Matematicas vi area 3 y4 unam enp by PDLM

UNAM

Universidad Nacional Autónoma de México

Escuela Nacional Preparatoria

Dr. Enrique Graue Wiechers Rector Dr. Leonardo Lomelí Vanegas Secretario General

SECRETARÍA ACADÉMICA

Ing. Leopoldo Silva González Secretario Administrativo

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Directora General Lic. Rogelio Cepeda Cervantes Secretario General Lic. Miguel Ángel Álvarez Torres Secretario Académico Lic. Luis Felipe Ortega Montiel Secretario Administrativo Mtro. Juan Neftalí Hernández Nolasco Secretario de Difusión Cultural M. en C. Ana Laura Gallegos y Téllez Rojo Jefa del Departamento

ÁREA 3 CIENCIAS SOCIALES ÁREA 4 HUMANIDADES Y ARTES Sexto Año Clave: 1619 y 1620 Plan: 96

Clave: 1619 y 1620 Plan: 96

DGENP

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

Dra. Mónica González Contró Abogado General

Lic. Isabel Jiménez Téllez Plantel 2 " Erasmo Castellanos Quinto " M. en C. Laura Elena Cruz Lara Plantel 3 " Justo Sierra " Mtro. Hugo Martín Flores Hernández Plantel 4 " Vidal Castañeda y Nájera " Biól. Ma. Dolores Valle Martínez Plantel 5 " José Vasconcelos " Mtra. Alma Angélica Martínez Pérez Plantel 6 " Antonio Caso " I.Q. María del Carmen Rodríguez Quilantán Plantel 7 " Ezequiel A. Chávez " Arq. Ángel Huitrón Bernal Plantel 8 " Miguel E. Schulz " Q.F.B. Roberta Ma. del Refugio Orozco Hernández Plantel 9 " Pedro de Alba "

ÁREA 3 Y ÁREA 4 SEXTO AÑO

Lic. Enrique Espinosa Terán Plantel 1 " Gabino Barreda "

Matemáticas VI Áreas 3 y 4

Dirección de Planteles

Elaboró: Edith Zepeda Cabrera Sergio López Luna

GUÍA DE ESTUDIO

Matemáticas VI Área 3 y 4

ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA COLEGIO DE MATEMÁTICAS ÁREA III CIENCIAS SOCIALES ÁREA IV HUMANIDADES Y ARTES Grado: 6° Clave: 1619 y 1620 Plan: 96

GUÍA DE ESTUDIO

MATEMÁTICAS VI Áreas III y IV

Coordinación y revisión:

Ana Laura Gallegos y Téllez Rojo

Autores:

Edith Zepeda Cabrera Sergio López Luna

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Escuela Nacional Preparatoria Directora General: Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Secretario Académico: Lic. Miguel Ángel Álvarez Torres Producción Editorial: Mtra. María Esther Rueda Palma

Guía de Estudio Matemáticas VI Áreas III y IV Actualización de la edición: DCG. Edgar Rafael Franco Rodríguez 5ª edición: 2017, 300 ejemplares © Universidad Nacional Autónoma de México Escuela Nacional Preparatoria Dirección General Adolfo Prieto 722, Col. Del Valle C. P. 03100, México, D. F. Impreso en México 2

PRESENTACIÓN La Escuela Nacional Preparatoria ha trabajado durante 148 años en la formación de jóvenes llenos de ideales y metas por cumplir, con deseos de superación y comprometidos con su país, a quienes tenemos que guiar y conducir hacia el logro de sus éxitos académicos, factores que reforzarán su seguridad personal. Las herramientas que adquieran los estudiantes, durante esta etapa escolar, serán fundamentales, columna vertebral que sostenga sus estudios profesionales, con lo que el desarrollo de habilidades y actitudes se verá reflejado en su futuro próximo. Es nuestra responsabilidad dotar a los alumnos de todos los materiales didácticos que ayuden a enfrentar los retos de adquisición del aprendizaje, para que continúen con sus estudios de manera organizada, armónica y persistente. Por lo mismo, los profesores que integran esta dependencia universitaria, trabajan de manera colegiada; ponen toda su energía en desarrollar las Guías de estudio para aquellos alumnos que, por cualquier razón, necesitan presentar un examen final o extraordinario y requieren elementos de apoyo para aprobarlos y concluir sus estudios en la Preparatoria. La presente Guía de estudio es un elemento didáctico que facilita la enseñanza y el aprendizaje. Se puede utilizar de manera autodidacta o con la ayuda de los muchos profesores que a diario brindan asesorías en cada uno de los planteles de la Escuela Nacional Preparatoria. Continuaremos buscando más y mejores elementos didácticos: presenciales y en línea, con el objetivo de ayudar a nuestros alumnos a que aprueben y egresen del bachillerato. Sólo me resta desearles éxito en su camino personal y profesional. Juntos por la Escuela Nacional Preparatoria. Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Directora General

ÍNDICE Unidad 1 Progresiones

Sucesiones .............................................................................................................. 7 Serie ........................................................................................................................ 7 Progresión aritmética ............................................................................................... 8 Progresión geométrica ........................................................................................... 10 Progresión armónica .............................................................................................. 13 Bibliografía ............................................................................................................. 16

Unidad 2 Función

Función .................................................................................................................. 17 Evaluación de funciones ........................................................................................ 19 Operaciones de funciones ...................................................................................... 19 Función inversa ...................................................................................................... 20 Bibliografía ............................................................................................................. 23

Unidad 3 La derivada

Límite (significado intuitivo) .................................................................................... 24 Teoremas sobre límites .......................................................................................... 26 Límites indeterminados .......................................................................................... 26 Límites cuando x → ∞ ...................................................................................... 27 Derivada ................................................................................................................. 29 Fórmulas de derivación .......................................................................................... 30 Ecuación de la recta tangente ................................................................................ 31 Intervalos donde crece o decrece una función ....................................................... 33 Puntos máximos y mínimos.................................................................................... 33 Puntos de inflexión y sentidos de concavidad ........................................................ 34 Bibliografía ............................................................................................................. 38

Unidad 4 La Integral

Función primitiva .................................................................................................... 39 La integral indefinida .............................................................................................. 40 Teoremas de integración ........................................................................................ 41 Integración por cambio de variable ......................................................................... 43 La integral definida ................................................................................................. 45 Teorema fundamental del cálculo........................................................................... 46 Bibliografía ............................................................................................................. 48

Unidad 5 Matrices y determinantes

Matriz ..................................................................................................................... 49 Operaciones entre matrices ................................................................................... 50 Determinante.......................................................................................................... 51 Método de Sarrus ................................................................................................... 52 Método de menores ............................................................................................... 52 Método de Cramer ................................................................................................. 53 Matriz inversa ......................................................................................................... 54 Bibliografía ............................................................................................................. 58

Examen tipo A......................................................................................................... 59 Examen tipo B......................................................................................................... 61 Respuestas a los ejercicios propuestos y al examen tipo ............................ 64

SOBRE LA GUÍA Este material no es un libro de texto sino una guía para preparar el examen extraordinario de Matemáticas VI para las áreas III (Ciencias Sociales) y IV (Humanidades y Artes). Esta guía se divide en cinco unidades que son: Unidad 1. Progresiones. Unidad 2. Función. Unidad 3. La derivada. Unidad 4. La integral. Unidad 5. Matrices y determinantes. En cada una de estas unidades se desarrollan brevemente los temas correspondientes acompañados de algunos ejemplos presentados con claridad y ejercicios de opción múltiple. Al final de la guía se encuentra un examen tipo así como las opciones de solución correctas tanto de los ejercicios propuestos como del examen tipo para que se puedan cotejar las respuestas. Se recomienda consultar los libros que se mencionan en la referencia bibliográfica, los cuales se encuentran a disposición de los alumnos en la biblioteca de cada plantel. Esperamos que esta guía sea de utilidad y puedan tener éxito en su examen extraordinario.

UNIDAD 1

PROGRESIONES Propósitos En esta unidad el alumno reconocerá las variables que intervienen en una progresión aritmética y en una geométrica. Calculará sumas parciales y en algunos casos sumas infinitas. Así mismo resolverá problemas de aplicación. Sucesiones Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. Los valores de la función o elementos del rango se llaman términos de la sucesión. A cualquier término de la sucesión se le llama término enésimo o término general y se representa como an . Ejemplo 1. Escribir los cuatro primeros términos de la sucesión a= 3n − 1 . n Al sustituir n por 1, 2, 3, 4 se obtiene: = 2 a= 3(1) − 1 1

a= 3(2) −= 1 5 2 a= 3(3) −= 1 8 3 a= 3(4) −= 1 11 4 La sucesión es: 2, 5, 8, 11,… Los puntos indican que la sucesión continúa en forma indefinida y se trata de una sucesión infinita. Cuando hay un número definido de elementos de una sucesión se tiene una sucesión finita. n Ejemplo 2. Calcular el décimo término de la sucesión an = 2 . n +1 Para calcular el décimo término se sustituye n por 10 y así se obtiene lo siguiente: = a10

Serie

10 10 10 = = 2 10 + 1 100 + 1 101

Una serie es la suma de los elementos de una sucesión. Para indicar la suma de los primeros n términos de una sucesión se puede utilizar lo que se conoce como notación sigma, esta es

∑a i =1

= a1 + a2 +  + an .

Ejemplo 3. Calcular

∑ 2n n =1

La notación indica que se deben sumar los cinco primeros términos de la serie cuyo enésimo término es an = 2n entonces 5

∑ 2n = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) = 30 n =1

Hay propiedades y fórmulas que permiten calcular la suma de los términos de una serie, pero éstas son objeto de estudio de otro curso. Sin embargo, a continuación se estudian dos sucesiones y sus respectivas series que son utilizadas con frecuencia, se conocen como Progresión aritmética y Progresión geométrica. Progresión aritmética Una PROGRESIÓN ARITMÉTICA es una sucesión de números en donde cada término después del primero se obtiene sumando una constante al término precedente. Esta constante se llama diferencia común y se representa por d. La fórmula del enésimo término de una progresión aritmética es: a n = a1 + (n − 1)d La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética es: Sn =

n(a1 + an ) 2

Ejemplo 4. ¿Cuál es el término número 17 de la progresión 3, 7, 11, … ? Primero es necesario encontrar la diferencia, esta se obtiene restando a cualquier término de la sucesión su antecedente. Así: ó d = 7−3 = 4 d = 11 − 7 = 4 Es importante reconocer los datos que se tienen, para después poder sustituir en la fórmula del enésimo término: Datos: a1 = 3 d =4 n = 17 a17 = ?

Fórmula: an = a1 + (n − 1)d

El término buscado es a17 = 67

Sustitución: a17 = 3 + (17 − 1)(4)

a17= 3 + (16)(4) a17= 3 + 64 a17 = 67

Ejemplo 5. Si una máquina tiene un costo de $2000 y ésta se deprecia anualmente $160. ¿Cuál es la duración de la máquina si su valor de desecho fue de $400? Como el valor de la máquina disminuye anualmente $160, este dato representaría la diferencia y el valor después del primer año sería de 1840; la duración de la maquina sería los años transcurridos para que su valor final sea de $400. Datos: a1 = 1840 d = −160 n=? an = 400

Fórmula:

Sustitución: 400 = 1840 + (n − 1)( −160)

400 − 1840 +1 −160 n = 10

n an = a1 + (n − 1)d=

La duración de la máquina sería de 10 años. Ejemplo 6. Encontrar la suma de los primeros 21 términos de la progresión 4, 7, 10,… La diferencia es: d = 7 − 4 = 3 El término número 21 es:

d = 10 − 7 = 3

a21 =4 + (21 − 1)3 a21= 4 + 20(3) a21= 4 + 60 a21 = 64

Para encontrar la suma de los primeros 21 términos se necesita saber con qué información contamos. Datos: Fórmula: Sustitución: 21(4 + 64) S21 = 2 a1 = 4 n(a1 + an ) 21(68) a21 = 64 S21 = Sn = 2 2 n = 21 S21 = 714 Medias aritméticas En una progresión aritmética al primero y último términos se les llama extremos y a los términos que se encuentran entre los extremos se les llama medias aritméticas. Cuando se tienen los extremos de una progresión aritmética y se insertan algunas medias aritméticas se dice que se interpolan medias aritméticas.

Ejemplo 7. Interpola 8 medias aritméticas entre 9 y –36. Para formar la progresión aritmética con los extremos que se dan es necesario tener su diferencia. La diferencia se obtiene usando la fórmula del enésimo término. Datos:

Fórmula:

Sustitución: −36 =9 + (10 − 1)d −36 =9 + 9d 9d −36 − 9 =

a1 = 9 an = −36

an = a1 + (n − 1)d

−45 9 d = −5

n = 10

Como la diferencia común es d = −5 y a1 = 9 se pueden obtener los términos pedidos. La progresión aritmética que se forma con las 8 medias aritméticas es: 9, 4, -1, -6, -11, -16, -21, -26, -31, -36 Progresión geométrica Una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA es una sucesión de números en donde cada término después del primero se obtiene multiplicando al término precedente por una constante. Esta constante se llama razón común y se representa por r . Una progresión geométrica es: 2, 6, 18,… como se puede observar cada término después del primero se obtiene multiplicando el término precedente por 3. Para obtener la razón común de una progresión geométrica se divide cualquiera de sus términos entre su precedente. Ejemplo 8. ¿Cuál es la razón de la progresión 3, 6, 12, 24,…? ¿Cuáles son el quinto, el sexto y el séptimo términos? 6 = 2 ó = r 3 términos queda como: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192,

La razón de la progresión es r= a7 = 96 ( 2 ) .

12 = 2 . La progresión con siete 6 … Aquí a5 = 24 ( 2 ) , a6 = 48 ( 2 ) y

La fórmula del enésimo término es: an = a1 r n −1

La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es: Sn =

a1 − an r 1− r

Sn =

a1 − a1 r n 1− r

Ejemplo 9. Si el primer término de una progresión geométrica es 5 y su razón común es 2 ¿cuál es el décimo primer término? Datos: r =2 n = 11 a1 = 5

Fórmula: an = a1r n −1

an = ?

Sustitución: a11 = 5(2)11−1 a11 = 5(2)10 a11 = 5(1024) a11 = 5120

El décimo primer término es 5120 Ejemplo 10. Una motocicleta nueva cuesta $ 80 000 y se deprecia anualmente 20% de su valor. ¿Cuál es su valor al final del quinto año? Como se deprecia el 20% anualmente al final del primer año valdrá el 80% de su precio original entonces: a1 = 80 000 = a2 (0.80)(80 = 000) 64 000 La progresión geométrica que se forma es: 80 000, 64 000,… A continuación se presenta una tabla con los datos. El valor de n = 6 es debido a que buscamos el valor al final del quinto año. Datos:

Fórmula:

a6 = 80 000(0.80)6−1

a1 = 80 000 n=6 r = 0.80 an = ?

Sustitución:

an = a1 r

n −1

a6 = 80 000(0.80)5 a6 = 80 000(0.32768) a6 = 26 214.40

El valor de la motocicleta al final del quinto año es: $ 26 214.40 Ejemplo 11. ¿Cuál es la suma de los seis primeros términos de la progresión 8, -4, 2,…? −4 1 2 1 La razón de la progresión es r = ó r = = − = − 8 2 2 −4 11

 1 El sexto término de la progresión es a6 =− 8   2 Datos: a1 = 8 , r = − 21 y a6 = − 41 Operaciones: Al sustituir en la fórmula Sn =

6 −1

8 1  1  8 =− = − = −  32 4  32 

a1 − an r se obtiene 1− r

 1  1   1 8 −  −  −  8 −   64 − 1 63 63(2) 21  4  2=   8=  8= = 8 = S6 = 1 2 +1 3 3(8) 4  1 1+ 1−  −  2 2 2  2 Para el caso de progresiones geométricas infinitas con −1 < r < +1 la suma se obtendría mediante la siguiente fórmula. La suma de una progresión geométrica infinita con |r| < 1 es: a S= 1 1− r La suma de una progresión infinita se puede utilizar para encontrar la representación racional de un número decimal periódico. Ejemplo 12. Expresar el número decimal periódico 0.545454… como un número racional. El decimal periódico 0.5454… se puede escribir en la forma 0.54 + 0.0054 + 0.000054 +… Ésta es una progresión geométrica infinita en donde la razón es: r =

0.0054 = 0.01 0.54

Datos:

Fórmula:

a1 = 0.54

r = 0.01

Sustitución: 0.54 0.54 = S = 1 − 0.01 0.99 54 54 = S 100 = 99 99 100 6 S= 11

a1 1− r

0.545454... =

6 11

1 1 1 Ejemplo 13. Calcula la siguiente suma infinita 1 + + + ... . 3 9 27 Datos: a1 = 1 1 r = 3

Fórmula: S=

a1 1− r

Sustitución: 1 1 = S = 1 2 1− 3 3 3 S= 2

Progresión armónica

Una PROGRESIÓN ARMÓNICA es una sucesión de números cuyos términos son los recíprocos de los términos, en el mismo orden, de una progresión aritmética. 2 4 1 , , , ... 3 9 3 Primero hay que determinar si los recíprocos de los términos forman una sucesión 3 9 aritmética, es decir, , , 3, ... 2 4 9 3 3 9 3 Al tomar la diferencia d = a2 − a1 = − = y d =a3 − a2 =3 − = se tiene que sí 4 2 4 4 4 se trata de una progresión aritmética, entonces el sexto término es 3  3  21 a6 = a1 + ( 6 − 1) d = + 5   = 2 4 4 4 Así, el sexto término de la progresión armónica es . 21

Ejemplo 14. Halla el sexto término de la progresión armónica

Ejercicios 1. La suma de los primeros 25 términos de la progresión A)

325 4

325 2

675 4

1 3 , 1, , … es: 2 2 D)

672 2

2. Si el tercer término de una progresión aritmética es –3 y el octavo término es 2, entonces el primer término es: A) −8

B) −5

C) −4

D) 0

3. El valor de la suma 1 + 5 + 9 +  + 37 es igual a A) 480

B) 380

C) 290

D) 190

4. El número de términos que se necesitan para que la serie − 31 + 31 + 1 +  sea igual a 65 es B) 14

A) 15

5. En una sucesión aritmética a8 = − A) −

3 4

B) −

1 2

6. En una sucesión aritmética a6 = A)

4 3

D) 12

C) 13

7 23 y a5 = − entonces el primer término es 2 4

1 2

11 y a11 = 7 entonces la diferencia común es 3 C)

B) 1

2 3

7. Si el primer término de una sucesión armónica es − entonces el tercer término es A) −

5 3

B) −

5 16

3 4

C) −

5 19

1 3

1 5 y el octavo es − , 2 31

D) −

5 24

8. La suma de los primeros 50 términos de la sucesión aritmética 4,7,10, es A) 3 800

B) 3 875

C) 3 950

D) 4 025

9. El valor de la suma 3 + 1 + ( −1) +  + ( −49 ) es igual a A) −572

B) −598

C) −621

D) −648

10. Una serie aritmética tiene como primer elemento 41 y diferencia común 2 . El número de términos que se necesitan para que la suma de esta serie sea igual a 558 es A) 21

B) 22

D) 24

C) 23

11. Una serie aritmética de diez términos es igual a − 25 , si la diferencia común de 3 la sucesión correspondiente es − 31 , entonces el primer término es A) − 32

B) − 31

D) 10 3

C) 32

12. Una de las dos medias aritméticas ente −2 y 10 es A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

13. Una de las cinco medias aritméticas ente −10 y 10 es A) − 31

B) 0

C) 31

D) 32

14. Una pila de troncos tiene 32 en la capa inferior, 31 en la segunda, 30 en la tercera y así sucesivamente, la capa más alta tiene 15 troncos. El número total de troncos en la pila es A) 470

B) 423

C) 376

D) 329

15. En la progresión − 3, 9, − 27,… , la razón y el quinto término son, respectivamente A) 3 y 243

B) − 9 y 81

C) − 3 y − 81

16. Al interpolar cinco medios geométricos entre 4 y progresión que se forma es: A) 1

1 2

1 4

D) − 3 y − 243 1 , el cuarto término de la 16

1 8

17. En la fracción decimal periódica 0.45121212… la razón es: A) 10-1

B) 10-2

C) 10-3

D) 10-4

18. Si el primer término de una progresión geométrica es 5 y su razón común es 2 , entonces el décimo primer término es A) 512

B) 1024

C) 5 120

19. Si el quinto término de una sucesión geométrica es entonces el primer término es A)

1 2

1 3

20. El sexto término de la progresión A)

243 512

243 1024

D) 10 240 3 3 y el octavo es 16 128

D) 3

C) 2 2 , 1 , 3 , , 3 2 8

es igual a

81 512

81 1024

21. Se sabe que el cultivo de cierta bacteria duplica su número cada tres horas. Si el cultivo tiene una cantidad inicial de 20, ¿cuál será la población al cabo de 24 horas? A) 5120

B) 2560

C) 167, 772,160

D) 335, 544,320

Bibliografía 1. Lehmann, Charles H., Álgebra. México, Limusa, 1995. 2. Swokowski, Earl, Álgebra universitaria. México. Cecsa, 1992. 3. Zuckerman, Martin M., Álgebra y Trigonometría simplificadas. México, Limusa, 1993. 4. Stewart,James et al, Precálculo, México. Thomson, 2001. 5. Mora, Emiliano, Del Río, María, Cálculo Diferencial e Integral (Ciencias Sociales y Económico-Administrativas), México, Santillana, 2008.

UNIDAD 2 FUNCIÓN

Propósitos: En esta unidad el alumno conocerá el concepto de función, identificará su dominio y su conjunto imagen (rango). Además realizará operaciones entre funciones. Función Una FUNCIÓN es una relación que asocia a cada elemento x de un conjunto D con uno y solo un elemento y de un conjunto C. Al conjunto D se le llama DOMINIO de la función y al conjunto C se le llama CODOMINIO de la función. Regla de correspondencia La regla que asocia los elementos del dominio con los del codominio se le llama REGLA DE CORRESPONDENCIA. Imagen Se dice que y es la imagen de x bajo f y se denota como y = f ( x ) Rango o recorrido Al conjunto de los elementos del codominio que corresponden a cada elemento del dominio se le llama CONJUNTO IMAGEN 0 RANGO o RECORRIDO de la función. Una función se puede representar mediante una expresión algebraica, una tabla de valores o una gráfica. A continuación se verán algunos ejemplos. Ejemplo 1. Determina si la función representada en la gráfica de la Figura 1.1 es o no una función, ¿cuál es el dominio y el conjunto imagen (rango)? La gráfica de la Figura 1.1 no representa a una función porque hay valores del dominio que están relacionados con más de un valor en el codominio. Por ejemplo, a x = −3 se le relaciona con dos valores: y = −1 y y = 4. Dominio: [ −4, 5 ) Figura 1.1

Conjunto imagen: [ −2, 8 )

Ejemplo 2. Determina si la función representada en la gráfica de la Figura 1.2 es o no una función, ¿cuál es el dominio y el conjunto imagen (rango)? La gráfica de la Figura 1.2 sí representa a una función porque cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento del codominio. Dominio: ( −5,4 )  ( 4,6 ) Conjunto imagen: [ −6, − 2 )  ( −1, 4] Figura 1.2

Ejemplo 3. Determinar el dominio y el rango de la función f ( = x)

x −3

Para que esta función esté definida en los números reales es necesario que x −3 ≥ 0

Por lo tanto el dominio es el intervalo x ≥ 3 . Para encontrar el rango observamos que f ( = x) x − 3 nunca es negativa al variar x en el dominio y siempre crece, luego el rango es el intervalo f ( x ) ≥ 0 . El dominio es: [3,∞ ) y el rango es: [0,∞ ) 2x + 1 x −3 Para que esta función esté definida en los números reales es necesario que x −3 ≠ 0 Por lo tanto el dominio son los valores de las x ≠ 3 , es decir la unión de intervalos ( −∞,3 )  ( 3, +∞ )

Ejemplo 4. Determina el dominio y rango de la función f ( x ) =

2x + 1 x −3 y ( x − 3 ) = 2x + 1

y f= (x) = Para el rango se tendría que hacer primero el despeje de la variable x

xy − 3 y = 2 x + 1 xy − 2 x = 3 y + 1

x ( y − 2) = 3y + 1 x=

3y + 1 y −2

De esta forma observamos que el rango es el conjunto de valores con y ≠ 2 , es decir, la unión de intervalos Evaluación de funciones

( −∞,2 )  ( 2, +∞ )

Si y = f ( x ) y a es un valor del dominio de f entonces f (a ) es el valor de y cuando x = a . Ejemplo 5. Si f ( x ) = x 2 + 2 x − 5 obtener f ( −3) El valor de f cuando x = −3 es: f ( −3) =( −3)2 + 2( −3) − 5 f ( −3) = −2 Ejemplo 6. Expresar la diagonal de un cuadrado en función de su lado. x Usando el teorema de Pitágoras se tiene: x 2 d= x2 + x2

d = 2x 2 d = 2x Como la diagonal es función del lado entonces

f ( x ) = 2x

Operaciones con funciones Las funciones se pueden operar para formar una nueva función. A continuación se muestran las operaciones que se pueden efectuar y se indica cuál es el dominio de la nueva función. Operación i) ii) iii)

( f + g )( x )=f ( x ) + g ( x ) ( f − g )( x )=f ( x ) − g ( x ) ( f ⋅ g )( x )=f ( x ) ⋅ g ( x )

f  f (x) iv)   ( x )= g( x ) g 

Dominio Domf + g = Domf  Domg Domf −g = Domf  Domg Domf  g = Domf  Domg

Dom = Domf  Domg − { x = g ( x ) 0} f g

Ejemplo 7. Si f (= x ) 2 x 2 − 1 y g ( x )= 3 − x 2 obtener ( f + g )( x ) y dar su dominio. La notación ( f + g )( x ) indica que se deben sumar las dos funciones, entonces

( f + g )( x )=

f ( x ) + g ( x )= 2 x 2 − 1 + 3 − x 2 = x 2 + 2 El dominio de la función suma es la intersección de los dominios de las funciones f ( x ) y g ( x ) , por lo tanto el dominio de la nueva función es ( −∞, +∞ ) . Otra operación es la composición, a continuación se indica cómo se efectúa tal operación. Composición de funciones La composición de la función f ( x ) con g ( x ) , se denota como ( f  g )( x )= f (g ( x )) y significa que debemos “evaluar” la función f ( x ) en la función g ( x ) , es decir que se tienen que sustituir las x de f ( x ) por la función g ( x ) . No siempre es igual

( f  g )( x )

a ( g  f )( x ) .

1 y g ( x )= x − 5 . x La notación ( f  g )( x ) señala la composición de funciones, entonces se tiene que

Ejemplo 8. ¿Cuál es el dominio de la función ( f  g )( x ) si f ( x ) =

1 x −5 El dominio de la composición de funciones es la intersección de los dominios de las funciones dadas excepto los valores que hacen cero el denominador de la nueva función. Por lo tanto el dominio de esta función es ( −∞,0) ∪ (0,5) ∪ (5, +∞ ) 1 Ejemplo 9. ¿Cuál es el dominio de la función ( f  g )( x ) si f ( x ) = y x −2 g(= x) x +1 .

( f  g )( x ) = f ( g ( x )) =

f ( x − 5) =

La notación ( f  g )( x ) señala la composición de funciones, entonces se tiene que

( f  g )( x=) f ( g ( x )=)

f ( x + 1) =

x +1− 2

El dominio de la composición de funciones es la intersección de los dominios de las funciones dadas excepto los valores que hacen cero el denominador de la nueva función. Por lo tanto el dominio de esta función es: {x ∈  / x − 2 ≠ 0}  {x ∈  / x + 1 ≥ 0}  x + 1 − 2 ≠ 0

{

}

{x ∈  / x ≠ 2}  {x ∈  / x ≥ −1}  {x ≠ 3} [ −1,2 ) ∪ (2,3) ∪ (3, +∞) Función inversa f −1( x ) es la función inversa de f ( x ) si:

f  f ) ( x ) (= f  f )(x) (= −1

−1

Ejemplo 10. Demostrar que las siguientes funciones son inversas una de la otra f (x) =

( f  g )( x=)

1 x+4

g( x ) =

1− 4x x

1 1 = = 1− 4x 1− 4x + 4x +4 x x

1 = x 1 x

 1  x+4−4 x 1− 4   +4  x= +4 x x += x= 4 )( x ) ( g  f= 1 1 1 x+4 x+4 x+4 Como (= f  g )( x ) (= g  f )( x ) x queda demostrado que f ( x ) y g ( x ) son funciones inversas una de la otra. Para encontrar la inversa de una función y = f ( x ) se despeja a x en términos de y; después se intercambian las variables. 1 x +3 Se expresa la función en términos de las variables x e y; luego se despeja a x.

Ejemplo 11. Encuentra la inversa de f ( x ) =

1 x +3

⇒

y ( x + 3) = 1

⇒

yx + 3 y = 1

⇒

1 − 3y y

1− 3x x 1− 3x f −1( x ) = x

Al intercambiar variables se tiene y = Por lo tanto la función inversa es Ejercicios

1. Determine cuál de las siguientes expresiones representa a una función. A) x 2 + y 2 = B) y 2 − 4 x = C) x 2 − 2y = D) y 2 − 3 x = 9 8 3 2y 2. El rango de la función f ( x ) = log x A) ( 0,+∞ )

B) ( −∞, +∞ )

es:

C) ( −∞,0]

3 − 8x tiene como dominio 8x − 6 B) ( −∞, − 38 ) ∪ ( − 38 , ∞ ) C) ( −∞, 34 ) ∪ ( 34 , ∞ )

D) [0,+∞ )

3. La función f ( x ) = A) ( −∞, 38 ) ∪ ( 38 , ∞ )

4. El dominio de la función f ( x= )

D) ( −∞, − 34 ) ∪ ( − 34 , ∞ )

6 − 4 x es 21

A) ( −∞, − 32 )

5. El dominio de la función f ( x ) = A)  − 35 , ∞ )

B) ( − 35 , ∞ )

6. El dominio de la función f ( x ) = A)  − 32 , ∞ )

B) ( − 32 , ∞ )

7. El dominio de la función f ( x ) = A) ( − 21 , ∞ )

B)  − 21 , ∞ )

8. El dominio de la función f ( x ) = A) ( −∞, − 92 )

C) ( − 32 , ∞ )

B) ( −∞, 32 

D)  32 ,∞ )

4x − 1

es 5x + 3 C) ( −∞, − 35 

D) ( −∞, − 35 )

9x + 6 es 3 C) ( −∞, 32 

D) ( −∞, 32 )

2x + 1 es 3 C) ( − 32 , ∞ )

D)  − 32 , ∞ )

−2 − 9 x es

B) ( − 92 , ∞ )

C)  − 92 , ∞ )

D) ( −∞, − 92 

9. Se desea cercar un terreno rectangular con 240 m. de cerca. Si x representa la longitud del terreno, la función de x que representa el área del terreno es: A) 240 − x 2 B) 240x − x 2 C) 120 − x 2 D) 120x − x 2 10. Si f ( x ) = x 2 A) 4

y g( x ) = B) 3

2 , entonces el producto f (1) g (1) es igual a: x C) 2 D) 1

11. Una función lineal es la función: 1 2 A) f (= B) f ( x= x) ) +1 +1 2x x

C) f (= x ) 2x 3 + 1

12. La función inversa de la función f ( x= ) 5 x + 3 es: 5 1 A) C) B) − 5 x − 3 5x + 3 x −3 13. Si f ( x ) = 2 x A) 0

D) f ( x= ) 2x + 1

x −3 5

el resultado de f (0) + f (1) es igual a: B) 1 C) 2

D) 3

f (5 + h ) − f (5) es igual a h B) 10 + h C) 30 + 3h

D) 30 + 3h 2

14. Si f ( x ) = 3 x 2 entonces A) 3h

15. Una agencia de renta de automóviles cobra $500 diarios más $0.50 por kilómetro recorrido. La función que representa el costo del alquiler de un automóvil por un día en función de los kilómetros ( x ) recorridos es A) (500 + 0.50)x

B) 500 x + 0.50

C) 500 x − 0.050

a 16. Si f ( x ) = log x entonces f   − f (ab ) es igual a b  1 B) f b 2 C) f  2  A) f a 2 a 

( )

D) 500 + 0.50x

 1 D) f  2  b 

Bibliografía 1. Dowling, Eward T., Cálculo para Administración, Economia y Ciencias Sociales. Mexico, Mc Graw Hill, 1997 2. Bosch, Carlos et al., Cálculo Diferencial e Integral. México, Publicaciones Cultural, 2001. 3. De Oteyza, Elena et al., Conocimientos fundamentales de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral. México, Pearson Educación, 2006. 4. Hoffmann, Laurence D., Bradley, Gerald L., Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales, Colombia, Mc Graw Hill, 1999. 5. Mora, Emiliano, Del Río, María, Cálculo Diferencial e Integral (Ciencias Sociales y Económico-Administrativas), México, Santillana, 2008

UNIDAD 3

LA DERIVADA Propósitos En esta unidad el alumno obtendrá límites y derivadas de funciones y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Resolverá problemas aplicando el concepto de derivada. Límite (significado intuitivo) DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE Se dice que una función f tiene límite L en x = a si al tomar valores cercanos a a, las imágenes de éstos también son cercanos a L. Se denota como lím f (x ) = L , se lee como “el límite de la función f cuando x→a

x tiende a a, es L”.

La noción de límite está asociada con el comportamiento de la función cerca de a, pero no en a. Dicho comportamiento se puede analizar a través de una tabla de valores o de la gráfica de la función. Ejemplo1. En la gráfica de la función f mostrada en la Figura 3.1, se tiene que lím f (x ) = 2 , x →1

pues para valores cercanos a 1 (en el dominio de la función), las imágenes se aproximan a 2.

Figura 3.1

Ejemplo 2 En la Figura 3.2 se muestra la gráfica de una función g. Se puede observar que para valores cercanos a − 2 por la derecha, sus imágenes se aproximan a 4, por lo tanto g tiene límite lateral derecho lím g(x ) = 4 x→−2 +

mientras que para los valores cercanos a − 2 por la izquierda, sus imágenes se aproximan a 3, es decir lím g(x ) = 3 x→−2 −

Figura 3.2

Así, la función no tiene un límite único, pues las imágenes de los valores cercanos a − 2 no se aproximan a un único valor, y aunque existen los límites laterales derecho e izquierdo, al no ser iguales, decimos que lím g(x ) no x→−2

existe. Ejemplo 3. Analiza si la función H(x ) = − 21 x tiene límite si x = 2 Al tomar valores cercanos a 2 por la izquierda, sus imágenes se acercan a es decir, lím H(x ) = −1 x→2 −

x 1.8 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 1.999999

H(x) -0.9 -0.95 -0.995 -0.9995 -0.99995 -0.999995 -0.9999995

-1,

Al tomar valores cercanos a 2 por la derecha, sus imágenes se acercan a -1, es decir, lím H(x ) = −1 x→2 +

x 2.2 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.0000001

H(x) -1.1 -1.05 -1.005 -1.0005 -1.00005 -1.000005 -1.0000001

Se puede observar, tanto en la tabla de valores como en la gráfica, que al tomar valores cercanos a 2 (por la dercha y por la izquierda), las imágenes se aproximan al valor -1. Por lo tanto lím H(x ) = −1 x→2

Figura 3.3

Para determinar el límite de una función se pueden utilizar los siguientes teoremas Algunos teoremas sobre límites

Si a,c ∈ ℜ y si f ( x ) y g ( x ) tienen límite cuando x → a entonces: 1. lím x = a x→ a

2. lím c = c x→ a

3. lím ( f ( x ) + g ( x ) )= lím f ( x ) + lím g ( x ) x→ a

x→ a

4. lím ( f ( x ) g ( x ) ) = lím f ( x ) lím g ( x ) x→ a

x→ a

f (x) f ( x ) xlím →a = x→ a g( x ) lím g ( x )

5. lím

x→ a

Ejemplo 4. Obtener lím x x→ − 9

lím g ( x ) ≠ 0

x→ a

y lím 4 x→ 6

Usando los teoremas anteriores se tiene que lím x = − 9 y lím 4 = 4 x→ 6

x→ − 9

x +3 x →−5 2 − 4 x Usando los teoremas sobre límites se tiene que: lím ( x + 3 ) lím x + lím 3 x +3 −5 + 3 −2 1 x →−5 x →−5 lím = x →−5 = = = = − x →−5 2 − 4 x lím ( 2 − 4 x ) lím 2 − lím 4 lím x 2 − ( −20) 22 11 x →−5

Ejemplo 5. Obtener

lím

x →−5

(

x →−5

)(

x →−5

)

Límites indeterminados

f (x)

se tiene que lím f ( x ) = 0 y lím g ( x ) = 0 , x→ a x→ a g (x) se dice que se tiene un límite indeterminado, y dependiendo del tipo de funciones que sean f ( x ) y g ( x ) se puede “quitar” la indeterminación por medio una factorización, racionalizando las funciones que contengan raíz cuadrada o resolviendo las operaciones involucradas. Si al calcular el límite lím

x→ a

Ejemplo 6. Obtener

x 2 − 4 x − 12 lím x→ 6 x −6

Esta función presenta indeterminación para x = 6 , por lo que podemos factorizar el numerador y simplificar para tener una función que no presente indeterminación y sea igual a la original para todo valor de x , a excepción de 6, y por lo tanto su límite sea el límite de la función original. x 2 − 4 x − 12 ( x − 6)( x + 2) = lím = lím( x + 2) = 6 + 2 = 8 x →6 x → 6 x →6 x −6 x −6

lím

Ejemplo 7. Hallar el lím

x →1

x −1 x −1

Esta función presenta indeterminación en x = 1 . Para tener una función que no presente indeterminación y que sea igual a la función dada para todo valor, excepto para 1, es necesario racionalizar el numerador. + 1) )( x= ( x + 1)

(

x −1 x −1 lím = lím x →1 x − 1 x →1 ( x − 1)

x −1 1 = lím = x →1 ( x − 1) x + 1 x →1 x + 1

lím

(

)

1 1 = 1+1 2

Límites cuando x → ∞ Para obtener los límites cuando x → ∞ se toman en cuenta los siguientes teoremas. Sea n un número entero positivo. 1. lím C = C x→ ∞

1 =0 x→ ∞ x n 1 3. lím n = 0 x→ − ∞ x

2. lím

Para obtener el límite de una función racional cuando x → ∞ se divide el numerador y el denominador entre la potencia máxima del denominador. Ejemplo 8. Obtener lím

x→ ∞

1− x 2 3x 2 − 5x − 2

1− x 2 1 −1 2 1− x x x2 = = lím lím lím x→ ∞ 3x 2 − 5x − 2 x→ ∞ 3x 2 − 5x − 2 x→ ∞ 5 2 3− − 2 2 x x x 1 lím 2 − lím 1 0 −1 1 x→ ∞ x x→ ∞ = = = − 5 2 3 lím 3 − lím − lím 2 3 − 0 − 0 x→ ∞ x→ ∞ x x→ ∞ x 2

4 x − 2x 2 + 3 x 3 Ejemplo 9. Obtener el lím x→ ∞ x 2 + 2x − 1

4 x − 2x 2 + 3 x 3 4 x 2x 2 3 x 3 − 2 + 2 4 x − 2x + 3 x x2 x2 x x = = lím lím lím x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞ x 2 + 2x − 1 x 2 + 2x − 1 x 2 2x 1 + − x2 x2 x2 x2 4 4 − 2 + 3 x lím − lím 2 + lím 3 x −2 + ∞ x→ ∞ x x→ ∞ x→ ∞ x = lím = = = ∞ x→ ∞ 2 1 2 1 1 1+ − 2 lím 1 + lím − lím 2 x→ ∞ x→ ∞ x x→ ∞ x x x 2

Ejercicios 1. El lím 2

x −5 3

x →2

es igual a:

A) –2

B) − 21

1 2

D) 2

2 5

x 2 − 2x es igual a: x →2 x 2 + x − 6

2. El lím

A) –1

B) 0

4 5

x2 − x − 6 es igual a x →3 x −3

3. El lím A) 0

B) 5 x − 2 x − 15 4. El lím 2 es igual a x →5 x − 6 x + 5

C) 8

D) 9

A) 0

D) 2

5 27

1 3

x2 − 4 5. El lím 2 es igual a x →2 x + 3 x − 10 A)

4 7

( x − 2) 6. El lím x →0

−4

A) 2

x →0

A) 2 5

−5

x →0

1 2 2

x →0

C) −2

D) −4

D) 0

x+2− 2 es x

B) 2 2

9. El valor de lím

D) 0

es igual a

B) −2 5

8. El valor de lím

C) −1

es igual a B) 0

(x + 5) 7. El lím

2 5

x +9 −3 es 3x

C) 1

D) 0

A) 1

10. El valor de lím x →0

x +3 − 3 B)

A) 10 3 11. El valor de lím x →0

x +4 −2

1 18

D) 0

5 3

D) 0

5 2 3

x +5 − 5 B)

A) 2 5

1 3 5x

es C)

5 2

2 5

1 2 5

x + 4x − 3 es igual a x →∞ 5 x 2 − 2 x + 1

12. El lím A) −3

1 5

C) 1

D) ∞

C) 0

D) −3

D) 0

2x 4 − 5 x + 3 es igual a x →∞ 6 x 5 + 2 x − 1

13. El lím A) ∞

1 3

2 − 3x 2 + 5x3 es igual a x →∞ 6 x + 2x 2

14. El lím A) ∞

5 2

1 3

1− 3x es igual a x →∞ 4 + 5 x

15. El lím A) ∞

Derivada

C) 0

1 4

D) − 35

Sea y = f ( x ) una función, la derivada de f se denota por:

f ( x ) ó f ' ( x ) ó Dx f ( x ) y se define como: f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ´( x ) = lím ∆x →0 ∆x Obtener la derivada de la función f (= x ) 8 x 2 − 3 usando la definición. d dx

Ejemplo 9.

Lo primero que obtendremos es el incremento de la función: f ( x + ∆x ) − f = ( x ) 8( x + ∆x )2 − 3  − (8 x 2 − 3) = 8( x 2 + 2 x ∆x + ∆ 2 x ) − 3 − 8 x 2 + 3 = 8 x 2 + 16 x ∆x + 8∆ 2 x − 3 − 8 x 2 + 3 = 16 x ∆x + 8∆ 2 x

Al dividir el incremento de la función entre el incremento de la variable (razón de incrementos) se obtiene: f ( x + ∆x ) − f ( x ) 16 x ∆x + 8∆ 2 x = ∆x ∆x = 16 x + 8∆x Y por último se obtiene el límite: f ( x + ∆x ) − f ( x ) lím = lím (16 x += 8∆x ) 16 x ∆x →0 ∆x →0 ∆x d 8x 2 − 3 ) 16 x f ´= = (x) ( dx Para encontrar la derivada de una función, se utilizan algunas de las siguientes fórmulas FÓRMULAS DE DERIVACIÓN Sean u y v funciones y c, n ∈ ℜ d (c ) = 0 dx d (x) =1 dx d x n = nx n −1 dx d 1 x = dx 2 x d d d d w) (u + v −= ( u ) + (v ) − (w ) dx dx dx dx d d d = (uv ) u (v ) + v (u ) dx dx dx d d v ( u ) − u (v ) d u  dx dx = dx  v  v2 d d ( cu ) = c (u ) dx dx d n d u = nu n −1 ⋅ (u ) dx dx d (u ) d u = dx dx 2 u d (u ) d (ln u ) = dx dx u d (u ) d dx = log u ( a ) u ln a dx d u d e = eu ⋅ ( u ) dx dx d d au au ln a ⋅ (u ) = dx dx

( )

 x  Ejemplo 10. Derivar la función f ( x ) =  2   x − 1 Usando las fórmulas de derivación se tiene:

d  x   x  d  x  = 2 2     2  2 dx  x − 1   x − 1  dx  x − 1 

d d 2  2  ( x − 1) ( x ) − x ( x − 1)   x  dx dx = 2 2   2 2 1 ( 1) x − x −      2  x   ( x − 1)(1) − x(2 x )  = 2 2   ( x 2 − 1)2  x − 1  

2( x )( x 2 − 1 − 2 x 2 ) 2 x ( − x 2 − 1) = = ( x 2 − 1)( x 2 − 1)2 ( x 2 − 1)3 =

−2 x 3 − 2 x ( x 2 − 1)3

Ejemplo 11. Encuentra la derivada de la función g ( x ) = e

Usando las fórmulas de derivación se tiene

( )´ e= ( x )´

g´( x ) = e

= =

 1    2 x 

2 x

Ecuación de la recta tangente Geométricamente, el significado de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Figura 3.4

En la Figura 3.4, la pendiente de la recta secante PQ está dada por

= mPQ

f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) = ∆x ( x1 + ∆x ) − x1

Si ∆x tiende a cero, entonces el punto Q tiende al punto P. Así, la pendiente de la recta secante PQ tiende a la pendiente de la recta tangente en P. Entonces f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) m tangente en P = lím ∆x → 0 ∆x Por lo tanto m tangente= f= ´( x1 ) en P

lím

∆x → 0

f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) ∆x

Sea f una función, para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de coordenadas P ( x1, f ( x1 ) ) se utiliza la fórmula

y − f ( x1 ) =m ( x − x1 ) , donde m es la pendiente que se obtiene al derivar a

la función y evaluando en x1 , es decir, m = f '( x1 ) . La ecuación de la recta tangente se puede escribir en su forma general Ax + By = 0 o en su forma pendiente y ordenada al origen= y mx + b . La ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f en un punto P ( x1, f ( x1 ) ) es aquella que es perpendicular a la recta tangente. Si m1 es la pendiente de la recta tangente, entonces la pendiente de la 1 recta normal m2 está dada por: m2 = − m1 La derivada de la función, evaluada en un punto P ( a, f (a ) ) , es la pendiente de la tangente a la curva en el punto dado, es decir m = f '(a ) y para encontrar la ecuación de la recta tangente en ese punto utilizamos

y − f (a ) = m ( x − a ) y se puede escribir la ecuación como Ax + By = y mx + b 0 o de la forma= Ejemplo 11. Hallar la ecuación de la tangente a la curva el punto P (2,4) La derivada de la función es: f '(= x ) 3x 2 − 2 Evaluando la derivada en x = 2 se tiene: f '(2) = 3(2)2 −= 2 10

f ( x= ) x 3 − 2x

y −= 4 10( x − 2)

Sustituyendo P (2,4) y m = 10 en la ecuación punto pendiente de la recta se tiene:

La ecuación de la recta tangente es 10 x − y − 16= 0

o bien y= 10 x − 16

Intervalos donde crece o decrece una función La derivada de una función da información acerca del comportamiento de la función original como se muestra en el siguiente resultado. Sea f una función continua en un intervalo [a, b ] y derivable en todo valor de ( a, b ) , entonces: i) Si f '( x ) > 0 para toda x ∈ ( a, b ) , entonces f es creciente en ( a, b ) . ii) Si f '( x ) < 0 para toda x ∈ ( a, b ) , entonces f es decreciente en ( a, b ) . Ejemplo 12. Encuentra el(los) intervalo(s) donde la función f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 − 13 es decreciente. Hay que encontrar los valores en los que la derivada es negativa. Entonces f ´(= x ) 6 x 2 + 18 x , ahora hay que resolver 6 x 2 + 18 x < 0 , es decir, 6 x ( x + 3 ) < 0 . Las raíces de la derivada son x = − 3 y x = 0 , en la siguiente tabla se analizará el signo de la derivada al tomar un valor intermedio de cada intervalo, sustituirlo en cada factor de la derivada. Intervalos

( − ∞, − 3 ) ( − 3, 0 ) ( 0, ∞ )

Signo en

Signo en f´

( x + 3)

f= ´( x ) 6 x ( x + 3 )

Como el signo de la derivada es negativo en el intervalo ( − 3, 0 ) , entonces la función es decreciente en ese mismo intervalo. Puntos máximos y mínimos de una función

Sea f una función, decimos que x = a es un punto crítico de f si f '( a ) = 0 o si no existe. Para obtener los puntos máximos o mínimos de una función f se puede utilizar lo que se conoce como criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos que dice: Si f '(a ) = 0 y f ''(a ) > 0 entonces f ( x ) tiene un mínimo en x = a Si f '(a ) = 0 y f ''(a ) < 0 entonces f ( x ) tiene un máximo en x = a

Ejemplo 12. Encontrar el punto máximo y mínimo de la función f ( x ) = x 2 + 8 x + 16 Primero se encuentran los puntos críticos de f, es decir, los valores x que hacen que la derivada sea cero. Entonces: ) 2x + 8 f '( x= 2x + 8 = 0 x = −4

La función tiene un punto crítico en x=-4. Usando el criterio de la segunda derivada se tiene que f ''( x ) = 2 , la cual es positiva para cualquier valor de x, en particular para x=-4. Así f ''( − 4) > 0 lo que indica que la función tiene un mínimo en x = − 4 . Si se sustituye el valor de x = − 4 en la función f, es decir, f ( −4) =( −4)2 + 8( −4) + 16 =0 Observamos que la función tiene mínimo en el punto Pmín ( −4,0) El valor máximo es f ( −4) = 0 f no tiene valor máximo, pues sólo tiene un punto crítico, y en éste hay un mínimo. Puntos de inflexión y sentidos de concavidad Sea f una función, decimos que i) f es cóncava hacia arriba si la recta tangente en cada punto de la gráfica de f, queda por debajo de ella. Figura 3.5 a) ii) f es cóncava hacia abajo si la recta tangente en cada punto de la gráfica de f, queda por arriba de ella. Figura 3.5 b) iii) P ( a, f (a ) ) es un punto de inflexión de f si en él hay un cambio en el sentido de concavidad de la curva. Figura 3.5 c)

b) Figura 3.5

Para determinar los puntos de inflexión e intervalos en donde la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo se utilizará el siguiente criterio: Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto ( a, b )

i) Si f ''( x ) > 0 para toda x ∈ ( a, b ) , entonces f es cóncava hacia arriba en ( a, b ) . ii) Si f ''( x ) < 0 para toda x ∈ ( a, b ) , entonces f es cóncava hacia abajo en ( a, b ) . iii) Si f ''(c ) = 0 entonces el punto P ( c, f (c ) ) es candidato a ser punto de inflexión (se tiene que analizar si al tomar un valor antes de c y después de c cambia el signo de la segunda derivada). Ejemplo 13. Determina el(los) punto(s) de inflexión de la función G( x ) = x 3 − 2 x 2 + x + 1 Hay que encontrar los valores donde la segunda derivada se haga cero, es decir, 2 3 En la siguiente tabla se analizará el signo de la segunda derivada al tomar un valor 2 a la izquierda y un valor a la derecha de x = 3

G´( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1

⇒

G´´( x ) = 6 x − 4

Intervalos

2   − ∞, 3    2   3, ∞  

Para valores de x a la izquierda de

6x − 4 = 0

⇒

Signo en G´´

G´´( x= ) 6x − 4 +

2 , la función es cóncava hacia abajo y para 3

2 , la función es cóncava hacia arriba; por lo tanto el 3  2  2  punto de inflexión de f está dado por P  , G    , pero  3  3 

valores de x a la derecha de

8 8 2 29 2 2 2 2 G  =   − 2   + + 1= − + + 1= 27 9 3 27 3 3 3 3  2 29  Por lo tanto P  ,  es el punto de inflexión.  3 27 

Ejercicios 1. La derivada de la función f ( x ) = xe 2 x es igual a: A) 2e 2 x B) 1 + 2e 2 x C) e 2 x ( x + 1) D) e 2 x (2 x + 1) 2. Los puntos máximo y mínimo de la función f ( x ) =x 3 − 27 x + 1 son: A) PMáx (3,55) , Pmín ( −3, −53)

B) PMáx ( −3,55) , Pmín (3, −53)

C) PMáx (3, −55) , Pmín ( −3, −53)

D) PMáx ( −3, −55) , Pmín (3,53)

3. La ecuación de la recta normal a la gráfica f (= x ) 3 x 2 − 5 x en el punto P (1, − 2) es: A) x + y + 1 = B) x − y − 3 = C) x − y + 1 = D) x + y + 3 = 0 0 0 0 4. Al obtener la derivada de la función f ( x )= 1 − 3 x 2 usando la definición de derivada, el cociente de los incrementos es: B) 6 x ∆x − 3∆x C) 6 x + 3∆x D) −6 x − 3∆x A) 6 x − 3∆ 2 x 5. La derivada de la función = f (x) A)

− 3 (2 x 3 − 5) 4 4

− 9 x (2 x 3 − 5) 4 2

(2 x 3 − 5)3 es:

− 1 2 x (2 x 3 − 5) 4 8

− 9 2 x (2 x 3 − 5) 4 2

6. La pendiente de la tangente a la curva f ( x ) = 2e3 x en el punto P ( 0, f (0) ) es A) 0 B) 2 C) 3 D) 6 7. La A)

d  x  es dx  1 + x 2 

1 2x

−2 x 2 1+ x 4

1− x 2

(1 + x ) 2

3x 2 − 1

(1 + x ) 2

8. Si f ( x ) = x 3 − x + 2 x 2 − 2 entonces f '(1) tiene el valor de A) 8 B) 2 C) 0 D) 6 9. La ecuación de la tangente horizontal a la curva f ( x ) =x 2 − 10 x + 26 es A) y + 5 = B) y + 1 = C) y − 1 = D) y − 5 = 0 0 0 0  1+ x  10. La derivada de la función f ( x ) = ln   es  1− x  2 2 2x A) B) C) 2 2 1− x 2 (1 + x ) (1 + x )

2x 1− x 2

11. El(los) intervalo(s) donde la función f ( x= ) x 4 − 4 x 3 es creciente es(son)

A) ( − ∞, − 2 )  (1, ∞ )

B) ( − 2, 1)

C) ( − 1, 2 )

D) ( − ∞, − 1)  ( 2, ∞ )

12. Los puntos de inflexión de la función f ( x= ) x 4 − 4 x 3 son A) ( 0, 0 ) y ( −2, 48 ) B) ( 0, 0 ) y ( 2, − 16 ) C) ( 0, 0 ) y d dx

13. La

( 2, 16 )

(

D) ( 0, 0 ) y

)

x − 3 x + 4 x es

A) 2 x − 3 3 x 2 + 4 4 x 3 C)

−

1 2 x

1 3 3 x2

d 14. La dx

43 x 3

(

( −2, − 48 )

B) D)

1 4 4 x3

x 2 2 x

)

3 2

− 3x + − 3 32 + x

4 3 x 4 4 4 3 x

x 4 + x 3 − 5 x 6 es 5

+ 3 2x − 6 5 x

33 x 4

+ 2 3x − 5 6x

33 x

+ 2 3x −

55 x

1 1 1 d + 3 + 5 entonces f ( x ) es igual a 2 dx x x x 1 1 1 1 1 1 2 3 5 A) − − 2 − 4 B) C) − − 2 − 4 − 2+ 4 2x 3 x x x x x 5x x x

43 x

+ 3 2x −

65 x

15. Si f ( x ) =

d  3 2 5  + 4 − 7  es  2 dx  5 x 7x 8x  6 8 35 A) − − 3+ 6 5x 7x 8x

D) −

2 3 5 − 4− 6 3 x x x

16. La

C) −

6 8 35 − 5+ 8 3 5x 7x 8x

D) −

17. La derivada de la función f ( x ) = A)

−4

( x − 2)

18. La A) 2e

d e dx 2x

3 2 5 + − 3 10 x 28 x 56 x 6

−4 x −4

2x es x −2 C)

( x − 2)

3 2 5 − 5+ 8 3 5x 7x 8x

2x x −4 2

es igual a B) 2 2 x e

2 2x 4

19. La abscisa del punto máximo de la función f ( x ) =x − 2 x + 1 es A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 20. La derivada de la función = f (x) 3 1 A) B) 2 6x − 3 2 6x 2 − 3

6 x 2 − 3 es 6x C) 6x 2 − 3

12 x 6x 2 − 3 37

Bibliografía 1. Dowling, Eward T., Cálculo para Administración, Economia y Ciencias Sociales. Mexico, Mc Graw Hill, 1997 2. De Oteyza, Elena et al., Conocimientos fundamentales de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral. México, Pearson Educación, 2006. 3. Hoffmann, Laurence D., Bradley, Gerald L., Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales, Colombia, Mc Graw Hill, 1999. 4. Bittinger, Marvin L., Cálculo para ciencias económico-administrativas, Addison Wesley, 2002. 5. Hungerford, Lial, Matemáticas para administración y economía, Prentice Hall, 2000.

UNIDAD 4

LA INTEGRAL Propósitos En esta unidad el alumno reconocerá el concepto de integral indefinida y definida, calculará algunas integrales directas y por el método de sustitución o cambio de variable. Función primitiva Sea y = f ( x ) una función, decimos que F ( x ) es una primitiva (o antiderivada) de f si se cumple que: d ( F ( x )) = f ( x ) dx Se debe recordar que, como la derivada de una constante es cero, entonces hay más de una primitiva de una función. Estas se forman sumándole una constante distinta a cualquier primitiva encontrada. Ejemplo 1. Hallar la primitiva de f ( x ) = 3 x 7 Se debe encontrar una función tal que su derivada sea 3x 7 . Para ello se le suma 1 al exponente y se divide entre el resultado esa suma. Entonces la primitiva puede x ) 38 x 8 + 2 , o cualquier otra que se x ) 38 x 8 + 20 ó F (= ser F ( x ) = 38 x 8 ó F (= obtenga al sumar un valor constante a la función F ( x ) = 38 x 8 . En general la función primitiva es F (= x) pues

d d F ( x )) = ( dx dx

(

3 8

x8 + C

donde C es una constante,

)

x 8 + C = 3x 7 = f ( x )

Ejemplo 2. Hallar la primitiva de la función f ( x ) = e x . La función primitiva puede ser F ( x ) = e x ó F ( x= ) e x + 5 ó F ( x=) e x + 7 , o cualquier otra que se obtenga al sumar un valor constante a la función F ( x ) = e x Para representar a todas las posibles soluciones se escribe F ( x= ) e x + C donde C es una constante pues d d F ( x )) = ex + C = ex = f (x) ( dx dx

(

)

Ejercicios 1. La función primitiva de 5x es A)

5 3

x2 + C

5 2

C) 5x 2 + C

x2 + C

1 5

x2 + C

2. Encuentra la primitiva de 3x 4 A)

5 3

x5 + C

3 5

x5 + C

1 5

x5 + C

D) 3x 5 + C

3. La primitiva o antiderivada de x 2 + 1 es A) 31 x 3 + x + C

2 3

x3 + x + C

C) x 3 + x + C

C) −2x + C

D) −2x 3 − C

4 3

x3 + x + C

4. La función primitiva de x −2 es A) − x −1 + C

B) − x −3 + C

5. La función primitiva o antiderivada de A) x ln x + x 2 + C

B) 2ln x + 21 x 2 + C

2 + x es x

2 + x2 + C ln x

1 + 21 x 2 + C 2 2x

6. De las siguientes funciones la primitiva de 7e x es A) 7e x +1 + C

B) 7e x + C

7 x +1

e x +1 + C

D) 7e7 x + C

Integral indefinida A la función primitiva F de una función f se le conoce como integral indefinida y se denota por ∫ f ( x= ) dx F ( x ) + C se lee “la integral de f ( x ) con respecto a x , es F ( x ) + C ”. A f se le llama integrando A F se le conoce como integral de f ( x ) A C se le conoce como constante de integración. A dx se le conoce como la diferencial de x e indica que se está integrando con respecto a la variable x.

Ejemplo 3. La antiderivada de f ( x ) = 4 x 3 − 5 x 2 + 1 es F ( x ) = x 4 − 53 x 3 + x + C . Lo cual se denota por

∫ ( 4x

)

− 5 x 2 + 1 dx = x 4 − 53 x 3 + x + C

No todas las funciones tienen una función primitiva, sin embargo las que sí, se obtienen usando teoremas, fórmulas y métodos de integración. A continuación se presentan los teoremas y las fórmulas que se estudian en las asignaturas de Matemáticas VI, áreas III y IV. Teoremas de integración TEOREMAS DE INTEGRACIÓN

∫ dx= x + C ∫ k f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ∫ ( f ( x ) + g ( x )) dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx n dx ∫ x=

x n +1 +C n +1

x ∫ x d=

ln x + C

x ∫ e d=

ex + C

para n ≠ −1

x n +1 Se debe resaltar que la fórmula ∫ x= + C se utiliza para integrar potencias dx n +1 de x a excepción de -1, es decir n ≠ −1 . n

Ejemplo 4.

∫x

Ejemplo 5.

∫x

199

Ejemplo 6.

∫x

−3

Ejemplo 7.

∫x

Ejemplo 8.

∫

d= x

= dx

d= x

x dx =

x4 4

x100 100

x −2 −2

∫x

−5

1 2

d= x

∫ x dx =

x −4 −4

+C ,

3 2

x 2 32 x +C +C = 3 3 2 41

Ejemplo 9.

∫

1 7

dx =

∫x

−4 7

dx =

3 7

x 7 37 x +C +C = 3 3 7

1 x n +1 −1 n La integral ∫ dx = ∫ x dx no se puede resolver con la fórmula ∫ x= +C , dx x n +1 pues si se aplica, n + 1 = 1 + (−1) = 0 y se estaría dividiendo entre cero. La fórmula 1 1 d que se utiliza para este caso es ∫ d = x ln x + C ya que (ln x ) = . x dx x Ejemplo 10. Obtener la ∫ (3 x 2 + 8 x − 5)dx

Para obtener la integral, se usan los teoremas de integración, entonces

∫ (3 x

x + 8 x − 5)d = =

… por la tercera fórmula

∫ 3 x dx + ∫ 8 xdx − ∫ 5dx 3 ∫ x dx + 8 ∫ xdx − 5 ∫ dx 2

… por la segunda fórmula

3x 8x + − 5x + C 3 2

… para los dos primeros sumandos por la cuarta fórmula, y para el tercer sumando por la primera fórmula.

∴ ∫ (3 x 2 + 8 x − 5)dx = x 3 + 4 x 2 − 5 x + C

Se puede comprobar el resultado derivando con respecto a x el segundo miembro de la igualdad para obtener el integrando, es decir que d ( x3 + 4x 2 − 5x + C ) = 3x 2 + 8x − 5 dx Ejemplo 11. Hallar la integral de la función x 9 − 4 x 6 − 2e x con respecto a x . Aplicando los teoremas y las fórmulas de integración se tiene que

∫(x =

)

− 4 x 6 − 2e x d= x

∫x

x10 x7 −4 − 2e x + C = 10 7

1 10

dx − ∫ 4 x 6 dx − ∫ 2e x d= x x10 − 74 x 7 − 2e x + C

Ejercicios 1. La ∫ ( x 2 + 4 x )dx es A) x 3 + 4 x 2 + C

B) x 3 + 2 x + C

1 3

x 3 + 2x 2 + C

2. Al integrar 32 x 4 + 5 x − 5 con respecto a x se obtiene A) B) C) 5 2 5 2 2 1 5 x + 5 x − 5 x + C 15 x + 2 x − 5 x + C 83 x 3 + 5 x 2 − 5 x + C 6 42

D) 2 x 3 + 4 x 2 + C

D) 10 3

x 5 + 10 x 2 − 5 x + C

1 5  3. La ∫  x3 − 4x 2 + x + 2 dx es 2 4  4 5 4 3 1 2 A) 16 x − 3 x + 4 x + 2 x + C C)

5 2

x 4 − 2 x 3 + 41 x 2 + 2 x + C 1

15 4

x 4 − 38 x 3 + 21 x 2 + 2 x + C

25 4

x 4 − 8 x 3 + x 2 + 2x + C

4. Al integrar 2 x 3 + 4 x 2 + 6 x 5 + 1 con respecto a x se obtiene 3

A) 3 x 3 + 2 x 2 + 10 x 5 + x + C C)

3 2

x 3 + 85 x 2 + 30 x5 + x +C 7

8 3

x 3 + 10 x 2 +

4 3

x 3 + 8 x 2 + 185 x 5 + x + C

42 5

x5 + x +C 3

Integración por cambio de variable A las integrales anteriores se les conocen como integrales inmediatas, sin embargo existen funciones de las que no se pueden obtener tan rápidamente su primitiva y se tienen que utilizar diferentes métodos para obtenerla. Para los objetivos de esta guía sólo se tratará el método de cambio de variable, pero antes se definirá lo que es la diferencial de una función. Sea y = f ( x ) una función. La diferencial de y , denotada por dy , se define como el producto de la derivada de la función, por la diferencial de x, es decir,= dy f ´( x ) ⋅ dx Ejemplo 12. a) Sea y = 4 x 2 , entonces la diferencial de y está dada por: dy = 8 x dx 3 3 b) La diferencial de u = es du = − 2 dx x x 1 c) La diferencial de w = p es dw = dp 2 p El método de cambio de variable se utiliza cuando el integrando se puede reescribir como producto de una nueva función u ( x ) por su diferencial du = u´( x )dx (salvo por un factor constante).

= ∫ f ( x ) dx

u( x )u '( x )dx ∫ u( x ) du ∫=

(

)

Ejemplo 13. Obtener ∫ 3 x 3 − 2 x 2 dx Si consideramos a la nueva función u( x= ) x 3 − 2 entonces du = 3 x 2 dx Así, la integral se puede reescribir como

∫3(x

)

(

)

3 2 7 − 2 x 2 dx = ∫ x − 2 3 x dx = ∫ u du

Este cambio de variable sirve para que la “nueva” integral sea directa, del tipo u8 7 n n . Entonces x d x = u d u u d = u + C . Al sustituir el valor de = u x 3 − 2 , se ∫ ∫ ∫ 8

u8 3 2 7 x − x x = u u = +C = 3 2 d d ∫ ∫ 8

(

tiene que

)

Ejemplo 14. Obtener

∫

−2

)

3 + 2 x dx

Si u= 3 + 2 x entonces du = 2 dx . En este caso dentro del integrando no se tiene 2 dx sino que solo está dx , por lo que se multiplica y divide por 2 a dx y se tiene: 2dx 1 = ∫ 3 + 2 x 2dx 2 2 Al sustituir 3 + 2x por u y 2 dx por du , es decir, al hacer el cambio de variable, la integral queda, en términos de u como 1 1 3 + 2 x 2dx = u du ∫ 2 2∫ Que es una integral directa que se puede integrar con la segunda fórmula

∫

3 + 2x

3 1 1 21 1 u2  1  2  2 u u u u C u d = d = + =  2   3  + C= 2∫ 2∫ 2 3    2 1 32 1 3 u + C= u +C = 3 3

Como u= 3 + 2 x se tiene que 1 3 ∫ 3 + 2 x dx = 3 ( 3 + 2 x ) + C Ejemplo 15. Obtener Si = u x 4 − 2x

∫ ( 2x

)

− 1 ex

entonces

(

4 −2 x

dx .

su diferencial es = du

)

( 4x

)

− 2 dx que se puede

reescribir como = du 2 2 x 3 − 1 dx . Para tener completa la integral, el integrando se multiplica y se divide por 2, es decir,

∫ ( 2x

)

− 1 ex

4 −2 x

(

)

x 3 dx = ∫ ( 22 ) 2x − 1 e

4 −2 x

(

Al hacer el cambio de variable se obtiene

∫ ( ) ( 2) ( 2x 1 2

)

− 1 ex

4 −2 x

)

x 3 dx = ∫ ( 21 ) ( 2 ) 2x − 1 e

u u dx = ∫ 21 e du =21 ∫ e du

4 −2 x

que se puede integrar directamente como 1 2

∫e

∫ ( 2x

= du

1 2

)

− 1 ex

eu + C , y al sustituir el valor de u se tiene que

4 −2 x

1 x dx = e 2

4 −2 x

+C .

Ejercicios 1. La ∫ e3 x dx es A)

1 3x e +C 3

B) e3 x + C

C) 3e3 x + C

1 es igual a x+2 1 B) +C +C 3 ( x + 2)

1 x e +C 3

2. La integral de A) −

( x + 2)

3. La A)

∫ ( 4x − 3)

( 4x − 3)

∫

( 4x − 3) 6

( 4x − 3) 5

10x dx es igual a

∫ 8x − 5

2 x 10 x 3

2 10 x +C 3x

−8 +C (8 x − 5)2

2 x 10 x 2 10 x + C B) +C 5 5x

5. La

D) ln x + 2 x + C

C) ln x + 2 + C

dx da como resultado

4. La A)

(

8 +C 8x − 5

6. La integral de 6 x + e 6 x A) 6 + 6e 6 x + C

C) ln(8 x − 5) + C D)

1 ln(8 x − 5) + C 8

) es igual a

B) 3 x 2 +

1 6x e +C 6

C) 3 x 2 + e5 x + C

D) 6 +

1 6x e +C 6

La integral definida Si una función es continua se puede demostrar que el área que existe entre la gráfica de f ( x ) y el eje x en un intervalo [a,b] se obtiene mediante la integral b

definida ∫ f ( x ) dx . a

área sombreada = ∫ f ( x ) dx a

Para calcular el valor de la integral definida es necesario conocer el teorema fundamental del cálculo. Teorema fundamental del cálculo Si f ( x ) es continua en el intervalo [a, b] entonces

∫

f ( x= )dx F (b ) − F (a )

en donde F ( x ) es una primitiva de f ( x ) , es decir F '( x ) = f ( x ) Hay que resaltar que en las integrales definidas no hay constante de integración Ejemplo 16. Encontrar el área comprendida entre la función f ( x= ) 2x + 4 y el eje X en el intervalo de [1,3] .

Para hallar el área necesitamos encontrar la

∫

(2 x + 4)dx

(2 x + 4)dx =x 2 + 4 x =(3)2 + 4(3) − [(1)2 + 4(1)] =16 1

Ejemplo 17. Encontrar el área comprendida entre las funciones f ( x ) = x 2 y

g ( x )= 2 − x 2 . Para encontrar esta área debemos encontrar primero los puntos de intersección de f ( x ) y g ( x ) , éstos los hallamos resolviendo la

x 2= 2 − x 2 2x 2 = 2

ecuación f ( x ) = g ( x ) , es decir f y g se intersectan cuando x = 1 y x= ± 1 x = −1. Ahora debemos saber qué región integrar. Como se ve en la siguiente figura, el área pedida es la que va de x = −1 a x = 1 , y que está debajo de g ( x ) , sin tomar en cuenta el área bajo f ( x ) , o bien es el área bajo 2 − x 2

menos el área bajo x 2 , por lo tanto la integral que debemos resolver es 1

∫ (2 − x ) − x 2

−1

∫(

)

2 − x 2 − x 2 dx =

−1

( 2 (1) −

2 3

(1)

∫ 2 − 2x

dx =

−1

) − ( 2 ( −1) −

( −1)

2 3

( 2x −

2 3

)

1 −1

( 2 (1) −

( 2 − 32 ) − ( −2 + 32 ) =

2 3

(1)

) − ( 2 ( −1) −

2 + 2 − 32 − 32 = 4 − 34 =

2 3

( −1)

8 3

Ejercicios 1. La

∫

6x 2dx es igual a

A) 16

B) 14

C) 12

D) 10

2. El área bajo la curva y = 3x –2 en el intervalo [2,6] es A) 10 u2 B) 20 u2 C) 30 u2

D) 40 u2

3. La integral que representa el área de la región marcada es y 2

0 A)

∫

x dx

∫

x dx

4. El área bajo la curva y = A) ln3 u 2

4 C)

∫

4 dx

1 en el intervalo [1,2] es igual a x

B) ln 2 u 2

C) 2 u 2

∫

2 dx

D) 1 u 2

5. El área, en unidades cuadráticas, de la región limitada por las gráficas de y= 2 − x 2 , x = 0 y x = 1 es A)

1 3

2 3

5 3

7 3

Bibliografía 1. Dowling, Eward T., Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales. México, Mc Graw Hill, 1997. 2. De Oteyza, Elena et al., Conocimientos fundamentales de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral. México, Pearson Educación, 2006. 3. Hoffmann, Laurence D., Bradley, Gerald L., Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales, Colombia, Mc Graw Hill, 1999.

UNIDAD 5

MATRICES Y DETERMINANTES Propósitos En esta unidad el alumno comprenderá los conceptos de matriz y de determinante y los aplicará para operar con ellos y resolver problemas. Matriz Una MATRIZ es un arreglo de números en forma rectangular, colocados dentro de paréntesis o corchetes. Los números colocados horizontalmente forman renglones y los verticales columnas.  a11 a12     a21 a22  a   31 a32  Los números de la matriz se llaman elementos y se representan por aij , en donde i indica el número de renglón y j el número de columna donde se ubica. Los elementos en donde i = j forman la diagonal de la matriz.

Una matriz con m renglones y n columnas es de ORDEN o DIMENSIÓN m x n. Dos MATRICES son IGUALES si y solo si los elementos en la posición correspondiente son iguales. Una MATRIZ CUADRADA es una matriz que tiene el mismo número de renglones que de columnas. Una matriz tiene forma TRIANGULAR si todos los elementos arriba de la diagonal o todos los elementos debajo de la diagonal son ceros. Una MATRIZ CERO es la que tiene todos sus elementos igual a cero. Una matriz de orden n x n en donde los elementos de la diagonal son todos uno y los elementos no diagonales son todos cero se llama MATRIZ IDENTIDAD y se representa por I. La matriz TRANSPUESTA de una matriz A es aquella en la que cada elemento aij de A, cambia su posición al renglón j y columna i en la matriz transpuesta. Se denota por At.

 1 7   Ejemplo 1. Para la matriz A =  4 0   3 2   a) ¿Cuál es su orden o dimensión? La matriz A tiene 3 renglones y 2 columnas por lo tanto es de orden 3 x 2 b) ¿cuál es el elemento a21 ? Los subíndices 2 y 1 indican el renglón 2 y la columna 1, por lo tanto: a21 = 4 c) ¿Cuál es la matriz transpuesta de A? Como A tiene 3 renglones y 2 columnas, entonces su transpuesta tendrá 2  1 4 3 renglones y 3 columnas y está dada por At =   7 0 2 Ejemplo 2. ¿Cuál de las siguientes matrices es una matriz identidad?  1 0 0  1 1 1     B = 0 1 0 A =  1 1 1  1 1 1  0 0 1     La matriz en donde todos los términos de la diagonal son uno y los que no están en la diagonal son cero es la matriz B. Entonces la matriz identidad es B. Operaciones entre matrices La SUMA de dos matrices solo es posible si éstas son del mismo orden y se obtiene sumando los elementos correspondientes de las dos matrices. La MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (número real) es igual a multiplicar cada elemento de la matriz por dicho número. Si una matriz A es de orden m x n y B es una matriz de orden n x p, entonces el PRODUCTO AB es una matriz de orden m x p en la cual el elemento aij se obtiene multiplicando cada elemento del renglón i-ésimo de A por los elementos correspondientes de la columna j-ésima de B y sumando sus resultados.

2 0  2 −1 Ejemplo 3. Obtener 3D + E t si D =   y E = . 7 4  5 −2  2 0  6 0  = 3D 3=      7 4   21 12   2 5 Et =    −1 −2  6 0 2 5 8 5 3D= + Et  = +     21 12   −1 −2   20 10  Ejemplo 4. Dadas las matrices A = ( 2 3 5 ) posible, el producto AB y el producto BA

4 6   y B =  0 3  obtener, si es  1 2  

A es de orden 1x3 y B es de orden 3x2, entonces el producto AB es una matriz de orden 1x2. Los elementos de la matriz AB se determinan de la siguiente forma:

AB =

((2)(4) + (3)(0) + (5)(1)

(2)(6) + (3)(3) + (5)(2) ) =

(8 + 0 + 5

12 + 9 + 10 )

AB = (13 31) Como B es de orden 3x2 y A es de orden 1x3 no se puede obtener el producto BA. Determinante Un DETERMINATE es un número real (escalar) asociado a una matriz cuadrada. Se representa por ∆ n , donde n indica el número de renglones (columnas) de la matriz.  a b Dada la matriz A =   , el determinante asociado a A se denota por c d ∆2 =

a b a b y se obtiene mediante la operación: ∆ 2= = ad − cb c d c d

Ejemplo 5. ¿Cuál es el valor del determinante

7 4 ? 3 1

Al usar la regla anterior se tiene que ∆=

7 4 = (7)(1) − (3)(4) = 7 − 12 = −5 3 1

Método de Sarrus Una forma para obtener el valor de un determinante de tercer orden es el método de Sarrus que consiste en repetir los dos primeros renglones al final del determinante y se obtiene como se muestra a continuación: a b c a b c d e f

∆= d 3 g

e = f g h = i h i a b c d e f

( aei + dhc + gbf ) − ( dbi + ahf + gec ) 2

−1 6

−2

Ejemplo 6. Calcular el valor del determinante 1 10 Siguiendo el método de Sarrus se tiene que 2

−1

1 10 6 −2 4 3= 2 5 −1 1 10

[(2)(10)( −2) + (1)(3)( −1) + (4)(5)(6)] − [(1)(5)( −2) + (2)(3)(6) + (4)(10)( −1)]

= [ −40 + ( −3) + 120] − [( −10) + 36 + ( −40)]= 77 − ( −14)= 77 + 14= 91 Método de menores Otro método para obtener el valor de un determinante es el método de menores. Este consiste en formar determinantes de menor grado a partir del original, para esto se elige una columna o un renglón y al tomar cada uno de sus elementos se suprimen la columna y el renglón correspondientes a su posición y se forma un determinante, de menor orden, con los elementos que quedan. El valor de cada determinante que se obtiene se multiplica por el elemento correspondiente y los productos se suman dando así el valor del determinante original. Independientemente del signo que tenga cada elemento del determinante al seleccionar la columna o el renglón con la que se trabajará, sus elementos se multiplican por un signo. El signo se asigna alternando positivos y negativos iniciando con el signo + al primer elemento de la primera columna y el primer renglón. Esta asignación de signos se puede ver en el siguiente determinante:

+ − + − + − + − +

2 5 Ejemplo 7. Calcular el valor del determinante 1 10 4

−1 6 por el método de menores. −2

Si se elige el primer renglón se obtiene que

2 5 1 10 4

−1 10 6 1 6 1 10 6 =+(2) − (5) + ( −1) 3 −2 4 −2 4 3 −2

= 2 [(10)( −2) − (3)(6)] − 5 [(1)( −2) − (4)(6)] − 1[(1)(3) − (4)(10)] = 2( −20 − 18) − 5( −2 − 24) − 1(3 − 40) =2( −38) − 5( −26) − 1( −37) = −76 + 130 + 37 = 91

Método de Cramer El Método de Cramer permite resolver un sistema de n ecuaciones de primer grado con n incógnitas utilizando determinantes. Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas de la forma ax + by = p cx + dy = q a b se forman tres determinantes: el determinante del sistema ∆ s = , el c d p b a p determinante de x ∆ x = y el determinante de y ∆ y = . q d c q La solución del sistema de ecuaciones es:

∆x ∆s

∆y ∆s

Ejemplo 8. Utilizar el Método de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3 x + 5y = 14 x − 2y = −10

14 5 ∆ −10 −2 (14)( −2) − ( −10)(5) −28 + 50 22 x= x = = = = −2 ∆s 3 5 (3)( −2) − (1)(5) −6 − 5 −11 1 −2

= y

∆y = ∆x

3 14 1 −10 (3)( −10) − (1)(14) −30 − 14 −44 = = = = 4 3 5 (3)( −2) − (1)(5) −6 − 5 −11 1 −2

La solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r ∆ ∆ ∆ está dada por: x = x , y = y , z = z donde ∆s ∆s ∆s

a b c p b c a p c a b p ∆ s =d e f , ∆ x =q e f , ∆ y =d q f , ∆ z =d e q g h i g r i g h r r h i los cuales se pueden resolver mediante el método de Sarrus o el de menores Matriz inversa −1 −1 A−1 es la MATRIZ INVERSA de la matriz cuadrada A si: A= A AA = I. La matriz A tiene inversa si el determinante de A es diferente de cero.

 3 1 Ejemplo 9. ¿Cuál es la matriz inversa de A =  ?  −1 2  Para obtener A−1 se puede resolver el sistema de ecuaciones formado por los elementos del producto AA−1 = I . Suponiendo que la matriz inversa está dada por a b  A−1 =   entonces se debe cumplir que c d   3 1  a b   1 0  = AA−1 =     , es decir,  −1 2  c d   0 1  3b + d   1 0   3a + c  =   −a + 2c −b + 2d   0 1 

Al igualar los elementos de las matrices se tienen los siguientes sistemas de ecuaciones. 3a + c = 1 3b + d = 0 y −a + 2c = 0 −b + 2d = 1 1 2 −   7 Al resolverlos se tiene que A−1 =  7  1 3    7 7 

Ejercicios 3 1. Si A =  6  −4 A)   2

5  7 −9  t  entonces A − B es igual a:  y B= 1  4 −3  14   −4 1   −4 2  B)  C)     4   15 4   14 4 

 −4 1  D)    −3 −2 

6 1  2. La matriz igual a  12  es 2  8  12    A)  24   16   

3. Si A = ( 3 1 5 )

 −3 −1 −5    2 10  A)  6  −12 −4 20   

3   B)  6   4  

 1   12    1 C)    24     1   16   

 −1    y B =  2  el producto AB es igual a:  −4     −3    B)  2  C) ( −3 2 −20 )  −20   

 3 −1 4. La inversa de la matriz   es:  −2 1 1 1 1   −3 A)  B)    − 1 2 3  2

 2 −1 C)    −3 1

 1 3   1 D)   6    1 4  

D) ( −21)

 1 −2  D)    −1 3 

0 5  4 3 5. Si A =   y B=  la matriz A + 2B es igual a 2 6  −7 1   0 25  A)    −10 18 

 4 13  B)    −3 13 

 6 10  C)    −3 9 

 8 11 D)    −12 8 

1 2 4 7 3   6. Si A =   y B =  −1 0  la matriz AB es igual a  −1 0 10   5 −3     2 7 23    A)  −4 −7 3   23 35 −15   

−2   4   B)  −7 0   15 −30   

7. El valor del determinante A) −93 8. El valor del determinante A) 2

C) 33

D) 93

C) 13

D) 14

B) −33 −8 −3 es −2 −1 B) 3 2x − 5y = 9 es 6x + y = 11

2 9 6 11

10. El determinante del sistema de ecuaciones A) 60

 12 −1  D)    51 −28 

9 −3 es 10 7

9. El determinante del sistema 9 −5 A) 11 1

 4 −7 15  C)    −2 0 30 

B) 45

2 −5 6 1

2 9 11 1

3 x − 2y = 4 tiene un valor igual a: 6x + y = 13 C) 30 D) 15

3 −1 −2 11. El valor del determinante 5

2 A) −88

0 4

2 es 1

B) −63

12. Si se resuelve el sistemas de ecuaciones Cramer el valor de x es

C) −56

D) −25

4 x − 2y = −10 usando el método de 2x + 5y = 13

4 −2 2 5 B) 4 −10 2 13

4 −10 2 13 A) 4 −2 2 5

−10 −2 13 5 C) 4 −2 2 5

 x + 3 y − z =−3  1 es 13. El valor del determinante de x del sistema 3 x − y + 2z = 2 x − y + z =−1  B) −5 C) −10 A) −2

4 −2 2 5 D) −10 4 13 2

D) −15

14. Una pequeña cadena de tiendas vende televisiones, radios y teléfonos celulares. El número de aparatos vendidos en un mes en las diferentes tiendas está representado por la siguiente matriz Cantidad vendida en la tienda

A B C televisiones  50 60 40    radios  100 75 55  = M teléfonos  400 200 100  televisiones radios teléfonos

El precio de cada artículo está dado en la matriz P = ( $7 000 $500 $1000 ) . La matriz que representa el total vendido en cada tienda es A) MP

B) PM

15. El determinante del sistema de ecuaciones

1 0 2 −6

D) M −1P

C) M + P

1 0 4 −6

x=y es 4= x 2y − 6

1 1 4 2

 4 16. Si D =   y E = (1 5 3 ) el producto DE es la matriz 8  12   4 20 12    A)  60  B) (12 60 36 ) C)    8 40 24   36   

1 −1 4 −2

 4 8    D)  20 40   12 24   

Bibliografía 1. Fuller, Gordon et al, Álgebra universitaria. México, Cecsa, 1992. 2. Larson, Ronald, Hostetler, Robert, Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996. 3. Lehmann, Charles H., Álgebra. México, Limusa, 1995. 4. Swokowsky, Earl, Álgebra universitaria. México, Cecsa, 1992. 5. Stewart, James. et al, Precálculo. México, Thomson, 2001.

EXAMEN TIPO A 1. La suma de los 16 primeros términos de la progresión –19, -15, -11, -7, … , es A) −176

B) −52

C) 52

D) 176

2. Si en una progresión geométrica el primer término es 1 y la razón es igual a –2, entonces el 64 ocupa el lugar del término número A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

3. El total de tus ancestros en las siete generaciones que te preceden es (Una generación son tus padres, dos generaciones tus abuelos y así sucesivamente) A) 516

B) 256

C) 254

D) 128

( )

4. Si f ( x ) = log x entonces f a3 − f ( a ) es igual a A) f ( a − 2 )

B) f ( a + 2 )

( )

C) f ( 2a )

D) f a 2

5. Si f ( x= ) x 2 − 1 y g ( x= ) 3 x + 2 entonces A) 3 x 3 + 2 x 2 − 3 x − 2

B) 9 x 2 + 12 x + 3

6. El dominio de la función f ( x ) = e x A) [0,+∞ )

B) ( 0,+∞ )

7. El lím

x2 − 1 es igual a x 2 + 4x − 5

x →1

A) −

2 3

B) 0

( f  g )( x )

es igual a

C) x 2 + 3 x + 1

es C) ( −∞, +∞ )

D) 3 x 2 − 1

1 3

D) ( −∞,0 )

D) 1

8. El lím ln( x + 1) es igual a x →0

B) 0

A) −1

9. La derivada de la función f ( x ) = A) −

3 x2

B) −

D) e

C) 1 3 es x2

6 x4

C) −

6 x3

D) −

3 x4

10. Los puntos máximo y mínimo de la función y = x 3 − 3 x + 3 son A) PMáx (1,5 )

Pmín ( −1, −1)

B) PMáx ( −1, −1)

Pmín (1, −5 )

C) PMáx ( −1,5 )

Pmín (1,1)

D) PMáx (1,1)

Pmín ( −1, −5 ) 59

11. La A) −

dy dx

x 2 + 3y 2 = 3 es igual a

x 3y

3y x

C) x − 3 y

12. . La derivada de la función y = ln A) −

1 x ( x + 1)

D) 3y − x

x es igual a x +1

x ( x + 1)2

1 x +x

2x + 1 x ( x + 1)

13. La ecuación de la tangente a la curva y = x 3 en el punto de abscisa 2, es A) 12 x − y − 32 = 0

B) 12 x − y − 16 = 0

C) 6 x − y − 4 = 0

D) 6 x − y − 12 = 0

14. En unidades cuadráticas, el área bajo la curva y = x 2 desde el origen hasta la recta x = 3 es igual a A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 15. La A)

−x

dx es

e − x +1 +C 2

16. La A)

∫e

∫ ( 5 x + 1)

(5 x + 1)5 +C 5

17. El valor de A) 14

e − x +1 +C −x + 1

C) −e − x + C

D) e − x + C

dx es B)

(5 x + 1)5 +C 25

∫ ( 2x − 5 ) dx 5

(5 x + 1)3 +C 3

(5 x + 1)3 +C 15

B) 24

C) 34

D) 64

18. Una compañía tiene dos fábricas que producen sillas y mesas. Los costos de producción en pesos, que incluyen materiales y mano de obra, para cada mueble, se dan en las siguientes matrices, en donde el primer renglón muestra los costos por materiales y en el segundo por mano de obra: FÁBRICA A silla mesa

 50 100     70 110 

silla

mesa

 48 90     80 100 

1 ( A + B ) , para las dos fábricas es 2  73 140   49 190   49 95  B)   C)   D)    115 105   75 210   75 105 

El costo promedio de producción,  98 190  A)    150 210 

FÁBRICA B

19. Al usar el método de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones 2x − y = 3 , el valor de x está dado por x + 2y = 14 2 3 1 14 A) 2 −1 1 2

2 −1 1 2 B) 3 −1 14 2

20. El valor del determinante A) −55

6 3 1 −2 0 5 −1 2 4

3 −1 14 2 C) 2 −1 1 2

−3 14 D) 2 1

2 1 −1 2

es:

B) −30

C) 30

D) 55

EXAMEN TIPO B 1. El término a52 de la progresión aritmética ( x − y ) , x, ( x + y ) es A) x − y + 50

B) x + 50 y

C) x − y + 52

D) x + 52y

2. En una progresión geométrica, el primero término vale 4 y el séptimo vale 256 respectivamente. El valor de a5 es A) 32

B) 64

3. Una pelota rebota

C) 128

D) 172

4 de la altura máxima que alcanza en cada ocasión. Si 7

se deja caer desde una altura de 9 metros, la distancia total que recorre hasta que teóricamente pueda detenerse es A) 9 m

B) 15 m

C) 21 m

D) 33 m

C) [ −3, ∞ )

D) ( −3, ∞ )

4. El rango de la función = y x 2 − 3 es A) ( −∞,3]

B) ( −∞,3 )

5. La función = y x 2 − 1 es creciente en el intervalo A) ( −∞,0]

B) [0, ∞ )

C) ( −∞,1]

D) ( −∞,1)

3x 2

6. La función f ( x ) = 

1





A)  −∞, −  2

2x + 1

tiene como dominio el intervalo  1



B) ( −∞,0 )

C)  − , ∞   2 

D) ( 0, ∞ )

B) −3

C) 3

D) 6

x2 − 9 es x →3 x − 3

7. El lim A) −6

4 x + 2x − 7 es x →∞ 5 x 3 − x 2 + 3

8. El lim A) −

7 3

B) −

4 5

9. La derivada de la función f ( x ) = A) f ′ ( x ) = C) f ′ ( x ) =

7 3

x2 + c2 , donde c es una constante, es x2 − c2

−4 xc 2 2

B) f ′ ( x ) =

D) f ′ ( x ) =

( x 2 − c 2) −4c 2

( x 2 − c 2)

10. La derivada

4 5

4 xc 2 2

( x 2 − c 2) −4 x

( x 2 − c 2)

dy 25 es de la función x 3 + y 3 = dx

dy x2 = − 2 dx y

dy x 2 = dx y 2

dy = − x dx

dy = x dx

 x +1  es  x +4

11. La derivada de f ( x ) = ln  A) f '( x ) =



( x + 1)( x + 4 )  6  x + 1    ln  2  x + 4   ( x + 4 ) 

C) f '( x ) = 

 x +1    ( x + 4 )2   x + 4    6

B) f '( x ) = 



   ( x + 1)( x + 4 )  6

D) f '( x ) = ln 

12. La derivada de f ( x ) = x 2e x es

(

C) f '( x ) = 2 x xe x −1

( (x

) − 2x )

f '( x ) e x x 2 + 2 x B) =

A) f '( x ) = 2 xe x

)

f '( x ) e x D) =

13. La segunda derivada de la función f ( x ) = 2 x es A) f ′′ ( x ) = −

1 2 x

B) f ′′ ( x ) =

1 2 x

C) f ′′ ( x ) = −

D) f ′′ ( x ) =

1 x

14. La ecuación de la recta tangente a la gráfica y 2 + 1 = 5 x en el punto (1,2 ) es A) 5 x − 4 y + 3 = 0

B) 4 x + 5 y + 3 = 0

C) 3 x + y + 1 = 0

D) 3 x − y + 1 = 0

15. La función y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 2 tiene un mínimo en A) x = 1

C) x = 3

B) x = 2

D) x = 4

y 5 x − x 5 tiene un máximo en 16. La función =

A) x = −4

B) x = −1



17. La ∫  x 2 − 

∫ ( 2x + 3 )

B) x 3 +

1 +c 3x3

1 3 1 x + +c 3 x

D) x 3 −

1 +c x3

dx =

4 3 x + 9x + c 3

19. La

D) x = 4

 dx = 

1 3 1 x + 3 +c 3 x

18. La A)

1 x2

C) x = 1

4 3 x + 6x 2 + 9x + c 3

4 3 x + 3x 2 + 9 3

D) 4 x 3 + 12 x 2 + 9 x + c

1 x2 +2 +c xe 2

1 x2 +2 e +c 2

D) 2e x

∫ ( xe ) dx =

A) 2 xe x

x2 +2

+c 1

20. El valor de ∫ (10 − x 2 )dx es −1

26 3

58 3

2 3

48 3

  21. El elemento b31 de B = 0 3  1 0 0  es 1 0  3 4 2  2 1



A) 0

B) 1



C) 4

D) 6

  22. El producto de las matrices E = -3 - 9  y A = 5 3  es 6 4   2 0 1



A) [24 −42 10]



 24    −42    10   

  C) 41 −69 10 27

−45

6 

 41

27

 10

6 

D) −69 −45 

23. Al multiplicar una matriz cuadrada diferente de cero, por su inversa, se obtiene A) La matriz triangular

B) La matriz diagonal

C) La matriz unitaria

 3 2

1

  −2 1

4 

D) La matriz escalar

24. El determinante de la matriz  0 2 −5  vale A) 25

B) 31

C) 57

D) 63

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Y EXÁMENES TIPO A Y B Unidad 1

Progresiones 1.B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B 9.C 10.D 11.C 12.D 13.B 14.B 15.D 16.B 17.B 18.C 19.D 20.C 21.A

Unidad 2 Función 1.C 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A 7.B 8.D 9.D 10.C 11.D 12.D 13.D 14.C 15.D 16.D

Unidad 3

La derivada Límites 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.A 8.A 9.C 10.A 11.C 12.B 13.C 14.A 15.D

Derivada 1.D 2.B 3.A 4.D 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.C 11.A 12.B 13.C 14.A 15.D 16.C 17.A 18.D 19.C 20.C

Unidad 4

La integral Función primitiva 1.B 2.B 3.A 4.A 5.B 6.B Integrales inmediatas 1.C 2.B 3.A 4.C Cambio de variable 1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B Integral definida 1.B 2.D 3.D 4.B 5.C

Unidad 5

Matrices y determinantes 1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.C 10.D 11.B 12.C 13.C 14.B 15.D 16.C

Examen Tipo A 1.D 2.B 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.C 11.A 12.C 13.B 14.C 15.C 16.B 17.A 18.D 19.C 20.A

Examen

Tipo B 1.B 2.D 3.C 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.A 10.A 11.A 12.B 13.A 14.A 15.D 16.C 17.C 18.B 19.C 20.B 21.B 22.D 23.C 24.D

UNAM

Universidad Nacional Autónoma de México

Escuela Nacional Preparatoria

Dr. Enrique Graue Wiechers Rector Dr. Leonardo Lomelí Vanegas Secretario General

SECRETARÍA ACADÉMICA

Ing. Leopoldo Silva González Secretario Administrativo

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

ÁREA 3 CIENCIAS SOCIALES ÁREA 4 HUMANIDADES Y ARTES Sexto Año Clave: 1619 y 1620 Plan: 96

Clave: 1619 y 1620 Plan: 96

DGENP

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

Dra. Mónica González Contró Abogado General

ÁREA 3 Y ÁREA 4 SEXTO AÑO

Lic. Enrique Espinosa Terán Plantel 1 " Gabino Barreda "

Matemáticas VI Áreas 3 y 4

Dirección de Planteles

Elaboró: Edith Zepeda Cabrera Sergio López Luna

GUÍA DE ESTUDIO

Matemáticas VI Área 3 y 4