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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

“Análisis Estadístico y Probabilístico de la Deserción Escolar del IEMSDF mediante el Método de Regresión por Mínimos Cuadrados.”

PRESENTACION DEL PROYECTO TERMINAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

PRESENTA EL ALUMNO SUSTENTANTE: C. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO DIRIGIDA POR: MAT. BEATRIZ CARRASCO TORRES EVALUADA POR: DRA. MARLEN HERNÁNDEZ ORTIZ. ELABORADO EN LA: CIUDAD DE MÉXICO, DISTRITO FEDERAL, 2015-2016.

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1. Resumen El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de InformaciĂłn Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de EducaciĂłn Media Superior del Distrito Federal por parte de la DirecciĂłn Estudiantil; a travĂŠs del conducto de la SubdirecciĂłn de AdministraciĂłn Escolar. El objetivo de este proyecto es hacer predicciones de la deserciĂłn estudiantil en las Ăşltimas generaciones que comprenden del aĂąo 2013 hasta el aĂąo 2014, considerado para toda la dependencia; se aplicaron los modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el mĂŠtodo regresiĂłn por mĂ­nimos cuadrados para encontrar una funciĂłn polinomial de ajuste a los datos. Este ajuste se centrĂł en el cĂĄlculo del error que define su desviaciĂłn estĂĄndar con distribuciĂłn đ?‘Ą −student para poder construir un intervalo de predicciĂłn que representa una estimaciĂłn muestral de estudiantes desertores para las generaciones venideras; cuyos lĂ­mites de cada intervalo predicho, generĂł incremento en el indicador del porcentaje de deserciĂłn; interpretĂĄndolo a corto plazo, permitiĂł plantear una aproximaciĂłn probable a la magnitud del fenĂłmeno de abandono estudiantil, que propuso a las autoridades competentes del IEMSDF en promover a sus estudiantes, una estimulaciĂłn de pertenencia trascendental al desarrollo profesional. Palabras claves: DeserciĂłn estudiantil, AnĂĄlisis estadĂ­stico y Ajuste matemĂĄtico.

2. IntroducciĂłn La deserciĂłn escolar en esta dependencia paraestatal del IEMS-DF es un grave problema para el desarrollo sustentable de la poblaciĂłn, particularmente en la entidad federativa de la Ciudad de MĂŠxico (DĂ­az, 2015). Tal situaciĂłn implica una conducta de riesgo entre sus habitantes, como la consecuencia de gastos presupuestales y pĂŠrdidas econĂłmicas a nivel local respecto a las oportunidades de trabajo; esto afecta a nivel familiar, en los ingresos salariales que sustenta una mejor calidad de vida individual (Gujarati, 2012). Por lo tanto, en la actualidad el uso de las Herramientas MatemĂĄticas ProbabilĂ­sticas ha permitido optimizar y determinar los Procesos de los Indicadores de DesempeĂąo en cuestiĂłn de considerar la informaciĂłn a travĂŠs de los datos registrados en un plantel determinado por esta dependencia paraestatal sobre la situaciĂłn de la DeserciĂłn Estudiantil del Sistema Escolarizado cuya causa de este objetivo depende de la relaciĂłn de la CuantificaciĂłn de su Ingreso y Egreso por GeneraciĂłn que se analiza a travĂŠs del “Modelo EstadĂ­stico del Ajuste de Funciones mediante el MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadradosâ€? ;cuyo creador fue el matemĂĄtico alemĂĄn Karl Friedrich Gauss en 1795 (PĂŠrez, 2002), el cual permite interpretar geomĂŠtricamente sus variaciones, en efectuar y determinar la predicciĂłn certera del cĂĄlculo de la probabilidad como variable de respuesta del pronĂłstico porcentual de la deserciĂłn estudiantil que ocurra en base a la tendencia que ha seguido los datos registrados de estos eventos a lo largo del tiempo y asimismo. Cuyo fin se considere a la situaciĂłn problemĂĄtica

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de este anĂĄlisis estadĂ­stico cuantitativo como argumento para que las autoridades competentes puedan fundamentarlo como un primer paso para tomar medidas preventivas de atenciĂłn y reflexiĂłn de la importancia en corto y a largo plazo de cĂłmo puede afectar a esta dependencia paraestatal y buscarle una decisiĂłn alternativa a travĂŠs de la instrumentaciĂłn del diseĂąo de estrategias de acciones que pretendan involucrarlos en conocer esta informaciĂłn de la situaciĂłn de este fenĂłmeno, para que asĂ­ con base a esas predicciones realizadas adviertan mejores decisiones que faciliten la viabilidad de reducir su incidencia desertora para que sea orientada como una propuesta al fomento del incremento del egreso estudiantil que conlleva a la dimensiĂłn del bienestar en su permanencia en el plantel.

3. Marco TeĂłrico 3.1. DeserciĂłn Estudiantil La deserciĂłn estudiantil es un indicador situacional de abandono del sistema escolar, provocado por la combinaciĂłn de factores que se generan en el entorno como en contextos interpersonales (Lara, 2016). El evento de desertar puede ocurrir en cualquier momento durante el perĂ­odo por generaciĂłn: por ejemplo, si un individuo deserta en la mitad del semestre que estĂŠ estudiando y otro lo hace finalizando el semestre que estudiĂł, la duraciĂłn en la instituciĂłn es diferente. Sin embargo, en la base de datos que permitirĂĄ estimar los parĂĄmetros del modelo, la duraciĂłn serĂĄ igual para dichos individuos (tres semestres), tomando asĂ­ Ăşnicamente valores discretos generacionales (1, 2, 3, ..., etc.). Entonces, la relaciĂłn del flujo escolar de una generaciĂłn desertora, se define por medio de la siguiente fĂłrmula: đ??„đ??ˆđ??† − đ??„đ??„đ??† ) ∗ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž(Ponce, 2003) ‌ (đ?&#x;?) đ??„đ??ˆđ??† Donde: đ???đ??ƒđ??† = Porcentaje de deserciĂłn generacional đ??„đ??„đ??† = NĂşmero de estudiantes que egresarĂłn por generaciĂłn đ??„đ??ˆđ??† = NĂşmero de estudiantes que ingresarĂłn por generaciĂłn đ???đ??ƒđ??† = (

El propĂłsito de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?) es dar informaciĂłn Ăştil y verĂ­dica, que explica cuantitativamente el fenĂłmeno de la deserciĂłn estudiantil en el instituto y esto contribuirĂĄ en desarrollar un Ăłptimo modelo matemĂĄtico para el pronĂłstico cuantitativo, que determina el comportamiento futuro de este indicador analĂ­tico, para diseĂąar estrategias de prevenciĂłn y atenciĂłn a la poblaciĂłn estudiantil que cursa este nivel educativo en la dependencia. 3.2 AnĂĄlisis estadĂ­stico Es importante considerar a la EstadĂ­stica como una herramienta de apoyo que puede dar respuesta a muchas de las necesidades que la actual sociedad plantea, a razĂłn de que su tarea fundamental es la reducciĂłn de datos, con el objetivo de representar la realidad y describirla,

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predecir su futuro o simplemente conocerla; en nuestros dĂ­as se ha convertido en una rama de la matemĂĄtica efectiva para describir con exactitud los valores de datos fĂ­sicos, polĂ­ticos y sociales que sirve para relacionar y analizar dichos datos. Esto implica que esta herramienta no consiste sĂłlo en resumir y tabular los datos, sino en enfocarse en el proceso de interpretaciĂłn de esta informaciĂłn (Levin, 2004). Es importante considerar que Pronosticar o dar aproximaciones a futuros eventos ha sido una prĂĄctica frecuente para los seres humanos. En tiempos remotos estos pronĂłsticos se realizaban mediante mĂŠtodos un poco ortodoxos. Con el paso del tiempo y gracias a los avances teĂłricos y tecnolĂłgicos de la ciencia, estas aproximaciones han ido cambiando hasta llegar a metodologĂ­as rigurosamente cientĂ­ficas y bien fundamentadas teĂłricamente (Cannavos, 1988). Con esto decimos que el desarrollo de la TeorĂ­a de la Probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadĂ­stica a razĂłn de que muchos de los conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando modelos probabilĂ­sticos; por lo tanto, los resultados de estas pueden utilizarse para analizar datos estadĂ­sticos. AsĂ­, la Probabilidad es Ăştil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadĂ­sticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadĂ­stico (Figueroa, 2014). Entonces el anĂĄlisis del MĂŠtodo de RegresiĂłn es una tĂŠcnica estadĂ­stica para investigar y modelar la relaciĂłn entre variables, de tal manera que son numerosas las aplicaciones de esto en cualquier campo; incluyendo ciencias fĂ­sicas, experimentales y sociales; y de hecho se puede decir que esta tĂŠcnica estadĂ­stica es la mĂĄs usada. Por lo tanto, este anĂĄlisis sustenta la fundamentaciĂłn de los mĂŠtodos numĂŠricos que se basan en los modelos matemĂĄticos para desarrollarlo y efectuarlo mediante un ajuste polinomial (Hines, 1996). 3.3. Ajuste MatemĂĄtico 3.3.1 Fundamentos sobre el Ajuste de Funciones polinomiales El ajuste de funciones polinomiales es una tĂŠcnica para el modelado de datos mediante una ecuaciĂłn (Bittinger, 2002), y es importante considerar la siguiente pregunta: ÂżCĂłmo decidir quĂŠ tipo de funciĂłn polinomial si existe, podrĂ­a ajustarse a los datos? Una forma simple consiste en examinar un Diagrama de DispersiĂłn que es una grĂĄfica de datos de dos variables en la variable independiente estĂĄ en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical, entonces con esto se hace el ĂŠnfasis en definir quĂŠ Tipos de Variables se van a considerar en este modelo: â—? Variable Dependiente: Es la variable que se predice o se explica. Se representa por đ?‘Ś. â—? Variable Independiente: Es la variable que sirve para predecir o explicar. Se representa por đ?‘Ľ.

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Luego, es importante buscar un patrĂłn que se parezca a una de las grĂĄficas de los tipos de funciones polinomiales que hay. A continuaciĂłn, se presenta un Procedimiento que se considera y que la mayorĂ­a de las veces funciona para determinar modelos matemĂĄticos: 1. Representar grĂĄficamente los datos (en la forma de Diagrama de DispersiĂłn). 2. Observar el diagrama de dispersiĂłn para determinar si parece ajustarse a una funciĂłn conocida. 3. Determinar una funciĂłn que ajuste los datos. Ahora con esto se va a utilizar el grupo de funciones polinomiales para observar cuĂĄl funciĂłn, si existe, podrĂ­a ajustarse a ciertos datos: â—? Los datos podrĂ­an modelarse mediante una funciĂłn polinomial lineal si la grĂĄfica parece una lĂ­nea recta. â—? Los datos podrĂ­an modelarse mediante una funciĂłn polinomial cuadrĂĄtica, si la grĂĄfica sube y luego baja, o baja y luego sube, en una forma encorvada que se parezca a una parĂĄbola. â—? Si los datos caen, luego aumentan, y vuelven a caer (de modo que no se ajustan a una funciĂłn polinomial lineal o una funciĂłn polinomial cuadrĂĄtica), pero podrĂ­an ajustarse a una funciĂłn polinomial cĂşbica. 3.3.2. DefiniciĂłn del MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados Es una tĂŠcnica de anĂĄlisis numĂŠrico enmarcada dentro de la optimizaciĂłn matemĂĄtica, en la que, dados un conjunto de pares ordenados que incluyen una variable independiente y una variable dependiente. La cual busca encontrar la funciĂłn continua, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mĂ­nimo error cuadrĂĄtico. MĂĄs aun, esto coincide con el principio de mĂĄxima probabilidad de la estadĂ­stica (ValdĂŠs, 2014). Entonces decimos que, desde un punto de vista estadĂ­stico, un requisito implĂ­cito para que funcione el mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados es que los errores de cada medida estĂŠn distribuidos de forma aleatoria para determinar el mejor ajuste de una funciĂłn polinomial a travĂŠs de la consideraciĂłn de utilizar como mĂ­nimo cuatro puntos (Gerald, 2000). 3.3.3. Procedimiento del MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados Se supone que se conocen datos que consta de đ?‘› puntos que se definen como: (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘› , đ?‘Śđ?‘› ) y que el objetivo es hallar una funciĂłn polinomial đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) que se ajuste razonablemente a los datos, por lo que el primer paso es decidir quĂŠ tipo de funciĂłn probar a travĂŠs de la inspecciĂłn grĂĄfica de los đ?‘› puntos, como se muestra en la đ??…đ??˘đ?? đ??Žđ??Ťđ??š đ?&#x;?.

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đ??…đ??˘đ?? đ??Žđ??Ťđ??š đ?&#x;?. RepresentaciĂłn grĂĄfica de los diferentes tipos de ajuste para encontrar una funciĂłn polinomial (Chapra, 2011).

Es importante evitar incertidumbres en la elecciĂłn de la funciĂłn de ajuste. Por lo tanto, se considera una Ăłptima decisiĂłn, a travĂŠs del mĂ­nimo valor en su coeficiente de determinaciĂłn đ?‘… 2 define su procedimiento a efectuar en este anĂĄlisis, el cual representa el comportamiento general de los datos como se muestra en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?) (Carrillo, 2008). đ?‘šđ?&#x;? = ∑đ?’?đ?’Œ=đ?&#x;? [đ?’šđ?’Œ − đ?’‡(đ?’™đ?’? )]đ?&#x;? ‌ (đ?&#x;?) 3.3.4. ClasificaciĂłn de Modelos en las Funciones Polinomiales para el MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados. El caso mĂĄs usado en la prĂĄctica es poder ajustar funciones polinomiales, ya que en este caso los parĂĄmetros serĂĄn funciones de cualquier tipo que son fĂĄciles de estimar (MarĂ­n, 2014). El modelo a ajustar estarĂĄ basado en su generalizaciĂłn del ajuste polinomial de grado đ?‘š que estĂĄ dado por: đ?’‡(đ?’™; đ?’‚đ?&#x;? , đ?’‚đ?&#x;? , ‌ , đ?’‚đ?’Ž ) = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’Ž đ?’™đ?’Ž ‌ (đ?&#x;‘) Por medio de esta consideraciĂłn en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘) se aproxima ahora a un conjunto de datos {(đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Śđ?‘– )}đ?‘š con una funciĂłn polinomial algebraica de grado đ?‘› < đ?‘š − 1 mediante el đ?‘–=1 procedimiento de mĂ­nimos cuadrados (Mathews, 2000); por lo que se ha definido el polinomio como: đ?’‹

đ?’‡đ?’? (đ?’™đ?’Š ) = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?’Š + â‹Ż + đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? đ?’™đ?’?−đ?&#x;? + đ?’‚đ?’? đ?’™đ?’?đ?’Š = ∑đ?’?đ?’‹=đ?&#x;Ž đ?’‚đ?’‹ đ?’™đ?’Š ‌ (đ?&#x;’) đ?’Š Para obtener el error mĂĄs bajo en mĂ­nimos cuadrados, es necesario seleccionar de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’) las constantes đ?‘Ž0 , đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› de tal manera que las derivadas parciales con respecto a cada una de ellas sean cero y asĂ­ para cada đ?‘—: đ?’‹

đ?’‹+đ?’Œ

đ?’? đ?’Ž đ?&#x;? đ?’? đ?’Ž đ?’? đ?’Ž đ?&#x;? đ?‘šđ?&#x;? = ∑đ?’Ž đ?’Š=đ?&#x;? [đ?’šđ?’Š − đ?’‡(đ?’™đ?’Š )] = ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š − đ?&#x;?∑đ?’‹=đ?&#x;Ž đ?’‚đ?’‹ (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?’™đ?’Š ) + ∑đ?’‹=đ?&#x;Ž ∑đ?’Œ=đ?&#x;Ž đ?’‚đ?’‹ đ?’‚đ?’Œ (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) ‌ (đ?&#x;“)

đ???đ?‘šđ?&#x;? đ?’‹ đ?’‹+đ?’Œ = −đ?&#x;?∑đ?’Ž đ?’š đ?’™ + đ?&#x;?∑đ?’Ž đ?’‚ ∑đ?’Ž đ?’™ ‌ (đ?&#x;”) đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š đ?’Š đ?’Œ=đ?&#x;Ž đ?’Œ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š đ???đ?’‚đ?’‹

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Esto da đ?‘› + 1 ecuaciones normales con đ?‘› + 1 incĂłgnitas đ?‘Žđ?‘— , por lo tanto, đ?’‹+đ?’Œ

∑đ?’?đ?’Œ=đ?&#x;Ž đ?’‚đ?’Œ ∑đ?’Ž đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

đ?’‹

= ∑đ?’Ž đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?’™đ?’Š ‌ (đ?&#x;•)

Para cada đ?‘— = 0,1, ‌ , đ?‘› se tiene: đ?&#x;Ž đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž đ?’? đ?’Ž đ?&#x;Ž đ?’‚đ?&#x;Ž (∑đ?’Ž đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + đ?’‚đ?&#x;? (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + đ?’‚đ?&#x;? (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + â‹Ż + đ?’‚đ?’? (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) = ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?’™đ?’Š đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;‘ đ?’Ž đ?’?+đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;Ž (∑đ?’Ž ) = ∑đ?’Ž đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + đ?’‚đ?&#x;? (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + đ?’‚đ?&#x;? (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + â‹Ż + đ?’‚đ?’? (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?’™đ?’Š ‌ (đ?&#x;–) â‹Ž đ?’? đ?’Ž đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? đ?&#x;?đ?’? đ?’Ž đ?’? đ?’‚đ?&#x;Ž (∑đ?’Ž ) + đ?’‚đ?&#x;? (∑đ?’Ž ) + â‹Ż + đ?’‚đ?’? (∑đ?’Ž đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + đ?’‚đ?&#x;? (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) = ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?’™đ?’Š

Por lo tanto, estas ecuaciones normales ‌ (đ?&#x;–) tienen soluciĂłn Ăşnica siempre y cuando las đ?‘Ľđ?‘– sean distintas y en tal caso, la funciĂłn apropiada de mĂ­nimos cuadrados (probablemente un polinomio de grado đ?‘›) puede deducirse con los valores de la funciĂłn que se reemplace con los datos cuando la medida de bondad de ajuste de đ?‘… 2 sea suficientemente pequeĂąa, a esto se le denomina “suavizamiento de datosâ€? y su aplicaciĂłn de esto es encontrar los parĂĄmetros: đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› a travĂŠs de la resoluciĂłn de sistemas de ecuaciones normales (Spiegel, 1970). Entonces se supone ajustar una pareja de datos a travĂŠs de este modelo de la funciĂłn polinomial generalizada en cuestiĂłn de la suma de los errores al cuadrado đ?‘… 2 que estĂĄ dada por: đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;? đ?‘š đ?&#x;? = ∑đ?‘ľ đ?’Œ=đ?&#x;? [đ?’šđ?’Œ − (đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + â‹Ż + đ?’‚đ?’Ž đ?’™ )] ‌ (đ?&#x;—)

Para encontrar el valor de los parĂĄmetros đ?‘Ž0 , đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š de ‌ (đ?&#x;—) se procede a relacionar el cambio de variables de los subĂ­ndices đ?‘› con đ?‘š que se definen en las sumatorias de ‌ (đ?&#x;–); por lo tanto, se obtiene el sistema de ecuaciones normales para el grado đ?‘š que estĂĄ dada por: đ?’‚đ?&#x;Ž đ?‘ľ +

đ?‘ľ đ?’Ž đ?’‚đ?&#x;? (∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + â‹Ż + đ?’‚đ?’Ž (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š )

= ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š

đ?’‚đ?&#x;Ž (∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) +

đ?&#x;? đ?‘ľ đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? (∑đ?‘ľ ) = ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + â‹Ż + đ?’‚đ?’Ž (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;Ž) â‹Ž đ?’Ž đ?‘ľ đ?’Ž+đ?&#x;? đ?&#x;?đ?’Ž đ?‘ľ đ?’Ž đ?’‚đ?&#x;Ž (∑đ?‘ľ ) + â‹Ż + đ?’‚đ?’Ž (∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) + đ?’‚đ?&#x;? (∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) = ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

Sin embargo, para hallar la funciĂłn de mejor ajuste, se determinan los valores o coeficientes respectivamente en cada caso de los tipos de funciones para đ?‘Ž0 , đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š donde đ?‘š ≼ 0. Por lo tanto, se considera el sistema de ecuaciones normales del ajuste polinomial de Ě‚ = đ?’€, es decir: grado đ?’Ž ‌ (đ?&#x;—) en tĂŠrminos matriciales de la forma đ?‘żđ?’‚ đ?‘ľ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š â‹Ž đ?‘ľ đ?’Ž ∑ [ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?‘ľ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?’Š â‹Ž đ?’Ž+đ?&#x;? ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

â‹Ż â‹Ż â‹ą â‹Ż

đ?’Ž đ?’‚đ?&#x;Ž ∑đ?‘ľ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?‘ľ đ?’Ž+đ?&#x;? đ?‘ľ đ?’‚ đ?&#x;? ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š [ â‹Ž ] = ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;?) â‹Ž â‹Ž đ?‘ľ đ?’Ž đ?&#x;?đ?’Ž đ?’‚đ?’Ž ∑ ∑đ?‘ľ đ?’™ [ ] đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ] đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š

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Ě‚=đ?’€ y Para encontrar la soluciĂłn matricial se tiene que multiplicar la ecuaciĂłn matricial đ?‘żđ?’‚ despuĂŠs se calcula su inversa (se multiplicĂł por la matriz transpuesta para que quede una matriz cuadrada) −đ?&#x;?

Ě‚ = đ?‘żđ?‘ť đ?’€ →∴ đ?’‚ Ě‚ = (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?‘żđ?‘ť đ?’€ ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;?) đ?‘żđ?‘ť đ?‘żđ?’‚ Este sistema de ecuaciones lineales simultĂĄneas se puede resolver fĂĄcilmente usando la famosa regla de Cramer (para polinomios lineales y cuadrĂĄticos) y el mĂŠtodo de eliminaciĂłn Gaussiana (para polinomios al menos de tercer grado). Los coeficientes de la matriz de ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;?) se encuentran acomodando los datos en la Tabla 1. đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;?. đ??€đ??Łđ??Žđ??Źđ??­đ??ž đ??Šđ??¨đ??Ľđ??˘đ??§đ??¨đ??Śđ??˘đ??šđ??Ľ đ???đ??ž đ?? đ??Ťđ??šđ???đ??¨ đ?’Ž. đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22 đ?‘Ľ32 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

đ?’™đ?&#x;‘đ?’Š đ?‘Ľ13 đ?‘Ľ23 đ?‘Ľ33 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 3

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

2 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

3 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

đ?’Š

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1 2 3 â‹Ž đ?‘

đ?’šđ?’Š

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â‹Ż

đ?’™đ?&#x;?đ?’Ž đ?’Š đ?‘Ľ12đ?‘š đ?‘Ľ22đ?‘š đ?‘Ľ32đ?‘š â‹Ž 2đ?‘š đ?‘Ľđ?‘

đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Śđ?‘

đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?’šđ?’Š đ?‘Ľ12 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ22 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ32 đ?‘Ś3 â‹Ž 2 đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

â‹Ż

2đ?‘š ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘–

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘–

∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

2 ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

â‹Ż â‹Ż â‹Ż â‹Ż

â‹Ż

�� � ��

â‹Ż â‹Ż â‹Ż

đ?‘Ľ1đ?‘š đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2đ?‘š đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3đ?‘š đ?‘Ś3 â‹Ž đ?‘š đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

â‹Ż

đ?‘š â‹Ż ∑đ?‘ đ?‘–=1 đ?‘Ľđ?‘– đ?‘Śđ?‘–

3.3.4.1. Ajuste de la funciĂłn polinomial lineal đ?’š = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ Se recuerda que una aproximaciĂłn por mĂ­nimos cuadrados consiste en ajustar a una lĂ­nea recta un conjunto de datos discretos de la forma: (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ), ‌ , (đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ ) Por lo tanto, se inicia en considerar una ecuaciĂłn de una lĂ­nea recta a la cual se relaciona al comportamiento de los datos y el modelo propuesto, de esta forma se tiene: đ?‘Ś = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ dĂłnde đ?‘Ž0 =es la ordenada al origen y đ?‘Ž1 =es la pendiente. Al aplicar el criterio de que el “mejorâ€? ajuste se cumple cuando se puede minimizar la suma de los cuadrados de los residuos đ?‘šđ?&#x;? , es decir, el error entre el modelo y los datos experimentales, se tiene que: đ?‘šđ?&#x;? = ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? (đ?’šđ?&#x;? − đ?’‚đ?&#x;Ž − đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?’Š )đ?&#x;? ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;‘) Este criterio tiene la ventaja de proporcionar una lĂ­nea Ăşnica para un conjunto de datos. Para determinar los valores de đ?‘Ž0 y đ?‘Ž1 que minimizan la ecuaciĂłn se deriva la ecuaciĂłn con respecto a cada uno de los coeficientes

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đ???đ?‘šđ?&#x;? = −đ?&#x;?∑(đ?’šđ?’Š − đ?’‚đ?&#x;Ž − đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) = đ?&#x;Ž đ???đ?’‚đ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;’) đ???đ?‘šđ?&#x;? = −đ?&#x;?∑[(đ?’šđ?&#x;? − đ?’‚đ?&#x;Ž − đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?’Š )đ?’™đ?’Š ] = đ?&#x;Ž đ???đ?’‚đ?&#x;? Al igualar ambas derivadas en las ecuaciones ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;’) a cero, se genera un mĂ­nimo para la suma de los cuadrados de los residuos đ?‘šđ?&#x;? de la siguiente forma: −đ?&#x;?∑(đ?’šđ?’Š − đ?’‚đ?&#x;Ž − đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ) = đ?&#x;Ž = ∑đ?’šđ?’Š − ∑đ?’‚đ?&#x;Ž − ∑đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;“) −đ?&#x;?∑[(đ?’šđ?&#x;? − đ?’‚đ?&#x;Ž − đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?’Š )đ?’™đ?’Š ] = đ?&#x;Ž = ∑đ?’šđ?’Š đ?’™đ?’Š − ∑đ?’‚đ?&#x;Ž đ?’™đ?’Š − ∑đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?’Š ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;”) De la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;’) se obtiene ∑đ?’šđ?’Š = đ?’?đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? ∑đ?’™đ?’Š ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;•) De la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;“) se obtiene ∑đ?’šđ?’Š đ?’™đ?’Š = đ?’‚đ?&#x;Ž ∑đ?’™đ?’Š + đ?’‚đ?&#x;? ∑(đ?’™đ?’Š )đ?&#x;? ‌ . (đ?&#x;?đ?&#x;–) Al resolver en forma simultĂĄnea las ecuaciones ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;•) y ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;–) se obtienen los valores de đ?‘Ž0 y đ?‘Ž1 mediante las siguientes ecuaciones: đ?’‚đ?&#x;? =

∑ đ?’šđ?’Š ∑ đ?’™đ?’Š đ?’? ∑ đ?’™ đ?’Š đ?’šđ?’Š − ∑ đ?’™ đ?’Š đ?’šđ?&#x;? (đ?&#x;?đ?&#x;—), ‌ đ?’‚ = − đ?’‚ ( ) ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;Ž) đ?’? đ?&#x;? đ?’? đ?’? đ?’? ∑ đ?’™đ?&#x;?đ?’Š − (∑ đ?’™đ?’Š )đ?&#x;?

Por lo tanto, construyendo la Tabla 2; para el caso lineal. đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;?. đ??€đ??Łđ??Žđ??Źđ??­đ??ž đ??Šđ??¨đ??Ľđ??˘đ??§đ??¨đ??Śđ??˘đ??šđ??Ľ đ??Ľđ??˘đ??§đ??žđ??šđ??Ľ đ?’Š

��

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š

đ?’šđ?’Š

�� ��

1 2 3

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3

đ?‘Ľ12 đ?‘Ľ22 đ?‘Ľ32

đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś3

đ?‘Ľ1 đ?‘Ś1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘Ľ3 đ?‘Ś3

â‹Ž đ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ 2

â‹Ž đ?‘Śđ?‘

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘ đ?‘Śđ?‘

Suma por columna

đ?‘ľ đ?&#x;? đ?‘ľ đ?‘ľ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

Las ecuaciones normales matriciales para el caso del ajuste lineal estĂĄn dadas por: đ?‘ľ [ đ?‘ľ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

∑đ?‘ľ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’‚đ?&#x;Ž đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š ] [ ] = [ ] ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;?) đ?‘ľ đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?‘ľ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

Este sistema de ecuaciones ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;?) se puede resolver con los mĂŠtodos habituales (suma y resta, Cramer, sustituciĂłn, etc.).

9

3.3.4.2. Ajuste de la función polinomial cuadrático 𝒚 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 De la misma manera considerando la Tabla 3; para una ajuste cuadrático o parabólico. 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑. 𝐀𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫á𝐭𝐢𝐜𝐨. 𝒊

𝒙𝒊

𝒙𝟐𝒊

𝒙𝟑𝒊

𝒙𝟒𝒊

𝒚𝒊

𝒙𝒊 𝒚𝒊

𝒙𝟐𝒊 𝒚𝒊

1 2

𝑥1 𝑥2

𝑦1 𝑥2

𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

𝑥3

𝑥13 𝑥23 𝑥33

𝑥14 𝑥24

3

𝑥12 𝑥22 𝑥32

𝑥34

𝑦3

𝑥3 𝑦3

𝑥12 𝑦1 𝑥22 𝑦2 𝑥32 𝑦3

⋮ 𝑁

⋮ 𝑥𝑁

⋮ 𝑥𝑁2

⋮ 𝑥𝑁3

⋮ 𝑥𝑁4

⋮ 𝑦𝑁

⋮ 𝑥𝑁 𝑦𝑁

𝑥𝑁2 𝑦𝑁

Suma por columna

⋮

𝟑 𝑵 𝟐 𝑵 𝑵 𝟒 𝑵 𝑵 𝑵 𝟐 ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒚𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊

Las ecuaciones normales para el caso del ajuste polinomial cuadrático están dadas por: ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝑵 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝟐𝒊 𝟑 ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝑵 [ ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝑵 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝟐𝒊

𝟐 ∑𝑵 ∑𝑵 𝒂𝟎 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒊=𝟏 𝒚𝒊 𝑵 𝟑 𝒂 𝑵 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ] [ 𝟏 ] = [ ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 ] … (𝟐𝟐) 𝟒 𝒂𝟐 𝟐 ∑𝑵 ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊

Este sistema de ecuaciones … (𝟐𝟐) se puede resolver con los métodos de Cramer de 3 variables con 3 incógnitas.

3.3.4.3. Ajuste de la función polinomial cúbico: 𝒚 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒙 +𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 𝒙𝟑 Similarmente, considerando la Tabla 4; para el caso cúbico. 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟒. 𝐀𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐜ú𝐛𝐢𝐜𝐨 𝒊

𝒙𝒊

𝒙𝟐𝒊

𝒙𝟑𝒊

𝒙𝟒𝒊

𝒙𝟓𝒊

𝒙𝟔𝒊

𝒚𝒊

𝒙𝒊 𝒚𝒊

𝒙𝟐𝒊 𝒚𝒊

𝒙𝟑𝒊 𝒚𝒊

1 2

𝑥1 𝑥2

𝑥12 𝑥22

𝑥13 𝑥23

𝑥14 𝑥24

𝑥16 𝑥26

𝑦1 𝑥2

𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2

𝑥12 𝑦1 𝑥22 𝑦2

𝑥13 𝑦1 𝑥23 𝑦2

3

𝑥3

𝑥32

𝑥33

𝑥34

𝑥15 𝑥25 𝑥35

𝑥36

𝑦3

𝑥3 𝑦3

𝑥32 𝑦3

𝑥33 𝑦3

⋮ 𝑁

⋮ 𝑥𝑁

⋮ 𝑥𝑁2

⋮ 𝑥𝑁3

⋮ 𝑥𝑁4

⋮ 𝑥𝑁5

⋮ 𝑥𝑁6

⋮ 𝑦𝑁

⋮ 𝑥𝑁 𝑦𝑁

⋮

⋮

𝑥𝑁2 𝑦𝑁

𝑥𝑁3 𝑦𝑁

Suma por columna

𝟓 𝑵 𝟐 𝟑 𝑵 𝟔 𝑵 𝟐 𝟑 𝑵 𝑵 𝟒 𝑵 𝑵 𝑵 𝑵 ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒚𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 ∑𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊

Las ecuaciones normales matriciales para el caso del ajuste cúbico están dadas por el siguiente sistema de 4 variables y 4 ecuaciones:

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đ?‘ľ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?‘ľ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?‘ľ đ?&#x;‘ [∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?‘ľ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?&#x;‘ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?&#x;’ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

đ?&#x;? ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?&#x;‘ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?&#x;’ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?&#x;“ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

đ?&#x;‘ ∑đ?‘ľ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’‚đ?&#x;Ž đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?‘ľ đ?&#x;’ đ?‘ľ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’‚đ?&#x;? ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;‘) đ?&#x;? đ?‘ľ đ?&#x;“ [ đ?’‚đ?&#x;? ] = ∑đ?‘ľ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š đ?&#x;‘ đ?&#x;” đ?’‚đ?&#x;‘ ∑đ?‘ľ [∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ] đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ]

Se sugiere utilizar los casos de la Tabla 2 hasta la Tabla 4 de la generalizaciĂłn de la Tabla 1, a razĂłn de que estos dan un Ăłptimo ajuste para poder encontrar el valor de los parĂĄmetros đ?‘Žđ?‘˜ con đ?‘˜ = 1, ‌ , đ?‘š que minimicen esta suma; es decir: đ??Śđ??˘đ??§ đ?‘šđ?&#x;? = đ??Śđ??˘đ??§ ∑[đ?’šđ?’Œ − đ?’‡(đ?’™đ?’Œ ; đ?’‚đ?&#x;? , đ?’‚đ?&#x;? , ‌ , đ?’‚đ?’Ž )]đ?&#x;? ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;’)

đ?’‚đ?&#x;? ,‌,đ?’‚đ?’Ž

đ?’‚đ?&#x;? ,‌,đ?’‚đ?’Ž

Para poder encontrar estos coeficientes de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;’) se debe cumplir cada una de las ecuaciones presentadas en los casos de la Tabla 2 hasta la Tabla 4; a travĂŠs del criterio siguiente: đ???(đ?‘šđ?&#x;? ) = đ?&#x;Ž đ??œđ??¨đ??§ đ?’Š = đ?&#x;?, ‌ , đ?’Ž. ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;“) đ???đ?’‚đ?’Š En tĂŠrminos generales es un sistema de ecuaciones no lineales con đ?‘š restricciones (MarĂ­n, 2014). 3.3.5. Los residuales que definen al MĂŠtodo de RegresiĂłn por MĂ­nimos Cuadrados En el caso prĂĄctico no es posible encontrar esta funciĂłn polinomial đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) y que satisfaga exactamente todas las relaciones: đ?’šđ?&#x;? = đ?’‡(đ?’™đ?&#x;? ) đ?’šđ?&#x;? = đ?’‡(đ?’™đ?&#x;? ) ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;”) â‹Ž đ?’šđ?’? = đ?’‡(đ?’™đ?’? ) Por lo general, uno estĂĄ dispuesto a aceptar un "residual" (que dependerĂĄ de cada observaciĂłn) y se define de la manera siguiente: đ?’‡(đ?’™đ?’Œ ) = đ?’šđ?’Œ + đ?’†đ?’Œ ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;•) Donde đ?‘’đ?‘˜ es el residual que define la mediciĂłn observada en el dato. La pregunta que uno se hace es ÂżcĂłmo poder encontrar "la mejor aproximaciĂłn" que pase por los puntos? (Smith, 1988). Para responder esta pregunta, hay que considerar los residuales (tambiĂŠn llamado como las desviaciones) y estĂĄn dados como la diferencia del valor estimado por el modelo đ?‘“ (đ?‘Ľđ?‘˜ ) menos el valor observado đ?‘Śđ?‘˜ , es decir: Residuales de MediciĂłn đ?’†đ?’Œ = đ?’‡(đ?’™đ?’Œ ) − đ?’šđ?’Œ đ??Šđ??šđ??Ťđ??š đ?&#x;? ≤ đ?’Œ ≤ đ?’? ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;–) đ??‘đ??žđ??Źđ??˘đ???đ??Žđ??šđ??Ľ = đ??•đ??šđ??Ľđ??¨đ??Ť đ??„đ??Źđ??­đ??˘đ??Śđ??šđ???đ??¨ − đ??•đ??šđ??Ľđ??¨đ??Ť đ??Žđ??›đ??Źđ??žđ??Ťđ??Żđ??šđ???đ??¨ ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;—)

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Esta diferencia tambiĂŠn suele denotarse por đ?‘’đ?‘– y con esto se podrĂĄ determinar el “residual de estimaciĂłnâ€? que permite fijar lĂ­mites dentro de los cuales estarĂĄ el valor real con cierto grado de confiabilidad entre los datos verdaderos u observados de đ?‘Śđ?‘– y los datos estimados o evaluados de đ?‘ŚĚ‚đ?‘– , es decir: đ?’†đ?’Š = đ?’šđ?’Š − đ?’šĚ‚đ?’Š →∴ đ?’†đ?’Š = đ?’šđ?’Š − đ?’‡Ě‚(đ?’™đ?’Š ) ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;Ž) Esta ecuaciĂłn debe satisfacer la condiciĂłn de minimizar la suma de las residuales (đ?‘’đ?‘– ) del comportamiento de cada par de datos discretos (Quintana, 2005), con respecto al modelo propuesto, elevadas al cuadrado, es decir: đ?’?

∑ đ?’†đ?&#x;?đ?’Š

đ?&#x;?

đ?&#x;?

Ě‚đ?’Š,đ?’Žđ?’?đ?’…đ?’†đ?’?đ?’? ) ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;?) = ∑[đ?’šđ?’Š − đ?’‡Ě‚(đ?’™đ?’Š )] = ∑(đ?’šđ?’Š − đ?’šĚ‚đ?’Š )đ?&#x;? →∴ ∑(đ?’šđ?’Š,đ?’Žđ?’†đ?’…đ?’Šđ?’…đ?’‚ − đ?’š đ?’Š=đ?&#x;?

En la Figura 2 se representa la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;—)

đ??…đ??˘đ?? đ??Žđ??Ťđ??š đ?&#x;?. ComparaciĂłn grĂĄfica de los valores observados y de los valores estimados en el residual de mediciĂłn (MarĂ­n, 2013)

Este anĂĄlisis describe las predicciones generacionales a travĂŠs del cĂĄlculo del residual; que este sea lo mĂĄs exacto posible, es decir un valor mĂ­nimo para encontrar el mejor ajuste para los datos presentados e inferir quĂŠ acciones se debe llevar a cabo para cada situaciĂłn respectiva en la modalidad del estudio a efectuar (Anderson, 2008). La validez de la aplicaciĂłn del mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados para el ajuste de funciones descansa sobre tres suposiciones sobre los residuales que son la: 1.-Independencia: requiere que los residuales sean independientes unos de otros. 2.-Normalidad: requiere que los residuales se distribuyen normalmente en cada valor de la variable independiente. 3.-Homocedasticidad: requiere que la varianza de los residuales sea constante; es decir requiere que tengan igual varianza. Esta validez de la aplicaciĂłn del mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados se define como el criterio de determinaciĂłn del mejor ajuste polinomial, dado por:

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đ??Śđ??˘đ??§ đ??‘đ?&#x;? > đ??‘đ?&#x;?đ??š (Infante, 2012) ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;?) đ??ƒđ??¨đ??§đ???đ??ž: R2 = Coeficiente de determinaciĂłn R2a = Coeficiente de determinaciĂłn ajustado La ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;?) nos precisa que modelo de funciĂłn polinomial es el Ăłptimo, para que este sea el detonador de poder pronosticar los rangos con certeza. 3.3.6. Intervalos de predicciĂłn Considerando el ajuste de la funciĂłn polinomial, se asume que tienen đ?‘ parejas de nĂşmeros (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ), (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) hasta (đ?‘Ľđ?‘ , đ?‘Śđ?‘ ) y se desea ajustar el mejor polinomio de grado đ?‘š dado por: đ?’š = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’Ž đ?’™đ?’Ž ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;‘) Por lo tanto, se definen los probables intervalos de predicciĂłn al 95% de la deserciĂłn estudiantil para esta dependencia del IEMSDF, con su respectiva generaciĂłn en đ?‘Ľđ?‘? , dada por: đ?‘ľâˆ’(đ?’Ž+đ?&#x;?)

Ě‚ Âą đ?’•đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ đ?’šđ?’‘ = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚

Ě‚ √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ (Wackerly, 2010) ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;’) đ??ˆ

đ??ƒđ??¨đ??§đ???đ??ž: La variable definida generacional del porcentaje de deserciĂłn a predecir = đ?’šđ?’‘

đ?’™đ?’‘ â‹Ż đ?’™đ?’Ž đ?’‘] đ?’‚đ?&#x;Ž đ?’‚ −đ?&#x;? Ě‚ = (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?‘żđ?‘ť đ?’€ = [ đ?&#x;? ] La matriz de parĂĄmetros = đ?’‚ â‹Ž đ?’‚đ?’Ž

La matriz pronĂłstico para đ?‘? datos generacionales = đ?‘żđ?’‘ = [đ?&#x;?

đ?‘ľâˆ’(đ?’Ž+đ?&#x;?)

El percentil de una đ?‘Ą Student = đ?’•đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ con đ?‘ľ − (đ?’Ž + đ?&#x;?) = đ?’— grados de libertad. đ??‚đ??¨đ??§đ??Źđ??˘đ???đ??žđ??Ťđ??šđ??§đ???đ??¨ đ??Şđ??Žđ??ž: đ?’Ž = Grado del polinomio que se obtuvo en el ajuste. đ?’Ž đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? â‹Ż đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? â‹Ż đ?’™đ?’Ž đ?&#x;? ] = La matriz de diseĂąo del ajuste polinomial. đ?‘ż = [đ?&#x;? â‹Ž â‹ą â‹Ž â‹Ž đ?&#x;? đ?’™đ?‘ľ â‹Ż đ?’™đ?’Ž đ?‘ľ đ?’šđ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? đ?’€ = [ â‹Ž ] = La matriz de respuesta del modelo ajustado a los datos. đ?’šđ?‘ľ đ?‘ť đ?‘ż = La matriz transpuesta de diseĂąo del ajuste polinomial. đ?‘ľ = NĂşmero de datos.

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−đ?&#x;?

(đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)

= La matriz inversa.

Ě‚ đ?‘ť đ?‘żđ?‘ť đ?’€ đ?‘şđ?‘Şđ?‘Ź đ?’€đ?‘ť đ?’€ − đ?’‚ Ě‚=√ El error estĂĄndar de estimaciĂłn = đ??ˆ =√ đ?‘ľ − (đ?’Ž + đ?&#x;?) đ?‘ľ − (đ?’Ž + đ?&#x;?) đ??ƒđ??žđ??&#x;đ??˘đ??§đ??˘đ??žđ??§đ???đ??¨: đ?‘şđ?‘Şđ?‘Ź = Suma de cuadrados del error. đ?’€đ?‘ť = La matriz transpuesta de respuesta del modelo ajustado a los datos. Ě‚ đ?‘ť = La matriz transpuesta de los parĂĄmetros. đ?’‚

Respecto al orden de la bivalencia Âą el intervalo de predicciĂłn es expresado como: Ě‚ − đ?’•đ?‘ľâˆ’(đ?’Ž+đ?&#x;?) Ě‚ + đ?’•đ?‘ľâˆ’(đ?’Ž+đ?&#x;?) Ě‚ √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ ≤ đ?’šđ?’‘ ≤ đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ Ě‚ √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;“) đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ đ??ˆ đ??ˆ đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“

La hipĂłtesis indica que el valor esperado de los residuales sea cero y tambiĂŠn que la varianza de los errores sea constante, es decir: đ?‘Ź[đ?’†đ?’Œ ] = đ?&#x;Ž đ??Šđ??šđ??Ťđ??š đ?’Œ = đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ , đ?’? (Infante, 2012) ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;”) đ?‘˝đ?’‚đ?’“[đ?’†đ?’Œ ] = đ??ˆ Ě‚ đ??Šđ??šđ??Ťđ??š đ?’Œ = đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ , đ?’?

4. MetodologĂ­a En este proyecto fue necesario recurrir al ordenador, para poder resolver el objetivo planteado; por lo que se utilizaron las siguientes herramientas computacionales: â—? La hoja de cĂĄlculo de Microsoft Excel 2016 del sistema operativo Windows 10. â—? WĂłlfram Alpha desde: http://www.wolframalpha.com/ â—? Matrixcalc versiĂłn slu. desde: https://matrixcalc.org/es/slu.html â—? Octave-MATLAB desde: http://octave-online.net/ Es de especial importancia considerarlo a razĂłn de que se plantea el modelo Ăłptimo para dar respuesta a las siguientes cuestiones fundamentales: 1). ÂżCuĂĄles son las relaciones en las que estarĂĄ basado el modelo? El fenĂłmeno de la deserciĂłn estudiantil en la dependencia del IEMS-DF se considera por medio de las generaciones escolares, en este caso se tomarĂĄ la relaciĂłn del ingreso-egreso de cada generaciĂłn de todos los planteles de la modalidad escolarizada. 2). ÂżCuĂĄl es la formulaciĂłn del Modelo? A travĂŠs de los datos registrados del Sistema de InformaciĂłn Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF), para poder inferir los valores estimados a pronosticar a travĂŠs del ajuste de funciones polinomiales, se considera la relaciĂłn numĂŠrica de orden cronolĂłgico de la generaciĂłn en los valores discretos, es decir: Si la

14

primera generaciĂłn del IEMS-DF fue en 2001-2002, se considera por conveniencia al modelo, como generaciĂłn 1. 3). ÂżQuĂŠ atributos caracterizan el modelo? Por medio de la fĂłrmula del porcentaje de deserciĂłn generacional-PDG, ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?), para aplicarlo en Excel: đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;“. đ??ƒđ??šđ??­đ??¨đ??Ź đ???đ??ž đ??Ľđ??š đ???đ??žđ??Šđ??žđ??§đ???đ??žđ??§đ??œđ??˘đ??š đ??ˆđ??„đ??Œđ??’đ??ƒđ??… (đ??’đ??˘đ??Źđ??­đ??žđ??Śđ??š đ??ˆđ???đ??…đ??Žđ??Œđ??„đ??—đ??ƒđ??…, đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;”) đ??†đ??žđ??§đ??žđ??Ťđ??šđ??œđ??˘Ăłđ??§

đ??„đ??ˆđ??†

đ??„đ??„đ??†

2001 − đ?&#x;? 2002 − đ?&#x;? 2003 − đ?&#x;‘ 2004 − đ?&#x;’ 2005 − đ?&#x;“ 2006 − đ?&#x;” 2007 − đ?&#x;• 2008 − đ?&#x;– 2009 − đ?&#x;— 2010 − đ?&#x;?đ?&#x;Ž 2011 − đ?&#x;?đ?&#x;? 2012 − đ?&#x;?đ?&#x;? 2013 − đ?&#x;?đ?&#x;‘ 2014 − đ?&#x;?đ?&#x;’

3062 3719 3401 5647 5443 5538 5762 5804 5729 6149 6625 6372 6349 6826

349 644 901 1390 1602 1765 1735 1533 1502 1591 1700 1601 Âż? Âż?

đ???đ??ƒđ??† đ?&#x;–đ?&#x;–. đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;”đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;“. đ?&#x;‘đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?&#x;• đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;”đ?&#x;—. đ?&#x;–đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;‘đ?&#x;’ đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;–đ?&#x;•

Âż? Âż?

4.) ÂżCuĂĄles son las restricciones a emplear para simplificar el modelo? Cabe aclarar que en el presente trabajo se tomarĂĄ en cuenta las siguientes variables: â—? Variable cuantitativa independiente (đ?‘Ľ): Define la generaciĂłn del aĂąo escolar donde se analiza la deserciĂłn de estudiantes en esta dependencia del IEMS-DF. â—? Variable cuantitativa dependiente (đ?‘Ś): Define el porcentaje de la deserciĂłn generacional estudiantil de esta dependencia del IEMS-DF. Esto implica relacionar y definir las siguientes parejas ordenadas: (đ??ąđ?&#x;? , đ??˛đ?&#x;? ) = (đ?? đ??žđ??§đ??žđ??Ťđ??šđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ?&#x;?, đ???đ??ƒđ??†đ?&#x;? ) â‹Ž ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;•) (đ??ąđ??§ , đ??˛đ??§ ) = (đ?? đ??žđ??§đ??žđ??Ťđ??šđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ??§, đ???đ??ƒđ??†đ??§ )

DĂłnde la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;•) se delimita, como los valores discretos por conveniencia a la respectiva generaciĂłn đ?‘› = 1,2, ‌ ,12; que estos se relacionan, como: (đ??ąđ?&#x;? , đ??˛đ?&#x;? ) = (đ?&#x;?, đ???đ??ƒđ??†đ?&#x;? ) â‹Ž ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;–) (đ??ąđ?&#x;?đ?&#x;? , đ??˛đ?&#x;?đ?&#x;? ) = (đ?&#x;?đ?&#x;?, đ???đ??ƒđ??†đ?&#x;?đ?&#x;? )

15

Luego, se toma la consideraciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;–), para poder realizar el siguiente arreglo, que va a definir el ajuste: đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;”. đ??‘đ??žđ??Ľđ??šđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ???đ??ž đ??Żđ??šđ??Ťđ??˘đ??šđ??›đ??Ľđ??žđ??Ź đ??&#x;đ??Žđ??§đ???đ??šđ??Śđ??žđ??§đ??­đ??šđ??Ľđ??žđ??Ź đ??Šđ??šđ??Ťđ??š đ??žđ??Ľ đ??šđ??Łđ??Žđ??Źđ??­đ??ž đ??Šđ??¨đ??Ľđ??˘đ??§đ??¨đ??Śđ??˘đ??šđ??Ľ đ??œđ??Žđ??šđ???đ??ŤĂĄđ??­đ??˘đ??œđ??¨. đ?’™đ?’Š

đ?’šđ?’Š

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘

88.60 82.68

đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?

75.39

73.51 70.57 68.13 69.89 73.59 73.78 74.13 74.34

74.87 đ?’™đ?’Š = đ??‘đ??žđ??Šđ??Ťđ??žđ??Źđ??žđ??§đ??­đ??šđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ???đ??ž đ??Ľđ??š đ?? đ??žđ??§đ??žđ??Ťđ??šđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ??žđ??Źđ??œđ??¨đ??Ľđ??šđ??Ť đ??žđ??§ đ??Ľđ??¨đ??Ź đ??Żđ??šđ??Ľđ??¨đ??Ťđ??žđ??Ź đ???đ??˘đ??Źđ??œđ??Ťđ??žđ??­đ??¨đ??Ź đ??„đ??ˆđ??† − đ??„đ??„đ??† đ??’đ??˘đ??žđ??§đ???đ??¨: đ?’šđ?’Š = đ???đ??¨đ??Ťđ??œđ??žđ??§đ??­đ??šđ??Łđ??ž đ???đ??ž đ???đ??žđ??Źđ??žđ??Ťđ??œđ??˘Ăłđ??§ đ?? đ??žđ??§đ??žđ??Ťđ??šđ??œđ??˘đ??¨đ??§đ??šđ??Ľ (đ???đ??ƒđ??†) = ( ) ∗ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ??„đ??ˆđ??†

5.) ÂżCuĂĄl es el criterio del mejor ajuste a los datos en el modelo? Para poder realizar el Ăłptimo ajuste polinomial a los datos de la Tabla 6, se corrobora mediante el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ de la siguiente manera: fit {{1,86.60}, {2,82.68}, {3,73.51}, {4,75.39}, {5,70.57}, {6,68.13}, {7,69.89}, {8,73.59}, {9,73.78}, {10,74.13}, {11,74.34}, {12,74.87}} Esta sintaxis a ejecutar, darĂĄ las mejores opciones de ajuste polinomiales a los datos que en este caso, su diagnĂłstico, es:

đ??…đ??˘đ?? đ??Žđ??Ťđ??š đ?&#x;‘. El diagnĂłstico de los ajustes viables a los datos en đ?‘¤Ăłđ?‘™đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘š đ?‘Žđ?‘™đ?‘?â„Žđ?‘Ž.

16

Para encontrar el Ăłptimo ajuste polinomial a los datos, del diagnĂłstico de la Figura 3, se emplea el criterio de determinaciĂłn del mejor ajuste de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;?), para poder encontrar la funciĂłn que definirĂĄ los intervalos de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;“); por lo tanto, en este caso, resulta: đ??Śđ??˘đ??§ đ??‘đ?&#x;? > đ??‘đ?&#x;?đ??š → 0.793787 > 0.747962 →∴ đ??…đ??Žđ??§đ??œđ??˘Ăłđ??§ đ??‚đ??Žđ??šđ???đ??ŤĂĄđ??­đ??˘đ??œđ??š ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;—) Con la determinaciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;—) se va a proceder a realizar manualmente la Tabla 3 del ajuste polinomial cuadrĂĄtico correspondiente para poder aplicar la relaciĂłn de variables en el mĂŠtodo de los mĂ­nimos cuadrados de la siguiente manera: đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;•. đ??€đ??Łđ??Žđ??Źđ??­đ??ž đ??Šđ??¨đ??Ľđ??˘đ??§đ??¨đ??Śđ??˘đ??šđ??Ľ đ???đ??ž đ??Ľđ??š đ???đ??žđ??Šđ??žđ??§đ???đ??žđ??§đ??œđ??˘đ??š đ??ˆđ??„đ??Œđ??’đ??ƒđ??… đ?’Š

��

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š

đ?’™đ?&#x;‘đ?’Š

đ?’™đ?&#x;’đ?’Š

đ?’šđ?’Š

�� ��

đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?’šđ?’Š

1 2

1 2

1 16 81

88.60 165.36

88.60 330.72

3

1 8 27

88.60 82.68

3

1 4 9

73.51

220.53

661.59

4

4

1206.24

70.57

352.85

1764.25

6

6

68.13

408.78

2452.68

7

7

69.89

489.23

3424.61

8

8

73.59

588.72

4709.76

9

9

73.78

664.02

5976.18

10

10

74.13

741.30

7413.00

11

11

256 625 1296 2401 4096 6561 10000 14641 20736

301.56

5

64 125 216 343 512 729 1000 1331 1728

75.39

5

16 25 36 49 64 81 100 121 144

74.34

817.74

8995.14

12 Suma por columna

12 74.87 898.44 10781.28 đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;—. đ?&#x;’đ?&#x;– đ?&#x;“đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;•. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;’. đ?&#x;Žđ?&#x;“ đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?&#x;?đ?&#x;? ∑đ?&#x;?đ?&#x;? ∑đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

Entonces, las ecuaciones normales para el caso del ajuste polinomial cuadrĂĄtico estĂĄn dadas por la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;?): đ?&#x;?đ?&#x;?

∑đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

∑đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

đ?&#x;? ∑đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;?

[∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

đ?&#x;? ∑đ?&#x;?đ?&#x;? ∑đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’‚đ?&#x;Ž đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?&#x;‘ [đ?’‚ ] = ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;Ž) ∑đ?&#x;?đ?&#x;? ∑đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

đ?&#x;‘ đ?&#x;’ ∑đ?&#x;?đ?&#x;? ∑đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ]

đ?’‚đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;?

[∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ]

Para resolver el sistema de ecuaciones ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;Ž) de este ajuste polinomial cuadrĂĄtico, se emplea el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html cuya indicaciĂłn a ejecutar es el MĂŠtodo de la matriz inversa en relaciĂłn a la forma de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;?đ?&#x;?), por lo que en este caso se define, como:

17

đ?‘ľ đ?’‚đ?&#x;Ž −đ?&#x;? đ?‘ľ Ě‚ = đ?‘Š →∴ đ?’‚ Ě‚ = đ?‘¨ ∙ đ?‘Š → [đ?’‚đ?&#x;? ] = [ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?‘¨âˆ™đ?’‚ đ?’‚đ?&#x;? ∑đ?‘ľ đ?’™ đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š

∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?‘ľ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?’Š đ?&#x;‘ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

đ?&#x;? ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?&#x;‘ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š ] đ?&#x;’ ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š

−đ?&#x;?

∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’šđ?’Š đ?‘ľ [ ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š ] ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;?) đ?&#x;? ∑đ?‘ľ đ?’Š=đ?&#x;? đ?’™đ?’Š đ?’šđ?’Š

5. Resultados En este caso la forma matricial de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;Ž) se define como los valores de las sumatorias encontradas en la Tabla 7 y esto se sustituye respectivamente de la siguiente manera: đ?&#x;?đ?&#x;? [ đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž

đ?’‚đ?&#x;Ž đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;—. đ?&#x;’đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ ] [đ?’‚đ?&#x;? ] = [ đ?&#x;“đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;•. đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;?) đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;’. đ?&#x;Žđ?&#x;“ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’‚đ?&#x;?

Realizando la multiplicaciĂłn matricial en el lado izquierdo de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;?) nos conduce a resolver un sistema de ecuaciones, para encontrar los coeficientes respectivos de este ajuste polinomial cuadrĂĄtico: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?&#x;•đ?&#x;– đ?’‚đ?&#x;? + đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;—. đ?&#x;’đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;–đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’‚đ?&#x;? + đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;“đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;•. đ?&#x;?đ?&#x;‘ ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;‘) đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’‚đ?&#x;Ž +đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’đ?’‚đ?&#x;? +đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’‚đ?&#x;? =đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;’. đ?&#x;Žđ?&#x;“ Entonces, considerando los valores matriciales de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;?), como: đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;—. đ?&#x;’đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?‘¨ = [ đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ ] ; đ?‘Š = [ đ?&#x;“đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;•. đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;’) đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;’. đ?&#x;Žđ?&#x;“ đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?

Luego se calcula la inversa de đ??´ en el software Matrixcalc:

đ?‘¨âˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;’đ?&#x;• đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;“ = − đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;? [ đ?&#x;’đ?&#x;’

đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;? đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;“ ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;“) − đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;– đ?&#x;‘ đ?&#x;‘ − đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;– đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’ ] −

Por lo tanto, se procede a encontrar los coeficientes del ajuste cuadrĂĄtico en el software Matrixcalc:

18

đ?&#x;’đ?&#x;• đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?’‚đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;“ Ě‚ = đ?‘¨âˆ’đ?&#x;? ∙ đ?‘Š → [đ?’‚đ?&#x;? ] = − đ?’‚ đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?’‚đ?&#x;? đ?&#x;? [ đ?&#x;’đ?&#x;’

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;–đ?&#x;—đ?&#x;—. đ?&#x;’đ?&#x;– đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;• đ?&#x;‘ đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;“ ∙ [ đ?&#x;“đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;•. đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] = − ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;”) − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;Ž đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;– đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;’. đ?&#x;Žđ?&#x;“ đ?&#x;‘ đ?&#x;“đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;• đ?&#x;‘ − [ đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ] đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;– đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’ ] −

En la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;”) se encuentra la soluciĂłn, para los coeficientes del ajuste polinomial cuadrĂĄtico, que estĂĄ dado por: đ?’‚đ?&#x;Ž = đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;—,

đ?’‚đ?&#x;? = −đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?,

đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;? ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;•)

Por lo tanto, se relaciona los coeficientes encontrados en ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;•) para sustituirlos en el mejor modelo de ajuste polinomial cuadrĂĄtico: Ě‚ = đ?’‚đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? →∴ đ?’š Ě‚ = đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;— − đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;–) đ?’š Esta ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;–) implica encontrar los probables intervalos de predicciĂłn al 95% de confianza sobre el porcentaje de la deserciĂłn estudiantil para esta dependencia, que estĂĄ dado por la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;’): Ě‚ Âą đ?’•đ?&#x;?đ?&#x;?−(đ?&#x;?+đ?&#x;?) đ?’š đ?’‘ = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ đ??ˆ Ě‚ √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;—) đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ DespuĂŠs en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;—) se realiza operaciones correspondientes en el lado derecho de la bivalencia Âą : Ě‚ đ?‘ť đ?‘żđ?‘ť đ?’€ đ?’€đ?‘ť đ?’€ − đ?’‚ Ě‚ Âą đ?’•đ?&#x;—đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ (√ đ?’šđ?’‘ = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚ ) √đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?’‘ ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;Ž) đ?&#x;?đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ?&#x;?) Esto implica, encontrar el percentil de la distribuciĂłn đ?‘Ą Student, que en este caso se define como: đ?’•đ?&#x;—đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ , por lo que este valor, se corrobora mediante el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ de la siguiente manera: 97.5 Percentile Student´s t distribution degrees of freedom 9 Esta sintaxis a ejecutar, da el valor correspondiente de đ?’•đ?&#x;—đ?&#x;Ž.đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;“ = đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;” ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) Luego, se procede a calcular el error de la estimaciĂłn: đ??ˆ Ě‚=√

Ě‚đ?‘ť đ?‘żđ?‘ť đ?’€ đ?’€đ?‘ť đ?’€ − đ?’‚ ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) đ?&#x;—

19

Para obtener la suma de cuadrados del error (đ?‘şđ?‘Şđ?‘Ź), se define, para este caso de ajuste polinomial cuadrĂĄtico, los elementos matriciales del numerador de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?), por lo tanto se emplea el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html de la siguiente forma:

đ?&#x;? đ?‘ż= đ?&#x;? â‹Ž [đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? â‹Ž đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;• â‹Ž đ?&#x;? đ?&#x;– đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? ] đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;” →∴ đ?‘żđ?‘ť = [đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? ] đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’]

đ?&#x;–đ?&#x;–. đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;”đ?&#x;– ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;‘) đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;“. đ?&#x;‘đ?&#x;— đ?’šđ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?&#x;• đ?’šđ?&#x;? đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’€=[ â‹Ž ]= →∴ đ?’€đ?‘ť = [đ?&#x;–đ?&#x;–. đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;”đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;“. đ?&#x;‘đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?&#x;• đ?&#x;”đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;”đ?&#x;—. đ?&#x;–đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;‘đ?&#x;’ đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;–đ?&#x;•] đ?&#x;”đ?&#x;—. đ?&#x;–đ?&#x;— đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;— đ?&#x;•đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;‘đ?&#x;’ [đ?&#x;•đ?&#x;’. đ?&#x;–đ?&#x;•] đ?’‚đ?&#x;Ž đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;— Ě‚ = [đ?’‚đ?&#x;? ] = [−đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?] →∴ đ?’‚ Ě‚đ?‘ť = [đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;— −đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?] đ?’‚ đ?’‚đ?&#x;? đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?

Esto implica, sustituir los elementos matriciales de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;‘), para poder efectuar la operaciĂłn matricial del numerador de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) con el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html de la siguiente manera:

đ?’€đ?‘ť đ?’€ = đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;“. đ?&#x;— → Ě‚ đ?‘ť đ?‘żđ?‘ť đ?’€ = đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;•. đ?&#x;‘ đ?’‚

đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;“. đ?&#x;— − đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;•. đ?&#x;‘ đ??ˆ Ě‚=√ đ?&#x;— đ?œŽĚ‚ = √

68.6 9

→∴ đ?œŽĚ‚ = √7.62222 ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;’) đ??ˆ Ě‚ = đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž

Por lo tanto, se sustituye los valores de las ecuaciones ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;?) y ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;’) en el intervalo de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;Ž): −đ?&#x;? đ?‘ť đ?‘żđ?’‘

Ě‚ Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?’‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż) đ?’šđ?’‘ = đ?‘żđ?’‘ đ?’‚

‌ (đ?&#x;“đ?&#x;“)

El intervalo de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;“) define el pronĂłstico para las generaciones del 2013 al 2014:

20

Para la generaciĂłn 2013. En este caso, se define el pronĂłstico como un valor discreto, por lo tanto, đ?‘? = 13 y este se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;“): Ě‚ Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;”) đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’‚ Entonces, para esta generaciĂłn, su matriz pronĂłstico, que se define en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;’) es: đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [đ?&#x;?

đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;‘ â‹Ż đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] → đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—] →∴ đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [ đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;•) đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—

Ě‚ , considerando el elemento matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ Esto implica, encontrar la operaciĂłn matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’‚ Ě‚ definido en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;‘) y estos de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;•) y el elemento matricial đ?’‚ elementos matriciales se sustituyen en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;”):

đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;— đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—] [−đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?] Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;–) đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;? En la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;–) se realiza su operaciĂłn matricial del lado izquierdo de la bivalencia Âą con el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la siguiente instrucciĂłn: {{1,13,169}}*{{91.42409},{-5.69021},{0.37881}} Esta sintaxis, da el resultado de esta operaciĂłn matricial y por lo tanto este valor resultante se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;–): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;—) Luego, se efectĂşa la operaciĂłn matricial √đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;‘ , considerando el elemento matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;‘ de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;•) y los elementos matriciales đ?‘ż, đ?‘żđ?‘ť que estĂĄn definidos en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;‘) y estos elementos matriciales se sustituyen en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;—): −đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;” [ đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;Ž) đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž) đ?&#x;? + [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—] [đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? ] đ?&#x;? đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;• đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’]) ( √

21

DespuĂŠs, se realiza la multiplicaciĂłn de matrices del parĂŠntesis de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;Ž) con el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html y por lo tanto esta multiplicaciĂłn matricial resulta:

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘

−đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;? = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—] ([ đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ ]) [ đ?&#x;?đ?&#x;‘ ] ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;?) đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;—

Esto implica, efectuar las operaciones matriciales del radicando de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;?) mediante el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la siguiente instrucciĂłn: {{1,13,169}}*inverse({{12,78,650},{78,650,6084},{650,6084,60710}})*{{1},{13},{169}} Esta sintaxis, da el resultado de esta operaciĂłn matricial y por lo tanto este valor resultante se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;?): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;– ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;?) Realizando operaciones elementales en el radicando de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;?): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;– ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;‘) Se encuentra la raĂ­z cuadrada de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;‘): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)(đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;’) ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;’) Luego, se efectĂşa la multiplicaciĂłn del lado derecho de la bivalencia Âą de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;’): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ = đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Ž Âą đ?&#x;–. đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;– ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;“) Finalmente, el resultado del intervalo de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;“) se interpreta de acuerdo a la definiciĂłn del orden bivalente Âą de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;“): 81.470 − 8.978 ≤ đ?‘Ś13 ≤ 81.470 + 8.978 →∴ đ?&#x;•đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;—% ≤ đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;‘ ≤ đ?&#x;—đ?&#x;Ž. đ?&#x;’đ?&#x;’% ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;”)

Para la generaciĂłn 2014. En este caso, se define el pronĂłstico como un valor discreto, por lo tanto, đ?‘? = 14 y este se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;“): Ě‚ Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;’ ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;•) đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’‚

22

Entonces, para esta generaciĂłn, su matriz pronĂłstico, que se define en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;’) es: đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’

= [đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;’

â‹Ż

đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;’ ]

→ đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’

đ?&#x;? đ?‘ť [ ] = đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;” →∴ đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ = [ đ?&#x;?đ?&#x;’ ] ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;–) đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”

Ě‚ , considerando el elemento matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ Esto implica, encontrar la operaciĂłn matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’‚ Ě‚ definido en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;‘) y estos de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;–) y el elemento matricial đ?’‚ elementos matriciales se sustituyen en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;•):

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’

đ?&#x;—đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;— = [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”] [−đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?] Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;’ ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;—) đ?&#x;Ž. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?

En la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;—) se realiza su operaciĂłn matricial del lado izquierdo de la bivalencia Âą con el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la siguiente instrucciĂłn: {{1,14,196}}*{{91.42409},{-5.69021},{0.37881}} Esta sintaxis, da el resultado de esta operaciĂłn matricial y por lo tanto este valor resultante se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;—): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;’ ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;Ž) Luego, se efectĂşa la operaciĂłn matricial √đ?&#x;? + đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ (đ?‘żđ?‘ť đ?‘ż)−đ?&#x;? đ?‘żđ?‘ťđ?&#x;?đ?&#x;’ , considerando el elemento matricial đ?‘żđ?&#x;?đ?&#x;’ de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;–) y los elementos matriciales đ?‘ż, đ?‘żđ?‘ť que estĂĄn definidos en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;‘) y estos elementos matriciales se sustituyen en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;Ž): −đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;” [ đ?&#x;?đ?&#x;’ ] ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?) đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž) đ?&#x;? + [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”] [đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;“ đ?&#x;” đ?&#x;• đ?&#x;– đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? ] đ?&#x;? đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;• đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;‘đ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;— đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’]) ( √

DespuĂŠs, se realiza la multiplicaciĂłn de matrices del parĂŠntesis de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?) y por lo tanto esta multiplicaciĂłn matricial resulta:

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’

−đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;? = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + [đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”] ([ đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ ]) [ đ?&#x;?đ?&#x;’ ] ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?) đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;’ đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;”

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Esto implica, efectuar las operaciones matriciales del radicando de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?) mediante el software wĂłlfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la siguiente instrucciĂłn: {{1,14,196}}*inverse({{12,78,650},{78,650,6084},{650,6084,60710}})*{{1},{14},{196}} Esta sintaxis, da el resultado de esta operaciĂłn matricial y por lo tanto este valor resultante se sustituye en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;?): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;? + đ?&#x;?. đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;‘)

Realizando operaciones elementales en el radicando de la ecuaciĂłn

‌ (đ?&#x;•đ?&#x;‘):

đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)√đ?&#x;?. đ?&#x;—đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;Ž ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;’)

Se encuentra la raĂ­z cuadrada de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;’): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą (đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž)(đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;’) ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;“) Luego, se efectĂşa la multiplicaciĂłn del lado derecho de la bivalencia Âą de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;“): đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ = đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;– Âą đ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;? ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;”) Finalmente, el resultado del intervalo de predicciĂłn de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;”) se interpreta de acuerdo a la definiciĂłn del orden bivalente Âą de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;“): 86.008 − 10.722 ≤ đ?‘Ś14 ≤ 86.008 + 10.722 →∴ đ?&#x;•đ?&#x;“. đ?&#x;?đ?&#x;–% ≤ đ?’šđ?&#x;?đ?&#x;’ ≤ đ?&#x;—đ?&#x;”. đ?&#x;•đ?&#x;‘% ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;•) Estos intervalos de predicciĂłn de las ecuaciones ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;”) y ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;•) se corrobora mediante el software de Octave-MATLAB desde: http://octave-online.net/ donde se consideran las siguientes instrucciones definidas a ejecutar: 



[p,S] = polyfit(x,y,n): Da los coeficientes del polinomio p de grado n que se encontrĂł manualmente en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;–) que ajusta los puntos (x,y) por mĂ­nimos cuadrados, con errores estimados S [Y,D] = polyconf(p,X,S,alpha): PredicciĂłn polinĂłmica con intervalos de confianza YÂąD de la salida S dada por polyfit con nivel de confianza alpha (considerando la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;‘đ?&#x;’), se menciona que es del 95%, es decir 0.05)

Estas instrucciones definidas, implica introducir las variables de los puntos del ajuste considerado, es decir (x,y)=(Generacion,Desercion) con el siguiente orden fundamental: octave:1>Desercion=[88.60,82.68,73.51,75.39,70.57,68.13,69.89,73.59, 73.78,74.13,74.34,74.87]; octave:2> Generacion=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12];

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Luego, se agrega la instrucciĂłn de polyfit, definida en este caso como: octave:3> [p,S] = polyfit(Generacion,Desercion,2) p = 0.37881 -5.69021 91.42409 S = scalar structure containing the fields: yf = Columns 1 through 8: 86.113 81.559 77.763 74.724 70.146 Columns 9 through 12: 70.896 72.403 74.668 77.690 X = 1 1 1 4 2 1 9 3 1 16 4 1 25 5 1 36 6 1 49 7 1 64 8 1 81 9 1 100 10 1 121 11 1 144 12 1

72.443

70.920

70.154

En efecto, estos resultados concuerdan con los obtenidos en las ecuaciones ‌ (đ?&#x;’đ?&#x;–) y ‌ (đ?&#x;“đ?&#x;‘). Por lo tanto, se corroboran los predichos intervalos estudiantiles en la generaciĂłn 2013 y 2014 de desertores, esto implica considerar lo que se obtuvo de la implementaciĂłn polyfit, para que se encuentre la Ăşltima instrucciĂłn definida: octave:4> [Y,D] = polyconf(p,13,S,0.05) Y = 81.470 D = 8.978 octave:5> [Y,D] = polyconf(p,14,S,0.05) Y = 86.008 D = 10.722

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Esta sintaxis ejecutada en el software de Octave-MATLAB, da certeza de nuestros resultados obtenidos manualmente en las ecuaciones ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;”) y ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;•), a razĂłn de que estos valores son idĂŠnticos. En este trabajo se ha partido de la premisa de que un modelo estadĂ­stico paramĂŠtrico se encuentra especificado por medio del grado que determina el Ăłptimo ajuste funcional polinomial, que este se logra con las variables que presentan mayor correlaciĂłn a los datos incluidos y que el objetivo es realizar la estimaciĂłn de intervalos predictivos, que dependen principalmente del nivel de confianza al 95% y de su vĂ­a asociada al percentil de la distribuciĂłn đ?‘Ą de Student cuyos lĂ­mites inferior y superior involucra quĂŠ para tamaĂąos de muestras grandes, varĂ­a los resultados generacionales del 2013 al 2014 de la deserciĂłn estudiantil en la dependencia IEMSDF de la siguiente manera: 



Para la generaciĂłn 2013 su intervalo predictivo porcentual de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;”), se compara con el Ăşltimo valor obtenido en los datos del ajuste, es decir el porcentaje de la generaciĂłn 2012; por lo tanto, se menciona que para su lĂ­mite inferior el valor se considera optimista a razĂłn de que es proporcional y en su lĂ­mite superior el valor es fatalista por que incrementa significativamente la deserciĂłn estudiantil. Para la generaciĂłn 2014 su intervalo predictivo porcentual de la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;•đ?&#x;•), se compara en los respectivos lĂ­mites del intervalo obtenido en la ecuaciĂłn ‌ (đ?&#x;”đ?&#x;”), por lo tanto, se menciona que para su lĂ­mite inferior el valor aumenta sustancialmente y en su lĂ­mite superior el valor es catastrĂłfico porque sigue incrementando la deserciĂłn estudiantil.

Estos resultados conforman una banda Ăşnica de confianza en los lĂ­mites respectivos del intervalo, que refleja el error de muestreo de deserciĂłn estudiantil inherente al cĂĄlculo del error estĂĄndar de su dispersiĂłn generacional, cuyo tratamiento informativo en su valor porcentual, se interpreta a corto plazo, la cobertura de la eficacia terminal, cuya determinaciĂłn, busque alentar a la dependencia, en incentivar la flexibilidad del modelo educativo en el sistema escolarizado, para considerar un panorama de permanencia a cada alumno que estĂŠ en riesgo de abandonar su plantel y esto promueva el alcance de retomar la facilitaciĂłn de continuar los estudios con actitud comprometida, para que el aprendiz adquiera un sentido de responsabilidad, que estimule en su ser una formaciĂłn de seguridad decisiva ante los conflictos de la vida, conllevando asĂ­, una visiĂłn de superaciĂłn personal, que le genere competitividad exitosa, para poder culminar el logro de certificar su egreso con calidad trascendental al desarrollo profesional.

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6. Conclusiones y futuras líneas de investigación En este trabajo se desarrolló un análisis de regresión por el método de mínimos cuadrados, que consistió en basar sus criterios de determinación, para generar una función polinomial óptima de ajuste a los datos generacionales, respectivamente a la extrapolación de un intervalo de predicción porcentual de estudiantes desertores, que:   

Puede tomar una variable objetivo fuera del ámbito temporal o espacial. Puede ser inferido a partir de un profundo estudio del pasado y aceptando que el comportamiento de los agentes históricos no se modifica sustancialmente. Define cuál de los posibles valores futuros de la variable objetivo es más probable.

Como futuro trabajo, sería interesante investigar las diferentes variantes de este problema, por ejemplo: 

Amplificar la visibilidad de este modelo en regresión múltiple, cuyas muestras aleatorias sean el número de estudiantes que estén en situación de receso indefinido y el número de estudiantes que están dados de baja por la Subdirección de Administración Escolar del IEMSDF, para formular una hipótesis de comparación que pueda inferir la verdadera causa de deserción estudiantil en la dependencia. Construir de este modelo una prueba de bondad de ajuste logístico de frecuencia estudiantil que esté dado de baja en la dependencia y que esté considerado en la situación de calidad indefinida de su receso en el plantel, para que muestre una variable de respuesta binaria de determinación analítica que explique el factor de la problemática que pueda tener el fenómeno de la deserción estudiantil del IEMSDF.

En mi opinión, este análisis brinda a las autoridades competentes de esta dependencia un conjunto de técnicas estadísticas, que pueden complementar con su experiencia para el pronóstico de las principales variables de decisión, así como otorgar criterios para formular modelos que permitan explicar y predecir el comportamiento de los agentes involucrados a la deserción estudiantil.

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7. Referencias bibliográficas   

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