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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

“Análisis del Ajuste de Funciones Polinomiales mediante el Método de Regresión por Mínimos Cuadrados, desde un punto de vista: Estadístico y Probabilístico; aplicado a la Situación de Deserción Escolar en la Dependencia Paraestatal del IEMS-DF.”

PRESENTACION DEL PRIMER AVANCE DEL PROYECTO TERMINAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

PRESENTA EL ALUMNO SUSTENTANTE: C. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO DIRIGIDA POR: MAT. BEATRIZ CARRASCO TORRES EVALUADA POR: DRA. MARLEN HERNÁNDEZ ORTIZ. ELABORADO EN LA: CIUDAD DE MÉXICO, DISTRITO FEDERAL, 2015-2016.

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1. Resumen El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de InformaciĂłn Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de EducaciĂłn Media Superior del Distrito Federal por parte de la DirecciĂłn Estudiantil; a travĂŠs del conducto de la SubdirecciĂłn de AdministraciĂłn Escolar. El objetivo de este proyecto es hacer predicciones de la deserciĂłn estudiantil en las Ăşltimas generaciones que comprenden del aĂąo 2013 hasta el aĂąo 2014, considerando para toda la dependencia; en dĂłnde se utilizarĂĄ la aplicaciĂłn de los modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el mĂŠtodo regresiĂłn por mĂ­nimos cuadrados en su sustento del criterio de determinaciĂłn que encuentra una mejor funciĂłn polinomial de ajuste a los datos. Este ajuste se centra en el cĂĄlculo del error que definen su desviaciĂłn estĂĄndar para poder generar un intervalo cerrado de predicciĂłn con distribuciĂłn đ?‘Ą −student que ubica una probable representaciĂłn muestral mĂ­nima y mĂĄxima en este aspecto y con esto se espera hacer un aporte hacia la investigaciĂłn con el fin de que se considere como argumento y poder atender esta problemĂĄtica. 1.1. Palabras claves: DeserciĂłn estudiantil, AnĂĄlisis estadĂ­stico y Ajuste matemĂĄtico. 2. IntroducciĂłn La deserciĂłn escolar en esta dependencia paraestatal del IEMS-DF es un grave problema para el desarrollo sustentable de la poblaciĂłn, particularmente en la entidad federativa de la Ciudad de MĂŠxico. Tal situaciĂłn implica una conducta de riesgo entre sus habitantes, como la consecuencia de gastos presupuestales y pĂŠrdidas econĂłmicas a nivel local respecto a las oportunidades de trabajo; especĂ­ficamente afecta a nivel familiar, en los ingresos salariales que sustenta una mejor calidad de vida individual (Infante, (2012)). Por lo que en la actualidad el uso de las Herramientas MatemĂĄticas ProbabilĂ­sticas ha permitido optimizar y determinar los Procesos de los Indicadores de DesempeĂąo en cuestiĂłn de considerar la informaciĂłn a travĂŠs de los datos registrados en un plantel determinado por esta dependencia paraestatal sobre la situaciĂłn de la DeserciĂłn Estudiantil del Sistema Escolarizado cuya causa de este objetivo depende de la relaciĂłn de la CuantificaciĂłn de su Ingreso y Egreso por GeneraciĂłn que se analiza a travĂŠs del “Modelo EstadĂ­stico del Ajuste de Funciones mediante el MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadradosâ€? ;cuyo creador fue el matemĂĄtico alemĂĄn Karl Friedrich Gauss en 1795, el cual permite interpretar geomĂŠtricamente sus variaciones, en efectuar y determinar la predicciĂłn certera del cĂĄlculo de la probabilidad como variable de respuesta del pronĂłstico porcentual de la deserciĂłn estudiantil que ocurra en base a la tendencia que ha seguido los datos registrados de estos eventos a lo largo del tiempo y asimismo, se espera hacer un aporte hacia la investigaciĂłn de la EstadĂ­stica y Probabilidad; cuyo fin se considere a la situaciĂłn problemĂĄtica de este anĂĄlisis estadĂ­stico cuantitativo como argumento para que las autoridades competentes puedan fundamentarlo como un primer paso para tomar medidas preventivas de atenciĂłn y

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reflexiĂłn de la importancia en corto y a largo plazo de cĂłmo puede afectar a esta dependencia paraestatal y buscarle una decisiĂłn alternativa a travĂŠs de la instrumentaciĂłn del diseĂąo de estrategias de acciones que pretendan involucrarlos en conocer esta informaciĂłn de la situaciĂłn de este fenĂłmeno, para que asĂ­ con base a esas predicciones realizadas adviertan mejores decisiones que faciliten la viabilidad de reducir su incidencia desertora para que sea orientada como una propuesta al fomento del incremento del egreso estudiantil que conlleva a la dimensiĂłn del bienestar en su permanencia en el plantel, ademĂĄs de que tengan el beneficio del pase directo asegurado a la Universidad AutĂłnoma de la Ciudad de MĂŠxicoUACM y con esto se llega a su certificaciĂłn de la eficacia educativa que trae como posibilidad de que tenga en un futuro una mejor oportunidad y calidad de vida laboral y profesional para que se sientan Ăştiles y productivos para el desarrollo sustentable de la PoblaciĂłn EconĂłmicamente Activa de esta entidad federativa de la Ciudad de MĂŠxico. 3. Marco TeĂłrico 3.1. DeserciĂłn Estudiantil En este proyecto, se va a considerar en tĂŠrminos cuantitativos; para el modelo de carĂĄcter discreto en el tratamiento del fenĂłmeno que se basa en la manera que se registran los datos relacionados de forma generacional. Sin embargo, el evento de desertar puede ocurrir en cualquier momento durante el perĂ­odo por generaciĂłn: por ejemplo, si un individuo deserta en la mitad del semestre que estĂŠ estudiando y otro lo hace finalizando en el semestre que estudiĂł, la duraciĂłn en la instituciĂłn es diferente para ambos individuos, no obstante, en la base de datos que permitirĂĄ estimar los parĂĄmetros del modelo, la duraciĂłn serĂĄ igual para dichos individuos (tres semestres), tomando asĂ­ Ăşnicamente valores discretos generacionales (1, 2, 3,..., etc.). Esta consideraciĂłn; se va a tomar cĂłmo un indicador explicado del total de las deserciones de los estudiantes, que este se aprecia por el comportamiento del flujo escolar de una generaciĂłn; para tal efecto se va a emplear el cĂĄlculo porcentual que se define, como: đ??„đ??ˆđ??† − đ??„đ??„đ??† ) ∗ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;?) đ??„đ??ˆđ??† (Ponce de LeĂłn T. , Ma. del Socorro. (2003)) Donde: đ???đ??ƒđ??† = Porcentaje de deserciĂłn generacional đ??„đ??„đ??† = NĂşmero de estudiantes que egresarĂłn por generaciĂłn đ??„đ??ˆđ??† = NĂşmero de estudiantes que ingresarĂłn por generaciĂłn đ???đ??ƒđ??† = (

El propĂłsito; de esta fĂłrmula ‌ (đ?&#x;?) es dar informaciĂłn Ăştil y verĂ­dica, que explica cuantitativamente el fenĂłmeno de la deserciĂłn estudiantil en el instituto y esto contribuirĂĄ en desarrollar un Ăłptimo modelo matemĂĄtico para el pronĂłstico cuantitativo, que determina el comportamiento futuro de este indicador analĂ­tico, para diseĂąar estrategias de prevenciĂłn y atenciĂłn a la poblaciĂłn estudiantil que cursa este nivel educativo en la dependencia.

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3.2 Análisis estadístico Es importante considerar a la Estadística como una herramienta de apoyo que puede dar respuesta a muchas de las necesidades que la actual sociedad nos plantea, a razón de que su tarea fundamental es la reducción de datos, con el objetivo de representar la realidad y describirla, predecir su futuro o simplemente conocerla; en nuestros días se ha convertido en una rama de la matemática efectiva para describir con exactitud los valores de datos físicos, políticos y sociales que sirve para relacionar y analizar dichos datos, por lo que esto implica que esta herramienta no consiste ya sólo en resumir y tabular los datos, sino más bien en enfocarse en el proceso de interpretación de esta información. Entonces es importante considerar que Pronosticar o dar aproximaciones a futuros eventos ha sido una práctica frecuente para los seres humanos. En tiempos remotos estos pronósticos se realizaban mediante métodos un poco ortodoxos. Con el paso del tiempo y gracias a los avances teóricos y tecnológicos de la ciencia, estas aproximaciones han ido cambiando hasta llegar a metodologías rigurosamente científicas y bien fundamentadas teóricamente. Con esto decimos que el desarrollo de la Teoría de la Probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística a razón de que muchos de los conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando modelos probabilísticos; por lo que los resultados de estas pueden utilizar para analizar datos estadísticos. Por lo que la Probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico. Entonces mencionemos que el análisis del Método de Regresión es una técnica estadística para investigar y modelar la relación entre variables, por lo que son numerosas las aplicaciones de esto en cualquier campo, incluyendo en ciencias físicas, experimentales y sociales y de hecho se puede decir que esta técnica estadística es la más usada, por lo que sustenta la fundamentación del análisis de los métodos numéricos que se basan de los modelos matemáticos para desarrollarlo y efectuarlo mediante al ajuste polinomial. 3.3. Ajuste Matemático 3.3.1 Fundamentos sobre el Ajuste de Funciones polinomiales El ajuste de funciones polinomiales es una técnica para el modelado de datos mediante una ecuación y es importante considerar la siguiente pregunta: ¿Cómo decidir qué tipo de función polinomial si existe, podría ajustarse a los datos? (Bittinger, (2002)). Una forma simple consiste en examinar un Diagrama de Dispersión que es una gráfica de datos de dos variables en la variable independiente está en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical, entonces con esto se hace el énfasis en definir qué Tipos de Variables se van a considerar en este modelo:

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â—? Variable Dependiente: Es la variable que se predice o se explica. Se representa por đ?‘Ś. â—? Variable Independiente: Es la variable que sirve para predecir o explicar. Se representa por đ?‘Ľ. Luego, es importante buscar un patrĂłn que se parezca a una de las grĂĄficas de los tipos de funciones polinomiales que hay. A continuaciĂłn, se presenta un Procedimiento que se considera y que la mayorĂ­a de las veces funciona para determinar modelos matemĂĄticos: 1. Representar grĂĄficamente los datos (en la forma de Diagrama de DispersiĂłn). 2. Observar el diagrama de dispersiĂłn para determinar si parece ajustarse a una funciĂłn conocida. 3. Determinar una funciĂłn que ajuste los datos. Ahora con esto se va a utilizar el grupo de funciones polinomiales para observar cuĂĄl funciĂłn, si existe, podrĂ­a ajustarse a ciertos datos: â—? Los datos podrĂ­an modelarse mediante una funciĂłn polinomial lineal si la grĂĄfica parece una lĂ­nea recta. â—? Los datos podrĂ­an modelarse mediante una funciĂłn polinomial cuadrĂĄtica, si la grĂĄfica sube y luego baja, o baja y luego sube, en una forma encorvada que se parezca a una parĂĄbola. â—? Si los datos caen, luego aumentan, y vuelven a caer (de modo que no se ajustan a una funciĂłn polinomial lineal o una funciĂłn polinomial cuadrĂĄtica), pero podrĂ­an ajustarse a una funciĂłn polinomial cĂşbica (Bittinger, (2002)). 3.3.2. DefiniciĂłn del MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados Es una tĂŠcnica de anĂĄlisis numĂŠrico enmarcada dentro de la optimizaciĂłn matemĂĄtica, en la que, dados un conjunto de pares ordenados que incluyen una variable independiente y una variable dependiente. La cual busca encontrar la funciĂłn continua, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mĂ­nimo error cuadrĂĄtico. MĂĄs aun esto coincide con el principio de mĂĄxima probabilidad de la estadĂ­stica. Entonces decimos que, desde un punto de vista estadĂ­stico, un requisito implĂ­cito para que funcione el mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados es que los errores de cada medida estĂŠn distribuidos de forma aleatoria para determinar el mejor ajuste de una funciĂłn polinomial a travĂŠs de la consideraciĂłn de utilizar como mĂ­nimo cuatro puntos (Gerald, (2000)). 3.3.3. Procedimiento del MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados Se supone que se conocen datos que consta de đ?‘› puntos que se definen como: (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) y que el objetivo es hallar una funciĂłn polinomial đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) que se ajuste razonablemente a los datos, por lo que el primer paso es decidir quĂŠ tipo de funciĂłn probar a travĂŠs de la inspecciĂłn grĂĄfica de los đ?‘› puntos, como se muestra en la đ??†đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š đ?&#x;?:

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đ??†đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š đ?&#x;?. RepresentaciĂłn de los diferentes tipos de ajuste para encontrar una funciĂłn polinomial (Chapra (2011)) Es importante evitar incertidumbres en la elecciĂłn de la funciĂłn de ajuste. Por lo tanto, se considera una Ăłptima decisiĂłn, a travĂŠs del mĂ­nimo valor en su coeficiente de determinaciĂłn đ?‘… 2 que define su procedimiento a efectuar en este anĂĄlisis que represente el comportamiento general de los datos de la siguiente manera: đ?‘… 2 = ∑đ?‘›đ?‘˜=1 [đ?‘Śđ?‘˜ − đ?‘“ (đ?‘Ľđ?‘› )]2 Aunque esta propuesta no pase por todos y cada uno de los puntos en cuestiĂłn, representa el comportamiento de los datos (MarĂ­n, (2013)). 3.3.4. ClasificaciĂłn de Modelos en las Funciones Polinomiales para el MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados. El caso mĂĄs usado en la prĂĄctica es poder ajustar funciones polinomiales, ya que en este caso los parĂĄmetros serĂĄn funciones de cualquier tipo que son fĂĄciles de estimar (MarĂ­n, (2014)). El modelo a ajustar estarĂĄ basado en su generalizaciĂłn del ajuste polinomial de grado đ?‘š que estĂĄ dado por: đ?‘“(đ?‘Ľ; đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š ) = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š đ?‘Ľ đ?‘š ‌ (2) Por medio de esta consideraciĂłn en la ecuaciĂłn ‌ (2) se aproxima ahora a un conjunto de datos {(đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Śđ?‘– )}đ?‘š con una funciĂłn polinomial algebraica de grado đ?‘› < đ?‘š − 1 mediante el đ?‘–=1 procedimiento de mĂ­nimos cuadrados (Mathews, (2000)); por lo que se ha definido el polinomio como: đ?‘—

đ?‘“đ?‘› (đ?‘Ľđ?‘– ) = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľđ?‘–đ?‘›âˆ’1 + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľđ?‘–đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘—=0 đ?‘Žđ?‘— đ?‘Ľđ?‘– ‌ (3) Para obtener el error mĂĄs bajo en mĂ­nimos cuadrados, es necesario seleccionar de la ecuaciĂłn ‌ (3) las constantes đ?‘Ž0 , đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› de tal manera que las derivadas parciales con respecto a cada una de ellas sean cero y asĂ­ para cada đ?‘—: đ?‘—

đ?‘—+đ?‘˜

đ?‘š 2 đ?‘› đ?‘š đ?‘› đ?‘š đ?‘› 2 đ?‘… 2 = ∑đ?‘š đ?‘–=1 [đ?‘Śđ?‘– − đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– )] = ∑đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– − 2∑đ?‘—=0 đ?‘Žđ?‘— (∑đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– ) + ∑đ?‘—=0 ∑đ?‘˜=0 đ?‘Žđ?‘— đ?‘Žđ?‘˜ (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

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) ‌ (4)

đ?œ•đ?‘… 2 đ?‘— đ?‘—+đ?‘˜ = −2∑đ?‘š đ?‘Ś đ?‘Ľ + 2∑đ?‘š đ?‘Ž ∑đ?‘š đ?‘Ľ ‌ (5) đ?‘–=1 đ?‘– đ?‘– đ?‘˜=0 đ?‘˜ đ?‘–=1 đ?‘– đ?œ•đ?‘Žđ?‘— Esto da đ?‘› + 1 ecuaciones normales con đ?‘› + 1 incĂłgnitas đ?‘Žđ?‘— , por lo tanto, đ?‘—+đ?‘˜

∑đ?‘›đ?‘˜=0 đ?‘Žđ?‘˜ ∑đ?‘š đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘—

= ∑đ?‘š đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– ‌ (6)

Para cada đ?‘— = 0,1, ‌ , đ?‘› se tiene: 0 đ?‘š 1 đ?‘š 2 đ?‘š đ?‘› đ?‘š 0 đ?‘Ž0 (∑đ?‘š đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + đ?‘Ž1 (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + đ?‘Ž2 (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) = ∑đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– đ?‘š 2 đ?‘š 3 đ?‘š đ?‘›+1 1 đ?‘Ž0 (∑đ?‘š ) = ∑đ?‘š đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + đ?‘Ž1 (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + đ?‘Ž2 (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– ‌ (7) â‹Ž đ?‘› đ?‘š đ?‘›+1 đ?‘›+2 2đ?‘› đ?‘š đ?‘› đ?‘Ž0 (∑đ?‘š ) + đ?‘Ž2 (∑đ?‘š ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› (∑đ?‘š đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + đ?‘Ž1 (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) = ∑đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘–

Por lo tanto, estas ecuaciones normales ‌ (7) tienen soluciĂłn Ăşnica siempre y cuando las đ?‘Ľđ?‘– sean distintas y en tal caso, la funciĂłn apropiada de mĂ­nimos cuadrados (probablemente un polinomio de grado đ?‘›) puede deducirse con los valores de la funciĂłn para que se reemplace con los datos cuando la medida de bondad de ajuste de đ?‘… 2 sea suficientemente pequeĂąa, a esto se le denomina “suavizamiento de datosâ€? y su aplicaciĂłn de esto es en encontrar estos parĂĄmetros: đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› a travĂŠs de la resoluciĂłn de sistemas de ecuaciones normales. Entonces se supone ajustar una pareja de datos a travĂŠs de este modelo de la funciĂłn polinomial generalizada en cuestiĂłn de la suma de los errores al cuadrado đ?‘… 2 que estĂĄ dada por: 2 đ?‘š 2 đ?‘… 2 = ∑đ?‘ đ?‘˜=1 [đ?‘Śđ?‘˜ − (đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š đ?‘Ľ )] ‌ (8)

Para encontrar el valor de los parĂĄmetros đ?‘Ž0 , đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š de la ecuaciĂłn ‌ (8) se procede a relacionar el cambio de variables de los subĂ­ndices đ?‘› con đ?‘š que se definen en las sumatorias de las ecuaciones‌ (7); por lo tanto, se obtiene el sistema de ecuaciones normales para el grado đ?‘š que estĂĄ dada por: đ?‘Ž0 đ?‘ +

đ?‘ đ?‘š đ?‘Ž1 (∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– )

= ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

đ?‘Ž0 (∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) +

2 đ?‘ đ?‘š+1 đ?‘Ž1 (∑đ?‘ ) = ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ‌ (9) â‹Ž đ?‘š đ?‘ đ?‘š+1 2đ?‘š đ?‘ đ?‘š đ?‘Ž0 (∑đ?‘ ) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š (∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) + đ?‘Ž1 (∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ) = ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

Sin embargo, para hallar la función de mejor ajuste, se determinan los valores o coeficientes respectivamente en cada caso de los tipos de funciones para �0 , �1 , ‌ , �� donde � ≼ 0. Por lo tanto, se considera el sistema de ecuaciones normales del ajuste polinomial de ̂ = �, es decir: grado � ‌ (8) en tÊrminos matriciales de la forma ��

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đ?‘

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– â‹Ž đ?‘š đ?‘ [∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘ ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–2 â‹Ž đ?‘ ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š+1

đ?‘š đ?‘ đ?‘Ž0 ∑đ?‘ â‹Ż ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘š+1 đ?‘ đ?‘ đ?‘Ž1 â‹Ż ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– [ â‹Ž ] = ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ‌ (10) â‹ą â‹Ž â‹Ž â‹Ż ∑đ?‘ đ?‘Ľ 2đ?‘š ] đ?‘Žđ?‘š đ?‘ [∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š đ?‘Śđ?‘– ] đ?‘–=1 đ?‘–

Ě‚=đ?’€ y Para encontrar la soluciĂłn matricial se tiene que multiplicar la ecuaciĂłn matricial đ?‘żđ?’‚ despuĂŠs se calcula su inversa (se multiplicĂł por la matriz transpuesta para que quede una matriz cuadrada) −đ?&#x;?

Ě‚ = đ?‘żđ?‘ť đ?’€ →∴ đ?’‚ Ě‚ = (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?‘żđ?‘ť đ?’€ ‌ (11) đ?‘żđ?‘ť đ?‘żđ?’‚ Este sistema de ecuaciones lineales simultĂĄneas se puede resolver fĂĄcilmente usando la famosa regla de Cramer (para polinomios lineales y cuadrĂĄticos) y el mĂŠtodo de eliminaciĂłn Gaussiana (para polinomios al menos de tercer grado). Los coeficientes de la matriz de ‌ (10) se encuentran acomodando los datos en la Tabla 1 que estĂĄ construida de la siguiente manera: đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;?. đ???đ??šđ??Ťđ??š đ??žđ??Ľ đ??šđ??Łđ??Žđ??Źđ??­đ??ž đ??Šđ??¨đ??Ľđ??˘đ??§đ??¨đ??Śđ??˘đ??šđ??Ľ đ???đ??ž đ?? đ??Ťđ??šđ???đ??¨ đ?’Ž. đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22 đ?‘Ľ32 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

đ?’™đ?&#x;‘đ?’Š đ?‘Ľ13 đ?‘Ľ23 đ?‘Ľ33 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 3

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

2 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

3 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

đ?’Š

��

1 2 3 â‹Ž đ?‘

đ?’šđ?’Š

�� ��

â‹Ż

đ?’™đ?&#x;?đ?’Ž đ?’Š đ?‘Ľ12đ?‘š đ?‘Ľ22đ?‘š đ?‘Ľ32đ?‘š â‹Ž 2đ?‘š đ?‘Ľđ?‘

đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Śđ?‘

đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?’šđ?’Š đ?‘Ľ12 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ22 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ32 đ?‘Ś3 â‹Ž 2 đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

â‹Ż

2đ?‘š ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

2 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

â‹Ż â‹Ż â‹Ż â‹Ż

â‹Ż

�� � ��

â‹Ż â‹Ż â‹Ż

đ?‘Ľ1đ?‘š đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2đ?‘š đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3đ?‘š đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘š đ?‘Śđ?‘

â‹Ż

đ?‘š â‹Ż ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

3.3.4.1. Ajuste de la funciĂłn polinomial lineal đ?’š = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ Se recuerda que una aproximaciĂłn por mĂ­nimos cuadrados consiste en ajustar a una lĂ­nea recta un conjunto de datos discretos de la forma: (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ ) Por lo tanto, se inicia en considerar una ecuaciĂłn de una lĂ­nea recta a la cual se relaciona al comportamiento de los datos y el modelo propuesto, de esta forma se tiene: đ?‘Ś = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ dĂłnde đ?‘Ž0 =es la ordenada al origen y đ?‘Ž1 =es la pendiente. Al aplicar el criterio de que el “mejorâ€? ajuste se cumple cuando se puede minimizar la suma de los cuadrados de los residuos đ?‘šđ?&#x;? , es decir, el error entre el modelo y los datos experimentales, se tiene que: đ?‘… 2 = ∑đ?‘›đ?‘–=1 (đ?‘Ś1 − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– )2 ‌ (12) Este criterio tiene la ventaja de proporcionar una lĂ­nea Ăşnica para un conjunto de datos.

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Para determinar los valores de đ?‘Ž0 y đ?‘Ž1 que minimizan la ecuaciĂłn se deriva la ecuaciĂłn con respecto a cada uno de los coeficientes đ?œ•đ?‘… 2 = −2∑(đ?‘Śđ?‘– − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– ) = 0 đ?œ•đ?‘Ž0 ‌ (13) đ?œ•đ?‘… 2 = −2∑[(đ?‘Ś1 − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– )đ?‘Ľđ?‘– ] = 0 đ?œ•đ?‘Ž1 Al igualar ambas derivadas en las ecuaciones ‌ (13) a cero, se genera un mĂ­nimo para la suma de los cuadrados de los residuos đ?‘šđ?&#x;? de la siguiente forma: −2∑(đ?‘Śđ?‘– − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– ) = 0 = ∑đ?‘Śđ?‘– − ∑đ?‘Ž0 − ∑đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– ‌ (14) −2∑[(đ?‘Ś1 − đ?‘Ž0 − đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘– )đ?‘Ľđ?‘– ] = 0 = ∑đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– − ∑đ?‘Ž0 đ?‘Ľđ?‘– − ∑đ?‘Ž1 đ?‘Ľđ?‘–2 ‌ (15) De la ecuaciĂłn ‌ (13) se obtiene ∑đ?‘Śđ?‘– = đ?‘›đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 ∑đ?‘Ľđ?‘– ‌ (16) De la ecuaciĂłn ‌ (14) se obtiene ∑đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘Ž0 ∑đ?‘Ľđ?‘– + đ?‘Ž1 ∑(đ?‘Ľđ?‘– )2 ‌ . (17) Al resolver en forma simultĂĄnea las ecuaciones ‌ (16) y ‌ (17) se obtienen los valores de đ?‘Ž0 y đ?‘Ž1 mediante las siguientes ecuaciones: đ?‘Ž1 =

∑ đ?‘Śđ?‘– ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘› ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– − ∑ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ś1 (18), ‌ đ?‘Ž = − đ?‘Ž ( ) ‌ (19) đ?‘œ 1 đ?‘› đ?‘› đ?‘› ∑ đ?‘Ľđ?‘–2 − (∑ đ?‘Ľđ?‘– )2

Por lo tanto, construyendo la Tabla 2; para el caso lineal queda de la forma: đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;?. đ???đ??šđ??Ťđ??š đ??žđ??Ľ đ??šđ??Łđ??Žđ??Źđ??­đ??ž đ??Šđ??¨đ??Ľđ??˘đ??§đ??¨đ??Śđ??˘đ??šđ??Ľ đ??Ľđ??˘đ??§đ??žđ??šđ??Ľ đ?’™đ?’Š

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š

đ?’šđ?’Š

�� ��

1 2 3

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3

đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22 đ?‘Ľ32

đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3

đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3

â‹Ž đ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

â‹Ž đ?‘Śđ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

đ?’Š

Suma por columna

đ?‘ľ đ?&#x;? đ?‘ľ đ?‘ľ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

Las ecuaciones normales matriciales para el caso del ajuste lineal estĂĄn dadas por: [

đ?‘

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ž0

đ?‘ 2 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

] [đ?‘Ž ] = [ 1

9

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

] ‌ (20)

Este sistema de ecuaciones ‌ (20) se puede resolver con los mĂŠtodos habituales (suma y resta, Cramer, sustituciĂłn, etc.). 3.3.4.2. Ajuste de la funciĂłn polinomial cuadrĂĄtico đ?’š = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? De la misma manera considerando la Tabla 3; para una ajuste cuadrĂĄtico o parabĂłlico queda como: đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;‘. đ???đ??šđ??Ťđ??š đ??žđ??Ľ đ??šđ??Łđ??Žđ??Źđ??­đ??ž đ??Šđ??¨đ??Ľđ??˘đ??§đ??¨đ??Śđ??˘đ??šđ??Ľ đ??œđ??Žđ??šđ???đ??ŤĂĄđ??­đ??˘đ??œđ??¨. đ?’Š

��

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š

đ?’™đ?&#x;‘đ?’Š

đ?’™đ?&#x;’đ?’Š

đ?’šđ?’Š

�� ��

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?’šđ?’Š

1 2

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22

đ?‘Ľ13 đ?‘Ľ23

đ?‘Ľ14 đ?‘Ľ24

đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2

đ?‘Ľ12 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ22 đ?‘Ś2

3

đ?‘Ľ3

đ?‘Ľ32

đ?‘Ľ33

đ?‘Ľ34

đ?‘Ś3

đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3

đ?‘Ľ32 đ?‘Ś3

â‹Ž đ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 3

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 4

â‹Ž đ?‘Śđ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

đ?‘Ľđ?‘ 2 đ?‘Śđ?‘

Suma por columna

â‹Ž

đ?‘ľ đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?‘ľ đ?&#x;’ đ?‘ľ đ?&#x;? đ?‘ľ đ?‘ľ đ?‘ľ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

Las ecuaciones normales para el caso del ajuste polinomial cuadrĂĄtico estĂĄn dadas por: đ?‘

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

2 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

đ?‘

2

[∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

2 ∑đ?‘ ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ž0 3 [đ?‘Ž ] = ‌ (21) ∑đ?‘ ∑đ?‘ 1 đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

3 4 ∑đ?‘ ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ]

đ?‘Ž2

đ?‘

2

[∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ]

Este sistema de ecuaciones ‌ (21) se puede resolver con los mĂŠtodos de Cramer de 3 variables con 3 incĂłgnitas. 3.3.4.3. Ajuste de la funciĂłn polinomial cĂşbico: đ?’š = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ +đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;‘ Similarmente, considerando la Tabla 4; para el caso cĂşbico que estĂĄ dado por: đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;’. đ???đ??šđ??Ťđ??š đ??žđ??Ľ đ??šđ??Łđ??Žđ??Źđ??­đ??ž đ??Šđ??¨đ??Ľđ??˘đ??§đ??¨đ??Śđ??˘đ??šđ??Ľ đ??œĂşđ??›đ??˘đ??œđ??¨ đ?’Š

��

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š

đ?’™đ?&#x;‘đ?’Š

đ?’™đ?&#x;’đ?’Š

đ?’™đ?&#x;“đ?’Š

đ?’™đ?&#x;”đ?’Š

đ?’šđ?’Š

�� ��

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?’šđ?’Š

đ?’™đ?&#x;‘đ?’Š đ?’šđ?’Š

1 2

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22

đ?‘Ľ13 đ?‘Ľ23

đ?‘Ľ14 đ?‘Ľ24

đ?‘Ľ15 đ?‘Ľ25

đ?‘Ľ16 đ?‘Ľ26

đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2

đ?‘Ľ12 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ22 đ?‘Ś2

đ?‘Ľ13 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ23 đ?‘Ś2

3

đ?‘Ľ3

đ?‘Ľ32

đ?‘Ľ33

đ?‘Ľ34

đ?‘Ľ35

đ?‘Ľ36

đ?‘Ś3

đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3

đ?‘Ľ32 đ?‘Ś3

đ?‘Ľ33 đ?‘Ś3

â‹Ž đ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 3

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 4

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 5

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 6

â‹Ž đ?‘Śđ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

â‹Ž

â‹Ž

đ?‘Ľđ?‘ 2 đ?‘Śđ?‘

đ?‘Ľđ?‘ 3 đ?‘Śđ?‘

Suma por columna

đ?&#x;“ đ?‘ľ đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?‘ľ đ?&#x;” đ?‘ľ đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?‘ľ đ?‘ľ đ?&#x;’ đ?‘ľ đ?‘ľ đ?‘ľ đ?‘ľ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

Las ecuaciones normales matriciales para el caso del ajuste cĂşbico estĂĄn dadas por el siguiente sistema de 4 variables y 4 ecuaciones:

10

đ?‘

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘ ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–2 3 đ?‘ [∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘ ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–2 3 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– 4 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

2 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– 3 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– 4 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– 5 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

3 ∑đ?‘ ∑đ?‘ đ?‘Ž0 đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘ 4 đ?‘ ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ž1 ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ‌ (22) 5 [ đ?‘Ž2 ] = 2 đ?‘ ∑đ?‘ ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– 3 6 đ?‘Ž3 ∑đ?‘ [∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ] đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ]

En estas ecuaciones matriciales ‌ (22) se recomienda recurrir al software de la computadora

para poder resolver “de manera sencillaâ€? este sistema de ecuaciones. Se sugiere utilizar los casos de la Tabla 2 hasta la Tabla 4 de la generalizaciĂłn de la Tabla 1, a razĂłn de que estos dan un Ăłptimo ajuste para poder encontrar el valor de los parĂĄmetros đ?‘Žđ?‘˜ con đ?‘˜ = 1, ‌ , đ?‘š que minimicen esta suma; es decir: min đ?‘… 2 = min ∑[đ?‘Śđ?‘˜ − đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ ; đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š )]2 ‌ (23)

�1 ,‌,��

�1 ,‌,��

Para poder encontrar estos coeficientes de la ecuaciĂłn ‌ (23) se debe cumplir cada una de las ecuaciones presentadas en los casos de la Tabla 2 hasta la Tabla 4; a travĂŠs del criterio siguiente: đ?œ•(đ?‘… 2 ) = 0 con đ?‘– = 1, ‌ , đ?‘š. ‌ (24) đ?œ•đ?‘Žđ?‘– En tĂŠrminos generales es un sistema de ecuaciones no lineales con đ?‘š restricciones (MarĂ­n, (2014)). 3.3.5. Los residuales que define al MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados En el caso prĂĄctico no es posible encontrar esta funciĂłn polinomial đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) y que satisfaga exactamente todas las relaciones: đ?‘Ś1 = đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) đ?‘Ś2 = đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) ‌ (25) â‹Ž đ?‘Śđ?‘› = đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘› )

Por lo general, uno estĂĄ dispuesto a aceptar un "residual" (que dependerĂĄ de cada observaciĂłn) y se define de la manera siguiente: đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ ) = đ?‘Śđ?‘˜ + đ?‘’đ?‘˜ ‌ (26) Donde đ?‘’đ?‘˜ es el residual que define la mediciĂłn observada en el dato. La pregunta que uno se hace es ÂżcĂłmo poder encontrar "la mejor aproximaciĂłn" que pase por los puntos? (Smith, (1988)). Para responder esta pregunta, hay que considerar los residuales (tambiĂŠn llamado como las desviaciones) y estĂĄn dados como la diferencia del valor estimado por el modelo đ?‘“ (đ?‘Ľđ?‘˜ ) menos el valor observado đ?‘Śđ?‘˜ , es decir: Residuales de MediciĂłn

11

đ?‘’đ?‘˜ = đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘˜ ) − đ?‘Śđ?‘˜ para 1 ≤ đ?‘˜ ≤ đ?‘› ‌ (27) Residual = Valor Estimado − Valor Observado ‌ (28)

Esta diferencia tambiĂŠn suele denotarse por đ?‘’đ?‘– y con esto se podrĂĄ determinar el “residual de estimaciĂłnâ€? que permite fijar lĂ­mites dentro de los cuales estarĂĄ el valor real con cierto grado de confiabilidad entre los datos verdaderos u observados de đ?‘Śđ?‘– y los datos estimados o evaluados de đ?‘ŚĚ‚đ?‘– , es decir: đ?‘’đ?‘– = đ?‘Śđ?‘– − đ?‘ŚĚ‚đ?‘– →∴ đ?‘’đ?‘– = đ?‘Śđ?‘– − đ?‘“Ě‚(đ?‘Ľđ?‘– ) ‌ (29) Esta ecuaciĂłn debe satisfacer la condiciĂłn de minimizar la suma de las residuales (đ?‘’đ?‘– ) del comportamiento de cada par de datos discretos (Quintana. (2005)), con respecto al modelo propuesto, elevadas al cuadrado, es decir: đ?‘›

∑ đ?‘’đ?‘–2

2 2 2 = ∑[đ?‘Śđ?‘– − đ?‘“Ě‚(đ?‘Ľđ?‘– )] = ∑(đ?‘Śđ?‘– − đ?‘ŚĚ‚) →∴ ∑(đ?‘Śđ?‘–,đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž − đ?‘ŚĚ‚đ?‘–,đ?‘šđ?‘œđ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘œ ) ‌ (30) đ?‘– đ?‘–=1

En la Gråfica 2 se representa la ecuación ‌ (28)

đ??†đ??ŤĂĄđ??&#x;đ??˘đ??œđ??š đ?&#x;? El residual de mediciĂłn se compara con los valores observados y con los valores estimados (MarĂ­n Salguero, R. (2013))

Este anĂĄlisis se describe para las predicciones generacionales a travĂŠs del cĂĄlculo del residual; que este sea lo mĂĄs exacto posible, es decir un valor mĂ­nimo para encontrar el mejor ajuste para los datos presentados e inferir quĂŠ acciones se debe llevar a cabo para cada situaciĂłn respectiva en la modalidad del estudio a efectuar (Montes de Oca, F. (2002)). La validez de la aplicaciĂłn del mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados para el ajuste de funciones descansa sobre tres suposiciones sobre los residuales que son la: 1.-Independencia: requiere que los residuales sean independientes unos de otros. 2.-Normalidad: requiere que los residuales se distribuyen normalmente en cada valor de la variable independiente. 3.-Homocedasticidad: requiere que la varianza de los residuales sea constante; es decir requiere que tengan igual varianza.

12

Esta validez de la aplicaciĂłn del mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados se define como el criterio de determinaciĂłn del mejor ajuste polinomial, dado por: đ??Śđ??˘đ??§ đ??‘đ?&#x;? > đ??‘đ?&#x;?đ??š ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;?) (Infante, ZĂĄrate. (2012)) Donde: R2 = Coeficiente de determinaciĂłn R2a = Coeficiente de determinaciĂłn ajustado La ecuaciĂłn ‌ (31) nos precisa que modelo de funciĂłn polinomial es el Ăłptimo, para que este sea el detonador de poder pronosticar los rangos con certeza. 3.3.6. Intervalos de predicciĂłn Considerando el ajuste de la funciĂłn polinomial, se asume que tienen đ?‘ parejas de nĂşmeros (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) hasta (đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ ) y se desea ajustar el mejor polinomio de grado đ?‘š dado por: đ?‘Ś = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘š đ?‘Ľ đ?‘š ‌ (32) Por lo tanto, se definen los probables intervalos de predicciĂłn al 95% de la deserciĂłn estudiantil para esta dependencia del IEMSDF, con su respectiva generaciĂłn en đ?‘Ľđ?‘? , dada por: Ě‚ Âą đ?’•đ?‘ľâˆ’(đ?’Ž+đ?&#x;?) Ě‚ √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;‘) đ?’šđ?’‘ = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ đ??ˆ đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ (Wackerly, Dennis D. (2010) ) đ??ƒđ??¨đ??§đ???đ??ž: La variable definida generacional del porcentaje de deserciĂłn a predecir = đ?’šđ?’‘

đ?’™đ?’‘ â‹Ż đ?’™đ?’Ž đ?’‘] đ?’‚đ?&#x;Ž đ?’‚đ?&#x;? −đ?&#x;? đ?‘ť Ě‚ = (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?‘ż đ?’€ = [ ] La matriz de parĂĄmetros = đ?’‚ â‹Ž đ?’‚đ?’Ž

La matriz pronĂłstico para đ?‘? datos generacionales = đ?‘żđ?’‘ = [đ?&#x;?

đ?‘ľâˆ’(đ?’Ž+đ?&#x;?)

El percentil de una đ?‘Ą Student = đ?’•đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ con đ?‘ľ − (đ?’Ž + đ?&#x;?) = đ?’— grados de libertad. đ??‚đ??¨đ??§đ??Źđ??˘đ???đ??žđ??Ťđ??šđ??§đ???đ??¨ đ??Şđ??Žđ??ž: đ?’Ž = Grado del polinomio que se obtuvo en el ajuste. đ?’Ž đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? â‹Ż đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? â‹Ż đ?’™đ?’Ž đ?&#x;? ] = La matriz de diseĂąo del ajuste polinomial. đ?‘ż = [đ?&#x;? â‹Ž â‹ą â‹Ž â‹Ž đ?&#x;? đ?’™đ?‘ľ â‹Ż đ?’™đ?’Ž đ?‘ľ đ?’šđ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? đ?’€ = [ â‹Ž ] = La matriz de respuesta del modelo ajustado a los datos. đ?’šđ?‘ľ đ?‘ť đ?‘ż = La matriz transpuesta de diseĂąo del ajuste polinomial. đ?‘ľ = NĂşmero de datos.

13

−đ?&#x;?

(đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)

= La matriz inversa.

Ě‚ đ?‘ť đ?‘żđ?‘ť đ?’€ đ?‘şđ?‘Şđ?‘Ź đ?’€đ?‘ť đ?’€ − đ?’‚ Ě‚=√ El error estĂĄndar de estimaciĂłn = đ??ˆ =√ đ?‘ľ − (đ?’Ž + đ?&#x;?) đ?‘ľ − (đ?’Ž + đ?&#x;?) đ??ƒđ??žđ??&#x;đ??˘đ??§đ??˘đ??žđ??§đ???đ??¨: đ?‘şđ?‘Şđ?‘Ź = Suma de cuadrados del error. đ?’€đ?‘ť = La matriz transpuesta de respuesta del modelo ajustado a los datos. Ě‚ đ?‘ť = La matriz transpuesta de los parĂĄmetros. đ?’‚

Respecto al orden de la bivalencia Âą el intervalo de predicciĂłn es expresado como: Ě‚ − đ?’•đ?‘ľâˆ’(đ?’Ž+đ?&#x;?) Ě‚ + đ?’•đ?‘ľâˆ’(đ?’Ž+đ?&#x;?) Ě‚ √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ ≤ đ?’šđ?’‘ ≤ đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ Ě‚ √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;’) đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ đ??ˆ đ??ˆ đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“

La hipĂłtesis indica que el valor esperado de los residuales sea cero y tambiĂŠn que la varianza de los errores sea constante, es decir: đ??¸[đ?‘’đ?‘˜ ] = 0 para đ?‘˜ = 1,2, ‌ , đ?‘› đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x;[đ?‘’đ?‘˜ ] = đ?œŽĚ‚ para đ?‘˜ = 1,2, ‌ , đ?‘› ‌ (35) ( Infante, ZĂĄrate. (2012))

4. MetodologĂ­a En este proyecto fue necesario recurrir al ordenador, para poder resolver el objetivo planteado; por lo que se utilizĂł las siguientes herramientas computacionales: â—? La hoja de cĂĄlculo de Microsoft Excel 2016 del sistema operativo Windows 10. â—? WĂłlfram Alpha desde: http://www.wolframalpha.com/ â—? Matrixcalc versiĂłn slu. desde: https://matrixcalc.org/es/slu.html â—? Octave-MATLAB desde: http://octave-online.net/ Es de especial importancia considerarlo a razĂłn de que se plantea el modelo Ăłptimo para dar respuesta a las siguientes cuestiones fundamentales: 1). ÂżCuĂĄles son las relaciones en las que estarĂĄ basado el modelo? El fenĂłmeno de la deserciĂłn estudiantil en la dependencia del IEMS-DF se considera por medio de las generaciones escolares, en este caso se tomarĂĄ la relaciĂłn del ingreso-egreso de cada generaciĂłn de todos los planteles de la modalidad escolarizada. 2). ÂżCuĂĄl es la formulaciĂłn del Modelo? A travĂŠs de los datos registrados del Sistema de InformaciĂłn Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF), para poder inferir los valores estimados a pronosticar a travĂŠs del ajuste de funciones polinomiales, se considera la relaciĂłn numĂŠrica de orden cronolĂłgico de la generaciĂłn en los valores discretos, es decir: Si la

14

primera generación del IEMS-DF fue en 2001-2002, se considera por conveniencia al modelo, como generación 1. 3). ¿QuÊ atributos caracterizan el modelo? Por medio de la fórmula del porcentaje de deserción generacional-PDG, que estÊ se calcula en ‌ (1), para aplicarlo en Excel: Tabla 5. Datos de la dependencia IEMS-DF

(Sistema de InformaciĂłn Mexicana del Distito Federal, INFOMEXDF (2016)) GeneraciĂłn 2001-1 2002-2 2003-3 2004-4 2005-5 2006-6 2007-7 2008-8 2009-9 2010-10 2011-11 2012-12 2013-13 2014-14 TOTALES EIG EEG PDG

3062 349 88.6

3719 3401 5647 644 901 1390 82.68 73.51 75.39

5443 1602 70.57

5538 1765 68.13

5762 1735 69.89

5804 1533 73.59

5729 1502 73.78

6149 1591 74.13

6625 1700 74.34

6372 1601 74.87

6349 Âż? Âż?

6826 63251 Âż? 16313 Âż? 74.21%

4.) ¿Cuåles son las restricciones a emplear para simplificar el modelo? Cabe aclarar que en el presente trabajo se tomarå en cuenta las siguientes variables: � Variable cuantitativa independiente (�): Define la generación del aùo escolar donde se analiza la deserción de estudiantes en esta dependencia del IEMS-DF. � Variable cuantitativa dependiente (�): Define el porcentaje de la deserción generacional estudiantil de esta dependencia del IEMS-DF. Por lo que esta consideración de las variables, implica relacionar y definir las siguientes parejas ordenadas: (x1 , y1 ) = (generación 1, PDG1 ) ⋎ ‌ (36) (xn , yn ) = (generación n, PDGn )

Dónde ‌ (36) se delimita, como los valores discretos por conveniencia a la respectiva generación � = 1,2, ‌ ,12; que estos se relacionan, como: (x1 , y1 ) = (1, PDG1 ) ⋎ ‌ (37) (x12 , y12 ) = (12, PDG12 )

Luego, se toma la consideraciĂłn ‌ (37), para poder realizar el siguiente arreglo, que va a definir el ajuste: đ?’™đ?’Š đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’šđ?’Š 88.60 82.68 73.51 75.39 70.57 68.13 69.89 73.59 73.78 74.13 74.34 74.87 đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;”. RelaciĂłn de variables fundamentales para el ajuste, que define la deserciĂłn estudianti en el IEMSDF. đ?’™đ?’Š = đ??‘đ??žđ??Šđ??Ťđ??žđ??Źđ??žđ??§đ??­đ??šđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ???đ??ž đ??Ľđ??š đ?? đ??žđ??§đ??žđ??Ťđ??šđ??œđ??˘Ă˛đ??§ đ??žđ??Źđ??œđ??¨đ??Ľđ??šđ??Ť đ??žđ??§ đ??Ľđ??¨đ??Ź đ??Żđ??šđ??Ľđ??¨đ??Ťđ??žđ??Ź đ???đ??˘đ??Źđ??œđ??Ťđ??žđ??­đ??¨đ??Ź đ??„đ??ˆđ??† − đ??„đ??„đ??† đ??’đ??˘đ??žđ??§đ???đ??¨: đ?’šđ?’Š = đ???đ??¨đ??Ťđ??œđ??žđ??§đ??­đ??šđ??Łđ??ž đ???đ??ž đ???đ??žđ??Źđ??žđ??Ťđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ?? đ??žđ??§đ??žđ??Ťđ??šđ??œđ??˘đ??¨đ??§đ??šđ??Ľ (đ???đ??ƒđ??†) = ( ) ∗ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ??„đ??ˆđ??†

5.) ÂżCuĂĄl es el criterio del mejor ajuste a los datos en el modelo? Para poder realizar el Ăłptimo ajuste polinomial a los datos de la Tabla 6, se corrobora mediante el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ de la siguiente manera: fit {{1,86.60}, {2,82.68}, {3,73.51}, {4,75.39}, {5,70.57}, {6,68.13}, {7,69.89}, {8,73.59}, {9,73.78}, {10,74.13}, {11,74.34}, {12,74.87}}

15

Esta sintaxis a ejecutar, darĂĄ las mejores opciones de ajuste polinomiales a los datos que en este caso, su diagnĂłstico, es:

đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;•. El diagnĂłstico de los ajustes viables a los datos en đ?‘¤Ăłđ?‘™đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘š đ?‘Žđ?‘™đ?‘?â„Žđ?‘Ž. Para encontrar el Ăłptimo ajuste polinomial a los datos, del diagnĂłstico de la Tabla 7, se emplea el criterio de determinaciĂłn del mejor ajuste de la ecuaciĂłn ‌ (31), para poder encontrar la funciĂłn que definirĂĄ los intervalos de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (34); por lo que, en este caso, resulta: đ??Śđ??˘đ??§ đ??‘đ?&#x;? > đ??‘đ?&#x;?đ??š → 0.793787 > 0.747962 →∴ đ??…đ??Žđ??§đ??œđ??˘Ăłđ??§ đ??‚đ??Žđ??šđ???đ??ŤĂĄđ??­đ??˘đ??œđ??š ‌ (38) Con la determinaciĂłn ‌ (38) se va a proceder a realizar manualmente la Tabla 3 del ajuste polinomial cuadrĂĄtico correspondiente para poder aplicar la relaciĂłn de variables en el mĂŠtodo de los mĂ­nimos cuadrados de la siguiente manera: đ?’Š

��

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š

đ?’™đ?&#x;‘đ?’Š

đ?’™đ?&#x;’đ?’Š

đ?’šđ?’Š

�� ��

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?’šđ?’Š

1 2

1 2

1 16 81

88.60 165.36

88.60 330.72

3

1 8 27

88.60 82.68

3

1 4 9

73.51

220.53

661.59

4

4

1206.24

70.57

352.85

1764.25

6

6

68.13

408.78

2452.68

7

7

69.89

489.23

3424.61

8

8

73.59

588.72

4709.76

9

9

73.78

664.02

5976.18

10

10

74.13

741.30

7413.00

11

11

256 625 1296 2401 4096 6561 10000 14641 20736

301.56

5

64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728

75.39

5

16 25 36 49 64 81 100 121 144

74.34

817.74

8995.14

12 Suma por columna

12 74.87 898.44 10781.28 đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;—. đ?&#x;’đ?&#x;– đ?&#x;“đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;•. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;’. đ?&#x;Žđ?&#x;“ đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? ∑ ∑đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’™ ∑ đ?’™ ∑đ?&#x;?đ?&#x;? ∑đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;–. Para el ajuste polinomial de la dependencia IEMSDF

16

Entonces, las ecuaciones normales para el caso del ajuste polinomial cuadråtico estån dadas por la ecuación ‌ (21): 12

∑12 đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

∑12 đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

2 ∑12 đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

12

2

[∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

2 ∑12 ∑12 đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ž0 đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– 12 3 đ?‘Ž 12 ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– [ 1 ] = ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ‌ (39)

3 4 ∑12 ∑12 đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ]

đ?‘Ž2

12

2

[∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ]

Esta forma matricial de la ecuación ‌ (39) se define como los valores de las sumatorias encontradas en la Tabla 8 y esto se sustituye respectivamente de la siguiente manera: 899.48 78 650 �0 [ 78 650 6084 ] [�1 ] = [ 5737.13 ] ‌ (40) 47804.05 650 6084 60710 �2 12

Realizando la multiplicaciĂłn matricial en el lado izquierdo de la ecuaciĂłn ‌ (40) nos conduce a resolver un sistema de ecuaciones, para encontrar los coeficientes respectivos de este ajuste polinomial cuadrĂĄtico: 12đ?‘Ž0 + 78 đ?‘Ž1 + 650đ?‘Ž2 = 899.48 78đ?‘Ž0 + 650đ?‘Ž1 + 6084đ?‘Ž2 = 5737.13 ‌ (41) 650đ?‘Ž0 +6084đ?‘Ž1 +60710đ?‘Ž2 =47804.05 Para resolver el sistema de ecuaciones ‌ (41) de este ajuste polinomial cuadrĂĄtico, se emplea el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html cuya indicaciĂłn a ejecutar es el MĂŠtodo de la matriz inversa en relaciĂłn a la forma de la ecuaciĂłn ‌ (21), por lo que en este caso se define, como: đ?‘ đ?‘Ž0 đ?‘ −1 đ??´ ∙ đ?‘ŽĚ‚ = đ??ľ →∴ đ?‘ŽĚ‚ = đ??´ ∙ đ??ľ → [đ?‘Ž1 ] = [ ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Ž2 ∑đ?‘ đ?‘Ľ 2 đ?‘–=1 đ?‘–

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘ ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–2 3 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

2 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– 3 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– ] 4 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

−1

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– đ?‘ [ ∑đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘– ] ‌ (42) 2 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

Entonces, considerando los valores matriciales de la ecuación ‌ (42), como: 12

đ??´ = [ 78 650

78 650 6084

899.48 650 6084 ] ; đ??ľ = [ 5737.13 ] ‌ (43) 47804.05 60710

Luego se calcula la inversa de đ??´ en el software Matrixcalc:

đ??´âˆ’1

47 44 15 = − 44 1 [ 44

15 1 44 44 3 535 ‌ (44) − 4004 308 3 3 − 308 4004 ] −

17

Por lo tanto, se procede a encontrar los coeficientes del ajuste cuadrĂĄtico en el software Matrixcalc: 47 44 đ?‘Ž0 15 đ?‘ŽĚ‚ = đ??´âˆ’1 ∙ đ??ľ → [đ?‘Ž1 ] = − 44 đ?‘Ž2 1 [ 44

201133 15 1 2200 44 44 899.48 8137 3 535 ∙ [ 5737.13 ] = − ‌ (45) − 1430 4004 308 47804.05 3 5417 3 − [ ] 14300 ] 308 4004 −

En la ecuación ‌ (45) se encuentra la solución, para los coeficientes del ajuste polinomial cuadråtico, que estå dado por: �0 = 91.42409,

đ?‘Ž1 = −5.69021,

�2 = 0.37881 ‌ (46)

Por lo tanto, se relaciona los coeficientes encontrados en ‌ (46) para sustituirlos en el mejor modelo de ajuste polinomial cuadrĂĄtico: đ?‘ŚĚ‚ = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 →∴ đ?‘ŚĚ‚ = 91.42409 − 5.69021đ?‘Ľ + 0.37881đ?‘Ľ 2 ‌ (47) Esta ecuaciĂłn ‌ (47) implica encontrar los probables intervalos de predicciĂłn al 95% de confianza sobre el porcentaje de la deserciĂłn estudiantil para esta dependencia, que estĂĄ dado por la ecuaciĂłn ‌ (33): đ?&#x;?đ?&#x;?−(đ?&#x;?+đ?&#x;?)

Ě‚ Âą đ?’•đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ đ?’šđ?’‘ = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚

Ě‚ √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ??ˆ

−đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘żđ?’‘

‌ (đ?&#x;’đ?&#x;–)

DespuĂŠs en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;–) se realiza operaciones correspondientes en el lado derecho de la bivalencia Âą : đ?‘ť

Ě‚ đ?‘żđ?‘ť đ?’€ đ?’€đ?‘ť đ?’€ − đ?’‚ −đ?&#x;? Ě‚ Âą đ?’•đ?&#x;—đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ (√ đ?’šđ?’‘ = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ ) √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;—) đ?&#x;?đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ?&#x;?)

Esto implica, encontrar el percentil de la distribuciĂłn đ?‘Ą Student, que en este caso se define como: đ?’•đ?&#x;—đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ , por lo que este valor, se corrobora mediante el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ de la siguiente manera: 97.5 Percentile Student´s t distribution degrees of freedom 9 Esta sintaxis a ejecutar, da el valor correspondiente de đ?’•đ?&#x;—đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ = đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;” ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;Ž) Luego, se procede a calcular el error de la estimaciĂłn: đ?‘ť

đ?’€đ?‘ť đ?’€ − đ?’‚ Ě‚ đ?‘żđ?‘ť đ?’€

đ??ˆ Ě‚=√

đ?&#x;—

18

‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?)

Para obtener la suma de cuadrados del error (đ?‘şđ?‘Şđ?‘Ź), se define, para este caso de ajuste polinomial cuadrĂĄtico, los elementos matriciales del numerador de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?), por lo tanto se emplea el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html de la siguiente forma:

đ?&#x;? đ?‘ż= đ?&#x;? â‹Ž [đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? â‹Ž đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?&#x;? â‹Ž đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ] đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? [đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;” →∴ đ?‘żđ?‘ť = [đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? ] đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’]

đ?&#x;–đ?&#x;–. đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;”đ?&#x;– ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;“. đ?&#x;‘đ?&#x;— đ?’šđ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?&#x;• đ?’šđ?&#x;? đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’€=[ â‹Ž ]= →∴ đ?’€đ?‘ť = [đ?&#x;–đ?&#x;–. đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;”đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;“. đ?&#x;‘đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?&#x;• đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;”đ?&#x;—. đ?&#x;–đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;‘đ?&#x;’ đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;–đ?&#x;•] đ?&#x;”đ?&#x;—. đ?&#x;–đ?&#x;— đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;‘đ?&#x;’ [đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;–đ?&#x;•] đ?’‚đ?&#x;Ž đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;— Ě‚ = [đ?’‚đ?&#x;? ] = [−đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?] →∴ đ?’‚ Ě‚ đ?‘ť = [đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;— −đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?] đ?’‚ đ?’‚đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?

Esto implica, sustituir los elementos matriciales de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?), para poder efectuar la operaciĂłn matricial del numerador de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) con el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html de la siguiente manera: đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;“. đ?&#x;— − đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;•. đ?&#x;‘

đ??ˆ Ě‚=√ đ?’€đ?‘ť đ?’€ = đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;“. đ?&#x;— → đ?‘ť đ?’‚ đ?‘żđ?‘ť đ?’€ = đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;•. đ?&#x;‘ Ě‚

đ?&#x;—

→∴ đ?œŽĚ‚ = √7.62222 ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;‘)

đ??ˆ Ě‚ = đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž

68.6

đ?œŽĚ‚ = √

9

Por lo tanto, se sustituye los valores de las ecuaciones ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;Ž) y ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;‘) en el intervalo de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;—): −đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘żđ?’‘

Ě‚ Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?’šđ?’‘ = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚

‌ (đ?&#x;“đ?&#x;’)

5. Resultados El intervalo de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;’) define el pronĂłstico para las generaciones del 2013 al 2014:

19

Para la generaciĂłn 2013. En este caso, se define el pronĂłstico como un valor discreto, por lo tanto, đ?‘? = 13 y este se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;’): −đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘

Ě‚ Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’‚

‌ (đ?&#x;“đ?&#x;“)

Entonces, para esta generaciĂłn, su matriz pronĂłstico, que se define en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;‘) es: đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;‘ â‹Ż đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] → đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—] →∴ đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [ đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;”) đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—

Ě‚ , considerando el elemento matricial Esto implica, encontrar la operaciĂłn matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’‚ Ě‚ definido en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) y estos đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;”) y el elemento matricial đ?’‚ elementos matriciales se sustituyen en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;“): đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;—

−đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—] [−đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?] Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)

‌ (đ?&#x;“đ?&#x;•)

đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?

En la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;•) se realiza su operaciĂłn matricial del lado izquierdo de la bivalencia Âą con el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la siguiente instrucciĂłn: {{1,13,169}}*{{91.42409},{-5.69021},{0.37881}} Esta sintaxis, da el resultado de esta operaciĂłn matricial y por lo tanto este valor resultante se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;•): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)

−đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘

‌ (đ?&#x;“đ?&#x;–)

Luego, se efectĂşa la operaciĂłn matricial √đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ , considerando el elemento matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;”) y los elementos matriciales đ?‘ż, đ?‘żđ?‘ť que estĂĄn definidos en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) y estos elementos matriciales se sustituyen en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;–): −đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;” [ đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;—) đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž) đ?&#x;? + [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—] [đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? ] đ?&#x;? đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;• đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? [ ( đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’]) √

20

DespuĂŠs, se realiza la multiplicaciĂłn de matrices del parĂŠntesis de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;—) con el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html y por lo tanto esta multiplicaciĂłn matricial resulta:

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘

−đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;? = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—] ([ đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ ]) [ đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;Ž) đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—

Esto implica, efectuar las operaciones matriciales del radicando de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;Ž) mediante el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la siguiente instrucciĂłn: {{1,13,169}}*inverse({{12,78,650},{78,650,6084},{650,6084,60710}})*{{1},{13},{169}} Esta sintaxis, da el resultado de esta operaciĂłn matricial y por lo tanto este valor resultante se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;Ž): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;– ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;?)

Realizando operaciones elementales en el radicando de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;?): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;– ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;?)

Se encuentra la raĂ­z cuadrada de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;?): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)(đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;’) ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;‘)

Luego, se efectĂşa la multiplicaciĂłn del lado derecho de la bivalencia Âą de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;‘): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą đ?&#x;–. đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;— ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;’)

Finalmente, el resultado del intervalo de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;’) se interpreta de acuerdo a la definiciĂłn del orden bivalente Âą de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;’): 81.470 − 8.9789 ≤ đ?‘Ś13 ≤ 81.470 + 8.9789 →∴ đ?&#x;•đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;—% ≤ đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ ≤ đ?&#x;—đ?&#x;Ž. đ?&#x;’đ?&#x;’% ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;“) Para la generaciĂłn 2014. En este caso, se define el pronĂłstico como un valor discreto, por lo tanto, đ?‘? = 14 y este se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;’): −đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’

Ě‚ Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’‚

‌ (đ?&#x;”đ?&#x;”)

Entonces, para esta generaciĂłn, su matriz pronĂłstico, que se define en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;‘) es:

21

đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ = [đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;’ â‹Ż đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;’ ] → đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ = [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”] →∴ đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;’ = [ đ?&#x;?đ?&#x;’ ] ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;•) đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”

Ě‚ , considerando el elemento matricial Esto implica, encontrar la operaciĂłn matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’‚ Ě‚ definido en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) y estos đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;•) y el elemento matricial đ?’‚ elementos matriciales se sustituyen en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;”): đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;—

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’

−đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’

= [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”] [−đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?] Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)

‌ (đ?&#x;”đ?&#x;–)

đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?

En la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;–) se realiza su operaciĂłn matricial del lado izquierdo de la bivalencia Âą con el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la siguiente instrucciĂłn: {{1,14,196}}*{{91.42409},{-5.69021},{0.37881}} Esta sintaxis, da el resultado de esta operaciĂłn matricial y por lo tanto este valor resultante se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;–): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)

−đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’

‌ (đ?&#x;”đ?&#x;—)

Luego, se efectĂşa la operaciĂłn matricial √đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;’ , considerando el elemento matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;•) y los elementos matriciales đ?‘ż, đ?‘żđ?‘ť que estĂĄn definidos en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) y estos elementos matriciales se sustituyen en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;—): −đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;” đ?&#x;‘đ?&#x;” (đ?&#x;?. [ ] [ ] [ đ?&#x;?đ?&#x;’ ] ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;Ž) đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž) đ?&#x;? + đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;• đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’]) ( √

DespuĂŠs, se realiza la multiplicaciĂłn de matrices del parĂŠntesis de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;Ž) con el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html y por lo tanto esta multiplicaciĂłn matricial resulta:

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’

−đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;? = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”] ([ đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ ]) [ đ?&#x;?đ?&#x;’ ] ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?) đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”

22

Esto implica, efectuar las operaciones matriciales del radicando de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?) mediante el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la siguiente instrucciĂłn: {{1,14,196}}*inverse({{12,78,650},{78,650,6084},{650,6084,60710}})*{{1},{14},{196}} Esta sintaxis, da el resultado de esta operaciĂłn matricial y por lo tanto este valor resultante se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?)

Realizando operaciones elementales en el radicando de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;?. đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;‘)

Se encuentra la raĂ­z cuadrada de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;‘): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;’) ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;’)

Luego, se efectĂşa la multiplicaciĂłn del lado derecho de la bivalencia Âą de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;’): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą đ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;? ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;“)

Finalmente, el resultado del intervalo de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;“) se interpreta de acuerdo a la definiciĂłn del orden bivalente Âą de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;’): 86.008 − 10.722 ≤ đ?‘Ś14 ≤ 86.008 + 10.722 →∴ đ?&#x;•đ?&#x;“. đ?&#x;?đ?&#x;–% ≤ đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ ≤ đ?&#x;—đ?&#x;”. đ?&#x;•đ?&#x;‘% ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;”) Estos intervalos de predicciĂłn de las ecuaciones ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;“) y ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;”) se corrobora mediante el software de Octave-MATLAB desde: http://octave-online.net/ donde se consideran las siguientes instrucciones definidas a ejecutar: 



[p,S] = polyfit(x,y,n): Da los coeficientes del polinomio p de grado n que se encontrĂł manualmente en la ecuaciĂłn ‌ (47) que ajusta los puntos (x,y) por mĂ­nimos cuadrados, con errores estimados S [Y,D] = polyconf(p,X,S,alpha): PredicciĂłn polinĂłmica con intervalos de confianza YÂąD de la salida S dada por polyfit con nivel de confianza alpha (considerando la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;‘), se menciona que es del 95%, es decir 0.05)

Estas instrucciones definidas, implica introducir las variables de los puntos del ajuste considerado, es decir (x,y)=(Generacion,Desercion) en el software de OctaveMATLAB desde: http://octave-online.net/ con el siguiente orden fundamental: octave:1>Desercion=[88.60,82.68,73.51,75.39,70.57,68.13,69.89,73.59, 73.78,74.13,74.34,74.87]; octave:2> Generacion=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12];

23

Luego, se agrega en el software de Octave-MATLAB desde: http://octave-online.net/ la instrucción de polyfit definida en este caso como: octave:3> [p,S] = polyfit(Generacion,Desercion,2) p = 0.37881 -5.69021 91.42409 S = scalar structure containing the fields: yf = Columns 1 through 8: 86.113 81.559 77.763 74.724 70.146 Columns 9 through 12: 70.896 72.403 74.668 77.690 X = 1 1 1 4 2 1 9 3 1 16 4 1 25 5 1 36 6 1 49 7 1 64 8 1 81 9 1 100 10 1 121 11 1 144 12 1

72.443

70.920

70.154

En efecto, estos resultados que nos proporciona el software de Octave-MATLAB concuerdan con los obtenidos en las ecuaciones … (47) y … (52). Por lo tanto, se corrobora los predichos intervalos estudiantiles en la generación 2013 y 2014 de desertores, en el software de Octave-MATLAB, esto implica considerar lo que se obtuvo de la implementación polyfit, para que se encuentre la última instrucción definida: octave:4> [Y,D] = polyconf(p,13,S,0.05) Y = 81.470 D = 8.9789 octave:5> [Y,D] = polyconf(p,14,S,0.05) Y = 86.008 D = 10.722

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Esta sintaxis ejecutada en el software de Octave-MATLAB, nos da certeza de nuestros resultados obtenidos manualmente en las ecuaciones ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;“) y ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;”), a razĂłn de que estos valores son idĂŠnticos. 6. Conclusiones: Tomando en cuenta que la Ăşltima generaciĂłn de los datos es la del 2012 es decir đ?‘Ś12 = 74.87% y considerando que los intervalos de predicciĂłn encontrados para las generaciones del 2013 al 2014 se definen mediante đ?‘Śđ?‘? dĂłnde đ?‘? = 13,14, respectivamente. Entonces para la generaciĂłn del 2013: Entonces para la generaciĂłn del 2014: Finalmente podemos decir que con este anĂĄlisis de la situaciĂłn problemĂĄtica de la deserciĂłn estudiantil para este plantel en cuestiĂłn de su porcentaje pronosticado en las Ăşltimas generaciones va incrementando de forma gradual y que la posible alternativa fundamental para evitarla en esta dependencia paraestatal del IEMS-DF es que las autoridades promuevan realmente el egreso en sus estudiantes en cuestiĂłn de que les tengan asegurado el pase directo a la carrera que decidan en la Universidad AutĂłnoma de la Ciudad de MĂŠxico UACM; a razĂłn de que los lugares que ofertan son pocos y con esto tengan la oportunidad de concluir satisfactoriamente sus estudios para que puedan encontrar mejores oportunidades laborales en esta zona metropolitana donde radican. 7. Referencias BibliogrĂĄficas •Anderson, David R. (2008) EstadĂ­stica para AdministraciĂłn y EconomĂ­a (10ÂŞ EdiciĂłn) Ed. Cengage Learning. •Bittinger, Marvin L. (2002) CĂĄlculo para Ciencias EconĂłmico-Administrativas. (7ÂŞ EdiciĂłn) Ed. Pearson EducaciĂłn. •Carrillo RamĂ­rez, Teresa. (2008) “Apuntes de MĂ­nimos Cuadrados de la asignatura de MĂŠtodos NumĂŠricos II para la Licenciatura en MatemĂĄticas Aplicadas y ComputaciĂłnâ€?, Ed. FES-AcatlĂĄn-UNAM en: https://drive.google.com/file/d/0B8i8s0wQyqyYVRhUFBxUFI1OTQ/view?usp=sharing •Chapra, Steven C. (2011). MĂŠtodos numĂŠricos para ingenieros. (6ÂŞ EdiciĂłn) Ed. McGraw-Hill Interamericana. •Gerald, Curtis F. (2000) AnĂĄlisis NumĂŠrico con aplicaciones. (6ÂŞ EdiciĂłn) Ed. Pearson EducaciĂłn. •Hines, William W. (1996) Probabilidad y EstadĂ­stica para IngenierĂ­a y AdministraciĂłn (2ÂŞ EdiciĂłn) Ed. CECSA.

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