Tercera unidad de logica matematica

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Este ejercicio es considerado como la Regla SemĂĄntica de InstanciaciĂłn Existencial (IE). Consideremos entonces que đ?šŞ; đ??‹đ?’™đ?’„ ⊨ đ??? donde sĂ­ y sĂłlo si (para cualquier đ?•Ź y definiendo para đ?’” de tal manera que ⊨đ?•Ź đ?šŞ[đ?’”] y tambiĂŠn decimos que ⊨đ?•Ź đ??‹đ?’™đ?’„ [đ?’”] , ⊨đ?•Ź đ???[đ?’”] )por lo que sĂ­ y solamente si [para cualquier đ?•Ź y đ?’” de tal manera que ⊨đ?•Ź đ?šŞ[đ?’”] y ⊭đ?•Ź đ???[đ?’”] , considerando que ⊭đ?•Ź đ??‹đ?’™đ?’„ [đ?’”] ] por lo que luego decimos que sĂ­ y sĂłlo si [para cualquier đ?•Ź y đ?’” de tal manera que ⊨đ?•Ź đ?šŞ[đ?’”] y ⊭đ?•Ź đ???[đ?’”] , tomando en cuenta que ⊨đ?•Ź ÂŹđ??‹đ?’™đ?’„ [đ?’”] ] con esto decimos que Si y sĂłlo si [para cualquier đ?•Ź y đ?’” de tal manera que ⊨đ?•Ź đ?œž[đ?’”] y ⊭đ?•Ź đ???[đ?’”] , por lo que entonces se procede a ⊨đ?•Ź ÂŹđ??‹[đ?’”(đ?’™|đ?’„đ?•Ź )] ] donde decimos que sĂ­ y sĂłlo si ( esto implica (⇒) que debido a que đ?’„ no se produce en đ?šŞ , đ??? o đ??‹) entonces [para cualquier đ?•Ź y đ?’” quede de tal manera que ⊨đ?•Ź đ?šŞ[đ?’”] y ⊭đ?•Ź đ???[đ?’”] , para todas las đ?’… ∈ |đ?•Ź| , por lo que entonces queda definido para ⊨đ?•Ź ÂŹđ??‹[đ?’”(đ?’™|đ?’…)] ] por lo que Si y sĂłlo si [para cualquier đ?•Ź y đ?’” de tal manera que ⊨đ?•Ź đ?šŞ[đ?’”] y ⊭đ?•Ź đ???[đ?’”] , decimos que ⊨đ?•Ź ∀đ?’™ÂŹđ??‹[đ?’”] ] con esto decimos que sĂ­ y sĂłlo si [para cualquier đ?•Ź y đ?’” de tal manera que ⊨đ?•Ź đ?šŞ[đ?’”] y ⊭đ?•Ź ∀đ?’™ÂŹđ??‹[đ?’”] , con ⊨đ?•Ź đ???[đ?’”] ] por lo que entonces se concluye que sĂ­ y sĂłlo si decimos que đ?šŞ; ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹđ??‹ ⊨ đ??? .que e

ObservaciĂłn De manera similar, el teorema de correctud es equivalente a la afirmaciĂłn de que todo conjunto de fĂłrmulas que es satisfactible es consistente. Por lo que entonces consideramos el Teorema de completitud de la siguiente manera: a) Si đ?šŞ ⊨ đ??‹ , por lo que despuĂŠs decimos que đ?šŞ ⊢ đ??‹ . (b) Si đ?šŞ es consistente, decimos entonces que đ?šŞ es satisfiable.

Por lo que entonces decimos que su necesidad definida como a) implica b). Si đ?šŞ no se satisfiable, a continuaciĂłn decimos que, đ?šŞ ⊨ {đ??‹, ÂŹđ??‹} , con esto decimos por lo tanto, đ?šŞ ⊢ {đ??‹, ÂŹđ??‹} , y con esto đ?šŞ no es consistente. Por lo que entonces decimos que su suficiencia definida como b) implica a). Si đ?šŞ ⊨ đ??‹ , por lo que despuĂŠs decimos que ⊨đ?•Ź đ?šŞ[đ?’”] por lo que esto implica que ⊨đ?•Ź đ??‹[đ?’”] y que ⊭đ?•Ź ÂŹđ??‹[đ?’”] , esto quiere decir đ?šŞ; ÂŹđ??‹ es insatisfactible, y, por lo tanto, decimos que es incompatible, por lo que entonces implica, por ReducciĂłn Al Absurdo que, đ?šŞ ⊢ đ??“ .

De acuerdo con los teoremas de solidez e integridad, las respuestas a ambas preguntas deben ser los mismos. Es fĂĄcil ver que đ?šŞ es satisfactible. Consideremos que đ?•Ź = ({đ?&#x;Ž, đ?&#x;?}; đ?‘ˇ) dĂłnde đ?‘ˇđ?•Ź = {< đ?&#x;? >} y đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| de tal manera que đ?’”(đ?’—đ?’Š ) = đ?&#x;? . Por lo que entonces, sin duda decimos que , ⊨đ?•Ź đ?‘ˇđ?’—đ?’Š [đ?’”] , ⊨đ?•Ź đ?‘ˇđ?’—đ?&#x;? [đ?’”(đ?’—đ?&#x;? |đ?&#x;?)] y que ⊭đ?•Ź đ?‘ˇđ?’—đ?&#x;? [đ?’”(đ?’—đ?&#x;? |đ?&#x;Ž)] , con esto por lo tanto decimos que, ⊭đ?•Ź ∀đ?’—đ?&#x;? đ?‘ˇđ?’—đ?&#x;? [đ?’”] . Nota. Al principio, puede parecer que algunos đ?šŞ no es ni consistente ni satisfactible. De hecho, la primera fĂłrmula dice que đ?‘ˇ no se cumple para cada elemento en el dominio y, a continuaciĂłn, se enumeran todas las variables posibles, diciendo que đ?‘ˇ se cumple para todos ellos. El problema con este enfoque es que lo que hay en la primera fĂłrmula dice es que, efectivamente, hay un elemento en el dominio para el cual đ?‘ˇ no se sostiene. Sin embargo, despuĂŠs de esto, đ?šŞ no es una lista de todos los elementos del dominio, sino que contiene una lista infinita de variables independientes que dicen que cualquier elemento se le asigna a cada uno de ellos, por lo que đ?‘ˇ vale para el elemento. En otras palabras, el resto de las đ?šŞ sĂłlo dice que hay un elemento para el cual đ?‘ˇ sostiene. En otras palabras, đ?šŞ es un poco (no muy lĂłgicamente relacionado entre sĂ­) equivalente a đ?šŞâ€˛ = {∃đ?’™ÂŹđ?‘ˇđ?’™, ∃đ?’šđ?‘ˇđ?’š} , en el sentido de que por cada dominio para el cual đ?šŞ puede ser satisfecha con algunas, đ?šŞâ€˛ (que consiste en este caso en frases solamente) esto se cumple, y de manera viceversa tambiĂŠn se cumple.

Por lo que consideremos en introducir símbolos de oraciones definido como ��,� , dónde �(��,� ) = � esto significaría que este país � se colorea con el

color đ?’‹ y con esto se debe formar dos grupos de oraciones, un grupo que Ě…(đ?‘Šđ?’Š) = đ?‘˝ considerando que sĂ­ y solamente si que consiste en los đ?‘Šđ?’Š con đ?’— exista exactamente un valor đ?’—(đ?‘¨đ?’Š,đ?’‹ ) , con đ?’‹ ∈ {đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’} ,por lo que decimos que es verdadero ( tomemos en cuenta que exactamente hay un color que se le aplica a cada paĂ­s), y el otro grupo que consiste en definir para đ?‘Ťđ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ , tal que đ?’Š y đ?’Œ que estos representan los paĂ­ses, considerando luego que đ?’Š y đ?’‹ Ě…(đ?‘Ťđ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ ) = đ?‘˝ si y sĂłlo si no debe haber mĂĄs de un valor son adyacentes, con đ?’— de đ?’—(đ?‘¨đ?’Š,đ?’‹ ) y đ?’—(đ?‘¨đ?’Œ,đ?’‹ ) que sea cierto (considerando que los paĂ­ses adyacentes no pueden ser del mismo color). Por lo que entonces podrĂ­amos usar el teorema de compacidad de la lĂłgica proposicional que este argumenta que mientras cualquier subconjunto finito del conjunto đ?šş de todas las condenas de đ?‘Šđ?’Š y đ?‘Ťđ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ puede ser satisfecho, y esto implica que đ?šş puede ser satisfecha tambiĂŠn. En nuestro caso, formamos un lenguaje de primer orden y un conjunto de oraciones đ?šŞ para describir la coloraciĂłn de los mapas, y aplicar el teorema de compacidad. En lugar de considerar en definir para đ?‘¨đ?’Š,đ?’‹ vamos a utilizar una fĂłrmula atĂłmica đ?œśđ?’Š,đ?’‹ igual a đ?‘ˇđ?’‹ đ?’„đ?’Š de modo que todas esas fĂłrmulas atĂłmicas son distintas. Luego formamos frases definidas relacionadas con đ?œˇđ?’Š ( đ?‘Šđ?’Š ) y đ?œšđ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ ( đ?‘Ťđ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ ) donde se define para las đ?œśđ?’Š,đ?’‹ como se planteĂł anteriormente aquĂ­, y tomando en cuenta que đ?šŞ = {đ?œˇđ?’Š , đ?œšđ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ }

đ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ

. Por lo que

aquĂ­, |đ?•Ź| puede ser considerado como un conjunto de puntos que representan a todos los paĂ­ses (y posiblemente algunos otros puntos), por lo que a continuaciĂłn, đ?’„đ?•Ź đ?’Š es un punto en un |đ?•Ź| paĂ­s que representa đ?’Š , y đ?•Ź mencionando que đ?‘ˇđ?’‹ es un subconjunto de puntos en |đ?•Ź| con el color đ?’‹ . Por lo que la frase đ?œˇđ?’Š asegura que hay exactamente una de las relaciones đ?‘ˇđ?•Ź đ?’‹ tales que vale para đ?’„đ?•Ź đ?’Š (que este es el punto correspondiente al paĂ­s đ?’Š que se colorea exactamente con un color), y decimos que đ?œšđ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ asegura que la đ?•Ź đ?•Ź relaciĂłn đ?‘ˇđ?•Ź đ?’‹ no se sostiene para ambos puntos đ?’„đ?’Š y đ?’„đ?’Œ (al menos que uno de

los puntos correspondientes a los paĂ­ses adyacentes que son los puntos đ?’Š y đ?’Œ que estos puntos mencionados no se colorea con el color đ?’‹ ). Ahora, đ?•Ź es un modelo de đ?šŞ si y sĂłlo si [la coloraciĂłn en el paĂ­s đ?’Š se colorea con el color đ?’‹ đ?•Ź si y sĂłlo si < đ?’„đ?•Ź đ?’Š >∈ đ?‘ˇđ?’‹ ] por lo que es correcto mencionarlo. Y de acuerdo con el corolario del teorema de compacidad, đ?šŞ tiene un modelo si y sĂłlo si cada subconjunto finito de đ?šŞ tiene un modelo. Por lo tanto, si existe una correcta coloraciĂłn de la grĂĄfica infinita, entonces đ?šŞ tiene un modelo, y, por lo tanto, cada uno de sus subconjuntos finitos tiene un modelo, en particular, el subconjunto finito de đ?šŞ correspondiente a corregir la coloraciĂłn

de algĂşn subgrafo finito fijo tiene un modelo, es decir, el subgrafo finito tiene una coloraciĂłn correcta. Y de manera viceversa decimos que, si cada subgrafo finito tiene una coloraciĂłn correcta, entonces, de manera similar asociamos a la lĂłgica sentencial, que menciona que dado un subconjunto finito đ?šŞđ?&#x;Ž de đ?šŞ , por lo que entonces decimos, en primer lugar, que extendemos a un subconjunto finito đ?šŞâ€˛ que incluye todas las sentencias de đ?šŞđ?&#x;Ž y todas las penas correspondientes a una correcta coloraciĂłn de algĂşn subgrafo finito, y luego argumentar que un modelo de đ?šŞâ€˛ (y entonces, se darĂĄ đ?šŞđ?&#x;Ž ) entonces existe, por lo tanto, por la compacidad, un modelo de đ?šŞ que existe, y el grafo que es infinito que tiene una coloraciĂłn correcta. Ahora, a diferencia de lo que se sugiere, una pregunta mĂĄs interesante es si podemos gestionar para obtener un resultado similar con un lenguaje finito utilizando toda la potencia de los lenguajes de primer orden. AquĂ­, podemos utilizar el nĂşmero infinito de variables en vez de constantes para asignar los colores. Por lo tanto, debemos asumir que |đ?•Ź| es el conjunto de cuatro colores (tomando en cuenta que ∀đ?’—đ?&#x;? ‌ ∀đ?’—đ?&#x;“ đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? ∨ đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;‘ ∨ ‌ ∨ đ?’—đ?&#x;’ = đ?’—đ?&#x;“ ). Por lo que a continuaciĂłn, la asignaciĂłn đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| representa una coloraciĂłn de los paĂ­ses donde nos aseguramos que cada paĂ­s se colorea con un color simplemente por definiciĂłn, ya que đ?’” es una funciĂłn (asĂ­, no necesitamos un anĂĄlogo de los đ?‘Šđ?’Š en absoluto). AdemĂĄs, para cada par de paĂ­ses adyacentes definidos como đ?’Š y đ?’Œ se considera que simplemente se le debe sumar una sola fĂłrmula bien formada donde se estĂŠ afirmando que ÂŹđ?’—đ?’Š = đ?’—đ?’Œ . Esta fĂłrmula bien formada asegura que los dos paĂ­ses adyacentes se asignan de diferentes colores. Y eso es todo. Por lo que Una estructura de đ?•Ź satisface đ?šŞ con đ?’” si y sĂłlo si |đ?•Ź| no contiene mĂĄs de 4 puntos (es decir colores) y cada variable đ?’—đ?’Š (es decir paĂ­s đ?’Š ) se le asigna un punto en |đ?•Ź| (a color) por cada đ?’” de tal manera que no hay dos paĂ­ses adyacentes que comparten el mismo color. Y entonces podemos aplicar el teorema de compacidad de la misma manera para afirmar que đ?šŞ es satisfactible si y sĂłlo si cada subconjunto finito de đ?šŞ es satisfactible.

Esta frase no es vĂĄlida. Consideremos que đ?•Ź = ({đ?&#x;Ž, đ?&#x;?}; đ?‘¸) dĂłnde đ?‘¸đ?•Ź = {< đ?&#x;? > } . Por lo que entonces, para cualquier đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| , decimos que ⊭đ?•Ź đ?‘¸đ?’™[đ?’”(đ?’™|đ?&#x;Ž)]

y ⊨đ?•Ź đ?‘¸đ?’™[đ?’”(đ?’™|đ?&#x;?)] , por Consiguiente, ⊭đ?•Ź ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š[đ?’”] , ⊭đ?•Ź đ?‘¸đ?’™ → ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š[đ?’”(đ?’™|đ?&#x;?)] , y ⊭đ?•Ź ∀đ?’™(đ?‘¸đ?’™ → ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š)[đ?’”] .

Esta frase es vĂĄlida. Por lo que tenemos que demostrar que ⊢ (∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™ → ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š) → ∀đ?’›(đ?‘ˇđ?’› → đ?‘¸đ?’›) . Entonces por los teoremas de deducciĂłn y de generalizaciĂłn, es suficiente para demostrar que ∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™ → ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š; đ?‘ˇđ?’› ⊢ đ?‘¸đ?’› . Por el axioma de grupo 2, por Modus Ponens y contraposiciĂłn, es suficiente para demostrar que đ?‘ˇđ?’›; ÂŹâˆ€đ?’šđ?‘¸đ?’š ⊢ ÂŹ(∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™ → ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š) . Por Modus Ponens y reglas de contraposiciĂłn, y utilizando el axioma del grupo 2 queda ⊢ ∀đ?’™ÂŹđ?‘ˇđ?’™ → ÂŹđ?‘ˇđ?’› , por lo que entonces tenemos đ?‘ˇđ?’› ⊢ ∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™ . Y, con el axioma del grupo 1, queda ⊢ ∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™ → ÂŹâˆ€đ?’šđ?‘¸đ?’š → ÂŹ(∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™ → ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š) y por Modus Ponens , tenemos finalmente que đ?‘ˇđ?’›; ÂŹâˆ€đ?’šđ?‘¸đ?’š ⊢ ÂŹ(∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™ → ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š) .

Esta frase no es vĂĄlida. El ejemplo de que una estructura en la que es falsa es el mismo que en el inciso a), donde se considera que đ?‘ˇđ?•Ź = đ?‘¸đ?•Ź . para cualquier đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| , con esto decimos que ⊨đ?•Ź đ?‘ˇđ?’› → đ?‘¸đ?’›[đ?’”] , ⊨đ?•Ź ÂŹđ?‘ˇđ?’™[đ?’”(đ?’™|đ?&#x;Ž)] , ⊭đ?•Ź ÂŹđ?‘ˇđ?’™[đ?’”(đ?’™|đ?&#x;?)] , ⊭đ?•Ź đ?‘¸đ?’™[đ?’”(đ?’™|đ?&#x;Ž)] y ⊨đ?•Ź đ?‘¸đ?’™[đ?’”(đ?’™|đ?&#x;?)] , por Consiguiente, ⊨đ?•Ź ∀đ?’›(đ?‘ˇđ?’› → đ?‘¸đ?’›)[đ?’”] , ⊭đ?•Ź ∀đ?’™ÂŹđ?‘ˇđ?’™[đ?’”] , ⊨đ?•Ź ∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™[đ?’”] , ⊭đ?•Ź ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š[đ?’”] , ⊭đ?•Ź ∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™ → ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š[đ?’”] , y ⊭đ?•Ź ∀đ?’›(đ?‘ˇđ?’› → đ?‘¸đ?’›) → (∃đ?’™đ?‘ˇđ?’™ → ∀đ?’šđ?‘¸đ?’š)[đ?’”] .

Esta frase es vĂĄlida. Tenemos que demostrar que ⊢ ÂŹâˆƒđ?’šâˆ€đ?’™(đ?‘ˇđ?’™đ?’š ↔ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™) , o, equivalentemente, ⊢ ∀đ?’šÂŹâˆ€đ?’™ÂŹ((đ?‘ˇđ?’™đ?’š → ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™) → ÂŹ(ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ → đ?‘ˇđ?’™đ?’š)) (en este caso se utiliza la siguiente definiciĂłn de ↔ que menciona que sĂ­ : đ?œś ↔ đ?œˇ es un medio que implica que ÂŹ((đ?œś → đ?œˇ) → ÂŹ(đ?œˇ → đ?œś)) ). Entonces por el teorema de generalizaciĂłn, es suficiente para mostrar que ⊢ ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹ((đ?‘ˇđ?’™đ?’š → ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™) → ÂŹ(ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ → đ?‘ˇđ?’™đ?’š)) que denotamos como ⊢ ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹđ?œ¸ . Para esto, es suficiente para mostrar que ⊢ đ?œ¸đ?’™đ?’• dĂłnde đ?’• es sustituible en un tĂŠrmino para đ?’™ en đ?œ¸ . De hecho, por el axioma de grupo 2 mencionamos que, ⊢ ∀đ?’™ÂŹđ?œ¸ → ÂŹđ?œ¸đ?’™đ?’• , y, usando Modus Ponens y la contraposiciĂłn, tenemos đ?œ¸đ?’™đ?’• ⊢ ÂŹâˆ€đ?’™ÂŹđ?œ¸ . Por lo que ahora, đ?’š es sustituirlo đ?’™ en đ?œ¸ , y decimos que esta implicaciĂłn simplemente para đ?œ¸đ?’™đ?’š por lo que concluimos que (đ?‘ˇđ?’šđ?’š → ÂŹđ?‘ˇđ?’šđ?’š) → ÂŹ(ÂŹđ?‘ˇđ?’šđ?’š → đ?‘ˇđ?’šđ?’š) , es una tautologĂ­a.

Conclusiones: 

 

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AquĂ­ dimos el objetivo inicial en estudiar las profundas relaciones entre los enfoques semĂĄnticos y sintĂĄcticos de la lĂłgica de primer orden, desde la perspectiva semĂĄntica. La meta principal de esta actividad es dar una prueba de estilo semĂĄntico del Teorema de Completud-Correctud. El logro a desarrollar en esta actividad es en desarrollar primero todos los prerrequisitos semĂĄnticos como son los teoremas de sustituciĂłn y las formas normales de satisfacciĂłn y validez Lo que se aplica y se ve en esta actividad es el concepto de sistema axiomĂĄtico, reglas de inferencia clasificadas semĂĄnticamente y la definiciĂłn de la deducciĂłn formal, incluyendo en esta Ăşltima posibilidad de establecer restricciones a la aplicaciĂłn de las reglas de inferencia y todo esto, como parte de la definiciĂłn del sistema axiomĂĄtico.

Fuentes de consulta bibliogrĂĄfica Enderton Herbert (2001) A mathematical introduction to Logic (Second Edition). U.S.A., Los Angeles, University of California. Ed. Harcourt/Academic Press. Enderton Herbert (2004) Una IntroducciĂłn MatemĂĄtica a la LĂłgica (2a. EdiciĂłn). TraducciĂłn: Amor MontaĂąo JosĂŠ Alfredo. MĂŠxico, D.F. Universidad Nacional AutĂłnoma de MĂŠxico U.N.A.M-Instituto de Investigaciones FilosĂłficas; ColecciĂłn: FilosofĂ­a ContemporĂĄnea. Ed. Elsevier Inc.

Antes de considerar la negaciĂłn de la fĂłrmula, podrĂ­amos tratar de entender su significado. Esto nos dice que hay un punto đ?’™ de tal manera que ya sea una relaciĂłn de đ?‘ˇ que no es "transitivo en đ?’™ "(lo que significa que hay đ?’š, đ?’› de tal manera que đ?‘ˇđ?’™đ?’š ∧ đ?‘ˇđ?’šđ?’› pero no đ?‘ˇđ?’™đ?’› ) o entonces decir que ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ o đ?‘ˇđ?’™đ?’™ . Esto es vĂĄlido en cualquier modelo finito, porque si đ?‘ˇ no es transitiva, entonces hay un punto đ?’™ de tal manera que đ?‘ˇ no es transitiva en đ?’™ , y si đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™

no se sostiene para algunas đ?’™ ,despuĂŠs ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ es para algunas đ?’™ , por lo que de otra manera decimos que đ?‘ˇ es transitivo en todos los puntos (o, simplemente es transitivo), y para todos los puntos đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ , por lo que, podemos construir una secuencia que se define como đ?’™đ?&#x;Ž , đ?’™đ?’? = đ?’‡đ?’™đ?’?−đ?&#x;? , para đ?’? ≼ đ?&#x;? , de tal manera que đ?‘ˇđ?’™đ?’?−đ?&#x;? đ?’™đ?’? vale para todas las đ?’? ≼ đ?&#x;? , en particular, decimos que por transitividad decimos que, đ?‘ˇđ?’™đ?’?−đ?&#x;? đ?’™đ?’?−đ?&#x;?+đ?’Ž para todas las đ?’?, đ?’Ž ≼ đ?&#x;? y, puesto que el universo es finito, decimos entonces que se debe considerar un bucle en esta estructura definida. Formalmente, decimos que el uso de la negaciĂłn de la fĂłrmula, se demuestra que es verdadera en (algunos) considerar solamente para los modelos infinitos: ÂŹâˆƒđ?’™âˆƒđ?’šâˆƒđ?’›[(đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ → đ?‘ˇđ?’™đ?’™) ∨ (đ?‘ˇđ?’™đ?’š ∧ đ?‘ˇđ?’šđ?’› ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’›)] ÂŹâˆƒđ?’™âˆƒđ?’šâˆƒđ?’›[ÂŹ(đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ → đ?‘ˇđ?’™đ?’™) → (đ?‘ˇđ?’™đ?’š ∧ đ?‘ˇđ?’šđ?’› ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’›)] ÂŹâˆƒđ?’™[ÂŹ(đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ → đ?‘ˇđ?’™đ?’™) → ∃đ?’šâˆƒđ?’›(đ?‘ˇđ?’™đ?’š ∧ đ?‘ˇđ?’šđ?’› ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’›)] ∀đ?’™ÂŹ[ÂŹ(đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ → đ?‘ˇđ?’™đ?’™) → ∃đ?’šâˆƒđ?’›(đ?‘ˇđ?’™đ?’š ∧ đ?‘ˇđ?’šđ?’› ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’›)] ∀đ?’™[ÂŹ(đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ → đ?‘ˇđ?’™đ?’™) ∧ ÂŹâˆƒđ?’šâˆƒđ?’›(đ?‘ˇđ?’™đ?’š ∧ đ?‘ˇđ?’šđ?’› ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’›)] ∀đ?’™[đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ ∧ ∀đ?’šâˆ€đ?’›(ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’š ∨ ÂŹđ?‘ˇđ?’šđ?’› ∨ đ?‘ˇđ?’™đ?’›)] ∀đ?’™[đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ ∧ ∀đ?’šâˆ€đ?’›(đ?‘ˇđ?’™đ?’š → đ?‘ˇđ?’šđ?’› → đ?‘ˇđ?’™đ?’›)] Si đ?•Ź es un modelo de esta frase, entonces podemos utilizar el siguiente argumento. Por lo que en primer lugar decimos que: ∀đ?’™[đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ ∧ ∀đ?’šâˆ€đ?’›(đ?‘ˇđ?’™đ?’š → đ?‘ˇđ?’šđ?’› → đ?‘ˇđ?’™đ?’›)] ⊢ đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ ∧ ∀đ?’šâˆ€đ?’›(đ?‘ˇđ?’™đ?’š → đ?‘ˇđ?’šđ?’› → đ?‘ˇđ?’™đ?’›) (đ?‘¨đ?&#x;?, đ?‘´đ?‘ˇ), DĂłnde decimos que: đ?‘¨đ?&#x;?: đ?‘¨đ?’™đ?’Šđ?’?đ?’Žđ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’ˆđ?’“đ?’–đ?’‘đ?’? đ?&#x;? đ?‘´đ?‘ˇ: đ?‘´đ?’?đ?’…đ?’–đ?’” đ?‘ˇđ?’?đ?’?đ?’†đ?’?đ?’”. đ?‘¨đ?&#x;?: đ?‘¨đ?’™đ?’Šđ?’?đ?’Žđ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’ˆđ?’“đ?’–đ?’‘đ?’? đ?&#x;? đ?‘¨đ?&#x;”: đ?‘¨đ?’™đ?’Šđ?’?đ?’Žđ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’ˆđ?’“đ?’–đ?’‘đ?’? đ?&#x;” đ?‘Ž: đ?‘ťđ?’†đ?’?đ?’“đ?’†đ?’Žđ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’ˆđ?’†đ?’?đ?’†đ?’“đ?’‚đ?’?đ?’Šđ?’›đ?’‚đ?’„đ?’ŠĂłđ?’? đ?‘Ş: đ?‘ťđ?’†đ?’?đ?’“đ?’†đ?’Žđ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’„đ?’?đ?’?đ?’•đ?’“đ?’‚đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’Šđ?’„đ?’ŠĂłđ?’? đ?‘Ť: đ?‘ťđ?’†đ?’“đ?’?đ?’“đ?’†đ?’Žđ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’…đ?’–đ?’„đ?’„đ?’ŠĂłđ?’?

Y, por lo tanto, decimos que: ∀đ?’™[đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ ∧ ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ ∧ ∀đ?’šâˆ€đ?’›(đ?‘ˇđ?’™đ?’š → đ?‘ˇđ?’šđ?’› → đ?‘ˇđ?’™đ?’›)] ⊢ {đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™; ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™; đ?‘ˇđ?’™đ?’š → đ?‘ˇđ?’šđ?’› → đ?‘ˇđ?’™đ?’›}(đ?‘¨đ?&#x;?, đ?‘¨đ?&#x;?, đ?‘´đ?‘ˇ), y luego esto implica que la teorĂ­a đ?‘ťđ?’‰đ?•Ź ⊢ {đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™; ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™; ∀đ?’šâˆ€đ?’›(đ?‘ˇđ?’™đ?’š → đ?‘ˇđ?’šđ?’› → đ?‘ˇđ?’™đ?’›)} . Entonces, decimos que: ⊢ đ?’™ = đ?’š → đ?‘ˇđ?’™đ?’š → đ?‘ˇđ?’™đ?’™ (đ?‘¨đ?&#x;”), ⊢ ∀đ?’š(đ?’™ = đ?’š → đ?‘ˇđ?’™đ?’š → đ?‘ˇđ?’™đ?’™) (đ?‘Ž), ⊢ đ?’™ = đ?’‡đ?’™ → đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ → đ?‘ˇđ?’™đ?’™ (đ?‘¨đ?&#x;?, đ?‘´đ?‘ˇ), đ?’™ = đ?’‡đ?’™; đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ ⊢ đ?‘ˇđ?’™đ?’™ (đ?‘´đ?‘ˇ), đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™; ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ ⊢ ÂŹđ?’™ = đ?’‡đ?’™ (đ?‘Ş), ⊢ đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ → ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ → ÂŹđ?’™ = đ?’‡đ?’™ (đ?‘Ť), Por lo tanto, ⊨đ?•Ź ÂŹđ?’™ = đ?’‡đ?’™ . Por lo que decimos que al mismo tiempo, se le aplica el đ?‘Ž, đ?‘¨đ?&#x;? y đ?‘´đ?‘ˇ, por lo que entonces decimos que ⊢ đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™ → {đ?‘ˇđ?’‡đ?’™đ?’‡đ?’‡đ?’™; đ?‘ˇđ?’‡đ?’‡đ?’™đ?’‡đ?’‡đ?’‡đ?’™; ‌ } . De modo que, por el axioma y los teoremas siguientes đ?‘¨đ?&#x;”, đ?‘Ž, đ?‘¨đ?&#x;? y đ?‘´đ?‘ˇ, implica que đ?‘ˇđ?’™đ?’‡đ?’™; đ?‘ˇđ?’™đ?’š → đ?‘ˇđ?’šđ?’› → đ?‘ˇđ?’™đ?’› ⊢ đ?‘ˇ â?&#x; đ?’‡â€Śđ?’‡đ?’™â?&#x; đ?’‡ ‌ đ?’‡ đ?’™ para todos los valores de đ?’Ž

đ?’?

đ?&#x;Ž ≤ đ?’Ž < đ?’?. Entonces, argumentando lo anterior ahora decimos que, por los axiomas y teoremas siguientes: đ?‘¨đ?&#x;”, đ?‘Ž, đ?‘¨đ?&#x;?, đ?‘´đ?‘ˇ, đ?‘Ş y đ?‘Ť, implica que: ⊢ đ?‘ˇâ?&#x; đ?’‡â€Śđ?’‡đ?’™â?&#x; đ?’‡ ‌ đ?’‡ đ?’™ → ÂŹđ?‘ˇđ?’™đ?’™ → ÂŹ â?&#x; đ?’‡â€Śđ?’‡đ?’™ = â?&#x; đ?’‡ ‌ đ?’‡ đ?’™ para todos los valores de đ?’Ž

đ?’?

đ?’Ž

đ?’?

đ?&#x;Žâ‰¤đ?’Ž<đ?’?. Por lo tanto, para cualquier đ?’” implica que: ⊨đ?•Ź ÂŹ â?&#x; đ?’‡â€Śđ?’‡đ?’™ = â?&#x; đ?’‡ ‌ đ?’‡ đ?’™[đ?’”] con đ?&#x;Ž ≤ đ?’Ž < đ?’? . đ?’Ž

đ?’?

Lo que implica, que la estructura subyacente debe ser infinita.

Como se ha sugerido, se muestra que cualquier modelo de la negaciĂłn de cada frase debe ser infinita. Antes de considerar la negaciĂłn de la fĂłrmula, tratamos de entender su significado. En el caso finito podemos pensar en ella como una relaciĂłn del borde en una grĂĄfica, por lo que entonces decimos que đ?‘¸đ?’™đ?’š si y sĂłlo si existe una arista de đ?’™ a đ?’š . Por lo que llamemos a đ?‘°(đ?’™) = {đ?’š|đ?‘¸đ?’šđ?’™} como el conjunto de vĂŠrtices conectados con đ?’™ por los bordes entrantes. Por lo tanto, la declaraciĂłn de la verdad se deduce del hecho de que hay un vĂŠrtice đ?’™ con el nĂşmero mĂĄximo de bordes entrantes (lo cual es cierto en el caso finito): para cualquier otro vĂŠrtice đ?’š o bien hay un vĂŠrtice đ?’› de tal manera que existe un borde de đ?’› a đ?’™ pero ningĂşn borde de đ?’› a đ?’š (correspondiente a đ?’› ∈ đ?‘°(đ?’™) , đ?’› ∉ đ?‘°(đ?’š) ), o de otro modo, đ?‘°(đ?’™) ⊆ đ?‘°(đ?’š) (por lo que ambos son finitos), pero desde que đ?’™ es un vĂŠrtice con el mĂĄximo nĂşmero de aristas entrantes, decimos que đ?‘°(đ?’™) = đ?‘°(đ?’š) , es decir, en particular, que si đ?’™ ∈ đ?‘°(đ?’š) ( entonces decimos que es đ?‘¸đ?’™đ?’š ) por lo que implica despuĂŠs que đ?’™ ∈ đ?‘°(đ?’™) ( aquĂ­ decimos que es đ?‘¸đ?’™đ?’™ ). Formalmente, el uso de la negaciĂłn de la fĂłrmula, se demuestra que es verdad en (algunos casos) sĂłlo en los modelos infinitos: ÂŹâˆƒđ?’™âˆ€đ?’šâˆƒđ?’›[(đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š) → (đ?‘¸đ?’™đ?’š → đ?‘¸đ?’™đ?’™)] ÂŹâˆƒđ?’™âˆ€đ?’š[∀đ?’›(đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š) → (đ?‘¸đ?’™đ?’š → đ?‘¸đ?’™đ?’™)] ∀đ?’™âˆƒđ?’šÂŹ[∀đ?’›(đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š) → (đ?‘¸đ?’™đ?’š → đ?‘¸đ?’™đ?’™)] ∀đ?’™âˆƒđ?’š[∀đ?’›(đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š) ∧ ÂŹ(đ?‘¸đ?’™đ?’š → đ?‘¸đ?’™đ?’™)] ∀đ?’™âˆƒđ?’š[∀đ?’›(đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š) ∧ đ?‘¸đ?’™đ?’š ∧ ÂŹđ?‘¸đ?’™đ?’™] Si đ?•Ź es un modelo de esta frase, entonces podemos utilizar el siguiente argumento. Por lo que seleccionemos cualquier đ?’‚đ?&#x;Ž ∈ |đ?•Ź| Y fijar que la relaciĂłn đ?’”: đ?‘˝ → |đ?•Ź| , esto implica que ⊨đ?•Ź ∀đ?’™âˆƒđ?’š[∀đ?’›(đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š) ∧ đ?‘¸đ?’™đ?’š ∧ ÂŹđ?‘¸đ?’™đ?’™] si y sĂłlo si para todas las đ?’… ∈ |đ?•Ź| , por consiguiente decimos que: ⊨đ?•Ź ∃đ?’š[∀đ?’›(đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š) ∧ đ?‘¸đ?’™đ?’š ∧ ÂŹđ?‘¸đ?’™đ?’™][đ?’”(đ?’™|đ?’…)] . En particular, consideremos que ⊨đ?•Ź ∃đ?’š[∀đ?’›(đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š) ∧ đ?‘¸đ?’™đ?’š ∧ ÂŹđ?‘¸đ?’™đ?’™][đ?’”(đ?’™|đ?’‚đ?&#x;Ž )] . Por lo que ahora, esto es cierto si y sĂłlo si para algunos đ?’‚đ?&#x;? ∈ |đ?•Ź| , por lo que implica entonces que ⊨đ?•Ź ∀đ?’›(đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š) ∧ đ?‘¸đ?’™đ?’š ∧ ÂŹđ?‘¸đ?’™đ?’™[đ?’”(đ?’™|đ?’‚đ?&#x;Ž )(đ?’š|đ?’‚đ?&#x;? )] si y sĂłlo si para algunos đ?’‚đ?&#x;? ∈ |đ?•Ź| y para todas las đ?’… ∈ |đ?•Ź| , por lo que decimos entonces que se

cumple para ⊨đ?•Ź đ?‘¸đ?’›đ?’™ → đ?‘¸đ?’›đ?’š[đ?’”(đ?’™|đ?’‚đ?&#x;Ž )(đ?’š|đ?’‚đ?&#x;? )(đ?’›|đ?’…)] y ⊨đ?•Ź đ?‘¸đ?’™đ?’š[đ?’”(đ?’™|đ?’‚đ?&#x;Ž )(đ?’š|đ?’‚đ?&#x;? )] y ⊨đ?•Ź ÂŹđ?‘¸đ?’™đ?’™[đ?’”(đ?’™|đ?’‚đ?&#x;Ž)] . Por lo que entonces, consideremos para đ?‘°(đ?’‚) ⊆ |đ?•Ź| y definiendo el conjunto como đ?‘°(đ?’‚) = {đ?’ƒ| < đ?’ƒ, đ?’‚ >∈ đ?‘¸đ?•Ź } . Entonces sĂ­ tomamos en cuenta que si đ?’ƒ ∈ đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;Ž ) , despuĂŠs afirmamos que ⊨đ?•Ź đ?‘¸đ?’›đ?’™[đ?’”(đ?’™|đ?’‚đ?&#x;Ž )(đ?’›|đ?’ƒ)] , y de acuerdo con la primera de las tres expresiones, se llega a la conclusiĂłn que se cumple para ⊨đ?•Ź đ?‘¸đ?’›đ?’š[đ?’”(đ?’š|đ?’‚đ?&#x;? )(đ?’›|đ?’ƒ)] , es decir para đ?’ƒ ∈ đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;? ) y ademĂĄs se considera para đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;Ž ) ⊆ đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;? ) . Por lo que al mismo tiempo, de acuerdo con la segunda y tercera expresiones, đ?’‚đ?&#x;Ž ∈ đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;? ) mientras que đ?’‚đ?&#x;Ž ∉ đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;Ž ) . Por lo que en general, tenemos que đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;Ž ) ⊊ đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;? ) . Tomemos entonces en cuenta desde que đ?’‚đ?&#x;Ž fue elegido de manera arbitraria, podemos encontrar đ?’‚đ?&#x;? para đ?’‚đ?&#x;? por lo que de la misma manera que encontramos đ?’‚đ?&#x;? para đ?’‚đ?&#x;Ž decimos que de tal manera se considera para đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;? ) ⊊ đ?‘°(đ?’‚đ?&#x;? ) . En particular, para cualquier đ?&#x;Ž ≤ đ?’Ž < đ?’? , tenemos que đ?‘°(đ?’‚đ?’Ž ) ⊊ đ?‘°(đ?’‚đ?’? ) , y đ?’‚đ?’Ž ≠đ?’‚đ?’? . Por lo que esto demuestra que la estructura subyacente debe ser infinita.

Si đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?&#x;? , entonces despuĂŠs decimos que ÂŹđ??ˆ ∉ đ?‘ťđ?&#x;? , por lo tanto ÂŹđ??ˆ ∉ đ?‘ťđ?&#x;? y đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?&#x;? . Nota. Otra forma de ver el problema, es como se sugiere en el comentario hecho en la actividad 2 de la segunda unidad, entonces recordemos el ejercicio 4 de esta actividad 2 pero de la segunda unidad, que dice que para que un conjunto de enunciados đ?šş tal que para cada frase đ??ˆ , implica que đ?šş ⊨ đ??ˆ o đ?šş ⊨ ÂŹđ??ˆ y consideremos que todos los modelos đ?•Ź de đ?šş ,implica que ⊨đ?•Ź đ??ˆ si y sĂłlo si đ?šş ⊨ đ??ˆ . Por lo que decimos que en nuestro caso, nos cuenta que cada modelo đ?•Ź de đ?‘ťđ?&#x;? es un modelo de đ?‘ťđ?&#x;? y, por lo tanto, por el resultado de este ejercicio, si đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?&#x;? decimos despuĂŠs que đ?‘ťđ?&#x;? ⊨ đ??ˆ , por lo que entonces consideremos que ⊨đ?•Ź đ??ˆ para cada modelo đ?•Ź de đ?‘ťđ?&#x;? , por lo que implica entonces que đ?‘ťđ?&#x;? ⊨ đ??ˆ , y đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?&#x;? .

Consideremos en definir que:

đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šşđ?&#x;? : đ?‘Źđ?’” đ?’?đ?’‚ đ?’„đ?’?đ?’‚đ?’”đ?’† đ?’…đ?’† đ?’•đ?’?đ?’…đ?’?đ?’” đ?’?đ?’?đ?’” đ?’Žđ?’?đ?’…đ?’†đ?’?đ?’?đ?’” đ?’…đ?’† đ?šşđ?&#x;? đ?‘ťđ?’‰ đ?“šđ?&#x;? : đ?‘Źđ?’” đ?’?đ?’‚ đ?’•đ?’†đ?’?đ?’“đ?’Šđ?’‚ đ?’…đ?’† đ?“šđ?&#x;? Si đ?•Ź es un modelo de đ?šşđ?&#x;? , por lo que entonces es un modelo de đ?šşđ?&#x;? . Del mismo modo, si đ??ˆ es cierto en todas las estructuras de đ?“šđ?&#x;? , despuĂŠs decimos que đ??ˆ es cierto en todas las estructuras de đ?“šđ?&#x;? .

Consideremos en definir que: đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş âˆś đ?‘Źđ?’” đ?’?đ?’‚ đ?’„đ?’?đ?’‚đ?’”đ?’† đ?’…đ?’† đ?’•đ?’?đ?’…đ?’?đ?’” đ?’?đ?’?đ?’” đ?’†đ?’?đ?’–đ?’?đ?’„đ?’Šđ?’‚đ?’…đ?’?đ?’” đ?šş đ?’’đ?’–đ?’† đ?’”đ?’?đ?’? đ?’—đ?’†đ?’“đ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’“đ?’?đ?’” Entonces decimos que para cada enunciado o frase de đ?šş es cierto en todos los modelos de đ?šş , por lo que esto quiere decir que, si đ??ˆ ∈ đ?šş , despuĂŠs esto implica que đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş . Consideremos que por cada frase que sea cierta en todas las estructuras de đ?“š , con esto decimos que es cierto en todas las estructuras de đ?“š , es decir, para cada đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?’‰ đ?“š , y para cada đ?•Ź ∈ đ?“š , por lo que concluimos que el đ?•Ź es un modelo de đ??ˆ , es decir đ?•Ź ∈ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?‘ťđ?’‰ đ?“š .

Esta parte se sigue de los incisos a) y b) de este ejercicio 3 Por el inciso b) de este ejercicio 3, decimos que đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş ⊆ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş , y đ?šş ⊆ đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş , por lo que entonces decimos, que por el inciso a) de este ejercicio 3, decimos que đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş ⊇ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş . Luego por el inciso b) de este ejercicio 3, decimos que đ?‘ťđ?’‰ đ?“š ⊆ đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?‘ťđ?’‰ đ?“š , y đ?“š ⊆ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?‘ťđ?’‰ đ?“š , por lo que esto trae como conclusiĂłn que (por el inciso a) de este ejercicio), đ?‘ťđ?’‰ đ?“š ⊇ đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?‘ťđ?’‰ đ?“š . Nota. Consideremos que la segunda ecuaciĂłn del inciso c) de este ejercicio se sostiene de manera general como: đ?šş = đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş = đ?‘Şđ?’? đ?šş ⇔ đ?šş đ?’†đ?’” đ?’–đ?’?đ?’‚ đ?’•đ?’†đ?’?đ?’“đ?’Šđ?’‚ Esto es una teorĂ­a, por lo que ciertamente, implica por la necesidad (⇒) de que esto es inmediato. Mostremos que por suficiencia (â‡?) , se debe asumir,

de acuerdo con el inciso b) de este ejercicio, entonces decimos que por una teorĂ­a đ?šş , implica que đ?šş ⊊ đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş . Por lo que entonces decimos que hay đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş − đ?šş , esto implica que đ?šş; ÂŹđ??ˆ es coherente (de lo contrario, decimos que đ?šş ⊨ đ??ˆ y đ??ˆ ∈ đ?šş ), y, por lo tanto, decimos que satisfactible. Pero entonces, mencionamos que no es un modelo de đ?šş; ÂŹđ??ˆ , pero decimos entonces que es un modelo de đ?šş , por lo tanto decimos que asĂ­, de manera que đ??ˆ es falso en el modelo, lo que contradice en la suposiciĂłn de que đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş . En particular, esto significa igualdad, que toda teorĂ­a đ?‘ť es la teorĂ­a de alguna clase de estructuras, a saber, đ?‘´đ?’?đ?’… đ?‘ť. Esto, sin embargo, no significa que toda teorĂ­a es axiomatizable, como la definiciĂłn de axiomatizaciĂłn que requiere que la đ?‘ť = đ?‘ťđ?’‰ đ?‘´đ?’?đ?’… đ?šş es decible para algunas đ?šş .

Comentario: El objetivo de este ejercicio es demostrar que en este lenguaje no se puede expresar como “No hay cadena descendenteâ€?. Por lo que extendemos aquĂ­ el lenguaje para incluir un nĂşmero infinito numerable de nuevos sĂ­mbolos constantes de la manera siguiente đ?’„đ?&#x;Ž , đ?’„đ?&#x;? , đ?’„đ?&#x;? , ‌ . Por lo que para cada đ?’? ≼ đ?&#x;? , tengamos entonces en cuenta que el mensaje se define como đ??ˆđ?’? , entonces decimos que đ?’„đ?&#x;? < đ?’„đ?&#x;Ž ∧ ‌ ∧ đ?’„đ?’? < đ?’„đ?’?−đ?&#x;? . Por lo que para cada đ?’? ≼ đ?&#x;? , existe un modelo đ?•Źđ?’? en el nuevo idioma de las frases de las sentencias que definen la đ?‘ťđ?’‰ đ?•Ź âˆŞ {đ??ˆđ?&#x;? , ‌ , đ??ˆđ?’? } . Entonces đ?•Ź

tomamos el đ?•Ź , y consideremos que đ?’„đ?’Œ đ?’? = đ?’? − đ?’Œ , para cada đ?’Œ = đ?&#x;Ž, ‌ , đ?’? . Por lo tanto, para cada subconjunto finito de đ?šş = đ?‘ťđ?’‰ đ?•Ź âˆŞ {đ??ˆđ?&#x;? , đ??ˆđ?&#x;? , ‌ } es satisfactible. Por el teorema de compacidad, hay una estructura de đ?•­â€˛ que satisface a đ?šş , por lo que la restricciĂłn đ?•­ de đ?•­â€˛ al idioma inicial es un modelo de la đ?‘ťđ?’‰ đ?•Ź . En efecto, si đ?•Ź es un modelo de una sentencia đ??ˆ (que no utiliza sĂ­mbolos constantes), entonces đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?’‰ đ?•Ź y đ?šş ⊢ đ??ˆ . Entonces decimos que, hay una deducciĂłn de đ??ˆ de đ?šş que no utiliza sĂ­mbolos constantes (por lo que aquĂ­ se estĂĄ usando la regla semĂĄntica de la InstanciaciĂłn Existencial que se menciona en el ejercicio 1 de la actividad 1 de esta tercera unidad), y, por lo tanto, decimos que đ?•­ prueba a đ??ˆ , y esto implica que đ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?’‰ đ?•­ .

Tomemos en cuenta que la posibilidad de una estructura fija đ?•Ź y definimos que su tipo elemental pasa entonces a ser en este caso la clase de estructuras elementalmente equivalente al đ?•Ź . Por lo que esto demuestra que esta clase es đ?‘Źđ?‘Şđ?œ&#x; , esto quiere decir que se debe demostrar que es el đ?‘´đ?’?đ?’… đ?‘ťđ?’‰ đ?•Ź , por eso decimos que los modelos de đ?•­ de la đ?‘ťđ?’‰ đ?•Ź implica đ?‘Š ≥ đ?•Ź (de manera similar, es decir otra forma de verlo es demostrar que, si consideramos que đ??ˆ ∉ đ?‘ťđ?’‰ đ?•Ź , despuĂŠs esto implica que ÂŹđ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?’‰ đ?•Ź , ÂŹđ??ˆ ∈ đ?‘ťđ?’‰ đ?•­ , đ??ˆ ∉ đ?‘ťđ?’‰ đ?•­ ). Para ver que si hay una cadena descendente infinita en el |đ?•­| , notemos que para < đ?’‚, đ?’ƒ >∈<đ?•­ donde sĂ­ y sĂłlo si < đ?’‚, đ?’ƒ >∈<đ?•­Â´ , y entonces concluimos đ?•­Â´ đ?•­Â´ que ⊨đ?•­â€˛ đ??ˆđ?’Š ⇒⊨đ?•­â€˛ đ?’„đ?’Š+đ?&#x;? < đ?’„đ?’Š ⇒< đ?’„đ?•­Â´ . đ?’Š+đ?&#x;? , đ?’„đ?’Š >∈<

Si no, entonces para cada đ?’? hay una cierta đ?’Ž > đ?’? y un modelo que se define como đ?•Źđ?’Ž de đ?‘ť ; de tamaĂąo đ?’Ž de tal manera que đ??ˆ es falso en đ?•Ź . Pero entonces, si ÂŹđ??ˆ es cierto en todos los đ?•Źđ?’Ž , y, por el teorema que menciona que “Si en un conjunto de oraciones đ?šş que tiene arbitrariamente grande los modelos finitos, entonces con esto se tiene un modelo infinito, por lo que decimos que đ?‘ť; ÂŹđ??ˆ tiene un modelo infinito đ?•Ź , Lo que implica que đ??ˆ es falso en el modelo infinito đ?•Ź de đ?‘ť . Entonces se llega a la conclusiĂłn, de que esto es una contradicciĂłn.

Conclusiones 



Todo lo anterior garantiza que todas las consecuencias lĂłgicas sean derivaciones formales (completud extendida), sin embargo es necesario “controlarâ€? las derivaciones posibles para tener la importante propiedad complementaria: que todas las derivaciones formales sean consecuencias lĂłgicas (correctud extendida). Podemos decir que no solo hemos demostrado lo que puede considerarse una equivalencia entre los dos teoremas fundamentales de la lĂłgica clĂĄsica (correctud-completud extendida y compacidad), sino que tambiĂŠn hemos mostrado lo poderosas que son las ideas semĂĄnticas para demostrar resultados sintĂĄcticos.

Fuentes de consulta bibliogrĂĄfica Enderton Herbert (2001) A mathematical introduction to Logic (Second Edition). U.S.A., Los Angeles, University of California. Ed. Harcourt/Academic Press. Enderton Herbert (2004) Una IntroducciĂłn MatemĂĄtica a la LĂłgica (2a. EdiciĂłn). TraducciĂłn: Amor MontaĂąo JosĂŠ Alfredo. MĂŠxico, D.F. Universidad Nacional AutĂłnoma de MĂŠxico U.N.A.M-Instituto de Investigaciones FilosĂłficas; ColecciĂłn: FilosofĂ­a ContemporĂĄnea. Ed. Elsevier Inc.

Teorema de Herbrand Sea đ??“ una fĂłrmula sin cuantificadores y con variables đ?’—đ?&#x;? , ‌ , đ?’—đ?’? (necesariamente libres). Entonces: ⊨ (∃đ?’—đ?&#x;? ‌ ∃đ?’—đ?’? đ??“) sii hay una sucesiĂłn finita đ??“đ?&#x;? , ‌ , đ??“đ?’Œ de instancias cerradas de sustituciĂłn de đ??“, tal que ⊨ (đ??“đ?&#x;? ∨ ‌ ∨ đ??“đ?’Œ ) . DemostraciĂłn đ?’—

Cada đ??“đ?’Š , đ?’Š = đ?&#x;?, ‌ , đ?’Œ es de la forma đ??“đ?’Š (đ?’•đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?’•đ?’Šđ?’Ž ) , o bien sea (đ??“đ?’Š )đ?’•đ?’Šđ?’‹đ?’‹ , đ?’‹ = đ?&#x;?, ‌ , đ?’? (aquĂ­ se utiliza los elementos de modelo) Se demostrara por medio de dos casos que se definen como: Por necesidad â‡?) SupĂłngase que hay đ??“đ?&#x;? , ‌ , đ??“đ?’Œ instancias cerradas de sustituciĂłn de đ??“ tales que ⊨ (đ??“đ?&#x;? ∨ ‌ ∨ đ??“đ?’Œ ). Sea đ?•Ź una estructura cualquiera de del tipo de tipo de đ??“ y sea đ?’” ∈.â„• đ?‘¨. Entonces, đ?•Ź ⊨ (đ??“đ?&#x;? ∨ ‌ ∨ đ??“đ?’Œ )[đ?’”], de donde hay al menos una đ?’Š ∈ [đ?&#x;?, . . , đ?’Œ] tal que đ?•Ź ⊨ đ??“đ?’Š [đ?’”], es decir, đ?•Ź ⊨ đ??“đ?’Š (đ?’•đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?’•đ?’Šđ?’Ž )[đ?’”]. Entonces, por el teorema de SustituciĂłn đ?•Ź đ?•Ź ⊨ đ??“đ?’Š (đ?’—đ?&#x;? , ‌ , đ?’—đ?’? )[đ?’”(đ?’—đ?&#x;? / đ?’•đ?•Ź đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?’—đ?’? / đ?’•đ?’Šđ?’? )] entonces hay đ?’‚đ?&#x;? , ‌ , đ?’‚đ?’? ∈ đ?‘¨, a saber

đ?’‚đ?’‹ = đ?’•đ?•Ź đ?’Šđ?’‹ para đ?’‹ = đ?&#x;?, ‌ , đ?’?, tales que, đ?•Ź ⊨ đ??“đ?’Š (đ?’—đ?&#x;? , ‌ , đ?’—đ?’? )[đ?’”(đ?’—đ?&#x;? /đ?’‚đ?&#x;? , ‌ , đ?’—đ?’? /đ?’‚đ?’? )], entonces como đ??“đ?’Š (đ?’—đ?&#x;? , ‌ , đ?’—đ?’? ) = đ??“, đ?•Ź ⊨ ∃đ?’—đ?&#x;? ‌ ∃đ?’—đ?’? đ??“[đ?’”]. Ahora como đ?•Ź y đ?’” fueron arbitrarios, tenemos que ⊨ (∃đ?’—đ?&#x;? ‌ ∃đ?’—đ?’? đ??“). Por suficiencia ⇒) Supongamos que para toda sucesiĂłn finita đ??“đ?&#x;? , ‌ , đ??“đ?’Œ de instancias cerradas de sustituciĂłn de đ??“, ⊭ (đ??“đ?&#x;? ∨ ‌ ∨ đ??“đ?’Œ ). Sea ∑ = {(ÂŹđ??“đ?’Š ): đ??“đ?’Š es una instancia cerrada de sustituciĂłn de đ??“}. De nuestra suposiciĂłn se desprende de đ?šş es finitamente satisfactible, pues sea đ?šŞ ⊆ đ?œŽ, por lo que đ?šŞ es finito y đ?šŞ = {ÂŹđ??“đ?&#x;? , ‌ , ÂŹđ??“đ?’Œ }; hemos supuesto que ⊭ (đ??“đ?&#x;? ∨ ‌ ∨ đ??“đ?’Œ ), de donde hay una estructura đ?•Ž y una sucesiĂłn đ?’” ∈.â„• đ?‘Ş, tal que đ?•Ž ⊭ (đ??“đ?&#x;? ∨ ‌ ∨ đ??“đ?’Œ )[đ?’”] y como esa disyunciĂłn es un enunciado, entonces đ?•Ž ⊨ ÂŹ(đ??“đ?&#x;? ∨ ‌ ∨ đ??“đ?’Œ )[đ?’”] y entonces đ?•Ž ⊨ (ÂŹđ??“đ?&#x;? ∧ ‌ ∧ ÂŹđ??“đ?’Œ )[đ?’”], pero este es equivalente a que đ?•Ž ⊨ (ÂŹđ??“đ?’Š ), para đ?’Š = đ?&#x;?, . . , đ?’Œ. De aquĂ­ que đ?•Ž es un modelo de completud para đ?šŞ. (aquĂ­ se utilizĂł los elementos de completud). Entonces por el teorema de compacidad đ?šş tiene un modelo digamos đ?•Ź del tipo đ??‰(đ??“) (aquĂ­ se utilizara los elementos de validez). Ahora por el Lema que menciona “Sea đ?•Ź una estructura, supongamos que hay una constante en el tipo de đ?•Ź, đ??‰(đ?•Ź). Sea đ?‘Š = { đ?’•đ?•Ź : đ?’• es un tĂŠrmino sin variables del tipo đ??‰(đ?•Ź)}. Entonces đ?‘Š es el universo de una subestructura de đ?•Ź, con esto entonces sea đ?•­ ⊆ đ?•Ź tal que su universo đ?‘Š = { đ?’•đ?•Ź : đ?’• es un tĂŠrmino sin variables del tipo đ??‰(đ?•Ź) = đ??‰(đ??“)} Como đ?•Ź ⊨ ÂŹđ??“đ?’Š (đ?’•đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?’•đ?’Šđ?’? )para đ?’•đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?’•đ?’Šđ?’? cualesquiera de tipo incluido en đ??‰(đ?•Ź) y como đ??“ es una fĂłrmula sin cuantificaciones, por el corolario del teorema del homomorfismo que menciona “Si đ?œś no tiene cuantificadores y đ?•Ź ⊆ đ?•­, entonces para cualquier đ?‘ş ∈.â„• đ?‘¨ decimos entonces que đ?•Ź ⊨ đ?œś[đ?‘ş] sii đ?•­ ⊨ đ?œś[đ?‘ş], con esto tenemos que đ?•Ź ⊨ (ÂŹđ??“đ?’Š ) sii đ?•­ ⊨ (ÂŹđ??“đ?’Š ) para toda (ÂŹđ??“đ?’Š ) ∈ đ?œŽ, entonces đ?•­ es un modelo de đ?šş por lo que, đ?•­ ⊨ (ÂŹđ??“đ?’Š ) para toda (ÂŹđ??“đ?’Š ) ∈ đ?œŽ y đ?•­ ⊨ (ÂŹđ??“đ?’Š )(đ?’•đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?’•đ?’Šđ?’? ) para todos đ?’•đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?’•đ?’Šđ?’? tĂŠrminos. đ?•­ Ahora bien: đ?•­ ⊨ (ÂŹđ??“đ?’Š )(đ?’•đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?’•đ?’Šđ?’? ) sii đ?•­ ⊨ (ÂŹđ??“đ?’Š )[ đ?’•đ?•­ đ?’Šđ?&#x;? , ‌ , đ?’•đ?’Šđ?’‹ ] para todo đ?’•đ?’Šđ?’‹

entonces por el teorema de sustituciĂłn decimos que đ?•Ź Sii đ?•­ ⊨ (ÂŹđ??“đ?’Š )[đ?’ƒđ?&#x;? , ‌ , đ?’ƒđ?’? ] para todo đ?’ƒđ?&#x;? , ‌ , đ?’ƒđ?’? ∈ đ?‘Š , pues đ?’ƒđ?’‹ = đ?’•đ?•­ đ?’Šđ?’‹ = đ?’•đ?’Šđ?’‹ ,

Sii đ?•­ ⊨ (∀đ?’—đ?&#x;? , ‌ , ∀đ?’—đ?’? ÂŹđ??“), Sii đ?•­ ⊨ ÂŹ(∃đ?’—đ?&#x;? ‌ ∃đ?’—đ?’? đ??“), Sii đ?•­ ⊭ (∃đ?’—đ?&#x;? ‌ ∃đ?’—đ?’? đ??“).

Por lo que ⊭ (∃đ?’—đ?&#x;? ‌ ∃đ?’—đ?’? đ??“), con lo que termina esta demostraciĂłn y decimos que este enunciado cumple con todos los elementos necesarios de validez, completud o modelo para decir que este enunciado si es un teorema de argumentaciĂłn lĂłgica.

Teorema de Incompletud de GĂśdel (1931) Si đ?‘¨ ⊆ đ?‘ťđ?’‰ đ?•˝ y #đ?‘¨ es recursivo, entonces đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ no es una teorĂ­a completa. Por lo tanto, no hay una axiomatizaciĂłn completa y recursiva de đ?‘ťđ?’‰ đ?•˝ DemostraciĂłn. Definamos a: đ?‘ťđ?’‰ đ?•˝ como la teorĂ­a de đ?•˝ đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ como el conjunto de las consecuencias de đ?‘¨ #đ?‘¨ como una codificaciĂłn de asignaciĂłn de verdad para đ?‘¨ Dado que đ?‘¨ ⊆ đ?‘ťđ?’‰ đ?•˝ , tenemos que đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ ⊆ đ?‘ťđ?’‰ đ?•˝. Si đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ es una teorĂ­a completa, entonces se cumple la igualdad. Por otro lado, si đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ es una teorĂ­a completa, entonces #đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ es recursivo (Si #đ?‘¨ es recursivo y đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ es una teorĂ­a completa, entonces #đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ es recursivo). Pero, por el corolario que dice que “Si la đ?‘ťđ?’‰ đ?•˝ no es recursivo, por lo tanto decimos que #đ?‘ťđ?’‰ đ?•˝ no es recursivo. Establece el ĂĄmbito donde el teorema es vĂĄlido 

Cuando đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ es el conjunto de las consecuencias đ?‘¨ es una teorĂ­a completa para la igualdad.



Cuando #đ?‘¨ se considera como una codificaciĂłn de asignaciĂłn de verdad para đ?‘¨ y tomando en cuenta cuando sea đ?‘Şđ?’? đ?‘¨ como el conjunto de las consecuencias đ?‘¨ que esto define una teorĂ­a completa, por lo que esto implicarĂĄ la validez para la recursividad de los conjuntos definidos.

Determina si es un teorema según lo revisado Consideremos en establecer si es o no un teorema mediante los siguientes elementos que define esto:   

Elementos de Validez: Lo cumple a razón de que es una teoría completa para la asignación de verdad de las consecuencias en �. Elementos de Completud: En efecto, lo cumple a razón de que es una teoría de consecuencias que completa las igualdades. Elementos de Modelo: Si lo proporciona en la demostración, por lo que entonces decimos que es un Modelo de Indecibilidad.

Con esto concluimos que si es un teorema para los elementos que la definen en su validez, completud o modelo.

Conclusiones en relación a la relación a lo revisado en esta unidad 3 para la formulación de Teoremas 

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



Debemos observar que si una formulaciĂłn de un teorema no es verdadero es una estructura đ?•Ź, no necesariamente falsa en đ?•Ź, pues puede ser el caso de que unas sucesiones la satisfagan, mientras otras no, en đ?•Ź. Es importante que una formulaciĂłn de un teorema se pueda sustituir un tĂŠrmino por otro, tanto por comodidad, como por conveniencia, sin embargo, tales sustituciones no se pueden hacer arbitrariamente, pues pueden cambiar el sentido de la expresiĂłn, por ello reglamentamos las sustituciones Si tomamos en cuenta que una formulaciĂłn de un teorema son verdaderas en cualquier interpretaciĂłn es considerada como lĂłgicamente vĂĄlidas. Si consideramos que una formulaciĂłn de un teorema son verdaderas en una interpretaciĂłn de su lenguaje, decimos que la interpretaciĂłn es un modelo de la fĂłrmula.

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

En particular, si tenemos en consideraciĂłn que una formulaciĂłn de un teorema que es lĂłgicamente vĂĄlida, serĂĄ consecuencia lĂłgica de cualquier conjunto de fĂłrmulas. Tomemos en cuenta que si đ?šş es un conjunto de fĂłrmulas que no es satisfactible, entonces trivialmente cualquier formulaciĂłn del teorema es consecuencia lĂłgica de đ?šş.

Conclusiones finales. 

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En una formulaciĂłn de validez de un teorema se basa a travĂŠs de los modelos estĂĄndar y no-estĂĄndar, que estos se distinguen por medio que sucedan “cosas extraĂąasâ€? o inesperadas. La aparente anomalĂ­a, de los modelos no estĂĄndar en una formulaciĂłn de un teorema, desaparece si consideramos que, los modelos que obtenemos por medio de compacidad, son modelos que satisfacen a los enunciados matemĂĄticos, mĂĄs “otrosâ€? enunciados no contradictorios con los matemĂĄticos que pueden hacer que el modelo no sea el estĂĄndar. El objetivo de aplicaciĂłn que vimos en esta unidad 3, es el de utilizar el teorema de compacidad, para obtener un modelo noestĂĄndar. El objetivo central que vimos en esta unidad 3 es el estudio del teorema de compacidad, sus consecuencias y aplicaciones asĂ­ como su relaciĂłn con el Teorema de Completud: completud implica compacidad.

Bibliografía consultada 

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Amor MontaĂąo JosĂŠ Alfredo (2013) Compacidad en la lĂłgica de primer orden y su relaciĂłn con el teorema de Completud Tercera EdiciĂłn, Ed. Las Prensas de Ciencias, Facultad de Ciencias UNAM, MĂŠxico D.F. Enderton Herbert (2004) Una IntroducciĂłn MatemĂĄtica a la LĂłgica (2a. EdiciĂłn). TraducciĂłn: Amor MontaĂąo JosĂŠ Alfredo. MĂŠxico, D.F. Universidad Nacional AutĂłnoma de MĂŠxico U.N.A.M-Instituto de Investigaciones FilosĂłficas; ColecciĂłn: FilosofĂ­a ContemporĂĄnea. Ed. Elsevier Inc.

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MartĂ­nez GonzĂĄlez Mariana (2004) El Teorema de Incompletud de GĂśdel-Rosser para la teorĂ­a de conjuntos Tesis para obtener el tĂ­tulo de MatemĂĄtico, Facultad de Ciencias UNAM, MĂŠxico, D.F

La ciencia de mi interĂŠs personal es la matemĂĄtica y con lo mencionado presento el siguiente teorema Teorema del Homomorfismo TH Sea đ?’‰ un homomorfismo de đ?•Ź en đ?•­ y đ?‘ş ∈.â„• đ?‘¨ , đ?’‰ â—‹ đ?‘ş ∈.â„• đ?‘Š denota la composiciĂłn de funciones. Entonces para cada tĂŠrmino đ?’• y toda fĂłrmula đ?œś i) ii) iii) iv) v)

đ?’‰(đ?’•đ?•Ź [đ?‘ş]) = đ?’•đ?•­ [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] Si đ?œś no tiene cuantificadores ni sĂ­mbolo ≈, entonces đ?•Ź ⊨ đ?œś[đ?‘ş] sii đ?•­ ⊨ đ?œś[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] Si đ?’‰ es un monomorfismo y đ?œś no tiene cuantificadores, entonces đ?•Ź ⊨ đ?œś[đ?‘ş] sii đ?•­ ⊨ đ?œś[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] Si đ?’‰ es un epimorfismo y đ?œś no tiene sĂ­mbolo ≈, entonces đ?•Ź ⊨ đ?œś[đ?‘ş] sii đ?•­ ⊨ đ?œś[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] Si đ?’‰ es un isomorfismo, entonces đ?•Ź ⊨ đ?œś[đ?‘ş] sii đ?•­ ⊨ đ?œś[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş]

DemostraciĂłn Veamos antes la necesidad de la hipĂłtesis 1) Supongamos que đ?œś si tiene cuantificadores, sea đ?•Ź =< đ?&#x;?â„•, đ?‘ˇđ?•Ź > , donde đ?&#x;?â„• = {đ?’? ∈ â„•: đ?’? đ?’†đ?’” đ?’Šđ?’Žđ?’‘đ?’‚đ?’“}, con đ?‘ˇđ?•Ź = ∅ y đ?•­ ==< â„•, đ?‘ˇđ?•­ > , con đ?‘ˇđ?•­ = {đ?’? ∈ â„•: đ?’? đ?’†đ?’” đ?’‘đ?’‚đ?’“}. Entonces veamos que đ?•Ź ⊆ đ?•­ y por la proposiciĂłn que menciona que si el đ?•Ź es una subestructura de

đ?•­ =< đ?‘Š, đ?‘ą >, es decir đ?•Ź ⊆ đ?•­ sii la funciĂłn identidad đ?’Š: đ?‘¨ → đ?‘Š es un monomorfismo, entonces decimos que sea đ?œś = (∃đ?’™đ?‘ˇ(đ?’™)), tendrĂ­amos que đ?•Ź ⊭ (∃đ?’™đ?‘ˇ(đ?’™))[đ?‘ş], pero đ?•­ ⊨ (∃đ?’™đ?‘ˇ(đ?’™))[đ?’Š â—‹ đ?‘ş]. 2) Supongamos que ahora đ?œś si tiene sĂ­mbolo ≈, entonces sea đ?•Ź =< ℤ, +,∙ Ě…, đ?&#x;? Ě…}. Ahora bien sea đ?œś = > y sea đ?•­ =< ℤđ?&#x;? ,⊕,⊙>, donde ℤđ?&#x;? = {đ?&#x;Ž ÂŹ(đ?’—đ?&#x;? ≈ đ?’—đ?&#x;? ) y definamos la siguiente funciĂłn, đ?’‰: ℤđ?&#x;? → ℤđ?&#x;? , tal que : đ?’‰(đ?’›) = {

Ě… đ?’”đ?’Š đ?’› đ?’†đ?’” đ?’‘đ?’‚đ?’“; đ?&#x;Ž Ě… đ?’”đ?’Š đ?’› đ?’†đ?’” đ?’Šđ?’Žđ?’‘đ?’‚đ?’“. đ?&#x;?

Con esto garantizamos que đ?’‰ es un epimorfismo, luego tendrĂ­amos đ?•Ź ⊨ ÂŹ(đ?’—đ?&#x;? ≈ đ?’—đ?&#x;? )[đ?&#x;?, đ?&#x;’], mientras que đ?•­ ⊭ ÂŹ(đ?’—đ?&#x;? ≈ đ?’—đ?&#x;? )[đ?’‰ â—‹ [đ?&#x;?, đ?&#x;’]] o bien đ?•­ ⊭ Ě…, đ?&#x;Ž Ě…]. ÂŹ(đ?’—đ?&#x;? ≈ đ?’—đ?&#x;? )[đ?&#x;Ž Ahora demostremos la suficiencia de la hipĂłtesis; haremos una prueba por inducciĂłn sobre la formaciĂłn de tĂŠrminos y fĂłrmulas; i)

Para el caso de los tĂŠrminos tenemos: Si đ?’• = đ?’—đ?’Š , đ?’‰(đ?’•đ?•Ź [đ?‘ş]) = đ?’‰(đ?’—đ?•Ź đ?’Š )= đ?•­ đ?’‰(đ?‘ş(đ?’Š)) = (đ?’‰ â—‹ đ?‘ş)(đ?’Š) = đ?’—đ?’Š [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş].

Si đ?’• = đ?’„ đ?’‰(đ?’•đ?•Ź [đ?‘ş]) = đ?’‰(đ?’„đ?•Ź [đ?‘ş]) = đ?’‰(đ?’„đ?•Ź ) = đ?’„đ?•­ = đ?’„đ?•­ [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] Si đ?’• = đ?’‡(đ?’•đ?&#x;? , ‌ , đ?’•đ?’? ) y suponemos que se cumple i) para toda đ?’•đ?’Š , đ?’‰(đ?’•đ?•Ź [đ?‘ş]) = đ?•Ź đ?•Ź đ?•­ đ?•Ź đ?’‰(đ?’‡(đ?’•đ?&#x;? , ‌ đ?’•đ?’? )đ?•Ź [đ?‘ş]) = đ?’‰ (đ?’‡đ?•Ź (đ?’•đ?•Ź đ?&#x;? [đ?‘ş], ‌ , đ?’•đ?’? [đ?‘ş])) = đ?’‡ (đ?’‰(đ?’•đ?&#x;? [đ?‘ş]), ‌ , đ?’‰(đ?’•đ?’? [đ?‘ş])) = đ?•­ đ?•­ đ?’‡đ?•­ (đ?’•đ?•­ đ?&#x;? [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş], ‌ , đ?’•đ?’? [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş]) = đ?’‡(đ?’•đ?&#x;? , . . . , đ?’•đ?’? ) [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş].

Paso inductivo para negaciĂłn y disyunciĂłn de ii) a v). Para đ?œś, đ?œˇfĂłrmulas, supongamos: đ?•Ź ⊨ đ?œś[đ?‘ş] siiđ?•­ ⊨ đ?œś[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş]. đ?•Ź ⊨ ÂŹđ?œś[đ?‘ş] sii đ?•Ź ⊭ đ?œś[đ?‘ş]‌‌‌‌‌‌‌‌‌DefiniciĂłn de satisfacciĂłn Sii đ?•­ ⊭ đ?œś[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş]‌‌‌‌‌‌‌..Por hipĂłtesis inductiva Sii đ?•­ ⊨ ÂŹđ?œś[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş]‌‌‌‌‌‌‌‌.. DefiniciĂłn de satisfacciĂłn đ?•Ź ⊨ (đ?œś ∨ đ?œˇ)[đ?‘ş] Sii đ?•Ź ⊨ đ?œś[đ?‘ş] o đ?•Ź ⊨ đ?œˇ[đ?‘ş]‌‌‌‌‌‌‌‌‌por DefiniciĂłn de satisfacciĂłn Sii đ?•­ ⊨ đ?œś[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] o đ?•­ ⊨ đ?œˇ[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş]‌‌‌‌‌‌‌‌‌ Por hipĂłtesis inductiva Sii đ?•­ ⊨ (đ?œś ∨ đ?œˇ)[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] ‌‌‌‌‌‌‌‌‌por DefiniciĂłn de satisfacciĂłn

ii)

Para probar este apartado, solo resta demostrarlo para las atĂłmicas sin igualdad.

đ?•Ź ⊨ đ?‘ˇđ?’? (đ?’•đ?&#x;? , . . , đ?’•đ?’? )[đ?‘ş] đ?•Ź đ?•Ź Sii < đ?’•đ?•Ź đ?&#x;? [đ?‘ş], ‌ , đ?’• đ?’? [đ?‘ş] >∈ đ?‘ˇđ?’? ‌‌‌‌‌‌‌‌‌por DefiniciĂłn de satisfacciĂłn đ?•Ź đ?•­ Sii < đ?’‰(đ?’•đ?•Ź đ?&#x;? [đ?‘ş]), ‌ , đ?’‰(đ?’• đ?’? [đ?‘ş]) >∈ đ?‘ˇđ?’? ‌‌‌‌‌‌‌‌‌ Por ser đ?’‰ homomorfismo đ?•­ đ?•­ Sii < đ?’•đ?•­ đ?&#x;? [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş]), ‌ , đ?’• đ?’? [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş]) >∈ đ?‘ˇđ?’? ‌‌‌‌‌‌‌‌‌por la parte i) de este teorema presentado

Sii đ?•­ ⊨ đ?‘ˇđ?’? (đ?’•đ?&#x;? , . . , đ?’•đ?’? )[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] ‌‌‌‌‌‌‌‌‌por DefiniciĂłn de satisfacciĂłn iii)

Para probarlo solo resta demostrarlo para las atĂłmicas con igualdad. Supongamos que đ?’‰ es monomorfismo

đ?•Ź ⊨ (đ?’•đ?&#x;? ≈ đ?’•đ?&#x;? )[đ?‘ş], đ?•Ź Sii đ?’•đ?•Ź đ?&#x;? [đ?‘ş] = đ?’• đ?&#x;? [đ?‘ş]‌‌‌‌‌‌‌‌‌por DefiniciĂłn de satisfacciĂłn đ?•Ź Sii đ?’‰(đ?’•đ?•Ź đ?&#x;? [đ?‘ş]) = đ?’‰(đ?’• đ?&#x;? [đ?‘ş])‌‌‌‌‌‌‌‌‌ Por ser đ?’‰ funciĂłn e inyectiva đ?•­ Sii đ?’•đ?•­ đ?&#x;? [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] = đ?’• đ?&#x;? [đ?’‰ â—‹ đ?‘ş])‌‌‌‌‌‌‌‌‌por la parte i) de este teorema presentado

Sii đ?•­ ⊨ (đ?’•đ?&#x;? ≈ đ?’•đ?&#x;? )[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş] ‌‌‌‌‌‌‌‌‌por DefiniciĂłn de satisfacciĂłn Para probar el caso iv) y v) solo resta demostrar el caso de cuantificaciĂłn, đ?œś = (∃đ?’—đ?’Š đ?œˇ). iv) v)

AquĂ­ supongamos que đ?œˇ no tiene igualdad (≈), y que la funciĂłn đ?’‰ es epimorfismo Para este caso đ?œˇ es cualquier fĂłrmula y đ?’‰ es isomorfismo, entonces:

đ?•Ź ⊨ (∃đ?’—đ?’Š đ?œˇ)[đ?‘ş] Sii hay đ?’‚ ∈ đ?‘¨, tal que đ?•Ź ⊨ đ?œˇ[đ?‘ş(đ?’Š/đ?’‚)]‌‌‌‌‌‌‌‌‌por DefiniciĂłn de satisfacciĂłn Sii hay đ?’‚ ∈ đ?‘¨, tal que đ?•­ ⊨ đ?œˇ[đ?’‰ â—‹ (đ?‘ş(đ?’Š/đ?’‚))]‌‌‌‌‌‌‌‌‌ Por hipĂłtesis inductiva con đ?‘ş(đ?’Š/đ?’‚) Sii hay đ?’‚ ∈ đ?‘¨, tal que đ?•­ ⊨ đ?œˇ[đ?’‰ â—‹ (đ?‘ş(đ?’Š/đ?’‰(đ?’‚)))]

ObsĂŠrvese que đ?’‰ â—‹ (đ?‘ş(đ?’Š/đ?’‚)) = (đ?’‰ â—‹ đ?‘ş)(đ?’Š/đ?’‰(đ?’‚)), pues đ?’‰ â—‹ (đ?‘ş(đ?’Š/đ?’‚)) = {

�(�), �� � = � �(�� ), �� � ≠�

Y (đ?’‰ â—‹ đ?‘ş)(đ?’Š/đ?’‰(đ?’‚)) = {

�(�), �� � = � �(�� ), �� � ≠�

Sii hay đ?’ƒ ∈ đ?‘Š tal que đ?•­ ⊨ đ?œˇ[(đ?’‰ â—‹ đ?‘ş)(đ?’Š/đ?’ƒ))]. ‌‌‌‌..(⇒) con đ?’ƒ = đ?’‰(đ?’‚) ∈ đ?‘Š,‌‌‌‌.(â‡?) porque đ?’‰ es epimorfismo . Sii đ?•­ ⊨ (∃đ?’—đ?’Š đ?œˇ)[đ?’‰ â—‹ đ?‘ş]‌‌‌‌‌‌‌.por definiciĂłn de satisfacciĂłn.

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Como hemos visto, la lĂłgica de primer orden es una herramienta muy poderosa debido a los beneficios metateĂłricos que posee. La lĂłgica de primer orden tiene grandes virtudes que se le atribuyen por: a) Que es el lenguaje mĂĄs adecuado para traducir enunciados con cuantificadores mĂşltiples. b) Que posee una semĂĄntica que caracteriza las condiciones de verdad de los enunciados compuestos. c) Que posee un sistema extensional, esto es que las proposiciones poseen un valor de verdad el cual estĂĄ de acuerdo con una teorĂ­a del significado dada por el sistema , dicho en otras palabras, la lĂłgica de predicados de primer orden es una extensiĂłn conservativa de la lĂłgica proposicional que satisface incluso a aquellos que defienden al nominalismo. d) Se considera como un lenguaje formal posee los tan deseados resultados metateĂłricos como son la consistencia, la correcciĂłn, la compacidad y la completud semĂĄntica. La lĂłgica de primer orden, tambiĂŠn conocida como lĂłgica de predicados o cĂĄlculo de predicados, es una extensiĂłn de la lĂłgica proposicional. Esta lĂłgica es un lenguaje formal a la que se le incluyen cuantificadores cuyo alcance es para variables de individuo y donde se tienen predicados y funciones cuyos argumentos son solo constantes o variables del individuo.

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En este modelo lĂłgico, la validez de los argumentos no solo depende de la manera en que las proposiciones se combinan con los conectivos (como ocurrirĂ­a con la lĂłgica proposicional), sino que depende de su estructura interna, es decir, ademĂĄs de variables y constantes para individuos se agregan los cuantificadores existencial y universal. En la lĂłgica de predicados las proposiciones se analizan en sujeto y predicados, donde el tĂŠrmino predicado se utiliza en un sentido general, por lo que se abarcan no sĂłlo propiedades de individuos sino propiedades de conjuntos finitos y ordenados de los individuos.

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El lenguaje de segundo orden en la lĂłgica matemĂĄtica es una extensiĂłn de la lĂłgica de primer orden a la que se le aĂąaden variables para propiedades, funciones, relaciones y cuantificadores que operan sobre dichas variables El lenguaje de segundo orden en la lĂłgica matemĂĄtica puede formalizar de mejor manera ciertas cosas que son imposibles de formalizar con la lĂłgica de primer orden Con un lenguaje de segundo orden es posible formalizar cuestiones de la aritmĂŠtica que no son posibles formalizar en el primer orden. La caracterĂ­stica fundamental que distingue al lenguaje de segundo orden de los de primer orden en la lĂłgica matemĂĄtica es la cuantificaciĂłn sobre las relaciones đ?’? −arias

Con estas reglas de inferencia podemos construir demostraciones formales, por lo que una demostraciĂłn formal de validez es una serie de proposiciones, cada una de las cuales es una premisa del argumento que se sigue de las anteriores por una regla de inferencia (un argumento vĂĄlido elemental), de tal modo que la Ăşltima proposiciĂłn de la serie es la conclusiĂłn del argumento que se desea demostrar. AprendĂ­ que la palabra “compacidadâ€? se incorpora en el lenguaje de la lĂłgica matemĂĄtica a razĂłn de que a partir que se definen estas

nociones semánticas resulta en definir un espacio topológicamente formado en la axiomatización de las propiedades de las fórmulas de la lógica de proposiciones. Aplique la elaboración y revisión del estudio de los lenguajes formales y la relación que existe entre ellos, y así obtuve los resultados en forma recursiva. En esta materia construimos las estructuras formales donde se considera primero un lenguaje formal, después un sistema formal y, finalmente tomamos un conjunto deductivamente cerrado o, en el mejor de los casos, la cerradura deductiva de un conjunto.

Conclusiones Finales: 

El objetivo primordial de este curso es en estudiar las profundas relaciones entre los enfoques semánticos y sintácticos de la lógica de primer orden, desde la perspectiva semántica. Podemos mencionar que en esta materia no solo hemos demostrado lo que puede considerarse una equivalencia entre los dos teoremas fundamentales de la lógica clásica (correctud-completud extendida y compacidad), sino que también hemos mostrado lo poderosas que son las ideas semánticas para demostrar resultados sintácticos.

Bibliografía consultada 

Amor Montaño José Alfredo (2013) Compacidad en la lógica de primer orden y su relación con el teorema de Completud Tercera Edición, Ed. Las Prensas de Ciencias, Facultad de Ciencias UNAM, México D.F. Enderton Herbert (2004) Una Introducción Matemática a la Lógica (2a. Edición). Traducción: Amor Montaño José Alfredo. México, D.F. Universidad Nacional Autónoma de México U.N.A.M-Instituto de Investigaciones Filosóficas; Colección: Filosofía Contemporánea. Ed. Elsevier Inc.

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