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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA “Análisis del Ajuste de Funciones Polinomiales mediante el Método de Regresión por Mínimos Cuadrados, desde un punto de vista: Estadístico y Probablistico; considerando la Situación de Deserción Escolar en la Dependencia Paraestatal del IEMSDF; enfocado a la Delegación Gustavo A. Madero en el Plantel I: Belisario Domínguez.” PRESENTACION DEL PROYECTO TERMINAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS PRESENTA EL ALUMNO SUSTENTANTE: C. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO DIRIGIDA POR: MAT. BEATRIZ CARRASCO TORRES EVALUADA POR: DRA. MARLEN HERNÁNDEZ ORTIZ. ELABORADO EN LA: CIUDAD DE MÉXICO, DISTRITO FEDERAL, 2015-2016.

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1. Resumen. El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de Información Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal por parte de la Dirección Estudiantil ;a través del conducto de la Subdirección de Administración Escolar, cuyo propósito de esto es hacer predicciones para las últimas generaciones que comprenden del año 2012 hasta el año 2015; por medio de posibles intervalos que puedan ocurrir en la situación del porcentaje de deserción estudiantil, que se considera específicamente al Plantel I de la delegación Gustavo A. Madero; cabe mencionar que esto se basa a través de la utilización de modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el método regresión por mínimos cuadrados en su sustento del coeficiente de determinación que encuentra una mejor función polinomial de ajuste a los datos que se centra en el cálculo del error que definen su desviación estándar para poder generar un intervalo cerrado de predicción con distribución 𝑡 −student que ubica una probable representación muestral mínima y máxima en este aspecto y con esto se espera hacer un aporte hacia la investigación con el fin de que se considere como argumento y poder atender esta problemática. 1.1. Palabras claves: Análisis, Ajuste y Predicción 2. Introducción La deserción escolar en esta dependencia paraestatal del IEMS-DF es un grave problema para el desarrollo sustentable de la población esta entidad federativa de la Ciudad de México, , a razón de que implica una conducta de riesgo entre sus habitantes, y esto trae como consecuencia gastos presupuestales y pérdidas económicas a nivel local respecto a las oportunidades de trabajo y esto realmente afecta a nivel familiar, en los ingresos salariales que sustenta una mejor calidad de vida individual y para los parientes en el quehacer cotidiano. El término de Deserción se define regularmente como el abandono de cursos o en el plantel que se ha inscrito el estudiante, deja de asistir a clases y de cumplir con las obligaciones establecidas previamente, lo cual tiene efectos sobre los índices de eficiencia terminal del egreso. Es por eso considerar a la Estadística como una herramienta de apoyo que puede dar respuesta a muchas de las necesidades que la sociedad actual nos plantea, a razón de que su tarea fundamental es la reducción de datos, con el objetivo de representar la realidad y describirla, predecir su futuro o simplemente conocerla; en nuestros días se ha convertido en una rama de la matemática efectiva para describir con exactitud los valores de datos físicos, políticos y sociales que sirve para relacionar y analizar dichos datos, por lo que esto implica que esta herramienta no

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consiste ya sólo en resumir y tabular los datos, sino más bien en enfocarse en el proceso de interpretación de esta información. Entonces es importante considerar que Pronosticar o dar aproximaciones a futuros eventos ha sido una práctica frecuente para los seres humanos. En tiempos remotos estos pronósticos se realizaban mediante métodos un poco ortodoxos. Con el paso del tiempo y gracias a los avances teóricos y tecnológicos de la ciencia, estas aproximaciones han ido cambiando hasta llegar a metodologías rigurosamente científicas y bien fundamentadas teóricamente. Con esto decimos que el desarrollo de la Teoría de la Probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística a razón de que muchos de los conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando modelos probabilísticos; por lo que los resultados de estas pueden utilizar para analizar datos estadísticos. Por lo que la Probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico. Entonces mencionemos que el análisis del Método de Regresión es una técnica estadística para investigar y modelar la relación entre variables, por lo que son numerosas las aplicaciones de esto en cualquier campo, incluyendo en ciencias físicas, experimentales y sociales y de hecho se puede decir que esta técnica estadística es la más usada, por lo que sustenta la fundamentación del análisis de los métodos numéricos que se basan de los modelos matemáticos para desarrollarlo y efectuarlo. Por lo que en la actualidad el uso de las Herramientas Matemáticas Probabilísticas ha permitido optimizar y determinar los Procesos de los Indicadores de Desempeño en cuestión de considerar la información a través de los datos registrados en un plantel determinado por esta dependencia paraestatal sobre la situación de la Deserción Estudiantil del Sistema Escolarizado cuya causa de este objetivo depende de la relación de la Cuantificación de su Ingreso y Egreso por Generación que se analiza a través del “Modelo Estadístico del Ajuste de Funciones mediante el Método de Regresión por Mínimos Cuadrados” ;cuyo creador fue el matemático alemán Karl Friedrich Gauss en 1795, el cual permite interpretar geométricamente sus variaciones, en efectuar y determinar la predicción certera del cálculo de la probabilidad como variable de respuesta del pronóstico porcentual de la deserción estudiantil que ocurra en base a la tendencia que ha seguido los datos registrados de estos eventos a lo largo del tiempo y asimismo, se espera hacer un aporte hacia la investigación de la Estadística y Probabilidad; cuyo fin se considere a la situación problemática de este análisis estadístico cuantitativo como argumento para que las autoridades competentes puedan fundamentarlo como un primer paso para tomar medidas preventivas de atención y reflexión de la importancia en corto

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y a largo plazo de cĂłmo puede afectar a esta dependencia paraestatal y buscarle una decisiĂłn alternativa a travĂŠs de la instrumentaciĂłn del diseĂąo de estrategias de acciones que pretendan involucrarlos en conocer esta informaciĂłn de la situaciĂłn de este fenĂłmeno, para que asĂ­ con base a esas predicciones realizadas adviertan mejores decisiones que faciliten la viabilidad de reducir su incidencia desertora para que sea orientada como una propuesta al fomento del incremento del egreso estudiantil que conlleva a la dimensiĂłn del bienestar en su permanencia en el plantel, ademĂĄs de que tengan el beneficio del pase directo asegurado a la Universidad AutĂłnoma de la Ciudad de MĂŠxico-UACM y con esto se llega a su certificaciĂłn de la eficacia educativa que trae como posibilidad de que tenga en un futuro una mejor oportunidad y calidad de vida laboral y profesional para que se sientan Ăştiles y productivos para el desarrollo sustentable de la PoblaciĂłn EconĂłmicamente Activa de esta entidad federativa de la Ciudad de MĂŠxico. 3. Marco TeĂłrico 3.1. Fundamentos sobre el Ajuste de Funciones polinomiales. Consideremos que la idea clave del proyecto, es que el ajuste de funciones polinomiales sea una tĂŠcnica para el modelado de datos con una ecuaciĂłn y para considerarlo se plantea a travĂŠs de la siguiente pregunta: ÂżCĂłmo decidir quĂŠ tipo de funciĂłn polinomial si existe, podrĂ­a ajustarse a los datos? (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Bittinger, Marvin L. , (2002)). Una forma simple consiste en examinar una grĂĄfica de los datos llamada como Diagrama de DispersiĂłn que es una grĂĄfica de datos de dos variables en la variable independiente estĂĄ en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical, entonces con esto hacemos el ĂŠnfasis en definir quĂŠ Tipos de Variables vamos a considerar en este modelo: â—? Variable Dependiente: Es la variable que se predice o se explica. Se representa por đ?‘Ś. â—? Variable Independiente: Es la variable que sirve para predecir o explicar. Se representa por đ?‘Ľ. Luego con esto se busca un patrĂłn que se parezca a una de las grĂĄficas de los tipos de funciones polinomiales que hay, por lo que a continuaciĂłn se presenta un Procedimiento que se considera y que la mayorĂ­a de las veces funciona para determinar modelos matemĂĄticos para este mĂŠtodo de regresiĂłn a travĂŠs de un conjunto de datos dado se debe:

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1. Representar grĂĄficamente los datos (en la forma de Diagrama de DispersiĂłn). 2. Observar el diagrama de dispersiĂłn para determinar si parece ajustarse a una funciĂłn conocida. 3. Determinar una funciĂłn que ajuste los datos utilizando los datos de los puntos para derivar las constantes o coeficientes a encontrar. Ahora con esto se va a sutilizar el grupo de funciones polinomiales para observar cuĂĄl funciĂłn, si existe, podrĂ­a ajustarse a ciertos datos: â—? Si los datos podrĂ­an modelarse mediante una funciĂłn polinomial lineal si la grĂĄfica parece una lĂ­nea recta. â—? Si los datos podrĂ­an modelarse mediante una funciĂłn polinomial cuadrĂĄtica, si la grĂĄfica sube y luego baja, o baja y luego sube, en una forma encorvada que se parezca a una parĂĄbola. â—? Si los datos caen, luego aumentan, y vuelven a caer (de modo que no se ajustan a una funciĂłn polinomial lineal o una funciĂłn polinomial cuadrĂĄtica), pero podrĂ­an ajustarse a una funciĂłn polinomial de mayor a 3, es decir a una funciĂłn polinomial cĂşbica, una funciĂłn polinomial cuartica o una funciĂłn polinomial de grado đ?’Ž con đ?’Ž ≼ đ?&#x;‘. 3.2. DefiniciĂłn del MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados. (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Gerald, (2000)). Es una tĂŠcnica de anĂĄlisis numĂŠrico enmarcada dentro de la optimizaciĂłn matemĂĄtica, en la que, dados un conjunto de pares ordenados incluyen una variable independiente, variable dependiente que se busca encontrar la funciĂłn continua, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mĂ­nimo error cuadrĂĄtico, por lo que esto coincide con el principio de mĂĄxima probabilidad de la estadĂ­stica. Entonces decimos que, desde un punto de vista estadĂ­stico, un requisito implĂ­cito para que funcione el mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados es que los errores de cada medida estĂŠn distribuidos de forma aleatoria para determinar el mejor ajuste de una funciĂłn polinomial a travĂŠs de la consideraciĂłn de utilizar como mĂ­nimo cuatro puntos. 3.3. Procedimiento del MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados. (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ??’đ??žđ??Ťđ??˘đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: MarĂ­n Salguero, R. (2013)) Supongamos que se conocen datos que consta de đ?‘› puntos siguientes que se definen como: (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) y que el objetivo es hallar una funciĂłn polinomial đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) que se ajuste razonablemente a los datos, por lo que el primer

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pasĂł es decidir quĂŠ tipo de funciĂłn probar a travĂŠs de la inspecciĂłn grĂĄfica de los đ?‘› puntos, por lo que se detalla esto a travĂŠs de la siguiente grĂĄfica:

đ??†đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š đ??ˆ. . : RelaciĂłn que determina un Ăłptimo ajuste para encontrar una funciĂłn polinomial đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Chapra (2011) Pero para que no se cometan incertidumbres en su elecciĂłn se considera una Ăłptima decisiĂłn en este mĂŠtodo a travĂŠs del mĂ­nimo valor en su coeficiente de determinaciĂłn đ?‘… 2 que define su procedimiento a efectuar en este anĂĄlisis que represente el comportamiento general de los datos de la siguiente manera: đ?‘›

đ?‘… = ∑[đ?‘Śđ?‘˜ − đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› )]2 2

đ?‘˜=1

Aunque esta propuesta no pase por todos y cada uno de los puntos en cuestiĂłn, represente el comportamiento de los datos. 3.4. Consideraciones de la ClasificaciĂłn de Modelos en las Funciones Polinomiales en el MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados. (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ??’đ??žđ??Ťđ??˘đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: MarĂ­n Salguero, R. (2014)) El caso mĂĄs usado en la prĂĄctica es poder ajustar funciones polinomiales, ya que en este caso los parĂĄmetros serĂĄn funciones de cualquier tipo que son fĂĄciles de estimar. El modelo a ajustar estarĂĄ basado en su generalizaciĂłn del ajuste polinomial de grado đ?‘š que estĂĄ dado por: đ?‘“(đ?‘Ľ; đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š ) = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š đ?‘Ľ đ?‘š (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Mathews. (2000)) Por medio de esta consideraciĂłn se aproxima ahora a un conjunto de datos {(đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Śđ?‘– )}đ?‘š con una funciĂłn polinomial algebraica de grado đ?‘› < đ?‘š − 1 mediante el đ?‘–=1 procedimiento de mĂ­nimos cuadrados, por lo que sea definido el polinomio como:

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đ?‘›

đ?‘“đ?‘› (đ?‘Ľđ?‘– ) =

đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľđ?‘–đ?‘›

+

đ?‘—

đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľđ?‘–đ?‘›âˆ’1

+ â‹Ż + đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– + đ?‘Ž0 = ∑ đ?‘Žđ?‘— đ?‘Ľđ?‘– đ?‘—=0

Para disminuir al mínimo el error de mínimos cuadrados, es necesario seleccionar las constantes �0 , �1 , ‌ , �� de tal manera que las parciales con respecto a cada una de ellas sean cero y así para cada �: �

đ?‘š

đ?‘… 2 = ∑[đ?‘Śđ?‘– − đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– )]2 = đ?‘–=1

đ?‘›

∑ đ?‘Śđ?‘–2 đ?‘–=1

−

đ?‘š

đ?‘›

đ?‘— 2 ∑ đ?‘Žđ?‘— (∑ đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– ) đ?‘—=0 đ?‘–=1

đ?‘›

đ?‘š đ?‘—+đ?‘˜

+ ∑ ∑ đ?‘Žđ?‘— đ?‘Žđ?‘˜ (∑ đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘š

đ?‘š

đ?‘š

đ?‘–=1

đ?‘˜=0

đ?‘–=1

đ?‘—=0 đ?‘˜=0

)

đ?‘–=1

đ?œ•đ?‘… 2 đ?‘— đ?‘—+đ?‘˜ = −2 ∑ đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– + 2 ∑ đ?‘Žđ?‘˜ ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?œ•đ?‘Žđ?‘— Esto nos da đ?‘› + 1 ecuaciones normales en las đ?‘› + 1 incĂłgnitas đ?‘Žđ?‘— por lo que decimos que: đ?‘›

đ?‘š

đ?‘š

đ?‘—+đ?‘˜ ∑ đ?‘Žđ?‘˜ ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘˜=0 đ?‘–=1

đ?‘—

= ∑ đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1

Para cada � = 0,1, ‌ , � y por lo que conviene escribir las ecuaciones como sigue: �

đ?‘š

đ?‘š

đ?‘š

đ?‘Ž0 (∑ đ?‘Ľđ?‘–0 ) đ?‘–=1 đ?‘š

đ?‘Ž1 (∑ đ?‘Ľđ?‘–1 ) đ?‘–=1 đ?‘š

đ?‘Ž2 (∑ đ?‘Ľđ?‘–2 ) đ?‘–=1 đ?‘š

đ?‘Žđ?‘› (∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘› ) đ?‘–=1 đ?‘š

+

+

+ â‹Ż+

đ?‘š

= ∑ đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–0 đ?‘–=1 đ?‘š

đ?‘Ž0 (∑ đ?‘Ľđ?‘– ) + đ?‘Ž1 (∑ đ?‘Ľđ?‘–2 ) + đ?‘Ž2 (∑ đ?‘Ľđ?‘–3 ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› (∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘›+1 ) = ∑ đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–1 đ?‘–=1 đ?‘š

đ?‘–=1 đ?‘š

đ?‘–=1 đ?‘š

đ?‘–=1

â‹Ž

đ?‘–=1 đ?‘š

đ?‘š

đ?‘Ž0 (∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘› ) + đ?‘Ž1 (∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘›+1 ) + đ?‘Ž2 (∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘›+2 ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› (∑ đ?‘Ľđ?‘–2đ?‘› ) = ∑ đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–đ?‘› đ?‘–=1

đ?‘–=1

đ?‘–=1

đ?‘–=1

đ?‘–=1

Por lo que estas ecuaciones normales tienen soluciĂłn Ăşnica siempre y cuando las đ?‘Ľđ?‘– sean distintas y en tal caso, la funciĂłn apropiada de mĂ­nimos cuadrados (probablemente un polinomio de grado đ?‘›) puede deducirse con los valores de la funciĂłn deducida reemplazando los datos cuando la medida de bondad de ajuste de đ?‘… 2 sea suficientemente pequeĂąa, a esto se le denomina “suavizamiento de datos.â€? y su aplicaciĂłn de esto es en encontrar estos parĂĄmetros: đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› a travĂŠs de la resoluciĂłn de sistemas de ecuaciones normales. Entonces supongamos que queremos ajustar nuestra pareja de datos a travĂŠs de este modelo de la funciĂłn polinomial generalizada en cuestiĂłn de la suma de los errores al cuadrado đ?‘… 2 que estĂĄ dada por:

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đ?‘ 2

đ?‘… = ∑[đ?‘Śđ?‘˜ − (đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š đ?‘Ľ đ?‘š )]2 đ?‘˜=1

En este caso polinomial se puede construir el sistema de ecuaciones respectivo para encontrar el valor de estos parĂĄmetros đ?‘Ž0 , đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š . Este sistema de ecuaciones lineales se conoce como las ecuaciones normales y estĂĄn dadas por: đ?‘

đ?‘

đ?‘

đ?‘Ž0 đ?‘ + đ?‘Ž1 (∑ đ?‘Ľđ?‘– ) + â‹Ż +

đ?‘Žđ?‘š (∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š ) đ?‘–=1 đ?‘

= ∑ đ?‘Śđ?‘–

đ?‘–=1 đ?‘

đ?‘

đ?‘Ž0 (∑ đ?‘Ľđ?‘– ) + đ?‘–=1

đ?‘Ž1 (∑ đ?‘Ľđ?‘–2 ) đ?‘–=1

+â‹Ż+

đ?‘–=1

đ?‘Žđ?‘š (∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š+1 ) đ?‘–=1

đ?‘

= ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1

â‹Ž đ?‘

đ?‘

đ?‘Ž0 (∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š ) đ?‘–=1

+

đ?‘Ž1 (∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š+1 ) đ?‘–=1

đ?‘

+ â‹Ż+

đ?‘Žđ?‘š (∑ đ?‘Ľđ?‘–2đ?‘š ) đ?‘–=1

đ?‘

= ∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1

Pero, sin embargo, para hallar la funciĂłn de mejor ajuste, determinaremos los valores o coeficientes respectivamente en cada caso de los tipos de funciones para đ?‘Ž0 , đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š donde đ?‘š ≼ 0. Por lo que se considera este sistema de ecuaciones escribirlos en tĂŠrminos Ě‚ = đ?’š por lo que esto queda como las Ecuaciones matriciales de la forma đ?‘żđ?’‚ normales del ajuste polinomial de grado đ?’Ž que se definen en este caso como: ÎŁđ?‘Ľđ?‘– â‹Ż ÎŁđ?‘Ľđ?‘–đ?‘š đ?‘Ž0 ÎŁđ?‘Śđ?‘– đ?‘ 2 đ?‘š+1 ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– â‹Ż ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ž1 ÎŁđ?‘Ľ đ?‘Ś [ â‹Ž ]=[ đ?‘– đ?‘–] â‹ą â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž đ?‘š đ?‘š đ?‘š+1 â‹Ż 2đ?‘š ÎŁđ?‘Ľ đ?‘Ž ÎŁđ?‘Ľ ÎŁđ?‘Ľ đ?‘š đ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– [ ] đ?‘– đ?‘Śđ?‘– đ?‘– Para encontrar la soluciĂłn matricial tenemos que multiplicar la ecuaciĂłn matricial Ě‚ = đ?’š y despuĂŠs podemos calcular su inversa (se multiplicĂł por la matriz đ?‘żđ?’‚ transpuesta para que quede una matriz cuadrada) −đ?&#x;?

Ě‚ = đ?‘żđ?‘ť đ?’š →∴ đ?’‚ Ě‚ = (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?‘żđ?‘ť đ?’š đ?‘żđ?‘ť đ?‘żđ?’‚ Este sistema de ecuaciones lineales simultĂĄneas se puede resolver fĂĄcilmente usando la famosa regla de Cramer (para polinomios lineales y cuadrĂĄticos) y el mĂŠtodo de eliminaciĂłn Gaussiana (para polinomios al menos tercer grado). Los coeficientes de la matriz los podemos encontrar si acomodamos los datos en una tabla I: de datos generalizado a un ajuste polinomial de grado đ?’Ž construida de la siguiente manera:

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đ?’™ â‹Ż đ?’š đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;?đ?’Ž 3 2đ?‘š 2 đ?‘Ľ1 â‹Ż đ?‘Ś1 đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1 3 2đ?‘š 2 đ?‘Ľ2 â‹Ż đ?‘Ś2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 â‹Ż đ?‘Ś3 đ?‘Ľ32 đ?‘Ľ33 đ?‘Ľ32đ?‘š â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž 3 2đ?‘š 2 đ?‘Ľđ?‘ â‹Ż đ?‘Śđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ 3 2đ?‘š 2 ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– â‹Ż ÎŁđ?‘Śđ?‘– Por lo que a continuaciĂłn se mostrarĂĄn los casos lineales, cuadrĂĄticos, cĂşbicos y cuarticos. đ?’Œ 1 2 3 â‹Ž đ?‘

đ?’™đ?’š đ?’™đ?&#x;? đ?’š đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ12 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ22 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 đ?‘Ľ32 đ?‘Ś3 â‹Ž â‹Ž 2 đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘ ÎŁđ?‘Ľđ?‘–2 đ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– de las funciones

đ?’™đ?’Ž đ?’š đ?‘Ľ1đ?‘š đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2đ?‘š đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3đ?‘š đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘š â‹Ż đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘ â‹Ż ÎŁđ?‘Ľđ?‘–đ?‘š đ?‘Śđ?‘– polinomiales â‹Ż â‹Ż â‹Ż â‹Ż

3.4.1. Ajuste de la funciĂłn polinomial lineal đ?’š = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ Recordemos que una aproximaciĂłn por mĂ­nimos cuadrados consiste en ajustar a una lĂ­nea recta un conjunto de datos discretos de la forma: (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ ) Por lo que se inicia en considerar una ecuaciĂłn de una lĂ­nea recta a la cual se relaciona al comportamiento de los datos y el modelo propuesto de esta forma se tiene: đ?‘Ś = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ dĂłnde: đ?‘Ž0 =es la ordenada al origen y đ?‘Ž1 =es la pendiente. Al aplicar el criterio de que el “mejorâ€? ajuste se cumple cuando se puede minimizar la suma de los cuadrados de los residuos đ?‘šđ?&#x;? , es decir el error entre el modelo y los datos experimentales, se tiene que: đ?‘›

đ?‘… = ∑(đ?‘Ś1 − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– )2 2

đ?‘–=1

Este criterio tiene la ventaja de proporcionar una lĂ­nea Ăşnica para un conjunto de datos. Para determinar los valores de đ?‘Ž0 y đ?‘Ž1 que minimizan la ecuaciĂłn se deriva la ecuaciĂłn con respecto a cada uno de los coeficientes đ?œ•đ?‘… 2 = −2 ∑(đ?‘Śđ?‘– − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– ) = 0 đ?œ•đ?‘Ž0 đ?œ•đ?‘… 2 = −2 ∑[(đ?‘Ś1 − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– )đ?‘Ľđ?‘– ] = 0 đ?œ•đ?‘Ž1 Al igualar ambas derivadas a cero, se genera un mĂ­nimo para la suma de los cuadrados de los residuos đ?‘šđ?&#x;? de la siguiente forma: −2 ∑(đ?‘Śđ?‘– − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– ) = 0 = ∑ đ?‘Śđ?‘– − ∑ đ?‘Ž0 − ∑ đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– ‌ (đ?‘–) −2 ∑[(đ?‘Ś1 − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– )đ?‘Ľđ?‘– ] = 0 = ∑ đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– − ∑ đ?‘Ž0 đ?‘Ľđ?‘– − ∑ đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘–2 ‌ (đ?‘–đ?‘–)

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De la ecuaciĂłn ‌ (đ?‘–) se obtiene ∑ đ?‘Śđ?‘– = đ?‘›đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 ∑ đ?‘Ľđ?‘– ‌ (đ?‘–đ?‘–đ?‘–) De la ecuaciĂłn ‌ (đ?‘–đ?‘–) se obtiene ∑ đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘Ž0 ∑ đ?‘Ľđ?‘– + đ?‘Ž1 ∑(đ?‘Ľđ?‘– )2 ‌ . (đ?‘–đ?‘Ł) Al resolver en forma simultĂĄnea las ecuaciones ‌ (đ?‘–đ?‘–đ?‘–) y ‌ (đ?‘–đ?‘Ł) se obtiene los valores de đ?‘Ž0 y đ?‘Ž1 mediante las siguientes ecuaciones: đ?‘Ž1 =

∑ đ?‘Śđ?‘– ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘› ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– − ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ś1 (đ?‘Ł), ‌ đ?‘Ž = − đ?‘Ž ( ) ‌ (đ?‘Łđ?‘–) đ?‘œ 1 đ?‘› đ?‘› đ?‘› ∑ đ?‘Ľđ?‘–2 − (∑ đ?‘Ľđ?‘– )2

Por lo que construyendo la tabla II: de datos para un ajuste lineal fundamental para este caso queda de la forma: đ?’Œ 1 2 3 â‹Ž đ?‘

đ?’™đ?&#x;? đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22 đ?‘Ľ32 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

đ?’™ đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

đ?’š đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Śđ?‘

đ?’™đ?’š đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

Suma por columna

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–2 ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– Las ecuaciones normales matriciales para el caso del ajuste lineal estĂĄn dadas por: [

đ?‘

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–

ÎŁđ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ž0 2 ] [đ?‘Ž1 ] = [ÎŁđ?‘Ľ đ?‘Ś ] ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘– đ?‘–

Y este sistema de ecuaciones se puede resolver con los mĂŠtodos habituales (suma y resta, Cramer, sustituciĂłn, etc.). 3.4.2. Ajuste de la funciĂłn polinomial cuadrĂĄtico đ?’š = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? : Por lo que construyendo la tabla III: de datos para un ajuste polinomial cuadrĂĄtico o parabĂłlico fundamental para este caso queda de la forma: đ?’Œ 1 2 3 â‹Ž đ?‘ Suma por columna

đ?’™ đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

đ?’™đ?&#x;? đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22 đ?‘Ľ32 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

đ?’™đ?&#x;‘ đ?‘Ľ13 đ?‘Ľ23 đ?‘Ľ33 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 3

đ?’™đ?&#x;’ đ?‘Ľ14 đ?‘Ľ24 đ?‘Ľ34 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 4

đ?’š đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Śđ?‘

đ?’™đ?’š đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

đ?’™đ?&#x;? đ?’š đ?‘Ľ12 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ22 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ32 đ?‘Ś3 â‹Ž 2 đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–2

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–3

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–4

ÎŁđ?‘Śđ?‘–

ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–2 đ?‘Śđ?‘–

10

Las ecuaciones normales para el caso del ajuste polinomial cuadrĂĄtico estĂĄn dadas por: đ?‘ [ ÎŁđ?‘Ľđ?‘–

ÎŁđ?‘Ľ2đ?‘–

ÎŁđ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľ2đ?‘– đ?‘Ž0 3 ] [đ?‘Ž ] = [ ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ś ] 2 ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– 1 đ?‘– 2 3 4 đ?‘Ž2 ÎŁđ?‘Ľ đ?‘Ś ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘– đ?‘–

Y este sistema de ecuaciones se puede resolver con los mĂŠtodos de Cramer de 3 variables con 3 incĂłgnitas. 3.4.3. Ajuste de la funciĂłn polinomial cĂşbico: đ?’š = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ +đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;‘ : Por lo que construyendo la tabla IV: de datos para un ajuste polinomial cĂşbico fundamental para este caso estĂĄ dado por: đ?’Œ 1 2 3 â‹Ž đ?‘

đ?’™đ?&#x;? đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22 đ?‘Ľ32 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

đ?’™ đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

đ?’™đ?&#x;’ đ?‘Ľ14 đ?‘Ľ24 đ?‘Ľ34 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 4

đ?’™đ?&#x;‘ đ?‘Ľ13 đ?‘Ľ23 đ?‘Ľ33 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 3

đ?’™đ?&#x;“ đ?‘Ľ15 đ?‘Ľ25 đ?‘Ľ35 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 5

đ?’™đ?&#x;” đ?‘Ľ16 đ?‘Ľ26 đ?‘Ľ36 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 6

đ?’š đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Śđ?‘

đ?’™đ?’š đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

đ?’™đ?&#x;? đ?’š đ?‘Ľ12 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ22 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ32 đ?‘Ś3 â‹Ž 2 đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

Suma por columna

đ?’™đ?&#x;‘ đ?’š đ?‘Ľ13 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ23 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ33 đ?‘Ś3 â‹Ž 3 đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–2 ÎŁđ?‘Ľđ?‘–6 ÎŁđ?‘Ľđ?‘–3 ÎŁđ?‘Ľđ?‘–4 ÎŁđ?‘Ľđ?‘–5 ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘–2 đ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘–3 đ?‘Śđ?‘– Las ecuaciones normales matriciales para el caso del ajuste cĂşbico estĂĄn dadas por el siguiente sistema de 4 variables y 4 ecuaciones: 3 2 đ?‘ ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘–

đ?‘Ž0

ÎŁđ?‘Śđ?‘–

ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľ2đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ3 ÎŁđ?‘Ľ4 đ?‘Ž1 ÎŁxi đ?‘Śđ?‘– đ?‘– đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ2đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ3đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ4 ÎŁđ?‘Ľ5 [đ?‘Ž2 ] = ÎŁđ?‘Ľđ?‘–2 đ?‘Śđ?‘– đ?‘– đ?‘– 3 4 5 6 đ?‘Ž3 ÎŁđ?‘Ľ [ÎŁđ?‘Ľđ?‘–3 đ?‘Śđ?‘– ] đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ [ đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ ÎŁđ?‘Ľ ] đ?‘–

đ?‘–

Y en este caso es necesario recurrir al software de la computadora para poder resolver “de manera sencillaâ€? este sistema de ecuaciones. 3.4.4. Ajuste de la funciĂłn polinomial de cuarto grado: đ?’š = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ +đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’‚đ?&#x;’ đ?’™đ?&#x;’ : La construcciĂłn de la tabla V: de datos para un ajuste polinomial cuartico fundamental para este caso estĂĄ dado por: đ?’Œ 1 2 3 â‹Ž đ?‘ Suma por columna

đ?’™ đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

đ?’™đ?&#x;? đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22 đ?‘Ľ32 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

đ?’™đ?&#x;‘ đ?‘Ľ13 đ?‘Ľ23 đ?‘Ľ33 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 3

đ?’™đ?&#x;’ đ?‘Ľ14 đ?‘Ľ24 đ?‘Ľ34 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 4

đ?’™đ?&#x;“ đ?‘Ľ15 đ?‘Ľ25 đ?‘Ľ35 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 5

đ?’™đ?&#x;” đ?‘Ľ16 đ?‘Ľ26 đ?‘Ľ36 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 6

đ?’™đ?&#x;• đ?‘Ľ17 đ?‘Ľ27 đ?‘Ľ37 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 7

đ?’™đ?&#x;– đ?‘Ľ18 đ?‘Ľ28 đ?‘Ľ38 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 8

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–2

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–3

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–4

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–5

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–6

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–2

ÎŁđ?‘Ľđ?‘–8

Y por:

11

đ?’š đ?’™đ?’š đ?’™đ?&#x;’ đ?’š đ?’™đ?&#x;? đ?’š đ?’™đ?&#x;‘ đ?’š đ?‘Ś1 đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ14 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ12 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ13 đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ24 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ22 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ23 đ?‘Ś2 2 3 đ?‘Ś3 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 đ?‘Ľ34 đ?‘Ś3 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž 3 2 4 đ?‘Śđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘ 2 ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘–3 đ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘–4 đ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– Y las ecuaciones matriciales normales en este caso del ajuste funciĂłn polinomial cuartico estĂĄn dadas por el siguiente sistema de 5 variables y 5 ecuaciones: đ?‘

ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľ2đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ3đ?‘– 4 [ÎŁđ?‘Ľđ?‘–

ÎŁđ?‘Ľđ?‘– ÎŁđ?‘Ľ2đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ3đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ4đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ5đ?‘–

ÎŁđ?‘Ľ2đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ3đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ4đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ5đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ6đ?‘–

ÎŁđ?‘Ľ3đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ4đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ5đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ6đ?‘– ÎŁđ?‘Ľ7đ?‘–

ÎŁđ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľ4đ?‘– đ?‘Ž0 ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľ5đ?‘– đ?‘Ž1 2 ÎŁđ?‘Ľ6đ?‘– đ?‘Ž2 = ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ž3 ÎŁđ?‘Ľ3đ?‘– đ?‘Śđ?‘– ÎŁđ?‘Ľ7đ?‘– [đ?‘Ž4 ] 4 ÎŁđ?‘Ľ8đ?‘– ] [ÎŁđ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ]

Y en este caso es necesario recurrir al software de la computadora para poder resolver “de manera sencillaâ€? este sistema de ecuaciones. 3.5. Los residuales que define al MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados. (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Smith. (1988)) En el caso prĂĄctico no es posible encontrar esta funciĂłn polinomial đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) y que satisfaga exactamente todas las relaciones: đ?‘Ś1 = đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) đ?‘Ś2 = đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) â‹Ž đ?‘Śđ?‘› = đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› )

Por lo general, uno estĂĄ dispuesto a aceptar un "residual" (y este residual dependerĂĄ de cada observaciĂłn) que se define de la manera siguiente: đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ ) = đ?‘Śđ?‘˜ + đ?‘’đ?‘˜ Donde đ?‘’đ?‘˜ es el residual que define la mediciĂłn observada en el dato. La pregunta que uno se hace es ÂżcĂłmo poder encontrar "la mejor aproximaciĂłn" que pase de los puntos? Para responder esta pregunta, hay que considerar los residuales (tambiĂŠn llamado como las desviaciones) y estĂĄn dados como la diferencia del valor estimado por el modelo đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ ) menos el valor observado đ?‘Śđ?‘˜ , es decir: Residuales de MediciĂłn

12

đ?‘’đ?‘˜ = đ?‘“ (đ?‘Ľđ?‘˜ ) − đ?‘Śđ?‘˜ para 1 ≤ đ?‘˜ ≤ đ?‘› đ?‘…đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘‘đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ = đ?‘‰đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ??¸đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ − đ?‘‰đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‚đ?‘?đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ Esta diferencia tambiĂŠn suele denotarse por đ?‘’đ?‘– y con esto se podrĂĄ determinar el “residual de estimaciĂłnâ€? que permite fijar lĂ­mites dentro de los cuales estarĂĄ el valor real con cierto grado de confiabilidad entre los datos verdaderos u observados de đ?‘Śđ?‘– y los datos estimados o evaluados de đ?‘ŚĚ‚đ?‘– , es decir: đ?‘’đ?‘– = đ?‘Śđ?‘– − đ?‘ŚĚ‚đ?‘– →∴ đ?‘’đ?‘– = đ?‘Śđ?‘– − đ?‘“Ě‚(đ?‘Ľđ?‘– ) (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Quintana. (2005)) Esta ecuaciĂłn debe satisfacer la condiciĂłn de minimizar la suma de las residuales (đ?‘’đ?‘– ) del comportamiento de cada par de datos discretos, con respecto al modelo propuesto, elevadas al cuadrado, es decir: đ?‘› 2 2 2 ∑ đ?‘’đ?‘–2 = ∑[đ?‘Śđ?‘– − đ?‘“Ě‚(đ?‘Ľđ?‘– )] = ∑(đ?‘Śđ?‘– − đ?‘ŚĚ‚) →∴ ∑(đ?‘Śđ?‘–,đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž − đ?‘ŚĚ‚đ?‘–,đ?‘šđ?‘œđ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘œ ) đ?‘– đ?‘–=1

Que esto grĂĄficamente se representa de la siguiente manera:

đ??†đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š đ??ˆđ??ˆ âˆś El residual de mediciĂłn se compara con los valores observados y con los valores estimados đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ??’đ??žđ??Ťđ??˘đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: MarĂ­n Salguero, R. (2013)

(đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Montes de Oca, F. (2002)) Este anĂĄlisis se describe para las predicciones generacionales a travĂŠs del cĂĄlculo del residual; que este sea lo mĂĄs exacto posible, es decir un valor mĂ­nimo para encontrar el mejor ajuste para los datos presentados e inferir quĂŠ acciones se debe llevar a cabo para cada situaciĂłn respectiva en la modalidad del estudio a efectuar. La validez de la aplicaciĂłn del mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados para el ajuste de funciones descansa sobre tres suposiciones sobre los residuales que son la: 1.-Independencia: requiere que los residuales sean independientes unos de otros.

13

2.-Normalidad: requiere que los residuales se distribuyen normalmente en cada valor de la variable independiente. 3.-Homocedasticidad: requiere que la varianza de los residuales sea constante; es decir requiere que tengan igual varianza. 3.6. El pronĂłstico de los intervalos de predicciĂłn. (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Monahan. (2008)) Considerando que el caso que estamos manejando es el del ajuste de la funciĂłn polinomial, se asume que tenemos đ?‘ parejas de nĂşmeros (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) hasta (đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ ) por lo que se desea ajustar el mejor polinomio de grado đ?‘› dado por: đ?‘Ś = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘› (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Figueroa GarcĂ­a, E. (2014)) Por lo que entonces definiremos los probables intervalos de predicciĂłn al 95% de probabilidad del porcentaje de la deserciĂłn estudiantil para cada plantel a considerar con su generaciĂłn en đ?‘? es decir para el porcentaje %: que estĂĄ dada por dos casos siguientes: Caso I. CuĂĄndo el ajuste polinomial es lineal: đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ )

Ě‚ − đ?‘ ) Âą (đ?‘Ą0.95 đ?‘Śđ?‘? = (đ?‘żđ?’‘ đ?’‚

−đ?&#x;?

Ě‚ ) (đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?) đ?œŽ

Expresando de manera alternativa respecto al orden de la bivalencia Âą el intervalo de predicciĂłn es expresado como: đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ )

Ě‚ − đ?‘ ) − (đ?‘Ą0.95 (đ?‘żđ?’‘ đ?’‚

đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ )

Ě‚ − đ?‘ ) + (đ?‘Ą0.95 đ?œŽĚ‚)(đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?) ≤ đ?‘Śđ?‘? ≤ (đ?‘żđ?’‘ đ?’‚

đ?œŽĚ‚)(đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?)

Caso II. CuĂĄndo el ajuste polinomial es cuadrĂĄtico, cĂşbico o cuartico: đ?‘›

đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ ) Ě‚ ) (đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?) Ě‚ − đ?‘ ) Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Śđ?‘? = (đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ đ?œŽ

Expresando de manera alternativa respecto al orden de la bivalencia Âą el intervalo de predicciĂłn es expresado como: đ?‘›

đ?‘›

đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ ) đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ ) Ě‚ − đ?‘ ) − √(đ?‘Ą0.95 Ě‚ − đ?‘ ) + √(đ?‘Ą0.95 (đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ đ?œŽĚ‚)(đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?) ≤ đ?‘Śđ?‘? ≤ (đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ đ?œŽĚ‚)(đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?)

DĂłnde: đ?‘Śđ?‘? = A la variable definida en la generaciĂłn del porcentaje de deserciĂłn a predecir

14

đ?‘żđ?’‘ = A la matriz de pronĂłstico para đ?‘? datos generacionales a predecir đ?‘Ľđ?‘? , que estĂĄ dado por: đ?‘Ľđ?‘?2

đ?‘żđ?’‘ = [1 đ?‘Ľđ?‘?

‌ đ?‘Ľđ?‘?đ?‘› ]

Considerando que: đ?‘? = A la generaciĂłn a predecir. đ?‘› = Al grado del polinomio obtenido en el ajuste. đ?‘ =Al nĂşmero de datos (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Monahan. (2008)) Ě‚ = Al mejor estimador de los parĂĄmetros (son los coeficientes de la funciĂłn đ?’‚ polinomial obtenida) que estĂĄ dado por: đ?’‚đ?&#x;Ž đ?’‚đ?&#x;? Ě‚ = (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ť đ?’š →∴ đ?’‚ Ě‚=[ â‹Ž ] đ?’‚ đ?’‚đ?’? (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Infante, ZĂĄrate. (2012)) đ?‘?−đ?‘›

đ?‘Ą0.975 =Al cuartil de una đ?‘Ą de Student con đ?‘? − đ?‘› = đ?‘Ł grados de libertad, que este se

define a travĂŠs de la siguiente instrucciĂłn de sintaxis en el wĂłlfram alpha: Student´s t distribution degrees of freedom v (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Monahan. (2008)) đ?‘ż = A la matriz de diseĂąo que define a la tabla del ajuste polinomial ocupado, es decir esto se expresa de manera generalizada como: 1 đ?‘Ľ1 1 đ?‘Ľ2 â‹Ž đ?‘‹= â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž [ 1 đ?‘Ľđ?‘

đ?‘Ľ12 â‹Ż đ?‘Ľ1đ?‘› đ?‘Ľ22 â‹Ż đ?‘Ľ2đ?‘› â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹Ž â‹ą â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2 â‹Ż đ?‘Ľđ?‘ đ?‘› ]

(đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Figueroa GarcĂ­a, E. (2014)) đ?œŽĚ‚ = A un estimador de la desviaciĂłn estĂĄndar de la varianza que estĂĄ dada por:

15

∑ đ?‘’đ?‘ 2 (đ?‘’ − đ?‘– đ?‘†đ?‘…đ??ś đ?‘ ) √ √ đ?œŽĚ‚ = = ∑ đ?‘ −1 đ?‘ −1 đ?‘

đ?‘–=1

Tomando en cuenta que: đ?‘†đ?‘…đ??ś = A la suma de los residuales al cuadrado đ?‘’đ?‘– = Al residual que se obtiene como: đ?‘’đ?‘– = đ?‘Śđ?‘– − đ?‘ŚĚ‚đ?‘– donde se define aquĂ­ a: đ?‘Śđ?‘– = Al porcentaje de la deserciĂłn estudiantil por generaciĂłn y a đ?‘ŚĚ‚đ?‘– = A la evaluaciĂłn de la generaciĂłn respectiva en el polinomio obtenido en el ajuste. (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: Infante, ZĂĄrate. (2012)) Donde se asume que la hipĂłtesis de que el valor esperado de los residuales sea cero y tambiĂŠn que la varianza de los errores sea constante, es decir: đ??¸[đ?‘’đ?‘˜ ] = 0 para đ?‘˜ = 1,2, ‌ , đ?‘› đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x;[đ?‘’đ?‘˜ ] = đ?œŽĚ‚ para đ?‘˜ = 1,2, ‌ , đ?‘› 4. MetodologĂ­a y Resultados. 4.1 Cronograma de PlaneaciĂłn de este proyecto. Cuya planeaciĂłn de este proyecto se ejecutĂł en las siguientes fechas: NĂşmero de actividad Fecha de inicio y tĂŠrmino

đ?&#x;? 11 al 30 de enero del 2016

Nombre de la actividad a realizar

BĂşsqueda y discriminaciĂłn de la informaciĂłn de los datos

đ?&#x;? 1 de febrero al 31 de marzo del 2016 El ajuste de funciones para el plantel de GAM.I. del IEMS-DF

3 1 al 16 de abril del 2016 El pronĂłstico de la deserciĂłn por intervalos y conclusiones

4 17 de abril al 31 de mayo del 2016 RedacciĂłn del Proyecto Terminal

4.2. Recursos de las Herramientas que se ocuparon en este proyecto En este caso fue necesario recurrir al ordenador para poder resolver "de manera sencilla" este proyecto planteado, por lo que se utilizĂł los sistemas algebraicos especializados en cĂłmputo cientĂ­fico que son: â—? WĂłlfram Alpha desde: http://www.wolframalpha.com/ â—? Matrixcalc versiĂłn slu. desde: https://matrixcalc.org/es/slu.html â—? AdemĂĄs de la hoja de cĂĄlculo de Microsoft Excel 2010 del sistema operativo Windows 7.

16

4.3. Las nociones que se ocuparon en este proyecto Es de especial importancia considerarlo a razĂłn de que se plantea modelos para dar respuesta a ciertas cuestiones fundamentales: (đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž đ?? đ??˘đ??›đ??Ľđ??˘đ??¨đ?? đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š: ValdĂŠs Prada, F. (2014)) 1). A partir del conocimiento (o concepciĂłn) que se tenga del fenĂłmeno de la deserciĂłn estudiantil en un plantel en especĂ­fico del IEMS-DF, identificar los atributos que lo caracterizan su estudio a travĂŠs de las generaciones escolares y determinar cuĂĄles de ellos se van incorporar en el modelo, en este caso se tomarĂĄ la relaciĂłn del ingreso-egreso de cada generaciĂłn en el plantel I de la delegaciĂłn Gustavo A. Madero a travĂŠs de los datos registrados en el Sistema de InformaciĂłn Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) de esta dependencia paraestatal del IEMS-DF, por lo que con esta consideraciĂłn se efectĂşa la siguiente tabla en Excel de la siguiente manera: đ??„đ??§đ??­đ??˘đ???đ??šđ??? đ??…đ??žđ???đ??žđ??Ťđ??šđ??­đ??˘đ??Żđ??š: Ciudad de Mèxico đ??ƒđ??žđ??Šđ??žđ??§đ???đ??žđ??§đ??œđ??˘đ??š: IEMS − DF.

đ??’đ??žđ??œđ??­đ??¨đ??Ť đ??†đ??Žđ??›đ??žđ??Ťđ??§đ??šđ??Śđ??žđ??§đ??­đ??šđ??Ľ: PĂšblico − Parestatal đ??ƒđ??žđ??Ľđ??žđ?? đ??šđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ???đ??¨đ??ĽĂ­đ??­đ??˘đ??œđ??š: Gustavo A. Madero

đ??‹đ??¨đ??œđ??šđ??Ľđ??˘đ???đ??šđ???: Loma de la Palma đ???đ??Ľđ??šđ??§đ??­đ??žđ??Ľ: I: Belisario DomĂŹnguez

GeneraciĂłn Ingreso Egreso % Porcentaje de egreso

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;? 155 40 25.81

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;? 258 59 22.87

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž3 148 45 30.41

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž4 358 124 34.64

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž5 351 110 31.34

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž6 357 128 35.85

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž7 349 115 32.95

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž8 362 114 31.49

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž9 362 114 31.49

đ?&#x;?đ?&#x;Ž10 360 91 25.28

đ?&#x;?đ?&#x;Ž11 358 91 25.42

đ?&#x;?đ?&#x;Ž12 363 Âż? Âż?

đ?&#x;?đ?&#x;Ž1đ?&#x;‘ 346 Âż? Âż?

đ?&#x;?đ?&#x;Ž1đ?&#x;’ 358 Âż? Âż?

đ?&#x;?đ?&#x;Ž1đ?&#x;“ 453 Âż? Âż?

Total đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;”%

DeserciĂłn % Porcentaje de deserciĂłn

115 74.19

199 77.13

103 69.59

234 65.36

241 68.66

229 64.15

234 67.05

248 68.51

248 68.51

269 74.72

267 74.58

Âż? Âż?

Âż? Âż?

Âż? Âż?

Âż? Âż?

đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;• đ?&#x;”đ?&#x;—. đ?&#x;–đ?&#x;’%

2). ÂżCuĂĄles son las leyes y relaciones en las que estarĂĄ basado el modelo? En este trabajo como ya se mencionĂł serĂĄ la relaciĂłn del ingreso-egreso estudiantil por generaciĂłn escolar comprendida en el plantel I de la delegaciĂłn Gustavo A. Madero que conforman el IEMS-DF, relacionada con la ley del ajuste de funciones de los datos presentado enfocada a la modalidad escolarizada. 3). ÂżCuĂĄl es el papel del tiempo, la distancia y la geometrĂ­a en la formulaciĂłn del Modelo? A travĂŠs de los valores observados que nos proporcionan la base de datos del IEMS-DF en su plantel I de la delegaciĂłn Gustavo A. Madero, para poder inferir los valores estimados a pronosticar a travĂŠs del ajuste de funciones respectivo cuya distancia de estos valores serĂĄ la distancia de la mediciĂłn del error a estimar. 4.) ÂżCuĂĄles suposiciones y restricciones pueden emplearse para simplificar el modelo? Cabe aclarar que en el presente trabajo se tomarĂĄ en cuenta las siguientes variables: â—? Variable cuantitativa dependiente (đ?‘Ś): Define el porcentaje de la deserciĂłn de los alumnos y alumnas de este plantel que conforma el IEMS-DF.

17

â—? Variable cuantitativa independiente (đ?‘Ľ): Define la generaciĂłn del aĂąo escolar donde se analiza la deserciĂłn de estudiantes en este plantel que conforma el IEMS-DF. â—? Variable residual (đ?‘’đ?‘– ): Define para la aleatoriedad para la tendencia del error de los datos que se presentan. Por lo que esto implica considerar a las generaciones como los siguientes puntos que se definen de la siguiente manera: (1, đ?‘Ś1 ), (2, đ?‘Ś2 ), (3, đ?‘Ś3 ), ‌ , (đ?‘›, đ?‘Śđ?‘› ), por lo que implica ser las soluciones deducidas y generalizadas de la funciĂłn polinomial a encontrar como đ?‘Śđ?‘› = đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› ), por lo que de esta La suposiciĂłn de la deserciĂłn estudiantil del IEMS-DF se realizarĂĄ en tomar la relaciĂłn de los datos observados de la base de datos del ingreso-egreso de los estudiantes por generaciĂłn escolar enfocado al plantel I de la delegaciĂłn Gustavo A. Madero para poder realizar el ajuste es primero considerar la relaciĂłn numĂŠrica de orden cronolĂłgico de la generaciĂłn es decir: Si la primera generaciĂłn de este Plantel fue en 2001-2002, serĂĄ considerada para fines prĂĄcticos como generaciĂłn 1 y de la relaciĂłn del ingreso-egreso estudiantil se tomarĂĄ para calcular el porcentaje de la deserciĂłn estudiantil es decir: % đ??ˇđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ??¸đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘› =

đ??¸đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ??¸đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘› đ??źđ?‘›đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ??¸đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘›

DĂłnde đ?‘› = 1,2, ‌ Con esto se harĂĄ la relaciĂłn de consideraciĂłn para poder realizar el ajuste: (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ) = (đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 1, %đ??ˇđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ??¸đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 1) â‹Ž (đ?‘Ľ11 , đ?‘Ś11 ) = (đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 11, %đ??ˇđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ??¸đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘™ đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 11)

Por lo que se tomarĂĄ esta relaciĂłn de consideraciĂłn para poder aplicar el ajuste de esta manera presentada en la siguiente tabla que define solamente al plantel I del IEMS-DF de la delegaciĂłn Gustavo A. Madrero: đ?‘Ľđ?‘– đ?’šđ?’Š

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž 74.19 77.13 69.59 65.36 68.66 64.15 67.05 68.51 68.51 74.72 đ?’™đ?’Š = đ??‘đ??žđ??Šđ??Ťđ??žđ??Źđ??žđ??§đ??Ťđ??šđ??œđ??˘Ă˛đ??§ đ???đ??ž đ??¨đ??Ťđ???đ??žđ??§ đ???đ??ž đ??Ľđ??š đ??Ťđ??žđ??œđ??­đ??š đ??§Ăšđ??Śđ??žđ??Ťđ??˘đ??œđ??š đ??Ťđ??žđ??šđ??Ľ đ??žđ??§ đ??Ťđ??žđ??Ľđ??šđ??œđ??˘Ă˛đ??§ đ??š đ??Ľđ??š đ?? đ??žđ??§đ??žđ??Ťđ??šđ??œđ??˘Ă˛đ??§ đ??žđ??Źđ??œđ??¨đ??Ľđ??šđ??Ť đ??„đ?? đ??Ťđ??žđ??Źđ??¨ đ??’đ??˘đ??žđ??§đ???đ??¨: đ?’šđ?’Š = đ???đ??¨đ??Ťđ??œđ??žđ??§đ??­đ??šđ??Łđ??ž đ???đ??ž đ??Ľđ??š đ???đ??žđ??Źđ??žđ??Ťđ??œđ??˘Ă˛đ??§ đ??žđ??Źđ??­đ??Žđ???đ??˘đ??šđ??§đ??­đ??˘đ??Ľ đ???đ??ž đ??Ľđ??š đ?? đ??žđ??§đ??žđ??Ťđ??šđ??œđ??˘Ă˛đ??§ đ??Ťđ??žđ??Źđ??Šđ??žđ??œđ??­đ??˘đ??Żđ??š = % đ??ˆđ??§đ?? đ??Ťđ??žđ??Źđ??¨

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wĂłlfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,74.19},{2,77.13},{3,69.59},{4,65.36},{5,68.66},{6,64.15},{7,67.05},{8,68.51}, {9,68.51},{10,74.72},{11,74.58}}

18

đ?&#x;?đ?&#x;? 74.58

y dĂĄndole “enterâ€? se verĂĄ el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a travĂŠs de la comprobaciĂłn de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mĂ­nimo valor de R2 ajustado.

y con esto se procederĂĄ manualmente a construir la tabla de la funciĂłn polinomial de ajuste cĂşbico correspondiente para poder aplicar el mĂŠtodo de los mĂ­nimos cuadrados de la siguiente manera: đ?’Œ đ?’™ đ?’™đ?&#x;’ đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;” đ?’™đ?&#x;“ 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 16 32 64 3 3 9 27 81 243 729 4 4 16 64 256 1024 4096 5 5 25 125 625 3125 15625 6 6 36 216 1296 7776 46656 7 7 49 343 2401 16807 117649 8 8 64 512 4096 32768 262144 9 9 81 729 6561 59049 531441 10 10 100 1000 10000 100000 1000000 11 11 121 1331 14641 161051 1771561 đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” Suma por ∑ đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? ∑ đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ∑ đ?’™đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;? ∑ đ?’™đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;? ∑ đ?’™đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;? ∑ đ?’™đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;? columna DespuĂŠs se procede a calcular la siguiente tabla en relaciĂłn con đ?‘Ś de la siguiente manera: đ?’Œ 1 2 3 4

đ?’š 74.19 77.13 69.59 65.36

�� 74.19 154.26 208.77 261.44

đ?’™đ?&#x;? đ?’š 74.19 308.52 626.31 1045.76

đ?’™đ?&#x;‘ đ?’š 74.19 617.04 1878.93 4183.04

5 6 7 8

68.66 64.15 67.05 68.51

343.3 384.9 469.35 548.08

1716.5 2309.4 3285.45 4384.64

8582.5 13856.4 22998.15 35077.12

19

9 10 11 Suma por columna

68.51 74.72 74.58 đ?&#x;•đ?&#x;•đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;“

616.59 747.2 820.38 đ?&#x;’đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;–. đ?&#x;’đ?&#x;”

5549.31 49943.79 7472 74720 9024.18 99265.98 đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;•đ?&#x;—đ?&#x;”. đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;•. đ?&#x;?đ?&#x;’

∑ đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;?

∑ đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;?

∑ đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;?

∑ đ?’™đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;?

Y las ecuaciones normales estĂĄn dadas por el siguiente sistema de 5 variables que se define como: 2 3 11 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ11

ÎŁđ?‘Ś11

đ?‘Ž0

ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ211 ÎŁđ?‘Ľ3 ÎŁđ?‘Ľ4 đ?‘Ž1 ÎŁx11 đ?‘Ś11 11 11 = 2 [ ] 2 3 4 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ ÎŁđ?‘Ľ5 đ?‘Ž2 ÎŁđ?‘Ľ11 đ?‘Ś11 11 11 3 3 đ?‘Ž 4 3 [ÎŁđ?‘Ľ11 đ?‘Ś11 ] [ ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ511 ÎŁđ?‘Ľ611 ] En este caso queda como la forma matricial siguiente: đ?‘Ž0 772.45 11 66 506 4356 đ?‘Ž1 66 506 4356 39974 4628.46 [ 506 4356 39974 381876 ] [đ?‘Ž ] = [ ] 2 35796.26 4356 39974 381876 3749966 đ?‘Ž3 311197.14

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver: 11đ?‘Ž0 + 66 đ?‘Ž1 + 506đ?‘Ž2 + 4356đ?‘Ž3 = 772.45 66đ?‘Ž0 + 506đ?‘Ž1 + 4356đ?‘Ž2 + 39974đ?‘Ž3 = 4628.46 506đ?‘Ž0 + 4356đ?‘Ž1 + 39974đ?‘Ž2 + 381876đ?‘Ž3 = 35796.26 4356đ?‘Ž0 + 39974đ?‘Ž1 + 381876đ?‘Ž2 + 3749966đ?‘Ž3 = 311197.14

Resolviendo con el software de Matrixcalc en https://matrixcalc.org/es/slu.html tomando en cuenta el sistema de ecuaciones presentado en forma matricial definido por đ??´ ∙ đ?‘ŽĚ‚ = đ??ľ, por lo que dĂĄndole en la opciĂłn de solucionarlo con 10 cifras decimales con el MĂŠtodo de la matriz inversa definido como: −1

3 2 11 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ11 đ?‘Ž0 2 3 4 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ11 đ?‘Ž1 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ11 đ?‘ŽĚ‚ = đ??´âˆ’1 ∙ đ??ľ →∴ [đ?‘Ž ] = ÎŁđ?‘Ľ 2 3 4 5 11 ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ11 2 ÎŁđ?‘Ľ11 3 đ?‘Ž3 [ ÎŁđ?‘Ľ11 ÎŁđ?‘Ľ 4 ÎŁđ?‘Ľ 5 ÎŁđ?‘Ľ 6 ] 11

11

11

ÎŁđ?‘Ś11 ÎŁx11 đ?‘Ś11 ÎŁđ?‘Ľ211 đ?‘Ś11

Donde se considera para: 772.45 11 66 506 4356 66 506 4356 39974 4628.46 đ??´ = [ 506 4356 39974 381876 ] ; đ??ľ = [ ] 35796.26 4356 39974 381876 3749966 311197.14

Donde la inversa de đ??´ es aproximadamente:

20

3

[ÎŁđ?‘Ľ11 đ?‘Ś11 ]

đ??´âˆ’1

69 22 797 − 396 = 23 66 7 − [ 396

797 23 7 − 396 66 396 41 4195 475 − 2808 1716 2808 5 475 23 − − 1716 1716 429 5 41 5 − 2808 1716 30888 ] −

Con esto entonces se procede a encontrar: đ?‘ŽĚ‚ = đ??´âˆ’1 ∙ đ??ľ definido en este caso como: 69 22 797

đ?‘ŽĚ‚ =

−

396 23 66 7

[ − 396

−

797

396 4195

23 66 475

−

7

177801

396 41

2200

772.45 224171 − − 4628.46 2808 1716 2808 46800 ∙ [ ] = 5 23 33841 475 35796.26 − − 1716 85800 1716 429 311197.14 1 41 5 5 − [ 514800 ] 2808 1716 30888 ]

đ?‘Ž0 đ?‘Ž1 y con esto su soluciĂłn aproximada y redondeada en đ?‘ŽĚ‚ = [đ?‘Ž ] estĂĄ dada por: 2 đ?‘Ž3 đ?‘Ž0 = 80.8186 , đ?‘Ž1 = −4.78998, đ?‘Ž2 = 0.394417, đ?‘Ž3 = 0.0000019425 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinĂłmico cĂşbico se define como: đ?‘ŚĚ‚ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž3 đ?‘Ľ 3 En este caso en relaciĂłn a los coeficientes encontrados queda como: đ?‘ŚĚ‚ = 80.8186 − 4.78998đ?‘Ľ + 0.394417đ?‘Ľ 2 + 0.0000019425đ?‘Ľ 3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wĂłlfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit {{1,74.19},{2,77.13},{3,69.59},{4,65.36},{5,68.66},{6,64.15},{7,67.05},{8,68.51},{9,68.51}, {10,74.72},{11,74.58}}

Y dĂĄndole “enterâ€? se ve que el ajuste de polinomio cĂşbico es totalmente similar al que se calculĂł: con anterioridad y ademĂĄs ahora se considera la grĂĄfica del conjunto de datos presentados en relaciĂłn a la grĂĄfica de color azul del ajuste polinomial:

21

Considerando que el caso que estamos manejando es el del ajuste de la funciĂłn polinomial cĂşbico se asume que los probables intervalos de predicciĂłn al 95% de probabilidad del porcentaje de la deserciĂłn estudiantil para cada plantel es a considerar con su generaciĂłn del 2012 al 2015 es decir en đ?‘? = 12,13,14,15 por lo que para el porcentaje en su deserciĂłn estĂĄ dada por: đ?‘›

đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ ) Ě‚ ) (đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?) Ě‚ − đ?‘ Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Śđ?‘? = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ đ?œŽ

Donde para este caso se define la matriz generalizada del pronĂłstico đ?‘żđ?’‘ considerando que el grado del polinomio obtenido es cĂşbico en el ajuste, es decir đ?‘› = 3 por lo que esto implica: đ?‘żđ?’‘ = [1 đ?‘Ľđ?‘?

đ?‘Ľđ?‘?2

đ?‘Ľđ?‘?3 ]

Luego tomemos en cuenta que se obtuvo el mejor estimador de los parĂĄmetros a travĂŠs de los coeficientes de la funciĂłn polinomial cĂşbica obtenida, es decir: đ?’‚đ?&#x;Ž 80.8186 đ?’‚đ?&#x;? −4.78998 Ě‚ = [đ?’‚ ] = [ đ?’‚ ] 0.394417 đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;‘ 0.0000019425

DespuĂŠs consideramos a la matriz de diseĂąo đ?‘ż como los valores de la tabla del ajuste polinomial cĂşbico, es decir esto se expresa como: 1 1 1 1 1 đ?‘‹= 1 1 1 1 1 [ 1

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ5 đ?‘Ľ6 đ?‘Ľ7 đ?‘Ľ8 đ?‘Ľ9 đ?‘Ľ10 đ?‘Ľ11

đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22 đ?‘Ľ32 đ?‘Ľ42 đ?‘Ľ52 đ?‘Ľ62 đ?‘Ľ72 đ?‘Ľ82 đ?‘Ľ92 2 đ?‘Ľ10 2 đ?‘Ľ11

đ?‘Ľ13 đ?‘Ľ23 đ?‘Ľ33 đ?‘Ľ43 đ?‘Ľ53 đ?‘Ľ63 = đ?‘Ľ73 đ?‘Ľ83 đ?‘Ľ93 3 đ?‘Ľ10 [ 3 đ?‘Ľ11 ]

1 1 12 1 2 22 1 3 32 1 4 42 1 5 52 1 6 62 1 7 72 1 8 82 1 9 92 1 10 102 1 11 112

22

13 1 1 1 1 23 8 1 2 4 3 3 1 3 9 27 1 4 16 64 43 1 5 25 125 53 63 = 1 6 36 216 1 7 49 343 73 1 8 64 512 83 1 9 81 729 3 9 1 10 100 1000 103 [ 1 11 121 1331] 3 ] 11

Tomando en cuenta el estimador de la desviaciĂłn estĂĄndar de la varianza đ?œŽĚ‚ que estĂĄ dada por: đ?‘

đ?‘†đ?‘…đ??ś đ?œŽĚ‚ = √ = √∑ đ?‘ −1

2 2 ∑ đ?‘’đ?‘ 2 11 (đ?‘’ − ∑ đ?‘’11 ) 11 (đ?‘’ − ∑ đ?‘’11 ) ) đ?‘– đ?‘– đ?‘ 11 11 = √∑ = √∑ đ?‘ −1 11 − 1 10

(đ?‘’đ?‘– −

đ?‘–=1

đ?‘–=1

đ?‘–=1

Para obtener la suma de los residuales al cuadrado đ?‘†đ?‘…đ??ś, se considera una tabla que define a đ?‘Śđ?‘– = Al porcentaje de la deserciĂłn estudiantil por generaciĂłn y a đ?‘ŚĚ‚đ?‘– = A la evaluaciĂłn de la generaciĂłn respectiva en el polinomio obtenido en el ajuste: đ?‘Ľđ?‘–

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;‘

đ?&#x;’

đ?&#x;“

đ?&#x;”

đ?&#x;•

đ?&#x;–

đ?&#x;—

đ?&#x;?đ?&#x;Ž

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’šđ?’Š Ě‚đ?’Š = đ?’š Ě‚(đ?’™đ?’Š ) đ?’š Ě‚đ?’Š đ?’†đ?’Š = đ?’šđ?’Š − đ?’š

74.19 76.42 −2.23

77.13 72.81 4.32

69.59 69.99 −0.4

65.36 67.96 −2.6

68.66 66.72 1.94

64.15 66.27 −2.12

67.05 66.61 0.44

68.51 67.74 0.77

68.51 69.65 −1.14

74.72 72.36 2.36

74.58 75.85 −1.27

Pero con esto tenemos el valor de ∑ đ?‘’11 = 0.07 por lo que ahora la sustituciĂłn de esta fĂłrmula es: 0.07 2 ) 11 10

11

(đ?‘’đ?‘– −

đ?œŽĚ‚ = √∑ đ?‘–=1

Ahora desarrollando la sumatoria queda encontrar el đ?œŽĚ‚ de la siguiente manera: Ě‚= đ??ˆ

đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?&#x;? (đ?’†đ?&#x;‘ − ) (đ?’†đ?&#x;’ − ) (đ?’†đ?&#x;“ − ) (đ?’†đ?&#x;” − ) (đ?’†đ?&#x;• − ) (đ?’†đ?&#x;– − ) (đ?’†đ?&#x;— − ) (đ?’†đ?&#x;?đ?&#x;Ž − ) (đ?’†đ?&#x;?đ?&#x;? − ) √(đ?’†đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;? ) + (đ?’†đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;? ) đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? + + + + + + + + + + đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž

Luego sustituyendo los valores respectivos de los residuales definidos como đ?‘’1 , đ?‘’2 , ‌ . , đ?‘’11 y realizando la divisiĂłn respectiva esto queda como: đ?œŽĚ‚ = √4.80815 →∴ đ?œŽĚ‚ = 2.1927 Comprobando este resultado con el software matemĂĄtico del wĂłlfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis a considerar: sd {-2.23, 4.32,-0.4,-2.6, 1.94,-2.12,0.44, 0.77,-1.14,2.36,-1.27} Por lo que damos “enterâ€? y resulta que:

23

Suma por columna

đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ?šşđ?’†đ?&#x;?đ?&#x;?

Por lo que con esta comprobaciĂłn SI llegamos al mismo resultado. Entonces sustituyendo los valores respectivos en el intervalo de predicciĂłn: đ?‘›

đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ ) Ě‚ − đ?‘ Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Śđ?‘? = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ đ?œŽĚ‚) (đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?)

Queda en este caso como: 3

đ?‘?+(3+11) (2.1927)) (đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?) Ě‚ − 11 Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Śđ?‘? = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ 3

đ?‘?+14 (2.1927)) (đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ − đ?&#x;?) Ě‚ − 11 Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Śđ?‘? = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚

Para la generaciĂłn 2012 con đ?’‘ = đ?&#x;?đ?&#x;?: Sea definido para este caso como: 3

12+14 (2.1927)) Ě‚ − 11 Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Ś12 = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;? đ?’‚ (đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;? (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;?)

AquĂ­ consideremos al cuartil de una đ?‘Ą de Student con 12 + 14 = 26 grados de đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ ) 26 libertad, esto implica que đ?‘Ą0.95 = đ?‘Ą0.95 y esto se escribe como: 3

16 (2.1927)) Ě‚ − 11 Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Ś12 = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;? đ?’‚ (đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;? (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;?) 26 Entonces para encontrar el valor del cuartil de una t de Student para đ?‘Ą0.95 se localiza a travĂŠs de la siguiente sintaxis del software de wĂłlfram alpha:

Student´s t distribution degrees of freedom 26 26 DĂĄndole “enterâ€? resulta que đ?‘Ą0.95 = 1.7056 y con esto se sustituye este valor respectivo en la fĂłrmula: 3

Ě‚ − 11 Âą √((1.7056)(2.1927))(đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;? (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;? − đ?&#x;?) đ?‘Ś12 = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;? đ?’‚

24

3

̂ − 11 ± √(3.7398)(𝑿𝟏𝟐 (𝑿𝑻 𝑿)−𝟏 𝑿𝑻𝟏𝟐 − 𝟏) 𝑦12 = 𝑿𝟏𝟐 𝒂

Donde la matriz del pronóstico para esta generación es: 𝑿𝟏𝟐 = [1 𝑥12

3 ] = [1 12 𝑥12

2 𝑥12

122

123 ] = [1 12

1728]

144

Por lo que queda en este caso como:

𝟑

𝒚𝟏𝟐 = [𝟏

𝟏𝟐

𝟖𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟔 −𝟒. 𝟕𝟖𝟗𝟗𝟖 ] − 𝟏𝟏 ± (𝟑. 𝟕𝟑𝟗𝟖) [𝟏 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟕𝟐𝟖] [ 𝟎. 𝟑𝟗𝟒𝟒𝟏𝟕 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟗𝟒𝟐𝟓

(

√

𝟏𝟐

𝟏 𝑻 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟖 𝟖 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝟑 𝟗 𝟐𝟕 𝟏 𝟑 𝟗 𝟐𝟕 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝟏 𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟏 𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟏 𝟔 𝟑𝟔 𝟐𝟏𝟔 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟕𝟐𝟖] 𝟏 𝟔 𝟑𝟔 𝟐𝟏𝟔 𝟏 𝟕 𝟒𝟗 𝟑𝟒𝟑 𝟏 𝟕 𝟒𝟗 𝟑𝟒𝟑 𝟏 𝟖 𝟔𝟒 𝟓𝟏𝟐 𝟏 𝟖 𝟔𝟒 𝟓𝟏𝟐 𝟏 𝟗 𝟖𝟏 𝟕𝟐𝟗 𝟏 𝟗 𝟖𝟏 𝟕𝟐𝟗 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 ([ 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟑𝟑𝟏] [ 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟑𝟑𝟏])

−𝟏

[𝟏

𝟏𝟐

𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟕𝟐𝟖]𝑻 − 𝟏

)

Sacando las matrices transpuestas correspondientes:

𝟑

𝒚𝟏𝟐 = [𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟕𝟐𝟖] [

𝟖𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟔 𝟏 −𝟒. 𝟕𝟖𝟗𝟗𝟖 ] − 𝟏𝟏 ± (𝟑. 𝟕𝟑𝟗𝟖) [𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟕𝟐𝟖] [𝟏 𝟏 𝟎. 𝟑𝟗𝟒𝟒𝟏𝟕 𝟏 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟗𝟒𝟐𝟓

√

(

𝟏 𝟐 𝟒 𝟖

(

−𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟖 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 𝟑 𝟗 𝟐𝟕 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟕 𝟖 𝟏𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟗 𝟏𝟎 𝟏𝟏 ] 𝟏 𝟔 𝟑𝟔 𝟐𝟏𝟔 [ ]−𝟏 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟑𝟔 𝟒𝟗 𝟔𝟒 𝟖𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟒𝟒 𝟏 𝟕 𝟒𝟗 𝟑𝟒𝟑 𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟏𝟔 𝟑𝟒𝟑 𝟓𝟏𝟐 𝟕𝟐𝟗 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟑𝟑𝟏 𝟏 𝟖 𝟔𝟒 𝟓𝟏𝟐 𝟏𝟕𝟐𝟖 𝟏 𝟗 𝟖𝟏 𝟕𝟐𝟗 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 [ 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟐𝟏 𝟏𝟑𝟑𝟏]) )

Efectuando la multiplicación de matrices del paréntesis queda como:

𝒚𝟏𝟐 = [𝟏

𝟏𝟐

𝟏𝟒𝟒

𝟖𝟎. 𝟖𝟏𝟔𝟔 𝟑 −𝟒. 𝟕𝟖𝟗𝟗𝟖 ] − 𝟏𝟏 ± √(𝟑. 𝟕𝟑𝟗𝟖) ([𝟏 𝟏𝟕𝟐𝟖] [ 𝟎. 𝟑𝟗𝟒𝟒𝟏𝟕 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟗𝟒𝟐𝟓

𝟏𝟐

𝟏𝟒𝟒

−𝟏 𝟏 𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝟓𝟎𝟔 𝟒𝟑𝟓𝟔 𝟔𝟔 𝟓𝟎𝟔 𝟑𝟗𝟗𝟕𝟒 𝟏𝟐 𝟒𝟑𝟓𝟔 ] − 𝟏) 𝟏𝟕𝟐𝟖] ([ 𝟓𝟎𝟔 𝟒𝟑𝟓𝟔 𝟑𝟗𝟗𝟕𝟒 𝟑𝟖𝟏𝟖𝟕𝟔 ]) [ 𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟑𝟓𝟔 𝟑𝟗𝟗𝟕𝟒 𝟑𝟖𝟏𝟖𝟕𝟔 𝟑𝟕𝟒𝟗𝟗𝟔𝟔 𝟏𝟕𝟐𝟖

Luego, multiplicando las matrices respectivas mediante el software de wólfram alpha con la siguiente sintaxis a considerar para antes de la bivalencia: {{1,12,144,1728}}*{{80.8166},{-4.78998},{0.394417},{0.0000019425}} Y para después de la bivalencia: {{1,12,144,1728}}*inverse({{11,66,506,4356},{66,506,4356,39974},{506,4356,399 74,381876},{4356,39974,381876,3749966}})*{{1},{12},{144},{1728}} Por lo que dándole enter sale el valor de: 𝟑

𝟑

𝒚𝟏𝟐 = 𝟖𝟎. 𝟏𝟑𝟔𝟔 − 𝟏𝟏 ± √(𝟑. 𝟕𝟑𝟗𝟖)(𝟑. 𝟏𝟑𝟔𝟑 − 𝟏) = 𝟖𝟎. 𝟏𝟑𝟔𝟔 − 𝟏𝟏 ± √(𝟑. 𝟕𝟑𝟗𝟖)(𝟐. 𝟏𝟑𝟔𝟑)

Realizando operaciones elementales queda como: 𝟑

𝟑

𝒚𝟏𝟐 = 𝟖𝟎. 𝟏𝟑𝟔𝟔 − 𝟏𝟏 ± √(𝟑. 𝟕𝟑𝟗𝟖)(𝟐. 𝟏𝟑𝟔𝟑) = 𝟔𝟗. 𝟏𝟑𝟔𝟔 ± √𝟕. 𝟗𝟖𝟗𝟑 = 𝟔𝟗. 𝟏𝟑𝟔𝟔 ± 𝟏. 𝟗𝟗𝟗𝟏

25

Expresando de manera alternativa respecto a la bivalencia decimos que el probable intervalo de predicciĂłn que ocurra el porcentaje de deserciĂłn estudiantil de esta generaciĂłn para este plantel es: 69.1366 − 1.9991 ≤ đ?‘Ś12 ≤ 69.1366 + 1.9991 →∴ đ?&#x;”đ?&#x;—. đ?&#x;?đ?&#x;‘% ≤ đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;? ≤ đ?&#x;•đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;‘% Para la generaciĂłn 2013 con đ?’‘ = đ?&#x;?đ?&#x;‘: Sea definido para este caso como: 3

13+14 (2.1927)) Ě‚ − 11 Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Ś13 = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’‚ (đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ − đ?&#x;?)

AquĂ­ consideremos al cuartil de una đ?‘Ą de Student con 13 + 14 = 27 grados de đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ ) 27 libertad, esto implica que đ?‘Ą0.95 = đ?‘Ą0.95 = 1.7033 y esto se escribe como: 3

3

Ě‚ − 11 Âą √((1.7033)(2.1927))(đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ − đ?&#x;?) = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’‚ Ě‚ − 11 Âą √(3.7348)(đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ − đ?&#x;?) đ?‘Ś13 = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’‚

Donde la matriz del pronĂłstico para esta generaciĂłn es: đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [1

đ?‘Ľ13

2 đ?‘Ľ13

3 ] = [1 13 đ?‘Ľ13 132

133 ] = [1 13 169 2197]

Por lo que queda en este caso como:

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;‘

đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—

đ?&#x;–đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;‘ −đ?&#x;’. đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;– ] − đ?&#x;?đ?&#x;? Âą √(đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;–) ([đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;•] [ đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;• đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;?đ?&#x;‘

đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—

−đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” ] − đ?&#x;?) đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;•] ([ đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;” ]) [ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;— đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;•

Luego, realizando operaciones matriciales respectivas queda como: đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;“. đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;” − đ?&#x;?đ?&#x;? Âą √(đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;–)(đ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;‘ − đ?&#x;?) = đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;” Âą √(đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;–)đ?&#x;—. đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;‘ = đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;” Âą √đ?&#x;‘đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;‘ = đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;” Âą đ?&#x;‘. đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;–

Con esto decimos que el probable intervalo de predicciĂłn que ocurra el porcentaje de deserciĂłn estudiantil de esta generaciĂłn para este plantel es: 74.2076 − 3.2308 ≤ đ?‘Ś13 ≤ 74.2076 + 3.2308 →∴ đ?&#x;•đ?&#x;Ž. đ?&#x;—đ?&#x;•% ≤ đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ ≤ đ?&#x;•đ?&#x;•. đ?&#x;’đ?&#x;‘% Para la generaciĂłn 2014 con đ?’‘ = đ?&#x;?đ?&#x;’: Sea definido para este caso como: 3

14+14 (2.1927)) Ě‚ − 11 Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Ś14 = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’‚ (đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;’ − đ?&#x;?)

AquĂ­ consideremos al cuartil de una đ?‘Ą de Student con 14 + 14 = 28 grados de đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ ) 28 libertad, esto implica que đ?‘Ą0.95 = đ?‘Ą0.95 = 1.7011 y esto se escribe como: 3

3

Ě‚ − 11 Âą √((1.7011)(2.1927))(đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;’ − đ?&#x;?) = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’‚ Ě‚ − 11 Âą √(3.73)(đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;’ − đ?&#x;?) đ?‘Ś14 = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’‚

26

Donde la matriz del pronĂłstico para esta generaciĂłn es: đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ = [1

đ?‘Ľ14

2 đ?‘Ľ14

3 ] = [1 14 đ?‘Ľ14 142

143 ] = [1 14 196 2744]

Por lo que queda en este caso como:

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = [đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;’

đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”

đ?&#x;–đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;‘ −đ?&#x;’. đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;– ] − đ?&#x;?đ?&#x;? Âą √(đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;‘) ([đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;’] [ đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;• đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;?đ?&#x;’

−đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” ] − đ?&#x;?) đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;’] ([ đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;” ]) [ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;’

đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”

Luego, realizando operaciones matriciales respectivas queda como: đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;— − đ?&#x;?đ?&#x;? Âą √(đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;‘)(đ?&#x;?đ?&#x;”. đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;’đ?&#x;? − đ?&#x;?) = đ?&#x;–đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;— Âą √(đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;‘)đ?&#x;?đ?&#x;“. đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;’đ?&#x;? = đ?&#x;–đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;— Âą √đ?&#x;—đ?&#x;‘. đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;” = đ?&#x;–đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;— Âą đ?&#x;’. đ?&#x;“đ?&#x;’đ?&#x;“đ?&#x;–

Con esto decimos que el probable intervalo de predicciĂłn que ocurra el porcentaje de deserciĂłn estudiantil de esta generaciĂłn para este plantel es: 80.0679 − 4.5458 ≤ đ?‘Ś14 ≤ 80.0679 + 4.5458 →∴ đ?&#x;•đ?&#x;“. đ?&#x;“đ?&#x;?% ≤ đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ ≤ đ?&#x;–đ?&#x;’. đ?&#x;”đ?&#x;?% Para la generaciĂłn 2015 con đ?’‘ = đ?&#x;?đ?&#x;“: Sea definido para este caso como: 3

15+14 (2.1927)) Ě‚ − 11 Âą √(đ?‘Ą0.95 đ?‘Ś15 = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’‚ (đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;“ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?)

AquĂ­ consideremos al cuartil de una đ?‘Ą de Student con 15 + 14 = 29 grados de đ?‘?+(đ?‘›+đ?‘ ) 29 libertad, esto implica que đ?‘Ą0.95 = đ?‘Ą0.95 = 1.6991 y esto se escribe como: 3

3

Ě‚ − 11 Âą √((1.6991)(2.1927))(đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;“ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?) = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’‚ Ě‚ − 11 Âą √(3.7256)(đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;“ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?) đ?‘Ś15 = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’‚

Donde la matriz del pronĂłstico para esta generaciĂłn es: đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;“ = [1

đ?‘Ľ15

2 đ?‘Ľ15

3 ] = [1 15 đ?‘Ľ15 152

153 ] = [1 15 225 3375]

Por lo que queda en este caso como:

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;“ = [đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;–đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;‘ −đ?&#x;’. đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;– ] − đ?&#x;?đ?&#x;? Âą √(đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;”) ([đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;“] [ đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;• đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“

−đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” ] − đ?&#x;?) đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;“] ([ đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;” ]) [ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;•đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;“

Luego, realizando operaciones matriciales respectivas queda como: đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

đ?&#x;‘

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;“ = đ?&#x;—đ?&#x;•. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;‘ − đ?&#x;?đ?&#x;? Âą √(đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;”)(đ?&#x;“đ?&#x;—. đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;“ − đ?&#x;?) = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;‘ Âą √(đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;”)đ?&#x;“đ?&#x;–. đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;’đ?&#x;“ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;‘ Âą √đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”. đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;‘ Âą đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;‘

Con esto decimos que el probable intervalo de predicciĂłn que ocurra el porcentaje de deserciĂłn estudiantil de esta generaciĂłn para este plantel es: 86.7173 − 6.0033 ≤ đ?‘Ś15 ≤ 86.7173 + 6.0033 →∴ đ?&#x;–đ?&#x;Ž. đ?&#x;•đ?&#x;?% ≤ đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;“ ≤ đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;?%

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6. Conclusiones: Tomando en cuenta que la Ăşltima generaciĂłn de los datos es la del 2011 es decir đ?‘Ś11 = 74.58% y considerando que los intervalos de predicciĂłn encontrados para las generaciones del 2012 al 2015 se definen mediante đ?‘Śđ?‘? dĂłnde đ?‘? = 12,13,14,15 respectivamente y con esto se puede decir que estos se definen como: 69.13% ≤ đ?‘Ś12 ≤ 71.13%; 70.97% ≤ đ?‘Ś13 ≤ 77.43%; 75.52% ≤ đ?‘Ś14 ≤ 84.61% y 80.71% ≤ đ?‘Ś15 ≤ 92.72% Entonces para la generaciĂłn del 2011 a 2012: Solamente se ve que en la generaciĂłn del 2011 a la 2012 (estimada en lo mĂ­nimo) baja la deserciĂłn estudiantil en un 5.45%; pero se ve que en la generaciĂłn del 2011 a la 2012 (estimada en lo mĂĄximo) baja la deserciĂłn estudiantil en un 3.45%. Entonces para la generaciĂłn del 2012 a 2013: Solamente se ve que en la generaciĂłn del 2012 a la 2013 (estimada en lo mĂ­nimo) sube la deserciĂłn estudiantil en un 1.84%; pero se ve que en la generaciĂłn del 2012 a la 2013 (estimada en lo mĂĄximo) sube la deserciĂłn estudiantil en un 6.3%. Entonces para la generaciĂłn del 2013 a 2014: Solamente se ve que en la generaciĂłn del 2013 a la 2014 (estimada en lo mĂ­nimo) sube la deserciĂłn estudiantil en un 4.55%; pero se ve que en la generaciĂłn del 2013 a la 2014 (estimada en lo mĂĄximo) sube la deserciĂłn estudiantil en un 7.18%. Entonces para la generaciĂłn del 2014 a 2015: Solamente se ve que en la generaciĂłn del 2014 a la 2015 (estimada en lo mĂ­nimo) sube la deserciĂłn estudiantil en un 5.19%; pero se ve que en la generaciĂłn del 2014 a la 2015 (estimada en lo mĂĄximo) sube la deserciĂłn estudiantil en un 8.11%. Finalmente podemos decir que con este anĂĄlisis de la situaciĂłn problemĂĄtica de la deserciĂłn estudiantil para este plantel en cuestiĂłn de su porcentaje pronosticado en las Ăşltimas generaciones va incrementando de forma gradual y que la posible alternativa fundamental para evitarla en esta dependencia paraestatal del IEMS-DF es que las autoridades promuevan realmente el egreso en sus estudiantes en cuestiĂłn de que les tengan asegurado el pase directo a la carrera que decidan en la Universidad AutĂłnoma de la Ciudad de MĂŠxico UACM; a razĂłn de que los lugares que ofertan son pocos y con esto tengan la oportunidad de concluir satisfactoriamente sus estudios para que puedan encontrar mejores oportunidades laborales en esta zona metropolitana donde radican. 4.4. DosificaciĂłn de los avances de este proyecto. â—? Primer avance parcial del proyecto: Video en Formato MP4:

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Diapositivas en Formato pptx: https://drive.google.com/file/d/0B8i8s0wQyqyM0ZlU2hnWVNreXc/view?usp=sharing ● Segundo avance parcial del proyecto: Video en Formato MP4: Diapositivas en Formato pptx: https://drive.google.com/file/d/0B8i8s0wQyqycnNmaWhrMnhlVkk/view?usp=sharing ● Presentación Final del proyecto: Diapositivas en Formato pptx: 5. Referencias 5.1. Bibliográficas (artículos de libros de textos científicos) •Bittinger Marvin L. (2002) Cálculo para Ciencias Económico-Administrativas. (Séptima Edición) Ed. Pearson Educación. •Chapra Steven C. y Canale Raymond P. (2011). Métodos numéricos para ingenieros. (6ta. Edición) México, D.F.: Editorial McGraw-Hill Interamericana. •Figueroa García Edith (2014) Métodos Probabilísticos de Optimización. Estado de México, Municipio de Naucalpan de Juárez. Ed. UNAM-FES Acatlán-Ingeniería Civil. •Gerald Curtis F., Wheatley Patrick O. (2000) Análisis Numérico con aplicaciones. (Sexta Edición). México, D.F. Ed. Pearson Educación. •Infante Gil Said, Zárate de Lara Guillermo P. (2012) Métodos Estadísticos: Un Enfoque Interdisciplinario. (3ra. Edición) México, Estado de México, Texcoco: Editorial del Colegio de Postgraduados-La Gaya Ciencia. •Mathews John H. y Fink Kurtis D. (2000) Métodos Numéricos con MATLAB. (3ra. Edición). España, Madrid: Editorial Prentice-Hall. •Monahan, John F. (2008) A Primer on Linear Models North Carolina State, USA. Editorial Chapman & Hall/CRC. •Montes de Oca Puzio Francisco (2002) Problemas Resueltos de Estadística. (Segunda Edición) México, D.F. Editorial Skorpio. •Quintana Hernández Pedro Alberto, Villalobos Oliver Eloísa Bernardett y Cornejo Serrano María del Carmen (2005) Métodos Numéricos con Aplicaciones en Excel. México, Guanajuato: Instituto Tecnológico de Celaya, Guanajuato; Editorial Reverté.

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•Smith W. Allen (1988) Análisis Numérico. México, D.F.: Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana S.A. • Valdés Prada Francisco José (2014) Breviario sobre Modelado Matemático. (Primera Edición). México, D.F., Ed. UAM-Iztapalapa. 5.2. Serigráficas (artículos de revista, de divulgación institucional, de tesis y de tesinas.) •Marín Salguero Rafael (2013) Temas Selectos de Matemáticas: “Ajuste de Curvas Vía Mínimos Cuadrados,” México, D.F., Versión 1.0, IEMS-G.A.M.-I. en: https://issuu.com/pedrodaniellaramaldonado/docs/temas_selectos_estimaci on_minimos_c •Marín Salguero Rafael (2014). Matemáticas Preuniversitarias: “Probabilidad y Estadística” México, D.F., Versión 2.0, IEMS-G.A.M.-I. en: https://issuu.com/pedrodaniellaramaldonado/docs/notas_generales_probabil idad_y_esta 5.3. Cibergráficas (artículos de internet.) •Carrillo Ramírez Teresa (2008) “Apuntes de Mínimos Cuadrados de la asignatura de Métodos Numéricos II para la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas y Computación de la UNAM FES Acatlán.”, en: https://issuu.com/pedrodaniellaramaldonado/docs/mnii07_minimos2 •Sistema de Información Mexicana del Distrito Federal INFOMEXDF (2016) “Solicitud de Información Pública registrada y aprobada con el número de folio: 0311000001716; con los datos de la deserción estudiantil, los estudiantes dados de baja y el egreso estudiantil desde su primera generación hasta su última generación en todos los planteles que conforman el IEMS-DF”. Recuperada el lunes 22 de febrero del 2016 en: http://www.infomexdf.org.mx/flslayer/seguimiento/d90c0f2c/06cd56f7/Respue sta%201716.pdf •Olguín Rosas Mayra (2013) “Interpolación y aproximación polinomial aplicado al Censo Poblacional en México.” en: https://issuu.com/pedrodaniellaramaldonado/docs/sesion_3_ejercicio_clase_ diferencia

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