y =

(

xb + xa 2

yb + ya 2

calcular las coordenadas del Punto Medio del segmento AB.

251

)

yb + ya 2

, que es la forma de

Ejemplo 2. Sean Q (–5, –3) y R (8, 6) los puntos extremos del segmento dirigido QR. Encontrar el punto P (x, y) que divide a este segmento en razón QP : PR = 4. x =

r xr + xq 1+r

= 4 x 8 + (–5) = 1+4

32 + (–5) 5

;

y =

r yr + yq 1+r 24 + (–3)

= 4 x 6 + (–3) = 1+4 =

21 5

Y el punto que divide al segmento en la razón dada tiene por coordenadas: P =

(

( 5

27 5

21 ) 5

2 5

, 4

1 ) 5

R (8, 6)

P=(

= 1 (27, 21) . 5

27 21 2 1 1 , ) = (5 , 4 ) = (27, 21) 5 5 5 5 5

Ejemplo 3. Tomemos el segmento del ejemplo anterior con los extremos Q y R pero ahora la dirección es RQ. Encontrar el punto P (x, y) que divide al segmento en razón RP : PQ = 3.

x =

r xq + xr 1+r

= 3 x (–5) + 8 = 1+3

–15 + 8 4

Q (–5, –3)

;

y =

r yq + yr 1+r

= 3 x (–3) + 6 = 1+3

–9 + 6 4

–7 4

252

–3 4

El punto con esa característica tiene por coordenadas: P =

( –7 4

–3 ) 4

( –1 3 , –3 ) 4 4

R (8, 6)

= 1 (–7, –3) . 4

0 P=(

–7 –3 3 –3 1 , ) = (–1 , ) = (–7, –3) 4 4 4 4 4

Q (–5, –3)

Nota. Recuerda lo importante que es el considerar la dirección en la que debe de tomarse el segmento que se quiere dividir en una razón dada.

Ejemplo 4. Sean A (–5, 4) y B (7, –2) los puntos extremos del segmento dirigido AB. Encontrar el punto P (x, y) que divide a este segmento en razón AP : PB = –5. x =

P =

(–5) x 7 + (–5) 1 + (–5) –40 –4

40 4

( 10 , –7 ) 2

–35 –5 1 –5

;

y =

= 10

253

(–5) x (–2) + 4 1 + (–5) 14 –4

7 –2

10 + 4 1 –5

, y el punto es:

Y =

( 10 , –3 1 ) 2

= 1 (20, –7) . 2

A (–5, 4)

B (7, –2)

P = ( 10 ,

–7 1 1 ) = ( 10 , –3 ) = ( 20 , –7) 2 2 2

Ejemplo 5. Sean A (1, 1) y B (7, –2) los puntos extremos del segmento dirigido de B hacia A. Encontrar el punto P (x, y) que divide a este segmento en razón BP : PA = –2. x =

P =

(–2) x 1 + 7 1 + (–2) 5 –1

–2 + 7 1 –2

;

y =

= –5

(–2) x 1 + (–2) 1 + (–2) –4 –1

= 4

–2 –2 1 –2

, y tenemos:

( –5 , 4 )

P ( –5 , 4 )

A (1, 1) 0

X B (7, –2)

254

Dos observaciones. Primera. Si la RAZÓN en que se desea dividir un segmento es POSITIVA, el PUNTO que cumple con esa condición se encuentra DENTRO DEL SEGMENTO. Segunda. Si la RAZÓN en que se desea dividir un segmento es NEGATIVA, el PUNTO que cumple con esa condición se encuentra FUERA DEL SEGMENTO. Ejemplo 6. Sea C (–3, 7) uno de los extremos de un segmento y P (1, 1) el punto que divide al segmento dirigido de C hacia D en razón CP : PD = 2. Encontrar las coordenadas del otro extremo, el punto D. Tomando las fórmulas para encontrar las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada, r xd + xc 1+r

x =

;

y =

r yd + yc 1+r

sustituimos los valores y despejamos, 1 =

2 xd + (–3) 1+2

;

1 =

2 yd + 7 1+2

1 =

2 xd –3 3

;

1 =

2 yd + 7 3

1(3)=

2 xd –3

1(3)=

2 yd + 7

3+3=

2 xd

3 –7 =

2 yd

xd =

; 6 = 2 xd y

yd =

255

–2 .

; –4 = 2 yd Entonces: D (3, –2) .

Y La representación de nuestro ejercicio en el Plano Cartesiano, es este:

C (–3, 7)

P(1,1)

D (3, –2)

Ejemplo 7. Sean Q (–4, 0) y R (2, 2) los extremos de un segmento dirigido de Q hacia R. Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento en razón QP : PR = –2. Volvamos a las razones que establecimos de acuerdo a la semejanza: QP : PR. En la razón dada por las distancias QP : PR, recordemos que si es negativa, P está fuera del segmento QR. Entonces, busquemos las coordenadas del punto P sustituyendo, en las ecuaciones de la razón de semejanza, las variables de manera adecuada. x=

r xr + xq 1+r

;

y =

x =

–2 x 2 + (–4) 1 + (–2)

;

y =

x =

–4 –4 –1

–8 –1

= 8

;

y =

256

r yr + yq 1+r –2 x 2 + 0 1 + (–2) –4 –1

= 4

P (8, 4) y la imagen de este ejercicio en el Plano Cartesiano es la siguiente:

P (8, 4) R (2, 2)

Q (–4, 0)

Ejercicios

1. Sean A (1, 6) y B (5, –2) los extremos de un segmento dirigido de A hacia B. Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento en razón AP : PB = 2. 2. Sean S (–4, 3) y T (7, 1) los extremos de un segmento dirigido de S hacia T. Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento en razón SP : PT = 5. 3. Sea C (–5, –1) uno de los extremos de un segmento y P (7, 5) el punto que divide al segmento dirigido de C hacia D en razón CP : PD = –3. Encontrar las coordenadas del otro extremo, el punto D. 4. Sea G (0, 6) uno de los extremos de un segmento y P (–3, –2) el punto que divide al segmento dirigido de G hacia H en razón GP : PH = –2. Encontrar las coordenadas del otro extremo, el punto H.

257

Matemáticas 2

Objetivo 5: Plano Cartesiano y Ecuación de la Recta Tema 5. 5: Ecuación de la Circunferencia

Propósito:

El estudiante aprenderá los elementos básicos de la circunferencia, analizará sus elementos y condiciones y desarrollará sus habilidades geométricas y analíticas para dibujar y construir circunferencias dadas algunas de sus características.

En la Geometría, los elementos más familiares y sencillos son el punto y la recta. De ésta última, los segmentos de recta, dibujamos, estudiamos y medimos su disposición en la construcción de figuras rectilíneas de la familia de los polígonos, regulares e irregulares.

Y C (h, k) P0

P0 (x0, y0) C x D (CP0) = r

Ahora, nos preguntamos qué figura podríamos trazar o dibujar con un mínimo de elementos. Caso 1. Con un punto: a. Una recta (en una dirección cualquiera), b. Una curva (con cualquier curvatura). Caso 2. Con un segmento de recta (tengamos en cuenta que un segmento está determinado por dos puntos; sus extremos): Si dejamos fijo uno de los extremos y hacemos “girar” el segmento sobre este punto, el otro extremo “trazará” una figura en la que al extremo fijo llamamos centro y a la traza del extremo móvil, circunferencia. Comencemos a dibujar:

258

segmento extremo “fijo”

extremo “móvil”

conversión de estos elementos

Radio de la Circunferencia Centro de la Circunferencia

Traza de la Circunferencia

El dibujo de esta figura geométrica, podemos realizarlo de dos formas:

Elementos para la primera forma.

Elementos para la segunda forma.

1. Tomamos nuestro compás y lo abrimos de manera que la longitud del segmento quede comprendida entre la punta y el lápiz. Apoyamos la punta, giramos el lápiz y ya está. 2. A un lápiz le atamos un cordón. Tomamos el cordón con los dedos de una mano y con la otra el lápiz y separamos el lápiz, de los dedos que sostienen el cordón, tanto como la longitud del segmento. Apoyamos los dedos que sostienen el cordón, giramos el lápiz y ya está.

259

1. Así se comienza; (extr

emo m

2. Girando el segmento sobre el extremo fijo y señalando algunas posiciones del extremo móvil;

óvil)

traza

rad

m tre ex

o) ent m g (s e

il óv

centro

io rad to) en

(extremo fijo)

gm (se

centro

3. Atendiendo al barrido del segmento; El Círculo.

xt re m

óv il)

il óv

tra za

óvi l

m tre x e

e x t rem om

(extremo fijo)

io rad to) en gm

(se

centro extremo móvil

óvi l

tra

e x t rem om

(extremo fijo)

re m

radio

óv il)

ex t

(

(segmento)

centro (extremo fijo)

4. Y atendiendo sólo a la traza del extremo móvil; La Circunferencia.

extremo móvil

traza (extremo móvil)

260

Los dibujos anteriores los hemos realizado en una hoja de papel en blanco. Que tal si ahora dibujamos una circunferencia en el Plano cartesiano. Lo más fácil es identificar el centro de nuestra circunferencia con el origen de coordenadas del plano; o dicho de otra manera, hacemos del origen de coordenadas del plano, el centro de nuestra circunferencia. He aquí nuestro dibujo:

extremo móvil

radio (segmento)

centro

(extremo fijo)

extremo móvil

traza

(extremo móvil)

Si además, consideramos la cuadrícula propia del plano,

Tenemos entonces una circunferencia de radio igual a 5 unidades.

261

Y Fijemos nuestra atención en los puntos marcados con color azul; 4 (cuatro) de ellos se encuentran sobre los ejes coordenados (como lo están en el dibujo anterior) y los otros 8 (ocho) … mm … mm, veamos que pasa con esos otros 8 (ocho) puntos.

A4 A5

A12

A8 A11

A9 A10

Con la cuadrícula que construimos, ¿qué coordenadas corresponden a cada uno de los puntos en azul?

A4 (0, 5) A5 (–3, 4)

A3 (3, 4)

A6 (–4, 3)

Esto querría decir que la distancia de cualquiera de los puntos en azul al origen (o centro de la circunferencia) es la misma e igual a 5 (cinco) unidades.

A2 (4, 3)

A7 (–5, 0)

A8 (–4, –3)

A12 (4, –3)

A9 (–3, –4)

A11 (3, –4) A10 (–5, 0)

262

A1 (5, 0)

¿Cómo saber si esos puntos en realidad pertenecen a la circunferencia? Pues haciendo el cálculo de esos puntos al origen. Y eso es lo que vamos a hacer. La distancia entre dos puntos la obtenemos mediante el siguiente cálculo (uno de los Teoremas de Pitágoras):

Distancia (P0P1)

P0P1

( x1 – x0 )2 + ( y1 – y0 )2

Entonces, tomando algunos de estos puntos: A1 ( 5, 0) A5 (–3, 4)

;

A2 ( 4, 3)

;

A3 ( 3, 4) ;

;

A7 (–5, 0)

A4 ( 0, 5) A8 (–4, –3)

;

A6 (–4, 3)

OA1

( 5 – 0 )2 + ( 0 – 0 )2

OA2

( 4 – 0 )2 + ( 3 – 0 )2

16 + 9

= 5

OA3

( 3 – 0 )2 + ( 4 – 0 )2

9 + 16

= 5

OA4

( 0 – 0 )2 + ( 5 – 0 )2

OA5

(–3 – 0 )2 + ( 4 – 0 )2

9 + 16

= 5

OA6

(–4 – 0 )2 + ( 3 – 0 )2

16 + 9

= 5

OA7

(–5 – 0 )2 + ( 0 – 0 )2

263

;

= 5

. .

Ejercicios Calcula la distancia del origen a los puntos faltantes (8 al 12). ¿Cómo calcular la ordenada de los puntos sobre la circunferencia con abscisa igual a 1 (uno) y 2 (dos) respectivamente? Sustituyendo en la fórmula de la distancia los valores conocidos y con base en ellos calcular el valor faltante. Hagámoslo. Sean B1 (1, y1) y B2 (2, y2) los puntos de los que hay que encontrar sus ordenadas. OB1

( 1 – 0 )2 + ( y1 – 0 )2 1 + y12 y1

OB2

;

= 4.9

( 2 – 0 )2 + ( y2 – 0 )2 4 + y22 y2

y12

= 25 24

1 + y12

= 25 – 1 = 24 , entonces B1 ( 1, 4.9) . 4 + y22

= y22

= 5

= 25 – 4 = 21

= 25

;

= 4.58

= 5

, y B2 (2, 4.58) .

Y Haciendo una comparación con los puntos anteriores, los de coordenadas de números enteros, completa las coordenadas de los puntos B3 al B16. O si deseas, proponiendo alguna de sus coordenadas con los valores: –1 , –2 , 2 , –4.9 , –4.58, dependiendo el cuadrante en que se encuentre, calcular la otra.

B15

B16

B14 B13

0 B5

B12 B11

B10

264

Nota 1. Fíjate como se van alternando los valores para las coordenadas. Nota 2. Si vas a calcular las coordenadas de al menos dos puntos, propón la coordenada conocida con valor entero.

Y de esta forma hemos calculado las coordenadas de los puntos, en color azul, que aquí aparecen sobre la circunferencia, en color verde.

Ejercicios 1. Una circunferencia tiene centro en el origen y pasa por el punto K (–8, 15). Hallar la medida de su radio. 2. De la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto D (16, 30). Encuentra su radio y su superficie. 3. Con centro en el origen y radio igual a 10 (diez), encuentra 5 (cinco) puntos que pertenezcan a la circunferencia y que tengan coordenadas enteras. 4. Dada la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto: M (5, 12). Calcula su radio y su perímetro. 5. De la circunferencia que tiene centro en el origen y pasa por el punto Q (21, 20). Encuentra el radio, el diámetro, el perímetro y la superficie.

265

)

ra di o

y1 – y

Ahora vamos a dibujar una circunferencia en nuestro plano pero haciendo centro en un punto que no sea el origen de coordenadas.

C ( x, y)

Consideremos entonces la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos (radio de nuestra circunferencia).

0 x1 – x

( x1 – x )2 + ( y1 – y )2

Distancia (CP1) = radio =

Esto se cumple para cualquier punto P1 (x1, y1) que pertenezca a la circunferencia. Quitando la raíz, tenemos:

( x1 – x )2 + ( y1 – y )2 ,

que identificamos,

con: hipotenusa2 = cateto en x2 + cateto en y2 ,

pues tenemos un

triángulo rectángulo en la búsqueda del radio de la circunferencia. Esto desde luego tanto en: 1) Las circunferencias con centro en el origen de coordenadas como en; 2) Las circunferencias cuyo centro no es el origen. Y Ejemplo 1:

Circunferencia con centro en el origen de coordenadas.

266

Ejercicio. Encontrar la ordenada al origen del punto T ( 15, yt), sabiendo que se encuentra en el cuarto cuadrante y que la distancia OT es igual a 17 unidades. Distancia (OT)2 =

radio2

= ( xt )2 + ( yt )2

289 = 225 + ( yt )2 yt2 = 64

;

172 = 152 + ( yt )2

;

289 – 225 =

;

yt =

yt2 ± 8.

Si en el cuarto cuadrante la abscisa es positiva y la ordenada negativa, tomamos el valor –8 para la ordenada del punto T. Por lo que las coordenadas del punto son: T (15, –8).

Ejercicios 1. Una circunferencia con centro en el origen tiene un punto F (xf, 10) en el segundo cuadrante y radio igual a 26 unidades. Hallar la abscisa al origen del punto F y el perímetro de la circunferencia. 2. De una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 37 unidades, se nos dice que el punto D (–35, yd) pertenece a la circunferencia y se localiza en el tercer cuadrante. Se nos pide encontrar el valor de la ordenada al origen (yd ), el perímetro de la circunferencia y la superficie del círculo. Y

Ejemplo 2: Circunferencia con centro no en el origen de coordenadas.

0 X

267

Ejemplo 3. La circunferencia con centro C (2, –3) pasa por el punto G (14, 2). Encontrar el radio (la distancia) de dicha circunferencia, el perímetro y la superficie. ( xg – xc )2 + ( yg – yc )2

Distancia (CG) = radio = Sustituyendo, tenemos: Distancia (CG) = radio =

( 14 – 2 )2 + ( 2 – (–3))2

Distancia (CG) = radio =

( 12 )2 + ( 5)2

radio = Perímetro =

169

x diámetro

144 + 25

= 13 unidades.

= 3.1416 x ( 2 x 13 ) = 3.1416 x 26

Perímetro = 81.6816 unidades. Superficie =

x r2

3.1416 x 132

= 3.1416 x 169

Superficie = 530.93 unidades cuadradas.

= 530.93 unidades2.

Ejemplo 4. La circunferencia con centro C (–6, –1), pasa por el punto R ( xr, 20), que se localiza en el primer cuadrante, y tiene radio igual a 29. Encontrar la ordenada del punto R, el perímetro y la superficie de la circunferencia. Distancia (CR)2 =

radio2

( xr –xc)2 + ( yr –yc)2

292 = ( xr – (–6))2 + ( 20 – (–1))2 841 = ( xr + 6)2 + 212

= ( xr + 6)2 + 441

841 – 441 = ( xr + 6)2 400 = ( xr + 6)2 , extrayendo la raíz en ambos lados, 20 = 20 – 6 =

xr + 6 xr 268

14 = Perímetro =

x diámetro

, y R (14, 20). = 3.1416 x ( 2 x 29 ) = 3.1416 x 58

Perímetro = 182.2128 unidades. Superficie =

x r2

3.1416 x 292

= 3.1416 x 841

Superficie = 2642.0856 unidades cuadradas.

= 2642.0856 unidades2.

Ejercicios 1. Una circunferencia tiene centro en C (3, 2) y pasa por el punto P (–1, 5). Encontrar su radio y su perímetro. 2. De la circunferencia con centro en C (–5, 3) y que pasa por el punto Q (10, 11), muestra que los puntos R (–13, 18) y S ( 3, 18) pertenecen a la circunferencia y calcula su perímetro y su superficie. 3. De la circunferencia con centro en el punto C (–2, 7) y radio igual a 26 (veintiséis), encuentra las coordenadas que hacen falta en los siguientes puntos: T (22, y t) en el primer cuadrante; U (xu, 31) en el segundo cuadrante; V (xv, –3) en el tercer cuadrante y W (–2, yw) en el cuarto cuadrante. 4. La circunferencia con centro en el punto C (3, –4), pasa por el punto: K (–4, –4). Hallar su radio, su diámetro, su perímetro y su superficie. 5. Una circunferencia tiene centro en C (–5, –7) y pasa por el punto L (0, 5). Encuentra el radio, el diámetro, el perímetro y la superficie de tal circunferencia.

Ilustraciones La imagen del hombre inscrito en un cuadrado y en una circunferencia fue tomada de: http://www.drawingsofleonardo.org/ (Consulta noviembre 2007).

269

Matemáticas 2

Peralte = Pendiente Huella

Objetivo 5: Plano Cartesiano y Ecuación de la Recta Tema 5. 6: Pendiente de una Recta

Propósito:

El estudiante aprenderá que las rectas desarrolladas en el plano cartesiano tienen inclinación y que el estudio de ésta, reviste un gran interés y es de mucha ayuda en la concepción de ejercicios cuyo planteamiento y solución se facilitan en la geometría analítica.

Y 180 1 3

0 5

31 270

lo de ángu ción a inclin

x Pendiente = tan

Comenzaremos por un ejercicio simple, o tal vez más que un ejercicio un recuerdo vivo en nuestra memoria y más aún en nuestra cotidianeidad: Las Escaleras. Hemos subido y bajado una gran cantidad de escalones; escalones largos, cortos, altos bajos de todos estilos, materiales y colores.

270

Aquí tenemos algunos ejemplos de escaleras:

Una pregunta: ¿Son iguales las escaleras A y B? ¿Cómo saberlo?

271

Una respuesta: Midiendo la altura de uno, dos o mรกs escalones y lo ancho de uno, dos o mรกs escalones respectivamente A)

en cada una de las escaleras y comparando las razones resultantes. Si mides los triรกngulos que aparecen sobre las escaleras, sรณlo los catetos, sabrรกs que las razones no son iguales, o dicho de otra manera no son equivalentes. Por cierto que lo alto de una escalera se llama peralte y lo ancho, huella. Entonces las razones propuestas, se arman tomando el peralte de la escalera como numerador y la huella, como denominador. Como dibujo sobre el restirador de los arquitectos e ingenieros, quitamos el relleno de las escaleras y obtenemos:

272

Si ahora dibujamos éstas escaleras sobre una cuadrícula homogénea (la misma medida en sus dimensiones), nuestro dibujo sobre el Plano Cartesiano toma la forma siguiente:

Y A2 (5, 8)

Peralte

De la escalera A:

Razón A =

A1 (–7, –4)

ya2 – ya1 xa2 – xa1

Peraltea Huellaa

8 –(–4) 5 –(–7)

Huella Razón A =

12 12

= 1.

Y B2 (7, 8)

Razón B =

yb2 – yb1 xb2 – xb1

Peralteb Huellab

8 –(–4) 7 –(–9)

Razón B =

12 16

6 8

Peralte

La escalera B, la giramos para que la comparación sea más clara, vista desde el mismo lado.

B1 (–9, –4) Huella 3 4

273

Ahora, para la parte analítica de nuestro dibujo, hagamos lo siguiente: 1. Abstracción de los escalones, 2. Fijémonos sólo en los puntos extremos de la traza de la escalera, 3. Identifiquemos el peralte y la huella con los catetos del triángulo rectángulo construido con la distancia entre tales puntos extremos, 4. Recordemos, qué razón es la que establece la proporción del cateto opuesto entre el cateto adyacente; la tangente. Y

A2 (5, 8)

0 e lo d n u g Án nació i Incl

Y nuestros dibujos toman, cada uno, la forma siguiente:

Cateto Opuesto

El último inciso nos dice que la inclinación de la escalera posee, tiene o cuenta con declive angular que podemos medir, en grados por supuesto, a partir de cualquier línea horizontal.

A1 (–7, –4)

¿Qué nos dice la Razón de la escalera A (peralte sobre huella) igual a 1 (uno)?

Cateto Adyacente

Nos dice que el número de unidades que tengamos en vertical será el mismo que tengamos en horizontal.

Y B2 (7, 8)

Peralte

B1 (–9, –4) Huella 274

Y ahora, ¿Qué nos dice la Razón de la escalera B (peralte sobre huella) igual a ¾ (tres cuartos)? Nos dice que por cada 3 (tres) unidades que tengamos en vertical tendremos 4 (cuatro) en horizontal.

Observamos que ambos segmentos tienen en común (cruzan por) el punto (–1, 2). Dibuja en un solo plano los dos segmentos. Las razones A y B, se obtuvieron como la longitud del cateto opuesto sobre la del cateto adyacente del triángulo rectángulo formado por dos puntos de cada uno de los segmentos. De manera que si hablamos de cateto opuesto sobre cateto adyacente, estamos hablando del valor de la tangente y esto quiere decir que los segmentos A y B tiene inclinaciones de ángulo, con respecto a cualquier línea horizontal, iguales a los ángulos cuyas tangentes son 1 para A y ¾ para B. Que buscando en tablas de razones trigonométricas nos dicen que el segmento A tiene inclinación de 45° y el segmento B, de 36° 52’. Ahora, analicemos la escalera C.

Dibujándola sobre el Plano Cartesiano toma la siguiente forma:

Igual que en el ejemplo anterior:

C1 (–9, 6)

1. Hagamos abstracción de los escalones, 2. Fijémonos en los puntos extremos de la traza de la escalera, 3. Identifiquemos el peralte y la huella con los catetos del triángulo rectángulo construido X con la distancia entre los puntos extremos, C2 (11, –2) 4. Recordemos que la tangente es la razón de la proporción del cateto opuesto entre el cateto adyacente. 275

En el Plano Cartesiano, nuestra escalera, ahora segmento, toma la forma siguiente:

Y Razón C =

–2 –(6) 11 –(–9)

Ángulo Inclina de ción

Cateto Opuesto

C1 (–9, 6)

Peraltec Huellac

X C2 (11, –2)

Cateto Adyacente =

yc2 – yc1 xc2 – xc1

Razón C =

–4 10

–8 20 –2 5

= -0.4.

De esta manera, buscando en las tablas trigonométricas o sobreponiendo el transportador, encontramos que el ángulo de inclinación del segmento C es igual a 158° 12’. Nota. Recordemos que en la Geometría Analítica los segmentos tienen dirección. Volvamos a la escalera B. La propuesta de girarla o verla desde el otro perfil sólo fue para que ambas escaleras, la A y la B, quedaran inclinadas hacia el mismo lado. Esto es: subirlas de izquierda a derecha y bajarlas de derecha a izquierda. Y que al considerar los segmentos, éstos pudieran ser comparados con facilidad. Ahora consideremos la escalera B en su presentación original y analicémosla así.

276

yb2 – yb1 xb2 – xb1

8 –(–4) –7 – 9

6 –8

3 –4

Y B2 (–7, 8)

12 –16

= –0.75.

Ángul o Inclina de ción

Peralteb Huellab

Cateto Opuesto

Razón B =

Buscamos ahora en las tablas trigonométricas el ángulo cuyo valor de tangente es igual a – 0.75 y ese ángulo es 143° 08’.

B1 (9, –4) Cateto Adyacente

En el Plano Cartesiano, el segmento B (el original) queda dibujado como sigue: Después de estos ejemplos, veamos, a través de la Geometría Analítica, los nombres de los elementos que hemos desarrollado al analizar estas escaleras y su representación abstracta.

ángulo de inclinación del segmento

valor de la tangente del ángulo de inclinación del segmento

pendiente del segmento

En tanto que un segmento es sólo una sección de la recta que lo contiene, decimos, según lo escrito líneas arriba:

ángulo de inclinación de la recta

valor de la tangente del ángulo de inclinación de la recta

Otro ejemplo de escaleras. Mmm … mmm …

277

pendiente de la recta

Bueno, antes un apunte sobre ángulos. Con los transportadores podemos trazar cualquier ángulo, basta con: 1. Dibujar una recta en una hoja de papel, 2. Un punto en ella que será el vértice, 3. Sobreponer el transportador de modo que coincidan la línea del transportador cuyos extremos son los 0° y 180° (diámetro del transportador) y la recta dibujada, además de, 4. Identificar el vértice con el punto medio del diámetro del inciso anterior, 5. Marcar la cantidad de grados que señala el ejercicio en cuestión, 6. Finalmente, trazar una recta desde esta marca sobre el transportador y el vértice. Ejemplo: Trazar los ángulos de 20°, 60°, 140° y 240°.

Hoja de papel

100

M1 10

170

160

110

340

200

350

190

180

vértice

33 0

0 30

290

280

270

278

260

250

recta

Levantando el transportador y trazando las rectas correspondientes, obtenemos:

140°

Hoja de papel M2

° M1

20°

vértice

recta

0°

De manera que con el transportador podemos trazar cualquier ángulo entre 0° y 360°. Veamos si esto podemos simplificarlo. En tanto que en el Plano Cartesiano las rectas que tracemos las consideraremos con extensión a todo el plano, será necesario sólo la mitad del transportador para la construcción de ángulos (¿cómo es esto?) o sea, considerar las inclinaciones de las rectas, desde 0° hasta 180° (¿?). Veámoslo con el transportador.

A1 12

110

340

200

350

190

180

170

160

La línea A1A2, atraviesa el centro del transportador; A1 marca los 40° y A2, los 220° pero como inclinación, de la recta A1A2, es la misma.

100

33 0

0 30

290

280

270

260

250

279

Razรณn similar argumentamos con las rectas B1B2, C1C2 y D1D2.

70 60 50

180

350

340

200

190

170

160

100

110

0 22

290

280

250

260

270

A2 C2 B2 Tomemos entonces el transportador y hagรกmosle algunas transformaciones. 12

110

100

70 60 50

0 21

70 60

0 22

270

260

250

0 15

280

0 0

180

170

160

290

100

110

0 12

340

200

350

190

180

170

160

Los colores identificarรกn, en otro cuadrante, las inclinaciones que sean iguales.

170

160

Recortando las posibilidades de รกngulos en nuestro transportador transformado, obtenemos:

280

110

100

Y ahora, tomando en cuenta las inclinaciones de las rectas desde el centro del “nuevo transportador” (O) a los puntos: A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1 y D2:

B1 C1

110

100

A1 70 60 50

180

170

160

0 13

170

160

110

100

A2 C2 B2 Si extendemos, en ambos sentidos, la recta OA1, quedará comprendida en ella la recta OA2. Y lo mismo sucede si ahora la que extendemos es OA2, quedará en ella la recta OA1. El argumento se repite para las parejas de rectas: OB1 y OB2; OC1 y OC2; OD1 y OD2. Ahora sí, volviendo a las escaleras. Cuando se comenta sobre “escalinata”, por ejemplo: – Subimos la escalinata del Palacio de las Bellas Artes hasta llegar al vestíbulo. – Generalmente, esta mención lleva la significación de escalones amplios. Escalones que en ocasiones es necesario dar un paso o más en ellos para acceder al siguiente. Bueno, aclarada la diferencia entre escalera y escalinata (aunque conceptualmente ambas sirven para el mismo objetivo), resolvamos el acertijo de la escalera D. O sea, encontremos la pendiente de la recta que representa a la escalera D en el plano cartesiano: Los triángulos aquí construidos y tomando en consideración el ángulo de la izquierda en ellos, tienen la misma tangente por ser triángulos semejantes.

281

Y Dibujándola en el plano cartesiano, obtenemos este esquema. Pendiente D =

yd2 – yd1 xd2 – xd1

D2 (9, 4)

4 –(–2) 9 –(–9)

D1 (–9, –2) =

4+2 9+9

6 18

1 3

0 0.33…

Tenemos entonces, para la escalera D:

Pendiente = 1/3 ; Ángulo de inclinación (tablas o transportador) = 18° 26’. Después de hacer abstracción, quitando las líneas de la “escalinata”, los triángulos de colores y tomando sólo los escalones extremos para considerar el peralte y la huella;

D2 (9, 4)

D1 (–9, –2)

El dibujo de este ejercicio es el siguiente:

282

de0 Ángulo ión Inclinac

Otros ejemplos de “escalinatas” los encontramos en El Castillo de Chapultepec, El Auditorio Nacional y en otras edificaciones de significación en nuestra cultura. Último ejercicio de escaleras, la escalera E. Este tipo de escaleras, con “escalones altos”, los encontramos principalmente en pirámides construidas en la antigüedad. Por ejemplo: La Pirámide de Uxmal en Yucatán. Transportemos este esquema al plano cartesiano.

Y E2 (3, 9) igualmente, dejando sólo el segmento, nos disponemos a calcular la pendiente de la recta y por ende la de la escalera E.

E1 (–9, –9)

283

Pendiente E =

Peraltee Huellae

ye2 – ye1 xe2 – xe1

9 –(–9) 3 –(–9)

18 12 3 2

Y =

0 9 6

E2 (3, 9)

e od n l u g Án inació l Inc

= 1.5 .

Y nuestra respuesta a la escalera E es:

E1 (–9, –9)

Pendiente = 3/2 = 1.5 ; Ángulo de inclinación (tablas o transportador) = 56° 19’. Ejercicio (ahora sin escaleras). Una recta pasa por los puntos K1 (–10, yk1) y K2 (10, 7) y su pendiente es igual a ½ . Hallar la ordenada del punto K2. Pendiente K =

yk2 – yk1 xk2 – xk1

1 2

7 – yk1 10 – (–10)

7 – yk1 10 + 10

7 – yk1 20

1 x 20 = 2 ( 7 – yk1 ) 20 = 14 – 2 yk1 20 – 14 = – 2 yk1 6 = – 2 yk1 2 yk1 = – 6 yk1 = – 3

;

Y el punto K1 tiene coordenadas (–10, –3).

Pregunta: ¿Podríamos encontrar la ordenada del punto K1 por otro método? 284

Respuesta: Sí, por medio de la geometría.

Y 1. Localizamos el punto K2 , 2. Trazamos una línea horizontal a través de él,

l o de Ángu ción a Inclin

K2 (10,7)

3. Buscamos en las tablas a qué ángulo corresponde una pendiente de ½ . La respuesta es 26° 34’,

4. Colocamos el transportador en el punto K2, trazamos una línea con esa inclinación y que pase por el punto,

K1 (–10, yk1)

5. En la abscisa igual a –10, trazamos una línea vertical y 6. En la intersección de esta vertical con la línea de pendiente ½ estará la ordenada que buscamos. Como podemos observar, mediante este procedimiento, también llegamos al resultado PERO es muy elaborado y sería sólo una aproximación cuando se tratara de números racionales lo suficientemente grandes como para que nuestra escala en una hoja de papel se nos complique. Imagina abscisas y ordenadas del orden de: ±3/57, ±19/125, ±177, ±3500, ±750000, etc. La escala, la aproximación, la cuadrícula y demás elementos y consideraciones nos hacen perder exactitud en la búsqueda de las soluciones. Ahora que, este método por aproximado que sea, “nos da una idea” de lo que tenemos que encontrar, de manera que se sugiere utilizar este método para “acercarnos” al camino de las soluciones.

285

Ejercicios 1. Cuál es el ángulo de inclinación de las siguientes rectas: a) El eje X ,

b) El eje Y ,

c) Una recta paralela al eje X ,

d) Una recta paralela al eje Y .

2. Cuál es el ángulo de inclinación de las siguientes rectas dirigidas: a) Una recta paralela al eje X y hacia la derecha, b) Una recta paralela al eje X y hacia la izquierda, c) Una recta paralela al eje Y y hacia la derecha, d) Una recta paralela al eje Y y hacia la izquierda.

3. Cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas: a) El eje X ,

b) El eje Y ,

c) Una recta paralela al eje X ,

d) Una recta paralela al eje Y .

e) Una recta que pasa por el origen y bisecta al primer cuadrante, f) Una recta que pasa por el origen y bisecta al segundo cuadrante, g) Una recta que pasa por el origen y bisecta al tercer cuadrante, h) Una recta que pasa por el origen y bisecta al cuarto cuadrante,

286

4. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (–3, 2) y (7, –3).

5. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, –2), (–1, 4) y (4, 5). Encontrar la pendiente de cada uno de sus lados.

6. Una recta tiene pendiente 3 y pasa por el punto (3, 2). 6. 1. Encontrar la ordenada de los siguientes puntos: A (4, ya) ,

B (–2, yb) ,

C (0, yc) ,

D (7, yd) ,

E (–1, ye) .

S (xs, –19) ,

T (xt, 17) .

6.2. Encontrar la abscisa de los siguientes puntos: P (xp, 2) ,

Q (xq, 11) ,

R (xr, –4) ,

7. Una recta de pendiente –2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B? 8. Tres de los vértices de un paralelogramo son (–1, 4), (1, –1) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿cuál es su abscisa?

287

Matemáticas 2

Objetivo 5: Plano Cartesiano y Ecuación de la Recta Tema 5. 7: Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad

Propósito:

El estudiante aplicará las condiciones de la recta (sus puntos, ángulo de inclinación, pendiente, etc.) para ampliar su conocimiento del Plano Cartesiano.

Imaginemos en un plano cartesiano, dos puntos y en ellos sus correspondientes haces de rectas. Ahora, hagámonos algunas preguntas sobre lo que puede ocurrir con rectas del uno y otro haz, preguntas como: ¿Se intersectarán las rectas de uno de los haces con las rectas del otro? ¿Cómo serán esas intersecciones?

288

Y En el dibujo, apreciamos, si continuamos una recta de cada uno de los haces, que éstas se intersectan en algún punto ya sea accesible en la región del plano que estamos representando o inaccesible, en la misma región del plano. Pero, sabiendo que sus pendientes son diferentes podemos calcular el ángulo de intersección de esas dos rectas que hemos escogido, una en cada haz.

Esto nos hace pensar de manera parcial en la respuesta a si se intersectan las rectas de uno de los haces con las rectas del otro. Contestaremos y veremos por qué.

a) Si, si se intersectan muchas de ellas,

l1 l2 l4

b) Las que tengan igual pendiente, en uno y otro haz, no se intersectarán y c) Habrá una recta que generada en uno de los X haces pase por el punto que genera el otro haz y viceversa, que generada en el otro haz pase por el punto l3 que genera el uno haz.

Un dibujo como respuesta a la pregunta lo tenemos a la izquierda: 289

En el dibujo, resulta que la rectas l1 y l2 tienen igual pendiente y l3 y l4, es “las dos” rectas desde cada uno de los haces que pasan por el otro haz.

Ejemplo 1. Propongamos los siguientes valores numéricos: el punto (–5, 3) es el centro del Haz1 , el punto (4, –1) el centro del Haz2 y la pendiente de las rectas l1 y l2 igual a 3.

Recta l1 : m1 ( x – x1 ) = y – y1 ; l1

3(x+5)=y–3;

3x + 15 = y – 3 ; 3x – y + 18 = 0

Recta l2 : m2 ( x – x2 ) = y – y2 ;

3(x–4)=y+1; 3x – 12 = y + 1 ; 3x – y – 13 = 0

Veamos, ya generadas, el comportamiento de l1 y l2 al tabularlas. x

y = 3x + 18

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

3 (–4) + 18 3 (–3) + 18 3 (–2) + 18 3 (–) + 18 3 ( 0) + 18 3 ( 1) + 18 3 ( 2) + 18 3 ( 3) + 18 3 ( 4) + 18 3 ( 5) + 18 3 ( 6) + 18

y = 3x – 13 = = = = = = = = = = =

–12 + 18 –9 + 18 –6 + 18 –3 + 18 0 + 18 3 + 18 6 + 18 9 + 18 12 + 18 15 + 18 18 + 18

= = = = = = = = = = =

3 (–4) – 13 3 (–3) – 13 3 (–2) – 13 3 (–) – 13 3 ( 0) – 13 3 ( 1) – 13 3 ( 2) – 13 3 ( 3) – 13 3 ( 4) – 13 3 ( 5) – 13 3 ( 6) – 13

6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 290

= = = = = = = = = = =

–12 – 13 –9 – 13 –6 – 13 –3 – 13 0 – 13 3 – 13 6 – 13 9 – 13 12 – 13 15 – 13 18 – 13

= = = = = = = = = = =

–25 –22 –19 –16 –13 –10 –7 –4 –1 2 5

Recta l3 , encontrar su pendiente: m3 =

y2 – y1 x2 – x1

–1–3 4+5

–4 9

Recta l4 , encontrar su pendiente: m4 =

y1 – y2 x1 – x2

3+1 –5–4

4 –9

Entonces l3 = l4 , y con base en que las pendientes tienen el mismo valor generamos: La recta l3,4 , tomando el punto (– 5, 3): Recta l3,4 : m3,4 ( x – x1 ) = y – y1 ;

Recta l3,4 :

–4 (x+5)=y–3; 9

– 4x – 20 = 9y – 27 ;

4x + 9y – 7 = 0 .

Ahora, tomando el punto (4, –1): Recta l3,4 : m3,4 ( x – x2 ) = y – y2 ;

Recta l3,4 :

–4 (x–4)=y+1; 9

– 4x + 16 = 9y + 9 ;

4x + 9y – 7 = 0 .

Y Resulta que la recta l3,4 , siendo generada desde distintos puntos, tiene la misma expresión.

O sea, dados dos haces de rectas, generados desde dos puntos diferentes, habrá dos rectas, pertenecientes a cada uno de los haces, que tendrán la misma pendiente y que pasarán por los puntos de generación de los dos haces y que se convertirán en una sola recta, recta común a ambos haces.

291

Ahora, tabularemos la recta l3,4 : 4x + 9y – 7 = 0 ; 9y = – 4x + 7 . x

y = ( – 4x + 7 ) / 9

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

(–4 (– 6) + 7 ) / 9 (–4 (– 5) + 7 ) / 9 (–4 (– 4) + 7 ) / 9 (–4 (– 3) + 7 ) / 9 (–4 (– 2) + 7 ) / 9 (–4 (– 1) + 7 ) / 9 (–4 (0) + 7 ) / 9 (–4 (1) + 7 ) / 9 (–4 (2) + 7 ) / 9 (–4 (3) + 7 ) / 9 (–4 (4) + 7 ) / 9 (–4 (5) + 7 ) / 9 (–4 (6) + 7 ) / 9

= = = = = = = = = = = = =

( 24 + 7 ) / 9 ( 20 + 7 ) / 9 ( 16 + 7 ) / 9 ( 12 + 7 ) / 9 (8+7)/9 (4+7)/9 (7)/9 (– 4 + 7 ) / 9 (– 8 + 7 ) / 9 (– 12 + 7 ) / 9 (– 16 + 7 ) / 9 (– 20 + 7 ) / 9 (– 24 + 7 ) / 9

= = = = = = = = = = = = =

31 / 9 27 / 9 23 / 9 19 / 9 15 / 9 11 / 9 7/9 3/9 –1/9 –5/9 –9/9 – 13 / 9 – 17 / 9

; (–5, 3)

–1

; (4, –1)

Bueno, ahora pensemos en rectas, dejando por el momento los haces de rectas. Recordemos las dos últimas fórmulas con las que calculábamos el ángulo de intersección de dos rectas dadas. Tenemos, Ángulo ;

inicia en l1 , con pendiente m1 , y termina en l2 , con pendiente m2

m2 – m1 1 + m2 m1

Ángulo

inicia en l2 , con pendiente m2 , y termina en l1 , con pendiente m1 ;

m1 – m2 1 + m2 m1

Ahora tomemos dos rectas. ¿Qué puede suceder con ellas al llevarlas al Plano Cartesiano?

recta l1 recta l2

1. Si tienen diferente pendiente, se intersectan en algún punto del plano y

recta l2

292

recta l1

2. Si tienen igual pendiente, tenemos dos casos: 2. 1) No tienen puntos en común, entonces las rectas son paralelas, 2. 2) Tienen un punto en común, por lo que tendrán todos sus puntos en común y entonces las rectas son una y la misma. Qué se obtiene al calcular el ángulo de intersección de dos rectas que tienen igual pendiente, ya sea que sean líneas paralelas o una sola recta con dos expresiones. Desarrollemos lo que nos dice este inciso utilizando las fórmulas señaladas líneas arriba. Las rectas l1 y l2 tienen ambas pendiente m , sustituyendo en cualquiera de las fórmulas, obtenemos lo siguiente:

m–m 1+mm

0 1 + m2

CERO 1 + m2

, analicemos esta

expresión. 1. Si las dos rectas recta l2 tienen igual recta l1 pendiente, sea este cualquier valor, al restar una a la otra desde luego que el resultado será CERO. Por lo tanto el NUMERADOR es CERO y eso nos indica que las rectas son paralelas o que se trata de la misma recta expresada en dos formas diferentes.

Y recta l1

recta l2

2. El denominador, toma valores distintos de CERO. Si bien con la solución en el cálculo del numerador es suficiente para saber el resultado del ángulo de intersección de las dos rectas, es importante señalarlo para desarrollos posteriores. 293

Ejercicios (Se sugiere, en todos los ejercicios, localizar los puntos y trazar las figuras geométricas) 1. De los triángulos isósceles determinados por las tripletas de puntos dados, 1. a) (–3, –5), (9, –5) y (3, 9).

1. b) (3, 7), (8, 2) y (–3, –2).

1. c) (6, 7), (–2, 5) y (–4, –3).

1. d) (–5, 6), (–5, –7) y (8, 6).

Calcular lo siguiente: El valor, en grados, de sus ángulos interiores (dos iguales y diferente el otro), Su perímetro y Su superficie. 2. De los paralelogramos determinados por las cuartetas de puntos dados, 2. a) (–3, 5), (9, 7), (4, –1) y (–8, –3).

2. b) (–4, 1), (6, –3), (3, 4) y (–7, 8).

2. c) (–6, 2), (7, 5), (9, 2) y (–4, –1).

2. d) (0, –3), (1, 9), (–2, 5) y (–3, –7).

Calcular lo siguiente: El valor, en grados, de sus ángulos interiores (agudos y obtusos) y Su perímetro. 3. De los rombos o romboides determinados por las cuartetas de puntos dados, 3. a) (–2, –7), (4, 1), (–2, 9) y (–8, 1).

3. b) (–1, –5), (5, –2), (8, 4) y (2, 1).

3. c) (–3, –4), (9, –8), (5, 4) y (–7, 8).

3. d) (8, 5), (1, 6), (–3, –6) y (9, –2).

Calcular lo siguiente: El valor, en grados, de sus ángulos interiores (agudos y obtusos), Su perímetro y Su superficie.

294

4. De los trapecios determinados por las cuartetas de puntos dados, 4. a) (–7, 4), (–4, –2), (5, –2) y (8, 4).

4. b) (–6, 5), (4, 2), (4, –4) y (–6, –7).

4. c) (–7, 5), (5, –7), (5, –1) y (–1, 5).

4. d) (–7, 0), (8, 0), (9, –2) y (–8, –2).

Calcular lo siguiente: El valor, en grados, de sus ángulos interiores (agudos y obtusos), Su perímetro y Su superficie.

Ejemplo 2. Se desea saber cuál es el ángulo de intersección de las siguientes rectas: a) x – 2y – 4 = 0 busquemos sus pendientes,

ma =

–1 –2

1 2

b) 2x + y – 3 = 0

mb =

–2 1

= –2

Utilicemos la fórmula para encontrar el ángulo de intersección entre dos rectas. Ángulo

inicia en la , con pendiente ma , y termina en lb , con pendiente mb ;

1 2

–2 – Sustituyendo,

ángulo

= 1+

(–2)

= 1 2

–5 2 1–1

–5 2

mb – ma 1 + mb ma

NO ESTÁ DEFINIDO

CERO

¿Qué quiere decir esto?, ¿Cómo interpretar este resultado? Debemos buscar por otros métodos para encontrar la solución, examinar las características de las rectas como sistema y persistir en el seguimiento de una respuesta. ¿Qué estrategia nos planteamos para nuestro ejercicio? 1. Tabular y dibujar estas rectas y analizar qué ocurre, 2. Encontrar las inclinaciones de cada una de las rectas y compararlas, 3. Cualquier otra que con creatividad nos acerque a la solución. 295

1. Tabulamos

y = –2x + 3

–1 0 1 2 3 4 5

–2 (–1) + 3 –2 (0) + 3 –2 (1) + 3 –2 (2) + 3 –2 (3) + 3 –2 (4) + 3 –2 (5) + 3

= –5/2 = –2 = –3/2 = –1 = –1/2 = 0 = 1/2

= = = = = = =

(–1/2) – 2 (0/2) – 2 (1/2) – 2 (2/2) – 2 (3/2) – 2 (4/2) – 2 (5/2) – 2

–3

–1 0 1 2 3 4 5

y = x/2 – 2

dibujamos

x–

4 y–

5 3 1 –1 –3 –5 –7

A través de estos dos métodos nos damos cuenta que las rectas se intersectan. Sabíamos que esto sucedería porque líneas arriba habíamos concluido que si dos rectas tenían diferente pendiente se intersectarían en algún punto del plano. Entonces vayamos al siguiente punto de nuestra estrategia.

2. Las inclinaciones de las rectas y compararlas. Pendiente de la recta a) = ½ = 0.5 ; Ángulo de inclinación de a) = 26° 34’. Pendiente de la recta b) = –2 ; Ángulo de inclinación de b) = 116° 34’. ¿Qué obtendríamos, al aplicar la diferencia entre los valores de inclinación de estos ángulos? a – b = 26° 34’ – 116° 34’ = – 90°

;

b – a = 116° 34’ – 26° 34’ = 90°

296

Si dibujamos las rectas con sus ángulos, el resultado es el siguiente: ¿Será acaso que cuando el ángulo de intersección de dos rectas es de 90°, la fórmula de las pendientes nos entrega el resultado de no definición?

mb = – 2

ma = 1/2 116° 34’

Propongamos algunos pares de rectas cuyas inclinaciones difieran en 90° y veamos, a través de la fórmula de las pendientes, los resultados.

40° ; ma = 0.8391 130° ; mb = –1.1917

mb ma = – 1 mb – ma 1 + mb ma

= – 2.0309 1 + ( – 1)

70° ; mc = 2.7474 160° ; md = –0.3639

md – mc 1 + md mc

mf me = – 1 =

26° 34’

md mc = – 1

105° 25’ ; me = – 3.6263 195° 25’ ; mf = 0.2757

mf – me 1 + mf me

ulo áng to rec

= – 3. 1114 1 + ( – 1)

20° 35’ 15’’ ; mg = 0.3756 110° 35’ 15’’ ; mh = –2.6622 mh mg = – 1 mh – mg 1 + mh mg

4 1 + ( – 1)

297

= – 3. 0378 1 + ( – 1)

Ejemplo 3. Dibuja en el plano, los 4 (cuatro) pares de rectas anteriores y vayamos al punto tercero de nuestra estrategia. 3. Creatividad e ingenio. El producto de las pendientes de las rectas, nos resulta igual a –1 en los 4 ejercicios. Entonces busquemos la relación que hay entre las pendientes de rectas que se intersectan en ángulo recto. Un paréntesis. Si dos rectas se intersectan en ángulo recto, las rectas son perpendiculares. Bueno, a partir de ahora llamémoslas de ese modo. Regresando, sabemos que el producto de las pendientes m 1 m2 = –1 , entonces m1 = –1/ m2 , y de igual forma m2 = –1/ m1 , resulta que las pendientes de rectas perpendiculares, son recíprocamente inversas. Esto quiere decir que tomando alguna de ellas, la invertimos (dividimos la unidad entre ella; 1/la pendiente) y le cambiamos el signo. Convenzámonos de este resultado. Apliquémosle lo que acabamos de escribir a los resultados del ejercicio de los pares de rectas. 1)

ma = 0.8391 ;

Par de rectas 1)

Par de rectas 2)

mb = –1.1917

lo gu án ecto r

160°

130°

áng ulo recto

70°

–1/ ma = –1/ 0.8391 = –1.1917 = mb

40°

–1/ mb = –1/ –1.1917 = 0.8391 = ma

mc = 2.7474 ;

md = –0.3639

–1/ mc = –1/ 2.7474 = –0.3639 = md –1/ md = –1/ –0.3639 = 2.7474 = mc.

Este es el dibujo de los pares de rectas 1 y 2.

298

me = – 3.6263 ;

mf = 0.2757

– 1/ me = – 1/ – 3.6263 = 0.2757 = mf

Par de rectas 4)

Par de rectas 3)

– 1/ mf = – 1/ 0.2757 = – 3.6263 = me mh = –2.6622

mg = 0.3756 ;

ulo áng o rect

105° 25’ lo ángu recto

195° 25’

20° 35’

– 1/ mg = – 1/ 0.3756 = –2.6622 = mh

110° 35’ 15’’

15’’

– 1/ mh = – 1/ –2.6622 = 0.3756 = mg

Y este el de los pares de rectas 3 y 4. El desarrollo algebraico del juego de las pendientes de rectas perpendiculares, es este: Sabemos que:

tan

sen

cos tan (

+ 90° ) =

sen (

+ 90° )

cos (

+ 90° )

sen

cos 90° + cos

sen 90°

cos

cos 90° – sen

sen 90°

sabemos que cos 90° = 0 y sen 90° = 1 , entonces, =

cos – sen

– 1 / tan

Ejemplo 4. Tenemos una recta que pasa por el punto ( 2, – 5) y tiene pendiente 4. Otra recta pasa por el punto (– 3, 1) y es perpendicular a la primera. Hallar las ecuaciones de las rectas. Recta 1 : m1 ( x – x1 ) = y – y1 ; 4 ( x – 2 ) = y + 5 ; 4x – 8 = y + 5 ;

4x – y – 13 = 0 .

Para calcular m2 , utilizamos m1 m2 = – 1 , entonces 4 m2 = – 1 y m2 = – ¼ . Recta 2 : m2 ( x – x2 ) = y – y2 ; – ¼ ( x + 3 ) = y – 1 ; – x – 3 = 4y – 4 ; 299

x + 4y – 1 = 0 .

Te toca a ti, dibujar el ejercicio. Ejemplo 5. Tenemos más rectas, una de ellas pasa por el punto (4, 7) y tiene pendiente –3/5. Otra de las muchas que tiene el plano pasa por el origen y es perpendicular a la anterior. Hallar las ecuaciones de las rectas. Recta 1 : m1 (x – x1) = y – y1 ; – 3/5 (x – 4) = y – 7 ; – 3x + 12 = 5y – 35 ; 3x + 5y – 47 = 0 . Calcular m2 , – 3/5 m2 = – 1 y m2 = – 1/ (–3/5) = 5/3 . Recta 2 : m2 ( x – x2 ) = y – y2 ; 5/3 ( x – 0 ) = y – 0 ; 5x = 3y ;

5x – 3y = 0 .

El ejercicio de dibujar este acertijo es tuyo.

Ejercicios 1. Mostrar que la recta que pasa por los puntos (–2, 5) y (4, 1), es perpendicular a la que pasa por los puntos (–1, 1) y (3, 7). 2. Mostrar que los puntos (2, 5), (8, –1) y (–2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo y hallar la medida (o magnitud) de sus ángulos agudos. 3. Dados los puntos (5, 10), (2, –5) y (–4, 1), encontrar las ecuaciones de sus lados y la medida de sus ángulos. 4. Encontrar las ecuaciones de las rectas que forman el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos (–4, 5), (8, 5), (8, –3) y (–4, –3) y hallar la medida de sus ángulos internos. 5. Mostrar que los puntos (2, 4), (7, 3), (6, –2) y (1, –1) son los vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares entre sí. 6. Mostrar que los puntos (0, 7), (2, 0), (9, –2) y (7, 5) son los vértices de un rombo, hallar las ecuaciones de sus diagonales y probar que estas son perpendiculares entre sí. 7. Mostrar que los puntos (–5, 6), (–7, –2), (8, –7) y (3, 8) son los vértices de un romboide, hallar las ecuaciones de sus lados y la magnitud de sus ángulos internos. 8. Mostrar que los puntos (–9, 4), (–3, –4), (12, 1) y (–1, 10) son los vértices de un romboide, hallar las ecuaciones de sus lados y la magnitud de sus ángulos internos.

300

Matemáticas 2

Objetivo 5: Plano Cartesiano y Ecuación de la Recta Tema 5. 8: Distancia de un punto a una recta

Propósito:

El estudiante aplicará su conocimiento sobre características de puntos y rectas, planteará de manera adecuada los textos de los ejercicios y desarrollará procesos para y la búsqueda de solución de estos.

Imaginemos en el plano cartesiano una recta y un punto fuera de ella. Ahora, planteémonos la siguiente pregunta: ¿cuál es la distancia mínima del punto a la recta? Distancia mínima de un punto a una recta. Sean P(xp, yp) , Ax + By + C = 0, las coordenadas de un punto y la ecuación de una recta, respectivamente, en el plano cartesiano. Encontrar la distancia que media entre el punto y la recta.

301

Esa distancia mínima será la longitud del segmento de la recta perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto dado que tiene por extremos; el punto dado y el punto en donde la perpendicular a la recta dada hace contacto con ella.

P ( xp , yp ) Ax + By + C = 0 d

Haciendo un dibujo de lo que se desea encontrar, este nos es claro y útil: Ahora bien, para acercarnos al resultado, necesitamos trazar una línea auxiliar que sea paralela al eje Y que pase por P(xp, yp) y continuar la línea, más corta, que une P(xp, yp) con Ax + By + C = 0.

Y P ( xp , yp )

V línea auxiliar // eje Y. L

D perpendicular (∟) a L.

Q punto de intersección de D y L.

V Q ( xq , yq )

Para facilitar nuestra búsqueda, consideremos ∆STR ≈ ∆PQR.

R ( xr , yr ) D

302

Y así, cos

d dis(RP)

y tenemos entonces que,

d = cos

dis(RP)

Como R(xr, yr) se encuentra en L, satisface la ecuación Ax + By + C = 0. Considerando que P y R se encuentran sobre la recta V, tienen la misma abscisa. O sea que tiene coordenadas P(xp, yp), R(xp, yr), sustituyendo, obtenemos Axr + Byr + C = 0 y tenemos que yr =

– Axp – C B

entonces dis(RP) = yp –

(

. Pero dis(RP) = yp – yr

– Axp – C B

)

= yp +

Axp + C B

Con la recta Ax + By + C = 0, determinamos la ordenada y la abscisa al origen: si x = 0 ,

By + C = 0 ;

por lo tanto y =

–C B

, punto (0, –C B

si y = 0 ,

Ax + C = 0 ;

por lo tanto x =

–C A

, punto

Haciendo un dibujo de este resultado, tenemos:

(

)

–C , 0) A

. Cateto opuesto.

. Cateto adyacente.

+ Ax

( 0,

-C ) B

-C ( , 0) A

303

Con la recta Ax + By + C = 0, sabemos que tan

–C B –C A

= –CA –CB

A B

Un dibujo de este último renglón es el siguiente:

Y de aquí, para obtener el cos

= ±

A2 + B2

A Y finalmente para calcular la distancia d , del punto a la recta, tenemos lo siguiente:

B d = cos

dis(RP)

, en donde dis(RP) = yp +

cos

(

Axp + Byp + C B

)( ±

Distancia entre un punto P(xp, yp) y una recta Ax + By + C = 0,

A 2 + B2

)

d =

, sustituyendo

Axp + C B

A +B

Axp + Byp + C B

Axp + Byp + C

A2 + B2

Axp + Byp + C ±

A 2 + B2

Sabemos que los resultados de cualquier medición están dados en unidades positivas, entonces que quiere decir que nuestras distancias sean ± (positivas o negativas). a) Las distancias serán positivas cuando la recta Ax + By + C = 0, se encuentre entre el origen de coordenadas y el punto P(xp, yp), del que queremos saber a que distancia se encuentra de la recta antes mencionada. b) Las distancias serán negativas cuando el origen y el punto se encuentren del mismo lado con respecto a la recta.

304

Ejemplo 1. Encontrar la distancia mínima entre el punto (–5, 1) y la recta 3x + 4y – 6 = 0. d =

Axp + Byp + C A 2 + B2

3(–5) + 4(1) – 6 2

3 +4

– 15 + 4 – 6

P ( -5 , 1)

9 + 16

–17 25

0 –17 5

= –3

X 3x

–

La distancia “es negativa”, esto nos indica que el origen y el punto se localizan del mismo lado con respecto a la recta.

Nota. En geometría, cuando se hace referencia a la distancia entre un punto y una recta, ésta se relaciona siempre con la distancia mínima entre estos elementos.

Ejemplo 2. Una recta es tangente a una circunferencia, cuyo centro es el punto (–1, 4). Si la ecuación de la recta es 6x – 8y + 2 = 0, calcular el radio y la superficie del círculo. ¿Cómo dibujamos las condiciones del ejemplo de modo que tengamos una mejor concepción de lo que se busca?

305

a) Sobre el plano cartesiano, localizamos el punto y la recta.

ia nc a t is a d mos l es sca a t u es e b u q

P (-1, 4)

b) Hacemos la siguiente reflexión: Si la circunferencia es tangente a la recta, la perpendicular a la recta que pasa por el punto de tangencia pasa también por el centro del círculo, entonces esa distancia será también la del radio del círculo. Algo más, si esa distancia es la del radio, debemos considerarla una distancia positiva.

– 6x

+ 8y

c) Y ahora hacemos nuestros cálculos.

d =

| 6(–1) – 8(4) + 2 | 62 + 82

| – 6 – 32 + 2 |

36 + 64

36 100

= 3.6 unidades.

Con este resultado, tenemos el radio. Ahora para obtener la superficie, escribimos la fórmula y sustituimos los valores, esto es: Sup = r2 = 3.14 x 3.62 = 3.14 x 12.96 = 40.7 u2. Respuesta: 1) El radio del círculo es de 3.6 u (unidades de longitud). 2) Y su superficie de 40.7 u2 (unidades cuadradas).

306

Ejercicios 1. Encontrar en cada inciso, la distancia entre el punto y la recta, dibujar estos elementos en el plano cartesiano e indicar, de acuerdo al signo del resultado, como están asentados. Punto

Recta

(3, 4)

2x – y – 7 = 0

(–2, –7)

7y – 2x + 4 = 0

(3, –4)

5x – 2y + 4 = 0

Punto

Recta

(4, 5)

3x – 7y – 2 = 0

(3, –2)

–2x – y = 0

2. Dados una circunferencia y una recta tangente a ella. Encontrar en cada inciso, el radio, el perímetro y la superficie del círculo. Centro del círculo

Recta

Centro del círculo

Recta

(2, 3)

2x – 4y + 2 = 0

(–1, 2)

x + 3y – 5 = 0

(5, –6)

–2x – 3y + 2 = 0

(4, 7)

–4x + 5y + 12 = 0

(3, –2)

4x – y – 7 = 0

307

Matemáticas 2

Objetivo 5: Plano Cartesiano y Ecuación de la Recta Tema 5. 9: Ecuación de la Recta

Propósito:

El estudiante ampliará la noción de lo aprendido sobre la recta. Aplicará y desarrollará sus habilidades para extender su conocimiento referente a características más generales de los puntos, las rectas y el espacio en el plano cartesiano. Madurará sus enseñanzas y empleará sus aptitudes en el planteamiento de procesos y la búsqueda de solución de ejercicios.

Imaginemos, … un plano cartesiano, un punto en él (de entre todos los que posee) y una recta que pasa por ese punto (de entre el haz de rectas que pasa por él). Ahora démosle localización al punto y escojamos sólo una de las rectas que pasa por él. Lo que hemos imaginado, con variaciones en la localización del punto y de la inclinación de la recta, se ve más o menos así:

308

tre en de ue o t ida q un eg as p el ect r el r a ct s po Re la an s pa

Punto elegido

Re cta ima gin ada

Pu qu nto e p so as bre a p un or a r el ec pu ta nto de ele l ha gid z o

de má s

Ahora, apliquemos esto a un ejemplo numérico proponiendo coordenadas para ese punto e inclinación para esa recta.

Ejemplo 1. Por el punto de coordenadas (2, 1) hagamos pasar una recta con pendiente 3. 1. Localizamos el punto (2, 1),

–2 unidades en horizontal

9 unidades en vertical

3 unidades en vertical (2, 1)

3. De esta manera, podemos encontrar puntos sobre la recta, basta construir una tabla con las características pedidas. Esta luciría así: 309

3 unidades en horizontal

– 6 unidades en vertical

1 unidad en horizontal

2. La pendiente 3, quiere decir que, alejándonos del punto: hacia la derecha por cada 1 unidad en horizontal debemos alejarnos 3 unidades en vertical y si, hacia la izquierda por cada –1 unidad en vertical deben de tomarse –3 unidades en horizontal,

Entonces, por cada 1 unidad que se aumente o disminuya a la abscisa del punto P, aumentar o disminuir, de modo correspondiente, 3 unidades a la ordenada del punto P. Abscisa

Ordenada

Aumentar 1 unidad 3 u. –2 u.

3 unidades 9 u. –6 u.

Abscisa Punto dado P1 P2 P3

Ordenada

2 2+1=3 2+3=5 2–2=0

1 1+3=4 1 + 9 = 10 1–6=–5

; ; ; ;

(2, 1) (3, 4) (5, 10) (0, –5)

Comprobar que la pendiente de la recta, mediante los puntos que hemos propuesto, nos va a dar el método para desarrollar algunas características y propiedades de las rectas en el plano, de manera que comenzamos por preguntarnos por las pendientes de la recta desde P1, P2 y P3 a P. La literal con que se identifica a la pendiente es: m, y así tenemos que: m1(PP1) =

yp1 – yp xp1 – xp

4–1 3–2

3 1

= 3.

m2(PP2) =

yp2 – yp xp2 – xp

10 – 1 5–2

9 3

= 3.

m3(PP3) =

yp3 – yp xp3 – xp

= –5–1 –0–2

–6 –2

= 3.

Ejemplo 2. Se nos da una recta con

1. Localizamos el punto (4, –3), 2. La pendiente –½, quiere decir que, alejándonos del punto: hacia la derecha por cada 2 unidades en horizontal debemos alejarnos –1 unidad en vertical y si, hacia la izquierda por cada 1 unidad en vertical debemos de tomar –2 unidades en horizontal,

–4 unidades

–10 unidades

pendiente –½ y que pasa por el punto de coordenadas (4, –3). Debemos dibujar la recta en el plano.

5 unidades

2 unidades

(4, –3) –2 unidades

4 unidades

310

3. Así, podemos encontrar puntos sobre la recta, basta con una tabla que cumpla las características pedidas. Algunos puntos serían los siguientes: Abscisa

Ordenada

Aumentar –10 . 4 u. –4 u.

5 u. –2 u. 2 u.

Punto dado P1 P2 P3

Abscisa

Ordenada

4 4 – 10 = – 6 4+4=8 4–4=0

–3 –3 + 5 = 2 –3 – 2 = – 5 –3 + 2 = – 1

; ; ; ;

(4, –3) (–6, 2) (8, –5) (0, –1)

Y las pendientes m1,2,3 de la recta desde P1, P2 y P3 a P, son: m1(PP1) =

yp1 – yp xp1 – xp

2 – (–3) –6–4

5 – 10

= –

1 2

m2(PP2) =

yp2 – yp xp2 – xp

= – 5 – (–3) = 8–4

–2 4

= –

1 2

m3(PP3) =

yp3 – yp xp3 – xp

= – 1 – (–3) = –0–4

2 –4

= –

1 2

Hemos encontrado puntos que pertenecen a la recta, de la que se nos dio un punto y su pendiente, aumentando o disminuyendo unidades, tanto en la abscisa (eje X) como en la ordenada (eje Y), según nos dice la pendiente. Pero de qué modo encontraríamos puntos de una recta, con aproximación suficiente para no dejar duda de su localización, si su pendiente tiene valores tales como: 45/71, –29/101, etc. Los procesos geométricos para resolver este ejercicio se topan con algunas dificultades: hojas de gran tamaño para tener suficiente espacio, instrumentos de precisión (reglas, compases, lápices, buen pulso, etc.). Propuesto de esta forma, volvamos al modo en el que encontramos la pendiente de una recta y a la localización de puntos en ella. La recta está compuesta por muchos puntos de manera que la pregunta ¿cómo encontrar puntos en una recta?, teniendo un punto por el que pasa y el valor de su pendiente. Sea m la pendiente de la recta y P0 ( x0, y0) las coordenadas de un punto sobre ella.

311

Entonces: m(P0P) =

y – y0 x – x0

; de donde

m ( x – x0 ) = y – y0 , con ( x, y) sobre la recta.

Puesto así, ¿cómo generaríamos las rectas de los ejercicios anteriores?

Ejemplo 3. Por el punto de coordenadas ( 2, 1) hagamos pasar una recta con pendiente 3. m(P0P) =

y – y0 x – x0

; de donde

3 ( x – 2 ) = y – 1 ; 3 x – 6 = y – 1 , despejamos y

y = 3x – 6 + 1 = 3x – 5 Y con esta expresión desarrollamos una tabla: x

y = 3x – 5

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

3 (–4) – 5 3 (–3) – 5 3 (–2) – 5 3 (–1) – 5 3 ( 0) – 5 3 ( 1) – 5 3 ( 2) – 5 3 ( 3) – 5 3 ( 4) – 5 3 ( 5) – 5 3 ( 6) – 5

Y = = = = = = = = = = =

–12 – 5 –9 – 5 –6 – 5 –3 – 5 0–5 3–5 6–5 9–5 12 – 5 15 – 5 18 – 5

= = = = = = = = = = =

–17 –14 –11 –8 –5 –2 1 4 7 10 13

Recta y = 3x – 5

Ejemplo 4. Se nos da una recta con pendiente –½ que pasa por el punto (4, –3). Debemos dibujar la recta en el plano. m(P0P) =

y – y0 x – x0

; de donde

– ½ ( x – 4 ) = y – (–3) , y = – x/2 + 2 – 3 = – x/2 – 1 .

312

Desarrollamos una tabla para esta expresión:

Y x

y = – x/2 – 1

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

– (– 5/2) – 1 – (– 4/2) – 1 – (– 3/2) – 1 – (– 2/2) – 1 – (–1/2) – 1 – ( 0/2) – 1 – ( 1/2) – 1 – ( 2/2) – 1 – ( 3/2) – 1 – ( 4/2) – 1 – ( 5/2) – 1

= = = = = = = = = = =

5/2 – 1 4/2 – 1 3/2 – 1 2/2 – 1 1/2 – 1 0–1 –1/2 – 1 –2/2 – 1 –3/2 – 1 –4/2 – 1 –5/2 – 1

= = = = = = = = = = =

3/2 1 1/2 0 –1/2 –1 –3/2 –2 –5/2 –3 –7/2

Recta y = – x/2 – 1

Ejercicios 1. Muestra que los puntos (6, –2), (2, 1) y (–2, 4) son colineales. 2. Una recta pasa por los puntos (–2, –3), (4, 1). 2.1. Si un punto con abscisa 10 pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada? 2.2. Y un punto con ordenada –5 que también pertenece a la recta, ¿qué abscisa tiene? 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, –1), (7, 3). 4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, –1) y su pendiente es 4. Ya sabemos como encontrar la pendiente de una recta y con ello el valor del ángulo que forma con el eje X, ahora nos preguntamos: ¿Cómo encontrar el ángulo que forman dos rectas que se intersectan?

313

En el siguiente diagrama, vamos a identificar algunos elementos:

2 1

O A

1. Por 1 el ángulo de inclinación de la recta l1 y por m1 su pendiente; 2. Para la recta l2, sean 2 y m2 el ángulo de inclinación y su pendiente, respectivamente; 3. Para el ángulo 1, la recta l1 será el lado sobre el que se levanta; o sea que la pendiente m1 es la pendiente de la recta inicial y el lado en que termina el ángulo 1 es la recta l2 y por tanto m2 la pendiente de la recta final; 4. Para el ángulo 2, la recta y pendiente de la recta iniciales, y la recta y pendiente de la recta finales son l2, m2, l1 y m1, respectivamente. Además tenemos las relaciones:

, y despejando

–

Y tomando las tangentes de los elementos de la igualdad: Recordemos que,

tan

sen

cos

, que en la razón de la resta, escribimos como

314

tan (

–

) =

–

sen (

cos (

2 –

)

1 )

sen

cos

2 cos

– cos

1 + sen

dividimos cada uno de los términos de nuestro cociente por cos

sen

cos

Y tenemos que:

– +

tan (

cos

sen

cos

sen

cos

–

tan

) =

y m2 = tan

tan

Y para el ∆ABC, con 2

cos

– tan

1 + tan Pero m1 = tan

sen

2 tan

sen

2 sen

cos

– +

sen

cos

sen

cos

= sen

cos

. 1

entonces nuestra última expresión toma la forma:

m2 – m1 1 + m2 m1

como ángulo exterior, tenemos que, 1

+ ( 180° –

Y aquí también, tomando las tangentes de los elementos de la igualdad: tan

tan

1 – tan

+ tan ( 180° – 1

tan ( 180° –

) 2

= )

tan

1 + tan

– tan 1

tan

2 2

Y obtenemos: tan

m1 – m2 1 + m1 m2

Repasemos las dos últimas fórmulas y cómo habremos de aplicarlas: tan

m2 – m1 1 + m2 m1

. Aquí el

inicia en l1 y termina en l2, mientras que en

315

tan

m1 – m2 1 + m1 m2

, el

inicia en l2 y termina en l1. Por eso el reacomodo de

las pendientes el las dos expresiones (resultado de los desarrollos para tan

tan 2).

Ejemplo 5. Hallar la medida, en grados, de los ángulos, agudo y obtuso, del paralelogramo cuyos vértices son: A (–2, 1), B (1, 5), C (10, 7) y D (7, 3). Es conveniente dibujarlo para hacernos una idea de los datos del ejercicio.

Entonces,

tan

7–5 10 – 1

m1 (BC) =

2 9

m2 (DC) =

7–3 10 – 7

m2 (DC) =

4 3

m1 (BC) =

0 18

°–

m2 – m1 1 + m2 m1

4 3

1 +

2 9

– 4 3

= 2 9

36 – 6 27 27 + 8 27

30 35

y ahora hay que encontrar la magnitud del ángulo cuya tangente es igual a 6/7, arctan ( 6 ) = 7

C =

= 40° 36’.

316

6 7

Para obtener la magnitud del resolvemos

= 180° –

B= 2

= 180° – 40° 36’ ;

= 139° 24’ .

Pero, con lo que hemos desarrollado, tenemos otra manera de calcular (que nos serviría para comprobar nuestro resultado)

tan

m1 – m2

2 9

1 + m1 m2

4 3

– 2 9

1 +

= 4 3

6 – 36 27 27 + 8 27

= – 30 = 35

, y es esta:

–6 7

y buscando en las tablas trigonométricas, encontramos que: arctan ( – 6 ) = 7

B =

= 139° 24’.

Ejemplo 6. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo que el valor de la pendiente de la recta final es igual a 3, calcular la pendiente de la recta inicial. Usaremos la fórmula

tan

m2 – m1 1 + m2 m1

, puesto que el ángulo que nos dan tiene

como recta inicial l1, recta de la que no conocemos la pendiente y como recta final l2, cuya pendiente nos dicen es igual a 3. Identificando las rectas con sus pendientes, tenemos que a l1 corresponde m1 y a l2, m2. Sustituyendo

+ tan tan

m2 – m1 1 + m2 m1

, debemos despejar m1

1 + m2 m1 ) = m2 – m1

tan tan

tan

m2 m1 ) = m2 – m1

m2 m1 + m1 = m2 – tan

m1 ( tan

m2 + 1 ) = m2 – tan

317

m1 =

m2 – tan tan

l2 = recta final

m2 + 1

pendiente = 3

Ahora, sustituimos los valores, tan

= tan (135°) = – 1 y m2 = 3, m1 =

3 – ( – 1) ( – 1)(3) + 1

4 –2

= –2.

= 135°

Ésta es la pendiente solicitada

l1 = recta inicial

y éste el dibujo aproximado.

Ejercicios 1. Dos rectas se intersectan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (–2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el punto A cuya abscisa es igual a – 2. Hallar la ordenada de A. 2. Por medio de las pendientes muéstrese que los puntos (6, –2), (2, 1) y (–2, 4) son colineales. 3. Una recta pasa por los puntos (–2, –3) y (4, 1). Si un punto tiene abscisa igual a 10 y pertenece a la recta, ¿cuál es su ordenada? 4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, –1) y (7, 3).

318

5. Hallar le ecuación de la recta que pasa por el punto (3, –1) y tiene pendiente igual a 4. Líneas arriba, desarrollamos la ecuación de la recta que pasa por un punto dado P 0 = ( x0, y0) y tiene pendiente igual a m, ahora vamos a considerar otros elementos. Teníamos: y – y0 x – x0

m(P0P) =

; de donde

Desarrollando la última expresión,

m ( x – x0 ) = y – y0 , con ( x, y) sobre la recta.

mx – mx0 = y – y0 ; mx – y + ( y0 – mx0 ) = 0 ,

donde (y0 – mx0 ) es constante, ya que mx0, y0 son los valores numéricos de la pendiente y la abscisa del punto dado respectivamente, y0, es la ordenada del punto dado. Retomando las ecuaciones que generamos con base en esta última expresión, analicemos su conformación. De la ecuación

3(x–2)= y–1

, obtenemos 3 x – y + ( 1 – 6) = 0 , 3x–y–5=0.

y de

– ½ ( x – 4 ) = y – (–3)

, – ½ x – y + ( 2 – 3) = 0 . , –½x–y–1=0 ; ½x+y+1=0 .

Bajo las siguientes consideraciones:

Nuestra ecuación se convierte en

el coeficiente de la x, sea A, el de la y, sea B y el último término (o término independiente), C, Ax+By+C=0.

Que es la forma general de la ecuación de una recta.

Analicemos las condiciones de esta ecuación a la vista de los dos ejercicios anteriores. Ax+By+C=0,

si A = 0, B y C ≠ 0; y = – C/B y la recta pasa por el punto ( 0, – C/B); o sea, corta al eje X en este punto (intercepta al eje X), si B = 0, A y C ≠ 0; x = – C/A y la recta pasa por el punto ( – C/A, 0); y corta al eje Y en este punto (intercepta al eje Y), si C = 0, A y B ≠ 0; la recta pasa por el origen ( 0, 0) .

319

0 – (– C/B) – C/A – 0

y tiene pendiente

C/B – C/A

–A B

¿Qué sucederá si aplicamos estos razonamientos a los ejercicios numéricos?, pues hagámoslo y veamos qué les sobreviene. Ax+By+C=0,

ejercicio 3x – y – 5 = 0: x = 0, entonces y = – (– 5)/ – 1 = 5/ – 1 = – 5 y la recta intercepta al eje X en el punto ( 0, – 5), y = 0, y tenemos que x = – (– 5)/3 = 5/3 y la recta intercepta al eje Y en el punto ( 5/3, 0), su pendiente es – ( 3/– 1) = 3. ejercicio ½ x + y + 1 = 0: x = 0 ; y = – 1 y la recta intercepta al eje X en el punto ( 0, – 1), y = 0 ; x = – ( 1)/½ = – 2 y la recta intercepta al eje Y en el punto (– 2, 0), y su pendiente es – ( ½/1) = – ½ .

Y 3x – y – 5 = 0

Dibujando las condiciones y los resultados de las dos rectas, obtenemos esta ilustración:

½x+y+1=0

Pongamos estos conocimientos en práctica. 320

Ejemplo 7. Hallar la pendiente y las intercepciones (intersecciones con los ejes X y Y) de la recta 2x – 3y + 6 = 0. x = 0, 3y = 6; y = 2 y la recta intercepta al eje X en el punto ( 0, 2), y = 0, 2x = – 6; x = – 3 y la recta intercepta al eje Y en el punto (– 3, 0), su pendiente es – ( 2/–3) = 2/3. Para tabular dividimos la recta por – 3, obtenemos la siguiente expresión: – 2/3 x + y – 2 = 0 y despejando la y = 2/3 x + 2, x

y = 2/3 x + 2

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

– 5(2/3) + 2 – 4(2/3) + 2 – 3(2/3) + 2 – 2(2/3) + 2 – 1(2/3) + 2 0(2/3) + 2 1(2/3) + 2 2(2/3) + 2 3(2/3) + 2 4(2/3) + 2 5(2/3) + 2

= = = = = = = = = = =

– 10/3 + 2 – 8/3 + 2 – 6/3 + 2 – 4/3 + 2 – 2/3 + 2 0+2 2/3 + 2 4/3 + 2 6/3 + 2 8/3 + 2 10/3 + 2

= = = = = = = = = = =

– 4/3 – 2/3 0 2/3 4/3 2 8/3 10/3 12/3 14/3 16/3

= = = = = = = = = = =

– 1 1/3 – 2/3 0 2/3 1 1/3 2 2 2/3 3 1/3 4 4 2/3 5 1/3

Y 2x – 3y + 6 = 0

Este es el dibujo de la recta y de algunas de sus características.

( 0, 2) (– 3, 0)

321

Ejercicios

1. Encontrar las ecuaciones de las medianas de los triángulos siguientes: 1. 1.

(–6, 1), (4, –3) y (6, 5)

1. 3.

(–3, 2), (5, 7) y (9, –6)

1. 2.

(9, 11), (–7, –1) y (5, –5)

1. 4.

(–2, 0), (4, 2) y (6, 10)

2. Encontrar las ecuaciones de las bisectrices de los triángulos del ejercicio anterior.

Ilustraciones La imagen de la Rosa de los Vientos fue tomada de: http://es.wikipedia.org/wiki/Rosa_de_los_vientos (Consulta noviembre 2007)

322

Matemáticas 2

a3 = a.a.a Objetivo 6: Álgebra

1 a-2 = a.a

Tema 6. 1: Exponentes Enteros

El estudiante aprenderá la aplicación, el desarrollo y la simplificación de expresiones algebraicas que contengan exponentes enteros o racionales.

Propósito:

La expresión más simple de un exponente es la fórmula para encontrar la superficie de un rectángulo de lados iguales. Figura geométrica que conocemos como “cuadrado”, nombre que lleva implícita la operación si de su superficie se trata.

Naturales

Enteros

Naturales

Enteros

Racionales

Recordemos cómo se obtiene dicha superficie. Dibujemos un cuadrilátero de lados iguales, o sea “un cuadrado”: superficie del “cuadrado” = “lado al cuadrado” =

lado

= lado x lado = (lado)2 = lado2.

Ejemplo 1. Si cada lado mide 3m., cuál es su superficie.

lado

superficie = (3m)2 = 3m x 3m = 9m2.

323

Podemos pensarla de dos formas diferentes: o

2. Tomando primero la medida vertical

1. Tomando primero la medida horizontal

Veamos que sucede ahora con un rectรกngulo de lados diferentes.

Ejemplo 2. Encontrar la superficie del siguiente rectรกngulo.

lado a = 4m, lado b = 7m. superficie = 4m x 7m = 28m2.

Encontrar la superficie del rectรกngulo a la derecha de estas letras.

Ejemplo

superficie = 11m x 8m = 88m2.

11m 324

Ejemplo 4. ¿Cuál es la superficie del siguiente rectángulo?

superficie = 13m x 5m = 65m2. 5m

13m

Fijémonos en algunos puntos específicos e importantes de estos ejercicios. Del ejemplo 1. En la obtención de la superficie del rectángulo de lados iguales (cuadrado), la operación realizada y su resultado nos presentaron la siguiente forma: superficie = (3m)2 = 3m x 3m = 9m2. Pongamos atención en: 1. La expresión 3m , está compuesta por un coeficiente; el número 3, y por una literal; la letra m. Unidas son una expresión algebraica formada por un coeficiente y una literal. 2. Al multiplicar la expresión 3m de uno de los lados del rectángulo de lados iguales por la expresión 3m del lado perpendicular al ya considerado del mismo rectángulo, se obtuvo el resultado 9m2. Aquí observamos que se multiplicaron elementos de la misma especie, esto es: se multiplicaron, entre sí, tanto los coeficientes como las literales de las longitudes de los lados de la figura. Repasando: 3 x 3 = 9,

m x m = m2. Como no se tiene “tabla” de la “m”, escribimos a la derecha y sobre la m el número de veces que se ha multiplicado por ella misma la m. 325

Por lo que: 3m x 3m = 9m2.

Este pequeño número es llamado la potencia o el exponente del número, literal o expresión sobre el que se encuentre. Estas dos apreciaciones son identificables en los dibujos del rectángulo del ejemplo. Ejemplos 2, 3 y 4. En la obtención de la superficie de los rectángulos de lados diferentes, y según el ejemplo, la operación y su resultado presentaron las siguientes formas: Pongamos atención en: 1. Las expresiones que nos indican las longitudes de los lados de los rectángulos, están compuestas por un coeficiente; diversos números, y por una literal; la letra m. 2. Las multiplicaciones, siendo productos de elementos de la misma especie, en el caso de los productos numéricos no fueron el mismo número, mientras que los productos de literales, al ser las mismas se aplicó el criterio de las potencias o exponentes y así: Ejemplo 2. 4 x 7 = 28,

m x m = m2.

Por lo que: 4m x 7m = 28m2.

11 x 8 = 88,

m x m = m2.

Por lo que: 4m x 7m = 88m2.

13 x 5 = 65,

m x m = m2.

Por lo que: 4m x 7m = 65m2.

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

El número de veces que se ha multiplicado por sí misma la m. La potencia o exponente de la m. La expresión que acompaña en sencillez al rectángulo de lados iguales y sirve para una exposición clara del juego con exponentes, es la fórmula para la obtención del volumen de un hexaedro regular, conocido también como “cubo” (en este último nombre del hexaedro, está presente la indicación del exponente a que se refiere). Dibujo:

326

volumen del cubo = “lado al cubo” = lado x lado x lado = = (lado)2 x lado = lado x (lado)2 = lado

= lado2 x lado = lado x lado2 = = (lado)3 = lado3.

lado lado

Ejemplo 5. Si cada lado mide 4m., cuál es su volumen. volumen = (4m)3 = 4m x 4m x 4m = 64m3 = (4m)2 x 4m = 16m2 x 4m = 64m3 = 4m x (4m)2 = 4m x 16m2 = 64m3 = (4m)2 x 4m = 16m2 x 4m = 64m3

Si nos imaginamos las unidades (hexaedros regulares o cubos) sobre cada una de las diferentes direcciones en que se alinean las aristas del hexaedro original, tendremos en mente un dibujo más o menos como este:

unidades en horizontal

unidades en vertical

unidades en profundidad

Ahora, reproduzcamos cada una de las “rebanadas” tantas veces como señala el ejemplo. 327

Recuerda que cada una de estas representaciones, obedece al orden en que se hayan tomado los lados, en cada una de las direcciones, del hexaedro. Finalmente, la respuesta, al término del ejemplo, es: El hexaedro tiene 64m3 de volumen. O sea, que si componemos los tres “esqueletos” de las figuras anteriores, obtenemos el siguiente “volumen”. Que, como dicen las operaciones aritméticas, está construido con 64 hexaedros regulares (cubos) en donde cada uno de ellos mide 1 metro por cada uno de sus lados.

Nos preguntamos, como en el caso anterior, qué sucede con un prisma de lados diferentes.

328

Ejemplo 6. Encontrar el volumen del siguiente prisma

volumen = 7m x 8m x 5m = = 56m2 x 5m =

= 280m3.

Cuyo esqueleto en pequeños cubos, tiene la siguiente apariencia:

Y sí, si está compuesto por 280 “cubitos” de 1m por lado cada uno.

Busquemos en estos ejemplos, algunos puntos específicos e importantes.

329

Del ejemplo 5. En la obtención del volumen del hexaedro regular (cubo), las operaciones realizadas y su resultado nos presentaron la siguiente forma: volumen = (4m)3 = 4m x 4m x 4m = 64m3. Nuestra atención se centra en: 1. Expresión algebraica formada por 4m ; coeficiente 4 y literal m. 2. Multiplicar las longitudes de los lados del hexaedro en las tres diferentes direcciones de las aristas del cuerpo geométrico. Esto es, procediendo primero por partes: 4 x 4 x 4 = 64,

m x m x m = m3.

Resultando: 4m x 4m x 4m = 64m3.

El número de veces que se ha multiplicado por sí misma la m. La potencia o exponente de la m.

Ejemplo 6. En la obtención del volumen del prisma, las operaciones y su resultado presentaron las siguientes formas:

Atención en: 1. Las expresiones que nos indican las longitudes de los lados del prisma, están compuestas por un coeficiente; diversos números, y por una literal; la letra m. 2. Las multiplicaciones, siendo productos de elementos de la misma especie, en el caso de los productos numéricos no fueron el mismo número, mientras que los productos de literales, al ser las mismas se aplicó el criterio de las potencias o exponentes y así:

330

7 x 8 x 5 = 280,

m x m x m = m3.

Resultando: 7m x 8m x 5m = 280m3.

El número de veces que se ha multiplicado por sí misma la m. La potencia o exponente de la m. Resulta entonces, que en la indicación de cómo realizar la medición de figuras y cuerpos geométricos, nos encontramos con unidades que tienen potencia o exponente.

1m3

1m2

A los elementos geométricos, les podemos medir tres cualidades diferentes que le importan a la geometría y que son: longitud, superficie y volumen.

La medición que se hace de estas cualidades en las figuras y cuerpos geométricos, se expresan en las siguientes unidades (anotamos las más usuales): Longitud

Superficie

Volumen

kilómetros (lineales) ; Km.

kilómetros cuadrados ; Km2.

kilómetros cúbicos ; Km3.

litoral de un país frontera de un país distancia entre ciudades largo de un río, etc.

superficie de un país de un continente de superficie del mar, etc.

331

caudal de un río volumen de una montaña del recurso maderable, etc.

metros cuadrados ; m2.

metros (lineales) ; m. altura sobre el nivel del mar largo de una cuadra ancho de una calle, etc.

centímetros (lineales) ; cm. medidas de una hoja de una mesa de ventanas de puertas, etc.

metros cúbicos ; m3.

de terreno para vivienda por habitación de una mesa del piso de duela de tela, etc.

capacidad de una alberca tinaco para casa habitación carro tanque de bomberos silos para granos, etc.

centímetros cuadrados ; cm2. centímetros cúbicos ; cm3. superficie de una hoja de un dibujo de un cuadro, etc.

de motor de automóvil envases domésticos solución inyectable (¡auch!) jarabe para la tos, etc.

Desde luego que hay más unidades, en el Sistema Métrico Decimal, en cualquiera de estas cualidades, algunas son: Longitud

Superficie

Volumen

Kilómetros

Kilómetros cuadrados

Km2

Kilómetros cúbicos

Km3

Hectómetros

Hectómetros cuadrados

Hm2

Hectómetros cúbicos

Hm3

Decámetros

Decámetros cuadrados

Dm2

Decámetros cúbicos

Dm3

metros

metros cuadrados

metros cúbicos

decímetros

decímetros cuadrados

dm2

decímetros cúbicos

dm3

centímetros

centímetros cuadrados

cm2

centímetros cúbicos

cm3

milímetros

milímetros cuadrados

mm2

milímetros cúbicos

mm3

El cambio entre unidades de la misma especie en de 10 unidades por cada renglón que se atraviese en uno u otro sentido. Longitud

Superficie

Volumen

10 , (1 renglón)

10 x 10 , (1 renglón)

Convirtamos los elementos propuestos (m, m 2 y m3) en unidades de la siguiente especie inmediata inferior: decímetros (1m = 10dm; decímetros: lineales, cuadrados y cúbicos).

332

10 , (1 renglón)

10 x 10 , (1 renglón)

10 x 10 x 10 , (1 renglón)

10dm = 10dm.

10dm x 10dm = 100dm2.

10dm x 10dm x 10dm = 1000dm3.

1m2 =

= 1000dm3

1m = 10dm

10 dm

= 100dm2

1m3 =

1m = 10dm

Volumen

1m = 10dm

Superficie

1m = 10dm

Longitud

Nota. El cambio de unidades es en cada una de las tres dimensiones (según se necesite). Ahora, convirtamos los elementos propuestos (m, m 2 y m3) en unidades de la especie superior: hectómetros (1m = 0.01Hm; hectómetros: lineales, cuadrados y cúbicos). 0.01 , (2 renglones)

0.01 x 0.01 , (2 renglones)

0.01 x 0.01 x 0.01 , (2 renglones)

0.01hm = 0.01hm.

0.01hm x 0.01hm = 0.0001hm2.

0.01hm x 10hm x 10hm = 1000dm3.

Ejercicios Calcula las tablas correspondientes a: 1. Si 1milímetro = 0.01centímetro (1mm = 0.01cm), para longitud, superficie y volumen. 2. Si 1kilómetro = 10hectómetro (1km = 10hm), para las mismas medidas que 1). 3. Si 1litro = 1dm3 (1litro = 1decímetro3), ¿cuántos litros caben en un m3 (metro3)? En el caso de las medidas, el reflejo del exponente o potencia sobre las literales (patrón con el que se está midiendo algún objeto) nos dice el número de dimensiones que posee el

333

objeto a medir o bien la cualidad que deseamos medir. Hagamos ahora abstracción de la medición de cualidades de un objeto y juguemos con los exponentes o potencias. Nota. La abstracción de mediciones se hace necesaria para no complicarnos con dimensiones mayores 3. Imagínate la dimensión 4; podríamos pensar en ella como la dimensión 3 a través del tiempo, y la dimensión 5 o la 6, 7, etc. Mejor hagamos abstracción, hemos ganado en imaginación y creatividad y no perdemos en nada. Líneas arriba, se había apuntado que la expresión 4m , como la longitud de cada uno de los lados del prisma cuadrangular, se componía de un coeficiente y una literal. En la obtención del volumen de tal prisma, multiplicamos la longitud dada, por cada dirección, o dimensión, del prisma, esto fue: volumen del prisma = 64m3.

lado del prisma = 4m,

Las operaciones realizadas fueron las siguientes: (4m)3 = (4m)(4m)(4m) =

(4)(4)(4)(m)(m)(m)

= 64m3.

ó =

(16m2)(4m)

= 64m3.

ó =

(4m)(16m2)

= 64m3.

Tomando la expresión (4m)3 ; consideremos las dos partes que la componen: 1. A la parte correspondiente a 4m se le llama “base” y 2. A la correspondiente a

se le llama “exponente” (de la “base” por supuesto).

Fijémonos solamente en la obtención de m3 . La calculamos de la siguiente forma: (m)3 = (m)(m)(m)

(m2)(m)

m2 x m

= m3.

m x m2

= m3.

ó =

(m)(m2)

334

Ahora bien, considerando que al tener longitudes en una y sólo una dimensión, no se hace necesario poner el número de dimensiones de que se trata, por ejemplo: m = (m)1 = m1 = m.

De modo que si la incógnita tiene una sola dimensión, o sea, es lineal, no es necesario escribir sobre ella su exponente.

Volviendo a la expresión m3, tenemos que: m3

se obtuvo de

m2 x m

y esto a su vez, de

mxmxm

ó m3

m x m2

y esto, de

mxmxm

Entonces, al operar bajo la multiplicación expresiones algebraicas compuestas por una misma base y cada una con su propio exponente, se obtiene la base con el exponente que resulta de la suma de los exponentes de las bases operadas, esto es: mxmxm

m1+1 x m

m2 x m

= m2+1

= m3.

m x m2

= m1+2

= m3.

ó = m x m1+1

mxmxm

Resolvamos algunos ejemplos, desarrollando las expresiones para mayor claridad. 1.

; lo desarrollamos como a x a x a x a x a = a1+1+1+1+1 = a5.

; b x b x b = b1+1+1 = b3.

c2 x c3

x3 x x5

c2+3 = c5.

(c x c) x (c x c x c) = c x c x c x c x c = c1+1+1+1+1 = c5.

x3+5 = x8.

(x x x x x) x (x x x x x x x x x) = x x x x x x x x x x x x x x x =

x1+1+1+1+1+1+1+1 = x8.

Que haciéndolo paso por paso, resulta en,

Paso por paso,

335

y2 x y5 x y4 =

y2+5+4 = y11.

Paso por paso,

(y x y) x (y x y x y x y x y) x (y x y x y x y) =

yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy =

y1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = y11.

Ahora, operemos expresiones con base compuesta por un numeral y una literal. 6.

(3g)2 ; lo desarrollamos como 3g x 3g = 3 x 3 x g1+1 = 9g2. En este caso, el producto de la parte numeral se puede desarollar.

(2h)2 x (2h)3

5k x (5k)5

(–7q)3

(2h)2+3 = (2h)5.

(2h x 2h) x (2h x 2h x 2h) = 2h x 2h x 2h x 2h x 2h =

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x h x h x h x h x h = 32 x h1+1+1+1+1 = 32h5.

O bien,

(5k)1+5 = (5k)6.

(5k) x (5k x 5k x 5k x 5k x 5k) = 5k x 5k x 5k x 5k x 5k x 5k =

5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x k x k x k x k x k x k = 15625 x k1+1+1+1+1+1 =

15625k6.

O bien,

(–7q) x (–7q) x (–7q).

El numeral se opera completo; Con el signo.

(–7) x (–7) x (–7) x q x q x q = (49) x (–7) x q x q x q =

–343 x q x q x q = –343 x q1+1+1 = –343q3.

Recordemos dos puntos esenciales: 1. Cuando una expresión compuesta por numeral y literal, está elevada a algún exponente, se multiplica la expresión completa tantas veces como lo indica el exponente; tantas veces el numeral y las mismas la literal. 2. Al multiplicar expresiones con la misma base (sean expresiones compuestas por numeral y literal o sólo con alguno de ellos), se escribe la base y se le pone el exponente que resulta de la suma de los exponentes de las expresiones operadas. 336

Ejercicios 1.

a2 x a3 =

b7 x b =

k5 x k x k3 =

t2 x t3 x t4 x t5 =

q1 x q3 x q5 =

p2 x p4 x p6 =

x3 x x7 x x11 =

y2 x y6 x y12 =

z2 x z x z1 =

10.

d x d2 x d3 =

Veamos ahora el ejercicio inverso. Esto es, dada una superficie encontrar las longitudes de sus componentes.

Ejemplo 7. La superficie de un cuadrado (rectángulo de lados iguales) es de 25m 2, ¿cuánto miden sus lados? Dibujando el cuadrado, para mejor comprensión: Debemos encontrar la expresión que multiplicada por si misma dé como resultado 25m2.

25m2

Dicho de otras formas: Uno; encontrar la expresión con exponente 2 que al operarla resulte en 25m2. Dos; encontrar la expresión que al elevarla al “cuadrado” se obtenga 25m2. Tres; encontrar la expresión que a la potencia 2 (o a la segunda potencia) dé como resultado 25m2.

Encontramos que la expresión “5m” cumple con la condición del ejercicio. Ya que al operarla,

(5m)2 = (5m)(5m) ,

obtenemos 337

25m2.

¿Qué fue lo que hicimos al buscar y encontrar la expresión que resuelve el ejercicio?

25m2 5m

“Descomponer” la cantidad que representa la superficie del cuadrado (25m2). Sabemos que la superficie de figuras y cuerpos geométricos, es una cualidad definida en 2 dimensiones cuyos “componentes” tienen sólo cualidad lineal.

Por eso es que la expresión que encontramos como solución es una expresión lineal. Si para encontrar la superficie del cuadrado multiplicamos por si misma la expresión 5m, o dicho de otra forma, elevamos 5m a la potencia 2. Nos preguntamos: ¿Encontraremos la longitud de los lados del cuadrado dividiendo su superficie por la expresión que multiplicada por si misma resulta en el valor de la superficie dada? Hagamos la división. 25m2 5m

25 x m2 5xm

5x5xmxm 5xm

5x5 5

mxm m

= 5m.

Dejemos, por el momento, a un lado la operación de la parte numérica y concentrémonos en la operación con las literales. m2 m

mxm m

, cancelamos puesto que los metros son ≠ 0;

Resuelto de otra forma, tenemos

m2 m

m2-1

mxm m

= m.

El procedimiento nos dice que: de dos m’s en el numerador “cancelamos” una de ellas con el denominador, quedándonos así sólo una m.

338

Considerando la expresión completa,

(5m)2 5m

(5m)2-1

(5m)1

= 5m.

Ejemplo 8. El volumen de un cubo (hexaedro regular) es de 27m 3, ¿cuánto miden sus lados? y ¿cuánto mide la superficie de cada una de sus caras? Debemos encontrar la expresión que multiplicada tres veces por si misma, dé como resultado 27m3. Dicho de otras formas: Uno; encontrar la expresión con exponente 3 que al operarla resulte en 27m3. Dos; encontrar la expresión que al elevarla al “cubo” se obtenga 27m 3. Tres; encontrar la expresión que a la potencia 3 (o a la tercera potencia) dé como resultado 27m3. Encontramos que la expresión “3m” cumple con la condición del ejercicio. Operándola (3m)3 = (3m)(3m) (3m) ,

obtenemos

27m3.

Como en el ejercicio anterior, nos preguntamos: ¿Qué fue lo que hicimos al buscar y encontrar la expresión que resuelve el ejercicio? La respuesta: “Descomponer” la cantidad que representa el volumen del cubo (27m 3). Sabemos que el volumen de los cuerpos geométricos, es una cualidad definida en 3 dimensiones cuyos “componentes” son: superficies, que su cualidad se define en 2 dimensiones y lineales, con cualidad sólo en 1 dimensión. Como en el ejercicio se nos pide encontrar componentes en 2 y 1 dimensiones, “descompongamos” nuestro cubo (o prisma) de volumen 27m 3.

339

La superficie de las caras nos resulta igual a 9m2 y la longitud de sus lados 3m.

27m3

9m2

Análogamente al ejercicio anterior, si para encontrar el volumen del cubo multiplicamos tres veces por si misma la expresión 3m, o dicho de otra forma, elevamos 3m a la potencia 3. Nos preguntamos: ¿Encontraremos la longitud de los lados del cubo y la superficie de cada una de sus caras dividiendo su volumen por la expresión que multiplicada tres veces por si misma resulta en el valor del volumen dado? Hagamos la división. 27m3 3m

27 x m3 3xm

3x3x3xmxmxm 3xm

= 3x3x3 3

mxmxm m

= 9m2.

Poniendo atención en este resultado, nos damos cuenta que tenemos la superficie de cada una de las caras del cubo (hexaedro regular). ¿Cómo fue la “descomposición”? 3x3x3 3

mxmxm m

= 3 x 3 xm x m

= 9m2.

De modo que dividiendo el valor del volumen por la expresión del valor de la longitud, hemos encontrado el valor de la superficie de las caras del cubo de 27m 3.

340

Teniendo el valor de la superficie de las caras del cubo, sabemos como encontrar el valor de la longitud del lado del cuadrado, que en este caso resulta ser, también, el del lado del cubo. 9m2 3m

9 x m2 3xm

3x3xmxm 3xm

3x3 3

mxm m

= 3m.

Aquí nos damos cuenta que, si a un cuerpo geométrico, cualidad en 3 dimensiones, lo dividimos por una de sus superficies, cualidad en 2 dimensiones, o sea, a un volumen le “quitamos” 2 dimensiones, nos quedará una cualidad de sólo 1 dimensión (lineal). Este es el desarrollo de un volumen dividido por una superficie: 27m3 9m2

27 x m3 9 x m2

3x3x3xmxmxm 3x3xmxm

= 3x3x3 3x 3

mxmxm mxm

= 3m.

Dejemos, aquí también y por el momento, a un lado la operación de la parte numérica y concentrémonos en las operaciones con las literales. Porque ahora tenemos dos desarrollos. Primer desarrollo: m3 m

mxmxm m

m3 m

Resuelto de otra forma, tenemos

Y ahora a 1 dimensión,

mxmxm m

, cancelamos puesto que m ≠ 0;

m2 m

m3-1

mxm m

, m ≠ 0;

m2.

= m2.

(superficies)

mxm m

= m.

Segundo desarrollo: m3 m2

mxmxm mxm

Y resuelto de otra manera,

= m.

m3 m2

m3-2

= m.

Nuestro ejercicio concluye, tomando en cuenta la expresión del volumen de forma completa.

341

Uno: en la obtención de la superficie de cada una de sus caras: (3m)3 3m

(3m)3-1

(3m)2

= 9m2.

Dos: en la obtención de la longitud de cada uno de sus lados: (3m)3 (3m)2

(3m)3-2

(3m)1

= 3m.

Si ampliamos el procedimiento, tenemos que: si en un cociente, el numerador y el denominador tienen los mismos términos pero éstos están elevados a diferente exponente, el resultado de la división es el término que les es común elevado al exponente que resulte de la diferencia de los exponentes del numerador y el denominador. De nuevo, hagamos abstracción de las longitudes, superficies y volúmenes. a a2

Pregunta 1: ¿Cuál es el resultado en la siguiente operación?

Desarrollando,

a a2

1x a axa

De otro modo,

a a2

a1-2

1 a

1 =

a-1

Del axioma: Si dos cosas son iguales a una tercera, entonces éstas son iguales entre sí.

a a2

En ambos desarrollos partimos de

Entonces,

1 a

a-1

y llegamos a:

a-1 .

Para todo a ≠ 0.

Una última consideración importantísima antes de aplicarnos a la solución de ejercicios.

342

b3 b3

Pregunta 2: ¿Cuál es el resultado en la siguiente operación?

1er desarrollo,

b3 b3

2o desarrollo,

b3 b3

bxbxb bxbxb b3-3

, con b ≠ 0.

= 1.

= b0.

De nueva cuenta, del axioma: Si dos cosas son iguales a una tercera, entonces éstas son iguales entre sí.

b3 b3

En ambos desarrollos partimos de

Entonces,

y llegamos a:

Para todo b ≠ 0.

Ejercicios 1.

q4 q3

a7 a4

c2 c3

d3 d5

p7 x p2 p4

w3 x w2 w

z4 x z3 z5

b5 x b4 x b3 b6 x b2

h5 x h2 x h7 h3 x h5 x h9

10.

g3 x g2 x g4 g x g8

343

Matemáticas 2

3a + ab – b a – 2ab 2a – b 3ab – b + 4c Propósito:

Objetivo 6: Álgebra Tema 6. 2: Términos Semejantes

El estudiante aprenderá las reglas de operación de términos semejantes, expresiones que son la esencia del álgebra y que le permitirán moverse en cualquier tema de matemáticas.

En el término 5b3, observamos o se consideran los siguientes componentes: 1. El 5 , llamado el coeficiente, 2. La b , literal y 3. El 3 , exponente, en este caso sólo de la b. Este tipo de términos es el que se encuentra a todo lo largo y ancho de las matemáticas; como ya lo hemos visto y constatado en los acertijos y ejercicios desarrollados y resueltos no sólo en nuestros cursos de matemáticas sino también, en nuestra vida cotidiana.

344

El manejo de estos términos, tiene sus reglas de operación, simples pero celosas. Reglas que nos permiten construir o armar un proceso para darle solución a un ejercicio. Reglas, como ya dijimos, simples de fácil aplicación pero muy celosas, también, en su aplicación. Ejemplo 1. Rodrigo lee el letrero en la barda de un terreno, en el que se ofertan 360m 2; luego, junto a este terreno se encuentra con otro letrero que oferta 420m2 y más adelante lee uno que ofrece depósitos de 7.5m3 para almacenaje de agua.

Pregunta 1: ¿Cuáles de estos términos pueden sumarse obteniendo resultados razonables? Respuesta 1: Los términos 360m2 y 420m2. Pregunta 2: ¿Por qué se pueden sumar estos términos? Respuesta 2: Porque ambos son terrenos, ambos están expresados en unidades de superficie (m2). Pregunta 3: Entonces, ¿el término 7.5m3 no se puede sumar a los anteriores? Respuesta 3: No. Porque es un depósito con capacidad de almacenaje, expresado en unidades de volumen (m3).

Aclaración 1. Las unidades de superficie son diferentes a las unidades de volumen. Hagamos las operaciones necesarias para encontrar el total de metros que juntos, miden estos terrenos vecinos. Terreno 1 360m2

Terreno 2 +

420m2

Total de los dos terrenos =

780m2.

Depósito 7.5m3.

Atención a la “Respuesta 2”.

345

Ejemplo 2. Margarita navegó, en una pequeña lancha de motor, por un río. En su recorrido apuntó lo siguiente: de la primera población ribereña a la segunda, el aparato de la lancha, montado para tal propósito, marcó 12 millas náuticas; del segundo al tercero 19 millas náuticas en esta parte del recorrido leyó un letrero que decía se venden 3350m2; entre el tercer y cuarto poblado, marcó 15 millas náuticas y leyó otro letrero por el que se vendían 4780m2. Y en este poblado terminó su viaje.

3 3350m 2

4780m

Pregunta 1: ¿Cuáles de estos términos pueden sumarse obteniendo resultados razonables? Respuesta 1: Los términos 12 millas náuticas, 19 millas náuticas y 15 millas náuticas y los términos 3350m2 y 4780m2. Pregunta 2: ¿Por qué se pueden sumar esos tres primeros términos y en otra suma los dos últimos términos? Respuesta 2: Los tres primeros entre sí, porque son distancias, expresados en unidades de longitud y los dos últimos, entre sí, porque ambos son terrenos, ambos expresados en unidades de superficie (m2). Pregunta 3: Entonces, ¿Cuál es el resultado de las dos sumas? Respuesta 3:

Longitud (millas náuticas = mn)

Superficie

12mn + 19mn + 15mn = 46mn.

3350m2 + 4780m2 = 8130m2.

Margarita , recorrió

vio ofertados 8130m2.

= 46mn. 346

Atención, de nuevo, a la “Respuesta 2”.

Ejemplo 3. Lucina desea realizar una comida, con sus compañeros de la escuela, en el jardín de su casa. Quiere contratar el servicio de lonas para tener una parte con sombra y otra de sol. Las dimensiones del jardín son 12m de largo y 9m de ancho. El servicio de lonas le ofrece una lona de 80m 2 con dimensiones de 10m de largo y 8 de ancho. ¿Qué superficie del jardín no estará bajo la lona? Lona sobre el jardín

Lona

Jardín de Lucina

10m 12m

Pregunta 1: ¿Podemos saber qué superficie del jardín no estará bajo la lona? Respuesta 1: Si. Restando a la superficie del jardín la superficie de la lona. Pregunta 2: ¿Por qué se pueden restar estos términos? Respuesta 2: Porque ambos se refieren a extensiones planas, ambos términos están expresados en unidades de superficie (m2). Pregunta 3: ¿Cuál es el resultado de la diferencia del jardín y la lona? Respuesta 3:

Superficie del jardín

Lona

Diferencia

108m2

80m2

108m2 – 80m2 = = 28m2.

347

Atención, otra vez, a la “Respuesta 2”.

La respuesta 2, en cada uno de los ejemplos desarrollados, nos dice que podemos operar entre si en sumas y restas, términos que estén definidos en las mismas dimensiones, términos de igual especie, de la misma denominación. Ejercicio 1 Veamos las respuestas 2:

Ejercicio 2

Ejercicio 3

suma de metros la primera suma es diferencia de cuadrados de metros lineales; metros cuadrados la segunda suma es de metros cuadrados

Ejemplo 4. Germán compró en, “Almacenes A”, 4 camisas cuyo costo fue de $500; en “Almacenes B”, 3 camisas por las que pagó $450. ¿Cuántas camisas compró y cuánto dinero gastó Germán?

Almacenes A Camisas Dinero

Almacenes B

Totales

$500

$450

$950

Respuesta: Germán compró 7 camisas y gastó $950. En este ejemplo, al igual que en los anteriores, se han sumado unidades del mismo género, de la misma denominación; camisas con camisas y pesos con pesos. Los sumandos, en el caso de sumas, el minuendo y sustraendo, en el caso de diferencias, se pueden operar porque son términos semejantes. Esto quiere decir que son, como hemos apuntado líneas arriba, términos que están definidos en las mismas dimensiones, términos de igual especie, términos de la misma denominación, unidades del mismo género, etc. Nos quedaremos, para uso de aquí en adelante, con el nombre de términos semejantes. 348

Diremos entonces, que dos o más términos son semejantes si en su expresión contienen la misma literal elevada al mismo exponente.

Nota 1. Para el desarrollo algebraico, el exponente de la literal, cualquiera que sea esta dependiendo del ejercicio, podrá ser cualquier número entero. Ejemplos:

3a2 , –5a2 , a2 , –8a2 .

4q5 , 2q5 , 2q5 , –q5 , 3q5 , –7q5 .

t3 , –6t3 , –9t3 , –2t3 , 5t3 .

11z7 , 5z7 , –3z7 , 4z7 , z4 , –6z7 , 8z7 .

La misma literal y el mismo exponente.

Y este término, ¿qué hace aquí?, ¿se habrá perdido?, porque es de otra denominación.

La misma literal “pero” diferente exponente.

–7d3 , –4d3 , 3d3 , –d3 , 5d3 , 12d3 , 2d3 , –2d3 .

Nota 2. Tomando en toda su extensión el concepto de Términos Semejantes diremos que: Dos o más términos son semejantes si en su expresión algebraica contienen las mismas literales elevadas, cada una de ellas, a los mismos exponentes.

349

Ejercicios

1. Suma todos y cada uno de los términos de cada uno de los 5 (cinco) ejemplos anteriores. Ejemplos:

bc2 , 3bc2 , 2bc2 .

2p5q2 , p5q2 , –3p5q2 , –p5q2 .

s4t2 , –2s4t2 , s4t2 , s4t2 .

3x2y , 2x2y , –x2y , 7x2y , 4x2y .

–5gh3k , 7 gh3k , 8gh3k .

Las mismas literales y los mismos exponentes en cada una de ellas.

2. Suma todos y cada uno de los términos de cada uno de los 5 (cinco) ejemplos anteriores.

350

Matemáticas 2

Polinomios

3 ... m

binomios

trinomios

Propósito:

polinomios

1 monomios

Número de términos

Objetivo 6: Álgebra Tema 6. 3: Los Polinomios

El estudiante conocerá lo amplio del álgebra en el renglón de los términos con exponente. Comprenderá su significado y aplicación y aprenderá las reglas para su útil manejo.

El término 7d3 , recibe, en el álgebra que estamos estudiando, el nombre de Monomio. En él se distinguen varios elementos:

término algebraico exponente

Monomio coeficiente

7 d3 literal

El Monomio es la expresión algebraica que consta de un solo término.

351

Ejemplos:

abc

2z3

–5gh2

, ,

11x2y

3a2b7

Si el Monomio tiene sólo un término, ¿cuántos términos tiene el Binomio? De aquí, saltamos al Trinomio, Cuadrinomio, etc., según el número de términos que compongan la expresión en cuestión. Ejemplos:

a+b

g + g2

– 4bc + bc3 x+y–z

k2 + 3k

h5 – 6h2

–2xyz + xy

b3 + b 2 + b

x2y – xy + xy2

5+a–b

3a + a2 –2a3 + 7a4

, ,

2x + x2 –5x3 + 3x4 – 4x5

2x + 3x3 – x2 g –2k + gk

w+x–y+z

2y2z + yz

3d2 + 2d3

, 2ab + gh – k

a + 3a3 – 2a2

3p –2q + p2 +5q2

–2a5 + a4b + 2a3b2 – 5a2b3 + 3ab4 + 7b5

¿Qué tipo de “. . . nomio” son los dos últimos ejemplos? Veamos, a los términos que aparecieron en nuestros ejercicios, cómo se les ha nombrado.

Con una sola expresión algebraica:

Monomio

Con dos expresiones algebraicas:

un solo término algebraico

Binomio

h – un término

Con tres expresiones algebraicas:

Trinomio

2x2 + y – 3x un término

un segundo término

tres términos algebraicos

y un tercer término

352

3h2 otro término

dos términos algebraicos

Con cuatro expresiones algebraicas:

2a + a2 + a3 – 3a4

Cuadrinomio

un término

un segundo término

un tercer término

cuatro términos algebraicos

y el cuarto término

¿Con muchas expresiones algebraicas?:

3g + 2g2 – g3 + . . .

+ 5g8 + 2g9

muchos términos

¿Con muchísimas expresiones algebraicas?:

4k – k2 – 2k3 +

...

+ 3kn-1 + 2kn

muchos, muchos términos

¿Cómo llamaremos a estas dos últimas expresiones? Respuesta: Polinomios; polus = muchos y nomos = término. Tenemos entonces que: Polinomio = muchos términos (términos algebraicos, por supuesto). De manera que, se utilizará el nombre de Polinomio para nombrar cualquier expresión matemática en cuyo enunciado se propongan o declaren dos o más términos algebraicos y por extensión, desde expresiones con un solo término. 353

Al estudio y desarrollo de los Polinomios, se le llama Teoría de Polinomios. Son polinomios los siguientes arreglos algebraicos: 3p + p2

g4h + 3g3h2 – 7g2h3

4k + 3k2 –2k3 + k4

5j5 – 6j4m + 7j3m2 + 8j2m3

2x + x2 –5x3 + 3x4 – 4x5

–2ª5 + a4b + 2a3b2 – 5a2b3 + 3ab4 + 7b5

Así, en un polinomio, excluyendo los coeficientes, distinguimos lo siguiente: 1. Las literales de sus términos poseen diversos exponentes. 2. Se llama grado de un término a la suma de los exponentes de sus literales. 3. Se llama grado del polinomio, al mayor de los grados de entre sus términos.

2ab + b2c2 + a3 – 3a3c

Términos:

2ab

;

exponente de la “a” = 1 exponente de la “b” = 1

;

grado = 2 (1 + 1)

b2c2

;

exponente de la “b” = 2 exponente de la “c” = 2

;

grado = 4 (2 + 2).

;

exponente de la “a” = 3

;

grado = 3.

–3a3c

;

exponente de la “a” = 3 exponente de la “c” = 1

;

grado = 4 (3 + 1).

Y grado del polinomio = 4 ; ya que es el mayor de los grados de uno de sus términos (en particular, en este caso son dos los términos del polinomio que tienen grado 4).

354

Ejemplo 1. Encontrar los grados de los siguientes términos (monomios): a3

g2h3

2pq2

el exponente de la “a”

la suma de los exponentes de la “g” y de la “h”

la suma de los exponentes de la “p” y de la “q”

2+3

1+2

grado 3 (tres)

grado 5 (cinco)

grado 3 (tres)

xyz

–3p3q2rst

gh3k

la suma de los exponentes de la “x”, la “y” y la “z”

la suma de los exponentes de la “p”, la “q”, la “r”, la “s” y la “t”

la suma de los exponentes de la “g”, la “h” y la “k”

3+2+1+1+1

1+3+1

grado 3 (tres)

grado 8 (ocho)

grado 5 (cinco)

Ejercicios

En cada uno de los términos (monomios) a continuación, encuentra su grado: 1.

6a2

(gh)2

– 7pq

m2n3

4st2u

5b2

10.

3(ab)2

11.

– 3a2b3c4

12.

– 2qr3s

13.

5b2cd

14.

x34yz2

15.

abad

355

Ejemplo 2. Encontrar el grado de cada uno de los términos de los siguientes polinomios y el grado de cada polinomio: a3 + ab

g2h3 – 2g3h + h2

pq2 + 5p4

el grado del primer término es 3 (tres)

el grado del primer término es 5 (cinco)

el grado del primer término es 3 (tres)

el grado del segundo término es 2 (dos)

el grado del segundo término es 4 (cuatro)

el grado del tercer término es 2 (dos)

No se está considerando el exponente del coeficiente.

Y el grado de cada polinomio es: grado 3 (tres)

grado 5 (cinco)

grado 4 (cuatro)

x3 + y3 – 5z3

B3c3 + 3bc4 – 7b3c

g2h + 2k4 – 3m2n3

el grado del primer término es 3 (tres)

el grado del primer término es 6 (seis)

el grado del primer término es 3 (tres)

el grado del segundo término es 3 (tres)

el grado del segundo término es 5 (cinco)

el grado del segundo término es 4 (cuatro)

el grado del tercer término es 4 (cuatro)

el grado del tercer término es 5 (cinco)

Y el grado de cada polinomio es: grado 3 (tres)

grado 6 (seis)

356

grado 4 (cuatro)

Ejercicios En los siguientes polinomios, encuentra el grado de cada uno de sus términos y el grado de cada polinomio: 1.

3ab2c

1 – 2x2y3

p2 – 4y + z2

r2h

2(g + h2)

– 5abc + ab + bc

– 3xy3 + xy2z + 2zy3

5(x + y) +2(x – y)

8a2b + 3

10.

4pqr2 – pq2r + 2p2qr

11.

2z2yx – 5y2x3z + xz2y2

12.

3g2hk – gh3k + ghk4

13.

4wzx – 3zwx + 2xzw – wxz

15.

– 2a2bc + 4ab2c2 – 7abcd + 5a2bc

14.

x3 – w2 + yz2 – xwy – yx2 + 3zwyx

Ejemplo 3. Encontrar el grado de los siguientes polinomios: 2x4y + x3z3 – 5y2z2 el mayor de los grados de sus términos es 6 (seis)

9k2h – 5h2k2 – 2k2h2 el mayor de los grados de sus términos es 4 (cuatro)

abcd + 3a2b – 5ac + bcd el mayor de los grados de sus términos es 4 (cuatro)

2paqbd – p2d2 + 2q3d + aqp el mayor de los grados de sus términos es 5 (cinco)

357

7g2h + 3g4h – 2gh2k4 el mayor de los grados de sus términos es 7 (siete)

4adg2qsw + 3adg2qsw el grado de su término, después de la suma, es 7 (siete)

Ejercicios En los siguientes polinomios, encuentra el grado de cada uno de ellos: 1.

– 2dak – 5akd + kda – 7adk

p3 + h2 + b2 – wfg – a2 + ax2 + 51

4b2ak3m2p5w3 + x2k3h2a4z3gzm

3a3 – 4ab2 + wp2 – kmq – cd2 + 2bmr

3d – 7s + 4z

acy3 – 52 + dgk2 + kmazq – a3w2

– ghkm – 3gm2 + 5kgh

– 2f3h + 3h2fg

10.

3mct – 3 mc2t + 2mct2

11.

– 3c4r2w3z2 + w7r2c2 – 4c2z4r3w + 2c3z4r3w + 6c2z4r3w

12.

4bk2t2 – 3k3b + 7b2tk3 + t2b2k2 – 4k2b3t3

13.

2w2x3yz4 + 3z3y2xw2 – 5y3x5x2w + 2w7x3a

14.

– 5c2kp + 2kc2p2 – 9k2cp + 5p2k2c + 5k2p2c2 – 11k3cp3

15.

– 6g2a3p + 5ap2g2 – 5ap2g + 3a2g2p3 + a2p2g2 – 7a3p2g + 4a3g2p2

358

Matemáticas 2

–

: Objetivo 6: Álgebra Tema 6. 4: Operaciones con Polinomios

Propósito:

El estudiante conocerá, comprenderá y aprenderá las reglas de operación entre polinomios y aprenderá a aplicarlas resolviendo ejercicios y acertijos.

+ (a3 – 5a2)

= 7a3 + 2a2 – 3a

– (3a3 + 3a2 – a)

= 3a3 + 4a2 – 2a

6a3 + 7a2 – 3a x

(a + 1)

: (3a2 – a)

= 6a4 + 13a3 + 4a2 – 3a = 3a2 – a

Suma de Polinomios. Se tienen los siguientes polinomios: 3a – 2b ; a + 5b . ¿Cómo obtendremos el resultado de la suma de ambos? ¿Cómo sumarlos?, pues sumando los términos que son semejantes en los dos polinomios. ¿Cómo hacer esto?, primero acomodando los polinomios, uno abajo del otro, de manera que escribamos los términos semejantes, de cada polinomio, en la misma columna; y después, realizando la suma de los términos semejantes, así tenemos:

359

Columna de la “b”

Columna de la “a”

3a – 2b a + 5b 4a + 3b

Sumemos,

primer polinomio segundo polinomio resultado de la suma.

(4m – 2n) + (–2m + 6n) ;

4m – 2n –2m + 6n 2m + 4n

(–3b2 + 5b) + (2b) ;

–3b2 + 5b 2b 2 –3b + 7b

(2x2y3 + 5xy) + (3x2y3 – 3xy) ;

2x2y3 + 5xy 3x2y3 – 3xy 5x2y3 + 2xy

(4p) + (2q – 5r) ;

Ejemplo. 1)

2q – 5r 4p + 2q – 5r 5)

(4a – 2b) + (3a – 5b) + (3b – 2a) ;

(p – 2p2 + 3p3) + (5p2 – p3 + 2p4) ;

p – 2p2 + 3p3 5p2 – p3 + 2p4 p – 3p2 + 2p3 + 2p4

(2r + 5r3 – 2r4) + (3r2 + 2r4 + 2r5) ;

360

4a – 2b 3a – 5b – 2a + 3b 5a – 4b

+ 5r3 – 2r4 3r2 + 2r4 + 2r5 2r + 3r2 + 5r3 + 2r4

(7zy2 – 3yz4) + (z2 + 4zy + 5yz3) ;

7y2z – 3yz4 z2 + 4yz + 5yz3 7y2z – 3yz4 + z2 + 4yz + 5yz3

Habrás observado algunas particularidades (para el buen operar de los polinomios). Estas particularidades son: 1. En algunos ejemplos se cambió, al escribirlos uno bajo el otro, el orden de los términos de uno de los polinomios para tener los términos semejantes en una misma columna. 2. Se cambió también, dentro de algún término, el orden de las literales. 3. Los polinomios, no siempre tuvieron los mismos términos semejantes, términos de la misma clase (mismas literales a iguales exponentes).

Ejercicios

(–4x2 + 2y) + (2x2 – 7y) ;

(2a + 3b – 4c) + (a – 5b + 2c) ;

(2h + 4k) + (–4h – 5k) + (5k – 2h) ;

(4p – 2q) + (2p – 5r) + (–7q + 2r) ;

(–2a2 + 2a – 3a3) + (–4a2 – 5a3 + 5a) ;

(9mn + 2m2) + (–7mn + 2n2) ;

(4x – 5y – 9z) + (–2y + 4z – 2x) + (2z – y + 5x) ;

(3pq + 7q3p – 8qp3) + (–5q3p – 2p3q – 4pq) + (–qp – 6pq3 + 5p3q) ;

(–2ba – 5ac – 3cb) + (7ca – bc – 3ab) + (8cb – 9ba + 3ac) ;

10)

(4a + 3b – 5c + 2d) + (–3c – 2b) + (d – 5a + 7c) + (5d – b) ;

361

Resta de Polinomios. Al siguiente polinomio: 4x + 5y ; se desea sustraerle el polinomio 2x – 3y . ¿Cómo obtendremos el resultado de la resta? ¿Cómo restar el segundo polinomio (sustraendo) al primero (minuendo)?, pues restando a los términos del primero, los del segundo siempre y cuando los términos de este último sean términos semejantes a los del primero.

Restemos,

Cambio de los signos del segundo polinomio por efecto de la resta

Columna de la “y”

Columna de la “x”

¿Cómo hacer esto?, igual que en la suma, acomodando los polinomios, uno abajo del otro, de manera que escribamos los términos semejantes, de cada polinomio, en la misma columna y luego realizando la sustracción de los términos semejantes.

4x + 5y – (2x – 3y)

;

4x + 5y –2x + 3y 2x + 8y

primer polinomio segundo polinomio resultado de la resta.

(3a – 4b) – (5a + b) ;

3a – 4b – (5a + b)

;

3a – 4b –5a – b –2a – 5b

(2k + 4g) – (–3g) ;

2k + 4g – (–3g)

;

4g + 2k 3g 7g + 2k

(3q2 – 4pq) – (2q2 – 3pq) ;

3q2 – 4pq ; – (2q2 – 3pq)

(3g3 – 2g + 5g4) – (4g2 – 3g4 + g) ;

Ejemplo. 1)

362

3q2 – 4pq – 2q2 + 3pq q2 – pq

5g4 + 3g3 – 2g 4 2 3g – 4g – g 4 3 8g + 3g – 4g2 – 3g

(5p3 – p2 + 2p) – (–4p2 – 3p3 + 5p4) ;

5p3 – p2 + 2p – 5p4 + 3p3 + 4p2 – 5p4 + 8p3 + 3p2 + 2p

(3st – 5s3t) – (5s3t + 2s2t + st2) ;

– 5s3t + 3st 3 2 – 5s t – 2s t – st2 – 10s3t – 2s2t + 3st – st2

(4abc + 3bc – 2c) – (–3c + cb – 2bca) ;

(3y3 – 5y) – (2y4 + 4y2 + 3) ;

4abc + 3bc – 2c 2abc – bc + 3c 6abc + 2bc + c 3y3 4

– 5y 2

– 2y – 4y –3 4 3 2 – 2y + 3y – 4y – 5y – 3 Igual que en la suma de polinomios, habrá que hacer algunas consideraciones. Estas son: 1. En algunos ejemplos se cambió, al escribirlos uno bajo el otro, el orden de los términos de uno de los polinomios para tener los términos semejantes en una misma columna. 2. Se cambió también, dentro de algún término, el orden de las literales. 3. Se realizó el cambio de signo de todos y cada uno de los términos del polinomio que se ha de sustraer. Este cambio de signo es el que resulta del producto del signo menos de la resta para poder operar los polinomios con mayor facilidad. O sea, multiplicar el polinomio que se desea sustraer por el factor –1 (polinomio de sustracción x (–1)). 4. Los polinomios, no siempre tuvieron los mismos términos semejantes, términos de la misma clase (mismas literales a iguales exponentes).

363

Ejercicios 1)

(–5a2 + 2a) – (3x2 – 4a) ;

(3x – 4y + z) – (3z + 2x – 6y) ;

(g + 5h – 4k) – (–4h – 5k + 3g) ;

(5c – 4d2 + 3d) – (3d2 –7c) ;

(2p2 + p – 3p3) – (5p2 – 4p3 + 6) ;

(–3ab + 4a2) – (–7ab + 2b2 + a2) ;

(3abc – a2bc + 4ab) – (–3a2bc + 4ab – abc) ;

(4xy + 6x2y – 8xy2) – (–3x2y – 5y2x – 7xy + x – y) ;

(2a4 + 4a2 – 5a3 – 3a) – (a – 6a4 – 7a2) ;

10)

(4a + 3b – 5c + 2d) – ((–3c – 2b) – (d – 5a + 7c)) ;

Producto de Polinomios. Se desea multiplicar los siguientes polinomios: 4x + 3y ; 5x – y . ¿Cómo operarlos y obtener su producto? Multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por todos y cada uno de los términos del otro polinomio. Ejemplo. 1)

(4x + 3y) x (5x – y) ;

4x + 3y 5x – y 20x2 + 15xy – 4xy – 3y2 20x2 + 11xy – 3y2

Otra manera de realizar esta multiplicación es la siguiente: (4x + 3y) x (5x – y) = =

20x2 – 4xy + 15xy – 3y2 = 20x2 + 11xy – 3y2

En los ejercicios a continuación, emplearemos la primera forma. 364

Ejemplo. 2)

(– 3c + 2d) x (4c – 3y) ;

– 3c + 2d 4c – 3d – 12c2 + 8cd 9cd – 6d2 – 12c 2 + 17cd – 6d2

Ejemplo. 3)

(g – 2h) x (2h – 5g) ;

g – 2h – 5g + 2h – 5g2 + 10gh 2gh – 4h2 – 5g2 + 12gh – 4h2

Ejemplo. 4)

(2a + 3b – 4c) x (5a – 6b) ;

2a + 3b – 4c 5a – 6b 10a2 + 15ab – 20ac 2 – 12ab – 18b + 24bc 2 2 10a + 3ab – 18b – 20ac + 24bc

Ejemplo. 5)

(– 3h + 5k) x (4h – 6k + 7m) ;

– 3h + 5k 4h – 6k + 7m – 12h2 + 20hk 18hk – 30k2 – 21hm + 36km – 12h + 38hk – 30k – 21hm + 36km 2

Ejemplo. 6)

(3z) x (2w + 3x – 6y + 5z) ;

Ejemplo. 7)

(2t – 3u) x (4t + 5u) x (– 6t + 7u) ;

2w + 3x – 6y + 5z 3z 6wz + 9xz – 18yz + 15z2

365

2t – 3u

4t + 5u 8t2 – 12tu 10tu – 15u2 8t2 – 2tu – 15u2 8t2 – 2tu – 15u2 – 6t + 7u – 48t3 + 12t2u + 60tu2 56t2u – 14tu2 – 105u3 – 48t3 + 68t2u + 46tu2 – 105u3 Ejemplo. 8)

(6a + 4b – 3c + 2d) x (5k) ;

6a + 5b – 4c + 2d 5k 30ak + 25bk – 20ck + 10dk

Las consideraciones en el caso del producto de polinomios son más fáciles, aquí están: 1. Se cambió, dentro de algún término, el orden de las literales. 2. Se realizó el producto de cada uno de los términos de uno de los polinomios con los términos del otro. En estos productos se multiplicó coeficiente por coeficiente y sus literales, uno; de las que fueron comunes en ambos términos, se sumaron sus exponentes y dos; las que no fueron comunes, se fusionaron en el producto. 3. Después de realizados los todos los productos, de los términos de los dos polinomios, se sumaron, si los hubo, los términos que resultaron ser semejantes.

Ejercicios 1)

(2x + 3) x (5x – 2) ;

(3a2 – 2a) x (6a2 + 5a) ;

(2p + 3q – 4r) x (–5q – 6p + 7r) ;

(2d – 4d2 + 3d3) x (5d2 –6d) ;

(x2 + x – 3) x (2x – 5) ;

(–5a2b + 7ab2) x (–6ab + 3ab2 + a2b) ;

(3p2 + 5p – 4p3) x (2p2 – 7p3 + 6 + 8p) ;

(–3b + 4a) x (7a + 2b + ab) ;

(–5a2 + a – 2a3) x (4a2 – 3a3 + 7a) ;

10)

(–2a + 2a2) x (–7a + 7a2 + a2) ;

11)

(2g3 + 3g – 5g2) x (4g2 – 7g3 + 8g) ;

12)

(–3abcd + 4a) x (–7abcd + 2a) ;

División de Polinomios. 366

El polinomio: 6x2 + 2xy , hay que dividirlo entre el polinomio 2x . El indicar esta operación, se escribe así: (6x2 + 2xy) : (2x) . ¿Cómo realizar la división o cómo obtener el cociente de estos polinomios? Ejemplo. 1)

3x + y 2x

6x2 + 2xy – 6x2 0 + 2xy – 2xy 0

Dividimos el primer término del polinomio que está dentro de la galera (6x2) por el que está fuera de ella (2x), lo comparamos con su término semejante y lo “restamos”. Escribimos el siguiente término y procedemos como en el paso anterior, y así hasta finalizar.

– 2a + 3a2

Ejemplo. 2) –3a

6a2 – 9a3 – 6a2 0 – 9a3 9a3 0

Para compararlo con su término semejante y proceder a “restarlo”, estamos cambiando el signo del producto del cociente por el divisor.

– g2 – 4a2 + 2

Ejemplo. 3) 2g

– 2g3 – 8g2 + 4g 2g3 0 – 8a2 8a2 0 + 4g – 4g 0 2x – 1

Ejemplo. 4) x–2

2x2 – 5x + 2 – 2x2 + 4x 0 – x +2 x –2 0 +0

367

4p – 3

Ejemplo. 5) 3p + 6

12p2 + 15p – 18 – 12p2 – 24p 0 – 9p – 18 9p + 18 0 + 0 – 2k2 – 6k

Ejemplo. 6) 3k + 4

– 6k3 – 26k2 – 24k 6k3 + 8k2 0 – 18k2 – 24k 18k2 + 24k 0 + 0 2x – 5

Ejemplo. 7) 5x – 3y

10x2 – 31xy + 15y2 – 10x2 + 6xy 0 – 25xy + 15y2 25xy – 15y2 0 + 0

a2 – 3a + 2

Ejemplo. 8) 2a + 5

2a3 – a2 – 11a + 10 – 2a3 – 5a2 0 – 6a2 – 11a 6a2 + 15a 0 + 4a + 10 – 4a – 10 0 + 0

Consideraciones para la división de polinomios, son aquí estas: 1. Se cambió, dentro de algún término, el orden de las literales. 2. Los términos del polinomio dividendo, se acomodaron en orden descendente o ascendente con respecto a alguna de sus literales.

368

3. Realizados los productos, de cada término que se va obteniendo como cociente por los del divisor, se restan a los términos semejantes del dividendo (para lo que hay que cambiar el signo de éstos productos).

Ejercicios 1)

(3x2 + 2x3 – 5x4) : (– x2) ;

(– 3a4 – 9a3 – 6a2) : (– 3a2) ;

(– 5p5q2 – 15p4q3 + 25p3q4) : (–5p3q2) ;

(– 16x2y3 – 20x3y2 + 4x2y2) : (4x2y2) ;

(6a4 + 5a2b – 6b2) : (2a2 + 3b) ;

(4x3 – 17x2 – 16x + 5) : (x – 5) ;

(10n3 + 13n2 – 11n – 12) : (2n + 3) ;

(2x3 – x2 – 11x + 10) : (2x + 5) ;

(25a4 + 70a2 + 24) : (5a + 2) ;

10)

(8x2 –28x + 12) : (–2x + 6) ;

11)

(2g3 – 3g2 – 5g – 3) : (g2 – 3g – 1) ;

12)

(– 9a3 – 12a2 + 92a – 35) : (3a – 7) ;

13)

(6c4 + 10c3 + 3c2 + 21c – 5) : (3c2 – c + 5) ;

14)

(21q4 + 57q3 + 74q2 + 16q – 32) : (3q2 + 6q + 8) ;

a(a ± b) (a ±

b)2

Matemáticas 2 369

Objetivo 6: Álgebra Tema 6. 5: Productos Notables

El estudiante desarrollará y factorizará expresiones algebraicas, haciendo uso de las propiedades que ha aprendido a lo largo de sus cursos de matemáticas.

Propósito:

b a

= b

b a

Para hacer más natural, sencillo, amable y comprensible el aprendizaje de los llamados “productos notables”, utilizaremos, cuando nos sea posible, elementos de la geometría como son las superficies y los volúmenes. El más sencillo de los productos notables es, ejemplificándolo como superficie, el encontrar la superficie de un rectángulo o la superficie de un cuadrado; dibujémoslas y desarrollémoslas. La superficie de una figura geométrica, en particular la de las figuras que nos ocupan, es la magnitud del espacio de que se encuentra dentro de las líneas, dos sistemas de paralelas y perpendiculares entre sí, que lo componen.

370

Aquí presentamos los productos notables más simples:

Ejemplo 1. La superficie de un rectángulo y Ejemplo 2. La superficie de un cuadrado a

a2 = a x

Ejemplo 3. Ahora veamos qué sucede si al rectángulo se le añade una superficie que colinda con uno de los lados de longitud a y por el otro, perpendicular a este, su longitud es c. Esto es, la nueva figura tendrá por longitudes: a y b + c, de manera que el valor de su superficie estará dado por a × ( b + c ) o bien ( b + c ) × a. Cómo desarrollar esta expresión. Pues recordando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, de los conjuntos numéricos que ya conoces: números naturales, enteros y racionales. La superficie de la nueva figura, está dada por: a ( b + c ) = ( b + c ) a =

b =a

b x

c =a

ab + ac

371

ab = )

c +a

Ejemplo 4. Añadamos ahora a un cuadrado una superficie que colinde con uno de sus lados y coincida en medida y tenga una longitud cualquiera. a

La superficie del cuadrado más el añadido es: a ( a + b ) =

a2 + ab

Ejemplo 5. Qué sucederá si se añade a un cuadrado un cuadrado igual sobre uno de sus lados.

+ a2

2a 2

372

La superficie de la nueva figura, un doble cuadrado, está dada por: a ( a + a ) = a2 + a 2 =

2a2

; o bien, a ( a + a ) = a ( 2a ) =

Ejemplo 6. Volviendo a los rectángulos, qué sucede si a un rectángulo, en vez de añadírsele una superficie colindante, se le diminuye en una superficie de longitud c a lo largo del lado a. La nueva figura tendrá por longitudes: a y ( b – c ), de manera que el valor de su superficie estará dado por a × ( b – c ) o bien ( b – c ) × a. a(b–c) = (b–c)a =

ab – ac

b-c

b =a

–c

a )=

c -a

ac c

Ejemplo 7. Cuál es el resultado de disminuir un cuadrado por uno de sus lados. a

a-b

a2 =

a a(

a(a–b) = (a–b)a =

ab b

= xb

a2 – ab

373

= b)

-a

Ejemplo 8. Dupliquemos las medidas de un cuadrado. a

Desarrollemos el binomio. Para lo que contamos con “cuatro” métodos, ( a + a )2 = ( 2a )2 = ( 2a )( 2a ) =

4a2

( a + a )2 = ( a + a )( a + a ) = a( a + a ) + a( a + a ) = a2 + a2 + a2 + a2 =

4a2

( a + a )2 = ( a + a )( a + a ) = a( a + a ) + a( a + a ) = a ( 2a ) + a ( 2a ) = 2a2 + 2a2 = ( a + a )2 =

4a2

a+a a+a a2 + a 2 + a 2 + a2

4a2

Ejemplo 9. Qué resulta cuando a un cuadrado se le aumenta la misma longitud en dos de a

sus lados, siempre y cuando estos sean perpendiculares entre sí.

374

Desarrollando, aquí también tenemos varios caminos, “tres”. ( a + b )2 = ( a + b )( a + b ) = a2 + ab + ab + b2 =

a2 + 2ab + b2

( a + b )2 = ( a + b )( a + b ) = a( a + b ) + b( a + b ) = a2 + ab + ab + b2 = ( a + b )2 =

a2 + 2ab + b2

a+b a+b a2 + ab + ab + b2

a2 + 2ab + b2

La expresión ( a + b ) recibe el nombre de binomio y el que esté elevada al cuadrado, es lo que conforma lo que llamaremos el cuadrado de un binomio o un binomio elevado al cuadrado o la suma de dos términos al cuadrado. El resultado de la operación de elevar un binomio al cuadrado nos entrega un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo 10. Ahora al cuadrado se le disminuirá la misma longitud en dos de sus lados, igual que en el ejercicio anterior, siempre y cuando estos sean perpendiculares entre sí.

En este binomio al cuadrado, recortaremos, cambiaremos el color y reacomodaremos algunos rectángulos para hacer sencilla la comprensión de nuestro desarrollo.

a - b

375

Comenzamos con los recortes y cambios de color, a - b

a - b b

a - b

aquĂ tenemos tres figuras: el cuadrado con lado ( a â&#x20AC;&#x201C; b ) y dos rectĂĄngulos de lados a y b.

Ahora, reacomodamos y nos fijamos en las medidas de la figura,

)

-b

)

-b

ab 2

376

obteniendo este rompecabezas final.

Recapitulando, en el primer recorte y cambio de color, lo que reacomodamos fue: 1. un cuadrado de superficie ( a – b )2 2. dos rectángulos de superficie ab.

Y en esta última figura tenemos: 3. Dos cuadrados; uno de superficie a2 y el otro b2.

Esto quiere decir que: ( a – b )2 + 2ab = a2 + b2 , y restando 2ab en ambos miembros de la igualdad, obtenemos: ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2. Desarrollando el binomio, nos podemos encontrar con “tres” senderos, estos son: ( a – b )2 = ( a – b )( a – b ) = a2 – ab – ab + b2 =

a2 – 2ab + b2

( a – b )2 = ( a – b )( a – b ) = a( a – b ) – b( a – b ) = a2 – ab – ab + b2 = ( a – b )2 =

a–b a–b a2 – ab – ab + b2

a2 – 2ab + b2

377

a2 – 2ab + b2

Ejemplo 11. Ahora tomemos un término de cada uno de los dos últimos binomios y multipliquémoslos, esto es: ( a + b )( a – b ), estos se llaman binomios conjugados porque tienen un término común y los otros términos sólo tiene diferentes signos. a a

b b

a-b

En este producto de binomios conjugados, también recortaremos, cambiaremos el color y reacomodaremos algunos rectángulos para, igual que en el ejercicio anterior, hacer sencilla la comprensión de nuestro desarrollo.

Se recortan los cuatro rectángulos que conforman la figura completa,

a-b

levantamos el rectángulo de medidas ( a – b ) y b,

a-b

lo vamos deslizando y girando,

378

a a-b

hasta colocarlo colindante al rectángulo de medidas: a y ( a – b ) por el lado a y en un extremo. Fijémonos que con este acomodo, los lados b y ( a – b ) juntos, tienen medida a.

Y ahora, sólo deslizamos el hueco saliente de medida b2 y lo hacemos coincidir con el hueco que completaría el cuadrado de medida a2 y con este cambio de lugar, habrá que cambiar el signo de su valor.

-b 2

Y el rompecabezas final nos queda así:

Desarrollando el producto de binomios conjugados, encontramos “tres” vías: ( a + b )( a – b ) = a2 – ab + ab – b2 =

a2 – b2

( a + b )( a – b ) = a( a – b ) + b( a – b ) = a2 – ab + ab – b2 = ( a + b )( a – b ) =

a+b a–b a2 + ab – ab – b2

a2 – b2

379

a2 – b2

Ejemplo 12. Consideremos un cuadrado al

que se le aumentan sus dos dimensiones, ejercicio sencillo,

Desarrollando el binomio: ( a + b )( a + c ) =

a2 + ac + ab + bc

( a + b )( a + c ) =

a+b a+c a2 + ab + ac + bc a2 + ab + ac + bc

( a + b )( a + c ) = a( a + c ) + b( a + c ) =

= a2 + a ( b + c ) + bc

Ahora, tenemos un cuadrado al que por un lado le aumentamos una cierta longitud ( a + b ) y por otro le disminuimos otra cierta longitud ( a – c ).

a - c

A las superficies que estén indicadas como un producto positivo, las superficies que lo estén como un producto negativo.

Nuestros recortes y rompecabezas, irán cambiando de la siguiente manera:

380

c -a

c -b

a c -b

c -a

a - c

Hasta que el resultado final será:

¿Y el binomio?, aquí está, ( a + b )( a – c ) =

a2 – ac + ab – bc a2 – ac + ab + bc

( a + b )( a – c ) = a( a – c ) + b( a – c ) = ( a + b )( a – c ) =

a+b a–c a2 + ab – ac – bc

381

= a2 + a ( b – c ) – bc

Ejemplo 13. Una última superficie de superficies antes de pasar a volúmenes. Dada una superficie cuadrada, se le aumentan sucesivamente dos longitudes cualesquiera, por lados que formen vértice, una después de la otra, de tal manera que si consideramos que el cuadrado tiene una longitud de lado a, se le aumentará por los lados ya predeterminados las mismas longitudes b y c en secuencia, obteniendose al final de tal proceso un cuadrado de lado a+b+c. a + b + c

En el dibujo aquí presentado y tomando en cuenta que las superficies con dimensiones semejantes se han recortado en el mismo color, de manera por demás sencilla sabremos como ha de calcularse la superficie del cuadrado con tales características.

Nos preguntamos, cuál será la superficie del cuadrado construido con lados que son los aumentos que se han hecho al cuadrado original.

a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac

Superficie del cuadrado aumentado =

Esta expresión es un trinomio, ... mm ... lo desarrollaremos de manera similar al binomio. ( a + b + c )2 = ( a + b + c )( a + b + c ) = a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2 = =

a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac

( a + b + c )2 = ( a + b + c )( a + b + c ) = a( a + b + c ) + b( a + b + c ) + c ( a + b + c ) = = =

a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac 382

( a + b + c )2 =

a+b+c a+b+c a2 + ab + ac ab + b2 + bc bc + c2 + ac a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac

Ejercicios 1. a.

( m + n )2

( x + 4 )2

( 2x + y )2

( a + b )2

( 2g + 3h )2

( 3p + q )2

( 3x + 5y )2

( a + 3b )2

( 5x + 2y )2

( x – y )2

( a – 3 )2

( 2y – z )2

( 2m – 3n )2

( 4p – q )2

( 2s – 5t )2

( 2x – 7y )2

( a – 2b )2

( 2c – d )2

( p + q )( p – q )

( 2x – y )( 2x + y )

( y + z )(y – z )

( 2c + 3d )( 2c – 3d )

( j + 2k )(j – 2k )

( a + 2b )( a – 2b )

( 4x + 3y )( 4x – 3y )

( – a + 3b )( a + 3b )

( 2s + 2t )( 2t – 2s )

4. a.

( a + b )( a + c )

( x + y )( x – z )

( 2p + q )(2p – r )

(c + d )( c – e )

( 2m + 2n )(2m – p )

( c + 2d )( c – 2e )

( x + 3y )( x – 3z )

( – a + b )( – a + 3c )

( 2r + s )( 2r – 2t )

2. a.

3. a.

En los ejemplos expuestos y en los ejercicios que debes de resolver, se llega al resultado ¡DESARROLLANDO! el o los tipos de binomio de que se trata. Esto es, al realizar el producto de los binomios obtenemos una suma (trinomio o binomio). Pero cómo se 383

procederá si en vez de que se nos pida desarrollar el binomio lo que se nos ofrece es su desarrollo y se nos pregunta por los binomios que lo generaron. A esto llamaremos ¡FACTORIZAR! , que al realizarla convierte a una suma (trinomio o binomio) en un producto de binomios.

Ejemplo 14. Se nos entrega el trinomio: a2 + 2a + 1. Si comparamos este resultado con el desarrollo del binomio ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ,

e igualamos término a término, a2 = a2 , a = a, 2a = 2ab , 1 = b , 1 = b2 , 1 = b;

entonces, el trinomio a2 + 2a + 1, se factoriza como ( a + 1 )2 .

Ejemplo 15. Factorizar el trinomio: x2 + 4x + 4. Comparamos con el trinomio anterior, x2 = a2 , x = a, 4x = 2ab , 4a = 2ab , 2 = b , 4 = b2 , 2 = b; el trinomio x2 + 4x + 4, se factoriza como ( x + 2 )2 .

Ejemplo 16. Factorizar el trinomio: p2 – 6p + 9. Comparamos con el trinomio de referencia,

– 6p = 2ab

p2 = a2 , p = a, , – 6a = 2ab , – 3 = b , 9 = b2 , ± 3 = b;

Qué valor de b escogemos como segundo término del binomio, + 3 o – 3 . Si elevamos al cuadrado cualquiera de estos valores, el resultado es positivo, pero el valor que nos da el término – 6p sólo puede ser la suma de los productos p (– 3 ) y – 3 ( p ) de manera que el valor que escogemos es – 3, y así nuestra factorización del trinomio, p2 – 6p + 9 toma la forma ( p – 3 )2 . en estos tres ejemplos, el término que comparamos con b2 ha resultado ser también un cuadrado; 1, 4 y 9, ahora veamos cómo resolver otros casos. 384

Ejemplo 17. Factorizar el binomio: a2 – 4. Siendo una diferencia de cuadrados, lo factorizaremos en binomios conjugados de modo tal que obtengamos las raíces tanto de a 2 como de 4, para la raíz del segundo término debemos tomarla con signo positivo, ya nos encargaremos de hacer lo conducente para que nuestra factorización resulte la correcta, y así para

a2 – 4 ; tenemos, raíz de a2, a y raíz de 4, 2, entonces,

( a + 2 )( a – 2 ).

Ejemplo 18. Factorizar el binomio: 4x2 – 9. Como el ejercicio anterior, factorizaremos en binomios conjugados:

raíz de 4a2, 2a y de 9, 3 ;

( 2x + 3 )( 2x – 3 ).

Ejemplo 19. Factorizar el trinomio: y2 + 10y + 16.

10y = 2ab

y2 = a2 , y = a, , 10a = 2ab , 5 = b , 16 = b2 , ± 4 = b;

¿dos valores para b?, de qué se trata. Entonces este trinomio no es un trinomio cuadrado perfecto, ni una diferencia de cuadrados, nos está sobrando el término 10y, y ahora qué hacemos. Que tal si lo comparamos con el producto de binomios con un término común, ¿será? He aquí el desarrollo: a2 + ab + ac + bc = a2 + a ( b + c ) + bc. y2 + 10y + 16 ; 10y = a ( b + c )

y2 = a2 , y = a, , 10a = a ( b + c ) , 10 = b + c , 16 = bc ,

las dos últimas ecuaciones, nos invitan a encontrar dos números que sumados nos den como resultado 10 y multiplicados, 16. Las parejas cuyo producto es 16 son: 1 y 16, 2 y 8, 4 y 4. Y de estas parejas la que suma 10 unidades es la 2 y 8, de manera que nuestra factorización tendrá la forma: y2 + 10y + 16 ; ( y + 2 )( y + 8 ).

Ejemplo 20. Factorizar el trinomio: x2 + 5x + 6. Este no es un trinomio cuadrado perfecto, tampoco es una diferencia de cuadrados, entonces comparémoslo con el producto de binomios con un término común;

385

x2 + 5x + 6 ; 5x = a ( b + c )

x2 = a2 , x = a , 5a = a ( b + c ) , 5 = b + c 6 = bc ,

según las dos últimas ecuaciones, debemos encontrar dos números que sumados nos den como resultado 5 y multiplicados, 6. Las parejas cuyo producto es 6 son: 1 y 6, 2 y 3. Y de ellas la pareja 2 y 3 es la que sumada nos da 5, de manera que nuestra factorización tiene la forma: x2 + 5x + 6 ; ( x + 2 )( x + 3 ).

Ejemplo 21. Factorizar el trinomio: z2 – 9z + 14. Al igual que el ejercicio anterior, no es un trinomio cuadrado perfecto y tampoco es una diferencia de cuadrados, entonces lo comparemos con el producto de binomios con un término común; z2 – 9z + 14 ; – 9z = a ( b + c )

z2 = a2 , z = a, , – 9a = a ( b + c ) , – 9 = b + c , 14 = bc ,

aquí, debemos encontrar dos números que sumados nos den como resultado – 9 y multiplicados nos den 14. Las parejas cuyo producto es 14 son: 1 y 14, 2 y 7. Y de ellas la pareja 2 y 7 es la que sumada nos da 9 pero necesitamos signo negativo. Tomando entonces – 2 y – 7 obtenemos – 9. Entonces las parejas de números que necesitemos, serán considerados con signo y de esta manera estaremos tomando la suma en forma general, o sea, la suma algebraica de dos números e igual para el producto. Y nuestra factorización tiene la forma: z2 – 9z – 14 ; ( z – 2 )( z – 7 ).

Ejemplo 22. Factorizar el trinomio: g2 – 2g – 35. Lo comparemos con el producto de binomios con un término común; g2 – 2g – 35 ; – 2g = a ( b + c )

g2 = a2 , g = a , – 2a = a ( b + c ) , – 2 = b + c – 35 = bc ,

debemos encontrar dos números que sumados, algebraicamente, nos den – 2 y multiplicados – 35. Las parejas cuyo producto es – 35 son: 1 y 35, 5 y 7. Y con la pareja 5 y 7 tenemos el producto 35, en donde es fácil notar que uno de ellos deberá tener signo negativo pero cuál de ellos. Si el valor numérico del segundo término es – 2 , entonces entre el 5 y 7 debemos 386

escoger con signo negativo al que tiene mayor valor absoluto, o sea – 7 y nuestra factorización tendrá la forma: g2 – 2g – 35 ; ( g – 7 )( g + 5 ).

Ejercicios x2 + 4x + 4

a2 + 6a + 9

y2 + 10y + 25

b2 + 8b + 16

g2 + 12g + 36

4q2 + 12q + 9

9a2 + 30ab + 25b2

a2 + 2a + 1

16z2 + 24z + 9

y2 – 4y + 4

x2 – 6x + 9

z2 – 2z + 1

m2 – 10m + 25

4p2 – 12p + 9

s2 – 4st + 4t2

c2 – 6cd + 9

b2 – 8b + 16

9d2 – 24de + 16e2

3. a.

n2 – 25

p2 – 4

a2 – 16

t2 – 81

9c2 – 49d2

4a2 – bt2

36z2 – 9

64b2 – 25c2

16d2 – 100e2

4. a.

a2 + 11a + 24

b2 + 1b – 6

c2 – 1c – 20

d2 – 3d – 40

9p2 – 9p – 10

q2 + 4q – 45

36r2 + 12r – 35

s2 – 9s + 14

t2 + 2t – 15

1. a.

2. a.

Como ejemplos finales haremos el desarrollo de binomios y trinomios, en el caso de volúmenes. Líneas arriba, desarrollamos la duplicación de las dimensiones del cuadrado, ¡que no es la duplicación del cuadrado! Ahora trabajaremos con un cubo.

387

Ejemplo 23. QuĂŠ sucede si a un cubo le duplicamos sus dimensiones (largo, ancho y alto):

a 2a

a a

2a 2a El desarrollo algebraico es el siguiente: ( a + a )3 = ( 2a )3 = ( 2a )( 2a )( 2a ) = ( 4a2 )( 2a ) =

8a3

Ejemplo 24. Ahora, al cubo se le aumentarĂĄ una misma longitud en sus dimensiones

+ a

b + a

a + b

(largo, ancho y alto):

388

Y aquĂ el consabido desarrollo algebraico: ( a + b )3 = ( a + b )( a + b )( a + b ) = ( a + b )( a2 + 2ab + b2 ) = = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 =

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Que en los prismas de colores equivalen a: a3 , un rojo ;

a2b , tres amarillos ; ab2 , tres verdes ; y

b3 , un azul .

Ejercicios 1. a. d.

( x + y )3

( 2a + b )3

( m + 3n )3

( 3p + 2q )3

( g â&#x20AC;&#x201C; h)3

( q â&#x20AC;&#x201C; 2p)3

Ejemplo 25. Imaginemos y desarrollemos un cubo aumentado en tres veces sus

dimensiones (largo, ancho y alto):

389

El desarrollo algebraico es el siguiente: ( a + a + a )3 = ( 3a )3 = ( 3a )( 3a )( 3a ) = ( 9a2 )( 3a ) =

27a3

Ejemplo 26. Finalmente, al cubo se le aumentarĂĄn dos longitudes diferentes en cada una

de sus dimensiones (largo, ancho y alto), que es un trinomio al cubo y obtendrĂamos:

c + b + a

a + b + c

Desarrollo algebraico: ( a + b + c )3 = ( a + b + c ) ( a + b + c ) ( a + b + c ) = = ( a + b + c )( a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2 ) = = ( a + b + c )( a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac ) = = a ( a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac ) +

(1)

+ b ( a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac ) +

(2)

+ c ( a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac ) =

(3)

= a3 + 2a2b + ab2 + 2abc + ac2 + 2a2c + + a2b + 2ab2 + b3 + 2b2c + bc2 + 2abc + + a2c + 2abc + b2c + 2bc2 + c3 + 2ac2 = =

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3b2c + 3bc2 + c3 + 3a2c + 3ac2 + 6abc 390

Si desarmamos este cubo podemos visualizar cómo es que se fue armando. Bueno, aquí está desarmado:

¿¿¿...???

Mmm … mmm … podríamos desarmarlo por capas. ¿Pero cómo armamos las capas? Hay tres formas: a) Poner las capas por pisos y una sobre otra, b) De frente y una atrás de la otra y c) De costado y una al lado de otra.

391

Forma a)

Vista 1, desde arriba;

Vista 2, desde abajo.

Forma b)

Vista 1, desarrollo hacia la izquierda;

Vista 2, desarrollo hacia la derecha.

392

Forma c)

Vista 1, de adelante hacia atrás;

Vista 2, desde atrás hacia delante.

Y las expresiones algebraicas, por capas y tomando el color de los volúmenes que contienen, las escribimos así: = a ( a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac ) +

(1)

+ b (a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac ) +

(2)

+ c ( a2 + 2ab + b2 + 2bc + c2 + 2ac ) =

(3)

Las expresiones entre paréntesis aparecen iguales en cualquiera de las formas en que se ha desarmado, en capas, el cubo original. Los colores te indican las superficies, y el número de ellas, que se convertirán en volúmenes al multiplicarse por el factor que se encuentra fuera de cada paréntesis. = a3 + 2a2b + ab2 + 2abc + ac2 + 2a2c + + a2b + 3ab2 + b3 + 2b2c + bc2 + 6abc + + a2c + 2abc + b2c + 3bc2 + c3 + 3ac2 = En estas expresiones puedes observar que son el reflejo, en color y número, de lo que tenemos en cada capa; cualquiera que haya sido la forma que escogiste para comparar. =

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3b2c + 3bc2 + c3 + 3a2c + 3ac2 + 6abc

393

Ejercicios 1. a.

( x + y + 2z )3

( 2a + 3b + c )3

( 3p + 2q + 5r )3

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Gobierno del Distrito Federal Secretaría de Educación Instituto de Educación Media Superior México, D.F. 2008. Instituto de Educación Media Superior Matemáticas 2 Versión para la Modalidad Semiescolar IEMS Autor: Gabriel Silva Ramírez Diciembre 2008 Versión electrónica Diciembre de 2009 |

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