U1 logica de enunciados o de proposiciones[1]

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Lógica Matemática Unidad 1. Lógica de enunciados o de proposiciones

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° Semestre

Lógica matemática

Unidad 1.Lógica de enunciados o proposiciones

Clave: 05144845

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 1

Lógica Matemática Unidad 1. Lógica de enunciados o de proposiciones Índice Unidad 1. Lógica de enunciados o de proposiciones ............................................................ 3 Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3 Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3 Competencia específica ........................................................................................................... 3 El lenguaje de la lógica de enunciados ................................................................................... 4 Introducción a los lenguajes formales................................................................................. 4 Símbolos de la lógica de enunciados .................................................................................. 6 Reglas de formación de fórmulas ........................................................................................ 9 Principio de inducción ........................................................................................................ 11 Asignación de verdad ............................................................................................................. 12 Implicación tautológica....................................................................................................... 14 Equivalencia tautológica .................................................................................................... 15 Tablas de verdad ................................................................................................................. 15 Tautologías .......................................................................................................................... 17 Actividad 1.Lenguajes formales ............................................................................................ 18 Inducción y recursión ............................................................................................................. 18 Teoremas generales de inducción y recursión ................................................................. 18 Unicidad de lectura ............................................................................................................. 24 Conectivos lógicos ................................................................................................................. 28 Funciones booleanas .......................................................................................................... 29 Conjuntos de conectivos completos ................................................................................. 34 Conjuntos de conectivos incompletos .............................................................................. 36 Actividad 2. Problemas de aplicación de principios de inducción, recursión y uso de conectivos ............................................................................................................................... 36 Compacidad y efectividad. ..................................................................................................... 36 Teorema de compacidad .................................................................................................... 37 Efectividad y calculabilidad ................................................................................................ 38 Decidibilidad y ejemplos de enunciados ........................................................................... 39 Actividad 3. Propiedades de conjuntos de fórmulas............................................................ 42 Evidencia de Aprendizaje ....................................................................................................... 43 Autorreflexiones ..................................................................................................................... 43 Cierre de la unidad.................................................................................................................. 43 Para saber más ....................................................................................................................... 43 Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 43

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Lógica Matemática Unidad 1. Lógica de enunciados o de proposiciones Unidad 1. Lógica de enunciados o de proposiciones Presentación de la unidad En esta unidad se introducirán los conceptos de lenguajes formales, símbolos de lógica de enunciados, reglas y el principio de inducción, que permitirán generar procesos lógicamente estructurados en la búsqueda de soluciones de problemas en distintas áreas, para lo cual se contará con las herramientas, el lenguaje y el pensamiento lógico; para determinar si un enunciado o solución está estructurado correctamente y, por lo tanto, si es válido.

Propósitos de la unidad Al término de esta unidad lograrás:    

Usar procesos lógicos para comprender los lenguajes formales. Utilizar los símbolos de la lógica para formar enunciados. Utilizar la lógica matemática en fórmulas conocidas. Utilizar el principio de inducción para validar enunciados.

Competencia específica

Aplicar el lenguaje de la lógica de proposiciones mediante el cálculo proposicional para comprender el concepto de sistema formal.

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones El lenguaje de la lĂłgica de enunciados La lĂłgica de enunciados o de proposiciones permite traducir proposiciones enunciadas en lenguaje natural a sĂ­mbolos lĂłgicos o matemĂĄticos para analizarlas y asignarles un valor de verdad o falsedad. En la lĂłgica de enunciados (o lĂłgica proposicional), se estudia la composiciĂłn de enunciados mediante los conectivos (“yâ€?, “oâ€?, “si‌, entonces‌â€?, etcĂŠtera), y se fundamenta en el principio de bivalencia, en el cual todo enunciado en el lenguaje natural tiene un valor de verdad bien definido, de verdadero o falso, no ambos a la vez. Para empezar, considera que cada proposiciĂłn tiene una forma lĂłgica a la que se le da un nombre, unas se denominan proposiciones atĂłmicas y otras proposiciones moleculares. ProposiciĂłn atĂłmica: es una proposiciĂłn simple sin tĂŠrminos de enlace. ProposiciĂłn molecular: se forma de una o varias proposiciones atĂłmicas y tĂŠrminos de enlace (o conectivos). En lo siguiente, se definirĂĄ mĂĄs precisamente el lenguaje que se va a usar y cĂłmo se determinan los valores.

IntroducciĂłn a los lenguajes formales El uso del lenguaje formal permite escapar de las ambigĂźedades e imprecisiones de los lenguajes naturales; sin embargo, los lenguajes formales tienen un grado de expresividad limitado. A diferencia de los lenguajes naturales (como el espaĂąol o el alemĂĄn, por mencionar algunos), ĂŠste serĂĄ un lenguaje formal, con reglas de precisiĂłn y caracterĂ­sticas de este lenguaje, para explicarlo considera el siguiente ejemplo:

Ejemplo El enunciado “Se observaron rastros de potasioâ€? se puede traducir al lenguaje formal, usando, digamos, el sĂ­mbolo đ??ž, para el enunciado relacionado “No se observaron rastros de potasioâ€? se puede utilizar (ÂŹđ??ž), el sĂ­mbolo ÂŹ es el sĂ­mbolo para la negaciĂłn. Para un enunciado que no estĂĄ relacionado "La muestra contenĂ­a cloroâ€?, se elige el sĂ­mbolo đ??ś, a partir de estos dos enunciados, es posible definir enunciados compuestos y representarlos de forma simbĂłlica de la siguiente manera: El enunciado compuesto “Si se observaron rastros de potasio, entonces la muestra no contenĂ­a cloroâ€? se puede representar como (đ??ž → (ÂŹđ??ś)), donde la flecha es traducciĂłn de “si‌, Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 4

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones entonces‌â€?. En el enunciado “La muestra contenĂ­a cloro y se observaron rastros de potasioâ€?, se usarĂĄ el sĂ­mbolo ∧ como traducciĂłn de “yâ€?, es decir: (C ∧ K) En el siguiente enunciado se usarĂĄ el sĂ­mbolo ∨ para la disyunciĂłn “oâ€? “No se observaron rastros de potasio, o la muestra no contenĂ­a cloroâ€? ((ÂŹđ??ž) ∨ (ÂŹđ??ś)) En el siguiente enunciado hay dos formas alternativas para la traducciĂłn del enunciado que en el lenguaje natural son entendidas como “lo mismoâ€?. “Ni la muestra contenĂ­a cloro, ni se observaron restos de potasioâ€? (ÂŹ(C ∧ K)) o bien ((ÂŹC) ∧ (ÂŹK)) Un aspecto importante de la descomposiciĂłn de los enunciados compuestos es que sabiendo la verdad o falsedad de las partes atĂłmicas, se puede saber la verdad o falsedad del compuesto. Considera entonces la siguiente situaciĂłn: “El quĂ­mico sale de su laboratorio y anuncia que observĂł rastros de potasio pero que la muestra no contenĂ­a cloroâ€?; de esta manera, puedes saber la verdad o falsedad respectivamente de los cuatro enunciados mencionados, es posible construir la siguiente tabla (Tabla I) para ejemplificar los cuatro resultados experimentales posibles, la descripciĂłn de este mĂŠtodo se darĂĄ mĂĄs adelante. Tabla 1

�

đ?‘Ş

(ÂŹ(đ?‘Ş âˆ¨ đ?‘˛))

((ÂŹđ?‘Ş) ∧ (ÂŹđ?‘˛))

đ?‘­ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘˝

đ??š đ?‘‰ đ??š đ?‘‰

đ?‘‰ đ??š đ??š đ??š

đ?‘‰ đ??š đ??š đ??š

Generalmente se incluyen tres tipos de datos en la descripciĂłn de un lenguaje formal: 1.

Especificar el tipo de sĂ­mbolos (el alfabeto) en la lĂłgica de enunciado. Algunos sĂ­mbolos son (, ), →, ÂŹ , đ??´1 , đ??´2 , ‌

2.

Especificar las reglas de formaciĂłn para la sucesiones finitas de sĂ­mbolos “gramaticalmente correctasâ€? (ĂŠstas se llaman fĂłrmulas). Por ejemplo: Las sucesiones de sĂ­mbolos (đ??´1 → (ÂŹA2 )) es una fĂłrmula, mientras que )) → A3 no lo es.

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones 3.

Indicar las traducciones permisibles entre el espaĂąol y el lenguaje formal. Los sĂ­mbolos đ??´1 , đ??´2 , ‌ pueden ser traducciones de enunciados declarativos del espaĂąol.

La tercera parte es en la que se da significado a las fĂłrmulas. Este proceso de asignaciĂłn de significado es lo que motiva a hacer todo esto. Aunque tambiĂŠn es posible que se realicen manipulaciones en las fĂłrmulas sin tomar en cuenta cualquier significado posible. Si una persona sĂłlo estuviera al tanto de los dos primeros datos de la descripciĂłn del lenguaje, puede que realice cualquiera de las cosas que se harĂĄn, pero esto no tendrĂ­a ningĂşn sentido para ella. Brevemente se examinan algunas clases de lenguajes formales con una importancia muy grande en la vida moderna. Una clase de lenguaje formal de interĂŠs generalizado hoy en dĂ­a son los usados por las computadoras digitales (o que al menos estĂĄn en conexiĂłn con ellas); existen muchos de estos lenguajes, una fĂłrmula tĂ­pica en uno de ellos es: 01101011010100011111000100000111010 En otro, una fĂłrmula tĂ­pica es: đ?‘†đ?‘‡đ??¸đ?‘ƒ#đ??´đ??ˇđ??ˇđ??źđ?‘€đ??´đ?‘?, đ??´ Un lenguaje de programaciĂłn muy conocido es C++ que tiene fĂłrmulas como ĂŠsta: while(∗ đ?‘ + +) En cada lenguaje formal existe un procedimiento para traducir las fĂłrmulas al espaĂąol y (para una clase restringida de oraciones del espaĂąol) un procedimiento para traducir del lenguaje natural al formal.

SĂ­mbolos de la lĂłgica de enunciados Se asume que se tiene una sucesiĂłn infinita de objetos distintos llamados sĂ­mbolos, a los cuales se les da nombre en la tabla siguiente (basada en la que se encuentra en A Mathematical Introduction to Logic, p. 14). Se asume tambiĂŠn que ninguno de estos sĂ­mbolos es una sucesiĂłn finita de otros. Tabla #

SĂ­mbolo ( ) ÂŹ ∧ ∨

Nombre largo ParĂŠntesis izquierdo ParĂŠntesis derecho SĂ­mbolo de negaciĂłn SĂ­mbolo de conjunciĂłn SĂ­mbolo de disyunciĂłn

Observaciones PuntuaciĂłn PuntuaciĂłn EspaĂąol: no EspaĂąol: y EspaĂąol: o (inclusivo)

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones → ↔ đ?‘¨đ?&#x;? đ?‘¨đ?&#x;? â‹Ž đ?‘¨đ?’?

SĂ­mbolo condicional SĂ­mbolo bicondicional Primer sĂ­mbolo de enunciado Segundo sĂ­mbolo de enunciado â‹Ž EnĂŠsimo sĂ­mbolo de enunciado

EspaĂąol: si ___, entonces __ EspaĂąol: si y sĂłlo si

Considera las siguientes observaciones: 1. Los sĂ­mbolos ÂŹ,∧,∨, →, ↔ son llamados conectivos de enunciados. La forma en que se usan es sugerida por la traducciĂłn que se presenta en la tabla. Los conectivos, junto con los parĂŠntesis, son sĂ­mbolos lĂłgicos. Los sĂ­mbolos de enunciado son los parĂĄmetros (o sĂ­mbolos no lĂłgicos), su traducciĂłn no estĂĄ fija; mĂĄs bien estarĂĄ abierta a interpretaciĂłn. 2. Se introdujeron una cantidad numerable de sĂ­mbolos de enuncuado. La mayor parte de las cosas que se presentan en este tema se aplican bien, si se considera un conjunto arbitrario de sĂ­mbolos de enunciado. 3. Algunos autores prefieren llamar a đ??´đ?‘› el enĂŠsimo sĂ­mbolo de proposiciĂłn (y hablar de lĂłgica proposicional). Esto porque se quiere que la palabra “enunciadoâ€? se refiera a un tipo particular de oraciĂłn y que una proposiciĂłn sea lo que un enunciado afirma. 4. Se denominaron “sĂ­mbolosâ€?, pero esto es, siendo neutrales, acerca del status ontolĂłgico de los sĂ­mbolos. Por ejemplo đ??´43 es un sĂ­mbolo, a saber el cuadragĂŠsimo tercero de enunciado, (por otra parte, “đ??´43 â€? es el nombre de ĂŠste). El sĂ­mbolo condicional puede o no contar con la propiedad geomĂŠtrica de estar conformado como una flecha, aunque su nombre “→â€? sĂ­ la tiene). Los sĂ­mbolos pueden ser conjuntos, nĂşmeros, canicas u objetos pertenecientes a un universo de objetos lingßísticos. En este Ăşltimo caso se puede tener que sean de hecho las mismas cosas que los nombres que usamos para ellos. Otra posibilidad es que los sĂ­mbolos de enunciados sean fĂłrmulas de otro lenguaje. 5. Al suponer que ningĂşn sĂ­mbolo es una sucesiĂłn finita de otros sĂ­mbolos se tiene que los sĂ­mbolos de la lista son distintos (por ejemplo: đ??´3 ≠↔) y se exige que đ??´3 â‰ âŒŠÂŹ, đ??´4 , (âŒŞ. El propĂłsito de esta descomposiciĂłn es asegurar que las sucesiones finitas de sĂ­mbolos tengan una descomposiciĂłn Ăşnica. Es decir, si: ⌊đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘š âŒŞ = ⌊đ?‘?1 , ‌ , đ?‘?đ?‘› âŒŞ con đ?‘Žđ?‘– y đ?‘?đ?‘— sĂ­mbolos, entonces đ?‘š = đ?‘› y đ?‘Žđ?‘– = đ?‘?đ?‘– . Una expresiĂłn es una sucesiĂłn finita de sĂ­mbolos. Se puede especificar una expresiĂłn concatenando los nombres de los sĂ­mbolos; asĂ­, (ÂŹđ??´1 ) es la sucesiĂłn ⌊(, ÂŹ, đ??´1 , )âŒŞ. Esta notaciĂłn se extiende: si đ?›ź y đ?›˝ son sucesiones de sĂ­mbolos, entonces đ?›źđ?›˝ es la sucesiĂłn que consiste en Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 7

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones los sĂ­mbolos de la sucesiĂłn đ?›ź seguidos de los sĂ­mbolos de la sucesiĂłn đ?›˝. Por ejemplo, si đ?›ź y đ?›˝ son las expresiones dadas por las ecuaciones: đ?›ź = (ÂŹđ??´1 ) đ?›˝ = đ??´2 Entonces, la expresiĂłn (đ?›ź → đ?›˝) es la expresiĂłn ((ÂŹđ??´1 ) → đ??´2 ). A continuaciĂłn se presentan dos ejemplos de traducciones de enunciados del lenguaje natural a expresiones del lenguaje formal. Sean đ??´, đ??ľ, ‌ , đ?‘? los primeros 27 sĂ­mbolos de enunciado. 1. EspaĂąol: El sospechoso debe ser liberado. TraducciĂłn: đ?‘…. EspaĂąol: La evidencia obtenida es admisible. TraducciĂłn: đ??¸. EspaĂąol: La evidencia obtenida es inadmisible. TraducciĂłn: (ÂŹđ??¸). EspaĂąol: La evidencia obtenida es admisible y el sospechoso puede no ser liberado. TraducciĂłn: (đ??¸ ∧ (ÂŹđ?‘…)). EspaĂąol: La evidencia obtenida es admisible o el sospechoso debe ser liberado (o posiblemente ambas cosas). TraducciĂłn: (đ??¸ ∨ đ?‘…). EspaĂąol: O bien la evidencia obtenida es admisible o el sospechoso debe ser liberado, pero no ambas cosas. TraducciĂłn: ((đ??¸ ∨ đ?‘…) ∧ (ÂŹ(đ??¸ ∧ đ?‘…))). Siempre se usarĂĄ el sĂ­mbolo ∨ como traducciĂłn de la palabra “oâ€? en su sentido inclusivo “y/oâ€?. EspaĂąol: La evidencia obtenida es inadmisible pero el sospechoso puede no ser liberado. TraducciĂłn: ((ÂŹđ??¸) ∧ (ÂŹđ?‘…)). Por otra parte, la expresiĂłn ((ÂŹđ??¸) ∨ (ÂŹđ?‘…)) se traduce al espaĂąol como “La evidencia obtenida es inadmisible, o el sospechoso puede no ser liberadoâ€?. 2. EspaĂąol: Si mi abuela tuviera ruedas, serĂ­a bicicleta. TraducciĂłn: (đ?‘… → đ??ľ). EspaĂąol: Mi abuela tiene ruedas si y sĂłlo si es bicicleta. TraducciĂłn: (đ?‘… ↔ đ??ľ). Con este respecto ten mucho cuidado, no debes confundir un enunciado del lenguaje natural (Las rosas son rojas) con una traducciĂłn de dicho enunciado al lenguaje formal (por ejemplo đ?‘…) pues son diferentes; el enunciado en espaĂąol es presuntamente verdadero o falso, pero la expresiĂłn formal es sĂłlo una sucesiĂłn de sĂ­mbolos (si bien es posible darle interpretaciĂłn ĂŠsta depende del contexto). TambiĂŠn considera que algunas expresiones no se pueden obtener como traducciones de ningĂşn enunciado en lenguaje natural, tal como‌ ((→ đ??´3 . A continuaciĂłn se verĂĄ cĂłmo hacer que una fĂłrmula estĂŠ bien estructurada o tenga sentido para lo que se estĂĄ haciendo.

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Reglas de formaciĂłn de fĂłrmulas Las reglas de formaciĂłn permiten definir fĂłrmulas que son expresiones “gramaticalmente correctasâ€?, excluyendo las que no tienen sentido. La definiciĂłn para la formaciĂłn de fĂłrmulas tendrĂĄ las siguientes consecuencias: (a) Todo sĂ­mbolo de enunciado es una fĂłrmula. (b) Si đ?›ź y đ?›˝ son fĂłrmulas, entonces tambiĂŠn lo son (ÂŹ đ?›ź), (đ?›ź ∧ đ?›˝), (đ?›ź ∨ đ?›˝), (đ?›ź → đ?›˝), (đ?›ź ↔ đ?›˝). (c) Ninguna expresiĂłn es fĂłrmula a menos que (a) y (b) obliguen a ello. Se quiere precisar la tercera propiedad. Una fĂłrmula bien formada es una expresiĂłn que se construye a partir de sĂ­mbolos de enunciados y de la aplicaciĂłn, un nĂşmero finito de veces, de las operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas (sobre las expresiones) definidas por las ecuaciones. â„°ÂŹ = (ÂŹ đ?›ź), ℰ∧ (đ?›ź, đ?›˝) = ( đ?›ź ∧ đ?›˝), ℰ∨ (đ?›ź, đ?›˝) = (đ?›ź ∨ đ?›˝), ℰ→ (đ?›ź, đ?›˝) = ( đ?›ź → đ?›˝), ℰ↔ (đ?›ź, đ?›˝) = (đ?›ź ↔ đ?›˝). Por ejemplo, la siguiente expresiĂłn es una fĂłrmula que se construye a partir de cuatro sĂ­mbolos de enunciados aplicando cinco veces operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas: ((đ??´1 ∧ đ??´10 ) → ((ÂŹ đ??´3 ) ∨ (đ??´8 ↔ đ??´3 ))) El ĂĄrbol muestra cĂłmo se construye la expresiĂłn:

((đ??´1 ∧ đ??´10 ) → ((ÂŹ đ??´3 ) ∨ (đ??´8 ↔ đ??´3 ))) ((ÂŹ đ??´3 ) ∨ (đ??´8 ↔ đ??´5 )) (đ??´1 ∧ đ??´10 ) đ??´1

(ÂŹđ??´3 )

đ??´10

đ??´3

(đ??´8 ↔ đ??´5 ) đ??´8

đ??´5

Se puede desarrollar la idea de “construcciĂłnâ€? como sigue: Defina una sucesiĂłn de construcciĂłn como una sucesiĂłn finita ⌊đ?œ€1 , ‌ , đ?œ€đ?‘› âŒŞ de expresiones que, para cada đ?‘– ≤ đ?‘›, se tiene al menos uno de los siguientes hechos: đ?œ€đ?‘– es un sĂ­mbolo de enunciado đ?œ€đ?‘– = â„°ÂŹ (đ?œ€đ?‘— ) para algĂşn đ?‘— < đ?‘– Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 9

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones đ?œ€đ?‘– = â„°â–Ą (đ?œ€đ?‘— , đ?œ€đ?‘˜ ) para algunos đ?‘— < đ?‘–, đ?‘˜ < đ?‘– Donde â–Ą es uno de los conectivos binarios ∧,∨, →, â&#x;ˇ. De esta manera, las fĂłrmulas pueden caracterizarse como las expresiones đ?›ź, tales que alguna sucesiĂłn de construcciĂłn termina con đ?›ź. Puedes pensar đ?œ€đ?‘– como la expresiĂłn en el estado đ?‘– del proceso de construcciĂłn. Por ejemplo, para la expresiĂłn: ((đ??´1 ∧ đ??´10 ) → ((ÂŹ đ??´3 ) ∨ (đ??´8 ↔ đ??´5 ))) Se obtiene una sucesiĂłn de construcciĂłn al comprimir su ĂĄrbol genealĂłgico en un orden lineal. Una caracterĂ­stica en este tipo de construcciĂłn es que genera un tipo de inducciĂłn.

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Principio de inducciĂłn 1.1.4.1. DefiniciĂłn Un conjunto đ?‘† es cerrado bajo una funciĂłn đ?‘“ de dos argumentos si cada vez que đ?‘Ľ, đ?‘Śđ?œ– đ?‘†, entonces đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ?‘†, y anĂĄlogamente para funciones de un argumento, etcĂŠtera. 1.1.4.1. Teorema. Principio de inducciĂłn Sea đ?‘† un conjunto de fĂłrmulas que contiene todos los sĂ­mbolos de enunciado y es cerrado bajo las cinco operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas, entonces đ?‘† es el conjunto de todas las fĂłrmulas. Primera demostraciĂłn Sea đ?›ź una fĂłrmula cualquiera, entonces đ?›ź se construye mediante sĂ­mbolos de enunciados al aplicar un nĂşmero finito de veces las operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas. Si se explora el ĂĄrbol genealĂłgico hacia arriba, se encontrarĂĄ que cada expresiĂłn que existe en el ĂĄrbol pertenece a đ?‘†; despuĂŠs de un nĂşmero finito de pasos se encontrarĂĄ, en la punta del ĂĄrbol, que đ?›ź ∈ đ?‘†. ∎ Segunda demostraciĂłn Se usa la misma idea que en la primera demostraciĂłn, sĂłlo que no se usarĂĄn los ĂĄrboles. ConsidĂŠrese una fĂłrmula đ?›ź cualquiera, entonces đ?›ź es el Ăşltimo miembro de alguna sucesiĂłn de construcciĂłn ⌊đ?œ€1 , ‌ , đ?œ€đ?‘› âŒŞ, por inducciĂłn numĂŠrica fuerte ordinaria sobre el nĂşmero đ?‘– se observa que cada đ?œ€đ?‘– ∈ đ?‘†, para đ?‘– ≤ đ?‘›. Es decir, supĂłngase como hipĂłtesis de inducciĂłn que đ?œ€đ?‘— ∈ đ?‘† para toda đ?‘— < đ?‘–. Entonces se verifica que đ?œ€đ?‘– ∈ đ?‘†, considerando los diferentes casos. AsĂ­, por inducciĂłn fuerte sobre đ?‘–, se sigue que đ?œ€đ?‘– ∈ đ?‘† para cada đ?‘– ≤ đ?‘›. En particular, el Ăşltimo miembro đ?›ź pertenece a đ?‘†. ∎ El principio de inducciĂłn permite saber si ciertas expresiones no son fĂłrmulas. Ejemplo Ninguna expresiĂłn con mĂĄs parĂŠntesis izquierdos que parĂŠntesis derechos es una fĂłrmula. DemostraciĂłn La idea es que, al comenzar a construir fĂłrmulas, se empieza con sĂ­mbolos de enunciados (que tienen cero parĂŠntesis izquierdos y cero parĂŠntesis derechos), luego aplicando las operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas, las cuales agregan parĂŠntesis sĂłlo por parejas, uno izquierdo y uno derecho. El argumento se puede reformular de la siguiente manera: el conjunto de las fĂłrmulas “balanceadasâ€? (las que tienen igual nĂşmero de parĂŠntesis izquierdos que derechos) tiene como elementos a todos los sĂ­mbolos de enunciado y es cerrado bajo las operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas. Es decir, el conjunto de fĂłrmulas balanceadas es inductivo. El principio de inducciĂłn asegura, entonces, que todas las fĂłrmulas son balanceadas. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 11

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones ∎ Una caracterĂ­stica especial de las operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas particulares es que van hacia arriba y nunca hacia abajo. Esto es: las expresiones â„°â–Ą (đ?›ź, đ?›˝) siempre incluyen la sucesiĂłn completa đ?›ź (y la sucesiĂłn completa đ?›˝) mĂĄs otros sĂ­mbolos. Por ende, es mĂĄs largo que đ?›ź y đ?›˝. Esta caracterĂ­stica especial simplifica el problema de determinar para cada fĂłrmula đ?œ‘ cĂłmo fue construida exactamente. Todos los bloques de construcciĂłn, por decirlo asĂ­, estĂĄn incluidos como segmento en la sucesiĂłn de construcciĂłn de đ?œ‘.

AsignaciĂłn de verdad Se quiere definir lo que significa que una fĂłrmula del lenguaje se siga lĂłgicamente de otras fĂłrmulas. Por ejemplo, đ??´1 deberĂĄ seguirse de (đ??´1 ∧ đ??´2 ), ya que, independiente de cĂłmo se traduzcan los parĂĄmetros đ??´1 y đ??´2 al espaĂąol, si la traducciĂłn de (đ??´1 ∧ đ??´2 ) es verdadera, entonces la traducciĂłn de đ??´1 debe ser verdadera. Pero la nociĂłn de todas las posibles traducciones al espaĂąol es demasiado vaga; sin embargo, es posible expresar esta idea en una forma simple y precisa. Se fija un conjunto {đ?‘‰, đ??š} de valores de verdad que consta de dos puntos distintos: đ?‘‰, đ??š,

đ?‘™đ?‘™đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘™đ?‘™đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘“đ?‘Žđ?‘™đ?‘ đ?‘’đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘

Al fijar este conjunto no importa quĂŠ sean estos puntos, tambiĂŠn podrĂ­an ser, por ejemplo, nĂşmeros 1, 0. Entonces una asignaciĂłn de verdad para un conjunto đ?’Ž de sĂ­mbolos enunciados es una funciĂłn: đ?‘Ł: đ?’Ž → {đ?‘‰, đ??š} que asigna đ?‘‰ o đ??š a cada sĂ­mbolo en đ?’Ž. Estas asignaciones de verdad se usarĂĄn en vez de las traducciones al lenguaje natural. Con lo anterior se estĂĄ diciendo que se usarĂĄ una lĂłgica bivalente, por supuesto, esto deja la idea de poder usar tres valores verdad, o quizĂĄ un conjunto mĂĄs grande de 1000 valores de verdad, â„ľ0 valores de verdad o tomar como conjunto de valores de verdad el intervalo [0,1], todo lo anterior es posible; sin embargo, la lĂłgica bivalente es la que siempre ha sido de mayor significaciĂłn y en este curso serĂĄ nuestro objeto de estudio. Sea đ?’ŽĚ… el conjunto de las fĂłrmulas generado a partir de đ?’Ž por las cinco operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas. Se quiere una extensiĂłn đ?‘ŁĚ… de đ?‘Ł, Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 12

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones đ?‘Ł: đ?’ŽĚ… → {đ?‘‰, đ??š} que asigne el valor correcto de verdad a cada fĂłrmula de đ?’ŽĚ… y debe satisfacer las siguientes condiciones: a) Para cualquier đ??´ ∈ đ?’Ž, đ?‘ŁĚ… (đ??´) = đ?‘Ł(đ??´). b) Para cualesquiera đ?›ź y đ?›˝ en đ?’ŽĚ… : đ?‘‰ đ?‘ đ?‘– đ?‘ŁĚ… (đ?›ź) = đ??š, 1. đ?‘ŁĚ… ((ÂŹđ?›ź)) = { đ??š đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘šĂĄđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œđ?‘ . đ?‘‰ đ?‘ đ?‘– đ?‘ŁĚ… (đ?›ź) = đ?‘‰ đ?‘Ś đ?‘ŁĚ… (đ?›˝) = đ?‘‰, 2. đ?‘ŁĚ… ((đ?›ź ∧ đ?›˝)) = { đ??š đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘šĂĄđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œđ?‘ . đ?‘‰ đ?‘ đ?‘– đ?‘ŁĚ… (đ?›ź) = đ?‘‰ đ?‘œ đ?‘ŁĚ… (đ?›˝) = đ?‘‰ (đ?‘œ đ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘ ), 3. đ?‘ŁĚ… ((đ?›ź ∨ đ?›˝)) = { đ??š đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘šĂĄđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œđ?‘ . đ??š đ?‘ đ?‘– đ?‘ŁĚ… (đ?›ź) = đ?‘‰ đ?‘Ś đ?‘ŁĚ… (đ?›˝) = đ??š, 4. đ?‘ŁĚ… ((đ?›ź → đ?›˝)) = { đ?‘‰ đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘šĂĄđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œđ?‘ . đ?‘‰ đ?‘ đ?‘– đ?‘ŁĚ… (đ?›ź) = đ?‘ŁĚ… (đ?›˝), 5. đ?‘ŁĚ… ((đ?›ź ↔ đ?›˝)) = { đ??š đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘šĂĄđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œđ?‘ . Como ejemplo de la forma de calcular đ?‘ŁĚ… , sea đ?›ź la fĂłrmula: ((đ??´2 → (đ??´1 − đ??´6 )) ↔ ((đ??´2 ∧ đ??´1 ) → đ??´6 )) y sea đ?‘Ł la asignaciĂłn de verdad para {đ??´1 , đ??´2 , đ??´6 } tal que: đ?‘Ł(đ??´1 ) = đ?‘‰ đ?‘Ł(đ??´2 ) = đ?‘‰ đ?‘Ł(đ??´6 ) = đ??š Se quiere calcular đ?‘ŁĚ… (đ?›ź). Mira el siguiente ĂĄrbol que muestra la construcciĂłn de đ?›ź: ((đ??´2 → (đ??´1 → đ??´6 )) ↔ ((đ??´2 ∧ đ??´1 ) → đ??´6 )) đ?‘‰

(đ??´2 → (đ??´1 → đ??´6 )) ,

((đ??´2 ∧ đ??´1 ) → đ??´6 )

đ??´2 , đ?‘‰

(đ??´1 → đ??´6 ) , đ??š

(đ??´2 ∧ đ??´1 ) , đ?‘‰

đ??´1 , đ?‘‰

đ??´2 , đ?‘‰

đ??š

đ??š

đ??´6 , đ??š

đ??´6 đ??š

đ??´1 đ?‘‰

Si te desplazas de abajo hacia arriba puedes asignar a cada vĂŠrtice đ?›˝ del ĂĄrbol el valor đ?‘ŁĚ… (đ?›˝). Se puede escribir esto de manera mĂĄs concisa y en una sola lĂ­nea:

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones ((đ??´2 → (đ??´1 → đ??´6 )) ↔ ((đ??´2 ∧ đ??´1 ) → đ??´6 )) đ?‘‰ đ??š đ?‘‰ đ??š đ??š đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰ đ??š đ??š De esta forma se tiene una asignaciĂłn de verdad a las fĂłrmulas de đ?’ŽĚ… , el siguiente teorema habla de la unicidad de esta extensiĂłn para la funciĂłn asignaciĂłn de verdad. Teorema Si đ?‘Ł es una asignaciĂłn de verdad para el conjunto đ?’Ž, entonces existe una Ăşnica funciĂłn đ?‘ŁĚ… : đ?’ŽĚ… → {đ?‘‰, đ??š} que satisface las condiciones anteriores en los incisos a) y b). Este teorema se sigue del teorema de recursiĂłn, que se darĂĄ en temas siguientes, y del teorema de unicidad de la lectura de fĂłrmulas, pero te debe parecer claro despuĂŠs del ejemplo. Al demostrar la existencia de đ?‘ŁĚ… , el punto importante es, esencialmente, la unicidad de los ĂĄrboles mencionados en el ejemplo. Se dice que una asignaciĂłn de verdad đ?’— satisface đ??‹ sii đ?‘ŁĚ… (đ?œ‘) = đ?‘‰. Evidentemente, esto significa que todos los sĂ­mbolos de enunciado de đ?œ‘ deben pertenecer al dominio de đ?‘Ł.

ImplicaciĂłn tautolĂłgica Considera ahora un conjunto ÎŁ de fĂłrmulas que juegan el papel de hipĂłtesis y otra fĂłrmula đ?œ?, la posible conclusiĂłn. 1.2.1.1. DefiniciĂłn đ?šş implica tautolĂłgicamente a đ??‰ (đ?šş ⊨ đ??‰) ssi (si y sĂłlo si) toda asignaciĂłn de verdad para los sĂ­mbolos de enunciado que ocurren en ÎŁ y en đ?œ?, que satisfaga a todos los elementos de ÎŁ tambiĂŠn satisface đ?œ?. Esta definiciĂłn estĂĄ relacionada con la idea que se tiene de que una conclusiĂłn se sigue de un conjunto de hipĂłtesis, que si se suponen verdaderas esto garantiza la verdad de la conclusiĂłn. Se mencionan ahora algunos casos especiales de concepto de implicaciĂłn tautolĂłgica. Primero considera el caso especial en el que ÎŁ es el conjunto ∅. En este caso se tiene que es cierto por vacuidad que toda asignaciĂłn de verdad satisface a todos los elementos de ∅ (esto puedes verlo preguntĂĄndote ÂżcĂłmo podrĂ­a ser esto falso? La respuesta es que existiera algĂşn elemento en ∅ que no satisfaga la propiedad, lo cual es absurdo). Por tanto, se tiene: ∅ ⊨ đ?œ? ssi toda asignaciĂłn de verdad (para los sĂ­mbolos de enunciado que ocurren en đ?œ?) satisface đ?œ?. En este caso se dice que đ?œ? es tautologĂ­a (⊨ đ??‰). En el ejemplo que se presentĂł antes, la fĂłrmula: ((đ??´2 → (đ??´1 − đ??´6 )) ↔ ((đ??´2 ∧ đ??´1 ) → đ??´6 ))

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones se satisface con cualquiera de los ocho posibles valores de verdad para {đ??´1 , đ??´2 , đ??´6 }, es decir, sin importar los valores de verdad que se le asignen a los elementos de {đ??´1 , đ??´2 , đ??´6 } el enunciado siempre es verdadero, por tanto es una tautologĂ­a. Otro caso especial es aquel en que ninguna asignaciĂłn de verdad satisface a todos los elementos de ÎŁ. Entonces, para toda đ?œ? es cierto por vacuidad que ÎŁ ⊨ đ?œ?. Por ejemplo, considera: {đ??´, (ÂŹđ??´)} ⊨ đ??ľ. Se presenta el siguiente ejemplo sobre implicaciĂłn tautolĂłgica. Ejemplo Considera {đ??´, (đ??´ → đ??ľ)} ⊨ đ??ľ. Existen cuatro posibles asignaciones de verdad para {đ??´, đ??ľ}. Puedes verificar, al calcular los valores de verdad de cada parte, que sĂłlo una de estas cuatro posibilidades satisface tanto a đ??´ como a (đ??´ → đ??ľ); ĂŠsta es la đ?‘Ł para la cual đ?‘Ł(đ??´) = đ?‘Ł(đ??ľ) = đ?‘‰. Y claramente esta đ?‘Ł tambiĂŠn satisface đ??ľ.

Si ÎŁ es un conjunto unitario de la fĂłrmula đ?œŽ, ÎŁ = {đ?œŽ}, entonces se escribe “đ?œŽ ⊨ đ?œ?â€? en lugar de “{đ?œŽ} ⊨ đ?œ?â€?.

Equivalencia tautolĂłgica 1.2.2.1 DefiniciĂłn Si a la vez đ?œŽ ⊨ đ?œ? y đ?œ? ⊨ đ?œŽ, entonces đ?œŽ y đ?œ? se llaman tautolĂłgicamente equivalentes (đ??ˆ ⊨⍤ đ??‰ ). Por ejemplo, cuando se tienen las fĂłrmulas (ÂŹ(đ??ś ∨ đ??ž)) y ((ÂŹđ??ś) ∧ (ÂŹđ??ž)) como traducciones equivalentes de una oraciĂłn en espaĂąol, se afirma que entonces son tautolĂłgicamente equivalentes. Se puede enunciar sin demostraciĂłn, por ahora, un hecho realmente importante y no trivial.

1.2.2.1. Teorema [teorema de compacidad] Sea ÎŁ un conjunto infinito de fĂłrmulas tal que para todo subconjunto finito ÎŁ0 de ÎŁ existe una asignaciĂłn de verdad que satisface a todos los elementos de ÎŁ0 . Entonces existe una asignaciĂłn de verdad que satisface a todos los elementos de ÎŁ. Se puede reformular el teorema anterior de una manera mĂĄs sencilla como sigue: Si todo subconjunto finito de ÎŁ es satisfactible, entonces ÎŁ es satisfactible.

Tablas de verdad Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 15

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Existe un procedimiento sistematico para verificar, dadas las fĂłrmulas đ?œŽ1 , ‌ , đ?œŽđ?‘˜ y đ?œ?, si {đ?œŽ1 , ‌ , đ?œŽđ?‘˜ } ⊨ đ?œ? o no. En particular, cuando đ?‘˜ = 0, el procedimiento decidirĂĄ, dada una fĂłrmula, si es tautologĂ­a o no. Como primer ejemplo, se verĂĄ que (ÂŹ(đ??´ ∧ đ??ľ)) ⊨ ((ÂŹđ??´) ∨ (ÂŹđ??ľ)). Para esto, considera todas las asignaciones de verdad para {đ??´, đ??ľ}, puedes ver que para un conjunto de đ?‘› sĂ­mbolos hay 2đ?‘› asignaciones de verdad, las cuatro asignaciones en este caso se pueden escribir en una tabla: đ?‘¨ đ?‘‰ đ?‘‰ đ??š đ??š

đ?‘Š đ?‘‰ đ??š đ?‘‰ đ??š

Esta tabla se puede extender para que incluya a (ÂŹ(đ??´ ∧ đ??ľ)) y ((ÂŹđ??´) ∨ (ÂŹđ??ľ)). Para cada fĂłrmula se calculan los valores de đ?‘‰ y đ??š, como se dijo, escribiendo el valor de verdad debajo de la conectiva correcta, esto se presenta en la siguiente tabla: đ?‘¨ đ?‘‰ đ?‘‰ đ??š đ??š

đ?‘Š đ?‘‰ đ??š đ?‘‰ đ??š

(ÂŹ(đ?‘¨ ∧ đ?‘Š)) đ??š đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰đ??šđ??š đ?‘‰ đ??šđ??šđ?‘‰ đ?‘‰ đ??šđ??šđ??š

((ÂŹđ?‘¨) ∨ (ÂŹđ?‘Š)) đ??šđ?‘‰ đ??š đ??šđ?‘‰ đ??šđ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰đ??š đ?‘‰đ??š đ?‘‰ đ??šđ?‘‰ đ?‘‰đ??š đ?‘‰ đ?‘‰đ??š

Puedes ver que todas las asignaciones de verdad que satisfacen a (ÂŹ(đ??´ ∧ đ??ľ)), y que son tres, tambien satisfacen a ((ÂŹđ??´) ∨ (ÂŹđ??ľ)). TambiĂŠn es cierta la conversa y, por tanto, son tautolĂłgicamente equivalentes (ÂŹ(đ??´ ∧ đ??ľ)) ⊨⍤ ((ÂŹđ??´) ∨ (ÂŹđ??ľ)). Para probar que (ÂŹ(đ??´ ∧ đ??ľ)) ⊭ ((ÂŹđ??´) ∧ (ÂŹđ??ľ)) puedes construir una tabla de la misma manera. Pero sĂłlo una lĂ­nea de la tabla es necesaria para establecer que realmente existe una asignacion de verdad que satisface a (ÂŹ(đ??´ ∧ đ??ľ)) y no a((ÂŹđ??´) ∧ (ÂŹđ??ľ)). Este mĂŠtodo suele ser aplicable pero puede ser un procedimiento poco eficiente, pues para probar una fĂłrmula con varios sĂ­mbolos, la cantidad de renglones en la tabla crece demasiado. Pero haciendo observaciones puedes reducir el nĂşmero de operaciones que debes hacer. Existen algunos valores de verdad para los sĂ­mbolos que “dominanâ€? los valores del resto de la fĂłrmula. Como ejemplo de lo anterior, considera: ((đ?‘¨ ∨ (đ?‘Š ∧ đ?‘Ş)) ↔ ((đ?‘¨ ∨ đ?‘Š) ∧ (đ?‘¨ ∨ đ?‘Ş))) đ?‘‰ đ?‘‰

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones đ??š đ??š đ??š đ??š đ?‘‰ đ??š đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰

đ??š đ??š đ??š đ??š đ??š đ??š đ?‘‰ đ?‘‰ đ?‘‰ đ??š đ?‘‰ đ?‘‰

TautologĂ­as A continuaciĂłn se presenta una lista de las tautologĂ­as comunes y Ăştiles en demostraciones. 1. Leyes asociativas y conmutativas para ∧,∨, ↔. 2. Leyes distributivas: ((đ?‘¨ ∧ (đ?‘Š ∨ đ?‘Ş)) ↔ ((đ?‘¨ ∧ đ?‘Š) ∨ (đ?‘¨ ∧ đ?‘Ş))) ((đ?‘¨ ∨ (đ?‘Š ∧ đ?‘Ş)) ↔ ((đ?‘¨ ∨ đ?‘Š) ∧ (đ?‘¨ ∨ đ?‘Ş))) 3. NegaciĂłn: ((ÂŹ(ÂŹđ?‘¨)) ↔ đ?‘¨) ((ÂŹ(đ?‘¨ → đ?‘Š)) ↔ (đ?‘¨ ∧ (ÂŹđ?‘Š))) ((ÂŹ(đ?‘¨ ↔ đ?‘Š)) ↔ ((đ?‘¨ ∧ (ÂŹđ?‘Š)) ∨ ((ÂŹđ?‘¨) ∧ đ?‘Š))) 4. Leyes de De Morgan: ((ÂŹ(đ?‘¨ ∧ đ?‘Š)) ↔ ((ÂŹđ?‘¨) ∨ (ÂŹđ?‘Š))) ((ÂŹ(đ?‘¨ ∨ đ?‘Š)) ↔ ((ÂŹđ?‘¨) ∧ (ÂŹđ?‘Š))) 5. Otras Tercero excluido: (đ?‘¨ ∨ (ÂŹđ?‘¨)). ContradicciĂłn: (ÂŹ(đ?‘¨ ∨ (ÂŹđ?‘¨))). ContraposiciĂłn: ((đ?‘¨ → đ?‘Š) ↔ ((ÂŹđ?‘Š) → (ÂŹđ?‘¨))). ExportaciĂłn: (((đ?‘¨ ∧ đ?‘Š) → đ?‘Ş) ↔ (đ?‘¨ → (đ?‘Š → đ?‘Ş))).

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Actividad 1. Lenguajes formales Mediante esta actividad podrĂĄs comparar resultados dentro del foro para representar enunciados del espaĂąol a un lenguaje formal. Para ello: Consulta la RĂşbrica general de la participaciĂłn en foros, que se encuentra en la secciĂłn Material de apoyo

InducciĂłn y recursiĂłn A continuaciĂłn se presentaran dos mĂŠtodos de construcciĂłn usados en la lĂłgica y en varias ĂĄreas de la matemĂĄtica que son de vital importancia por presentar una manera de obtener, en un principio, conjuntos que cumplen ciertas propiedades: inducciĂłn y recursiĂłn. Debes tener cuidado, pues aunque los nombres de estos mĂŠtodos de construcciĂłn son conocidos fuera del contexto matemĂĄtico, el significado aquĂ­ es distinto al usual.

Teoremas generales de inducciĂłn y recursiĂłn InducciĂłn Hay un tipo especial de construcciĂłn que es usando en la lĂłgica y en otras ĂĄreas de las matemĂĄticas. Se puede querer construir un cierto subconjunto de un conjunto đ?‘ˆ, empezando con algunos elementos iniciales de đ?‘ˆ y aplicando ciertas operaciones una y otra vez. El conjunto buscado serĂĄ el mĂĄs pequeĂąo que contenga a los elementos iniciales y se cerrarĂĄ bajo las operaciones. Los elementos serĂĄn elementos de đ?‘ˆ que puedan ser construidos por los elementos iniciales aplicando las operaciones un nĂşmero finito de veces. En particular cuando đ?‘ˆ es el conjunto de las expresiones, los elementos iniciales son los sĂ­mbolos de enunciado y las operaciones â„°ÂŹ , ℰ∧ , etcĂŠtera. El conjunto resultante es el conjunto de las fĂłrmulas. Se encontrarĂĄn, posteriormente, otros casos especiales y serĂĄ de ayuda estudiar de manera abstracta esta construcciĂłn. Para simplificar la discusiĂłn, considera un conjunto inicial đ??ľ ⊆ đ?‘ˆ y una clase â„ą de funciones con sĂłlo dos elementos đ?‘“ y đ?‘”, donde: đ?‘“: đ?‘ˆ Ă— đ?‘ˆ → đ?‘ˆ, đ?‘”: đ?‘ˆ → đ?‘ˆ. AsĂ­, đ?‘“ es una operaciĂłn binaria en đ?‘ˆ y đ?‘” es una operaciĂłn unaria (por el momento â„ą estĂĄ siendo considerada finita, pero esto no es necesario y se verĂĄ por quĂŠ el argumento puede ser extendido a una situaciĂłn mĂĄs general). Si đ?‘Ž y đ?‘? pertenecen a đ??ľ, entonces el conjunto đ??ś que se quiere construir tendrĂĄ, por ejemplo, los elementos: đ?‘?, đ?‘“(đ?‘?, đ?‘?), đ?‘”(đ?‘Ž), đ?‘“(đ?‘”(đ?‘Ž), đ?‘“(đ?‘?, đ?‘?)), đ?‘” (đ?‘“(đ?‘”(đ?‘Ž), đ?‘“(đ?‘?, đ?‘?))). Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 18

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Por supuesto, estos elementos pueden no ser distintos. Al definir đ??ś mĂĄs formalmente, se puede escoger entre dos definiciones como sigue: 1. De “arriba hacia abajoâ€?: se dice que un subconjunto đ?‘† de đ?‘ˆ es cerrado bajo đ?‘“ y đ?‘” sii siempre que los elementos đ?‘Ľ, đ?‘Ś pertenezcan a đ?‘†, entonces tambiĂŠn đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) y đ?‘”(đ?‘Ľ) pertenecen a đ?‘†. El conjunto đ?‘† inductivo sii đ??ľ ⊆ đ?‘† y đ?‘† es cerrado bajo đ?‘“ y đ?‘”. Sea đ??ś ∗ la intersecciĂłn de todos loa subconjuntos inductivos de đ?‘ˆ; asĂ­ đ?‘Ľ ∈ đ??ś ∗ sii đ?‘Ľ pertenece a todo subconjunto inductivo de đ?‘ˆ. Se puede ver que đ??ś ∗ es inductivo, y que đ??ś ∗ es el conjunto inductivo mĂĄs pequeĂąo, pues estĂĄ contenido en todos los demĂĄs conjuntos inductivos. 2. De “abajo hacia arribaâ€?: esta definiciĂłn es equivalente a la primera. En este caso se quiere que los elementos de đ??śâˆ— sean todas las cosas que pueden ser alcanzadas desde đ??ľ aplicando đ?‘“ y đ?‘” un nĂşmero finito de veces. Se define una sucesiĂłn de construcciĂłn como una sucesiĂłn finita ⌊đ?‘Ľ0 , ‌ đ?‘Ľđ?‘› âŒŞ de elementos de đ?‘ˆ tales que para cada đ?‘– ≤ đ?‘› se cumple por lo menos una de las siguientes condiciones: đ?‘Ľđ?‘– ∈ đ??ľ, đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘— , đ?‘Ľđ?‘˜ ) para algunos đ?‘— < đ?‘–, đ?‘˜ < đ?‘– đ?‘Ľđ?‘– = đ?‘”(đ?‘Ľđ?‘— ) para algĂşn đ?‘— < đ?‘–. En otras palabras, cada miembro de la sucesiĂłn estĂĄ en đ??ľ, o resulta de los elementos anteriores aplicando đ?‘“ o đ?‘”. Sean đ??śâˆ— el conjunto de todos los puntos đ?‘Ľ tales que alguna sucesiĂłn de construcciĂłn termina con đ?‘Ľ y đ??śđ?‘› el conjunto de todos los puntos đ?‘Ľ tales que alguna sucesiĂłn de construcciĂłn de longitud đ?‘› termina con đ?‘Ľ. Entonces đ??ś1 = đ??ľ, đ??ś1 ⊆ đ??ś2 ⊆ đ??ś3 ⊆ â‹Ż, y đ??śâˆ— =âˆŞđ?‘› đ??śđ?‘› . Por ejemplo, đ?‘” (đ?‘“(đ?‘Ž, đ?‘“(đ?‘?, đ?‘?))) pertenece a đ??ś5 y por lo tanto a đ??śâˆ—, como puedes ver en el siguiente ĂĄrbol: đ?‘” (đ?‘“(đ?‘Ž, đ?‘“(đ?‘?, đ?‘?))) đ?‘“(đ?‘Ž, đ?‘“(đ?‘?, đ?‘?)) đ?‘Ž,

đ?‘“(đ?‘?, đ?‘?) đ?‘?,

đ?‘?

Al aplanar este ĂĄrbol hasta convertirlo en un orden lineal se obtiene una sucesiĂłn de construcciĂłn de đ?‘” (đ?‘“(đ?‘Ž, đ?‘“(đ?‘?, đ?‘?))). Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 19

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Ejemplo 1. Los nĂşmeros naturales Sea đ?‘ˆ el conjunto de todos los nĂşmeros reales y sea đ??ľ = {0}. Considera una operaciĂłn (sucesor) đ?‘†, donde đ?‘†(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 1. Entonces: đ??śâˆ— = {0,1,2,3, ‌ } El conjunto đ??śâˆ— de los nĂşmeros naturales tiene como elementos exactamente aquellos nĂşmeros que se pueden obtener a partir de 0 aplicando repetidamente la operaciĂłn sucesora. 2. Los enteros Sean đ?‘ˆ el conjunto de todos los nĂşmeros reales y đ??ľ = {0}. Esta vez considera las operaciones sucesoras đ?‘† y la operaciĂłn predecesor đ?‘ƒ: đ?‘†(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 1,

đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ − 1.

Ahora đ??śâˆ— es el conjunto de todos los enteros: đ??śâˆ— = {‌ , −2, −1,0,1,2, ‌ } En este caso, observa que es posible obtener el 2 como elemento de đ??śâˆ—, ya que đ?‘†(đ?‘†(0)) = 2 = đ?‘† (đ?‘ƒ (đ?‘†(đ?‘†(0)))). 3. Las fĂłrmulas Sea đ?‘ˆ el conjunto de todas las expresiones y đ??ľ el conjunto de los sĂ­mbolos de enunciado. Sea â„ą el conjunto de las operaciones â„°ÂŹ , ℰ∧ , ℰ∨ , ℰ→ y ℰ↔ . Entonces đ??śâˆ— es el conjunto de todas las fĂłrmulas.

Ahora se verificarĂĄ que las dos definiciones son equivalentes, es decir que đ??ś ∗ = đ??śâˆ—. Para empezar se va a demostrar que đ??ś ∗ ⊆ đ??śâˆ— y para ello sĂłlo se necesita verificar que đ??śâˆ— es inductivo, es decir, que đ??ľ ⊆ đ??śâˆ— y que đ??śâˆ— es cerrado bajo las funciones. Claramente, đ??ľ = đ??ś1 ⊆ đ??śâˆ—. Si đ?‘Ľ, đ?‘Ś estĂĄn en đ??śâˆ—, entonces es posible concatenar sus sucesiones de construcciĂłn y agregar al final đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) para obtener una sucesiĂłn de construcciĂłn que coloca a đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) en đ??śâˆ— y de la misma forma es cerrado bajo đ?‘”. Finalmente, para probar que đ??śâˆ— ⊆ đ??ś ∗ considera un elemento de đ??śâˆ— y una sucesiĂłn de construcciĂłn ⌊đ?‘Ľđ?‘œ , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› âŒŞ para ĂŠl. Por inducciĂłn, como la que comĂşnmente has usado, sobre đ?‘–, se puede ver que đ?‘Ľđ?‘– ∈ đ??ś ∗ , si đ?‘– ≤ đ?‘›. En primer lugar, đ?‘Ľ0 ∈ đ??ľ ⊆ đ??ś ∗ . Para el paso inductivo se usa el hecho de que đ??ś ∗ es cerrado bajo las funciones. De esta manera se tiene que: Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 20

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones ⋃ đ??śđ?‘› = đ??śâˆ— = đ??ś ∗ = â‹‚{đ?‘†: đ?‘† đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ} đ?‘›

Como đ??ś ∗ = đ??śâˆ— , se denomina a este conjunto đ??ś simplemente, y se refiere a ĂŠl como el conjunto generado a partir de đ?‘Š por las funciones que pertenecen a đ?“•. A continuaciĂłn se presenta un resultado muy utilizado para demostraciones de muchos teoremas: 1.3.1.1. Teorema [principio de inducciĂłn] Sea đ??ś el conjunto generado a partir de đ??ľ por las funciones que pertenecen a â„ą. Si đ?‘† es un subconjunto de đ??ś que contiene a đ??ľ y es cerrado bajo las funciones en â„ą, entonces đ?‘† = đ??ś. DemostraciĂłn đ?‘† es inductivo, por lo que đ??ś = đ??ś ∗ ⊆ đ?‘†. La otra contenciĂłn se tiene en las hipĂłtesis.

∎

El caso espacial que es de interĂŠs por esta ocasiĂłn, es el que se presenta en el punto 4 del ejemplo, donde đ??ś es la clase de las fĂłrmulas generadas a partir del conjunto de los sĂ­mbolos de enunciado por las operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas. RecursiĂłn Se presenta ahora de nuevo el caso abstracto, considera un conjunto đ?‘ˆ (como el conjunto de todas las expresiones), un subconjunto đ??ľ de đ?‘ˆ (como el conjunto de los sĂ­mbolos de enunciado) y dos funciones đ?‘“ y đ?‘”, donde: đ?‘“: đ?‘ˆ Ă— đ?‘ˆ → đ?‘ˆ,

đ?‘”: đ?‘ˆ → đ?‘ˆ

đ??ś es el conjunto generado a partir de đ??ľ por đ?‘“ y đ?‘”. Ahora se quiere definir recursivamente una funciĂłn en đ??ś. Esto es, suponiendo que han sido dadas: 1. Reglas para calcular â„ŽĚ…(đ?‘Ľ) para đ?‘Ľ ∈ đ??ľ. 2. Reglas para calcular: a. â„ŽĚ…(đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)) usando â„ŽĚ…(đ?‘Ľ) y â„ŽĚ…(đ?‘Ś). b. â„ŽĚ…(đ?‘”(đ?‘Ľ)) usando â„ŽĚ…(đ?‘Ľ). No es difĂ­cil ver que, a lo mĂĄs, puede haber una funciĂłn â„ŽĚ… en đ??ś que satisfaga todas las condiciones dadas. Pero es posible que no exista tal funciĂłn, por ejemplo, al usar reglas contradictorias. Para ver esto considera: đ?‘ˆ = đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ , Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 21

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones đ??ľ = {0}, đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ś, đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 1. En este caso đ??ś es el conjunto de los nĂşmeros naturales. SupĂłngase que se imponen las siguientes condiciones a â„ŽĚ…: 1. â„ŽĚ…(0) = 0. 2. a. â„ŽĚ…(đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)) = đ?‘“ (â„ŽĚ…(đ?‘Ľ), â„ŽĚ…(đ?‘Ś)), b. â„ŽĚ…(đ?‘”(đ?‘Ľ)) = â„ŽĚ…(đ?‘Ľ) + 2 Entonces no puede existir una tal funciĂłn â„ŽĚ…. Se dice que đ??ś estĂĄ libremente generado a partir de đ??ľ por đ?‘“ y đ?‘” sii ademĂĄs de las condiciones para que estĂŠ generado se tiene (considerando đ?‘“đ??ś , đ?‘”đ??ś las restricciones de đ?‘“ y đ?‘” a C): 1. đ?‘“đ??ś y đ?‘”đ??ś son uno a uno 2. El rango de đ?‘“đ??ś , el rango de đ?‘”đ??ś y el conjunto đ??ľ son ajenos dos a dos.

1.3.1.2. Teorema [de la reclusiĂłn] SupĂłngase que el subconjunto đ??ś de đ?‘ˆ estĂĄ libremente generado a partir de đ??ľ por đ?‘“ y đ?‘”, donde: đ?‘“: đ?‘ˆ Ă— đ?‘ˆ → đ?‘ˆ,

đ?‘”: đ?‘ˆ → đ?‘ˆ

SupĂłngase que đ?‘‰ es un conjunto y đ??š, đ??ş y â„Ž son funciones tales que: â„Ž: đ??ľ → đ?‘‰ đ??š: đ?‘‰ Ă— đ?‘‰ → đ?‘‰ đ??ş: đ?‘‰ → đ?‘‰ Entonces existe una Ăşnica funciĂłn â„ŽĚ…: đ??ś → đ?‘‰ tal que: i. ∀đ?‘Ľ ∈ đ??ľ, â„ŽĚ…(đ?‘Ľ) = â„Ž(đ?‘Ľ), ii. Para đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ??ś, a. â„ŽĚ…(đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)) = đ??š (â„ŽĚ…(đ?‘Ľ), â„ŽĚ…(đ?‘Ś)), b. â„ŽĚ…(đ?‘”(đ?‘Ľ)) = đ??ş (â„ŽĚ…(đ?‘Ľ)). Analizando esto desde el ĂĄlgebra moderna, la conclusiĂłn del teorema dice que cualquier funciĂłn â„Ž de đ??ľ en đ?‘‰ se puede extender a un homomorfismo â„ŽĚ… de đ??ś (con las operaciones đ?‘“ y đ?‘”) en đ?‘‰ (con las operaciones đ??š y đ??ş).

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Para comprender un poco mĂĄs cĂłmo funciona este teorema, considera nuevamente los ejemplos que se presentaron anteriormente para la inducciĂłn:

Ejemplo (condiciones en el teorema de recursiĂłn)

1. đ??ľ = {0} con la operaciĂłn de sucesor đ?‘†. Entonces đ??ś es el conjunto â„• de los nĂşmeros naturales. Como la operaciĂłn sucesora es uno a uno, esto se presenta en los axiomas de Peano, đ??ś es libremente generado a partir de {0} por đ?‘†. Por lo tanto, por el teorema de recursiĂłn, dado cualquier conjunto đ?‘‰, cualquier đ?‘Ž ∈ đ?‘‰, y cualquier đ??š: đ?‘‰ → đ?‘‰ existe una Ăşnica â„ŽĚ…: â„• → đ?‘‰ tal que â„ŽĚ…(0) = đ?‘Ž y â„ŽĚ…(đ?‘†(đ?‘Ľ)) = đ??š (â„ŽĚ…(đ?‘Ľ)) para cada đ?‘Ľ ∈ â„•. Por ejemplo, existe una Ăşnica â„ŽĚ…: â„• → â„• tal que â„ŽĚ…(0) = 0 y â„ŽĚ…(đ?‘†(đ?‘Ľ)) = 1 − â„ŽĚ…(đ?‘Ľ). Esta funciĂłn toma el valor 0 en los nĂşmeros pares y el valor 1 en los nĂşmeros impares. 2. Los nĂşmeros enteros estĂĄn generados a partir de {0} por las operaciones de sucesor y predecesor, pero no libremente. 3. Las fĂłrmulas estĂĄn libremente generadas, a partir de los sĂ­mbolos de enunciado, por las cinco operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas; en el subtema se verĂĄ a fondo esta afirmaciĂłn. Se sigue de esto, por ejemplo, que hay una Ăşnica funciĂłn â„ŽĚ… definida en el conjunto de las fĂłrmulas tal que: â„ŽĚ…(đ??´) = 1, si es un sĂ­mbolo de enunciado, â„ŽĚ…((ÂŹđ?›ź)) = 3 + â„ŽĚ…(đ?›ź), â„ŽĚ…((đ?›ź ∧ đ?›˝)) = 3 + â„ŽĚ…(đ?›ź) + â„ŽĚ…(đ?›˝), y similarmente para ∨, →, y ↔. Esta funciĂłn da la longitud de cada fĂłrmula.

DemostraciĂłn del teorema de recursiĂłn. La idea es construir â„ŽĚ… como la uniĂłn de muchas funciones que aproximan cada vez mĂĄs lo que se quiere lograr. Por el momento considera una funciĂłn đ?‘Ł que va de un subconjunto đ??ś en đ?‘‰, que sea aceptable si satisface las condiciones i. y ii. que se impusieron a â„ŽĚ…. MĂĄs precisamente, đ?‘Ł es aceptable sii el dominio de đ?‘Ł es un subconjunto de đ??ś, su rango un subconjunto de đ?‘‰ y i'. ii'.

Si đ?‘Ľ ∈ đ??ľ ∊ đ??ˇđ?‘œđ?‘š đ?‘Ł, entonces đ?‘Ł(đ?‘Ľ) = â„Ž(đ?‘Ľ). Si đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ??ˇđ?‘œđ?‘š đ?‘Ł, entonces đ?‘Ľ, đ?‘Ś tambiĂŠn pertenecen a đ??ˇđ?‘œđ?‘š đ?‘Ł, y đ?‘Ł(đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)) = đ??š(đ?‘Ł(đ?‘Ľ), đ?‘Ł(đ?‘Ś)). Si đ?‘”(đ?‘Ľ) ∈ đ??ˇđ?‘œđ?‘š đ?‘Ł, entonces tambiĂŠn đ?‘Ľ ∈ đ??ˇđ?‘œđ?‘š đ?‘Ł, y đ?‘Ł(đ?‘”(đ?‘Ľ)) = đ??ş(đ?‘Ł(đ?‘Ľ)).

Sea đ??ž la colecciĂłn de todas las funciones aceptables y â„ŽĚ… la uniĂłn de đ??ž. Por lo tanto: ⌊đ?‘Ľ, đ?‘ŚâŒŞ ∈ â„ŽĚ… đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘Ł(đ?‘Ľ) = đ?‘Ś đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘™đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Ł ∈ đ??ž.

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones A continuaciĂłn se presentan algunas ideas de la demostraciĂłn; debes resolver los detalles considerando ideas conjuntistas y de ĂĄlgebra previas a este curso. 1. Se tiene que â„ŽĚ… es una funciĂłn. Sea: đ?‘† = {đ?‘Ľ ∈ đ??ś: para a lo mĂĄs una đ?‘Ś, ⌊đ?‘Ľ, đ?‘ŚâŒŞ ∈ â„ŽĚ…} = {đ?‘Ľ ∈ đ??ś: todas las funciones aceptables definidas en đ?‘Ľ coinciden} Usando las condiciones i’. y ii’. puedes ver que el conjunto đ?‘† es inductivo, por lo tanto đ?‘† = đ??ś y â„ŽĚ… es una funciĂłn. 2. Se tiene tambiĂŠn que â„ŽĚ… ∈ đ??ž; es decir, que â„ŽĚ… es una funciĂłn aceptable. Esto se sigue de la definiciĂłn de â„ŽĚ… y el hecho de que es funciĂłn. 3. Se tiene que â„ŽĚ… estĂĄ definida en todo đ??ś. Basta probar que el dominio de â„ŽĚ… es inductivo. Esto se sigue de la hipĂłtesis de que đ??ś es libremente generado. Por ejemplo, un caso es el siguiente: SupĂłn que đ?‘Ľ estĂĄ en el dominio de â„ŽĚ…. Entonces ⌊đ?‘”(đ?‘Ľ), đ??ş (â„ŽĚ…(đ?‘Ľ))âŒŞ es aceptable. Se requiere la libertad en la generaciĂłn para probar que es una funciĂłn. En consecuencia, đ?‘”(đ?‘Ľ) pertenece al dominio de â„ŽĚ…. 4. Se afirma que â„ŽĚ… es Ăşnica. Dadas dos funciones que cumplen las condiciones, sea đ?‘† el conjunto en el que coinciden. Entonces đ?‘† es inductivo, por lo tanto igual a đ??ś. ∎ La demostraciĂłn, si bien aquĂ­ se presenta a grandes rasgos, deja algunas ideas que permiten comprender un poco mĂĄs las condiciones y conclusiĂłn del teorema. A manera de ampliar la visiĂłn del teorema, se presentarĂĄ una manera de describir la demostraciĂłn del teorema de recursiĂłn, presentando la funciĂłn â„ŽĚ… como el conjunto de parejas generado a partir de un conjunto por ciertas operaciones. Sean: Ě‚ = đ?‘ˆ Ă— đ?‘‰, đ?‘ˆ Ě‚, đ??ľĚ‚ = â„Ž, un subconjunto de đ?‘ˆ đ??šĚ‚ (⌊đ?‘Ľ, đ?‘˘âŒŞ, ⌊đ?‘Ś, đ?‘ŁâŒŞ) = ⌊đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś), đ??š(đ?‘˘, đ?‘Ł)âŒŞ, đ??şĚ‚ (⌊đ?‘Ľ, đ?‘˘âŒŞ) = ⌊đ?‘”(đ?‘Ľ), đ??ş(đ?‘˘)âŒŞ. Ě‚ que se obtiene como el producto cartesiano de las De modo que đ??šĚ‚ es la operaciĂłn binaria en đ?‘ˆ Ě‚ generado a partir de đ??ľĚ‚ por đ??šĚ‚ y đ??şĚ‚ . Entonces se operaciones đ?‘“ y đ??š. Sea â„ŽĚ… el subconjunto de đ?‘ˆ puede verificar que â„ŽĚ… tiene las propiedades que se requieren y es necesaria la libertad para probar que â„ŽĚ… es funciĂłn.

Unicidad de lectura Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 24

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones En el subtema anterior se mostrĂł, en particular en la demostraciĂłn del teorema de recursiĂłn, que el conjunto de las fĂłrmulas estĂĄ libremente generado por las cinco operaciones a partir del conjunto de sĂ­mbolos de enunciado; a continuaciĂłn se probarĂĄn algunos resultados al respecto. Para empezar, se va a demostrar que se han usado suficientes parĂŠntesis para eliminar cualquier ambigĂźedad al analizar las fĂłrmulas, esto considerando que la extenciĂłn đ?‘ŁĚ… de đ?‘Ł depende de esta falta de ambigĂźedad. Considera quĂŠ puede pasar cuando no se introducen parĂŠntesis, la ambigĂźedad que resulta se ilustra en la siguiente fĂłrmula: đ??´1 ∨ đ??´2 ∧ đ??´3 , que se puede formular de dos maneras, correspondientes a ((đ??´1 ∨ đ??´2 ) ∧ đ??´3 ) y a (đ??´1 ∨ (đ??´2 ∧ đ??´3 )). Si đ?‘Ł(đ??´1 ) = đ?‘‰ y đ?‘Ł(đ??´3 ) = đ??š, entonces hay un conflicto irresoluble que surge al tratar de calcular đ?‘ŁĚ… (đ??´1 ∨ đ??´2 ∧ đ??´3 ). Se debe probar que con los parĂŠntesis este tipo de ambigĂźedad no surge, al contrario, toda fĂłrmula se forma de manera Ăşnica. Hay un sentido en el que este hecho no tiene importancia: si fallara, simplemente se cambia de notacion hasta que fuera cierto. Aunque existen mĂŠtodos mĂĄs limpios en la construcciĂłn de las fĂłrmulas que evitan la ambigĂźedad, se verĂĄ que no son necesarios pues basta con lo que se ha hecho. Para esto se presentan los siguientes lemas. 1.3.2.1. Lema Toda fĂłrmula tiene el mismo nĂşmero de parĂŠntesis izquierdos que de derechos. La demostraciĂłn de este lema se basa en lo visto en el subtema 1.1. 1.3.2.2. Lema Cualquier segmento inicial propio de una fĂłrmula tiene un exceso de parĂŠntesis izquierdos; asĂ­ ningĂşn segmento inicial propio de una fĂłrmula puede ser, a su vez, una fĂłrmula. DemostraciĂłn Se probarĂĄ que el conjutno đ?‘† de fĂłrmulas, con la propiedad de que sus segmentos iniciales propios tienen mĂĄs parĂŠntesis izquierdos, es inductivo. Una fĂłrmula que consista en un solo sĂ­mbolo de enunciado no tiene segmentos iniciales propios, por lo tanto esta en đ?‘† por vacuidad. Para verificar que đ?‘† es cerrado bajo ℰ∧ , considera dos elementos đ?›ź y đ?›˝ de đ?‘†. Los segmentos iniciales propios son: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(, (đ?›ź0 , donde đ?›ź0 es un segmento inicial propio de đ?›ź, (đ?›ź, (đ?›ź ∧, (đ?›ź ∧ đ?›˝0 , donde đ?›˝0 es un segmento inicial propio de đ?›˝, (đ?›ź ∧ đ?›˝. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 25

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Al aplicar la hipĂłtesis inductiva de que đ?›ź y đ?›˝ estĂĄn en đ?‘†, se tiene la conclusiĂłn. ∎ 1.3.2.3. Teorema [de unicidad de la lectura de fĂłrmulas] Las cinco operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas, restringidas al conjunto de fĂłrmulas: a) tienen rangos disjuntos entre sĂ­ y disjuntos del conjunto de los sĂ­mbolos de enunciado b) son inyectivas. (Es decir, como se mencionĂł, el conjunto de las fĂłrmulas es libremente generado.) DemostraciĂłn Para probar que la restricciĂłn de ℰ∧ es inyectiva, supĂłn que: (đ?›ź ∧ đ?›˝) = (đ?›ž ∧ đ?›ż) Borrando el primer sĂ­mbolo se tiene que: đ?›ź ∧ đ?›˝) = đ?›ž ∧ đ?›ż) Entonces se debe tener que đ?›ź = đ?›ž, a menos que uno de ellos sea un segmento inicial propio del otro, lo que contradice al lema 1.3.2.2. Y entonces se sigue que đ?›˝ = đ?›ż. De manera similar, este argumento se aplica a ℰ∨ , ℰ→ , ℰ↔ y â„°ÂŹ . Para demostrar que las operaciones tienen rangos disjuntos considera, por ejemplo, si: (đ?›ź ∧ đ?›˝) = (đ?›ž → đ?›ż), donde đ?›ź, đ?›˝, đ?›ž y đ?›ż son fĂłrmulas, entonces, de forma similar a lo anterior, se tiene đ?›ź = đ?›ž. Pero esto implica que ∧=→, lo cual contradice lo que se planteĂł sobre los sĂ­mbolos desde un inicio, siendo que ĂŠstos son distintos. Por lo tanto, ℰ∧ y ℰ→ restringidas a las fĂłrmulas tienen rangos disjuntos. De manera similar sucede para las otras parejas binarias. Para los casos restantes considera lo siguiente: Si, por ejemplo, (ÂŹđ?›ź) = (đ?›˝ ∧ đ?›ž), entonces đ?›˝ comienza con ÂŹ, lo cual contradice que đ?›˝ es una fĂłrmula. AdemĂĄs los rangos de las operaciones son disjuntos del conjunto de sĂ­mbolos de enunciado, ya que ningĂşn sĂ­mbolo de enunciado es una sucesiĂłn de sĂ­mbolos que comienza por (. ∎ Al regresar al problema de definir una extensiĂłn de una asignaciĂłn de verdad đ?‘Ł a đ?‘ŁĚ… , considera primero el caso en el que đ?‘Ł es una asignaciĂłn de verdad para el conjunto de todos los sĂ­mbolos de enunciado. Entonces, aplicando los teoremas de unicidad de lectura y el de recursiĂłn presentados en el subtema 1.3.1, se concluye que existe una Ăşnica extensiĂłn đ?‘ŁĚ… al conjunto de todas las fĂłrmulas con las propiedades que se requieren. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 26

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones De manera general, considera una asignaciĂłn de verdad đ?‘Ł para un conjunto â„ą de sĂ­mbolos de enunciado. El conjunto ℹ̅ generado a partir de â„ą por las cinco operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas estĂĄ libremente generado, esto por el teorema de unicidad de lectura. Entonces, por el teorema de recursiĂłn, existe una Ăşnica extensiĂłn đ?‘ŁĚ… de đ?‘Ł a ese conjunto con las propiedades que se piden. Algoritmo La demostraciĂłn del teorema de unicidad de la lectura se puede convertir de una prueba en un algoritmo que, dada una fĂłrmula, producirĂĄ su Ăşnico ĂĄrbol genealĂłgico; pero si le asigna una expresiĂłn que no es fĂłrmula detecta este hecho. Si se da una expresiĂłn, inicialmente ella es el Ăşnico vĂŠrtice del ĂĄrbol y por lo tanto el mĂ­nimo, pero mientras continĂşa el procedimiento, el ĂĄrbol bajarĂĄ a partir de la expresiĂłn dada. 1. Si todos los vĂŠrtices minimales tienen sĂ­mbolos de enunciado, entonces el procedimiento ha terminado. De otra forma, se escoge un vĂŠrtice minimal que tenga alguna expresiĂłn que no sea un sĂ­mbolo de enunciado. 2. El primer sĂ­mbolo debe ser (, de no ser asĂ­ no es una fĂłrmula. Si el segundo sĂ­mbolo es el sĂ­mbolo de negaciĂłn, se va al paso 4. 3. Se recorre la expresiĂłn desde la izquierda hasta llegar a (đ?›ź, donde đ?›ź es una expresiĂłn con igual nĂşmero de parĂŠntesis izquierdos que de derechos, en el caso en que se llegue al final de la expresiĂłn antes de encontrar este đ?›ź entonces la expresiĂłn original no era una fĂłrmula. Entonces đ?›ź es el primer componente. El siguiente sĂ­mbolo debe ser ∧,∨, → o ↔ y es la conectiva principal. El resto de la expresiĂłn, đ?›˝), debe consistir en una expresiĂłn đ?›˝ y un parĂŠntesis derecho o de manera similar a como sucede en 2, no serĂ­a una fĂłrmula. El segundo componente es đ?›˝. Esto completa la descomposiciĂłn de la expresiĂłn elegida; entonces se regresa al paso 1. 4. Si el segundo sĂ­mbolo es el sĂ­mbolo de negaciĂłn, entonces ĂŠsa es la conectiva principal. El resto de la expresiĂłn, đ?›˝), debe consistir en una expresiĂłn đ?›˝ y un parĂŠntesis derecho. đ?›˝ es el componente. Esto completa la descomposiciĂłn de la expresiĂłn elegida; se regresa al paso 1. Existen algunas observaciones que se deben hacer respecto del algoritmo: a) Dada cualquier expresiĂłn, el procedimiento termina despuĂŠs de un nĂşmero finito de pasos. Esto es porque cualquier vĂŠrtice contiene una expresiĂłn mĂĄs corta que la que estĂĄ arriba de ĂŠl, asĂ­ la profundidad del ĂĄrbol estĂĄ acotada por la longitud de la expresiĂłn dada.

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Lógica Matemåtica Unidad 1. Lógica de enunciados o de proposiciones b) El procedimiento es único. Por ejemplo, en el paso 3 se llega a una expresión �, no es posible usar menos de � como componente, ya que no habría un balance entre parÊntesis derechos e izquierdos; no se puede usar mås de � porque esto contendría el segmento inicial propio � que estaba balanceado. Por lo tanto sólo es posible usar a �. Así, la elección de la conectiva principal es inevitable. c) Si la expresión dada es tal que el procedimiento no la rechaza, entonces, recorriendo el årbol de abajo hacia arriba, se tiene inductivamente que todo vÊrtice tiene una fórmula, incluyendo al vÊrtice superior (que tiene la expresión dada). d) TambiÊn se puede usar el årbol para ver cómo se obtiene �̅ (�). Para cualquier fórmula � existe un único årbol que la construye. Recorriendo este årbol de abajo hacia arriba se llega sin ambigßedades al valor de �̅ (�). En lo sucesivo, por notación, al nombrar fórmulas, no se mencionarån necesariamente todos los parÊntesis. Para establecer una notación mås compacta, se adoptan las siguientes convenciones: i)

El primer y Ăşltimo parĂŠntesis no necesitan ser mencionados. Por ejemplo, cuando escribas “đ??´ ∧ đ??ľâ€? te refieres a (đ??´ ∧ đ??ľ).

ii)

El sĂ­mbolo de negaciĂłn se aplica a la menor cantidad de sĂ­mbolos como sea posible. Por ejemplo, ÂŹđ??´ ∧ đ??ľ es (ÂŹđ??´) ∧ đ??ľ, de acuerdo con lo anterior esto es ((ÂŹđ??´) ∧ đ??ľ); que no es lo mismo que (ÂŹ(đ??´ ∧ đ??ľ)).

iii)

La conjunciĂłn y la disyunciĂłn se aplican a tan poco como sea posible, siempre y cuando se observe la condiciĂłn 2. Por ejemplo: đ??´ ∧ đ??ľ → ÂŹđ??ś ∨ đ??ˇ es ((đ??´ ∧ đ??ľ) → ((ÂŹđ??ś) ∨ đ??ˇ))

iv)

Cuando se usa repetidamente un sĂ­mbolo de conectiva, la agrupaciĂłn es hacia la derecha: đ?›ź ∧ đ?›˝ ∧ đ?›ž đ?‘’đ?‘ đ?›ź ∧ (đ?›˝ ∧ đ?›ž) đ?›ź → đ?›˝ → đ?›ž đ?‘’đ?‘ đ?›ź → (đ?›˝ → đ?›ž).

Estas convenciones facilitan mucho la escritura de las fĂłrmulas, porque ahora, en especial, no se necesita nombrar expresiones que no sean fĂłrmulas.

Conectivos lĂłgicos Hasta ahora sĂłlo se han usado cinco sĂ­mbolos de conectivas para la construcciĂłn de las fĂłrmulas. Aun en ausencia de una definiciĂłn general de “conectivaâ€?, estĂĄ claro que las cinco Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 28

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones conectivas familiares no son las Ăşnicas posibles. En este punto podrĂ­as preguntarte si se obtendrĂ­a “algoâ€? mĂĄs si se aumenta el nĂşmero de conectivas al lenguaje o, por el contrario, si podrĂ­a perderse “algoâ€? al omitir alguno de ellos. Ahora se hacen precisas estas preguntas y se dan algunas respuestas.

Funciones booleanas Primero considera un ejemplo informal, para empezar agranda el lenguaje mediante un sĂ­mbolo de conectiva de tres lugares, #, llamado el sĂ­mbolo de mayorĂ­a. Ahora se permitirĂĄ que la expresiĂłn sea una fĂłrmula cuando đ?›ź, đ?›˝ y đ?›ž son fĂłrmulas. En otras palabras, se agrega una sexta operaciĂłn de construcciĂłn de fĂłrmulas: â„°# (đ?›ź, đ?›˝, đ?›ž) = (#đ?›źđ?›˝đ?›ž). Ahora se debe dar la interpretaciĂłn de este sĂ­mbolo. Esto es, se tiene que decir cĂłmo calcular đ?‘ŁĚ… ((#đ?›źđ?›˝đ?›ž)), dados los valores đ?‘ŁĚ… (đ?›ź), đ?‘ŁĚ… (đ?›˝) y đ?‘ŁĚ… (đ?›ž). Se elige la definiciĂłn siguiente: đ?‘ŁĚ… ((#đ?›źđ?›˝đ?›ž)), coincide con la mayorĂ­a de đ?‘ŁĚ… (đ?›ź), đ?‘ŁĚ… (đ?›˝), đ?‘ŁĚ… (đ?›ž) Lo que aquĂ­ se afirma es que esta extensiĂłn no ha aportado algo, en el siguiente sentido preciso: para toda fĂłrmula del lenguaje extendido existe en el lenguaje original, una fĂłrmula tautolĂłgicamente equivalente. (Por otro lado, la fĂłrmula del lenguaje original puede ser mucho mĂĄs larga que la del lenguaje extendido.) Se probarĂĄ esto (en una situaciĂłn mucho mĂĄs general) mĂĄs adelante; aquĂ­ sĂłlo se harĂĄ notar que es tautolĂłgicamente equivalente a‌ (đ?›ź ∧ đ?›˝) ∨ (đ?›ź ∧ đ?›ž) ∨ (đ?›˝ ∧ đ?›ž). A manera de argumento, recuerda que el valor de đ?‘ŁĚ… ((#đ?›źđ?›˝đ?›ž)) debe ser calculable a partir de ⌊đ?‘ŁĚ… (đ?›ź), đ?‘ŁĚ… (đ?›˝), đ?‘ŁĚ… (đ?›ž)âŒŞ, ya que esto juega un papel definitivo. En el lenguaje coloquial hay operadores unarios como “es posible queâ€? o “creo queâ€?. Se puede aplicar uno de estos operadores a un enunciado, produciendo otro enunciado cuya verdad o falsedad no se puede determinar solamente con base en la verdad o falsedad del enunciado original. Al generalizar el ejemplo anterior, el lenguaje formal serĂĄ mĂĄs un obstĂĄculo que una ayuda. Es posible reformular el problema al usar sĂłlo funciones. 1.4.1.1. DefiniciĂłn Una funciĂłn booleana de đ?’Œ variables es una funciĂłn de {đ?‘‰, đ??š}đ?‘˜ en {đ?‘‰, đ??š}. Una funciĂłn booleana es, entonces, cualquier funciĂłn booleana de đ?‘˜ variables para alguna đ?‘˜. Esto se amplĂ­a un poco permitiendo que đ?‘‰ y đ??š sean funciones booleanas de cero variables.

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Como ejemplos de funciones booleanas se tienen las definidas por las ecuaciones siguientes (donde đ?‘‹ ∈ {đ?‘‰, đ??š}): đ??źđ?‘–đ?‘› (đ?‘‹1 , ‌ , đ?‘‹đ?‘› ) = đ?‘‹đ?‘– đ?‘ (đ?‘‰) = đ??š, đ?‘ (đ??š) = đ?‘‰, đ??ž(đ?‘‰, đ?‘‰) = đ?‘‰, đ??ž(đ??š, đ?‘‹) = đ??ž(đ?‘‹, đ??š) = đ??š, đ??´(đ??š, đ??š) = đ??š, đ??´(đ?‘‰, đ?‘‹) = đ??´(đ?‘‹, đ?‘‰) = đ?‘‰, đ??ś(đ?‘‰, đ??š) = đ??š, đ??ś(đ??š, đ?‘‹) = đ??ś(đ?‘‹, đ?‘‰) = đ?‘‰, đ??¸(đ?‘‹, đ?‘‹) = đ?‘‰, đ??¸(đ?‘‰, đ??š) = đ??¸(đ??š, đ?‘‰) = đ??š. A partir de una fĂłrmula đ?›ź se puede obtener una funciĂłn booleana. Por ejemplo, si đ?›ź es la fĂłrmula đ??´1 ∧ đ??´2 , entonces puedes hacer una tabla (siguiente). Los 22 renglones de la tabla corresponden a las 22 asignaciones de verdad para {đ??´1 , đ??´2 }. Para cada una de las 22 parejas đ?‘‹Ě…, se hace đ??ľđ?›ź (đ?‘‹Ě…) igual al valor que đ?›ź recibe cuando se les dan a sus sĂ­mbolos de enunciado los valores indicados por đ?‘‹Ě…. Tabla

đ?‘¨đ?&#x;?

đ?‘¨đ?&#x;?

đ?‘¨đ?&#x;? ∧ đ?‘¨đ?&#x;?

đ?‘­ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘˝

đ??š đ?‘‰ đ??š đ?‘‰

đ??š đ??š đ??š đ?‘‰

đ??ľđ?›ź (đ??š, đ??š) = đ??š đ??ľđ?›ź (đ??š, đ?‘‰) = đ??š đ??ľđ?›ź (đ?‘‰, đ??š) = đ??š đ??ľđ?›ź (đ?‘‰, đ?‘‰) = đ?‘‰

En general, supondrĂĄs que đ?›ź es una fĂłrmula cuyos sĂ­mbolos de enunciado estĂĄn entre đ??´1 , ‌ , đ??´đ?‘› . 1.4.1.2. DefiniciĂłn Se define una funciĂłn booleana de đ?‘› variables đ??ľđ?›źđ?‘› , la funciĂłn booleana realizada por đ?›ź, como đ??ľđ?›źđ?‘› (đ?‘‹1 , ‌ , đ?‘‹đ?‘› ) = đ?‘’đ?‘™ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘?đ?‘’ đ?›ź đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ?‘Ž đ??´1 , ‌ , đ??´đ?‘› đ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘ đ?‘œđ?‘› đ?‘Žđ?‘ đ?‘–đ?‘”đ?‘›đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘‹1 , . . , đ?‘‹đ?‘› . En otras palabras: đ??ľđ?›źđ?‘› (đ?‘‹1 , ‌ , đ?‘‹đ?‘› ) = đ?‘ŁĚ… (đ?›ź), donde đ?‘Ł es la asignaciĂłn de verdad para {đ??´1 , ‌ , đ??´đ?‘› }, para la cual đ?‘Ł(đ??´đ?‘– ) = đ?‘‹đ?‘– . AsĂ­ đ??ľđ?›źđ?‘› surge de considerar đ?‘ŁĚ… (đ?›ź) como una funciĂłn de đ?‘Ł, con đ?›ź fija. Por ejemplo, las funciones booleanas mencionadas se pueden obtener de esta manera: đ??źđ?‘–đ?‘› = đ??ľđ??´đ?‘›đ?‘– , 1 đ?‘ = đ??ľÂŹđ??´ , 1

đ??ž = đ??ľđ??´21 ∧đ??´2 , đ??´ = đ??ľđ??´21 ∨đ??´2 , đ??ś = đ??ľđ??´21 →đ??´2 , đ??¸ = đ??ľđ??´21 ↔đ??´2 . Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 30

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones A partir de estas funciones se pueden componer otras. Por ejemplo: 2 (đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ) = đ??´ (đ?‘ (đ??ź12 (đ?‘‹1 , đ?‘‹2 )) , đ?‘ (đ??ź22 (đ?‘‹1 , đ?‘‹2 ))) đ??ľÂŹđ??´ 1 âˆ¨ÂŹđ??´2

En resultados siguientes se llegarĂĄ a la cuestiĂłn de si toda funciĂłn booleana se puede obtener de esta manera. Como afirma el teorema siguiente, al cambiar la atenciĂłn de las fĂłrmulas a las funciones booleanas que realizan, quedan identificadas entre sĂ­ las fĂłrmulas tautolĂłgicamente equivalentes. Ordenando el conjunto {đ?‘‰, đ??š} definiendo đ??š < đ?‘‰. (Usualmente se considera đ?‘‰ = 1 y đ??š = 0, entonces ĂŠste es el orden natural). 1.4.1.1. Teorema Sean đ?›ź, đ?›˝ fĂłrmulas cuyos sĂ­mbolos de enunciado estĂĄn entre đ??´1 , ‌ , đ??´đ?‘› . Entonces: a) đ?›ź ⊨ đ?›˝ ssi para toda đ?‘‹âƒ— ∈ {đ?‘‡, đ??š}đ?‘› , đ??ľđ?›ź (đ?‘‹âƒ—) < đ??ľđ?›˝ (đ?‘‹âƒ—). b) đ?›ź ⊨⍤ đ?›˝ ssi đ??ľđ?›ź = đ??ľđ?›˝ . c) ⊨ đ?›ź ssi đ??ľđ?›ź es la funciĂłn constante con valor đ?‘‰. DemostraciĂłn De (a) đ?›ź ⊨ đ?›˝ ssi para todas las asignaciones de verdad đ?‘Ł para đ??´1 , . . , đ??´đ?‘› , tales que đ?‘ŁĚ… (đ?›ź) = đ?‘‰, tambiĂŠn đ?‘ŁĚ… (đ?›˝) = đ?‘‰. (Esto es cierto aĂşn si los sĂ­mbolos de enunciado de đ?›ź y đ?›˝ no incluyen a todos los sĂ­mbolos đ??´1 , ‌ , đ??´đ?‘› , considera hacer esto como ejercicio.) Por lo tanto: đ?›ź ⊨ đ?›˝ ssi para todas las asignaciones đ?‘Ł, đ?‘ŁĚ… (đ?›ź) = đ?‘‰ ⇒ đ?‘ŁĚ… (đ?›˝) = đ?‘‰, ssi para todas las đ?‘›-adas đ?‘‹âƒ—, đ??ľđ?›źđ?‘› (đ?‘‹âƒ—) = đ?‘‰ ⇒ đ??ľđ?›˝đ?‘› (đ?‘‹âƒ—) = đ?‘‰, ssi para todas las đ?‘›-adas đ?‘‹âƒ—, đ??ľđ?›źđ?‘› (đ?‘‹âƒ—) ≤ đ??ľđ?›˝đ?‘› (đ?‘‹âƒ—) donde đ??š < đ?‘‰. ∎ AdemĂĄs de identificar fĂłrmulas tautolĂłgicamente equivalentes, te has librado del lenguaje formal. Ahora existe cierta libertad de considerar cualquier funciĂłn booleana, sea o no realizada por alguna fĂłrmula. Pero esta libertad es sĂłlo aparente: 1.4.1.2. Teorema Sea đ??ş una funciĂłn booleana de đ?‘› variables, con đ?‘› ≼ 1. Es posible encontrar una fĂłrmula đ?›ź tal que đ??ş = đ??ľđ?›źđ?‘› , es decir, dicha đ?›ź realiza la funciĂłn đ??ş. DemostraciĂłn Caso I: si đ??ş es la funciĂłn constante con valor đ??š, considera đ?›ź = đ??´1 ∧ ÂŹđ??´1 . Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 31

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Caso II: de otra forma existen đ?‘˜ puntos en los cuales đ??ş tiene el valor đ?‘‰, con đ?‘˜ > 0. Sea: đ?‘‹âƒ—1 = ⌊đ?‘‹11 , đ?‘‹12 , ‌ , đ?‘‹1đ?‘› âŒŞ, đ?‘‹âƒ—2 = ⌊đ?‘‹21 , đ?‘‹22 , ‌ , đ?‘‹2đ?‘› âŒŞ, â‹Ż đ?‘‹âƒ—đ?‘˜ = ⌊đ?‘‹đ?‘˜1 , đ?‘‹đ?‘˜2 , ‌ , đ?‘‹đ?‘˜đ?‘› âŒŞ. una lista de dichos puntos. Sean: đ?›˝đ?‘–đ?‘— = {

đ??´đ?‘— ,

đ?‘ đ?‘– đ?‘‹đ?‘–đ?‘— = đ?‘‰,

đ?‘ đ?‘– đ?‘‹đ?‘–đ?‘— = đ??š, (ÂŹđ??´đ?‘— ), đ?›žđ?‘– = đ?›˝đ?‘–1 ∧ â‹Ż ∧ đ?›˝đ?‘–đ?‘› , đ?›ź = đ?›ž1 ∨ đ?›ž2 ∨ â‹Ż ∨ đ?›žđ?‘˜ Se afirma que đ??ş = đ??ľđ?›źđ?‘› . Para comprender un poco mejor la razĂłn de estas construcciones, considera el siguiente ejemplo. Sea đ??ş la siguiente funciĂłn booleana de tres variables. đ??ş(đ??š, đ??š, đ??š) = đ??š, đ??ş(đ??š, đ??š, đ?‘‰) = đ?‘‰, đ??ş(đ??š, đ?‘‰, đ??š) = đ?‘‰, đ??ş(đ??š, đ?‘‰, đ?‘‰) = đ??š, đ??ş(đ?‘‰, đ??š, đ??š) = đ??š, đ??ş(đ?‘‰, đ??š, đ?‘‰) = đ??š, đ??ş(đ?‘‰, đ?‘‰, đ??š) = đ??š, đ??ş(đ?‘‰, đ?‘‰, đ?‘‰) = đ?‘‰. Entonces, la lista de ternas en las cuales đ??ş toma el valor đ??š tiene cuatro elementos: đ??šđ??šđ?‘‰ ÂŹđ??´1 ∧ ÂŹđ??´2 ∧ đ??´3 , đ??šđ?‘‰đ??š ÂŹđ??´1 ∧ đ??´2 ∧ ÂŹđ??´3 , đ?‘‰đ??šđ??š đ??´1 ∧ ÂŹđ??´2 ∧ ÂŹđ??´3 , đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰ đ??´1 ∧ đ??´2 ∧ đ??´3 . A la derecha de cada terna se han escrito la conjunciĂłn correspondiente đ?›žđ?‘– . Entonces đ?›ź es la fĂłrmula: (ÂŹđ??´1 ∧ ÂŹđ??´2 ∧ đ??´3 ) ∨ (ÂŹđ??´1 ∧ đ??´2 ∧ ÂŹđ??´3 ) ∨ (đ??´1 ∧ ÂŹđ??´2 ∧ ÂŹđ??´3 ) ∨ (đ??´1 ∧ đ??´2 ∧ đ??´3 ). Se tiene que đ?›ź da una lista explĂ­cita de las ternas en las cuales đ??ş toma el valor V.

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Al regresar a la demostraciĂłn, observa que đ??ľđ?›źđ?‘› (đ?‘‹âƒ—đ?‘– ) = đ?‘‰ para 1 < đ?‘– < đ?‘˜; esto porque la asignaciĂłn de verdad correspondiente a đ?‘‹âƒ—đ?‘– satisface đ?›žđ?‘– , por lo tanto satisface a đ?›ź. Por otra parte, sĂłlo una asignaciĂłn de verdad para {đ??´1 , . . , đ??´đ?‘› } satisface đ?›žđ?‘– , de donde sĂłlo đ?‘˜ asignaciones ⃗⃗) = đ??š para las demĂĄs 2đ?‘› − đ?‘˜ đ?‘›-adas đ?‘Œ. AsĂ­ para todos pueden satisfacer a đ?›ź. Por lo tanto đ??ľđ?›źđ?‘› (đ?‘Œ ⃗⃗) = đ??ş(đ?‘Œ). los casos se tiene đ??ľđ?›źđ?‘› (đ?‘Œ ∎ En el teorema anterior se ha visto que cualquier funciĂłn booleana đ??ş es realizable, pero esta realizaciĂłn no es necesariamente Ăşnica, pues cualquier fĂłrmula tautolĂłgicamente equivalente tambiĂŠn realiza a đ??ş, para el ejemplo dentro de la demostraciĂłn: đ??´1 ↔ đ??´2 ↔ đ??´3 realiza a đ??ş. Como corolario del teorema anterior, se puede concluir que se tienen suficientes conectivas. En efecto, si se extiende el lenguaje agregĂĄndole algunas conectivas nuevas, cualquier fĂłrmula đ?œ‘ de este lenguaje extendido realiza alguna funciĂłn đ??ľđ?œ‘đ?‘› . Por el teorema anterior, se tiene una fĂłrmula đ?›ź del lenguaje original tal que đ??ľđ?œ‘đ?‘› = đ??ľđ?›źđ?‘› . Por tanto đ?œ‘ y đ?›ź son tautolĂłgicamente equivalentes por el teorema 1.4.1.1. La demostraciĂłn del teorema prueba que la forma de đ?›ź incluye sĂłlo las conectivas ∧,∨ y ÂŹ; ĂŠsta es la llamada forma normal disyuntiva. Esto es: đ?›ź = đ?›ž1 ∨ đ?›ž2 ∨ â‹Ż ∨ đ?›žđ?‘˜ donde: đ?›žđ?‘– = đ?›˝đ?‘–1 ∧ â‹Ż ∧ đ?›˝đ?‘–đ?‘› Cada đ?›˝đ?‘–đ?‘— es un sĂ­mbolo de enunciado o la negaciĂłn de un sĂ­mbolo de enunciado. AsĂ­ se tiene el siguiente corolario. 1.4.1.3. Corolario Para cualquier fĂłrmula đ?œ‘, es posible encontrar una fĂłrmula tautolĂłgicamente equivalente a đ?›ź en forma normal disyuntiva. đ?‘›

Para cada đ?‘› existen 22 funciones booleanas de đ?‘› variables. Por lo tanto, si se identifica cada đ?‘› conectiva con su funciĂłn booleana, se tiene que hay 22 conectivas đ?‘›-arias. Ahora se presenta una clasificacion con đ?‘› ≤ 2. Conectivos đ?&#x;Ž-arias Existen dos funciones de 0 variables, đ?‘‰ y đ??š. Como sĂ­mbolos de conectiva correspondientes se han tomado ⊤ y ⊼. Ahora una conectiva đ?‘›-aria se combina con đ?‘› fĂłrmulas para producir una nueva fĂłrmula. Cuando đ?‘› = 0, se tiene que ⊼ es por sĂ­ mismo una fĂłrmula. Difiere de los sĂ­mbolos de enunciado en que đ?‘ŁĚ… (⊼) = đ??š para toda đ?‘Ł, es decir, ⊼ es un sĂ­mbolo lĂłgico al que siempre se le asigna el valor de đ??š. Similarmente ⊤ es una fĂłrmula y đ?‘ŁĚ… (⊤) = đ?‘‰ para toda đ?‘Ł. Por ejemplo, đ??´ →⊼ e suma fĂłrmula, tautologicamente equivalente a ÂŹđ??´. Conectivas unarias Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 33

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Hay cuatro conectivas unarias: la negaciĂłn, la identidad y las dos funciones constantes. Conectivas binarias Hay 16 conectivas binarias, pero sĂłlo las Ăşltimas 10 que aparecen en la tabla siguiente son “binariasâ€?. SĂ­mbolo Equivalentes ⊤ ⊼ đ??´ đ??ľ ÂŹđ??´ ÂŹđ??ľ ∧ đ??´âˆ§đ??ľ ∨ → ↔ â†? + ↓ | < >

đ??´âˆ¨đ??ľ đ??´â†’đ??ľ đ??´â†”đ??ľ đ??ľâ†?đ??´ (đ??´ ∨ đ??ľ) ∧ ÂŹ(đ??´ ∧ đ??ľ) ÂŹ(đ??´ ∨ đ??ľ) ÂŹ(đ??´ ∧ đ??ľ) (ÂŹđ??´) ∧ đ??ľ đ??´ ∧ (ÂŹđ??ľ)

Observaciones Constante de dos variables, escencialmente 0-aria Constante de dos variables, escencialmente 0-aria ProyecciĂłn, esencialmente unaria ProyecciĂłn, esencialmente unaria NegaciĂłn, esencialmente unaria NegaciĂłn, esencialmente unaria Si đ?‘‰ = 1 y đ??š = 0, entonces ĂŠsta es la multiplicaciĂłn en el campo {0,1} O Condicional Bicondacional Condicional invertido O exclusivo Nor, no đ??´ ni đ??ľ Nand, el sĂ­mbolo se llama la raya de Sheffer El orden usual El orden usual

Conectivas ternarias Hay 256 conectivas ternarias: 2 esencialmente 0-arias, 6 son esencialmente unarias, 30 son esencialmente binarias y 218 son realmente ternarias. Hasta ahora se ha trabajado con la conectiva mayorĂ­a #.

Conjuntos de conectivos completos De acuerdo con los teoremas del subtema anterior, dado que toda funcion đ??ş: {∧,∨, ÂŹ}đ?‘› → {đ?‘‰, đ??š} para cada đ?‘› ≼ 1 puede ser realizada por una fĂłrmula que usa sĂłlo los sĂ­mbolos de conectiva del conjutno {∧,∨, ÂŹ}, se dice que el conjunto {∧,∨, ÂŹ} es completo. Ser completo es en realidad una propiedad de las funciones booleanas asociadas a esos sĂ­mbolos. Los siguientes teoremas exponen conjuntos de conectivos que son completos, es decir, para cualquier fĂłrmula đ?œ‘ es posible construir una fĂłrmula que use sĂłlo las conectivas del conjunto y que realice đ??ľđ?œ‘ , entonces đ?›ź ⊨⍤ đ?œ‘. La completud de {∧,∨, ÂŹ} se puede mejorar: 1.4.2.1. Teorema {∧, ÂŹ} y {∨, ÂŹ} son ambos completos. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 34

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones DemostraciĂłn Se debe demostrar que cualquier funciĂłn booleana đ??ş puede ser realizada por una fĂłrmula que use Ăşnicamente, en el primer caso, {∧, ÂŹ}. Sea đ?›ź que use {∧,∨, ÂŹ} y realice đ??ş, basta encontrar una fĂłrmula tautĂłlogicamente equivalente đ?›ź ′ que use solamente {∧, ÂŹ}. De acuerdo con la ley de De Morgan que estĂĄ en la lista de tautologias anteriormente: đ?›˝ ∨ đ?›ž ⊨⍤ ÂŹ(ÂŹđ?›˝ ∧ ÂŹđ?›ž). Aplicando esta ley repetidamente, es posible eliminar por completo ∨ de đ?›ź. De manera formal, es posible demostrar por induccion sobre đ?›ź que existe una đ?›ź ′ tautolĂłgicamente equivalente en la que sĂłlo ocurren las conectivas ∧, ÂŹ. Los dos casos no triviales en el paso inductivo son: Caso ÂŹ: Si đ?›ź = (ÂŹđ?›˝), considera đ?›ź ′ = (ÂŹđ?›˝ ′ ). Caso ∨: Si đ?›ź = (đ?›˝ ∨ đ?›ž), se hace đ?›ź ′ = ÂŹ(ÂŹđ?›˝ ′ ∧ ÂŹđ?›ž ′ ). Como đ?›˝ ′ y đ?›ž ′ son tautolĂłgicamente equivalentes a đ?›˝ y đ?›ž respectivamente, entonces: đ?›ź ′ = ÂŹ(ÂŹđ?›˝â€˛ ∧ ÂŹđ?›ž ′ ) ⊨⍤ ÂŹ(ÂŹđ?›˝ ∧ ÂŹđ?›ž) ⊨⍤ đ?›˝ ∨ đ?›ž = đ?›ź. ∎ 1.4.2.2. Teorema Los conjuntos siguientes son completos: a) {| } b) {↓} c) {ÂŹ, →} d) {⊼, →} DemostraciĂłn Se presenta la demostraciĂłn de {| }; de manera similar, se procede para el resto de los conjuntos y puedes hacerlo como ejercicio: ÂŹđ?›ź ⊨⍤ đ?›ź|đ?›ź đ?›ź ∨ đ?›˝ ⊨⍤ (ÂŹđ?›ź)| (ÂŹđ?›˝) Como {ÂŹ,∨} es completo y ÂŹ, ∨ se pueden simular usando solamente |, entonces {| } es completo. ∎

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Lógica Matemåtica Unidad 1. Lógica de enunciados o de proposiciones Con respecto al inciso c), se puede notar que de las 10 conectivas realmente binarias que se mostraron en la tabla que aparece en el tema anterior, 8 de ellas forman un conjunto completo al agregarle el símbolo , las que no cumplen esto son + y ↔.

Conjuntos de conectivos incompletos Demostrar que un conjunto dado de conectivos no es completo es, generalmente, mĂĄs dĂ­fĂ­cil que uno que sĂ­ es completo. El mĂŠtodo consiste primero en demostrar, generalmente por inducciĂłn, que para toda fĂłrmula đ?›ź que use sĂłlo esas conectivas la funciĂłn đ??ľđ?›źđ?‘› tiene una “peculiaridadâ€?, y despuĂŠs probar que alguna funciĂłn booleana carece de dicha “peculiaridadâ€?. Considera el siguiente ejemplo para entender cĂłmo demostrar ese tipo de “peculiaridadâ€?. 1.4.3.1. ProposiciĂłn {∧, →} no es completo. DemostraciĂłn Con estas conectivas, si se asigna đ?‘‰ a los sĂ­mbolos de enunciado, entonces toda fĂłrmula recibe el valor đ?‘‰. En particular, no se tiene nada tautolĂłgicamente equivalente a ÂŹđ??´. De manera detallada, es posible probar por induccion que para cualquier fĂłrmula đ?›ź que use sĂłlo estas conectivas y que tenga đ??´ como Ăşnico sĂ­mbolo de enunciado, se tiene que đ??´ ⊨ đ?›ź, en tĂŠrminos de funciones se tiene que đ?‘‹ ≤ đ??ľđ?›ź1 (đ?‘‹). Para reforzar los temas anteriores, resuelve la siguiente actividad.

Actividad 2. Problemas de aplicaciĂłn de principios de inducciĂłn, recursiĂłn y uso de conectivos A travĂŠs de esta actividad, resolverĂĄs ejercicios relacionados con principios de inducciĂłn, recursiĂłn y conectivos Nota: no olvides consultar la Escala de evaluaciĂłn para conocer los criterios con que serĂĄ evaluado tu trabajo.

Compacidad y efectividad. Para empezar, se darĂĄ la prueba del teorema 1.2.2.1., que se presentĂł anteriormente, pues ya se tienen las herramientas necesarias para esto y ademĂĄs se plantea un aspecto muy interesante respecto al mĂŠtodo que se dio para evaluar una fĂłrmula, el de las tablas de verdad; Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 36

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones ya que ĂŠste existe, vale la pena preguntar si se podrĂ­a tener un mĂŠtodo mĂĄs eficaz, es decir, que se lleve a cabo con el uso de menos “recursosâ€?.

Teorema de compacidad Se dirĂĄ satisfactible a un conjunto ÎŁ de fĂłrmulas ssi existe una asignaciĂłn de verdad que satisface a todos los elementos de ÎŁ. AsĂ­ es posible replantear el teorema 1.2.2.1 de la siguiente forma. 1.5.1.1. Teorema [teorema de compacidad] Un conjunto de fĂłrmulas es satisfactible ssi todos sus subconjuntos finitos son satisfactibles. Por el momento, considera que ÎŁ es finitamente satisfactible ssi todo subconjunto finito de ÎŁ es satisfactible. El teorema de compacidad dice que esta nociĂłn coincide con la de satisfactibilidad. Las primeras observaciones que se hacen con respecto al teorema son: a) Si ÎŁ es satisfactible, entonces automĂĄticamente es finitamente satisfactible. b) Si ÎŁ es finito, la conversa es trivial. c) La parte no trivial consiste en probar que si un conjunto infinito es finitamente satisfactible, entonces es satisfactible. DemostraciĂłn del teorema de compacidad La demostraciĂłn se harĂĄ en dos partes. En la primera, se toma el conjunto finitamente satisfactible ÎŁ y se extenderĂĄ a un conjunto finitamente satisfactible maximal Δ. Para la segunda, se usa Δ para construir una asignaciĂłn de verdad que satisfaga a ÎŁ. Parte 1 Sea đ?›ź1 , đ?›ź2 , ‌ una enumeraciĂłn fija de las fĂłrmulas, esto es posible porque el conjunto de los sĂ­mbolos de enunciado, y por lo tanto las expresiones, es numerable. Por recursiĂłn sobre los nĂşmeros naturales se define: Δ0 = ÎŁ Δ ; đ?›ź , Si esto es finitamente satisfactible Δđ?‘›+1 = { đ?‘› đ?‘›+1 Δđ?‘› ; ÂŹđ?›źđ?‘›+1 , En el otro caso Donde se tiene que Δđ?‘› ; đ?›źđ?‘›+1 = Δđ?‘› âˆŞ {đ?›źđ?‘›+1 }. Por tanto, cada Δđ?‘› es finitamente satisfactible, esto puedes verificarlo. Sea Δ = ⋃đ?‘› Δđ?‘› , el lĂ­mite de las Δđ?‘› . Se cumplen, asĂ­, las siguientes propiedades: 1) ÎŁ ⊆ Δ 2) Para toda fĂłrmula đ?›ź, se tiene que đ?›ź ∈ Δ o ÂŹđ?›ź ∈ Δ. 3) Δ es finitamente satisfactible, pues todo subconjunto finito de Δ es subconjunto finito de alguna Δđ?‘› y es, por tanto, satisfactible.

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Esto completa la primera parte que se dijo en la demostraciĂłn. El conjunto que se creĂł en general no es Ăşnico, pero existe al menos uno.

Parte 2 Para esta parte se va a definir una asignaciĂłn de verdad đ?‘Ł para el conjunto de todos los sĂ­mbolos de enunciado: đ?‘Ł(đ??´) = đ?‘‰, đ?‘ đ?‘ đ?‘– đ??´ ∈ Δ, para cualquier sĂ­mbolo de enunciado đ??´. Entonces se tiene que para toda fĂłrmula đ?‘Ł satisface a đ?œ‘,

đ?‘ đ?‘ đ?‘– đ?œ‘ ∈ Δ.

Esto se demuestra por inducciĂłn sobre đ?œ‘. Como ÎŁ ⊆ Δ, đ?‘Ł debe entonces satisfacer a todos los elementos de ÎŁ. ∎ 1.5.1.2. Corolario Si ÎŁ ⊨ đ?œ?, entonces existe un subconjunto finito ÎŁ0 ⊆ ÎŁ tal que ÎŁ0 ⊨ đ?œ?. DemostraciĂłn Se hace uso del hecho de que ÎŁ ⊨ đ?œ? ssi ÎŁ; ÂŹđ?œ? es insatisfactible. ÎŁ0 ⊭ đ?œ? para cualquier conjunto finito ÎŁ0 ⊆ ÎŁ ⇒ ÎŁ0 ; ÂŹđ?œ? es satisfactible para cualquier ÎŁ0 ⊆ ÎŁ finito ⇒ ÎŁ; ÂŹđ?œ? es finitamente satisfactible ⇒ ÎŁ; ÂŹđ?œ? es satisfactible ⇒Σ⊭đ?œ? ∎ De hecho, se tiene que el corolario anterior es equivalente al teorema de compacidad, esto se deja como ejercicio en la actividad 3.

Efectividad y calculabilidad Ya se dijo que la existencia del mĂŠtodo de las tablas de verdad tiene conclusiones teĂłricas interesantes. Para empezar, considera que se tiene un conjunto ÎŁ de fĂłrmulas y el problema es saber si existe un procedimiento efectivo que, dada una fĂłrmula đ?œ?, decida sĂ­ o no ÎŁ ⊨ đ?œ?. Por supuesto, hay que decir de manera sĂłlo un poco mĂĄs estructurada quĂŠ significa que algo sea efectivo, asĂ­ un procedimiento es efectivo cuando satisface las siguientes condiciones: 1. Se deben tener instrucciones exactas (es decir, un programa), de longitud finita, que expliquen cĂłmo ejecutar el procedimiento. Éstas no deben exigir ningĂşn ingenio de parte Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 38

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones de la persona (o mĂĄquina) que haya de seguirlas. La idea es que se pueda ejecutar el procedimiento siguiendo mecĂĄnicamente las instrucciones. 2. Deben ser instrucciones que puedan ser mecĂĄnicamente implementadas. El procedimiento debe evitar medios aleatorios, o cualquier medio tal que, en la prĂĄctica sĂłlo se puede aproximar. 3. En el caso de un procedimiento de decisiĂłn, como el mencionado en el problema que se estĂĄ considerando, dada una fĂłrmula đ?œ?, el procedimiento debe producir una respuesta de sĂ­ o no despuĂŠs de un nĂşmero finito de pasos (esto es, el procedimiento debe ser un algoritmo para determinar la respuesta). Por otro lado, no hay cotas sobre el tiempo o el nĂşmero de pasos que se requiere para que se llegue a la respuesta, mientras ĂŠstos sean finitos. Éstas dependerĂĄn, entre otras cosas, de la entrada đ?œ?. No es permitido hacer un nĂşmero infinito de pasos y despuĂŠs dar la respuesta. Para las personas enfocadas en la computaciĂłn, o en general trabajos con mĂĄquinas, la efectividad se alcanza cuando es posible tener la respuesta en un periodo “razonableâ€? de tiempo. Donde la idea de razonable depende de las situaciones. La definiciĂłn que se presentĂł difĂ­cilmente puede ser precisa, en lo siguiente se usarĂĄ la palabra efectiva en un sentido intuitivo e informal. En lo siguiente se trata de trabajar con la idea de efectivo, como ya se dijo, desde un punto de vista empĂ­rico, de que cuando un procedimiento parece efectivo para “algunosâ€? en general lo es. Las ideas intuitivas funcionan en buena manera porque se considera que el proceso es efectivo. Debido a que se estĂĄ tomando el concepto de manera informal, las definiciones y teoremas que la usen se seĂąalan con el siguiente teorema*. *1.5.2.1. Teorema Existe un procedimietno efectivo que, dada cualqueir expresiĂłn đ?›ź, decide si es una fĂłrmula. DemostraciĂłn EstĂĄ basada en el algoritmo presentado cuando se muestra la unicidad de lectura y las observaciones en ĂŠste. ∎

Decidibilidad y ejemplos de enunciados Del Ăşltimo teorema del subtema anterior y su demostraciĂłn puedes notar que se requerĂ­a que una expresiĂłn dada fuera sometida al algoritmo; sin embargo, dado que se tiene un lenguaje con una cantidad infinita de sĂ­mbolos, podrĂ­as preguntar la forma en que se tiene “dadaâ€? la fĂłrmula đ?œ€. Para empezar, podrĂ­as imaginar que esto es porque alguien pudo escribir los sĂ­mbolos de đ?œ€, uno despuĂŠs del otro. Es imposible que una persona escriba una cantidad infinita de sĂ­mbolos. Para evitarlo, se considera el siguiente “formato de entrada y salidaâ€?. En lugar de Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 39

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones escribir por ejemplo đ??´5 , se usa đ??´â€˛â€˛â€˛â€˛ , una cadena de cinco sĂ­mbolos. AsĂ­, el nĂşmero total de sĂ­mbolos en el alfabeto es sĂłlo 9: (, ), ÂŹ,∧,∨, →, ↔, đ??´, ′ (Si se identifican estos nueve sĂ­mbolos con los dĂ­gitos 1-9, se obtienen expresiones que parecen particularmente familiarizados en los entornos computacionales. Puedes tomar el dĂ­gito 0 para las expresiones de separaciĂłn.) El siguiente teorema establece que el conjunto de las fĂłrmulas es decidible en el sentido de la definiciĂłn a continuaciĂłn. *1.5.3.1. DefiniciĂłn [decidible] Un conjunto ÎŁ de expresiones es decidible si y sĂłlo si existe un procedimiento eficaz que, dada una expresiĂłn đ?›ź, decidirĂĄ si đ?›ź ∈ ÎŁ o đ?›ź ∉ ÎŁ. Por ejemplo, cualquier conjunto finito es decidible. (Las instrucciones pueden simplemente listar los elementos del conjunto. Entonces el algoritmo puede comprobar la entrada contra cada miembro de la lista). Algunos conjuntos infinitos son decidibles, pero no todos. Por un lado, hay conjuntos de expresiones no mumerables (2â„ľ0 ); por otro, sĂłlo puede haber una cantidad numerable de procedimientos eficaces. Esto es porque el procedimiento estĂĄ completamente determinado por sus intrucciones, las cuales son sĂłlo un nĂşmero finito. SĂłlo hay â„ľ0 sucesiones finitas de letras y las instrucciĂłnes, cuando se escriben hacia fuera, forman una sucesiĂłn finita de letras.

*1.5.3.1. Teorema Hay un procedimiento efectivo que, dado un conjunto ÎŁ; đ?œ? de fĂłrmulas, decidirĂĄ si ÎŁ ⊨ đ?œ? o no. DemostraciĂłn El procedimiento de tablas de verdad expuesto cumple con estos requerimientos. ∎ En este teorema se especifica la finitud de ÎŁ; đ?œ?, ya que no se puede tener “dadoâ€? de manera directa o efectiva la totalidad de un objeto infinito. *1.5.3.2. Corolario Dado un conjunto finito ÎŁ, el conjunto de las consecuencias tautolĂłgicas de ÎŁ es decidible. En particular, el conjunto de las tautologĂ­as es decidible. Si ÎŁ es un conjunto infinito decidible, entonces, por lo general, el conjunto de sus consecuencias tautolĂłgicas no es decidible, esto se verĂĄ en temas mĂĄs adelante. Pero es posible obtener un resultado mĂĄs dĂŠbil, que en cierto sentido da la mitad de la decidibilidad. 1.5.3.2. DefiniciĂłn [efectivamente enumerable] Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as | Licenciatura en MatemĂĄticas 40

LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones Se llamarĂĄ a un conjunto đ??´ de expresiones efectivamente enumerable ssi existe algĂşn procedimiento efectivo que produce una lista, en algĂşn orden, de los elementos de đ??´. (Si đ??´ es infinito, entonces el procedimiento nunca termina. Pero cualquier elemento particular de đ??´ debe, despuĂŠs de un tiempo finito, aparecer en la lista). A continauciĂłn se presentan un par de resultados con respecto a esta definiciĂłn para tenerla un poco mĂĄs clara. *1.5.3.3. Teorema Un conjunto đ??´ de expresiones es efectivamente enumerable ssi existe un procedimiento efectivo que, dada cualquier expresiĂłn đ?œ€, produce la respuesta “sĂ­â€? en el caso de que đ?œ€ ∈ đ??´. (Si đ?œ€ ∉ đ??´ procedimiento puede producir la respuesta “noâ€?, o puede continuar indefinidamente sin producir ninguna, pero no debe originar un “sĂ­â€?.) DemostraciĂłn Si đ??´ es efectivamente enumerable, entonces dada cualquier đ?œ€ es posible examinar la lista de los elementos de đ??´ mientras el procedimiento la produce. Y cuando aparezca, se da la respuesta “sĂ­â€?. (AsĂ­ si đ?œ€ ∉ đ??´, no se da ninguna respuesta. Esto es lo que hace que đ??´ no sea decidible. Si đ?œ€ no ha ocurrido entre los primeros 1010 elementos enumerados de đ??´, en general no hay manera de saber si đ?œ€ ∉ đ??´, en cuyo caso se deberĂ­a dejar de buscarlo, o si aparecerĂĄ justamente en el siguiente paso). Conversamente, supĂłn que se tiene el procedimiento descrito en el teorema. Se quiere crear una lista de los elementos de đ??´. La idea es enumerar todas las expresiones y aplicar el procedimiento dado a cada una. Pero se debe administrar nuestro tiempo de manera razonable. Es bastante fĂĄcil enumerar efectivamente todas las expresiones: đ?œ€1 , đ?œ€2 , đ?œ€3 , ‌ Se procede asĂ­: 1. Dedicar un minuto a verificar si đ?œ€1 es elemento de đ??´ (usando el procedimiento dado). 2. Dedicar dos minutos a verificar đ?œ€1 , luego dos minutos a đ?œ€2 . 3. Dedicar tres minutos a đ?œ€1 , luego tres minutos a đ?œ€2 y tres minutos a đ?œ€3 . EtcĂŠtera. Por supuesto que siempre que el procedimiento produzca un “sĂ­â€? se coloca la expresiĂłn aceptada en la lista de salida. De esta manera para todo elemento de đ??´ llegarĂĄ un momento en que aparecerĂĄ en la lista. (AparecerĂĄ una infinidad de veces a menos que se modifiquen las instrucciones anteriores para evitar la duplicaciĂłn.) ∎ *1.5.3.4. Teorema Un conjunto de expresiones es decidible ssi tanto ĂŠl como su complemento.(con respecto al conjunto de todas las expresiones) son efectivamente enumerables.

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LĂłgica MatemĂĄtica Unidad 1. LĂłgica de enunciados o de proposiciones La demostraciĂłn de este teorema se deja como ejercicio en la evidencia de aprendizaje. Nota que si los conjuntos đ??´ y đ??ľ son efectivamente enumerables, entonces, asimismo, lo son đ??´ âˆŞ đ??ľ y đ??´ ∊ đ??ľ. La clase de los conjuntos decidibles tambiĂŠn es cerrada bajo uniĂłn e intersecciĂłn y ademĂĄs es cerrada bajo complementaciĂłn. Ahora un resultado mĂĄs substancial: *1.5.3.5. Teorema Si ÎŁ es un conjunto decidible de fĂłrmulas, entonces el conjunto de las consecuencias tautolĂłgicas de ÎŁ es efectivamente enumerable. DemostraciĂłn De hecho basta con que ÎŁ estĂŠ efectivamente enumerado; considera una enumeraciĂłn: đ?œŽ1 , đ?œŽ2 , đ?œŽ3 , ‌ Dada cualquier fĂłrmula đ?œ?, es posible verificar (por medio de tablas de verdad) si es que: ∅⊨đ?œ? {đ?œŽ1 } ⊨ đ?œ? {đ?œŽ1 , đ?œŽ2 } ⊨ đ?œ? {đ?œŽ1 , đ?œŽ2 , đ?œŽ3 } ⊨ đ?œ? etcĂŠtera. Si alguna de estas condiciones es satisfecha, entonces se contesta “sĂ­â€?. De otra forma, continĂşa probando. Esto produce una respuesta afirmativa siempre y cuando ÎŁ ⊨ đ?œ?, por el corolario al teorema de compacidad. ∎ MĂĄs tarde, se querrĂĄ utilizar procedimientos eficaces para calcular funciones. Se tiene que una funciĂłn đ?‘“ es efectivamente computable (o simplemente computable) si y sĂłlo si existe un procedimiento eficaz que, dada una entrada đ?‘Ľ, a su vez, producirĂĄ la salida correcta đ?‘“(đ?‘Ľ). Hasta aquĂ­ se tienen algunos de los temas mĂĄs importantes en la lĂłgica de enunciados, resuelve las actividades a continuaciĂłn y considera la secciĂłn Para saber mĂĄs.

Actividad 3. Propiedades de conjuntos de fĂłrmulas Mediante esta actividad, resolverĂĄs ejercicios sobre propiedades de conjunto de fĂłrmulas: Nota: no olvides consultar la Escala de evaluaciĂłn para conocer los criterios con que serĂĄ evaluado tu trabajo.

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Lógica Matemática Unidad 1. Lógica de enunciados o de proposiciones

Evidencia de Aprendizaje Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar tus conocimientos sobre aproximación de funciones continuas. Nota: no olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones

Cierre de la unidad Como observaste, esta unidad te permite tener un pensamiento matemático, lógico; las herramientas para estructurar este pensamiento y el lenguaje para poder expresar dicho pensamiento lógico con lógica matemática.

Para saber más El enfoque que se presentó desde el inicio en este curso de lógica es, si bien apropiado, algo distinto a la forma en que usualmente se expone en un curso de lógica donde desde el principio se dan una serie de formalizaciones resultados. En este curso se dieron sólo ideas intuitivas y bosquejos de muchas demostraciones, para ver una forma alternativa de la presentacion de la lógica matematica, revisa los siguientes textos: Supper, P. y Hill, S. (2005). Introducción a la lógica matemática.Méxic, Editorial Reverté. Rautenberg, W. (2006). A Concise Introduction to Mathematical Logic,EUA, 2a ed. Springer. En ambos considera revisar los temas relacionados con la lógica de enunciados, es decir, el capítulo 1.

Referencias Bibliográficas

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Lógica Matemática Unidad 1. Lógica de enunciados o de proposiciones Amor, J. A. y Rojas, R. (1991) Sistemas formales. México: Vínculos Matemáticos, núm. 149, Facultad de Ciencias-UNAM. Amor, J. A. (1996). Lógica proposicional dentro de la lógica de primer orden. México: Vínculos Matemáticos, núm. 113, Facultad de Ciencias-UNAM. Enderton, H., A. (2001). Mathematical Introduction to Logic. EUA: Universidad de California, Academic Press. Kleene, S. C. (2002). Mathematical Logic. Nueva York: Dover Publications. Mendelson, E. (1997). Introduction to Mathematical Logic. EUA: Chapman & Hall.

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