Primera unidad de logica matematica

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Consideremos en dejar que el mĂĄximo nĂşmero posible de miembros de đ?‘Şđ?’Œ sea đ?’?đ?’Œ siendo para đ?’?đ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž y đ?’?đ?&#x;? = đ?&#x;?. Por lo que entonces đ?‘Şđ?’Œ+đ?&#x;? puede incluir el mĂĄximo en todos los miembros de đ?‘Şđ?’Œ . Entonces siendo para đ?’ˆ(đ?’™) dĂłnde se considera a đ?’™ ∈ đ?‘Şđ?’Œ − đ?‘Şđ?’Œâˆ’đ?&#x;? , despuĂŠs siendo para đ?’‡(đ?’™, đ?’™) dĂłnde se considera a đ?’™ ∈ đ?‘Şđ?’Œ − đ?‘Şđ?’Œâˆ’đ?&#x;? , luego siendo para đ?’‡(đ?’™, đ?’š) donde se considera a đ?’™ ∈ đ?‘Şđ?’Œ − đ?‘Şđ?’Œâˆ’đ?&#x;? ; a đ?’š ∈ đ?‘Şđ?’Œâˆ’đ?&#x;? y entre los miembros que se utilizan para construir đ?’™, o viceversa. En este Ăşltimo caso hay que restringir y para los que se utilizan para la construcciĂłn de đ?’™ por la siguiente razĂłn. Debido a que no se dan de manera explĂ­cita en el problema đ?’‡ y đ?’ˆ, podemos suponer (para el mĂĄximo nĂşmero posible de miembros de cada đ?‘Şđ?’Œ ) por lo que đ?‘Ş se genera libremente de đ?‘Š por {đ?’‡, đ?’ˆ}, es decir, cada miembro de đ?‘Şđ?’Œ − đ?‘Şđ?’Œâˆ’đ?&#x;? tiene una secuencia de construcciĂłn Ăşnica de longitud đ?’Œ (hasta algunas permutaciones posibles). Entonces, para construir đ?’‡(đ?’™, đ?’š) para đ?’™ ∈ đ?‘Şđ?’Œ − đ?‘Şđ?’Œâˆ’đ?&#x;? y đ?’š ∈ đ?‘Şđ?’Œâˆ’đ?&#x;? , necesitamos una secuencia < đ?’™đ?&#x;? , ‌ , đ?’™đ?’Œ > de tal manera que đ?’™đ?’Œ = đ?’™ y đ?’š debe estar entre đ?’™đ?&#x;? , ‌ , đ?’™đ?’Œâˆ’đ?&#x;? , pues de lo contrario requerirĂ­a medidas adicionales para construir đ?’š. Por lo tanto, obtenemos đ?’?đ?’Œ+đ?&#x;? = (đ?&#x;?đ?’Œ + đ?&#x;?)đ?’?đ?’Œ − đ?&#x;?đ?’Œđ?’?đ?’Œâˆ’đ?&#x;? o el nĂşmero de nuevos miembros en đ?‘Şđ?’Œ+đ?&#x;? − đ?‘Şđ?’Œ es đ?’…đ?’Œ+đ?&#x;? = đ?’?đ?’Œ+đ?&#x;? − đ?’?đ?’Œ = đ?&#x;?đ?’Œđ?’…đ?’Œ , dĂłnde đ?’…đ?&#x;? = đ?&#x;?. En general đ?’…đ?’Œ+đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’Œ+đ?&#x;? đ?’Œ! con đ?’?đ?’Œ = đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;Ž! + â‹Ż + đ?&#x;?đ?’Œ (đ?’Œ − đ?&#x;?)! = đ?&#x;? + đ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?&#x;—đ?&#x;” + đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;– + â‹Ż + đ?&#x;?đ?’Œ (đ?’Œ − đ?&#x;?)! Para đ?‘Şđ?&#x;? obtenemos đ?’?đ?&#x;? = đ?&#x;” y para este caso los miembros son

đ?‘Şđ?&#x;? = {đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’ˆ(đ?’‚), đ?’ˆ(đ?’ƒ), đ?’‡(đ?’‚, đ?’‚), đ?’‡(đ?’ƒ, đ?’ƒ)}. Para đ?‘Şđ?&#x;‘ obtenemos đ?’?đ?&#x;‘ = đ?&#x;?đ?&#x;? y para este caso los miembros son đ?‘Şđ?&#x;‘ = {đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’ˆ(đ?’‚), đ?’ˆ(đ?’ƒ), đ?’‡(đ?’‚, đ?’‚), đ?’‡(đ?’ƒ, đ?’ƒ), đ?’ˆ(đ?’ˆ(đ?’‚)), đ?’ˆ(đ?’ˆ(đ?’ƒ)), đ?’ˆ(đ?’‡(đ?’‚, đ?’‚)), đ?’ˆ(đ?’‡(đ?’ƒ, đ?’ƒ)), đ?’‡(đ?’ˆ(đ?’‚), đ?’ˆ(đ?’‚)), đ?’‡(đ?’ˆ(đ?’ƒ), đ?’ˆ(đ?’ƒ)), đ?’‡(đ?’‡(đ?’‚, đ?’‚), đ?’‡(đ?’‚, đ?’‚)), đ?’‡(đ?’‡(đ?’ƒ, đ?’ƒ), đ?’‡(đ?’ƒ, đ?’ƒ)), đ?’‡(đ?’ˆ(đ?’‚), đ?’‚), đ?’‡(đ?’‚, đ?’ˆ(đ?’‚)), đ?’‡(đ?’ˆ(đ?’ƒ), đ?’ƒ), đ?’‡(đ?’ƒ, đ?’ˆ(đ?’ƒ)), đ?’‡(đ?’‡(đ?’‚, đ?’‚), đ?’‚), đ?’‡(đ?’‚, đ?’‡(đ?’‚, đ?’‚)), đ?’‡(đ?’‡(đ?’ƒ, đ?’ƒ), đ?’ƒ), đ?’‡(đ?’ƒ, đ?’‡(đ?’ƒ, đ?’ƒ))} Finalmente para đ?‘Şđ?&#x;’ obtenemos đ?’?đ?&#x;’ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–

Consideremos que (đ?‘¨đ?&#x;‘ →∧ đ?‘¨đ?&#x;’ ) no es fĂłrmula, pero dispone de 6 sĂ­mbolos. En realidad, podemos decirlo con mĂĄs formalidad. La funciĂłn se define en la especificaciĂłn de que la longitud de cualquier fĂłrmula sea bien formada. Si Ě… (đ?œś) = đ?&#x;” entonces o bien đ?œś = (ÂŹđ?œˇ) y đ?’‰ Ě… (đ?œˇ) = đ?&#x;‘ o đ?œś = (đ?œ¸ ∧ đ?œš) y đ?’‰ Ě… (đ?œ¸) + đ?’‰ Ě… (đ?œš) = đ?’‰ Ě… puede garantizar que cada valor de đ?&#x;‘ . Al mismo tiempo, las fĂłrmulas para đ?’‰ Ě… es o bien 1 o al menos 4. Por lo tanto, ninguno de los casos es posible. đ?’‰ Otra forma de probar la afirmaciĂłn, es demostrar por inducciĂłn que la combinaciĂłn de sĂ­mbolos → ∧ no es posible en cualquier fĂłrmula bien formada. Esto se demuestra por medio de la inducciĂłn junto con la declaraciĂłn de que la no fĂłrmula bien formada puede empezar o terminar con un sĂ­mbolo conectivo binario. Sin embargo, otra manera de mostrar que esto no sea una fĂłrmula es demostrar que, para que en cualquier fĂłrmula bien formada el nĂşmero de pares de parĂŠntesis es igual al nĂşmero de sĂ­mbolos conectivos. Esto es cierto para los sĂ­mbolos de oraciones, y cada operaciĂłn de construcciĂłn aĂąade exactamente un sĂ­mbolo conectivo y un par de parĂŠntesis, a razĂłn de que cada fĂłrmula bien formada todavĂ­a tiene sĂłlo una posible descomposiciĂłn.

Sea đ?‘ˇ =â€?El ĂĄrea del triĂĄngulo đ?‘¨đ?‘Šđ?‘Ş es igual al ĂĄrea del triĂĄngulo đ?‘Ťđ?‘­đ?‘Ź.â€? đ?‘¸ =â€?El ĂĄrea del triĂĄngulo đ?‘¨đ?‘Šđ?‘Ş es menor que el ĂĄrea del triĂĄngulo đ?‘Ťđ?‘Źđ?‘­.â€? Entonces (đ?‘ˇ) ∨ (đ?‘¸)

Sea đ?‘š =â€?Tomara parte en el salto de altura.â€? đ?‘ş =â€?CorrerĂĄ medio kilĂłmetro.â€? Entonces (đ?‘š) ∨ (đ?‘ş)

Sea đ?‘ť =â€?Peces con pulmones pueden tomar el oxĂ­geno del aire.â€? đ?‘ź =â€?Peces con pulmones pueden tomar el oxĂ­geno del agua.â€? Entonces (đ?‘ť) ∨ (đ?‘ź)

Consideremos a una conectiva đ?&#x;Ž −aria, que esta no puede ser completa ya que siempre da como resultado el mismo valor. Una conectiva đ?&#x;? −aria no puede ser completa, ya que hay cuatro conectivas đ?&#x;? −arias, entre las cuales dos son constantes, por lo que entonces se devuelve el mismo valor inicial, no importa cuĂĄntas veces lo aplicamos, y con esto el cuarto se regresa ya sea para el valor inicial o su opuesto, dependiendo de que si debemos aplicar el nĂşmero par o impar de veces de la conectiva en la fĂłrmula. En cualquier caso, se deduce que ninguna conectiva đ?&#x;? −aria es capaz de representarlo, hasta incluso en algunas otras conectivas đ?&#x;? −arias. Ahora, para las conectivas binarias, supongamos que {∗} es completa, con lo que entonces decimos que los siguientes casos definidos son: a) đ?‘˝ ∗ đ?‘˝ = đ?‘­ y đ?‘­ ∗ đ?‘­ = đ?‘˝, por lo que entonces supongamos que đ?‘˝ ∗ đ?‘˝ = đ?‘˝. Por lo que entonces se toma la consideraciĂłn de cualquier fĂłrmula bien formada ∗ solamente. Para la asignaciĂłn de verdad que se le debe asignar respectivamente para ÂŹđ?‘¨; que este no puede ser representado por tales fĂłrmulas bien formadas. Finalmente del mismo modo para el caso definido como đ?‘­ ∗ đ?‘­ = đ?‘­, b) đ?‘˝ ∗ đ?‘­ = đ?‘­ ∗ đ?‘˝, aquĂ­ de hecho, ahora en lugar de 16 posibles conectivas sĂłlo tenemos 4. Entre estas conectivas, dos son tales que, o bien đ?‘˝ ∗ đ?‘­ = đ?‘˝ y đ?‘­ ∗ đ?‘˝ = đ?‘­ o viceversa. Consideremos en que se tiene a una conectiva, tales que đ?‘˝ ∗ đ?‘¨ = ÂŹđ?‘¨ y đ?‘­ ∗ đ?‘¨ = ÂŹđ?‘¨. Por lo tanto, los resultados conectivos simplemente, se considera en la negaciĂłn del segundo operando. Ahora, dado cualquier fĂłrmula bien formada usando ∗ Ăşnicamente, es fĂĄcil ver por la inducciĂłn, que este resultado serĂĄ bien el valor o su negaciĂłn del sĂ­mbolo de la frase mĂĄs a la derecha en la expresiĂłn. Una vez mĂĄs, no hay tales fĂłrmulas bien formadas que podrĂ­an representar algo asĂ­ como đ?‘¨ ∨ đ?‘Š, etc. c) Este ∗ es cualquier | o ↓ , con esto ahora tenemos estas dos posibles conectivas binarias solamente. Ambos son completas, Con estos casos definidos se considera entonces las conectivas đ?’? −arias. Por lo que en primer lugar, decimos que una conectiva đ?’? −aria, con đ?’? > đ?&#x;?,

puede depender de sĂłlo de dos sĂ­mbolos de oraciones, y, esencialmente, puede ser reducible a | o ↓. En segundo lugar, hay un irreducible (en el sentido de que dependen de todos sus sĂ­mbolos conectivos) es decir mĂĄs đ?’? −arias conectivas completas. Consideremos todo esto a travĂŠs de un ejemplo definido como: [đ?‘¨, đ?‘Š, đ?‘Ş] = (đ?‘¨ → ÂŹđ?‘Ş) ∧ (đ?‘Š → ÂŹđ?‘Ş) que esto es una conectiva ternaria completa. En realidad, depende de los tres sĂ­mbolos de oraciones, como [đ?‘¨, đ?‘Š, đ?‘˝] = đ?‘¨ ↓ đ?‘Š y [đ?‘¨, đ?‘Š, đ?‘­] = đ?‘˝ y [đ?‘¨, đ?‘¨, đ?‘Ş] es tautolĂłgica equivalente a đ?‘¨ → ÂŹđ?‘Ş que es justo considerarlo como đ?‘¨|đ?‘Ş. Por lo tanto {[đ?‘¨, đ?‘Š, đ?‘Ş]} es completo. Parece que en este caso mĂĄs general para encontrar todas las conectivas completas tendrĂ­amos que argumentar en contra de algunos conectores similares a lo que hicimos para đ?’? = đ?&#x;?. Por ejemplo, sin embargo, probablemente necesitarĂĄ mĂĄs reglas para rechazar conectivas, donde todavĂ­a podrĂ­amos utilizar el mismo argumento que se utilizĂł en a) para cualquier đ?’?. Del mismo modo, excluir todas las conectivas que dependen de un solo sĂ­mbolo de condena, como en b), o, en general, que dependen de cualquier nĂşmero de sĂ­mbolos de oraciones menor que đ?’? (como las que, en esencia, se puede reducir a conectivas đ?’Ž −arias para algunas đ?’Ž < đ?’?).

Las constantes conectivas đ?&#x;? −arias no son representables mediante este conjunto de conectores. Formalmente, se prueba por inducciĂłn sobre la estructura de las fĂłrmulas, que menciona que para cualquier fĂłrmula bien formada đ?&#x;? −aria, se define como đ?œś ,donde se considera en estar utilizando sĂłlo estas conectivas, considerando a đ?‘Šđ?œś (đ?‘ż) como la funciĂłn que no es constante. Caso base Si đ?œś = đ?‘¨ entonces đ?‘Šđ?œś (đ?‘ż) = đ?‘ż es considerada como la funciĂłn identidad. Paso de inducciĂłn Supongamos que es cierto para đ?œśđ?&#x;? , đ?œśđ?&#x;? , đ?œśđ?&#x;‘ (asĂ­ đ?œśđ?’Š posee đ?‘¨ como su Ăşnico sĂ­mbolo sentencia y đ?‘Šđ?œśđ?’Š (đ?‘ż) no es una funciĂłn constante): -Si đ?œś = ÂŹđ?œś entonces đ?‘Šđ?œś =Lo contrario a đ?‘Šđ?œśđ?&#x;? . Desde que đ?‘Šđ?œśđ?&#x;? no es constante,, por lo que tampoco es đ?‘Šđ?œś .

- Supongamos que đ?œś = (#đ?œśđ?&#x;? đ?œśđ?&#x;? đ?œśđ?&#x;‘ ). Por la hipĂłtesis en el que đ?œśđ?’Š sea para Ě…(đ?œśđ?’Š ) = đ?’—(đ?‘¨) o đ?’— Ě…(đ?œśđ?’Š ) = đ?’— Ě…(ÂŹđ?‘¨). Considerando el valor de cada đ?’Š, definido como đ?’— verdad de (#đ?œśđ?&#x;? đ?œśđ?&#x;? đ?œśđ?&#x;‘ ) sĂłlo depende del nĂşmero de los đ?œśđ?’Š asignados como đ?‘˝/đ?‘­ (en lugar de que sea otra consideraciĂłn), podemos dividir en dos casos que menciona que: * Al menos dos de los coeficientes de las đ?œśđ?’Š que se tiene decimos entonces Ě…(đ?œśđ?’Š ) = đ?’—(đ?‘¨) y en este caso sea đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?’—(đ?‘¨) y tomando por consiguiente que đ?’— en cuenta en que asĂ­ đ?‘Šđ?œś se define finalmente como la funciĂłn que no es constante. * Al menos dos de los coeficientes de las đ?œśđ?’Š que se tiene decimos entonces Ě…(đ?œśđ?’Š ) = đ?’—(ÂŹđ?‘¨) y en este caso sea đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?’—(ÂŹđ?‘¨) y tomando por que đ?’— consiguiente en cuenta en que asĂ­ đ?‘Šđ?œś se define finalmente como la funciĂłn que no es constante.

Tomemos en cuenta que đ?‘¨ + đ?‘¨ es tautolĂłgica equivalente a , por lo que esto queda representado asĂ­ como đ?‘¨ ↔ (đ?‘¨ + đ?‘¨) por lo que es tautolĂłgica equivalente a ÂŹđ?‘¨. Junto con ∧ tenemos un sistema completo de conectivas. Para demostrar en que ningĂşn subconjunto propio es completo, para cada conectivo en el conjunto tenemos que encontrar esa propiedad que todas las otras conectivas satisfacen a ella, pero no le da una. En otras palabras, se debe haber algo Ăşnico en cada conectivo que hace que el conjunto sea completo. Entonces consideremos a ∧ como el Ăşnico conjuntivo que no satisface la propiedad de este ejercicio. En otras palabras, sin que cada fĂłrmula bien formada utilice conectivos {↔, +} decimos que sĂłlo satisface la propiedad de este ejercicio. O dicho de otra manera, ya hemos demostrado en este ejercicio que esta no es completa y que incluso hay un conjunto mĂĄs amplio de conectivos que se definen para {↔, +}. Luego ↔ es el Ăşnico conectivo que no se evalĂşa a đ?‘­ cuando ambos operandos son evaluados para đ?‘­. Del mismo modo, + es el Ăşnico conectivo que no se evalĂşa a đ?‘ť cuando ambos operandos son evaluados para đ?‘ť.

Otra cosa interesante a destacar es que ↔ y + son dos conectores opuestos en el sentido de que cada uno es la negación del otro. Por lo tanto, si sumamos ¬ para el conjunto, entonces seríamos capaces de eliminar, ya sea uno de la serie, ya que sería posible expresarlo a través ¬ y el otro. Pero, de hecho, no necesitaríamos tanto, como {∧, ¬} es completa. Por lo tanto, el conjunto {↔, +} en cierto sentido hace el papel de ¬ en el conjunto completo de los conectivos, donde ni símbolo conectivo se puede quitar (por lo que tampoco se puede jugar el papel de ¬ solo), pero ambos no son necesarios una vez este ¬ se añade. Conclusiones de esta actividad 

Aquí aplique la palabra “aridad” por que denote el número de argumentos de la relación o función en cuestión, ya que los símbolos relacionales y funcionales solo adquieren sentido cuando se asocia alguna semántica. Aplique la elaboración y revisión del estudio de los lenguajes formales y la relación que existe entre ellos, y así obtuve los resultados en forma recursiva. Entendí el concepto de proposición y la forma en que se puede elaborar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos en este caso fue el operador “o” que este se indica por medio de los siguientes símbolos {∨, +}

Fuentes de consulta bibliográfica Enderton Herbert (2001) A mathematical introduction to Logic (Second Edition). U.S.A., Los Angeles, University of California. Ed. Harcourt/Academic Press. Enderton Herbert (2004) Una Introducción Matemática a la Lógica (2a. Edición). Traducción: Amor Montaño José Alfredo. México, D.F. Universidad Nacional Autónoma de México U.N.A.M-Instituto de Investigaciones Filosóficas; Colección: Filosofía Contemporánea. Ed. Elsevier Inc. Suppes Patrick, Hill Shirley (1992) Introducción a la Lógica Matemática España., Madrid. Ed. Reverté. Suppes Patrick, Hill Shirley (1964) First Course in Mathematical Logic U.S.A., Massachusetts. Ed. Blaisdell Pub.

Supongamos por una contradicciĂłn que no hay ningĂşn đ?œŽ ; definido para đ?œś , pero no definido para đ?œŽ; por lo que entonces decimos que ÂŹđ?œś es finito satisfactible. Puesto que suponemos que đ?œŽ es finito satisfactible, los subconjuntos unisatisfactible que violan satisfactibilidad finita deben contener a đ?œś y ÂŹđ?œś esto quiere decir, que existen los finitos đ?œŽđ?&#x;? ⊂ đ?œŽ y đ?œŽđ?&#x;? ⊂ đ?œŽ, de tal manera que đ?œŽđ?&#x;? : đ?œś y đ?œŽđ?&#x;? : ÂŹđ?œś son unisatisfactibles Por lo que đ?œŽđ?&#x;? âˆŞ đ?œŽđ?&#x;? es un subconjunto finito de đ?œŽ y por lo tanto es satisfactible. Pero si đ?’— es una asignaciĂłn de verdad que satisface đ?œŽđ?&#x;? âˆŞ đ?œŽđ?&#x;? por lo que Ě…(đ?œś) = đ?‘˝ o bien đ?’— Ě…(ÂŹđ?œś) = đ?‘˝, esto implica que asĂ­ đ?’— satisface entonces đ?’— cualquier đ?œŽđ?&#x;? : đ?œś o đ?œŽđ?&#x;? : ÂŹđ?œś, por lo que esto es una contradicciĂłn.

Consideremos que este conjunto ∆ debe ser finito satisfactible y completo, por consiguiente definamos a đ??‚ como la asignaciĂłn de verdad. Entonces mostremos por inducciĂłn en đ?œś para que este valor de verdad Ě…(đ?œś) = đ?‘˝ si y solo si đ?œś ∈ ∆. definido como đ?’— Definiendo el caso base si consideramos a đ?œś como un sĂ­mbolo de sentencia Ě…(đ?œś) = đ?’—(đ?œś) = đ?‘˝ si y solo si đ?œś ∈ ∆ , a razĂłn de la definiciĂłn de si decimos que đ?’— đ?’—. Ě…(ÂŹđ?œś) = đ?‘˝ entonces Por lo que se define el caso inductivo para la ÂŹ: Si đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?‘­, considerando por medio de la hipĂłtesis de inducciĂłn decimos que đ?’— đ?œś ∉ ∆ y se ahora considera a ∆ como completa, con esto debemos tener que Ě…(ÂŹđ?œś) = đ?‘­ y đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?‘˝ considerando entonces por la ÂŹđ?œś ∈ ∆. Si decimos que đ?’— medio de la hipĂłtesis de inducciĂłn ahora decimos que đ?œś ∈ ∆; si tomamos en cuenta que ÂŹđ?œś ∈ ∆ entonces {đ?œś, ÂŹđ?œś} es un subconjunto finito unisatisfactible de ∆ y ya que esto es imposible, a razĂłn de que ÂŹđ?œś ∉ ∆.

Ě…(đ?œś ∧ đ?œˇ) = đ?‘˝ entonces Por lo que se define el caso inductivo para la ∧ : Si đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?’— Ě…(đ?œˇ) = đ?‘˝, entonces asĂ­ por la hipĂłtesis de inducciĂłn decimos que đ?’— {đ?œś, đ?œˇ} ⊆ ∆; si đ?œś ∧ đ?œˇ ∉ ∆ entonces ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ) ∈ ∆ , y asĂ­ entonces decimos que {đ?œś, đ?œˇ, ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ)} es un subconjunto finito unisatisfactible de ∆, y puesto que esto es imposible, a razĂłn de que đ?œś ∧ đ?œˇ ∈ ∆. Ě…(đ?œś ∧ đ?œˇ) = đ?‘­ y đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?‘­, luego considerando por la hipĂłtesis de inducciĂłn Si đ?’— decimos que đ?œś ∉ ∆ por lo que asĂ­ la ÂŹđ?œś ∈ ∆. Si consideramos que đ?œś ∧ đ?œˇ ∈ ∆ se tiene entonces que {ÂŹđ?œś, đ?œś ∧ đ?œˇ} serĂ­a un subconjunto finito unisatisfactible de ∆, y puesto que no hay ningĂşn, đ?œś ∧ đ?œˇ ∉ ∆. Ě…(đ?œś ∧ đ?œˇ) = đ?‘­ y đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?‘˝ entonces đ?’— Ě…(đ?œˇ) = đ?‘­ . Si đ?’—

Consideremos que la afirmaciĂłn es cierta para todos los sĂ­mbolos de las frases, consideremos en definir a đ?‘¨ como un sĂ­mbolo de condena, ya sea đ?‘¨ o ÂŹđ?‘¨ que estĂĄ ambas en ∆. Ě…(đ?‘¨) = đ?’—(đ?‘¨) = đ?‘˝ si y sĂłlo si đ?‘¨ ∈ ∆ . Luego consideremos que đ?’— Ahora, supongamos que es cierto para cualquier par de valores de đ?œś y đ?œˇ (es decir, la evaluaciĂłn de cada uno estos valores dan como resultado como đ?‘˝ o đ?‘­ , dependiendo de si mismo o de su negaciĂłn que estĂĄ en ∆, respectivamente). Ě…(đ?œś) = đ?‘˝ si y sĂłlo si đ?œś ∈ ∆ , con esto por lo tanto, đ?’— Ě…(ÂŹđ?œś) = đ?‘˝ si y Entonces, đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?‘­ si y sĂłlo si đ?œś ∉ ∆ Y, de acuerdo con lo planteado en este sĂłlo si đ?’— Ě…(ÂŹđ?œś) = đ?‘˝ si y sĂłlo si (ÂŹđ?œś) ∈ ∆ . inciso b) decimos ahora que, đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?‘˝ ) y por Ahora, para đ?œś ∧ đ?œˇ , deje la ÂŹđ?œś debe ser đ?œś si đ?œś ∈ ∆ (si y sĂłlo si đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?‘­ ). Tenga en lo que decimos que es la ÂŹđ?œś de lo contrario (si y sĂłlo si đ?’— cuenta que la ÂŹđ?œś ∈ ∆ si y sĂłlo si đ?œś ∉ ∆ , esto quiere decir que la ÂŹđ?œś ∈ ∆ y que Ě…(ÂŹđ?œś) = đ?‘˝ . Del mismo modo definimos ÂŹđ?œˇ ∈ ∆ . Por lo que entonces, đ?’— decimos que {ÂŹđ?œś, ÂŹđ?œˇ, ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ)} , dĂłnde la ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ) significa cualquier (đ?œś ∧ đ?œˇ) o define su negaciĂłn, esto depende de cada uno de los casos planteados definidos, que estĂĄn contenidos en ∆ (de acuerdo con el

planteamiento de este problema en este inciso b), por lo que uno de ellos estĂĄ en ∆ ), por lo que esto es un subconjunto finito de ∆ . Por lo tanto, considerando la resoluciĂłn de este problema en el inciso a), debe ser entonces satisfactible. Ahora bien, para cada asignaciĂłn de verdad definido en este caso como đ?’˜ , de la siguiente forma como đ?’˜ Ě… (ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ)) que se determina de la forma Ăşnica por đ?’˜ Ě… (đ?œś) y đ?’˜ Ě… (đ?œˇ) que se determinan Ăşnicamente por đ?’˜ Ě… (ÂŹđ?œś) y đ?’˜ Ě… (ÂŹđ?œˇ) . En particular, cada asignaciĂłn de verdad que satisface para {ÂŹđ?œś, ÂŹđ?œˇ} debe satisfacer para ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ) , ya que si uno de estas asignaciones de verdad debe satisfacerla, por lo que tambiĂŠn lo hacen todos los demĂĄs (de nuevo, tomando en cuenta que đ?’˜ Ě… (ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ)) se determina de forma Ăşnica por la consideraciĂłn que đ?’˜ Ě… (ÂŹđ?œś) y đ?’˜ Ě… (ÂŹđ?œˇ) ), por lo que tomando en cuenta desde que đ?’— satisface tanto para ÂŹđ?œś y para ÂŹđ?œˇ , debe entonces satisfacer para Ě…(đ?œś ∧ đ?œˇ) = đ?‘˝ si se considera que (đ?œś ∧ đ?œˇ) ∈ ∆ o que si ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ) , es decir que, đ?’— Ě…(ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ)) = đ?‘˝ si se considera que la ÂŹ(đ?œś ∧ đ?œˇ) ∈ ∆ , por lo que en este caso đ?’— Ě…(đ?œś ∧ đ?œˇ) = đ?‘­ . decimos que đ?’— Ě…(đ?œś ∧ đ?œˇ) = đ?‘˝ por lo que si y sĂłlo si (đ?œś ∧ đ?œˇ) ∈ ∆ . Por lo tanto, decimos que si đ?’— Finalmente, por el principio de inducciĂłn, llegamos a la conclusiĂłn de que Ě…(đ??“) = đ?‘˝ si y por cada formula bien formada definida como đ??“ , decimos que đ?’— sĂłlo si đ??“ ∈ ∆ .

Consideremos que đ?‘Š es tal que đ?œś ∈ đ?‘¨ si y solamente si đ?‘Š contiene < đ?œś, đ?’? > para algunos đ?’? ∈ ℤ para que ĂŠl đ?’…đ?’?đ?’Žđ?‘Š = đ?‘¨ se cumpla. Ahora bien, si tal conjunto decidible đ?‘Š existe (tal que el đ?’…đ?’?đ?’Žđ?‘Š = đ?‘¨ , o equivalentemente, đ?‘¨ = đ?’…đ?’?đ?’Žđ?‘Š se cumple), entonces đ?‘¨ es efectivamente enumerable. De hecho, ni siquiera necesitamos a đ?‘Š para que sea decidible. Por lo que entonces debemos suponer que đ?‘Š es efectivamente enumerable. Entonces, para probar que si đ?œś ∈ đ?‘¨ (en sĂłlo una decibilidad), podemos probar que si < đ?œś, đ?&#x;? >∈ đ?‘Š durante 1 enumerabilidad podremos luego probar

que si < đ?œś, đ?&#x;? > o < đ?œś, đ?&#x;? > que ambos estĂĄn contenidos en đ?‘Š durante 2 enumerabilidades para cada uno. Sabemos entonces que si đ?œś ∈ đ?‘¨ es si y sĂłlo si definido como < đ?œś, đ?’? >∈ đ?‘Š para algunos đ?’? ∈ ℤ si y solamente si de entrada dada decimos que < đ?œś, đ?’? > nuestro procedimiento volverĂĄ a dar certeza en una enumerabilidad finita đ?’Ž . Por supuesto si đ?‘Š es tambiĂŠn decidible, entonces decimos que podemos simplemente, en primer lugar, comprobar en que si < đ?œś, đ?&#x;? >∈ đ?‘Š hasta que se produce la afirmaciĂłn en "sĂ­" o "no", por lo que entonces seguimos para < đ?œś, đ?&#x;? > . Una cosa para tomar en consideraciĂłn es que ninguno de los dos procedimientos que se especifican aquĂ­ va a terminar nunca para el caso en đ?œśâˆ‰đ?‘¨. Ahora, supongamos que đ?‘¨ es efectivamente enumerable. Tenemos que construir đ?‘Š tal que este se mantiene. Supongamos que un procedimiento đ?‘ˇ que vuelve "sĂ­" para cualquier entrada đ?œś ∈ đ?‘¨ es una cantidad finita de tiempo, mientras que nunca volverĂĄ un "sĂ­" e incluso puede correr para siempre para cualquier entrada definida como đ?œś ∉ đ?‘¨ . Por lo que debemos construir un conjunto decidible đ?‘Š en que pueden ser probados (en ambos sentidos), utilizando đ?‘ˇ . Para ello necesitamos para restringir de alguna manera la cantidad de enumerabilidad que đ?‘ˇ pueda correr. AsĂ­ que, vamos a restringir por đ?’? . Es decir, dejamos que đ?‘Š sea el conjunto de pares < đ?œś, đ?’? > tales que la entrada dada para đ?œś , que luego este đ?‘ˇ producirĂĄ "sĂ­" en đ?’? unidades de enumerabilidad. AquĂ­ podemos decir que nada es medible tal que dada cualquier entrada đ?œś ∈ đ?‘¨ , tomarĂĄ una cantidad fija de las unidades de enumerabilidad para đ?‘ˇ para producir una afirmaciĂłn que define como "sĂ­", que este a su vez no dependa de factores externos. Por lo que consideremos que podemos contar la decibilidad ( siendo estos operaciones o comandos) que se necesita para producir esta afirmaciĂłn "sĂ­". Teniendo en cuenta que la enumerabilidad real antes de que aparezca esta afirmaciĂłn "sĂ­" podrĂ­a ser una mala opciĂłn, ya que a menudo depende de factores externos. Sin embargo, ya que una de nuestras hipĂłtesis es que el procedimiento es determinista, en particular, el procedimiento no utiliza ningĂşn dispositivo de

enumerabilidad y decibilidad entonces se debe fijar para cualquier entrada. Ahora, consideremos que đ?‘Š satisface tales que đ?œś ∈ đ?‘¨ , por lo que despuĂŠs decimos que đ?‘ˇ producirĂĄ esta afirmaciĂłn "sĂ­" despuĂŠs de una enumerabilidad fija de decibilidad, y para cualquier đ?’? que es al menos tan grande como la enumerabilidad que se necesita para producir esta afirmaciĂłn "sĂ­" para đ?œś , en < đ?œś, đ?’? >∈ đ?‘Š . Sin embargo, si đ?œś ∉ đ?‘¨ , despuĂŠs đ?‘ˇ nunca va a producir esta afirmacion"sĂ­", y por lo que no hay entonces una đ?’? de tal manera que < đ?œś, đ?’? >∈ đ?‘Š . Por otra parte, đ?‘Š es decidible, de hecho, para probar que si < đ?œś, đ?’? >∈ đ?‘Š , solamente necesitamos es ejecutar a đ?‘ˇ con la entrada đ?œś para đ?’? unidades de enumerabilidad (pasos del algoritmo). Si se produce esta afirmaciĂłn "sĂ­", entonces < đ?œś, đ?’? >∈ đ?‘Š y volvemos otra vez a afirmar este “sĂ­â€?, pero si consideramos la afirmaciĂłn negativa como “no" (este caso se corresponde cuando đ?œś ∉ đ?‘¨ y cuando đ?œś ∈ đ?‘¨ pero aquĂ­ se necesita mĂĄs enumerabilidad que đ?’? tenga decibilidad para đ?‘ˇ para producir esta afirmaciĂłn como "sĂ­"). Finalmente, si tomamos el conjunto đ?‘Š y el procedimiento que construyĂł en esta segunda parte de este ejercicio, y aplicando el algoritmo de la primera parte de este ejercicio por lo que de nuevo se considera parađ?œś ∈ đ?‘¨ , por lo que entonces concluimos que đ?‘ˇ es ineficiente a razĂłn de que la primera prueba đ?‘ˇ con la entrada đ?œś durante la 1 enumerabilidad se procede luego la prueba desde el inicio (es decir desde cero) durante 2 enumerabilidaddes, decidibles.

Sea ∆ el conjunto de consecuencias tautolĂłgicas de đ?œŽ. Por lo que entonces se considera el procedimiento siguiente: para una expresiĂłn đ??‰ se debe comprobar en primera instancia que sea una formula bien formada, entonces por el teorema que menciona que “Hay un procedimiento efectivo que, dada cualquier expresiĂłn đ???, decidirĂĄ si es o no es una formula bien formada por lo que entonces decimos que hay este procedimiento eficaz para esto, por lo que en un nĂşmero finito de pasos, esto producirĂĄ una afirmaciĂłn “siâ€? si se toma que đ??‰ es una formula bien formada o una negaciĂłn “noâ€? si se toma que đ??‰ no es una formula bien formada

Si resulta la negaciĂłn “noâ€? es la salida de esta demostraciĂłn y si resulta que esta afirmaciĂłn es “siâ€? continuara como sigue esta descripciĂłn para ser mostrada. Por lo que entonces đ?œŽ es efectivamente enumerable, asĂ­ que tenemos una forma efectiva para enumerar đ?œŽ, como el {đ??ˆđ?&#x;Ž , đ??ˆđ?&#x;? , đ??ˆđ?&#x;? , ‌ }. Sea definida la đ?œŽđ?’? = {đ??ˆđ?’Š |đ?’Š < đ?’?}. Dado que para cada đ?œŽđ?’? es finito, hay una procedimiento eficaz para determinar que si la đ?œŽđ?’? |= đ??‰. Por lo que comprobamos asĂ­ sucesivamente que si đ?œŽđ?&#x;Ž |= đ??‰ si entonces consideramos que đ?œŽđ?&#x;Ž |= ÂŹđ??‰, por lo que entonces si đ?œŽđ?&#x;? |= đ??‰ si entonces consideramos que đ?œŽđ?&#x;? |= ÂŹđ??‰ y asĂ­ sucesivamente. Si encontramos algunas đ?’? tales que đ?œŽđ?’? |= đ??‰ que esta produce una afirmaciĂłn "sĂ­", si de esta afirmaciĂłn encontramos alguna đ?’? tal que đ?œŽđ?’? |= ÂŹđ??‰ que esta salida produce una negaciĂłn “noâ€?. Por supuesto, consideremos que ya sea đ?œŽ |= đ??‰ o đ?œŽ |= ÂŹ đ??‰ pero no tanto, asĂ­ que para alguna đ?’?, lo haremos tener ya sea definido en đ?œŽđ?’? |= đ??? o đ?œŽđ?’? |= ÂŹđ??? por lo que este procedimiento siempre con la eventualidad se detiene con lo solicitado. Por lo que entonces supongamos que hay un đ??‰ tal que đ?œŽ |= đ??‰ y đ?œŽ |= ÂŹ đ??‰. Entonces đ?œŽ es unisatisfactible, por lo que entonces decimos que asĂ­ đ?œŽ |= đ??ˆ´ para cada formula bien formada đ??ˆ´. Por lo tanto tomamos el procedimiento de decisiĂłn de salidas que resulta una afirmaciĂłn “siâ€? en cada formula bien formada. Tengamos en cuenta que el procedimiento de aquĂ­ es no uniforme, en el sentido de que no podemos decidir, dada una descripciĂłn de đ?œŽ donde el cuĂĄl de los dos procedimientos a utilizar. Pero sin embargo eso no cambia el hecho de que el conjunto es decidible, simplemente no sabemos cĂłmo decidirlo.

Supongamos el siguiente corolario que enuncia que si đ?œŽ |= đ??‰ entonces hay una finita đ?œŽđ?&#x;Ž ⊆ đ?œŽ tal que đ?œŽđ?&#x;Ž |= đ??‰ y que esto sostiene que đ?œŽ no es satisfactible. Si đ?œŽ era insatisfactible fiable, tendrĂ­amos que đ?œŽ |= đ?‘¨đ?&#x;? ∧ ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? . Por el corolario que se menciono debe entonces haber un nĂşmero finito đ?œŽđ?&#x;Ž ⊆ đ?œŽ tal que đ?œŽđ?&#x;Ž |= đ?‘¨đ?&#x;? ∧ ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? y por lo tanto decimos que đ?œŽđ?&#x;Ž es un subconjunto finito unisatisfactible de đ?œŽ, por lo que đ?œŽ no es finito satisfactible. Este es el teorema contrapositivo de compacidad, y por lo tanto equivalente al teorema de compacidad.

Consideremos en basarnos en la tabla de verdad bĂĄsica para la disyunciĂłn đ?’‘ ∨ đ?’’ que se define de la manera siguiente đ?’‘ V V F F

đ?’’ V F V F

đ?’‘∨đ?’’ V V V F

Por lo que definimos entonces para este caso a considerar en basarnos en la tabla de verdad para đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ de la manera siguiente đ?’‘ V V F F

ÂŹđ?’’ F V F V

đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ V V V F

Si la declaraciĂłn es falsa đ?‘­ para đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ , entonces identificando por medio de la tabla de verdad en este caso por lo que define a đ?’‘ como falsa đ?‘­ y a q como verdadera đ?‘˝. Por lo que podemos utilizar estos valores definidos en este caso para đ?’‘ y đ?’’ para determinar en cada inciso su valor de verdad correspondiente.

Entonces para este inciso a) đ?’‘ ∧ đ?’’ siendo lo valores para đ?’‘ definida como falsa đ?‘­ y a q definido como verdadera đ?‘˝. Por lo que sustituye estos valores respectivos al operador en este caso que se define como đ?’‘ ∧ đ?’’, esto quiere decir que đ?‘­ ∧ đ?‘˝. Para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘­ ∧ đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la conjunciĂłn como: đ?’‘ V V F F

đ?’’ V F V F

đ?’‘∧đ?’’ V F F F

Con esto identificamos que el valor de verdad correspondiente es Falso đ?‘­.

Consideremos en basarnos en la tabla de verdad bĂĄsica para la disyunciĂłn đ?’‘ ∨ đ?’’ que se define de la manera siguiente đ?’‘ V V F F

đ?’’ V F V F

đ?’‘∨đ?’’ V V V F

Por lo que definimos entonces para este caso a considerar en basarnos en la tabla de verdad para đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ de la manera siguiente đ?’‘ V V F F

ÂŹđ?’’ F V F V

đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ V V V F

Si la declaraciĂłn es falsa đ?‘­ para đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ , entonces identificando por medio de la tabla de verdad en este caso por lo que define a đ?’‘ como falsa đ?‘­ y a q como verdadera đ?‘˝.

Por lo que podemos utilizar estos valores definidos en este caso para � y � para determinar en cada inciso su valor de verdad correspondiente. Entonces para este inciso b) � → � siendo lo valores para � definida como falsa � y a q definido como verdadera �. Por lo que sustituye estos valores respectivos al operador en este caso que se define como � → �, esto quiere decir que � → �. Para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como � → � debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicación como: � V V F F

đ?’’ V F V F

�→� V F V V

Con esto identificamos que el valor de verdad correspondiente es Verdadero đ?‘˝

Consideremos en basarnos en la tabla de verdad bĂĄsica para la disyunciĂłn đ?’‘ ∨ đ?’’ que se define de la manera siguiente đ?’‘ V V F F

đ?’’ V F V F

đ?’‘∨đ?’’ V V V F

Por lo que definimos entonces para este caso a considerar en basarnos en la tabla de verdad para đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ de la manera siguiente đ?’‘ V V F F

ÂŹđ?’’ F V F V

đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ V V V F

Si la declaraciĂłn es falsa đ?‘­ para đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ , entonces identificando por medio de la tabla de verdad en este caso por lo que define a đ?’‘ como falsa đ?‘­ y a q como verdadera đ?‘˝. Por lo que podemos utilizar estos valores definidos en este caso para đ?’‘ y đ?’’ para determinar en cada inciso su valor de verdad correspondiente. Entonces para este inciso c) đ?’’ → đ?’‘ siendo lo valores para đ?’‘ definida como falsa đ?‘­ y a q definido como verdadera đ?‘˝. Por lo que sustituye estos valores respectivos al operador en este caso que se define como đ?’’ → đ?’‘, esto quiere decir que đ?‘˝ → đ?‘­. Para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘­ → đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicaciĂłn como: đ?’‘ V V F F

đ?’’ V F V F

�→� V F V V

Con esto identificamos que el valor de verdad correspondiente es Falso đ?‘­.

Consideremos en basarnos en la tabla de verdad bĂĄsica para la disyunciĂłn đ?’‘ ∨ đ?’’ que se define de la manera siguiente đ?’‘ V V F F

đ?’’ V F V F

đ?’‘∨đ?’’ V V V F

Por lo que definimos entonces para este caso a considerar en basarnos en la tabla de verdad para đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ de la manera siguiente

đ?’‘ V V F F

ÂŹđ?’’ F V F V

đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ V V V F

Si la declaraciĂłn es falsa đ?‘­ para đ?’‘ ∨ ÂŹđ?’’ , entonces identificando por medio de la tabla de verdad en este caso por lo que define a đ?’‘ como falsa đ?‘­ y a q como verdadera đ?‘˝. Por lo que podemos utilizar estos valores definidos en este caso para đ?’‘ y đ?’’ para determinar en cada inciso su valor de verdad correspondiente. Entonces para este inciso d) đ?’‘ ∧ ÂŹđ?’’ siendo lo valores para đ?’‘ definida como falsa đ?‘­ y a q definido como verdadera đ?‘˝. Por lo que sustituye estos valores respectivos al operador en este caso que se define como đ?’‘ ∧ ÂŹđ?’’, esto quiere decir que đ?‘­ ∧ ÂŹđ?‘˝, pero por definiciĂłn la negaciĂłn ÂŹđ?‘˝ es đ?‘­, por lo que entonces se define ahora como đ?‘­ ∧ đ?‘­ Para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘­ ∧ đ?‘­ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la conjunciĂłn como: đ?’‘ V V F F

đ?’’ V F V F

đ?’‘∧đ?’’ V F F F

Con esto identificamos que el valor de verdad correspondiente es Falso đ?‘­

Si un conjunto de expresiones đ?‘¨ es decidible, entonces no es un procedimiento đ?‘ˇ de manera que puede decidir esta afirmaciĂłn “siâ€? para cualquier expresiĂłn đ?œś ∈ đ?‘¨ .

Entonces, para probar si đ?œś ∈ đ?‘¨ podemos decidir đ?‘ˇ y afirmar un “si" cuando si y solamente si se devuelve esta afirmaciĂłn "sĂ­" (y hacer lo que queramos en Ě… podemos decidir đ?‘ˇ y volver afirmar que el otro caso), y para probar si đ?œś ∈ đ?‘¨ "sĂ­" cuando si y solamente si se vuelve a una negaciĂłn "no" (y hacer lo que queramos en el otro caso). Ě… son efectivamente enumerable (usamos la definiciĂłn Por lo tanto, tanto A y đ?‘¨ dada para este ejercicio). Por el contrario, si un conjunto de expresiones đ?‘¨ es tal que tanto es Ě… son efectivamente enumerables, decidible para A y su complemento đ?‘¨ entonces no es un procedimiento đ?‘ˇ donde se lista efectivamente miembros Ě… de esta lista que efectivamente da de đ?‘¨ , y que exista un procedimiento đ?‘ˇ Ě… (usamos la definiciĂłn inicial dado en este ejercicio). miembros de đ?‘¨ Ahora, dada cualquier expresiĂłn đ?œś , decidimos ambos procedimientos "simultĂĄneamenteâ€?, hasta que la expresiĂłn đ?œś aparece en una de las listas. Una vez que un procedimiento produce đ?œś (y sabemos que, ya sea đ?œś ∈ đ?‘¨ o Ě… , esto debe ocurrir despuĂŠs de un nĂşmero finito de enumerabilidades), đ?œśâˆˆđ?‘¨ Ě… suceden dos decisiones, en primer lugar, sabemos que si đ?œś estĂĄ en đ?‘¨ o en đ?‘¨ y, en segundo lugar, sabemos que el otro procedimiento nunca producirĂĄ đ?œś . Ě…, Por lo tanto, dependiendo de quĂŠ procedimiento sea, producirĂĄ đ?‘ˇ o đ?‘ˇ definido para đ?œś , con esto podemos decidir que đ?œś ∈ đ?‘¨ o đ?œś ∉ đ?‘¨ , respectivamente. Conclusiones   



Relacione los conceptos de la lĂłgica con el manejo de conjuntos y con algunas situaciones matemĂĄticas concretas. Interprete las proposiciones compuestas utilizando la negaciĂłn, conjunciĂłn, disyunciĂłn e implicaciĂłn. Considere que la relaciĂłn semĂĄntica bĂĄsica debe ser forzado a ser verdad por otras verdades, que esto dio una idea intuitiva de la relaciĂłn de la consecuencia lĂłgica. AprendĂ­ que la palabra “compacidadâ€? se incorpora en el lenguaje de la lĂłgica matemĂĄtica a razĂłn de que a partir que se definen estas nociones semĂĄnticas resulta en definir un espacio topolĂłgicamente formado en la axiomatizaciĂłn de las propiedades de las fĂłrmulas de la lĂłgica de proposiciones.

Fuentes de consulta bibliográfica Enderton Herbert (2001) A mathematical introduction to Logic (Second Edition). U.S.A., Los Angeles, University of California. Ed. Harcourt/Academic Press. Enderton Herbert (2004) Una Introducción Matemática a la Lógica (2a. Edición). Traducción: Amor Montaño José Alfredo. México, D.F. Universidad Nacional Autónoma de México U.N.A.M-Instituto de Investigaciones Filosóficas; Colección: Filosofía Contemporánea. Ed. Elsevier Inc. Epp Susanna (2012) Matemáticas Discretas con aplicaciones (Cuarta Edición). México, D.F. Ed. Cengage Learning Vázquez González Elizabeth, Armendáriz Borunda Griselda (2005) Matemáticas Discretas Chihuahua, México. Ed. Secretaria de Educación Pública S.E.P., Dirección General de Educación Superior Tecnológica D.G.ES.T., Instituto Tecnológico de Chihuahua II, Departamento de Ciencias Básicas.

Sea definido por medio de la separaciĂłn de los parĂŠntesis las raĂ­ces respectivas para este ĂĄrbol de construcciĂłn definido como: (((đ?‘ˇđ?&#x;Ž → đ?‘ˇđ?&#x;? ) ∧ (đ?‘ˇđ?&#x;? → đ?‘ˇđ?&#x;‘ )) → (ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? ∨ đ?‘ˇđ?&#x;‘ ))

((đ?‘ˇđ?&#x;Ž → đ?‘ˇđ?&#x;? ) ∧ (đ?‘ˇđ?&#x;? → đ?‘ˇđ?&#x;‘ ))

đ?‘ˇđ?&#x;Ž → đ?‘ˇđ?&#x;?

((ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? ) ∨ đ?‘ˇđ?&#x;‘ )

đ?‘ˇ đ?&#x;? → đ?‘ˇđ?&#x;‘

(ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? )

đ?‘ˇđ?&#x;‘

đ?‘ˇđ?&#x;? đ?‘ˇđ?&#x;Ž

đ?‘ˇđ?&#x;? đ?‘ˇđ?&#x;?

đ?‘ˇđ?&#x;‘

Enfocando los conectivos lĂłgicos, entonces decimos, que el ĂĄrbol queda ahora como:

→

∧

→

đ?‘ˇđ?&#x;Ž

∨

→

đ?‘ˇđ?&#x;? đ?‘ˇđ?&#x;?

ÂŹ

đ?‘ˇđ?&#x;‘

đ?‘ˇđ?&#x;?

đ?‘ˇđ?&#x;‘

Sea definido por medio de la separaciĂłn de los parĂŠntesis las raĂ­ces respectivas para este ĂĄrbol de construcciĂłn definido como: ((đ?‘ˇđ?&#x;Ž → đ?‘ˇđ?&#x;? ) → ((đ?‘ˇđ?&#x;Ž → ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? ) → ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? ))

(đ?‘ˇđ?&#x;Ž → đ?‘ˇđ?&#x;? )

đ?‘ˇđ?&#x;Ž

((đ?‘ˇđ?&#x;Ž → ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? ) → (ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? ))

(đ?‘ˇđ?&#x;Ž → (ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? ))

đ?‘ˇđ?&#x;?

đ?‘ˇđ?&#x;Ž

(ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? )

(ÂŹđ?‘ˇđ?&#x;? )

đ?‘ˇđ?&#x;?

đ?‘ˇđ?&#x;?

Enfocando los conectivos lógicos, entonces decimos, que el årbol queda ahora como: →

→

→

đ?‘ˇđ?&#x;Ž

đ?‘ˇđ?&#x;? →

đ?‘ˇđ?&#x;Ž

ÂŹ

ÂŹ

đ?‘ˇđ?&#x;?

đ?‘ˇđ?&#x;?

Sea definida la fĂłrmula como đ?œś = ((đ?‘ˇ → đ?‘¸) ∨ (đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ))) por lo que depende en decidir: Para (đ?‘ˇ → đ?‘¸) que este depende de la asignaciĂłn de verdad. Por lo que entonces sea đ?’— la asignaciĂłn de verdad para {đ?‘ˇ, đ?‘¸} tal que se procede a decidir que đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś đ?’—(đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘¸ ∈ đ?œś Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ → đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicaciĂłn como:

� V V F F

� V F V F

�→� V F V V

Por lo que se decide que (đ?‘ˇ → đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Y esto depende en decidir para (đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ)), por lo que entonces consideremos para (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) donde la asignaciĂłn de verdad đ?’— respectivamente para {đ?‘ˇ, đ?‘¸} es tal que: đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś đ?’—(đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘¸ ∈ đ?œś Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ ∧ đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la conjunciĂłn como:

� V V F F

� V F V F

đ?‘¸âˆ§đ?‘ˇ V F F F

Por lo que se decide que (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Con esto ya se procede a decidir para (đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ)) donde la asignaciĂłn de verdad đ?’— para đ?‘ˇ es tal que đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ → đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicaciĂłn como:

� V V F F

đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ)

đ?‘¸âˆ§đ?‘ˇ V F V F

V F V V

Por lo que se decide que (đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ)) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Ě…, es decir đ?’— Ě…(đ?œś) se considera que đ?’— Ě… ((đ?‘ˇ → đ?‘¸) ∨ (đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ))) Para calcular đ?’— por lo que entonces decimos que (đ?‘ˇ → đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ (đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ)) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Con esto entonces consideremos en basarnos en la tabla de verdad bĂĄsica para la disyunciĂłn đ?’‘ ∨ đ?’’ que se define de la manera siguiente đ?‘ˇâ†’đ?‘¸

đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ)

(đ?‘ˇ → đ?‘¸) ∨ (đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ))

V V F F

V F V F

V V V F

Ě… ((đ?‘ˇ → đ?‘¸) ∨ (đ?‘ˇ → (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ))) = đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?’— Ě… = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Por lo tanto đ?’—

Sea definida la fĂłrmula como đ?œś = ÂŹ(đ?‘ˇ → ÂŹ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š)) por lo que depende en decidir: Para (đ?‘ˇ) que este depende de la asignaciĂłn de verdad. Por lo que entonces sea đ?’— la asignaciĂłn de verdad para {đ?‘ˇ, đ?‘¸, đ?‘š} tal que se procede a decidir que đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś đ?’—(đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘¸ ∈ đ?œś đ?’—(đ?‘š) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘š ∈ đ?œś Y esto depende en decidir para ÂŹ ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → ((đ?‘ˇ ∨ đ?‘š))), por lo que entonces consideremos para (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) donde la asignaciĂłn de verdad đ?’— respectivamente para {đ?‘ˇ, đ?‘¸} es tal que: đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś đ?’—(đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘¸ ∈ đ?œś Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ ∧ đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la conjunciĂłn como: đ?‘¸ V V F F

� V F V F

đ?‘¸âˆ§đ?‘ˇ V F F F

Por lo que se decide que (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Luego consideremos para (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š) donde la asignaciĂłn de verdad đ?’— respectivamente para {đ?‘ˇ, đ?‘š} es tal que: đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś đ?’—(đ?‘š) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘š ∈ đ?œś Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ ∨ đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la disyunciĂłn como: đ?‘ˇ V V F F

đ?‘š V F V F

đ?‘ˇâˆ¨đ?‘š V V V F

Por lo que se decide que (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Con esto ya se procede a decidir para (đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → ((đ?‘ˇ ∨ đ?‘š)) Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ → đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicaciĂłn como: đ?‘¸âˆ§đ?‘ˇ V V F F

(đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š)

đ?‘ˇâˆ¨đ?‘š V F V F

V F V V

Por lo que se decide que ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š)) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Pero se considera en decir que la definiciĂłn de la ÂŹ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š)) = đ?‘­đ?’‚đ?’?đ?’”đ?’‚ = đ?‘­ Con esto ya se procede a decidir para (đ?‘ˇ → ÂŹ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š))) donde la asignaciĂłn de verdad đ?’— para đ?‘ˇ es tal que

đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ → đ?‘­ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicaciĂłn como: đ?‘ˇ V V F F

ÂŹ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š)) V F V F

đ?‘ˇ → ÂŹ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š)) V F V V

Por lo que se decide que đ?‘ˇ → ÂŹ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š)) = đ?‘­đ?’‚đ?’?đ?’”đ?’‚ = đ?‘­ Ě…, es decir đ?’— Ě…(đ?œś) se considera que: Para calcular đ?’— Ě… (ÂŹ(đ?‘ˇ → ÂŹ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š))) đ?’— Por lo que entonces consideremos en mencionar que la definiciĂłn de la ÂŹ(đ?‘ˇ → ÂŹ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š)) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’‚ = đ?‘˝ Ě… (ÂŹ(đ?‘ˇ → ÂŹ((đ?‘¸ ∧ đ?‘ˇ) → (đ?‘ˇ ∨ đ?‘š))) = đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?’— Ě… = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Por lo tanto đ?’—

Sea definida la fĂłrmula como đ?œś = ((đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ)) → ÂŹđ?‘ˇ) por lo que depende en decidir: Para (đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ)) que este depende de la asignaciĂłn de verdad. Por lo que entonces sea đ?’— la asignaciĂłn de verdad para {đ?‘ˇ, đ?‘¸} tal que se procede a decidir que đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś đ?’—(đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘¸ ∈ đ?œś Esto implica considerar para (đ?‘¸ → đ?‘ˇ)

Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como � → � debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicación como: � V V F F

� V F V F

�→� V F V V

Por lo que se decide que (đ?‘¸ → đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Con esto ya se procede a decidir para (đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ)) Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ ∧ đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la conjunciĂłn como:

� V V F F

đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ)

�→� V F V F

V F F F

Por lo que se decide que đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Pero se considera en decir que la definiciĂłn de la ÂŹ(đ?‘ˇ) = đ?‘­đ?’‚đ?’?đ?’”đ?’? = đ?‘­ Ě…, es decir đ?’— Ě…(đ?œś) se considera que đ?’— Ě…((đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ)) → ÂŹđ?‘ˇ) por lo Para calcular đ?’— que entonces decimos que (đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ)) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ (ÂŹđ?‘ˇ) = đ?‘­đ?’‚đ?’?đ?’”đ?’? = đ?‘­

Con esto decimos entonces que para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ → đ?‘­ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicaciĂłn como: đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ) V V F F

(đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ)) → ÂŹđ?‘ˇ)

� V F V F

V F V V

Ě…((đ?‘ˇ ∧ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ)) → ÂŹđ?‘ˇ)) = đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?’— Ě… = đ?‘­đ?’‚đ?’?đ?’”đ?’? = đ?‘­ Por lo tanto đ?’—

Sea definida la fĂłrmula como đ?œś = ((đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) → đ?‘¸) → (đ?‘ˇ → đ?‘¸) por lo que depende en decidir: Para (đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) → đ?‘¸ que este depende de la asignaciĂłn de verdad. Por lo que entonces sea đ?’— la asignaciĂłn de verdad para {đ?‘ˇ, đ?‘¸} tal que se procede a decidir que đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś đ?’—(đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘¸ ∈ đ?œś Esto implica considerar para (đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) Pero se considera en decir que la definiciĂłn de la ÂŹ(đ?‘¸) = đ?‘­đ?’‚đ?’?đ?’”đ?’? = đ?‘­

Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ ∧ đ?‘­ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la conjunciĂłn como: đ?‘ˇ V V F F

� V F V F

đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸ V F F F

Por lo que se decide que (đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) = đ?‘­đ?’‚đ?’?đ?’”đ?’? = đ?‘­ Con esto ya se procede a decidir para (đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) → đ?‘¸) Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘­ → đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicaciĂłn como:

� V V F F

� V F V F

�→� V F V V

Por lo que se decide que (đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) → đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Luego decidimos para (đ?‘ˇ → đ?‘¸) que este depende de la asignaciĂłn de verdad. Por lo que entonces sea đ?’— la asignaciĂłn de verdad para {đ?‘ˇ, đ?‘¸} tal que se procede a decidir que đ?’—(đ?‘ˇ) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘ˇ ∈ đ?œś đ?’—(đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ donde đ?‘¸ ∈ đ?œś Por lo que entonces decimos para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ → đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad

correspondiente para este caso que define al operador de la implicación como: � V V F F

�

�→�

V F V F

V F V V

Por lo que se decide que (đ?‘ˇ → đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Ě…, es decir đ?’— Ě…(đ?œś) se considera que đ?’— Ě… (((đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) → đ?‘¸) → (đ?‘ˇ → đ?‘¸)) Para calcular đ?’— por lo que entonces decimos que ((đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) → đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ (đ?‘ˇ → đ?‘¸) = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Con esto decimos entonces que para saber este valor de verdad que corresponde en este caso como đ?‘˝ → đ?‘˝ debemos de definir la tabla de verdad correspondiente para este caso que define al operador de la implicaciĂłn como:

(� → �)

((đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) → đ?‘¸) V V F F

V F V F

((đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) → đ?‘¸) → (đ?‘ˇ → đ?‘¸) V F V V

Ě… (((đ?‘ˇ ∧ ÂŹđ?‘¸) → đ?‘¸) → (đ?‘ˇ → đ?‘¸)) = đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?’— Ě… = đ?‘˝đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’? = đ?‘˝ Por lo tanto đ?’—

Consideremos que (đ?‘¨đ?&#x;? ↔∨ đ?‘¨đ?&#x;? ) no es fĂłrmula, pero dispone de 6 sĂ­mbolos. En realidad, podemos decirlo con mĂĄs formalidad. La funciĂłn se define en la especificaciĂłn de que la longitud de cualquier fĂłrmula sea bien formada. Si

Ě… (đ?œś) = đ?&#x;” entonces o bien đ?œś = (ÂŹđ?œˇ) y đ?’‰ Ě… (đ?œˇ) = đ?&#x;‘ o đ?œś = (đ?œ¸ ∨ đ?œš) y đ?’‰ Ě… (đ?œ¸) + đ?’‰ Ě… (đ?œš) = đ?’‰ Ě… puede garantizar que cada valor de đ?&#x;‘ . Al mismo tiempo, las fĂłrmulas para đ?’‰ Ě… es o bien 1 o al menos 4. Por lo tanto, ninguno de los casos es posible. đ?’‰ Otra forma de probar la afirmaciĂłn, es demostrar por inducciĂłn que la combinaciĂłn de sĂ­mbolos ↔ ∨ no es posible en cualquier fĂłrmula bien formada. Esto se demuestra por medio de la inducciĂłn junto con la declaraciĂłn de que la no fĂłrmula bien formada puede empezar o terminar con un sĂ­mbolo conectivo binario. Sin embargo, otra manera de mostrar que esto no sea una fĂłrmula es demostrar que, para que en cualquier fĂłrmula bien formada el nĂşmero de pares de parĂŠntesis es igual al nĂşmero de sĂ­mbolos conectivos. Esto es cierto para los sĂ­mbolos de oraciones, y cada operaciĂłn de construcciĂłn aĂąade exactamente un sĂ­mbolo conectivo y un par de parĂŠntesis, a razĂłn de que cada fĂłrmula bien formada todavĂ­a tiene sĂłlo una posible descomposiciĂłn.

Para demostrar que es una tautología, es suficiente para mostrar que no puede ser falsa. Por lo tanto, vamos a establecer el principal conectivo (la última implicación) a � y derivar una contradicción. Para que el conectivo principal que esta se define como falsa en esta suposición, tenemos que asumir por la definición de la tautología que la ̅ (((� → �) → �)) = � y considerando proposición es verdadera es decir � que todavía �(�) = � . Por lo que entonces decimos que se debe considerar para �(�) = � , para ̅ (((� → �) → �)) = � , por lo que entonces debemos tener tener � ̅((� → �)) = � , que sólo puede suceder para �(�) = � , esto es una � contradicción. Por lo tanto ̅ (((� → �) → �) → �) = � �

Para cualquier asignación de verdad � para �, � . Es decir, la fórmula anterior es de hecho una tautología Comprobemos esto utilizando una tabla de verdad definida para este caso como: � F F V V

� F V F V

(� → �) V V F V

(� → �) V F V V

(đ?‘ˇ → đ?‘¸) ∨ (đ?‘¸ → đ?‘ˇ) V V V V

Por lo que entonces decimos que todas las asignaciones de verdad son ciertas, por lo que en efecto es una tautologĂ­a

Esta demostraciĂłn se define como el teorema de la interpolaciĂłn. Por lo que entonces consideremos en agregar los conectivos ceroarios ⊤ , ⊼ a nuestro lenguaje. Para cada formula đ??‹ y cada sĂ­mbolo de enunciado đ?‘¨, entonces sea đ??‹đ?‘¨âŠ¤ la fĂłrmula que se obtiene de đ??‹ reemplazando đ?‘¨ por ⊤. De igual forma para đ??‹đ?‘¨âŠĽ . Por lo que entonces sea đ??‹đ?‘¨âˆ— = (đ??‹đ?‘¨âŠ¤ ∨ đ??‹đ?‘¨âŠĽ ) Por lo que entonces consideremos las siguientes propiedades: a) đ??‹|=đ??‹đ?‘¨âˆ— b) Si đ??‹|=đ??? y đ?‘¨ no aparece en đ???, entonces đ??‹đ?‘¨âˆ— |=đ??? c) La formula đ??‹ es satisfactible sii đ??‹đ?‘¨âˆ— es satisfactible Podemos entonces considerar que đ??‹đ?‘¨âˆ— trata de decir todo lo que dice đ??‹, pero sin poder usar el sĂ­mbolo đ?‘¨. Por lo que las partes a),b) expresan que đ??‹đ?‘¨âˆ— es la consecuencia libre de đ?‘¨, mĂĄs fuerte de đ??‹.

Implica que las formulas đ??‹ y đ??‹đ?‘¨âˆ— no son en general tautolĂłgicamente equivalentes, pero son “igualmente satisfactiblesâ€? por la parte c). Decimos que la operaciĂłn de construir đ??‹đ?‘¨âˆ— a partir de đ??‹ se llama (en otro contexto) resoluciĂłn en đ?‘¨. Por lo que consideremos entonces que todos los sĂ­mbolos de las oraciones para đ?‘¨đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?‘¨đ?’Šđ?’Ž que se utilizan en đ?œś pero no se utiliza en đ?œˇ . đ?‘¨đ?’Šđ?’Œ

Definamos que đ?œśđ?&#x;Ž = đ?œś y que đ?œśđ?’Œ = (đ?œśđ?’Œâˆ’đ?&#x;? )∗

, đ?’Œ = đ?&#x;?, ‌ , đ?’Ž .

Entonces, de acuerdo con lo mencionado en las propiedades definidas decimos en este caso que đ?œś = đ?œśđ?&#x;Ž ⊨ đ?œśđ?&#x;? ⊨ â‹Ż ⊨ đ?œśđ?’Ž , y dado que ningĂşn sĂ­mbolo de sentencia đ?‘¨đ?’Šđ?’Œ se utiliza en đ?œˇ , đ?œśđ?’Œâˆ’đ?&#x;? ⊨ đ?œˇ implica đ?œśđ?’Œ ⊨ đ?œˇ . Por consiguiente, đ?œ¸ = đ?œśđ?’Ž ⊨ đ?œˇ y decimos que đ?œ¸ utiliza sĂłlo los sĂ­mbolos de oraciones en đ?œś que tambiĂŠn estĂĄn en đ?œˇ . Por lo que aĂşn puede haber algunos sĂ­mbolos de oraciones en đ?œˇ que no estĂĄn en đ?œś , y decimos por lo tanto, que no estĂĄn en đ?œ¸ , pero esto no nos importa en este caso. Por ejemplo, đ?‘¨ ∧ đ?‘Š ⊨ đ?‘Ş â†’ đ?‘Š , por consiguiente decimos que, đ?‘¨ ∧ đ?‘Š ⊨ đ?‘Š ⊨ đ?‘Ş â†’ đ?‘Š , dĂłnde đ?‘Š es tautolĂłgicamente equivalente a đ?œ¸ , que este ya quedo entonces construido para este caso.

Consideremos a una conectiva đ?&#x;Ž −aria, que esta no puede ser completa ya que siempre da como resultado el mismo valor. Una conectiva đ?&#x;? −aria no puede ser completa, ya que hay cuatro conectivas đ?&#x;? −arias, entre las cuales dos son constantes, por lo que entonces se devuelve el mismo valor inicial, no importa cuĂĄntas veces lo aplicamos, y con esto el cuarto se regresa ya sea para el valor inicial o su opuesto, dependiendo de que si debemos aplicar el nĂşmero par o impar de veces de la conectiva en la fĂłrmula. En cualquier caso, se deduce que ninguna conectiva đ?&#x;? −aria es capaz de representarlo, hasta incluso en algunas otras conectivas đ?&#x;? −arias.

Ahora, para las conectivas binarias, supongamos que {∗} es completa, con lo que entonces decimos que los siguientes casos definidos son: a) đ?‘˝ ∗ đ?‘˝ = đ?‘­ y đ?‘­ ∗ đ?‘­ = đ?‘˝, por lo que entonces supongamos que đ?‘˝ ∗ đ?‘˝ = đ?‘˝. Por lo que entonces se toma la consideraciĂłn de cualquier fĂłrmula bien formada ∗ solamente. Para la asignaciĂłn de verdad que se le debe asignar respectivamente para ÂŹđ?‘¨; que este no puede ser representado por tales fĂłrmulas bien formadas. Finalmente del mismo modo para el caso definido como đ?‘­ ∗ đ?‘­ = đ?‘­, b) đ?‘˝ ∗ đ?‘­ = đ?‘­ ∗ đ?‘˝, aquĂ­ de hecho, ahora en lugar de 16 posibles conectivas sĂłlo tenemos 4. Entre estas conectivas, dos son tales que, o bien đ?‘˝ ∗ đ?‘­ = đ?‘˝ y đ?‘­ ∗ đ?‘˝ = đ?‘­ o viceversa. Consideremos en que se tiene a una conectiva, tales que đ?‘˝ ∗ đ?‘¨ = ÂŹđ?‘¨ y đ?‘­ ∗ đ?‘¨ = ÂŹđ?‘¨. Por lo tanto, los resultados conectivos simplemente, se considera en la negaciĂłn del segundo operando. Ahora, dado cualquier fĂłrmula bien formada usando ∗ Ăşnicamente, es fĂĄcil ver por la inducciĂłn, que este resultado serĂĄ bien el valor o su negaciĂłn del sĂ­mbolo de la frase mĂĄs a la derecha en la expresiĂłn. Una vez mĂĄs, no hay tales fĂłrmulas bien formadas que podrĂ­an representar algo asĂ­ como đ?‘¨ ∨ đ?‘Š, etc. c) Este ∗ es cualquier | o ↓ , con esto ahora tenemos estas dos posibles conectivas binarias solamente. Ambos son completas, Con estos casos definidos se considera entonces las conectivas đ?’? −arias. Por lo que en primer lugar, decimos que una conectiva đ?’? −aria, con đ?’? > đ?&#x;?, puede depender de sĂłlo de dos sĂ­mbolos de oraciones, y, esencialmente, puede ser reducible a | o ↓. En segundo lugar, hay un irreducible (en el sentido de que dependen de todos sus sĂ­mbolos conectivos) es decir mĂĄs đ?’? −arias conectivas completas. Consideremos todo esto a travĂŠs de un ejemplo definido como: [đ?‘¨, đ?‘Š, đ?‘Ş] = (đ?‘¨ → ÂŹđ?‘Ş) ∧ (đ?‘Š → ÂŹđ?‘Ş) que esto es una conectiva ternaria completa. En realidad, depende de los tres sĂ­mbolos de oraciones, como [đ?‘¨, đ?‘Š, đ?‘˝] = đ?‘¨ ↓ đ?‘Š y [đ?‘¨, đ?‘Š, đ?‘­] = đ?‘˝ y [đ?‘¨, đ?‘¨, đ?‘Ş] es tautolĂłgica equivalente a đ?‘¨ → ÂŹđ?‘Ş que es justo considerarlo como đ?‘¨|đ?‘Ş. Por lo tanto {[đ?‘¨, đ?‘Š, đ?‘Ş]} es completo. Parece que en este caso mĂĄs general para encontrar todas las conectivas completas tendrĂ­amos que argumentar en contra de algunos conectores similares a lo que hicimos para đ?’? = đ?&#x;?. Por ejemplo, sin embargo, probablemente necesitarĂĄ mĂĄs reglas para rechazar conectivas, donde todavĂ­a podrĂ­amos utilizar el mismo argumento que se utilizĂł en a) para cualquier đ?’?. Del mismo modo, excluir todas las conectivas que dependen de un solo sĂ­mbolo de condena, como en b), o, en general, que dependen de

cualquier número de símbolos de oraciones menor que 𝒏 (como las que, en esencia, se puede reducir a conectivas 𝒎 −arias para algunas 𝒎 < 𝒏). Y considerando que las constantes conectivas 𝟏 −arias no son representables mediante este conjunto de conectores. Formalmente, se prueba por inducción sobre la estructura de las fórmulas, que menciona que para cualquier fórmula bien formada 𝟏 −aria, se define como 𝜶 ,donde se considera en estar utilizando sólo estas conectivas, considerando a 𝑩𝜶 (𝑿) como la función que no es constante. Caso base Si 𝜶 = 𝑨 entonces 𝑩𝜶 (𝑿) = 𝑿 es considerada como la función identidad. Paso de inducción Supongamos que es cierto para 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , 𝜶𝟑 (así 𝜶𝒊 posee 𝑨 como su único símbolo sentencia y 𝑩𝜶𝒊 (𝑿) no es una función constante): -Si 𝜶 = ¬𝜶 entonces 𝑩𝜶 =Lo contrario a 𝑩𝜶𝟏 . Desde que 𝑩𝜶𝟏 no es constante,, por lo que tampoco es 𝑩𝜶 . - Supongamos que 𝜶 = (#𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝜶𝟑 ). Por la hipótesis en el que 𝜶𝒊 sea para ̅(𝜶𝒊 ) = 𝒗(𝑨) o 𝒗 ̅(𝜶𝒊 ) = 𝒗 ̅(¬𝑨). Considerando el valor de cada 𝒊, definido como 𝒗 verdad de (#𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝜶𝟑 ) sólo depende del número de los 𝜶𝒊 asignados como 𝑽/𝑭 (en lugar de que sea otra consideración), podemos dividir en dos casos que menciona que: * Al menos dos de los coeficientes de las 𝜶𝒊 que se tiene decimos entonces ̅(𝜶𝒊 ) = 𝒗(𝑨) y en este caso sea 𝒗 ̅(𝜶) = 𝒗(𝑨) y tomando por consiguiente que 𝒗 en cuenta en que así 𝑩𝜶 se define finalmente como la función que no es constante. * Al menos dos de los coeficientes de las 𝜶𝒊 que se tiene decimos entonces ̅(𝜶𝒊 ) = 𝒗(¬𝑨) y en este caso sea 𝒗 ̅(𝜶) = 𝒗(¬𝑨) y tomando por que 𝒗 consiguiente en cuenta en que así 𝑩𝜶 se define finalmente como la función que no es constante.

De hecho, basta que 𝜮 este efectivamente enumerado; consideremos una enumeración

đ??ˆđ?&#x;? , đ??ˆđ?&#x;? , đ??ˆđ?&#x;‘ , ‌ Dada cualquier formula đ??‰ podemos verificar sucesivamente(por medio de tablas de verdad) si es que ∅ |= đ??‰ , {đ??ˆđ?&#x;? } |= đ??‰ , {đ??ˆđ?&#x;? , đ??ˆđ?&#x;? } |= đ??‰ , {đ??ˆđ?&#x;? , đ??ˆđ?&#x;? , đ??ˆđ?&#x;‘ } |= đ??‰ , EtcĂŠtera. Si alguna de estas condiciones se cumple, entonces contestamos “siâ€?. Si no, continuamos probando. Esto produce una respuesta afirmativa siempre y cuando đ?œŽ |= đ??‰ , por el corolario del teorema de compacidad.

Para la uniĂłn: consideremos en que sea definido dos conjuntos como đ?‘¨ y đ?‘Š que estos sean efectivamente enumerables. Entonces por el teorema que menciona que “Si un conjunto đ?‘¨ de expresiones es si y sĂłlo si efectivamente enumerable si existe un procedimiento efectivo que, dada cualquier expresiĂłn đ?œş , por lo que produce una respuesta afirmativa "sĂ­" si y sĂłlo si đ?œş ∈ đ?‘¨.â€?, por lo que ambos conjuntos son semidecibles. Por lo que definimos en este caso a đ?‘Ş = đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š y considerando que sea đ??‰ una expresiĂłn, por lo que encajamos las dos semidecisiones de procedimientos, primero tomemos en cuenta la comprobaciĂłn para cuando se cumpla si đ??‰ ∈ đ?‘¨, por lo que entonces se debe cumplir cuando đ??‰ ∈ đ?‘Š en este primer instante e igualmente en el segundo instante y asĂ­ sucesivamente. Si cualquier đ??‰ ∈ đ?‘¨ o đ??‰ ∈ đ?‘Š, este proceso es eventual cuando se para el instante cuando la salida sale afirmativa es decir cuando se dice que “siâ€?. Si đ??‰ ∉ đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š este proceso es ejecutado siempre. Esto es un procedimiento de semidecision, por lo que đ?‘Ş que este se define como la uniĂłn es efectivamente enumerable

Para la intersecciĂłn: consideremos que sea definido dos conjuntos como đ?‘¨ y đ?‘Š que estos sean efectivamente enumerables. Entonces por el teorema que menciona que “Si un conjunto đ?‘¨ de expresiones es si y sĂłlo si efectivamente enumerable si existe un procedimiento efectivo que, dada cualquier expresiĂłn đ?œş , por lo que produce una respuesta afirmativa "sĂ­" si y sĂłlo si đ?œş ∈ đ?‘¨.â€?, por lo que ambos conjuntos son semidecibles. Por lo que dada una expresiĂłn đ??‰, primeramente se debe ejecutar la semidecision de procedimiento de comprobaciĂłn de que si đ??‰ ∈ đ?‘¨. Si este procedimiento se ejecuta siempre, se debe considerar que đ??‰ ∉ đ?‘¨ y por consiguiente decimos que đ??‰ ∉ đ?‘¨ ∊ đ?‘Š. De lo contrario, el procedimiento de la semidecision finalmente nos dice que đ??‰ ∈ đ?‘¨. Entonces para ejecutar el procedimiento de semidecision para đ?‘Š siempre se considera cuando đ??‰ ∉ đ?‘Š, entonces decimos que asĂ­ se aplica siempre cuando đ??‰ ∉ đ?‘¨ ∊ đ?‘Š. Si este procedimiento se detiene y sale afirmativa es decir cuando se dice que “siâ€?, decimos entonces que se cumple esto cuando đ??‰ ∈ đ?‘¨ y que đ??‰ ∈ đ?‘Š.

Conclusiones Por lo que observamos que si los conjuntos đ?‘¨ y đ?‘Š son efectivamente numerables, entonces tambiĂŠn lo son đ?‘¨ âˆŞ đ?‘Š y đ?‘¨ ∊ đ?‘Š. La clase de los conjuntos decidibles tambiĂŠn es cerrada bajo uniĂłn e intersecciĂłn y ademĂĄs lo es bajo complementaciĂłn.

Sea definido en este caso como đ?šŞ = {đ?œ¸đ?&#x;? , đ?œ¸đ?&#x;? }. Por lo que entonces consideremos en decir que si se define una proposiciĂłn como đ?œ¸đ?&#x;? = đ?‘¨đ?&#x;? y que si consideremos una negaciĂłn de la proposiciĂłn definida como đ?œ¸đ?&#x;? = ÂŹđ?‘¨đ?&#x;?

Por lo tanto decimos que en este caso que đ?šŞ = {đ?‘¨đ?&#x;? , ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? }

Sea definido en este caso como đ?šŞ = {đ?œ¸đ?&#x;? , đ?œ¸đ?&#x;? , đ?œ¸đ?&#x;‘ }. Por lo que entonces consideremos en decir que si se define una proposiciĂłn como đ?œ¸đ?&#x;? = đ?‘¨đ?&#x;? , despuĂŠs consideremos una negaciĂłn de otra proposiciĂłn definida como đ?œ¸đ?&#x;? = ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? y que si consideremos una negaciĂłn de la primera proposiciĂłn con la disyunciĂłn de la negaciĂłn de la segunda proposiciĂłn definida como đ?œ¸đ?&#x;‘ = ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? ∨ đ?‘¨đ?&#x;? . Por lo que se debe considerar entonces que si dos subconjuntos de elementos de đ?šŞ son satisfactibles por las respectivas asignaciones de verdad đ?’— definidas para cada caso como:   

Si {đ?œ¸đ?&#x;? , đ?œ¸đ?&#x;? } = {đ?‘¨đ?&#x;? , ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? } es satisfactible por đ?’—(đ?‘¨đ?&#x;? ) = đ?‘˝, đ?’—(đ?‘¨đ?&#x;? ) = đ?‘­. Si {đ?œ¸đ?&#x;? , đ?œ¸đ?&#x;‘ } = {đ?‘¨đ?&#x;? , ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? ∨ đ?‘¨đ?&#x;? } es satisfactible por đ?’—(đ?‘¨đ?&#x;? ) = đ?‘˝, đ?’—(đ?‘¨đ?&#x;? ) = đ?‘˝. Si {đ?œ¸đ?&#x;? , đ?œ¸đ?&#x;‘ } = {ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? , ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? ∨ đ?‘¨đ?&#x;? } es satisfactible por đ?’—(đ?‘¨đ?&#x;? ) = đ?‘­, đ?’—(đ?‘¨đ?&#x;? ) = đ?‘­.

Pero con esto decimos que, sin la asignaciĂłn de verdad đ?’— satisface simultĂĄneamente todas las formulas en đ?šŞ. Por lo tanto decimos que en este caso que đ?šŞ = {đ?‘¨đ?&#x;? , ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? , ÂŹđ?‘¨đ?&#x;? ∨ đ?‘¨đ?&#x;? }

Este teorema a demostrar se le considera como el “Teorema de Kleene.â€? Por lo consideremos que dos procedimientos de semidecision forman un todo. Por lo que entonces si consideramos que si un conjunto de expresiones đ?‘¨ es decidible, entonces no es un procedimiento đ?‘ˇ de manera que puede decidir si cualquier expresiĂłn đ?œś ∈ đ?‘¨ . Entonces, para probar si đ?œś ∈ đ?‘¨ podemos efectuar que đ?‘ˇ y volviendo esto una afirmaciĂłn: "sĂ­" si y sĂłlo si se devuelve otra afirmaciĂłn: “sĂ­" (y hacer lo que queramos en el otro caso), y para probar Ě… podemos efectuar đ?‘ˇ y volver una afirmaciĂłn: "sĂ­" si y sĂłlo si se que si đ?œś ∈ đ?‘¨ vuelve una negaciĂłn: “no" (y hacer lo que queramos en el otro caso). Por lo

Ě… son efectivamente enumerables (usamos la definiciĂłn dada tanto, tanto đ?‘¨ y đ?‘¨ en el teorema que dice que “Si un conjunto đ?‘¨ de expresiones es si y sĂłlo si efectivamente enumerable si existe un procedimiento efectivo que, dada cualquier expresiĂłn đ?œş , por lo que produce una respuesta afirmativa "sĂ­" si y sĂłlo si đ?œş ∈ đ?‘¨.â€?). Por el contrario, si un conjunto de expresiones đ?‘¨ es tal que tanto en la Ě… son efectivamente enumerables, combinaciĂłn de đ?‘¨ y su complemento đ?‘¨ entonces no es una lista de procedimiento de đ?‘ˇ que efectivamente son los miembros de đ?‘¨ , y por lo que decimos que debe existir un procedimiento de Ě… que efectivamente son los miembros de đ?‘¨ Ě… (usamos la definiciĂłn de lista đ?‘ˇ este teorema de este ejercicio 10)). Ahora, dada cualquier expresiĂłn đ?œś , procedemos ambos procedimientos "simultĂĄneamente" hasta que la expresiĂłn đ?œś aparezca en una de las listas. Una vez que este procedimiento produce una đ?œś (y entonces sabemos que, debe dar ya sea para đ?œś ∈ đ?‘¨ o para Ě… , esto debe ocurrir despuĂŠs de un nĂşmero finito de pasos), por lo que đ?œśâˆˆđ?‘¨ esto implica que debe suceder dos cosas, en primer lugar, sabemos que si Ě… y que, en segundo lugar, sabemos que el otro đ?œś es en đ?‘¨ o en đ?‘¨ procedimiento nunca producirĂĄ đ?œś . Por lo tanto, dependiendo de quĂŠ Ě… , producido para đ?œś , podemos decidir procedimiento sea para, đ?‘ˇ o đ?‘ˇ entonces que respectivamente es para đ?œś ∈ đ?‘¨ o para đ?œś ∉ đ?‘¨.

Conclusiones: 





La lĂłgica proposicional o lĂłgica de enunciados es el estudio de la lĂłgica de los conectivos a partir de las proposiciones, que puedan ser verdaderas o falsas. Es comĂşn estudiar esta lĂłgica como un lenguaje que tiene como sĂ­mbolos a “letras proposicionalesâ€? đ?‘ˇ, đ?‘¸, đ?‘š, etc. y los sĂ­mbolos usuales para los conectivos que son la negaciĂłn ÂŹ , la conjunciĂłn ∧ , la disyunciĂłn ∨ , la condicional → y la bicondicional↔. La lĂłgica proposicional es el estudio de la lĂłgica de los conectivos, pero dentro de un lenguaje de primer orden y las letras proposicionales, serĂĄn enunciados que pueden ser verdaderos o falsos pero sĂ­ sabemos que contenido tienen, sĂłlo que hacemos abstracciĂłn de ĂŠl, para fijarnos en su comportamiento como un todo o como un “bloqueâ€? respecto a los conectivos. La lĂłgica proposicional es un estudio muy interesante por las siguientes razones: en primer lugar no hay un cambio de lenguaje



entre lógica proposicional y lógica de predicados; el lenguaje es el mismo: un lenguaje de primer orden o lenguaje de predicados y en segundo lugar el enfoque de la lógica de proposiciones dentro de un lenguaje de primer orden tiene un contenido real: las letras �, �, �, no son entes cerrados y extraùos, sino fórmulas del lenguaje de primer orden dado y su estudio en relación al comportamiento lógico de los conectivos, nos proporciona un procedimiento efectivo de decisión, en forma parcial, para los conceptos de validez universal, consecuencia lógica y satisfactibilidad, ya que la lógica proposicional es efectivamente decidible para los conceptos de: tautología, consecuencia lógica-proposicional (aquí en este curso se llama consecuencia tautológica) y satisfactibilidad-proposicional. Este enfoque aclara perfectamente bien y justifica con todo rigor, la diferencia entre tautología y verdad universal. Una tautología es una fórmula que es verdadera en cualquier interpretación (es decir, una formula universalmente vålida) cuya verdad depende exclusivamente de los conectivos. Una verdad universal o universalmente valida es una fórmula que es verdadera con cualquier interpretación y cuya verdad puede depender tanto de los conectivos como de los cuantificadores y de la igualdad. Serå claro entonces que toda tautología es universalmente valida pero no inversamente.

Fuentes de consulta bibliogrĂĄfica Dean Neville (2003) Logic and Language (Second Edition) U.S.A. New York, Ed Palgrave Macmillan. Cameron Peter J. (1998) Sets, Logic and Categories (First Edition) England, London. Ed. Springer. Korfhage Robert R. (1970) LĂłgica y Algoritmos con aplicaciones a las ciencias de la computaciĂłn e informaciĂłn (Primera EdiciĂłn) MĂŠxico, D.F. Ed. Limusa. Reeves Steve; Clarke Michael (1993) Logic for computer science (First Edition) U.S.A. New York, Ed. Addison Wesley Publishing Company.

Enderton Herbert (2001) A mathematical introduction to Logic (Second Edition). U.S.A., Los Angeles, University of California. Ed. Harcourt/Academic Press. Enderton Herbert (2004) Una Introducción Matemática a la Lógica (2a. Edición). Traducción: Amor Montaño José Alfredo. México, D.F. Universidad Nacional Autónoma de México U.N.A.M-Instituto de Investigaciones Filosóficas; Colección: Filosofía Contemporánea. Ed. Elsevier Inc.

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