Matematicas vi areas 1 y 2 enp unam by PDLM

UNAM

Universidad Nacional Autónoma de México

Escuela Nacional Preparatoria

Dr. Enrique Graue Wiechers Rector Dr. Leonardo Lomelí Vanegas Secretario General

SECRETARÍA ACADÉMICA

Ing. Leopoldo Silva González Secretario Administrativo

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

DGENP Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Directora General Lic. Rogelio Cepeda Cervantes Secretario General

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

Dra. Mónica González Contró Abogado General

ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS ÁREA 2 BIOLÓGICAS Y DE LA SALUD Sexto Año Clave: 1600 Plan: 96

Mtro. Juan Neftalí Hernández Nolasco Secretario de Difusión Cultural M. en C. Ana Laura Gallegos y Téllez Rojo Jefa del Departamento Dirección de Planteles Lic. Enrique Espinosa Terán Plantel 1 " Gabino Barreda " Lic. Isabel Jiménez Téllez Plantel 2 " Erasmo Castellanos Quinto " M. en C. Laura Elena Cruz Lara Plantel 3 " Justo Sierra " Mtro. Hugo Martín Flores Hernández Plantel 4 " Vidal Castañeda y Nájera " Biól. Ma. Dolores Valle Martínez Plantel 5 " José Vasconcelos " Mtra. Alma Angélica Martínez Pérez Plantel 6 " Antonio Caso " I.Q. María del Carmen Rodríguez Quilantán Plantel 7 " Ezequiel A. Chávez " Arq. Ángel Huitrón Bernal Plantel 8 " Miguel E. Schulz " Q.F.B. Roberta Ma. del Refugio Orozco Hernández Plantel 9 " Pedro de Alba "

ÁREA 1 Y ÁREA 2 SEXTO AÑO

Lic. Luis Felipe Ortega Montiel Secretario Administrativo

Matemáticas VI Área 1 y 2 Clave: 1600 Plan: 96

Lic. Miguel Ángel Álvarez Torres Secretario Académico

Elaboró: Claudia América Serrano Liceaga Rogelio González Zepeda Moisés Silva González

GUÍA DE ESTUDIO

Matemáticas VI Área 1 y 2

ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA COLEGIO DE MATEMÁTICAS ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS ÁREA 2 CIENCIAS BIOLÓGICAS Y DE LA SALUD Grado: 6° Clave: 1600 Plan: 96

GUÍA DE ESTUDIO MATEMÁTICAS VI ÁREA 1 Y 2

Autores:

Claudia América Serrano Liceaga Rogelio González Zepeda Moisés Silva González

Coordinación:

Ana Laura Gallegos y Téllez Rojo Rogelio González Zepeda

Revisión técnica: Carmen Rocío Vite González

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Escuela Nacional Preparatoria Directora General: Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Secretario Académico: Lic. Miguel Ángel Álvarez Torres Producción Editorial: Lic. Ma. Esther Rueda Palma

Guía de Estudio Matemáticas VI Área 1 y 2

Actualización editorial: Ing. Rogelio González Zepeda 5ª edición: 2012 Edición corregida 2017, 1000 ejemplares © Universidad Nacional Autónoma de México Escuela Nacional Preparatoria Dirección General Adolfo Prieto 722, Col. Del Valle C. P. 03100, México, D. F. Impreso en México

PRESENTACIÓN La Escuela Nacional Preparatoria durante casi 150 años ha trabajado en la formación de jóvenes comprometidos con su país, a quienes tenemos que guiar para fortalecer sus conocimientos, habilidades, valores y actitudes que los conduzcan hacia el logro de éxitos universitarios, aspectos que a su vez reforzarán su seguridad personal para enfrentar los retos académicos. Las herramientas que adquieren los estudiantes durante esta etapa escolar, son fundamentales, columna vertebral que sostendrá sus estudios profesionales, por ello es nuestro compromiso fomentar la creación y desarrollo de materiales y recursos didácticos de todo tipo, tanto impresos como electrónicos, que promuevan en los alumnos la adquisición de conocimientos y el desarrollo de habilidades y continuar por la vida de manera organizada, persistente y armónica. Con entrega y entusiasmo los académicos trabajan de manera colegiada e invierten sus saberes y esfuerzos en el desarrollo e innovación de materiales, a fin de proporcionar más y mejores elementos de apoyo para que los alumnos concluyan de manera satisfactoria sus estudios de Bachillerato. La presente guía de estudio es un producto didáctico que se ha diseñado para facilitar la enseñanza y el aprendizaje. Se puede utilizar de manera autodidacta o con la ayuda de los profesores que a diario brindan asesorías en cada uno de los planteles de la Escuela Nacional Preparatoria. Continuaremos en la búsqueda de más y mejores alternativas presenciales y en línea, con el propósito de apoyar a nuestros alumnos para que logren un egreso satisfactorio y una prolongación exitosa en sus estudios de licenciatura.

“Juntos por la Escuela Nacional Preparatoria” Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Directora General

ÍNDICE PÁG. Introducción …………………………………………………………………………………..……6 UNIDAD I. FUNCIONES Concepto de producto cartesiano ................................................................................... 7 Concepto de relación ...................................................................................................... 8 Concepto de función ..................................................................................................... 10 Dominio y recorrido de una función............................................................................... 12 Gráfica de una función .................................................................................................. 25 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva ................................................................... 27 Funciones algebraicas y trascendentes ........................................................................ 38 Álgebra de funciones .................................................................................................... 46 Función inversa ............................................................................................................ 54 Ejercicios de autoevaluación......................................................................................... 58 UNIDAD 2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Concepto intuitivo de límite ........................................................................................... 61 Obtención de límites algebraicos .................................................................................. 67 Obtención de límites trascendentes .............................................................................. 98 Continuidad en un punto ............................................................................................. 105 Continuidad en un intervalo abierto y cerrado ............................................................. 109 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................... 113 UNIDAD 3. LA DERIVADA Definición de derivada y notaciones............................................................................ 115 Obtención de derivadas a partir de la definición.......................................................... 115 Obtención de derivadas a partir de las fórmulas ......................................................... 118 Derivada de funciones implícitas ................................................................................ 122 Máximos y mínimos relativos de una función .............................................................. 125 Puntos de inflexión ..................................................................................................... 125 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................... 135 UNIDAD 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA Problemas de cálculo de velocidad y aceleración de un móvil .................................... 136 Problemas de razones de cambio relacionadas .......................................................... 138 Problemas de optimización ......................................................................................... 140 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................... 149

UNIDAD 5. LA INTEGRAL Introducción. ............................................................................................................... 150 La integral definida. .................................................................................................... 154 Teorema Fundamental del Cálculo ............................................................................. 155 La integral definida en el caso de funciones negativas ............................................... 160 Propiedades de la integral definida. ............................................................................ 161 La integral indefinida y la constante de integración ..................................................... 162 Métodos de integración............................................................................................... 163 Integración con condiciones iniciales .......................................................................... 165 Integración por sustitución o por cambio de variable................................................... 166 Integración por partes ................................................................................................. 172 Integración de fracciones racionales (fracciones parciales) ........................................ 174 Integración por sustitución trigonométrica ................................................................... 178 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................... 185 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN ................................. 187 EXAMEN TIPO ........................................................................................................... 205 RESPUESTAS AL EXAMEN TIPO ............................................................................ 207 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... 208

INTRODUCCIÓN Las matemáticas han tenido siempre una importante incidencia en una gran variedad de aplicaciones de la actividad del hombre, que van desde un uso cotidiano hasta el estudio y modelación de situaciones complejas, como el diseño del equipo de una sonda espacial o de un robot con inteligencia artificial que debe ser lanzado a la superficie de algún planeta, donde el ser humano no ha pisado jamás. Por ello las matemáticas con sobrada razón, son consideradas como parte de la herencia cultural universal y el hombre ha logrado un desarrollo sistemático a la par con el desarrollo histórico de las matemáticas. Éstas son sobradas razones para que todo estudiante de bachillerato se sienta atraído por su estudio, sin embargo, el interés de muchos por las matemáticas se limita exclusivamente al deseo de aprobar una asignatura que forma parte del programa curricular, aún en el caso de estudiantes que pretenden estudiar una carrera del Área 1. El deseo en esta guía es exponer para todos los estudiantes, pero especialmente para aquellos que tienen problemas para entenderlas, los conocimientos fundamentales de Matemáticas VI Área 1 a partir de la presentación detallada de la resolución de ejercicios y problemas propuestos. Para asegurar el éxito en el estudio de esta guía, se describen algunos consejos útiles: 1. No memorizar problemas y ejercicios resueltos, ni tratar de adivinar lo que va a venir en el examen. Analizarlos una y otra vez hasta comprender el proceso de resolución. 2. Si se descubre carencia de conocimientos previos de Álgebra y Geometría Analítica, recurrir a las guías de estas asignaturas y a los programas de asesorías formalmente establecidos. 3. Para un mejor aprovechamiento, es necesario estudiar la teoría del tema correspondiente, tomando en cuenta las referencias bibliográficas sugeridas. 4. Resolver todos los ejercicios y problemas propuestos. 5. Después de revisar con detalle los contenidos desarrollados para cada tema, resolver el examen diagnóstico correspondiente, a fin de obtener una evaluación de los progresos obtenidos. 6. Si es necesario, volver a revisar los contenidos para reforzar su aprendizaje.

UNIDAD 1 FUNCIONES OBJETIVO: Al finalizar el estudio de esta unidad deberás ser capaz de identificar distintos tipos de funciones, determinar sus características y trazar sus gráficas. Esta unidad es muy importante pues te dará las herramientas necesarias para poder trabajar con funciones de todo tipo.

Concepto de producto cartesiano Definición. Dados dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, se define el conjunto producto cartesiano de A con denotado por como: Como ves, el producto cartesiano es un conjunto de parejas ordenadas

, tal que la

primera componente pertenece al conjunto y la segunda componente al conjunto . Y su interpretación geométrica puede representarse en diagramas de Venn también llamados diagramas sagitales o en el plano cartesiano. Ejemplo 1: Sean

, determinar

interpretarlo en un diagrama de Venn. Resolución:

AXB azul

lapicera

amarilla goma

verde

pluma

roja

Ejemplo 2: Si

obtener

Resolución: y

, e

Observa que o

que

, es decir, el producto cartesiano no es conmutativo, a menos o

Observación: en los dos ejemplos anteriores, el producto cartesiano se ha enunciado por extensión, es decir, listando las parejas ordenadas que lo forman. Ahora se describe un ejemplo en el que este listado es imposible. Ejemplo 3: Si

, determinar

y representarlo en el

plano cartesiano. Resolución: Esta forma de describir el producto cartesiano se denomina enunciado por comprensión. Y aunque no es posible listar todas las parejas ordenadas del producto cartesiano, debes notar que las características descritas en el enunciado permiten saber si dada cualquier pareja ordenada pertenece o no a 𝐴 × 𝐵. Ahora su representación es:

Observa que el producto cartesiano está representado por todos los puntos del plano localizados en el rectángulo sombreado, incluyendo los puntos de los dos lados trazados con líneas continuas.

Concepto de relación Definición. Dados dos conjuntos o también por de

, una relación de

denotada por

, se define como un subconjunto de parejas ordenadas

La proposición

se llama regla de correspondencia y representa el criterio con el que se

seleccionan las parejas ordenadas. Esta puede ser una fórmula matemática, un enunciado verbal, una tabulación, una gráfica o incluso una selección arbitraria de las parejas ordenadas. El conjunto es el dominio de la relación y el conjunto es el codominio. Las relaciones también se representan en diagramas de Venn o en el plano cartesiano.

Ejemplo 4: Considerando los conjuntos del ejemplo 1 determinar la relación

, tales que los

elementos de las parejas ordenadas sean palabras con el mismo número de letras. Representarla en un diagrama de Venn. Resolución:

Y su representación con diagramas de Venn es:

Observa que los elementos del conjunto conjunto .

se relacionan con uno o más elementos del

Ejemplo 5: Considerando nuevamente los conjuntos del ejemplo 1 determinar la relación

tales que los elementos de las parejas ordenadas sean palabras con el mismo número de letras y que terminan en vocal. Representarla en un diagrama de Venn. Resolución:

Ahora observa que cada elemento de está relacionado con uno y sólo un elemento de , pero que no todos los elementos de participan en la relación. Como ves, y son subconjuntos de , de hecho, cualquier subconjunto de puede ser una relación

, incluido el propio producto cartesiano.

Ejemplo 6: Si

, determina el subconjunto

, tal que si se

suman los cuadrados de las diferencias de los elementos de las parejas ordenadas y dos el resultado es siempre igual a dieciséis. Representar geométricamente la relación. Resolución: La regla de correspondencia es la fórmula matemática

, entonces:

Y su representación gráfica es:

Observa que las parejas ordenadas de

representan todos los puntos de la

circunferencia concentro en

y que es imposible enunciarlas todas por

y radio

extensión.

Concepto de función Definición. Dados dos conjuntos

, una relación de

denotada por

o también por , se define como función de en sí y sólo sí se satisfacen dos condiciones: 1) dos cualesquiera parejas ordenadas de no tienen el mismo primer elemento y 2) no hay elementos del dominio que no estén relacionados con el codominio bajo la función.

Definición. Si

es una pareja ordenada de una función

(se lee “ de bajo la función

igual a

”), así entonces “

, se puede escribir

” se define como la imagen de “ ”

Ejemplo 7: Si

y tal que “

, determinar por extensión el conjunto

” es el sucesor de “ ”. Representar

en un diagrama de Venn.

Resolución: Si el conjunto de los números enteros es y

, entonces

, y:

El sucesor de −2 es −1, y su valor absoluto es 1. El sucesor de −1 es 0, y su valor absoluto es 0. El sucesor de 0 es 1, y su valor absoluto es 1. El sucesor de 1 es 2, y su valor absoluto es 2. El sucesor de 2 es 3, y su valor absoluto es 3. Así que f: A → B es: Y su representación en diagramas de Venn es:

Como ves, la definición de función no pone restricciones a los elementos del codominio, de tal forma que puede haber en él elementos como y que no estén relacionados con elementos del dominio y también elementos como que le correspondan más de un elemento del dominio. Ejemplo 8: Si los conjuntos y del ejemplo 7 son de números reales, definir por comprensión la función tal que “ ” es el valor absoluto de la suma de “ ” y la unidad y representarla en el plano cartesiano. Resolución: La regla de correspondencia es la fórmula matemática

, entonces:

Su gráfica en el plano cartesiano se muestra en la siguiente página.

Dominio y recorrido de una función Definición. Dada una función denotado por

, al conjunto

de la función,

Definición. Dada una función función denotado por

, se define como dominio

, se define como recorrido o imagen de la

al subconjunto del codominio

formado de elementos que son

imágenes de los elementos del dominio:

Cálculo del dominio natural de una función. Calcular el dominio natural de una función significa, determinar el conjunto de números reales que al ser sustituidos como valores “ ” en su regla de correspondencia hacen posible ejecutar todas las operaciones indicadas y conocer los valores respectivos de la función. Por ello se consideran los siguientes casos:

regla

correspondencia

una

función

, donde

forma

corresponde a una función polinómica y se dice que corresponde a una función raíz n-ésima de un polinomio, si la regla de correspondencia es de la forma donde

es un número natural distinto de uno y

es una función

polinómica. Para ambos tipos de funciones, considerando en el segundo sólo el caso de índice impar, el dominio natural esta formado por todos los números reales: o

. Algunos ejemplos de estas funciones son:

, etc.

, donde

b) Si la regla de correspondencia de una función es de la forma y

son funciones polinómicas con

,corresponde a una función

racional, entonces el dominio natural se calcula eliminando del conjunto ℝ los valores reales de “𝑥” para los cuales el divisor se haga cero: , entonces,

Observación: recuerda que la división entre cero no está definida. c) Si la regla de correspondencia de una función es de la forma

donde

es par y

, corresponde a una función raíz n-ésima no negativa de un

polinomio

, entonces el dominio natural se calcula eliminando del conjunto ℝ los

valores reales de “𝑥” para los cuales el radicando se haga negativo: Si

con

par , entonces

Observación: recuerda que las raíces de índice par de números negativos no son números reales.

d) Si la regla de correspondencia de una función es de la forma

es par,

son funciones polinómicas tal que

donde

; o de la

forma

donde

es par,

; o de la forma

son funciones polinómicas tal que

donde

es par,

son

, el dominio natural se calcula eliminando del

funciones polinómicas tal que

conjunto ℝ los valores reales de “ ” para los cuales el divisor se haga cero y el radicando se haga negativo: Si

, con

par, entonces

, con

par, entonces

, con

par, entonces

Observación: como ves, la estrategia para obtener el dominio natural depende de la forma de la regla de correspondencia de la función dada. Ejemplo 9: Calcular el dominio natural de la función Resolución: La función es de la forma

, donde

entonces su dominio natural es

son funciones polinómicas,

, así que se iguala a cero el divisor y

se resuelve la ecuación: Como el divisor es un trinomio cuadrado perfecto, factorizando, la ecuación se resuelve así: , entonces

, así que

y las raíces son

Por lo tanto el dominio natural es: Ejemplo 10: Calcular el dominio natural de la función

Resolución: La función es de la forma

, donde

entonces su dominio natural es

son funciones polinómicas,

, así que se iguala a cero el divisor y

se resuelve la ecuación: Como el divisor es un trinomio de la forma resuelve así:

, factorizando, la ecuación se

se expresa en la forma

El trinomio

, entonces su

factorización es el producto de binomios con término común y términos no comunes tales que su producto es (el término independiente del trinomio) y su suma algebraica es (el coeficiente del término central), así que: se puede escribir como

y factorizando se obtiene

, de donde planteando y resolviendo las raices

se obtienen

Entonces el dominio natural es:

Ejemplo 11: Calcular el dominio natural de la función Resolución: La función es de la forma

, donde

entonces su dominio natural es

son funciones polinómicas,

, así que se iguala a cero el divisor y

se resuelve la ecuación: Como el divisor es un trinomio de la forma resuelve así: Se descompone el término

, factorizando, la ecuación se

en la suma de dos términos semejantes. Para ello, se

buscan dos números tales que su producto sea el resultado de

, (observa la

ubicación de estos números en el trinomio) y que sumados se obtenga , es decir, el coeficiente del término central del trinomio. Tales números son y , entonces se y factorizando por agrupación se escribe la ecuación original como resuelve la ecuación:

se puede escribir como

y agrupando en la forma:

, se factoriza cada grupo por el método del factor común , observa que se presenta otro factor común, así que factorizando nuevamente por el método del factor común se obtiene finalmente , de donde planteando y resolviendo y

deducen las raices

Entonces el dominio natural es:

Ejemplo 12: Calcular el dominio natural de la función Resolución: La función es de la forma

, donde

entonces su dominio natural es

son funciones polinómicas,

, así que se iguala a cero el divisor y

se resuelve la ecuación: Como el divisor es una diferencia de potencias de igual exponente, factorizando, la ecuación se resuelve así: se puede escribir como

y factorizando la diferencia de

, observa que se presenta otra diferencia de cuadrados, así

cuadrados:

que factorizando nuevamente se obtiene

, de donde planteando y

resolviendo

se deducen las raíces

no tiene solución en los números reales. Entonces el dominio natural es: Ejemplo 13: Calcular el dominio natural de la función Resolución:

. La ecuación

La función es de la forma

, donde

es una función polinómica, , así que se plantea la desigualdad

entonces su dominio natural es con el radicando y se resuelve:

se puede expresar como

, así que se plantea con el que se resuelve despejando la

radicando la desigualdad de primer grado variable:

de donde

(observa el cambio en el sentido de la desigualdad

derivado de dividir ambos miembros entre

para lograr el despeje de

Entonces el dominio natural es:

Ejemplo 14: Calcular el dominio natural de la función Resolución: La función es de la forma

, donde

es una función polinómica,

, así que se plantea con el radicando

entonces su dominio natural es

: la desigualdad cuadrática Se resuelve primero la igualdad, es decir, la ecuación cuadrática

: factorizando

la diferencia de cuadrados se escribe

, de donde planteando y

resolviendo

se deducen las raíces

Las raíces de la ecuación son puntos que dividen a la recta numérica en tres intervalos de números reales que se muestran en la siguiente figura:

En cada intervalo todos sus puntos satisfacen la desigualdad , o bien todos sus . La justificación sencilla de esta puntos satisfacen la desigualdad contraria afirmación es que si hay dos puntos y en alguno de estos intervalos que satisfacen las desigualdades contrarias respectivamente, entonces habría otro punto

entre ellos y

por lo tanto dentro del mismo intervalo que satisface la igualdad falso porque las únicas soluciones de esta ecuación son y .

, lo cual es

Con base en este hecho, se elige un punto dentro de cada intervalo y se sustituye en la desigualdad para determinar su solución y por tanto el dominio natural de la función: tal que

Seleccionando

, al sustituir se obtiene:

, que no satisface la desigualdad

, entonces

, es decir, no es intervalo

solución de la desigualdad. Seleccionando

tal que

, al sustituir se obtiene

que si satisface la desigualdad

, entonces

, es decir, es intervalo solución de la

desigualdad. Seleccionando

tal que

al sustituir se obtiene:

, que no satisface la desigualdad

, entonces

, es decir, no es intervalo

solución de la desigualdad. Las raices

satisfacen la desigualdad

Entonces el dominio natural es: Ejemplo 15: Calcular el dominio natural de la función

Resolución:

La función es de la forma

, donde

entonces su dominio natural es

, así que se plantea con el , y con el divisor igualado a cero la

radicando la desigualdad de primer grado: ecuación cuadrática:

son funciones polinómicas,

y se resuelven:

, se resuelve despejando la variable: de donde (observa el cambio en el sentido de la desigualdad derivado de dividir ambos miembros entre para lograr el despeje de ).

Si la ecuación

se multiplica por

y se divide por

se obtiene

, factorizando el trinomio cuadrado perfecto se deducen las raices

planteando y resolviendo Como

de donde y

, entonces el dominio natural es:

Ejemplo 16: Calcular el dominio natural de la función Resolución:

, donde

La función es de la forma

son funciones polinómicas,

, así que se plantea con el

entonces su dominio natural es

radicando la desigualdad de segundo grado:

Se resuelve primero la igualdad, es decir, la ecuación cuadrática trinomio

se expresa en la forma

: el , entonces su

y factorizando se obtiene

, de donde planteando y resolviendo obtienen las raices

Las raíces de la ecuación son puntos que dividen a la recta numérica en tres intervalos de números reales que se muestran en la siguiente figura:

Se elige un punto dentro de cada intervalo y se sustituye en la desigualdad , para determinar su solución y por tanto el dominio de la función: Seleccionando

tal

que

, es decir, entonces

sustituir

obtiene:

, que satisface la desigualdad

es intervalo solución de la desigualdad.

tal

Seleccionando

que

, es decir,

, entonces

sustituir

obtiene

que no satisface la desigualdad

no es intervalo solución de la desigualdad.

tal que

Seleccionando

es decir,

, al sustituir se obtiene:

, que satisface la desigualdad

, entonces

intervalo solución de la desigualdad. Las raices

no satisfacen la desigualdad

Entonces el dominio natural es:

Ejemplo 17: Calcular el dominio natural de la función Resolución: La función es de la forma

, donde

son funciones polinómicas,

entonces su dominio natural es

, así que se plantea con

, y se resuelve:

el radicando la desigualdad: Para que se cumpla que

una posibilidad es que

, entonces se resuelven estas desigualdades: , se resuelve despejando la variable: La desigualdad de primer grado Para la desigualdad de segundo grado, se resuelve primero la igualdad, es decir, la ecuación cuadrática : La factorización del trinomio es el producto de binomios con término común y términos no comunes tales que su producto es (el término independiente del trinomio) y su suma algebraica es (el coeficiente del término central), así que: se puede escribir en forma factorizada planteando y resolviendo

, de donde

se obtienen las raices

son puntos que Las raíces de la ecuación y el extremo real del intervalo definido por dividen a la recta numérica en cuatro intervalos de números reales que se muestran en la siguiente figura:

Se elige un punto dentro de cada intervalo y se sustituye en la desigualdad para determinar su solución y por tanto el dominio de la función: Seleccionando

decir,

tal que

, al sustituir se obtiene:

, que no satisface la desigualdad

, entonces

, es

no es

intervalo solución de la desigualdad.

Seleccionando

tal que

, al sustituir se obtiene

, es

decir,

que satisface la desigualdad

, entonces

es intervalo

solución de la desigualdad. Seleccionando

decir,

tal que

, al sustituir se obtiene:

, que no satisface la desigualdad

, es

, entonces

no es

intervalo solución de la desigualdad. tal que

Seleccionando

decir,

, al sustituir se obtiene

que satisface la desigualdad

, entonces

, es

es intervalo

solución de la desigualdad. Las raices

no satisfacen la desigualdad

sustituir se obtiene

. Y si

, al

, que satisface la desigualdad

Entonces el dominio natural es:

Cálculo del recorrido de una función Calcular el recorrido de una función significa, determinar el conjunto de números reales que representan los valores de la función, es decir, la máxima imagen formada por el conjunto de imágenes de los elementos del dominio natural. Hay dos procedimientos para obtener el recorrido de una función, el primero consiste en lo siguiente: a) Despejar la variable “𝑥” de la regla de correspondencia de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥).

b) Determinar el conjunto de números reales que al ser sustituidos como valores “𝑦” en la regla de correspondencia donde está despejada la variable “𝑥”, hacen posible ejecutar todas las operaciones indicadas. El procedimiento es similar al empleado para calcular el dominio natural. c) Comprobar que no hay error en el cálculo del recorrido para la función en cuestión. El segundo procedimiento consiste en construir la gráfica de la función e identificar el recorrido como la extensión vertical de la curva. Esta alternativa se describirá más adelante.

Ejemplo 18: Calcular el recorrido o máxima imagen de la función Resolución: Se despeja

de la función

Multiplicando ambos miembros por

, se obtiene

. .

Agrupando mediante la propiedad aditiva de la igualdad: Factorizando el primer miembro por el método del factor común:

Y despejando se obtiene:

, donde

La función es de la forma

entonces su máxima imagen es

son funciones polinómicas,

, así que se iguala a cero el divisor

y se resuelve la ecuación de primer grado que se forma: Si

, despejando

se obtiene:

Comprobación: Se comprueba que el recorrido no incluye

, sustituyendo en

y despejando

: Si

, multiplicando ambos miembros por

, se obtiene

, que es una

proposición falsa, pues un número real cualquiera cambia si se le aumenta en una unidad. En consecuencia, este hecho indica que no existe número real

tal que

Cualquier otro valor de la función es posible, ya que siempre existirá el número real lo determine. Entonces el recorrido o máxima imagen es: Ejemplo 19: Calcular el recorrido o máxima imagen de la función Resolución: Se despeja

de la función

. que

Elevando al cuadrado cada miembro:

, de donde

se obtiene:

La función es de la forma

despejando

, donde

polinómica, entonces su máxima imagen es

es una función

, así que se plantea con

el radicando la desigualdad cuadrática

y se resuelve:

Se resuelve primero la igualdad, es decir, la ecuación cuadrática

: se factoriza

la diferencia de cuadrados que se escribe

, de donde planteando y

resolviendo

se deducen las raíces

Las raíces de la ecuación son puntos que dividen a la recta numérica en tres intervalos de números reales que se muestran en la siguiente figura:

Se elige un punto dentro de cada intervalo y se sustituye en la desigualdad para determinar su solución y por tanto el recorrido o máxima imagen posible de la función: Seleccionando decir,

tal que

, al sustituir se obtiene:

, que no satisface la desigualdad

, entonces

, es no es

intervalo solución de la desigualdad. Seleccionando

tal que

, al sustituir se obtiene

que satisface la desigualdad

, es decir,

, entonces

es intervalo solución

de la desigualdad. Seleccionando

tal que

al sustituir se obtiene:

, que no satisface la desigualdad

, es decir,

, entonces

no es intervalo

solución de la desigualdad. Las raices

y es el intervalo

satisfacen la desigualdad .

. Así que la solución de

Comprobación: Se verifica si

es el recorrido o máxima imagen de la función. Analizando la regla , se define como la función raíz cuadrada no

de correspondencia negativa de

, por lo que su valor debe ser positivo o cero.

Entonces el recorrido o máxima imagen es:

Gráfica de una función Definición. Si función coordenadas

es una función definida en , entonces se define como gráfica de la al conjunto de puntos en el plano cartesiano, tales que sus satisfacen la regla de correspondencia

Observación: recuerda que se debe cumplir que para cada “ ” en el dominio de la función su imagen “ ” dentro de su codominio sea única. Dada la gráfica de la función esta condición se verifica fácilmente con la siguiente prueba:

Prueba de la recta vertical. Si cualquier recta vertical toca a la gráfica de una relación en a lo más un punto, entonces la gráfica corresponde a una función. Ejemplo 20: Trazar las gráficas de las relaciones

. Verificar

mediante la prueba de la recta vertical, si son funciones. Resolución: Para trazar las gráficas generalmente se despeja la variable “ ” en términos de la variable “ ”, se hace una tabulación asignando valores a “ ” en el dominio de la relación en cuestión y se construyen los puntos en el plano cartesiano. Sin embargo, una estrategia más adecuada consiste en simplificar las expresiones algebraicas a una forma tal que sea sencillo reconocer el lugar geométrico que representa y mediante el cálculo de sus elementos característicos construir la gráfica. Gráfica de

Al simplificar la expresión, multiplicando ambos miembros por el m.c.m. de los denominadores, se obtiene: , es decir,

Ejecutando las operaciones: obtiene la expresión simplificada:

y reduciendo términos semejantes se

Pero es la ecuación de una recta de la forma llamada ecuación general. Así que basta encontrar dos de sus puntos, (los más sencillos de obtener son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados) para construir su gráfica en el plano cartesiano: Si

, entonces

, de donde

, entonces

, de donde

Entonces los puntos son

. .

y la gráfica es:

Observa que cualquier recta vertical como la mostrada toca a la gráfica en a lo más un punto, entonces la curva representa una función. Gráfica de La expresión dada es la ecuación general de una parábola en forma general, entonces es conveniente simplificarla a su forma ordinaria para determinar sus elementos característicos y construir su gráfica: Aislando los términos de la variable

en el primer miembro mediante la propiedad aditiva

de la igualdad: Para completar un trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo se suma ambos miembros de la igualdad: Y factorizando ambos miembros se obtiene la ecuación ordinaria de la parábola:

Como ves, la ecuación ordinaria es de la forma , foco en

con

y extremos del lado recto en

. Entonces sus elementos son foco

, vértice en

, extremos del lado recto en

(abre hacia arriba), vértice y

y en ,

y la gráfica es:

Observa que cualquier recta vertical como la mostrada toca la gráfica en a lo más un punto, entonces la curva representa una función. Ejemplo 21: Determinar el recorrido o máxima imagen de las funciones

. Resolución: Como se construyeron las gráficas en el ejemplo 20, entonces para determinar el recorrido o máxima imagen, sólo es necesario verificar la extensión vertical de las curvas: La función

se extiende verticalmente desde menos infinito hasta más

infinito, entonces su recorrido o máxima imagen es: La función

se extiende verticalmente de su punto vértice hasta más

infinito, entonces su recorrido o máxima imagen es:

Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva Definición. Una función propiedad:

es inyectiva si y sólo si se satisface la siguiente Si

, entonces

Es decir, que en una función inyectiva a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes en su codominio.

Observación: dada la gráfica de una función esta propiedad se verifica fácilmente con la siguiente prueba:

Prueba de la recta horizontal Si cualquier recta horizontal toca a la gráfica de una función en a lo más un punto, la función es inyectiva. Definición. Una función satisface la siguiente propiedad: Para toda

es suprayectiva o sobreyectiva si y sólo si se existe

tal que

Esto significa que en una función suprayectiva el codominio y el recorrido o máxima imagen son iguales. Observación: dada la gráfica de una función extensión vertical de la curva es el intervalo

esta propiedad se verifica si la .

Prueba de la recta horizontal Si cualquier recta horizontal toca a la gráfica de una función en al menos un punto, la función es suprayectiva. Definición. Una función y suprayectiva.

es biyectiva si y sólo si simultaneamente es inyectiva

Ejemplo 22: Dar ejemplos de funciones cuyas variables dependientes e independientes estén relacionadas según la ecuación cumpla con ser: a) Una función que no sea inyectiva ni suprayectiva. b) Una función inyectiva y no suprayectiva. c) Una función suprayectiva y no inyectiva. d) Una función biyectiva.

de tal manera que la función

Resolución: La expresión dada es la ecuación de una elipse en la forma general, entonces es conveniente simplificarla a su forma ordinaria para determinar sus elementos característicos y construir su gráfica: Agrupando por separado los términos de la variable , de los términos de la variable en el primer miembro de la ecuación se obtiene: Factorizando en cada grupo el coeficiente del término cuadrático: Completando en cada grupo un trinomio cuadrado perfecto mediante la propiedad aditiva para no alterar la ecuación:

Factorizando los trinomios cuadrados perfectos en el primer miembro y sumando términos semejantes en el segundo miembro de la ecuación: Dividiendo ambos miembros entre

se obtiene la ecuación ordinaria de la elipse:

con centro en

Como ves, la ecuación ordinaria es de la forma

, semieje mayor “ ”, semieje menor “ ”, semieje focal “ ”, vértices en , puntos extremos del eje menor en ,

y focos en

. Entonces sus elementos son ,

, .

Otros puntos importantes del lugar geométrico son las intersecciones con los ejes: Sustituyendo en puntos de intersección con el eje Y:

, se obtienen las ordenadas de los

, de donde Resolviendo la ecuación por la fórmula general de segundo grado: , entonces

Con

Y las raices son

, se obtiene:

Entonces las intersecciones con el eje Y son los puntos

Sustituyendo en puntos de intersección con el eje X:

, se obtienen las abscisas de los , de donde

Como el primer miembro de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, factorizando, la ecuación se resuelve así:

, entonces obtienen las raíces

, de donde planteando y resolviendo

Entonces la intersección con el eje X es el punto Así que la gráfica es:

a) Dos ejemplos de funciones

, no inyectivas y no suprayectivas

cuyas variables dependientes e independientes están relacionadas según la ecuación representan gráficamente y en forma independiente las mitades superior e inferior respecto al eje mayor de la elipse. Se considera para cada una el codominio igual al conjunto de los números reales: Para determinar las reglas de correspondencia, se despeja la variable “

”de la

ecuación : Expresando la ecuación agrupada en tres términos: el cuadrático en la variable “ ”, el de primer grado en la variable “ ” y el independiente de la variable “ ” formado por los términos en la variable “ ” y por el término independiente de las dos variables: Se resuelve la ecuación para “ , entonces

Si Con

” por la fórmula general de segundo grado:

se obtiene: , es decir,

Entonces las funciones correspondencia:

inyectivas

;

suprayectivas

tienen

reglas

Y sus gráficas son:

Dominio: Recorrido: Codominio: Como ves,

es una función no inyectiva ya que al menos existe una recta horizontal que

toca a la gráfica en dos puntos. Y es una función no suprayectiva porque el codominio y el recorrido son diferentes:

Dominio: Recorrido: Codominio:

Como ves,

es una función no inyectiva ya que al menos existe una recta horizontal que

toca a la gráfica en dos puntos. Y es una función no suprayectiva porque el codominio y el recorrido son diferentes: b) Cuatro ejemplos de funciones

inyectivas y no suprayectivas cuyas variables dependientes e independientes están relacionadas según la ecuación representan gráficamente y en forma independiente las porciones en que los ejes mayor y menor dividen a la elipse. Se considera para cada una el codominio igual al conjunto de los números reales: Sus gráficas y elementos característicos son:

Dominio: Recorrido: Codominio: Como ves,

es una función inyectiva ya que cualquier recta horizontal toca a la gráfica,

en a lo más un punto. Y es una función no suprayectiva porque el codominio y el recorrido son diferentes:

Dominio: Recorrido: Codominio: Como ves,

es una función inyectiva ya que cualquier recta horizontal toca a la gráfica,

en a lo más un punto. Y es una función no suprayectiva porque el codominio y el recorrido son diferentes:

Dominio: Recorrido: Codominio:

Como ves,

es una función inyectiva ya que cualquier recta horizontal toca a la gráfica,

en a lo más un punto. Y es una función no suprayectiva porque el codominio y el recorrido son diferentes:

Dominio: Recorrido: Codominio: Como ves,

es una función inyectiva ya que cualquier recta horizontal toca a la gráfica,

en a lo más un punto. Y es una función no suprayectiva porque el codominio y el recorrido son diferentes: c) Dos ejemplos de funciones

, no inyectivas y suprayectivas

y para

el codominio

Y sus gráficas son:

Dominio: Recorrido: Codominio: Como ves,

es una función no inyectiva ya que al menos existe una recta horizontal que

toca a la gráfica en dos puntos. Y es una función suprayectiva porque el codominio y el recorrido son iguales:

Dominio: Recorrido: Codominio:

Como ves,

es una función no inyectiva ya que al menos existe una recta horizontal que

toca a la gráfica en dos puntos. Y es una función suprayectiva porque el codominio y el recorrido son iguales: d) Cuatro ejemplos de funciones

biyectivas cuyas variables dependientes e independientes están relacionadas según la ecuación representan gráficamente y en forma independiente las porciones en que los ejes mayor y menor dividen a la elipse. Se considera para

el codominio:

, para

el codominio:

el codominio: , y para

codominio: Y sus gráficas son:

Dominio: Recorrido: Codominio: Como ves,

es una función inyectiva ya que cualquier recta horizontal toca a la gráfica,

en a lo más un punto, y es a la vez una función suprayectiva porque el codominio y el recorrido son iguales:

. Por lo tanto es una función biyectiva.

Dominio: Recorrido: Codominio: Como ves,

es una función inyectiva ya que cualquier recta horizontal toca a la gráfica,

en a lo más un punto, y es a la vez una función suprayectiva porque el codominio y el recorrido son iguales:

. Por lo tanto es una función biyectiva.

Dominio: Recorrido: Codominio: Como ves,

es una función inyectiva ya que cualquier recta horizontal toca a la gráfica,

en a lo más un punto, y es a la vez una función suprayectiva porque el codominio y el recorrido son iguales:

. Por lo tanto es una función biyectiva.

Dominio: Recorrido: Codominio: Como ves,

es una función inyectiva ya que cualquier recta horizontal toca a la gráfica,

en a lo más un punto, y es a la vez una función suprayectiva porque el codominio y el recorrido son iguales:

. Por lo tanto es una función biyectiva.

Funciones algebraicas y trascendentes Definición. Una función es algebraica si su regla de correspondencia puede generarse con un número finito de operaciones elementales (suma, resta, multiplicación, división y raíz) a partir de las funciones y . Se clasifican en funciones polinómicas, racionales y raíces n-ésimas. Las funciones algebraicas que aparecen con frecuencia son:

•

Las funciones constantes

Su regla de correspondencia es

, donde “ ” es un número real.

Su dominio natural es Su gráfica es de la forma:

•

La función identidad

Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es:

•

La función lineal

Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es de la forma:

•

Las funciones cuadráticas

Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es de la forma:

•

La función raíz n-ésima

Si “ ” es par: Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es de la forma:

Si “ ” es impar: Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es de la forma:

•

Función definida a pedazos

Son funciones combinadas, es decir con regla de correspondencia formada de dos o más fórmulas. Ejemplo 23. Graficar la función valor absoluto

y determinar su dominio

natural y su recorrido. Resolución: Considerando la función valor absoluto formada por por

definida en

, su gráfica, su dominio natural y su recorrido es:

Ejemplo 24 Graficar la función combinada

y obtener su recorrido.

Resolución: Considerando la función formada por

definida en

, por

definida en

su gráfica

, y por

y su recorrido es:

Definición. Una función algebraica.

(real de variable real) es trascendente si no es

Las funciones trascendentes que aparecen con frecuencia son: •

Función seno

Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es:

•

Función coseno

Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es:

•

Función tangente 42

Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es:

•

Función cotangente

Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es:

•

Función secante

Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es:

•

Función cosecante

Su regla de correspondencia es Su dominio natural es Su gráfica es:

•

Función exponencial

Su regla de correspondencia es

, con

Su dominio natural es Se presentan dos casos: funciones exponenciales

con

y con

Sus gráficas son:

•

Función logarítmica

Su regla de correspondencia es

, con

Su dominio natural es Se presentan dos casos: funciones logarítmicas Sus gráficas es son:

Álgebra de funciones

con

y con

Definición.

Sean

respectivamente

dos

funciones

cuyos

dominios

son

. Se definen las cuatro operaciones fundamentales de la

siguiente forma: Función suma:

, con dominio

Función diferencia:

, con dominio

Función Producto:

, con dominio

Función cociente:

, con dominio

o bien

Función producto por una constante:

, con dominio

Ejemplo 25: Para las funciones

obtener

Dar en cada caso el dominio de la nueva función. Resolución: Suma

Primero se determina el dominio de La función

es de la forma

, entonces su dominio natural es

, así que se iguala a cero el divisor y se resuelve la ecuación: Como el divisor es una diferencia de cuadrados, factorizando, la ecuación se resuelve así: se puede escribir como y

, de donde planteando y resolviendo

se deducen las raíces

Entonces el dominio natural es: La función

es de la forma

, entonces su dominio natural es

, así que se iguala a cero el divisor y se resuelve la ecuación: se puede escribir como

, de donde se deducen las raíces

Entonces el dominio natural es: es:

Entonces el dominio de

Ahora se determina la regla de correspondencia.

Así que

Diferencia

El dominio de 𝑓 − 𝑔 es: Y la regla de correspondencia es:

Así que

Producto El dominio de

: es:

Y la regla de correspondencia es:

Así que

Cociente

Para encontrar el dominio de

se analiza la condición

Se resuelve primero la igualdad, es decir, la ecuación Considerando que

, si

, entonces

. Como es un trinomio de la forma se resuelve así:

, factorizando, la ecuación

Para el trinomio , su factorización es el producto de binomios con término común y términos no comunes tales que su producto es (el término independiente del trinomio) y su suma algebraica es (el coeficiente del término central), así que: se puede escribir en forma factorizada: planteando y resolviendo

se obtienen las raices

, de donde y

Y como Entonces el dominio de

es:

Y la regla de correspondencia es:

Así que

Ejemplo 25: Si

, obtener

y su dominio

Resolución: Para determinar el dominio de

es necesario asegurarse que las dos funciones que

intervienen en su definición, puedan evaluarse en los mismos puntos y que el valor de “ ” no sea cero.

La función

está formada por

definida en

. Análogamente la función

definida para condición si

definida en

y por

, si

está formada por

definida para

, se resuelve primero la igualdad

y por

. Para analizar la . Se observa que

Si se representa esquemáticamente esta información, el cálculo del dominio es más sencillo:

Entonces el dominio es

Y la regla de correspondencia es:

También puede ser:

Función compuesta

Definición. Dadas dos funciones la composición de

con dominio

, denotada por

cuyo dominio denotado por

respectivamente, se define

como:

es:

Observación: también se lee “ compuesta con importante que adviertas el orden de lectura. El siguiente diagrama ilustra la composición de

con

”, o bien “

” del conjunto

después asociar esos elementos

”. Es

El diagrama indica que la regla de correspondencia de asociar elementos “

seguida de

consiste en dos pasos,

con elementos del conjunto con elementos del conjunto

bajo

aplicando

Ejemplo 26: Si

calcular y graficar las composiciones

Resolución: Composición : Primero se determinan los dominios de Para Para

y de

el dominio es el dominio es

, (ver el ejemplo 14).

Ahora se obtiene el dominio de la composición

Analizando la condición

, es decir,

implica que

. Se resuelve esta desigualdad con el procedimiento

descrito en el ejercicio 14, de donde se obtiene que Entonces el dominio de la composición se obtiene con

y la regla de correspondencia es:

Las gráficas de las funciones

Y la gráfica de la composición

Composición

El dominio de

es:

son:

es:

, de donde resulta:

Analizando la condición

, es decir,

raíz positiva (o de valor cero) de

y considerando que

, se resuelve la desigualdad

Elevando al cuadrado todos los miembros se obtiene: . Entonces el dominio de

es la

: , es decir,

es: , es decir

La regla de correspondencia es:

Y su gráfica es:

Observación: debes notar que la composición de funciones no es conmutativa, es decir:

Ejemplo 27: Si

calcular y graficar

Resolución: Se determinan los dominios de Para

y de

el dominio es

Para

el dominio es

Ahora se obtiene el dominio de la composición

Para analizar la condición

, se determina para qué “ ” ocurre lo

contrario, así que se resuelve la ecuación

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por , es decir Entonces

Así que el dominio

, de donde,

, si y sólo si

, tal que

Y la regla de correspondencia es:

Las gráficas de las funciones

Y la gráfica de la composición

, se obtiene:

son:

es:

Función inversa Una función

es invertible, si existe una función

. También se afirma que una función

tal que

es invertible si la relación inversa es

función. Teorema: Una función Definición. Si

es una función biyectiva con dominio

define otra función de

es invertible si y sólo si es biyectiva.

, es decir,

correspondencia es

denominada la inversa de , su recorrido

y recorrido

, entonces se

, tal que su dominio

es el recorrido

es el dominio de

, o sea

y su regla de

Ambas funciones son mutuamente inversas si se cumple:

para todo para todo Y si se denotan con “ ” a las variables de los dominios de

y de

, se verifica que:

y Observación. Es común denotar con

a la función inversa de , es decir

debe confundirse con la función recíproca de

Gráficas de

, sin embargo, no

y su inversa

Si es una función biyectiva, toda recta horizontal toca a la gráfica en a lo más un punto. Y la gráfica de su función inversa se construye reflejando la gráfica de respecto a la recta

, debido a que si

punto de la gráfica de

es un punto de la gráfica de

, entonces

es un

Obtención de la función inversa Si

, para obtener la función inversa implica

si “

, se plantea la ecuación

, tal que

, entonces

, y de esta ecuación se despeja

determinar su función inversa

y comparar sus gráficas construidas en

”

Ejemplo 28: Si

el mismo plano cartesiano.

Resolución: Se plantea la ecuación

, es decir,

y se despeja “

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por

, y simplificando resulta Sumando

en ambos miembros: , de donde

Y dividiendo la ecuación entre

, se obtiene

Entonces la función inversa es Y sus gráficas son:

”:

no es uno a uno, su inversa es una relación que no Observación: Cuando una función es función. Sin embargo, en estos casos puede restringirse el dominio de para que sea invertible sobre su imagen, ya que en este caso basta con que sea inyectiva. Ejemplo 29: Si

restringir su dominio

para obtener dos ejemplos de funciones uno a uno

cuyas variables dependientes e independientes estén relacionadas según la ecuación . Obtener la función inversa sobre la imagen de cada una, respectivamente. Resolución: Observando la gráfica de es sencillo entender cómo debe dividirse la curva para generar funciones uno a uno de ella:

La función

de dominio

no es uno a uno, ya que la recta horizontal

que se observa en la figura toca a la gráfica en dos puntos. Dos ejemplos de funciones

uno a uno cuyas variables dependientes e independientes están relacionadas según la ecuación y

se ilustran en la misma figura como

, con dominios

respectivamente.

Ahora se determinan las funciones inversas: Se plantea la ecuación

, es decir,

y se despeja “

”:

Calculando raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad: , y simplificando resulta Entonces la función inversa sobre la imagen de

y definida en

definida en Y la función inversa sobre la imagen de

definida en

definida en Las gráficas de las funciones

y sus respectivas funciones inversas

son:

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Sean

, determinar

, e

interpretarlo en un diagrama de Venn. 2. Si

obtener

3. Si

. , determinar

y representarlo en

el plano cartesiano. 4. Considerando los conjuntos del ejemplo 1 determinar la relación

, tales que

los elementos de las parejas ordenadas sean palabras con el mismo número de letras. Representarla en un diagrama de Venn. 5. Considerando nuevamente los conjuntos del ejemplo 1 determinar la relación , tales que los elementos de las parejas ordenadas sean palabras con el mismo número de letras y que terminan en vocal. Representarla en un diagrama de Venn. 6. Si

, determina el subconjunto

, tal

que si se suman los cuadrados de las sumas de cada elemento de las parejas ordenadas y tres el resultado es siempre igual a veinticinco. Representar geométricamente la relación. 7. Si

conjunto tal que “ diagrama de Venn.

, determinar por extensión el ” es el doble de “ ” menos uno. Representar

en un

8. Si los conjuntos y del ejemplo 7 son de números reales, definir por comprensión la función enunciada en dicho ejemplo y representarla en el plano cartesiano. 9. Calcular el dominio natural de la función

10. Calcular el dominio natural de la función

11. Calcular el dominio natural de la función

12. Calcular el dominio natural de la función

13. Calcular el dominio natural de la función

14. Calcular el dominio natural de la función

15. Calcular el dominio natural de la función

16. Calcular el dominio natural de la función

17. Calcular el dominio natural de la función

18. Calcular el recorrido o imagen de la función

19. Calcular el recorrido o imagen de la función

20. Trazar las gráficas de las relaciones

Verificar mediante la prueba de la recta vertical, si son funciones. 21. Determina el recorrido o imagen de las relaciones

. 22. Dar ejemplos de funciones cuyas variables dependientes e independientes estén relacionadas según la ecuación cumpla con ser: a) Una función que no sea inyectiva ni suprayectiva. b) Una función inyectiva y no suprayectiva. c) Una función suprayectiva y no inyectiva. d) Una función biyectiva.

23. Graficar la función combinada

de tal manera que la función

y determinar su recorrido.

24. Para las funciones

obtener

sus dominios respectivos.

25. Si dominio

27. Si

28. Si

y su

26. Si dominios

encontrar

y y

calcular y graficar

. Obtener los

calcular y graficar

y obtener su dominio

determinar su función inversa

y comparar sus gráficas

construidas en el mismo plano cartesiano. 29. Si

restringir su dominio

para obtener dos ejemplos de funciones

uno a uno cuyas variables dependientes e independientes estén relacionadas según la ecuación

. Obtener para cada una la función inversa sobre la imagen

respectiva. 30. Si

restringir su dominio y su recorrido

respectivamente, para

obtener cuatro ejemplos de funciones uno a uno cuyas variables dependientes e independientes estén relacionadas según la ecuación cada una la función inversa sobre la imagen respectiva.

. Obtener para

UNIDAD 2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN OBJETIVO: Que el alumno comprenda el concepto intuitivo de límite de una función, que calcule el límite de diversas funciones y lo aplique para determinar la continuidad de una función.

Concepto intuitivo de límite Definición. Una función

tiene límite

suficientemente cercanos a

desde valores menores y también mayores que

se parece mucho a

en un punto

si para los números ,

y se denota por:

Ejemplo 1: verificar su comportamiento para números

Si a

suficientemente cercanos

Resolución: Se construyen dos tabulaciones, la primera asignando a números crecientes cada vez más cercanos a y la segunda asignando a números decrecientes también cada vez más cercanos a :

Observa que a medida que la variable se acerca o tiende al valor , los valores de la función se acercan o tienden a cero en las dos tabulaciones. Más aún, si se sustituye directamente el valor en la función se obtiene:

Entonces se escribe:

Observación: en este ejemplo ocurre que el límite de la función cuando es precisamente

tiende a

. En casos como este, se dice que el límite puede evaluarse por

sustitución directa, es decir:

Las funciones que tienen este comportamiento en el punto de estudio funciones continuas en c. Se muestra la gráfica de la función en donde se observa que

se llaman

está definida en

Ejemplo 2: Si

verificar su comportamiento para números

suficientemente cercanos a

. Resolución: Se construyen dos tabulaciones, la primera asignando a números crecientes cada vez más cercanos a y la segunda asignando a números decrecientes también cada vez más cercanos a , las siguientes tablas lo muestran.

Como ves, a medida que la variable se acerca o tiende al valor y es menor que , el denominador es un numero cada vez más pequeño y positivo, entonces la función tiende a infinito. De igual forma si la variable se acerca o tiende al valor y es mayor que , el denominador es un número negativo cada vez más grande (cada vez más cercano a cero), entonces la función tiende a menos infinito. Así que, se acerca o tiende a diferentes valores en las dos tabulaciones. Además si se analiza la función, su dominio es

, por lo que

no está definida:

Entonces se escribe:

Se muestra la gráfica de la función en donde se observa que no está definida en pero tiende a cuando se acerca a desde valores menores que y tiende a cuando se acerca a desde valores mayores que :

Ejemplo 3: Si

verificar su comportamiento para números

suficientemente cercanos a

. Resolución: Se construyen dos tabulaciones, la primera asignando a números crecientes cada vez más cercanos a cero y la segunda asignando a números decrecientes también cada vez más cercanos a cero:

Observa que a medida que la variable se acerca o tiende al valor cero, los valores de la función se acercan o tienden a infinito en las dos tabulaciones. Si se analiza la función, su dominio es

, por lo que

Sin embargo, el valor de la función cuando escribe:

no está definida: tiende a cero crece sin cota, entonces se

no está definida en Se muestra la gráfica de la función en donde se observa que pero tiende a cuando se acerca a cero desde valores menores que cero y también desde valores mayores que cero:

cuando Observación: Los ejemplos 2 y 3 revelan que el límite de una función tiende a un cierto valor no siempre existe o es alcanzable. Además debes notar que en ambos ejemplos el valor no forma parte del dominio de la función que se analiza.

También es importante aclarar que para encontrar el valor del límite en los tres ejemplos con las tabulaciones, en ningún momento se asignó a el valor , aún cuando la función estuviera definida en . Ejemplo 4: Si

verificar su comportamiento para números

suficientemente cercanos a

. Resolución: Se construyen dos tabulaciones, la primera asignando a números crecientes cada vez más cercanos a y la segunda asignando a números decrecientes también cada vez más cercanos a :

Observa que a medida que la variable se acerca o tiende al valor , los valores de la función se acercan o tienden al valor en las dos tabulaciones. Entonces se escribe:

, por lo que

Si se analiza la función, su dominio es

no está

definida: Ejemplos como éste dejan al descubierto que el límite de una función tiende a un valor

, no depende del valor de la función

cuando

Se muestra la gráfica de la función en donde se observa que no está definida en pero tiende a cuando se acerca a desde valores menores que y también desde valores mayores que :

Existencia de un límite En los ejemplos planteados se observa que los valores de la función se aproximan a un número o a dos números diferentes, dependiendo si se tiende al punto de estudio por la izquierda (tabulación de valores crecientes) o por la derecha (tabulación de valores decrecientes). Simbólicamente estas tendencias se denotan por:

Y se afirma que el límite de la función existe si y sólo si

, es decir:

Propiedades de los límites Si y positivo:

tienen límite cuando

tiende a

es una constante real y

un entero

Obtención de límites algebraicos Los siguientes son ejemplos en los que el valor del límite en de funciones definidas en , se calcula aplicando las propiedades de los límites enunciadas. Ejemplo 5: Calcular Resolución: Se aplica la propiedad 5, para el cálculo del límite de la función racional , y se justifica su aplicación si existen los límites del numerador y el denominador, y el límite del denominador no es cero:

Para calcular los límites del numerador y del denominador se aplican las propiedades 1, 2 y 3:

Y finalmente aplicando las propiedades 7, 8 y 9 se obtiene el valor del límite planteado:

Observación: si se calcula

Se cumple que:

se obtiene

, es decir,

Ejemplo 6: Calcular

Resolución: Se aplica la propiedad 5, para el cálculo del límite de la función

, y se

justifica su aplicación si existen los límites del numerador y el denominador, y el límite del denominador no es cero:

Para calcular los límites del numerador y del denominador se aplican las propiedades 1, 2 3 y 11:

Y finalmente aplicando las propiedades 7, 8 y 9 se obtiene el valor del límite planteado:

Se cumple que

Teorema. Si una función entonces:

, es decir,

es polinomica o racional y

Para determinar el valor del límite en en , se utiliza la siguiente propiedad:

está en el dominio de

, en caso de existir para funciones no definidas

Propiedad 12. Si tiende a

para toda

y existe el límite de

cuando

, entonces:

Los siguientes son algunos ejemplos, en los que será necesario, mediante algún artificio como la factorización, buscar otra función excepto en

igual a

en todos sus puntos

, con la que será posible obtener el límite.

Ejemplo 7: Calcular

Resolución: Analizando

función

por lo que

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del es cero:

denominador que se obtiene con

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

, con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de la diferencia de cuadrados, recordando que:

Observa que

es igual a

, si

propiedad 12 se obtiene:

, así que aplicando la

Ejemplo 8: Calcular Resolución: Analizando

función por lo que

del denominador que se obtiene con

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

, con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de la diferencia de cuadrados, recordando que:

Observa que la expresión obtenida parece no ser simplificable. Sin embargo, puede escribir como una diferencia de cuadrados y puede factorizarse:

Entonces se obtiene:

Ahora se debe tener cuidado al simplificar, antes se sustituye equivalente

por la expresión

Observa que

es igual a

, si

, así que

aplicando la propiedad 12 se obtiene:

Y aplicando la propiedad 4:

Al calcular cada límite con

se obtiene:

Ejemplo 9: Calcular

Resolución: Analizando

función

por lo que que se obtiene con

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del denominador es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de los trinomios cuadrados perfectos, recordando que:

Como ves, la expresión obtenida parece no ser simplificable. Sin embargo, los dos factores del numerador se factorizan por el método del factor común:

Observa que

es igual a

, si

, así que aplicando la

deduce

que

propiedad 12 y después la propiedad 7 se obtiene:

Ejemplo 10: Calcular Resolución: Analizando

función por lo que

dominio

no está definida, además el límite del

denominador que se obtiene con

es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de los trinomios , recordando que: de la forma sí y sólo si

Observa que

es igual a

, si

propiedad 12 y después la propiedad 5 y

, así que aplicando la

se obtiene:

Ejemplo 11: Calcular

Resolución:

Analizando

función por lo que

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del es cero:

denominador que se obtiene con

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de los trinomios de la : forma

Observa que

es igual a

, si

la propiedad 12 y después la propiedad 5 y

, así que aplicando

se obtiene:

Ejemplo 12: Calcular

Resolución: Analizando

función

por lo que

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del es cero:

denominador que se obtiene con

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización con los métodos antes descritos:

Observa que

es igual a

, si

la propiedad 12 y después las propiedades 5, 3 y

Ejemplo 13: Calcular Resolución:

, así que aplicando

se obtiene:

Analizando

función

por lo que

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del

denominador que se obtiene con

es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización. Ahora el trinomio de segundo grado del numerador es de la forma y se factoriza por agrupación, recordando que: , sí y sólo si y

es igual a

Observa que

, si

propiedad 12 y después la propiedad 5 y

, así que aplicando la

se obtiene:

Ejemplo 14: Calcular Resolución: Analizando

función por lo que

que se obtiene con

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del denominador es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de los trinomios de la forma , recordando que: , sí y sólo si y

es igual a

Observa que

, si

la propiedad 12 y después la propiedad 5 y

, así que aplicando

se obtiene:

Ejemplo 15: Calcular Resolución: Analizando

función por lo que

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del es cero:

denominador que se obtiene con

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización con los métodos antes descritos:

es igual a

Observa que

, si

la propiedad 12 y después la propiedad 5 y

, así que aplicando

se obtiene:

Ejemplo 16: Calcular Resolución: Analizando la función por lo que

, se deduce que su dominio es

no está definida, además el límite del denominador que se obtiene con es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de la suma de cubos, recordando que:

Observa que propiedad 12 y después

es igual a

, si se obtiene:

Ejemplo 17:

, así que aplicando la

Calcular Resolución: Analizando

función

por lo que

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del es cero:

denominador que se obtiene con

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de la suma de cubos del denominador:

Observa que

es igual a

, si

aplicando la propiedad 12 y después las propiedades 5, 7 y

Pero

, entonces se obtiene:

Ejemplo 18: Calcular Resolución:

, así que se obtiene:

Analizando

función

por lo que

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del denominador

que se obtiene con la propiedad 8, es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de la diferencia de cubos, recordando que:

es igual a

Observa que aplicando

, si

, así que

se obtiene:

Ejemplo 19: Calcular Resolución: Analizando

función por lo que

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del

denominador que se obtiene con

es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5.

Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando los trinomios primero por el método del factor común, recordando que:

es igual a

Observa que

, si

aplicando la propiedad 12 y después la propiedad 5 y

, así que

se obtiene:

Ejemplo 20: Calcular Resolución: Analizando la función

, se deduce que su dominio es por lo que

no está definida, además el límite del es cero:

denominador que se obtiene con

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando por el método del factor común:

Observa que

es igual a

aplicando la propiedad 12 y después la propiedad 5 y

, si

, así que

se obtiene:

Ejemplo 21: Calcular Resolución: Analizando

función

, por lo que

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del es cero:

denominador que se obtiene con

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando por el método del factor común:

Observa que

es igual a

, si

propiedad 12 y después las propiedades 11, 5 y

, así que aplicando la se obtiene:

Ejemplo 22: Calcular Resolución: Analizando la función

, se deduce que su dominio es

por lo que que se obtiene con

no está definida, además el límite del denominador es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando el polinomio del numerador por agrupación y el binomio como suma de cubos:

es igual a

Observa que

, si

aplicando la propiedad 12 y después la propiedad 5 y

, así que

se obtiene:

Ejemplo 23: Calcular Resolución: , se deduce que su dominio es

Analizando la función por lo que

no está definida, además el límite del es cero:

denominador que se obtiene con

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando el polinomio del numerador por agrupación:

Observa que

es igual a

, si

, así

que aplicando la propiedad 12 y después la propiedad 7 se obtiene:

Ejemplo 24: Calcular Resolución: Analizando la función por lo que que se obtiene con

, se deduce que su dominio es no está definida, además el límite del denominador es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando el polinomio del numerador por agrupación (no es necesario factorizar la diferencia de cuadrados del denominador):

Observa que

es igual a

que aplicando la propiedad 12 y después

, si se obtiene:

y si

, así

Ejemplo 25: Calcular Resolución: Analizando la función por lo que que se obtiene con

, se deduce que su dominio es no está definida, además el límite del denominador es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando con los métodos antes descritos:

Observa que

es igual a

aplicando la propiedad 12 y después la propiedad 5 y

, si

, así que

se obtiene:

Observación: para factorizar el polinomio por agrupación fue necesario descomponer , para completar el producto de por un trinomio . cuadrado perfecto en los primeros tres términos del polinomio Otra alternativa de descomposición que es útil para factorizar en este ejemplo, es la siguiente:

Una tercera alternativa de factorización, es la aplicación del método de evaluación por división sintética, considerando que un factor del numerador puede ser

, que es el

responsable de que el límite del denominador sea cero:

Entonces la factorización es:

Se exponen diferentes alternativas para que decidas cual es la más conveniente para ti. Ejemplo 26: Calcular Resolución: Analizando la función

, se deduce que su dominio es por lo que

no está definida, además el límite del es cero:

denominador que se obtiene con

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando con los métodos antes descritos:

Observa

que

es , si

igual

, así que aplicando la propiedad 12 y después la

se obtiene:

propiedad 5 y

Observación: para factorizar el polinomio por agrupación, la estrategia fue descomponer los términos buscando por parejas de izquierda a derecha, el factor común

, que es el responzable de que el límite del denominador sea cero.

Si se aplica el método de evaluación por división sintética, considerando que un factor del numerador puede ser

, seleccionado por el motivo antes expuesto, se obtiene:

Entonces la factorización es:

Ejemplo 27: Calcular

Resolución: , se deduce que su dominio es

Analizando la función

no está definida, además el límite del denominador que se obtiene con

por lo que

es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando la diferencia de cuadrados del numerador y racionalizando el denominador, es decir, multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado de éste último que contiene el radical de segundo orden (observa que la función no se altera al multiplicarla por

es igual a

Observa que

, si

la propiedad 12 y después la propiedad 4 y

, así que aplicando

se obtiene:

Ejemplo 28: Calcular Resolución: Analizando

función por lo que

que se obtiene con

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del denominador es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5.

Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando la diferencia de cuadrados del denominador y racionalizando el numerador, es decir, multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del numerador que contiene el radical de segundo orden (observa que la función no se altera al multiplicarla por

es igual a

Observa que

, si

aplicando la propiedad 12 y después las propiedades 8, 4 y

, así que

se obtiene:

Ejemplo 29: Calcular

Resolución: , se deduce que su dominio es

Analizando la función por lo que que se obtiene con

no está definida, además el límite del denominador es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando el trinomio cuadrático del

denominador y racionalizando el numerador, es decir, multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del numerador que contiene a los radicales de segundo orden. Observa que la función no se altera al multiplicarla por

Observa

que

es , si

igual

, así que aplicando la propiedad 12 y

después las propiedades 5, 8, 4 y

se obtiene:

Se plantea a continuación un ejemplo en el que la estrategia de resolución puede ser un cambio de variable y/o la aplicación de las fórmulas:

Ejemplo 30: Calcular Resolución: , se deduce que su dominio es

Analizando la función

no está definida, además el límite del denominador que se obtiene con

por lo que

es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando el numerador por el método del factor común y como una diferencia de cubos:

Pero observa que

se puede expresar como una diferencia de cubos:

Entonces recordando que:

Observa que

es igual a

, si

aplicando la propiedad 12 y después las propiedades 4, 8 y

Ahora observa cómo se resuelve mediante un cambio de variable: Sea

, entonces despejando

se obtiene:

, así que se obtiene:

Ahora si

tiende a

√𝑥 = √8 = 2, así que

, entonces

De esta información se obtiene el siguiente límite en términos de

tiende a

Resolución: Analizando

función por lo que

que se obtiene con

deduce

que

dominio

no está definida, además el límite del denominador es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, factorizando la diferencia de cubos del numerador:

Observa que

es igual a

aplicando la propiedad 12 y después

, si se obtiene:

Ejemplo 31: Calcular

, así que

Resolución: Ejecutando la resta de fracciones se obtiene:

, se deduce que su dominio es

Analizando la función lo que

por

no está definida, además el límite del denominador que se obtiene con es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la factorización de la diferencia de cuadrados:

Observa que propiedad 12 y

es igual a

, si

se obtiene:

Ejemplo 32: Calcular

Resolución: Simplificando la fracción algebraica complicada:

, así que aplicando la

Analizando la función

por lo que

, se deduce que su dominio es

no está definida, además el límite del denominador que se obtiene con (donde

es una función racional y

está en su dominio), es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la simplificación de la fracción algebraica:

Observa que

propiedad 12 y

es igual a

, si

se obtiene:

Ejemplo 33: Calcular Resolución: Simplificando la fracción algebraica complicada:

, así que aplicando la

Analizando la función

, se deduce que su dominio es

por lo que

no está definida, además el límite del

denominador que se obtiene con la propiedad 4 y

, es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, mediante la simplificación de la fracción algebraica:

Observa que

es igual a

, si

, así que

aplicando la propiedad 12 y después las propiedades 5, 7, 4 y

obtiene:

Entonces: Límites al infinito Si una función se acerca o tiende a un valor cuando la variable independiente crece o decrece sin cota, se afirma que existe un límite al infinito y se denota por: o Observación: los símbolos anteriores se leen así:

no representan números, pero las expresiones

: “El límite de

cuando

tiende a infinito es L”

: “El límite de

cuando

tiende a menos infinito es L”

Definición. La recta

se llama asíntota horizontal de la curva

, si se cumple:

o Teorema. Si es un número racional, tal que entonces se cumple que:

está definida para toda

y Para resolver límites al infinito de funciones racionales, la estrategia es dividir el numerador y el denominador entre la máxima potencia de que esté presente en la expresión. Ejemplo 34: Calcular Resolución: Analizando

se deduce que la máxima potencia de

que está

, entonces presente en la función tanto en su numerador como en su denominador es se dividen ambos elementos del cociente “numerador y denominador” entre ella, (o se obtiene como factor común del numerador y del denominador):

Aplicando

se obtiene:

que la recta

Observa en la siguiente gráfica de horizontal de la curva porque se cumple que

es asíntota

Ejemplo 35: Calcular Resolución: se deduce que la máxima potencia de

Analizando

que está

presente en la función tanto en su numerador como en su denominador es , entonces se dividen ambos elementos del cociente “numerador y denominador” entre ella, (o se obtiene como factor común del numerador y del denominador). En este ejemplo es necesario recordar que:

Aplicando

se obtiene:

que la recta

Observa en la siguiente gráfica de horizontal de la curva porque se cumple que

es asíntota

Ejemplo 36: Calcular Resolución: se deduce que la máxima potencia de

Analizando

que está

Aplicando

se obtiene:

Observa en la siguiente gráfica de

que la curva tiene dos asíntotas

horizontales, la relacionada con el límite calculado es la recta

que es asíntota

horizontal de la curva porque se cumple que

Obtención de límites trascendentes Para resolver estos casos son necesarios los valores de dos límites importantes. Mediante tabulaciones se verificará el comportamiento de la función números

suficientemente cercanos a

para

Observa que a medida que la variable se acerca o tiende al valor función se acercan o tienden a en las dos tabulaciones.

, los valores de la

Entonces se conjetura en forma natural que:

Se deja la justificación como investigación en la bibliografía sugerida al final de este trabajo. Ahora también mediante tabulaciones se verificará el comportamiento de la función para números

suficientemente cercanos a

------

Observa que a medida que la variable se acerca o tiende al valor función se acercan o tienden al número de Euler tabulaciones.

, los valores de la en las dos

Entonces se conjetura en forma natural que:

Otra forma equivalente de expresar este límite es:

Otro caso importante que debemos revisar es:

, con

Para revisar este límite, se tomará en cuenta el resultado anterior y se aplicará el siguiente cambio de variable:

, observando que cuando

Del cambio de variable propuesto se tiene que:

Así que Ejemplo 37: Calcular

Resolución: Analizando la función

que

se deduce que en su dominio no está

, por lo que

no está definida, además el límite del

denominador que se obtiene con la propiedad 6 y con la propiedad

cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

igual a

en todos sus puntos excepto en

con la que será posible obtener el límite, aplicando las siguientes identidades trigonométricas:

, entonces

100

Observa que

es igual a

, si

aplicando la propiedad 12 y después las propiedades 3, 4, 6 y

, así que

obtiene:

Observa la gráfica de la función:

Ejemplo 38: Calcular Resolución: Analizando la función , por lo que se obtiene con la propiedad

se deduce que en su dominio no está

ya que

no está definida, además el límite del denominador que es cero:

101

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función cambio de variable: Sea Ahora si

con la que será posible obtener el límite, mediante un

, entonces tiende a

, entonces

, así que

se obtiene:

Aplicando la propiedad de los logaritmos

, se puede escribir:

Y por la propiedad

Pero

y se deduce el siguiente límite

De esta información se obtiene la función en términos de

tiende a

, entonces:

Asi que se concluye que: Ejemplo 39: Calcular

102

Resolución: se deduce que en su dominio no está

Analizando la función

que límite

, por lo que del

denominador

que

no está definida, además el

obtiene

con

las

propiedades

es cero:

Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función cambio de variable: Sea

Ahora si

con la que será posible obtener el límite, mediante un

, entonces

tiende a

, entonces

, así que

De esta información se obtiene la función se deduce el siguiente límite en términos de

tiende a

, es decir :

Aplicando la propiedad del recíproco del recíproco se obtiene:

Y por la propiedad de los logaritmos

, se puede escribir:

Ahora aplicando la propiedad 5:

103

y el

Pero aplicando las propiedades 7,

se obtiene:

Asi que se concluye que:

Ejemplo 40: Calcular Resolución: Analizando la función por lo que

se deduce que en su dominio no está

no está definida, además el límite del denominador que se obtiene con la

propiedad 8 es cero: Por lo tanto no es adecuado aplicar la propiedad 5. Entonces se busca otra función

con la que será posible obtener el límite, aplicando

las siguiente identidade trigonométrica:

Factorizando el numerador por el método del factor común:

Entonces se plantea el siguiente límite:

104

Aplicando las propiedad 4:

Pero

, entonces:

Así que se concluye que:

Continuidad en un punto Definición. Una función 𝑓 es continua en un punto de abscisa

si y sólo si:

Observación: es muy importante mencionar que esta definición es aplicable exclusivamente para puntos en el dominio de una función. No tiene sentido hablar de continuidad (o discontinuidad) para puntos que no forman parte de la función. Analizando la definición debes notar que implícitamente demanda el cumplimiento de tres condiciones: a)

existe, es decir, que

esté en el dominio de la función.

existe, es decir, que la función debe estar definida en un intervalo

abierto que contenga c)

Si alguna de estas condiciones no se cumple habrá discontinuidad en siempre implica necesariamente, que la función analizada sea discontinua.

, lo que no

Ejemplo 41: Determinar si la función

, es continua en

Resolución: Analizando el cumplimiento de la definición de continuidad en un punto: a) f (2 ) = 1 , es decir, la función está definida en b) c)

, es decir, el límite existe. , porque

105

Como vez, el punto de abscisa está en el dominio de la función, entonces es correcto pronunciarse sobre la continuidad de la función en el punto: , es discontinua en

Observación: en este ejemplo debes entender que

Ejemplo 42: Determinar si la función

, es continua en

Resolución: Analizando el cumplimiento de la definición de continuidad en un punto: a) f (2 ) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5 , es decir, la función está definida en b) Como

y , entonces

, es decir, el límite existe.

c) Como vez, el punto de abscisa está en el dominio de la función, entonces es correcto pronunciarse sobre la continuidad de la función en el punto: , es continua en

Observa la gráfica de la función:

106

Ejemplo 43: , es continua en

Determinar si la función

Resolución: Analizando el cumplimiento de la definición de continuidad en un punto: a) f (0 ) = 3 (0 ) − 2 = 0 − 2 = −2 , es decir, la función está definida en . b)

y , entonces lim f (x ) no existe.

Como

x →0

Observación: en este ejemplo no es posible analizar la tercera condición, debido a que no existe el límite. Como vez, el punto de abscisa está en el dominio de la función, entonces es correcto pronunciarse sobre la continuidad de la función en el punto: , es discontinua en

Observa la gráfica de la función:

Ejemplo 44:

Determinar si la función

, es continua en

Resolución: a) f (6 ) =

1 , es decir, la función está definida en 10 107

b) Se verifica la existencia del límite:

, es decir, el límite existe.

c) lim f (x ) = x →6

1 = f (6 ) 10

Como vez, el punto de abscisa está en el dominio de la función, entonces es correcto pronunciarse sobre la continuidad de la función en el punto:

, es continua en

Observa la gráfica de la función:

Tipos de discontinuidades Una función en la que no se satisfacen las tres condiciones de continuidad en un punto , puede deberse a alguna de las siguientes situaciones: a) Si es la ecuación de una asíntota vertical de la gráfica de una función , entonces existe una discontinuidad infinita en que no está en el dominio de la función, por lo que no tiene sentido decir que la función es discontinua en .

108

b) Si

tal que

está en el dominio de finita o salto en decir que

, pero

existe, es decir,

, entonces la función tiene una discontinuidad

. Si

no está definida, entonces no tendrá sentido

es discontinua en

existe, pero 𝑓(𝑐) no existe, hay una discontinuidad evitable o

c) Si

hueco en , pero no tiene sentido decir que la función es discontinua en porque ocurre fuera de su dominio. d)

está definida y

existe, pero

, entonces la

función 𝑓 tiene una discontinuidad hueco-salto en

Continuidad en un intervalo abierto y en un intervalo cerrado Definición. Una función es continua en un intervalo abierto

, sí y sólo si es

continua en todo número del intervalo abierto. Definición. Una función es continua en un intervalo cerrado el intervalo abierto

, existe

, sí y sólo si lo es en

y existe

Ejemplo 45: Sea f (x ) =

1 , analiza si es una función continua. x −3

Resolución: Para verificar si la función está definida en todo número real

, se determina su dominio. .

Como la función es racional, su dominio es Resolviendo la ecuación

, su raíz es

, entonces:

Así que la función está definida en todo número real excepto en Ahora se analiza si la función es continua en los intervalos abiertos

. y

, para

ello se aplica el siguiente teorema: Teorema. Toda función polinomial

es continua en

, se cumple:

109

, ya que para todo

Como el numerador

y el denominador

entonces son continuas en el intervalo ,

son funciones polinomiales, por el teorema enunciado. Y

Entonces se concluye que f (x ) =

1 es continua en su dominio porque se cumple: x −3 , para todo

Observación:

es la ecuación de la asíntota vertical de la gráfica de

Se muestra en seguida la gráfica de la función donde se verifica el resultado obtenido:

Ejemplo 46: Determinar si la función f (x ) =

x es continua en el intervalo [−4, −3]. x +8 3

Resolución: Para verificar donde esta definida la función se determina su dominio: Como la función es racional, su dominio es por factorización se obtiene:

Resolviendo la ecuación

Pero Resolviendo la ecuación

y/o

se obtiene la raíz

110

La ecuación cuadrática

no tiene solución en los números reales.

Entonces el dominio de la función es:

Así que la función está definida para todo número real excepto cumple que Como el numerador

. Además se

. y el denominador

continuas en el intervalo

son funciones polinomiales, entonces son

por el teorema enunciado.

Ahora se observa que Entonces se concluye que

. es continua en el intervalo

porque se

cumple: , para todo Se muestra en seguida la gráfica de la función donde se verifica el resultado obtenido:

Ejemplo 47: Discutir si la función cuya gráfica se presenta, es continua en el intervalo [−1,3] 111

Resolución: Se puede observar en la gráfica que su dominio es discontinuidad hueco que se presenta en Y como

, entonces la

, ocurre fuera del dominio de la función.

, entonces

De este análisis se concluye que no tiene sentido hablar de la discontinuidad de la función en

, sin embargo, si es importante señalar que la función

mostrada es continua en su dominio continua en

, y por lo tanto también es .

112

Ejercicios de autoevaluación 1. Si cercanos a

verificar su comportamiento para números .

12. Calcular 2. Calcular

3. Calcular

13. Calcular

4. Calcular

14. Calcular

15. Calcular 5. Calcular 16. Calcular 6. Calcular 17. Calcular 7. Calcular 18. Calcular

8. Calcular

19. Calcular

9. Calcular

20. Calcular

10. Calcular

21. Calcular

11. Calcular

22. Calcular

113

suficientemente

23. Calcular

35. Calcular

24. Calcular

36. Calcular

37.

Determinar

función

25. Calcular , 26. Calcular

27. Calcular

es continua en

38. Determinar

para que la función ,

28. Calcular

sea continua en

39.

Determinar

función

29. Calcular .

es continua en 40.

30. Calcular

Determinar

función ,

31. Calcular es continua en 32. Calcular

33. Calcular

34. Calcular

114

UNIDAD 3 LA DERIVADA OBJETIVO: Al terminar el estudio de esta unidad serás capaz de derivar funciones y de analizar sus gráficas a partir de la interpretación geométrica de la derivada.

Definición de derivada y notaciones Definición. Sea dice que

una función y

es derivable en

se lee la derivada de

un número, si el límite

existe, se

y se escribe

en el número

tangente a la gráfica de la función

y representa la pendiente de la recta

Notación: La derivada se denota mediante los símbolos

y ', f ',

dy df , , Dx y, Dx f dx dx

Obtención de derivadas a partir de la definición Ejemplo 1: Determina la derivada de Resolución:

−2 ( x + h ) − 11  −2 x − 11  −  5 ( x + h ) + 1  5x + 1  f ( x + h) − f ( x) f ' ( x ) = lim = lim h →0 h →0 h h ( −2 x − 2h − 11)( 5 x + 1) − ( −2 x − 11)( 5 x + 5h + 1) −2 x − 2h − 11 −2 x − 11 − ( 5 x + 5h + 1)( 5 x + 1) 5 x + 1 == lim = lim 5 x + 5h + 1 h →0 h →0 h h

Ejemplo 2: Determina la derivada de Resolución:

Se revisarán cuatro derivadas importantes, la derivada de la función exponencial y de la función logaritmo natural. Como el título que inicia este párrafo lo menciona, sólo se trata de justificaciones o argumentaciones, sin todo el rigor del cálculo formal con que se abordan en cursos avanzados de Calculo Diferencial e Integral, pero que son útiles para dar referencia a resultados necesarios. 116

Ejemplo 3: Determina la derivada de f ( x) = ln( x) Resolución: Si f ( x) = ln( x) , calcular lim

∆x→0

f ( x + ∆x) − f ( x) . ∆x

x 1 ln ( x+∆ x ) f ( x + ∆x) − f ( x) ln( x + ∆x) − ln( x) = lim = lim = lim ∆1x ln (1 + ∆xx ) = lim ln (1 + ∆xx ) ∆x , ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ∆x 1 1   ln( x + ∆x) − ln( x) 1   = ln  lim (1 + ∆xx ) ∆x  = ln ( e ) x  = 1x , es decir, lim = x , o de forma ∆x→0 x ∆ → 0 ∆x    

lim

equivalente d ln( x) = 1x . dx

Ejemplo 4: Determina la derivada de g ( x) = e x Resolución: Si g ( x) = e x , calcular lim

∆x→0

g ( x + ∆x) − g ( x) . ∆x

e g ( x + ∆x) − g ( x) e x+∆x − e x = lim = lim lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x z=e

∆x

( e∆x − 1) , haciendo el cambio de variable, ∆x

− 1 , se puede ver que cuando ∆x → 0 , z = e∆x − 1 → 0 , también del cambio de

variable se tiene que z + 1 = e∆x y entonces ln( z + 1) = ∆x . De manera que: e g ( x + ∆x) − g ( x) = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x lim

( e∆x − 1) = lim e x ( z) = lim ∆x

z→0 ln( z + 1)

ex ex = lim = 1 z→0 ( 1 ) ln( z + 1) z→0 z z ln(1 + z )

  ex ex 1 d x = = e x  lim = = e x , o de forma equivalente e = ex . 1  1  z→0 ln e ( ) dx z z ln(1 + z )  lim ln(1 + z )  z→0

Fórmulas de derivación 1)

d (c) = 0 dx

d ( x) = 1 dx

117

d d d d ( u + v + w + ...) = ( u ) + ( v ) + ( w ) + ... dx dx dx dx

d d ( cu ) = c ( u ) dx dx

d d d ( uv ) = u ( v ) + v ( u ) dx dx dx

d d d d ( uvw ) = uv ( w ) + uw ( v ) + vw ( u ) dx dx dx dx

d u 1 d (u ) , c ≠ 0  = dx  c  c dx

d c d 1   = c  ,u ≠ 0 dx  u  dx  u 

d d u ) − u (v) ( d u dx dx ,v ≠ 0 9)  = 2 dx  v  v v

10)

d ( x n ) = nx n−1 dx

11)

d d u n ) = nu n −1 ( u ) ( dx dx

Obtención de derivadas a partir de las fórmulas Ejemplo 5: Determina la derivada de Resolución:

118

Ejemplo 6: Determina la derivada de Resolución:

119

Ejemplo 7: Determina la derivada de Resolución:

120

Ejemplo 8: Determina la derivada de Resolución:

Ejemplo 9: Determina la derivada de Resolución:

121

Ejemplo 10: Determina la derivada de Resolución: d d sen( x) ( dx sen( x) ) cos ( x) − ( sen( x) ) ( dx cos ( x) ) cos ( x) − sen( x) ( − sen( x) ) = = = tan( x) = dx dx cos ( x) cos 2 ( x) cos 2 ( x) d

1 cos 2 ( x)

= sec 2 ( x) .

Derivada de funciones implícitas Definición. Si es una función definida por una expresión algebraica en términos de la variable , se dice que está definida explícitamente en términos de . Observa los dos siguientes ejemplos: , No todas las funciones están definidas explícitamente. Un ejemplo es: Se puede obtener la derivada de denominado Derivación implícita.

con respecto a

en estos casos por el proceso

Ejemplo 11: Encontrar

suponiendo que

Resolución: Se derivan ambos lados de la ecuación con respecto a

122

Ejemplo 12: Encontrar

suponiendo que

Resolución: Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a

Ejemplo 13: Encontrar

suponiendo que

Resolución: Derivando ambos lados de la ecuación con respecto a

123

Ejemplo 14: En el siguiente caso se aplicará la derivación implícita y la derivada de función de función (o regla de la cadena). Si h( x) = arcsen( x) , calcular

d h( x ) . dx

Resolución: Como h( x) = arcsen( x) , entonces sen(h) = x , igualdad se tiene:

y derivando implícitamente la anterior

d 1 d d d d ( h) = . sen(h) = cos(h) (h) = x = 1 . Despejando ( h) , dx cos (h) dx dx dx dx

Por otra parte se sabe que sen(h) = x , si se construye un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de medida h y de hipotenusa 1 , se ve de la siguiente forma:

Aplicando el teorema de Pitágoras para obtener la magnitud del otro cateto se tiene: sen(h) = x = 1x , entonces la suma de los cuadrados de los catetos es: sen 2 (h) + cateto22 = 1 , entonces cateto22 = 1 − sen 2 (h) = 1 − x 2 , como se puede ver en la figura anterior. Entonces aplicando la razón trigonométrica coseno del ángulo h en la figura anterior 1 − sen 2 (h)

1 − x2 = 1 − x2 . 1 1 d d 1 1 = ( h) = (arcsen( x)) = Finalmente se tiene que . dx dx cos (h) 1 − x2

resulta: cos (h) =

124

Máximos y mínimos relativos de una función Definición. Si

es una función en un intervalo

punto crítico de

y Si

es llamado un

no está definida en Definición. Si

, entonces

es una función derivable en un intervalo

es un punto crítico de

, excepto tal vez en

entonces:

para todo

entonces

alcanza un máximo en . Si para todo

para todo

entonces

alcanza un mínimo en . Si no cambia de signo entonces

no alcanza un máximo ni un mínimo en

Puntos de inflexión Definición. Un punto de inflexión de una función cambia de concavidad.

es un punto en el que la gráfica de

Criterio de curva creciente o decreciente Criterio. Si

es una función cuya derivada

es distinta de cero en

para todo

entonces

es creciente en

para todo

entonces

es decreciente en

y . .

Criterio de concavidad Criterio. Si

es una función cuya segunda derivada

es distinta de cero en

para todo x de

, entonces

es convexa en

para todo x de

, entonces

es cóncava en

. .

Ejemplo 15: Dibujar la gráfica de la función Resolución: Se determina el dominio de la función Por ser un cociente interesa saber donde la función no está definida, entonces:

125

Intersecciones con los ejes -Eje

Es el punto sobre los ejes coordenados. -Eje Hacemos Es el punto sobre los ejes coordenados. Continuidad La función es un cociente de funciones continuas en entonces la función es continua en

y su dominio es

Se calcula la primera derivada de

Para todo

Se determinan los puntos críticos Como la derivada está definida en todos los reales excepto el 4, entonces los únicos puntos críticos son aquellos en donde la derivada vale cero. Entonces se resuelve la ecuación:

⇔

Por lo tanto los puntos críticos son:

⇔ y

⇔ x=0 ó

Se verifica donde la función crece y decrece. La función no está definida en decrecimiento son:

, entonces los intervalos de crecimiento o

126

Ahora se elige un punto de cada intervalo y se evalúa en la derivada.

La función es creciente en

La función es decreciente en

La función es creciente en Se determina la segunda derivada:

f '' ( x ) =

32 x − 128

( x − 4)

127

Determinar máximos y mínimos En la segunda derivada se evalúan los puntos en que la derivada vale cero.

f '' ( 0 ) =

( 0 − 4)

( −4 )

32 1 =− <0 −64 2

entonces

tiene un máximo en

f '' ( 8 ) =

entonces

(8 − 4 )

( 4)

32 1 = >0 64 2

tiene un mínimo en

Determinación de las concavidades: Se analizan los cambios de signo de f '' .

( x − 4)

⇔

32 = 0

por lo cual concluimos que

( x − 4)

≠ 0.

Este punto no está en el dominio de la función así que no puede ser punto de inflexión. Los intervalos donde crece o decrece la derivada quedan determinados por el punto donde no está definida. Ahora se determina en qué intervalos la función es cóncava y en cuales es convexa.

f '' ( x ) > 0 ⇔

( x − 4)

> 0 ⇔ ( x − 4 ) > 0 ⇔ x − 4 > 0 ⇔ x > 4 ⇔ x ∈ ( 4, ∞ ) 3

Por lo tanto f es convexa en Asíntotas Como el grado del numerador es mayor que el del denominador entonces hay asíntotas oblicuas. Dividimos entre , utilizando división sintética 1 0 0 4 16 De aquí se deduce que la recta es una asíntota 1 4 16 oblicua de la gráfica de . Asíntota vertical También se puede encontrar la asíntota utilizando lo aprendido:

128

x2 x2 16 16 = x+4+ ⇒ − ( x − 4) = ⇒ x−4 x−4 x−4 x−4  x2   x2  16 lim  − ( x − 4 )  = lim ⇒ lim  − ( x − 4)  = 0 x →∞ x − 4 x →∞ x − 4   x →∞ x − 4   Por lo tanto

x2 es una asíntota de x−4

Ejemplo 16: Dibujar la gráfica de la función Resolución: Se determina el dominio de la función Por ser un cociente, interesa saber donde la función no está definida, entonces :

Intersecciones con los ejes -Eje

La gráfica de f intersecta al eje

en los puntos

-Eje Se sustituye

129

La gráfica f intersecta al eje

en el punto

Continuidad La función es un cociente de funciones continuas en entonces la función es continua en

y su dominio es

Se calcula la primera derivada

Para todo

Se determinan los puntos críticos Como la derivada está definida en todos los reales excepto crítico es aquel en donde la derivada vale cero.

, entonces el único punto

El punto crítico es: Se analiza donde la función crece y/o decrece. La función no está definida en

, entonces los intervalos de crecimiento o

decrecimiento son: Ahora se elige un punto de cada intervalo y se evalúa en la derivada.

130

La función es creciente en

(

Por lo tanto f ( x ) es creciente en −∞, − 2

) y en ( − 2, 0) .

La función es decreciente en

(

Por lo tanto f ( x ) es decreciente en 0, 2

) y en ( 2, ∞ )

Se calcula la segunda derivada

131

Determinar máximos y mínimos En la segunda derivada se evalúan los puntos críticos

Entonces

tiene un máximo en

Determinar las concavidades Se analizan los cambios de signo de f '' .

Las soluciones de esta ecuación no se encuentran en

Entonces no hay puntos de inflexión Los intervalos donde crece o decrece la derivada quedan determinados por los puntos , donde no está definida y los puntos donde la segunda derivada vale cero:

Ahora se elige un punto de cada intervalo y evaluamos en la segunda derivada 132

entonces

crece en La función es convexa en

entonces

decrece en La función es cóncava en

entonces

crece en La función es convexa en

Asíntotas Como el grado del numerador y del denominador son iguales entonces no hay asíntotas oblicuas. Como el denominador se hace cero en

entonces las asíntotas verticales son: y

Para saber cuál es la asíntota horizontal se calculan los límites:

1   1 x 2 1 − 2  1− 2 x −1 x  = lim x = 1− 0 = 1 = 1 lim 2 = lim  x →−∞ x − 2 x →−∞ 2 2  x →−∞  1− 2 1− 0 1 x 2 1 − 2  x  x  1   1 x 2 1 − 2  1− 2 2 x −1 x  x = 1− 0 = 1 = 1 lim 2 = lim  = lim x →∞ x − 2 x →∞ x →∞ 2 2  1− 2 1− 0 1 x 2 1 − 2  x  x  2

133

Como

entonces la recta

muestra en la gráfica:

134

es una asíntota horizontal como se

Ejercicios de autoevaluación Encuentra la derivada utilizando la definición 1. 2. 3. Determina la derivada utilizando las fórmulas de derivación 1. 2.

Determina la derivada implícita de: 1. 2. 3.

Dibuja la gráfica de la función

135

UNIDAD 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA OBJETIVO: Ahora debes aplicar tus conocimientos de la derivada para resolver problemas de otras disciplinas.

Problemas de cálculo de velocidad y aceleración de un móvil Definición. Si

es una función de posición de un objeto que se mueve en línea recta,

entonces su función de velocidad en el tiempo Definición. Si

es:

es la velocidad de un objeto que se mueve en línea recta, entonces

su función de aceleración en el tiempo

es:

Ejemplo 1: Un móvil inicia su movimiento, acelera y hace un recorrido de 15 minutos según la ecuación

. Si se mide el tiempo en minutos y el espacio en

metros. Determinar la velocidad máxima y la aceleración del móvil. Resolución: Para determinar la velocidad, se calcula la primera derivada:

Por lo tanto la velocidad está determinada por Para determinar la aceleración, se calcula la segunda derivada:

Por lo tanto la aceleración está determinada por Para que la velocidad sea máxima, la aceleración debe ser cero, es decir,

x = ± 96 ≈ ±9.8 Solo se considera el valor positivo de la raíz entonces Para encontrar la velocidad máxima en se sustituye en:

136

Por lo tanto la velocidad máxima es 1881.208 m/min. Ejemplo 2: Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 80 pies de alto. La función modela la altura (en pies) por encima del piso a la que se encuentra esta pelota en el instante Describir el movimiento del objeto.

(seg.).

Resolución: Se determina la velocidad calculando la primera derivada. Ahora se determina la aceleración calculando la segunda derivada. es la gravitación que actúa sobre el objeto

Esta aceleración constante de -32 en caída libre.

El movimiento del objeto se basa en tres instantes: cuando se lanza la pelota inicialmente. en el que la velocidad cambia de signo, es decir,

en el que la pelota choca contra el piso

Las soluciones son:

Pero no hay tiempos negativos así que

se omite.

137

Problemas de razones de cambio relacionadas Definición. La derivada

de una función

instantánea con respecto a la variable derivada.

es su razón de cambio

. Esta es una de las interpretaciones de la

Si una función describe posición o distancia, entonces su razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad. Ejemplo 3: Un cubo de lados de longitud x se expande con el tiempo. ¿Cómo se relaciona la razón de aumento del volumen con la razón de incremento de la longitud de su lado? Resolución: En cualquier instante el volumen es una función de la longitud del lado. El volumen esta determinado por Las razones relacionadas se obtienen derivando con respecto al tiempo, entonces:

Ejemplo 4: se está llenando Un tanque de aceite en forma de cilindro circular de radio igual a según una razón constante de . ¿Con qué rapidez sube el nivel del aceite? Resolución: El volumen del cilindro circular está dado por La razón constante es El radio es

La rapidez se obtiene derivando con respecto al tiempo

138

La rapidez es de

Ejemplo 5: Una escalera de de largo se apoya contra una pared vertical. Si se tira la escalera . ¿Qué tan jalándola desde la base y resbalándose sobre la pared a razón de de la rápido resbala la parte superior de la escalera, cuando la base se encuentra a pared?

Resolución: Se sabe que la base de la escalera se tira horizontalmente, alejándola de la pared a . Esto significa que Se quiere encontrar

cuando

Utilizando el teorema de Pitágoras

Despejando

y sustituyendo

(donde c es el largo de la escalera)

Derivando ambos lados de la igualdad con respecto a

tenemos que:

Despejando

Recordando que

, para encontrar el valor de y se sustituye este valor en:

139

Se sustituye ahora

por su valor en:

También sustituimos

Observación: El signo negativo indica que

decrece cuando

crece.

Entonces la parte superior de la escalera resbala en la pared a razón de

Problemas de optimización Si en un problema hay expresiones como: más grande, menor tiempo, más resistente, etc. Se dice que en lenguaje matemático hablamos de máximos y mínimos. Ejemplo 6: La suma de un número y el triple de otro número es 60. Calcular los números reales que además satisfacen la condición que su producto sea el máximo. Resolución: En lenguaje algebraico el enunciado quedaría así: Despejando a

El producto está representado por: Sustituyendo el valor de

Recuerda que para obtener puntos críticos se calcula la primera derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación. Se calcula la primera derivada para obtener el máximo

140

Ahora se iguala a cero y se despeja a

Es un máximo pues para todo valor de x, Se calcula el valor de

Por lo tanto los números cuyo producto es el máximo son: 10 y 30. Ejemplo 7: Se desea almacenar aceite en botes cilíndricos con volumen de , con dimensiones que requieran la menor cantidad de material superficial, donde el espesor del material es una cantidad que no se considera. ¿Cuáles son esas dimensiones?

Resolución: Primero se necesita saber las fórmulas del volumen y del área

141

Se desea minimizar el área que está en términos de de la fórmula del volumen Despejando

Se sustituye este valor de

en la fórmula del área.

Como

quedo en términos de

le llamaremos

Ahora se calcula la primera derivada de

A ' ( r ) = 750r −1 + 2π

d 2 (r ) dr

d −1 ( r ) + 2π ( 2r ) dx A ' ( r ) = 750 ( − r −2 ) + 2π ( 2r )

A ' ( r ) = 750

Se iguala a cero y se resuelve la ecuación para obtener el valor de

−750 + 4π r = 0 r2 750 4π r = 2 r 3 4π r = 750 750 r3 = 4π 375 r3 = 2π 375 r=3 2π r = 53

3 2π

142

Ahora se calcula el valor de

375  3  π 53   2π 

h = 25 3

Las dimensiones para que el área sea mínima son: r = 5 3 Ejemplo 8:

9π 4

3 9π cm y h = 25 3 cm. 2π 4

Encontrar las dimensiones del mayor rectángulo que puede ser inscrito en un círculo de radio r.

Resolución: Para un rectángulo de base b y altura h se sabe que el área es bh pero el rectángulo inscrito en el círculo se divide en cuatro rectángulos y a la base se le llama y a la altura . Entonces el La ecuación de la circunferencia de radio

es:

despejando .

En la fórmula del área se sustituye este valor de

Se calcula la derivada de

143

1 1  2  2 2  2 2 2 2 2 2  2  −x + (r − x ) (r − x )   −x + r − x  = 4 1 1   = 4 2 2 2 2 2 2    r − x r − x ( ) )     (

Se calcula el valor de

igualando a cero el numerador

Ahora se obtiene la segunda derivada

144

Se sustituye

en la segunda derivada

145

Entonces tiene un máximo Finalmente se sustituye

Las dimensiones son:

Supóngase que una partícula se desplaza de un punto A a un punto B a lo largo de una trayectoria arbitraria

El desplazamiento de una partícula es completamente conocido si sus coordenadas iniciales y finales son conocidas. La ruta de desplazamiento de la trayectoria arbitraria no es necesario que se especifique, es decir el desplazamiento que siempre es lineal, es independiente de la ruta de desplazamiento que puede ser no lineal como se muestra en la figura anterior. Si la partícula se mueve a lo largo del eje x desde una posición xi a una posición x f , su desplazamiento está dado por x f − xi tal que los subíndices i es el inicial y f es el final. Para esta descripción se utiliza la letra griega mayúscula delta ∆ que denota el cambio en una cantidad dada por

∆x ≡ x f − xi

146

Velocidad y aceleración instantánea. Si un objeto experimenta un desplazamiento x en un tiempo t , a esto se le denomina velocidad instantánea, es decir

∆x dx = ∆t → 0 ∆t dt ∆v dv d 2 x = = Aceleración instantánea: a = lim ∆t → 0 ∆t dt dt 2 Velocidad instantánea: v = lim

Ejemplo 9: Un conductor que viaja a 31

m pasa a un policía de tránsito en su motocicleta s

estacionado. 2.50 s después de que el automovilista lo pasa, el policía comienza a moverse y acelera en búsqueda del conductor por exceso de velocidad. La motocicleta tiene una aceleración constante de 3.60

m ¿a qué velocidad viajará el policía de tránsito s2

cuando él sobrepasa el automóvil? Resolución: El automóvil lleva una velocidad constante y viaja una distancia xc en un tiempo t :

xc = vc t La motocicleta comienza desde el inicio v0 = 0 y se mueva a una distancia xm en un tiempo t − 2.50 s con aceleración constante

xm =

1 a (t − 2.50) 2 2

Las curvas que describen estos movimientos se esquematizan como sigue

Cuando la motocicleta se adelanta al automóvil, ambos habrán recorrido la misma distancia, así

1 2 a ( t − 2.50 s ) = vc t 2 Sustituyendo los valores numéricos, y encontrando la solución de la ecuación cuadrática para t

147

1 2 ( 3.60 )( t − 2.50 ) = 31t 2 3.60  2 2 t + 2 ( t )( −2.50 ) + ( −2.50 )  = 31t   2 1.80 ( t 2 − 5t + 6.25 ) = 31t 1.80t 2 − 9t − 31t + 11.25 = 0 1.80t 2 − 40t + 11.25 = 0 Esta es una ecuación de la forma

Ax 2 + Bx + C = 0 Se resuelve aplicando la fórmula general de la ecuación de segundo grado:

A = 1.80, B = −40 y C = 11.25

t1,2 =

− ( −40 ) ±

( −40 ) − 4 (1.80 )(11.25) ( 2 )(1.80 ) 2

40 ± 1600 − 81 3.60 40 ± 1519 = 3.60 40 ± 38.97 ≅ 3.60 =

Entonces

t1 =

40 + 38.97 78.97 = ≅ 21.94 s 3.60 3.60

t2 =

40 − 38.97 1.03 = ≅ 0.29 s 3.60 3.60

La motocicleta comenzó a moverse hasta t = 2.5s , entonces la solución se obtiene para t = 21.94 s m m  vm = v0 + at = 0 +  3.60 2  ( 21.94 s ) ≅ 78.98 2 s  s 

148

Ejercicios de autoevaluación 1. Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado . ¿Con qué rapidez crece el área cuando cada lado aumenta a razón constante de ? mide 2. Una partícula se mueve sobre la gráfica de ¿Cuál es el valor de

cuando

de manera que

3. La altura de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba, desde el nivel del suelo, está dada por . Halle la altura máxima alcanzada por el proyectil. 4. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 15, tales que el producto de uno con el cuadrado del otro sea máximo. 5. Se quiere construir una caja de volumen máximo utilizando una pieza cuadrada de aluminio de por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando las partes restantes. ¿Cuál debe ser la altura de la caja? 6. Determine dos números naturales cuya suma es 30 y tales que su producto sea máximo. 7. Un cilindro cerrado tiene una superficie (lado y tapas) de dimensiones que hacen su volumen máximo?

149

. ¿Cuáles son las

UNIDAD 5 La integral OBJETIVO: En esta unidad conocerás el tercer concepto importante del cálculo, después de los conceptos de límite y derivada; que junto con ellos define la rama de las matemáticas que se conoce como Cálculo Diferencial e Integral. Dicho concepto es el de integral, pero antes de ese concepto debemos abordar un conjunto de conceptos previos para poder arribar al de integral. Comenzaremos por el concepto de área bajo la gráfica de una función positiva en un intervalo dado.

Introducción Como ya se anticipó en el objetivo, vamos a iniciar con la noción de área asociado a la gráfica de ciertas funciones, iniciando con el área asociada a la gráfica de una función constante, y para concretar ideas vamos a pensar en la función f ( x) = 3 . Si calculamos el área delimitada por la gráfica de f ( x) = 3 , las líneas rectas x = 0 y x = 4 , así como por el eje de abscisas ( y = 0 ), de la geometría básica sabemos bien que el área se obtiene como el producto de la longitud de la base por la longitud de la altura del rectángulo determinado por las condiciones dadas, como vemos en la siguiente figura.

Es decir, el área buscada es: A = 12 unidades cuadradas. Ahora vamos a calcular el área entre las líneas rectas x = 0 y x = x0 , con

. El

área de este caso es la que se ve en la siguiente figura:

Es decir, el área buscada es: A = 3x0 unidades cuadradas. Así, en general, si f ( x) = c , con

, el área entre x = 0 y x , con

150

, es

A( x) = cx unidades cuadradas

Por un momento dejamos este caso para revisar el caso de otras funciones, y después de revisar varios, concentraremos los resultados en una tabla. Nos proponemos obtener el área entre la gráfica de la función f ( x) = 7 x , desde x = 0 y hasta x = 4 . El estudiante debe notar que en ese intervalo f ( x) > 0 .

Como lo muestra la gráfica, en este caso el área por obtener es la de un triángulo de base x = 4 y altura f (4) = 7(4) = 28 , entonces de geometría básica sabemos que el área A = (4)(28) = 56 u 2 . 2

es: Es decir, el área buscada es: A = 56 u 2 .

Pero este mismo cálculo lo vamos a desarrollar de una manera alternativa, aplicando el concepto de límite y la fórmula , que puede ser demostrada por Inducción Matemática. Dividamos el intervalo [0, 4] en 4 partes iguales y formemos rectángulos cuyas alturas queden por debajo de la gráfica de f ( x) = 7 x .

El lector debe notar que sólo se han podido dibujar 3 rectángulos de tales características, a pesar de dividir el intervalo en 4 partes iguales. Con lo cual el cálculo aproximado del área bajo la gráfica de f ( x) = 7 x en el intervalo [0, 4] es: A1 + A2 + A3 = (2 − 1) f (1) + (3 − 2) f (3) + (4 − 3) f (3) = 1 ⋅ f (1) + 1 ⋅ f (2) + 1 ⋅ f (3) = 7 + 14 + 21 = 42 u 2

151

Si ahora dividimos el intervalo [0, 4] en “ n ” partes iguales, con ; y formamos los rectángulos cuyas alturas son los valores de f ( x) = 7 x en el extremo izquierdo de cada subintervalo, se tiene que cada rectángulo tendrá una base = n4 y una altura = f i ( n4 ) = 7 i ( n4 ) , i ∈ {1, 2,3, 4,..., (n − 1)} .

) (

(

)

Si con An denotamos el área aproximada cuando el intervalo [0, 4] se divide en “ n ” partes iguales se tiene que

( )

(

)

(

)

(

)

An = n4 ⋅ f n4 + n4 ⋅ f 2 ⋅ n4 + n4 ⋅ f 3 ⋅ n4 + ... + n4 ⋅ f (n − 1) ⋅ n4 =

(

( )

(

)

(

)

An = n4 ⋅  f n4 + f 2 ⋅ n4 + f 3 ⋅ n4 + ... + f (n − 1) ⋅ n4  =  

( ) (

) (

)

(

( ( ))

)

An = n4 ⋅ 7 n4 + 7 2 ⋅ n4 + 7 3 ⋅ n4 + ... + 7 (n − 1) ⋅ n4  = n4 7 n4 ⋅ [1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) ] =  

( ) ⋅  (n−21)n  = 7(24) ⋅  (nn−⋅1)n n  = 7(24) ⋅  nn−1  = 7(24) ⋅ 1 − 1n  u 2 2

An = 7 n4

Sabemos que An = 7(2) ⋅ 1 − 1n  u 2 es la suma de las áreas de (n − 1) rectángulos de base = n4

(

) (

)

y altura = f i ( n4 ) = 7 i ( n4 ) , i ∈ {1, 2,3, 4,..., (n − 1)} y que es una aproximación del

área buscada, a la que le falta cubrir el área comprendida entre los vértices superiores de los rectángulos y la gráfica de f ( x) = 7 x , si ahora tomamos el límite cuando n → ∞ , debemos acercarnos al área buscada, por lo tanto: A = nlim A = nlim →∞ n →∞

2 7( 4)2  2 1  7( 4)2  1  7( 4) 2 ⋅ 1 − n  = 2 ⋅ lim 1 − n  = 2 = 56u , n→∞

que corresponde a la que calculamos como el área de un triángulo de base = 4 y altura = f ( 4 ) . Si ahora obtenemos el área del triángulo con base igual al intervalo [0, x] , con x > 0 , por el mismo método de rectángulos de aproximación y subdividiendo el intervalo en “ n ” ; resulta: partes iguales, con 7(2 x ) 7(3 x ) 7( n−1) x An ( x) = nx ⋅ f ( nx ) + nx ⋅ f ( 2 ⋅ nx ) + nx ⋅ f ( 3 ⋅ nx ) + ... + nx ⋅ f ( (n − 1) ⋅ nx ) = nx ⋅  7nx + n + n + ... + n  =  

= nx ⋅ 7nx [1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) ] = nx ⋅ 7nx  

( n−1) n  2 , 2  u

Entonces el área buscada es: 2 ( n−1) n 7 x2  ( n−1) n  = lim 7 x2  n−1  = 7 x2 lim 1 − 1  = 7 x2 u 2 , A = nlim A = nlim 7 ( nx )  2  = nlim n 2 n→∞  2  n( n)  n→∞ 2  n  →∞ n →∞ →∞ 2   

Resumiendo: para f ( x) = 7 x , el área bajo su gráfica en el intervalo [0, x] , es A( x) = 72x u 2 . 2

Ahora vamos a revisar el caso del área bajo la gráfica de la función f ( x) = 5 x 2 , en el intervalo [0, x] , con x > 0 , por el mismo método que se aplicó en los ejemplos anteriores,

152

para lo cual resultará útil aplicar la fórmula:

, que puede ser

demostrada por inducción matemática.

( ) ( ),

ix En este caso la longitud de las bases es: nx , y sus alturas son de longitud: f ix n =5 n

con i ∈ {1, 2,3,..., (n − 1)} , por lo que el área aproximada por (n − 1) rectángulos es: An ( x) = nx ⋅ f ( nx ) + nx ⋅ f ( 2 ⋅ nx ) + nx ⋅ f ( 3 ⋅ nx ) + ... + nx ⋅ f ( (n − 1) ⋅ nx ) =

2 2 2  x )2 + 5 2 x + 5 3x + ... + 5  (n−1) x   = x ⋅ 5 ( x )2 ⋅ 12 + 22 + 32 + ... + (n − 1) 2  = = nx ⋅ 5 ( n  n  n n n n      

( ) ( )

(

3 3 ( n−1) n(2( n−1)+1)  3 ( n−1) 3 ( n−1) n(2( n−1)+1)  (2( n−1)+1)  = 5 x6  1 − 1n = 5 ( nx ) ⋅  = 5 x6  = 5 x6  n ⋅ nn ⋅ n 6 n3       

Así que el área buscada es:

(

A( x) = nlim A = nlim 5 x  1 − 1n →∞ n →∞ 6  3

)( 2 − 1n ) u 2

3 3 1 − 1n ) ⋅ nlim 2 − 1n )  = 5 x6 (2) = 5 x3 u 2 )( 2 − 1n ) = 5 x63  nlim →∞ ( →∞ ( 

Con los ejemplos ya revisados vamos a formar una tabla que nos permitirá enfocar nuestra atención en lo importante de esos mismos resultados.

Función

Intervalo

Área

f 0 ( x) = c

A0 ( x) = cx

f1 ( x) = 7 x

A1 ( x) = 72x

f 2 ( x) = 5 x 2

A2 ( x) = 5 x3

( n+1)

An ( x) = k x n+1

Tabla 1.

153

Los resultados de la Tabla 1 no son una demostración de lo que se va a señalar a continuación pero si van en la dirección de hacer la siguiente conjetura. Si aplicáramos un cálculo similar al de los tres primeros ejemplos señalados en la Tabla 1 para la función f n ( x) = kx n , con , el área bajo la gráfica de esa función en ( n+1)

, debería ser: An ( x) = k x n+1 u 2 (unidades cuadradas)

el intervalo

Ahora es importante la siguiente observación, considerando que las expresiones de la tercera columna son funciones del área que dependen de la longitud del intervalo [0, x] , y si como funciones de las derivamos, resulta: d d 7 x2 d d , , dx ( A1 ( x ) ) = dx ( 2 ) = 7 x = f1 ( x ) dx ( A0 ( x ) ) = dx ( cx ) = c = f 0 ( x )

(

)

(

( )

)

n d d x( n+1) , dx ( An ( x) ) = dx k n+1 = kx = f n ( x)

2 d d x3 , dx A2 ( x) = dx 5 3 = 5 x = f 2 ( x )

La idea importante de los resultados anteriores es que si la expresión que resulta como la medida del área de los ejemplos considerados An ( x) , se interpreta como una función de , siendo la longitud del intervalo [0, x] sobre el cual se calculó el área delimitada por el eje de abscisas, las líneas rectas verticales que pasan por x = 0 y x , que son perpendiculares al eje de abscisas, la gráfica de f n ( x) y el intervalo [0, x] , y se deriva esa función An ( x) , se obtiene la función inicial f n ( x) . En las siguientes secciones revisaremos que eso no es ninguna coincidencia y que sólo estamos observando casos particulares de un resultado muy general conocido como el Teorema Fundamental del Cálculo. Ahora vamos a dar una definición basada en los antecedentes que ya revisamos.

La integral definida Definición de su nombre y símbolos. Sea h( x) una función positiva en todo el intervalo [a, b] . Al área bajo la gráfica de la función h( x) , en el intervalo [a, b] se le llama integral definida de a a b y se le denota por: b

∫ h( x)dx a

Definición de su modo de cálculo. La integral definida de a a b para la función h( x) positiva en el intervalo [a, b] , se calcula con el límite expresado en la siguiente igualdad: b

∫ a

h( x)dx =

lim h(c )∆x , n→∞ ∑ i i =1

en donde ci es un valor de la variable x en el intervalo, ( c ∈ [ xi , xi+1 ] ) y la suma a la que se le calcula el límite, es la que nos da el área de los rectángulos de aproximación. Cuando ∆x tiende a cero en la anterior suma (que corresponde a las bases de dichos rectángulos y h(ci ) a sus respectivas alturas), conforme i toma los valores de 1 a n , su valor se aproxima más y más al área buscada.

154

Ya que hemos introducido la notación y simbología de la integral definida podemos plantear de manera más precisa el Teorema Fundamental del Cálculo.

Teorema Fundamental del Cálculo Si g ( x) representa a una función positiva en todo el intervalo [0, x] , y si el área bajo la gráfica de g ( x) tiene como expresión algebraica a la función G ( x) en el intervalo señalado, entonces G '( x) = g ( x) . Es decir: b

Primero

∫

g ( x)dx = G (b) − G (a ) , y segundo:

d G ( x) = g ( x) . dx

La segunda parte del teorema la pudimos constatar cuando te presentamos la tabla que resumía nuestros ejemplos de las primeras funciones y sus áreas (Tabla 1), es decir, ya habíamos visto que la expresión matemática que corresponde al valor del área de una función se puede derivar cuando se escribe en términos de la variable de la función original y el resultado de dicha derivada es la función a la que se le buscaba determinar el área bajo su gráfica. Pero la primera parte la podemos explicar en términos gráficos de la siguiente manera: a

Para g ( x) ≥ 0 en todo el intervalo [0, c] y escogiendo 0 ≤ a ≤ b ≤ c ,

∫

g ( x)dx significa la

región sombreada en la siguiente figura:

mientras que

∫

g ( x)dx significa la región sombreada en la siguiente figura de abajo:

155

Si al área de ésta última figura se le resta el área de la figura anterior, se forma la figura siguiente:

Que lo podemos escribir

∫ a

g ( x)dx =

∫ 0

g ( x)dx -

∫

g ( x)dx = G (b) − G (a )

Ahora, cada vez que escribas un símbolo del tipo

∫

g ( x)dx y si g ( x) es positiva, significa

el área bajo la gráfica de g ( x) en el intervalo [0, b] y se le llama la integral definida de 0 a b. Para incluir el caso de las funciones que tienen cambios de signo y a funciones que son negativas en un intervalo, el concepto se extiende y se le sigue llamando integral definida, sólo que en el caso de funciones negativas deja de tener la interpretación geométrica del área bajo la gráfica de la función. En los casos de funciones que toman valores negativos en un determinado intervalo se considera que el área entre la gráfica, el eje de abscisas y el intervalo dado es menos la integral definida correspondiente. Por otra parte, el teorema fundamental del cálculo nos representa una poderosa herramienta en el cálculo de integrales definidas, interpretándolo de la siguiente manera:

156

Si para calcular

∫

g ( x)dx , por alguna razón sabemos de una función z ( x) cuya derivada

es g ( x) , es decir z '( x) = g ( x) , entonces la integral se determina calculando la diferencia del valor de la función z ( x) en x = b , menos el valor de la función z ( x) en x = a . Vamos a revisar varios ejemplos. Ejemplo 1: Calcular el área bajo la gráfica de f ( x) = 5 − x en el intervalo [0,5] . Resolución: Primero notemos que si 0 ≤ x ≤ 5 , entonces, 0 ≤ 5 − x y por lo tanto la interpretación de área sigue siendo válida. En el intervalo indicado la gráfica de f forma un triángulo rectángulo de base y altura 2 cinco. Así que el área por geometría elemental es: (5)(5) = 12.5 u 2 , pero ahora lo vamos 2 u

a calcular con el Teorema Fundamental del Cálculo.

El teorema dice que si contamos con una función F ( x) tal que F '( x) = f ( x) , entonces el área que se busca se puede expresar en términos de la función F ( x) . De lo estudiado sobre derivadas sabemos que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las respectivas derivadas. Esto nos facilita pensar en dos expresiones cuyas derivadas sean, por una parte 5 y por otra parte − x . El resultado es fácil ¿verdad?, 2 ¡claro!, se trata de las expresiones 5x y − x2 , sólo tuvimos que aplicar nuestro importante resultado: n+1 si f ( x) = x n , entonces el área bajo la gráfica de dicha función en [0, x] es xn+1 , y podemos verificar que si F ( x) = 5 x − x2 , F '( x) = 5 − x = f ( x) , ¡Excelente!, ésta es la 2

función que nos hacía falta para aplicar el teorema fundamental del cálculo. Ahora si,

157

∫ 0

 52   02  25 x2 − − 5(5) 5(0) 5 x − =  (5 − x)dx =  –  = = 12.5 . 2  2 2 2 0 

Por lo tanto el área bajo la curva es 12.5 u 2 . Algo que nos brinda mucha seguridad de que nuestro resultado es correcto, es que ya sabíamos de antemano que el área buscada es: 12.5 u 2 (unidades cuadradas). Como siguiente ejemplo vamos a trabajar con la misma función y en este caso vamos a determinar el área sobre un intervalo al interior del intervalo original. Ejemplo 2: Calcular el área bajo la gráfica de f ( x) = 5 − x en el intervalo [2,5] .

Resolución: Gracias a que antes ya obtuvimos una función cuya derivada es f ( x) = 5 − x , ahora el cálculo será más directo por medio del TFC. 5

∫ 2

 52   22  x2 25 4 25 9 =  5(5) − = (5 − x)dx = 5 x −  –  5(2) −  = 25 −10 – + = 17 – 2  2 2 2  2 2 2 2

¿Te diste cuenta que el TFC nos lleva de manera tan directa al resultado que ésta vez ni consultamos la gráfica? Pero sólo para hacer la comparación y ratificar nuestro resultado lo volveremos a hacer gráficamente: 2 En la gráfica del ejemplo 1 te presentamos el área total en [0,5] que sabemos vale: 25 2 u .

158

Y en la gráfica que te presentamos en el párrafo anterior, un triángulo menor, congruente con el anterior e incluido en aquél. Se puede ver en la gráfica o sustituyendo x = 2 en f ( x) = 5 − x , que la altura de este triángulo pequeño es 3 y que su base es la longitud del intervalo de integración, es decir, 3 también. Por lo que de la fórmula para el área del triángulo se tiene que el área es:

3(3) 9 = = 4.5 u 2 . 2 2 Como ya la habíamos calculado. Antes de continuar con más ejemplos, queremos llamar tu atención en lo siguiente, es muy probable que desde tu punto de vista como estudiante te preguntes, si ya sabemos calcular áreas de triángulos, ¿para qué tanto lío con las integrales?. Y te volvemos a recordar que esa observación es pertinente en este ejemplo, pero que la metodología que hemos construido es muy general y se aplica tanto a este tipo de gráficas como a las gráficas curvas de otras funciones con las que empezamos nuestro estudio de áreas, en las que ya no es posible aplicar la fórmula del área de un triángulo. Vamos a revisar el siguiente ejemplo. Ejemplo 3: Calcular el área bajo la gráfica de f ( x) = 5 − x en el intervalo [2,3] . Resolución: 3

∫ 2

 32   22  x2 9 4 9 5 2 =  5(3) −  –  5(2) − (5 − x)dx = 5 x −  = 15 − 10 – + = 7 – = = 2.5 u . 2  2 2 2  2 2 2 2

Te dejamos como ejercicio que lo verifiques por medio de las fórmulas para área de polígonos de la geometría básica. Y como último ejemplo de esta sección te proponemos una función que es muy diferente a las que hasta ahora hemos presentado, la función h( x) = sen( x) . De manera inmediata no es claro aplicar el método de los rectángulos de aproximación que hemos venido utilizando, por espacio y por los objetivos que se pretenden con ésta guía, no vamos a desarrollar aquí esa forma de calcular el área bajo la gráfica de la función sen( x) , pero si tienes curiosidad de conocer esa técnica te proponemos que consultes el libro de: James Stewart. Cálculo, trascendentes tempranas. de editorial Thompson. Lo que si te aseguramos, es que el método que se aplica en el referido texto coincide cabalmente con el que aquí te vamos a presentar, que desde luego, se sustenta en el poderosísimo Teorema Fundamental del cálculo. Ejemplo 4: Calcular el área bajo la gráfica de h( x) = sen( x) en el intervalo [0, π ] .

159

Resolución: En el caso de esta función conviene volver a iniciar desde mostrar la gráfica y la región de interés.

Es pertinente que te hagamos la aclaración de que debemos mostrar tanto la gráfica como la región ya que h( x) = sen( x) en [0, π ] es una función positiva. Y debemos proponer una función cuya derivada sea h( x) = sen( x) , de la unidad de derivadas sabemos que una función que cumple esa condición es: H ( x) = −cos ( x) , entonces, por el TFC se tiene: π

∫

sen x dx = − cos( x)

π 0

= −cos (π ) – ( −cos (0) ) = −(−1) − (−1) = 2 u 2 .

Una vez que hemos revisado este ejemplo conviene hablar de otra generalización en torno al concepto de integral. Con el propósito de incluir el caso de funciones que sean negativas en parte de su dominio o en todo él, se extiende el concepto de integral para gráficas que toman valores negativos en un determinado intervalo.

La integral definida en el caso de funciones negativas Una generalización. Si g ( x) representa a una función negativa en todo el intervalo [0, x] , x

entonces la integral

∫ g(x)dx 0

representa el inverso aditivo del área entre el eje de las abscisas y la gráfica de g ( x) , es decir, si el área comprendida entre la gráfica de g ( x) y el eje de las abscisas tiene el valor x

A , entonces,

∫ g(x)dx = . −A

160

Esto nos permite revisar casos más generales como el del ejemplo anterior pero en un intervalo más amplio de su dominio. Guiándonos por la generalización anterior, ¿qué te imaginas que resulte de calcular la 2π

integral

∫ sen x dx ?, trata de imaginarte el resultado antes de revisar el siguiente cálculo, 0

¿ya tienes alguna sospecha del resultado?, bueno, pues vamos a calcularlo. 2π

∫

sen x dx = − cos( x)

2π = −cos (2π ) – ( −cos (0) ) = −(1) − (−1) = 0 u 2 . 0

¿Fue el resultado que esperabas?, ¡bien!, comienzas a apropiarte del concepto de integral. Para terminar con esta parte vamos a presentarte una serie de importantes propiedades de la integral que se aplican con frecuencia para facilitar los cálculos de integrales.

Propiedades de la integral definida Teorema. Si a, b, c, k ∈ ¡ representan números cualesquiera pero fijos entonces, b

∫

kg ( x)dx = k

∫

g ( x)dx las constantes se pueden extraer de las integrales,

∫( a

g ( x) + h( x) ) dx =

∫

g ( x)dx +

∫

h( x)dx la integral de suma de funciones se puede

separar en la suma de las integrales de las respectivas funciones. c

3) Si a ≤ b ≤ c , entonces

∫

g ( x)dx =

∫

g ( x)dx +

∫

g ( x)dx si b es un punto intermedio del

intervalo [a, c], entonces la integral de todo el intervalo es igual a la suma de las integrales en el primer intervalo más la integral en el segundo intervalo. Ya sabemos que (Tabla 1):

∫

x n dx = xn( n++11) .

A lo que se le conoce como la integral indefinida ya que el resultado está en función de una constante c , a la cual se le llama constante de integración, y generalmente se expresa como:

∫

x n dx = xn( n++11) + c, n ≠ −1 .

161

La integral indefinida y la constante de integración Definición. En general la integral indefinida expresada en la siguiente igualdad:

∫

f ( x)dx = F ( x) debe entenderse en el sentido de que F '( x) = f ( x) .

Algo que sí sustenta el Teorema Fundamental del Cálculo es que si se va a calcular una integral indefinida, basta con encontrar una función cuya derivada sea igual a la función que quiere integrarse es decir, al integrando, y con ello se puede dar el resultado de la integral como:

∫

f ( x)dx = F ( x) + c , siempre que F '( x) = f ( x) , siendo c una constante cualquiera,

la llamada constante de integración.

De los ejemplos expuestos en la sección de integral definida y de lo que acabamos de decir sobre el concepto de constante de integración se puede escribir en el caso de la función sen( x) :

∫

sen x dx = −cos ( x) + c .

De los ejemplos que se acaban de revisar, de lo que se ha explicado sobre el significado del Teorema Fundamental del Cálculo y de todos los ejemplos previos que se han desarrollado, podemos extender todos los resultados obtenidos a una tabla un poco más general, la cual se puede comprobar de manera muy simple con sólo derivar las funciones en los resultados y confirmar que las derivadas que se obtengan deben coincidir con los integrandos (siendo estos últimos las funciones que se escriben enseguida de un signo de integral) de la columna izquierda, presentamos así una primera: TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS

∫ ∫x ∫e ∫ ∫ ∫

cf ( x)dx = c n

dx =

∫

x n+1

n +1

f ( x)dx ;

+ c, si n ≠ −1 ;

x dx = e x + c ;

sen( x)dx = −cos ( x) + c ;

sec 2 ( x)dx = tan( x) + c ;

sec( x)tan( x)dx = sec( x) + c ;

∫[ ∫x ∫a ∫ ∫ ∫

f ( x) + g ( x) ] dx =

∫

f ( x)dx +

dx =ln x + c

x x dx = a + c lna

cos ( x)dx = sen( x) + c

csc 2 ( x)dx = −cot ( x) + c

csc( x)cot ( x)dx = −csc( x) + c

162

∫

g ( x)dx

∫x ∫ 1− x 1

∫ x x −1 1

dx = arc tan( x) + c ;

dx = arc sec( x) + c

dx = arc sen( x) + c

Como ya se indicó, es fácil verificar la validez de los resultados de la tabla anterior, por ejemplo, para verificar la última integral indefinida de la tabla:

∫ 1− x 1

dx =arc sen( x) + c , sólo se requiere calcular

da como resultado

1 − x2

d arc sen( x) , la cual ya sabemos que dx

. Por lo que dicha integral es correcta.

La verdadera utilidad del Teorema Fundamental del Cálculo estriba en poder encontrar una lista suficientemente amplia y variada de funciones “antiderivadas”, es decir, de funciones cuyas derivadas sean iguales a aquellas que nos interese integrar. Por ello vamos a comenzar a ver algunos ejemplos e iniciar el uso de la tabla anterior, así como del Teorema Fundamental del Cálculo y de las propiedades de la integral.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Integrales inmediatas Definición. En algunos casos de integración no se requiere de un fuerte trabajo algebraico previo a la aplicación de la tabla de integrales anteriores, y resulta que “casi a simple vista” se puede decir el resultado de algunas integrales muy sencillas; ese tipo de integrales se conocen como integrales inmediatas. Se sugiere al lector tratar de dar la justificación de cada paso en los siguientes ejercicios, apoyándose en las propiedades de la integral y de la tabla anterior de integrales. Ejemplo 5: Calcular la siguiente integral indefinida

∫

3xdx .

Resolución:

∫

Ejemplo 6: Calcular la siguiente integral indefinida Resolución:

∫x 1

3 7

dx =

∫

 x1+1  3 2  + c = x + c + 1 1 2  

3xdx = 3 xdx = 3 x1dx = 3 

1 1 dx = 7 3 x

∫

∫x 1

3 7

dx .

x−7 dx = 1 x

−7+1

3 −7 + 1

163

+c =

1 1 1 ⋅ ⋅ +c =

3 −6 x6

−18x6

Ejemplo 7: Calcular la siguiente integral indefinida Resolución:

∫

−3senxdx .

∫

−3senxdx = 3 − senxdx = 3cos ( x) + c

Ejemplo 8: Calcular la siguiente integral indefinida

∫

x3 dx .

Resolución:

∫

x3 dx =

∫

3 +1

2 x dx = x 3 2

3 2

x 2 + c = 2 x5 + c +c = 5

El siguiente ejemplo se revisará como un caso de integración inmediata y posteriormente se revisará un método distinto de calcular esta misma integral (el método de sustitución). Ejemplo 9:

∫

Calcular la siguiente integral indefinida 3x 2 x3 dx . Resolución:

∫

3 2

Ejemplo 10: Calcular la siguiente integral indefinida Resolución:

∫

sen x 2

cos x

dx =

∫

7 2

sen x cos 2 x

Calcular la siguiente integral indefinida

x 2 + c = 2 x9 + c +c =3 9

dx .

 1   sen x     dx =  cos x   cos x 

Ejemplo 11:

Resolución:

∫

7 +1

x2 3x x dx = 3 x x dx = 3 x dx = 3 7 2

∫

sec( x)tan( x)dx = sec( x) + c

−3sen x + 11x6 ) dx . ( ∫

11 −3sen x + 11x6 ) dx = 3 − sen xdx + 11 x dx = 3cosx + x7 + c ( 7 ∫ ∫ ∫ 6

164

Ejemplo 12: Calcular la siguiente integral indefinida Resolución:

∫

7 11

∫

7 x 7 − 4 x − 13 dx . 11x 6

∫

 7 x7 7 x 7 − 4 x − 13 4x 13  7 = − − dx dx =  6 6 6 6  11 11x  11x 11x 11x 

x1dx −

4 11

∫

x −5 dx −

13 11

∫

x −6 dx =

∫

4 x7 dx − 6 11 x

∫

13 x dx − 6 11 x

∫

dx =

7  x 2  4  x −4  13  x −5  7 2 1 −4 13 −5 x + x + x +c  −  −  +c = 11  2  11  −4  11  −5  22 11 55 7 2 1 13 x + + +c 22 11x 4 55 x5

Ejemplo 13: Calcular la siguiente integral indefinida

∫

7x dx . 4x

Resolución: x

∫

7x dx = 4x

∫

7   7 4 +c  4  dx = 7   ln   4 x

Integración con condiciones iniciales Definición. Es frecuente el problema en el que además de necesitar integrar una función, dicha función debe cumplir la condición de tomar un valor determinado en cierto valor de la variable independiente, y de esa forma se debe calcular un valor específico de la constante de integración que ajuste a ese valor específico, llamado condición inicial, como veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 14: Encontrar la función para la cual se tiene que su derivada es f '( x) = 5 x 4 + 7 x − 3 y su condición inicial es f (−1) = 32 . Resolución: Lo primero que debemos hacer es encontrar una función cuya derivada sea la función f '( x) , lo que sabemos que se hace calculando la integral. 7 5 x 4 + 7 x − 3) dx = 5 x 4 dx + 7 xdx − 3 dx = x5 + x 2 − 3x + c ( ∫ ∫ ∫ ∫ 2

165

7 2

Esta función f ( x) = x5 + x 2 − 3x + c que es la integral general, pues para cada valor de “ c ” nos da una función de la familia de integrales que son soluciones de la integral anterior, se llama función primitiva de f '( x) , de ellas debemos tomar la única que

cumple con la condición inicial, f (−1) =

2 , para ello planteamos la siguiente ecuación en 3

“ c ” que es la condición inicial y despejamos la constante de integración; f (−1)

−1 +

= ( −1) + 5

2 7 ( −1) − 3 ( −1) + c = 2 , 2 3

7 2 + 3 + c = ; despejando “ c ” se tiene: 2 3 7 2

Por lo que la función buscada es: f ( x) = x5 + x 2 − 3x −

c =

7 2 29 – 2 – =– 2 3 6

29 6

Se deja como ejercicio al lector verificar los resultados de los ejemplos anteriores por medio de derivación.

Integración por sustitución o por cambio de variable Definición. El segundo método en orden de simplicidad es el método de sustitución. El cual resulta muy eficaz en la integración de funciones compuestas. Para aplicar correctamente este método, resulta útil recordar la derivación por medio de la regla de la cadena (derivada de una función de función): Si y = f (u ) y a su vez u = g ( x) , entonces:

d d y = [ f ( g ( x)) ] = f '( g ( x)) g '( x) , si se aplica el dx dx

Teorema Fundamental del Cálculo al resultado anterior se tiene:

∫

f '( g ( x)) g '( x)dx =

∫

d [ f ( g ( x))] dx = f ( g ( x)) + c = f (u ) + c dx

De manera que cuando se tiene que calcular una integral de ese tipo, es decir, si f y g son funciones tales que cumplen las condiciones de la regla de la cadena para la composición y = f ( g ( x)) y si F es una primitiva de f , es decir que F '( x) = f ( x) , entonces,

∫

f ( g ( x)) g '( x)dx =

∫

F '( g ( x)) g '( x)dx =F ( g ( x)) + c ; en donde u = g ( x) y du = g '( x)dx , que

permite expresar la integral anterior como:

∫

F '(u )du =F (u ) + c .

Volveremos pronto a u y du , en relación al asunto de la diferencial, pero antes veamos unos ejemplos. La estrategia a seguir en el caso de resolver una integral por medio de sustitución o cambio de variable consiste primero en reconocer si existe una composición de funciones en el integrando, es decir, si se puede encontrar una función “dentro” de otra o substituida 166

en otra, además el método de sustitución requiere que la función “interna”, tenga como parte del integrando a su derivada y como un factor más de la composición, lo aclararemos más con algunos ejemplos: Ejemplo 15: El siguiente ejemplo ya se calculó por el método de integración inmediata (ver el ejemplo 9), ahora se volverá a revisar desde el método de sustitución. Calcular la siguiente integral indefinida Resolución:

∫x

3 2 x3 dx .

Si se hace u = x3 , que es la función “interna” de la composición

x3 , su diferencial es: du

= 3x 2 dx . Que como se puede ver es factor de la composición x3 , de manera que podemos hacer el cambio de variable, u = x3 , y la sustitución queda:

∫

3 x 2 x3 dx =

∫

( )

x3 3 x 2 dx =

∫

Ejemplo 16: Calcular la siguiente integral indefinida Resolución:

u du =

∫

3 1 2 u 2 u 2 du = + c = 3 3

( x ) 2 + c = 23 x9 + c 3

( )

x 2 sen x3 dx .

Al revisar el integrando debemos notar que la composición está en el factor sen ( x3 ) , y de este factor la “función interna” es x3 , haciendo el cambio de variable, u = x3 , y calculando su diferencial, du = 3x 2 dx . Sustituyendo ambas expresiones en la integral original se tiene:

∫

( )

∫

( )1

∫

x 2 sen x3 dx = sen x3   (3) x 2 dx = sen ( u ) du = − cos(u ) + c = − cos( x3 ) + c 3 3 3 3

Ejemplo 17:

∫

Calcular la siguiente integral indefinida 5 x 2 x3 + 2dx . Resolución.

Al revisar el integrando debemos notar que la composición está en el factor x3 + 2 , y de este factor la “función interna” es x3 + 2 , haciendo el cambio de variable, u = x3 + 2 , y calculando su diferencial, du = 3x 2 dx . Aplicando las propiedades de la integral para poder modificar el integrando de modo que resulte útil el cambio de variable se ve, que al sustituir ambas expresiones en la integral original se tiene:

167

∫ 5 3

∫

5  3 1 2  5 x 2 x3 + 2dx =5  x3 + 2    (3) x 2 dx =  x + 2  (3) x dx =

∫



 3 

5 u2

udu =

3 3 2

+c =

(

10 9

)

x3 + 2 2 + c =





10 ( x3 + 2 )

Ejemplo 18: Calcular la siguiente integral indefinida

∫

 1    x  dx .

cos 

Resolución:  1   , y de este factor la  x

Se deberá observar que la composición está en el factor cos  1

“función interna” es

diferencial, du =

 dx = − 2 



= x 2 , y calculando su

−3  1 − x2

2 

−1

, haciendo el cambio de variable, u = 1

dx . Aplicando las propiedades de la integral para

poder modificar el integrando de modo que resulte útil el cambio de variable se ve, que al sustituir ambas expresiones en la integral original se tiene:

∫

 1    x

cos 

(−2)

∫

dx =

cos

( 1x )

−2

∫ () ( −2)

dx =(−2)

( 1x )

∫( ) cos

−2

dx =

 1  cos ( u ) du =(−2) sen (u ) + c = −2sen  +c  x

Ejemplo 19:

3π

Calcular la siguiente integral definida

∫x

( ) ( )

sen 2 x3 cos x3 dx .

Resolución: Este ejemplo es importante porque ilustra que no siempre es evidente la composición, ni cuál es el factor que corresponde a la diferencial du . Se va a trabajar como si fuera una integral indefinida y al final se tomarán en cuenta los límites de integración. En este caso se tomará como la composición a sen 2 ( x3 ) y de ella se tomará como la “función interna” a sen( x3 ) , es decir, u = sen( x3 ) , y calculando su diferencial, du = 3x 2 cos ( x3 )dx . Sustituyendo

ambas expresiones en la integral original se tiene:

∫

( ) ( )

∫

( ) 3

( )

∫

( )

( )

1 1 x 2 sen2 x3 cos x3 dx =  sen x3  (3) x 2 cos x3 dx =  sen x3  (3) x 2 cos x3 dx = 

168



1 3

∫

[u ] du = 3 3 + c = 9  sen ( x3 ) + c = 9 sen3 ( x3 ) + c 1 u3

Además del cálculo anterior es útil recordar que

sen ( π3 ) = 23 ,

Y como la integral original es definida, por el Teorema Fundamental del Cálculo, se tiene: 3π

∫x

( ) ( )

sen 2 x3 cos x3 dx =

3π

3   1  π 3 3 1 1 π 1  3 3   3 3 3 3 3 3  − sen ( 0 )  =  sen   − 0  = ⋅  sen ( x ) =  sen  3  =      9 9 3 9 3 9 2 24     0      

Ejemplo 20: Calcular la siguiente integral Resolución:

∫

sen ( x ) dx . cos2( x )

Se trata de otro ejemplo interesante porque nos obliga a pensar en una forma diferente la definición de la función u , si definimos u = cos( x) , su diferencial es du = − sen( x)dx . Por lo que −du = sen( x)dx , y u 2 = cos 2 ( x) = ( cos ( x) ) . Sustituyendo estas dos últimas expresiones en la integral: 2

∫

sen ( x ) dx = cos2( x )

∫

− du = − u2

∫

−1

u − du = − u−1 + c = u1 + c = cos1( x ) + c = sec ( x ) + c . 2

(Comparar con el ejemplo 10)

Haciendo un resumen de todos los ejemplos anteriores, a manera de procedimiento podemos decir que los pasos del método de sustitución o de cambio de variable son: 1. Se debe elegir una sustitución (o cambio de variable) de la forma u = g ( x) , que corresponda a la “función interna” de la composición. 2. Se debe calcular la diferencial de u , du = g '( x)dx , y se debe completar con un factor constante k que no aparezca en la diferencial du en los casos que se requiera, sabiendo 1

que k   = 1 . k  

169

3. Sustituir en el integrando original el cambio de variable y su diferencial, para  du   .  k 

transformarlo en la forma f (u ) 

4. Calcular la integral transformada por el cambio de variable, que en el caso de haber sido un buen cambio de variable, deberá llevar a una integral inmediata en términos de u 5. En el resultado obtenido reemplazar a u por la expresión g ( x) , para que el resultado quede en términos de x . Una de las aplicaciones más frecuentes del método del cambio de variable se puede encontrar en integrandos formados por potencias de ciertas expresiones algebraicas, como muchos autores las clasifican como un método más y le asignan nombre propio, como si se tratara de algo diferente, de lo que se debe decir que es exactamente el mismo método de cambio de variable, daremos aquí el nombre más usual de esa variante del método del cambio de variable, se le conoce como: regla general de las potencias.

La regla general de las potencias Definición. Si f es una función derivable de x , es decir f '( x) existe y está bien definida, entonces:

∫

n+1

 g ( x )   g ( x )  g ' ( x ) dx =  n +1 n

+ c , si n ≠ −1 . Que mediante el cambio de variable,

u = g ( x) , se puede simplificar como

∫ Ejemplo 21:

u n du =

u n+1 + c , si n ≠ −1 . n +1

∫

Calcular la siguiente integral indefinida 8 ( 5 x − 6 ) dx . 7

Resolución: Si se hace u = 5 x − 6 , que es la función “interna” de la composición ( 5 x − 6 ) , su diferencial 7

es: du = 5dx , y antes de sustituir aplicamos las propiedades de la integral:

∫

8 ( 5 x − 6 ) dx = 8 7

∫

7 1 8 5 ( 5 x − 6 ) dx = 5 5

∫

( 5 x − 6 ) 5dx = 7

8 5

∫

(5x − 6) 8 u8 +c u 7 du = ⋅ + c = 5 5 8 8

Sugerimos al lector que considere la enorme cantidad de trabajo que el método anterior nos evita en comparación con lo que tendría que calcularse en el caso de desarrollar el 7 binomio ( 5 x − 6 ) , al cual se tendría que aplicar la propiedad aditiva de la integral para después integrar cada término. Como en toda integral, se puede verificar derivando el resultado, y obteniendo con eso el integrando; y con ello, que la integral es correcta.

Integración de funciones que resultan en funciones logarítmicas

170

Definición. Recordando el resultado para la integral de la función

∫x 1

f ( x) =

dx =ln x + c , podemos generalizar como en los ejemplos anteriores, por medio de un

cambio de variable u = g ( x) que la integral

∫

g '( x)

g ( x)

dx =

∫ u = ln u + c = ln g(x) + c du

Ejemplo 22: Calcular la siguiente integral indefinida

∫ tan ( x)

dx .

Resolución: En este caso es útil expresar a la tangente en términos de seno y coseno: tan( x) =

sen( x) cos( x)

, después conviene hacer el cambio de variable: u = cos( x) , de donde du = − sen( x)dx , así que resulta:

∫

tan ( x ) dx =

∫

− sen( x) − sen( x) sen( x) du dx = − dx = − dx = − = − ln u + c = −ln cos( x) + c cos( x) cos( x) cos( x) u

Ejemplo 23: Calcular la siguiente integral indefinida

∫ sec ( x)

dx .

Resolución: No se ve ningún cociente que haga pensar en una función logaritmo, pero revisemos la fracción

sec( x) + tan( x) , sec( x) + tan( x) la cual deberá reconocer el lector que es igual a 1 , por tener el numerador igual al denominador. Si se multiplica el integrando por dicha fracción se tiene:

sec( x) = sec( x)

sec( x) + tan( x) sec 2 ( x) + sec( x)tan( x) = sec( x) + tan( x) sec( x) + tan( x)

y si definimos el cambio de variable como u = sec( x) + tan( x) , entonces resulta que du =

( sec2 ( x) + sec( x)tan( x) ) dx . Por increíble que parezca, en realidad se trata de una función

cuya integral es una función logarítmica.

171

∫ Así que

∫

sec ( x ) dx = sec ( x )

∫ sec ( x)

sec( x) + tan( x) dx = sec( x) + tan( x)

∫

sec 2 ( x) + sec( x)tan( x) dx = sec( x) + tan( x)

ln u + c = ln sec( x) + tan( x) + c

∫

du = u

dx = ln sec( x) + tan( x) + c

Integración por partes Definición. Para explicar el procedimiento que se aplica en este método se empezará por recordar la regla de derivación de un producto de funciones, digamos que h( x) = f ( x) ⋅ g ( x) , entonces h '( x) = f '( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g '( x) , de la que si despejamos f ( x) ⋅ g '( x) resulta, f ( x) ⋅ g '( x) = h '( x) − f '( x) ⋅ g ( x) , y como h( x) = f ( x) ⋅ g ( x) entonces f ( x) ⋅ g '( x) = [ f ( x) ⋅ g ( x) ] '− f '( x) ⋅ g ( x) ,

y si se integra y aplica el Teorema Fundamental del Cálculo se llega a

∫

f ( x ) ⋅ g '( x)dx =

∫

 f ( x ) ⋅ g ( x)  dx −

∫ '( x ) f

⋅ g ( x)dx = f ( x ) ⋅ g ( x) −

∫ '( x ) f

⋅ g ( x)dx , o bien,

a la cual se le conoce como la fórmula de integración por partes. Ahora bien ¿cómo debemos aplicarla?. Si vamos a integrar una función

∫ ( x) dx a

, en la

que a( x) de alguna manera la podemos expresar como a( x) = f ( x) ⋅ g '( x) , para ciertas funciones f ( x) y g ( x) , entonces podremos, a su vez, reemplazarla, según la fórmula de integración por partes como

∫ ( x) dx ( x) a

= f

⋅ g ( x) −

∫ '( x ) f

⋅ g ( x)dx , que en muchos casos

del segundo miembro, resulta en una integral inmediata o en una que se puede llevar a una integral inmediata. Ejemplo 24: Calcular la siguiente integral indefinida Resolución:

∫ xln ( x)

dx .

Haciendo f = ln ( x) y dg = dx , y calculemos df y g , df = método de integración por partes:

172

y g =

x2 , aplicando el 2

∫

xln ( x ) dx =

∫

x2 ln x − x2  1  dx = x2 ln x − 1 xdx = x2 ln x − x2 + c ( ) ( ) ( )   2

2  x

En el siguiente ejemplo es necesario recordar que si de la identidad: tan2(x) + 1 = sec2(x) se despeja tan 2 ( x) resulta: tan 2 ( x) = sec 2 ( x) − 1 . Y además de esto veremos que el ejemplo nos reserva una sorpresa, Ejemplo 25:. Calcular la siguiente integral indefinida

∫ sec ( x) 3

dx .

Resolución: Haciendo f ( x) = sec( x) y dg = sec 2 ( x)dx , df = sec( x)tan( x)dx y g ( x) = tan( x) , integrando:

= sec( x)tan( x) −

∫

(

)

= sec( x)tan( x) −

∫

sec( x) sec 2 ( x) − 1 dx = sec( x)tan( x) −

sec3 ( x)dx +

∫

∫(

sec( x)dx

que aparentemente se ha complicado demasiado, pero si sumamos en ambos lados de la igualdad y recordamos que:

Entonces

∫

)

sec3 ( x) − sec( x) dx

∫

sec3 ( x)dx

sec( x)dx = = ln sec( x) + tan( x) + c , se llega a que:

∫

sec3 ( x)dx = =

sec3 ( x)dx = sec( x)tan( x) +

∫

sec( x)dx = sec( x)tan( x) + ln sec( x) + tan( x) + c

1  sec( x)tan( x) + ln sec( x) + tan( x)  + c 2

Ejemplo 26: Calcular la siguiente integral indefinida Resolución:

∫ ln ( x)

dx .

No se ve ninguna forma de integral inmediata, de manera que al derivar cierta función se obtenga como resultado ln ( x) . Ni mucho menos dos funciones f ( x) y g ( x) tales que ln ( x) = f ( x) ⋅ g '( x) , pero este ejemplo tiene de interesante el recordar al lector que la

173

diferencial, en la integración, juega un papel destacado, como veremos en la siguiente sustitución por partes, hagamos f = ln ( x) y dg = dx , y calculemos df y g , (lo que se hace derivando f e integrando dg ) df

y g = x

aplicando la fórmula de integración por partes,

∫ ln ( x) ∫ f ( x) g f ( x) ∫ g ( x) xln ( x ) − x ∫ x xln ( x) − ∫ xln ( x) − x + c dx =

'( x)dx =

g ( x) −

1   dx =  

de manera que la integral buscada es: Ejemplo 27: Calcular la siguiente integral indefinida Resolución:

f '( x)dx =

dx =

∫ ln ( x)

dx = xln ( x ) − x + c .

∫ arcsen ( x)

dx .

Haciendo f = arc sen( x) y dg = dx , 1

∫

arc sen ( x ) dx = x arc sen ( x ) −

1 − x2

dx y g = x , integrando,

∫

x dx en esta última integral se aplicará el método de 1 − x2

sustitución, haciendo u = 1 − x 2 , cuya diferencial es: du = −2xdx . Por lo que

∫

x dx = 1 − x2

∫

1 2 −1 1 du 1 −2 x 2 du = 1 ⋅ u = − 1 − x 2 2 u dx = = ( ) −2 −2 1 u −2 −2 1 − x 2

y regresando a la integral original

∫ arcsen ( x)

dx = x arc sen ( x ) + 1 − x 2 + c

Integración por fracciones racionales (fracciones parciales) Definición. El método de integración llamado “por fracciones racionales”, el cual se acostumbra a llamar con más frecuencia “por fracciones parciales”, se aplica a casos de integración en los cuales el integrando es una función racional, es decir, una función de la

174

a ( x) , en la que a( x) y b( x) son dos polinomios. Lo primero que debe b( x ) señalarse de este método, es que se aplica a casos en los que el grado del polinomio a ( x) es menor que el del polinomio b( x) . Si no fuera así, se debe realizar la división algebraica de a( x) entre b( x) y ese cociente aplicarle los métodos ya mostrados y al residuo el método que en estos momentos se va a explicar. forma q( x) =

Cuando q( x) tiene por denominador un producto de factores distintos y todos de grado 1 .

Ejemplo 28:

1 . x( x − 7) Vamos a expresar a q( x) como la suma de dos fracciones cuyos respectivos denominadores son los factores que forman el denominador original, como se muestra enseguida: 1 A B = + , x( x − 7) x x − 7

Comencemos con un ejemplo específico, para q( x) =

En donde los numeradores A y B de las nuevas fracciones que se propone formar son dos números que deberán ser determinados de la siguiente manera: como la suma de las dos fracciones que se proponen, debe coincidir con la fracción original q( x) , entonces, si hacemos la suma algebraica de dichas fracciones propuestas resulta: A ( x − 7 ) + Bx ( A + B ) x − 7 A 1 A B = = = + x( x − 7) x ( x − 7) x ( x − 7) x x−7 Que debe coincidir con la fracción q( x) por lo que se deben plantear las siguientes condiciones, expresadas como un sistema de ecuaciones simultáneas, a fin de que se de la igualdad entre la fracciones propuestas y q( x) , las cuales resultan de igualar los respectivos coeficientes, el de primer grado ( A + B ) con cero, ya que el numerador de 1 no tiene término de primer grado, y el término independiente ( −7 A ), con 1 , que x( x − 7) es el numerador de la fracción anterior. A+ B = 0 −7 A = 1 Como ya se dijo, la razón de eso es que en la fracción original, el numerador sólo es 1 y debemos buscar que el término en x se elimine. Si se despeja A de la segunda y se sustituye en la primera para despejar B se tiene: 1 1 1 1 y + B = 0 , entonces B = . A = =− 7 −7 7 −7 De manera que la fracción original es igual a: 1 1 − 1 1 1 7 + 7 =− = , + x( x − 7) x x−7 7x 7 ( x − 7)

175

podemos verificar sumando con facilidad que − ( x − 7) + x −x + 7 + x 7 1 1 1 = = = = − + 7x ( x − 7) 7x ( x − 7) 7x ( x − 7) x ( x − 7) 7x 7 ( x − 7)

Así que

∫

q ( x ) dx =

∫

1 dx = x( x − 7)

∫

 −1 1  +   dx =  7x 7 ( x − 7) 

∫

−1 dx + 7x

∫

1 dx , que se ha 7 ( x − 7)

expresado como la suma de dos integrales que son fácilmente calculables por los métodos anteriores como ahora veremos: −1 1 1 1 −1 1 q ( x ) dx = dx + dx = ln x + ln x − 7 + c 7 x 7 ( x − 7) 7 7

∫

Debemos generalizar este caso de la siguiente manera: a ( x) Si , tales que a( x) sea un polinomio de grado menor que “ n ”, y q( x) = b( x ) b( x ) =

en donde los términos bi son números conocidos, de manera que cada ( x − bi ) es un polinomio de grado 1 , y cada uno de esos binomios es diferente de cualquiera de los otros. Siempre que q( x) sea de esa forma se pueden encontrar “ n ” números Ni de manera que q( x) se pueda expresar como N N2 Nn a ( x) = 1 + +···+ . Que nos permitirá transformar la integral original en x − bn b( x) x − b1 x − b2

∫

q ( x ) dx =

∫

a ( x) dx = b( x )

∫

N1 dx + x − b1

∫

N2 dx +···+ x − b2

∫

Nn dx = x − bn

N1ln x − b1 + N 2ln x − b2 + N3ln x − b3 +···+ N n ln x − bn + c

Ejemplo 29: Revisemos un ejemplo para aplicar tal caso de integración, si

Resolución: Entonces, L( x + 5)( x + 7) + M ( x + 3)( x + 7) + N ( x + 3)( x + 5) 7 x2 − 8x + 3 L M N = = + + ( x + 3)( x + 5)( x + 7) ( x + 3)( x + 5)( x + 7) x + 3 x + 5 x + 7 L( x 2 + 12 x + 35) + M ( x 2 + 10 x + 21) + N ( x 2 + 8 x + 15) = ( x + 3)( x + 5)( x + 7)

( L + M + N ) x2 + (12 L + 10M + 8 N ) x + 35L + 21M + 15 N ( x + 3)( x + 5)( x + 7)

Es decir que:

176

( L + M + N ) x + (12 L + 10M + 8 N ) x + 35L + 21M + 15 N 7 x2 − 8x + 3 = , ( x + 3)( x + 5)( x + 7) ( x + 3)( x + 5)( x + 7) 2

de la que se concluye al igualar los coeficientes del mismo grado en los numeradores de ambas fracciones que se debe satisfacer el siguiente sistema a fin de que las igualdades se cumplan: L+M +N =7 12 L + 10 M + 8 N = −8 35 L + 21M + 15 N = 3

cuya solución simultánea es: Es fácil ver que:

L =

45 −109 201 , M = , N = . 4 2 4

45 −109 201 45 − 218 + 201 + + = = 7, 4 2 4 4  45   201  540 − 2180 + 1608  −109  + 10  +8  = −8 , 12   =  4  4   4   2   45   −109   201  1575 − 4578 + 3015 35   + 21  + 15  = 3;  = 4  4   2   4 

y que por lo tanto:

45 109 201 7 x2 − 8x + 3 − + = , ( x + 3)( x + 5)( x + 7) 4( x + 3) 2( x + 5) 4( x + 7) de lo que la integral inicial equivale a: 7 x2 − 8x + 3 q ( x ) dx = dx = 45 ( x + 3)( x + 5)( x + 7) 4

∫

∫ ( x + 3) 1

dx −

109 2

∫ ( x + 5) 1

dx +

201 4

∫ ( x + 7) dx 1

45 109 201 ln x + 3 − ln x + 5 + ln x + 7 + c = ln 4 ( x + 3) 45 − ln 2 ( x + 5)109 + ln 4 ( x + 7) 201 + c 4 2 4

aplicando propiedades de logaritmos y de radicales: = ln 4 ( x + 3)45 − ln 4 ( x + 5) 218 + ln 4 ( x + 7) 201 + c = ln 4

( x + 3)45 ( x + 7)201 +c ( x + 5)218

Ejemplo 30: 5 x 2 − 3x + 4 Si q( x) = 2 , en el método general se señaló que en casos como éste en los que x − 8 x − 33 los grados de los polinomios del numerador y denominador coinciden, se debe realizar primero la división algebraica de los polinomios es decir:

177

de manera que

5 x 2 − 3x + 4 37 x + 169 = 5 + 2 ; 2 x − 8 x − 33 x − 8 x − 33 y por lo tanto,

∫

x + 169 5 x 2 − 3x + 4 37 x + 169 dx = 5x + dx = 5dx + 37 dx 2 2 x − 8 x − 33 x − 8 x − 33 x 2 − 8 x − 33 como en el ejemplo 29, se debe aplicar el método anterior, es necesario expresar el denominador del integrando, x 2 − 8 x − 33 , como producto de binomios de primer grado, por ello debemos factorizar, es decir, x 2 − 8 x − 33 = ( x − 11)( x + 3) , sustituyendo en el integrando, 37 x + 169 37 x + 169 L M = = + 2 x − 8 x − 33 ( x − 11)( x + 3) x − 11 x + 3 q ( x ) dx =

por lo que 37x + 169 = L( x + 3) + M ( x − 11) = ( L + M ) x + 3L coeficientes de los términos de grados iguales, resulta el sistema: L + M = 37 3L − 11M = 169 cuya solución simultánea es: L =

Por lo tanto,

∫

37 x + 169 dx = 288 7 x 2 − 8 x − 33

∫

– 11M ; igualando

288 29 ,y M = − . 7 7

∫

1 dx − 29 x − 11 7

∫

1 dx . Entonces, x+3

288 29 1 5 x − 3x + 4 1 ln x − 11 − ln x + 3 + c = dx = 5x + dx = 5x + 288 dx − 29 2 7 7 x+3 x − 11 7 7 x − 8 x − 33 aplicando propiedades de logaritmos y de radicales: 2

5x + ln 7 ( x − 11)288 − ln 7 ( x + 3)29 + c = 5x + ln 7

( x − 11)288 +c. ( x + 3)29

Integración por sustitución trigonométrica Definición. Para iniciar con este método por primeros temas, vamos a proponer un ejemplo que tiene un importante referente geométrico que nos permitirá apreciar sin lugar a dudas las ventajas y los alcances del método de integración por sustitución trigonométrica. Ejemplo 31: 1

Específicamente consideremos la siguiente integral definida

∫

1 − x 2 dx . Revisando el

integrando y llamándolo “ y ” con el fin de hacer esa revisión resulta: y = 1 − x 2 , elevando al cuadrado, y 2 = 1 − x2

178

x2 + y 2 = 1 ;

trasponiendo x 2 en el miembro izquierdo:

la cual podemos identificar fácilmente como la ecuación de una circunferencia de radio r = 1 y centro en el origen, lo que muestra la siguiente gráfica.

Nuevamente apelando al significado geométrico del concepto de integral en el caso de funciones positivas definidas, que es el caso que nos ocupa, al menos en el intervalo de integración; podemos darnos cuenta que 1

∫

1 − x 2 dx

significa el área de un cuarto de círculo de la analizada ecuación x 2 + y 2 = 1 ; que es la región sombreada en la figura anterior; y que por tener radio r = 1 le corresponde el valor

, ya que el área del círculo completo es π (1) (recordar que el área de un círculo es 4 A = π r 2 ), es decir, por la noción geométrica del área podemos afirmar que

∫

1 − x 2 dx =

π 4

sin haber calculado específicamente la correspondiente integral. Obviamente resulta natural preguntarse ¿cómo obtener este resultado sin apelar a argumentos geométricos?, para los fines de calcular la integral que nos hace falta vamos a proponer el siguiente cambio de variable: considerar que dx = cos α dα y también que x = sen α , de modo que 1 − x 2 = 1 − sen 2α = cos 2α , sustituyendo todo esto en la integral, que por un momento escribiremos como indefinida, resulta

∫

1 − x 2 dx =

∫

cos 2α cos α dα =

∫

(cosα )cosα dα =

∫

cos 2α dα ;

para calcular esta integral resulta muy útil aplicar la identidad: cos 2 A = sustituyendo en la integral anterior se tiene: 179

1 + cos 2 A , 2

∫

cos 2α dα =

∫

1 + cos 2α dα = 2

α 2

1 4

∫

1 dα + 2

∫

cos 2α 1 dα = 2 2

2cos 2α dα =

α 2

∫

dα +

sen 2α + c. 4

∫

1 2cos 2α dα = ⋅ 2 2

Ahora será necesario aplicar la identidad: sen 2A = 2sen A ⋅ cos A . Por lo que:

∫

cos 2α dα =

α 2senα cosα α + sen α cosα +c . + +c= 2 4 2

Y para poder reexpresar el resultado obtenido en términos de la variable original, nos apoyaremos en la siguiente figura,

Tomando en cuenta el cambio de variable propuesto: x = sen α , los catetos e hipotenusa del triángulo anterior deberán ser como lo indica la misma figura. 1 − x2 Y en base a la figura se tiene que: cos α = = 1 − x 2 , además se tiene que α = 1 arc sen α ; así que volviendo a la integral original, así como a su variable original: 1

∫

arcsen(1) + (1) 1 − 1 arcsen(0) + (0) 1 − 0 arcsen( x) + x 1 − x 2  −  =  = 2 2 2 0  1

1 − x dx = 2

α + sen α cos α 

Resultado que coincide con nuestra conjetura geométrica. Y a partir de este caso podemos pensar en una pequeña generalización para la integral inicial de este ejemplo; considerar la siguiente integral: Ejemplo 32:

∫

a 2 − x 2 dx , siendo

un número real positivo.

Resolución:

180

En este caso propondremos el cambio de variable: x = a sen α , por lo que:

(

)

a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sen 2 (α ) = a 2 1 − sen 2 (α ) ,entonces a 2 − x 2 = a 2 cos 2α . En este caso el triángulo

rectángulo debe tener las longitudes que se indican en la figura anterior. Y la diferencial se expresa como: dx = a cos α dα . Sustituyendo en la integral que nos interesa se tiene:

∫

a 2 − x 2 dx =

∫

a 2 cos 2α (acosα )dα = a 2

∫

cos 2α dα ; pero sucede que ésta última integral

ya la hemos calculado, del ejemplo anterior sabemos que: α + senα cosα cos 2α dα = + c.

∫

Y considerando que x = a sen α , entonces  x α = arcsen   y también cos α = a

∫

a 2 − x 2 dx = ( a 2 )

x = sen α , y tomando la función inversa: a

a2 − x2 , por lo tanto: a

α + senα cosα + c = ( a2 ) 2

2 2  x   x   a − x  arcsen   +     a  a   a   

+ c =

x a 2 arcsen   + x a 2 − x 2 a 2

+ c

Es decir:

∫

a 2 − x 2 dx =

x a 2 arcsen   + x a 2 − x 2 a 2

+c .

Como siguiente ejemplo plantearemos el problema de determinar una fórmula para calcular el área de una elipse. Para ello, como antes, pensemos que su centro está en el origen de coordenadas y su semieje mayor está sobre el eje de las abscisas, de ese modo, su ecuación es: simplificando

y2 y2 x2 x2 x2 a2 x2 + = al restar , resulta ; = 1 − = − 1 a2 a2 a2 a2 a2 b2 b2

y 2 a2 − x2 b , despejando “ y ” se obtiene que y =   a 2 − x 2 . = b2 a2 a

Por la simetría del problema, el área total de la elipse es igual a cuatro veces la integral siguiente:

181

∫ 0

b 2 b 2  a  a − x dx =  a     

∫

a 2 − x 2 dx .

Por el ejemplo anterior ya conocemos el resultado de dicha integral, así que el área de la elipse es:

A =

= =

(

4b . a

 x a 2 arcsen   + x a 2 − x 2  a 2

   0

 a 0 2b  2 .  a arcsen   + a a 2 − a 2 − a 2 arcsen   − (0) a 2 − 0  a  a a 

)

2b 2b  2 π  . a 2 arcsen (1) + a(0) − a 2 (0) − (0) a 2 − 0 = .  a + 0 − 0 − 0  = π ab . a a  2 

Así que el área de una elipse con semiejes a y b es: A = π ab Ejemplo 33: 32

Calcular la siguiente integral

∫

1 dx . x 1 − x2 2

Resolución: Nuevamente haremos x = sen α , de donde, dx = cos α dα 1 − x 2 = 1 − sen 2α = cos 2α ,

y también que

proponemos al lector que realice el cálculo anterior desde el triángulo mostrado y verifique que resulta lo mismo. cosα 1 1 −1 dα = dx = dα = − dα = − −csc 2α dα = por lo que 2 2 2 2 sen α cosα sen α sen 2α x 1− x

∫

= −cotan α = –

∫

1− x cosα =– , y retomando la integral definida: x senα 2

182

∫

1 1− x  dx = –  x 1 2 1 − x2 2

= Ejemplo 34: Calcular la siguiente integral

 1 3 3 1 3 1 3 1 1− 1− 1−   1− 4 4 4 4 4 4 = − − − =–  = = 2 − 2 1 1 1  1  3 3 3 3   2 2 2  2 2 2 2  2 1 3 −1 2 2 3− = = = 3. 3 3 3 3

∫

1 dx . x2 − 4

Resolución: Como el radicando tiene la variable cuadrática antes del signo menos, vamos a proponer en este caso el cambio de variable: x = 2sec α , de lo que se tiene: dx = 2 sec α tan α dα y que x 2 − 4 = 4sec 2α − 4 = 4 ( sec 2α − 1) = 4tan 2α .

Sustituyendo todos estos resultados en la integral se llega a: De la siguiente figura se obtiene: cos α =

entonces: 1 dx = 3 x x2 − 4

∫

2 , sen α = x

2secα tan α 1 dα = 8sec3α (2tan α ) 8

∫

x2 − 4 y x

∫

2secα tan α dα 8sec3α (2tan α )

2  =  , arcos  x

∫

1 1 1 α + senα cosα cos 2α dα = dα = + c = 8 sec 2α 8 2

2 1 1 2 2 x −4   + c, (α + sen α cosα ) + c =  arccos   +  16  16 x2 x 

es decir que:

∫

2 1 1 2 2 x −4   arccos   +  + c. dx =  16  x2 x x2 − 4 

Lo que hemos expuesto en estos cuatro ejemplos lo podemos resumir en un método general para integrales que se resuelven por SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.

183

Debemos decir que el método es útil cuando el integrando contiene un factor o un denominador de la forma x 2 − a 2 , o de la forma x 2 + a 2 o de la forma a 2 − x 2 . De manera que presentamos el siguiente resumen general para estos tres casos. Si el integrando contiene un factor de la forma: x 2 − a 2 , a > 0 , se usa el cambio de , cuya diferencial es dx = a sec α tan α dα para lo cual resulta muy útil el variable triángulo rectángulo que se muestra:

Si el integrando contiene un factor de la forma: a 2 − x 2 , a > 0 se usa el cambio de variable x = a sen α , cuya diferencial es dx = a cos α dα , para lo cual resulta muy útil el triángulo rectángulo que se muestra:

Si el integrando contiene un factor de la forma: x 2 + a 2 , a > 0 debe aplicarse el cambio de variable x = a tan α , cuya diferencial es dx = a sec 2 α dα para lo cual resulta muy útil el triángulo rectángulo que se muestra:

184

Ejercicios de autoevaluación Ejercicios. Calcular las siguientes integrales definidas. 2

∫

( 2 x − 3) dx ; 2.

∫

−2

−2 0

x | x | dx ;

∫(

x | x | dx ;

)

∫

10.

−2

x | x | dx ; 11.

3π 2

∫

2π

cos x dx ;

15.

∫

cos x dx .

π 2

∫

( x + x ) dx ;

cos x dx ; 14.

π 2

ax + bx dx, a, b ∈ ¡ ; 13. 2

−2

12.

∫

−2

| x | dx ;

∫ dx ; 3. ∫ 2xdx ; 4. ∫ 2xdx ; 5. ∫ dx ; 6. ∫ dx ;

−2

−2 2

Calcular las siguientes integrales definidas, para las cuales será esencial que apoyándote en las gráficas de las respectivas funciones a integrar, interpretes las integrales a calcular como las donde y áreas de las respectivas regiones. (para el área de una elipse la fórmula es son las medidas de los semiejes menor y mayor) 3

∫ 9 − x dx 2

;

∫

x dx ;

−3

 x + 2 − x  dx +

−1

2 2

∫

 2 − x − x  dx ; 11.

∫ dx ∫ r − x dx; 2

13.

∫(

;

2 2

)

a b x + a dx +

−b

2r 2

∫ dx ∫ 1− x dx 0

r ∈ ¡+ ;

  

−4

2r 2

∫ 9 − x dx ; 7. ∫ (4 − x)dx ; 8. ∫ (x + 4)dx ; 9. ∫ 1− 1− x dx ;

12.

∫

−15

10.

3−

∫ 25 − x dx ; 3. ∫ ( x ) dx ; 4. ∫ 2x − x dx ;

−5

∫(

− ba x + a ) dx; a, b ∈ ¡ + ;

Ejercicios. Calcular las siguientes integrales. 5

∫ 2

dx ;

∫ 0

y 3

+ 2y

y + 3y

∫ x ; 3. ∫ (4 x − 3x + 1)dx ; 4. ∫ ( 3

dy ; 7. +4

∫

3 x − 2 dx

;

185

)

dx ;

∫ 2

3 x − 2 dx ;

2

 

Calcular las integrales indefinidas de las siguientes funciones.

(

)

1. f ( x) = 2 x − x 2 ; 2. f ( x) = 3x 7 − x 2 ; 3. f ( x) = 9 xe x ; 4. f ( x) = sen x cos 7 x ; 5. f ( x) =

7 + 5x 11e x ; 6. f ( x) = ; x 1 + x2 e + 19

186

Respuestas de los ejercicios de autoevaluación UNIDAD 1. FUNCIONES 1.

187

4. Y su representación con diagramas de Venn es:

6. Y su representación gráfica es:

188

7. Y su representación en diagramas de Venn es:

8. Y su gráfica en el plano cartesiano es:

9. 10. 11. 12. 13. 14.

189

15. 16. 17. 18. 19. 20.

se reduce a la ecuación

21. El recorrido de

190

y su gráfica es:

El recorrido de

22. a)

Dominio: Recorrido: Codominio:

Dominio: Recorrido: Codominio: b)

Dominio: Recorrido: Codominio:

191

Dominio: Recorrido: Codominio: c)

Dominio: Recorrido: Codominio:

Dominio: Recorrido: Codominio: d)

Dominio: Recorrido: Codominio:

Dominio: Recorrido:

192

Codominio:

Dominio: Recorrido: Codominio: 23.

24.

Dominio:

o Dominio:

193

Dominio:

25.

También puede ser:

26.

27.

194

28. Para

su función inversa es

Y sus gráficas son:

29. A partir de la función:

195

Se obtienen las siguientes funciones sobre sus respectivas imágenes:

y sus funciones inversas

30. A partir de la relación:

Se obtienen las siguientes funciones ,

sobre sus respectivas imágenes:

196

y sus funciones inversas

197

UNIDAD 2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 1.

198

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

199

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

200

34.

35.

36.

37. La función es continua en

38. a = 16 39. La función no es continua en

40. La función no es continua en

UNIDAD 3. LA DERIVADA Encuentra la derivada utilizando la definición 1. f ' ( x ) =

8 x 4 + 48 x3 − 66 x 2 + 24 x

( x + 3x − 2 ) 2

2. f ' ( x ) = −

2 x3

3. f ' ( x ) = −

( x − 2)

Determina la derivada utilizando las fórmulas de derivación 1. y ' =

2 x5 + 2 x 4 + 16 x 3 + 26 x 2 − 18 x − 8

( x + 4) 2

2. y ' = −

4 3

9 x

3. y ' = 4. y ' =

−

16 x 3x 2

4 25 x9

2 4 ( x3 − 1) 4 ( x 3 + 1) 3

−5 x 2 − 5 x + 5 11

 x3 x 2 6 6 + − x  2  3 

201

Determina la derivada implícita de: −4 x3 − 8 y 2 x + 3 y 3 − 2 2 ,8 x y − 9 xy 2 ≠ 0 1. y ' = 2 2 8 x y − 9 xy 2. y ' =

32 x 3 + 36 x 2 + x − 3 8 y ( y2 − 9)

,8 y ( y 2 − 9 ) ≠ 0 3

y3 3 3. y ' = − 3 , x ≠ 0 x Dibuja la gráfica de la función f ( x ) = x x + 5 Domf = { x ∈ ¡ | x ≥ −5} ; Intersecciones con los ejes ( 0, 0 ) , ( −5, 0 )

La función es continua en  −5, ∞ ) ; Punto crítico x = 0

Crece en ( 0, ∞ ) ; decrece en ( −5, 0 ) ; Mínimo x = 0 ; lim x x + 5 = ∞ ; x →∞

Cóncava hacia arriba ( −5, ∞ ) ; No tiene puntos de inflexión. No tiene asíntotas.

x3 7 x + 35 Domf = { x ∈ ¡ | x ≠ −5} ; Intersecciones con los ejes ( 0, 0 )

Dibuja la gráfica de la función f ( x ) =

La función es continua en { x ∈ ¡ | x ≠ −5} ; Puntos críticos x = 0, x = −

15 2

15 15    15  Crece en  − , −5  , ( 5, 0 ) ; decrece en  −∞, −  , ( 0, ∞ ) ; Mínimo x = − ; 2 2   2  x3 x3 = ∞; lim = ∞ , lim x →−∞ 7 x + 35 x →∞ 7 x + 35 Cóncava hacia abajo ( −5, 0 ) , cóncava hacia arriba ( −∞, −5 ) , ( 0, ∞ ) ; Punto de

x3 x3 = −∞ , lim− = ∞ ; No tiene asíntota oblicua ni x →5 7 x + 35 x →5 7 x + 35 horizontal, asíntota vertical x = −5

inflexión x = 0 . lim+

UNIDAD 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. 8 3 cm 2 / h 2. −6 o 6 3. 36 pies 4. 5 y 10. 5 5. h = 3 6. 15 y 15.

7. r =

5 3π

202

UNIDAD 5. LA INTEGRAL Ejercicios. Calcular las siguientes integrales definidas. 2

∫(

2 x − 3) dx ;

∫

−2 0

| x | dx ;

−2

∫

x | x | dx ;

∫(

)

∫

−2

x | x | dx ;

10.

∫

∫(

x | x | dx ; 11.

3π 2

2π

∫

cos x dx ;

6. 0 .

7. 4 .

cos x dx ; 14.

15.

∫

cos x dx .

π 2

Respuestas: 1. 0 .

2. 0 .

11) R=

86 , 3

3. −4 .

4. 4 .

60a + 26b , 3

12) R=

16 . 3

)

x3 + x 2 dx ;

π 2

ax + bx dx, a, b ∈ ¡ ; 13. 2

−2

12.

∫

−2

∫ dx ; 3. ∫ 2xdx ; 4. ∫ 2xdx ; 5. ∫ dx ; 6. ∫ dx ;

−2

−2 2

8. 0 . 9.

−8 8 . 10. 3 3

13) R= 1 , 14) R= −2 , 15) R= −1 ,

Calcular las siguientes integrales definidas, para las cuales será esencial que apoyándote en las gráficas de las respectivas funciones a integrar, interpretes las integrales a calcular como las áreas de las respectivas regiones. (para el área de una elipse la fórmula es donde y son las medidas de los semiejes menor y mayor) 3

∫ 9 − x dx ; 2. ∫ 25 − x dx ; 3. ∫ ( 2

∫

−1

2 2

∫

 2 − x − x  dx ; 11.

2r 2

∫ dx ∫ r − x dx; x

2r 2

∫

xdx +

∫ 1− x dx ; 2

2 2

r ∈¡ ;

13.

−4

 x + 2 − x  dx +

  

12.

−15

10.

∫ 2x − x dx ;

∫ x dx ; 6. ∫ 9 − x dx ; 7. ∫ (4 − x)dx ; 8. ∫ (x + 4)dx ; 9. ∫ 1− 1− x dx ; 2

3 − x ) dx ;

−3

−5

∫(

−b

)

a b x + a dx +

∫( 0

− ba x + a ) dx; a, b ∈ ¡ + ;

2

 

Respuestas: 9 25 1. π . 2. π. 4 2

3. 9 .

π . 2

9) R= 1 − π , 10) R= 2 , 11) R= 4

5. 0 .

3 π; 2

7) R= 8 , 8) R= 8 ,

, 12) R= π r , 13) R= ab , 2

Ejercicios. Calcular las siguientes integrales. 5

∫ 2

dx ;

∫ 0

y 3

) ; 5. ∫ 7

3 x − 2 dx ;

+ 2y

y + 3y

∫ x ; 3. ∫ (4 x − 3x + 1)dx ; 4. ∫ ( 3

dy ; 7. +4

Respuestas: 3 1. . 2. ln 5 − ln 2 . 10

∫

3 x − 2 dx

;

74 . 3

22 . 9

2 [19 19 − 8] . 9

6. 2 − 3 2 .

Calcular las integrales indefinidas de las siguientes funciones.

(

)

1. f ( x) = 2 x − x 2 ; 2. f ( x) = 3x 7 − x 2 ; 3. f ( x) = 9 xe x ; 4. f ( x) = sen x cos 7 x ; 5. f ( x) =

7 + 5x 11e x ; 6. f ( x) = ; x 1 + x2 e + 19

Resultados del 1 al 6: 1) R= x 2 −

x3 3

( + c , 2) R= −

3 7 − x2 14

) + c , 3) R= 9 e x2 + c , 4) R= − ( cos( x) )8 + c , 7

5) R= 11ln(e x + 19) + c , 6) R= 7arc tan( x) − ln (1 + x 2 ) + c . 5

204

EXAMEN TIPO f ( x) =

1. El dominio de la función 1 1   A)  −2,  ∪  , ∞  2 2  

x+2 2 x + 3x − 2

es:

1 1   D)  −2,  ∪  , ∞  2 2  

C) [ −2, ∞ )

B) ( −2, ∞ )

1 1 y g ( x) = , el dominio de f o g es: x−2 x+4 7  7  7  7    A) ( ∞, −4 ) ∪  −4, −  ∪  − , ∞  B)  −∞, −  ∪  − , ∞  2  2  2  2    7 7   D) ( −∞, −4 ) ∪ ( −4, 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) C)  −∞,  ∪  , ∞  4 4  

2. Si f ( x ) =

x−2 −3 es: x →11 − x + 13 x − 22 1 B) 54

3. El valor de lim A) −

1 9

C) −

π  cos  3 x −  2  4. El valor de lim es: x →0 x A) No existe B) 3

1 54

D) −3

C) 0

5a − x, x ≤ −3  5. El valor de a para que f ( x ) =  x − a sea continua es:  3 , x > −3 3 3 A) 0 B) − C) 8 8 2+ x es: 3− x 5 B) 2 ( x − 3)

1 9

D) −

3 4

6. La derivada de f ( x ) = A) −

(3 − x )

7. La derivada de f ( x ) = A)

x x+6 x +9

(3 − x )

D) −

( x − 3)

x +1 es: x +3

(

x x+6 x +9

) 205

x+6 x +9 x

1 x+6 x +9

y = x 2 − 1 el valor de y ' es: x+ y x 2 y 2 B) ( x + y ) + C) 2 ( x + y ) + y x

8. En la función implícita A) 2 ( x + y ) + 2

y x

D) 2 ( x + y ) − 2

y x

2x son: 1 + x2 C) ( −∞, −1) , ( −1, ∞ ) D) ( −∞, −1) , (1, ∞ )

9. Los intervalos en donde decrece la función f ( x ) = A) ( −∞,1) , (1, ∞ )

B) ( −∞, −1) , (1, ∞ )

10. Un objeto baja deslizándose por una cuesta de 256 pies de largo, cuya inclinación es de 30°. ¿Cuál es la velocidad al pie de la rampa? A) 64 2 pies / s

B) 128 pies / s

C) 32 2 pies / s

D) 64 3 pies / s

11. Encontrar el área del mayor rectángulo que puede ser inscrito en un triángulo rectángulo de medidas 3,4 y 5, si dos de sus lados coinciden con los catetos. A) 4

B) 5

C) 3

D) 2

12. Determine un número que exceda a su cuadrado en la mayor cantidad. A) 2

1 2

1 4

D) 4

13. El resultado de la siguiente suma

∑ 7i(i − 6) es:

i =45

A) 551 754

B) 566 244

C) 602 469

D) 614 754,

14. El resultado de la integral definida

∫

( 3x − 3 | x |)dx es:

−2

A) 0

B) –24

C) –12

D) 12

15. Considerando la interpretación geométrica de la integral como área bajo la −1

curva y la gráfica de la función y = 3 − x − 2 x , el resultado de 2

π A) – u2 2

∫ y dx es:

−3

π B) u2 2

C) −π u2

206

D) π u2

16. El resultado de la integral indefinida A)

1 ln( x3 − 1) + c 7

x3 x4 7( − x) 4

17. El resultado de la integral indefinida 2

x tanx +c 2

B) x 2 tanx + c

∫

3x 2 dx es: 7( x3 −1) C)

∫

1 ln( x3 ) + c 7

x3 +c 7( x 4 − x)

xsec 2 xdx es:

C) xtanx – ln|cosx| + c

D) xtanx + ln|cosx| + c

18. El área comprendida entre las gráficas de y1 = senx y y2 = –1 en el intervalo  π 0, 3  es: π +1 2 3 + 2π 2 π −1 2 2π − 3 2 A) u B) u C) u D) u 2 6 2 6 19. El trabajo realizado por la fuerza (en Newtons), F = x + 1, al desplazar un objeto sobre un plano horizontal sin fricción una distancia de 3m es: A) 3J

11 J 2

15 J 2

D) 12J

20. El área comprendida entre las gráficas de y1 = x2 y y2 = –x en el intervalo [–1, 0] es: A) –

1 2 u 6

5 2 u 6

D) –

5 2 u 6

RESPUESTAS EXAMEN DE DIAGNÓSTICO 1. D 2. A 3. C 4. B 5. D 6. C 7. B 8. A 9. D 10. A

11. C 12. B 13. D 14. C 15. D 16. A 17. D 18. B 19. C 20. B

207

BIBLIOGRAFIA De Oteyza, Elena et al., Conocimientos fundamentales de Matemáticas Álgebra. México, Editorial Pearson, 2006. De Oteyza, Elena et al., Conocimientos fundamentales de Matemáticas Trigonometría y Geometría Analítica. México, Editorial Pearson, 2007. De Oteyza, Elena et al., Conocimientos fundamentales de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral. México, Editorial Pearson, 2006. Kelly, Timothy J. et al., Álgebra y Trigonometría (Precálculo). México, Editorial Trillas, 1996. Larson, E. Ronald et al., Cálculo. México, Editorial Mc Graw-Hill, 1989. Lehmann, Charles H., Álgebra. México, Editorial Limusa-Noriega, 1995. Lehmann, Charles H., Geometría Analítica. México, Editorial Limusa-Noriega, 2002. Purcell, J. Edwin et al., Cálculo Diferencial e Integral. México, Editorial Pearson, 2003. Rangel, Luz María, Funciones y Relaciones. México, Editorial Trillas, 1991. Swokowski Earl, Cálculo con Geometría Analítica, Grupo Editorial Iberoamérica. Stewart, James, Cálculo, Trascendentes Tempranas. México, Editorial Thomson, 1998. Zill, Dennis G., Cálculo con Geometría Analítica. México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1987.

UNAM

Universidad Nacional Autónoma de México

Escuela Nacional Preparatoria

Dr. Enrique Graue Wiechers Rector Dr. Leonardo Lomelí Vanegas Secretario General

SECRETARÍA ACADÉMICA

Ing. Leopoldo Silva González Secretario Administrativo

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

DGENP Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Directora General Lic. Rogelio Cepeda Cervantes Secretario General

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

Dra. Mónica González Contró Abogado General

ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS ÁREA 2 BIOLÓGICAS Y DE LA SALUD Sexto Año Clave: 1600 Plan: 96

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Matemáticas VI Área 1 y 2 Clave: 1600 Plan: 96

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Elaboró: Claudia América Serrano Liceaga Rogelio González Zepeda Moisés Silva González

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Matemáticas VI Área 1 y 2