U3 independencia del postulado de las paralelas by PDLM

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

10° cuatrimestre

Geometrías no euclidianas

Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas

Clave:

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Índice Presentación de la unidad ................................................................................................... 3 Propósitos............................................................................................................................ 3 Competencia específica....................................................................................................... 3 3. Independencia del postulado de las paralelas.................................................................. 3 Actividad 1. Métodos de solución aplicados ........................................................................ 5 3.1. Modelo de Beltrami-Klein .............................................................................................. 6 3.2. Modelo de Poincaré .................................................................................................... 11 Actividad 2. Modelos de Beltrami, Klein y Poincaré ........................................................... 18 3.3. Perpendicularidad en el modelo de Beltrami-Klein ...................................................... 19 3.4. Inversión en círculos y el modelo de Poincaré ............................................................ 21 3.4.1. Algunos resultados de geometría euclidiana ...................................................... 21 3.4.2. Longitud de Poincaré.......................................................................................... 29 Actividad 3.Perpendiculares e inversión de círculos .......................................................... 48 Autoevaluación .................................................................................................................. 48 Evidencia de aprendizaje. Independencia del postulado de las paralelas ......................... 48 Autorreflexiones ................................................................................................................. 49 Cierre de la unidad ............................................................................................................ 49 Para saber más ................................................................................................................. 49 Fuentes de consulta .......................................................................................................... 50

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Presentación de la unidad En esta unidad se presentan dos modelos que hacen consistente la geometría hiperbólica, estos modelos hacen uso de propiedades de geometría euclidiana. En esencia, la consistencia de la geometría hiperbólica se obtiene a partir de la consistencia de la geometría euclidiana.

Propósitos    

Representarás la geometría hiperbólica en dos modelos por medio de líneas y puntos, dados por Beltrami y Klein y el otro por Poincaré Analizarás la interpretación del axioma hiperbólico en dichos modelos Identificarás las ventajas y desventajas que tiene un modelo con respecto a otro Identificarás las propiedades que tiene la inversión de círculos y su relación con la distancia entre dos puntos en el modelo de Poincaré

Competencia específica Aplicar los axiomas de Hilbert para mostrar la independencia de las rectas paralelas por medio de los modelos de Poincaré y Beltrami-Klein.

3. Independencia del postulado de las paralelas Recuerda que un sistema axiomático es una lista de términos indefinidos junto con una lista de postulados o axiomas que se suponen verdaderos, de estos axiomas se obtienen lemas, proposiciones y teoremas que son enunciados los cuales se demuestra su veracidad utilizando deducción lógica. Un modelo para un sistema axiomático es un universo donde los axiomas aplicados a los objetos indefinidos son verdaderos. Si existe un modelo para un sistema axiomático, se dice que el sistema es consistente, en caso contrario, se dice que el sistema es inconsistente, cabe mencionar que demostrar que un sistema es inconsistente es muy difícil. A partir de lo anterior, la geometría euclidiana tiene como objetos indefinidos a los puntos y las líneas, los axiomas sobre estos objetos son los axiomas de Hilbert y el modelo es el plano, por consiguiente la geometría euclidiana es consistente. En la unidad anterior se presentó una introducción al estudio de la geometría hiperbólica, donde se obtuvieron algunos teoremas que resultan ser muy extraños con respecto a los teoremas conocidos en geometría euclidiana. Las pruebas de dichos teoremas son lógicamente correctas ya que se obtienen a partir de los axiomas propuestos. Sin embargo, Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas puede quedar la sensación de que la hipótesis fundamental de la geometría hiperbólica (el axioma hiperbólico) es una hipótesis falsa. Por ejemplo, si supusiéramos que cuando se te cae encima algún objeto de una altura considerable como una piedra, ésta "cae" hacia arriba. Puedes colocar muchas rocas, y al menos que tengas aire en la cabeza, vas a descubrir que esta hipótesis es falsa. Bajo la observación dada en el párrafo anterior, ¿qué tipo de experimento se tiene que realizar para demostrar que el axioma hiperbólico es falso?, o de forma equivalente demostrar su negación, es decir, ¿es verdadero el postulado de las paralelas de Euclides? En primer lugar, habría que entender qué significa esta declaración. En el ejemplo anterior, se entiende claramente el significado del objeto "piedra" y lo que significa la acción "soltar" dicho objeto, por lo que se puede actuar sobre este conocimiento. Pero, ¿qué significa que es una "línea", que P es un "punto" que no está "en" o qué significa que existe una "única línea paralela" a que pasa por el punto P ? Naturalmente, se representan los puntos y las líneas en un papel utilizando un lápiz y una regla, se comienza dibujando PQ perpendicular a la recta

, a continuación se dibuja la

recta m perpendicular a PQ que pasa por P , después se dibuja una línea n que pasa por P y que forma un ángulo  con respecto a la línea m . Usando trigonometría euclidiana, se puede calcular exactamente qué tan lejos de P hay que moverse sobre la línea n para llegar al punto S donde se supone que la línea n cruza a la línea , pero si el ángulo  se toma lo suficientemente pequeño, la distancia que hay desde el punto de intersección al punto P se mediría en millones de kilómetros. Por lo tanto, no se pude realizar físicamente el experimento para comprobar que el axioma hiperbólico es falso.

Figura 1 La distancia PS es tan grande como se desee. Pero este experimento es geometría aplicada ya que la geometría pura estudia los conceptos y no los objetos, los únicos experimentos que se pueden realizar sobre esas líneas y puntos ideales es por medio de experimentos mentales. La cuestión es la siguiente: ¿se puede concebir una geometría no euclidiana?, Kant decía que no, que cualquier otra geometría distinta a la geometría euclidiana es inconcebible. En ese Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas momento histórico, nadie había concebido aún una geometría diferente. En este sentido, Gauss, Bolyai y Lobachevsky crearon un nuevo universo. Los matemáticos rechazan muchas de sus propias ideas, ya que conducen a contradicciones o no conducen a ninguna parte, es decir, no son fructíferas, son inútiles y no son interesantes. Luego, ¿el axioma hiperbólico conduce a una contradicción? o ¿es la geometría hiperbólica fructífera, útil e interesante?, estas preguntas se pueden resumir en la siguiente: ¿es la geometría hiperbólica consistente? Esta pregunta no debe ser exclusivamente para puntos y líneas, si no es aplicada al sistema completo de axiomas que determinan la geometría hiperbólica. Si la geometría hiperbólica fuera inconsistente, un ordinario argumento matemático debe llevar a una contradicción. Como es familiar en matemáticas, para demostrar la consistencia de un sistema se hace uso de la consistencia de un sistema previamente estudiado, en este caso la consistencia de la geometría hiperbólica es garantizada por el siguiente resultado, el cual se enuncia sin demostración: Teorema 3.1. Si la geometría euclidiana es consistente también lo es la geometría hiperbólica. Como consecuencia inmediata de este resultado se obtiene lo siguiente: Corolario 3.1.1. Si la geometría euclidiana es consistente, entonces no existe prueba o refutación del postulado de las paralelas a partir de los restantes axiomas de Hilbert, en otras palabras, el postulado de las paralelas es independiente de los otros axiomas. Demostración: Para esta prueba se procede por contradicción del siguiente modo: (i). Supóngase que existe una prueba de la existencia del postulado de las paralelas. (ii). En consecuencia, la geometría hiperbólica tiene que ser inconsistente ya que se basa en la negación del postulado de las paralelas. (iii). Pero la contrapositiva del Teorema 3.1 afirma que si la geometría hiperbólica es inconsistente entonces la geometría euclidiana es inconsistente. Lo que es una contradicción. (iv). Finalmente la consistencia de la geometría euclidiana garantiza que no existe refutación alguna para el postulado de las paralelas. Lo que demuestra el resultado.

Actividad 1. Métodos de solución aplicados A través de esta actividad, podrás identificar que existen sistemas axiomáticos consistentes dentro del área de matemáticas, desde la perspectiva de la geometría no euclidiana. Para ello:

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas 1. Investiga en diferentes fuentes, algunos criterios sobre los sistemas axiomáticos de las matemáticas 2. Ingresa al foro y responde las siguientes preguntas  

¿qué otros sistemas axiomáticos consistentes aparecen en las matemáticas?, a partir de tal sistema ¿existe una teoría paralela similar a lo que pasa con la geometría euclidiana e hiperbólica?

3. Compara tus respuestas con tres de tus compañeros, argumentando si aceptas o no su aportación Consulta la rúbrica general de la participación en foros que se encuentra en la sección “Material de apoyo”.

3.1. Modelo de Beltrami-Klein En esta sección se presenta un modelo para la geometría hiperbólica que fué propuesto por el matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1899) y el matemático alemán Félix Klein (1849-1925)), por tal motivo toma el nombre de Modelo de Beltrami-Klein. Como se menciona en párrafos anteriores, para ver que este modelo representa a la geometría hiperbólica, se comienza presentando los objetos indefinidos, que en geometría son los puntos y las líneas, es decir, los axiomas de incidencias son verdaderos. Después hay que verificar que los axiomas de intermediación, congruencia, continuidad y el axioma hiperbólico son verdaderos en este universo, cabe mencionar que estas demostraciones hacen uso de la consistencia de la geometría euclidiana, lo que muestra que la consistencia de la geometría euclidiana implica la consistencia de la geometría hiperbólica. Definición: Considera un círculo fijo en el plano euclidiano. Si O y OR denotan el centro y el radio del círculo respectivamente, el interior de es el conjunto de todos los puntos X en el plano que satisfacen OX  OR . En la siguiente figura se ejemplifica la definición anterior:

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Figura 2: Interior de un círculo

Definición: Dados dos puntos A y B del círculo , una cuerda de es el segmento AB y una cuerda abierta A)( B es el segmento AB sin tomar en cuenta los puntos A y B . En la siguiente figura se ejemplifica la definición anterior:

Figura 3: Cuerda de un círculo

El modelo de Beltrami-Klein es el siguiente: Definición: Un punto en el plano hiperbólico es un punto interior del círculo fijo y una línea en el plano hiperbólico es una cuerda abierta del círculo . En consecuencia, decir que P es un punto en geometría hiperbólica significa que P es un punto del interior del círculo , De manera similar, dada una línea en el plano hiperbólico, existen dos puntos A y B en el círculo de tal manera que se identifica con la cuerda abierta A)( B . Luego, decir que un punto P pertenece a una línea

en geometría hiperbólica, significa

que P pertenece a AB y satisface A * P * B . Entonces la relación de intermediación en geometría hiperbólica es la misma relación de intermediación con la condición de estar restringida al círculo .

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Recuerda que el axioma hiperbólico afirma que existe una línea y un punto P que no pertenece a tal que existen al menos dos líneas m y n que son paralelas a y que pasan por P . En el modelo Beltrami-Klein, dos cuerdas son paralelas si no tienen punto en común, es fácil observar que el axioma hiperbólico se cumple, como lo muestra la siguiente figura:

Figura 4: Líneas paralelas en el modelo de Beltrami-Klein

Dado que el universo solo se restringe al interior del círculo , las cuerdas abiertas m y n cumplen la condición de ser paralelas a ya que no se intersectan. Este modelo presenta una consistencia relativa de la geometría hiperbólica ya que permite presentar los 5 objetos indefinidos: punto, línea, pertenecer a una línea, intermediación de puntos y congruencia. Hasta el momento sólo se han presentado los primeros cuatro, la congruencia en geometría hiperbólica se presentará posteriormente por medio de la llamada proyección natural. A partir de lo mencionado anteriormente se pueden deducir los axiomas de Hilbert, sin tomar en cuenta el axioma de las paralelas, es decir, los axiomas de Hilbert en el modelo de Beltrami-Klein se convierten en proposiciones que deben ser demostradas, como lo muestra los siguientes ejemplos: Axioma de incidencia 1: Dados dos puntos distintos A y B en el plano hiperbólico, existe una única línea que pasa por A y B . Demostración: basta observar los siguientes pasos: (i). Sean A y B dos puntos distintos en el plano hiperbólico, es decir, A y B son dos puntos en el interior del círculo .

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Figura 5: Puntos A y B del plano hiperbólico

(ii).

Por el axioma de incidencia 1 existe, en el plano cartesiano, una única línea AB que pasa por A y B .

Figura 6: Línea que pasa por A y B

(iii).

Por el principio de continuidad elemental, la línea AB intersecta al círculo puntos C y D .

en dos

Figura 7: Puntos extremos C y D .

(iv).

Entonces los puntos A y B pertenecen a la cuerda C )( D .

(v).

Como AB es única, implica que C )( D es única.

(vi).

Por lo tanto C )( D es la línea en el plano hiperbólico que contiene a A y B .

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Figura 8: Línea

que pasa por A y B

Lo que demuestra el resultado. Axioma de intermediación 1: Si A * B * C entonces los puntos A , B y C son distintos y están en la misma línea y C * B * A . Demostración: basta seguir los siguientes pasos: (i). (ii). (iii). (iv).

Como A * B * C , se tiene que el punto B pertenece a la línea AC en el plano euclidiano Por el axioma de intermediación 1 en la geometría euclidiana se tiene que A * B * C y C *B* A . Por el principio de continuidad elemental, la línea AC intersecta al círculo en dos puntos D y E . Luego los puntos A , B y C son puntos de la línea hiperbólica D)( E y satisface A* B *C y C * B * A .

Lo que demuestra el resultado. Como habrás observado en el paso (ii) de la prueba anterior, se ha utilizado el axioma de incidencia 1 para la geometría euclidiana. Una de las grandes ventajas que tiene el modelo de Beltrami-Klein es que permite visualizar de una forma fácil a los rayos paralelos limitantes m y n a una línea que pasan por un punto P que no pertenece a como lo muestra la siguiente figura:

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Figura 9: Rayos paralelos limitantes a

Los puntos A y B son puntos ideales ya que no pertenecen al plano hiperbólico y son llamados los puntos finales de la línea hiperbólica . Los rayos paralelos m y n son los segmentos semiabiertos PA y PB respectivamente donde son omitidos los puntos A y B . Considerando el conjunto de todos los rayos que inicia en el punto P , cada rayo que está entre los rayos limitantes m y n tiene que intersectar a la línea y los rayos restantes no intersectan a . Para interpretar la congruencia en el modelo de Beltrami-Klein, se utiliza un sistema de medición numérico de ángulo en grados y para la longitud de un segmento. En este sistema numérico, dos ángulos deben de ser congruentes si y sólo si tienen el mismo número de grados, de forma similar, dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma longitud. Cabe mencionar que el sistema de medidas utilizado en la geometría euclidiana no es útil en este modelo ya que si se utiliza la longitud euclidiana, toda línea en el plano hiperbólico tiene longitud finita contradiciendo el axioma de intermediación 2 y el axioma de continuidad 1 los cuales implican que las líneas tienen longitud infinita, este sistema numérico se presentará posteriormente.

3.2. Modelo de Poincaré Otro modelo para la geometría hiperbólica fue presentado por el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) que también considera el plano hiperbólico como los puntos interiores de un círculo fijo , por tal motivo se le conoce como Modelo de Poincaré o el disco de Poincaré. En este modelo las líneas del plano hiperbólico son de dos tipos: (a) Las cuerdas abiertas que pasan por el centro O del círculo , es decir, todos los diámetros abiertos d del círculo. La siguiente figura ilustra este tipo de líneas hiperbólicas: Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Figura 10: Diámetros del círculo

(b) Los arcos abiertos que se forman de intersectar círculos ortogonales al círculo . Recuerda que el círculo es ortogonal a si los radios de y en algún punto de intersección son ortogonales, o de forma equivalente, las tangentes en un punto de intersección son ortogonales, una línea de este tipo toma el nombre de línea de Poincaré o P-línea, la siguiente figura ejemplifica algunas líneas de Poincaré:

Figura 11: Arco ortogonales a

Después de presentar las líneas en el modelo de Poincaré se presenta la relación de pertenencia entre un punto y una línea: Cuando se dice que un punto P pertenece a una línea en el plano hiperbólico significa que pertenece a un diámetro o a una línea de Poincaré en el sentido euclidiano. De forma similar, para la intermediación en el sentido hiperbólico se hace uso de la interpretación euclidiana, si los puntos A , B y C se localizan en un diámetro se dice el punto B está entre los puntos A y C si y sólo si A * B * C en el sentido euclidiano, sin embargo, cuando , y pertenecen a una línea de Poincaré se dice el punto F está entre los puntos E y G si y sólo si el rayo OF esta entre los rayos OE y OG . La siguiente figura ilustra esta idea:

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Figura 12: Intermediación en una línea de Poincaré

La interpretación de la congruencia de segmentos en el modelo de Poincaré es complicado, la longitud de un segmento es diferente a la longitud que se presenta en la geometría euclidiana, el argumento es similar al presentado para el modelo de BeltramiKlein, sin embargo, la congruencia de ángulos en este modelo coincide con la congruencia de ángulos en geometría euclidiana, ésta es una ventaja principal que tiene el modelo de Poincaré con respecto al modelo de Beltrami-Klein, cuando una identificación satisface la condición de conservar las medidas de los ángulos se dice que es una identificación conforme. Considerando dos rayos m y n que inician de un mismo punto P en el plano hiperbólico, la abertura en grados de este ángulo es igual a la abertura en grados que tiene el ángulo en el sentido euclidiano que forman los rayos 1 y 2 que inician en P y que son tangentes a las líneas m y n , respectivamente. Esto es ejemplificado en la siguiente figura:

Figura 13: Ángulo formado por dos líneas de Poincaré

Lo anterior también se aplica cuando alguno de los rayos componentes del ángulo es un diámetro ya que el rayo tangente a un rayo es el mismo, como lo muestra la siguiente figura:

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Figura 14: Ángulo formado por un diámetro y una línea de Poincaré

Como ya están presentados los términos indefinidos de la geometría hiperbólica en el modelo de Poincaré, se procede a interpretar los términos definidos, por ejemplo, dos líneas y m son paralelas si no tienen ningún punto en común. De forma similar al modelo de Beltrami-Klein, en el modelo de Poincaré todos los axiomas de la geometría hiperbólica son trasladados a planteamientos en la geometría euclidiana, es decir, los axiomas de las geometría hiperbólica se convierten en teoremas de geometría euclidiana. En consecuencia, la consistencia de la geometría euclidiana trae como consecuencia la consistencia de la geometría hiperbólica. A continuación se presentan algunas figuras que ilustran algunos resultados de la geometría hiperbólica: Para una línea en el plano hiperbólico y un punto P que no pertenece a , (sin pérdida de generalidad se puede suponer que es el diámetro abierto A)( B ), existen dos líneas paralelas m y n a la siguiente figura:

que pasan por P , es decir, el axioma hiperbólico es representado en

Figura 15: Axioma hiperbólico en el modelo de Poincaré

Los rayos limitantes m y n son los arcos de los círculos que pasan por P que son tangente a la línea euclidiana AB en los puntos A y B respectivamente, esto lo ilustra la siguiente figura: Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Figura 16: Rayos paralelos limitantes a la línea A)( B

La siguiente figura ilustra gráficamente que dos líneas paralelas perpendicular común n tienen que ser divergentes.

y m que tienen una

Figura 17: Líneas paralelas divergentes

La siguiente figura ilustra por qué un cuarto ángulo de un cuadrilátero de Lambert tiene que ser agudo.

Figura 18: Cuadrilátero de Lambert La siguiente figura ilustra cómo es un cuadrilátero de Saccheri en el plano hiperbólico:

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Figura 19: Cuadrilátero de Saccheri Como ya habrás observado, existen dos modelos diferentes para la geometría hiperbólica: el primero presentado por Beltrami y Klein y el otro por Poincaré; es natural que tengas la sensación que estos modelos no son “esencialmente diferentes”. En efecto, estos modelos son isomorfos, es decir, hay una correspondencia biyectiva entre los “puntos” y las “líneas” de un modelo al otro, que conservan las relaciones de incidencia, intermediación y congruencia. Esta correspondencia se construye realizando los siguientes pasos: Partiendo del modelo de Beltrami-Klein en una circunferencia :

Figura 20: Plano hiperbólico Este modelo se ubica en un modelo tridimensional euclidiano, donde está en algún plano coordenado y su centro O coincide con el origen de coordenadas.

Figura 21: Plano hiperbólico ubicado en un modelo tridimensional

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Sobre el círculo se coloca una esfera del mismo radio de tal forma que la esfera tangente en el origen al plano coordenado donde está ubicado el círculo .

Figura 22: Esfera ubicada sobre el plano hiperbólico

La correspondencia está dada de la siguiente forma: Para cada punto P del plano hiperbólico se levanta ortogonalmente una línea al plano cortando el hemisferio inferior de la esfera en el punto Q , luego desde el polo norte O ' de la esfera se traza el rayo m que pasa por Q e intersectando al plano inicial en el punto P ' .

Figura 23: Proyección del punto P

El círculo se identifica con el ecuador de , y se proyecta en el círculo que es la de mayor radio bajo esta correspondencia, es decir, círculo se identifica con el círculo .

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Figura 24: Identificación del círculo

en el círculo

Bajo la correspondencia anterior se tiene que los diámetros abiertos de se corresponden con los diámetros abierto de y que las cuerdas abiertas de se corresponden con arcos de círculos ortogonales a .

Figura 25: Identificación de un diámetro con otro diámetro

En resumen, en el círculo el modelo de Poincaré.

se tiene el modelo de Beltrami-Klein y en el círculo

se tiene

Actividad 2. Modelos de Beltrami, Klein y Poincaré A través de esta actividad, Resolverás ejercicios relacionados a funciones, aplicando sus propiedades. Instrucciones: 1. Descarga el documento “Act. 2. Modelos de Beltrami-Klein y de Poincaré” 2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, tomando en cuenta los axiomas de continuidad y paralelismo. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U3_A2_XXYZ. 4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación. Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

3.3. Perpendicularidad en el modelo de Beltrami-Klein Dado que el modelo de Poincaré es conforme, en este modelo dos líneas que se cortan son ortogonales si y sólo si las rectas tangentes en el punto de corte son ortogonales, esto se muestra en la siguiente figura:

Figura 26: Ortogonalidad en el modelo de Poincaré

En el modelo de Beltrami-Klein, observar que dos líneas son ortogonales es más complicado ya que este modelo no es conforme, aquí la congruencia de ángulos es interpretado de forma diferente a la congruencia presentada en la geometría euclidiana. En esta breve sección se describe cómo son los ángulos rectos en este modelo, recuerda que por definición, un ángulo recto es aquel que es congruente a su ángulo suplementario. Sea m y n dos cuerdas abiertas de un círculo , para describir cuando las líneas m y n son ortogonales, hay que considerar los siguientes dos casos: Caso 1. Cuando alguna de las líneas m o n es un diámetro: se tiene que m  n en el modelo de Beltrami-Klein si y sólo si m  n en el sentido euclidiano. La siguiente figura ejemplifica este caso:

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Figura 27: Caso 1 de ortogonalidad

Caso 2. Cuando ninguna de las líneas m y n son diámetros: En este caso a la línea m se le asocia un punto ideal P  m  que esta fuera de la circunferencia

, dicho

punto es llamado polo de m que se define de la siguiente manera: Sean t1 y t2 las líneas tangentes a

que pasan por los puntos extremos de m , el punto

P  m  se define como el único punto común a las líneas t1 y t2 , observa que este punto existe ya que m no es un diámetro. Luego m  n en el modelo de Beltrami-Klein si y sólo si la línea extendida que contiene al segmento n pasa por el polo de m . La siguiente figura ejemplifica este caso:

Figura 28: Caso 2 de ortogonalidad

Una aplicación de la ortogonalidad en el modelo de Beltrami-Klein es que permite ver por qué dos líneas paralelas con una perpendicular común a éstas divergen, para ello se presentan dos líneas paralelas m y n en donde n no es un rayo paralelo limitante a m , en el modelo de Beltrami-Klein las cuerdas m y n no tienen punto final común, y en consecuencia m y n tienen una línea perpendicular común k .

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Si la línea k satisface el Caso 2 de perpendicularidad se tiene que la línea extendida k pasa simultáneamente por los puntos P  m  y P  n  , luego la línea k es el segmento de la línea P  m  P  n  que está en el interior del círculo

Figura 29: Líneas paralelas que tienen una perpendicular común

3.4. Inversión en círculos y el modelo de Poincaré A continuación se presentan algunos resultados relativos a circunferencias en el plano euclidiano, estos resultados serán utilizados para definir el concepto de longitud en el disco de Poincaré, cabe mencionar que estos resultados pueden obtenerse a través de la teoría de funciones de variable compleja.

3.4.1. Algunos resultados de geometría euclidiana Iniciaremos con el siguiente concepto: Definición: Sea un círculo de radio r con centro en O , dado un punto P  O del interior del círculo , el punto inverso P ' de P con respecto a es el único punto P ' sobre el rayo OP tal que OP  OP '  r 2 . Recuerda que OP y OP ' son las longitudes de los segmentos OP y OP ' respectivamente, el anterior concepto se ejemplifica en la siguiente figura:

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Figura 30: Puntos P ' inverso a P con respecto a

A continuación se presentan algunas consecuencias inmediatas de la definición anterior: Teorema 3.2. Sea un circulo con centro en O y radio r , entonces: (a). (b). (c).

P  P ' si y sólo si P pertenece a . Si P es un punto interior de entonces P ' es un punto exterior de punto exterior de entonces P ' es un punto interior de . El punto inverso del inverso es el punto original.

y P es un

Demostración: Para (a) supóngase que P  P ' entonces OP  OP ' , luego por definición

 

de inversión se tiene que OP  OP '  OP un punto de

 r 2 , lo que implica que OP  r , es decir, P es

. Inversamente, si P pertenece a

, entonces OP  r , lo que implica que

OP  OP '  r  OP '  r , es decir OP '  r y como P y P ' pertenecen al rayo OP se tiene 2

que P  P ' . Para (b) supóngase que P es un punto interior de

, entonces OP  r , luego

se tiene que r  OP OP '  r  OP ' , lo que implica que r  OP ' , es decir, P ' es un punto exterior de , para la otra propiedad de este punto se procede de forma análoga. Finalmente, para (c) supóngase que P es un punto interior de , que P ' es su punto inverso con respecto a y que P '' es un punto inverso de P ' con respecto a , entonces 2

se tiene que OP  OP '  r 2 y OP '  OP ''  r 2 lo que implica que OP  OP '' , como OP  OP '' se tiene que P y P '' están en el rayo OP lo que implica que P  P '' . Los siguientes dos resultados presentan cómo se construye el punto inverso utilizando los instrumentos clásicos de la geometría, es decir, la regla y el compás. Teorema 3.3. Supóngase que P está en el interior del círculo

, y sea TU la cuerda de

que es ortogonal a la línea OP . Entonces el punto inverso P ' de P es el polo de la cuerda en los puntos T y U . TU , en otras palabras, la intersección de las tangentes a Demostración: Considera los siguientes pasos: (i).

Se tiene que la recta tangente a P' .

en el punto T intersecta al rayo OP en el punto

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Figura 31: Intersección de T con OP

(ii).

Los triángulos OPT y OTP ' son semejantes ya que el ángulo TOP es común a ambos triángulos y los ángulos OPT y P 'TO son rectos. Lo que implica que sus correspondientes lados son congruentes.

Figura 32: Los ángulos

OPT y

P 'TO son rectos

OP OP OT r   se tiene que , es decir OP  OP '  r 2 , lo que r OT OP ' OP ' implica que P ' es el inverso de P con respecto a .

(iii).

Como OT  r y

(iv).

Reflejando con respecto a la línea OP se tiene que el punto T se corresponde con en T se corresponde con la línea tangente a en U y U y la línea tangente a en consecuencia pasa por el punto P ' .

Figura 33: Reflejo de T en el punto U con respecto a OP

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas (v). Por consiguiente P ' es un polo de la cuerda TU . Lo que demuestra el resultado. Teorema 3.4. Si P es un punto exterior al círculo OP . Sea

, sea Q el punto medio del segmento

el círculo con centro en O y radio OQ  QP . Entonces

dos puntos T y U , donde PT y PU son tangentes a intersección TU y OP .

intersecta a

y el punto inverso P ' de P es la

Demostración: Basta seguir los siguientes pasos: (i). Se tiene que por el principio de continuidad circular se tiene que los círculos se cortan en dos puntos T y U .

Figura 34: Círculos

(ii).

se cortan en dos puntos T y U

Dado que los ángulos OTP y OUP son inscritos en el semicírculo de , entonces son ángulos rectos, recuerda que la medida de un ángulos inscrito es la mitad del ángulo central que forman.

Figura 35: Los ángulos

OTP y

OUP son rectos

(iii).

Por consiguiente las líneas TP y UP son líneas tangentes a y P es un polo de la cuerda TU . (iv). Por el Teorema 3.3 el punto P es el punto inverso del punto P ' , donde P ' es la intersección de la cuerda TU con el segmento OP . Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas

Figura 36: El punto P ' es el inverso de P con respecto a

(v). Por lo tanto P ' es el inverso de P con respecto a Lo que demuestra el resultado.

El siguiente resultado presenta como se construye una línea de Poincaré a través de dos puntos ideales. Teorema 3.5. Sean T y U dos puntos del círculo

que son diametralmente opuestos y

sea P el polo de la cuerda TU . Entonces PT  PU ,

PTU 

PUT y OP  TU ,

además el circulo con centro en el punto P y radio PT  PU intersecta a ortogonalmente en los puntos T y U . Demostración: Observa los siguientes pasos: (i). Dado que P es el polo de la cuerda TU se tiene que los ángulos OPT y OUP son ángulos rectos. Luego los triángulos OTP y OUP ya que los triángulos son rectángulos y comparten la hipotenusas. De los anterior se tiene que PT  PU .

Figura 37: Los segmentos PT  PU y PT  PU son congruentes

(ii).

Considerando el triángulo isósceles

PTU , los ángulos base

PTU y

PUT son

congruentes y la bisectriz OP es ortogonal a la base TU .

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas

Figura 38: Los ángulos

(iii).

PTU y

PUT son congruentes

Dado que por hipótesis los las líneas TP y UP son tangentes a

en los puntos T

y U respectivamente, se tiene que el círculo con centro en P y radio PT  PU es ortogonal al círculo . Lo que implica que el arco abierto de que es interior a es una línea de Poincaré.

Figura 39: El arco TU es una línea de Poincaré

Lo que demuestra el resultado. Lema 3.1. Dado un círculo y un punto O que no pertenezca a , se cumple lo siguiente: (a) Si dos líneas m y n que pasan por O intersectan a en las parejas de puntos

 P1, P2  (b)

y  Q1 , Q2  respectivamente, entonces OP1  OP2  OQ1  OQ2 . Este producto

común es llamado la potencia de O con respecto a . Si el punto O es exterior a , sea t la línea tangente en el punto T del círculo

 

que pasa por O , entonces OT

es la potencia de O con respecto a

Demostración: Para (a) hay que seguir los siguientes pasos: (i). Dado que los ángulos inscritos en un círculo y apoyados en el mismo arco son congruentes y en consecuencia P2 PQ P2Q1Q2 y P1Q2Q1  P1 P2Q1 . 1 2 

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Figura 40: Ángulos inscritos y apoyados en el mismo arco

(ii).

Utilizando el hecho de que dos ángulos opuestos por un vértice son congruentes, se tiene que los triángulos OPQ OQ1P2 son similares. Obteniendo que 1 2 y

OP1 OQ2  , es decir OP1  OP2  OQ1  OQ2 . OQ1 OP2 Para (b) basta observar lo siguiente: (i). Sea C el centro del círculo , entonces la línea OC intersecta a P1 y P2 de tal forma que O * P1 * C * P2 .

en los puntos

Figura 41: Los puntos P1 y P2 que satisfacen O * P1 * C * P2

(ii).

El teorema de Pitágoras garantiza que  OT    CT    OC  , de donde se 2

obtienen las siguientes relaciones:

 OT   OC   CT  2

 OC  CT  OC  CT   OC  CP1  OC  CP2   OP1  OP2

Lo que demuestra el resultado.

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Teorema 3.6. Dados un círculo y un punto P interior a de tal manera que P no coincide con el centro O de y sea un círculo que pasa por P con centro en C . Entonces intersecta ortogonalmente a si y sólo si pasa por el punto inverso P ' a P con respecto a . Demostración: Basta observar los siguientes pasos: (a) Supóngase que pasa por el punto P ' . (i). El centro C de está sobre la mediatriz de segmento PP ' .

Figura 42: Mediatriz de PP '

(ii). (iii).

Luego CO  CP , lo que implica que O es un punto exterior a . Por el Teorema 3.4 existe un punto T del círculo de tal forma que la línea OT es tangente a

Figura 43: La línea OT es tangente a

(iv).

 

Por la parte (b) del Lema 3.1 se tiene que OT

 OP  OP '  r 2 , lo que implica

que T también es un punto de , es decir, las circunferencias y se cortan ortogonalmente. (b) Supóngase que intersecta ortogonalmente a . (i). Por definición de círculos ortogonales, las rectas tangentes a en los puntos T y U se intersectan en el punto O que está en el exterior de .

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Figura 44: Las líneas T y U se intersectan en O

(ii).

Luego, el rayo OP intersecta a

en el punto Q .

(iii).

Por la parte (b) del Lema 3.1 se tiene que r 2  OT

 

 OP  OQ , lo que implica

que Q  P ' , es decir, el punto P ' es el inverso a P con respecto a

Figura 45: El punto P ' es el inverso a P con respecto a

Lo que demuestra el resultado.

3.4.2. Longitud de Poincaré Para comenzar esta sección se presenta como el Teorema 3.6 se utiliza para construir líneas de Poincaré siguiendo los siguientes pasos: Dados un círculo con centro en O y dos puntos P y Q que sean interiores a y distintos de O :

Figura 46: Dos puntos P y Q distintos de O

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Se construye el punto P ' inverso a P con respecto

como lo presenta el Teorema 3.3:

Figura 47: El punto P ' es el inverso a P con respecto a

Se construye el círculo

que pasa por los tres puntos no colineales P , Q y P ' , para esto

se trazan las mediatrices a los segmentos PQ y PP ' cortándose en el centro C del círculo

Figura 48: Círculo D con centro en C

La línea de Poincaré es el arco de la circunferencia

que es interior a

Figura 49: Línea de Poincaré que pasa por P y Q

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Esta construcción garantiza que se cumple el axioma de incidencia 1 en el modelo de Poincaré. Ahora la interpretación de los axiomas de incidencia, de intermediación y el axioma de Dedekind se realiza utilizando el isomorfismo que existe entre el modelo de Poincaré y el modelo de Beltrami-Klein ya que en este modelo estas verificaciones son triviales. En esta sección se presenta la verificación de los axiomas de congruencia en el modelo de Poincaré, esta verificación no se hará en orden: El axioma de congruencia 5 es trivial. Para el axioma de congruencia 4, el cual consiste en colocar una copia congruente de un ángulo en un vértice A , donde A es un elemento del disco de Poincaré, si A es el centro del círculo, el ángulo está formado por dos diámetros y el ángulo buscado coincide con el que se tendría en forma euclidiana.

Figura 50: Axioma de congruencia 4 para dos diámetros

Cuando A no está es el centro O del círculo , entonces la verificación consiste en encontrar el único círculo ortogonal a que pasa por A y que es tangente a una línea euclidiana que no pasa por O (ya que las tangentes determinan la medida del ángulo). El círculo tiene que pasar por A ' que es el punto inverso de A con respecto a , el centro C de se localiza sobre la mediatriz m de la cuerda AA ' . Si el círculo es tangente a la línea en el punto A , entonces el punto C también se encuentra sobre la perpendicular n de la línea en el punto A . Así, es el círculo con centro C y radio CA y es la intersección de m y n , se toma otra líneas  que pasa por A y que forma el ángulo deseado con respecto a y se realiza el procedimiento anterior.

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Figura 51: Axioma de congruencia 4 para dos líneas de Poincaré

Para definir la congruencia entre segmentos en el modelo de Poincaré, se define el siguiente concepto: Definición: Dados A y B dos puntos en el plano hiperbólico y sean P y Q los puntos finales de la línea de Poincaré que pasa por A y B . Se define la razón cruzada  AB, PQ  por la relación:

 AB, PQ  

AP  BQ . BP  AQ

Recuerda que AB denota la longitud del segmento AB en el sentido euclidiano. La definición anterior permite definir la longitud de un segmento en el modelo de Poincaré. Definición: Dados A y B dos puntos en el plano hiperbólico y sean P y Q los puntos finales de la línea de Poincaré que pasa por A y B . La longitud de Poincaré del segmento AB es: d  A, B   ln  AB, PQ 

Observa que la longitud de Poincaré no depende del orden en que se presentan los puntos 1 finales P y Q . En efecto, si  AB, PQ   x entonces  AB, QP   , lo que implica que x ln 1/ x    ln x  ln x , es decir  AB, PQ    AB, QP  . Esto implica que la distancia d  A, B 

no depende del orden de A y B . A partir de lo anterior se interpreta la congruencia de segmentos: Definición: Dados dos segmentos AB y CD en el disco de Poincaré, se dice que AB es congruente con CD si y sólo si d  AB   d  CD  . Esta definición permite ver que la verificación del axioma de congruencia 2 se realiza inmediatamente. Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Para el Axioma de congruencia 1 supóngase que se fija un punto A de la línea de Poincaré que finaliza en los puntos P y Q . Sea B un punto que se mueve continuamente entre los A y B , donde Q * A * B * P como lo muestra la siguiente figura:

Figura 52: Puntos que satisfacen Q * A * B * P

La razón cruzada  AB, PQ  incrementa continuamente de 1 a  ya que

AP es constante, AQ

BP se aproxima a cero y BQ se aproxima a PQ . Si se fija el punto B y A se mueve

continuamente de B hacia Q se obtiene el mismo resultado. Esto implica inmediatamente que cualquier rayo CD en el disco de Poincaré existe un único punto E sobre el rayo CD de tal manera que d  AB   d  CE  . Para verificar el axioma de congruencia 3 se hace uso del hecho ln  xy   ln x  ln y que aplicada a la longitud de Poincaré se tiene que para tres puntos A , B y C en el disco de Poincaré tales que A * B * C se tiene que d  AC   d  CB   d  AB  . Esto se obtiene de observar lo siguiente: Sean P y Q los puntos finales de la línea (en el disco de Poincaré) que pasa por los puntos A , B y C , luego se tiene que Q * A * B * C * P . Dado que AP  BP , BQ  AQ se tiene que las razón cruzada

 AB, PQ  

AP  BQ BP  BQ  1 BP  AQ BP  BQ

De forma similar se tiene que  AC , PQ  y  BC , PQ  son mayores que 1 , luego sus logaritmos son positivos y las barras de valor absoluto se omiten. Obteniendo lo siguiente: d  AC   d  CB   ln  AC , PQ   ln  BC , PQ   ln  AC , PQ    BC , PQ  

Esto se finaliza observando lo siguiente:

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas  AP  CQ   CP  BQ  AP  BQ   AB, PQ     CP  AQ   BP  CQ  BP  AQ

 AC, PQ    BC, PQ   

Por consiguiente d  AC   d  CB   d  AB  . Para el axioma de congruencia 6 se tiene que estudiar el efecto que provoca la inversión de los objetos y las relaciones en el modelo de Poincaré. Para ello se comienza con el siguiente concepto: Definición: Sean O un punto y k un número positivo, la dilatación con centro en O y radio k es la transformación del plano euclidiano que fija a O y envía al punto P  O al

 

único punto P* sobre el rayo OP de tal forma que OP*  k OP . La transformación presentada en la definición anterior mueve todos los puntos radialmente de O a una distancia k veces de su distancia original. El siguiente resultado presenta como se comportan las líneas y los círculos con respecto a una dilatación, la demostración hace uso de algunos conceptos de geometría analítica. Lema 3.2. Sea un círculo con centro en C y radio s . Bajo la dilatación con centro en O y radio k , el circulo es un punto en tangente a

es transformado en el círculo

, entonces la línea tangente a

con centro en C * y radio ks . Si Q

en el punto Q* es paralela a la

en el punto Q .

Demostración: Basta seguir los siguientes pasos: (i). Sin pérdida de generalidad y por simplicidad se ubica el punto O el origen de coordenadas. Entonces, la dilatación transforma la coordenada  x, y  en  kx, ky  .

Figura 53: Escalamiento del punto  x, y 

(ii).

Luego, la recta que tiene por ecuación ax  by  c se transforma en la recta que tiene por ecuación ax  by  ck . Es decir, una recta y su imagen bajo una dilatación

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas son líneas paralelas. En particular, la línea CQ es paralela a su imagen C *Q* y sus perpendiculares en los puntos Q y Q* , respectivamente, son paralelas.

Figura 54: Escalamiento de la línea ax  by  c (iii).

Finalmente, si

tiene ecuación  x  h1    y  h2   s 2 , su imagen bajo la 2

dilatación está dada por  x  kh1    y  kh2   k 2 s 2 . 2

Figura 55: Escalamiento del círculo  x  h1    y  h2   s 2 2

Lo que demuestra el lema. El siguiente resultado presenta cuando la inversión de un círculo con respecto a otro circulo coincide con la una dilatación de mismo con respecto al centro del segundo círculo. Teorema 3.7. Sean un círculo con centro en O y radio r y un círculo con centro en C y radio s . Supóngase que O es exterior a , que p es la potencia de O con respecto

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas a

y que k 

r2 . Entonces p

se transforma bajo la inversión del círculo

en el círculo

' de radio ks con centro en la imagen C * de C bajo la dilatación de O con radio k . Además, si P es cualquier punto en y P ' es su inverso con respecto a , entonces la línea tangente t ' a ' en P ' es la reflexión a través de la mediatriz del segmento PP ' de la línea tangente a en P .

Demostración: Basta que observes lo siguiente: (i).

Dado que O es exterior a tangente a

, el rayo OP intersecta a

en otro punto Q o es

en P y en tal caso P  Q .

Figura 56: Intersección de OP con

(ii).

Luego se tiene que

OP ' OP ' OP r 2    OQ OQ OP p Es decir P ' es la imagen de Q bajo la dilatación de O y radio k  consiguiente la imagen coincide con la inversión

de ' de

r2 . Por p

bajo la dilatación con centro en O y radio k con respecto a

, es decir

Figura 57: La dilatación D coincide con la inversión



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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas (iii).

Por el Lema 3.2, la línea tangente t ' de en el punto Q . u de

' en el punto P ' es paralela a la tangente

Figura 58: Las líneas t ' y u son paralelas

(iv).

Sea t la tangente de en el punto P , el Teorema 3.5 garantiza que las líneas t y u se intersectan en el punto R de tal manera que RQP  RPQ . Además, las líneas t y t ' se cortan en un punto S y satisface

Figura 59: Los ángulos

(v).

SP ' P y

SP ' P 

SPP ' .

SPP ' son congruentes

Como los ángulos bases son congruentes, se tiene que el triángulo PSP ' es isósceles, lo que implica que S pertenece a la mediatriz del segmento PP ' . Por consiguiente la línea t ' es la reflexión de la línea t a través de la mediatriz del segmento PP* .

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Figura 60: La línea t ' es el reflejo t a través de la mediatriz de PP

Lo que demuestra el resultado. Como consecuencia de este resultado se tiene lo siguiente: Corolario 3.7.1. El círculo es ortogonal al círculo si y sólo si mismo bajo la inversión sobre . Demostración: Como

es ortogonal a

implican que p  OP  OP ' , así k  1 y

en el punto P , el Teorema 3.6 y el Lema 3.1 

' . Inversamente, si

pasa por el punto inverso P ' de P con respecto a es ortogonal a . Lema 3.3. Sean O el centro del círculo

es transformado en sí



, por el Teorema 3.6 se tiene que

y los puntos P y Q que no son colineales a O ,

denótese por P ' y Q ' los puntos inversos de P y Q con respecto a Entonces los triángulos

POQ y

Demostración: Los triángulos

' , entonces p  r 2 y

respectivamente.

Q ' OP ' son similares. POQ y

Q ' OP ' tienen como ángulo común a

POQ y

OP  OP '  r  OQ  OQ ' . El criterio LAL para triángulos similares de cumple. 2

El resultado anterior se ejemplifica en la siguiente figura:

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Figura 61: Los triángulos

POQ y

Q ' OP ' son similares

El siguiente resultado presenta cómo se transforma, bajo una inversión, una línea que no pasa por el centro del círculo de inversión. Teorema 3.8. Sea una línea que no pasa por el centro O del círculo . Entonces la imagen de bajo la inversión de es un círculo perforado sin el punto O , el diámetro de que pasa por O es perpendicular a . Demostración: Basta seguir lo siguientes pasos: (i). Sean A el pie de la perpendicular de O a y P cualquier otro punto de denótese por A ' y P ' los puntos inversos de A y P respectivamente.

Figura 62: Los punto A ' y P ' son los inversos de A y P

(ii).

Por el Lema 3.3 los triángulos OAP y OP ' A ' son similares. Por consiguiente el ángulo OP ' A ' es recto, implicando que P ' está en el círculo que tiene como diámetro el segmento OA ' .

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Figura 63: Los triángulos (iii).

OAP y

OP ' A ' son similares

Inversamente, si se toma cualquier punto P ' del círculo

supóngase que el rayo OP corta a P ' es el punto inverso de P . Lo que demuestra el resultado.

que es distinto de O ,

en P , un argumento inverso muestra que

El siguiente resultado presenta cómo se transforma un círculo bajo una inversión con respecto a otro círculo, en esencia es el teorema inverso al teorema anterior. Teorema 3.9. Sea un círculo que pasa por el centro O del círculo . La imagen del círculo eliminando el punto O bajo la inversión de es una línea que no pasa por O y es paralela a la línea tangente a en el punto O . Demostración: Basta seguir los siguientes pasos: (i). Sea A ' el punto sobre que es diametralmente opuesto a O , sea A el punto inverso de A ' con respecto a A.

y sea

Figura 64: La línea

(ii).

la línea perpendicular a OA en el punto

es ortogonal a OA en A

Por los pasos presentados en la demostración del Teorema 3.8, la inversión de con respecto a es el círculo eliminando el punto O , por consiguiente el círculo eliminando el punto O se transforma en .

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Lo que demuestra el resultado. En geometría euclidiana se tiene que la reflexión preserva la longitud pero invierte el sentido de los ángulos. El siguiente resultado generaliza esta propiedad a inversiones. Teorema 3.10. En una inversión, un ángulo dirigido que se forma de la intersección de dos círculos preserva la magnitud pero invierte su sentido. Esto mismo también se tiene si el ángulo se forma por intersectar una línea y un círculo o una línea con otra línea. Demostración: Observa los siguientes pasos: (i). Sean , y tres círculos. Supóngase que con tangentes y m respectivamente.

Figura 65: Los círculos

(ii).

(iii).

se intersectan en el punto P

se intersectan en P

Sea P ' el punto inverso de P con respecto a , denótese por ' y ' las imágenes de los círculos y con respecto a respectivamente. Sean  y m ' las líneas tangentes a P ' de los círculos ' y ' respectivamente. El hecho de que una inversión preserve la magnitud de un ángulo pero que invierta su dirección se obtiene del hecho que las líneas  y m ' son reflexiones de las líneas y m con respecto a la mediatriz PP ' .

Figura 66: El punto P es la reflexión de P '

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas (iv).

El resto de los casos se obtienen de los teoremas 2.7 y 2.9. enunciados en la Unidad 2. Lo que demuestra el resultado. El siguiente teorema muestra que la razón cruzada utilizada para definir la longitud de Poincaré es invariante bajo inversiones. Teorema 3.11. Dado de

un círculo con centro en O , sean A, B, P, Q cuatro puntos distintos

y denótese por A ', B ', P ', Q ' sus puntos inversos en

respectivamente. Entonces

 AB, PQ    A ' B ', P ' Q ' . Demostración: Observa los siguientes pasos: (i). Por el Lema 3.3 se tienen las siguientes relaciones:

AP A ' P '  y OA OP ' (ii).

AQ A ' Q '  OA OQ '

Luego se tiene lo siguiente:

AP AP OA OQ ' A ' P '     AQ OA AQ OP ' A ' Q ' (iii).

Por el Lema 3.3 se tienen las siguientes relaciones:

BP B ' P '  y OB OP ' (iv).

BQ B ' Q '  OB OQ '

Luego se tiene lo siguiente:

BQ BQ OB B ' Q ' O ' P '     BP OB BP OQ ' B ' P ' (v).

Multiplicando miembro a miembro las relaciones obtenidas en los pasos (ii) y (iv) se tiene lo siguiente:

 AB, PQ   

AP BQ  OQ ' A ' P '   B ' Q ' O ' P '        AQ BP  OP ' A ' Q '   OQ ' B ' P '  A ' P ' B 'Q '    A ' B ', P ' Q ' A 'Q ' B ' P '

Lo que demuestra el resultado. El siguiente resultado presenta como se comportan las relaciones de incidencia, intermediación y congruencia con respecto a la inversión. Teorema 3.12. Sea un círculo ortogonal al círculo . Entonces la inversión en transforma al círculo en y el interior en sí mismo. La inversión en preserva la incidencia, la intermediación y la congruencia en sí mismo en el sentido del modelo del disco de Poincaré. Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Demostración: Observa los siguientes pasos: (i). Sea C y s el centro y el radio de respectivamente, de forma similar sean O y r el centro y el radio de respectivamente. Para P un punto interior de se denota por P ' su inverso con respecto a (ii). El Corolario 3.7.1 afirma que el círculo se transforma en sí mismo. (iii).

El rayo CP corta a

en los puntos Q y Q ' , el Teorema 3.6 afirma que

CQ CP   s 2 . Como P está entre Q y Q ' se tiene que CQ  CP  CQ ' , lo que CQ ' CP ' implica que

s2 s2 s2 , luego se tiene que CQ '  CP '  CQ lo que trae con   CQ ' CP CQ

consecuencia que P ' está entre Q ' y Q , es decir, el punto P ' es interior a (iv).

(v).

(vi).

(vii).

Los teoremas 3.7, 3.9 y 3.10 implican que las inversiones con respecto a transforman cualquier círculo ortogonal a en un círculo ' ortogonal a o en una línea ' ortogonal a , es decir, una línea que pasa por O . Los teoremas 3.8 y 3.9 garantizan que la línea que une los puntos O y C es transformada en sí misma y cualquier otra línea que pasa por O es transformada en un círculo ' eliminándole el punto C , el círculo ' es ortogonal a . Los casos presentados en los puntos (iv) y (v) muestran que la parte de que es interior a se transforma en la parte de ' que es interior a . Por consiguiente, una línea de Poincaré bajo una inversión se transforma en una línea de Poincaré. Dados dos puntos A y B interiores a , sean P y Q los puntos finales de la línea de Poincaré que pasa por A y B . La inversión con respecto a transforma los puntos P y Q en los puntos finales P ' y Q ' de la línea de Poincaré que pasa por A' y B ' .

(viii).

(ix).

Por el Teorema 3.11 se tiene que d  AB   d  A ' B ' , lo que implica que la congruencia de segmentos se preserva. Además, el Teorema 3.10 muestra que la congruencia de ángulos también se conserva. Finalmente, la intermediación en el sentido del modelo de Poincaré también se preserva ya que B está entre los puntos A y D si y sólo si A , B y D son colineales en el sentido del modelo de Poincaré y d  AD   d  AB   d  BD  .

Lo que demuestra el resultado. Para finalizar con los axiomas de congruencia se presenta la verificación del axioma de congruencia 6 (criterio LAL de congruencia de triángulos). Sea un círculo de radio r con centro en O y tres puntos A , B y C que son interiores a . Sea la circunferencia ortogonal a que pasa por los puntos A y B , de forma similar sea el círculo ortogonal a que pasa por A y C . Entonces vuelve a intersectar a en el punto A ' que es exterior a y el Teorema 3.6 garantiza que A ' es el inverso de A con respecto a . Sea

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas el círculo con centro en A ' y radio s , donde AA '  A ' O  s 2 . Dado que AA '  A ' O  AO , implica que:













s 2  AA '  A ' O  A ' O  AO  A ' O  A ' O  AO  A ' O  A ' O  r 2 Por el teorema inverso de Pitágoras la ecuación anterior implica que es ortogonal a . Por la manera en como se define , se tiene que O es el punto inverso a A con respecto a . El Teorema 3.12 afirma que la inversión con respecto a transforma el triángulo de Poincaré ABC en un triángulo congruente en el sentido de Poincaré OB ' C ' .

Figura 67: Los triángulos

ABC y

OB ' C ' son congruentes

En resumen, todo triangulo interior a en el sentido del modelo de Poincaré puede ser transformado en un triángulo congruente en el sentido del modelo de Poincaré que tenga un vértice en el punto O . Considera dos triángulos

ABC y

XYZ tales que

A

d  AB   d  XY  . Por la observación anterior, los triángulos transformados en dos triángulos Poincaré respectivamente.

OB ' C ' y

X , d  AC   d  XZ  y ABC y

XYZ son

OY ' Z ' congruentes en el sentido de

Antes de seguir con la verificación del axioma de congruencia 6 se presenta el siguiente resultado: Lema 3.4. Si d  OB   d entonces OB  naturales y r es el radio de

r  ed  1 ed  1

, donde e es la base de los logaritmos

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas Demostración: Si P y Q son los puntos finales del diámetro que pasa por B , se puede suponer que Q * O * B * P , entonces d  d  OB   ln  OB, PQ  de donde se obtienen las siguientes relaciones:

ed   OB, PQ  

OP BQ BQ r  OB    OQ BP BP r  OB

Resolviendo con respecto a OB se tiene OB 

r  ed  1 ed  1

Retornando al criterio LAL, supóngase que A  X  O , El Lema 3.4 y las hipótesis del criterio LAL se tiene que OB  OY , OC  OZ y

BOC 

YOZ .

Figura 68: Triángulos que satisfacen el criterio LAL Realizando una rotación euclidiana con eje de rotación en O . Si es necesario, esta rotación se combina con una reflexión en algún diámetro, se transforma el triángulo euclidiano OBC en el triángulo euclidiano OYZ esta transformación envía el círculo en sí mismo y el círculo que pasa por B y C en el círculo ortogonal que pasa por Y y Z el cual preserva la longitud de Poincaré y la amplitud de los ángulos. Lo que implica que los triángulos OBC y OYZ son congruentes en el sentido del modelos de Poincaré. La verificación del axioma de congruencia 6 permite demostrar el siguiente resultado, el cual se enuncia sin demostración: Teorema 3.13. Dos triángulos en modelos de Poincaré son congruentes en el sentido de Poincaré si y sólo si éstos pueden ser transformados uno en el otro por una sucesión de inversiones de círculos ortogonales a y/o reflexiones con respecto a algunos diámetros de . Para finalizar esta sección, se aplica el modelo de Poincaré para presentar la fórmula de J. Bolyai y Lobachevsky para el ángulo de paralelismo. Primero se denota por   d  el número de radianes en el ángulo de paralelismo correspondiente a la distancia de Poincaré

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas d , recuerda que el número de radianes se calcular multiplicando

 180

por el número de

grados. Teorema 3.14. En modelo de Poincaré la fórmula para el ángulo de paralelismo está dada   d   por la relación e d  tan  .  2  Demostración: Observa los siguientes pasos: (i).

El ángulo de paralelismo d es la distancia d  PQ  de algún punto P a alguna línea de Poincaré

y   d  es el número de radianes en el ángulo que está formado

por un rayo paralelo limitante a (ii).

que pasa por P y el rayo PQ .

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que es el centro de

y que Q

, lo que implica que P está en el diámetro perpendicular a

Figura 69: Diámetro

(iii).

es un diámetro de

ortogonal a PQ

Un rayo paralelo limitante a que pasa por P es el arco de un círculo ortogonal a tal que es tangente a en uno de sus extremos  . La línea tangente a en P intersecta a en algún punto R que pertenece al segmento Q y por consiguiente es un polo de la cuerda P .

Figura 70: El punto R es el polo de P

(iv).

Por el Teorema 3.5 se tiene que

RP y

RP son congruentes y en

consecuencia tienen el mismo número  de radianes. Sea     d  , que es el Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas número de radianes que tiene el ángulo al triángulo

RPQ . Dado el ángulo

PR se tiene que la abertura de

tiene que   2 

PRQ es exterior

PRQ es igual en radianes a 2 , se

   . 2 2

Figura 71: Relación entre los ángulos  y 

(v).

La distancia euclidiana de PQ es r tan  , por el Lema 3.4 se tiene que:

ed 

(vi).

1  tan  1  tan 

  1  tan         2  en la Sustituyendo    y utilizando la identidad tan     4 2  4 2  1  tan      2 relación anterior se tiene que:           1  tan   1  tan     1  tan     2    2  2  1        1  tan    1  tan   1  tan   1  tan  4 2 2     2 ed   1  tan             1  tan    1  tan   1  tan     1  tan     4 2  1 2   2    2       1  tan   1  tan   2 2 2   1  tan   1 2       2 tan   tan   2 2    1  tan   2

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas   d   Por consiguiente e d  tan  .  2  Lo que demuestra el resultado.

(vii).

Actividad 3.Perpendiculares e inversión de círculos A través de esta actividad, Resolverás ejercicios relacionados a funciones, aplicando sus propiedades. Instrucciones: 1. Descarga el documento “A3. Perpendiculares e inversión de círculos” 2. Resuelve los ejercicios que ahí se presentan, tomando en cuenta los axiomas de continuidad y paralelismo. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U3_A3_XXYZ. 4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación. Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje. Independencia del postulado de las paralelas A través de esta actividad, aplicarás los modelos Beltrami-Klein y Poincaré, para resolver problemas geométricos Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado “EA. Independencia del postulado de las paralelas” Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas 2. Resuelve los planteamientos que se presentan de acuerdo a lo que aprendiste en la unidad. 3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCDI_U3_EA_XXYZ. . 4. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad aprendiste cómo se representa la geometría hiperbólica en dos modelos de Beltrami-Klein y el de Poincaré. En tales modelos aprendiste a representar las líneas y los puntos, después analizaste la interpretación del axioma hiperbólico en cada uno de los modelos, observaste los pros y los contras de cada modelo con respecto la interpretación de los distintos resultados presentado en la anterior unidad, finalmente estudiaste las propiedades que tiene el concepto de inversión de círculos y su relación con los axiomas de congruencia en el modelo de Poincaré.

Para saber más Para complementar el estudio con respecto a los modelos presentados en esta unidad puedes consultar los siguientes sitios: 

http://www.ms.uky.edu/~droyster/courses/spring08/math6118/Classnotes/Chapter0 9.pdf



http://www.mccme.ru/ium/postscript/f10/geometry1-lect-7.pdf



http://www.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/Mihai/section7.html

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Geometrías no euclidianas Unidad 3. Independencia del postulado de las paralelas 

http://mathworld.wolfram.com/Klein-BeltramiModel.html



http://www.science.oregonstate.edu/~parksh/sample338paper.pdf

Fuentes de consulta  Anderson, J. (2008), Hyperbolic Geometry, USA, Springer.  Courant R., Robbins H, Stewart I. (1996) What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, USA, Oxford University Press.  Eves, H. (1972), Survey of geometry, USA, Allyn & Bacon.  Hartshorne, R. (2005), Geometry: Euclid and Beyond, USA, Springer.  Iversen, B. (1993), Hyperbolic Geometry, USA, Cambridge University Press  Meschkowski, H. (1964), Noneuclidean Geometry, USA, Academic Press.  Shively, L. (1953), An Introduction to Modern Geometry, USA, John Wiley & Sons, Inc.

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