M´etodos Num´ericos ll Interpolaci´ on y aproximaci´ on polinomial Cada 10 a˜ nos se levanta un censo poblacional en M´exico. En la siguiente tabla se incluyen datos de la poblaci´on, en millones de habitantes de 1900 a 2010. A˜ no
Poblaci´on
1900
13.6
1910
15.2
∆yi
∆2 yi
∆3 yi
∆4 yi
1.6 −2.5 −0.9 1920
14.3
5.7 −2.5
2.3 1930
16.6
0.7 3
1940
19.6
−0.3
25.8
2.9
34.9 48.2
1.1 −9.5 −4.2
66.8 81.2
15.6 6.1
1.9 16.3
2000
−10.6
5.3
14.4 1990
−0.2
4.2
18.6 1980
1.6 1.3
13.3 1970
−2.8
3.2
9.1 1960
5 2.5
6.2 1950
−8.2
3.2
97.5
15 21.1
23 39.3
2010
136.8
Cuadro 1: Censo Poblacional
Usando 4 diferencias, Interpolar para xk =1905, 1995, 1968 y 1974 Encontrar el valor de yk para xk = 1905 Solucion: Tomando a x0 = 1900 y Usando la f´ormula avanzada de Newton tenemos la mejor aproximaci´on. yk = y0 + k a0 +
k(k − 1) k(k − 1)(k − 2) b0 + c0 + · · · 2! 3!
xk − x0 h 1905 − 1900 = 10 1 = 2
k=
1
Antonio Medrano P´erez Mayra Olgu´ın Rosas
M´etodos Num´ericos ll
Sustituyendo: 1 1 − 12 − 12 − 23 1 2 2 y 1 = 13.6 + (1.6) + (−2.5) + (5.7) + 2 2 2 6 y 1 = 13.6 + 0.8 + 0.3125 + 0.35625 + 0.3203125 2 = 15.3890625
1 2
− 12
− 32 24
− 52
(−8.2)
Encontrar el valor de yk para xk = 1995 Solucion: Tomando a x0 = 2000 y Usando la f´ormula retardada de Newton tenemos la mejor aproximaci´on. y−k = y0 − k(a−1 ) +
k(k − 1) k(k − 1)(k − 2) k(k − 1)(k − 2)(k − 3) (b−2 ) − (c−3 ) + (d−4 ) + · · · 2! 3! 4!
k=
x0 − xk n
2000 − 1995 10 1 = 2
=
Sustituyendo: 1 1 1 1 3 − − − 1 2 2 2 y− 1 = 97.5 − (1.9) − 2 (6.1) + (16.3) + 2 2 2 2 6 y 1 = 97.5 − 8.15 − 0.2375 − 0.38125 − 0.609375 2 = 88.121875
1 2
− 12
− 32 24
− 25
Encontrar el valor de yk para xk = 1968 Solucion: Tomando a X0 = 1970 y Usando la f´ormula retardada de Newton tenemos l mejor aproximaci´on. k=
x0 − xk n
1970 − 1968 10 1 = 5
=
2
Antonio Medrano P´erez Mayra Olgu´ın Rosas
(15.6)
M´etodos Num´ericos ll
Sustituyendo: 1 4 − 1 5 y− 1 = 48.2 − (13.3) + 5 (4.2) − 5 5 2 y− 1 = 48.2 − 2.66 − 0.336 − 0.0624 − 0.05376 5 = 45.08784
1 5
− 15 6
− 95
(1.3) +
1 5
− 15
− 95 24
− 14 5
Encontrar el valor de yk para xk = 1974 Solucion: Tomando a x0 = 1970 y Usando la f´ormula avanzada de Newton tenemos la mejor aproximaci´on. k=
x0 − x k h
1974 − 1970 10 2 = 5
=
Sustituyendo: 2 7 − 2 5 (−4.2) + (18.6) + 5 y−( 2 ) = 48.2 + 5 5 2 2 − 75 − 12 − 17 5 5 5 + (15.4) 24 y 2 = 48.2 + 7.44 + 0.504 + 0.384 − 0.6448 5 = 55.8832
3
2 5
− 75 − 12 5 (6) + 6
Antonio Medrano P´erez Mayra Olgu´ın Rosas
(1.6)