Segunda unidad de logica matematica

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Consideremos que segĂşn nuestra convenciĂłn se recuerda de la siguiente manera: đ?œś → đ?œˇ → đ?œ¸ es đ?œś → (đ?œˇ → đ?œ¸) Por lo que decimos entonces que aquĂ­ se describe la transitividad (que para esto se requiere đ?‘ˇđ?’™đ?’› cuando exactamente en aquellos casos cuando se considera para đ?‘ˇđ?’™đ?’š y đ?‘ˇđ?’šđ?’› )

Aquí describe la antisimetría (por lo que se requiere aquí que � = � sea exactamente en aquellos casos cuando ��� y ���).

AquĂ­ se describe el caso cuando si para cada elemento hay un "mayor" uno (es decir ∀đ?’™âˆƒđ?’šđ?‘ˇđ?’™đ?’š ) por lo que entonces hay un elemento maximal (es decir ∃đ?’šâˆ€đ?’™đ?‘ˇđ?’™đ?’š ). Consideramos que el idioma mĂ­nimo requerido en nuestro caso, se define como (=, ∀, đ?‘ˇ) y las estructuras se define como đ?•Ź de tal manera que |đ?•Ź| = {đ?’‚, đ?’ƒ} . Por lo que todavĂ­a tenemos que especificar la relaciĂłn đ?‘ˇ en |đ?•Ź| . Por lo que hay 16 posibilidades, 10 son esencialmente diferentes (es decir por lo que no hay automorfismos entre cualesquiera dos de ellos). đ?‘ˇ ∅ {< đ?’‚, đ?’‚ >} {< đ?’‚, đ?’ƒ >} {< đ?’‚, đ?’‚ >, < đ?’‚, đ?’ƒ >} {< đ?’‚, đ?’‚ >, < đ?’ƒ, đ?’‚ >} {< đ?’‚, đ?’‚ >, < đ?’ƒ, đ?’ƒ >}

đ?’‚) + + + + + +

đ?’ƒ) + + + + + +

đ?’„) + + + + +

{< đ?’‚, đ?’ƒ >, < đ?’ƒ, đ?’‚ >} {< đ?’‚, đ?’‚ >, < đ?’‚, đ?’ƒ >, < đ?’ƒ, đ?’‚ >} {< đ?’‚, đ?’‚ >, < đ?’‚, đ?’ƒ >, < đ?’ƒ, đ?’ƒ >} {< đ?’‚, đ?’‚ >, < đ?’‚, đ?’ƒ >, < đ?’ƒ, đ?’‚ >, < đ?’ƒ, đ?’ƒ >}

+ +

+

+ + +

Por lo tanto, ya tenemos dos casos necesarios: es decir la relaciĂłn {< đ?’‚, đ?’‚ >, < đ?’ƒ, đ?’ƒ >} (que este puede ser tambiĂŠn descrito simplemente como đ?’™ = đ?’š ) Es antisimĂŠtrica transitiva, y para cada đ?’™ ahĂ­ estĂĄ considerado entonces como đ?’š = đ?’™ de tal manera que đ?‘ˇđ?’™đ?’š , pero tomemos en cuenta que no hay ningĂşn elemento mĂĄximo; y por lo que entonces se dice que la relaciĂłn {< đ?’‚, đ?’‚ >, < đ?’‚, đ?’ƒ >, < đ?’ƒ, đ?’‚ >, < đ?’ƒ, đ?’ƒ >} (que puede ser tambiĂŠn descrito como el que se completa cuando para cada đ?’™ y đ?’š , đ?‘ˇđ?’™đ?’š ) Es transitivo con un elemento maximal (de hecho, dos elementos mĂĄximo) pero no antisimĂŠtrica ( đ?‘ˇđ?’‚đ?’ƒ y đ?‘ˇđ?’ƒđ?’‚ pero đ?’‚ ≠đ?’ƒ). TodavĂ­a tenemos que considerar un caso de la estructura đ?•Ź y la relaciĂłn que se define como đ?‘ˇ en |đ?•Ź| de tal manera que đ?‘ˇ no es transitivo, pero es antisimĂŠtrica y, o bien no se considera que cada elemento tiene un elemento mayor o no hay un elemento mĂĄximo. Para esto, es evidente que necesitamos al menos tres elementos. En efecto, si đ?‘ˇ no es transitiva, entonces para algunos đ?’™ , đ?’š y đ?’› , đ?‘ˇđ?’™đ?’š y đ?‘ˇđ?’šđ?’› pero no đ?‘ˇđ?’™đ?’› , por consiguiente, đ?’™ ≠đ?’š ≠đ?’› . Pero si đ?’™ = đ?’› , consideremos despuĂŠs que đ?‘ˇ no es antisimĂŠtrica. Pero la relaciĂłn đ?‘ˇ = {< đ?’‚, đ?’ƒ >, < đ?’ƒ, đ?’„ >} en |đ?•Ź| = {đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„} ya satisface a los incisos b) y c), pero no al inciso a), ya que no es transitivo( es decir đ?‘ˇđ?’‚đ?’ƒ y đ?‘ˇđ?’ƒđ?’„ pero no đ?‘ˇđ?’‚đ?’„ ), Pero es antisimĂŠtrica (por lo que hay que considerar que no son diferentes en đ?’™ y đ?’š de tal manera que se relacione para đ?‘ˇđ?’™đ?’š y đ?‘ˇđ?’šđ?’™ , de hecho, no hay tal đ?’™ y đ?’š en absoluto) y tambiĂŠn no se considera para cada đ?’™ por lo que decimos entonces que ahĂ­ esta đ?’š de tal manera que đ?‘ˇđ?’™đ?’š (es decir no hay para đ?’™ = đ?’„ ), esto quiere decir que: ⊭đ?•Ź ∀đ?’™âˆƒđ?’šđ?‘ˇđ?’™đ?’š y ⊨đ?•Ź (∀đ?’™âˆƒđ?’šđ?‘ˇđ?’™đ?’š → ∃đ?’šâˆ€đ?’™đ?‘ˇđ?’™đ?’š) .

Para cada estructura đ?•Ź y consideremos que đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| por lo que esto implica que ⊨đ?•Ź ∀đ?’™(đ?œś → đ?œˇ)[đ?’”] y ⊨đ?•Ź ∀đ?’™đ?œś[đ?’”] , por lo que tenemos, entonces que para todos đ?’… ∈ |đ?•Ź| , con esto decimos que ⊨đ?•Ź đ?œś[đ?’”(đ?’™|đ?’…)] y ⊨đ?•Ź (đ?œś → đ?œˇ)[đ?’”(đ?’™|đ?’…)] , Es decir, que para todos đ?’… ∈ |đ?•Ź| , decimos que ⊨đ?•Ź đ?œś[đ?’”(đ?’™|đ?’…)] y ( ⊭đ?•Ź đ?œś[đ?’”(đ?’™|đ?’…)] o ⊨đ?•Ź đ?œˇ[đ?’”(đ?’™|đ?’…)] ), lo que esto implica, que para todos đ?’… ∈ |đ?•Ź| , se muestra que ⊨đ?•Ź đ?œˇ[đ?’”(đ?’™|đ?’…)] , esto quiere decir que ⊨đ?•Ź ∀đ?’™đ?œˇ[đ?’”] .

Consideremos que đ??? es sĂ­ y solo si vĂĄlida para todas las estructuras đ?•Ź y definamos que đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| , y que ademĂĄs ⊨đ?•Ź đ???[đ?’”] por lo que sĂ­ y sĂłlo si para cada estructura đ?•Ź y para cada đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| , decimos que hay cada đ?’… ∈ |đ?•Ź| , tales que ⊨đ?•Ź đ???[đ?’”(đ?’™|đ?’…)] (por necesidad que este se considera de izquierda a derecha, decimos que đ?’”(đ?’™|đ?’…) es una funciĂłn de đ?‘˝ a |đ?•Ź| , y por suficiencia que este se considera de derecha a izquierda, decimos que đ?’” = đ?’”(đ?’™|đ?’”(đ?’™)) ) y tomemos en cuenta que sĂ­ y sĂłlo si para cada estructura đ?•Ź y para đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| ,se menciona que para ⊨đ?•Ź ∀đ?’™đ???[đ?’”] es si y sĂłlo si ∀đ?’™đ??? es vĂĄlida.

Por supuesto, tampoco todos los modelos de đ?œŽ es un modelo de đ??‰ o todos los modelos de đ?œŽ es un modelo de ÂŹđ??‰ . Luego, utilizando el hecho de que no es đ?•Ź por lo que puede ser tanto: un modelo de đ??‰ y un modelo de ÂŹđ??‰ , con esto decimos que llegamos a la conclusiĂłn de que cada modelo de đ?œŽ es un modelo de đ??‰ (es decir đ?œŽ ⊨ đ??‰ ) considerando que sĂ­ y sĂłlo si cualquier modelo de đ?œŽ es un modelo de đ??‰ (es decir ⊨đ?•Ź đ??‰ ), por lo que tengamos en cuenta que đ?œŽ ⊨ đ??‰ ⇒⊨đ?•Ź đ??‰ que esto en realidad no requieren de la suposiciĂłn.

Consideremos que ⊨đ?•Ź ∀đ?’—đ?&#x;? đ?‘¸đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;? [[đ?’„đ?•Ź ]] es si y sĂłlo si para cada đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| de tal manera que si đ?’”(đ?’—đ?&#x;? ) = đ?’„đ?•Ź , decimos entonces que ⊨đ?•Ź ∀đ?’—đ?&#x;? đ?‘¸đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;? [[đ?’”]] es si y sĂłlo si para cada đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| de tal manera que đ?’”(đ?’—đ?&#x;? ) = đ?’„đ?•Ź y definamos que para cada đ?’… ∈ |đ?•Ź| ,por lo que entonces se dice que ⊨đ?•Ź đ?‘¸đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;? [[đ?’”(đ?’—đ?&#x;? |đ?’…)]] es si y sĂłlo si para cada đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| de tal manera que đ?’”(đ?’—đ?&#x;? ) = đ?’„đ?•Ź y para cada đ?’… ∈ |đ?•Ź| , se considera que < đ?’”(đ?’—đ?&#x;? ), đ?’… >∈ đ?‘¸ es si y sĂłlo si para cada đ?’… ∈ |đ?•Ź| , esto implica que < đ?’„đ?•Ź , đ?’… >∈ đ?‘¸ es si y sĂłlo si para cada đ?’… ∈ |đ?•Ź| , con esto finalmente mostramos que ⊨đ?•Ź đ?‘¸đ?’„đ?’… es si y sĂłlo si ⊨đ?•Ź ∀đ?’—đ?&#x;? đ?‘¸đ?’„đ?’—đ?&#x;? .

Por digresiĂłn: Decimos que una relaciĂłn en â„• es aritmĂŠtica si es definible en esta estructura, por lo que todas las relaciones decidibles son aritmĂŠticas, al igual que muchas otras. Las relaciones aritmĂŠticas pueden ser dispuestas en una jerarquĂ­a. La diferencia entre este ejercicio y ejemplos de esta unidad 2 parece estar en el lenguaje utilizado, como en este caso se considera que nos estamos perdiendo en cuestiĂłn de los sĂ­mbolos por lo que entonces se identifica que se estĂĄn utilizando dos esencialmente en los sĂ­mbolos de los ejemplos para đ?&#x;Žyđ?•Š. Es decir, el propĂłsito del ejercicio parece ser en la de demostrar que esos dos sĂ­mbolos no se expanden en el conjunto de lo que este puede ser definido en el â„• .

En particular, se muestra que el uso de nuestra lengua que estĂĄ restringido, por lo que aĂşn podemos definir tanto al {đ?&#x;Ž} y el sucesor de cualquier nĂşmero natural. Por lo tanto con esto decimos que: a) ∀đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;? â‹… đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? ( đ?’Ž = đ?&#x;Ž si y sĂłlo si para cada đ?’? , đ?’Ž â‹… đ?’? = đ?’Ž ). b) ∀đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;? â‹… đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? ( đ?’Ž = đ?&#x;? si y sĂłlo si para cada đ?’? , đ?’Ž â‹… đ?’? = đ?’? ). c) ∃đ?’—đ?&#x;‘ (đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;‘ ∧ ∀đ?’—đ?&#x;’ đ?’—đ?&#x;‘ â‹… đ?’—đ?&#x;’ = đ?’—đ?&#x;’ ) ( đ?’? = đ?’Ž + đ?&#x;? si y sĂłlo si para algunas đ?’Œ , tales que đ?’? = đ?’Ž + đ?’Œ y đ?’Œ = đ?&#x;? ). d) ∃đ?’—đ?&#x;‘ (đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;‘ ∧ ∃đ?’—đ?&#x;’ đ?’—đ?&#x;‘ â‹… đ?’—đ?&#x;’ ≠đ?’—đ?&#x;‘ ) ( đ?’? > đ?’Ž si y sĂłlo si para algunas đ?’Œ , tales que đ?’? = đ?’Ž + đ?’Œ y đ?’Œ ≠đ?&#x;Ž ).

Conclusiones 



Se considerĂł en esta secciĂłn el nombre de primer orden que este viene, en contraste con teorĂ­as de otro orden, por dos razones: la primera es por la cuantificaciĂłn, ya sea universal o existencial, se hace sobre variables individuales y no sobre letras predicativas, y segundo, las letras predicativas se “aplicanâ€? solo a tĂŠrminos y se prohĂ­be aplicarlas a predicados. AquĂ­ construimos las estructuras formales donde se considera primero un lenguaje formal, despuĂŠs un sistema formal y, finalmente tomamos un conjunto deductivamente cerrado o, en el mejor de los casos, la cerradura deductiva de un conjunto.

Fuentes de consulta bibliogrĂĄfica Enderton Herbert (2001) A mathematical introduction to Logic (Second Edition). U.S.A., Los Angeles, University of California. Ed. Harcourt/Academic Press. Enderton Herbert (2004) Una IntroducciĂłn MatemĂĄtica a la LĂłgica (2a. EdiciĂłn). TraducciĂłn: Amor MontaĂąo JosĂŠ Alfredo. MĂŠxico, D.F. Universidad Nacional AutĂłnoma de MĂŠxico U.N.A.M-Instituto de Investigaciones FilosĂłficas; ColecciĂłn: FilosofĂ­a ContemporĂĄnea. Ed. Elsevier Inc

Esta fĂłrmula es una generalizaciĂłn del ∀đ?’™(đ?‘ˇđ?’™ → đ?‘ˇđ?’™) → (đ?‘ˇđ?’„ → đ?‘ˇđ?’„) y tiene la forma de ∀đ?’š[∀đ?’™đ?œś → đ?œśđ?’™đ?’• ] dĂłnde đ?’• = đ?’„ esto hay que sustituirlo đ?’™ en đ?‘ˇđ?’™ → đ?‘ˇđ?’™ , por lo que esto es considerado como el grupo 2.

Esto no es una fĂłrmula vĂĄlida, a razĂłn de la consideraciĂłn que explica que , đ?•Ź = (â„•; <) .

Consideremos en definir para đ?‘ˇđ?’? âˆś đ?‘ˇđ?’“đ?’?đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’Šđ?’„đ?’ŠĂłđ?’? đ?’…đ?’†đ?’”đ?’…đ?’† đ?’? = đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’, đ?&#x;“ đ?‘¨đ?&#x;?. đ?‘¨đ?’™đ?’Šđ?’?đ?’Žđ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’ˆđ?’“đ?’–đ?’‘đ?’? đ?&#x;? đ?‘ť. đ?‘šđ?’†đ?’ˆđ?’?đ?’‚ đ?’…đ?’† đ?‘ťđ?’“đ?’‚đ?’?đ?’”đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’Šđ?’„đ?’ŠĂłđ?’? đ?‘´đ?‘ˇ. đ?‘´đ?’?đ?’…đ?’–đ?’” đ?‘ˇđ?’?đ?’?đ?’†đ?’?đ?’” Por lo que entonces decimos que â&#x;¨

đ?‘ˇđ?&#x;?: đ?‘¨đ?&#x;?. đ?‘ˇđ?&#x;?: đ?‘¨đ?&#x;?. , , ∀đ?’™đ??“ → đ??“ ∀đ?’™ÂŹđ??“ → ÂŹđ??“

đ???đ?&#x;‘: đ?‘ť (∀đ?’™đ??“ → đ??“) → (∀đ?’™ÂŹđ??“ → ÂŹđ??“) → ∀đ?’™đ??“ → ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹđ??“,

đ?‘ˇđ?&#x;’: đ?‘´đ?‘ˇ. : đ?‘ˇđ?&#x;? + đ?‘ˇđ?&#x;‘ , (∀đ?’™ÂŹđ??“ → ÂŹđ??“) → ∀đ?’™đ??“ → ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹđ??“

đ?‘ˇđ?&#x;“: đ?‘´đ?‘ˇ. : đ?‘ˇđ?&#x;? + đ?‘ˇđ?&#x;’ â&#x;Š ∀đ?’™đ??“ → ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹđ??“

Sin embargo, esto parece conducir a una deducciĂłn mĂĄs larga.

Si ⊢ đ?œś → đ?œˇ entonces, de acuerdo a la generalizaciĂłn del teorema, decimos que ⊢ ∀đ?’™(đ?œś → đ?œˇ) y, entonces de acuerdo con el axioma grupo 3, implica que ⊢ ∀đ?’™(đ?œś → đ?œˇ) → (∀đ?’™đ?œś → ∀đ?’™đ?œˇ) y, finalmente por Modus Ponens se muestra que, ⊢ (∀đ?’™đ?œś → ∀đ?’™đ?œˇ) .

El problema aquĂ­ es que lo dice a) que es para que se considere para đ?œś y đ?œˇ de tal manera que đ?œś → đ?œˇ es vĂĄlida, con esto decimos que ∀đ?’™đ?œś → ∀đ?’™đ?œˇ es vĂĄlido, por lo que asĂ­ implica (bueno, no dice nada acerca de la validez, pero va a seguir), que sin embargo en b), se considere que đ?œś → đ?œˇ ⊨ ∀đ?’™đ?œś → ∀đ?’™đ?œˇ por lo que se dice que para cualquier đ?œś y đ?œˇ , y considerando que para cualquier estructura đ?•Ź y đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| , si ⊨đ?•Ź đ?œś → đ?œˇ[đ?’”] por lo que despuĂŠs decimos que ⊨đ?•Ź ∀đ?’™đ?œś → ∀đ?’™đ?œˇ[đ?’”] . Por lo tanto, en a) la declaraciĂłn se limita sĂłlo a aquellas đ?œś y đ?œˇ para lo cual đ?œś → đ?œˇ es vĂĄlida, mientras que en b) no hay tal restricciĂłn. Por lo que consideremos que đ?œś es una fĂłrmula vĂĄlida, y đ?œˇ la formula tal que đ?’™=đ?’„. Ahora si |đ?•Ź| tiene mĂĄs de un elemento, y consideremos a đ?’” es tal que đ?’”(đ?’™) = đ?’„đ?•Ź , por lo que despuĂŠs ⊨đ?•Ź đ?œś → đ?œˇ[đ?’”] . Sin embargo, mientras que ⊨đ?•Ź ∀đ?’™đ?œś[đ?’”] y que ⊭đ?•Ź ∀đ?’™đ?œˇ[đ?’”] , esto implica entonces que, ⊭đ?•Ź ∀đ?’™đ?œś → ∀đ?’™đ?œˇ[đ?’”] . Por Consiguiente decimos que, đ?œś → đ?œˇ ⊭ ∀đ?’™đ?œś → ∀đ?’™đ?œˇ .

Tengamos en cuenta que đ?œ¸ ∧ đ?œš es tautolĂłgica equivalente a ÂŹ(đ?œ¸ → ÂŹđ?œš) , y đ?œ¸ ∨ đ?œš es tautolĂłgica equivalente a ÂŹđ?œ¸ → đ?œš . Por la equivalencia tautolĂłgica no implica que una de estas utilice estas tautologĂ­as de primer orden en la prueba de esta ecuaciĂłn. Por lo que entonces tenemos que demostrar que: ⊢ ∃đ?’™ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) → ÂŹ(∃đ?’™đ??‹ → ÂŹâˆƒđ?’™đ???) . Por deducciĂłn, la contraposiciĂłn, la generalizaciĂłn y la contraposiciĂłn (de nuevo) de estos teoremas, es suficiente para demostrar que:

ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) ⊢ ÂŹ(ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹđ??‹ → ∀đ?’™ÂŹđ???) . Para esto, es suficiente que para mostrar que ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) ⊢ ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹđ??‹ y que ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) ⊢ ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹđ??? entonces decimos (usando la regla de transposiciĂłn T para đ?œ¸, ÂŹđ?œš ⊨ ÂŹ(đ?œ¸ → đ?œš) ), que para tanto {ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???), ∀đ?’™ÂŹđ??‹} y para tanto {ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???), ∀đ?’™ÂŹđ???} son incompatibles. Por el axioma de grupo 2 decimos que, ⊢ ∀đ?’™ÂŹđ??‹ → ÂŹđ??‹ y ⊢ ∀đ?’™ÂŹđ??? → ÂŹđ??? , y ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) → đ??‹ y ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) → đ??? son tautologĂ­as, de modo que, por regla de transposiciĂłn T, mostramos finalmente que: {ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???), ∀đ?’™ÂŹđ??‹} ⊢ {đ??‹, ÂŹđ??‹} y {ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???), ∀đ?’™ÂŹđ???} ⊢ {đ???, ÂŹđ???} .

Tenemos que demostrar que ⊢ ∀đ?’™ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) → ÂŹ(∀đ?’™đ??‹ → ÂŹâˆ€đ?’™đ???) y que ⊢ ÂŹ(∀đ?’™đ??‹ → ÂŹâˆ€đ?’™đ???) → ∀đ?’™ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) . Por el teorema de deducciĂłn, que es suficiente para demostrar que: ∀đ?’™ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) ⊢ ÂŹ(∀đ?’™đ??‹ → ÂŹâˆ€đ?’™đ???) y ÂŹ(∀đ?’™đ??‹ → ÂŹâˆ€đ?’™đ???) ⊢ ∀đ?’™ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) . Para el primero de ellos es suficiente que para demostrar que: ∀đ?’™ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) ⊢ ∀đ?’™đ??‹ y ∀đ?’™ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) ⊢ ∀đ?’™đ??? (Usando la regla de la transposiciĂłn T para đ?œ¸, đ?œš ⊨ ÂŹ(đ?œ¸ → ÂŹđ?œš) ). Por Modus Ponens, decimos que es suficiente para mostrar que ⊢ ∀đ?’™ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) → ∀đ?’™đ??‹ y ⊢ ∀đ?’™ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) → ∀đ?’™đ??? y, por el axioma de grupo 3, otra vez Modus Ponens y teorema de la generalizaciĂłn, es suficiente demostrar que para ⊢ ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) → đ??‹ y ⊢ ÂŹ(đ??‹ → ÂŹđ???) → đ??? ; donde ambas son tautologĂ­as. Para la segunda, por los teoremas de generalizaciĂłn y de contraposiciĂłn, es suficiente para mostrar que đ??‹ → ÂŹđ??? ⊢ ∀đ?’™đ??‹ → ÂŹâˆ€đ?’™đ??? . Por el teorema de deducciĂłn, que este es suficiente para demostrar que ∀đ?’™đ??‹; đ??‹ → ÂŹđ??? ⊢ ÂŹâˆ€đ?’™đ??? . Por ReducciĂłn al Absurdo, es suficiente para concluir que {∀đ?’™đ??‹, đ??‹ → ÂŹđ???, ∀đ?’™đ???} es incompatible. Ahora, por el axioma de grupo 2 dĂŠcimos finalmente que, ⊢ ∀đ?’™đ??‹ → đ??‹ y ⊢ ∀đ?’™đ??? → đ??? y por lo tanto aplicando el Modus Ponens decimos que, {∀đ?’™đ??‹, đ??‹ → ÂŹđ???, ∀đ?’™đ???} ⊢ {đ???, ÂŹđ???} .

Consideremos en definir para 𝒏 ∶ 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗 𝑨𝒏. 𝑨𝒙𝒊𝒐𝒎𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝑫: 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒅𝒖𝒄𝒄𝒊ó𝒏. 𝑮. 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑴𝑷. 𝑴𝒐𝒅𝒖𝒔 𝑷𝒐𝒏𝒆𝒏𝒔 Por lo que entonces se efectúa la prueba de la manera siguiente: 𝟏. ⊢ ((¬𝑷𝒙) → 𝑸𝒙) → ((¬𝑸𝒙) → 𝑷𝒙),

𝑷𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑨𝟏.

𝟐. ⊢ ∀𝒙[((¬𝑷𝒙) → 𝑸𝒙) → ((¬𝑸𝒙) → 𝑷𝒙)],

𝑷𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑮: 𝒑𝒐𝒓 𝟏.

𝟑. ⊢ ∀𝒙[((¬𝑷𝒙) → 𝑸𝒙) → ((¬𝑸𝒙) → 𝑷𝒙)] → ∀𝒙((¬𝑷𝒙) → 𝑸𝒙) → ∀𝒙((¬𝑸𝒙) → 𝑷𝒙) , 𝑷𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑨𝟑. 𝟒. ⊢ ∀𝒙((¬𝑷𝒙) → 𝑸𝒙) → ∀𝒙((¬𝑸𝒙) → 𝑷𝒙),

𝑷𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑴𝑷: 𝒑𝒐𝒓 𝟐 + 𝟑.

𝟓. ∀𝒙((¬𝑷𝒙) → 𝑸𝒙) ⊢ ∀𝒙((¬𝑸𝒙) → 𝑷𝒙),

𝑷𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑴𝑷: 𝒑𝒐𝒓 𝟒.

𝟔. ⊢ ∀𝒙((¬𝑸𝒙) → 𝑷𝒙) → ((¬𝑸𝒚) → 𝑷𝒚), 𝟕. ∀𝒙((¬𝑷𝒙) → 𝑸𝒙) ⊢ ((¬𝑸𝒚) → 𝑷𝒚),

𝑷𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑨𝟐.

𝑷𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑴𝑷: 𝒑𝒐𝒓 𝟓 + 𝟔.

𝟖. ∀𝒙((¬𝑷𝒙) → 𝑸𝒙) ⊢ ∀𝒚((¬𝑸𝒚) → 𝑷𝒚), 𝟗. ⊢ (∀𝒙((¬𝑷𝒙) → 𝑸𝒙) → ∀𝒚((¬𝑸𝒚) → 𝑷𝒚)) ,

𝑷𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑮: 𝒑𝒐𝒓 𝟕. 𝑷𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑫: 𝒑𝒐𝒓 𝟖.

Conclusiones: 

Como hemos visto, la lógica de primer orden es una herramienta muy poderosa debido a los beneficios metateóricos que posee. Sin embargo padece una debilidad en lo que respecta a su capacidad de expresión que lleva a problemas.

La lógica de primer orden, también conocida como lógica de predicados o cálculo de predicados, es una extensión de la lógica proposicional. Esta lógica es un lenguaje formal a la que se le incluyen cuantificadores cuyo alcance es para variables de individuo y donde se tienen predicados y funciones cuyos argumentos son solo constantes o variables de individuo. En este modelo lógico, la validez de los argumentos no solo depende de la manera en que las proposiciones se combinan con los conectivos (como ocurriría con la lógica proposicional), sino que depende de su estructura interna, es decir, además de variables y constantes para individuos se agregan los cuantificadores existencial y universal. En la lógica de predicados las proposiciones se analizan en sujeto y predicados, donde el termino predicado se utiliza en un sentido general, por lo que se abarcan no sólo propiedades de individuos sino propiedades de conjuntos finitos y ordenados de individuos,

Fuentes de consulta bibliográfica Enderton Herbert (2001) A mathematical introduction to Logic (Second Edition). U.S.A., Los Angeles, University of California. Ed. Harcourt/Academic Press. Enderton Herbert (2004) Una Introducción Matemática a la Lógica (2a. Edición). Traducción: Amor Montaño José Alfredo. México, D.F. Universidad Nacional Autónoma de México U.N.A.M-Instituto de Investigaciones Filosóficas; Colección: Filosofía Contemporánea. Ed. Elsevier Inc.

(i) A algunas personas se las puede engaĂąar todo el tiempo: AquĂ­ la ambigĂźedad estĂĄ en que, o bien dice que hay algunas personas (fijas) que se puede engaĂąar a todo el tiempo, o dice que en cada momento hay (algunos, no fijamente) a la gente se puede engaĂąar, es decir, ya sea ∃đ?’™(đ?‘ˇđ?’™ ∧ ∀đ?’š(đ?‘ťđ?’š → đ?‘­đ?’™đ?’š)) o ∀đ?’š(đ?‘ťđ?’š → ∃đ?’™(đ?‘ˇđ?’™ ∧ đ?‘­đ?’™đ?’š)) . Nota: CĂłmo las dos traducciones difieren en el orden de los cuantificadores, esencialmente, por lo que en la primera versiĂłn es mĂĄs fuerte que el segundo en este aspecto mencionado. (ii) Se puede engaĂąar a todas las personas parte del tiempo AquĂ­ la ambigĂźedad estĂĄ en que, o bien dice que se puede engaĂąar a cada persona en algĂşn momento (los tiempos pueden ser diferentes para las diferentes personas), o dice que en algĂşn momento (fijo) se puede engaĂąar a todo el mundo (en ese momento especĂ­fico) por lo que entonces decimos que: ∀đ?’™(đ?‘ˇđ?’™ → ∃đ?’š(đ?‘ťđ?’š ∧ đ?‘­đ?’™đ?’š)) o ∃đ?’š(đ?‘ťđ?’š ∧ ∀đ?’™(đ?‘ˇđ?’™ → đ?‘­đ?’™đ?’š)) . Una vez mĂĄs, tenemos dos traducciones que difieren en el orden de los cuantificadores, por lo que la segunda versiĂłn es mĂĄs fuerte que la primera en esta cuestiĂłn mencionada.

(iii) No se puede engaĂąar a todas las personas todo el tiempo. Consideremos que ÂŹâˆ€đ?’™(đ?‘ˇđ?’™ → ∀đ?’š(đ?‘ťđ?’š → đ?‘­đ?’™đ?’š)) . Por lo que tengamos en cuenta, que podemos poner los dos cuantificadores juntos e incluso reordenarlas en este caso, como: ÂŹâˆ€đ?’šâˆ€đ?’™(đ?‘ˇđ?’™ → đ?‘ťđ?’š → đ?‘­đ?’™đ?’š) o ÂŹâˆ€đ?’šâˆ€đ?’™(đ?‘ťđ?’š ∧ đ?‘ˇđ?’™ → đ?‘­đ?’™đ?’š). Alternativamente, usando este ÂŹâˆ€đ?’™(đ?‘¨đ?’™ → đ?œś) es "lĂłgicamente equivalente" a ∃đ?’™(đ?‘¨đ?’™ ∧ ÂŹđ?œś) , por lo que tenemos entonces que ∃đ?’™âˆƒđ?’š(đ?‘ˇđ?’™ ∧ đ?‘ťđ?’š ∧ ÂŹđ?‘­đ?’™đ?’š) (pero de nuevo, similar al Ejercicio 3, de la actividad 1 de esta unidad 2 se trata de una traducciĂłn de otra frase en espaĂąol que esta es "lĂłgicamente equivalente").

(i) Ă lvarez no puede realizar bien todos los trabajos. Por lo que se traduce este enunciado en espaĂąol al lenguaje de primer orden de la siguiente manera: ∃đ?’š(đ?‘ąđ?’š ∧ ÂŹđ?‘Ťđ?’‚đ?’š) . (ii) Ă lvarez no puede realizar bien ningĂşn trabajo. Por lo que se traduce este enunciado en espaĂąol al lenguaje de primer orden de la siguiente manera: ∀đ?’š(đ?‘ąđ?’š → ÂŹđ?‘Ťđ?’‚đ?’š) .

Consideremos que en este caso debemos decir que variables ocurren de manera libre en la formula. Por lo que en este caso debemos tomar en cuenta que: ((∃đ?’—đ?&#x;? đ?‘ˇđ?’—đ?&#x;? ) ∧ đ?‘ˇđ?’—đ?&#x;? ) (por lo que aquĂ­ utilizamos parĂŠntesis extra para facilitar la lectura), por lo que entonces đ?’—đ?&#x;? es una variable libre.

Consideremos que en este caso debemos decir que variables ocurren de manera libre en la formula. Por lo que en este caso debemos tomar en cuenta que: (((∀đ?’—đ?&#x;? đ?‘¨đ?’—đ?&#x;? ) ∧ đ?‘Šđ?’—đ?&#x;? ) → ((∃đ?’—đ?&#x;? ÂŹđ?‘Şđ?’—đ?&#x;? ) ∨ đ?‘Ťđ?’—đ?&#x;? )) (por lo que aquĂ­ utilizamos parĂŠntesis extra para facilitar la lectura), por lo que entonces đ?’—đ?&#x;? y đ?’—đ?&#x;? son variables libres.

Sea definida la formula en este caso como: ∃đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? â‹… đ?’—đ?&#x;? (Donde đ?’“ ≼ đ?&#x;Ž, si y solamente si para algunas đ?’™ , cuando se considera para đ?’“ = đ?’™đ?&#x;? ).

Sea definida la formula en este caso como: ∃đ?’—đ?&#x;? (đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;? ∧ ∀đ?’—đ?&#x;‘ đ?’—đ?&#x;? â‹… đ?’—đ?&#x;‘ = đ?’—đ?&#x;‘ ) (Donde đ?’“ = đ?&#x;? , si y solamente si para algunas đ?’™ , cuando se considera para đ?’“ = đ?’™ + đ?’™ y para todas las đ?’š ; esto quiere decir que đ?’™ â‹… đ?’š = đ?’š ).

Supongamos de que se tiene una uniĂłn finita de los intervalos definidos como đ?‘¨đ?&#x;? âˆŞ ‌ âˆŞ đ?‘¨đ?’? y que đ?œśđ?’? define đ?‘¨đ?’? , por lo que entonces decimos que đ?œśđ?&#x;? ∨ đ?œśđ?&#x;? ∨ ‌ ∨ đ?œśđ?’? por lo que esto define la uniĂłn. Por lo tanto, decimos que sĂłlo tenemos que mostrar que un intervalo con puntos finales algebraicos es definible en đ?•˝ .

Supongamos que un intervalo đ?‘¨ tiene puntos finales đ?’‚ y đ?’ƒ de tal manera que {đ?’‚} y {đ?’ƒ} se definen por đ?œś y đ?œˇ . Entonces, vamos a definir de la siguiente manera a đ?œśâ€˛ que debe ser đ?œś en la que cada variable definida como đ?’—đ?’Š que estĂĄ sustituido con đ?’—đ?’Š+đ?&#x;? , y que đ?œˇâ€˛ debe ser đ?œˇ en la que cada variable definida como đ?’—đ?’Š que estĂĄ sustituido con đ?’—đ?’Š+đ?&#x;? , y por lo que entonces tenemos que ∃đ?’—đ?&#x;? ∃đ?’—đ?&#x;‘ ∃đ?’—đ?&#x;’ ∃đ?’—đ?&#x;“ ∃đ?’—đ?&#x;” ∃đ?’—đ?&#x;• (đ?œśâ€˛ ∧ đ?œˇâ€˛ ∧ đ?’—đ?&#x;’ = đ?’—đ?&#x;” â‹… đ?’—đ?&#x;” ∧ đ?’—đ?&#x;“ = đ?’—đ?&#x;• â‹… đ?’—đ?&#x;• ∧ đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;’ ∧ đ?’—đ?&#x;‘ = đ?’—đ?&#x;? + đ?’—đ?&#x;“ ) Por lo que esto define el intervalo cerrado [đ?’‚, đ?’ƒ] . AdemĂĄs podemos decir que đ?’—đ?&#x;? ≠đ?’—đ?&#x;? y/o đ?’—đ?&#x;? ≠đ?’—đ?&#x;‘ y mencionemos en que no podemos definir para este caso en los siguientes intervalos (đ?’‚, đ?’ƒ] , [đ?’‚, đ?’ƒ) đ?’š (đ?’‚, đ?’ƒ). Para los intervalos infinitos podemos omitir las partes que restringen đ?’—đ?&#x;? desde ese extremo. Por lo tanto, sĂłlo tenemos que demostrar que para cualquier nĂşmero algebraico đ?’‚, el conjunto {đ?’‚} es definible en đ?•˝. Por lo que en primer lugar se muestra que para cualquier nĂşmero racional đ?’Ž definido como đ?’‚ = đ?’? , donde {đ?’‚} es definible en đ?•˝ . Por lo que ciertamente, decimos que: ∃đ?’—đ?&#x;? (đ?’— â?&#x;đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’—đ?&#x;? =đ?’— â?&#x;đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’—đ?&#x;? ∧ ∀đ?’—đ?&#x;‘ đ?’—đ?&#x;? â‹… đ?’—đ?&#x;‘ = đ?’—đ?&#x;‘ ) đ?’? đ?’—đ?’†đ?’„đ?’†đ?’” . đ?’Ž đ?’—đ?’†đ?’„đ?’†đ?’” đ?’Ž

Por lo que define en đ?•˝ el conjunto { đ?’? } . Ahora bien, si un nĂşmero algebraico {đ?’‚} es una raĂ­z de la ecuaciĂłn đ?’‡(đ?’™) = đ?’„đ?’? đ?’™đ?’? + â‹Ż + đ?’„đ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž con coeficientes enteros, por lo que entonces decimos que en đ?‘¨ debe haber un intervalo con puntos finales racionales tales que đ?’‚ es la Ăşnica raĂ­z de đ?’‡ en la que se encuentra dentro de đ?‘¨ , y con esto decimos que Îą debe ser una fĂłrmula bien formada que define en đ?•˝ al conjunto đ?‘¨ (a razĂłn de que un conjunto de este tipo es definible en đ?•˝). Por lo que entonces, decimos que: ∃đ?’—đ?&#x;? ((đ?’— (đ?’—đ?&#x;? â‹… ‌ â‹… đ?’—đ?&#x;? ) â?&#x; đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’—đ?&#x;? ) â‹… â?&#x; đ?’„đ?’? đ?’—đ?’†đ?’„đ?’†đ?’” đ?’? đ?’—đ?’†đ?’„đ?’†đ?’”

+â‹Ż+ â?&#x; (đ?’—đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’—đ?&#x;? ) =đ?&#x;Ž ∧ ∀đ?’—đ?&#x;‘ đ?’—đ?&#x;? â‹… đ?’—đ?&#x;‘ = đ?’—đ?&#x;‘ ∧ đ?œś)) . đ?’„đ?&#x;Ž đ?’—đ?’†đ?’„đ?’†đ?’”

Por lo que define en đ?•˝ el conjunto {đ?’‚}.

DigresiĂłn: Desde el punto de vista algebraico, la estructura de los nĂşmeros naturales con multiplicaciĂłn no es otra cosa que el semigrupo abeliano libre con â„ľđ?&#x;Ž generadores(es decir, los primos), junto con un elemento cero. AquĂ­ no hay manera de definir la suma, si se pudiera hacer, entonces podrĂ­a definirse el orden (por el ejercicio 6 de la actividad 2 de esta unidad 2 y por transitividad). Pero un generador se ve igual a otro, por lo que esto es, que hay đ?&#x;?â„ľđ?&#x;Ž automorfismos- simplemente hay que permutar los primos. Ninguno de ellos preserva el orden excepto la identidad. Como se ha sugerido entonces, consideramos a un automorfismo que permuta primos. Tomemos en cuenta el caso mĂĄs sencillo que serĂ­a cambiar đ?&#x;? y đ?&#x;‘ . Es decir, para cualquier đ?’? ∈ â„• , decimos que si đ?’? = âˆ?đ?’‘ đ?’‘đ?’?đ?’‘ por lo que despuĂŠs definamos a đ?’‰(đ?’?) = đ?&#x;?đ?’?đ?&#x;‘ đ?&#x;‘đ?’?đ?&#x;? âˆ?đ?’‘≼đ?&#x;“ đ?’‘đ?’?đ?’‘ . DespuĂŠs para ver que sĂ­ es un automorfismo, verificamos que đ?’‰ es biyectiva, y que se cumpla para đ?’? = âˆ?đ?’‘ đ?’‘đ?’?đ?’‘ y para đ?’Ž = âˆ?đ?’‘ đ?’‘đ?’Žđ?’‘ por lo que entonces decimos que: đ?’‰(đ?’? â‹… đ?’Ž) = đ?’‰(âˆ?đ?’‘ đ?’‘đ?’?đ?’‘+đ?’Žđ?’‘ ) = đ?&#x;?đ?’?đ?&#x;‘ +đ?’Žđ?&#x;‘ đ?&#x;‘đ?’?đ?&#x;? +đ?’Žđ?&#x;? âˆ?đ?’‘≼đ?&#x;“ đ?’‘đ?’?đ?’‘+đ?’Žđ?’‘ = đ?’‰(đ?’?) â‹… đ?’‰(đ?’Ž) . Al mismo tiempo decimos que, mientras < đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;? >∈ đ?‘ş dĂłnde đ?‘ş es la relaciĂłn AdemĂĄs, decimos que < đ?’‰(đ?&#x;?), đ?’‰(đ?&#x;?), đ?’‰(đ?&#x;?) >=< đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘ >∉ đ?‘ş . Por Consiguiente, decimos que đ?‘ş no es definible.

Observación: Este resultado refleja el hecho de que  y → se trataron en esta unidad 2 de la misma manera que en la unidad 1.

Por lo que entonces se demuestra esta declaraciĂłn por medio de la inducciĂłn. Por lo que entonces decimos que para cualquier fĂłrmula privilegiada definida como đ?œś considerĂĄndola como un sĂ­mbolo de frase, que Ě…(đ?œś) = đ?’—(đ?œś) = đ?‘ť si y sĂłlo si ⊨đ?•Ź đ?œś[đ?’”] . Ahora, decimos que se define como đ?’— Ě…(ÂŹđ?œś) = đ?‘ť si y sĂłlo si đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?‘­ si y sĂłlo si decimos que (por inducciĂłn) đ?’— Ě…(đ?œś → đ?œˇ) = đ?‘ť si y ⊭đ?•Ź đ?œś[đ?’”] si y sĂłlo si ⊨đ?•Ź ÂŹđ?œś[đ?’”] y consideremos ademĂĄs que đ?’— Ě…(đ?œś) = đ?‘­ o đ?’— Ě…(đ?œˇ) = đ?‘ť si y sĂłlo si decimos que (por inducciĂłn) ⊭đ?•Ź đ?œś[đ?’”] o sĂłlo si đ?’— ⊨đ?•Ź đ?œˇ[đ?’”] si y sĂłlo si ⊨đ?•Ź đ?œś → đ?œˇ[đ?’”] . Por lo que llegamos a la conclusiĂłn, que por Ě…(đ?œś) = đ?‘ť si y sĂłlo si ⊨đ?•Ź đ?œś[đ?’”] . cada fĂłrmula đ?œś , decimos que đ?’—

Si đ?šŞ implica tautolĂłgicamente đ??‹ a continuaciĂłn decimos, para cada estructura đ?•Ź y para đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| , entonces si para cada đ?œś ∈ đ?šŞ , decimos que Ě…(đ?œś) = đ?‘ť , por lo que despuĂŠs decimos que đ?’— Ě…(đ??‹) = đ?‘ť . Por lo tanto, decimos đ?’— que para cada estructura đ?•Ź y para đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| , donde si se considera para cada đ?œś ∈ đ?šŞ , implica que ⊨đ?•Ź đ?œś[đ?’”] , por lo que despuĂŠs decimos que ⊨đ?•Ź đ??‹[đ?’”] . Por lo tanto, decimos que đ?šŞ ⊨ đ??‹ .

Consideremos que si đ?’™ no ocurre libremente en đ??‹ , por lo que podemos utilizar axioma de grupo 4 đ?‘¨đ?&#x;’ y aĂąadir hasta el final que: đ?‘¨đ?&#x;’ đ?‘´đ?’?đ?’…đ?’–đ?’” đ?‘ˇđ?’?đ?’?đ?’†đ?’?đ?’” đ?‘´đ?‘ˇ , đ??‹ → ∀đ?’™đ??‹ ∀đ?’™đ??‹ Sin embargo, en general decimos que, đ??‹ puede contener đ?’™ como una variable libre. Por lo que entonces, haremos en cambiar todas las fĂłrmulas para đ?œś por lo que decimos que una deducciĂłn de đ??‹ para ∀đ?’™đ?œś y despuĂŠs evaluarla en đ?’…(đ?’?) , por lo que el nĂşmero de pasos adicionales necesarios en el peor de los casos, se considerara por inducciĂłn: 1. Si đ?œś ∈ đ?œŚ , por lo que despuĂŠs decimos que para ∀đ?’™đ?œś ∈ đ?œŚ y considerando que đ?’…(đ?’?) = đ?&#x;Ž . 2. Si đ?œś ∈ đ?šŞ , despuĂŠs decimos que đ?’™ no ocurre libre en đ?œś , y por lo que se considera a đ?’…(đ?’?) = đ?&#x;? , con los dos pasos adicionales en la deducciĂłnÎą, que se define como:

đ?‘¨đ?&#x;’ đ?‘´đ?’?đ?’…đ?’–đ?’” đ?‘ˇđ?’?đ?’?đ?’†đ?’?đ?’” đ?‘´đ?‘ˇ , đ?œś → ∀đ?’™đ?œś ∀đ?’™đ?œś 3. De otra manera, decimos que đ?œś se deduce de đ?œˇ y esto implica que đ?œˇ → đ?œś , donde considerando por inducciĂłn ya los hemos cambiado como: đ?’‚∀đ?’™đ?œˇ y ∀đ?’™(đ?œˇ → đ?œś). En consecuencia, decimos que necesitamos de tres pasos en lugar de uno anterior, considerando a la norma de Modus Ponens, a saber , ademĂĄs tomando en cuenta el axioma de grupo 3 đ?‘¨đ?&#x;‘ como ∀đ?’™(đ?œˇ → đ?œś) → (∀đ?’™đ?œˇ → ∀đ?’™đ?œś) y definiendo dos nuevas reglas de Modus Ponens. En general, se observa que, en el peor de los casos, cuando no se utilizan axiomas, necesitamos de tres fĂłrmulas en una deducciĂłn en lugar de cada una. Por supuesto, podrĂ­a haber algunas sugerencias, incluso si no hay axiomas en la deducciĂłn, pero tomando en cuenta en este caso que el peor de los casos, es definido como đ?’‡(đ?’?) = đ?&#x;‘đ?’? . DespuĂŠs decimos que una funciĂłn mĂĄs precisa serĂ­a uno de cada dos variables, en donde definimos para una deducciĂłn de đ??‹ de longitud đ?’? = đ?’? + đ?’Ž considerando que se estĂĄ usando đ?’Ž axiomas y đ?’? definida como otras reglas (es decir đ?šŞ o Modus Ponens), por lo que siempre hay una deducciĂłn de ∀đ?’™đ??‹ de longitud đ?’‡(đ?’?, đ?’Ž) = đ?‘ł(đ?’?, đ?’Ž) + đ?‘´(đ?’?, đ?’Ž) usando đ?‘´(đ?’?, đ?’Ž) axiomas y đ?‘ł(đ?’?, đ?’Ž) definida como otras reglas (es decir đ?šŞ o Modus Ponens). Entonces: đ?‘ł(đ?’?, đ?’Ž) = đ?&#x;?đ?’? đ?‘´(đ?’?, đ?’Ž) = đ?’? + đ?’Ž đ?’‡(đ?’?, đ?’Ž) = đ?&#x;‘đ?’? + đ?’Ž Consideremos en definir para: đ?‘¨đ?’?. đ?‘¨đ?’™đ?’Šđ?’?đ?’Žđ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’ˆđ?’“đ?’–đ?’‘đ?’? đ?’…đ?’†đ?’”đ?’…đ?’† đ?’? = đ?&#x;“, đ?&#x;” đ?‘ť. đ?‘šđ?’†đ?’ˆđ?’?đ?’‚ đ?’…đ?’† đ?‘ťđ?’“đ?’‚đ?’?đ?’”đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’Šđ?’„đ?’ŠĂłđ?’? đ?‘´đ?‘ˇ. đ?‘´đ?’?đ?’…đ?’–đ?’” đ?‘ˇđ?’?đ?’?đ?’†đ?’?đ?’”

đ?‘¨đ?&#x;” , đ?’™=đ?’šâ†’đ?’™=đ?’™â†’đ?’š=đ?’™ đ?‘ť đ?‘´đ?‘ˇ đ?‘¨đ?&#x;“ , , (đ?’™ = đ?’š → đ?’™ = đ?’™ → đ?’š = đ?’™) → đ?’™ = đ?’™ → đ?’™ = đ?’š → đ?’š = đ?’™ đ?’™ = đ?’™ → đ?’™ =đ?’šâ†’đ?’š=đ?’™ đ?’™=đ?’™ đ?‘´đ?‘ˇ , >. đ?’™=đ?’šâ†’đ?’š=đ?’™ Por lo que una deducciĂłn por ⊢ đ?’™ = đ?’š → đ?’š = đ?’™ : <

Esto es una deducciĂłn de longitud 5. De acuerdo con nuestra funciĂłn derivada đ?’‡ , decimos que ∀đ?’™âˆ€đ?’šđ?’™ = đ?’š → đ?’š = đ?’™ por lo que deberĂ­a requerir mĂĄs de đ?&#x;“ â‹… đ?&#x;‘đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?&#x;“ pasos. Sin embargo, aquĂ­ tenemos dos variables libres, 3 axiomas y 2 reglas de Modus Ponens. Por lo tanto, la fĂłrmula en dos variables nos da đ?‘ł(đ?&#x;?, đ?&#x;‘) = đ?&#x;’ , đ?‘´(đ?&#x;?, đ?&#x;‘) = đ?&#x;“ , đ?’‡(đ?&#x;?, đ?&#x;‘) = đ?&#x;— para ∀đ?’™đ?’™ = đ?’š → đ?’š = đ?’™ , y decimos ahora que đ?‘ł(đ?&#x;’, đ?&#x;“) = đ?&#x;– , đ?‘´(đ?&#x;’, đ?&#x;“) = đ?&#x;— , đ?’‡(đ?&#x;’, đ?&#x;“) = đ?&#x;?đ?&#x;• para ∀đ?’™âˆ€đ?’šđ?’™ = đ?’š → đ?’š = đ?’™ . Como se ha mencionado en esta unidad 2 la longitud de 17 es sin duda el mejor que podemos lograr en este caso.

Llamemos temporalmente a una instancia de la variable đ?’™ (o đ?’š ) delimitada por ∀đ?’› si y sĂłlo si la instancia se encuentra dentro de alguna subfĂłrmula ∀đ?’›đ?œś de đ??‹ . Entonces, si todos los casos de đ?’™ o đ?’š en đ??‹ se convertirĂĄ entonces en đ?’™ o đ?’š dependiendo de que si estĂĄ limitada por ∀đ?’™ y/o ∀đ?’š (para los casos). En dos de estos casos, si una variable no estĂĄ limitada por ∀đ?’š (independientemente de que si estĂĄ limitada por ∀đ?’™ o no), con el tiempo se đ?’š

convertirĂĄ en đ?’™ en (đ??‹đ?’™đ?’š ) . Si la variable estĂĄ limitada por ∀đ?’š , a continuaciĂłn, đ?’™

decimos que dependiendo de si estĂĄ limitada por ∀đ?’™ o no, serĂĄ, en consecuencia, que siendo la misma en đ??‹ o convertirse đ?’š en (đ??‹đ?’™đ?’š )

đ?’š đ?’™

. Por lo

tanto, tenemos varios casos posibles cuando đ?’™ podrĂ­a convertirse đ?’š y đ?’š podrĂ­a convertirse đ?’™ , en base a esto, consideremos que đ??‹ es igual a đ?’š

đ?‘ˇđ?’š → ∀đ?’šđ?‘ˇđ?’™ . por lo que entonces decimos que (đ??‹đ?’™đ?’š ) = đ?‘ˇđ?’™ → ∀đ?’šđ?‘ˇđ?’š . đ?’™

Donde decimos que por ejemplo: un paĂ­s libre đ?’™ resultĂł ser đ?’š y un paĂ­s libre đ?’š resultĂł ser đ?’™ . BasĂĄndose en esta observaciĂłn, es claro que si no hay đ?’š en đ??‹ a continuaciĂłn, decimos que en a. no puede ser posible que đ?’š pueda llegar a ser đ?’™ (sin considerar para đ?’™ doble), y b. no puede ser que đ?’™ este limitada por ∀đ?’š , por lo tanto, no hay ninguna đ?’™ que pueda llegar a ser đ?’š (sin que hiciera falta đ?’™). Lo que acabamos de mencionar se da una prueba mĂĄs formal en b.

De acuerdo a la sugerencia mostramos esta declaración por medio de la inducción. Mencionemos que para un símbolo variable o constante � ≠� , decimos que �

si đ?’› ≠đ?’™ , entonces esto implica que đ??‹đ?’™đ?’š = (đ??‹đ?’™đ?’š ) = đ?’› , de otra manera podemos expresarla como

đ??‹đ?’™đ?’š

=đ?’š y

đ?’š (đ??‹đ?’™đ?’š ) đ?’™

đ?’™

=đ?’™=đ?’›.

Definamos entonces para un plazo đ?’• = đ?’‡đ?’Š đ?’•đ?&#x;? ‌ đ?’•đ?’? que no contiene đ?’š , entonces đ?’š

đ?’š

đ?’š

đ?’™

đ?’™

đ?’™

por inducciĂłn, decimos que (đ?’•đ?’™đ?’š ) = đ?’‡đ?’Š ((đ?’•đ?&#x;? )đ?’™đ?’š ) ‌ ((đ?’•đ?’? )đ?’™đ?’š ) = đ?’‡đ?’Š đ?’•đ?&#x;? ‌ đ?’•đ?’? = đ?’• . Del mismo modo, para una fĂłrmula atĂłmica đ??‹ = đ?‘ˇđ?’•đ?&#x;? ‌ đ?’•đ?’? que no contiene đ?’š , đ?’š

đ?’š

đ?’š

đ?’™

đ?’™

đ?’™

entonces por inducciĂłn, decimos que (đ??‹đ?’™đ?’š ) = đ?‘ˇ((đ?’•đ?&#x;? )đ?’™đ?’š ) ‌ ((đ?’•đ?’? )đ?’™đ?’š ) = đ?‘ˇđ?’•đ?&#x;? ‌ đ?’•đ?’? = đ??‹ (y considerando que se debe tomar en cuenta que đ?’™ es sustituible para đ?’š en đ??‹đ?’™đ?’š ya que este Ăşltimo es una fĂłrmula atĂłmica tambiĂŠn). AdemĂĄs, por definiciĂłn y considerando la inducciĂłn, decimos que si đ?œś y đ?œˇ no contiene đ?’š esto implica que đ?’™ es sustituible para đ?’š en đ?œśđ?’™đ?’š y đ?œˇđ?’™đ?’š ,tales que đ?’š

đ?’š

đ?’™

đ?’™

(đ?œśđ?’™đ?’š ) = đ?œś y (đ?œˇđ?’™đ?’š ) = đ?œˇ , entonces por a. decimos que (ÂŹđ?œś)đ?’™đ?’š = ÂŹđ?œśđ?’™đ?’š , luego x es đ?’š

sustituible para đ?’š en esta descripciĂłn , y consideramos que ((ÂŹđ?œś)đ?’™đ?’š ) = đ?’š ÂŹ(đ?œśđ?’™đ?’š ) đ?’™

= ÂŹđ?œś , y decimos que pata b. es considerado como ((đ?œś →

đ?’™ đ?œˇ)đ?’™đ?’š )

= đ?œśđ?’™đ?’š →

đ?œˇđ?’™đ?’š , donde đ?’™ es sustituible para đ?’š en esta descripciĂłn , y consideramos que đ?’š

đ?’š

đ?’š

((đ?œś → đ?œˇ)đ?’™đ?’š )đ?’™ = (đ?œśđ?’™đ?’š )đ?’™ → (đ?œˇđ?’™đ?’š )đ?’™ = đ?œś → đ?œˇ , ademĂĄs mencionamos que, (∀đ?’™đ?œś)đ?’™đ?’š = ∀đ?’™đ?œś por lo que no contiene đ?’š en absoluto, y consideremos que (∀đ?’›đ?œś)đ?’™đ?’š = ∀đ?’›đ?œśđ?’™đ?’š , donde đ?’› ∉ {đ?’™, đ?’š} , por lo que concluimos que đ?’™ no ocurre de manera libremente y por lo tanto, decimos con esto que es sustituible para đ?’š en esta đ?’š đ?’š descripciĂłn , y finalmente implica que ((∀đ?’›đ?œś)đ?’™đ?’š )đ?’™ = ∀đ?’›(đ?œśđ?’™đ?’š )đ?’™ = ∀đ?’›đ?œś Conclusiones: 

La lĂłgica de primer orden tiene grandes virtudes que se le atribuyen por: a) Es el lenguaje mĂĄs adecuado para traducir enunciados con cuantificadores mĂşltiples. b) Posee una semĂĄntica que caracteriza las condiciones de verdad de los enunciados compuestos.

c) Posee un sistema extensional, esto es que las proposiciones poseen un valor de verdad el cual está de acuerdo con una teoría del significado dada por el sistema , dicho en otras palabras, la lógica de predicados de primer orden es una extensión conservativa de la lógica proposicional que satisface incluso a aquellos que defienden al nominalismo. d) Como lenguaje formal posee los tan deseados resultados metateóricos como son la consistencia, la corrección, la compacidad y la completud semántica.  Se consideró en esta unidad 2 que las reglas de inferencia son formas de argumentos válidos elementales que podemos utilizar para aprobar la validez de argumentos más complejos construyendo pruebas formales de validez. Existen diferentes sistemas de reglas de inferencia en este caso se vio aquí las siguientes: Modus Ponens, Modus Tollens, Silogismo Hipotético, Silogismo disyuntivo, Dilema Constructivo, Dilema Destructivo, Simplificación, Conjunción y Adición.  Se tomó aquí en cuenta en esta segunda unidad las reglas de reemplazo o leyes de equivalencia, que son expresiones que son lógicamente equivalentes. Las leyes de equivalencia que se vieron aquí son la: Conmutación, Asociación, Distribución , la transposición, la doble negación y la exportación.  Con estas reglas de inferencia podemos construir demostraciones formales, por lo que una demostración formal de validez es una serie de proposiciones, cada una de las cuales es una premisa del argumento que se sigue de las anteriores por una regla de inferencia (un argumento válido elemental), de tal modo que la última proposición de la serie es la conclusión del argumento que se desea demostrar.

Fuentes de consulta bibliográfica Enderton Herbert (2001) A mathematical introduction to Logic (Second Edition). U.S.A., Los Angeles, University of California. Ed. Harcourt/Academic Press. Enderton Herbert (2004) Una Introducción Matemática a la Lógica (2a. Edición). Traducción: Amor Montaño José Alfredo. México, D.F. Universidad Nacional Autónoma de México U.N.A.M-Instituto de Investigaciones Filosóficas; Colección: Filosofía Contemporánea. Ed. Elsevier Inc

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