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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA Análisis del Ajuste de Funciones Polinomiales mediante el Método de Regresión por Mínimos Cuadrados, desde un punto de vista: Estadístico y Probablistico; considerando la Situación de Deserción Escolar en la Dependencia Paraestatal del IEMS-DF PRESENTACION DEL PROYECTO TERMINAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS PRESENTA EL ALUMNO SUSTENTANTE: C. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO DIRIGIDA POR: MAT. BEATRIZ CARRASCO TORRES EVALUADA POR: DRA. MARLEN HERNÁNDEZ ORTIZ MTRO. CARLOS QUIROZ LIMA ELABORADO EN LA: CIUDAD DE MÉXICO, DISTRITO FEDERAL, 2015-2016.

Semblanza del Alumno Sustentante (Futuro profesionista que obtendrá el título de licenciatura en Matemáticas): C. Pedro Daniel Lara Maldonado es originario del poniente de la Ciudad de México de la Delegación Miguel Hidalgo de Lomas Virreyes,donde ahí nació en 1990 y su acta de nacimiento esta registrada en 1991 en el Estado de México en el municipio de Texcoco, por que ahí vivió un año y actualmente radica en la Ciudad de México en la Delegación Álvaro Obregón en Santa Fe desde 1992. Sus estudios preuniversitarios los realizó con capacitación para el trabajo de “Iniciación a la Práctica Docente”; en el turno vespertino, en los años del 2006 al 2009, en los Viveros de Coyoacán; en los límites de la Delegación Álvaro Obregón, Ciudad de México en el Centro de Estudios de Bachillerato No.2 “Lic. Jesús Reyes Heroles” de la Dirección General de Bachillerato, dependencia que pertenece a la Secretaría de Educación Pública del Gobierno Federal (D.G.B.S.E.P.) y terminó con promedio de aprovechamiento de 8.9 y este plantel mencionado se localiza en el sur poniente de la Ciudad de México en la misma delegación donde actualmente radica el sustentante y es catalogado como Bachillerato General. Estuvo en varias escuelas de nível superior públicas presenciales desde el 2009 hasta el 2012 y estas escuelas siguientes fueron: 2009-2010 en la Ciudad de México, delegación Azcapotzalco en la Escuela Normal Superior de México (ENSM) en la Lic. en Educación Secundaria con especialidad en Matemáticas, 2010-2011 en la Ciudad de México, delegación Gustavo A, Madero en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional en la Lic. en Física y Matemáticas. (ESFM-IPN), 2011-2012 en el Estado de México, municipio de Naucalpan de Juaréz en la Facultad de Estudios Superiores Acatlán de la Universidad Nacional Autónoma de México en la Lic. en Matemáticas Aplicadas y Computación (FESAc-UNAM-M@C). Estas 3 escuelas las dejó truncas, es decir sin concluir estos estudios, por que después conoció una buena oportunidad de poder estudiar y trabajar al mismo tiempo para concluir sus estudios universitarios de manera satisfactoria en la Universidad Abierta y a Distancia de México de la Secretaria de Educación Pública del Gobierno Federal en la Ciudad de México(SEP-UNADM) en la Licenciatura en Matemáticas; donde ingresó desde el año 2012,en el mes de febrero;a esta modalidad. Actualmente en la SEP-UNADM es pasante de la Licenciatura en Matemáticas en virtud de haber cursado el 98.21% de los créditos de esta carrera con un promedio de aprovechamiento de 9.1 y es estudiante de la primera generación de la Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad Abierta y a Distancia de México de la Secretaría de Educación Pública (SEP-UNADM). Sus áreas principales de interés en la matemática pura y aplicada del sustentante son las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales, el Álgebra Lineal, el Análisis Matemático, el Análisis Combinatorio, el Análisis de Fourier, el Análisis Númerico, la Estadística y la Probabilidad. Después de titularse el sustentante seguirá estudiando los estudios de Posgrado relacionado a la Matemática Educativa y laborando en la docencia de las matemáticas en los níveles educación secundaria, media superior y superior en México en cualquier modalidad educativa.

Asesora Externa (Profesionista que elige el alumno para que asesore y diriga el proyecto):

Mat. Beatriz Carrasco Torres es originaria de la Ciudad de México y es Licenciada en Matemáticas de la Universidad Auntónoma Metropolitana de la Unidad Iztapalapa (U.A.M.I.), actualmente es pasante de la Maestría en Ciencias Físico Matemáticas de la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (E.S.F.M-I.P.N.) y en el área laboral es docente, tutor e investigador en el Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal (I.E.M.S.-D.F.) en el plantel Belisario Domínguez, en la delegación Gustavo A. Madero.

Asesores Internos (Profesionista que asigna la coordinación de la Licenciatura en Matemáticas de la UnADM como sinodal para que evalué el proyecto):

Mtro. Carlos Quiroz Lima Es egresado de la Facultad de Ciencias de la UNAM de la licenciatura en Actuaría y es maestro en Tecnologías para el Aprendizaje en la Universidad de Guadalajara y actualmente trabaja como profesor investigador en el Instituto Tecnológico Superior de Puerto Vallarta, Jalisco.

Dra. Marlen Hernández Ortiz Es egresada de de la Universidad Autónoma de Zacatecas de la licenciatura en Matemáticas y es maestra en ciencias de la medicina nuclear y actualmente cuenta con el doctorado en ciencias de los materiales de la Universidad de Sonora.

Profesionistas Contribuyentes a este proyecto de titulación. M.C. Rafael Marín Salguero: Es egresado de la Facultad de Ciencias de la UNAM en la Maestría en Ciencias Matemáticas y de la licenciatura en Actuaría y en el área laboral es docente, tutor e investigador en el plantel Belisario Domínguez del IEMS-DF en la Delegación Gustavo A. Madero.

M.C. Olivia Alexandra Scholz Marbán Radica en la Ciudad de México y es Licenciada en Matemáticas Aplicadas y Computación de la Facultad de Estudios Superiores Acatlán de la Universidad Nacional Autonoma de México (F.E.S.-U.N.A.M.) y cuenta con dos maestrías que son en: Docencia para la Educación Media Superior en el área de Matemáticas en la F.E.S. Acatlán U.N.A.M. y la Maestría en Ciencias en Matemática Educativa (M.C.) en el Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada Legaria del Instituto Politécnico Nacional (C.I.C.A.T.AI.P.N.) y en el área laboral es docente, tutor e investigador en el Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal (I.E.M.S.-D.F.) en el plantel Carmen Serdán.

Agradecimientos Familiares: Para empezar, a mis padres de familia: José Lara y María Maldonado, porque me brindaron las herramientas necesarias para seguir estudiando y me dieron la oportunidad: para estudiar una carrera profesional y de superarme como ser humano.

Agradecimientos Escolares: A mis maestras(os) de la Carrera de Matemáticas de la UNADM, donde estudié en especial a: Mat. Beatriz Carrasco Torres,M.C. Olivia Alexandra Scholz Marbán,Mat. Carmen Regina Navarrete González, Mat. María Anaid Linares Aviña, Fis. Mat. Verónica Natalia Nolasco Becerril, M.C. Elena Tzetzangary Aguirre Mejía,Mat. Azucena Tochimani Tiro, Act. Victor Hugo HernándezVázquez,Mat. Leticia Contreras Sandoval, Lic. en Doc. Tec. Diana Patricia Moreno Bravo, Act. Gladys Bañuelos Rodríguez, Psic. Jhonny Walter Barrientos Pinaya,M.C. Edgar Omar Curiel Anaya, M.C. Marco Antonio Olivera Villa, M.C. María del Pilar Beltrán Soria, Act. Blanca Nieves Susana Regino Velázquez,Ing. Quí. Karem Hernández Hernández, M.C. Emma Flores De La Fuente y al Mtro. Hugo Genaro Alcantar Verdín porque me enseñaron que la matemática es dialécticamente innovadora a razón de que tiene un razonamiento inductivo (de lo fácil a lo difícil) y deductivo ( de lo abstracto a lo concreto) para poder aplicarlo en la solución de problemas de la vida cotidiana. Al coordinador de la Licenciatura en Matemáticas de la UNADM: y creador de esta licenciatura: Mat. Carlos Alberto Serrato Hernández, por innovar este nível educativo en esta área de oportunidad profesional. A mis compañeras(os) que conocí en la carrera de Matemáticas, en especial a: Lizeth Vargas, Salvador May, Laura Pontón, Susel Lee, María de la Luz Pérez, Luz María Galván, Lorena Cordero, Gary Blanco, Ana María Jurado, Carlos Alberto Carlos, Carlos Lara Verduzco, Claudio Rodríguez, Perla Falcón, Azucena Sepúlveda, Marina Núñez, Irene Ramos,Héctor Tapía, Sandy Medrano,Alfonso Millán, Agüeda Núñez y a Tania Pérez porque son personas que tienen talento y esto es lo que necesita nuestro país, personas comprometidas y sinceras. Me la pase muy bien con ustedes en esta gran oportunidad educativa intercultural moderna. A los que les dan el Visto Bueno ( el Vo. Bo.), a mi trabajo, es decir a los asesores: Mat. Beatriz Carrasco Torres, a la Dra.Marlen Hernández Ortiz y al Mtro.Carlos Quiroz Lima porque les reconozco el compromiso de evaluar este documento y me sirve para poder ser un mejor profesionista preparado en el ámbito laboral

Agradecimientos a la Instancia Paraestatal donde realizé el proyecto: A las autoridades del IEMS-DF: de la sede central de Av. División del Norte en especial al: C.P. Marco Antonio Apantenco García y al Lic. Luis Felipe Enriquez Valadez por gestionar la autorización de proporcionar los datos de manera oportuna y objetiva para poder enriquecer este proyecto de titulación. A las autoridades del plantel IEMS-DF Belisario Domínguez de la delegación Gustavo A. Madero, en especial a: Mat. Beatriz Carrasco Torres, Mat. Emilio Cabrera Castro y al M.C. Rafael Marín Salguero por considerarme en esta gran oportunidad de desarrollar este proyecto en esta instancia relacionado con la Matemática Aplicada y Computacional. A las autoridades del plantel IEMS-DF Carmén Serdán de la delegación Miguel Hidalgo en especial a la: M.C. Olivia Alexandra Scholz Marbán por brindarme su apoyo a este trabajo de tiulación, se lo agradezco mucho.

1. Resumen. El tema de este proyecto se circunscribe a los datos generados por la Dirección Estudiantil ;a través del conducto de la Subdirección de Administración Escolar, dentro de la dependencia paraestatal del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal; cuyo propósito de esto es hacer predicciones para las últimas generaciones que comprenden del año 2012 hasta el año 2013; por medio de posibles intervalos que puedan ocurrir en la situación del porcentaje de deserción estudiantil, que se considera específicamente a los Planteles que tienen más antigüedad; cabe mencionar que esto se basa a través de la utilización de modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante el método regresión por mínimos cuadrados en su sustento del coeficiente de determinación que encuentra una mejor función polinomial de ajuste a los datos que se centra en el cálculo del error que definen dos números aleatorios con distribución normal en un intervalo abierto con su media y desviación estándar que ubica una probable representación muestral mínima y máxima en este aspecto y con esto se espera hacer un aporte hacia la investigación con el fin de que se considere como argumento y poder atender esta problemática. 1.1. Palabras claves:   

Análisis Ajuste Predicción

2. Introducción La deserción escolar en esta dependencia paraestatal del IEMS-DF es un grave problema para el desarrollo sustentable de la población esta entidad federativa de la Ciudad de México, , a razón de que implica una conducta de riesgo entre sus habitantes, y esto trae como consecuencia gastos presupuestales y pérdidas económicas a nivel local respecto a las oportunidades de trabajo y esto realmente afecta a nivel familiar, en los ingresos salariales que sustenta una mejor calidad de vida individual y para los parientes en el quehacer cotidiano. El término de Deserción se define regularmente como el abandono de cursos o en el plantel que se ha inscrito el estudiante, deja de asistir a clases y de cumplir con las obligaciones establecidas previamente, lo cual tiene efectos sobre los índices de eficiencia terminal del egreso. Es por eso considerar a la Estadística como una herramienta de apoyo que puede dar respuesta a muchas de las necesidades que la sociedad actual nos plantea, a razón de que su tarea fundamental es la reducción de datos, con el 5

objetivo de representar la realidad y describirla, predecir su futuro o simplemente conocerla; en nuestros días se ha convertido en una rama de la matemática efectiva para describir con exactitud los valores de datos físicos, políticos y sociales que sirve para relacionar y analizar dichos datos, por lo que esto implica que esta herramienta no consiste ya sólo en resumir y tabular los datos, sino más bien en enfocarse en el proceso de interpretación de esta información. Entonces es importante considerar que Pronosticar o dar aproximaciones a futuros eventos ha sido una práctica frecuente para los seres humanos. En tiempos remotos estos pronósticos se realizaban mediante métodos un poco ortodoxos. Con el paso del tiempo y gracias a los avances teóricos y tecnológicos de la ciencia, estas aproximaciones han ido cambiando hasta llegar a metodologías rigurosamente científicas y bien fundamentadas teóricamente. Con esto decimos que el desarrollo de la Teoría de la Probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística a razón de que muchos de los conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando modelos probabilísticos; por lo que los resultados de estas pueden utilizar para analizar datos estadísticos. Por lo que la Probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico. Entonces mencionemos que el análisis del Método de Regresión es una técnica estadística para investigar y modelar la relación entre variables, por lo que son numerosas las aplicaciones de esto en cualquier campo, incluyendo en ciencias físicas, experimentales y sociales y de hecho se puede decir que esta técnica estadística es la más usada, por lo que sustenta la fundamentación del análisis de los métodos numéricos que se basan de los modelos matemáticos para desarrollarlo y efectuarlo. Por lo que en la actualidad el uso de las Herramientas Matemáticas Probabilísticas ha permitido optimizar y determinar los Procesos de los Indicadores de Desempeño en cuestión de considerar la información a través de los datos registrados en un plantel determinado por esta dependencia paraestatal sobre la situación de la Deserción Estudiantil del Sistema Escolarizado cuya causa de este objetivo depende de la relación de la Cuantificación de su Ingreso y Egreso por Generación que se analiza a través del “Modelo Estadístico del Ajuste de Funciones mediante el Método de Regresión por Mínimos Cuadrados” ;cuyo creador fue el matemático alemán Karl Friedrich Gauss en 1795, el cual permite interpretar geométricamente sus variaciones, en efectuar y determinar la predicción certera del cálculo de la probabilidad como variable de respuesta del pronóstico porcentual de la deserción estudiantil que ocurra en base a la tendencia que ha seguido los datos registrados de estos eventos a lo largo del tiempo y 6

asimismo, se espera hacer un aporte hacia la investigación de la Estadística y Probabilidad; cuyo fin se considere a la situación problemática de este análisis estadístico cuantitativo como argumento para que las autoridades competentes puedan fundamentarlo como un primer paso para tomar medidas preventivas de atención y reflexión de la importancia en corto y a largo plazo de cómo puede afectar a esta dependencia paraestatal y buscarle una decisión alternativa a través de la instrumentación del diseño de estrategias de acciones que pretendan involucrarlos en conocer esta información de la situación de este fenómeno, para que así con base a esas predicciones realizadas adviertan mejores decisiones que faciliten la viabilidad de reducir su incidencia desertora para que sea orientada como una propuesta al fomento del incremento del egreso estudiantil que conlleva a la dimensión del bienestar en su permanencia en el plantel, además de que tengan el beneficio del pase directo asegurado a la Universidad Autónoma de la Ciudad de México-UACM y con esto se llega a su certificación de la eficacia educativa que trae como posibilidad de que tenga en un futuro una mejor oportunidad y calidad de vida laboral y profesional para que se sientan útiles y productivos para el desarrollo sustentable de la Población Económicamente Activa de esta entidad federativa de la Ciudad de México.

3. Marco Teórico 3.1. Fundamentos sobre el Ajuste de Funciones polinomiales. Consideremos que la idea clave del proyecto, es que el ajuste de funciones polinomiales sea una técnica para el modelado de datos con una ecuación y para considerarlo se plantea a través de la siguiente pregunta: ¿Cómo decidir qué tipo de función polinomial si existe, podría ajustarse a los datos?

( Fuente Bibliográfica :Bittinger , Marvin L . , ( 2002 ) ) . Una forma simple consiste en examinar una gráfica de los datos llamada como Diagrama de Dispersión que es una gráfica de datos de dos variables en la variable independiente está en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical, entonces con esto hacemos el énfasis en definir qué Tipos de Variables vamos a considerar en este modelo: ● Variable Dependiente: Es la variable que se predice o se explica. Se representa por y .

● Variable Independiente: Es la variable que sirve para predecir o explicar. Se representa por x . Luego con esto se busca un patrón que se parezca a una de las gráficas de los tipos de funciones polinomiales que hay, por lo que a continuación se presenta un Procedimiento que se considera y que la mayoría de las veces funciona para determinar modelos matemáticos para este método de regresión a través de un conjunto de datos dado se debe: 1. Representar gráficamente los datos (en la forma de Diagrama de Dispersión). 2. Observar el diagrama de dispersión para determinar si parece ajustarse a una función conocida. 3. Determinar una función que ajuste los datos utilizando los datos de los puntos para derivar las constantes o coeficientes a encontrar. Ahora con esto se va a sutilizar el grupo de funciones polinomiales para observar cuál función, si existe, podría ajustarse a ciertos datos: ● Si los datos podrían modelarse mediante una función polinomial lineal si la gráfica parece una línea recta. ● Si los datos podrían modelarse mediante una función polinomial cuadrática, si la gráfica sube y luego baja, o baja y luego sube, en una forma encorvada que se parezca a una parábola. ● Si los datos caen, luego aumentan, y vuelven a caer (de modo que no se ajustan a una función polinomial lineal o una función polinomial cuadrática), pero podrían ajustarse a una función polinomial de mayor a 3, es decir a una función polinomial cúbica, una función polinomial cuartica o una función polinomial de grado m con m≥ 3 . 3.2. Definición del Método de Regresión por Mínimos Cuadrados.

( Fuente Bibliográfica :Gerald , ( 2000 ) ) . Es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados incluyen una variable independiente, variable dependiente que se busca encontrar la función continua, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático, por lo que esto coincide con el principio de máxima probabilidad de la estadística.

Entonces decimos que desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria para determinar el mejor ajuste de una función polinomial a través de la consideración de utilizar como mínimo cuatro puntos. 3.3. Procedimiento del Método de Regresión por Mínimos Cuadrados.

( Fuente Serigráfica: Marín Salguero , R . ( 2013 ) ) Supongamos que se conocen datos que consta de se definen como: función polinomial

(x 1 , y 1),(x 2 , y 2 ) ,… , ( xn , y n)

puntos siguientes que

y que el objetivo es hallar una

y=f (x) que se ajuste razonablemente a los datos, por lo que

el primer pasó es decidir qué tipo de función probar a través de la inspección gráfica de los n puntos, por lo que se detalla esto a través de la siguiente gráfica:

Gráfica I .. : Relación que determinaun óptimo ajuste para encontrar una función polinomial Fuente Bibliográfica :Chapra ( 2011 ) Pero para que no se cometan incertidumbres en su elección se considera una óptima decisión en este método a través del mínimo valor en su coeficiente de determinación

que define su procedimiento a efectuar en este análisis que

represente el comportamiento general de los datos de la siguiente manera: n

R =∑ [ y k −f ( x n)] 2

k=1

Aunque esta propuesta no pase por todos y cada uno de los puntos en cuestión, represente el comportamiento de los datos.

3.4. Consideraciones de la Clasificación de Modelos en las Funciones Polinomiales en el Método de Regresión por Mínimos Cuadrados.

( Fuente Serigráfica: Marín Salguero , R . ( 2014 ) )

El caso más usado en la práctica es poder ajustar funciones polinomiales, ya que en este caso los parámetros serán funciones de cualquier tipo que son fáciles de estimar. El modelo a ajustar estará basado en su generalización del ajuste polinomial de grado m que está dado por: f ( x ; a1 , a2 ,… , a m )=a0 +a1 x+ a2 x 2 +…+a m x m

( Fuente Bibliográfica : Mathews. ( 2000 ) ) Por medio de esta consideración se aproxima ahora a un conjunto de datos {(xi , y i) }mi=1

n<m−1

con una función polinomial algebraica de grado

mediante

el procedimiento de mínimos cuadrados, por lo que sea definido el polinomio como: n

f n( xi )=a n x i +a n−1 x i + …+a1 xi + a0=∑ a j x i n

n−1

j=0

Para disminuir al mínimo el error de mínimos cuadrados, es necesario seleccionar las constantes a0 , a1 , … , an de tal manera que las parciales con j :

respecto a cada una de ellas sean cero y así para cada m

R =∑ [ y i −f ( x i ) ] =∑ y −2 ∑ a j 2

i=1

2 i

j=0

(∑ ) ∑ ∑ (∑ ) i=1

j i

yi x +

j=0 k=0

a j ak

i=1

x ij +k

∂ R2 j j+k =−2 ∑ y i x i +2 ∑ ak ∑ x i ∂aj i=1 k=0 i=1

Esto nos da

n+1

ecuaciones normales en las

que decimos que: n

k=0

i=1

∑ ak ∑ x

j+k i

=∑ y i x ij i=1

n+1

incógnitas

por lo

Para cada

j=0,1,… ,n

y por lo que conviene escribir las ecuaciones como

sigue: m

(∑ ) (∑ ) (∑ ) (∑ ) (∑ ) (∑ )

a0 a0

0 i

1 i

x + a1

2 i

x + a2

i=1

2 i

i=1

y i x 0i

x =

i=1

3 i

x +a2

i=1

(∑ ) ∑ (∑ ) ∑

x + …+ an

i=1

x i +a1

n i

x +…+a n

i =1

n+1 i

i=1

y i x1i

i=1

⋮ a0

( ) (

) (

∑ xin +a1 ∑ xin+1 + a2 ∑ x n+2 i i=1

i=1

) ( …+ an

)

∑ x 2i n =∑ y i xni i =1

i=1

Por lo que estas ecuaciones normales tienen solución única siempre y cuando las x i sean distintas y en tal caso, la función apropiada de mínimos cuadrados (probablemente un polinomio de grado

n ) puede deducirse con los valores de la

función deducida reemplazando los datos cuando la medida de bondad de ajuste de

sea suficientemente pequeña, a esto se le denomina “suavizamiento de

datos.” y su aplicación de esto es en encontrar estos parámetros:

a1 , a2 , … , an

través de la resolución de sistemas de ecuaciones normales. Entonces supongamos que queremos ajustar nuestra pareja de datos a través de este modelo de la función polinomial generalizada en cuestión de la suma de los errores al cuadrado N

[

que está dada por:

R2=∑ y k −( a0 +a1 x+ a2 x2 +…+ am x m ) k=1

]

En este caso polinomial se puede construir el sistema de ecuaciones respectivo para encontrar el valor de estos parámetros a0 , a1 , … , am . Este sistema de ecuaciones lineales se conoce como las ecuaciones normales y están dadas por:

(∑ ) (∑ ) (∑ ) a0 N +a1

xi +…+am

i=1

x i +a 1

i=1

(∑ ) ∑ (∑ ) ∑ m i

x =

i=1

x 2i +…+ am

i=1

x mi +1 =

i=1

xi y i

⋮ N

( ) ( ∑ xim +a 1 i=1

)

+ …+a m ∑ x m+1 i i=1

(

)

∑ x 2i m =∑ xim y i i=1

i=1

Pero, sin embargo para hallar la función de mejor ajuste, determinaremos los valores o coeficientes respectivamente en cada caso de los tipos de funciones para a0 , a1 , … , am donde m≥ 0 . Por lo que se considera este sistema de ecuaciones escribirlos en términos matriciales de la forma Xa= y por lo que esto queda como las Ecuaciones normales del ajuste polinomial de grado

que se definen en este caso

como:

Para encontrar la solución matricial tenemos que multiplicar la ecuación matricial Xa= y y después podemos calcular su inversa (se multiplicó por la matriz transpuesta para que quede una matriz cuadrada) X T Xa=X T y →∴ a=( X T X )−1 X T y Este sistema de ecuaciones lineales simultáneas se puede resolver fácilmente usando la famosa regla de Cramer (para polinomios lineales y cuadráticos) y el método de eliminación Gaussiana (para polinomios al menos tercer grado). Los coeficientes de la matriz los podemos encontrar si acomodamos los datos en una tabla I construida de la siguiente manera:

Por lo que a continuación se mostrarán los casos de las funciones polinomiales lineales, cuadráticos, cúbicos y cuarticos. 3.4.1. Ajuste de la función polinomial lineal y=a0+ a1 x Recordemos que una aproximación por mínimos cuadrados consiste en ajustar a una línea recta un conjunto de datos discretos de la forma: (x 1 , y 1),(x 2 , y 2 ) ,… , ( x N , y N ) Por lo que se inicia en considerar una ecuación de una línea recta a la cual se relaciona al comportamiento de los datos y el modelo propuesto de esta forma se tiene: y=a0+ a1 x dónde: a0 =¿ es la ordenada al origen y a1=¿ es la pendiente. Al aplicar el criterio de que el “mejor” ajuste se cumple cuando se puede minimizar la suma de los cuadrados de los residuos

, es decir el error

entre el modelo y los datos experimentales, se tiene que: n

R =∑ ( y 1−a 0−a1 x i) 2

i=1

Este criterio tiene la ventaja de proporcionar una línea única para un conjunto de datos. Para determinar los valores de

que minimizan la ecuación se deriva

la ecuación con respecto a cada uno de los coeficientes

∂ R2 =−2 ∑ ( y i−a0 −a1 xi ) =0 ∂ a0 ∂ R2 =−2 ∑ [ ( y 1−a0−a 1 x i ) x i ] =0 ∂ a1 Al igualar ambas derivadas a cero, se genera un mínimo para la suma de los cuadrados de los residuos

de la siguiente forma:

−2 ∑ ( yi −a0 −a1 x i ) =0=∑ y i−∑ a 0−∑ a 1 x i … (i) −2 ∑ [ ( y1 −a0 −a1 x i ) x i ]=0=∑ y i x i−∑ a0 xi −∑ a1 x2i …(ii) …(i) se obtiene

De la ecuación

∑ y i=n a0 +a1 ∑ x i … (iii) …(ii)

De la ecuación

se obtiene

∑ y i xi =a0 ∑ x i+ a1 ∑ ( xi ) 2 … .(iv) Al resolver en forma simultánea las ecuaciones los valores de a1=

…(iii )

…(iv)

se obtiene

y a1 mediante las siguientes ecuaciones:

n ∑ x i yi −∑ x i y 1 2

n ∑ x 2i −( ∑ x i )

… ( v ) , a o= ´y −a1 x´ …(vi)

Por lo que construyendo la tabla II fundamental para el caso lineal que queda de la forma:

Las ecuaciones normales para el caso lineal están dadas por:

Y este sistema de ecuaciones se puede resolver con los métodos habituales (suma y resta, Cramer, sustitución, etc.). 2 3.4.2. Ajuste de la función polinomial cuadrático y=a0+ a1 x+ a2 x

Por lo que construyendo la tabla III fundamental para el caso parabólico o cuadrático queda de la forma:

Las ecuaciones normales para el caso cuadrático están dadas por:

Y este sistema de ecuaciones se puede resolver con los métodos de Cramer de 3 variables con 3 incógnitas. 3.4.3. Ajuste de la función polinomial cúbico: y=a0+ a1 x

+a2 x + a3 x

Por lo que construyendo la tabla IV fundamental para el caso cúbico está dado por:

Las ecuaciones normales para el caso cúbico están dadas por el siguiente sistema de 4 variables y 4 ecuaciones

Y en este caso es necesario recurrir al software de la computadora para poder resolver “de manera sencilla” este sistema de ecuaciones. 3.4.4. Ajuste de la función polinomial de cuarto grado: 2

+a2 x + a3 x +a 4 x

y=a0+ a1 x

La construcción de la tabla V fundamental para el caso polinomial cuartico está dado por: 16

Y las ecuaciones normales en este caso de función polinomial cuartica están dadas por el siguiente sistema de 5 variables y 5 ecuaciones:

Y en este caso es necesario recurrir al software de la computadora para poder resolver “de manera sencilla” este sistema de ecuaciones.

3.5. El error que define al Método de Regresión por Mínimos Cuadrados.

( Fuente Bibliográfica :Smith . ( 1988 ) ) En el caso práctico no es posible encontrar esta función polinomial

y=f ( x)

y que satisfaga exactamente todas las relaciones: y 1=f (x 1) y 2=f (x 2) ⋮ y n=f (x n) Por lo general, uno está dispuesto a aceptar un "error" (y este error dependerá de cada observación) que se define de la manera siguiente: f (x k )= y k + ek Donde

es el error de medición observado en el dato. La pregunta que

uno se hace es ¿cómo poder encontrar "la mejor aproximación" que pase de los puntos? Para responder esta pregunta, hay que considerar los errores (también llamado como las desviaciones) y están dados como la diferencia del valor estimado por el modelo f ( x k ) menos el valor observado y k , es decir: Errores de Medición e k =f (x k )− y k para 1≤ k ≤ n Error=Valor Estimado−Valor Observado

Que esto gráficamente se representa de la siguiente manera: Gráfica II : El error de medición se compara con los valores observados y con los valores estimados

Esta diferencia suele llamarse error aleatorio y se denota por

e i y con esto se

podrá determinar el “error de estimación” que permite fijar límites dentro de los cuales estará el valor real con cierto grado de confiabilidad entre los datos y i , es verdaderos u observados de y i y los datos estimados o evaluados de ^ decir: e i= y i − ^ y i →∴ e i= y i− ^f (x i)

( Fuente Bibliográfica :Quintana . ( 2005 ) ) Esta ecuación debe satisfacer la condición de minimizar la suma de las desviaciones o residuos

e ¿ ¿ ) del comportamiento de cada par de datos discretos, ¿

con respecto al modelo propuesto, elevadas al cuadrado, es decir: n

2 ∑ e 2i =∑ [ y i− ^f ( x i ) ] =∑ ( y i− ^y i )2 →∴ ∑ ( y i , medida− ^y i , modelo )2 i=1

( Fuente Bibliográfica : Montes de Oca , F . ( 2002 ) ) Este análisis se describe para las predicciones generacionales a través del cálculo del error; que este error sea lo más exacto posible, es decir un error mínimo para encontrar el mejor ajuste para los datos presentados e inferir qué acciones se debe llevar a cabo para cada situación respectiva en la modalidad del estudio a efectuar. La validez de la aplicación del método de mínimos cuadrados para el ajuste de funciones descansa sobre tres suposiciones sobre los errores que son la: 1.-Independencia: requiere que los errores sean independientes unos de otros. 2.-Normalidad: requiere que los errores se distribuyen normalmente en cada valor de la variable independiente. 3.-Homocedasticidad: requiere que la varianza de los errores sea constante; es decir requiere que tengan igual varianza.

3.6. El pronóstico de los intervalos de predicción.

( Fuente Bibliográfica : Monahan . ( 2008 )) Considerando que el caso que estamos manejando es el del ajuste de la función polinomial, se asume que tenemos N parejas de números

( x 1 , y 1 ) ,(x 2 , y 2 ) hasta (x N , y N ) por lo que se desea ajustar el mejor polinomio de grado n

dado por:

y=a0+ a1 x+ a2 x 2 +…+a n x n Cuya construcción de matriz de diseño está dada por:

Por lo que escribiendo esto en su forma matricial se define como: y= Xa+ e

Donde se asume que la hipótesis de que el valor esperado de los errores sea cero y también que la varianza de los errores sea constante, es decir: E [ e k ]=0 Var [ ek ] =σ

para

k =1,2,… , n

para

k =1,2,… , n

( Fuente Bibliográfi ca : Infante , Zárate . ( 2012 ) )

Entonces, utilizando las hipótesis de mínimos cuadrados el mejor estimador a

de los parámetros está dado por: −1

a^ =( X T X ) X T y

( Fuente Bibliográfica : FigueroaGarcía , E . ( 2014 ) )

Obteniendo los parámetros que ajustan en el sentido de mínimos cuadrados, se puede encontrar un estimador de la varianza σ^ 2=

que está dada por:

e 2i SEC ∑ = n−( p+1 ) n−( p+1 )

Dónde:

SEC

es la suma de loa errores al cuadrado y

e i= y i− ^y i

son los

residuales o errores. En este caso queremos tener un intervalo de predicción para un valor observado fuera de nuestro rango de predicción se puede construir una matriz de pronóstico X Pr para q datos adicionales x N +1 , x N +2 , … , x N +q que está dado por:

Con esto definiremos los probables intervalos de predicción al 95% de probabilidad para estas q observaciones adicionales del porcentaje de la deserción estudiantil para cada plantel a considerar con su generación en decir para el porcentaje

√

: que está dada por:

√

−1

( p +1) 2 ( p +1) 2 X Pr a^ −t n− σ^ 1+ X Pr ( X T X ) X TPr ≤ x i ≤ X Pr a^ +t n− σ^ 1+ X Pr ( X T X ) X TPr 0.975 0.975

Dónde

n−( p+1 )

t 0.975

es el cuartil de una

de Student con

n−( p+ 1 ) grados de libertad.

4. Metodología y Resultados. 4.1 Cronograma de Planeación de este proyecto. Cuya planeación de este proyecto se ejecutó en las siguientes fechas:

No. de Fecha tentativa actividad término 1 2 3 4

inicio

y Nombre realizar

actividad

11 al 30 de enero del 2016

Búsqueda y discriminación de la información de los datos 1 de febrero al 31 de marzo del El ajuste de funciones para los 2016 planteles del IEMS-DF 1 al 16 de abril del 2016 El pronóstico de la deserción por intervalos y conclusiones 17 de abril al 31 de mayo del 2016 Redacción del Proyecto Terminal

4.2. Recursos de las Herramientas que se ocuparon en este proyecto En este caso fue necesario recurrir al ordenador para poder resolver "de manera sencilla" este proyecto planteado, por lo que se utilizó los sistemas algebraicos especializados en cómputo científico que son: ● Wólfram Alpha desde: http://www.wolframalpha.com/ ● Matrixcalc versión slu. desde: https://matrixcalc.org/es/slu.html ● Además de la hoja de cálculo de Microsoft Excel 2010 del sistema operativo Windows 7.

4.3. Las nociones que se ocuparon en este proyecto Es de especial importancia considerarlo a razón de que se plantea modelos para dar respuesta a ciertas cuestiones fundamentales:

( Fuente Bibliográfica :Valdés Prada , F . ( 2014 ) ) 1). A partir del conocimiento (o concepción) que se tenga del fenómeno de la deserción estudiantil en un plantel en específico del IEMS-DF, identificar los atributos que lo caracterizan su estudio a través de las generaciones escolares y determinar cuáles de ellos se van incorporar en el modelo, en este caso se tomará la relación del ingreso-egreso de cada generación de todos los planteles a través de los datos registrados en la base de datos de la Dirección Estudiantil de esta dependencia cuyo dominio se localiza en: http://sgie.iems.edu.mx/ Con esta mención se procede a capturar el registro del ingreso, deserción y egreso de esta dependencia paraestatal del IEMS-DF en todos sus planteles que la conforma: 22

Estudiantes Inscritos de Nuevo Ingreso por Generación Escolar en la Modalidad Escolarizada en el IEMS-DF OBSERVACIONES: En ese año el plantel no se había creado.

Plant el

199 9

200 0

A.O.I.

200 1

200 2

200 3

200 4

200 5

200 6

200 7

200 8

200 9

201 0

201 1

201 2

201 3

20 14

201 5

15 2

35 0

19 9

37 7

34 6

34 0

35 3

35 0

35 9

35 4

13 5 14 1 14 2 15 0 14 9 15 3 30 0 15 1

85 30 9 16 0 25 7 21 5 14 0 23 5 35 5

18 0 25 0 25 8 14 8 25 1 19 2 21 3 24 7

36 9 34 1 36 0 35 8 37 1 36 0 36 4 34 6

34 1 33 2 34 8 35 0 33 5 33 9 34 2 34 5

35 9 33 7 32 6 35 4 35 2 34 2 32 4 35 0

36 3 34 4 36 5 34 9 34 1 34 1 34 5 34 2

34 6 35 7 35 6 35 8 35 6 35 3 35 6 34 3

34 6 35 6 35 5 36 1 35 4 35 8 34 9 35 7

35 2 38 3 35 8 35 3 36 8 37 3 35 5 38 2 15 3

14 4 14 8 15 4 14 9 14 5 14 5

13 4 16 2 13 8 34 9 35 0 27 2

15 5 15 4 15 4 25 0 24 5 25 6

35 9 31 2 29 6 34 9 37 2 35 9

34 4 28 6 34 8 34 4 35 2 36 2

35 0 36 0 35 3 35 0 35 1 34 8

20 8

24 9

35 4

32 9

34 2

35 3 34 5 35 0 34 9 35 3 34 7 18 1 35 1

35 1 35 6 34 1 34 3 35 7 35 3 76

15 4

34 9 33 5 35 7 35 1 34 7 34 8 15 7 37 5

35 7

37 4 33 5 36 7 38 1 38 7 38 0 10 3 39 1

36 1 24 0 33 1 36 5 35 7 35 4 35 1 36 0 35 3 36 1 24 0 29 0 36 1 34 0 35 1 35 5 35 7 36 1 17 8 35 9

35 1 16 4 35 2 36 3 36 8 35 7 35 2 35 5 34 2 36 0 22 2 18 7 35 9 34 6 35 2 35 8 36 6 36 1 10 6 35 1

37 3 15 2 34 1 37 6 32 9 34 3 32 8 34 4 33 0 35 4 31 3 16 9 34 8 32 1 31 1 37 5 34 9 35 9 16 5 36 9

40 5 15 2 39 0 36 7 38 7 35 3 41 6 41 5 38 1 35 6 29 8 15 0 40 1 31 9 34 6 40 7 37 5 37 9 17 8 35 1

42 3 18 4 40 7 38 0 41 4 45 3 42 4 42 5 38 1 37 1 30 4 22 8 40 9 36 1 36 0 42 3 37 7 39 5 18 7 40 4

306 2

371 9

340 1

564 7

544 3

553 8

576 2

580 4

572 9

614 9

662 5

637 2

634 9

68 26

731 0

A.O.II. Azc. Coy. Cuaj. G.A.M .I. G.A.M .II. Iztac. Iztap.I .

23 8

31 2

Iztap.I I. Iztap.I II. Iztap.I V M.C. M.H. M.A. Tlah. Tlal.I. Tlal.II. V.C. Xoch.

Tota l

238

312

Tota l 509 3 892 469 7 500 1 488 3 489 8 496 3 485 0 552 0 502 0 153 0 102 4 479 1 448 0 457 8 513 3 508 3 502 5 133 1 494 4 8373 6

Estudiantes que desertaron (abandonaron sus estudios) considerado aquí como receso indefinido y los dados de baja por Generación Escolar en la Modalidad Escolarizada OBSERVACIONES: En ese año el plantel no se había creado. 0 Aquí significa que no hay registros por parte del IEMS-DF (aquí se pronosticará estos valores por el método de los mínimos cuadrados en cada año, es decir desde el año 2012 hasta el año 2013.)

Plant el

199 9

200 0

A.O.I.

200 1

200 2

200 3

200 4

200 5

200 6

200 7

200 8

200 9

201 0

201 1

201 2

201 3

Total

142

312

161

307

254

278

267

274

275

119 131 131 134

68 284 133 222

139 188 235 111

297 272 302 242

266 254 270 251

281 236 248 237

263 215 278 216

249 249 276 220

248 246 276 205

231 251 268 223

254 212 212 252 284 219

0 0 0 0 0 0

2778 212 2373 2578 2701 2280

133

166

192

268

197

228

214

218

225

239

224

2304

140 246 126

109 168 286

136 147 152

267 276 258

225 257 229

221 222 224

221 260 230

184 230 224

196 225 216

249 225 247 140

186 255 210 211

0 0 0 0

2134 2963 2402 211

212

128 131 145 134 130 123

101 135 107 293 306 225

107 121 98 155 193 194

272 253 214 246 279 254

234 217 257 244 253 249

251 281 243 212 222 228

146

160

171

250

184

185

156 243 247 212 185 196 128 192

222 225 215 190 215 244 125 214

215 266 250 172 247 220 50 192

212 233 262 260 284 285 69 231

200 254 234 229 240 252 138 236

0 0 0 0 0 0 0 0

2098 2359 2272 2347 2554 2470 510 2161

260 6

265 3

253 5

390 4

351 5

340 9

378 1

380 3

404 9

347 4

322 2

3991 9

A.O.II. Azc. Coy. Cuaj. G.A.M.I . G.A.M.I I. Iztac. Iztap.I.

229

223

Iztap.II. Iztap.III . Iztap.I V M.C. M.H. M.A. Tlah. Tlal.I. Tlal.II. V.C. Xoch.

Total

229

223

Estudiantes que egresaron por Generación Escolar en la Modalidad Escolarizada OBSERVACIONES: En ese año el plantel no se contaba con alumnos egresados. Plante l

2002

A.O.I.

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

201 4

Total

16 10 11 16

17 25 27 35

41 62 23 37

72 69 58 116

75 78 78 99

78 101 78 117

100 129 87 133

97 108 80 138

98 110 79 156

121 132 90 130

107 28 119 113 73 135

103 34 98 127 80 163

866 62 932 1064 764 1275

103

138

124

127

138

129

127

119

1258

13 89 25

31 54 69

56 55 95

93 91 88

114 94 116

121 89 126

120 89 112

169 135 119

162 127 141

124 118 135 13

16 17 9 15 15 22

33 27 31 56 44 47

48 33 56 95 52 62

87 59 82 103 93 105

110 69 91 100 99 113

99 79 110 138 129 120

104

145

157

193 92 110 139 162 152 29 183

131 120 135 159 138 103 56 137

136 90 91 171 110 133 26 165

162 102 105 121 103 95 34 160

174 105 151 29 59 161 86 117 126 117 109 40 123

138 74 131 33 62 154 67 113 147 83 97 26 130

1315 1211 1308 75 121 1330 841 1050 1370 1145 1158 191 1438

278

583

890

1328

1612

1752

2032

2046

2009

1953

2099

197 9

18774

A.O.II. Azc. Coy. Cuaj. G.A.M.I . G.A.M.I I Iztac. Iztap.I.

Iztap.II. Iztap.III. Iztap.IV M.C. M.H. M.A. Tlah. Tlal.I. Tlal.II. V.C. Xoch.

Total

Por lo que con esta consideración se efectúa las tablas respectivas en Excel para los planteles que tienen más antigüedad en el IEMS-DF.

2).¿Cuáles son las leyes y relaciones en las que estará basado el modelo? En este trabajo como ya se mencionó será la relación del ingreso-egreso estudiantil por generación escolar comprendida en los planteles que tienen más antigüedad en el IEMS-DF, relacionada con la ley del ajuste de funciones de los datos presentado enfocada a la modalidad escolarizada. 3). ¿Cuál es el papel del tiempo, la distancia y la geometría en la formulación del Modelo? A través de los valores observados que nos proporcionan la base de datos del IEMS-DF en los planteles que tienen más antigüedad, para poder inferir los valores estimados a pronosticar a través del ajuste de funciones respectivo cuya distancia de estos valores será la distancia de la medición del error a estimar. 4.) ¿Cuáles suposiciones y restricciones pueden emplearse para simplificar el modelo? Cabe aclarar que en el presente trabajo se tomará en cuenta las siguientes variables: ● Variable cuantitativa dependiente

( y ):

Define el porcentaje de la

deserción de los alumnos y alumnas de este plantel que conforma el IEMSDF. ● Variable cuantitativa independiente

( x):

Define la generación del año

escolar donde se analiza la deserción de estudiantes en este plantel que conforma el IEMS-DF. ● Variable aleatoria

(e i): Define para la aleatoriedad para la tendencia del

error de los datos que se presentan. Por lo que esto implica considerar a las generaciones como los siguientes puntos que se definen de la siguiente manera: (1, y1 ) ,(2, y 2),(3, y 3) , … ,(n , y n) , por lo que implica ser las soluciones deducidas y generalizadas de la función y n=f (x n) , por lo que de esta La suposición de la polinomial a encontrar como deserción estudiantil del IEMS-DF se realizará en tomar la relación de los datos observados de la base de datos del ingreso-egreso de los estudiantes por generación escolar enfocado a los planteles que tienen más antigüedad para poder realizar el ajuste es primero considerar la relación numérica de orden cronológico de la generación es decir: Si la primera generación del Plantel más antiguo fue en 1999-2000, será considerada para fines prácticos como generación 1 y de la relación del ingreso-egreso estudiantil se tomará para calcular el porcentaje de la deserción estudiantil es decir:

Deserción Estudiantil generaciónn= Dónde

Egreso Estudiantil generaciónn Ingreso Estudiantil generación n

n=1,2,…

Con esto se hará la relación de consideración para poder realizar el ajuste:

( x 1 , y 1 )=( generación 1,%Deserción Estudiantil generación 1 ) ⋮ (x 14 , y 14 )=(generación 14,%Deserción Estudiantil generación 14) Por lo que se tomará esta relación de consideración para poder aplicar el ajuste de esta manera presentada en la siguiente tabla que define solamente al plantel más antiguo del IEMS-DF: Con esto se procederá a realizar el análisis para los planteles que tienen más antigüedad en esta dependencia paraestatal del IEMS-DF a través de la situación del porcentaje de deserción estudiantil Situación de la Deserción Escolar en el IEMS-DF. Para la Delegación Álvaro Obregón en su primer plantel su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

Para el procedimiento de la construcción de la tabla fundamental se ordenan los datos de la siguiente manera: 26

Representación de orden de la recta numérica real en relación a la generación escolar (Esto es definido como

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

93.42 89.14 80.90 81.43 73.41 74.71 78.75 76.29 76.32 77.68 70.36

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,93.42},{2,89.14},{3,80.90},{4,81.43},{5,73.41},{6,74.71},{7,78.75},{8,76.29}, {9,76.32},{10,77.68},{11,70.36}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

y con esto se procederá manualmente a construir la tabla de la función polinómica de ajuste cúbico correspondiente para poder aplicar el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

x6 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

de la

siguiente manera: k

y 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x y

93.42 89.14 80.9

93.42 178.28 242.7

93.42 356.56 728.1

93.42 713.12 2184.3

81.43 73.41 74.71 78.75 76.29 76.32 77.68 70.36

325.72 367.05 448.26 551.25 610.32 686.88 776.8 773.96

1302.88 1835.25 2689.56 3858.75 4882.56 6181.92 7768 8513.56

5211.52 9176.25 16137.36 27011.25 39060.48 55637.28 77680 93649.16

5054.64 ∑ x 11 y 11

38210.56 ∑ x 211 y 11

326554.14 ∑ x 311 y 11

872.41 ∑ y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

Resolviendo con el software de Matrixcalc en https://matrixcalc.org/es/slu.html tomando en cuenta el sistema de ecuaciones presentado en forma matricial definido por A ∙ X=B , por lo que dándole en la opción de solucionarlo con 10 cifras decimales con el Método de la matriz inversa definido como:

X =A−1 ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

−1

X =A ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 a X= 1 a2 a3

está dada por:

a0 =106.473 ,a 1=−13.3465,a 2=1.95105,a 3=−0.0930109 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =106.473−13.3465 x +1.95105 x 2−0.0930109 x 3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,93.42},{2,89.14},{3,80.90},{4,81.43},{5,73.41},{6,74.71},{7,78.75}, {8,76.29},{9,76.32},{10,77.68},{11,70.36}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cúbico es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

_________________________________________________________________

Para la Delegación Azcapotzalco su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

Para el procedimiento de la construcción de la tabla fundamental se ordenan los datos de la siguiente manera: Representación de orden de la recta numérica real en

Porcentaje de la deserción estudiantil de la

relación a la generación escolar (Esto es definido como

xi )

generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

88.15 80.00 77.22 80.49 78.01 78.27 72.45 71.97 71.68 65.63 64.05

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,88.15},{2,80.00},{3,77.22},{4,80.49},{5,78.01},{6,78.27},{7,72.45},{8,71.97}, {9,71.68},{10,65.63},{11,64.05}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

y con esto se procederá manualmente a construir la tabla de la función polinómica de ajuste lineal correspondiente para poder aplicar el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

88.15 80 77.22 80.49 78.01 78.27 72.45 71.97 71.68 65.63 64.05

88.15 160 231.66 321.96 390.05 469.62 507.15 575.76 645.12 656.3 704.55

827.92 ∑ y 11

4750.32 ∑ x 11 y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 2 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

−1

X =A ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

−1

X =A ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

X = a0 a1

está dada por:

a0 =87.1127 , a1 =−1.97455 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico lineal se define como: ^y =a0+ a1 x En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como:

^y =87.1127−1.97455 x

Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: linear fit{{1,88.15},{2,80.00},{3,77.22},{4,80.49},{5,78.01},{6,78.27},{7,72.45}, {8,71.97},{9,71.68},{10,65.63},{11,64.05}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio lineal es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

_________________________________________________________________

Para la Delegación Coyoacán su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

Para el procedimiento de la construcción de la tabla fundamental se ordenan los datos de la siguiente manera: Representación de orden de la recta numérica real en relación a la generación escolar (Esto es definido como

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

92.91 91.91 75.20 79.77 76.51 70.03 62.50 69.75 69.10 65.54 69.04

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,92.91},{2,91.91},{3,75.20},{4,79.77},{5,76.51},{6,70.03},{7,62.50},{8,69.75}, {9,69.10},{10,65.54},{11,69.04}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

y con esto se procederá manualmente a construir la tabla de la función polinómica de ajuste cúbico correspondiente para poder aplicar el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

x6 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con siguiente manera:

de la

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x2 y

x3 y

92.91 91.91 75.2

92.91 183.82 225.6

92.91 367.64 676.8

92.91 735.28 2030.4

79.77 76.51 70.03 62.5 69.75 69.1 65.54 69.04

319.08 382.55 420.18 437.5 558 621.9 655.4 759.44

1276.32 1912.75 2521.08 3062.5 4464 5597.1 6554 8353.84

5105.28 9563.75 15126.48 21437.5 35712 50373.9 65540 91892.24

4656.38 ∑ x 11 y 11

34878.94 ∑ x 211 y 11

297609.74 ∑ x 311 y 11

822.26 ∑ y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

X =A−1 ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 X = a1 a2 a3

está dada por:

a0 =101.358 ,a 1=−7.79929,a 2=0.434009, a3=0.000567211 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =101.358−7.79929 x +0.434009 x 2+ 0.000567211 x 3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,92.91},{2,91.91},{3,75.20},{4,79.77},{5,76.51},{6,70.03},{7,62.50}, {8,69.75},{9,69.10},{10,65.54},{11,69.04}}

Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cúbico es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

_________________________________________________________________

Para la Delegación Cuajimalpa su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

92.95 83.13 91.09 83.89 77.59 76.07 76.16 77.53 77.75 74.86 79.55

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis:

fit{{1,92.25},{2,83.13},{3,91.09},{4,83.89},{5,77.59},{6,76.07},{7,76.16},{8,77.53}, {9,77.75},{10,74.86},{11,79.55}}

y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121

1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331

1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 14641

x5 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000 161051

x6 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561

Suma por column a

66 ∑ x 11

506 ∑ x 211

4356 ∑ x 311

39974 ∑ x114

381876 ∑ x 511

3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

de la

siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x2 y

x3 y

92.95 83.13 91.09

92.95 166.26 273.27

92.95 332.52 819.81

92.95 665.04 2459.43

83.89 77.59 76.07 76.16 77.53 77.75 74.86 79.55

335.56 387.95 456.42 533.12 620.24 699.75 748.6 875.05

1342.24 1939.75 2738.52 3731.84 4961.92 6297.75 7486 9625.55

5368.96 9698.75 16431.12 26122.88 39695.36 56679.75 74860 105881.05

5189.17 ∑ x 11 y 11

39368.85 ∑ x 211 y 11

337955.29 ∑ x 311 y 11

890.57 ∑ y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

X =A−1 ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 a X= 1 a2 a3

está dada por:

a0 =93.7639 , a1=−2.52113, a2=−0.165583, a3=0.0249417 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =93.7639−2.52113 x−0.165583 x 2+ 0.0249417 x3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,92.25},{2,83.13},{3,91.09},{4,83.89},{5,77.59},{6,76.07},{7,76.16}, {8,77.53},{9,77.75},{10,74.86},{11,79.55}}

_________________________________________________________________

Para la Delegación Gustavo A. Madero en su primer plantel su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

como

xi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

89.33 86.38 75.00 67.60 71.71 66.95 61.89 61.45 56.79 63.17 61.86

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,89.33},{2,86.38},{3,75.00},{4,67.60},{5,71.71},{6,66.95},{7,61.89},{8,61.45}, {9,56.79},{10,63.17},{11,61.86}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

de la

siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x2 y

x3 y

89.33 86.38 75

89.33 172.76 225

89.33 345.52 675

89.33 691.04 2025

67.6 71.71 66.95 61.89 61.45 56.79 63.17 61.86

270.4 358.55 401.7 433.23 491.6 511.11 631.7 680.46

1081.6 1792.75 2410.2 3032.61 3932.8 4599.99 6317 7485.06

4326.4 8963.75 14461.2 21228.27 31462.4 41399.91 63170 82335.66

4265.84 ∑ x 11 y 11

31761.86 ∑ x 211 y 11

270152.96 ∑ x 311 y 11

762.13 ∑ y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

−1

X =A ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 X = a1 a2 a3

está dada por:

a0 =97.8711, a1=−8.29788, a2=0.469732,a 3=−0.00102758 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =97.8711−8.29788 x +0.469732 x 2−0.00102758 x 3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,89.33},{2,86.38},{3,75.00},{4,67.60},{5,71.71},{6,66.95},{7,61.89}, {8,61.45},{9,56.79},{10,63.17},{11,61.86}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cúbico es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

______________________________________________________________

Para la Delegación Gustavo A. Madero en su segundo plantel su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

89.26 77.21 76.49 72.24 56.81 64.77 62.76 61.24 63.56 64.95 63.82

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,89.26},{2,77.21},{3,76.49},{4,72.24},{5,58.81},{6,64.77},{7,62.76},{8,61.24}, {9,63.56},{10,64.95},{11,63.82}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

R2 ajustado.

y con esto se procederá manualmente a construir la tabla de la función polinomial de ajuste cuartico correspondiente para poder aplicar el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con siguiente manera:

1 128 2187 16384 78125 279936 823543 2097152 4782969 10000000 19487171 37567596 ∑ x 711

de la

1 256 6561 65536 390625 1679616 5764801 16777216 43046721 100000000 214358881 382090214 ∑ x811

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x2 y

x3 y

x4 y

89.26 77.21 76.49

89.26 154.42 229.47

89.26 308.84 688.41

89.26 617.68 2065.23

89.26 1235.36 6195.69

72.24 58.81 64.77 62.76 61.24 63.56 64.95 63.82

288.96 294.05 388.62 439.32 489.92 572.04 649.5 702.02

1155.84 1470.25 2331.72 3075.24 3919.36 5148.36 6495 7722.22

4623.36 7351.25 13990.32 21526.68 31354.88 46335.24 64950 84944.42

18493.44 36756.25 83941.92 150686.76 250839.04 417017.16 649500 934388.62

4297.58 ∑ x 11 y 11

32404.5 ∑ x 211 y 11

277848.32 ∑ x 311 y 11

755.11 ∑ y 11

2549143.5 ∑ x 411 y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 5 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

−1

X =A ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 a1 X = a2 a3 a4

está dada por:

a0 =95.3452 , a1=−6.79508,a 2=−0.587529,a 3=0.192984, a4 =−0.00972028 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cuartico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ a4 x 4 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =95.3452−6.79508 x −0.587529 x 2 +0.192984 x 3−0.00972028 x 4

Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: quartic fit{{1,89.26},{2,77.21},{3,76.49},{4,72.24},{5,58.81},{6,64.77},{7,62.76}, {8,61.24},{9,63.56},{10,64.95},{11,63.82}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cuartico es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

______________________________________________________________

Para la Delegación Iztacalco su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

91.50 77.86 70.83 74.17 66.37 64.62 64.81 52.12 54.75 66.76 51.67

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,91.50},{2,77.86},{3,70.83},{4,74.17},{5,66.37},{6,64.62},{7,64.81},{8,52.12}, {9,54.75},{10,66.76},{11,51.67}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121

1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331

1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 14641

x5 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000 161051

x6 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561

Suma por column a

66 ∑ x 11

506 ∑ x 211

4356 ∑ x 311

39974 ∑ x114

381876 ∑ x 511

3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

de la

siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x2 y

x3 y

91.5 77.86 70.83

91.5 155.72 212.49

91.5 311.44 637.47

91.5 622.88 1912.41

74.17 66.37 64.62 64.81 52.12 54.75 66.76 51.67

296.68 331.85 387.72 453.67 416.96 492.75 667.6 568.37

1186.72 1659.25 2326.32 3175.69 3335.68 4434.75 6676 6252.07

4746.88 8296.25 13957.92 22229.83 26685.44 39912.75 66760 68772.77

4075.31 ∑ x 11 y 11

30086.89 ∑ x 211 y 11

253988.63 ∑ x 311 y 11

735.46 ∑ y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

X =A−1 ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es: 65

Con esto entonces se procede a encontrar:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 X = a1 a2 a3

está dada por:

a0 =99.7214 , a1=−11.6377, a 2=1.2142,a 3=−0.0476981 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =99.7214−11.6377 x+1.2142 x 2−0.0476981 x 3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,91.50},{2,77.86},{3,70.83},{4,74.17},{5,66.37},{6,64.62},{7,64.81}, {8,52.12},{9,54.75},{10,66.76},{11,51.67}}

______________________________________________________________

Para la Delegación Iztapalapa en su primer plantel su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

96.22 71.47 82.00 71.49 69.01 75.82 75.15 68.52 75.36 64.61 68

11 12 13

64.47 63.38 72.24

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,96.22},{2,71.47},{3,82.00},{4,71.49},{5,69.01},{6,75.82},{7,75.15},{8,68.52}, {9,75.36},{10,64.61},{11,64.47},{12,63.38},{13,72.24}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

R2 ajustado.

y con esto se procederá manualmente a construir la tabla de la función polinómica de ajuste cuadrático correspondiente para poder aplicar el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera: k

1 2 3 4 5 6 7 8

1 4 9 16 25 36 49 64

1 8 27 64 125 216 343 512

1 16 81 256 625 1296 2401 4096 69

y 96.22 71.47 82 71.49 69.01 75.82 75.15 68.52

x2 y 96.22 142.94 246 285.96 345.05 454.92 526.05 548.16

96.22 285.88 738 1143.84 1725.25 2729.52 3682.35 4385.28

9 10 11 12 13 Suma por columna

9 10 11 12 13 91 ∑ x 13

81 100 121 144 169 819 ∑ x 213

729 1000 1331 1728 2197 8281 ∑ x 313

6561 10000 14641 20736 28561 89271 ∑ x 413

75.36 64.61 64.47 63.38 72.24

678.24 646.1 709.17 760.56 939.12

6104.16 6461 7800.87 9126.72 12208.56

949.74 ∑ y 13

6378.49 ∑ x 13 y 13

56487.65 ∑ x 213 y 13

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 3 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

X =A−1 ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

−1

X =A ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 X = a1 a2

está dada por:

a0 =90.9417 , a1=−4.48664, a2 =0.21463 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cuadrático se define como:

^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =90.9417−4.48664 x+ 0.21463 x 2 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: quadratic fit{{1,96.22},{2,71.47},{3,82.00},{4,71.49},{5,69.01},{6,75.82}, {7,75.15},{8,68.52},{9,75.36},{10,64.61},{11,64.47},{12,63.38},{13,72.24}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cuadrático es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

______________________________________________________________

Para la Delegación Iztapalapa en su segundo plantel su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva =

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

83.44

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

80.56 61.54 74.57 66.38 64.00 67.25 65.31 60.50 64.66 58.17

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,83.44},{2,80.56},{3,61.54},{4,74.57},{5,66.38},{6,64.00},{7,67.25},{8,65.31}, {9,60.50},{10,64.66},{11,58.17}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

y con esto se procederá manualmente a construir la tabla de la función polinómica de ajuste lineal correspondiente para poder aplicar el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera: k

1 2

1 4

83.44 80.56 74

xy 83.44 161.12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

61.54 74.57 66.38 64 67.25 65.31 60.5 64.66 58.17

184.62 298.28 331.9 384 470.75 522.48 544.5 646.6 639.87

746.38 ∑ y 11

4267.56 ∑ x 11 y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 2 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

X =A ∙ B → ∴

Donde se considera para: 75

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

−1

X =A ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

X = a0 a1

está dada por:

a0 =79.3465 ,a 1=−1.91564 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico lineal se define como: ^y =a0+ a1 x En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =79.3465−1.91564 x

Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: linear fit{{1,83.44},{2,80.56},{3,61.54},{4,74.57},{5,66.38},{6,64.00},{7,67.25}, {8,65.31},{9,60.50},{10,64.66},{11,58.17}} 76

Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio lineal es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

_________________________________________________________________

Para la Delegación Magdalena Contreras su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

Para el procedimiento de la construcción de la tabla fundamental se ordenan los datos de la siguiente manera: Representación de orden de la recta numérica real en

Porcentaje de la deserción estudiantil de la

relación a la generación escolar (Esto es definido como

xi )

generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

88.89 75.37 69.03 75.77 68.02 71.71 44.70 62.89 61.25 56.68 55.40

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,88.89},{2,75.37},{3,69.03},{4,75.77},{5,68.02},{6,71.71},{7,44.70},{8,62.89}, {9,61.25},{10,56.68},{11,55.40}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

y con esto se procederá manualmente a construir la tabla de la función polinómica de ajuste lineal correspondiente para poder aplicar el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

88.89 75.37 69.03 75.77 68.02 71.71 44.7 62.89 61.25 56.68 55.4

88.89 150.74 207.09 303.08 340.1 430.26 312.9 503.12 551.25 566.8 609.4

729.71 ∑ y 11

4063.63 ∑ x 11 y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 2 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

−1

X =A ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

X = a0 a1

está dada por:

a0 =83.4989 , a1=−2.86027 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico lineal se define como: ^y =a0+ a1 x En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =83.4989−2.86027 x 80

Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: linear fit{{1,88.89},{2,75.37},{3,69.03},{4,75.77},{5,68.02},{6,71.71},{7,44.70}, {8,62.89},{9,61.25},{10,56.68},{11,55.40}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio lineal es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

_________________________________________________________________

Para la Delegación Miguel Hidalgo su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

88.51 83.33 78.57 81.09 75.87 78.06 72.54 65.22 74.72 69.55 74.71

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,88.51},{2,83.33},{3,78.57},{4,81.09},{5,75.87},{6,78.06},{7,72.54},{8,65.22}, {9,74.72},{10,69.55},{11,74.71}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

x6 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

de la

siguiente manera:

y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x2 y

x3 y

88.51 83.33 78.57

88.51 166.66 235.71

88.51 333.32 707.13

88.51 666.64 2121.39

81.09 75.87 78.06 72.54 65.22 74.72 69.55

324.36 379.35 468.36 507.78 521.76 672.48 695.5

1297.44 1896.75 2810.16 3554.46 4174.08 6052.32 6955

5189.76 9483.75 16860.96 24881.22 33392.64 54470.88 69550

11 Suma por columna

74.71

842.17 ∑ y 11

821.81

9039.91

99439.01

48 82.28 ∑ x 11 y 11

36909.08 ∑ x 211 y 11

316144.76 ∑ x 311 y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

−1

X =A ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 X = a1 a2 a3

está dada por:

a0 =88.9841 ,a 1=−1.71189, a2=−0.322716, a3=0.0320532 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =88.9841−1.71189 x−0.322716 x 2−0.0320532 x 3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,88.51},{2,83.33},{3,78.57},{4,81.09},{5,75.87},{6,78.06},{7,72.54}, {8,65.22},{9,74.72},{10,69.55},{11,74.71}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cúbico es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

______________________________________________________________

Para la Delegación Milpa Alta su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

como

xi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

94.16 77.54 63.64 72.30 73.85 66.84 69.19 61.43 73.31 71.39 66.67

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,94.16},{2,77.54},{3,63.64},{4,72.30},{5,73.85},{6,66.84},{7,69.19},{8,61.43}, {9,73.31},{10,71.39},{11,66.67}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de R2

manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

x 1 2

1 2

1 4

1 8

1 16

1 32

1 64

1 128

1 256

3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

2187 16384 78125 279936 823543 2097152 4782969 10000000 19487171 37567596 ∑ x 711

6561 65536 390625 1679616 5764801 16777216 43046721 100000000 214358881 382090214 ∑ x811

de la

siguiente manera:

y 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x2 y

x3 y

x4 y

94.16 77.54 63.64

94.16 155.08 190.92

94.16 310.16 572.76

94.16 620.32 1718.28

94.16 1240.64 5154.84

72.3 73.85 68.84 69.19 61.43 73.31 71.39 66.67

289.2 369.25 413.04 484.33 491.44 659.79 713.9 733.37

1156.8 1846.25 2478.24 3390.31 3931.52 5938.11 7139 8067.07

4627.2 9231.25 14869.44 23732.17 31452.16 53442.99 71390 88737.77

18508.8 46156.25 89216.64 166125.19 251617.28 480986.91 713900 976115.47

4594.48 ∑ x 11 y 11

34924.38 ∑ x 211 y 11

299915.74 ∑ x 311 y 11

792.32 ∑ y 11

2749116.18 ∑ x114 y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 5 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar: como:

X =Aâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2122; B

definido en este caso

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 a1 X = a2 a3 a4

está dada por:

a0 =119.693 , a1=−33.8579, a2=7.83762, a3=−0.756684, a4 =0.0259819 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cuartico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ a4 x 4 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =119.693−33.8579 x+7.83762 x 2−0.756684 x 3 +0.0259819 x 4 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: quartic fit{{1,94.16},{2,77.54},{3,63.64},{4,72.30},{5,73.85},{6,66.84},{7,69.19}, {8,61.43},{9,73.31},{10,71.39},{11,66.67}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cuartico es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

______________________________________________________________

Para la Delegación Tláhuac su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

89.93 83.95 62.00 70.49 70.93 60.57 60.40 54.44 50.15 68.24 64.51

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,89.93},{2,83.95},{3,62.00},{4,70.49},{5,70.93},{6,60.57},{7,60.40},{8,54.44}, {9,50.15},{10,68.24},{11,64.51}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

x6 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con siguiente manera:

de la

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x2 y

x3 y

89.93 83.95 62

89.93 167.9 186

89.93 335.8 558

89.93 671.6 1674

70.49 70.93 60.57 60.4 54.44 50.15 68.24 64.51

281.96 354.65 363.42 422.8 435.52 451.35 682.4 709.61

1127.84 1773.25 2180.52 2959.6 3484.16 4062.15 6824 7805.71

4511.36 8866.25 13083.12 20717.2 27873.28 36559.35 68240 85862.81

4145.54 ∑ x 11 y 11

31200.96 ∑ x 211 y 11

735.61 ∑ y 11

268148.9 ∑ x 311 y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

X =A−1 ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar: como:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 a X= 1 a2 a3

está dada por:

a0 =96.7738 , a1=−8.6455, a2=0.295513, a3 =0.0211597 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =96.7738−8.6455 x+ 0.295513 x 2 +0.0211597 x 3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,89.93},{2,83.95},{3,62.00},{4,70.49},{5,70.93},{6,60.57},{7,60.40}, {8,54.44},{9,50.15},{10,68.24},{11,64.51}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cúbico es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

______________________________________________________________

Para la Delegación Tlalpan en su primer plantel su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

89.66 87.43 78.78 75.00 71.88 63.25 53.31 60.91 69.19 73.39 67.23

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,89.66},{2,87.43},{3,78.78},{4,75.00},{5,71.88},{6,63.25},{7,53.31},{8,60.91}, {9,69.19},{10,73.39},{11,67.23}}

100

y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de R

manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por column a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

101

1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

de la

siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x y

89.66 87.43 78.78

89.66 174.86 236.34

89.66 349.72 709.02

89.66 699.44 2127.06

75 71.88 63.25 53.31 60.91 69.19 73.39 67.23

300 359.4 379.5 373.17 487.28 622.71 733.9 739.53

1200 1797 2277 2612.19 3898.24 5604.39 7339 8134.83

4800 8985 13662 18285.33 31185.92 50439.51 73390 89483.13

4496.35 ∑ x 11 y 11

34011.05 ∑ x 211 y 11

293147.05 ∑ x 311 y 11

790.03 ∑ y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

102

−1

X =A ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

103

Con esto entonces se procede a encontrar:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 a X= 1 a2 a3

está dada por:

a0 =98.7926 , a1=−6.93124, a2=−0.027366, a3=0.0400874 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =98.7926−6.93124 x−0.027366 x 2 +0.0400874 x 3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,89.66},{2,87.43},{3,78.78},{4,75.00},{5,71.88},{6,63.25},{7,53.31}, {8,60.91},{9,69.19},{10,73.39},{11,67.23}}

104

______________________________________________________________

105

Para la Delegación Tlalpan en su segundo plantel su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

84.83 82.72 75.78 70.75 68.78 65.52 56.32 70.32 62.32 75.00 69.81

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: 106

fit{{1,84.83},{2,82.72},{3,75.78},{4,70.75},{5,68.78},{6,65.52},{7,56.32},{8,70.32}, {9,62.32},{10,75.00},{11,69.81}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de R

manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

107

1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

a Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

de la

siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x2 y

x3 y

84.83 82.72 75.78

84.83 165.44 227.34

84.83 330.88 682.02

84.83 661.76 2046.06

70.75 68.78 65.52 56.32 70.32 62.32 75 69.81

283 343.9 393.12 394.24 562.56 560.88 750 767.91

1132 1719.5 2358.72 2759.68 4500.48 5047.92 7500 8447.01

4528 8597.5 14152.32 19317.76 36003.84 45431.28 75000 92917.11

4533.22 ∑ x 11 y 11

34563.04 ∑ x 211 y 11

298740.46 ∑ x 311 y 11

782.15 ∑ y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

108

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

X =A−1 ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

109

Con esto entonces se procede a encontrar:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 a X= 1 a2 a3

está dada por:

a0 =93.3592 , a1=−7.11424, a2=0.316772, a3 =0.014796 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =93.3592−7.11424 x +0.316772 x 2 +0.014796 x 3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,84.83},{2,82.72},{3,75.78},{4,70.75},{5,68.78},{6,65.52},{7,56.32}, {8,70.32},{9,62.32},{10,75.00},{11,69.81}}

110

______________________________________________________________

111

Para la Delegación Xochimilco su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

94.81 76.92 68.67 70.62 55.93 54.09 51.20 60.97 53.78 59.08 65.74

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis:

112

fit{{1,94.81},{2,76.92},{3,68.67},{4,70.62},{5,55.93},{6,54.09},{7,51.20},{8,60.97}, {9,53.78},{10,59.08},{11,65.74}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de R

manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ∑ x 11

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506 ∑ x 211

1 1 1 8 16 32 27 81 243 64 256 1024 125 625 3125 216 1296 7776 343 2401 16807 512 4096 32768 729 6561 59049 1000 10000 100000 1331 14641 161051 4356 39974 381876 3 ∑ x 11 ∑ x114 ∑ x 511

113

x6 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 1771561 3749966 ∑ x 611

x7 1 128 2187 16384 78125 279936 823543 2097152 4782969 10000000 19487171 37567596 ∑ x 711

x8 1 256 6561 65536 390625 1679616 5764801 16777216 43046721 100000000 214358881 382090214 ∑ x811

a Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

de la

siguiente manera:

y 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 Suma por columna

x2 y

x3 y

x4 y

94.81 76.92 68.67

94.81 153.84 206.01

94.81 307.68 618.03

94.81 615.36 1854.09

94.81 1230.72 5562.27

70.62 55.93 54.09 51.2 60.97 53.78 59.08 65.74

282.48 279.65 324.54 358.4 487.76 484.02 590.8 723.14

1129.92 1398.25 1947.24 2508.8 3902.08 4356.18 5908 7954.54

4519.68 6991.25 11683.44 17561.6 31216.64 39205.62 59080 87499.94

18078.72 34956.25 70100.64 122931.2 249733.12 352850.58 590800 962499.34

3985.45 ∑ x 11 y 11

30125.53 ∑ x 211 y 11

260322.43 ∑ x 311 y 11

2408837.65 ∑ x 411 y 11

711.81 ∑ y 11

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 5 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

114

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

X =A−1 ∙ B → ∴

Donde se considera para:

115

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar: como:

116

X =Aâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2122; B

definido en este caso

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 a1 X = a2 a3 a4

está dada por:

a0 =112.551 , a1=−22.099, a2=3.35893, a3=−0.267255, a4 =0.00992716 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cuartico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ a4 x 4 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =112.551−22.099 x+3.35893 x 2−0.267255 x 3+ 0.00992716 x 4 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: quartic fit{{1,94.81},{2,76.92},{3,68.67},{4,70.62},{5,55.93},{6,54.09},{7,51.20}, {8,60.97},{9,53.78},{10,59.08},{11,65.74}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cuartico es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

______________________________________________________________

117

Para la Delegación Venustiano Carranza su situación está así: presentada en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF:

Para el procedimiento de la construcción de la tabla fundamental se ordenan los datos de la siguiente manera:

118

Representación de orden de la recta numérica real en relación a la generación escolar (Esto es definido como

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5

81.53 69.06 65.79 66.99 77.53

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,81.53},{2,69.06},{3,65.79},{4,66.99},{5,77.53}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado

1 2 3 4 5

1 4 9 16 25

1 8 27 64 125

1 16 81 256 625

1 32 243 1024 3125

1 64 729 4096 15625

119

Suma por column a

15 ∑ x5

55 ∑ x 25

225 ∑ x 35

979 ∑ x 45

4425 ∑ x 55

20515 ∑ x 65

Después se procede a calcular la siguiente tabla en relación con

de la

siguiente manera: k

y 1 2 3 4

5 Suma por columna

x2 y

x3 y

81.53 69.06 65.79

81.53 138.12 197.37

81.53 276.24 592.11

81.53 552.48 1776.33

66.99 77.53

267.96 387.65

1071.84 1938.25

4287.36 9691.25

360.9 ∑ y5

1072.63 ∑ x5 y5

3959.97 ∑ x 25 y 5

16388.95 ∑ x 35 y 5

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 4 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

120

X =A−1 ∙ B → ∴

Donde se considera para:

Donde la inversa de

es:

121

Con esto entonces se procede a encontrar:

−1

X =A ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

a0 a X= 1 a2 a3

está dada por:

a0 =100.25 ,a 1=−22.3702,a 2=3.50143, a3=0.0116667 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico cúbico se define como: ^y =a0+ a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3 En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =100.25−22.3702 x +3.50143 x2 +0.0116667 x3 Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: cubic fit{{1,81.53},{2,69.06},{3,65.79},{4,66.99},{5,77.53}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio cúbico es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

122

______________________________________________________________

123

Para todos los 20 planteles del IEMS-DF en conjunto está presentada así: en una tabla con los datos donde se define y se considera en el fondo gris los datos proporcionados por la Subdirección de Administración Escolar del IEMS-DF: Por lo que aquí; se consideran los totales de todos los planteles por generación que se describe de la siguiente manera:

xi )

Porcentaje de la deserción estudiantil de la generación respectiva=

Egreso Ingreso

(Esto es definido como

yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

96.22 71.47 90.92 84.32 73.83 76.48 70.38 68.36 64.73 64.75 64.93 68.24 124

68.32

Antes de realizar el ajuste se comprueba mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: fit{{1,96.22},{2,71.47},{3,90.92},{4,84.32},{5,73.83},{6,76.48},{7,70.38},{8,68.36}, {9,64.73},{10,64.75},{11,64.93},{12,68.24},{13,68.32}} y dándole “enter” se verá el mejor ajuste que tiene cada uno de los datos de los planteles, a través de la comprobación de las ecuaciones que se presentan de manera ajustada por medio del mínimo valor de

ajustado.

y con esto se procederá manualmente a construir la tabla de la función polinómica de ajuste lineal correspondiente para poder aplicar el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

96.22 71.47 90.92 84.32 73.83 76.48 70.38 68.36 64.73 64.75

125

xy 96.22 142.94 272.76 337.28 369.15 458.88 492.66 546.88 582.57 647.5

11 12 13 Suma por column a

11 12 13 91 ∑ x 13

121 144 169 819 ∑ x 213

64.93 68.24 68.32

714.23 818.88 888.16

962.95 ∑ y 13

63 68.11 ∑ x 13 y 13

Y las ecuaciones normales están dadas por el siguiente sistema de 2 variables que se define como:

En este caso queda como la forma matricial siguiente:

Para encontrar de esta forma matricial un sistema de ecuaciones a resolver:

Donde se considera para:

126

Donde la inversa de

es:

Con esto entonces se procede a encontrar:

X =A−1 ∙ B

definido en este caso

como:

y con esto su solución aproximada y redondeada en

[]

X = a0 a1

está dada por:

a0 =88.4015 , a1=−2.04692 Entonces con esto el mejor modelo de ajuste polinómico lineal se define como: ^y =a0+ a1 x En este caso en relación a los coeficientes encontrados queda como: ^y =88.4015−2.04692 x

Por lo que el ajuste se comprueba y corrobora mediante el software del wolfram alpha de http://www.wolframalpha.com/ con la siguiente sintaxis: linear fit{{1,96.22},{2,71.47},{3,90.92},{4,84.32},{5,73.83},{6,76.48},{7,70.38}, {8,68.36},{9,64.73},{10,64.75},{11,64.93},{12,68.24},{13,68.32}} Y dándole “enter” se ve que el ajuste de polinomio lineal es totalmente similar al que se calculó: con anterioridad y además ahora se considera la gráfica del conjunto de datos presentados en relación a la gráfica de color azul del ajuste polinomial:

127

_________________________________________________________________

128

5. ¿Qué tipo de información puede obtenerse de la solución del modelo? La predicción de cuántos estudiantes pueden desertar en algún futuro y con esto tomar medidas preventivas para que los estudiantes del IEMS, aprovechen la oportunidad de estudiar y obtener mejores oportunidades de mejor calidad de vida laboral y profesional, por lo que ahora se procede finalmente a calcular el porcentaje mínimo de deserción y el porcentaje de deserción máxima para la generación respectiva a través de la fórmula de los intervalos de predicción.

6. Conclusiones: Para la generación del 2011 a 2012

Para la generación del 2012 a 2013

129

5. Referencias 5.1 .Bibliográficas (artículos de libros de textos científicos) •Bittinger Marvin L. (2002) Cálculo para Ciencias Económico-Administrativas. (Séptima Edición) Ed. Pearson Educación. . •Chapra Steven C. y Canale Raymond P. (2011). Métodos numéricos para ingenieros. (6ta. Edición) México, D.F.: Editorial McGraw-Hill Interamericana. •Figueroa Garcia Edith (2014) Métodos Probabilísticos de Optimización. Estado de México, Municipio de Naucalpan de Juárez. Ed. UNAM-FES AcatlánIngeniería Civil. •Gerald Curtis F., Wheatley Patrick O. (2000) Análisis Numérico con aplicaciones. (Sexta Edición). México, D.F. Ed. Pearson Educación. •Infante Gil Said, Zárate de Lara Guillermo P. (2012) Métodos Estadísticos: Un Enfoque Interdisciplinario. (3ra. Edición) México, Estado de México, Texcoco: Editorial del Colegio de Postgraduados-La Gaya Ciencia. •Mathews John H. y Fink Kurtis D. (2000) Métodos Numéricos con MATLAB. (3ra. Edición). España, Madrid: Editorial Prentice-Hall. •Monahan, John F. (2008) A Primer on Linear Models North Carolina State, USA. Editorial Chapman & Hall/CRC. •Montes de Oca Puzio Francisco (2002) Problemas Resueltos de Estadística. (Segunda Edición) México, D.F. Editorial Skorpio. •Quintana Hernández Pedro Alberto, Villalobos Oliver Eloísa Bernardett y Cornejo Serrano María del Carmen (2005) Métodos Numéricos con Aplicaciones en Excel. México, Guanajuato: Instituto Tecnológico de Celaya, Guanajuato; Editorial Reverté. •Smith W. Allen (1988) Análisis Numérico. México, D.F.: Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana S.A. • Valdés Prada Francisco José (2014) Breviario sobre Modelado Matemático. (Primera Edición). México, D.F., Ed. UAM-Iztapalapa.

5.2 .Serigráficas (artículos de revista, de divulgación institucional, de tesis y de tesinas.) •Marín Salguero Rafael (2013) Temas Selectos de Matemáticas: “Ajuste de Curvas Vía Mínimos Cuadrados,” México, D.F., Versión 1.0, IEMS-G.A.M.-I. en: 130

https://issuu.com/pedrodaniellaramaldonado/docs/temas_selectos_estimaci on_minimos_c •Marín Salguero Rafael (2014). Matemáticas Preuniversitarias: “Probabilidad y Estadística” México, D.F., Versión 2.0, IEMS-G.A.M.-I. en: https://issuu.com/pedrodaniellaramaldonado/docs/notas_generales_probabil idad_y_esta

5.3 .Cibergráficas (artículos de internet.) •Carrillo Ramírez Teresa (2008) “Apuntes de Mínimos Cuadrados de la asignatura de Métodos Numéricos II para la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas y Computación de la UNAM FES Acatlán.”, en: https://issuu.com/pedrodaniellaramaldonado/docs/mnii07_minimos2 •IEMSDF-Dirección Estudiantil (2016) “Sistema General de Información Educativa Recuperada el lunes 22 de febrero del 2016 en: http://sgie.iems.edu.mx/ •Olguín Rosas Mayra (2013) “Interpolación y aproximación polinomial aplicado al Censo Poblacional en México.” en: https://issuu.com/pedrodaniellaramaldonado/docs/sesion_3_ejercicio_clase_ diferencia

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