U2 logica de primer orden o de predicados[4]

Page 1

Lógica matemática Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° Semestre

Lógica matemática

Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados

Clave: 05144845

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías| Licenciatura en Matemáticas 1

Lógica matemática Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados Índice Índice ....................................................................................................................................... 2 Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados ............................................................. 3 Presentación de la unidad ..................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad ......................................................................................................... 3 Competencia específica ......................................................................................................... 4 Lenguajes de primer orden .................................................................................................... 4 Símbolos lógicos y no lógicos ............................................................................................. 6 Términos y fórmulas ........................................................................................................... 11 Variables libres y variables acotadas ................................................................................ 13 Definición y ejemplos de enunciados ................................................................................ 15 Verdad y modelos ................................................................................................................. 17 Interpretaciones o estructuras ........................................................................................... 17 Definición de satisfacción .................................................................................................. 19 Definición de verdad para enunciados y definición de modelo ....................................... 23 Implicación lógica ............................................................................................................... 26 Equivalencia lógica ............................................................................................................. 27 Fórmulas universalmente válidas ...................................................................................... 27 Definibilidad de una estructura .......................................................................................... 28 Homomorfismos y teorema del homomorfismo ............................................................... 32 Un cálculo deductivo ............................................................................................................ 38 Deducciones formales ........................................................................................................ 38 Reglas de inferencia............................................................................................................ 39 Axiomas lógicos .................................................................................................................. 40 Deducciones y metateoremas ............................................................................................ 44 Teorema de generalización................................................................................................. 46 Teorema de la deducción.................................................................................................... 47 Teorema de la generalización sobre constantes .............................................................. 51 Teorema de la existencia de variantes alfabéticas ........................................................... 53 Cierre de la unidad ............................................................................................................... 55 Para saber más ..................................................................................................................... 55 Referencias bibliográficas ................................................................................................... 55

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías| Licenciatura en Matemáticas 2

Lógica matemática Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados Presentación de la unidad La presente unidad contiene las herramientas necesarias para poder construir lo que es llamado un cálculo deductivo, es decir, una forma de demostrar que ciertos enunciados son consecuencia lógica de un conjunto de otros enunciados, formalizando estos conceptos durante el desarrollo. Se presentan algunos resultados importantes de la lógica de primer orden dejando muy en claro su relación con la lógica de enunciados, pues se presentan conceptos similares pero más complejos en sí mismos. Debido a que en general lo que se ha estudiado hasta el momento en la carrera de matemáticas está escrito en este tipo de lenguaje, se presentan relaciones directas con conceptos del álgebra, primordialmente cálculo. Si bien lo que se usará en general es sencillo dentro de las áreas, se recomienda tener a la mano algún texto de definiciones para mejor comprensión de los contenidos. La unidad terminará con la presentación de teoremas que permiten determinar si un enunciado es, en la lógica de primer orden, consecuencia lógica de otros.

Propósitos de la unidad Al terminar esta unidad lograrás:  

Introducir los conceptos necesarios en la lógica de primer orden. Comprender el concepto de validez en la lógica de primer orden, como la manera de determinar el valor de verdad de los enunciados dentro de una estructura. Demostrar los teoremas de generalización y de deducción para tener las herramientas de las demostraciones deductivas.

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías| Licenciatura en Matemáticas 3

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Competencia especĂ­fica

Analiza algunos resultados de un cĂĄlculo deductivo mediante el empleo de razonamientos matemĂĄticos correctos expresados en el lenguaje de la lĂłgica de primer orden, para determinar mĂŠtodos de deducciĂłn adecuados con el fin de demostrar que un enunciado dado es implicado lĂłgicamente por otros.

Lenguajes de primer orden El modelo matemĂĄtico de pensamiento deductivo presentado en la unidad anterior puede ser, de cierta forma, muy simple. Se pueden pensar algunos ejemplos sencillos de deducciones intuitivamente correctas que no pueden ser reflejadas adecuadamente en un modelo de lĂłgica de enunciados. ConsidĂŠrese, por ejemplo, que se empieza con una serie de hipĂłtesis en lenguaje comĂşn y una posible conclusiĂłn, al hacer la traducciĂłn al lenguaje de la lĂłgica de enunciados, se tiene un conjunto ÎŁ de hipĂłtesis y la conclusiĂłn đ?œ?. Si se tiene que ÎŁ ⊨ đ?œ?, podrĂ­a pensarse que la deducciĂłn original era vĂĄlida, pero en el caso que ÎŁ ⊭ đ?œ?, no se tendrĂĄ certeza. Esto puede deberse a que el modelo de la lĂłgica de enunciados no refleja la sutiliza de la deducciĂłn original. El sistema deductivo que se presenta a continuaciĂłn es en el que frecuentemente estĂĄn hechas las demostraciones presentes en la literatura. Para empezar, se darĂĄ una descripciĂłn informal de las caracterĂ­sticas que podrĂ­an tener los lenguajes de primer orden que se trabajarĂĄn en el curso, o al menos las que se podrĂ­an simular. Se comienza con un caso especial, el lenguaje de primer orden para la teorĂ­a de los nĂşmeros. Este lenguaje tiene una forma de ser traducido al lenguaje comĂşn y viceversa, como se presenta en la siguiente tabla. ExpresiĂłn formal

Traducción Cero. 0 es un símbolo de constante que representarå el número 0. El sucesor de t. � es un símbolo de función de un argumento, � se considerarå como una expresión para representar algún número �.

đ?&#x;Ž đ?‘şđ?’•

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 4

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Entonces, đ?‘†đ?‘Ą nombra a đ?‘†(đ?‘Ž), el sucesor de đ?‘Ž. Por ejemplo, se tiene que đ?‘†0 representa el nĂşmero 1. đ?‘Ł1 es menor que đ?‘Ł2 . < es un sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos. Posteriormente se darĂĄn las convenciones para poder abreviar esta expresiĂłn en un estilo mĂĄs conocido đ?‘Ł1 < đ?‘Ł2 . Para todo nĂşmero natural. El sĂ­mbolo ∀ es el sĂ­mbolo de cuantificador universal. De una forma mĂĄs general, con cada traducciĂłn del lenguaje formal al lenguaje comĂşn habrĂĄ determinado conjunto asociado đ??´ (usualmente llamado el universo). ∀ serĂĄ entonces para todo elemento del universo đ??´. Para todo nĂşmero natural đ?‘Ł1 , cero es menor que đ?‘Ł1 .â€? Dicho de otra manera: “Todo nĂşmero natural es mayor que 0.â€? Este enunciado formal es falso con el significado de la traducciĂłn, ya que cero no es mayor que sĂ­ mismo.

< đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;?

∀

∀đ?’—đ?&#x;? < đ?&#x;Žđ?’—đ?&#x;?

Tabla 1.CaracterĂ­sticas de Lenguajes de primer orden

Se tienen, ademĂĄs, algunas expresiones abreviadas y sus traducciones.

ExpresiĂłn formal

TraducciĂłn đ?‘Ľ es igual a đ?‘Ś. En la forma no abreviada, esto se convertirĂ­a en = đ?‘Ľđ?‘Ś. Existe un nĂşmero natural đ?‘Ł tal que. O, de una manera mĂĄs general, existe un elemento del universo tal que. Existe exactamente un nĂşmero natural. De nuevo, este enunciado formal resulta falso con el significado de la traducciĂłn. Todo nĂşmero natural es mayor o igual que cero.

đ?’™=đ?’š ∃đ?’—

∃đ?’—đ?&#x;? ∀đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;?

∀đ?’—đ?&#x;? (đ?&#x;Ž < đ?’—đ?&#x;? ∨ đ?&#x;Ž = đ?’—đ?&#x;? )

Tabla 2. Expresiones abreviadas y traducciones

Se harĂĄn algunas medidas de carĂĄcter econĂłmico para simplificar sin ninguna pĂŠrdida esencial de la expresividad lingßística: En primer lugar, se eligen como conectivos de enunciado solamente ÂŹ y →. De la unidad anterior se sabe que ĂŠstos forman un conjunto completo de conectivos y, por lo mismo, no hay una razĂłn que obligue a usar mĂĄs. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 5

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados En segundo lugar, no se usarĂĄ un cuantificador existencial ∃đ?‘Ľ. En lugar su se usarĂĄ ÂŹâˆ€đ?‘ĽÂŹ. Esto se justifica porque una oraciĂłn en lenguaje comĂşn, como: đ??ťđ?‘Žđ?‘Ś đ?‘Žđ?‘™đ?‘”đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ đ?‘’đ?‘› đ??ˇđ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ž. es equivalente a: đ?‘ đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘œ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘Ľ, đ?‘Ľ đ?‘›đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘ĄĂĄ đ?‘?đ?‘œđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ đ?‘’đ?‘› đ??ˇđ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ž. Por lo tanto, la fĂłrmula ∃đ?‘Ł1 ∀đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 = đ?‘Ł2 se convierte, en forma no abreviada, en: (ÂŹâˆ€đ?‘Ł1 (ÂŹâˆ€đ?‘Ł2 = đ?‘Ł1 đ?‘Ł2 )). Como ejemplo de un lenguaje a propĂłsito para el caso, se puede traducir “SĂłcrates es un hombreâ€? como đ??ťđ?‘ ; donde đ??ť es un sĂ­mbolo de predicado de un argumento que se utiliza para traducir “es un hombreâ€? y đ?‘ es un sĂ­mbolo de contante que se utiliza para nombrar a SĂłcrates. De manera similar, para traducir "SĂłcrates es mortal", se usa đ?‘€đ?‘ ; por lo tanto, “Todos los hombres son mortalesâ€? se traduce como ∀đ?‘Ł1 (đ??ťđ?‘Ł1 → đ?‘€đ?‘Ł1 ).

SĂ­mbolos lĂłgicos y no lĂłgicos Para lo que sigue, se asume que se tiene un nĂşmero infinito de objetos distintos (que denominamos sĂ­mbolos), ordenados de acuerdo con lo siguiente: A. SĂ­mbolos lĂłgicos: 1. ParĂŠntesis: (, ). 2. SĂ­mbolos de conectivo para enunciados:→, ÂŹ. 3. Variables (una para cada entero positivo đ?‘›): đ?‘Ł1 , đ?‘Ł2 , ‌ 4. SĂ­mbolo de igualdad (opcional): =. B. ParĂĄmetros: 0. SĂ­mbolo de cuantificador: ∀. 1. SĂ­mbolos de predicado: para cada entero positivo đ?‘›, algĂşn conjunto (posiblemente vacĂ­o) de sĂ­mbolos, denominado sĂ­mbolos de predicado de đ?‘› argumentos. 2. SĂ­mbolos de constante: algĂşn conjunto (posiblemente vacĂ­o) de sĂ­mbolos. 3. SĂ­mbolos de funciĂłn: para cada entero positivo đ?‘›, algĂşn conjunto (posiblemente vacĂ­o) de sĂ­mbolos denominados sĂ­mbolos de funciĂłn de đ?‘› argumentos. En A.3 (sĂ­mbolos lĂłgicos) se permite la posibilidad de existencia del sĂ­mbolo de igualdad, pero no se da por hecho su presencia. Algunos lenguajes contarĂĄn con ĂŠl y otros no. El sĂ­mbolo de igualdad es un sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos, pero se distingue de otros sĂ­mbolos de predicados de dos argumentos por ser uno mĂĄs que un parĂĄmetro (este estado afectarĂĄ su Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 6

Lógica matemåtica Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados comportamiento cuando se traduzca al Lenguaje común). Es necesario asumir que se encuentra presente algún símbolo de predicado de � argumentos para algún �. En B.2 (Paråmetros), los símbolos de constante tambiÊn se llaman símbolos de función de 0 argumentos. Con frecuencia, esto permite dar un tratamiento uniforme a los símbolos que se encuentran en B.2 y B.3. Al igual que antes, se asume que cada símbolo es distinto y ninguno es una sucesión finita de otros símbolos. Con el fin de especificar quÊ lenguaje se tiene (que difiere de otros lenguajes de primer orden), se debe decir:  

si se encuentra presente o no el sĂ­mbolo de igualdad, y cuĂĄles son los parĂĄmetros.

A continuaciĂłn se presenta una lista de algunos ejemplos de este lenguaje: 1. Lenguaje puro de predicados - Igualdad: no. - SĂ­mbolos de predicado de đ?‘› argumentos: đ??´1đ?‘› , đ??´đ?‘›2 , ‌ - SĂ­mbolos de constante: đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ‌ - SĂ­mbolos de funciĂłn de đ?‘› argumentos (đ?‘› > 0): ninguno. 2. Lenguaje de la teorĂ­a de conjuntos - Igualdad: sĂ­ (normalmente). - ParĂĄmetros de predicado: un sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos ∈. - SĂ­mbolos de funciĂłn: ninguno (u ocasionalmente un sĂ­mbolo de constante ∅). 3. Lenguaje de la teorĂ­a elemental de nĂşmeros - Igualdad: sĂ­. - ParĂĄmetros de predicado: un sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos <. - SĂ­mbolos de constante: 0. - SĂ­mbolos de funciĂłn de un argumento: đ?‘† (para el sucesor). - SĂ­mbolos de funciĂłn de dos argumentos: + (para la suma), â‹… (para la multiplicaciĂłn), y đ??¸ (para la exponenciaciĂłn). En los casos 2 y 3 hay ciertas traducciones usuales para los parĂĄmetros. A continuaciĂłn se presentan varios ejemplos de enunciados que pueden traducirse a estos lenguajes y unos cuantos de enunciados que no pueden ser traducidos asĂ­. Es importante notar que la nociĂłn de lenguaje incluye el lenguaje de la teorĂ­a de conjuntos. Se suele aceptar que, en general, las matemĂĄticas se pueden representar en la teorĂ­a de conjuntos. Esto significa que: Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 7

Lógica matemåtica Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados  

Los enunciados en matemĂĄticas (como el teorema fundamental del cĂĄlculo) pueden expresarse en el lenguaje de la teorĂ­a de conjuntos. Los teoremas de matemĂĄticas son consecuencia lĂłgica de los axiomas de la teorĂ­a de conjuntos.

El modelo de lĂłgica de primer orden presentado hasta el momento es totalmente adecuado para reflejar este procedimiento. Ejemplo 2.1.1.1 En el lenguaje de la teorĂ­a de conjuntos. AquĂ­ se pretende que ∀ signifique "para todos los conjuntos" y ∈, "es elemento de". “No existe un conjunto del cual todo conjunto sea elementoâ€?. Se debe traducir esto al lenguaje de la teorĂ­a de conjuntos con varios pasos. Los enunciados intermedios no estĂĄn ni en lenguaje comĂşn ni en lenguaje formal, sino en una mezcla de ambos. ÂŹ[đ??¸đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘˘đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ] ÂŹâˆƒđ?‘Ł1 [đ?‘‡đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ł1 ] ÂŹâˆƒđ?‘Ł1 ∀đ?‘Ł2 đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Ł1 Aunque se podrĂ­a pensar en detenerse aquĂ­, se debe remplazar đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Ł1 por ∈ đ?‘Ł1 đ?‘Ł2 , debido a que los sĂ­mbolos de predicado siempre van a la izquierda en dichos contextos. AdemĂĄs se debe reemplazar ∃đ?‘Ł1 y poner en su lugar ÂŹâˆ€đ?‘Ł1 ÂŹ, tal como se mencionĂł anteriormente. Se debe utilizar el nĂşmero correcto de parĂŠntesis. El producto terminado es: (ÂŹ(ÂŹâˆ€đ?‘Ł1 (ÂŹâˆ€đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 ))) Axioma del par "Para cualesquiera dos conjuntos, existe un conjunto cuyos elementos son exactamente los dos conjuntos dados". De nuevo, la traducciĂłn se harĂĄ por pasos. ∀đ?‘Ł1 ∀2 [đ??¸đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘˘đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘›đ?‘œ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Śđ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘ đ?‘œđ?‘› đ?‘’đ?‘Ľđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Ł1 đ?‘Ś đ?‘Ł2 ] ∀đ?‘Ł1 ∀2 ∃đ?‘Ł3 [đ??żđ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ł3 đ?‘ đ?‘œđ?‘› đ?‘’đ?‘Ľđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Ł1 đ?‘Ś đ?‘Ł2 ] ∀đ?‘Ł1 ∀2 ∃đ?‘Ł3 ∀đ?‘Ł4 (đ?‘Ł4 ∈ đ?‘Ł3 ↔ đ?‘Ł4 = đ?‘Ł1 ∨ đ?‘Ł4 = đ?‘Ł2 ) Nuevamente se tienen que reemplazar los conectivos con las equivalentes en el conjunto completo de →, ÂŹ. AdemĂĄs se deben hacer cambios similares a los anteriores. Considerando que đ?›ź ∨ đ?›˝ es equivalente a ÂŹđ?›ź → đ?›˝ đ?›ź ↔ đ?›˝ es equivalente a ÂŹ((đ?›ź → đ?›˝) → ÂŹ(đ?›˝ → đ?›ź)) Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 8

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Se tiene que el producto terminado es:

∀đ?‘Ł1 ∀đ?‘Ł2 (ÂŹâˆ€đ?‘Ł3 (ÂŹâˆ€đ?‘Ł4 (ÂŹ ((∈ đ?‘Ł4 đ?‘Ł3 → ((ÂŹ= đ?‘Ł4 đ?‘Ł1 ) →= đ?‘Ł4 đ?‘Ł2 ))

→ (ÂŹ (((ÂŹ= đ?‘Ł4 đ?‘Ł1 ) →= đ?‘Ł4 đ?‘Ł2 ) →∈ đ?‘Ł4 đ?‘Ł3 ))))))

El producto terminado no resulta tan fĂĄcil de leer como la versiĂłn que le precediĂł. Ya que no se trata de complicarse, con el paso del tiempo se adoptan reglas convencionales que permiten evitar ver el producto terminado. Por el momento se considerarĂĄ lo anterior como una novedad interesante aunque poco atractiva. En el lenguaje de la teorĂ­a elemental de los nĂşmeros Se pretende que ∀ signifique “para todos los nĂşmeros naturalesâ€? y que < ,0, +,â‹…, đ??¸ tengan sus significados obvios. 1. Como nombre para el nĂşmero natural 2 se tiene el tĂŠrmino đ?‘†đ?‘†0, ya que 2 es el sucesor del sucesor del cero. De forma similar, para el 4 se tiene el tĂŠrmino đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†0. Para la frase “2 + 2â€? resulta tentador utilizar đ?‘†đ?‘†0 + đ?‘†đ?‘†0; pero se adopta la convenciĂłn de poner siempre a la izquierda el sĂ­mbolo de funciĂłn (se usarĂĄ la notaciĂłn polaca para los sĂ­mbolos de funciones); entonces se tiene que para la frase en lenguaje comĂşn “2 + 2â€? se usa el tĂŠrmino +đ?‘†đ?‘†0 đ?‘†đ?‘†0. El enunciado en lenguaje comĂşn “dos mĂĄs dos es cuatroâ€? se traduce como: = + đ?‘†đ?‘†0 đ?‘†đ?‘†0 đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†0 (Los espacios se insertaron para ayudar a leer la expresiĂłn, pero no constituyen una caracterĂ­stica oficial del lenguaje). 2. “Cualquier nĂşmero natural distinto de cero es el sucesor de algĂşn nĂşmeroâ€?. Se realiza la traducciĂłn en tres pasos: ∀đ?‘Ł1 [Si đ?‘Ł1 es diferente de cero, entonces đ?‘Ł1 es el sucesor de algĂşn nĂşmero] ∀đ?‘Ł1 (đ?‘Ł1 ≠0 → ∃đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 = đ?‘†đ?‘Ł2 ) ∀đ?‘Ł1 ((ÂŹ= đ?‘Ł1 0) → (ÂŹâˆ€đ?‘Ł2 (ÂŹ= đ?‘Ł1 đ?‘†đ?‘Ł2 ))) En lenguajes ad hoc 1. “Todas las manzanas estĂĄn malasâ€?. ∀đ?‘Ł1 (đ??´đ?‘Ł1 → đ??ľđ?‘Ł1 ) Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 9

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados 2. “Algunas manzanas estĂĄn malasâ€?. Paso intermedio: ∃đ?‘Ł1 (đ??´đ?‘Ł1 ∧ đ??ľđ?‘Ł1 ). Producto terminado: (ÂŹâˆ€đ?‘Ł1 (ÂŹ (ÂŹ(đ??´đ?‘Ł1 → (ÂŹđ??ľđ?‘Ł1 ))))). Los puntos anteriores ilustran patrones que surgen continuamente. Un enunciado en lenguaje comĂşn que afirma que, en una determinada categorĂ­a, todo tienen alguna propiedad se traduce como: ∀đ?‘Ł(

→

).

Un enunciado que afirma que en la categorĂ­a hay algĂşn objeto o algunos objetos que tienen la propiedad se traduce como: ∃đ?‘Ł(

∧

)

Al trabajar con estos patrones debes tener cuidado de no confundirlos, pues, por ejemplo, ∀đ?‘Ł1 (đ??´đ?‘Ł1 ∧ đ??ľđ?‘Ł1 ) se traduce como “Toda cosa es una manzana y estĂĄ malaâ€?. Esto es mucho mĂĄs fuerte que el enunciado del punto 1. De forma similar, ∃đ?‘Ł1 (đ??´đ?‘Ł1 → đ??ľđ?‘Ł1 ) se traduce como “Existe algo que estĂĄ malo, si es una manzanaâ€?. Esta afirmaciĂłn es mucho mĂĄs dĂŠbil que el enunciado del punto 1. Es verdadero (por vacuidad), aĂşn si todas las manzanas estĂĄn buenas, considerando solamente que el mundo tenga alguna otra cosa que no sea una manzana. 3. “El papĂĄ de Roberto puede ganarle al papĂĄ de cualquier otro niĂąo de la cuadraâ€?. Establece un lenguaje donde ∀ significa “para toda la genteâ€?; đ??žđ?‘Ľ, “đ?‘Ľ es un niĂąo de la cuadraâ€?; đ?‘?, “Robertoâ€?; đ??ľđ?‘Ľđ?‘Ś, “đ?‘Ľ puede ganarle a đ?‘Śâ€?, y đ?‘“đ?‘Ľ, “el papĂĄ de đ?‘Ľâ€?. Entonces una traducciĂłn es: ∀đ?‘Ł1 (đ??žđ?‘Ł1 → ((ÂŹ= đ?‘Ł1 đ?‘? ) → đ??ľ đ?‘“đ?‘? đ?‘“đ?‘Ł1 )) 4. En cĂĄlculo se aprendiĂł que el significado de “la funciĂłn đ?‘“ converge a đ??ż cuando đ?‘Ľâ€? se aproxima a đ?‘Žâ€?:

∀đ?œ€ (đ?œ€ > 0 → ∃đ?›ż(đ?›ż > 0 ∧ ∀đ?‘Ľ (|đ?‘Ľ − đ?‘Ž| < đ?›ż → |đ?‘“đ?‘Ľ − đ??ż| < đ?œ€))) Esto es, aparte de los asuntos de notaciĂłn, una fĂłrmula del tipo que serĂĄ de interĂŠs que utiliza un sĂ­mbolo de predicado para el orden, sĂ­mbolos de funciĂłn para đ?‘“, resta, valores absolutos y sĂ­mbolos de constante para 0, đ?‘Ž y đ??ż.

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 10

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados TĂŠrminos y fĂłrmulas Se empezarĂĄ a formalizar un poco el lenguaje que se estudia, de manera muy similar a como se hizo en la Unidad 1. DefiniciĂłn Una expresiĂłn es una sucesiĂłn finita de sĂ­mbolos. La mayorĂ­a de las expresiones son absurdas, pero existen ciertas expresiones interesantes: los tĂŠrminos y las fĂłrmulas. Los tĂŠrminos son los sustantivos y los pronombres del lenguaje que se consideran. Pueden entenderse como las expresiones que nombran los objetos. Las fĂłrmulas atĂłmicas son las que no tienen ni sĂ­mbolos de conectivo ni sĂ­mbolos de cuantificador. TĂŠrminos FĂłrmulas atĂłmicas FĂłrmulas Otras fĂłrmulas Todas las demĂĄs expresiones Los tĂŠrminos se definen como aquellas expresiones que pueden construirse a partir de los simbolos de constante y de las variables al prefijarles los sĂ­mbolos de funciĂłn. Con el fin de enunciar esto en la terminologĂ­a de la Unidad 1, se define para cada sĂ­mbolo de funciĂłn đ?‘“ de đ?‘› argumentos, una operaciĂłn de construcciĂłn de tĂŠrminos â„ąđ?‘“ de đ?‘› argumentos sobre las expresiones: â„ąđ?‘“ (đ?œ€1 , ‌ , đ?œ€đ?‘› ) = đ?‘“đ?œ€1 â‹Ż đ?œ€đ?‘› De lo anterior es posible formular lo siguiente: DefiniciĂłn El conjunto de tĂŠrminos es el conjunto de expresiones que puede construirse a partir de sĂ­mbolos de constante y variables al aplicar (cero o mĂĄs veces) las operaciones â„ąđ?‘“ . Si no hay sĂ­mbolos de funciĂłn (ademĂĄs de los sĂ­mbolos de constante), los tĂŠrminos son Ăşnicamente los sĂ­mbolos de constante y las variables. En este caso no se necesita una definiciĂłn inductiva. ObsĂŠrvese que se usa notaciĂłn polaca para los tĂŠrminos, al ubicar el sĂ­mbolo de funciĂłn a la izquierda. Los tĂŠrminos no contienen parĂŠntesis ni comas. MĂĄs adelante se probarĂĄ un resultado de unicidad de la lectura, mostrando que dado un tĂŠrmino es posible descomponerlo sin ambigĂźedades. Los tĂŠrminos son las expresiones que se traducen como los nombres de los objetos (o frases nominales); en contraste con las fĂłrmulas, que se traducen como afirmaciones acerca de los objetos. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 11

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Algunos ejemplos de tĂŠrminos en el lenguaje de la teorĂ­a de los nĂşmeros son: + đ?‘Ł2 đ?‘†0, đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†0, + đ??¸đ?‘Ł1 đ?‘†đ?‘†đ?‘†0 đ??¸ đ?‘Ł2 đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†0 Las fĂłrmulas atĂłmicas desempeĂąarĂĄn un papel mĂĄs o menos anĂĄlogo al que desempeĂąan los sĂ­mbolos de enunciado en la lĂłgica de enunciados. Una fĂłrmula atĂłmica es una expresiĂłn de la forma: đ?‘ƒđ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› donde đ?‘ƒ es un sĂ­mbolo de predicado de đ?‘› argumentos y đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› son los tĂŠrminos. Por ejemplo, = đ?‘Ł1 đ?‘Ł2 es una fĂłrmula atĂłmica, ya que = es un sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos y cada variable es un tĂŠrmino. En el lenguaje de la teorĂ­a de conjuntos se tiene la fĂłrmula atĂłmica ∈ đ?‘Ł5 đ?‘Ł3 . Nota que las fĂłrmulas atĂłmicas no se definen de forma inductiva, se ha limitado a decir explĂ­citamente cuĂĄles expresiones son fĂłrmulas atĂłmicas. Las fĂłrmulas (o fĂłrmulas bien formadas, mĂĄs comĂşn en los textos escritos en inglĂŠs) son aquellas expresiones que pueden construirse a partir de las fĂłrmulas atĂłmicas mediante el uso del cero o mĂĄs veces de los sĂ­mbolos de conectivo y del sĂ­mbolo de cuantificador. es posible expresar esto usando la terminologĂ­a de la unidad 1 definiendo primero algunas operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas sobre las expresiones: â„°ÂŹ (đ?›ž) = (ÂŹđ?›ž), ℰ→ (đ?›ž, đ?›ż) = (đ?›ž → đ?›ż), đ?’Źđ?‘– (đ?›ž) = ∀đ?‘Łđ?‘– đ?›ž. DefiniciĂłn El conjunto de las fĂłrmulas es el conjutno de expresiones que pueden construirse a partir de las fĂłrmulas atĂłmicas al aplicar (cero o mĂĄs veces) las operaciones â„°ÂŹ , ℰ→ y đ?’Źđ?‘– (đ?›ž) (đ?‘– = 1,2, ‌ ). Por ejemplo, por una parte se tiene que ÂŹđ?‘Ł3 no es una fĂłrmula aunque puede verse cĂłmo aplicar la operaciĂłn â„°ÂŹ , đ?‘Ł3 no es una fĂłrmula atĂłmica en la que se usen las operaciones, pues no tiene tĂŠrminos de predicado. Por otro lado,

∀đ?‘Ł1 ((ÂŹâˆ€đ?‘Ł3 (ÂŹâˆˆ đ?‘Ł3 đ?‘Ł1 )) → (ÂŹâˆ€đ?‘Ł2 (∈ đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 → (ÂŹâˆ€đ?‘Ł4 (∈ đ?‘Ł4 đ?‘Ł2 → (ÂŹâˆˆ đ?‘Ł4 đ?‘Ł1 ))))))

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 12

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados es una fĂłrmula. Esto se puede comprobar haciendo el ĂĄrbol de construcciĂłn. Se requiere un poco de estudio para ver que esta fĂłrmula es el axioma de regularidad de la teorĂ­a de conjuntos.

Variables libres y variables acotadas ObsĂŠrvense que entre los siguientes ejemplos de fĂłrmulas dentro del lenguaje de la teorĂ­a de conjuntos ∀đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 y (ÂŹâˆ€đ?‘Ł1 (ÂŹâˆ€đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 )) existe una diferencia muy importante. El segundo ejemplo puede traducirse como: đ??¸đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘˘đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘ đ?‘˘đ?‘Śđ?‘œ. Mientras que el primero puede traducirse sĂłlo como un enunciado incompleto: đ?‘‡đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’

1.

En este caso no es posible terminar el enunciado sin saber quĂŠ hacer con đ?‘Ł1 . En este tipo de casos, se dice que đ?‘Ł1 ocurre libre en la fĂłrmula ∀đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 . En el caso de (ÂŹâˆ€đ?‘Ł1 (ÂŹâˆ€đ?‘Ł2 ∈ đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 )), no hay variables que ocurran libremente. Esta idea se formaliza de manera que no dependa de la traducciĂłn al lenguaje comĂşn que se haga de ella. Hay dos maneras de ver las variables: si ocurren libres (variables libres) o no (variables acotadas).Para comprenderlas mejor y para explicar estas diferencias, se representan como sigue: Variable acotada. Es, por asĂ­ decirlo, una variable de “verdadâ€?. Puede tomar todos los calores dentro de un dominio de variablidad, pero ninguno en particular. Si se cambia la variable por otra, no cambia el significado de la expresiĂłn. Variable libre. Variable “aparenteâ€?. Puede ser cualquier cosa, pero sĂłlo una (esto estĂĄ implĂ­cito en lo que se dirĂĄ adelante), al cambiarla se cambia el significado. De manera intuitiva, si la variable đ?‘Ľ aparece libre en đ?›ź, entonces đ?›ź depende de đ?‘Ľ. Las ideas anteriores se formalizan de mejor manera y de acuerdo con el contexto en el que se estudia, en la siguiente definiciĂłn.

DefiniciĂłn (Variable libre) (por recursiĂłn) ConsidĂŠrese cualquier variable đ?‘Ľ. Se define para cada fĂłrmula đ?‘Ž, lo que significa que đ?‘Ľ ocurre libre en đ?‘Ž. Esto se harĂĄ por recursiĂłn: Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 13

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados 1. 2. 3. 4.

Para đ?›ź atĂłmica, đ?‘Ľ ocurre libre en đ?›ź sii đ?‘Ľ ocurre en (es decir, es sĂ­mbolo de) đ?›ź. đ?‘Ľ ocurre libre en (ÂŹđ?›ź) sii đ?‘Ľ ocurre libre en a. đ?‘Ľ ocurre libre en (đ?›ź → đ?›˝) sii đ?‘Ľ ocurre libre en đ?›ź o en đ?›˝. đ?‘Ľ ocurre libre en ∀đ?‘Łđ?‘– đ?›ź sii đ?‘Ľ ocurre libre en đ?›ź y đ?‘Ľ ≠đ?‘Łđ?‘– .

Esta definiciĂłn usa implĂ­citamente el teorema de recursiĂłn. Es posible reformular esto en tĂŠrminos de funciones. Para empezar se define para todas las fĂłrmulas atĂłmicas la funciĂłn â„Ž, como sigue: â„Ž(đ?›ź) = đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘Žđ?‘ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘ , đ?‘ đ?‘– đ?‘’đ?‘Ľđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Žđ?‘™đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž, đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘Ž đ?‘“Ăłđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘ĄĂłđ?‘šđ?‘–đ?‘?đ?‘Ž đ?‘Ž. Se quiere extender â„Ž a una funciĂłn â„ŽĚ… definida en todas las fĂłrmulas de tal manera que: â„ŽĚ…(â„°ÂŹ (đ?›ź)) = â„ŽĚ…(đ?›ź), â„ŽĚ…(ℰ→ (đ?›ź, đ?›˝)) = â„ŽĚ…(đ?›ź) âˆŞ â„ŽĚ…(đ?›˝), â„ŽĚ…(đ?’Źđ?‘– (đ?›ź)) = â„ŽĚ…(đ?›ź) despuĂŠs de quitar đ?‘Łđ?‘– , si se encuentra presente. Entonces se puede decir que đ?‘Ľ ocurre libre en đ?›ź (o que đ?‘Ľ es una variable libre de đ?›ź) sii đ?‘Ľ ∈ â„ŽĚ…(đ?›ź). La existencia de una Ăşnica â„ŽĚ… (he aquĂ­ lo correcto de la definiciĂłn) se sigue del teorema de recursiĂłn que se dio en la unidad anterior y del hecho (que se verĂĄ mĂĄs adelante) de que cada fĂłrmula tiene una descomposidĂłn Ăşnica. Al traducir un enunciado del lenguaje comĂşn, resulta irrelevante la elecciĂłn de variables particulares. Anteriormente se tradujo “todas las manzanas estĂĄn malasâ€? como ∀đ?‘Ł1 (đ??´đ?‘Ł1 → đ??ľđ?‘Ł1 ); pero de igual manera puede ser: ∀đ?‘Ł27 (đ??´đ?‘Ł27 → đ??ľđ?‘Ł27 ) De hecho, la variable se utiliza como un pronombre, tal como podrĂ­as decir en lenguaje comĂşn “para cualquier objeto dado, si ĂŠl es una manzana, entonces ĂŠl estĂĄ maloâ€? (asĂ­ se tienen en el lenguaje una cantidad adecuada de pronombres: ĂŠđ?‘™1 , ĂŠđ?‘™2 , ‌), ya que la elecciĂłn de variables particulares carece de importancia, frecuentemente ni siquiera se especifica la elecciĂłn. En lugar de hacerlo, se escribe, por ejemplo, ∀đ?‘Ľ(đ??´đ?‘Ľ → đ??ľđ?‘Ľ), donde se entiende que đ?‘Ľ es alguna variable. Esta falta de importancia mĂĄs adelante se tratarĂĄ como un teorema. Anteriormente se mencionĂł algo al respecto. En otras ĂĄreas de las matemĂĄticas, las variables se usan de manera similar. AsĂ­, se tiene que en 7

∑ đ?‘Žđ?‘–đ?‘— đ?‘–=1

đ?‘– es una variable "simulada" usada como contador, pero đ?‘— ocurre libre. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 14

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados DefiniciĂłn y ejemplos de enunciados Entre las fĂłrmulas se tienen algunas que normalmente resultan ser mĂĄs interesantes en su estudio: los enunciados. Éstos son, de manera intuitiva, las fĂłrmulas que pueden traducirse sin espacios en blanco al lenguaje comĂşn, una vez que se ha dicho cĂłmo interpretar los parĂĄmetros, segĂşn lo estudiado en en el tema anterior se motiva la siguiente definiciĂłn. DefiniciĂłn Si ninguna variable ocurre libre en la fĂłrmula đ?›ź (es decir, si â„ŽĚ…(đ?›ź) = ∅), entonces đ?›ź es un enunciado. Por ejemplo, ∀đ?‘Ł2 (đ??´đ?‘Ł2 → đ??ľđ?‘Ł2 ) y ∀đ?‘Ł3 (đ?‘ƒđ?‘Ł3 → ∀đ?‘Ł3 đ?’Źđ?‘Ł3 ) son enunciados; se debe tener cuidado con las variables pues en (∀đ?‘Ł1 đ??´đ?‘Ł1 → đ??ľđ?‘Ł1 ), pese a que es parecida al primer ejemplo đ?‘Ł1 , ocurre libre; por lo tanto no es un enunciado. Las demĂĄs fĂłrmulas que se pueden tener tienen una existencia de segunda clase y se usan, principalmente, como bloques de construcciĂłn de los enunciados. Dentro de la matemĂĄtica utilizadas hasta el momento, las “variablesâ€? que se usan no ocurren libres pues esto dejarĂ­a el enunciado incompleto, sin sentido dentro de lo que se estĂĄ trabajando, ya sea teorĂ­a de conjuntos, ĂĄlgebra o geometrĂ­a. Las proposiones que se le han presentado al (a la) alumno(a) dentro de los cursos son enunciados dentro de la lĂłgica. A lo largo de esta unidad se presentan distintos ejemplos de proposiciones y axiomas usandos de manera frecuente dentro de la matemĂĄtica para demostrar la importancia de este lenguaje. Para simplificar la escritura de los enunciados y de las fĂłrmulas en general, se exponen a continuacion algunas convenciones y abreviaturas del lenguaje que se estĂĄ haciendo. Se especifica cualquier expresiĂłn, en particular una fĂłrmula, al escribir una linea que muestre explĂ­citamente cada sĂ­mbolo. Por ejemplo: ∀đ?‘Ł1 ((ÂŹ= đ?‘Ł1 0) → (ÂŹâˆ€đ?‘Ł2 (ÂŹ= đ?‘Ł1 đ?‘†đ?‘Ł2 ))) Esta forma de expresar las cosas no es tan fĂĄcil de comprender, al menos a primera vista, pese a que es realmente completa y formal. La falta de comprensiĂłn se debe, en un principio, a la forma simple que se le dio al lenguaje considerado desde un principio, pues no se le dotĂł de un cuantificador existencial. Las nuevas consideraciones permitirĂĄn escribir expresiones como: ∀đ?‘Ł1 (đ?‘Ł1 ≠0 → ∃đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 = đ?‘†đ?‘Ł2 ) esta forma es mĂĄs clara que la anterior, tanto por el significado e como porque se puede poner un poco de conocimiento previo de cĂĄlculo para darle un contexto familiar. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 15

Lógica matemåtica Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados Es importante notar que esta nueva consideración no cambia la definición de la fórmula. Solamente prepara la manera de fijar ciertas formas de nombrar fórmulas. Si se da el caso en que la sucesión de símbolos resulte importante, se debe seguir con la antigua notación. Las abreviaciones que se hacen son las siguientes: si � y � son fórmulas, � es una variable y � y � son tÊrminos: 

(đ?›ź ∨ đ?›˝) es la abreviaciĂłn de ((ÂŹđ?›ź) → đ?›˝).



(đ?›ź ∧ đ?›˝) es la abreviaciĂłn de (ÂŹ(đ?›ź → (ÂŹđ?›˝))).



(� ↔ �) es la abreviación de ( ((� → �) → ((� → �)))).



∃đ?‘Ľ đ?›ź es la abreviaciĂłn de (ÂŹâˆ€đ?‘Ľ(ÂŹđ?›ź)).



� = � es la abreviación de = ��. De manera similar, se abrevia a algunos otros símbolos de funciones y de predicados de dos argumentos. Por ejemplo, 2 < 3 abrevia < 2 3, y 2 + 2 abrevia +2 2. � ≠� abrevia (= � �); de forma similar, � ≎ � abrevia (< � �).



En cuanto a los parĂŠntesis, no sĂłlo se usan ( y ), sino tambiĂŠn [ y ], etc. Se omiten la menciĂłn de tantos como resulte posible. Con ese fin, se adoptan las siguientes convenciones: 1. Los parĂŠntesis externos se pueden omitir. Por ejemplo, ∀đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›˝ es (∀đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›˝). 2. ÂŹ, ∀ y ∃ se aplican a lo menos posible. Por ejemplo: ÂŹđ?›ź ∧ đ?›˝ es ((ÂŹđ?›ź) ∧ đ?›˝), y no ÂŹ(đ?›ź ∧ đ?›˝). ∀đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›˝ es (∀đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›˝), y no ∀đ?‘Ľ(đ?›ź → đ?›˝). ∃đ?‘Ľ đ?›ź ∧ đ?›˝ es (∃đ?‘Ľ đ?›ź ∧ đ?›˝), y no ∃đ?‘Ľ (đ?›ź ∧ đ?›˝). En estos casos, incluso se pueden agregar parĂŠntesis sin cambiar el significado, como en (∃đ?‘Ľ đ?›ź) ∧ đ?›˝. 3. ∧ y ∨ se aplican a lo menos posible, segĂşn lo establecido en la convenciĂłn 2. Por ejemplo: ÂŹđ?›ź ∧ đ?›˝ 4. Cuando se use repetidamente un conectivo, la expresiĂłn se agruparĂĄ a la derecha. Por ejemplo: đ?›ź → đ?›˝ → đ?›ž es đ?›ź → (đ?›˝ → đ?›ž) Para entender un poco mĂĄs las convenciones, considĂŠrese el siguiente ejemplo.

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 16

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Ejemplo 2.1.4.1 1. ∃đ?‘Ľ(đ??´đ?‘Ľ ∧ đ??ľđ?‘Ľ) es (ÂŹâˆ€đ?‘Ľ (ÂŹ (ÂŹ(đ??´đ?‘Ľ → (ÂŹđ??ľđ?‘Ľ))))). Al usar las propiedades de la negaciĂłn, se tiene una fĂłrmula equivalente: (ÂŹâˆ€đ?‘Ľ(đ??´đ?‘Ľ → (ÂŹđ??ľđ?‘Ľ))). 2. ∃đ?‘Ľ đ??´đ?‘Ľ → đ??ľđ?‘Ľ es ((ÂŹâˆ€đ?‘Ľ(ÂŹđ??´đ?‘Ľ)) → đ??ľđ?‘Ľ). ∃đ?‘Ľ (đ??´đ?‘Ľ → đ??ľđ?‘Ľ) es (ÂŹâˆ€đ?‘Ľ(ÂŹ(đ??´đ?‘Ľ → đ??ľđ?‘Ľ))).

Es momento de evaluar lo aprendido hasta este punto resolviendo la siguiente actividad.

Verdad y modelos Como se hizo en la lĂłgica de enunciados, donde las asignaciones de verdad decĂ­an quĂŠ sĂ­mbolos se interpretaban como ciertos y cuales como falsos, en la lĂłgica de primer orden las estructuras desempeĂąan determinan si los enunciados son ciertos o falsos. Este tema estĂĄ dedicado al estudio de este tipo especial de funciones.

Interpretaciones o estructuras Las estructuras suministran el diccionario para traducir del lenguaje formal al lenguaje común; por ello, en algunas ocasiones se les denominan interpretaciones. Sin embargo, en este curso se considera sólo el nombre de estructura, ya que es posible que la palabra interpretación se use en un concepto distinto en un curso mås adelante. La estructura para un lenguaje de primer orden expresa:  

A quĂŠ colecciĂłn de objetos se refiere el sĂ­mbolo de cuantificador universal (∀). QuĂŠ denotan los otros parĂĄmetros (los sĂ­mbolos de funciĂłn y de predicado).

Formalmente, una estructura � para el lenguaje dado de primer orden es una función cuyo dominio es el conjunto de paråmetros, pues: 

đ?”„ le asigna al sĂ­mbolo de cuantificador ∀ un conjunto no vacĂ­o |đ?”„| llamado el universo (o dominio) de đ?”„.

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 17

Lógica matemåtica Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados   

đ?”„ le asigna a cada sĂ­mbolo de predicado đ?‘ƒ de đ?‘› argumentos una relaciĂłn đ?‘›-aria đ?‘ƒđ?”„ ⊆ |đ?”„|đ?‘› , es decir, đ?‘ƒđ?”„ es un conjunto de đ?‘›-adas de elementos del universo. đ?”„ le asigna a cada sĂ­mbolo de constante đ?‘? un elemento đ?‘? đ?”„ del universo |đ?”„|. đ?”„ le asigna a cada sĂ­mbolo de funciĂłn đ?‘“ de đ?‘› argumentos una operaciĂłn đ?‘›-aria đ?‘“ đ?”„ sobre |đ?”„|, es decir, đ?‘“ đ?”„ : |đ?”„|đ?‘› → |đ?”„|.

La idea es que đ?”„ le asigna significado a los parĂĄmetros. ∀ significa "para todo objeto de |đ?”„|". El sĂ­mbolo đ?‘? es para nombrar al punto đ?‘? đ?”„ . La fĂłrmula atĂłmica đ?‘ƒđ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› , significa que la đ?‘›-ada de puntos nombrados por đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› , estĂĄ en la relaciĂłn đ?‘ƒđ?”„ . NĂłtese que se requiere que el universo |đ?”„| sea no vacĂ­o. ObsĂŠrvese tambiĂŠn que đ?‘“ đ?”„ deberĂĄ tener la totalidad de |đ?”„|đ?‘› como su dominio, pues no se ha hecho ningĂşn comentario sobre las funciones parcialmente definidas. Ejemplo 2.2.1.1. 1. ConsidĂŠrese el lenguaje de la teorĂ­a de conjuntos, cuyo Ăşnico parĂĄmetro, ademĂĄs de ∀, es ∈. TĂłmese la estructura đ?”„ con: |đ?”„| = el conjunto de los nĂşmeros naturales, ∈đ?”„ = el conjunto de los pares ⌊đ?‘š, đ?‘›âŒŞ tal que đ?‘š < đ?‘›. NĂłtese que para este caso se traduce ∈ como “es menor queâ€?, esto de acuerdo con la construcciĂłn de los nĂşmeros naturales como conjuntos. En presencia de una estructura, es posible traducir enunciados del lenguaje formal al lenguaje comĂşn y tratar de decir si estas traducciones son verdaderas o falsas. El enunciado en el lenguaje de primer orden: ∃đ?‘Ľâˆ€đ?‘ŚÂŹđ?‘Ś ∈ đ?‘Ľ, mĂĄs formalmente, (ÂŹâˆ€đ?‘Ł1 (ÂŹâˆ€đ?‘Ł2 (ÂŹ ∈ đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 ))), con la traducciĂłn propia de la teorĂ­a de conjuntos afirma la existencia de un conjunto vacĂ­o, pero se traduce con đ?”„ como: Existe un nĂşmero natural tal que ningĂşn nĂşmero natural es menor que ĂŠl. Esto es verdad, por lo tanto se dice que ∃đ?‘Ľâˆ€đ?‘ŚÂŹđ?‘Ś ∈ đ?‘Ľ es verdadero en đ?”„ o que đ?”„ es un modelo del enunciado. Por otro lado, đ?”„ no es modelo del axioma del par ∀đ?‘Ľâˆ€đ?‘Śâˆƒđ?‘§âˆ€đ?‘Ą(đ?‘Ą ∈ đ?‘§ ↔ đ?‘Ą = đ?‘Ľ ∨ đ?‘Ą = đ?‘Ś), pues la traducciĂłn de este enunciado con đ?”„ es falsa, pues no hay nĂşmero natural đ?‘š tal que para cada đ?‘›, đ?‘› < đ?‘š đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘› = 1 2. ConsidĂŠrese que el lenguaje tiene Ăşnicamente los parĂĄmetros ∀ y un sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos đ??¸, y una estructura finita đ?”… con un universo |đ?”…| que consiste en un Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 18

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados conjunto de cuatro objetos distintos {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘}. SupĂłngase que la relaciĂłn binaria đ??¸ đ?”… es el siguiente conjunto de pares: đ??¸ đ?”… = {⌊đ?‘Ž, đ?‘?âŒŞ, ⌊đ?‘?, đ?‘ŽâŒŞ, ⌊đ?‘?, đ?‘?âŒŞ, ⌊đ?‘?, đ?‘?âŒŞ} Entonces se puede describir đ?”… como la grĂĄfica dirigida cuyo conjunto de vĂŠrtices es el universo {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘}:

b

a

c

d

En este contexto se interpreta đ??¸đ?‘Ľđ?‘Ś como si la grĂĄfica tuviera una arista del vĂŠrtice đ?‘Ľ al vĂŠrtice đ?‘Ś. AsĂ­ se considera una grĂĄfica dirigida. ConsidĂŠrese el enunciado ∃đ?‘Ľ ∀đ?‘Ś ÂŹđ?‘Śđ??¸đ?‘Ľ. Con la estructura đ?”… se puede traducir como sigue: Existe un vĂŠrtice tal que, para todo vĂŠrtice, ninguna arista va del Ăşltimo al primero. Leer el enunciado en lenguaje comĂşn es un poco mĂĄs difĂ­cil de leer que la versiĂłn en sĂ­mbolos. Este enunciado se encuentra dentro de la estructura đ?”… debido a que ninguna arista apunta al vĂŠrtice đ?‘‘.

DefiniciĂłn de satisfacciĂłn En los ejemplos anteriores fue intuitivamente claro que ciertos enunciados del lenguaje formal eran verdaderos en la estructura y otros eran falsos. Sin embargo, es necesaria una definiciĂłn matemĂĄtica precisa de “đ?œŽ es verdadero en đ?”„â€?. De ahĂ­ que se deba expresar en tĂŠrminos matemĂĄticos sin emplear traducciones al lenguaje comĂşn o a algĂşn idioma ni criterios supuestos para afirmar que algunos enunciados son verdaderos mientras y otros son falsos (si se piensa que se tiene tal criterio, pĂłngase a prueba con el enunciado "Este enunciado es falso". Este es un ejemplo de lenguaje comĂşn de un enunciado que no se puede afirmar como verdad o mentira, ya que, al otorgarle el valor de verdadero, ĂŠl mismo asegura su falsedad, lo cual suena como una inconsistencia o contradicciĂłn). En otras palabras, se requiere tomar el concepto informal “đ?œŽ es verdadero en đ?”„â€? y hacerlo parte de las matemĂĄticas. Con el objetivo de definir “đ?œŽ es verdadero en đ?”„â€?, ⊨đ?”„ đ?œŽ, Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 19

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados para enunciados đ?œŽ y estructuras đ?”„, primero se define un concepto mĂĄs general relativo a las fĂłrmulas:   

đ?œ‘ es una fĂłrmula del lenguaje. đ?”„ es una estructura para el lenguaje. đ?‘ : đ?‘‰ → |đ?”„| es una funciĂłn del conjunto đ?‘‰ de todas las variables, en el universo |đ?”„| de đ?”„.

Ahora se define quĂŠ significa que đ?•Ź satisfaga đ??‹ con đ?’”: ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ ]. De manera informal se puede dar esta definiciĂłn como sigue: DefiniciĂłn (informal) ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ ] si la traducciĂłn de đ?œ‘ determinada por đ?”„, donde la variable đ?‘Ľ se traduce como đ?‘ (đ?‘Ľ) en cualquier lugar en que ocurra libre es verdadera. La definiciĂłn formal de satisfacciĂłn procede de la siguiente forma para cada tipo de elemento en el lenguaje: I.

TĂŠrminos. Se define la extensiĂłn đ?‘ Ě… : đ?‘‡ → |đ?”„|,

una funciĂłn del conjunto đ?‘‡ de todos los tĂŠrminos, en el universo de đ?”„. La idea es que đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) debe ser el elemento del universo đ?”„ que se nombra mediante el tĂŠrmino đ?‘Ą. AsĂ­ đ?‘ Ě… se define por recursiĂłn como sigue: 1. Para cada variable đ?‘Ľ, đ?‘ Ě… (đ?‘Ľ) = đ?‘ (đ?‘Ľ). 2. Para cada sĂ­mbolo de constante đ?‘?, đ?‘ Ě… (đ?‘?) = đ?‘? đ?”„ . 3. Si đ?‘Ą1 , ‌ , đ?‘Ąđ?‘› son tĂŠrminos y đ?‘“ es un sĂ­mbolo de funciĂłn de đ?‘› argumentos, entonces đ?‘ Ě… (đ?‘“đ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› ) = đ?‘“ đ?”„ (đ?‘ Ě…(đ?‘Ą1 ), ‌ , đ?‘ Ě… (đ?‘Ąđ?‘› )). Este Ăşltimo puede verse por ejemplo con đ?‘› = 1, con el diagrama conmutativo siguiente: đ?‘‡

đ?‘ Ě…

đ?‘“đ?”„

â„ąđ?‘“

F

|đ?”„|

�

đ?‘ Ě…

|đ?”„|

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 20

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados La existencia de una Ăşnica extensiĂłn đ?‘ Ě… de đ?‘ se sigue del teorema de la recursiĂłn que se dio en la unidad pasada, se considera tambiĂŠn algo que se discutirĂĄ mĂĄs adelante, relacionado con que los tĂŠrminos tienen descomposiciones Ăşnicas. Debe notarse que đ?‘ Ě… depende tanto de đ?‘ como de đ?”„. II. FĂłrmulas atĂłmicas. Las fĂłrmulas atĂłmicas se definieron explĂ­citamente, no de manera inductiva. Por lo tanto, la definiciĂłn de satisfacciĂłn de las fĂłrmulas atĂłmicas es tambiĂŠn explĂ­cita y no recursiva. 1. ⊨đ?”„ = đ?‘Ą1 đ?‘Ą2 [đ?‘ ] sii đ?‘ Ě… (đ?‘Ą1 ) = đ?‘ Ě… (đ?‘Ą2 ). Entonces, = significa =. NĂłtese que = es un sĂ­mbolo lĂłgico, no un parĂĄmetro sujeto a interpretaciĂłn. 2. Para un parĂĄmetro de predicado đ?‘ƒ de đ?‘› argumentos, ⊨đ?”„ đ?‘ƒđ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› [đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⌊đ?‘ Ě… (đ?‘Ą1 ), ‌ , đ?‘ Ě… (đ?‘Ąđ?‘› )âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„ . III. Otras fĂłrmulas. Las fĂłrmulas que se definen por inducciĂłn tienen, en consecuencia, una definiciĂłn de satisfacciĂłn por recursiĂłn. 1. Para fĂłrmulas atĂłmicas, la definiciĂłn es la del punto II. 2. ⊨đ?”„ ÂŹđ?œ‘[đ?‘ ] sii ⊭đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ ]. 3. ⊨đ?”„ (đ?œ‘ → đ?œ“)[đ?‘ ] sii ⊭đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ ], o ⊨đ?”„ đ?œ“[đ?‘ ], o ambos (esto no es mĂĄs que la asociaciĂłn usual de verdad para →). En otras palabras, si đ?”„ satisface a đ?œ‘ con đ?‘ , entonces đ?”„ satisface a đ?œ“ con đ?‘ . 4. ⊨đ?”„ ∀đ?‘Ľ đ?œ‘[đ?‘ ] sii para todo đ?‘‘ ∈ |đ?”„|, se tiene: ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘‘)]. Donde [đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘‘)] es la funciĂłn exactamente como đ?‘ , excepto que en la variable đ?‘Ľ toma el valor đ?‘‘. Dicho de otra forma: đ?‘ (đ?‘Ś), đ?‘ đ?‘– đ?‘Ś ≠đ?‘Ľ, đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘‘)(đ?‘Ś) = { . đ?‘‘, đ?‘ đ?‘– đ?‘Ś = đ?‘Ľ Entonces ∀ significa “para todos los objetos de |đ?”„|â€?. Puede revisarse de nuevo la definiciĂłn informal que se presentĂł y su formalizaciĂłn. Con lo que se puede apreciar que la definiciĂłn de satisfacciĂłn es una aplicaciĂłn del teorema de recursiĂłn y que las fĂłrmulas tienen descomposiciones Ăşnicas. AsĂ­ es posible poner esta definiciĂłn en tĂŠrminos de funciones, como se hizo en la Unidad 1, para que se vea de manera mĂĄs directa cĂłmo se aplica el teorema de recursiĂłn.

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 21

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados 1. 2. 3.

Considerar un đ?”„ fijo. Definir una funciĂłn â„ŽĚ… que extiende a una funciĂłn â„Ž definida en las fĂłrmulas atĂłmicas, tal que para cualquier fĂłrmula đ?œ‘, â„ŽĚ…(đ?œ‘) es un conjunto de funciones de đ?‘‰ en |đ?”„|. Se define ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– đ?‘ ∈ â„ŽĚ…(đ?œ‘).

Se puede escribir en detalle la definiciĂłn explicita de â„Ž y las clĂĄusulas que determinan de manera Ăşnica su extensiĂłn â„ŽĚ… para entender esta definiciĂłn sobre la extensiĂłn. Una forma alternativa es considerar que â„ŽĚ…(đ?œ‘) es un conjunto de funciones en el conjunto de aquellas variables que ocurren libres en đ?œ‘. Aunque todo lo anteriormente dicho es lo mĂĄs cercano a la intuiciĂłn, resulta un poco difĂ­cil de entender si se continĂşa trabajando sĂłlo en el nivel abstracto de un lenguaje, por lo que se presentan algunos ejemplos para aterrizar estos conceptos. Ejemplo 2.2.2.1. SupĂłngase que el lenguaje cuenta con los parĂĄmetros ∀, đ?‘ƒ (sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos), đ?‘“ (sĂ­mbolo de funciĂłn de un argumento) y đ?‘? (sĂ­mbolo de constante). Sea đ?”„ la estructura para este lenguaje definida como sigue: |đ?”„| = â„•, el conjunto de todos los nĂşmeros naturales. \đ?‘ƒđ?”„ = el conjunto de pares ⌊đ?‘š, đ?‘›âŒŞ tales que đ?‘š ≤ đ?‘›. đ?‘“ đ?”„ = la funciĂłn sucesor đ?‘†. đ?‘? đ?”„ = 0. De acuerdo con los conocimientos y omitiendo que đ?”„ es en realidad una funciĂłn, es posible describir sus componentes: đ?”„ = (â„•; ≤, đ?‘†, 0) Tal notaciĂłn no tiene ambigĂźedad cuando el contexto aclara exactamente quĂŠ componentes van con quĂŠ parĂĄmetros. Cada una de las siguientes afirmaciones es consecuencia de la definiciĂłn donde se dan las condiciones que se deben cumplir para đ?”„. Sea đ?‘ : đ?‘‰ → â„• la funciĂłn para la cual đ?‘ (đ?‘Łđ?‘– ) = đ?‘– − 1, es decir, đ?‘ (đ?‘Ł1 ) = 0, đ?‘ (đ?‘Ł2 ) = 1, ‌ 1. đ?‘ Ě… (đ?‘“đ?‘“đ?‘Ł3 ) = đ?‘†(đ?‘†(2)) = 4 y đ?‘ Ě… (đ?‘“đ?‘Ł1 ) = đ?‘†(0) = 1 2. đ?‘ Ě… (đ?‘?) = 0 y đ?‘ Ě… (đ?‘“đ?‘“đ?‘?) = 2; sin usar đ?‘ . 3. ⊨đ?”„ đ?‘ƒđ?‘?đ?‘“đ?‘Ł1 [đ?‘ ]. Al traducirse al lenguaje comĂşn, resulta en un enunciado verdadero “0 ≤ 1â€?. MĂĄs formalmente esto es porque : ⌊đ?‘ Ě… (đ?‘?), đ?‘ Ě… (đ?‘“đ?‘Ł1 )âŒŞ = ⌊0,1âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„ 4. ⊨đ?”„ ∀đ?‘Ł1 đ?‘ƒđ?‘?đ?‘Ł1 . La traducciĂłn al lenguaje comĂşn es “0 es menor o igual que cualquier Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 22

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados nĂşmero naturalâ€?. Se debe verificar formalmente que para todo đ?‘› ∈ â„•, ⊨đ?”„ đ?‘ƒđ?‘?đ?‘Ł1 [đ?‘ (đ?‘Ł1 |đ?‘›)] que se reduce a ⌊0, đ?‘›âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„ , es decir, 0 ≤ đ?‘›. 5. ⊭đ?”„ ∀đ?‘Ł1 đ?‘ƒđ?‘Ł2 đ?‘Ł1 [đ?‘ ] porque existe un nĂşmero natural đ?‘š, tal que ⊭đ?”„ đ?‘ƒđ?‘Ł2 đ?‘Ł1 [đ?‘ (đ?‘Ł1 |đ?‘š)]; es decir, ⌊đ?‘ (đ?‘Ł2 ), đ?‘šâŒŞ ∉ đ?‘ƒđ?”„ , puesto que đ?‘ (đ?‘Ł2 ) = 1. Se puede tomar đ?‘š = 0, para comprobarlo. Hay que recordar la definiciĂłn de đ?‘ (đ?‘Ł1 |đ?‘›) y de đ?‘ƒđ?”„ .

Ejemplo 2.2.2.2. Como anteriormente se habĂ­a hecho, considĂŠrese la siguiente estructura đ?”… con |đ?”…| = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘} đ?‘Ś đ??¸ đ?”… = {⌊đ?‘Ž, đ?‘?âŒŞ, ⌊đ?‘?, đ?‘ŽâŒŞ, ⌊đ?‘?, đ?‘?âŒŞ, ⌊đ?‘?, đ?‘?âŒŞ} para el lenguaje con los parĂĄmetros ∀ y đ??¸. Se tiene el siguiente diagrama:

a

b

c

d

Entonces, ⊨đ?”… ∀đ?‘Ł2 ÂŹđ??¸đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 [đ?‘ ] sii đ?‘ (đ?‘Ł1 ) = đ?‘‘. No hay arista que apunte al vĂŠrtice đ?‘‘; ademĂĄs, ĂŠste es el Ăşnico con esta propiedad. Es posible plantear la negaciĂłn de esta fĂłrmula como ⊨đ?”… ∃đ?‘Ł2 đ??¸đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 [đ?‘ ] sii đ?‘ (đ?‘Ł1 ) ∈ {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?}. AnalĂ­cese con cuidado tanto el orden de la fĂłrmula como el contexto que le da significado. De esta forma se plantea, de manera formalizada y apoyada de la concepciĂłn informal, lo que significa que una estructura satisfaga una fĂłrmula del lenguaje. Teniendo en cuenta que dada una fĂłrmula es muy importante la asignaciĂłn que se hace del conjunto de todas las variables al universo, se puede ver que si se cambiara la asignaciĂłn đ?‘ en el primer ejemplo de estos dos, podrĂ­a cambiarse el significado de los enunciados y el valor de verdad de las fĂłrmulas.

DefiniciĂłn de verdad para enunciados y definiciĂłn de modelo Cuando se quiere saber si la estructura đ?”„ satisface o no una fĂłrmula đ?œ‘ con đ?‘ , es necesaria toda la (cantidad infinita de) informaciĂłn que se tiene con đ?‘ . Lo que importa son los valores de la Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 23

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados funciĂłn đ?‘ en (la cantidad finita de) variables que ocurren libres en đ?œ‘. En particular, si đ?œ‘ es un enunciado, entonces đ?‘ no importa en absoluto. Sobre esto el siguiente teorema. Teorema Si đ?‘ 1 y đ?‘ 2 son funciones de đ?‘‰ en |đ?”„| que coinciden en todas las variables que ocurren libres (si las hay) en la fĂłrmula đ?œ‘, entonces: ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ 1 ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ 2 ] DemostraciĂłn Como la satisfacciĂłn se definiĂł por recursiĂłn, la demostraciĂłn se harĂĄ con inducciĂłn. Se considera la estructura đ?”„ fija. Se probarĂĄ por inducciĂłn que cada fĂłrmula đ?œ‘ tiene la propiedad de que siempre que dos funciones đ?‘ 1 , đ?‘ 2 coinciden en las variables libres de đ?œ‘, đ?”„ satisface đ?œ‘ con đ?‘ 1 sii đ?”„ satisface đ?œ‘ con đ?‘ 2. Para esto se plantean los posibles casos de la fĂłrmula. Caso 1. đ?œ‘ = đ?‘ƒđ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› es atĂłmica. Entonces, en đ?œ‘ cualquier variable ocurre libre. Por tanto, đ?‘ 1 y đ?‘ 2 coinciden en todas las variables en cada đ?‘Ąđ?‘– . De esto sigue que đ?‘ Ě…1 (đ?‘Ąđ?‘– ) = đ?‘ Ě…2 (đ?‘Ąđ?‘– ) para cada đ?‘–, esto es en cierta forma directo por cĂłmo se definen las extensiones, pero se puede dar la demostraciĂłn formal por inducciĂłn sobre đ?‘Ąđ?‘– . Entonces se tiene que đ?”„ satisface đ?‘ƒđ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› con đ?‘ 1 sii đ?”„ satisface đ?‘ƒđ?‘Ą1 â‹Ż đ?‘Ąđ?‘› con đ?‘ 2. Casos 2 y 3. đ?œ‘ es ÂŹđ?›ź o đ?›ź → đ?›˝. Esto se sigue inmediatamente de la hipĂłtesis de inducciĂłn. Caso 4. đ?œ‘ = ∀đ?‘Ľ đ?œ“. Las variables libres en đ?œ‘ son aquellas libres en đ?œ“ con excepciĂłn de đ?‘Ľ. Por lo tanto, para cualquier đ?‘‘ en |đ?”„|, đ?‘ 1 (đ?‘Ľ|đ?‘‘) y đ?‘ 2 (đ?‘Ľ|đ?‘‘) coinciden en todas las variables libres de đ?œ“. Por hipĂłtesis de inducciĂłn, . đ?”„ satisface con đ?‘ 1 (đ?‘Ľ|đ?‘‘) sii đ?”„ satisface con đ?‘ 2 (đ?‘Ľ|đ?‘‘). A partir de esto y de la definiciĂłn de satisfacciĂłn, se puede ver que đ?”„ satisface ∀đ?‘Ľ đ?œ“ con đ?‘ 1 sii đ?”„ satisface ∀đ?‘Ľ đ?œ“ con đ?‘ 2. La prueba anterior consiste en revisar la definiciĂłn de satisfacciĂłn y observar quĂŠ informaciĂłn dada por đ?‘ se utilizĂł realmente. Hay un hecho anĂĄlogo referente a las estructuras que se da sin demostraciĂłn: ProposiciĂłn Si đ?”„. y đ?”… coinciden en todos los parĂĄmetros que ocurren en đ?œ‘, entonces ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ ] sii ⊨đ?”… đ?œ‘[đ?‘ ]. Justificado con teorema antes expuesto, se presenta la siguiente notaciĂłn: NotaciĂłn Si đ?œ‘ es una fĂłrmula tal que todas las variables que ocurren libres en đ?œ‘ estĂĄn incluidas entre đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘˜ . Entonces, para elementos đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘˜ de |đ?”„|, ⊨đ?”„ đ?œ‘[[đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘˜ ]] Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 24

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados significa que đ?”„ satisface đ?œ‘ con cualquier funciĂłn đ?‘ : đ?‘‰ → |đ?”„| para la cual đ?‘ (đ?‘Łđ?‘– ) = đ?‘Žđ?‘– , 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘˜. Usando el ejemplo 2.2.2.1, en el que đ?”„ = (â„•; ≤, đ?‘†, 0), se tiene que ⊨đ?”„ ∀đ?‘Ł2 đ?‘ƒđ?‘Ł1 đ?‘Ł2 [[0]], pero ⊭đ?”„ ∀đ?‘Ł2 đ?‘ƒđ?‘Ł1 đ?‘Ł2 [[3]]. Corolario (del teorema) Para un enunciado đ?œŽ se tienen dos opciones: a) đ?”„ satisface đ?œŽ con toda funciĂłn đ?‘ : đ?‘‰ → |đ?”„|. b) đ?”„ no satisface đ?œŽ con cualquier funciĂłn đ?‘ de đ?‘‰ en |đ?”„|. Con base en este corolario se presenta la siguiente definiciĂłn. DefiniciĂłn Si se cumple la alternativa a) del corolario, se dice que đ?œŽ es verdadero en đ?”„, ⊨đ?”„ đ?œŽ o que đ?”„ es un modelo de đ?œŽ. De cumplirse la alternativa b), se tiene que đ?œŽ es falso en đ?”„; sĂłlo ocurre una de estas dos opciones dado que |đ?”„| es no vacĂ­o. đ?”„ es un modelo de un conjunto đ?šş de enunciados sii đ?”„ es un modelo de todos los elementos de ÎŁ.

Ejemplo 2.2.3.1 Si â„œ es el campo de los reales, (â„?; 0,1, +,â‹…) y đ?”” es el campo de los racionales, (â„š; 0,1, +,â‹…), existen enunciados vĂĄlidos en uno y falsos en el otro. Por ejemplo el enunciado ∃đ?‘Ľ (đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ľ) = 1 + 1 es falso en el campo de los racionales, pues √2 es un nĂşmero irracional y es cierto en el campo de los reales. Ejemplo 2.2.3.2

Un lenguaje dado tiene sĂłlo dos parĂĄmetros ∀ y đ?‘ƒ, donde đ?‘ƒ es un sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos. Entonces una estructura đ?”„ queda determinada por el universo |đ?”„| y la relaciĂłn binaria đ?‘ƒđ?”„ . De manera sĂłlo descriptiva, abusando del lenguaje, puede denotarse đ?”„ = (|đ?”„|; đ?‘ƒđ?”„ ). ConsidĂŠrese el problema de caracterizar la clase de todos los modelos de los siguientes enunciados: 1. ∀đ?‘Ľâˆ€đ?‘Ś đ?‘Ľ = đ?‘Ś. Una estructura (đ??´; đ?‘…) es un modelo de este enunciado sii đ??´ tiene exactamente un elemento. đ?‘… puede ser vacĂ­o o puede ser el conjunto unitario đ??´ Ă— đ??´. 2. ∀đ?‘Ľâˆ€đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś. Una estructura (đ??´; đ?‘…) es un modelo de este enunciado sii đ?‘… = đ??´ = đ??´ Ă— đ??´, donde đ??´ puede ser cualquier conjunto no vacĂ­o. 3. ∀đ?‘Ľâˆ€đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś. Una estructura (đ??´; đ?‘…) es un modelo de este enunciado sii đ?‘… = ∅. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 25

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados 4. ∀đ?‘Ľâˆƒđ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś. Para que una estructura (đ??´; đ?‘…) sea modelo de este enunciado se debe tener que el dominio de đ?‘… sea đ??´.

En este punto se debe tener dominado el concepto de satisfacciĂłn para comprender cĂłmo la estructura es la que da el valor de verdad a un enunciado. Si se tiene algĂşn problema en comprender esta situaciĂłn, se necesita revisar una vez mĂĄs las definiciones de satisfacciĂłn pensando en un contexto especĂ­fico. El primer problema es la notaciĂłn usada. La notaciĂłn que se presentĂł es de cierta forma apropiada para adaptarse a las nociones que ya se tienen, por ejemplo se tiene que: a) ⊨đ?”„ (đ?›ź ∧ đ?›˝)[đ?‘ ] sii ⊨đ?”„ đ?›ź[đ?‘ ] y ⊨đ?”„ đ?›˝[đ?‘ ], de manera similar para ∨ y ↔. b) ⊨đ?”„ ∃đ?‘Ľ đ?›ź[đ?‘ ] sii hay algĂşn đ?‘‘ ∈ |đ?”„| con la propiedad de que ⊨đ?”„ đ?›ź[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘‘)]. La demostraciĂłn del punto b) puede ser como sigue: ⊨đ?”„ ∃đ?‘Ľ đ?›ź[đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊨đ?”„ ÂŹâˆ€đ?‘Ľ ÂŹđ?›ź[đ?‘ ], đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊭đ?”„ ∀đ?‘Ľ ÂŹđ?›ź[đ?‘ ], đ?‘ đ?‘–đ?‘– no pasa que para todo đ?‘‘ en |đ?”„|, ⊨đ?”„ ÂŹđ?›ź[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘‘)], por definiciĂłn, đ?‘ đ?‘–đ?‘– no pasa que para todo đ?‘‘ en |đ?”„|, ⊭đ?”„ đ?›ź[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘‘)], por definiciĂłn, đ?‘ đ?‘–đ?‘– para algĂşn đ?‘‘ en |đ?”„|, ⊨đ?”„ đ?›ź[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘‘)]. La notaciĂłn resulta natural y apropiada para trabajar con los enunciados y las estructuras.

ImplicaciĂłn lĂłgica DefiniciĂłn Sea Γ un conjunto de fĂłrmulas y đ?œ‘ una fĂłrmula. Entonces đ?šŞ implica lĂłgicamente a đ?œ‘, y se escribe Γ ⊨ đ?œ‘, sii para cada estructura đ?”„ del lenguaje y cada funciĂłn đ?‘ : đ?‘‰ → |đ?”„| tal que đ?”„ satisface cada elemento de Γ con đ?‘ , đ?”„ tambiĂŠn satisface a đ?œ‘ con đ?‘ . Se utiliza el mismo sĂ­mbolo, “⊨â€?, que se utilizĂł en la primera unidad para la implicaciĂłn tautolĂłgica, pero en adelante denota sĂłlo la implicaciĂłn lĂłgica. De igual manera se denota “đ?›ž ⊨ đ?œ‘â€? en lugar de “{đ?›ž} ⊨ đ?œ‘â€?. Para enunciados, la implicaciĂłn lĂłgica se puede presentar usando el teorema referido anteriormente con el siguiente corolario. Corolario

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 26

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Para un conjunto ÎŁ; đ?œ? de enunciados, ÎŁ ⊨ đ?œ? sii cada modelo de ÎŁ es tambiĂŠn modelo de đ?œ?. Un enunciado đ?œ? es vĂĄlido sii es verdadero en todas las estructuras. Ejemplo 2.2.4.1 ConsidĂŠrense las siguientes implicaciones entre enunciados: 1. ∀đ?‘Ł1 đ?‘„đ?‘Ł1 ⊨ đ?‘„đ?‘Ł2 . Ésta es sĂłlo una particularizaciĂłn, si para todos es verdadero, lo es para uno de ellos. 2. đ?‘„đ?‘Ł1 ⊭ ∀đ?‘Ł1 đ?‘„đ?‘Ł1 . Para demostrar esto basta encontrar una estructura đ?”„ y una sola funciĂłn đ?‘ : đ?‘‰ → |đ?”„| tal que, por una parte, ⊨đ?”„ đ?‘„đ?‘Ł1 [đ?‘ ] y por la otra, đ?”„ no es modelo de ∀đ?‘Ł1 đ?‘„đ?‘Ł1 . Para esto se necesita que |đ?”„| tenga al menos dos elementos. 3. ∀đ?‘Ł1 đ?‘„đ?‘Ł1 ⊨ ∃đ?‘Ł2 đ?‘„đ?‘Ł2 . Ver esto es sencillo considerando que el universo de una estructura es no vacĂ­o. 4. ∃đ?‘Ľ ∀đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś ⊨ ∀đ?‘Ś ∃đ?‘Ľ đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś. Esto se verĂĄ mĂĄs adelante, en el Tema 2.3. 5. ∀đ?‘Ś ∃đ?‘Ľ đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś ⊭ ∃đ?‘Ľ ∀đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś.

La definiciĂłn de implicaciĂłn lĂłgica es muy parecida a la de implicaciĂłn tautolĂłgica que apareciĂł en la Unidad 1. Sin embargo, hay una diferencia importante en cuanto a su complejidad.

Equivalencia lĂłgica Continuando con lo presentado en el tema anterior y siguiendo con una especie de analogĂ­a a lo presentado en la Unidad 1, se dice que đ?œ‘ y đ?œ“ son lĂłgicamente equivalentes (đ??‹ ⊨⍤ đ???) sii đ?œ‘ ⊨ đ?œ“ y đ?œ“ ⊨ đ?œ‘. Del ejemplo 2.2.4.1. en las partes 4 y 5 se puede ver que. aunque ∃đ?‘Ľ ∀đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś ⊨ ∀đ?‘Ś ∃đ?‘Ľ đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś, estas fĂłrmulas nos son lĂłgicamente equivalentes, pues ∀đ?‘Ś ∃đ?‘Ľ đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś ⊭ ∃đ?‘Ľ ∀đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś.

FĂłrmulas universalmente vĂĄlidas El anĂĄlogo en primer orden del concepto de tautologĂ­a es el concepto de fĂłrmula vĂĄlida: una fĂłrmula đ?œ‘ es vĂĄlida sii ∅ ⊨ đ?œ‘, escrito ⊨ đ?œ‘. Entonces đ?œ‘ es vĂĄlida sii para cada đ?”„ y cada đ?‘ : đ?‘‰ → |đ?”„|, đ?”„ satisface đ?œ‘ con đ?‘ . Ejemplo 2.2.6.1 1. ⊨ ÂŹÂŹđ?œŽ → đ?œŽ. Si đ?”„ es un modelo de ÂŹÂŹđ?œŽ, entonces ⊭đ?”„ ÂŹđ?œŽ de donde ⊨đ?”„ đ?œŽ. Prestando un poco de atenciĂłn a lo que se estĂĄ haciendo en esta secuencia de afirmaciones podrĂ­a notarse que se ha usado la ley de la doble negaciĂłn, la cual se va a probar. Se estĂĄ probando la ley de la doble negaciĂłn en el lenguaje formal considerado para esto, Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 27

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados denominado lenguaje objeto (revisa en internet algunas definiciones de lo que en filosofĂ­a es el metalenguaje y el lenguaje objeto). Al hacer la demostraciĂłn se usa cualquier razonamiento correcto, afuera en el metalenguaje, el lenguaje comĂşn, como se harĂ­a al razonar respecto de espacios vectoriales o grĂĄficas. En particular, el razonamiento puede implicar principios que cuando se modelaran formalmente, implicarĂ­an ÂŹÂŹđ?œŽ y đ?œŽ. No hay circularidad o redundancia; pero los enunciados del metalenguaje que se usan, como era de esperarse, relacionados con las fĂłrmulas del lenguaje objeto de las que se hablan. 2. ⊨ ∃đ?‘Ľ (đ?‘„đ?‘Ľ → ∀đ?‘Ľ đ?‘„đ?‘Ľ). Éste es un enunciado extraĂąo, pero vĂĄlido.

Para notar un poco mĂĄs las diferencias entre la lĂłgica de enunciados y la de primer orden, supĂłngase que en lĂłgica de enunciados se quiere saber si una fĂłrmula đ?›ź es una tautologĂ­a o no. La definiciĂłn requiere considerar un nĂşmero finito de asignaciones de verdad, cada una de las cuales es una funciĂłn finita. Para cada una de tales asignaciones de verdad đ?‘Ł, se debe calcular đ?‘ŁĚ… (đ?›ź), que puede realizarse efectivamente en una cantidad de tiempo finita (en consecuencia, el conjunto de tautologĂ­as es decidible, como se observĂł anteriormente). Cuando se requiere saber si una fĂłrmula đ?œ‘ del lenguaje de primer orden, es o no vĂĄlida, la definiciĂłn exige que se considere cada estructura đ?”„. Esto requiere todos los conjuntos no vacĂ­os, en seguida para cada estructura se requiere considerar cada funciĂłn đ?‘ del conjunto đ?‘‰ de las variables en |đ?”„|. Para cada đ?”„ y đ?‘ dadas, se debe determinar si đ?”„ satisface a đ?œ‘ con đ?‘ o no, cuando esto sucede es complicado que |đ?”„| sea infinito. De acuerdo con lo anterior, no resulta sorprendente que el conjunto de las fĂłrmulas vĂĄlidas no sea decidible. Sin embargo mĂĄs adelante se verĂĄ un concepto que resulta equivalente al de validez. Este es el de deducibilidad, que tiene una definiciĂłn mĂĄs cercana a la finitaria, por esta vĂ­a serĂĄ posible probar que el conjunto de fĂłrmulas vĂĄlidas es efectivamente enumerable. De esta forma se tiene una caracterizaciĂłn concreta de tales fĂłrmulas.

Definibilidad de una estructura Empieza por considerar que se quiere estudiar el campo de los reales (â„?; 0,1, +,â‹…) compuesto por el conjunto de los nĂşmeros reales, junto con los elementos distinguidos 0 y 1, y las operaciones de suma y producto. Como antes, se considera el campo de los reales como la estructura â„œ = (â„?; 0,1, +,â‹…) en la que el lenguaje con igualdad tiene los sĂ­mbolos de constante 0 y 1 y los sĂ­mbolos de funciĂłn de dos argumentos + y â‹…. Aunque no se incluye en el lenguaje un sĂ­mbolo de orden <, se tiene manera para decir que “đ?‘Ľ ≼ 0â€?; pues en esta estructura, los elementos no negativos son exactamente los elementos con raĂ­ces cuadradas. Esto es, la fĂłrmula ∃đ?‘Ł2 đ?‘Ľ = đ?‘Ł2 â‹… đ?‘Ł2 se Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 28

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados satisface en la estructura â„œ siempre que se asigne a đ?‘Ľ un nĂşmero no negativo, y sĂłlo en ese caso, esto es: ⊨ℜ ∃đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 = đ?‘Ł2 â‹… đ?‘Ł2 [[đ?‘Ž]] â&#x;ş đ?‘Ž ≼ 0. Debido a esto, se dice que el intervalo [0, ∞) es definible en â„œ, y que la fĂłrmula ∃đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 = đ?‘Ł2 â‹… đ?‘Ł2 lo define. AdemĂĄs es posible dar la relaciĂłn de orden en los reales, es decir, la relaciĂłn binaria {⌊đ?‘Ž, đ?‘?âŒŞ ∈ â„? Ă— â„?|đ?‘Ž ≤ đ?‘?} en la estructura â„œ mediante la fĂłrmula que expresa “đ?‘Ł1 ≤ đ?‘Ł2 â€?: ∃đ?‘Ł3 đ?‘Ł2 = đ?‘Ł1 + đ?‘Ł3 â‹… đ?‘Ł3 . Como un ejemplo mĂĄs corto, considera la grĂĄfica dirigida đ?”„ = ({đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?}; {⌊đ?‘Ž, đ?‘?âŒŞ, ⌊đ?‘Ž, đ?‘?âŒŞ}) donde el lenguaje tiene los parĂĄmetros ∀ y đ??¸:

đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

Entonces en đ?”„, el conjunto {đ?‘?, đ?‘?} (el rango o imagen de la relaciĂłn đ??¸ đ?”„ ) se define mediante la fĂłrmula ∃đ?‘Ł2 đ??¸đ?‘Ł2 đ?‘Ł1 . En cambio, el conjunto {đ?‘?} no es definible en đ?”„. Esto se debe a que no hay propiedad definible en la estructura que separarĂ­a a đ?‘? y đ?‘?. La prueba de este hecho utilizarĂĄ el teorema del homomorfismo, que se demostrarĂĄ mĂĄs adelante en el tema 2.2.8. Ahora se quiere establecer de manera precisa el concepto de definibilidad de un subconjunto del universo o de una relaciĂłn en el universo. ConsidĂŠrese una estructura đ?”„ y una fĂłrmula đ?œ‘ cuyas variables libres se encuentren entre đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘˜ . Entonces se construye sobre |đ?”„| la relaciĂłn de aridad đ?‘˜ {(đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘˜ )| ⊨đ?”„ đ?œ‘[[đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘˜ ]]} Se denotarĂĄ a este conjunto la relaciĂłn de aridad đ?‘˜ que đ?œ‘ define en đ?”„. En general, se dice que una relaciĂłn de aridad đ?‘˜ sobre |đ?”„| es definible en đ?”„ sii existe una fĂłrmula (cuyas variables libres se encuentran entre đ?‘Ł1 , ‌ , đ?‘Łđ?‘˜ ) que la define ahĂ­. Ejemplo 2.2.7.1. ConsidĂŠrese una parte del lenguaje que se tiene para la teorĂ­a de nĂşmeros, especĂ­ficamente que el lenguaje tiene los parĂĄmetros ∀,0, đ?‘†, +,â‹…. Sea đ?”‘ la estructura compuesta: Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 29

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados |đ?”‘| = â„•, el conjunto de los nĂşmeros naturales. 0đ?”‘ = 0, el nĂşmero 0. đ?‘† đ?”‘ , +đ?”‘ , â‹…đ?”‘ son đ?‘†, +,â‹… , las funciones sucesor, suma y producto. Esto en una sola expresiĂłn podrĂ­a ser: đ?”‘ = (â„•; 0, đ?‘†, +,â‹…) Algunas relaciones sobre â„• son definibles en đ?”‘ y otras no. Lo mĂĄs complicado podrĂ­a ser demostrar que relaciones no son definibles, pues al no serlo, es complicado decir exactamente cĂłmo son para ver que, en efecto, no son definibles. Suele usarse tambiĂŠn el hecho de que hay una cantidad no numerable de relaciones sobre â„•, y, unidamente, una cantidad numerable de posibles fĂłrmulas para definir. Se presentan algunas relaciones definibles, (ÂżpodrĂ­a el (la) alumno(a), con base en ĂŠstas, definir alguna otra?) 1. La relaciĂłn de orden {⌊đ?‘š, đ?‘›âŒŞ|đ?‘š < đ?‘›} se define en đ?”‘ mediante la fĂłrmula ∃đ?‘Ł3 đ?‘Ł1 + đ?‘†đ?‘Ł3 = đ?‘Ł2 2. Para cualquier nĂşmero natural đ?‘›, {đ?‘›} es definible. Por ejemplo, {2} se define mediante la ecuaciĂłn: đ?‘Ł1 = đ?‘†đ?‘†0 Por lo anterior, se tiene que đ?‘› es un đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘“đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘’ en đ?”‘. 3. El conjunto de los primos es definible en đ?”‘. Esto es sencillo mediante la fĂłrmula 1 < đ?‘Ł1 ∧ ∀đ?‘Ł2 ∀đ?‘Ł3 (đ?‘Ł1 = đ?‘Ł2 â‹… đ?‘Ł3 → đ?‘Ł2 = 1 ∨ đ?‘Ł3 = 1) y recordando la definiciĂłn usual de los nĂşmeros primos. Esta fĂłrmula usa los parĂĄmetros 1 y <, que no estĂĄn en đ?”‘. Sin embargo {1} y < son definibles en đ?”‘, asĂ­ que es posible usar sus definiciones, por lo tanto el conjunto de los primos es definible por ∃đ?‘Ł3 đ?‘†0 + đ?‘†đ?‘Ł3 = đ?‘Ł1 ∧ ∀đ?‘Ł2 ∀đ?‘Ł3 (đ?‘Ł1 = đ?‘Ł2 â‹… đ?‘Ł3 → đ?‘Ł2 = đ?‘†0 ∨ đ?‘Ł3 = đ?‘†0)

Se ha dicho hasta el momento quĂŠ significa que elementos dentro de una estructura sean definibles. RecuĂŠrdese un poco lo que se presenta en un curso de matemĂĄticas, que usualmente inicia con algo parecido a alguna de las siguientes afirmaciones: 1. “Una grĂĄfica estĂĄ compuesta, por definiciĂłn, de un conjunto no vacĂ­o đ?‘‰ junto con un conjunto đ??¸, tal que...â€? 2. “Un grupo estĂĄ compuesto, por definiciĂłn, de un conjunto no vacĂ­o đ??ş junto con una operaciĂłn binaria ∘ que satisface los axiomas..." Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 30

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados 3. “Un espacio vectorial se compone, por definiciĂłn, de un conjunto no vacĂ­o đ?‘‰ junto con una operaciĂłn binaria + y, para cada nĂşmero real đ?‘&#x;, una operaciĂłn llamada multiplicaciĂłn escalar tal que...â€? Se quiere hacer una abstracciĂłn de esta situaciĂłn. En cada caso, los objetos de estudio (grĂĄficas, grupos, espacios vectoriales, etc.) son estructuras para un lenguaje adecuado, donde se les pide que se satisfagan un determinado conjunto ÎŁ de enunciados, en estos casos denominados axiomas. En lo siguiente del curso en cuestiĂłn se estudian los modelos del conjunto ÎŁ de axiomas, o al menos algunos de los modelos (esto puede ser muy conocido para el (la) estudiante en el caso de los grupos estudiados en ĂĄlgebra o en el de los nĂşmeros reales como espacio vectorial o â„?2 . PiĂŠnsese en ellos como estructuras para sus lenguajes). Para un conjunto ÎŁ de enunciados, sea đ?‘€đ?‘œđ?‘‘ ÎŁ la clase de todos los modelos de ÎŁ, es decir, la clase de todas las estructuras del lenguaje en las cuales todo elemento de ÎŁ es verdadero. Para un solo enunciado đ?œ?, se escribe đ?‘€đ?‘œđ?‘‘ đ?œ?. De manera paralela a esto dentro de la teorĂ­a de conjuntos se puede ver que si đ?‘€đ?‘œđ?‘‘ ÎŁ es no vacĂ­o, es una clase propia, es decir, no es un conjunto sino algo “mĂĄs grandeâ€?. RevĂ­sese la secciĂłn Para saber mĂĄs, donde se presentan textos sobre la teorĂ­a de conjuntos. Cabe decir que su lenguaje es uno de lo que se estudia en esta secciĂłn, pero no el Ăşnico y por eso se da en general. Una clase đ?’Ś de estructuras del lenguaje es una clase elemental (đ??¸đ??ś) sii đ?’Ś = đ?‘€đ?‘œđ?‘‘ đ?œ? para algĂşn enunciado đ?œ?. đ?’Ś es una clase elemental en sentido amplio (đ??¸đ??śÎ” ) sii đ?’Ś = đ?‘€đ?‘œđ?‘‘ ÎŁ para algĂşn conjunto ÎŁ de enunciados (el adjetivo “elementalâ€? se estĂĄ usando aquĂ­ como sinĂłnimo de “primer ordenâ€?). Ejemplo 2.2.7.2 1. Si el lenguaje cuenta con igualdad y dos parĂĄmetros ∀ y đ??¸, donde đ??¸ es un sĂ­mbolo de predicado de dos argumentos. Entonces una grĂĄfica es una estructura para este lenguaje đ?”„ = (đ?‘‰; đ??¸ đ?”„ ) consistente en un conjunto đ?‘‰ no vacĂ­o de objetos llamados vĂŠrtices (o nodos), y una relaciĂłn arista đ??¸ đ?”„ que es simĂŠtrica (si đ?‘˘đ??¸ đ?”„ đ?‘Ł, entonces đ?‘Łđ??¸ đ?”„ đ?‘˘) y antirreflexiva (nunca đ?‘Łđ??¸ đ?”„ đ?‘Ł). Si el (la) alumno(a) estĂĄ familiarizado con la teorĂ­a de grĂĄficas, reconocerĂĄ estas condiciones desde el principio. El axioma que manifiesta que la relaciĂłn arista es simĂŠtrica y antirreflexiva se puede traducir mediante el enunciado: ∀đ?‘Ľ(ÂŹđ?‘Ľđ??¸đ?‘Ľ ∧ ∀đ?‘Ś (đ?‘Ľđ??¸đ?‘Ś → đ?‘Śđ??¸đ?‘Ľ)) AsĂ­, la clase de todas las grĂĄficas es una clase elemental. Pueden cambiarse algunas restricciones, como cuando se estudian las grĂĄficas dirigidas en las que se hace a un lado la simetrĂ­a o se restringe sĂłlo a graficas finitas. Vale la pena decir que la clase de todas las grĂĄficas finitas no es una clase elemental, ni siquiera en el sentido amplio. 2. SupĂłngase que el lenguaje tiene igualdad y los parĂĄmetros ∀,0,1, +,â‹…. Los campos Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 31

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados pueden ser considerados como estructuras para este lenguaje. La clase de todos los campos es una clase elemental. La clase de los campos de caracterĂ­stica cero, que tienen como subcampo los racionales (para este ejemplo en particular se requiere conocimiento de ĂĄlgebra moderna, en especial teorĂ­a de campos) es đ??¸đ??śÎ” ; no es đ??¸đ??ś. Esto se sigue del teorema de compacidad para la lĂłgica de primer orden que se verĂĄ mĂĄs adelante. Es un buen ejemplo para introducirlo y ver su utilidad.

Con estos ejemplos se tiene la definiciĂłn de definibilidad de una estructura.

Homomorfismos y teorema del homomorfismo El presente contenido serĂĄ de vital importancia para el curso pues se usarĂĄ para poder comprobar el teorema de completud. Dentro de los cursos que el (la) estudiante ha tomado es comĂşn que le hayan presentado el concepto de lo que significa que dos estructuras, con las que se estĂŠ trabajando, sean isomorfas: debe haber una correspondencia uno a uno entre sus universos |đ?”„| y |đ?”…| que “preserveâ€? las operaciones y las relaciones. A continuaciĂłn se explica que dos estructuras isomorfas, aunque no sean idĂŠnticas, deben tener las mismas propiedades matemĂĄticas. Se quiere definir el concepto de isomorfismo en un contexto general y mostrar que dos estructuras isomorfas tienen que satisfacer exactamente los mismos enunciados. DefiniciĂłn Sean đ?”„, đ?”… estructuras para el lenguaje. Un homomorfismo â„Ž de đ?”„ en đ?”… es una funciĂłn â„Ž: |đ?”„| → |đ?”…| con las propiedades siguientes: a) Para cada parĂĄmetro de predicado đ?‘ƒ de đ?‘› argumentos y cada đ?‘›-ada ⌊đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› âŒŞ de elementos de |đ?”„|: ⌊đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”„ đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⌊ℎ(đ?‘Ž1 ), ‌ , â„Ž(đ?‘Žđ?‘› )âŒŞ ∈ đ?‘ƒđ?”… b) Para cada sĂ­mbolo de funciĂłn đ?‘“ de đ?‘› argumentos y para cada đ?‘›-ada como antes: â„Ž (đ?‘“ đ?”„ (đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› )) = đ?‘“ đ?”… (â„Ž(đ?‘Ž1 ), ‌ , â„Ž(đ?‘Žđ?‘› )). En el caso de un sĂ­mbolo de constante đ?‘?, esto se convierte en â„Ž(đ?‘? đ?”„ ) = đ?‘? đ?”…. Las condiciones a) y b) se expresan normalmente como: “ℎ preserva las relaciones y las funcionesâ€?. Se pueden encontrar versiones mĂĄs dĂŠbiles de estas condiciones, pero para este curso se usarĂĄn estos tipos de homomorfismos.

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 32

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados De manera anĂĄloga a como se ha hecho siempre en los cursos de matemĂĄticas si ademĂĄs, â„Ž es uno a uno, entonces se le llama un isomorfismo (o inmersiĂłn isomorfa) de đ?”„ en đ?”…. Si hay un isomorfismo de đ?”„ sobre đ?”…, es decir, un isomorfismo â„Ž para el cual đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘› â„Ž = |đ?”…|, se dice que đ?”„ y đ?”… son isomorfas, denotado como đ?”„ ≅ đ?”…. De nuevo, si se estĂĄ familiarizado con la teorĂ­a de grupos o de campos se tendrĂĄ mĂĄs presente el concepto. Ejemplo 2.2.8.1. Si se tiene un lenguaje con los parĂĄmetros ∀, +,â‹… . Sea đ?”„ la estructura (â„•; +,â‹…). Es posible definir la funciĂłn â„Ž: â„• → {đ?‘’, đ?‘œ} mediante: â„Ž(đ?‘›) = {

đ?‘’ đ?‘œ

đ?‘ đ?‘– đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘ đ?‘– đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;

Entonces, â„Ž es un homomorfismo de đ?”„ sobre đ?”… donde |đ?”…| = {đ?‘’, đ?‘œ} y +đ?”… , â‹…đ?”… se obtiene mediante las tablas siguientes: +đ?”… đ?‘’ đ?‘œ

đ?‘’ đ?‘’ đ?‘œ

â‹…đ?”… đ?‘’ đ?‘œ

đ?‘œ đ?‘œ đ?‘’

đ?‘’ đ?‘’ đ?‘’

đ?‘œ đ?‘’ đ?‘œ

Se puede verificar que se satisface la condiciĂłn b) de la definiciĂłn 2.2.8.1. Por ejemplo, si đ?‘› y đ?‘š son ambos nĂşmeros impares, entonces â„Ž(đ?‘› + đ?‘š) = đ?‘’ y â„Ž(đ?‘›) +đ?”… â„Ž(đ?‘?) = đ?‘œ +đ?”… đ?‘œ = đ?‘’.

El siguiente ejemplo pretende introducir el concepto de una subestructura. Ejemplo 2.2.8.2. (Subestructura) Sea â„™ el conjunto de los enteros positivos, sea <đ?‘ƒ la relaciĂłn de orden usual en â„™ y sea <â„• la relaciĂłn de orden usual en â„•. Para empezar recuĂŠrdese que para este curso, pues esto varĂ­a segĂşn los autores, se tiene que â„• = {0,1,2, ‌ } y â„™ = {1,2,3,4, ‌ }. Entonces existe un isomorfismo â„Ž de la estructura (â„™; <đ?‘? ) sobre (â„•; <đ?‘ ). ConsidĂŠrese que, por ejemplo, â„Ž(đ?‘›) = đ?‘› − 1 y la funciĂłn identidad đ??źđ?‘‘: â„™ → â„• es un isomorfismo de (â„™; <đ?‘? ) en (â„•; <đ?‘ ). Debido a esto se dice que (â„™; <đ?‘? ) es una subestructura de (â„•; <đ?‘ ).

De forma mås general se darå la definición de subestructura y extensión como sigue. Definición Tómense dos estructuras � y � para el lenguaje, tales que |�| ⊆ |�|. A partir de la definición de homomorfismo, debe ser claro que la función identidad de |�| en |�| es un isomorfismo de � en � sii:

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 33

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados a. đ?‘ƒđ?”„ es la restricciĂłn de đ?‘ƒđ?”… a |đ?”„|, para cada parĂĄmetro de predicado đ?‘ƒ. b. đ?‘“ đ?”„ es la restricciĂłn de đ?‘“ đ?”… a |đ?”…|, para cada sĂ­mbolo de funciĂłn y đ?‘? đ?”„ = đ?‘? đ?”… , para cada sĂ­mbolo de constante đ?‘?. Si se cumplen estas condiciones, se dice que đ?”„ es una subestructura de đ?”… y que đ?”… es una extensiĂłn de đ?”„. Por ejemplo, en un lenguaje con un sĂ­mbolo de funciĂłn de dos argumentos +, la estructura (â„š; +đ?‘„ ) es una subestructura de (â„‚; +đ??ś ), donde se consideran las respectivas sumas en cada campo y la suma de los racionales como restricciĂłn de la suma de complejos. En este ejemplo, el conjunto â„š es cerrado bajo +đ??ś : la suma de dos nĂşmeros racionales es un racional. De una forma mĂĄs general, siempre que đ?”„ sea una subestructura de đ?”…, |đ?”„| debe ser cerrado bajo đ?‘“ đ?”… para cada sĂ­mbolo de funciĂłn đ?‘“. Esta propiedad de cerradura se cumple incluso en los sĂ­mbolos de funciĂłn de 0 argumentos. AsĂ­, đ?‘? đ?”… debe pertenecer a |đ?”„| para cada sĂ­mbolo de constante đ?‘?. Si se tiene una estructura đ?”… y đ??´ es un subconjunto no vacĂ­o de |đ?”…| cerrado bajo todas las funciones de đ?”…, como se mencionĂł antes. Entonces es posible hacer una subestructura de đ?”… con universo đ??´. De hecho, hay una sola manera de hacer esto. El universo es đ??´, a cada parĂĄmetro de predicado đ?‘ƒ se le asigna la restricciĂłn de đ?‘ƒ^đ?”… a đ??´, y se hace lo mismo para los sĂ­mbolos de funciĂłn. Si el lenguaje no tiene sĂ­mbolos de funciĂłn, ni siquiera sĂ­mbolos de constante, se puede hacer una subestructura a partir de cualquier subconjunto đ??´ no vacĂ­o de |đ?”…|. Éstos son bĂĄsicamente conceptos algebraicos y el teorema siguiente los relaciona con los conceptos lĂłgicos de verdad y de satisfacciĂłn. Teorema (el homomorfismo) Sea â„Ž un homomorfismo de đ?”„ en đ?”… y sea đ?‘ una funciĂłn del conjunto de las variables en |đ?”„|: a) Para cualquier tĂŠrmino đ?‘Ą se tiene â„Ž(đ?‘ Ě… (đ?‘Ą)) = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â„Ž ∘ đ?‘ (đ?‘Ą), donde đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) se calcula en đ?”„ y Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â„Ž ∘ đ?‘ (đ?‘Ą) se calcula en đ?”…. b) Para cualquier fĂłrmula đ?›ź libre de cuantificadores que no contenga sĂ­mbolo de igualdad, ⊨đ?”„ đ?›ź[đ?‘ ] đ?‘ đ?‘–đ?‘– ⊨đ?”… đ?›ź[â„Ž ∘ đ?‘ ] c) Si â„Ž es uno a uno (es decir, es un isomorfismo de đ?”„ en đ?”…), en la parte b) se puede eliminar la restricciĂłn “no contenga sĂ­mbolo de igualdadâ€?. d) Si â„Ž es un homomorfismo de đ?”„ sobre đ?”…, en b) se puede eliminar la restricciĂłn “libre de cuantificadoresâ€?. DemostraciĂłn La parte a) usa inducciĂłn sobre đ?‘Ą y es muy directo, asĂ­ que, como prĂĄctica del teorema de inducciĂłn, considĂŠrese completar los detalles. NĂłtese que â„Ž ∘ đ?‘ es una funciĂłn del conjunto de Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 34

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados las variables en |đ?”…| y su extensiĂłn al conjunto de todos los tĂŠrminos es Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â„Ž ∘ đ?‘ . Esta funciĂłn se evalĂşa. AquĂ­, en đ?‘Ą. c) Para una fĂłrmula atĂłmica tal como đ?‘ƒđ?‘Ą, se tiene: d) ⊨đ?”„ đ?‘ƒđ?‘Ą[đ?‘ ] â&#x;ş đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) ∈ đ?‘ƒđ?”„ â&#x;ş â„Ž(đ?‘ Ě… (đ?‘Ą)) ∈ đ?‘ƒđ?”… , pues se trata de un homomorfismo â&#x;ş Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â„Ž ∘ đ?‘ (đ?‘Ą) ∈ đ?‘ƒđ?”… , por a) â&#x;şâŠ¨đ?”… đ?‘ƒđ?‘Ą[â„Ž ∘ đ?‘ ]. Se requiere, entonces, un argumento inductivo para manejar el caso de los sĂ­mbolos de conectivo. TambiĂŠn se puede hacer de manera directa. De nuevo, complĂŠtense esos detalles como ejercicio. c) En cualquier caso: ⊨đ?”„ đ?‘˘ = đ?‘Ą[đ?‘ ] â&#x;ş đ?‘ Ě… (đ?‘˘) = đ?‘ Ě… (đ?‘Ą) â&#x;š â„Ž(đ?‘ Ě… (đ?‘˘)) = â„Ž(đ?‘ Ě… (đ?‘Ą)) â&#x;ş Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â„Ž ∘ đ?‘ (đ?‘˘) = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â„Ž ∘ đ?‘ (đ?‘Ą), por a) â&#x;şâŠ¨đ?”… đ?‘˘ = đ?‘Ą[â„Ž ∘ đ?‘ ]. Si â„Ž es uno a uno, la flecha del segundo paso tambiĂŠn se puede invertir. Esto es claro por la definiciĂłn uno a uno. d) Se extiende el argumento inductivo de rutina de la parte b) para incluir el paso del cuantificador. Esto es, se debe mostrar que si đ?œ‘ tiene la propiedad de que para toda đ?‘ : ⊨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ ] â&#x;şâŠ¨đ?”… đ?œ‘[â„Ž ∘ đ?‘ ], entonces ∀đ?‘Ľ đ?œ‘ tiene la misma propiedad. En todo caso (como una consecuencia de la hipĂłtesis de inducciĂłn para đ?œ‘) se tiene la implicaciĂłn: ⊨đ?”… ∀đ?‘Ľ đ?œ‘[â„Ž ∘ đ?‘ ] â&#x;šâŠ¨đ?”„ ∀đ?‘Ľ đ?œ‘[đ?‘ ]. De manera intuitiva, esto es muy plausible. Si đ?œ‘ es verdadero para todos los elementos en el conjunto mĂĄs grande |đ?”…|, es verdadero con mayor razĂłn para todos en el conjunto mĂĄs pequeĂąo đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘› â„Ž. Los detalles son, para un elemento đ?‘Ž de |đ?”„|, ⊨đ?”… ∀đ?‘Ľ đ?œ‘[â„Ž ∘ đ?‘ ] â&#x;šâŠ¨đ?”… đ?œ‘[(â„Ž ∘ đ?‘ )(đ?‘Ľ|â„Ž(đ?‘Ž))] â&#x;şâŠ¨đ?”… đ?œ‘[â„Ž ∘ (đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘Ž))], pues las funciones son las mismas â&#x;şâŠ¨đ?”„ đ?œ‘[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘Ž)], por la hipĂłtesis de inducciĂłn.

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 35

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Ahora para el regreso, supĂłngase que ⊭đ?”… ∀đ?‘Ľ đ?œ‘[â„Ž ∘ đ?‘ ], de modo que ⊨đ?”… ÂŹđ?œ‘[(â„Ž ∘ đ?‘ )(đ?‘Ľ|đ?‘?)] para algĂşn elemento đ?‘? de |đ?”…|. En este punto es necesaria la implicaciĂłn siguiente: (*) Si para algĂşn đ?‘? de |đ?”…|, ⊨đ?”… ÂŹđ?œ‘[(â„Ž ∘ đ?‘ )(đ?‘Ľ|đ?‘?)], entonces para algĂşn đ?‘Ž de |đ?”„|, ⊨đ?”… ÂŹđ?œ‘[(â„Ž ∘ đ?‘ )(đ?‘Ľ|â„Ž(đ?‘Ž))]. Pues teniendo (*) se puede seguir: ⊨đ?”… ÂŹđ?œ‘[(â„Ž ∘ đ?‘ )(đ?‘Ľ|â„Ž(đ?‘Ž))] â&#x;şâŠ¨đ?”… ÂŹđ?œ‘[â„Ž ∘ (đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘Ž))] â&#x;şâŠ¨đ?”„ ÂŹđ?œ‘[đ?‘ (đ?‘Ľ|đ?‘Ž)], por hipĂłtesis de inducciĂłn â&#x;šâŠ­đ?”„ ∀đ?‘Ľ đ?œ‘[đ?‘ ]. Si â„Ž es funciĂłn de |đ?”„| sobre |đ?”…|, entonces (*) es inmediato; tomando đ?‘Ž tal que đ?‘? = â„Ž(đ?‘Ž). Sin embargo, puede haber otras ocasiones afortunadas en que se pueda afirmar (*) incluso si â„Ž no tiene rango |đ?”…|.

DefiniciĂłn Se dice que dos estructuras đ?”„ y đ?”… son elementalmente equivalentes (se escribe đ?”„ ≥ đ?”…) sii para cualquier enunciado đ?œŽ: ⊨đ?”„ đ?œŽ ⇔⊨đ?”… đ?œŽ. Respecto con esta definiciĂłn y el teorema de isomorfismo, se tiene el siguiente corolario. Corolario Las estructuras isomorfas son elementalmente equivalentes, es decir: đ?”„≅đ?”…â&#x;šđ?”„≥đ?”… De hecho, se tiene mĂĄs verdad que ĂŠsta: las estructuras isomorfas se parecen de cualquier manera “estructuralâ€?: no sĂłlo satisfacen los mismos enunciados de primer orden sino que tambiĂŠn satisfacen los mismos enunciados de segundo orden (y de Ăłrdenes superiores), es decir, son equivalentes en segundo orden y mĂĄs. El regreso del corolario no es cierto, pues existen estructuras elementalmente equivalentes que no son isomorfas. Por ejemplo, la estructura (â„?; <đ?‘… ), formada por el conjunto de los nĂşmeros reales con su relaciĂłn de orden usual, es elementalmente equivalente a la estructura (â„š; <đ?‘„ ), compuesta por el conjunto de los nĂşmeros racionales con su orden natural. â„š es un conjunto numerable mientras que â„? no lo es; asĂ­ que estas estructuras no pueden ser isomorfas.

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 36

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Ejemplo 2.2.8.3. De un ejemplo anterior se sabe que (â„™; <đ?‘ƒ ) ≅ (â„•; <đ?‘ ). AsĂ­ que, en particular, (â„™; <đ?‘ƒ ) ≥ (â„•; <đ?‘ ) y estas estructuras no se pueden distinguir mediante enunciados de primer orden. Incluso se tiene que la funciĂłn identidad es una inmersiĂłn isomorfa de (â„™; <đ?‘ƒ ) en (â„•; <đ?‘ ). De esto se tiene que para una funciĂłn đ?‘ : đ?‘‰ → â„™ y para una đ?œ‘ libre de cuantificadores: ⊨(â„™;<đ?‘ƒ ) đ?œ‘[đ?‘ ] â&#x;şâŠ¨(â„•;<đ?‘ ) đ?œ‘[đ?‘ ] Es fĂĄcil ver que esta equivalencia puede fallar si đ?œ‘ contiene cuantificadores. Por ejemplo: ⊨(â„™;<đ?‘ƒ ) ∀đ?‘Ł2 (đ?‘Ł1 ≠đ?‘Ł2 → đ?‘Ł1 < đ?‘Ł2 )[[1]], pero ⊭(â„•;<đ?‘ ) ∀đ?‘Ł2 (đ?‘Ł1 ≠đ?‘Ł2 → đ?‘Ł1 < đ?‘Ł2 )[[1]]

DefiniciĂłn Un automorfismo de la estructura đ?”„ es un isomorfismo de đ?”„ sobre đ?”„. La funciĂłn de identidad en |đ?”„| es, trivialmente, un automorfismo de đ?”„. đ?”„ puede o no tener automorfismos no triviales. Se dice que đ?”„ es rĂ­gida si la funciĂłn de identidad es su Ăşnico automorfismo. Como una consecuencia del teorema del homomorfismo, se puede mostrar que un automorfismo tiene que preservar las relaciones definibles, como lo plantea el siguiente corolario. Corolario Sea â„Ž un automorfismo de la estructura đ?”„, y sea đ?‘… una relaciĂłn đ?‘›-aria sobre |đ?”„| definible en đ?”„. Entonces, para cualesquiera đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› en |đ?”„|, ⌊đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› âŒŞ ∈ đ?‘… â&#x;ş ⌊ℎ(đ?‘Ž1 ), ‌ , â„Ž(đ?‘Žđ?‘› )âŒŞ ∈ đ?‘…. DemostraciĂłn Sea đ?œ‘ una fĂłrmula que define đ?‘… en đ?”„. Es necesario saber que: ⊨đ?”„ đ?œ‘[[đ?‘Ž1 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› ]] â&#x;şâŠ¨đ?”„ đ?œ‘[[â„Ž(đ?‘Ž1 ), ‌ , â„Ž(đ?‘Žđ?‘› )]] Esto es inmediato a partir del teorema del homomorfismo. ComplĂŠtense los detalles si esto aĂşn no le parece directo al (a la) alumno(a). Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 37

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Este corolario es Ăştil para mostrar que una relaciĂłn dada no es definible. Por ejemplo, considĂŠrese la estructura (â„?; <) compuesta por el conjunto de los nĂşmeros reales con su orden usual. Un automorfismo de esta estructura es simplemente una funciĂłn â„Ž de â„? sobre â„? que es estrictamente creciente, es decir: đ?‘Ž < đ?‘? â&#x;ş â„Ž(đ?‘Ž) < â„Ž(đ?‘?) Un automorfismo de ese estilo es la funciĂłn â„Ž para la cual â„Ž(đ?‘Ž) = đ?‘Ž3 . Como esta funciĂłn manda puntos de fuera de â„• a puntos dentro de â„•, el conjunto â„• no es definible en esta estructura. Hasta aquĂ­ se presentan los elementos que serĂĄn necesarios para entender completamente los temas siguientes y para poder realizar las demostraciones que se requieren. Se aconseja tener comprendido lo que se ha dado en este subtema y revisar la secciĂłn Para saber mĂĄs, si se tienen lagunas respecto a las estructuras concretas de las otras ĂĄreas, para consultar un poco cĂłmo se comportan.

Un cĂĄlculo deductivo SupĂłngase que ÎŁ ⊨ đ?œ? ÂżQuĂŠ mĂŠtodos de demostraciĂłn se requerirĂ­an para demostrar ese hecho? ÂżHay necesariamente una demostraciĂłn? Tales preguntas conducen inmediatamente a examinar quĂŠ constituye una demostraciĂłn. Una demostraciĂłn es un argumento que se da a otra persona y que la convence completamente de que la aseveraciĂłn es correcta (en este caso, de que ÎŁ ⊨ đ?œ?). Una demostraciĂłn debe tener longitud finita, ya que no se le puede dar la totalidad de un objeto infinito a otra persona. Si el conjunto E de hipĂłtesis es infinito, no pueden usarse todas. El teorema de compacidad para la lĂłgica de primer orden asegura la existencia de un ÎŁ0 finito, ÎŁ0 ⊆ ÎŁ, tal que ÎŁ0 ⊨ đ?œ?.

Deducciones formales Sea un conjunto Λ infinito de fĂłrmulas que se llaman axiomas lĂłgicos. Se tiene una regla de inferencia que permite obtener una nueva fĂłrmula a partir de algunas otras fĂłrmulas. Luego, para un conjunto Γ de fĂłrmulas, los teoremas de Γ son las formulas que puedan obtenerse de Γ âˆŞ Λ usando la regla de inferencia (un nĂşmero finito de veces). Si đ?œ‘ es un teorema de Γ (que se Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 38

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados escribe:Γ ⊨ đ?œ‘), una sucesiĂłn de fĂłrmulas que describa cĂłmo se obtuvo y a partir de Γ âˆŞ Λ con la regla de inferencia se denomina una deducciĂłn de y a partir de Γ. La elecciĂłn de Λ y de la regla o reglas de inferencia distan de ser Ăşnicas. En este subtema se presentarĂĄ un cĂĄlculo deductivo para la lĂłgica de primer orden, elegido de entre todos los cĂĄlculos posibles. Ejemplo 2.3.1.1 Se puede tener Λ = ∅ usando muchas reglas de inferencia. Se adopta el extremo opuesto; el conjunto Λ serĂĄ infinito pero sĂłlo se tiene una regla de inferencia.

Reglas de inferencia La Ăşnica regla de inferencia que se usarĂĄ se conoce tradicionalmente como modus ponens. Se suele expresar asĂ­: a partir de las fĂłrmulas đ?›ź y đ?›ź → đ?›˝ se puede inferir đ?›˝: đ?›ź, đ?›ź → đ?›˝ . đ?›˝ Los teoremas del conjunto Γ son las fĂłrmulas que se pueden a partir de Γ âˆŞ Λ usando modus ponens un nĂşmero finito de veces. DefiniciĂłn Una deducciĂłn de đ?œ‘ apartir de Γ es una sucesiĂłn finita de â&#x;¨đ?›ź0 , ‌ , đ?›źđ?‘› â&#x;Š de fĂłrmulas tal que đ?›źđ?‘› es đ?œ‘ y para cada đ?‘˜ ≤ đ?‘›, o:  

đ?›ź estĂĄ en Γ âˆŞ Λ o đ?›źđ?‘˜ se obtiene mediante modus ponens a partir de dos fĂłrmulas de la sucesiĂłn. Esto es para algunos đ?‘– y đ?‘— menores que đ?‘˜, đ?›źđ?‘— es đ?›źđ?‘– â&#x;ś đ?›źđ?‘˜ .

Si tal redujo existe, đ?œ‘ es deducible a partir de Γ o đ?œ‘ es un teorema de Γ y se escribe Γ ⊨ đ?œ‘. Hay otro punto de vista que resulta Ăştil aquĂ­: una deducciĂłn de đ?œ‘ a partir de Γ puede verse como una sucesiĂłn de construcciĂłn que muestra cĂłmo se puede obtener đ?œ‘ a partir del conjunto Γ âˆŞ Λ al aplicar modus ponens cero o mĂĄs veces. Como se puede observar, đ?œ‘ se "construye" a partir de Γ âˆŞ Λ , pues, a diferencia de las operaciones de construcciĂłn de fĂłrmulas que generan fĂłrmulas mĂĄs largas a partir de otras mĂĄs cortas, el modus ponens puede generar fĂłrmulas mĂĄs cortas a partir de otras mĂĄs largas. El conjunto de teoremas de Γ es exactamente el conjunto de fĂłrmulas que se puede obtener del conjunto "base" Γ âˆŞ Λ mediante la aplicaciĂłn de modus ponens.

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 39

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Esta situaciĂłn difiere en dos sentidos, uno irrelevante y otro importante. La diferencia irrelevante es que se obtiene el conjunto de teoremas al cerrar bajo la operaciĂłn “parcialmente definidaâ€? de modus ponens, cuyo dominio Ăşnicamente se compone de pares de fĂłrmulas de la forma â&#x;¨đ?›ź, đ?›ź → đ?›˝â&#x;Š (en contraste con las operaciones “totalmente definidasâ€? de construcciĂłn de fĂłrmulas). La diferencia mĂĄs importante es que el conjunto de teoremas no se genera libremente a partir de Γ âˆŞ Λ mediante modus ponens. Principio de inducciĂłn. Supondremos que đ?‘† es un conjunto e fĂłrmulas que incluye Γ âˆŞ Λ y que estĂĄ cerrado bajo modus ponens. Entonces đ?‘† contiene todos los teoremas de Γ. Ejemplo 2.3.2.1 Si las fĂłrmulas đ?›˝, đ?›ž y đ?›ž → đ?›˝ → đ?›ź se encuentran todas en Γ âˆŞ Λ, entonces Γ ⊢ đ?›ź, como lo puedes ver en la figura 1, que muestra cĂłmo se obtuvo đ?›ź. Aunque resulta tentador (y de alguna manera mĂĄs elegante) definir una deducciĂłn como tal ĂĄrbol, serĂĄ mĂĄs simple considerar las deducciones como las sucesiones lineales que se obtienen al aplastar esos ĂĄrboles en lĂ­neas rectas. đ?›ź

đ?›˝

�→�

�

�→�→�

Axiomas lĂłgicos Ahora se da el conjunto Λ de axiomas lĂłgicos. Éstos estĂĄn dispuestos en seis grupos. Se dice que una fĂłrmula đ?œ‘ es una generalizaciĂłn de đ?œ“ si y sĂłlo si para alguna đ?‘› > 0 y variables đ?‘Ľ1 , . . . , đ?‘Ľđ?‘› , đ?œ‘ = ∀đ?‘Ľ1 â‹Ż ∀đ?‘Ľđ?‘› đ?œ“. Se incluye el caso đ?‘› = 0. Cualquier fĂłrmula es una generalizaciĂłn de sĂ­ misma. Entonces, los axiomas lĂłgicos son todos generalizaciones, de fĂłrmulas de las formas siguientes, donde đ?‘Ľ y đ?‘Ś son variables y đ?›ź y đ?›˝ son fĂłrmulas: 1. TautolĂłgicas. 2. ∀đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ , donde đ?‘Ą se puede sustituir por đ?‘Ľ en đ?›ź. 3. ∀đ?‘Ľ(đ?›ź → đ?›˝) → (∀đ?‘Ľđ?›ź → ∀đ?‘Ľđ?›˝). Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 40

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados 4. đ?›ź → ∀đ?‘Ľđ?›ź, donde đ?‘Ľ no ocurre libre en đ?›ź. Si el siguiente lenguaje incluye igualdad, se agrega: 5. đ?‘Ľ = đ?‘Ľ. 6. đ?‘Ľ = đ?‘Ś → (đ?›ź → đ?›ź đ?‘Ą ), donde đ?›ź es atĂłmica y đ?›ź đ?‘Ą se obtiene de đ?›ź al reemplazar đ?‘Ľ por đ?‘Ś en cero o en mĂĄs lugares. Los grupos 3-6 se explican por sĂ­ mismos, con algunos ejemplos, mĂĄs adelante. Los grupos 1 y 2 requieren explicaciĂłn. SustituciĂłn En el Grupo 2 de axiomas encontramos: ∀ đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ . AquĂ­, đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ es la expresiĂłn que se obtiene de la fĂłrmula đ?›ź al reemplazar la variable đ?‘Ľ, donde ocurra libre en đ?›ź, por el tĂŠrmino đ?‘Ą. Este concepto tambiĂŠn se puede definir por recursiĂłn: 1. Para đ?›ź atĂłmica, đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ es la expresiĂłn que se obtiene de đ?›ź al reemplazar la variable đ?‘Ľ por đ?‘Ą. Hay que notar que tambiĂŠn la variable đ?‘Ľ es una fĂłrmula. 2. (ÂŹđ?›ź)đ?‘Ąđ?‘Ľ = (ÂŹđ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ ). 3. (đ?›ź → đ?›˝)đ?‘Ąđ?‘Ľ = (đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ → đ?›˝đ?‘Ąđ?‘Ľ ). ∀ đ?‘Ś đ?›ź si đ?‘Ľ = đ?‘Ś 4. (∀ đ?‘Ś đ?›ź)đ?‘Ąđ?‘Ľ = { ∀ đ?‘Ś (đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ ) si đ?‘Ľ ≠đ?‘Ś. Ejemplo 2.3.3.1 1. đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ = đ?œ‘. 2. (đ?‘„đ?‘Ľ → ∀đ?‘Ľđ?‘ƒđ?‘Ľ)đ?‘Ąđ?‘Ľ = (đ?‘„đ?‘Ś → ∀đ?‘Ľđ?‘ƒđ?‘Ľ). 3. Si đ?›ź es ÂŹâˆ€đ?‘Ś đ?‘Ľ = đ?‘Ś, entonces ∀đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›źđ?‘§đ?‘Ľ es ∀đ?‘ĽÂŹâˆ€ đ?‘Ś đ?‘Ľ = đ?‘Ś → ÂŹ ∀ đ?‘Ś đ?‘§ = đ?‘Ś. đ?‘Ľ 4. Para đ?›ź como en 3, ∀ đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›źđ?‘Ś es ∀đ?‘ĽÂŹâˆ€ đ?‘Ś đ?‘Ľ = đ?‘Ś → ÂŹâˆ€ đ?‘Ś đ?‘Ś = đ?‘Ś. El Ăşltimo ejemplo ilustra el peligro, se debe tener cuidado. En su conjunto, ∀đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ aparenta ser un axioma suficientemente plausible. Pero el ejemplo 4 tiene un enunciado de la forma ∀ đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ , que casi siempre resulta ser falso. El antecedente, ∀ đ?‘Ľ ÂŹâˆ€ đ?‘Ś đ?‘Ľ = đ?‘Ś, es verdadero en cualquier estructura cuyo universo contenga dos o mĂĄs elemento. Pero el consecuente ÂŹ ∀ đ?‘Ś đ?‘Ś = đ?‘Ś es falso en cualquier estructura. El problema cuando se sustituyĂł đ?‘Ś por đ?‘Ľ, fue que fue capturada inmediatamente por el cuantificador ∀ đ?‘Ś. Debe imponerse una restricciĂłn al Grupo 2 de axiomas que prevenga este

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 41

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados tipo de captura del cuantificador. De manera informal se puede decir que un tĂŠrmino đ?‘Ą no es sustituible por đ?‘Ľ en đ?›ź si hay alguna variable đ?‘Ś en đ?‘Ą que estĂŠ capturada por el cuantificador ∀ đ?‘Ś en đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ . Sea đ?‘Ľ una variable y đ?‘Ą un tĂŠrmino. Definimos la frase “đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en đ?›źâ€? de la manera siguiente: 1. Para đ?›ź atĂłmica, đ?‘Ą siempre es sustituible por đ?‘Ľ en đ?›ź. No hay cuantificadores en đ?›ź, asĂ­ que no puede ocurrir ninguna capturara. 2. đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en (ÂŹđ?›ź) sii es sustituible por đ?‘Ľ en đ?›ź. đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en (đ?›ź → đ?›˝) si y sĂłlo si es sustituible por đ?‘Ľ tanto en đ?›ź como en đ?›˝. 3. đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en ∀ đ?‘Ś đ?›ź sii: a) đ?‘Ľ no ocurre libre en ∀ đ?‘Ś đ?›ź, o si b) đ?‘Ś no ocurre en đ?‘Ą y đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en đ?›ź. Lo importante es asegurarse de que nada en đ?‘Ą sea capturado por el prefijo ∀ đ?‘Ś y que nada haya fallado antes dentro de đ?›ź. Ejemplo 2.3.3.2 Si đ?‘Ľ siempre es sustituible por sĂ­ misma en cualquier fĂłrmula. Si đ?‘Ą no tiene variable que ocurra en đ?›ź , entonces đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en đ?›ź. Aun cuando đ?‘Ą no sea sustituible por đ?‘Ľ en đ?›ź, se puede obtener đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ al reemplazar đ?‘Ľ por đ?‘Ą siempre que la primera ocurra libremente. Por lo tanto, al formar đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ , se realiza la sustituciĂłn indicada. El Grupo 2 de axiomas se compone de todas las generalizaciones de las fĂłrmulas de la forma: ∀ đ?‘Ľ đ?›ź → đ?›źđ?‘Ąđ?‘Ľ donde el tĂŠrmino đ?‘Ą es sustituible por la variable đ?‘Ľ en la fĂłrmula đ?›ź. Ejemplo 2.3.3.3 ∀đ?‘Ł3 (∀đ?‘Ł1 (đ??´đ?‘Ł1 → ∀đ?‘Ł2 đ??´đ?‘Ł2 ) → (đ??´đ?‘Ł2 → ∀đ?‘Ł2 đ??´đ?‘Ł_2)) Se encuentra en el Grupo 2 de axiomas. AquĂ­, đ?‘Ľ es đ?‘Ł1 , đ?›ź es đ??´đ?‘Ł1 → ∀đ?‘Ł2 đ??´đ?‘Ł2 y đ?‘Ą es đ?‘Ł2 . Por otra parte ∀đ?‘Ł1 ∀đ?‘Ł2 đ??ľđ?‘Ł1 đ?‘Ł2 → ∀đ?‘Ł2 đ??ľđ?‘Ł2 đ?‘Ł2 , no se encuentra en el Grupo 2 de axiomas, ya que đ?‘Ł2 no es sustituible por đ?‘Ł1 en ∀đ?‘Ł2 đ??ľđ?‘Ł1 đ?‘Ł2 .

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 42

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados TautologĂ­as El Grupo 1 de axiomas comprende las generalizaciones de las fĂłrmulas llamadas tautologĂ­as. Éstas son las fĂłrmulas que se pueden obtener a partir de tautologĂ­as de la lĂłgica de enunciados (que tienen Ăşnicamente los sĂ­mbolos de conectivo ÂŹ y →) al reemplazar cada sĂ­mbolo de enunciado por una fĂłrmula del lenguaje de primer orden. Ejemplo 2.3.3.4 ∀[(∀đ?‘ŚÂŹđ?‘ƒ đ?‘Ś → ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ľ) → (đ?‘ƒđ?‘Ľ → ÂŹâˆ€đ?‘ŚÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś)] pertenece al Grupo 1 de axiomas. Es una generalizaciĂłn de la fĂłrmula de corchetes, la cual se obtienen de una tautologĂ­a contraposiciĂłn: (A → ÂŹB) → (B → ÂŹA) al reemplazar đ??´ por ∀ đ?‘ŚÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś y đ??ľ por đ?‘ƒđ?‘Ľ. Existen maneras mĂĄs directas de examinar el Grupo 1 de axiomas. Se dividen las fĂłrmulas en dos grupos: 1. Las fĂłrmulas primas son las fĂłrmulas atĂłmicas y aquellas de la forma ∀đ?‘Ľ đ?›ź. 2. Las fĂłrmulas no primas son todas las demĂĄs: aquellas de la forma ÂŹđ?›ź o đ?›ź → đ?›˝. Por lo tanto, cualquier fĂłrmula se construye a partir de fĂłrmulas primas mediante las operaciones â„°ÂŹ y ℰ→ . Se regresa a la lĂłgica de enunciados, pero se tiene como sĂ­mbolos de enunciado las fĂłrmulas primas de nuestro lenguaje de primer orden. Entonces, cualquier tautologĂ­a de la lĂłgica de enunciados (que usa Ăşnicamente los sĂ­mbolos de conectivo ÂŹ y →) se encuentra en el Grupo 1 de axiomas. En este caso no hay necesidad de reemplazar los sĂ­mbolos de enunciado por fĂłrmulas de primer orden; ya son fĂłrmulas de primer orden. A la inversa, cualquier fĂłrmula del Grupo 1 de axiomas es una generalizaciĂłn de una tautologĂ­a de la lĂłgica de enunciados. Ejemplo 2.3.3.5 (∀)đ?‘ŚÂŹ đ?‘ƒđ?‘Ś → ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ľ) → (đ?‘ƒđ?‘Ľ → ÂŹâˆ€ đ?‘Ś ÂŹ đ?‘ƒ đ?‘Ś) Éste tiene dos sĂ­mbolos de enunciado (fĂłrmulas primas), ∀đ?‘ŚÂŹđ?‘ƒđ?‘ŚP y y đ?‘ƒđ?‘Ľ. AsĂ­ que su tabla de verdad tiene cuatro lĂ­neas: (∀)đ?‘ŚÂŹ đ?‘ƒđ?‘Ś → ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ľ) → (đ?‘ƒđ?‘Ľ → ÂŹâˆ€ đ?‘Ś ÂŹ đ?‘ƒ đ?‘Ś) đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘˝ đ?‘˝ đ?‘­ đ?‘­ En la tabla se puede ver que se trata de una tautologĂ­a. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 43

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados No se ha supuesto que nuestro lenguaje de primer orden tenga sĂłlo una cantidad numerable de fĂłrmulas, asĂ­ que se utiliza potencialmente una extensiĂłn del CapĂ­tulo I para el caso de un conjunto no numerable de sĂ­mbolos de enunciado. Si se toman todas las tautologĂ­as como axiomas lĂłgicos es un exceso. Se pueden arreglar, con mucho menos, a costa de extender las deducciones. Por una parte, las tautologĂ­as forman un buen conjunto decidible. Debido a que las fĂłrmulas de primer orden son tambiĂŠn fĂłrmulas de la lĂłgica de enunciados, se pueden aplicar en ellas conceptos de ambos CapĂ­tulos I y II. Si Γ implica tautolĂłgicamente đ?œ‘, se sigue que tambiĂŠn implica lĂłgicamente đ?œ‘. Sin embargo, la inversa es falsa. Ejemplo 2.3.3.6 ∀đ?‘Ľđ?‘ƒđ?‘Ľ implica lĂłgicamente đ?‘ƒđ?‘?, pero ∀đ?‘Ľ đ?‘ƒđ?‘Ľ y đ?‘ƒđ?‘? no implica tautolĂłgicamente đ?‘ƒđ?‘?, ya que ∀đ?‘Ľ đ?‘ƒđ?‘Ľ y đ?‘ƒđ?‘? son dos sĂ­mbolos de enunciado diferentes.

Teorema Γ ⊢ đ?œ‘ sii Γ âˆŞ Λ implica tautolĂłgicamente đ?œ‘. DemostraciĂłn (â&#x;š ): depende del hecho de que {đ?›ź, đ?›ź → β } implica tautolĂłgicamente đ?›˝. SupĂłngase que se tiene una asignaciĂłn de verdad đ?‘Ł que satisface todos los elementos de Γ âˆŞ Λ. Por inducciĂłn, se puede observar que đ?‘Ł satisface cualquier teorema de Γ. El paso inductivo utiliza exactamente el hecho mencionado anteriormente. (â&#x;¸): SupĂłngase que Γ âˆŞ Λ implica tautolĂłgicamente đ?œ‘. Entonces, de acuerdo con el teorema de compacidad para la lĂłgica de enunciados, hay un subconjunto finito {đ?›ž1 , ‌ , đ?›žđ?‘š , đ?œ†1 , ‌ , đ?œ†đ?‘š } que implica tautolĂłgicamente đ?œ‘. En consecuencia: đ?›ž1 → â‹Ż → đ?›žđ?‘š → đ?œ†1 → â‹Ż → đ?œ†đ?‘š → đ?œ‘, es una tautologĂ­a, y por lo tanto se encuentra en Λ. Al aplicar modus pones đ?‘š + đ?‘› veces a esta tautologĂ­a y a {đ?›ž1 , ‌ , đ?›žđ?‘š , đ?œ†1 , ‌ , đ?œ†đ?‘š } se obtiene đ?œ‘.

Deducciones y metateoremas Hasta este punto, ya se completĂł la descripciĂłn del conjunto Λ de axiomas lĂłgicos. El conjunto de teoremas de un conjunto es el conjunto generado a partir de Γ por modus ponens. Ejemplo 2.3.4.1 ⊢ đ?‘ƒđ?‘Ľ → ∃ đ?‘Ś đ?‘ƒ đ?‘Ś. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 44

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados AquĂ­ Γ = ∅; se escribe " ⊢ đ?›ź" en lugar de "∅ ⊢ đ?›ź". La fĂłrmula đ?‘ƒđ?‘Ľ → ∃ đ?‘Ś đ?‘ƒ đ?‘Ś se puede obtener aplicando modus ponens (una vez) en dos elementos de Λ, tal como se muestra en el siguiente ĂĄrbol:

đ?‘ƒđ?‘Ľ → ÂŹâˆ€đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś

∀đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś → ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ľ (en el grupo 2 de axiomas) (∀đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś → ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ľ) → đ?‘ƒđ?‘Ľ → ÂŹâˆ€đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś (en el grupo 1 de axiomas) )đ?‘ƒđ?‘Ľ Al comprimir este ĂĄrbol en una sucesiĂłn lineal de tres elementos, se obtiene una deducciĂłn de đ?‘?đ?‘Ľ → ∃đ?‘Ś đ?‘ƒ đ?‘Ś (a partir de ∅). Como segundo ejemplo, se pueden obtener generalizaciones de la fĂłrmula del primer ejemplo: ⊢ ∀ đ?‘Ľ (đ?‘ƒđ?‘Ľ → ∃ đ?‘Ś đ?‘ƒ đ?‘Ś). Lo anterior se puede observar en el siguiente ĂĄrbol, que muestra la construcciĂłn de ∀ đ?‘Ľ (đ?‘ƒđ?‘Ľ → ∃ đ?‘Ś đ?‘ƒ đ?‘Ś) a partir de Λ, por modus ponens: ∀đ?‘Ľ(đ?‘ƒđ?‘Ľ → ÂŹâˆ€đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś)

∀đ?‘Ľ(∀đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś → ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ľ) (en el grupo 2 de axiomas) ∀đ?‘Ľ(∀đ?‘ŚÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś → ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ľ) → ∀đ?‘Ľ(đ?‘ƒđ?‘Ľ → ÂŹâˆ€đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś) → ÂŹâˆ€đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś (en el grupo 3 de axiomas) ∀đ?‘Ľ ((∀đ?‘ŚÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś → ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ľ) → (đ?‘ƒđ?‘Ľ → ÂŹâˆ€đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś)) (en el grupo 1 de axiomas) )đ?‘ƒđ?‘Ľ → ÂŹâˆ€đ?‘Ś ÂŹđ?‘ƒđ?‘Ś Este ĂĄrbol puede ser convertido en una deducciĂłn. )đ?‘ƒđ?‘Ľ ObsĂŠrvese que se ha usado la palabra teorema en dos niveles diferentes. đ?›ź es un teorema de Γ si Γ ⊢ đ?›ź. TambiĂŠn se hacen muchas afirmaciones en lenguaje comĂşn a cada una de las cuales Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 45

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados se les llama teorema, tal como la que aparece abajo. Parece poco probable que surja alguna confusiĂłn. Las afirmaciones en lenguaje comĂşn podrĂ­an llamarse metateoremas para subrayar el hecho de que son resultados sobre deducciones y teoremas.

Teorema de generalizaciĂłn El teorema de generalizaciĂłn refleja una idea intuitiva: si se puede probar _đ?‘Ľ_ sin suponer nada en especial sobre x, se tiene derecho a decir que "debido a que x era arbitrario, tienes que ∀đ?‘Ľ_đ?‘Ľ_". Teorema de generalizaciĂłn Si Γ ⊢ đ?œ‘ y đ?‘Ľ no ocurre libre en ninguna fĂłrmula de Γ, entonces Γ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘. DemostraciĂłn ConsidĂŠrese el conjunto Γ y una variable x no libre en Γ. Por inducciĂłn, se mostrarĂĄ que para cualquier teorema đ?œ‘ de Γ, se tiene Γ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘. Para esto (por el principio de inducciĂłn) es suficiente mostrar que el conjunto: {đ?œ‘| Γ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘} incluye Γ âˆŞ Λ y estĂĄ cerrado bajo modus ponens. NĂłtese que đ?‘Ľ puede ocurrir libre en đ?œ‘. Caso 1: đ?œ‘ es un axioma lĂłgico. Entonces ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘ tambiĂŠn es un axioma lĂłgico. Y asĂ­ Γ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘. Caso 2: đ?œ‘ ∈ Γ. Entonces đ?‘Ľ no ocurre libre en đ?œ‘. De aquĂ­ que: đ?œ‘ →∀đ?œ‘ estĂŠ en el Grupo 4 de axiomas. En consecuencia, Γ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘; como se evidencia mediante el ĂĄrbol:

Caso 3: đ?œ‘ se obtiene por modus ponens de đ?œ“ y đ?œ“ → đ?œ‘. Entonces, por hipĂłtesis inductiva, se tiene Γ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ“ y Γ ⊢ ∀(đ?œ“ → đ?œ‘ ). Ésta es la situaciĂłn en la que justamente resulta Ăştil el Grupo 3 de axiomas. Que Γ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘ es el ĂĄrbol:

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 46

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados

AquĂ­ por inducciĂłn, Γ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘ para cada teorema đ?œ‘ de Γ. Ejemplo Por otra parte, en general đ?‘Ľ ocurrirĂĄ libre en la fĂłrmula đ?œ‘. Por ejemplo ⊢ (đ?‘ƒđ?‘Ľ → ∃ đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľ). El segundo ejemplo ⊢ ∀đ?‘Ľ (đ?‘ƒđ?‘Ľ → ∃ đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľ). se obtuvo del primer ejemplo, como en el caso 3 de la demostraciĂłn anterior. Por ejemplo ∀đ?‘Ľ ∀đ?‘Ś đ?›ź ⊢ ∀ đ?‘Ś ∀ đ?‘Ľ đ?›ź.

2.3.5.1 Lema [Regla de T] Si Γ ⊢ �1 , ‌ Γ ⊢ �� y {�1 , ‌ , �� } implica tautológicamente �, entonces Γ ⊢ � Demostración. �1 → ⋯ → �� → � es una tautología y por lo tanto, un axioma lógico. Aplique modus ponens � veces.

Teorema de la deducciĂłn Teorema (de la deducciĂłn) Si Γ; đ?›ž ⊢ đ?œ‘, entonces Γ ⊢ (đ?›ž → Γ). El inverso tambiĂŠn se cumple. De hecho, el inverso es, esencialmente, otra regla de modus ponens. DemostraciĂłn Primera demostraciĂłn: Γ; đ?›ž ⊢ đ?œ‘. Si y sĂłlo si (Γ; Îł) âˆŞ Λ implica tautolĂłgicamente đ?œ‘. Si sĂłlo si Γ âˆŞ Λ implica tautolĂłgicamente (\đ?›ž → đ?œ‘). Si y sĂłlo si Γ ⊢ (đ?›ž → đ?œ‘ ).

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 47

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Segunda demostraciĂłn: Esta demostraciĂłn no usa el teorema de compacidad de la lĂłgica de enunciados, como la primera. Muestra de una manera directa cĂłmo transformar una deducciĂłn de đ?›ź a partir de Γ; đ?›ž obtener una deducciĂłn (đ?›ž → đ?œ‘) a partir de Γ. Por inducciĂłn se mostrarĂĄ que para todo teorema đ?œ‘ de Γ, đ?›ž la fĂłrmula (đ?›ž → đ?œ‘) es un teorema de Γ. Caso 1: đ?œ‘ = đ?›ž. Entonces ⊢ (đ?›ž → đ?œ‘). Caso 2:đ?œ‘ es un axioma lĂłgico o un elemento de Γ. Entonces Γ ⊢ đ?œ‘, y como đ?œ‘ implica tautolĂłgicamente (đ?›ž → đ?œ‘), por regla de T se tiene Γ ⊢ (đ?›ž → đ?œ‘). Caso 3: đ?œ‘ se obtiene de đ?œ“ y de đ?œ“ → đ?œ‘ por modus ponens. Por hipĂłtesis inductiva, Γ ⊢ (đ?›ž → đ?œ“ ) y Γ ⊢ (đ?›ž → (đ?œ“ → đ?œ‘)). El conjunto {đ?›ž → đ?œ“, đ?›ž → (đ?œ“ → đ?œ‘)} implica tautolĂłgicamente đ?›ž → đ?œ‘. Por lo tanto, por regla de T, Γ ⊢ (đ?›ž → đ?œ‘). AsĂ­, la conclusiĂłn se sigue por inducciĂłn para cualquier đ?œ‘ deducible de Γ; đ?›ž. Corolario (ContraposiciĂłn) Γ; đ?œ‘ ⊢ ÂŹđ?œ“ si y solo si Γ; đ?œ“ ⊢ ÂŹđ?œ‘. DemostraciĂłn Γ; đ?œ‘ ⊢ ÂŹđ?œ“ â&#x;š Γ ⊢ đ?œ‘ → ÂŹđ?œ“ por el teorema de la deducciĂłn. â&#x;š Γ ⊢ đ?œ“ → ÂŹđ?œ‘ por regla de T. â&#x;š Γ; ⊢ đ?œ“ → ÂŹđ?œ‘ por modus ponens. En el segundo paso se utiliza el hecho de que đ?œ‘ → ÂŹđ?œ‘ implica tautolĂłgicamente đ?œ“ → đ?œ‘. Por simetrĂ­a, el inverso tambiĂŠn se cumple. Corolario (reducciĂłn al absurdo) Si Γ; đ?œ‘ es inconsistente, entonces Γ ⊢ ÂŹđ?œ‘. DemostraciĂłn Por el teorema de la deducciĂłn se tiene que Γ ⊢ (đ?œ‘ → đ?›˝) y Γ ⊢ (đ?œ‘ → ÂŹđ?›˝). Y {đ?œ‘ → đ?›˝, đ?œ‘ → ÂŹđ?›˝} implica tautolĂłgicamente ÂŹđ?œ‘. Ejemplo 2.3.6.1 âŠ˘âˆƒđ?‘Ľâˆ€đ?‘Śâˆƒđ?‘Ľđ?œ‘ Trabajar hacia atrĂĄs de cierta ventaja estratĂŠgica. Es suficiente mostrar que ∃ đ?‘Ľ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘ ⊢ ∀ đ?‘Ś ∃ đ?‘Ľ đ?œ‘ por el teorema de la deducciĂłn. Es suficiente mostrar que ∃ đ?‘Ľ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘ ⊢ ∃ đ?‘Ľ đ?œ‘ , por el teorema de generalizaciĂłn. Es suficiente mostrar ÂŹâˆ€đ?‘ĽÂŹâˆ€ đ?‘Ś đ?œ‘ ⊢ ÂŹâˆ€đ?‘ĽÂŹđ?œ‘, ya que es lo mismo que lo anterior. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 48

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Es suficiente mostrar que ∀đ?‘ĽÂŹđ?œ‘ ⊢ ∀ đ?‘ĽÂŹ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘, por contraposiciĂłn (y por la regla T). Es suficiente mostrar que ∀ đ?‘Ľ ÂŹ đ?œ‘ ⊢ ÂŹ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘, por generalizaciĂłn. Es suficiente mostrar que {∀đ?‘Ľ ÂŹ đ?œ‘, ∀ đ?‘Ś đ?œ‘} es inconsistente, por reducciĂłn al absurdo. Y esto es fĂĄcil: 1.-∀đ?‘Ľ ÂŹ đ?œ‘ ⊢ ÂŹ đ?œ‘, por el grupo dos de axiomas y modus ponens. 2.-∀ đ?‘Ś đ?œ‘ ⊢ đ?œ‘ por la misma razĂłn. Las lĂ­neas uno y dos muestran que {∀ đ?‘Ľ ÂŹ đ?œ‘, ∀ đ?‘Ś đ?œ‘} es inconsistente. Estrategia Como lo indica el ejemplo anterior, los teoremas de generalizaciĂłn y deducciĂłn son muy Ăştiles para mostrar que ciertas fĂłrmulas son deducibles. Sin embargo, aĂşn estĂĄ el asunto de la estrategia: para un Γ y un đ?œ‘ dados, ÂżdĂłnde se deberĂ­a comenzar para poder demostrar que Γ ⊢ đ?œ‘? En principio se podrĂ­a empezar enumerando todas las sucesiones finitas de fĂłrmulas hasta encontrar una deducciĂłn de đ?œ‘ a partir de Γ. Aunque ĂŠste serĂ­a un procedimiento efectivo (para lenguajes razonables) para localizar una deducciĂłn si acaso existe alguna, es ineficiente si se tiene mĂĄs que un interĂŠs teĂłrico. Una tĂŠcnica consiste en abandonar la formalidad y dar en lenguaje comĂşn una prueba de que la verdad de Γ implica la verdad de đ?œ‘. DespuĂŠs se puede formalizar la prueba en lenguaje comĂşn y realizar con ella una deducciĂłn formal. TambiĂŠn hay mĂŠtodos Ăştiles que se basan Ăşnicamente en la forma sintĂĄctica de đ?œ‘. SupĂłngase entonces que đ?œ‘ es deducible a partir de Γ, pero que se busca la prueba de este hecho. Hay varios casos: 1) SupĂłngase que đ?œ‘ es (đ?œ“ → đ?œƒ). Entonces es suficiente mostrar que Γ; đ?œ“ ⊢ đ?œƒ. 2) SupĂłngase que đ?œ“ es ∀ đ?‘Ľ đ?œ“. Si đ?‘Ľ no ocurre libre en Γ, es suficiente mostrar que Γ ⊢ đ?œ“. 3) Finalmente, supĂłngase que đ?œ‘ es la negaciĂłn de la otra fĂłrmula. a) Si đ?œ‘ es (đ?œ“ → đ?œƒ), entonces basta mostrar que Γ ⊢ đ?œ“ y Γ ⊢ ÂŹ đ?œƒ(por la regla T). Esto siempre es posible. b) Si đ?œ‘ es ÂŹÂŹđ?œ“, es suficiente mostrar que Γ ⊢ đ?œ“. c) El caso restante es donde đ?œ‘ es ÂŹâˆ€ đ?‘Ľ đ?œ™. Bastar mostrar que Γ ⊢ ÂŹđ?œ“đ?‘Ąđ?‘Ľ , donde đ?‘Ą es algĂşn tĂŠrmino sustituible por đ?‘Ľ en đ?œ“. Desafortunadamente, esto no siempre es posible. Hay casos en los que: Γ ⊢ ÂŹâˆ€ đ?‘Ľ đ?œ“, y aun asĂ­, para cada tĂŠrmino đ?‘Ą: Γ ⊏ ÂŹđ?œ“đ?‘Ąđ?‘Ľ . Ejemplo 2.3.6.2

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 49

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Si Γ = đ?œƒ, đ?œ“ = ÂŹ(đ?‘ƒđ?‘Ľ → ∀ đ?‘Ś đ?‘ƒ đ?‘Ś). La contraposiciĂłn es muy Ăştil aquĂ­; Γ; đ?›ź ⊢ ÂŹâˆ€ đ?‘Ľ đ?œ“ si y sĂłlo si Γ; ∀ đ?‘Ľ đ?œ“ ⊢ ÂŹ đ?›ź. Una variante de esto es: Γ; ∀ đ?‘Ś đ?›ź ⊢ ÂŹâˆ€ đ?‘Ľ đ?œ“ si Γ; ∀ đ?œ“ ⊢ ÂŹ đ?›ź. Si todo lo demĂĄs falla, se puede intentar con reducciĂłn al absurdo. 1.-Si đ?‘Ľ no ocurre libre en đ?›ź, entonces: ⊢ (đ?›ź → ∀ đ?‘Ľ β) â&#x;ˇ ∀ đ?‘Ľ (đ?›ź → đ?›˝) Para probar esto, es suficiente mostrar (por la regla T) que: ⊢ (đ?›ź → ∀ đ?‘Ľ đ?›˝) → ∀ đ?‘Ľ (đ?›ź → đ?›˝) y ⊢ ∀ đ?‘Ľ (đ?›ź → đ?›˝) → (đ?›ź → ∀ đ?‘Ľ đ?›˝). Para el primero, es suficiente mostrar que: {(đ?›ź → ∀ đ?‘Ľ đ?›˝), đ?›ź} ⊢ đ?›˝. De esto se observa que ∀ đ?‘Ľ đ?›˝ → đ?›˝ es un axioma. Para obtener el inverso: ⊢ ∀ đ?‘Ľ (đ?›ź → đ?›˝) → (đ?›ź → ∀ đ?‘Ľ đ?›˝) Es suficiente mostrar que: {∀ đ?‘Ľ (đ?›ź → đ?›˝), đ?›ź} ⊢ đ?›˝. En el ejemplo se puede reemplazar đ?›ź por ÂŹđ?›ź, đ?›˝ por ÂŹđ?›˝ y usar la tautologĂ­a de contraposiciĂłn, para obtener para obtener el hecho relacionado: Si đ?‘Ľ no ocurre libre en đ?›ź, entonces: ⊢ (∃ đ?‘Ľ đ?›˝ → đ?›ź) â&#x;ˇ ∀đ?‘Ľ (đ?›˝ → đ?›ź). 2.- ⊢ đ?‘Ľ = đ?‘Ś → ∀ đ?‘§ đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘§ . → ∀đ?‘§ đ?‘ƒđ?‘Śđ?‘§ DemostraciĂłn 1) ⊢ đ?‘Ľ = đ?‘Ś → đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘§ → đ?‘ƒđ?‘Śđ?‘§ por Ax 6. 2) ⊢ ∀đ?‘§ đ?‘ƒ đ?‘Ľđ?‘§ → đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘§ por Ax2. 3) ⊢ đ?‘Ľ = đ?‘Ś → ∀đ?‘§đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘§ → đ?‘ƒđ?‘Śđ?‘§ por 1, 2; T. Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 50

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados 4) {đ?‘Ľ = đ?‘Ś, ∀đ?‘§đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś} ⊢ đ?‘ƒđ?‘Śđ?‘§ 3; modus ponens. 5) {đ?‘Ľ = đ?‘Ś, ∀ đ?‘§ đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘§} ⊢ ∀đ?‘§đ?‘ƒđ?‘Śđ?‘§ por 4; teorema de generalizaciĂłn. 6) ⊢ đ?‘Ľ = đ?‘Ś → ∀ đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘§ → ∀đ?‘§ đ?‘ƒđ?‘Śđ?‘§ pr 5; teorema de deducciĂłn.

Teorema de la generalizaciĂłn sobre constantes Teorema (generalizaciĂłn sobre constantes) SupoĂłngase que Γ ⊢ đ?œ‘ y que đ?‘? es un sĂ­mbolo de constante que no ocurre en Γ. Entonces hay una variable đ?‘Ś (que no ocurre en đ?œ‘) tal que Γ ⊢ ∀ y đ?œ‘đ?‘Śđ?‘? . AdemĂĄs, hay una deducciĂłn de ∀ y đ?œ‘đ?‘Śđ?‘? ; a partir de Γ en la que đ?‘? no ocurre. DemostraciĂłn Sea â&#x;¨đ?›ź0 , ‌ , đ?›źđ?‘› â&#x;Š una deducciĂłn de đ?œ‘ a partir de Γ (por lo tanto đ?›źđ?‘› = đ?œ‘). Sea đ?‘Ś la primera variable que no ocurre en ninguna de las đ?›źđ?‘– . Se Afirma que: â&#x;¨ (đ?›ź0 )đ?‘?đ?‘Ś , ‌,

(đ?›źđ?‘› )đ?‘?đ?‘Ś â&#x;Š

(1)

es una deducciĂłn de đ?œ‘đ?‘Śđ?‘? a partir de Γ. AsĂ­ que se debe verificar que cada (đ?›źđ?‘˜ )đ?‘?đ?‘Ś estĂŠ en Γ âˆŞ Λ o que se obtenga a partir de fĂłrmulas anteriores por modus ponens. Caso 1: đ?›źđ?‘˜ ∈ Γ. Entonces đ?‘? no ocurre en đ?›źđ?‘˜ . AsĂ­ (đ?›źđ?‘˜ )đ?‘?đ?‘˜ = đ?›źđ?‘˜ , que estĂĄ en Γ. Caso 2: đ?›źđ?‘˜ es un axioma lĂłgico. Entonces (đ?›źđ?‘˜ )đ?‘?đ?‘Ś ; tambiĂŠn es un axioma lĂłgico. Caso 3: đ?›źđ?‘˜ se obtiene por modus ponens de đ?›źđ?‘– y đ?›źđ?‘— . đ?‘?

(que es (đ?›źđ?‘– → đ?›źđ?‘˜ )) para đ?‘–, đ?‘— menores que đ?‘˜. Entonces (đ?›źđ?‘— ) = ((đ?›źđ?‘– )đ?‘?đ?‘Ś → (đ?›źđ?‘˜ )đ?‘?đ?‘Ś ). AsĂ­ que (đ?›źđ?‘˜ )đ?‘?đ?‘Ś se đ?‘Ś

obtiene de

(đ?›źđ?‘– )đ?‘?đ?‘Ś

đ?‘?

y (�� )� por modus ponens.

Esto completa la prueba de que (1) anterior es una deducciĂłn de đ?œ‘đ?‘Śđ?‘? . Sea ÎŚ el subconjunto finito de Γ que se usa en (1). AsĂ­, (1) es una deducciĂłn de đ?œ‘đ?‘Śđ?‘? a partir de ÎŚ, y đ?‘Ś no ocurre en ÎŚ. Entonces, por el teorema de generalizaciĂłn, ÎŚ ⊢ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘đ?‘Śđ?‘? . AdemĂĄs, hay una deducciĂłn de ∀ đ?‘Ś đ?œ‘đ?‘Śđ?‘? , a partir de (ÎŚ) en la que đ?‘? no aparece (pues la prueba del teorema de generalizaciĂłn no agregĂł ningĂşn nuevo sĂ­mbolo a la deducciĂłn). Ésta es tambiĂŠn una deducciĂłn de∀ đ?‘Ś đ?œ‘đ?‘Śđ?‘? a partir de Γ. Corolario SupĂłngase que Γ ⊢ đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ , donde el sĂ­mbolo de constante đ?‘? no ocurre en Γ ni en đ?œ‘. Entonces Γ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘, y hay una deducciĂłn de ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘ a partir de Γ, en la que đ?‘? no ocurre. DemostraciĂłn Por el teorema anterior, se tiene una deducciĂłn (sin đ?‘?) a partir de Γ de∀ đ?‘Ś ((đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ )đ?‘?đ?‘Ś ), donde đ?‘Ś no ocurre en đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ . Sin embargo, ya que đ?‘? no ocurre en đ?œ‘:

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 51

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados (đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ )đ?‘?đ?‘Ś = đ?œ‘đ?‘Śđ?‘Ľ . Falta demostrar que ∀ đ?‘Ś đ?œ‘đ?‘Śđ?‘Ľ ⊢ ∀ đ?‘Ľ đ?œ‘. Se puede hacer fĂĄcilmente si se sabes que: (∀ đ?‘Ś đ?œ‘đ?‘Śđ?‘Ľ ) → đ?œ‘ đ?‘Ś

es un axioma. Esto es, đ?‘Ľ debe ser sustituible por đ?‘Ś en đ?œ‘đ?‘Śđ?‘Ľ , y (đ?œ‘đ?‘Śđ?‘Ľ )đ?‘Ľ tiene que ser đ?œ‘. Corolario (regla IE) PiĂŠnsese que el sĂ­mbolo de constante đ?‘? no ocurre en đ?œ‘ ni en đ?œ‘ ni en Γ, y que: Γ; đ?œ‘đ?‘Ąđ?‘Ľ ⊢ đ?œ“ .

Entonces Γ; ∃ đ?‘Ľ đ?œ‘ ⊢ đ?œ“, y hay una deducciĂłn de đ?œ“ partir de Γ; ∃ đ?‘Ľ đ?œ‘ en la que đ?‘? no ocurre. DemostraciĂłn Por contraposiciĂłn se tiene que: Γ; ÂŹđ?œ“ ⊢ ÂŹđ?œ“đ?‘?đ?‘Ľ . Por medio del corolario anterior se obtiene: Γ; ÂŹđ?œ“ ⊢ ∀ đ?‘Ľ ÂŹ đ?œ‘. Al aplicar la contraposiciĂłn nuevamente, se tiene el resultado deseado. Ejemplo 2.3.7.1 ⊢ ∃đ?‘Ľâˆ€đ?‘Śđ?œ‘ →∀đ?‘Ś ∃đ?‘Ľđ?œ‘ Por el teorema de la deducciĂłn, es suficiente mostrar que: ∃ đ?‘Ľâˆ€ đ?‘Ś đ?œ‘ ⊢ ∀ đ?‘Ś ∃ đ?‘Ľ đ?œ‘. Por la regla IE, es suficiente mostrar que: ∀ đ?‘Ś đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ ⊢ ∀ đ?‘Ś ∃ đ?‘Ľđ?œ‘, donde đ?‘? es una nueva constante para el lenguaje. Por el teorema de generalizaciĂłn, basta mostrar que: Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 52

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados ∀ đ?‘Ś đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ ⊢ ∃đ?‘Ľđ?œ‘. Ya que ∀ đ?‘Ś đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ ⊢ ∃đ?‘Ľđ?œ‘, es suficiente mostrar que: đ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ ⊢ ∃đ?‘Ľ đ?œ‘. Por la contrario posiciĂłn, esto es equivalente a: ∀ đ?‘Ľ ÂŹđ?œ‘ ⊢ ÂŹđ?œ‘đ?‘?đ?‘Ľ . Esto es consecuencia del Grupo 2 de axiomas y modus ponens.

Teorema de la existencia de variantes alfabĂŠticas Con frecuencia, cuando se analiza una fĂłrmula como: ∀ đ?‘Ľ (đ?‘Ľ ≠0 → ∃ đ?‘Ś đ?‘Ľ = đ?‘† đ?‘Ś ) no se estĂĄ interesado particularmente en elegir las variables đ?‘Ľ đ?‘Ś. Se quiere que â&#x;¨đ?‘Ľ, đ?‘Śâ&#x;Š sea un par de variables distintas; pero no suele haber diferencia si el par es â&#x;¨đ?‘Ł4 , đ?‘Ł9 â&#x;Š o â&#x;¨đ?‘Ł8 , đ?‘Ł1 â&#x;Š. Cuando llega el momento de sustituir un tĂŠrmino đ?‘Ą en una fĂłrmula, entonces al elegir variables cuantificadas se puede determinar que đ?‘Ą sea sustituible o no. En esta subsecciĂłn se discutirĂĄ quĂŠ hacer cuando la sustituibilidad falla. Como se verĂĄs, la dificultad siempre se puede superar jugando adecuadamente con las variables cuantificadas. Ejemplo 2.3.8.1 PiĂŠnsese que se quiere mostrar que: ⊢ ∀ đ?‘Ľâˆ€đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś → ∀đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Śđ?‘Ś. La dificultad es que đ?‘Ś no es sustituible por đ?‘Ľ en ∀ đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś, asĂ­ que el enunciado no estĂĄ en el Grupo 2 de axiomas. Este inconveniente es resultado de una elecciĂłn desafortunada de variables. Por otro lado, se puede mostrar que: ⊢ ∀đ?‘Ľ ∀đ?‘§ đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś → ∀ đ?‘Ľ đ?‘ƒđ?‘Śđ?‘Ś no supone tales dificultades. AsĂ­ que se puede resolver el problema original si se sabe que: ⊢ ∀đ?‘Ľ ∀đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘Ś → ∀đ?‘Ľ ∀đ?‘§ đ?‘ƒđ?‘Ľđ?‘§

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 53

LĂłgica matemĂĄtica Unidad 2. LĂłgica de primer orden o de predicados Teorema 241 (existencia de variantes alfabĂŠticas) Sean đ?œ‘ una fĂłrmula, đ?‘Ą un tĂŠrmino y đ?‘Ľ una variable. Entonces se puede encontrar una fĂłrmula đ?œ‘′ (que difiere de đ?œ‘ sĂłlo en la elecciĂłn de las variables cuantificadas) tal que: a) đ?œ‘ ⊢ đ?œ‘′ y đ?œ‘′ ⊢ đ?œ‘. b) đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en đ?œ‘′. DemostraciĂłn Considerar que đ?‘Ą y đ?‘Ľ son fijos y đ?œ‘′ por recursiĂłn sobre đ?œ‘. Los primeros casos son sencillos: para đ?œ‘ atĂłmica, tomar đ?œ‘′ = đ?œ‘, y despuĂŠs (ÂŹđ?œ‘)′ = (ÂŹđ?œ‘′ ), (đ?œ‘ → đ?œ“)′ = (đ?œ‘′ → đ?œ“′). Considerar, ahora, la elecciĂłn de (∀ đ?‘Ś đ?œ‘)′. Si đ?‘Ś no ocurre en đ?‘Ą o si đ?‘Ś = đ?‘Ľ, entonces se puede tomar (∀ đ?‘Ś đ?œ‘)′ = ∀ đ?‘Ś đ?œ‘′. Sin embargo, para el caso general debe cambiar la variable. Elegir una variable đ?‘§ que no ocurra en đ?œ‘′ ni en đ?‘Ą ni en đ?‘Ľ. DespuĂŠs se definen (∀ đ?‘Ś đ?œ‘)′ = ∀ đ?‘§(đ?œ‘′ )đ?‘§đ?‘Ľ . Para verificar que (b) se cumple, se hace notar que đ?‘§ no ocurre en đ?‘Ą y que đ?‘Ą es sustituible por đ?‘Ľ en đ?œ‘′ (por la hipĂłtesis inductiva). Por lo tanto (ya que đ?‘Ľ ≠đ?‘§), đ?‘Ą tambiĂŠn es đ?‘Ś sustituible por đ?‘Ľ en (đ?œ‘′ )đ?‘§ . Para verificar que (a) se cumple, se calcula: đ?œ‘ ⊢ đ?œ‘′ por hipotesis de inductiva; ∴ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘ ⊢ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘′ đ?‘Ś ∀ đ?‘Ś đ?œ‘′ ⊢ (đ?œ‘′ )đ?‘§ ya que đ?‘§ no ocurre en đ?œ‘′ ; ∴ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘′ ⊢ ∀ đ?‘§ (đ?œ‘′ )đ?‘§đ?‘Ľ por genralizaciĂłn đ?‘Ś ∴ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘ ⊢ ∀ đ?‘§ (đ?œ‘′ )đ?‘§ . En otra direcciĂłn: đ?‘Ś

� �

∀ đ?‘§ (đ?œ‘′ )đ?‘§ ⊢ ((đ?œ‘′ )đ?‘§ )đ?‘Ś que es đ?œ‘′ ; đ?œ‘′ ⊢ đ?œ‘ por hipĂłtesis inductiva đ?‘Ś ∴ ∀đ?‘§ (đ?œ‘′ )đ?‘§ ⊢ đ?œ‘ đ?‘Ś ∴ ∀đ?‘§ (đ?œ‘′ )đ?‘§ ⊢ ∀ đ?‘Ś đ?œ‘ por generalizaciĂłn đ?‘Ś

El Ăşltimo paso usa el hecho de que đ?‘Ś no ocurre libre en (đ?œ‘′ )đ?‘§ a menos que đ?‘Ś = đ?‘§; por lo tanto đ?‘Ś no ocurre libre en ∀đ?‘§(đ?œ‘′ )đ?‘§ en ningĂşn caso. Las fĂłrmulas đ?œ‘′ construidas como en la demostraciĂłn de este teorema se llaman variantes alfabĂŠticas de đ?œ‘.

Ciencias Exactas, IngenierĂ­as y TecnologĂ­as| Licenciatura en MatemĂĄticas 54

Lógica matemática Unidad 2. Lógica de primer orden o de predicados Cierre de la unidad En enunciados del lenguaje de la lógica de primer orden está escrita la mayoria de las proposiciones de la matemática que se conocen, es muy importante que se le dé la atención requerida a estos temas; pues, si bien parece por completo formal y abstracto a primera vista, las propociones van tomando una razón para con la estructura que tienen. Lo expuesto en esta unidad tiene apliación directa en los enunciados que se presenten en el quehacer matemático, pues se podrá tener mejor comprensión de ellos y serán fundamentales para las demostraciones de un par de teoremas muy importantes que se presentarán en la siguiente unidad.

Para saber más En el Tema 2 se usaron varios conceptos consernientes a otras areas de la matemática que también se van a estudiar durante la carrera. Se pueden consultar sus definiciones en textos como: Rincón, H. (2001). Álgebra lineal, México: Las prensas de ciencias, UNAM. Lang, S. (1976) Álgebra lineal. México: Fondo Educativo Interamericano. Friedberg, S. H., A. J. Insel, L. E. Spence (1982). Álgebra lineal, México: Publicaciones Cultural. Berge, C. (1985). Graphs. Amsterdam: North Holland. En relación con los metalenguajes y lenguajes objeto, se puede consultar el siguiente enlace: http://biblioteca.itam.mx/estudios/estudio/letras18/textos3/sec_1.html

Referencias bibliográficas Amor, J. A., R. Rojas (1991). “Sistemas Formales” en Vínculos matemáticos. México, no. 149, Facultad de Ciencias UNAM. Amor, J. A. (1993). “Lógica proposicional dentro de la lógica de primer orden” en Vínculos matemáticos. México, no. 113, Facultad de Ciencias UNAM. Enderton, H., (2001). “A mathematical introduction to logic” en Academic Press.

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías| Licenciatura en Matemáticas 55

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.