Contenido para el Curso de Estrategias para la Enseñanza de Matemáticas del Módulo 3 en su Lección 1 by PDLM

Estrategias para la enseñanza de las matemáticas

Módulo 3. Geometría y otras formas hermosas Lección 1. Otra cara de la Geometría

Programa de Formación Docente

Contenido Competencia ................................................................................................................................................................. 3 Conjeturar y demostrar en geometría ........................................................................................................... 3 Uso del GeoGebra ................................................................................................................................................... 4 Triángulo de Napoleón y cuadrados pitagóricos…………………………………………………………………………….....6 ¿Cómo usar GeoGebra para realizar las actividades?........................................................................6 Objetivo de las actividades………………………………………………………………………………………………………………………..8 Consideraciones importantes al aplicar las actividades. ............................................................... 9 Actividades: Enseñar geometría utilizando GeoGebra. ................................................................ 10 Teorema de Pitágoras y su demostración ................................. ¡Error! Marcador no definido. Ejercicio preguntas detonadoras de metacognición. ........................................................................ 16 Reflexión final.............................................................................................................................................................. 19 Evidencia de aprendizaje .................................................................................................................................... 20 Cierre................................................................................................................................................................................ 22 Referencias................................................................................................................................................................... 22 Bibliografía ................................................................................................................................................................... 22

Competencia Conocerás y analizarás una propuesta educativa para la enseñanza de la geometría euclidiana del investigador Dr. Alejandro Díaz Barriga para la construcción de algunas conjeturas geométricas, mediante el uso del software GeoGebra, con la finalidad de que al finalizar este curso la puedas aplicar en tu práctica educativa.

Conjeturar y demostrar en geometría Como docente de Educación Media Superior, sabes que en esta sociedad de la información, uno de los mayores retos que presentas, es lograr que tus estudiantes sean capaces de observar su entorno - tanto interno como externo -, y plantearse preguntas que lo lleven a comprender un poco más sobre éste, desde sus formas hasta las relaciones que se establecen entre los distintos actores y factores que lo construyen. También sabes que sólo mediante el estudio causal de las cosas y la comprensión, el estudiante podrá discernir cuándo un conocimiento es válido y cuándo no lo es. En ese sentido, no sólo en esta lección, sino a lo largo de todo el módulo 3, aprovecharás los conocimientos geométricos que tienen tus estudiantes de sus estudios previos, para enseñarles a conjeturar y demostrar en geometría. Debes tener en cuenta que, - al igual que en la aritmética y en el álgebra - tus estudiantes cuentan con el “resultado” de los conocimientos, pero si les preguntas por el proceso para llegar a dicho resultado, pocos sabrán desarrollarlo, pues no todos lo tienen bien estructurado, es por ello, que a lo largo de esta lección 1 y la lección 2 seguirás trabajando en el uso correcto del lenguaje matemático para impartir contenidos geométricos. La perspectiva que se desea que los estudiantes aprendan, es desde la geometría euclidiana, con uno de los teoremas conocidos de la geometría plana más famosos y conocidos el Teorema de Pitágoras. Bajo la perspectiva anterior, es que a lo largo del módulo 3 se construirán algunas conjeturas geométricas, en particular algunas que se fundamentan y se postulan en los Elementos de Euclides, no te preocupes, en estas lecciones contarás con un software educativo que te ayudará: GeoGebra.

¡Adelante!

Uso de GeoGebra A lo largo del Módulo 1 y 2 has elaborado conjeturas a través de observaciones realizadas desde el punto de vista aritmético y algebraico. Ahora, en este módulo 3 desarrollarás conjeturas pero desde un punto de vista geométrico, para ello, usarás el software libre GeoGebra. Como recordarás, en algunas lecciones ya has trabajado con el software educativo GeoGebra, si bien en la mayoría de los casos te ha servido para visualizar algunos ejemplos, también has tenido la oportunidad de probar el simulador. Pero ¿qué es GeoGebra? y ¿cómo se usa? Revisa el siguiente recurso para saber más sobre este dinámico programa.

Uso de la GeoGebra ¿Qué es GeoGebra? GeoGebra es un software que se emplea para representar funciones gráficas relacionadas con álgebra, cálculo y trigonometría. El uso de este software es fácil, didáctico y sencillo, ayuda a ver de otra manera la matemática, ya que permite visualizar su forma espacial.

¿Cómo obtener GeoGebra? Al ser un software libre, GeoGebra ofrece opciones para ser descargado en cualquier dispositivo móvil, o bien, puede trabajarse en línea sin ningún costo. Para obtenerlo, da clic en la siguiente imagen:

¿Cómo utilizar GeoGebra? Es muy fácil y se puede usar desde diferentes dispositivos, en el siguiente video se muestra de forma rápida las secciones más importantes de GeoGebra.

https://youtu.be/FZfj6L7jNQo?list=PLS6BAF1pM505iGW_uSR6nw_QeKmAlg5Tg

Escucha el siguiente audio, donde la Mtra. Adriana León te comparte por qué utilizar GeoGebra en este Módulo. Da clic en siguiente botón para comenzar a escuchar:

Triángulo de Napoleón y cuadrados pitagóricos ¿Cómo usar GeoGebra para realizar las actividades? Las actividades propuestas en este módulo 3, tienen como finalidad que como docente interesado en conocer y adoptar nuevas formas para la enseñanza de las matemáticas, logres construir conjeturas a partir de las observaciones que realices en el uso de los recursos proporcionados en GeoGebra. Además, se te invita a que estas actividades las lleves a tu aula, experimenta y recuerda que como experto puedes hacer las modificaciones que consideres pertinentes de acuerdo a tu contexto escolar. Así, en cada actividad podrás guiar a cada estudiante a que busque, de manera natural, la forma de argumentar a favor de su conjetura, que comience a entender qué es una argumentación deductiva, que conozca algunas argumentaciones deductivas y que en algunos casos sencillos, pueda desarrollar tales argumentos. Es importante recalcar que las actividades que vas a realizar en esta lección son archivos previamente elaborados por el Dr. Alejandro Díaz Barriga y la Mtra. Adriana León Montes, en el software GeoGebra.

IMPORTANTE: Los archivos de GeoGebra, así como la teoría para enseñar a conjeturar en geometría, son parte de un documento titulado Triángulo de Napoleón y cuadrados pitagóricos del Dr. Alejandro Díaz Barriga, quien lo elaboró para la Sociedad Matemática Mexicana con apoyo de CONACyT.

La idea de esta propuesta educativa es presentar un mosaico deductivo trabajando localmente en Geometría Euclidiana. Se busca guiar al estudiante, a fin de que conjeture y haga deducciones locales, argumentando a favor de teoremas y no a partir de los axiomas de la geometría, esto es, a partir de hechos que se supone ciertos y que el estudiante conoce. Otra opción, es pedirle que cree teoremas a condición de que en un momento posterior sean aprobados a partir de hechos que sí conozca. Es importante propiciar en el grupo discusiones alrededor del tema para que los estudiantes vayan adquiriendo la capacidad de comunicar sus ideas. 6

Los archivos de GeoGebra que se presentan están construidos de tal manera que soportan el arrastre; es decir, si se te solicita la construcción un triángulo equilátero, aunque muevas el triángulo (por ejemplo clickeando un vértice y moviéndolo en la pantalla), toda la figura se moverá de tal manera que, seguirá mostrando un triángulo equilátero. Para elaborar estos archivos, hay que dar indicaciones utilizando construcciones con regla y compás. Por ejemplo, si se quiere trazar las bisectrices de un triángulo (de tal manera que soporten el arrastre); para construir cada una de ellas, se tiene que hacer dando las instrucciones que ya conoces con regla y compás (como cuando enseñas a construirlas en tu pizarrón).

La idea de esta propuesta educativa es presentar un mosaico deductivo trabajando localmente en Geometría Euclidiana. Se busca guiar al estudiante, a fin de que conjeture y haga deducciones locales, argumentando a favor de teoremas y no a partir de los axiomas de la geometría, 7 esto es, a partir de hechos que se supone ciertos y que el estudiante conoce. Otra opción, es pedirle que cree teoremas a condición de que en un momento posterior sean aprobados a partir de hechos que sí conozca.

Objetivo de las actividades La propuesta educativa que se te presenta a continuación (basada como ya se mencionó en el artículo del Dr. Alejandro Díaz Barriga) tiene como objetivo principal:

➢ Que como docente interesado en aprender nuevas formas de enseñar, conozcas esta propuesta y te adentres en el estudio de las actividades que se te ofrecen a continuación, para que desarrolles habilidades necesarias para conjeturar en Geometría, que posteriormente en tu aula, te permitan ayudar a tus estudiantes a construir conjeturas geométricas a partir de sus observaciones, con el apoyo de la herramienta de GeoGebra.

Revisa algunas habilidades que podrán desarrollar tus estudiantes con las actividades:

Consideraciones importantes al aplicar las actividades A continuación se muestran algunas situaciones importantes que pueden presentarse al aplicar las actividades, por lo que es importante que las consideres: Consideraciones importantes al aplicar las actividades: Los profesores no son Dioses Es importante decir, que es muy probable que tus estudiantes lleguen a conjeturar alguna relación que no sea de las observadas aquí. Incluso puede pasar que ni tú puedas ver la relación, si eso pasa ¡respira! Ya que ese será un gran momento para enseñarles a tus estudiantes que como profesora o profesor no tienes la respuesta para todo, mucho menos para todas las conjeturas que la humanidad aún estudia (ya que tanto como en tu formación profesional, como en este curso, has aprendido que demostrar una conjetura no es tarea fácil).

Experimenta junto tus estudiantes Si alguno de tus estudiantes llegara a conjeturar una nueva conjetura, busquen juntos (como un equipo que son), la validez a esa nueva conjetura y si ésta no es verdadera, propongan un contraejemplo, no te preocupes si no lo logran (recuerdas que en la lección 3 del Módulo 1 se vio que a veces el sólo intento de demostración es más satisfactorio que la certeza), así que adelante, ¡experimenta junto a tus estudiantes! Verás que poco a poco los introducirás al pensamiento matemático de una forma natural.

Nuevo Roll docente para generar aprendizaje valioso Sobre las demostraciones que se desarrollarán a continuación, no se espera que tus estudiantes lleguen a la resolución por ellos mismos, sino que como docente de matemáticas, desarrolles en ellos la capacidad de conjeturar. Por lo tanto, es tu roll como agente que guía, el que llevará de la mano a tus estudiantes para dar los argumentos que lleven a la demostración. Al estudiante sólo deberás pedirle que haga algunas deducciones sencillas para que observes si ha entendido el método y quizá, en alguna ocasión, pedir que repita alguna de las demostraciones que aquí se presentan para que estés segura o seguro de que ha entendido la argumentación que se ha dado. Para lograr lo anterior, es importante que te esfuerces en comprender y realizar las actividades, con el objetivo de que experimentes las posibles dificultades o problemáticas que pudieran presentarse en tus estudiantes (cuando las trabajes en clase) y tener bien estructuradas las demostraciones de las conjeturas, para así, poder guiar correctamente a tus estudiantes.

Este módulo no se enfoca en enseñar el uso del software GeoGebra. Se utilizará para visualizar las ventajas que tiene en la enseñanza de la geometría, además de mostrar una propuesta para inducir las construcciones de conjeturas en esta área. Así, se te recomienda no invertir tiempo en enseñar al estudiante a manejar el software, sino que el estudiante vaya experimentando las ventajas y desventajas de este software sobre la marcha, tal como tú lo hiciste en la lección 2 de tu primer Módulo. No te preocupes, recuerda que por su generación, el manejo de software o programas se da en ellos, de manera muy natural.

Actividades: Enseñar geometría utilizando GeoGebra. Al aplicar las actividades, es necesario que prepares con anticipación tus equipos de cómputo y consideres algunos requerimientos:

No es necesario que descargues el software en las computadoras.

2. Los equipos de cómputo deben tener acceso a internet para poder acceder a los enlaces. 3. Puedes modificar el recurso proporcionado.

Si bien, cuando trabajes con tus estudiantes el tema de conjeturar en Geometría utilizando GeoGebra, necesitarás un aula con computadoras, es necesario que tus estudiantes tengan a la mano lápiz y papel para que escriban sus conjeturas, sus argumentosdemostraciones, o algunas figuras (aunque estén mal hechas), etc. Para trabajar con tus estudiantes, emplearás cuadrados y triángulos. Son 4 figuras las que se te presentan para lograr conjeturar, y aunque son pocas, la idea es que tengas ejemplos de cómo puedes abordar el tema a partir de ellas. Por otra parte, cuando tanto en esta lección, como en la siguiente se te pida que tus estudiantes conjeturen, es importante que trabajes con ellos con el archivo indicado para que observen varias figuras con distintos triángulos. Ahora sí, pasa al desarrollo de la actividad, inicia el tema proponiendo a tus estudiantes que: 1.

Tracen un triángulo arbitrario y que a las medidas de sus lados les llamen a, b y

c. 2. Llama A, B y C a los vértices del triángulo que son opuestos a los lados de medidas a, b y c, respectivamente. 3. Ve la siguiente Figura 1:

IMPORTANTE: Ten en cuenta que para algunos de tus estudiantes, quizá sea la primera vez que trabajan con un software educativo para aprender geometría, por eso es muy probable que al principio no sepan qué decir, aquí tu papel es fundamental para guiarlos, será alentador para ti observar cómo lo van logrando poco a poco. Por lo anterior, es importante que aquí y ahora realices las actividades que te permitan identificar las dificultades y cómo abordarlas, cuando las apliques en tu clase.

Actividades: Enseñar geometría utilizando GeoGebra. A continuación, deberás solicitar a tus estudiantes que tracen cuadrados sobre los lados del triángulo, como se muestra en la Figura 2. Figura 2

Después de que lo hayan trazado, pídeles que empiecen a hacer crecer y decrecer el ángulo en el vértice C, manteniendo las medias A y B de los lados adyacentes, lo mejor que puedan. Lo que tienen que observar es que el lado de medida c crece y decrece, y en consecuencia el área del cuadrado de lado c también lo hace.

Una vez realizada la actividad anterior, abrirás junto con tus estudiantes el siguiente enlace:

https://www.geogebra.org/m/cw2qbdub

Observa y pide a tus estudiantes que observen la figura, tanto tú como tus estudiantes deberán clickear en el vértice B para hacer variar el ángulo del vértice C y hacer su observación. Mediante la discusión en clase con tus estudiantes, deberás llevarlos a observar que por ejemplo, el área del cuadrado de lado c es la suma de las áreas de los cuadrados de lados a y b, sólo cuando ∠C es recto. Observa que puedes mejorar el resultado de un teorema conocido (el Teorema de Pitágoras), porque puedes afirmar lo qué ocurre cuando C es obtuso y qué ocurre cuando es agudo. Posteriormente, deberás solicitarles que redacten lo que observan. Estas observaciones serán conjeturas que necesitan alguna demostración. Otra pregunta interesante que puedes plantear a tus estudiantes es:

¿Entre qué valores se encuentra el área del cuadrado de lado c?

Sin embargo, deberás guiarlos para que concluyan que si igual que

es mayor o

a, entonces los valores de c están entre (b – a) y (b + a).

Como habrás podido observar en el archivo GeoGebra, el programa va dando los valores que obtiene de

y de

a2+b2

para hacer estas

observaciones.

Se te sugiere tener cuidado con el lenguaje matemático y solamente hablar de catetos e hipotenusa cuando el triángulo es rectángulo, que los catetos son los lados adyacentes al ángulo recto y que la hipotenusa es el lado opuesto, en los demás casos, deberás hablar de los lados adyacentes al ángulo que te estés refiriendo y lado opuesto al ángulo en cuestión.

Teorema de Pitágoras y su demostración Durante la clase, es muy importante que desarrolles el Teorema de Pitágoras y alguna de sus demostraciones.

A continuación, se enuncia el Teorema de Pitágoras y se te proporciona una prueba de éste, para que la compartas con tus estudiantes.

El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más conocidos de la geometría plana, pero ¿sabes dónde fue la primera vez que se publicó? Seguro recuerdas que en el módulo anterior, se estudió un poco sobre Euclides y su obra Elementos, pues el famoso Teorema de Pitágoras el cual afirma que en los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. En otras palabras, en todo triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es nombrado en esa obra, por Euclides.

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, si se construye cuadrados sobre los lados del triángulo, entonces la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Demostración

Figura 3

Considera un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, y considera un cuadrado de lado a + b Coloca los segmentos que se muestran en la Figura 3.

El cuadrilátero interno que se ha formado es un cuadrado, porque la medida de sus lados es c y sus ángulos son rectos, (esta última afirmación es necesaria, ya que no todos los estudiantes observan que para tener un cuadrado no basta con que los lados midan lo mismo, es necesario que los ángulos sean rectos, ¿por qué?, por lo que el área del cuadrado original es cuatro veces el área del triángulo más el área del cuadrado de lado c.

Teorema 1. Teorema de Pitágoras Figura 4

Si en el mismo cuadrado colocas los cuatro triángulos congruentes al original de la forma en que se muestra en la Figura 4, obtienes que el área del cuadrado es cuatro veces el área del triángulo, más el área del cuadrado de lado a, más el área del cuadrado de lado b, de donde se deduce el teorema.

Ejercicio con preguntas detonadoras de Meta– cognición Atendiendo la nueva visión de enseñanza de las matemáticas, se te muestra el siguiente ejercicio, que te permitirá que los contenidos antes vistos puedan ser trasladados a resolver situaciones de la vida real.

Ejercicio Tomemos el caso de unos albañiles que quieren construir un muro y tienen marcado con cal, dónde lo van a construir, ¿cómo es que, en un punto de este lugar marcado, obtienen un ángulo recto para construir un muro perpendicular al que se tiene? Las herramientas con las que cuentan los albañiles son: hilos, metro, estacas, bote agujereado con un palo y relleno con cal, martillo, a lo mejor serrucho, nivel… ¡Ojo! Los albañiles no llevan escuadra. Una manera usual de trabajar es clavar una estaca en el punto del muro conocido, donde se tiene que construir el muro perpendicular, y luego, sobre el muro conocido se miden cuatro metros y se clava otra estaca. Una vez hecho lo anterior, se colocan hilos, uno de tres metros, donde se va a construir el muro, y uno de cinco metros en la otra estaca, después se tensan estos hilos y donde se juntan una vez que están tensos, ahí en el hilo de tres metros tienen el muro que hay que construir, se echa cal sobre el hilo.

Recuerda que desde una nueva visión de la enseñanza de las matemáticas, se busca que los conocimientos teóricos sean vinculados a situaciones reales, por eso se te recomienda que apliques este tipo de actividades en tu aula. Responde las preguntas antes de avanzar, ya verás que las respuestas obtenidas te ayudarán a mejorar la actividad, o bien, a mejorar la forma de aplicarla en tus clases.

Ejercicio - Preguntas Una vez que muestres a tus estudiantes el planteamiento del ejercicio, debes hacerles las siguientes preguntas: ✓ ¿Cómo pueden asegurar los albañiles que esa construcción permite obtener el muro perpendicular al muro conocido? Otra forma de preguntar es: ✓ ¿Existe algún argumento matemático que permita a los albañiles afirmar que, si no se equivocaron al tomar sus medidas, efectivamente construirán un muro perpendicular al muro previamente marcado? Una respuesta muy general es: el Teorema de Pitágoras. Pero esta respuesta no es correcta, ¿puedes decir por qué?

Momento de reflexión… Lee con cuidado cada una de las siguientes preguntas y piensa la respuesta de cada una de ellas:

¿Cuáles son las hipótesis del Teorema de Pitágoras?

¿Cuál es el consecuente de las hipótesis del Teorema de Pitágoras?

¿Cuáles son las hipótesis y la construcción del albañil?

Ejercicio – Respuestas Se espera que hayas llegado a la respuesta de las preguntas anteriores por ti misma o mismo, a continuación se te brinda la respuesta a dichas cuestiones: 1.

La hipótesis del teorema de Pitágoras es: Para un triángulo rectángulo.

2. El consecuente, es: La suma de los cuadrados de los catetos y es el cuadrado de la hipotenusa o dicho de otra manera la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos del triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado cuyo lado es igual a la hipotenusa. 3. Por último, la respuesta a la pregunta de las hipótesis del albañil es: 3,4 y 5 y su conclusión o su construcción es que ese triángulo es rectángulo con un ángulo recto entre los lados de tamaño 3 y 4.

El resultado mediante el cual los albañiles pueden asegurar que su construcción es correcta, es el inverso del Teorema de Pitágoras el cual también es un teorema que se enuncia a continuación:

Dado un triángulo en el cual la suma de los cuadrados de dos de sus lados es el cuadrado del tercer lado, entonces el triángulo es rectángulo con ángulo recto entre los lados, cuyos cuadrados estamos sumando.

Para cerrar la actividad, se te invita a que busques la demostración del teorema anterior.

Reflexión final del Dr. Alejandro Díaz Barriga y Mtra. Adriana León. En la escuela nos han acostumbrado a que cuando trazamos un triángulo, siempre lo hacemos con un lado horizontal, (como lo hemos hecho arriba), y cuando hablamos de su área, la fórmula nos dice base por altura sobre dos, de ahí que se siente natural pensar que la base es la medida del lado horizontal y una pregunta que algunos omitimos, es la siguiente:

Cuándo un triángulo no tiene ningún lado horizontal, ¿cuál lado debemos tomar de base para calcular su área?

Como puede verse, son importantes las reflexiones sobre qué es el área de una figura plana, así como recordar las fórmulas de: área de un cuadrado, área de un rectángulo, área de un paralelogramo y área de un triángulo. Finalmente, también es necesario mencionar la importancia de un teorema que dé respuesta a la pregunta anterior, te invitamos a enunciarlo y demostrarlo. Estos resultados te servirán por ejemplo, cuando estudies la integral definida.

Como has experimentado, a lo largo del curso se han desarrollado ideas de aritmética en los naturales desde el enfoque del 0 como número natural, incluso algunos de los videos vistos basan sus explicaciones en los números naturales contemplando al 0, pero ten presente que existen autores que no contemplan el cero como número natural. Considera lo anterior, para el trabajo en tu aula.

Evidencia de aprendizaje Para concluir la lección 1, realiza la siguiente actividad. Trabájalo de acuerdo a las instrucciones que se te solicitan y una vez que lo concluyas, sube tu evidencia de aprendizaje. Da clic en el siguiente botón para realizarla.

Cierre

¡Excelente! ¡Has finalizado la primera lección de tu último Módulo! Avanza a la lección 2, donde se te brindarán más actividades utilizando GeoGebra, sin embargo, la perspectiva para la enseñanza de la geometría estará enfocada a la geometría fractal. ¡Adelante, sigue aprendiendo más estrategias!

Referencias: McGraw-Hill Education Company. (s.f.). The Geometrer´s Sketchpad Version 5.06. Keycurriculum. Recuperado el 26 de septiembre del 2019, de http://www.keypress.com/Pages/Prod_Sketchpad.html Moise, E., y Downs, F. (1966). Geometría moderna. (Mariano García, Trad). Massachusetts, Estados Unidos de Norteamérica: Addison Wesley Iberoamérica. [Versión en línea]. Recuperado el 26 de septiembre del 2019, de https://colmaths.files.wordpress.com/2013/01/geometria-moderna-moise.pdf Université Grenoble Alpes & Laboratoire d´Informatique de Grenoble (s.f.) Cabri Géometre. Cabrilog. Recuperado el 26 de septiembre del 2019, de http://wwwcabri.imag.fr/ Texas Instrument Education Technology. (2019). Education Technology (calculadoras TI92 Plus).

Bibliografía: Coxeter, H. & Greitzer, S. (1967). Geometry Revisited. Whashington, D.C., Estados Unidos de Norteamérica. The Mathematical Association of America. [Versión en línea]. Disponible en http://aproged.pt/biblioteca/geometryrevisited_coxetergreitzer.pdf Eves, H. (1969). Estudio de las geometrías. Vol I. (Susana Blumovicz de Siperstein, trad.). México: Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana (Uteha). Eves, H. (1969). Estudio de las geometrías. Vol II. (Susana Blumovicz de Siperstein, trad.). México: Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana (Uteha). Moise, E. (1980). Geometría elemental desde un punto de vista avanzado. México: Compañía Editorial Continental.